vô cù vÔ cÙng bÉhÀm liÊn tỤc Ứng dụ · 1 vÔ cÙng bÉ-hÀm liÊn tỤc lecture 3...
TRANSCRIPT
1
VÔ CUNG BE-HAM LIÊN TUC
Lecture 3
Nguyen Van Thuy
Nôi dung
Review
Vô cung be
Ưng dung tim giơi han
Ham liên tuc
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-2
Review-Giơi han bên trai
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
L f(x)
a x
x
y
O
lim ( )x a
f x L
a x
lim ( ) lim ( )x a x ax a
f x f x L
3-3
Review-Giơi han bên phai
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
x a
lim ( ) lim ( )x a x ax a
f x f x L
L f(x)
x a
x
y
O
lim ( )x a
f x L
3-4
Review
Đinh ly (kep). Nêu khi
x gân a va
thi
Đinh ly
Nguyen Van Thuy-University of Science
( ) ( ) ( )f x g x h x
lim ( ) lim ( )x a x a
f x h x L
lim ( )x a
g x L
Giai tich 1
lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x L f x L f x
3-5
Review
7 dang vô đinh
Cac giơi han cơ ban
Nguyen Van Thuy-University of Science
0 0.00
, , , ,1 ,0
0,
0
1/
0
01
sin 1lim 1 , lim 1 ( )
lim(1 ) (
0
)1
u
u u
u
u
ue
u u
u e
Giai tich 1 3-6
2
Vô cung be
Đinh nghia. Nêu thi (x)
đươc goi la vô cung be khi 𝑥 → 𝑎
Ky hiêu: 𝛼 𝑥 : VCB(𝑥 → 𝑎)
Vi du
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥,
𝑥2 la cac vô cung be khi 𝑥 → 0
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
lim ( ) 0x a
x
2
0 0lim(1 cos ) 0, lim 0x x
x x
3-7
So sanh cac vô cung be
Đinh nghia. Gia sư 𝛼 𝑥 , 𝛽(𝑥) la cac VCB khi
𝑥 → 𝑎 va gia sư
𝐿 = 0: 𝛼(𝑥) đươc goi la VCB câp cao hơn 𝛽(𝑥), ky
hiêu 𝛼 𝑥 = 𝑂(𝛽 𝑥 )
𝐿 = ±∞: 𝛼(𝑥) đươc goi la VCB câp thâp hơn 𝛽(𝑥)
𝐿 ≠ 0 va hưu han: 𝛼(𝑥) va 𝛽(𝑥) đươc goi la hai
VCB cung câp
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
( )lim
( )x a
xL
x
3-8
Vô cung be tương đương
Nêu
thi 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) đươc goi la hai VCB tương
đương, ky hiêu α(𝑥)𝛽(𝑥)
Vi du. 𝑠𝑖𝑛𝑥 va 𝑥 la cac VCB khi 𝑥 → 0 va
nên
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
( )lim 1
( )x a
x
x
0
sinlim 1x
x
x sinx x
3-9
Cac VCB tương đương cơ ban
Khi u0 thi
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
2
s i n
1 c o s2
t a n
1u
u u
uu
u u
e u
l n (1 )
a r c s i n
a r c t a n
11 1n
u u
u u
u u
u un
3-10
Tinh chât cua VCB tương đương
𝛼(𝑥)~𝛼(𝑥) (tinh phan xa)
𝛼(𝑥)~𝛽(𝑥), 𝛽(𝑥)~𝛾(𝑥) ⇒ 𝛼(𝑥)~𝛾(𝑥) (tinh
băc câu)
Nêu 𝛼 𝑥 = 𝑂 𝛽 𝑥 ⇒ 𝛼(𝑥) + 𝛽(𝑥)𝛽(𝑥)
𝛼 𝑥 ~𝛼1 𝑥
𝛽 𝑥 ~𝛽1 𝑥⇒𝛼(𝑥)𝛽(𝑥)~𝛼1(𝑥)𝛽1(𝑥)
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-11
Tinh chât cua VCB tương đương
𝛼 𝑥 ~𝛼1 𝑥
𝛽 𝑥 ~𝛽1 𝑥⇒ lim𝑥→𝑎
𝛼(𝑥)
𝛽(𝑥)= lim𝑥→𝑎
𝛼1(𝑥)
𝛽1(𝑥)
Quy tăc ngăt bo VCB câp cao
Khi tinh giơi han ty sô 2 VCB ma tư va mâu
la tông cac VCB khac câp thi ta chi giư lai
cac VCB câp thâp nhât ơ tư va mâu
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-12
3
Ưng dung tinh giơi han
Vi du. Tinh
𝐿 = lim𝑥→0
ln (cos 𝑥)
1 + 𝑥23
− 1
Vi du. Tinh
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
3 2
3 20
arcsin 2arcsin 3arcsinlim
2
) 0 ) 1 ) 2 ) 3
x
x x xL
x x x
a L b L c L d L
3-13
Vi du
a)
b)
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science
2
20
(1 cos )lim
sin tan
1 1) 0 ) 1 ) )
2 4
x
xL
x x x
aL bL cL dL
2 3
20
1 cos ln(1 tan 2 ) 2arcsinlim
1 cos sin
) 0 ) 1 ) 2 ) 3
x
x x xL
x x
a L b L c L d L
3-14
Ham liên tuc
Đinh nghia. Ham 𝑓 đươc goi la liên tuc tai 𝑎
nêu
𝑓 gian đoan tai 𝑎 nêu 𝑓 không liên tuc tai 𝑎
𝑓 liên tuc trên khoang (𝑎, 𝑏) nêu 𝑓 liên tuc
tai moi điêm thuôc khoang đo
Nguyen Van Thuy-University of Science
lim ( ) ( )
lim ( ) lim ( ) ( )
x a
x a x a
f x f a
f x f x f a
Giai tich 1 3-15
Ham liên tuc
Chu y. Ham 𝑓 liên tuc tai 𝑎 phai thoa 3 điêu
kiên
𝑓(𝑎) xac đinh (nghia la 𝑎𝐷𝑓)
tôn tai
Nguyen Van Thuy-University of Science
lim ( )x a
f x
lim ( ) ( )x a
f x f a
Giai tich 1 3-16
Ham liên tuc
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-17
Ham liên tuc
Vi du. Đô thi cua ham 𝑓 như hinh ve sau.
Tai nhưng điêm nao ham sô không liên tuc?
Tai sao?
Nguyen Van Thuy-University of Science Giai tich 1 3-18
4
Ham liên tuc
Đinh ly. Tât ca nhưng ham sô sau (ham sơ
câp) liên tuc trên miên xac đinh
Ham đa thưc
Ham phân thưc hưu ty
Ham căn thưc
Ham mu
Ham logarithm
Ham lương giac
Ham lương giac ngươc
Nguyen Van Thuy-University of Science Giai tich 1 3-19
Ham liên tuc
Vi du
gian đoan tai 𝑡 = 1 va liên tuc tai tât ca
cac điêm con lai
𝑔(𝜃) = 𝑡𝑎𝑛𝜃 gian đoan tai , 𝑛 va
liên tuc tai tât ca cac điêm con lai
liên tuc trên , vi
Nguyen Van Thuy-University of Science
( )1
tf t
t
1( )
2n
sin, 0
( )
1, 0
xx
f x x
x
0
sinlim 1 (0)x
xf
x
Giai tich 1 3-20
Ham liên tuc
Vi du. Tim 𝑎 đê ham sô sau liên tuc tai 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 =
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + ln (1 + 2𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑣ớ𝑖 −
1
2< 𝑥 < 0
𝑥2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑎) 𝑎 = 0 𝑏) 𝑎 = 2 𝑐) 𝑎 = 1 𝑑) 𝑎 = 3
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-21
Ham liên tuc
Vi du. Tim 𝑎 đê ham sô sau liên tuc tai x=1
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛1
(𝑥 − 1)3 𝑣ớ𝑖 𝑥 < 1
3𝑥2 − 3𝑥 + 𝑎
𝑥2 + 1 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑎) 𝑎 =𝜋
2 𝑏) 𝑎 = −
𝜋
2 𝑐) 𝑎 = −𝜋 𝑑) 𝑎 = 𝜋
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-22
Ham liên tuc
Vi du. Tim a đê ham sô sau liên tuc tai x=2
𝑓 𝑥 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
𝑥 − 2 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≠ 2
3𝑥2 − 6𝑥 + 𝑎
𝑥2 𝑣ớ𝑖 𝑥 = 2
𝑎) 𝑎 =𝜋
2 𝑏) 𝑎 = 2𝜋 𝑐) 𝑎 = −2𝜋
𝑑) 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝑎 𝑛à𝑜
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-23
Ham liên tuc
Vi du. Vơi gia tri nao cua 𝑐 thi ham sô sau liên tuc
trên ?
Vi du. Tim 𝑎, 𝑏 đê ham sô sau liên tuc trên
Nguyen Van Thuy-University of Science
2
3
2 , 2( )
, 2
cx x xf x
x cx x
2
2
4, 2
2
( ) 3,2 3
2 , 3
xx
x
f x ax bx x
x a b x
Giai tich 1 3-24