validation numérique de l’homogénéisation pour un...
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Validation numérique de l’homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources
aléatoires
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• Introduction– Modélisation de la migration de radionucléide– Vers un modèle probabiliste
• Calcul des moments– Comportement aléatoire des sources : un exemple– Définition et calcul des premiers moments– Simulations numériques
• Homogénéisation du modèle aléatoire– Présentation générale– Résultats théoriques– Validation numérique
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• Introduction– Modélisation de la migration de radionucléide– Vers un modèle probabiliste
• Calcul des moments– Comportement aléatoire des sources : un exemple– Définition et calcul des premiers moments– Simulations numériques
• Homogénéisation du modèle aléatoire– Présentation générale– Résultats théoriques– Validation numérique
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Introduction – modélisation
• Objectif : Valider (illustrer) les résultats de l’homogénéisation– Géométrie et équation simplifiées
⇒Approche valable (sauf mention contraire) dans des cas plus complexes et plus réalistes
– Modélisation simplifiée de la migration de radionucléide en milieu poreux (1 phase saturée):
⇒
( )( ).p pCR div D grad C VC R C Qt
ω ω λ∂− − + =
∂
( )pCR L C Qt
ω ∂+ =
∂
5
Introduction – modélisation
Une géométrie 2D simplifiée :
1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
0
5
10
15x 10-4
temps (ans)
mol
es/a
ns
relâchement de l' I129 par module
- Période radioactive de l’I129 : 15.106 ans
Caractéristiques de l’I129 :
6
Introduction – modélisation
• Un exemple de simulation : – rupture simultanée de tous les containeurs– calculs effectués avec Castem (EFMH)
concentration(mol/m3)
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Introduction – aspect aléatoire
• Plusieurs sources d’incertitudes :– Caractéristiques physiques du milieu
• Description exhaustive impossible
– Comportement de relâchement• Contenu des colis variable• Phénomène d’usure/rupture bien modélisé par un contexte
aléatoire
• Prise en compte de l’aléa sur la fuite dans la modélisation
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Introduction – aspect aléatoire
• Modèle probabiliste : Aléa sur le terme source : Q(ω)⇒ la solution du problème devient aléatoire : C(ω)
• On peut caractériser la solution à travers ses moments
( ) ( )( ) ( ) ( )p
CR L C Q P
tω
ω ω ω∂
− =∂
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• Introduction– Modélisation de la migration de radionucléide– Vers un modèle probabiliste
• Calcul des moments– Comportement aléatoire des sources : un exemple– Définition et calcul des premiers moments– Simulations numériques
• Homogénéisation du modèle aléatoire– Présentation générale– Résultats théoriques– Validation numérique
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Calcul des moments - un exemple
• Un cas particulier d’aléa sur les sourcesUne courbe de relâchement typique, avec :– Aléa sur le temps de déclenchement– Aléa sur la quantité de matière relâchée– Indépendance entre tous les aléas
⇒Terme source associéà l’alvéole i :
( ) ( ) ( )( ), fii iQ t tω ω ωα τ= − ( )f t
( )tQ ,ω
( )τ ω
( )α ω
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• Conséquence de la linéarité :la solution C(ω,x,t) de (P) devient une superposition des ci(x,t) solutions de
⇒ ( ) ( )( )1
( , , ) ,N
i ii
iC x t c t xτ ωαω ω=
= −∑
( ) f . ( )i
ip i B i
cR L c Pt
ω ∂+ =
∂1
Calcul des moments - un exemple
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Calcul des moments
La linéarité et l’indépendance donnent l’espérance et la variance sous la forme:
et si on connaît fτ la densité de probabilité des décalages τi, par définition: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2
, ,
, ,
i
i
i i
i i
E c t x c s x t s ds
E c t x
f
fc s x t s ds
τ
τ
τ
τ
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦
∫∫
( ) [ ] ( )1
, , ,iN
ii
iE C x t E E c t xα τ=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑
( ) ( ) [ ] ( ) 22 22
1, , , ,
i i
N
ii iii
Var C x t E E c t x E E c t xα ατ τ=
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑
*
*
13
Calcul des moments
De même, la corrélation entre différents temps et points de l’espace se calcule ainsi:
Avec par définition:
( ) [ ]YXEYXCor ., =
( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
21 1 2 2 1 1 2 2
1
1 1 2 2,
, , , , , , ,
, ,
N
i ii
i
i
i j ji ji j
i i
i j
Cor C x t C x t E E c t x c t x
E E E c t x E c t x
τ τ
τ τ
α
α α
=
≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ = − −⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,i ii i i iE c t x c t x c t s x c t s x s dsfττ τ⎡ ⎤− − = − −⎣ ⎦ ∫
14
Calcul des moments
Par définition, la covariance et le coefficient de corrélation se déduisent de l’espérance et de la corrélation par :
* ( ) ( ) [ ] [ ], ,Cov X Y Cor X Y E X E Y= −
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )
1 21 2
1 2
1,2
, , , , ,, , , , ,
, , , ,
,
Cov C x t C x sC x t C x s
Var C x t Var C x s
t s
ρ
ρ
⋅ ⋅⋅ ⋅ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=*
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Calcul des moments
• Tous ces moments sont bien déterminés si on fixe E[α] et Var[α] finis et fτ
• Leur calcul requiert la résolution de N (=nb de sources) problèmes similaires⇒ gains possibles dans la résolution numérique :
- Construction d’une discrétisation commune- Préconditionnement des matrices- Résolution des systèmes linéaires
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Calcul des moments - simulation numérique
• Calcul des moments en tout temps (t,s) et en deux points (x1,x2) :
[ ][ ]
21 1
0 1i
i
N E
Var .
α
α
⎧ = =⎪⎨
=⎪⎩
fτx150
~400
x2
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Calcul des moments – moyenne et variance
102
104
106
108
1010
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
-7
temps (ans)
mol
/m3
moyenne de la concentration au point 1
102
104
106
108
1010
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6x 10
-4
temps (ans)
mol
/m3
moyenne de la concentration au point 2
102
104
106
108
1010
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8x 10
-15
temps (ans)
(mol
/m3 )2
variance de la concentration au point 1
102
104
106
108
1010
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-9
temps (ans)
(mol
/m3 )2
variance de la concentration au point 2
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Calcul des moments – covariance
temps (ans) lié au point1
tem
ps (a
ns) l
ié a
u po
int1
covariance de la concentrationentre le point 1 et le point 1
105
1010
104
106
108
1010
4
6
8
10
12
14
x 10-16
temps (ans) lié au point1
tem
ps (a
ns) l
ié a
u po
int2
covariance de la concentrationentre le point 2 et le point 1
105
1010
104
106
108
1010
2
3
4
5
6
7
8
x 10-13
temps (ans) lié au point2
tem
ps (a
ns) l
ié a
u po
int2
covariance de la concentrationentre le point 2 et le point 2
105
1010
104
106
108
1010
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x 10-9
19
Calcul des moments – coefficient de corrélation
• : valeurs non corrélées ou variant dans le même sens
• temps longs décorrélés des temps courts• temps longs corrélés entre eux
0ρ ≥
temps (ans) lié au point1
tem
ps (a
ns) l
ié a
u po
int1
coefficient de corrélation de la concentrationentre le point 1 et le point 1
105
1010
104
106
108
1010
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
( )1,1 ,t sρ
s
t
temps (ans) lié au point1
tem
ps (a
ns) l
ié a
u po
int2
coefficient de corrélation de la concentrationentre le point 1 et le point 2
105
1010
104
106
108
1010
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
( )2,1 ,t sρ
s
ttemps (ans) lié au point2
tem
ps (a
ns) l
ié a
u po
int2
coefficient de corrélation de la concentrationentre le point 2 et le point 2
105
1010
104
106
108
1010
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
( )2,2 ,t sρ
s
t
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• Introduction– Modélisation de la migration de radionucléide– Vers un modèle probabiliste
• Calcul des moments– Comportement aléatoire des sources : un exemple– Définition et calcul des premiers moments– Simulations numériques
• Homogénéisation du modèle aléatoire– Présentation générale– Résultats théoriques– Validation numérique
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Homogénéisation – présentation
• Difficultés de la simulation numérique :– grand domaine (~km) / petits détails (sources ~m)⇒ maillage très lourd et calcul coûteux
• Une solution possible : l’homogénéisation– construction d’un modèle global macroscopique sur
un domaine homogénéisé plus simple– approche adaptée à l’obtention d’un modèle champ
lointain à partir des renseignements champs proche
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Homogénéisation – présentation
• Eléments de base :– Mise en évidence de deux échelles spatiales de taille
(micro/macro)– Détermination d’un petit paramètre ε caractérisant le
rapport entre les deux échelles– Périodicité sur l’échelle ‘‘microscopique’’
(peut être relaxé)
• Le problème limite (ε→0) donne le modèle global (macroscopique)
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Homogénéisation – présentation
• Cas du stockage :– macro : site de stockage
micro : alvéole– petit paramètre : ε=1/N– périodicité horizontale– apparition d’une source
‘‘homogène’’ de support singulier dans le modèle global
( ) ( )'/1, ,
ii xBQ t q T tε
εεγω ω
ε= 1
'/xT εω processus stationnaire et ergodique
24
Homogénéisation – résultats théoriques
• On considère :– uε solution aléatoire du problème détaillé
– u0 solution du problème homogénéisé
( )0
0 0. dans puR L u Q Gt
ω δΣ∂
+ =∂
( ) ( )( ) ( )1
dans N
p ii
uR L u Q G
t
εε εω
ω ω ω=
∂+ =
∂ ∑
( ) ( )01 2avec ,Q t s s E q t⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦
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Homogénéisation – résultats théoriques
• On peut montrer que
• On a donc convergence vers un problème:– déterministe– avec une géométrie homogène plus simple– avec une source homogène spatialement
⇒ u0 est une approximation simple à calculer
• On complète ce résultat avec une estimation du taux de convergence
( )( ) p.s. 0lim 12;,0
0
0=−
∞→ GHLuuε
ε
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Homogénéisation – résultats théoriques
• Sous certaines hypothèses de mélange (+ que ergodicité), on peut montrer l’estimation d’erreur suivante :
• Ceci permet d’estimer la qualité de l’approximation de uε faite par u0
( )( ) ( )2 1
20 2 2
0, ;L T H GE u u Cε γε ε− ≤ +
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Homogénéisation – validation numérique
• On a :
• Dans le cas où ,on calcule que :
( ) ( )( )1
( , , ) ,ii
N
ii
u x t c t xε ω ω ωα τ=
= −∑
( )( ) ( ) ( )2 2
20
0,
2 00
0;
2
0
1
2
0
3
2 .T
L T L GG
TT
G G
I I I
u dxdt E u u dxd E uu u d dt x tE ε εε ⎡ ⎤⎣⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )0
20 0
3( , ) et T T T
s t t s dt d If s s s dg shI Fτ τ
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )20 2
1 1avec ( , ) , , et ,
N
i
N
i iii iG G
s t E c x s u x t dx s E c x s dxhg α α= =
⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫
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Homogénéisation – validation numérique
• Mise en œuvre du calcul
maillage
h(.) g(.,.)
(ci(.,s))i
u0(.,.)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
202L
uuE ε
Constructiondu maillage
communCalcul deI1, I2 et I3Calcul de
h(s) et g(s,.)
Résolution du pas sn-1 à sn
des (Piε)
Résolutionde (P0)
Etapes 1 Etapes 4Etapes 3 (boucle)Etapes 2
29
0 10 20 30 40 500.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10-6
Nombre de sources (N)
E(||
uε-u
0 ||2 )
10-2 10-1
10-6
epsilon (ε=1/N)
E(||
uε-u
0 ||2 )
Homogénéisation – validation numérique
• Résultats numériques
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Conclusion
• Application des techniques d’homogénéisation au problème aléatoire
• Calcul des moments dans un cas particulier• Validation numérique de la convergence
• Perspectives :– Résultats numériques du cas 3D– Modélisation plus réaliste de l’aléa– Application au cas non linéaire– Convergence en loi