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Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Programa Preliminar para Ingenierıa

Cuaderno de Estudio

Patricio Guzman MelendezAlumno de Ingenierıa Civil Matematica

Pedro Montero SilvaAlumno de Licenciatura en Ciencias mencion Matematica

Ivan Szanto NareaProfesor del Departamento de Matematica

Marzo de 2009

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa INDICE

Indice

1. Introduccion 3

2. Preliminares 4

3. Logica Simbolica y Teorıa de Conjuntos 63.1. Logica Simbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Teorıa de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Funciones 104.1. Propiedades de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2. Estudio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3. Problemas de Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Geometrıa Analıtica 185.1. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2.2. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.4. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3. Lugares Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6. Numeros Naturales 256.1. Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3. Progresiones Aritmeticas y Geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7. Numeros Reales 337.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.4. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8. Trigonometrıa 428.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.2. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3. Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.4. Problemas con Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.5. Miscelaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9. Numeros Complejos 519.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.3. Miscelaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.Lımites y Continuidad 5710.1. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.3. Miscelaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa INDICE

11.La Derivada 6311.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.3. Miscelaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.Aplicaciones de la Derivada 7612.1. Problemas de Razon de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7612.2. Problemas de Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7812.3. Estudio de Funciones y Trazado de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa

1. Introduccion

El Programa Preliminar para Ingenierıa es un programa que se imparte a los alumnos destacados de IV

Medio de la Region de Valparaıso, que sienten interes en el area de la Ingenierıa, Ciencias y Tecnologıa; endonde se les inicia en la vida y exigencia universitaria, cursando la asignatura de Matematica I (MAT-021) e In-troduccion a la Ingenierıa (IWI-101); ambos cursos del primer semestre academico de Ingenierıa y Ciencias en laUniversidad Tecnica Federico Santa Marıa.

Este Cuaderno de Estudio esta destinado a las clases activas de Matematica I, que en la practica, es una delas partes mas importantes de la asignatura. Su proposito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apuntando aidentificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dara al estudiante una vision globalde las herramientas entregadas en la asignatura.

Este cuaderno esta dividido en los temas que se veran a lo largo del curso, y el numero de actividades por temases variable dependiendo de la importancia del mismo.

La metodologıa a seguir consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases practicas en donde bajola supervision del profesor y los ayudantes, el estudiante aplicara los conceptos y metodos entregados en la claseteorica, y ası podra resolver los diferentes tipos de problemas y aplicaciones.

Esta metodologıa ayudara al estudiante a seguir y a entender mejor los contenidos de la asignatura, pues de estaforma se concreta lo explicado en las clases teoricas y ademas se ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos.El hecho de que el estudiante encuentre dificultades en este cuaderno es un indicador de que no ha alcanzado elnivel de aprendizaje esperado.

Se espera ir perfeccionando este cuaderno en todos los sentidos posibles: formato, edicion del texto, redaccion yniveles de dificultad de los problemas, etc.

Este Cuaderno de Estudio, en su segunda version, no habrıa sido posible sin las valiosas recomendacionesy discusiones con el Departamento de Matematica de nuestra universidad. Ademas, parte importante de lasmejoras de esta version se deben a las crıticas y comentarios de los alumnos del Programa Preliminar para Ingenierıadel ano 2008.

Ayudantes del Departamento de Matematica:Patricio Guzman Melendez

Pedro Montero Silva

Profesor del Departamento de Matematica:Ivan Szanto Narea

Marzo de 2009

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 2 PRELIMINARES

2. Preliminares

1. A Constanza se le pregunta su edad y ella responde: ”Si se anaden 13 anos al cuadruple de mi edad, se tendrıalo que falta para tener 98 anos”. ¿Cual es la edad de Constanza?

2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro anos era el doble de la edadque tendra Pablo en siete anos. ¿Cual es la suma de ambas edades?

3. De dos resistencias en paralelo que difieren en 33 Ω se sabe que la resistencia equivalente es de 22 Ω. Calcularel valor de cada resistencia.

4. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, mas el 45 % del resto; en total vende 5700 m2. ¿Cuantomide el terreno que le queda a Patricio?.

5. En un triangulo rectangulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular el areadel triangulo.

6. El perımetro de cierto rectangulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el area del rectangulo.

7. Si cada lado de un triangulo isoceles disminuye en un 18 %, ¿en cuanto % disminuye su area?.

8. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M el puntomedio de BC. ¿Que tanto % de AM mide BM?.

9. Un cilindro tiene 15 cm de diametro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un cırculo cuya area sea igualal 50 % de la superficie total del cilindro.

10. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su altura disminuyeen un 20 %. ¿En cuanto % varıa la superficie basal, total y el volumen del cono?.

11. El ancho de un anillo circular mide 8 % mas que el radio de la circunferencia interior. ¿Que tanto % del areadel anillo es el area del cırculo interior si el diametro del cırculo interior es de 70 cm?.

12. Suponga que el diametro de un cırculo mide 30 % menos que el de otro cırculo concentrico. Expresar el areadel anillo en tanto % del area del cırculo interior.

13. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular el radiobasal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera.

14. Considere el rectangulo cuya base y altura estan en la proporcion b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumentaen 1 m y la altura ”a” en 3 m el rectangulo se transforma en un cuadrado. ¿Cuanto mide la diagonal delrectangulo?

15. Considere el solido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un cono en laparte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x. La altura del cono es de x y del solidoes de 5x. Si el volumen del solido es de 256π, encuentre el valor de x.

16. Un auto y un tren se mueven juntos a lo largo de trayectorias paralelas a 25 m/s, con el auto adyacente a laparte trasera del tren. Debido a una luz roja el auto adquiere una aceleracion uniforme de -2,5 m/s2 (el autoesta desacelerando) y llega al reposo. Permanece en reposo durante 45 s y luego acelera hasta llegar a unarapidez de 25 m/s.

¿A que distancia de la parte posterior del tren se encuentra el auto cuando este alcanza la rapidez de 25 m/s,suponiendo que la rapidez del tren permanece constante?.

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17. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3 m/s2 y desacelera a 4 m/s2. En un viaje a una tienda aceleradesde el reposo hasta los 12 m/s, maneja con rapidez constante durante 5 s y luego se detiene en una esquina.Acelera despues hasta los 18 m/s, maneja con rapidez constante durante 20 s, desacelera durante 2 s, continuadurante 4 s a esta rapidez y luego se detiene al llegar a la tienda.

a) ¿Cuanto dura el recorrido y cuanta distancia recorre?

b) Si usted camina a 1,5 m/s ¿cuanto tardarıa en llegar a la tienda?

18. La lınea de Watt’s S.A., productora de mermeladas requiere determinar el numero de maquinas a utilizardurante los siguientes tres anos para su produccion de mermelada de frambuesa.

La demanda de mermelada de frambuesa para los siguientes tres anos, en toneladas, es:

Ano 1 Ano 2 Ano 330 50 40

En la siguiente tabla se pueden ver los ingredientes en la produccion de una tonelada de mermelada, y tambienla velocidad de procesamiento de cada ingrediente en la maguina que cuesta $15.000.000 que se desea comprar:

Ingredientes Pulpa de Frambuesa Agua OtrosProcesamiento 0,5 ton/hr 0,1 ton/hr 0,7 ton/hr

La maquina es capaz de procesar 0,6 ton/hr. Por otro lado, las condiciones operacionales son: ocho horas porturno, cinco dıas a la semana y cuatro semanas al mes. Se debe operar doce meses al ano.

Para los siguientes tres anos determine el numero de maquinas requeridas y el costo de adquirilas.

19. Forestal Minin S.A. es una empresa forestal que opera en la octava region. Esta requiere determinar el numerode maquinas para un nuevo aserradero que permitira explotar un fundo forestal en la zona de Tehualco.

El fundo cuenta con 1.100 hectareas las cuales seran explotadas en los siguientes tres anos segun el siguienteplan:

Ano 1 Ano 2 Ano 3Demanda (Hectareas) 300 360 440

El rendimiento esperado por hectarea es de 15 toneladas por madera procesada.

Las maquinas existentes en el mercado tienen una capacidad de procesamiento de 0,7 ton/hr. Cada maquinatiene un costo de $20.000.000 y requiere para su operacion un operario capacitado por turno cuyo costo totalanual es de $3.000.000. Los costos operacionales asociados a insumos, energıa y personal son proporcionales alas toneladas de madera procesada y se han estimado en $1.500 por tonelada procesada.

Por otro lado, las condiciones operacionales del aserradero son: ocho horas por turno, cinco dıas a la semanay cuatro semanas al mes. El aserradero debera operar los doce meses al ano.

Para los siguientes tres anos determine:

a) Numero de maquinas requeridas

b) Costo total considerando los gastos de inversion y operacion.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEORIA DE CONJUNTOS

3. Logica Simbolica y Teorıa de Conjuntos

3.1. Logica Simbolica

1. Demuestre, utilizando tablas de verdad y/o propiedades, las siguientes equivalencias.

a) (p⇒ q)⇔ (p ∨ q) b) (p⇔ q)⇔ [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

c) [p ∧ (p ∨ q)]⇔ p d) [p ∨ (p ∧ q)]⇔ p

e) [p ∧ (p ∨ q)]⇔ (p ∧ q) f) [p ∨ (p ∧ q)]⇔ (p ∨ q)

g) (p⇒ q)⇔ (q ⇒ p) h) (p⇒ q)⇔ [(p ∧ q)⇒ F ]

i) [p ∧ q ⇒ r]⇔ [(p⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] j) [p⇒ (q ∧ r)]⇔ [(p⇒ q) ∧ (p⇒ r)]

k) [p⇒ (q ∨ r)]⇔ [(p⇒ q) ∨ (p⇒ r)] l) [p ∨ q ⇒ r]⇔ [(p⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]

2. Demuestre que las siguientes expresiones son tautologıas.

a) p⇒ (p ∨ q) b) (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

c) [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r) d) (p⇒ q)⇒ [(p ∨ r)⇒ (q ∨ r)]

3. Simplifique las siguientes expresiones.

a) [p⇒ (q ∧ r)]⇒ (p⇒ q) b) (p⇒ q)⇒ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ r)]

c) [p ∨ (p ∧ q)]⇔ p d) p⇒ [q ⇒ (p⇒ q)]

4. Sean p y q proposiciones logicas. Se define p× q por la siguiente tabla.

p q p× qV V FV F VF V VF F V

Demuestre que se cumple que:

a) p ≡ p× p.b) p ∨ q ≡ (p× q)× (p× q).c) p ∧ q ≡ (p× q)× (q × q).

5. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdad de

[(p⇒ q)⇒ (p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q)

6. Si p ∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de

(p ∨ q)⇔ (r ∨ p)

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 3.1 Logica Simbolica

7. Si la proposicion p⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposicion

[p ∨ (q ∧ r)]⇔ [(p ∨ r) ∧ q]

8. Encontrar el valor de verdad de la proposicion:

[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]⇒ [q ∨ (p⇒ r)]

sabiendo que p⇒ (q ∨ r) es falsa.

9. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposicion compuesta

[(p⇔ q)⇔ (p ∨ r)] ∧ [p⇒ (q ∧ r)]

es verdadera.

10. Sean p, q, r y s proposiciones logicas. Se definen los conectivos y 4 de la siguiente forma:

p q ≡ p⇒ q

r 4 s ≡ r ∨ s

Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposicion:

[p ∧ (p 4 r)] ∨ [(p 4 q) ∨ (s p)]

11. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negacion.

a) S ⊂ R es acotado si:(∃M ∈ R+)(∀x ∈ S)(|x| ≤M).

b) Una funcion f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si:(∀x, y ∈ I)(f(x) = f(y)⇒ x = y).

c) Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva si:(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f(x)).

d) Una funcion f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si:(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε).

12. Dadas las siguientes funciones proposicionales

p(x) : x2 + y ≤ xy

q(x) : x+ y ≤ 1

a) Determine el valor de verdad de la proposicion (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)(p(x, y)⇒ q(x, y)).b) Escriba la negacion de la proposicion anterior.

13. Para x ∈ R considere las siguientes funciones proposicionales:

p(x) : x2 − 3x− 10 ≥ 0

q(x) : 3x+ 1 ≥ 13

Determine todos los x ∈ R de modo que la proposicion p(x) ∨ q(x) sea verdadera.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEORIA DE CONJUNTOS

3.2. Teorıa de Conjuntos

1. Sean A,B,C ⊆ U . Demuestre que:

a) (A ∩B)c = Ac ∪Bc b) (A ∪B)c = Ac ∩Bc

c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) d) A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)

e) A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac f) A ⊂ B ⇒ A ∩B = A y A ∪B = B

2. Sean A,B,C ⊆ U .Simplifique utilizando propiedades.

a) [A ∩ (A ∩B)c] ∪ [B ∪ (B ∩ Cc)]c ∪Bc

b) [A ∩ (A−B)] ∪B

c) [(A ∩Bc) ∩ (A−Bc)]c ∪Ac

3. Sean A,B,C ∈ U . Demuestre lo que:

a) A−B = A− (A ∩B).b) A ∩B = ∅ ⇔ (A ∪B) ∩Bc = A.c) A ∩ C = ∅ ⇔ (A−B)− C = A− (B − C).d) A ∩B ∩ C = ∅ ⇔ [(A−B)− (B − C)− (C −A)] = A ∪B ∪ C.

4. Considere los conjuntos:

a) A = x ∈ R / 5 ≤ |x| b) B = x ∈ R / x2 + 6 = 7x

c) C = x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 3 d) D = ∅

e) E = R

Determine: B ∩ C, A ∩ C, A ∪B, B ∪ C, A ∪ E, B ∩ E, D −A y A− C.

5. Considere los conjuntos P = x ε N / 2x2 − 3x+ 1 = 0 y C = x ε Z / x ≥ −3 ∧ x < 7.

a) Determine explıcitamente los conjuntos P y C.b) Calcule |P |+ |C| y |P ∪ C|.

6. Dadas las siguientes funciones proposicionales

p(x) : 2x− 10 ≥ 20

q(x) : |x| < 40

a) Determine explıcitamente los conjuntos

A = x ∈ R / p(x) ∧ q(x) es Verdadero

B = x ∈ R / p(x)⇒ q(x) es Falso

b) Encuentre A−B.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 3.2 Teorıa de Conjuntos

7. Sean A,B ⊂ U . Se define la diferencia simetrica entre A y B como A4B = x / x ∈ A ∨ x ∈ B. Observarque el conjunto A4B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a los dos.

Sean A,B,C ⊂ U . Demuestre las siguientes propiedades:

a) A4B = (A−B) ∪ (B −A) b) A4B = (A ∪B)− (A ∩B)c) A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C) d) (A4B)4(B4C) = A4Ce) A4B = C ⇔ A4C = B

8. Sea A ⊂ U un conjunto. Se define el conjunto potencia de A, denotado por P(A), como el conjunto cuyoselementos son todos los subconjuntos de A. Escrito en sımbolos viene dado por P(A) = B ⊂ U / B ⊂ A.

Sean A,B ⊂ U . Entonces se cumple que:

a) P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B).b) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪B).c) P(A) = P(B)⇔ A = B.

9. Se entendera por |P | como el numero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, es decir,conjuntos que cumplen con A ∩B = ∅, entonces se tendra que |A ∪B| = |A|+ |B|.

Sean A,B,C ⊂ U . Demuestre que:

a) Si A ∩B 6= ∅ entonces |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.b) Si A ∩B ∩ C 6= ∅ entonces |A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.

Indicacion: Para a) escriba los conjuntos A ∪B y B como union de conjuntos disjuntos.

10. Se realizo una encuesta a 160 Sansanos de primero ano respecto a la lectura de libros de ciencias: Matematica(M), Fısica (F ) y Quımica (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leen M , 70 leen F , 73 leen Q, 30 leenM y F , 109 leen F o Q, 106 leen M o Q, 105 leen M o F y finalmente 40 no leen (no porque no sepan leer,sino porque no tienen interes).

Determine:

a) Numero de Sansanos que leen los 3 libros.b) Numero de Sansanos que lee 1 solo libro.c) Numero de Sansanos que leen libros de Matematica o Fısica, pero no ambas.d) Numero de Sansanos que leen libros de Fısica y Quımica.

11. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos revelo que 50 practican futbol, 79 prac-tican futbol o tenis, 68 practican futbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practican handball, 45practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes.

Determine:

a) Numero de personas que practican futbol.b) Numero de personas que practican futbol y tenis.c) Numero de personas que practican handball o tenis pero no futbol.d) Numero de personas que a lo menos practican tres de estos deportese) Numero de personas que no practican tenis.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 4 FUNCIONES

4. Funciones

4.1. Propiedades de Funciones

1. Sea p > 0 e I = [−p, p]. Considere la funcion f : I ⊆ R −→ R. Obtenga la negacion de las siguientesdefiniciones.

a) Una funcion f se dice par en I si:(∀x ∈ I)(f(−x) = f(x)).

b) Una funcion f se dice impar en I si:(∀x ∈ I)(f(−x) = −f(x)).

2. Considere la funcion f : I ⊆ R −→ R y A ⊆ I. Obtenga la negacion de las siguientes definiciones.

a) Una funcion f se dice creciente en A si:(∀x, y ∈ A)(x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)).

b) Una funcion f se dice decreciente en A si:(∀x, y ∈ A)(x ≥ y ⇒ f(x) ≥ f(y)).

3. Sea f : A −→ B, A0 ⊆ A y B0 ⊆ B . Demostrar las siguientes propiedades:

a) [f(A0)]c = f(Ac0).

b) [f−1(B0)]c = f−1(Bc0).

4. Sea f : A −→ B una funcion. Sean A0 ⊆ A y B0 ⊆ B. Demostrar las siguientes propiedades:

a) A0 ⊆ f−1(f(A0)) y que se da la igualdad si f es inyectiva.

b) f(f−1(B0)) ⊆ B0 y que se da la igualdad si f es sobreyectiva.

Recomendacion: Para ilustrar estas propiedades considere las funciones f(x) = x2 y g(x) = x, y luego hagalos calculos para ambas funciones con los conjuntos A0 = [0, 1] y B0 = [−1, 1].

5. Sea f : A −→ B y B0, B1 ⊂ B. Demostrar las siguientes propiedades:

a) B0 ⊆ B1 ⇒ f−1(B0) ⊆ f−1(B1).

b) f−1(B0 ∪B1) = f−1(B0) ∪ f−1(B1).

c) f−1(B0 ∩B1) = f−1(B0) ∩ f−1(B1).

d) f−1(B0 −B1) = f−1(B0)− f−1(B1).

Recomendacion: Para ilustrar estas propiedades elija una funcion (como f(x) = x) y luego haga los calculoscon B0 y B1 elegidos adecuadamente.

10

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 4.1 Propiedades de Funciones

6. Sea f : A −→ B y A0, A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades:

a) A0 ⊆ A1 ⇒ f(A0) ⊆ f(A1).

b) f(A0 ∪A1) = f(A0) ∪ f(A1).

Recomendacion: Para ilustrar estas propiedades elija una funcion (como f(x) = x) y luego haga los calculoscon A0 y A1 elegidos adecuadamente.

7. Sea f : A −→ B y A0, A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades:

a) f(A0 ∩A1) ⊆ f(A0) ∩ f(A1). La igualdad se tiene si f es inyectiva.

b) f(A0 −A1) ⊆ f(A0)− f(A1). La igualdad se tiene si f es inyectiva.

Recomendacion: Para ilustrar estas propiedades elija dos funciones, una inyectiva y otra no, y luego hagatodos los calculos con A0 y A1 elegidos adecuadamente.

8. Sean f y g funciones biyectivas. Demuestre que:

a) f g y g f son biyectivas.

b) (f g)−1 = g−1 f−1.

9. Sea f : I ⊆ R −→ R. Muestre:

a) Si f es una funcion estrictamente creciente en I entonces la funcion es inyectiva.

b) Si f es una funcion estrictamente decreciente en I entonces la funcion es inyectiva.

11


4.2. Estudio de Funciones

1. Para las siguientes funciones: grafique y determine si presenta algun tipo de paridad; determine su dominioy recorrido; ¿es biyectiva la funcion? si no lo es, encuentre un intervalo maximal de modo que lo sea; y, si esposible, determine su funcion inversa y luego grafıquela.

a) f(x) = −x2 + 3x+ 10 b) g(x) = x2 + 4x+ 5 c) h(x) =5x+ 3x− 4

d) f(x) = 2(x− 1) +4

x− 1e) g(x) = |x− 2

x+ 7| f) h(x) =

√4x− 2x+ 2

g) f(x) =√

x

|x| − 1h) g(x) = x

√1− x2 i) h(x) =

√2−

√2− x2

j) f(x) =1

3 +√x2 − 4

k) g(x) =√x

1 +√x

l) h(x) =x√

x+ 1− 1

m) f(x) =√|x− 2|+ 2 n) g(x) =

√|x2 − 8x+ 7| − 2 o) h(x) =

√x2 + x+ 1x− 1 + |x|

p) f(x) =

x|x| , |x| < 1

x/|x| , |x| ≥ 1q) g(x) =

x− 1 , x < 1

√x− 1 , x ≥ 1

2. Halle las composiciones f g y g f de las siguientes funciones, y luego indique sus dominios y recorridos.

a) f(x) = x2 g(x) =√x.

b) f(x) = 1− x g(x) = x− x2.

c) f(x) =

3x+ 4 , 0 ≤ x ≤ 2

x+ 1 , 2 < x < 4g(x) =

x2 , 2 ≤ x ≤ 5

4 , 5 < x < 12

d) f(x) =

2x− 2 , − 3 ≤ x ≤ 6

10 , 6 < x ≤ 10g(x) =

x , − 10 ≤ x ≤ 7

x2 , 7 < x ≤ 15

3. Encuentre f f f de las siguientes funciones.

a) f(x) =1x

b) f(x) =1

1 + xc) f(x) =

x√1 + x2

4. Para cada problema encuentre la funcion y = f(x) que satisface la condicion dada:

a) f(x+ 1) = x2 − 3x+ 2.

b) f(x+1x

) = x2 +1x2

con x 6= 0.

c) f(1x

) = x+√

1 + x2 con x > 0.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 4.2 Estudio de Funciones

5. Sean f(x) =1

x2 + 1y g(x) =

x

1 + xfunciones. Sea

P (h) =f(x+ h)− (f g)(x+ h)

(f · g)(x+ h)− f(x+h)g(x+h)

a) Calcule A(h) en funcion de h y x.

b) Calcule A(1) y A(−1).

6. Sea U el conjunto universo. Considere la funcion que a un conjunto finito le asigna el numero de elementos.

a) Escriba esta funcion en terminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada

b) ¿Es biyectiva esta funcion?

7. Considere la funcion que a un elemento de los numeros reales le asigna su valor absoluto.

a) Escriba esta funcion en terminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada

b) ¿Es biyectiva esta funcion?

8. Sea p > 0 y f : [0, p] ⊆ R −→ R una funcion. Se define:

a) La extension par de f como:

Pf (x) =

f(x) , 0 ≤ x ≤ p

f(−x) , − p ≤ x < 0

b) La extension impar de f como:

If (x) =

f(x) , 0 ≤ x ≤ p

−f(−x) , − p ≤ x < 0

Pruebe que la extension par de f es una funcion par, y que su extension impar es una funcion impar.

9. Para a, b, c, d ∈ R considere la funcion definida por:

f(x) =ax+ b

cx+ d

a) ¿Que condiciones deben satisfacer los parametros a, b, c, d ∈ R para que f tenga inversa?

b) Halle el dominio de f−1 y determine una expresion para ella.

c) Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de Mobius. Pruebe que la com-posicion de transformaciones de Mobius es una transformacion de Mobius.

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10. El Seno Hiperbolico de x viene dado por sinhx =ex − e−x

2y el Coseno Hiperbolico viene dado por

coshx =ex + e−x

2. Demuestre las siguientes propiedades:

a) coshx > 0 ∀x ∈ R y sinhx ≥ 0 si y solo si x ≥ 0.

b) El seno hiperbolico es una funcion impar y el coseno hiperbolico es una funcion par.

c) coshx+ sinhx = ex y coshx− sinhx = e−x.

d) cosh2 x− sinh2 x = 1.

e) sinh (x± y) = sinhx cosh y ± coshx sinh y.

f ) cosh (x± y) = coshx cosh y ± sinhx sinh y.

g) Sea n ∈ N, entonces (coshx+ sinhx)n = coshnx+ sinhnx.

11. Una funcion f se dice convexa en I ⊆ R si

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) ∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1]

f se dice concava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R:

a) f(x) = x b) g(x) = |x| c) h(x) = |x|2

Ademas muestre que las funciones lineales son convexas.

12. Sean f(x) = ax+ b y g(x) = cx+ d con a, c 6= 0. Muestre que f · g es convexa si a y c tienen el mismo signo,y si tienen el signo contrario son concavas.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 4.3 Problemas de Modelado

4.3. Problemas de Modelado

1. Una hoja tiene un area de impresion de 25 cm2 rodeados por margenes de 2 cm a cada lado y 4 cm en laparte superior e inferior. Exprese el area total de la hoja.

2. Encuentre el area de un rectangulo inscrito en la semielipse x2 + 4y2 = 4 con y ≥ 0, si un lado debe estarsobre el eje x.

3. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de laton de 6 m delargo y 80 cm de ancho.

4. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en funcion delradio basal la cantidad de material utilizado en su fabricacion.

5. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determine elvolumen del cilindro en funcion de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2.

6. Un rectangulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un vertice en el origen, uno en el eje x positivo,uno en el eje y positivo y su cuarto vertice en el primer cuadrante sobre la recta 2x + y = 100. ¿Cual es elarea maxima de dicho rectangulo?

7. Un hotel que cobra 80 dolares diarios por habitacion hace promociones a grupos que reserven entre 30 y 60habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un dolar por cada cuarto. En estascondiciones ¿cuantas habitaciones producen el ingreso maximo?

8. Un nadador esta en un punto A en la orilla de un estanque circular de centro O, de 200 m de diametro. Elnadador desea llegar a un punto B que esta diametralmente opuesto a el. Para hacerlo, camina hasta el puntoP de la orilla de modo que el angulo AOP = 60, y despues nada en lınea recta de P a B. El nadador caminacon una rapidez de angulo de 50 m/min y nada con una rapidez de 100 m/min. Determine la distanciarecorrida como funcion del tiempo.

9. Un empleado dispone de dos opciones para ocupar un puesto en una empresa de la union europea. En unpuesto le pagan 12, 5 euros en una hora mas 0, 75 euros por unidad producida. En el otro puesto le pagan9, 20 euros en una hora mas 1, 30 euros por unidad producida.

a) Exprese los salarios en una hora en terminos de el numero de unidades producidas para cada una de lasopciones.

b) ¿Como usarıa esta informacion para seleccionar la opcion correcta si su objetivo fuera obtener el mayorsueldo por hora?

10. Considere un alambre de largo L. A una distancia x de uno de sus extremos, al alambre se le hace un cortedejandolo en dos partes. Con una parte se forma una circunferencia. A la otra parte, a un distancia y de unode sus extremos, se le hace un corte dejandolo en dos partes. Con una parte de hace un triangulo equilateroy con la otra un cuadrado.

a) Encuentre una formula, A(x, y), que calcule la suma de las areas.

b) Si y = x, determine el dominio y recorrido de la funcion A(x).

c) Grafique A(x).

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11. Considere la siguiente figura:

a) Encuentre el volumen, V (x), del solido en funcion de la altura x.

b) Determine el dominio y recorrido de V (x).

c) Grafique V (x).


a) Encuentre el area achurada, A(x), en funcion de la base x.

b) Determine el dominio y recorrido de A(x).

c) Grafique A(x).


a) Encuentre el volumen del cono, V (x), en funcion de la altura x.

b) Determine el dominio y recorrido de V (x).

c) Grafique V (x).

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 4.3 Problemas de Modelado

14. Para a, b > 0 considere la siguiente figura:

a) Encuentre el area, A(x), del rectangulo inscrito en el triangulo en funcion de x.

b) Grafique la funcion A(x) cuyo dominio es el intervalo [0, 2a]. ¿Cual es su recorrido?

c) ¿Cual es el area maxima del rectangulo inscrito?

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 5 GEOMETRIA ANALITICA

5. Geometrıa Analıtica

5.1. La Recta

1. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2.

2. Hallar la ecuacion de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepcion con el eje Y es −2.

3. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos C(4, 2) y B(−5, 7).

4. Los vertices de un cuadrilatero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuacion de la recta de suslados.

5. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(−2, 2) yC(3,−4).

6. Hallar la ecuacion de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de interseccion de las rectas2x+ y − 8 = 0 y 3x− 2y + 9 = 0.

7. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos (−3, 1) y (1, 6) pertenezcan a la rectaAx−By + 4 = 0.

8. Halle el valor de la constante k para que la recta kx+ (k−1)y−18 = 0 sea paralela a la recta 4x+ 3y+ 7 = 0.

9. Determine el valor de la constante k para que la recta k2x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta3x− 2y − 11 = 0.

10. Grafique que las rectas 2x− y− 1 = 0, x− 8y+ 9 = 0, 2x− y− 8 = 0 y x− 8y+ 3 = 0, y luego pruebe formanun paralelogramo.

11. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuacion de la recta L es 4x+ 3y = 12. Determinar la distanciadel punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos:

a) Halle la pendiente de L.

b) Halle la ecuacion de la recta L′ que pasa por P y es perpendicular a L.

c) Determine las coordenadas del punto P ′ que es el punto de interseccion entre L y L′.

d) Calcule la distancia entre el punto P y P ′.

12. Hallar la distancia de la recta 4x− 5y + 10 = 0 al punto (2,−3).

13. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x− 4y + 8 = 0 y 6x− 8y + 9 = 0.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 5.1 La Recta

14. Hallar la ecuacion de la recta paralela a la recta 5x+ 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Es unicaesta solucion? Justifique geometricamente.

15. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (3, 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto (−1, 1)es 2√

2. ¿Es unica esta solucion? Justifique geometricamente.

16. Determine el area del triangulo cuyos vertices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(3, 7).

17. Considere el triangulo cuyos vertices son C(−2, 1), L(4, 7) y G(6,−3).

a) Hallar la ecuacion de la recta de sus lados.

b) Determine el valor de sus alturas.

c) Determine su centro de gravedad.

d) Encuentre su area.

e) ¿Que tipo de triangulo es?

18. Hallar el area del triangulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuacion es 5x+ 4y + 20 = 0.

19. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados untriangulo rectangulo de area 5

2 unidades cuadradas.

20. El triangulo ABC con vertice C = (3, 4) tiene un area de 10 cm2. Los otros dos vertices estan sobre la rectaL1 : x−2y = 0. Si se sabe que L2, que pasa por C y tiene pendiente m2 = −2, es una transversal de gravedaddel triangulo ABC, determine los vertices A y B.

21. Demuestre que el area del triangulo formado por el eje Y y las rectas y = m1x + b1 e y = m2x + b2, conm1 6= m2, viene dada por:

A =12

(b2 − b1)2

|m2 −m1|

19


5.2. Conicas

5.2.1. Circunferencia

1. Determine la ecuacion de las siguientes circunferencias:

a) Centro es el punto (2,−6) y su radio es 6.

b) El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un diametro.

c) El centro esta en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1,−1).

d) La circunferencia es tangente a la recta 3x− 4y = 32 y el centro esta en el punto (0, 7).

2. Hallar la ecuacion de las siguientes circunferencias.

a) La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0).

b) La circunferencia pasa por los puntos (2,−2), (−1, 4) y (4, 6).

c) La circunferencia pasa por los puntos (4,−1), (0,−7) y (−2,−3).

3. Halle la ecuacion de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados.

a) x2 + y2 − 2x− 6y − 3 = 0 P0 = (−1, 6)

b) x2 + y2 + 2x− 2y − 39 = 0 P0 = (4, 5)

4. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y2− 3x− 6y+ 10 = 0 y C2 : x2 + y2− 5 = 0 son tangentes. Hallarla ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto en comun y que pasa por el punto (7, 2).Ademas compruebe que el centro de esta circunferencia esta sobre la recta de los centros de C1 y C2.

5. Hallar la ecuacion de la cirunferencia que para por el punto (−10,−2) y por las intersecciones de la circun-ferencia x2 + y2 + 2x− 2y − 32 = 0 y la recta x− y + 4 = 0.

6. Hallar los valores de a ∈ R de modo que la circunferencia de ecuacion x2 + y2 − 2ax + a2 − 1 = 0 y la rectacon interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0):

a) Se corten en un unico punto.

b) Se corten en dos puntos.

c) No se corten.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 5.2 Conicas

5.2.2. Parabola

1. Escriba la definicion de la Parabola como un lugar geometrico y luego deduzca su ecuacion.

2. Hallar la ecuacion de las siguientes parabolas.

a) Vertice en el origen y foco en el punto (3, 0).

b) Vertice en el origen y que tiene como directriz la recta y − 5 = 0.

c) Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x− 1 = 0.

d) Vertice en el punto (2, 0) y foco en el origen.

3. En los siguientes ejercicios lleve la ecuacion a su forma canonica y luego determine: coordenadas del vertice ydel foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto.

a) 4y2 − 48x− 20y = 71

b) 9x2 + 24x+ 72y + 16 = 0

c) y2 + 4x = 7

d) 4x2 + 48y + 12x = 159

e) y = ax2 + bx+ c

4. Hallar la ecuacion de la parabola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8,−4) y (3, 1).

5. Determine la ecuacion de la parabola cuyo vertice esta en el punto (4,−1), como eje la ecuacion y + 1 = 0, yque pasa por el punto (−3, 3).

6. Considere la ecuacion de la parabola y2 = 4px. Demuestre que la ecuacion de la recta tangente a una parabolaen el punto P0(x0, y0) es: y0y = 2p(x+ x0).

7. Determine la ecuacion de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes parabolas:

a) y2 − 4x = 0 P0(1, 2)

b) y2 + 4x+ 2y + 9 = 0 P0(−6, 3)

c) x2 − 6x+ 5y − 11 = 0 P0(−2, 1)

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5.2.3. Elipse

1. Escriba la definicion de la Elipse como un lugar geometrico y luego deduzca su ecuacion.

2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los vertices y focos, la longitud de los ejes mayor ymenor, y finalmente grafique.

a) 9x2 + 4y2 = 36

b) 4x2 + 9y2 = 36

c) 16x2 + 25y2 = 400

d) x2 + 3y2 = 6

3. Hallar la ecuacion de la elipse cuyos vertices son los puntos (4, 0) y (−4, 0), y sus focos son los puntos (3, 0)y (−3, 0).

4. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuacion sabiendo quepasa por los puntos (

√6,−1) y (2,

√2).

5. Hallar la ecuacion de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3−√

3/2) y (−3, 3); y tiene sus ejesparalelos a los ejes coordenados.

6. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuacion a su forma canonica y luego determinar: coordenadasde los vertices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique.

a) x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0

b) 4x2 + 9y2 + 32x− 18y + 37 = 0

c) x2 + 4y2 − 10x− 40y + 109 = 0

d) 9x2 + 4y2 − 8y − 32 = 0

7. Considere la ecuacion de la elipse b2x2 + a2x2 = a2b2. Demuestre que la ecuacion de la recta tangente a unaelipse en el punto P0(x0, y0) es: b2x0x+ a2y0y = a2b2.

8. Determine la ecuacion de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses:

a) 2x2 + 3y2 = 5 P0(1,−1)

b) 6x2 + 2y2 = 14 P0(1, 2)

c) 3x2 + y2 = 21 P0(2, 3)

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 5.2 Conicas

5.2.4. Hiperbola

1. Escriba la definicion de la Hiperbola como un lugar geometrico y luego deduzca su ecuacion.

2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, vertices y centro, longitudes del ladotransverso y conjugado, y finalmente grafique.

a) 9x2 − 4y2 = 36

b) 4x2 − 9y2 = 36

c) 16x2 − 25y2 = 400

d) x2 − 3y2 = 6

3. Determine la ecuacion de las siguientes hiperbolas y luego grafıquelas.

a) Focos en los puntos (−7, 3) y (−1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades.

b) Los vertices de una hiperbola vienen dados por los puntos (2, 0) y (−2, 0), y sus focos son los puntos(3, 0) y (−3, 0).

c) La hierpola pasa por el punto (3,−1), su origen esta en el centro, su eje transverso esta sobre el eje x yla ecuacion de una de sus asıtotas es 2x+ 3

√2y = 0.

d) La hierpola pasa por el punto (2, 3), su origen esta en el centro, su eje transverso esta sobre el eje y y laecuacion de una de sus asıtotas es 2y −

√7y = 0.

4. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuacion a su forma canonica y luego determinar: coordenadasde los vertices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuacion de sus asıntotas yfinalmente grafique.

a) x2 − 9y2 − 4x+ 36y − 41 = 0

b) x2 − 4y2 − 2x+ 1 = 0

c) 9x2 − 4y2 + 54x+ 16y + 29 = 0

d) 3x2 − y2 + 30x+ 78 = 0

5. Considere la ecuacion de la elipse b2x2 − a2x2 = a2b2. Demuestre que la ecuacion de la recta tangente a unahiperbola en el punto P0(x0, y0) es: b2x0x− a2y0y = a2b2.

6. Determine la ecuacion de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hiperbolas:

a) 3x2 − y2 = 2 (1, 1)

b) x2 − 9y2 = 7 (4,−1)

c) x2 − y2 = 5 (3, 2)

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5.3. Lugares Geometricos

1. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x+ y + 1 = 0 es siempre igual a su distancia alpunto (-2,-1). Hallar la ecuacion de su lugar geometrico.

2. Hallar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la rectax− 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto (−1,−3).

3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2,−2) es siempre igual a un tercio de la distanciadel punto (4, 1). Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico.

4. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doblede su distancia de la recta 3x+ 4y − 1 = 0. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico.

5. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que su distanciade la recta x+ 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).

6. Haller e identificar la ecuacion del lugar geometrico del centro de una circunferencia que es siempre tangentea la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y2 = 9.

7. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que su distanciade la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0,−2).

8. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve tal manera que su distancia alpunto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x− 3 = 0.

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6. Numeros Naturales

6.1. Induccion

1. Demuestre que el producto de 3 naturales consecutivos es siempre divisible por 6.

2. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que:

1 + 4 + 7 + . . .+ (3n− 2) =12n(3n− 1)


13 + 23 + 33 + . . .+ n3 =14n2(n+ 1)2


12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 =13n(4n2 − 1)


1 · (5) + 2 · (5)2 + 3 · (5)3 + . . .+ n · (5)n =5 + (4n− 1)5n+1

16

6. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se tiene que:

11 · 2 · 3

+1

2 · 3 · 4+ . . .+

1n(n+ 1)(n+ 2)

=n(n+ 3)

4(n+ 1)(n+ 2)

7. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que [n(n+ 1)]2 es divisible por 4.

8. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que (xn − yn) es divisible por (x− y).

9. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N mayor que 2 y par se tiene que (2n − 1) es divisible por 3.

10. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que 4n3 + 8n es divisible por 12.

11. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que 8n3 + 10n es divisible por 6.

12. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que 32n − 1 es divisible por 8.

13. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.

25

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 6 NUMEROS NATURALES

14. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que 22n+1 − 9n2 + 3n− 2 es divisible por 54.

15. Demuestre que la desigualdad n2 ≥ 6n+ 5 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0.

16. Demuestre que la desigualdad 5n > n2 + 25 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0.

17. Demuestre utilizando induccion que ∀n ∈ N se cumple que n2 + n+ 2 es un numero par.

18. Calcule la suma 3 + 9 + 33 + ... + (22n−1 + 1) y demuestre que ∀n ∈ N la suma de los terminos es siempredivisible por 3.

19. Sea unn∈N una sucesion definida por recurrencia tal que u1 = 0 y un+1 = (1+x)un−nx en donde x ∈ R\0.Probar que un =

1x

[1 + nx− (1 + x)n] ∀n ∈ N.

20. Demuestre utilizando induccion que ∀k ∈ N se cumple que:

11 · 2

+ . . .+1

k · (k + 1)+

1(k + 1) · (k + 2)

=k + 1k + 2


n∑k=1

(k + j − 1

j

)=(n+ j

j + 1

)

22. Considere que una funcion f : R → R tiene la propiedad f(xy) = f(x) + f(y). Demostrar por induccion quef(an) = nf(a) ∀n ∈ N.

23. Demuestre que para todo numero natural mayor o igual que 2 se cumple1√1

+1√2

+1√3

+ · · ·+ 1√n>√n

24. Demuestre que para todo numero natural n vale la siguiente desigualdadn

2< 1 +

12

+13

+ · · ·+ 12n − 1

≤ n.

25. Sea unn∈N la sucesion de Fibonacci. Es decir u1 = 1, u2 = 1 y un+1 = un + un−1 para n = 2, 3, . . .

a) Calculen∑k=1

uk.

b) Demuestre que un+2 · un = u2n+1 + (−1)n+1.


n∑k=0

(−1)k(nk

)(k + 2)(k + 3)

=1

(n+ 2)(n+ 3)

26

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 6.2 Sumatorias

6.2. Sumatorias

1. Calcule las siguientes sumatorias.

a)n∑k=1

k b)n∑k=1

k2 c)n∑k=1

k3 d)n∑k=1

k4

2. Calcularn∑k=1

f(k) si:

a) f(k) = 2k−1 + 8k3 − 6k2 b) f(k) = k3 +32k

3. Si para k = 1, . . . , 200 se tiene que ak viene dado por

ak =

( 13 )k , k = 1, . . . , 99

(k + 1)2 , k = 100, . . . , 200

calcule200∑k=1

ak

4. Calculen∑k=1

2k − 1k(k + 2)2

usando la identidad:

32

n∑k=1

1k(k + 2)2

=14

(32− 2n+ 3

(n+ 1)(n+ 2)

)

Ayuda: 2k − 1 = 2k − 1 + k2 + 2k + 5− k2 − 2k − 5


a)n∑k=1

k

(k + 1)!b)

n∑k=1

1k2 + 2k

c)n∑k=1

kak , a 6= 1

d)n∑k=1

k · 2k

(k + 2)!e)

n∑k=1

k · (k!) f)n+1∑k=1

(k + 1)(−3)k

g)n+1∑k=1

k + 2k(k + 1)

(12

)kh)

n∑k=1

k4 + k2 + 1k4 + k

i)n∑k=1

1√k(k + 1)(

√k + 1 +

√k)

j)n∑k=1

(n

k

)(−1)k

k + 1k)

n∑k=1

k + 2k(k + 1)2k

l)n∑k=0

(n

k

)(−1)k

(k + 1)(k + 2)

27



a)n∑k=0

(n

k

)2

b)n∑k=1

√1 +

1k2

+1

(k + 1)2c)

n∑k=1

(k2 + 1)k!

d)n∑k=1

2kk4 + k2 + 1

e)n∑k=1

1k(k + 1)

f)m∑k=n

log (1 +1k

)

g)n∑k=0

(−1)k(n− k)!(n+ k)! h)n∑k=1

2k + 1k2(k + 1)2

i)n∑k=1

(n

k

)(a+ bk)

j)n∑k=1

(n

k

)k2

7. Sea x =1n

n∑k=1

xk. Demuestre que ∀n ∈ N vale la siguiente identidad:

n∑i=1

((xi − x)2 + xi(x− 1)) =n∑i=1

x2i − nx

28

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 6.3 Progresiones Aritmeticas y Geometricas

6.3. Progresiones Aritmeticas y Geometricas

1. Determine x de modo que los numeros 7, x y 252 sean tres terminos consecutivos de una progresion geometrica.

2. Una expedicion avanza 20 km el primer dıa, de ahı en adelante, cada dıa avanza 4 km mas que el dıa anterior.¿Cuantos dıas demoran en avanzar 504 km?

3. En cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. ¿Cuantas veces el numero original de bacteriashay en el cultivo al cabo de 2 horas? Suponga que ninguna bacteria muere.

4. El primer dıa se entrena 7 minutos y cada dıa siguiente se entrena el doble que el dıa anterior. ¿Cuanto tiempose habra entrenado en una semana?

5. Sea Sn la suma de los n primeros terminos de una progresion aritmetica. Encuentre los primeros cuatro

terminos si se sabe que Sn =n2

4− n.

6. Si a, b, c y d son numeros que estan en progesion geometrica, demuestre que (b−c)2+(c−d)2+(d−b)2 = (a−d)2.

7. En un cırculo de radio R se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un cırculo, y en este cırculose inscribe un cuadrado; ası sucesivamente. ¿Cual es el lımite de las sumas de las areas de los cuadrados y delos cırculos?

8. De tres numeros, que forman una progresion geometrica, el tercero es el 12. Si el 12 es reemplazado por 9, lostres numeros forman una progresion geometrica. Encuentre los dos numeros restantes.

9. Utilizando progresiones demuestre que

xn + xn−1y + xn−2y2 + . . .+ xyn−1 + yn =xn+1 − yn+1

x− y

10. En una progresion geometrica los tres primeros terminos suman −6. Si al segundo termino se le resta 9 resultauna progresion aritmetica. Determinar ambas progresiones.

11. Suponga que la suma de una progresion aritmetica es igual tanto para p elementos como para q elementos.Demostrar que la suma de p+ q elementos es cero.

12. Determinar tres numeros reales de modo que esten en progresion geometrica y que su producto sea 2744; yque si al primer numero se le resta 1, al segundo se le resta 2 y al tercero se le resta 4, se obtiene una nuevaprogresion geometrica.

13. Sean a1, . . . , an y b1, . . . , bn dos progesiones aritmeticas con diferencias d1 y d2 respectivamente. Si sabe-mos que

n∑i=1

ai = 2n∑i=1

bi

¿Que relacion hay entre d1 y d2?

29


14. La suma de cuatro numeros, que estan en progresion aritmetica, es 48. Si el producto de los extremos es alproducto de los medios como 27 es a 35, determine los numeros.

15. Encuentre tres numeros que esten en progresion aritmetica tales que sumen 24 y que su producto sea 440.

16. En una progresion aritmetica, los terminos que ocupan los lugares 54 y 4 son −61 y 64 respectivamente. Hallarel primer termino de la progresion, la razon y el termino que ocupa el lugar 23.

17. Considere una progresion aritmetica cuyo primer termino es a. Si la suma de los primeros p terminos es cero,

demuestre que la suma de los q terminos siguientes esa · q · (p+ q)

1− p.

18. El termino de lugar p de una progresion aritmetica es q, y el termino de lugar q es p. Hallar el termino delugar n.

19. Para cada n ∈ N, las sumas de los primeros n terminos de dos progresiones aritmeticas estan en la razon de(7n+ 1) : (4n+ 27). Hallar la razon de los terminos que ocupan el lugar 11.

20. En una progresion geometrica el primer termino es 7 y el ultimo termino es 448. Si la suma de los terminoses 889 ¿cual es la razon?

21. Hallar tres numeros cuya suma sea 21 y que esten simultaneamente en progresion aritmetica y geometrica.

22. Tres numeros estan en progresion geometrica. Si al segundo numero se le aumenta en 8 los numeros quedanen progresion aritmetica; pero si en esta, al ultimo numero se le aumenta en 64, la progresion vuelve a sergeometrica. Determinar los numeros.

23. Sean a, b ∈ R. Suponga que los numeros x1, . . . , xn forman una progresion aritmetica tal que:

x1 + . . .+ xn = a

x2n + . . .+ x2

n = b2

a) Exprese a y b en terminos de x1,n y a.

b) De la parte anterior obtenga la progresion aritmetica.

30

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 6.4 Teorema del Binomio

6.4. Teorema del Binomio

1. Para n, k ∈ N tal que n ≥ k se tiene que(n

k

)=

n!k!(n− k)!

. Sean n,m, k ∈ N de modo que m ≥ n ≥ k.

Demuestre las siguientes propiedades:

a)(n

0

)= 1.

b)(

m

n+ 1

)=m− nn+ 1

(m

n

).

c)(

n

k − 1

)+(n

k

)=(n+ 1k

).

d)(m+ 1n+ 1

)=m+ 1n+ 1

(m

n

).

Observacion: Recuerde que 0! = 1.

2. Determine el sexto termino en el desarrollo de (x2

2− x

3)8.

3. Determine, si es que existe, el coeficiente de x18 en el desarrollo de (x2 +2x

)15.

4. Calcule el termino independiente de x y el termino central, en caso de que existan, del binomio (x− 1x2

)9.

5. Obtenga el coeficiente de x8 en el desarrollo de (1 + x2 − x3)9.

6. Determine el coeficiente de x5 en el desarrollo de (1 + x+ x2)10.

7. Sea n ∈ N. Determine el coeficiente de x4 en (1 + x)(1− x)n.

8. Sea n ∈ N. Determine el coeficiente de xn en (1− x+ x2)(1 + x)n.

9. Determine la suma de todos los coeficientes del polinomio con respecto a la variable x que resulta de laexpansion binomial de (3x− 4)17.

10. En caso de existir, obtenga el coeficiente x7 en el desarrollo de (2x3

+ x+ x3)8.

11. Si es que existe, determine el coeficiente del termino independiente de x en el desarrollo de ( 3√x+

1x

)6.

12. Determine si existe un valor de n ∈ N para que los cuartos terminos en los desarrollos de (x2 +1x

)n y

(x3 +1x2

)n coincidan.

31


13. Encuentre el valor de n ∈ N para que los terceros terminos en los desarrollos de (x2 +1x2

)3n y (x+1x2

)3n

coincidan.

14. Demuestre quen∑k=0

[(n

k

)+ (−1)k

(n

k

)]= 2n.

Indicacion: Considere el Teorema del Binomio.

15. Determine una relacion entre a y n de modo que en el desarrollo de (1+a)n aparezcan dos terminos consecutivosiguales.

16. Determine los numeros C y L de manera que para todo numero natural se tenga que

n3 = 6(n

3

)+ C

(n

2

)+ L

(n

1

)

17. Sean a, b, c ∈ R y n ∈ N. Encontrar una formula para el desarrollo de (a + b + c)n ocupando el Teorema delBinomio y las propiedades de sumatoria.

18. Se tiene que (1 + 2x)(1 + x2)n = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + . . . + a2n+1x2n+1. Demuestre que si a0, a1, a2

estan en progresion geometrica entonces n = 4.

32


7. Numeros Reales

7.1. Axiomas de Cuerpo

1. El trıo (R,+, ·) es llamado cuerpo puesto que se satisfacen los siguientes axiomas:

Axioma Suma Multiplicacion

Asociatividad (x+ y) + z = x+ (y + z) (x · y) · z = x · (y · z)

Conmutatividad x+ y = y + z x · y = y · x

Distributividad x · (y + z) = x · y + x · z (x+ y) · z = x · z + y · z

Elemento Neutro x+ 0 = 0 + x = x x · 1 = 1 · x = x

Elemento Inverso x+ (−x) = 0 = (−x) + x x · x−1 = 1 = x−1 · x

En donde ”0” representa el elemento neutro para la suma y ”1” el elemento neutro para la multiplicacion;”(−x) = x” el elemento inverso para la suma de un x ∈ R y ”x−1 = 1/x” el elemento inverso para lamultiplicacion de un x ∈ R.

Sean a, b, c ∈ R. Utilizando los axiomas de cuerpo en los numeros reales demuestre:

a) Si a+ b = a+ c ⇒ b = c. En particular el elemento neutro para la suma es unico.

b) b− a = b+ (−a).

c) −(−a) = a.

d) a(b− c) = ab− ac.e) 0 · a = a · 0 = 0.

f ) Si ab = ac y a 6= 0 ⇒ b = c. En particular el elemento neutro para la multiplicacion es unico.

g) Si a 6= 0 entonces (a−1)−1 = a.

h) Si ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0.

i) (−a)b = −(ab) = a(−b).

2. Sean a, b, c ∈ R. Utilizando los axiomas de cuerpo en los numeros reales demuestre:

a) −0 = 0 y 1−1 = 1

b) 0 no tiene elemento inverso multiplicactivo.

c) Si a 6= 0 entonces la ecuacion ax+ b = c tiene solucion unica de la forma x =c− ba

.

d) Si a, b 6= 0 entonces (ab)−1 = b−1a−1.

e) (−a)2 = a2 y (−a)3 = −a3.

33

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 7 NUMEROS REALES

3. Suponga que se define la operacion ∗, en el conjunto de los numeros naturales N, definido por x ∗ y = xy.¿Esta operacion satisface el axioma de asociatividad? ¿Y el axioma de conmutatividad?.

4. Sea G un conjunto no vacıo y considere la operacion ∗ : G × G −→ G. El par (G, ∗) es llamado grupo si sesatisfacen los siguientes axiomas:

a) ∀a, b, c ∈ G se cumple que (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).Esto quiere decir que la operacion ∗ es asociativa en G.

b) ∃ e ∈ G tal que ∀x ∈ G se cumple que e ∗ x = x ∗ e = x.Esto quiere decir que ”e” es el elemento neutro de G.

c) ∀a ∈ G ∃ a ∈ G tal que a ∗ a = a ∗ a.Esto quiere decir que ”a” es el elemento inverso de un a ∈ G.

Ademas si ∀x, y ∈ G se cumple que x ∗ y = y ∗ x (esto quiere decir que la operacion ∗ es conmutativa en G)entonces al grupo se le llamara grupo conmutativo o grupo abeliano.

Como ejemplo se tiene que (R,+) y (Z,+) son grupos abelianos, sin embargo, (N,+) y (Z, ·) no son grupos.

Sea (G, ∗) un grupo y a, b, c ∈ G. Demuestre que:

a) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c y b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c.

b) El elemento neutro e inverso son unicos.

c) Las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen solucion unica en G.

5. Considere el par (Q \ 0, ∗) con x ∗ y =x · y

3∀x, y ∈ Q \ 0. Muestre que (Q \ 0, ∗) es un grupo abeliano.

6. Sea Q[√

2] = a+√

2b / a, b ∈ Q. ¿(Q[√

2], ·) es un grupo?

7. Sea U el conjunto universo. Muestre que (U ,4), en donde 4 es la diferencia simetrica de conjuntos, es ungrupo abeliano.

8. Sea B el conjunto de todas las funciones biyectivas. Muestre que (B, ), en donde es la composicion defunciones, es un grupo.

34

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 7.2 Axiomas de Orden

7.2. Axiomas de Orden

1. El conjunto de los numeros positivos, R+, verifica los axiomas de orden, los cuales son:

Axioma

Si x, y ∈ R+ ⇒ x+ y ∈ R+

Si x, y ∈ R+ ⇒ x · y ∈ R+

∀ x ∈ R+ se cumple que x ∈ R+ Y −x ∈ R+ Y x = 0

Para x, y ∈ R podemos decir que:

Nomenclatura Condicion Notacion

x es igual a y x = y x = y

x es menor que y y − x ∈ R+ x < y

x es menor o igual que y x = y ∨ y − x ∈ R+ x ≤ y

x es mayor que y = x− y ∈ R+ x > y

x es mayor o igual que y x = y ∨ x− y ∈ R+ x ≥ y

Sean a, b, c, d ∈ R. Muestre que:

a) a ≤ b ∧ c ∈ R⇒ a+ c ≤ b+ c.

b) a ≤ b ∧ c ∈ R+ ⇒ ac ≤ bc.

c) a ≤ b ∧ −c ∈ R+ ⇒ ac ≥ bc.

d) a ≤ b ∧ c ≤ d⇒ a+ c ≤ b+ d.

e) a ≤ b ∧ c ≤ d⇒ ac ≤ bd.

2. Demuestre las siguientes desigualdades.

a) Si a ≥ b con a > 0 ∧ b > 0 ⇒ an ≥ bn ∀ n ε N.

b) Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≤ bm ∀ n = par ε N.

c) Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≥ bm ∀ n = impar ε N.

35


7.3. Desigualdades

1. Sean a, b, c > 0. Demuestre que2aba+ b

+2aca+ c

+2bcb+ c

≤ a+ b+ c.

Indicacion: Primero muestre que2aba+ b

≤ a+ b

2.

2. Sean a, b, c > 0. Demuestre que 8abc ≤ (a+ b)(b+ c)(c+ a).

Indicacion: Primero muestre que a+ b ≥ 2√ab.

3. Si a+ b = 1 pruebe que:

a) ab ≥ 1/4.

b) a2 + b2 ≥ 1/2.

c) a4 + b4 ≥ 1/8.

4. Sean ∀x, y, z ∈ R+. Muestre que:

a)2xyx+ y

+2xzx+ z

+2yzy + z

≤ x+ y + z.

b)x+ y + z

3≥ 3√xyz ≥ 3

1x + 1

y + 1z

.

c) ∀x, y, z ∈ R+. Muestre que x+1x≥ 2.

d)1x

+1y>

2x+ y

.

e)x+ y

2≥ √xy ≥ 2

1x + 1

y

. ¿Cuando se obtiene la igualdad?

5. Considere los numeros a1, . . . , an y b1, . . . , bn y la funcion

f(x) =n∑k=1

(akx+ bk)2 ≥ 0

Muestre que

0 ≤ f(x) = x2

(n∑k=1

a2k

)+ x

(2

n∑k=1

akbk

)+

(n∑k=1

b2k

)y que solo toma valores en R+

0 . Utilizando este resultado concluya que

(a1b1 + . . .+ anbn)2 ≤ (a21 + . . .+ a2

n)(b21 + . . .+ b2n)

Observacion: Es un caso especial de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

36

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 7.3 Desigualdades

6. Utilizando el resultado anterior demuestre las siguientes desigualdades.

a) Desigualdad del Cuadrilatero:

(ab+ cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2)

b) Desigualdad de Nesbit:a

b+ c+

b

a+ c+

c

a+ b>

32

a, b, c > 0

c) Sean a1, a2, ..., an ≥ 0, definimos la Media Aritmetica (A) y la Media Cuadratica (C) como:

C =

√a1

2 + a22 + ...+ an

2

n, A =

a1 + a2 + ...+ ann

Demuestre que C ≥ A.

d) Lema de Tittu: Sean x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn numeros reales positivos. Entonces se cumple:

x12

y1+x2

2

y2+ ...+

xn2

yn≥ (x1 + x2 + ...+ xn)2

y1 + y2 + ...+ yn

7. Sean x, y, z numeros reales, todos diferentes de 1, tales que xyz = 1. Pruebe que:

x2

(x− 1)2+

y2

(y − 1)2+

z2

(z − 1)2≥ 1

Indicacion: Haga cambios de variables adecuados.

37


7.4. Inecuaciones

1. Resuelva las siguientes inecuaciones en el campo de los numeros reales.

a) 2x− 8 ≥ 18 b) x2 − 3x+ 8 ≥ 1 + 5x

c) 2x2 − 12x+ 5 ≤ x(x− 8) d)√

28− 4x2 < x2 + 1

e)√x+ 14 > x+ 2 f)

√2x+ 29 > x− 3

g)x− 1x+ 5

≥ 0 h)x

x+ 2− x− 1x2 − 4

≤ x− 2x+ 2

i) |x− 3| ≥ 7 j) |x− 5| ≤ −4

k) |x− 3| <√x2 − 1 l)

√4− |x+ 1| ≤ 1

m) |x|+ |x− 5| < |x− 9| n)√|2x− 1| − 4 < x− 2

o)

√x2 − 2x+ 1x2 + 2x+ 1

≤ x− 1 p) |x2 + 6x− 8| ≥ 1

q) |2x− 3|+ |6− 4x| ≤ |x2 + 2| r) |x+ 2| > x− |x− 1|

2. Resuelva las siguientes inecuaciones en el campo de los numeros reales.

a)√−x2 + 9 ≥ −5 b)

√x2 − x− 2 ≤ x

c) x− 1 ≤√x2 − 1 d)

x− 2x2 + 7x+ 12

≥ 0

e)2x2 + x+ 3x3 − x

> 0 f)3

x+ 4+

12x− 5

< −1

g)(3− 2x)(x+ 5)(x2 − 25)(x+ 1)

> 0 h)(x2 + 1)

√x− 1

x2 − 7x+ 10< 0

i)(x2 + 11x+ 24)

√x− 6

(x2 + 7)(x− 1)≥ 0 j)

1 + |2x− 3||x+ 5|

< 1

k)x2 + x+ 8

1−√|x| − 3

≥ 0 l)√|3x− 1| − 2 < |6x− 5| − 4

m)x− 2− x2

|x| − x2> 0 n)

(x− 3)2(√

1− |x− 3| −√

4− |x|)x2 + x+ 1

≤ 0

o)

√(x− 2)4(x2 − 9)

(x− 1)(x2 + x+ 1)≤ 0 p)

x2 − 3x+ 2|x− 1|

≤ 0

q)x2 − |x− 2| − 4|x− 2|

> 0 r)|x− 1| − |x+ 1||x2 − 1|

≤ |x− 1|x+ 1

38

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 7.4 Inecuaciones

3. Considere la ecuacion cuadratica x2 + (2k + 1) + k(k + 9) = 0. Determine k tal que la ecuacion tenga:

a) Raıces reales distintas.

b) Raıces reales iguales.

c) No tenga raıces reales.

4. Considere las inecuaciones x2 − 5x+ 6 ≤ 0 y |x− a| ≤ 0. ¿Que valores deben tener las constantes a y b paraque el conjunto de solucion de ambas inecuaciones sean la misma?

5. Sea f(x) = |x− 2| − |x− 6| − |x− 10|.

a) ¿Para que valores de x ∈ R f(x) > 0?

b) ¿Para que valores de x ∈ R f(x) < 0?

c) Encuentre las raıces de f(x).

39


7.5. Polinomios

1. Sea p(x) = x4 + bx3 − 13x2 − 14x+ 24.

a) Determinar b ∈ R de modo que −2 sea raız de p(x).

b) Determinar las otras raıces del polinomio encontrado en a).

2. Considere el polinomio p(x) = (k − 3)x3 − 3(k − 1)x2 + 8kx− 6k.

a) Demuestre que x = 1 es una raız de p(x).

b) Encuentre los valores de k ∈ R de modo que todas las raıces de p(x) sean reales.

3. Encuentre las raıces y a factorizacion en factores de primer grado de p(x) = x4 − 3x2 + 2x.

4. Dividir (x3 + 2x+ 3) por (2x2 − 3x+ 1) indicando el cuociente y el resto.

5. Dividir (3x3 − 4x+ 2) por (x+ 3) indicando el cuociente y el resto.

6. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por division sintetica, que el valor indicado para x0 esraız de la ecuacion, y determine las otras raıces reales, si es que existen.

a) 4x3 + 3x2 − 5x− 2 = 0 , x0 = 1.

b) x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0 , x0 = −2.

c) 2x3 − 11x2 + 17x− 6 = 0 , x0 = 2.

7. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por division sintetica, que el valor indicado para x0 esraız de la ecuacion, y determine las otras raıces reales, si es que existen.

a) x3 − 7x2 + 13x− 3 = 0 , x0 = 3.

b) x3 + 3x2 − 2x− 4 = 0 , x0 = −1.

c) x3 − 7x2 + 12x− 10 = 0 , x0 = 5.

8. ¿Para que valores de P y G el polinomio 3x2 +Gx−G2−P es divisible por x+ 2, pero al dividirlo por (x−1)da resto 1?

9. Sabiendo que x1 = 1/2 y x2 = −1/2 son raıces de la ecuacion 4x4 + ax3 + bx2 + 5x − 4 = 0, determine susotras raıces.

10. Sea p(x) = 2x5 + 10x4 − 14x3 − bx2 + ax. Si p(1) = p(−5) = 0, escribir p(x) como producto de factores deprimer grado.

11. Determine los valores de k ∈ R para los cuales el polinomio p(x) = 2k2x3 + 3kx2 − 2 es divisible por (x− 1)y tiene solo raıces reales.

40

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 7.5 Polinomios

12. Sea p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d con a, b, c, d ∈ Q, tal que p(0) = 2b, al dividirlo por (x + 1) tiene restoigual a (4a+ c) y

√2 es un cero. Resuelva p(x) = 0.

13. Determine K ∈ R de manera que las raıces de la ecuacion x3+3x2−6x+K = 0 esten en progresion aritmetica.

14. Resuelva la ecuacion 4x3 − 24x2 + 23x+ 18 = 0 sabiendo que las raıces estan en progresion aritmetica.

15. Muestre que la ecuacion cuartica x4 + 5x3 + 4x2 − 5x + 1 = 0 puede ser llevada a la forma y2 + 5y + 6 = 0con el cambio de variable y = x − x−1 (siempre y cuando x 6= 0). Resuelva la ecuacion 2x8 − 3x7 − 12x6 +12x5 + 22x4 − 12x3 − 12x2 + 3x+ 2 = 0.

16. Suponga que a, b, c ∈ R de modo que a 6= b, ambos no nulos.

a) Muestre que si a y b son ambos positivos o negativos, entonces la ecuacionx

x− a+

x

x− b= 1 tiene dos

soluciones reales distintas.

b) Muestre que la ecuacionx

x− a+

x

x− b= 1 + c tiene exactamente una solucion real si c2 = − 4ab

(a− b)2.

41

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 8 TRIGONOMETRIA

8. Trigonometrıa

8.1. Operatoria

1. Encuentre el valor exacto de:

1) sin(15) 2) cos(75) 3) tan(135)

4) cos( π12 ) 5) tan( 5π12 ) 6) sin(255)

2. Se tiene que α esta en el segundo cuadrante y β esta en el tercer cuadrante. Calcule las siguientes expresionessabiendo que cosα = −4/5 y sinβ = −12/13.

1) sin(α+ β) 2) cos(α− β)

3) tan(α+ β) 4) sin(2α)

3. Si cosα = 1/3 y α esta en el cuarto cuadrante determine:

1) sin(α/2) 2) cos(α/2)

3) tan(π − α/2) 4) sin(π/3 + α)

4. Escribir las siguientes funciones en la forma A sin (ωx+ ϕ). ¿Cual es el valor maximo y mınimo que puedetomar la funcion?, ¿en que puntos sucede esto?. Grafique.

a) f(x) =√

32 cosx+ sin(x+ π/3) b) g(x) = cos(π − 2x)−

√3 cos(2x+ π

2 )

c) h(x) = cos (2x) + 2 cos(x) cos(x− π2 ) d) f(x) = cos

(2x+

π

3

)+ sin

(3x2− π

4

)

5. Demuestre las siguientes identidades.

1) sin(arc cosx) =√

1− x2 2) sin(arctanx) =x√

x2 + 1

3) cos(arcsinx) =√

1− x2 4) tan(arcsinx) =x√

1− x2

Indicacion: Construya un triangulo adecuado.

42

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 8.2 Identidades Trigonometricas

8.2. Identidades Trigonometricas


a) sin2 x+ cos2 x = 1 b) sin (2p) = 2 sin p cos p

c) cos (2p) = cos2 p− sin2 p d) tan (2p) =2 tan p

1− tan2 p

e) cos2 (x

2) =

12

+12

cosx f) sin2 (x

2) =

12− 1

2cosx

g) 2 sinα cosβ = sin (α+ β) + sin (α− β) h) 2 cosα cosβ = cos (α+ β) + cos (α− β)

i) 2 sinα sinβ = cos (α− β)− cos (α+ β) j) cos 3x = 4 cos3 x− 3 cosx

k) tanα+ cotα = secα cscα l) sec2 x+ csc2 x = sec2 x csc2 x

m) sin2 α+ tan2 α =1− cos4 α

cos2 αn)

cos θ1− sin θ

− 1− sin θcos θ

= 2 tan θ

o)1

1 + sinα+

11− sinα

= 2 sec2 α p) (tan θ + sec θ)2 =1 + sin θ1− sin θ

q) csc4 θ − cot4 θ = csc2 θ(sin2 θ + 2 cos2 θ) r) sec2 x csc2 x = (tanx+ cotx)2


a) tan(x

2

)+ cot

(x2

)= 2 cscx b) sin4

(x2

)+ cos4

(x2

)= 1− 1

2sin2 x

c) cos4 x =38

+12

cos 2x+18

cos 4x d)1− tan2 ϕ

1 + tan2 ϕ= cos (2ϕ)

e)1 + sinβ − cosβ1 + sinβ + cosβ

= tan(β

2

)f) (1 + tan2 x)(1− sin2 x) = 1

g)tan2 α

1 + tan2 α· 1 + cot2 α

cot2 α= sin2 α sec2 α h) (1− sinC + cosC)2 = 2(1− sinC)(1 + cosC)

i) (sec θ + tan θ − 1)(sec θ − tan θ + 1) = 2 tan θ j)tanα− cotβtanβ − cotα

= tanα cotβ

k) tan2 α+ sec2 β = tan2 β + sec2 α l)tanα+ cotβtanβ + cotα

=tanαtanβ

m) cotα tanβ(tanα+ cotβ) = cotα+ tanβ n) sin2 α cos2 β − cos2 α sin2 β = sin2 α− cos2 β

o)sin (α+ β)cosα cosβ

= tanα+ tanβ p) cos (α+ β) cos (α− β) = cos2 α− sin2 β

q) sin (α+ β) sin (α− β) = cos2 α− cos2 β r) sin (α+ β) sin (α− β) = sin2 α− sin2 β

43



a) cot 2x =cos 7x− cos 5x+ cos 3x− cosxsin 7x− sin 5x− sin 3x+ sinx

b)(

sinα

2+ cos

α

2

)2

+1 + cos(−2α)

1 + sin(2α− π

2

) = 1 + cos(α− π

2

)+ cot2 α

c) cos (α+ β) + sin (α− β) = (cosα+ sinα)(cosβ − sinβ)

d) cos (α− β)− sin (α+ β) = (cosα− sinα)(cosβ − sinβ)

4. Determine A y B de modo que sin3 x = A sinx+B sin 3x sea una identidad en R

5. Muestre que si cos(α+ β) = 0 entonces sin(α+ 2β) = sinα

6. Muestre que si α y β son angulos complementarios entonces (sinα+ sinβ)(cosα+ cosβ) = 1 + sin 2α

7. Si α+ β =π

2entonces cosα+ sinα =

√2 cos

(α− β

2

)

44

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 8.3 Ecuaciones Trigonometricas

8.3. Ecuaciones Trigonometricas

1. Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) cos 2x =12

cosx− sin2 x b)√

3 sin 3x− cos 3x =√

3

c)1− tanx1 + tanx

= 1 + sin 2x d) sin4(x

3

)+ cos4

(x3

)=

58

e)[sin(x

2

)+ cos

(x2

)]2+ 1 = 0 f) sin 2x+ sin 4x = cos 4x+ cos 6x

g) tan3 x− 3 secx = 0 h) secx+ sec 2x+ secx sec 2x = 0

i) 2 sinx cos 2x− sinx+ 4 cos 2x− 2 = 0 j) 2 sin(x

2

)cot (2x)− 2

√3 sin

(x2

)= cot (2x)−

√3

k) sin3 x+ cos3 x = 1− 12

sin 2x l) 2 sin (2x)− 1 = 0

m) 2 sin2 x− 1 = 0 n)√

3 sinx− secx cos2 x = 0

o) 3 tan3 x+ 3 tan2 x+ tanx+ 1 = 0 p) tan4 x− 9 = 0

q) sin3 x+ cos3 x = 0 r) 3 sec2 x = 4 tan2 x

2. Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) tan(x+

π

4

)= 1 + tanx b) 2 sin2 x− cosx− 1 = 0

c) tan2 x+ sec2 x = 7 d) tan(x

2

)= sinx

e) cot(x

2

)+ sinx = 0 f) cos2

(x2

)− sin2

(x2

)= cos2 x

g) 4 cos2(x

2

)− 2 =

√3 h) 2 cos2 (2x)− sin (2x)− 1 = 0

i) sin (3x) cosx− cos (3x) sinx+ 1 = 0 j) cos (3x) cosx+ sin (3x) sinx = 0

k) cos (3α) +√

3 sin (3α) =√

3 l)12− cosx+

12

tan (3x)− tan (3x) cosx = 0

m)√

22− cosx−

√2

2sin (2x) + sin (2x) cosx = 0

3. Si x+ y = π/2, resuelva la ecuacion trigonometrica sin (x− y) = 2 sinx sin y.

45


8.4. Problemas con Enunciado

1. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el angulo de elevacion de la parte superior de unedificio es de 30. Avanza 100 m hacia el edificio y el angulo de elevacion es el doble que el primero. Calculela altura del edificio.

2. Un observador determina que el angulo de elevacion de una torre es α. Avanza a m hacia la torre y el angulode elevacion queda en 45. Avanza b m y el angulo de elevacion queda en 90 − α. Determine la altura de latorre en terminos de a y de b. Suponga que a 6= b.

3. Un cohete de h m de longitud esta en su plataforma de lanzamiento a d m de distancia de un observador. Lavisual del observador a la punta del cohete hace un angulo α con la horizontal. Poco despues del lanzamientoen tiro vertical, la visual al mismo punto del cohete hace un angulo β con la horizontal. Muestre que ladistancia s que ha recorrido el cohete viene dado por:

s =d sin(α− β)cosα cosβ

4. Si se observa la cima de una montana desde un punto P se tendra que el angulo de elevacion es α, y si es vistadesde un punto Q que esta a d metros de P , el angulo de elevacion sera β. Exprese la altura de la montana hen terminos de d, α, β y el seno de estos angulos.

5.

Un canal de regadıo de largo 100 m tiene una seccion transversalcomo se muestra en la figura; en donde los parametros C,L > 0y θ ∈ ] 0, π2 [. Encuentre el volumen de agua que puede tener elcanal en funcion de sus parametros y del angulo θ.

6. Determine el valor exacto de sen γ

7. Un helicoptero se halla suspendido a una altura de 3400 m de altura sobre la cumbre de una montana quetiene 1730 m de altura. Desde la cima de dicha montana, y desde el helicoptero, puede verse la cuspide deotra montana mas alta que la anterior; y desde el helicoptero el angulo de depresion es de 45. Desde la cimade la primera montana el angulo de elevacion es de 30.

a) Determine la distancia entre las cimas de las montanas.

b) Calcule la altura de la montana mas alta.

46

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 8.4 Problemas con Enunciado

8. Un poste y una antena se encuentran a una distancia D en un camino horizontal. Del pie del poste se mide elangulo de elevacion de la antena y del pie de la antena el del poste, encontrandose que el primer angulo es eldoble del segundo. Si un observador se ubica en el punto medio M del trazo que una las bases del poste y dela antena, observa que los angulos de elevacion medidos desde M al poste y a la antena son complementarios.Calcular la altura de la antena y del poste.

9.

La alturaH de la torre de la figura es desconocida. Se conocen los angulosde elevacion α y β medidos desde dos puntos A y B del suelo, separadospor una distancia de L y formando con la base de la torre un angulo γ.Dado que la torre es vertical con respecto al suelo calcule H en terminosde L, α, β y γ cuando α 6= β y luego cuando α = β.

10.El paralelogramo de la figura tiene perımetro 2p. Su diagonal mide d, cond < p y α ∈ ] 0, π [. Muestre que el area del paralelogramo viene dado porA = xy sinα = p2−d2

2 tg(α2 ).

11. Un edificio de 10 pisos de A m de altura cada uno, esta ubicado al borde de una avenida. El angulo subtendidopor los dos pisos inferiores es equivalente al angulo subtendido por los tres pisos superiores. Calcular el anchode la avenida.

12. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el angulo de elevacion de la parte superior de unedificio es de φ. Avanza 110 m hacia el edificio y el angulo de elevacion se duplica. Luego avanza otros 50 mmas y ve que el angulo de elevacion triplica al angulo de elevacion inicial. Determine la altura del edificio.

13.

Se intenta mover un tubo de largo L de un corredor de ancho a aun corredor de ancho b, con a 6= b. Los corredores se encuentranen angulos rectos, como se ve en la figura, y el tubo no se dobla.Muestre que se lograra mover el tubo si se cumple que

L ≤ a csc θ + b sec θ

en donde θ satisface tan3 θ =a

b.

47


14.

Se intenta mover una mesa rectangular, de ancho w y largo l, deun corredor de ancho a a un corredor de ancho b, con a 6= b. Loscorredores se encuentran en anguls rectos, como se ve en la figura.Muestre que se lograra mover la mesa si se cumple que

l ≤ a cscβ + b secβ − 2w csc 2β

en donde β satisface w =(a− b tan3 β

1− tan2 β

)cosβ.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 8.5 Miscelaneo

8.5. Miscelaneo

1. Considere un 4ABC. Demuestre que se cumple lo siguiente:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosαb2 = a2 + c2 − 2ac cosβc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

⇔ sinαa

=sinβb

=sin γc

2. Sean α,β y γ los angulos interiores de un triangulo. Demuestre que:

a) tanα+ tanβ + tan γ = tanα · tanβ · tan γ. ¿Sera valido si α+ β + γ = nπ con n ∈ Z?

b) sinα+ sinβ + sin γ = 2cosα

2· cos

β

2· cos

γ

2. ¿Sera valido si α+ β + γ = nπ con n ∈ Z?

3. Considere un 4ABC. Demuestre que si se verifican simultaneamente las propiedades:

a) sinβ · sin γ =34

.

b) a2 =b3 + c3 − a3

b+ c− a.

Entonces el 4ABC es equilatero.

4. Pruebe que si en un 4ABC se verifica que sin2 γ = sin2 β + sin2 α entonces el 4ABC es rectangulo.

5. Sea f(x) = P sinx+G sin 2x+M sin 3x con P,G,M ∈ R.

a) Demuestre que sin 3x = sinx(4 cos2 x− 1).b) Muestre que si G2 < 4M(P −M) entonces los unicos valores de x tales que f(x) = 0 vienen dados por

x = mπ con m ∈ Z.

6. Considere g(x) = sin 2nx+ sin 4nx− sin 6nx, en donde n es un entero positivo y 0 < x < π/2. Encuentre unaexpresion para la raız mas grande de g(x). Distinga entre los casos cuando n es par o impar.

7. Muestre que:

2 sin12θ cos rθ = sin (r +

12

)θ − sin (r − 12

)θ

Encuentre todas las soluciones de la ecuacion

cos aθ + cos (a+ 1)θ + . . .+ cos(b− 2)θ + cos(b− 1)θ = 0

en donde a y b son numeros naturales que satisfacen a < b− 1.

8. La recta y = d con d > 0 intersecta el cırculo x2 + y2 = R2 en los puntos A y B. Muestre que el area delsegmento menor AB viene dado por:

R2 arc cos(d

R

)− d√R2 − d2

49


9. Muestre que sinP = cosG si y solo si P = (4n+ 1)π

2±B para algun entero n. Ademas muestre que

| sinx± cosx| ≤√

2 ∀x ∈ R

Finalmente deduzca que la ecuacion sin (sinx) = cos (cosx) no tiene solucion.

10. Muestre que para −1 < a, b < 1 se cumple que

arctan (a) + arctan (b) = arctan(a+ b

1− ab

)Considere los numeros positivos a, b y c que satisfacen bc = a2 + 1. Pruebe que:

arctan(

1a+ b

)+ arctan

(1

a+ c

)= arctan

(1a

)

11. Considere los numeros positivos p, q, r, s, t, u y v que satisfacen st = (p+q)2 +1, uv = (p+r)2 +1 y qr = p2 +1.Pruebe que:

arctan(

1p+ q + s

)+ arctan

(1

p+ q + t

)+ arctan

(1

p+ r + u

)+ arctan

(1

p+ r + v

)= arctan

(1p

)Finalmente, con esto demuestre que:

arctan(

113

)+ arctan

(121

)+ arctan

(182

)+ arctan

(1

187

)= arctan

(17

)

12. Suponga que cosA, cosB y β no nulos. Muestre que la ecuacion

α sin (A−B) + β cos (A+B) = γ sin(A+B)

se reduce a(tanA−m)(tanB − n) = 0

en donde m y n son independientes de A y B si y solo si α2 = β2 + γ2.

50


9. Numeros Complejos

9.1. Operatoria

1. Realice las siguientes operaciones.

a) (4− 3i) + (2i− 8) b) 3(−1 + 4i)− 2(7− i)

c) (3 + 2i)(2− i) d) (i− 2)[2(1 + i)− 3(1− i)]

e)2− 3i4− i

f) (4 + i)(3 + 2i)(1− i)

g)(2 + i)(3− 2i)(1 + 2i)

(1− i)2h) (2i− 1)2(

41− i

+2− i1 + i

)

i)i4 + i9 + i16

2− i5 + i10 − i15j) 3(

1 + i

1− i)2 + 2(

1− i1 + i

)3

2. Exprese los siguientes numeros complejos en su forma polar, y luego ubıquelos en el plano complejo.

a) 2− 2i b) −1 +√

3i

c) 2√

2 + 2√

2i d) −i

e) −2√

3− 2i f)√

32− 3i

2

g) 7 h) 1 + i

i) 3 + 3i

3. Exprese los siguientes numeros complejos en su forma rectangular, es decir, en la forma a+ bi.

a) 7eiπ3 b) 2e

iπ6

c) (5cis20)(3cis40) d) (2cis50)6

e)(8cis40)3

(2cis60)4f)

(3eiπ6 )(2e

−5iπ4 )(6e

5iπ3 )

(4e2iπ3 )3

g) (√

3 + i)7 h)(−√

3 + i)23(2− 2i)12

(5− 5√

3i)35

4. Calcule las raıces de los siguientes numeros.

a) (2√

3− 2i)12 b) (−4 + 4i)

15

c) (2 + 2√

3i)13 d) (−16i)

14

e) 3√

8 f) 4√

16

g) (−8− 8√

3i)14 h)

√2i

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 9 NUMEROS COMPLEJOS

5. Halle las raıces cubicas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Que figura se formasi une los puntos?

6. Halle las raıces quintas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Que figura se formasi une los puntos?

7. ¿Que figura esperarıa si graficara las raıces n-esimas de la unidad?

8. Represente geometricamente el conjunto de puntos determinados por las siguientes condiciones.a) |z − i| = 2 b) |z + 2i|+ |z − 2i| = 6

c) |z − 3| − |z + 3| = 4 d) z(z + 2) = 3

e) Imz2 = 4 f) Rez − i = 2

g) Rez2 > 1 h) Im2z −Re6z = 8

i) |z − 1 + i| ≤ 4 j) 1 < |z + i| ≤ 2

k) z2 + z2 = 2 l) |z + 2− 3i|+ |z − 2 + 3i| < 10

9. Resuelva las siguientes ecuaciones en el campo de los numeros complejos.

a) z4 + 8iz = 0 b) z4 + 2z2 + 2 = 0

c) z3 + 3z2 + z − 5 = 0 d) 9z2 + 6(4− 3i)z − (1 + 9i) = 0

e) z3 − 1 + i = 0 f) 2z4 + z2 − z + 1 = 0 (raız cubica de la unidad es una raız)

10. Sea ω una raız cubica compleja de la unidad y z1, z2 ∈ C, demuestre que:

a) z13 + z2

3 = (z1 + z2)(z1 + ωz2)(z1 + ω2z2)

b) (1− ω)(1− ω2)(1− ω4)(1− ω5) = 9

11. Si ϕ es una raız septima de la unidad, distinta de 1, demuestre que:

ϕ

1 + ϕ2+

ϕ2

1 + ϕ4+

ϕ3

1 + ϕ6= −2

12. Hallar los valores de n ∈ N que resuelven la ecuacion:(√3− i2

)2n

−

(√3 + i

2

)2n

= i√

3

13. Si z +1z

= 2 cosα muestre que zn +1zn

= 2 cos(nα) ∀n ∈ N.

52

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 9.1 Operatoria

14. Hallar los m ∈ Z tales que(

1 + i√2

)m+(

1− i√2

)m=√

2

15. Sean z =√

2 + i√

22

y ω =1 + i

√3

2. Encuentre el n ∈ N tal que zn = ωn = 1.

16. Sea xn + iyn = (1 + i√

3)n con n ∈ N. Demuestre la relacion de recurrencia:

xn−1yn − xnyn−1 = 22n−2√

3

17. Sea ω la solucion de la ecuacion z7 + 1 = 0 que se encuentre en el tercer cuadrante. Calcule |1− 1ω|.

18. Demuestre que ∀n ∈ N, (1− i)n + (1 + i)n ∈ R.

19. Sea z ∈ C, demuestre que |z + i| = |z − i| ⇔ z ∈ R.

53


9.2. Funciones Complejas

1. Sea z = x+ iy y f(z) =z

z2 + 1. Determine f(z) y f(z) en la forma a+ bi. ¿Que puede decir de ellos?.

2. Pruebe que | z − w1− zw

| = 1 para |z| = 1 o |w| = 1.

3. Sea g(z) =1z

. Pruebe que la imagen, bajo g, de una circunferencia es una circunferencia, y la de una recta esuna recta.

4. Considere la funcion φ : C −→ C definida por φa(z) =z(z − a)az − 1

, con a ∈ R tal que |a| < 1. Estudie su

restriccion al cırculo unitario.

5. Para las siguientes funciones estudie su dominio, recorrido, inyectividad, sobreyectividad, y, en el caso deexistir, su inversa.

a) f(z) = 1z .

b) g(z) = ‖z‖.c) h(z) = z.

6. Considere la funcion ψ : C −→ C definida por ψ = z−iz+i . Estudie su restriccion al semiplano superior extendido

H = zεC/Rez ≥ 0.

7. Encuentre z ∈ C que cumpla con θ ∈ [π, 3π/2], Rez =√

3Imz y que |z|2 + 3√z · z − 4 = 0.

8. Considere la transformacion φ : C\−1 −→ C definida por φ(z) =z − iz + 1

.

a) Determine todos los z ∈ C tales que φ(z) = z.

b) Sea z ∈ C tal que z = z. Encuentre |φ(z)|.c) Demuestre que si z ∈ C y [φ(z)]4 + [φ(z)]3 + [φ(z)]2 + [φ(z)] + 1 = 0 entonces z ∈ R.

54


9.3. Miscelaneo

1. Sean z1, . . . , zn numeros complejos.

a) Probar que |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.b) Utilizando induccion pruebe que |z1 + . . .+ |zn| ≤ |z1|+ . . . |zn|.c) Utilizando la parte a) demuestre que ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.d) Interprete geometricamente lo demostrado en los puntos anteriores.

Indicacion: Para a) primero demuestre que |Rez|, |Imz| ≤ |z|, y recuerde que z · z = |z|2.

Observacion: La desigualdad que se demuestra es conocida como la Desigualdad Triangular.

2. Dado que eiθ = cos θ + i sin θ y que eiαeiβ = ei(α+β) demuestre:

a) sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ.

b) cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα cosβ.

3. Pruebe las siguientes identidades trigonometricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno.

a) sin3 θ =34

sin θ − 14

sin 3θ.

b) cos4 θ =18

cos θ +12

cos 2θ +38

.

4. Pruebe las siguientes identidades:

a) cos θ + cos(θ + α) + . . .+ cos(θ + nα) =sin[12 (n+ 1)α

]sin( 1

2α)cos(θ +

12nα).

b) sin θ + sin(θ + α) + . . .+ sin(θ + nα) =sin[12 (n+ 1)α

]sin( 1

2α)sin(θ +

12nα).

Indicacion: Primero demuestre los siguientes puntos:

i) Reeiθ = cos θ e Imeiθ = sin θ.

ii) Si S = eiθ + ei2θ + ...+ einθ entonces S =ei(n+1)θ − 1eiθ − 1

.

iii) cos θ =eiθ + e−iθ

2y que sin θ =

eiθ − e−iθ

2i.

iv) Si z es un numero complejo y λ un numero real entonces Reλz = λ Rez.

5. Sea n ≥ 2. Pruebe las siguientes identitades:

a) cos2πn

+ cos4πn

+ cos6πn

+ ...+ cos2(n− 1)π

n= −1.

b) sin2πn

+ sin4πn

+ sin6πn

+ ...+ sin2(n− 1)π

n= 0.

Indicacion: Pruebe que si z1, . . . , zn son las raıces del polinomio zn − 1 = 0, entonces z1 + . . .+ zn = 0.

55


6. Sea m ≥ 2. Pruebe la siguiente identidad:

a) sinπ

m· sin 2π

m· sin 3π

m· ... · sin (m− 1)π

m=

m

2m−1.

Indicacion: Primero demuestre los siguientes puntos:

i) zm − 1 = (z − 1)(z − e 2πim )(z − e 4πi

m ) · · · (z − e2(m−1)πi

m ).

ii) 1− eiz = 1− e−iz.iii) z · z = |z|2.

7. Considere los numeros reales S =n∑k=0

(n

k

)cos(kα) y S′ =

n∑k=0

(n

k

)sin(kα), α ∈ R.

a) Demuestre que S + iS′ = (1 + cosα+ i sinα)n.

b) Lleve 1 + cosα+ i sinα a su forma polar y demuestre que:

S = 2n cosn(α

2

)cos(nα

2

)y S′ = 2n cosn

(α2

)sin(nα

2

)Indicacion: Considerar sin 2x y cos 2x.

56


10. Lımites y Continuidad

10.1. Lımites

1. Calcule los siguientes lımites.

a) lımx→1

3√x− 1

4√x− 1

b) lımx→1

x3 − 1x2 − 1

c) lımx→5

x2 − 3x− 1025− x2

d) lımx→−1

1− x2

x2 + 3x+ 2e) lım

x→0

√1 + x−

√1− x

xf) lım

x→a

√x−√a

x− a

g) lımx→0

1−√

1− x2

x2h) lım

x→∞

x2 − 2x+ 72x2 + 5x− 9

i) lımx→2

x2 + 5x2 − 3

j) lımx→1

x

1− xk) lım

x→1

(x− 1)√

2− xx2 − 1

l) lımx→1

(1

x(x− 2)2− 1x2 − 3x+ 2

)

m) lımx→1

xm − 1xn − 1

n) lımx→1

m√x− 1

n√x− 1

o) lımx→∞

√x4 + x2

x

p) lımx→∞

3 · 2x + 3x

5xq) lım

x→∞

√x+ a−

√x r) lım

x→3

2x− 6x−√x+ 6


a) lımx→5

x2 − |x− 5| − 25|x− 5|

b) lımx→64

√x− 8

3√x− 2

c) lımx→0

|x|x

d) lımx→−1

(1

1 + x− 3

1 + x3) e) lım

x→7

2−√x− 3

x2 − 49f) lım

x→a

x2 − (a+ b)x+ ab

x2 − (a+ c)x+ ac

g) lımx→π/3

1− 2 cosxπ − 3x

h) lımx→π/4

cosx− sinxcos 2x

i) lımx→π/2

(π

2− x) tanx

j) lımx→0

cscx− cotx k) lımx→0

sin 5x− sinxx

l) lımx→0

sinx+ 1− cosxx

m) lımx→0

sin(ax)sin(bx)

n) lımx→π/4

sinx− cosx1− tanx

o) lımx→0

x− sin 2xx+ sin 3x

p) lımx→0

sin(xn)sinm x

q) lımx→∞

x sinn

xr) lım

x→π/3(3π2− 3x) tanx


a) lımx→∞

(sin√x+ 1− sin

√x) b) lım

x→0

tan(2x)sin(3x)

c) lımx→0

sin(sinx)x

d) lımx→0

(1

sinx− 1

tanx) e) lım

x→0

4 sin(5x)3x

f) lımx→0

sin2(2x)x2

g) lımx→0

sinx− 2x3x+ 4 sinx

57

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 10 LIMITES Y CONTINUIDAD

4. Considere la f(x) =

4− x2 , x < 1

|5− 3x|+ 1 , x ≥ 1

¿Existen los siguientes lımites?

a) lımh→0

(−1 + h)− f(−1)h

b) lımx→1

f(x)− f(1)x− 1

58

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 10.2 Continuidad

10.2. Continuidad

1. Determine el valor de la constante C de modo que la siguiente funcion sea continua en x = 7.

f(x) =

2 +

x2 − 49x− 7

, x > 7

Cx2 + 5 , x ≤ 7

2. Explique por que la siguiente funcion no es continua en R.

g(x) =

(x− 24) sin

(xπ52

), x = 26

1 , x 6= 26

3. Determine el valor de k ∈ R de manera que la siguiente funcion sea continua en R.

h(x) =

cos(πx

2

), |x| ≤ 1

k|x− 1| , |x| > 1

4. Determine los valores de P y C de modo que la siguiente funcion sea continua en R.

f(x) =

−2 sinx , x ≤ −π/2

P sinx+ C , − π/2 < x < π/2

cosx , π/2 ≤ x

5. Encuentre el valor de la constante C de modo que la siguiente funcion sea continua en x = 0.

g(x) =

sin(Cx)

x+ 2 , x ≤ 0

1− cos(√

2x)x2

, x > 0

6. Estudie la continuidad en R de la siguiente funcion.

h(x) =

(x2 − 9) sin(

1x− 3

), x > 3

x− 3 , 3 > x > 0

2x3 − 3x2 − 5 , x ≤ 0

59


7. Determine los valores de las constantes C y L para que la siguiente funcion sea continua en x = 1.

f(x) =

C(1− x) tan(πx

2) , 0 < x < 1

2L , x = 1

x− 13√x− 1

, x > 1

8. Determine los valores de las constantes P y G de modo que la siguiente funcion sea continua en x = 0.

g(x) =

(Px+G)2 −G2

Px, 0 < x < 1

−14 , x = 1

cos(Px)− cos(Gx)x2

, x > 1

9. Sea h :]0, π[−→ R definida por

h(x) =

x tanx− π

2secx , 0 < x < π/2

ax− 1 , π/2 ≤ x < π

¿Existe algun valor para a de modo que h sea continua en x = π/2?

10. Analice la continuidad, en R, de la funcion definida por:

f(x) =

cos(x

2

), |x| ≥ 1

|x− 1| , |x| > 1

60


10.3. Miscelaneo

1. Sea f : R −→ R tal que f(x + y) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ R. Probar f es continua en R si y solo si f es continuaen x = 0.Ademas si f(p) = 0 para algun p ∈ R entonces f(x) = 0 ∀x ∈ R.

2. Una funcion g : R −→ R se dice aditiva si ∀x, y ∈ R se cumple que g(x+ y) = g(x) + g(y).

a) Probar que las funciones aditivas son continuas en R si y solo si son continuas en x = 0.

b) Probar que una funcion aditiva monotona (creciente o decreciente) es continua en R.

3. La Derivada

Para la funcion f considere el siguiente operador:

D[f ] = lımh→0

f(x+ h)− f(x)h

a) Sea α un numero real, y suponga que existen D[f ] y D[g]. Demuestre las siguientes propiedades:

a.1) D[f+g] = D[f ]+D[g] a.2) D[αf ] = αD[f ]

a.3) D[f ·g] = D[f ]·g+f ·D[g] a.4) D[f

g] =

D[f ] · g − f ·D[g]g2

Indicacion: Para a.4) utilice a.3) y para b.5) a b.8) utilize las propiedades.

b) Calcule D[f ], definido en el ejercicio anterior, para las siguientes funciones:

b.1) f(x) = Constante b.2) f(x) = xn

b.3) f(x) = sinx b.4) f(x) = cosx

b.5) f(x) = tanx b.6) f(x) = x2 sinx

b.7) f(x) = 7+x3 cosx+x b.8) f(x) = sinx cosx

4. Teorema del Acotamiento

a) Suponga que f : Ω −→ R continua de modo que existen constantes A y B tal que A ≤ f(x) ≤ B en Ω.Si x0 ε Ω entonces A ≤ lımx→x0 f(x) ≤ B.

b) Suponga que f, g, h : Ω −→ R continuas de modo que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) en Ω. Si x0 ε Ω entonceslımx→x0 f(x) ≤ lımx→x0 g(x) ≤ lımx→x0 h(x).

61


c) Utilizando los puntos anteriores calcule los siguientes lımites:

c.1) lımx→0

x2 sin(1x

) c.2) lımx→1

(x− 1)3 cos(1

x− 1)

c.3) lımx→∞

3x− sinx4x+ 5

c.4) lımx→∞

5x+ 2 cosx3x− 14

5. Descomposicion en Fracciones Parciales

Sea P (x) un polinomio de cualquier grado y Q(x) un polinomio de grado m. Sean x1, ..., xm m ceros distintosde Q(x). Ademas suponga que P (x) y Q(x) no tienen ceros en comun.

Existe un teorema que dice que toda funcion racional se puede descomponer en fracciones parciales, es decir,en este caso en particular, que:

Existen C1, ..., Cm ε R tal que:

P (x)Q(x)

=P (x)

(x− x1) · ... · (x− xm)=

C1

x− x1+ ...+

Cmx− xm

a) Bajo las hipotesis de este problema, encuentre las m constantes C1, ..., Cm.Indicacion: Multiplique por (x− xi) para i = 1, ...,m y luego tome el lımite cuando x→ xi.

b) Descomponga en fracciones parciales las siguientes funciones racionales:

b.1) x− 2x2 + 4x− 21

b.2)x+ 3

(x− 6)(x+ 8)

b.3)7

(x− 1)(x− 3)(x− 5)b.4)

x+ 7(x− 1)(x+ 3)(x− 5)

Observacion: Este es un caso particular de descomposicion en fracciones parciales.

Observacion: La demostracion del teorema mencionado anteriormente es analoga al ejercicio a).

62


11. La Derivada

11.1. Operatoria

1. Calcule la derivada con respecto a x de las siguientes expresiones.

a) f(x) = 3x5 − 2x4 + x2 b) g(x) = (3x2 − 1)(5 + 3x)

c) h(x) = (4− 2x)2 d) i(x) = x(x2 − 1)(x+ 1)

e) f(x) =6x3

+ 10 f) g(x) =x+ 3x− 5

g) h(x) =1

x+ 1− 1x− 1

h) i(x) =2x

1 + x2

i) f(x) =1 + x− x2

1− xj) g(x) = x

√1− x2

k) h(x) =

√1 + x

1− xl) i(x) =

x√1 + x2

m) f(x) = x sin(2x) n) g(x) = sin2(3x)

o) h(x) = cos(sinx) p) i(x) = sin(x

x− 1)

q) f(x) =sinx− x cosxcosx+ x sinx

r) g(x) = tan(7x)


a) i(x) = x7x b) f(x) = (a

b)x(

b

x)a(

x

a)b

c) g(x) = cos2 x [ sin2(10x) + cos2(10x) ] d) h(x) =(1− x4)2/3 cos(x3)

sin(2x)

e) i(x) = x2 cos [ 3

√x− 2

(x+ 2)(x− 1)]

3. Utilizando la definicion, calcule la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado.

a) f(x) = 3x2 + 2 en x = 3

b) g(x) = sinx cosx en x = π/4

c) h(x) = x−2x en x = 4

d) i(x) =x sin( 1

x ) , x 6= 00 , x = 0 en x = 0

63

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 11 LA DERIVADA

4. Considere

f(x) =

x+ 2 , x < 1

2x2 − 6x+ 7 , x ≥ 1

Determine f ′(x) y el dominio de f ′(x).

5. Dadas las ecuaciones parametricas x = f(t) e y = g(t) demuestre que:

d2x

dx2=

dxdt ·

d2ydt2 −

d2xdt2 ·

dydt

(dxdt )3

Indicaciones:d

dx

(dy

dx

)=d2y

dx2. Utilice la regla de la cadena.

6. Calcule la primera y segunda derivada de las siguientes funciones definidas parametricamente.

a)

x = t+

1t

y = t− 1t

b)

x =√

2t2 + 1

y = (2t+ 1)2

7. Calcule la primera y segunda derivada de las siguientes funciones definidas parametricamente.

a)

x = t

√2t+ 5

y = 3√

4t

b)

x =

t− 1t+ 1

y =t+ 1t− 1

8. Considere las curvas P1 y P2 definidos por

P1 := (t,√t2 − 1) / t > 1

P2 := (x, y) ∈ R2 / (x2 + y2 + 1)2 − 4x2 = 8

Determine el angulo de interseccion de ambas curvas.

64


9. Calculed2y

dx2en el punto (0, 0) si se sabe que x = 3t2 − 2t e y = sin t.

10. Considere la siguiente curva definida parametricamente:

x = t2 − 2t

y =√t

, 0 ≤ t ≤ 1

Encuentred2y

dx2en el punto

(− 3

4 ,1√2

)

11. Calculard2y

dx2para x = t2 − 3t e y = t3 − 1 en el punto (0, 26).

12. Recordando quedy

dx· dxdy

= 1 calcule las derivadas, con respecto a x, de las siguientes expresiones.

a) f(x) = arcsinx

b) g(x) = arc cosx

c) h(x) = arctanx


a) y = x2ex b) y = e2x [ 2 cos(3x) + 3 sin(3x) ]

c) y = ln (ex

1 + ex) d) y =

12

(ex + e−x)

e) y =12

(ex − e−x) f) y =ex − e−x

ex − e−x

g) y = earcsin x h) y = (1 + 2x)e−2x

i) y = (9x2 − 6x+ 2)e3x j) y =ax− 1a2

eax

k) y = x2e−x2

l) y = arctan(ex)

14. Determine una expresion para la derivada de orden n ( dnydxn n ∈ N) de las siguientes funciones.

a) y = sinx

b) y =1x

c) y = x cosx

d) y =x

x+ 1

65


15. Determinedy

dxpara las siguientes expresiones.

a) x2 + y2 = 1 b) y2 =x− 1x+ 1

c) x2 + xy = 2 d) x3 − xy + y3 = 1

e) x2 =x− yx+ y

f)1x

+1y

= 1

g) x2/3 + y2/3 = 1 h) y2 = 1 +1x2

16. Halle las rectas tangentes y normales en el punto P0 para las siguientes curvas.

a) x2 + xy − y2 = 1 , P0 = (2, 3)

b) x2 + y2 = 25 , P0 = (3,−4)

c)x− yx− 2y

= 2 , P0 = (3, 1)

d) y − x2 = 2x+ 4 , P0 = (6, 2)

17. Sea a ∈ R. Considere las curvas f(x) = x2 − a2 y g(x) = a2 − x2. Estas curvas se intersectan en el punto Pde abscisa x = a. ¿Para que valores de a, el angulo de interseccion entre las curvas en P , es π

4 ?

18. Sea f una funcion que tiene derivadas en todos los ordenes. Pruebe que:

a) Si f es par entonces f (2n−1)(0) = 0 ∀n ∈ N.

b) Si f es impar entonces f (2n)(0) = 0 ∀n ∈ N.

19. Encuentre la derivada con respecto a x de y = 2x sinx+ x2 cosx que pasa por el punto(π

2, π2)

.

20. Encuentre, si es que existe,dy

dxen el punto

(π2, 0)

de sin (x+ y) + y2 = 1.

21. Si u = 2 tan v y v = 3√x sin2 x, determine

du

dx.

22. Si ey + x arcsin y = cosx, determine, en caso de existir,dy

dxpara x = 0.

23. Considere una punto en la circunferencia x2 + y2 = 1. Encuentre los puntos sobre la circunferencia para loscuales la ordenada decrece en la misma razon con que crece la absisa.

66


24. Determine a ∈ R de modo que la derivadady

dxexista en el punto (0, 2); sabiendo que la funcion y satisface la

ecuacion

x3 cos y − y2 + ay − 2x− 2a+a2

4= 0

25. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva sinxy + 3y = 4 en el punto(π2 , 1).

26. ¿Que condiciones se deben cumplir para que existady

dxen el punto (2, 1) si 4xy3 − x2y − 5x+ 6 = 0

27. Encuentre la ecuacion de la recta normal a la curva dada por sinxy + exy = eπ en el punto (π, 1).

28. Considere los puntos de interseccion de la grafica de la funcion y =x− 4x− 2

con los ejes coordenados. Compruebe

que las rectas tangentes a la grafica de la funcion en dichos puntos son paralelas.

29. ¿Para que valores de a y b en R se tiene que el punto (1, 3) es un punto de inflexion de y = ax3 + bx2.

30. Determine, en caso de existir, los puntos de inflexion de la funcion f(x) = 2− x− 3√x5 definida en R+.

31. Dada la funcion

f(x) =x2

2+a3

x

con x > 0 y a > 0.

a) Determine, en caso de existir, los valores extremos de f .

b) ¿Para que valor de a ∈ R+ se tiene que f(x) ≥ 3 ∀x > 0?

c) Grafique f con el valor de a determinado en b).

32. ¿Para que valores de x ∈]− 1,+∞[ se tiene que f ′(x) > 0 si se sabe que f(x) = ln (x+ 1)− x2

x+ 2+ x− 1?

33. Determine el valor de a para que el valor maximo de la funcion f(x) = x√ax− x2 sea 3

√3.

34. Considere la funcion f(x) = ax3 + bx2 +32x− 2

3con a, b ∈ R. Determine a y b de modo que f tenga un

maximo en x = 1 y un mınimo en x = 3.

35. Sean a, b, c ∈ R y considere las curvas f(x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 + cx. ¿Para que valores de estosparametros se tiene que ambas curvas tienen una recta tangente en comun en el punto (2, 2)?

36. Sea f :]−π2 ,

π2

[:−→ R definida por f(x) = tanx+ sinx. Calcule, si es que existe, (f−1)′(0).

67


37. Considere f(x) = x3 − x definida en[

12,+∞

[. Determine, si es que existe, (f−1)′(0).

38. Sea f(x) = ax2 + 3x y P = (1, f(1)). Determine a ∈ R si se sabe que (f−)′(f(1)) =12

.

39. Si f(x) =2x2 + 2|x|+ 1

y f(1) = 2. Argumente que se puede aplicar el teorema de la funcion inversa en un intervalo

abierlo que contiene al 1. Calcule (f−1)′(2).

40. Dada la funcion f(x) = (x− a)m(x− b)n con n,m ∈ N y a < b. El Teorema de Rolle asegura la existencia deun x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0. Demuestre que el punto x0 divide al intervalo [a, b] en la razon m : n.

41. Demuestre por induccion la siguiente formula para la derivada enesima de un producto de funciones.

[f(x) · g(x)](n) =n∑k=0

(n

k

)f (n−k)(x) · g(k)(x)

68

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 11.2 Diferenciabilidad

11.2. Diferenciabilidad

1. Sea f : Ω ⊆ R −→ R diferenciable. Pruebe que f es continua en Ω.

Observacion: Si la funcion no es diferenciable nada se puede decir sobre su continuidad.

2. Demuestre que los polinomios son diferenciables en R.

3. Ejemplifique:

a) Funcion que sea continua pero no diferenciable en un punto.

b) Funcion que sea continua en todo R pero no diferenciable en un numero finito de puntos.

4. Explique por que las siguientes funciones no son derivables en sus respectivos intervalos.

a) M(x) = x|x− 1| I =]0, 2[

b) C(x) = 1x I =]− 7, 3[

c) L(x) = |x|+ |x− 1|+ |x− 2| I =]− 2, 5[

d) G(x) =

x+ 1 , x < 7

2x− 6 , x ≥ 7I = R

5. Determine si f es diferenciable en R. Estudie la continuidad de f ′(x).

f(x) =

x2 + x− 1 , x < 1

x3 , x ≥ 1

6. Determine el valor de las constantes reales C y L de modo que la siguiente funcion sea diferenciable en R.

f(x) =

sinx , x < π

Cx+ L , x ≥ π

7. Determinar el valor de las constantes reales P y G para que la siguiente funcion sea derivable en x = 1.

f(x) =

x−P1+x , x ≥ 1

Gx−x2

2 , x < 1

69


8. Dada la funcion

f(x) =

x2 − 5x+ 6 , x ≤ 1

ax+ b , x > 1

Halle los valores de las constantes a y b de modo que f se continua y derivable en R.

9. Dada la funcion: f(x) =

x , x ≤ 1

1x , x > 1

¿Es f derivable en x = 1?

10. Dada la funcion

f(x) =

x2 − 2ax+ 3b , x ≤ 1

ax3 − 3ax2 + 2bx , x > 1

Determinar a, b ∈ R de modo que f sea:

a) Continua en R.

b) Derivable en x = 1.

11. Dada la funcion

f(x) =

1|x| , |x| > 1

a+ bx2 , |x| ≥ 1

Halle los valores de las constantes a y b de modo que f ′(1) exista.

12. Dada la funcion: f(x) =

x2 + 2 , x ≤ 1

4− x , x > 1¿Es f derivable en x = 1?

70


11.3. Miscelaneo

1. Determine todos los A ∈ R tal que la funcion y(x) = sin sinx satisfaga la ecuacion

Ay′′(x) + tanxy′x+ y(x) cos2 x = 0

2. Considere la curva definida parametricamente por las ecuacionesx =

12t− 3

2

y = cos kt

, t ∈ R , k > 0

Determine si la funcion y = y(x) satisface o no la ecuaciond2y

dx2+ 4k2y(x) = 0

3. Demuestre que la funcion f(x) = 2 sinx+ cosx es solucion de la ecuacion diferencial ordinaria: d2ydx2 + y = 0.

4. Demuestre que la funcion f(x) = sinx+ (x2 + a) cosx, a constante real, es solucion de la ecuacion diferencial:dydx + y tanx = secx+ 2x cosx.

5. Determine el valor de la constante M de modo que la funcion y = Mx2e2x sea solucion de la siguiente ecuaciondiferencial y′′(x)− 4y′(x) + 4y(x) = 6e2x.

6. Determine el valor de la constante G de modo que la funcion y = Ge2x sin(3x) sea solucion de la siguienteecuacion diferencial y′′(x)− 4y′(x) = −13e2x sin(3x).

7. Determine el valor de la constante L de modo que la funcion y = Lxe2x sea solucion de la siguiente ecuaciondiferencial y′′(x) + 4y′(x)− 11y(x) = −16e2x − 2xe2x

8. Demuestre, utilizando la derivada, las siguientes identidades:

a) arcsinx+ arc cosx =π

2

b) arctanx+ arctan (1x

) =π

2

9. Sea m un entero natural. Muestre que (1 + x)m + (1− x)m 6= 0 ∀x ∈ R. Considere la funcion definida por

f(x) =(1 + x)m − (1− x)m

(1 + x)m + (1− x)m

Encuentre f ′(x) y simplifique al maximo.

10. Demuestre que la funcion f(x) =ex − e−x

ex + e−xsatisface la ecuacion diferencial f ′(x) = 1− (f(x))2.

71


11. Si a y b son constantes positivas, demuestre que el maximo valor que toma la funcion f(x) = a sinx+ b cosxes√a2 + b2.

12. Demuestre que si a, b, k ∈ R+ son constantes, entonces el valor mınimo de la funcion f(x) = aekx + be−kx es2√ab

13. Sea f una funcion continua con segunda derivada continua en R tal que f(x) > 0 y f ′(x) = −x · f(x) ∀x ∈ R.Para f hallar:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Intervalos de convexidad y concavidad.

c) ¿Cuales son sus puntos de inflexion?

14. Suponga que f es una funcion que satisface las siguiente identidad

f(x+ y) = f(x) + f(y) + x2y + xy2

∀x, y ∈ R. Ademas suponga que

lımx→0

f(x)x

= 1

Encuentre f(0) y f ′(x).

15. Suponga que f es una funcion diferenciable y α ∈ R. Encuentre la derivada, con respecto a x, de f(xα) y[f(x)]α.

16. Sea g(x) = f(x+ 1x− 1

) ∀x ∈ R\1. Si se sabe que f ′(x) = x2 calcule g′(x).

17. Sea f : R −→ R una funcion derivable, positiva y creciente, y sea g : R → R una funcion derivable, negativay decreciente. Pruebe que la funcion h : R→ R definida por:

h(x) =f(g(x))g(x)

es creciente.

18. Muestre que las funciones f(x) = ln(

1 + x

1− x

)y g(x) = f

(a+ x

1 + ax

)tienen la misma derivada ∀a ∈ R.

19. Demuestre que si f es una funcion tal que ∀x, y ∈ R se tiene que |f(x) − f(y)| < (x − y)2, entonces f esconstante.

20. Sea f(x) una funcion derivable tal que f(2x) = 2f(x) para todo x ∈ R+. Demuestre que ∀x ∈ R+ existe c > x

tal que f ′(c) =f(x)x

.

Indicacion: Utilize el Teorema del Valor Medio.

72


21. Considere n reales estrictamente positivos, denotados por λ1, ..., λn. Demuestre que si ∀x ∈ R se cumple que

λx1 + λx2 + ...+ λxn ≥ n

entonces necesariamenteλ1 · λ2 · · ·λn = 1

Indicacion: Estudie si x = 0 es o no punto crıtico de f(x) = λx1 + λx2 + ...+ λxn.

22. Sea f : R −→ R dos veces derivable en R. Demostrar que si para todo x ∈ R se cumple que f(x) > 0 yf(x) · f ′′(x) ≥ (f(x))2, entonces la funcion definida en R por g(x) = ln(f(x)) es convexa.

23. Dado n numeros a1, . . . , an, determine el valor de x para que

(a1 − x)2 + . . .+ (an − x)2

alcance su valor mınimo.

24. Considere los numeros a1, . . . , an y b1, . . . , bn y la funcion

f(x) = (a1x+ b1)2 + . . .+ (anx+ bn)2

Demuestre que(a1b1 + . . .+ anbn)2 ≤ (a2

1 + . . .+ a2n)(b21 + . . .+ b2n)

Observacion: Es un caso especial de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

25. Teorema del Valor Medio

Sea y = f(x) una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que:f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Indicaciones para demostrar este teorema:

a) Encuentre la ecuacion de la recta y que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

b) Considere la funcion g(x) = f(x)− x f(b)−f(a)b−a .

c) Vea si puede utilizar el Teorema de Rolle.

26. Utilizando el Teorema de Valor Medio demuestre los siguientes Teoremas:

Teorema 1: Sea f una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[ tal que f ′(x) = 0 ∀x ∈]a, b[. Entoncesf(x) ≡ constante.

Teorema 2: Sean f y g funciones continuas en [a, b] y diferenciables en ]a, b[ tales que f ′(x) = g′(x) ∀x ∈]a, b[.Entonces f(x)− g(x) = constante.

Teorema 3: Sea y = f(x) una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[.

a) Si f ′(x) > 0 ∀ x ε ]a, b[ entonces f es una funcion creciente en [a, b].

b) Si f ′(x) < 0 ∀ x ε ]a, b[ entonces f es una funcion decreciente en [a, b]

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27. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Considere la siguiente ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes:

ad2y

dx2+ b

dy

dx+ cy = 0 (1)

Demuestre lo que sigue:

a) Sean C1, C2 ε R. Si y1 e y2 son soluciones de (1) entonces C1y1 + C2y2 tambien lo es.

b) Si se sustiye y = eαx en (1) el problema de solucionar la ecuacion diferencial se transforma en el problemade solucionar la ecuacion cuadratica aα2 + bα+ c = 0.

Ahora se pueden distinguir tres casos:

1) Si b2 − 4ac > 0 entonces y = C1eα1x + C2e

α2x es solucion de (1), y en donde α1 y α2 son soluciones dela ecuacion cuadratica.

2) Si b2− 4ac = 0 entonces y = (C1 +xC2)eαx es solucion de (1), y en donde α es solucion de multiplicidad2 de la ecuacion cuadratica.

3) Si b2 − 4ac < 0 la ecuacion cuadratica tendra soluciones de la forma:

α1,2 =−b±

√4ac− b2i2a

= A±Bi

entonces y = C1eAx cos(Bx) + C2e

Ax sin(Bx) es solucion de (1).

Indicacion: Para el punto 3) considere que y = e(A±Bi)x = Rey ± iImy, y demuestre que y1 = Rey ey2 = Imy son soluciones de (1).

28. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

a)d2y

dx2+ 2

dy

dx− 15y = 0 b) 3

d2y

dx2− 12

dy

dx+ 12y = 0 c)

d2y

dx2− 4

dy

dx+ 13y = 0

29. Funciones Lipschitz

Una funcion se dice que es de Lipschitz en un intervalo (a, b) si: Existe un K > 0 tal que |f(x)−f(y)| ≤ K|x−y|∀x, y ∈ (a, b). La constante K es llamada constante de Lipschitz.

Demuestre lo que sigue:

a) Sea f una funcion Lipschitz en (a, b), entonces f es continua en (a, b).

b) Sea f una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[ tal que |f ′(x)| ≤ K ∀x ∈]a, b[. Entonces f esLipschitz con constante K.

30. Pruebe que las siguientes funciones son Lipschitz.

a) y = sinx

b) y = arctanx

c) y =√

1 + x2

74


31. Funciones Convexas

Sea f : I ⊆ R −→ R diferenciable en I. Muestre que son equivalentes:

a) f es convexa en I.

b) f(x) ≥ f(y) + f ′(y) · (x− y) ∀x, y ∈ I.

c) [f ′(x)− f ′(y)] · (x− y) ≥ 0 ∀x, y ∈ I.

d) f ′′(x) > 0 ∀x ∈ I.

32. Sea g una funcion convexa y estrictamente creciente y f una funcion convexa. Muestre que la funcion definidapor h(x) = g(f(x)) es convexa.

33. Sean α1, . . . , αn escalares positivos tales quen∑k=1

αk = 1. Luego para x1, . . . , xn escalares positivos cualquiera

se cumple quexα1

1 · xα22 · . . . · xαnn ≤ α1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn

La igualdad se cumple si x1 = x2 = . . . = xn.

Indicacion: Muestre que − lnx es una funcion convexa en (0,∞) y luego pruebe el resultado para n = 2.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 12 APLICACIONES DE LA DERIVADA

12. Aplicaciones de la Derivada

12.1. Problemas de Razon de Cambio

1. Las dimensiones de un rectangulo varıan de modo que su area permanece constante. ¿Cual es la rapidez conque decrece la altura del rectangulo en el momento que la base y altura tienen son iguales? Suponga que labase crece con rapidez de 5 m/s.

2. De un globo esferico escapa el gas de modo que el radio de la esfera disminuye a razon de 2 cm/s. ¿Conque rapidez escapa el aire y con que rapidez disminuye el diametro del globo cuando el radio es de 10 cm?.

3. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud L y su radioR aumentan a razon de 0, 005 cm/min y 0, 002 cm/min respectivamente. ¿A que razon aumenta el volumende la barra en el momento que el largo mide 40 cm y su radio mide 1, 5 cm.

4. Una persona de 2 m de altura camina a una rapidez constante de 3 m/s, alejandose de un poste de alumbradode 6 m de altura. ¿Con que rapidez se alarga la longitud de la sombra?.

5.

Un teleferico asciende desde la base hasta la cima deuna montana. El angulo de elevacion de la base a lacima es de 30. Si el teleferico se desplaza a 5 m/s¿con que rapidez cambia la altura del teleferico conrespecto a la base de la montana?

6. Una camara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdo con laecuacion s = 50t2 (s es la altura con respecto al suelo medido en metros y t en segundos). La camara esta a2000 m del lugar de despegue. Halle como varıa el angulo de elevacion de la camara despues de 10 s deldespegue del cohete.

7. Un hombre esta pintando una pared parado en el tope de una escalera que tiene 13 unidades de longitud.En cierto momento, la escalera empieza a resbalar a razon de 6 unidades/min. ¿A que rapidez desciende elhombre si se mantiene parado en el tope de la escalera, cuando la base de la escalera esta a 12 unidades dela pared?.

8.

El puente levadizo que se muestra en la figuraesta siendo jalado desde C de modo que el cable BCse desliza a razon de 4 m/min. La altura del castil-lo es de 24 m y la longitud del puente es de 12 m.¿Con que rapidez esta subiendo el extremo B (conrespecto al suelo) del puente cuando θ = 60?

9. Dos barcos, A y B, parten de un mismo punto O segun direcciones que forman un angulo de 120. El barcoA navega a 20 km/h y el barco B a 30 km/h. ¿Con que rapidez esta variando la distancia entre ellos en elinstante que OA = 8 km y OB = 6 km?.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 12.1 Problemas de Razon de Cambio

10. Un deposito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vertice hacia abajo. Su altura es de 10 my el radio de la base es de 15 m. Al mismo tiempo, se vierte agua en el deposito a una razon de A m3/s y elagua sale por el fondo a una razon de 1 m3/s. Calcule el valor de A de modo que el nivel de agua ascienda auna razon de 4 m3/s en el instante en que el agua alcanza la altura de 8 m.

11. Un punto P = (x0, y0) se mueve sobre la semielipse x2

9 + y2

4 = 1 con y ≥ 0 de manera que su rapidez horizontales constante igual a 4 m/s. Sea A el punto de interseccion de la recta tangente en P con el eje x. Determinarla rapidez de A cuando x0 = 1 m.

12. Un tren de pasajeros pasa por un cruce a las 12 hrs. y va en direccion al Norte con una rapidez constante de120 km/h. Luego a las 13 hrs. pasa por el cruce un tren de carga en direccion Este y va a 90 km/h. ¿Conque rapidez se estan alejando entre si los trenes a las 15 hrs. con 20 minutos?.

13.

La barra rıgida AB de longitud de 3 m se muevede modo que el extremo A se desliza sobre la rectay = 0, mientras que el extremo B lo hace sobre lacurva y = 1 + 1

x con x > 0. Si la rapidez verticaldel punto B es de dy

dt = −6 ¿cuanto es la rapidezhorizontal de A en el instante en que B esta en elpunto (1, 2)?

14. Un helicoptero deja una base, elevandose verticalmente a una rapidez de 15 pies/s. Al mismo tiempo quedespega el helicoptero, un observador parte desde un punto situado a 100 pies de la base, y se mueve enlınea recta, alejandose a 80 pies/s. ¿Con que rapidez crece el angulo de elevacion del helicoptero respecto delobservador cuando este ultimo esta a 400 pies de la base?.

15. Una barra de metal tiene seccion rectangular. Al ser enfriada sus dimensiones disminuyen. El ancho, el alto yel largo, disminuyen a una razon de 0,001 cm/min, 0,002 cm/min y 0,005 cm respectivamente. ¿A que razondisminuye el volumen en el momento que la barra mide 60 cm de largo, 10 cm de ancho y 3 cm de alto ogrosor?.

16.

La figura muestra el corte longitudinal de una pisci-na rectangular de 12 m de ancho. Si la piscina seesta llenando a una razon de 256 lt/min, calcule larapidez con que sube el nivel del agua en el instantet0, en el cual la profundad es de 1 m.

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12.2. Problemas de Optimizacion

1. Pruebe que entre todos los rectangulos de un perımetro dado, el de area maxima es el cuadrado.

2. Encuentre las dimensiones del rectangulo de area maxima inscrito en una semicircunferencia.

3. Pruebe que de todos los triangulos isoceles inscritos en una circunferencia, el triangulo equilatero es el deperımetro maximo.

4. Encuentre las dimensiones del cono circular recto inscrito en una esfera cuyo volumen sea maximo.

5. Encuentre las dimensiones del cilindro inscrito en una esfera cuyo volumen sea maximo.

6. Un granjero tiene 200 m de barda con las que desea construir tres lados de un corral rectangular; una paredya existente formara el cuarto lado. ¿Que dimensiones maximizaran el area del corral?.

7. Un alambre de 20 cm de largo se dobla para formar un sector cirular. Determine el radio del sector circularde manera que se encierre la mayor area posible.

8. Un observatorio, de volumen de V m3, debe tener la forma de un cilindro rematado por una boveda semiesferi-ca; ambos con el mismo radio. Si la construccion de la boveda semiesferica cuesta el doble por metro cuadradoque la del muro cilındrico ¿cuales son las proporciones que se deben emplear para que la construccion tengaun costo mınimo?.

9. Considere un punto en el plano, P1 : (x1, y1), y la recta ` : ax+ by + c = 0 con a, b, c ∈ R. Si P1 /∈ ` muestreque la distancia mınima entre el punto y la recta viene dada por:

|ax1 + by1 + c|√a2 + b2

10. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la elipse b2x2 +a2y2 = a2b2, en el primer cuadrante, y que formacon los ejes coordenados un triangulo de area mınima.

11.

Una pieza de metal es rectangular y mide 50 cm deancho y 80 cm de largo. Se cortan cuadrados congru-entes en sus cuatro esquinas (ver figura). La piezaresultante se dobla para formar una caja sin tapas.¿Como se debe cortar de modo que el volumen de lacaja sea lo mayor posible?

12. Se desea disenar un envase cilındrico, con tapa, de radio R y altura H. La base y la tapa deben hacerse decobre, con un costo de 3 pesos/cm2. La cara curva o manto se debe hacer con aluminio a un costo de 2pesos/cm2. Determine las dimensiones del envase que maximice el volumen de la lata si se cuenta con 300πpesos para su construccion.

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 12.2 Problemas de Optimizacion

13.

Dos postes de antenas de TV se encuentran en untecho, afianzados mediante alambres sujetos en unmismo punto entre los dos postes (ver figura). ¿Endonde debe ubicarse este punto de modo que se min-imice la cantidad de alambre a ocupar?

14. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en tres partes. Un pedazo se dobla formando una circunferencia,otro se dobla formando un cuadrado y el ultimo pedazo se dobla formando un triangulo equilatero. Si elperımetro del cuadrado debe ser el doble que del triangulo ¿como debera ser cortado el alambre para que lasuma de sus areas sea maxima?.

15.

En la ribera de un rıo de 3 km de ancho hay unaplanta electrica; en la otra rivera, 4 km corriente ar-riba hay una fabrica. El costo de tender un cablepor tierra es de 30 dolares por metro y 50 dolarespor metro si se tiende bajo el agua .¿Cual es la rutamas economica para tender el cable desde la plantaelectrica a la fabrica?. ¿Cual es su costo?.

16. Considere un cilindro circular recto de radio r y altura h que esta inscrito en un cono circular recto de radioR y altura H. Encuentre el valor de r que maximice el area total del cilindro.

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12.3. Estudio de Funciones y Trazado de Curvas

Se entendera por estudio completo de una funcion el determinar, si es que es posible, el dominio, recorrido,raıces, condiciones de paridad, asıntotas, puntos de discontinuidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntoscrıticos, puntos de inflexion, intervalos de concavidad y convexidad, y la grafica aproximado de la funcion.

1. Haga un estudio completo de las siguientes funciones.

a) f(x) =x− 2x2 − 1

b) g(x) =x3 − 2xx− 5

c) h(x) =x2 − 3x+ 2x2 − 4

d) f(x) =(x− 1)(x+ 2)x2(x+ 1)

e) g(x) = 2 +1

1 + x2f) h(x) =

3x2

x2 − 2x− 3

g) f(x) = 7x+1

2x+ 5h) g(x) = 2(x− 1) +

4x− 1

i) h(x) = (x2 − 1)(x+ 2)

j) f(x) = x2 − 3x+ 2 k) g(x) = (x2 − 4)(x− 1)2 l) h(x) = x3 − x2

m) f(x) = x2 − x4 n) g(x) = (x2 − 8x+ 15)(x− 1) o) h(x) = x4 + 1

p) c(x) = x3 − 4x+ 2 q) l(x) = −x3 + x2 − 1 r) g(x) = x4 − 4x2 − 2

80

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