Mikroekonomika/2005 rudens semestras/1 uždavinių rinkinys Lagrange’o daugiklių metodas. Lyginamoji statika

1

1. Sūrskis ypač mėgsta vartoti pelėsinį sūrį ir galime įsivaizduoti, kad jo vartojimo rinkinius sudaro tik dvi prekės , čia pelėsinio sūrio kiekis, o išlaidos visoms kitoms

prekėms. Sūrskio pomėgiai yra ypatingi tuo, kad turėdamas galimybę pasirinkti arba 1 2( , )x x x=

1 2( , )x x x=

2 2x̂ x< ˆ⇒

1x ≡ 2x ≡

x̂

1 2ˆ ˆ ˆ( , )x x x=

1 1ˆ x̂ x> ⇒

1̂x =, 1jis teiks pirmenybę , o ne , jei , kitaip tariant x̂ x 1̂x x> x x

vertus, jei ir , Sūrskis teiks pirmenybę , o ne , kitaip tariant, ir . Taigi Sūrskis visada pirma pažiūri kiek kokiame rinkinyje yra pelėsinio sūrio,

nekreipdamas dėmesio į visas kitas prekes, ir tik kai lyginamuose rinkiniuose yra tiek pat pelėsinio sūrio jis teikia pirmenybę rinkiniui su daugiau visų kitų prekių.

1̂x x=x x≺

2x̂ x< x x. Kita

1 2 1

p

a) Pažymėkite brėžinyje visus vartojimo rinkinius kurie Sūrskiui yra griežtai mėgstamesni už kokį nors vartojimo rinkinį . x̂

b) Kitame brėžinyje pažymėkite visus vartojimo rinkinius kurie yra griežtai blogesni už . x̂c) Ar yra tokių vartojimo rinkinių kuriuos Sūrskis mėgsta tiek pat kaip ? Pažymėkite

brėžinyje, jei manote, kad tokių yra. x̂

d) Sūrskio elgseną tyrinėjęs ekonomistas pasakė, kad tokie pomėgiai yra leksikografiniai ir jų neįmanoma išreikšti jokia naudingumo funkcija. Kokią aksiomą ar aksiomas (visiškumo, refleksyvumo, tranzityvumo, monotoniškumo ir (ar) tolydumo) pažeidžia Sūrskio pomėgiai?

e) Tarkime, kad Sūrskis gauna pajamas , pelėsinis sūris kainuoja , o . Pažymėkite Sūrskio optimalų pasirinkimą, ir pabandykite užrašykite Sūrskio paklausos funkcijas.

m 1p = 2 1p =

f) Ar būtinai vartotojo pomėgiai turi būti išreiškiami naudingumo funkcija, kad būtų galima surasti optimalų pasirinkimą ir užrašyti paklausos funkcijas? Kaip manote, ar pomėgiai, panašūs į šiame uždavinyje pateiktus, gali būti būdingi dideliai daliai individų?

2. Broniaus pomėgius apibūdina naudingumo funkcija , čia alaus bokalai,

o išlaidos visoms kitoms prekėms. Bronius gauna pajamas per dieną, alaus bokalas kainuoja , o .

2121 ln),( xxxxu +=m

≡1x≡2x

pp =1 12 =pa) Užrašykite vartotojo biudžetinį apribojimą. b) Užrašykite vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį. c) Išspręsite vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį Lagrange’o daugiklių metodu – raskite

sprendinį ( . )),(),,(),,( 21 mpmpxmpx λd) Jei Lagrange’o daugiklis yra ribinis pajamų naudingumas, kaip jis priklauso nuo pajamų šiuo

atveju? Kodėl? (Užuomina: atkreipkite dėmesį į tai kas būdinga šiai naudingumo funkcijai) Ar toks pajamų poveikis gerovei apskritai turėtų būti būdingas daugumai vartotojų?

λ

3. Albino pomėgius apibūdina naudingumo funkcija , jis kas mėnesį gauna

pajamas, o prekės atitinkamai kainuoja ir .

2/12

2/1121 ),( xxxxu +=

m 1p 2pa) Išspręsite vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį Lagrange’o daugiklių metodu. b) Apskaičiuokite kaip vartotojo pasirinkimą paveiktų ribiniai egzogeninių modelio kintamųjų

pokyčiai, kitaip tariant raskite išvestines mxi ∂∂ ir ji px ∂∂ visiems ir . i jc) Raskite kurios nors prekės kryžminį paklausos elastingumą ( )(ij i j j ix p p xε = ∂ ∂ ) . Kokią išvadą

galima padaryti apie šias prekes pažiūrėjus į elastingumo ženklą – ar jos vartotojui yra pakaitalai ar papildiniai?

4. Vartotojo pomėgius išreiškia naudingumo funkcija , jis gauna

pajamas, o prekės atitinkamai kainuoja ir . };min{),( 2121 bxaxxxu = m

1p 2pa) Išspręskite vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį. (Užuomina: brėžinyje pažymėkite

biudžetinę tiesę ir abejingumo kreives. Turėtumėte matyti, kad šis vartotojas, rinkdamasis

Mikroekonomika/2005 rudens semestras/1 uždavinių rinkinys Lagrange’o daugiklių metodas. Lyginamoji statika

2

optimaliai, prekes vartos tik pastoviu santykiu taip, kad . Iš šios lygties galite gauti išraišką

21 bxax =

12 xx ba= . Šios funkcijos grafikas yra tiesė nubrėžta per visų abejingumo kreivių

“alkūnes”. Jums tereikia surasti “alkūnės” esančios biudžetinėje tiesėje koordinates * *1 2( , )x x .

Sprendžiant grafiškai tektų surasti dviejų tiesių susikirtimo tašką, o algebriškai – rasti dviejų tiesinių lygčių sistemos sprendinį).

b) Kodėl negalima taikyti Lagrange’o daugiklių metodo šiuo atveju? c) Raskite kurios nors paklausos kryžminį elastingumą. Kokią išvadą galima padaryti apie šias

prekes – ar jos vartotojui yra pakaitalai ar papildiniai? 5. Vartotojo pomėgius dviejų gėrybių atžvilgiu galima išreikšti tolydžia kvaziįgaubta bent du kartus

diferencijuojama naudingumo funkcija , tačiau konkreti jos išraiška nėra žinoma. Pritaikykite paskaitoje išdėstytą lyginamosios statikos metodą, raskite išvestines

),( 21 xxu

21 px ∂∂ ir

22 px ∂∂ . Paaiškinkite ką galima teigti apie jų ženklus remiantis šio uždavinio sąlygoje pateiktomis prielaidomis.

Papildomas uždavinys norintiems pasipraktikuoti. Sprendimo pristatyti nereikia, pratybų metu jis būtų nagrinėjamas tik jei liktų laiko išnagrinėjus kitus uždavinius. 6. Vartotojo pomėgius išreiškia kažkokia kvazitiesinė naudingumo funkcija ,

taip pat žinoma, kad ir . Vartotojas gauna pajamas , prekės atitinkamai kainuoja ir .

2121 )(),( xxvxxu +=m0)( 1 >′ xv 0)( 1 <′′ xv

1p 2pa) Užrašykite Lagrange’o funkciją, kurią reiktų maksimizuoti sprendžiant vartotojo naudingumo

maksimizavimo uždavinį ir išveskite būtinąsias jo sprendimo sąlygas. b) Pritaikykite lyginamosios statikos metodą ir nustatykite kainų ir padidėjimo poveikį

pirmosios ir antrosios prekės vartojimui – raskite visas išvestines 1p 2p

jp∂ix∂ . Paaiškinkite kokias išvadas galima padaryti apie jų ženklus.