U UN NI IV VE ER RS SI ID DA AD D T TE EC CN NO OL L G GI IC CA A P PR RI IV VA AD DA AD DE E S SA AN NT TA A C CR RU UZ Z F FA AC CU UL LT TA AD D D DE E C CI IE EN NC CI IA AS S E EM MP PR RE ES SA AR RI IA AL LE ES S GGUUAA EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE CCLLCCUULLOO Agosto 2014 2 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO I.- IDENTIFICACIN DE LA ASIGNATURA Sigla:MIN120 Nombre de la Asignatura:Elementos de Clculo Horas Acadmicas:80 Horas Pre- requisito:Matemtica Bsica Carreras:Administracin General, Marketing yPublicidad,AuditoriaFinanciera,Administracinde Turismo,AdministracindeRecursosHumanos, AdministracinFinanciera,RelacionesCorporativas, Ingeniera Comercial, Comercio Internacional. II.- OBJETIVO GENERAL El estudiante del tercer semestre con conocimientos previos de matemtica bsica, analiza las propiedades, realiza operaciones, resuelve problemasfundamentales del Clculo Diferencial e Integral,enfuncionesqueseutilizanensistemasbsicosdeadministracinyeconoma, adquiriendo la habilidad en elmanejo de tcnicas para resolver problemas prcticos. III.- PLAN TEMATICOParalograrelobjetivogeneraldelamateria,elcontenidoestestructuradoen4temas, que son los siguientes: TEMACONTENIDO DE LA MATERIAHoras Tericas Horas Prcticas # de Clases FuncionesIntroduccin,Concepto,Condicionesdeuna Funcin,FuncionesExplicitaseImplcitas, DominioeImagendeunafuncin, Clasificacin de Funciones, Lineal, Cuadrtica, Cbica,Racional,Exponencial,Logartmica, FuncinInversa,ComposicindeFunciones.Aplicacindelasfuncionesenelreade economa, administracin, etc. 10105 LimitesIntroduccin,Definicin,Interpretacin Geomtrica,LmitesLaterales,Teoremasde losLmites,LmitesDeterminados,Lmites Indeterminados,AsntotasyContinuidadde unafuncin.Aplicacindeloslmitesenel rea de economa, administracin, etc 573 DerivadasIntroduccin,Definicin,Interpretacin Geomtrica,DerivadasporDefinicin,Reglas deDerivacin,DerivadasporTablas, DerivadasdeFuncionesImplcitas,Derivadas 10187 3 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO deOrdenSuperior,RegladelaCadena, Mximos y Mnimos de una funcin. Aplicacin delasderivadasenelreadeeconoma, administracin, etc.IntegralesIntroduccin,Concepto,IntegralIndefinida, Interpretacin Geomtrica, ReglasdeIntegracin,MtododeIntegracin (Sustitucin),IntegralDefinida,Clculode reas.Aplicacindelasintegralesenelrea de economa, administracin, etc. 8125 IV.-ORIENTACIONESPARALAORGANIZACINDELTRABAJODE APRENDIZAJE DURANTE EL DESARROLLO DE LA MATERIA Esta materia debe contribuir en la formacin del egresado en dos aspectos fundamentales, primerocomprendereinterpretarlasbasesdelclculodiferencialeintegraldefuncionesypor otraparteentrenaryreforzarsurazonamientoparaelanlisisyaplicacinenasignaturasdela especialidad. El clculo es una de las materias que le brinda las herramientas necesarias al estudiante, como base para el resto de las asignaturas de su especialidad, las cuales tienen sus fundamentos tericos en el clculo. Esta materia contiene un conjunto de conceptos y operaciones de clculospara los cuales se requiere de habilidades que debe el estudiante entender y dominar. El concepto de lmite es la base del Anlisis Matemtico. El lmite de una funcin permite definirlanuevaoperacindeclculollamadapasoallmite.Elconceptodelmiteylostrabajos relacionados con este concepto le permitirn al estudiante, adquirir habilidades en determinar los valores de y a los que tienden las funciones en sus transformaciones. Lasrazonesdecambiosonderivadas;razonesdecambiorelacionadassonderivadas relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio de movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. El clculo integral es la inversa del clculo diferencial puesto que en este, se pasa de las funcionesalasderivadasydiferencialesyenaqueldelasderivadasydiferencialesalas funciones que les dieron origen. El conjunto de ambos constituyen el Clculo Infinitesimal. Acontinuacinsepresentanalgunasnormasbsicasdecomportamientoy recomendaciones, a tomar en cuenta: a) El proceso de aprendizaje durante toda la materia es integral.- La misin de la UTEPSA es lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia acadmica decalidad,excelencia,convalores,responsabilidadsocial,innovacin,competitividad,yhabilidades emprendedoras.Porestonotesorprendassiademsdeserevaluadoencontenidospropiosdela materia,eldocenteevalatambinaspectoscomopuntualidad,proactividad,ortografa,etc.Nunca pierdas de vista que lo se te exige es por tu propio beneficio. 4 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO b) Asistencia y puntualidad.- Asistiraclasesyhacerlodemanerapuntual,esunamaneradedemostrarquesomos responsables: TuasistenciaesimportanteenTODASlasclases.Porsisurgierauncasodefuerza mayor, en el reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por mdulo (Art. 13 Inc. B y C delReglamentoEstudiantilUPTESA).SisobrepasasestacantidaddefaltasPERDERASEL DERECHOATOMARLAEVALUACINFINALdelamateria.Seconsideraasistenciaestaral inicio, durante y al final de la clase. Esfurzate por estar en la clase a la hora de inicio.Se dar un margen de 10 minutos de tolerancia. despus de estos, podrs entrartan pronto como el docente considere que tu ingreso no ser una distraccin para la clase o despus de la hora de descanso, de esta manera no perjudicaremos el avance de la clase distrayendo a los compaeros.Si te retiras de la clase antes de que esta termine, tampoco registraras asistencia completa. Tenespecialcuidadoconlaasistenciaylapuntualidadlosdasdeevaluacin.Normalmentela fecha de pruebas, es comunicada con varios das de antelacin, esto te permite programarlos como ocasiones a las que tienes que darles una espacial atencin. Si confirmas la materia el 2do o 3er da de clases, ya tienes acumuladas automticamente las faltas de los das que no has asistido. Favor tmalo en cuenta. c) Comportamiento en clases.- Losestudiantesylosdocentes,evitamosbeberycomerenelaula.Deninguna manera podemos fumar dentro de esta. A fin de evitar interrupciones, los celulares se apagarn al entrar al aula o se pondrn en modo silencioso para atender llamadas o mensajes SOLO en caso de emergencia. Cualquierfaltaderespetoaloscompaeros,aldocente,alpersonaldeapoyooalpersonal administrativo, ser severamente sancionada de acuerdo al reglamento de la Universidad. En todo caso confiamos en que todos respetaremos las normas de conducta adecuadas. V.- OBJETIVOS Y ACTIVIDADES DE CADA UNIDAD UNIDAD 1 FUNCIONES A.Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Aplicar de forma terica el concepto de funciones Aplicar los mtodos analticos propuestos para hallar el dominio de las funciones. Representar grficamente las funciones y determinar su dominio e imagen. Hallar la funcin inversa de las funciones propuestas.Hallar la funcin compuesta de las funciones propuestas.Aplicarlateoradefuncionespararesolverproblemasrelacionadosconeconomay administracin. 5 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO B.Actividades de aprendizaje: Acontinuacinsedetallanlostrabajosprcticosextraclasequedebenpresentarlos estudiantes para los exmenes parciales. PRACTICO # 1 Aplicar de forma terica el concepto de funciones : 1, 2, 3 , , : 1. Si A B abc Hallar A x B: 2, 1, 0, 1 2, 3, 4: ) ) )2. Si A BHallar a A x B b B x A c graficar 3.Dados los Conjuntos A y B: 3 , 2 , 1 , 0 A ; 1 , 0 , 1 Ba) DeterminarB AyA Bb) Hallar dos relaciones deB A c) Obtenga dos relaciones que sean funciones4.Dadas las siguientes relaciones: ) 2 , 1 ( ), 2 , 0 ( ), 1 , 1 ( ), 0 , 2 (1R 5 2 : ) , (2y x y x R 1 4 : ) , (23x y y x R Diga cuales son funciones, Por qu? 5.Diga si las relaciones dadas son funciones o no, explique por qu? a)5 , 0 , 3 , 1 , 3 , 2 , 2 , 11Rb)5 , 1 , 3 , 1 , 5 , 3 , 4 , 2 , 3 , 12Rc)4 2 : ,3x y R R y x Rd)1 : ,24y x R R y x Re)5 2 : ,25x y R R y x R PRACTICO # 2 Aplicando los mtodos analticos propuestos, hallar el dominio de las siguientes funciones 1) 342f x x 2)1 7 f x x3) 22( )xf xx 6 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 4) 2( )xf xx 5) 5 22 3xf xx 6) 25 13xf xx x 7) 22 32 8xf xx 8) 212 1 f x x x9) 241xf xx

10) 3 25 6 f x x x11)ln 2 4 f x x -112) 2ln 4 21 f x x x 13) 2ln1xf xx 14)( ) 5 2 f x x 15) 2( ) 25xf x16) 1 xf x ePRACTICO # 3 Represente grficamente las siguientes funciones y determine su dominio e imagen 1.f(x) =x2 3 2. y =(x 3)23.y =x2 2x 34. y = x2 5x + 6 5.y = x2 x 66.3 x y7.y = (x 2)2 + 18. 8 2x y9. 3 2x y10.y = 23xx11.26 3xxy12.43xx f13. 46 3xxx f 14. xxx g32 15. y=log (2x 3) 16.y = ln(x 3) 17. y = logx + 3 18. 5 2xe x g19.13 . 0xx h 20.12xx h 21. y = ) 4 (21x22. 2 21 xx h23.y=x3 3x + 224.y = x3 x2 6x 25.y =x3 + 2x2 8x26. y = x3 + x2 + 12x27.y = x3 7x2 + 14x 828.y =3x3 + 4x2 x 229. y = 5x3 x2 5x + 1

7 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO PRACTICO # 4 Hallar la funcin inversa de las funciones propuestas 1. y =x2 + 2 2. 2 x y3.y =3x3 24. y = log(x 2)5. y =lnx 26. y =10x 1 + 27. y = ex 2 + 3 PRACTICO # 5 Hallar la funcin compuesta de las funciones propuestas g o f de io min Do ) c f o g ) b g o f ) a : hallarxx gxxx f : Si .1221 g o f de io min Do ) c f o g ) b g o f ) a : hallarx x x gxxx f : Si . 1 31422 13. : 2 1 ( ): ) )x xSi f x x g x x hxxhallar a f o g o h b f oh o g PROBLEMAS ABP Aplicar la teora de funciones para resolver problemas relacionados con economa y administracin. 1.Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio de las curvas de demanda y oferta siguientes (Punto de Equilibrio). Si "p" representa el precio por unidad en dlares y "q" el nmero de unidades por unidad de tiempo. 2 3 1003 5 200 4 50 5 80) ) ) )12 2 7 3 56 6 5 10 3 2 110p qp q p q p qa b c dp q p q p q q p222 10 06 64) ) )58 4 036xx yxy ye f gy xy xx y 2.Dadas las siguientes ecuaciones de oferta y demanda: 5x 7y = 12;x + y = 5. Hallar: a)Punto de equilibrio. b)La cantidad demandada si el precio es 5 bs. c)El precio si la cantidad demandada es 2 unidades. Suponer que y representa el precio y x la cantidad de la demanda. 8 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 3.Dadas las siguientes ecuaciones de oferta y demanda: x + y = 5;y = 2x + 8. Hallar: a)Punto de equilibrio. b)La cantidad demandada si el precio es 1 bs. c)El precio si la cantidad demandada es 2 unidades. Suponer que y representa el precio y x la cantidad de la demanda. 4.Dadas las siguientes ecuaciones de oferta y demanda: 4x + 9y 36 = 0 ;8x + 9y = 72, hallar: a)Punto de equilibrio. b)La cantidad demandada si el precio es 2 bs. c)El precio si la cantidad demandada es 4 unidades.Suponer que y representa el precio y x la cantidad de la demanda. 5.Dada la funcin costo total C(q) = q2 + 6q + 16donde q es el nmero de artculos producidos y C(q) es el costo en miles de dlares. a) Determinar el costo, para producir 6 unidades. b) Determinar la cantidad para que el costo sea 16. c) Graficar. 6.Dada las funcionesp = 9 q2 ; p = q2 + 1. Determine cul de ellas representa la funcin oferta y cuallafuncindemanda.Hallarelpuntodeequilibrioeintrpretesurespuesta(p=precio;q= cantidad). 7.La curva de demanda para un artculo es104yx , supone que y representa el precio y x la cantidad. Hallar la cantidad demandada si el precio es:a) 5b) 4c) 20. 8.Una compaa va a entregar mensualmente 5 000linternas de bolsillo a un precio de 500 $ por unidad,sielprecioesde350$porunidadofrecesolamente2000unidades,determinarla ecuacin de la funcin de oferta para dicho producto, graficar la ecuacin. 9.Uncomerciantepuedevender20rasuradoraselctricasaldaalpreciode$25cadauna,pero puede vender 30 siles fija un precio de $ 20 a cada rasuradora elctrica. Determine la ecuacin de demanda, suponiendo que es lineal. 10.Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades, cuando el precio es de 58porunidad,yde200unidadesaunpreciode$51cadauna.Determinelaecuacinde demanda, suponiendo que es lineal. 11.Cuando el precio es de $ 50 hay disponibles 50 cmaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio es de $ 75 hay disponibles 100 cmaras, Cul es la ecuacin de la oferta? 12.Unfabricantederefrigeradoresproduce3000unidadescuandoelprecioes$940y2200 unidades cuando el precio es $ 740. Suponga que el precio, p, y la cantidad, q, producidas estn relacionadas de manera lineal. Determine la ecuacin de oferta. 13.Suponga que un fabricante de zapatos colocar en el mercado 50 mil pares de zapatos cuando el precioes35(dlaresporpar)y35milparesdezapatoscuandoelprecioes30dlares. Determine la ecuacin de oferta, suponiendo que el precio p y la cantidad q estn relacionadas de manera lineal. 9 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 14.Una lavandera industrial de ropa encuentra que el ingreso y costo de la empresa estn dadas por las siguientes funciones: I(q) = 12qC(q) =8q + 300donde: q = cantidad de ropa lavada en Kg. a)Encontrar la utilidad en funcin a la cantidad de ropa lavada. b)Qu cantidad de ropa se debe lavar mnimo para no perder dinero (punto de equilibrio)? c)Graficar el ingreso, el costo y la utilidad en el mismo plano cartesiano. 15.Lafuncindedemandaparaunalneadereglasdeplsticodeunacompaadeartculosde oficinaesp=0.9-0.0004q,dondepeselprecio(endlares)porunidadcuandolos consumidoresdemandanqunidades(diarias). Determineelniveldeproduccinque maximizar el ingreso total del fabricante y determine ese ingreso. 16.La funcin de demanda para la lnea de Notebook de una compaa de electrnica esp = 2400 - 6q, en donde p es el precio (en dlares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades(semanales).Determineelniveldeproduccinquemaximizarelingresototaldel fabricante y determine este ingreso. UNIDAD 2LMITES A. Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Aplicar la definicin de lmites y resolver los lmites propuestos.Aplicar la teora de lmites para analizar las siguientes funciones: dominio e imagen, asntotas, interseccin y graficar. B.Actividades de aprendizaje: Acontinuacinsedetallanlostrabajosprcticosextraclasequedebenpresentarlos estudiantes para los exmenes parciales. PRACTICO # 1 Aplicando la definicin de lmites, resolver los lmites propuestos 1.Demostrar los Lmites siguientes: a) 24 12 43x Limx para:05 0.b) 7 5 32x Limx para:001 0. c) 24x Limx para: 1 0. d) 5 1 x Lim22 xpara: 1 0.2.Calcule los Lmites siguientes a travs de sus Limites Laterales: a)41624 xxLimxb) 323 xxLimxc)222 xxLimxd)2223xLimx 10 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO PRACTICO # 2 Aplicar los procedimientos adecuados para resolver los siguientes lmites 1.Calcular los siguientes Limites Determinados: a) 12 4 6 2 33x x x Limxb) 4 26 34 xxLimxc) 3 2215 5x Limx 2.Resolver los siguientes Limites Indeterminados: a) : Rx xx xLimx1 2231b) 151610 730 4 22 325: Rx x xx xLimx

c)9166 3 38 4 222 32: Rx xx x xLimxd) 42 22 20: RxxLimx

e)5108681243: Rx x xLimxf) 61 5 61 82321: Rx xxLimx g)91114 510 3222: Rx xx xLimxh) 11 11 12 33 20: Rx xx xLimx i) 1135:12 5 236 21 5 222 34Rx xx x xLimxj) 1142423 42: Rxx xLimx k)544 7 23 52 32 31: Rx x xx x xLimxl) 21112 4 62 31: Rx x xx x xLimx ll)

3121: Rxx xLimxm) 135 2 13: RxxLimx n)3113 1: RxxLimx) 33 3 24 3 :22RxxLimx o) 127 38 622: Rxx xLimxp) 41:22 2 32Rxx xLimx q) 542 33 81: RxxLimx r) 32:1 3 10RxxLimx s) 741216: Rxx xLimx t)2 :2 312 1RxxLimx u) 109:8 12 5233RxxLimxv) 21:1 120Rxx xLimx 11 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO w)0 :8 224RxxLimxx)2 241:8232RxxLimx 3.Resolver los siguientes Limites Indeterminados: a):12 54 8 32Rxx xLimx b)154:6 5 2 34 5 62Rx xx xLimx c)25:1 3 43 52Rx xxLimxd) 625729:1 57 34362RxxLimx e) 1 :112RxxLimxf)432 :11 4 2 352 3Rxx xLimx g) 2 :14 3 242Rxx xLimxh)1 :4 24 22Rx x xxLimx PRACTICO # 3 Aplicarlateoradelmitesparaanalizarlassiguientesfunciones:dominioeimagen,asntotas, interseccin y graficar.

222 22 222 23 9 2 3) ) )2 1 23 3 9) ) )3 6 212 2) ) )5411 2 1) ) )2131 2 2) ) )4 2x x xa f x b f x c f xx x xx xd f x e f x f f xx xxx xg f x h f x i f xxxxj f x k f x l f xxxxx xm f x n f x f xx x x xUNIDAD 3DERIVADAS A. Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Aplicar la definicin para hallar la primera derivada Aplicar las reglas de derivacin y hallar las derivadas de las funciones propuestas Calcular los puntos mximos y/o mnimos de las funciones propuestas Aplicarlosconceptosbsicosdederivadas,resolverlosproblemasdeaplicacin relacionados a la economa y administracin. 12 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO B.Actividades de aprendizaje: Acontinuacinsedetallanlostrabajosprcticosextraclasequedebenpresentarlos estudiantes para los exmenes parciales. PRACTICO # 1 Aplicando la definicin, hallar la primera derivada a) 8 4 5 ) (2x x x f b) 3 22 7 10 6 ) ( q q q q Ic)xx) x ( g3 2 d) 5 4x ) x ( hPRACTICO # 2 Aplicando las reglas de derivacin, hallar las derivadas de las funciones propuestas 1.Hallar la primera derivada: a)12 6 4 ) (2x x x f

b) 3 22 5 4 ) ( x x x x g

c) 12 1xyx d) 428 5 3 ) ( x x x g e) 2 3 3 2) 10 5 ( ) 6 3 ( ) ( x x x h f) 10 6) 5 4 () (23 3xxx f g) 22 3 y xh) 3ln3xyx i) 3y x x j)x x y 2 32 k)5 13252x x yl) 43) (3xx fm) 343) (xx fn) 43) (3xxx fo)4 22x yp) 3 25 9x yq) 21xyr) 231 y xs) xe y1 t) 3 5ln x x yu) 22lnxxyv) 2ln ln x yw) 1) (2xex fx x) x xe ey2 y) x xy24ln 2.Determinar la segunda derivada a)320 1 , 0 5 , 0 ) (2q q q C b) ) 2 4 ( 26 ) (xe x x fc)( )xx xef xe e d) 2( )xf x x ee) 1( )1xf xx f) 23( )2f xx x 13 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 3.Utilizando la regla de la cadena, determinar la derivadadx dyde las funciones: 12 52u yy 6 3) 2 4 ( xe u 4)Derivar en forma implcita las siguientes expresiones: a)5x2 xy 4y2 = 0 b)x3 + y3= 6xy c)x2y3 + 4xy + x 6y=2 d)4xy3 x2y + x3 5x+ 6=0 e)x2y3 + 2xy 3 + 5x + 3y + 11 =0 f)42 3y xy x g) 22299xyx h)1x yx ye ey x PRACTICO # 3 Calcular los puntos mximos y/o mnimos de las funciones propuestas 3 3 2 3 33 2 3 2 3 2 3 23 3 22 4 2 2 4) ) 2 3 ) ) 3 2) 2 8 ) 6 ) 12 ) 6 9 25) 4 ) 6 ) 8 15 ) 43 2 3 2a y x x b y x x x c y x x d y x xe y x x x f y x x x g y x x x h y x x xx x xi y x x j y x k y x x l y x x PROBLEMAS ABP Aplicando los conceptos bsicos de derivadas, resolver los problemas de aplicacin relacionados a la economa y administracin. 1.Juan Lpez atiende y es el dueo de la pastelera Milagros, contrat un consultor para analizar lasoperacionesdelnegocio.ElconsultordicequesusgananciasP(x)delaventadex unidades de pasteles, estn dadas por P(x) = 120x - x2. Cuntos pasteles debe vender para maximizar las ganancias?Cul es la ganancia mxima? 2.Lagananciatrimestraldeunatiendadecalzado(enmilesdedlares)estdadapor: 2( ) 7 303xPx x , donde x (en miles de dlares) es la cantidad de dinero que la tienda gastaenpublicidadcadatrimestre.Determinelacantidadquelatiendagananciatrimestral mxima. Cul es la mxima ganancia trimestral que puede lograr la tienda? 3.LA compaa J.J. Servicios fabrica sus productos con un costo de $ 4 por unidad y los vende a $ 10 la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de $ 12 000 al mes, determinar el punto de equilibrio de la empresa. a) Cul es la perdida de la empresa si slo se producen y venden 1 500 unidades por mes? b) Cul es la ganancia si se producen y venden 3 000 unidades por mes? 14 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO c) Cuntas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual mnima de $ 9 000? 4.Supngasequeunlquidoseproduceporciertoprocesoqumicoyquelafuncindelcosto total C(x) est dado por( ) 6 4 Cx x , donde C(x) $ es el costo total de la produccin de x galones del lquido. Encontrar: a) El costo marginal cuando se produce 16 galones. b) El nmero de galones producidos cuando el costo marginal es de 40centavos por galn. 5.ElnmerodedlaresdelcostototaldelaproduccindexunidadesdeunamercancaesC(x) = x2 + 4x + 8. Encontrar la ecuacin que defina. a) El costo promedio. b) El costo marginal y costo promedio marginal. c) Encontrar el mnimo absoluto del costo unitario promedio. 6.La ecuacin de la demanda de cierta mercanca es P = (x - 8)2 y la funcin del costo total est dada por C(x) = 18x - x2, donde c(x) es el costo total cuando se compra x unidades. a) Encontrar las funciones del ingreso marginal y del costo marginal. b) Encontrar el valor de x que rinde la mxima utilidad. c) Trazar las grficas de las funciones del ingreso marginal y del costo en el mismo sistema de coordenadas. 7.Unacompaaestimaquelademandadesuproductofluctaconsuprecio,lafuncinde demanda anual es: q = 180 000 - 250p, donde "q" es el nmero de unidades demandadas y "p"elprecioendlares,elcostodeproducir"q"unidadesseestimaconlafuncin:C(q) = 350 000 + 300q + 0.001q2

a) Determine cuntas unidades "q" deberan producirse con el objeto de maximizar la utilidad anual. b) Qu precio debera fijarse? c) Cul se espera que sea la utilidad anual? 8.Lademandadelproductodeunacompaavarasegnelprecio quelefijealproducto.La compaa ha descubierto que el ingreso total anual es una funcin del precio y est dada por: I = - 40p2 + 400p Determine: a) El ingreso Marginal para un precio para un precio de 10 dlares. b) El precio que debera colocarse para maximizar el ingreso total. c) Cul es el valor mximo del ingreso total anual? d) Graficar la curva que representa el ingreso total de esta compaa. 9.Lautilidadanualdeunacompaadependedelnmerodeunidadesproducidas,lafuncin quedescribelarelacinexistenteentrelautilidad"p"(precioendlares)yelnmerode unidades producidas "q" es: p = - 0.12q2 + 600q - 25 000 000 a) Determine el nmero de unidades "q" que producirn la utilidad mxima. b) Cul es la utilidad mxima esperada? 15 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 10.Unaempresadelparqueindustrialdenuestraciudadmedianteunestudioeconmico, encontr que las funciones de costo e ingreso totales son: C(q) = 0.01q2 + 1 500 ($us);I(q) = - 0.02q2 + 0.05q + 2 500($us) Determine: a) La utilidad marginal de la empresa para 500 unidades producidas. b) La mxima y/o mnima utilidad de la empresa. c) Cuntas unidades producidas representan esta mxima y/o mnima utilidad. d) Grficamente demuestre el punto de equilibrio de esta empresa. 11.EnlaempresaM&Msedeterminqueelcostodeproduccindeestdadaporlafuncin C(x) = x2 - 4x + 4y la funcin de demanda x(p)= 8 - p, dondex = cantidad, p = precio por unidad.Determine: a) La funcin ingreso y utilidad. b) La utilidad mxima. c) Graficar. 12.Para un producto se determin la funcin costo y funcin ingreso: C(q) = 2q + 10;I(q) = 42q - q2 Determine: a) La funcin utilidad. b) La utilidad mxima. c) Graficar. 13.Una empresa realiza un estudio sobre cierto producto y encuentra los siguientes resultados: Funcin costo: C(q) = 3q2 - 4q - 2funcin demanda: 2q = p - 6 Determine: a) La funcin utilidad. b) Lacantidad que maximiza la utilidad. c) La utilidad mxima. d) Graficar. 14.Si la funcin de ingreso total es R(x) = 500x - 0.005x2, y la funcin costo total es Q(x) = 150 + 100x + 0.003x2. Determinar la funcin ingreso marginal. 15.La industria de calzados "Bata" determin la siguiente funcin de costo total: C(q) = 0.3q3 - 0.2q2 + 120 ($us) donde q = cantidad de calzados producidos. Calcular: a) el costo marginal de produccin para 10 000 pares de calzados. b) la mxima y/o mnima cantidad producida. c) el costo mximo y/o mnima de la industria. d) represente grficamente la funcin costo total de esta industria. UNIDAD 4INTEGRALES A. Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Aplicar los procedimientos adecuados para resolver las integrales definidas e indefinidas. Aplicarlosconceptosdeintegralesenlaresolucindeproblemasrelacionadosala economa y administracin. 16 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO B.Actividades de aprendizaje: Acontinuacinsedetallanlostrabajosprcticosextraclasequedebenpresentarlos estudiantes para los exmenes parciales. PRACTICO # 1 Aplicar los procedimientos adecuados para resolver las integrales propuestas 1.Resolver las siguientes Integrales Indefinidas: a) dx x38b)dxx44c) dx x3 25d)dx ex32 e) dx x x x 4 3 9 62 3 f) dxx xx4 2335 g) dx x x xx751342 42 h) dxxx x32 32 32 i) dx x x x 5 2 3 21 3j)dx x xx 322331213k) dx x x x 3 2 4 323 l) dx x x x ) 2 3 2 5 (2323ll) dx x x x ) 1 4 2 3 (3 3 4 m)dxx x xx 12 12323 2n)dxxx xx21 3 2 32323 ) dxxx x x23 521 4 2 3 o) dxxx x x21 2 4 33 5p) 5 33 4 2 12x x xdxxq) 4 333 2 4 1 x x x dx 2.Resolver las siguientes integrales por elmtodo de sustitucin: a)dx x x53 212 4 6b)dxxx3 4324c) dx e xx 1 2 5653 d)7 5 3 x dxe) 112 3 x dx f) 332 1dxx

g)322 1dxx h)42 3dxx i) 32 3dxx j) 34 1 1 8 x x dxk) 25 x dx l) 3 42 3 4 5 x x dx PRACTICO # 2 Aplicar los procedimientos adecuados para resolver las integrales propuestas 1.Resolver las siguientes Integrales Definidas a) dx x5035 2 b)3126 4 3 dx x xc) dx exxx423345 17 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO d) 512 1 2 dx x xe) 101 2 1 dx x xf)212 3232dxxx

2.Determinar analtica y grficamente el rea delimitada por las curvas: a) 6 3x y ;entre 1 x ; 3 xyel eje x b)8 4 32x x y ;entre0 x ;2 xy el eje x f) y= x2 + 1,entre x = 0 ;x = 2y el eje x. g)y= ex ,entre x = 1 ;x = 1 y el eje x. h)y= x + 2, entre x = 1 ;x = 5y el eje x.i) y=x3 3x2 x+3; entre x = 1 ;x = 2y el eje x.J) y=(x 2)2 1; entre x =1 ; x=4 PRACTICO # 3 Aplicarlosconceptosdeintegralesenlaresolucindeproblemasrelacionadosalaeconomay administracin. 1)Supngase que la funcin de demanda de los consumidores de cierto artculo es y = 4(25 x2). a)Hallar el excedente de los consumidores si el artculo se vende a 64 dlares por unidad. b)Trazarlacurvadedemandaeinterpretarelreaquerepresentaelexcedentedel consumidor. 2)Si la funcin de demanda es y = 85 - 4x x2. Hallar el excedente del consumidor en el punto P(5, 40) 3)La cantidad vendida y el correspondiente precio en situacin de monopolio se determinan por lafuncindedemanda:y=204x2yelcostomarginaly'=2x+6,detalmaneraquese maximice la utilidad. Determinar el excedente del consumidor. 4)Silafuncindeofertaesy=(x+1)2yelpreciosefijaeny0=36,hallarelexcedentedel productor. 5)Silafuncindeofertaesy=(x+1)2yelpreciosefijaeny=25,hallarelexcedentedel productor. 6)Si: Im = 1 5x;Cm = 10 - 3x + 3x2. Hallar la cantidad producida que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad total en situacin de libre competencia. 7)La funcin de demanda para un producto es: p = f(q) = 100 0,05q, donde p es el precio por unidad (en dlares) de q unidades. La funcin de oferta es p = f(q) = 10 + 0,1q. Determine el excelentedelosconsumidoresydelosproductores,bajoelequilibriodelmercado. 18 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO VII.- SISTEMA DE EVALUACION PRESENCIAL PRIMERy SEGUNDO PARCIAL 30 PUNTOS PORTAFOLIO 20 PUNTOS EXAMEN FINAL 50 PUNTOS Primer Parcial: Clase Nro. 9 o 10 (Unidad 1: FuncionesUnidad 2: Limites) Preguntas practicas y problemas ABP Segundo Parcial: Clase Nro. 14 o 15 (Unidad 3: Derivadas ) Preguntas practicas y problemas ABP 20 ptos. 10 ptos. 1.Utilizar FACEBOOKInvestigaciones (LIMAT) Control de Lectura, videos. Ambospresentarelformadigital mediante un comentario en la pgina y un mapa conceptual por escrito. 2.PrcticosEXTRACLASE (SubidosalaredodelaGua MAAP 3.Trabajos diarios en CLASES NOTA: Se debe formar un portafolio con los prcticos diarios en clases, los prcticos extraclases, las investigaciones y control de lectura. Ultima clase19 o 20 Todo lo avanzado Preguntaspracticasyproblemas ABPEVALUACION FORMATIVAEVALUACION CONTINUAEVALUACION FORMATIVA 19 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO VIII.- BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA BIBLIOGRAFA BSICA BudnicK. F. S. (2007).Matemticas Aplicadas para Administracin, Economa y Ciencias Sociales. Mxico: McGraw-Hill/Interamericana. Haeussler, Ernest F. Clculo para Administradores y Auditores. Arya J.C.Lardner R.W. (2002). Matemticas Aplicadas a la Administracin y a la Economa. Mxico. Pearson Educacin. Larson R. y otros (2008). Clculo. Mxico. McGraw-Hill/Interamericana. BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA LazoQ.,S.(2010).lgebraconTrigonometrayGeometraAnaltica,Bolivia. Ediciones Populares. Gutierrez. F., P(1990). lgebra I, Bolivia, LA HOGUERA, Baldor.A. (1985). Aritmtica, Espaa, CODICE, 20 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO MATERIAL COMPLEMENTARIO O DE APOYO 21 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO -Elsiguientematerialdeapoyoeselresultadodeunacompilacindetextosdelos principalesautoressobreeltemapublicadosenlibrosoenfuentesconfiablesde internet. En muchos casos, algunas porciones del texto, han sido adaptadas al contexto local con el nico fin de que resulten ms beneficiosas para el proceso de aprendizaje de los estudiantes. El nico objetivo de este compilado, es entregar a los estudiantes un documento con informacin seleccionada. 22 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO UNIDAD I FUNCIONES Objetivos Especficos Graficar y calcular el Dominio y el Dominio de Imagen de las funciones. Calcular la inversa de una funcin. Realizar la composicin entre dos o ms funciones. 1.1Introduccin Enlosmodelosmatemticos,lasrelacionessignificativassuelenrepresentarsepor medio de funciones matemticas o, ms simplemente, funciones. Las funciones constituyen parte esencial de muchas de las soluciones de los problemas econmicos. 1.1.1Producto cartesiano Sean A y B dos conjuntos diferentes del conjunto vaco se llama producto cartesiano de A por B denotado por A x B , al conjunto formado por todos los pares ordenados que tienen como primer componente a los elementos del conjunto A y como segunda componente a los elementos del conjunto B. Ej.: Dados los conjuntos A y B, hallar A x B y B x A Si: A2, 3, 4 yB1, 2, 3A B (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3) B A (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4) 1.1.2Relacin. Sean A y B dos conjuntos diferentes del conjunto vaco, decimos que el conjunto R es unarelacinbinariadeAenB,siResunsubconjuntodelproductocartesianoAxB.Es decir se representa de la siguiente forma: R: A BRA B Relacin Especial Siunarelacinestalquelasprimerascomponentesdesusparesordenadosnose repiten, se dice que esta relacin es funcin. Se dice que es una funcin especial. Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Ej: Dados los conjuntos A y B hallar tres relaciones y una relacin que sea funcin 1) Si A2, 3, 4 y B3, 4, 5, 6 A B (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) B A (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 2), (6, 3), (6, 4) 23 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Las relaciones a encontrarse deben ser subconjuntos de A x B: a)R1(2, 3), (2, 4), (2, 5) b)R2(2, 6), (3, 3), (4, 4), (4,6) c)R3(2, 3), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 3), (4, 6) d)R4(2, 3), (3, 4), (4, 3)(Relacin que es Funcin)1.2. Funciones. 1.2.1.Concepto de funciones. Unafuncinesunatransformacinquerecibeunconjuntodevaloresdeentradas (materiaprima)paraconvertirlosenotrosvaloresdesalidas(productos),tomandoen cuenta que los de entrada no deben repetirse. Una funcin se la puede representar, mediante el esquema siguiente: 1.2.2.Definicin.Unafuncinesunconjuntodeparesordenados(x,y)entreloscualesnoexistendos pares con la misma primer componente. 1.2.3Notacin de una funcin. Una funcin se denota generalmente de la siguiente forma: ) (x f y Donde:x = variable independientey = variable dependiente f(x) = nombre o caracterstica de la funcin Tambin pueden denotarse de la forma:x g ,) (x h ,) (q P ,) (q C ,) (q I ,) (q U 1.3. Condiciones de una funcin. Una funcin debe cumplir las siguientes condiciones: Condicin de Existencia f y x B y A x ) , /( , Grficamente toda recta vertical que pase por un valor de A debe cortar a la grfica. TRANSFORMACION (PROCESO) FUNCION F(x) SALIDAS PRODUCTOS DOMINIO (X) ENTRADAS MATERIA PRIMA DOMINIO (X) DOMINIO VALORES DE X DOMINIO (X) DOMINIO DE IMAGEN VALORES DE Y DOMINIO (X) 24 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Condicin de Unicidad Si: 2 1 2 1) , ( ) , ( y y f y x f y xGrficamente se dice que toda recta vertical debe cortar a la grfica en un solo punto. 1.4. Funciones Explicitas e Implcitas. Explicitas.Sonaquellasfuncionesenlaquelavariabledependiente(y)seencuentra despejada, es decir que esta en la forma y = f(x) Ej:1) 6 5 ) (2x x x f 2) ) 2 (x Log y Implcitas. Son aquellas en que la variable dependiente (y) no se encuentra despejada, es decir esta en la forma f(x, y) = 0 Ej: 1)5 3y xy 2) 0 12 6 3 y x 1.5. Dominio e Imagen de una Funcin. Dominio(D).Eselconjuntoformadoporlosvaloresdeentradas(x)queson transformadosporlafuncin,esdecirporlasprimerascomponentesdelospares ordenados que forman la funcin. Mtodo para determinar el Dominio. Se siguen los siguientes pasos: 1er Paso: La funcin debe estar en la forma explcita, es decir despejada en y, en la forma y = f(x) 2do Paso: Se analiza los valores de la variable independiente (x), para lo cual debe existir la variable dependiente (y) Imagen (I). Es el conjunto formado por los valores de salida (y) que son resultado de la transformacin, es decir por las 2O componentes de los pares ordenados que forman la funcin. Mtodo para determinar la Imagen. 1erPaso:Sedespejalavariableindependientexdelafuncin,esdecirdebeestarenla forma : x = f(y) 2do Paso: Se analiza los valores de la variable dependiente (y), para lo cual debe existir la variableindependiente (x) Nota:Aldespejarxdelafuncin) (x f y seobtieneotrafuncin) ( y f x queesla funcin inversa, y se expresa de la forma) (1x f Restricciones para el Dominio y la Imagen: SilasvariablesdespejadasyoxpresentanunadeestastresreglastantoelDominio como la Imagen sern restringidos: 25 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO nx P x f ) ( ) (Para:0 ) (x Psin es par ) ( ) ( x P Log x faPara:0 x Psi 0 a y 1 a ) () () (x Qx Px fPara: 0 ) (x Q Nota: Si las funciones no se presentan como una de estas tres reglas tanto el Dominio como la Imagen sern todos los Nmeros Reales (R). Ej.: Hallar el Dominio y la Imagen de las siguientes funciones: 1)11 , 5 9 , 4 7 , 3 5 , 2 , 3 , 1 fDominio: D5 , 4 , 3 , 2 , 1 Imagen:I11 , 9 , 7 , 5 , 3 2)4 ) (2x x fDominio:42x y (la funcin esta despejada en y) ElD: (el dominio son todos los nmeros reales) Imagen:42x yy x 4242y x4 y x Se analiza los valores de y para lo cual debe existir x: 0 4 y4 y LaI: , 4(la imagen es desde 4 hasta ms infinito) 1.6 Clasificacin de Funciones. EmpiricasConstantesLinealesEnterasRacionales CuadraticasAlgebraicasCubicasFuncionesAnaliticas FraccionariasIrracionalesExponencialesTranscendentes LogaritmicasTrigonometricas Lasfuncionespuedenclasificarseatendiendoasuscaractersticasestructurales.A continuacin se explican algunas de las funciones ms comunes. 1.6.1.Funcin constante. Tiene la forma general: a x f y ) ( Donde:aLa Grafica de esta funcin es una Recta Horizontal. Ej.: La funcin 20 ) (x f yEs una funcin constante, cualquiera sea el valor de x, el valor de y ser siempre 20, es decir:

20 ) 10 (20 ) 10 (ff 26 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Funcin de Ingreso. El dinero que entra a una organizacin por la venta de sus productos o por la prestacin de serviciossuelerecibirelnombredeingreso.Lamaneramsbsicadecalcularelingreso total por la venta de un servicio es: Ingreso Total = precio x cantidad vendida q p IT p Precio del producto (dlares, bolivianos) q Cantidad vendida (unidades, cajas, paquetes, etc.) PROBLEMA ABP RESUELTO: Ej.:UnartesanodelaPlaza24deseptiembrevendesusmanillasa5Bsporunidad,sise producenmensualmente5000unidadesdelproductoCulseraelingresototal mensual? 5000 5TI 25000TI (Bs) 1.6.2Funcin Lineal. Tiene la forma general: b ax x f y ) ( Donde:b a, La Grafica de esta funcin es una RectaDondeaes la pendiente yb es el punto de corte con el eje y Ej.: La funcin 5 2 ) ( x x f yEs una funcin lineal con2 ay5 bDominio: 5 2x y ElD:(todos los nmeros reales) Imagen: 5 2x y y x 5 225 yxLaI: 27 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Costo Total. Loscontadoresyeconomistasamenudodefinenelcostototal(dineroquesaledeuna organizacin)apartirdedoscomponentes:costo total variable y costo total fijo.Esos dos componentes han de sumarse para determinar el costo total.

TF TV TC C C Donde: TVC Costototalvariablequeconstandedoscomponentes,loscostosdematerias primas y los costos de manos de obra. TFCCosto total fijo que consiste en los gastos fijos de la empresa o institucin. PROBLEMA ABP RESUELTO: Ej.: El costo de obtener y operar un carro patrulla de emergencias de la ciudad,se estima que completamente equipado es de 18 000 dlares y adems un costo promedio de operaciones de 0,40 dlares por kilmetro. La funcin de costo es: 000 18 40 , 0 ) ( x x C Donde: x 40 , 0representa los costos totales variables 000 18Representa los costos totales fijos 28 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 1.6.3Funcin Cuadrtica. Tiene la forma general: c bx ax x f y2) ( Donde:0 , , a c b aLa Grafica de esta funcin es una ParbolaSi:0 a(+) (parbola abierta hacia arriba) 0 a(-)(parbola abierta hacia abajo) Ej.: La funcin 5 4 3 ) (2x x x f yEs una funcin cuadrtica con, 3 a 4 by5 cDominio:5 4 32x x yElD:(todos los nmeros reales) Imagen: Grficamente LaI:; 3 / 11 Funcin de Demanda. La funcin de demanda es una relacin matemtica que expresa la forma en que la cantidad dedemandadeunproductovarasegnelprecioquetenga.Larelacinentrelasdos variables (cantidad de la demanda y precio por unidad) suele ser inversa. En casi todos los productos, una disminucin del precio da origen a un incremento de la cantidad demandada. Cantidad de la demanda =f (precio por unidad) o) ( p f q PROBLEMA ABP RESUELTO: Ej.: La funcin de demanda de un artculo para el hogar es 1225 702p p qDonde q es el nmero de unidades demandadas y p es el precio en dlares. De acuerdo con la funcin, la cantidad de la demanda a un precio de 10 dlares es: ) 10 ( f q1225 ) 10 ( 70 ) 10 (2q625 q (Unidades) 29 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 1.6.4Funcin Cbica. Tiene la forma general: d cx bx ax x f y2 3) ( Donde:0 , , , a d c b a La Grafica de esta funcin es una Cbica: Si:0 a(+) 0 a(-) Ej.: La funcin 1000 25 40 ) (2 3x x x x f yEs una funcin cbica con1 a ,40 b ,25 c ,1000 d Dominio:1000 25 402 3x x x y ElD:(todos los nmeros reales) Imagen: ElDI:(grficamente) 30 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO PROBLEMA ABP RESUELTO: Control de Epidemias. Ej.: Una epidemia de dengue est propagndose a travs del departamento de Santa Cruz. El departamento de salud estima que el nmero de personas que la contraern es una funcin del tiempo transcurrido desde que se descubri la epidemia, y la funcin es: 2 320 30 t t n30 0 t tTiempo (das) Cuntas personas se esperan que la contraigan al cabo de 10 das? Solucin: El nmero que, segn las previsiones, se habr contagiado despus de 10 das es:

2 3) 10 ( 20 ) 10 ( 30 n28000 n (personas contagiadas) 1.6.5Funcin Racional. Tiene la forma general:

) () () (x hx gx f yDonde: 0 ) (x hDondeg(x)yh(x)sonfuncionespolinomiales.Lasfuncionesracionalessellamanasporsu estructura de razn. Las grficas generalmente presentan asntotas y casi siempre son discontinuas. Ej.: La funcin

42) (xx f yEs una funcin racional con2 ) (x gy4 ) ( x x hDominio: 42xy ElD: 4 Imagen: 42xy2 ) 4 (x y 2 4y xy

yyx4 2La I:0 31 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO PROBLEMA ABP RESUELTO: Rehabilitacin. Los fisioterapeutas descubren a menudo que el proceso de rehabilitacin se caracteriza por unefectoderendimientosdecrecientes.Esdecirlarecuperacindelafuncionalidadsuele aumentarconladuracindelprogramade terapia,peroalalargaun menormejoramiento en relacin con las actividades posteriores del programa. Ej.: Para una incapacidad en particular, los terapeutas han ideado una funcin matemtica quedescribeelCostodeunprogramadeestetipoenfuncindelporcentajedela funcionalidad recobrada, x. Se trata de una funcin racional cuya forma es: xxC1205(miles de dlares)Para:100 0 xCunto ser el costo de la terapia para obtener una recuperacin del 30 %? Solucin: El costo estimado de la terapia para la recuperacin del 30 % es

30 120) 30 ( 5C 667 , 1 C (Miles de dlares) 1.6.6Funcin Exponencial. Es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente Tiene la forma general: xa x f y ) (Donde:la base1 0 a a 32 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO La grafica puede ser Creciente o Decreciente: Si: 1 a es creciente de la forma 1 0 a es decreciente de la forma Ej.: La funcin xx f y21) (Es una funcin exponencial, con la base 2 / 1 apor lo que la funcin es decreciente Dominio: xy21 ElD: (todos los nmeros reales) Imagen:xy21 xLog y Log21) (21) ( xLog y Log

) 2 / 1 () (Logy LogxLa I:; 0 PROBLEMA ABP RESUELTO: Depreciacin. Cuandolasorganizacionesadquierenequipos,vehculos,edificios,yotrasclasesde bienesdecapital,loscontadoresacostumbranasignarelcostodelobjetoalolargodel periodo en que se usa. Ej.: En el caso de un camin que cueste $ 10000 y cuya vida til sea de 5 aos, asignaran $ 2000 por ao como costo de su posesin. Se da el nombre de depreciacin al costo asignado a un periodo determinado. El valor en libros de un equipo industrial se representa mediante la funcin exponencial tV1 . 0) 5 . 2 ( 300000DondeVeselvalorenlibrosexpresadoendlaresytrepresentaelnmerodeaos transcurridos desde la adquisicin del equipo. Cul ser el valor al cabo de 5 aos? 33 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Solucin: El valor del equipo al cabo de 5 aos transcurridos es:

) 5 ( 1 . 0) 5 . 2 ( 300000 V 42 , 189873 V($) 1.6.7Funcin Logartmica. Es aquella en que la variable independiente x aparece en el argumento del logaritmo Tiene la forma general: x Log x f ya) (Donde:la base1 0 a a La grafica puede ser Creciente o Decreciente: Si: 1 a es creciente de la forma1 0 a es decreciente de la forma Ej.: La funcin) 2 ( ) ( x Log x f yEs una funcin logartmica, con la base 10 apor lo que la funcin es creciente Dominio:) 2 (x Log y ; 0 2 x2 x ElD: , 2Imagen: ) 2 (x Log y yx 10 22 10yxLaI: 34 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO PROBLEMA ABP RESUELTO: SupongaquesedepositanenlacooperativaJessNazareno$us1000enunacuentade ahorro que paga 6% por ao. a)Cuanto de dinero habr en la cuenta despus de los 10 aos b)Cuanto tardara en duplicarse el capital de 1000$us Solucin: Datosa) 101010006%1011000 1 0, 061000 1, 061790, 85$tCit aosM c iMMM us

En la cuenta al final de 10 aos habr 1790,85 dlares. b) 10006%?200012000 1000 1 0, 062 1, 062 1, 062 1, 0621, 0611, 9ttttCitMM c iIn InIn tInIntInt aos Como el inters se paga al final de cada ao, el dinero se duplica al cabo de 12 aos. 1.7Funcin inversa. Lafuncininversade) (x f eselconjuntodeparesordenadosqueseobtienen intercambiando los pares ordenados de) (x f, obtenindose la funcin inversa que se la representa por) (x fI. 35 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Ej.: Hallar la funcin inversa 1) 1 ) (3x x fHallando la funcin inversa: Intercambiando las variables x por y: 13x y 13y x Despejamosy:x y 1313x y31 x y31 ) ( x x fI 2)1 ) (xe x f 1xe y 1ye x Despejando y:x ey1 1 x ey ) 1 (x Ln Lney) 1 (x Ln yLne ) 1 (x Ln y ) 1 ( ) ( x Ln x fI 36 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 1.8Composicin de funciones. Unafuncincompuestaexistecuandopuedeconsiderarsequeunafuncindependede otra. Sean las funciones:) (u f yy ) (x g uLa funcin compuesta se denota generalmente de la manera siguiente: ) (x g foxfog) ( Tambin puede ser:) (u f goxgof ) (

Ej: Hallar la funcin compuesta: 1)Determinar xfog) ( y xgof ) ( , dadas las siguientes funciones: 1 3 ) (2x x fy 5 2 ) ( x x g5 2 ) ( x f fogx1 ) 5 2 ( 3 ) (2x fogx 74 60 12 ) (2x x fogx 1 3 ) (2x g x gof5 ) 1 3 ( 2 ) (2x gofx 3 6 ) (2x gofx PROBLEMA ABP RESUELTO: Supngaselasiguientefuncinquerepresentaelsalariosemanaldeunvendedorque depende del nmero de unidades vendidas cada semana: 50 2q S Segnlosresultadosdeunanlisis,lacantidadvendidasemanalmenteporelvendedor depende del precio del producto y est dada por la funcin:

p , q 5 2 150 a)Hallar la funcin compuesta) ( p S , es decir el sueldo semanal en funcin del preciob)Hallarelnmerodeunidadesvendidasenunasemanacuandoelprecioenesa semana es de $us 30, y adems encontrar el sueldo del vendedor para esa semana Solucin: a)Hallando la funcin compuesta:) ( p SSe sustituye la funcinqen la funcinS : 50 ) 5 , 2 150 ( 2 p S 50 5 300 p Sp S 5 350b)Hallando el nmero de unidades cuando el precio es de $us 30 ) 30 ( 5 , 2 150 q 75 150 q) ( 75 u qCuando le precio es de $us 30 el nmero de unidades vendidas es de 75 semanal. Hallando el sueldo del vendedor cuando el precio es de $us 30 ) 30 ( 5 350 Sus $ S 200 Cuando el precio es de $us 30 el sueldo del vendedor es $us 200 semanal. 1.9.Aplicaciones de las Funciones. Funcin de la Oferta. Lafuncindelaofertarelacionaelpreciodemercadoconlascantidadesquelos proveedores estn dispuestos a producir y vender. La implicacin de estas funciones es queloqueseintroduceenelmercadodependedelprecioqueelpblicoconsumidor est dispuesto a pagar. La cantidad o volumen que los proveedores estn dispuestos a ofrecer suele variar directamente con el precio del mercado. Cantidad de la oferta =f (precio de mercado)) ( p f q 37 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Funcin de Utilidad. La Utilidad de una organizacin es la diferencia entre el ingreso total y el costo total Utilidad = ingreso total costo total T TC I Uo) ( ) ( ) ( q C q R q UCuando el ingreso total es mayor que el costo total, la utilidad ser positiva, en tal caso sellamagananciaoutilidadneta.Sielcostototalesmayorqueelingresototal,la utilidad es negativa y se le da el nombre de prdida neta o dficit. Anlisis de Equilibrio. Enesteanlisiselobjetivoprimarioesdeterminarelpuntodeequilibrio.Estepunto puede expresarse en funcin de: 1)Volumen de produccin (o nivel de actividad) 2)Ventas totales en dlares 3)Porcentaje de capacidad de produccin Losmtodosderealizaresteanlisissonbastantessencillos,ademssedisponede otros mtodos de calcularlo. He aqu el mtodo habitual: 1)Se formula el costo total en funcin de q, o sea el nivel de produccin 2)Se formula el ingreso total en funcin de q Formar la funcin de utilidad) ( ) ( ) ( q C q R q Uy hacer0 ) (q U , o igualar) (q Ccon ) (q R yluegosedespejaq .Elvalorresultantedeq eselniveldeequilibriodela produccin. UNIDAD 2: LMITES A. Objetivos.Identificar los puntos donde la funcin no est definida. Aplicar las propiedades de los lmites en la resolucin de problemas. Calcular asntotas verticales, horizontales y oblicuas. Analizar la continuidad y la discontinuidad de las funciones. B. Actividades de aprendizaje 2.1 Introduccin. Dosconceptos muyimportantesenelclculodiferencialeintegralsonelLmitedeuna funcin y la Continuidad, ambos conceptos se necesitan en ocasiones para la solucin de problemas de tipo econmicos. 2.2 Definicin de Lmite. Seaf(x)unafuncindefinidaparaelvalorx=adesudominio,decimosquef(x)tiene lmite finito L en el punto x =a, si para cualquiera psilon ) (mayor que cero, existe un valor delta ) ( mayor que cero tal que se cumple la siguiente desigualdad. El:L x f Lima x) ( 0 ;0 / L x f ) (sia xNota: para demostrar la existencia de un lmite es necesario hallar el valor de deltaa partir del cual se cumple la desigualdad L x f ) ( 38 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 2.3 Interpretacin geomtrica.

Ej: Demostrar el siguiente lmite 5 4 33) x ( Limx para: 02 0,02 0 5 4 3 , x si3 x 02 0 9 3 , x si3 x02 0 3 3 , xsi3 x302 03,x si3 x Por comparacin de las dos desigualdades: 302 0, 0067 0,q. d. Ej: Al pesar un producto en el mercado se comete un error del 3 %. Si por 5kg del producto se paga Bs 15 y el proceso de pesaje viene representado por la funcin: 5 2 ) ( x x f Donde: ) (x f precio (Bs)yx peso (kg) Hallar el peso y precio real del producto Peso real: % 3 de 5 kg15 , 0(kg) kg kg kg 85 , 4 15 , 0 5 (Peso real del producto) Precio real: L x fsi a x15 5 2xsi 15 0 5 , x5 2 x si 15 0 5 , x

25 xsi 15 0 5 , x15 02, 3 0 15 0 2 , ,(Bs.)Bs Bs Bs 7 , 14 3 , 0 15 (Precio real del producto) yxaLLLa ax f 39 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 2.4. Lmites Laterales. Se dice que una funcin f(x) tiene lmite L cuando x tiende aasi los lmites laterales por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, es decir:

L x f Lima x L x f Lim x f Lima x a x Ej.: Hallar el lmite de la funcin, utilizando los lmites laterales 1) 2422 xxLimx

42422 xxLimx 42422 xxLimx Cuando x tiende a 2 por la izquierda y se aproxima a 4, y cuando x tiende a 2 por la derecha tambin y se aproxima a 4, como existen y son iguales entonces: 42422 xLimxx ACLARACIONES IMPORTANTES: Se presentan las siguientes aclaraciones que se debe tomar en cuenta al momento de realizar los ejercicios, ya que estas nos permitirn facilitar la resolucin de los mismos. 1.Un nmero mayor que uno elevado a infinito es infinito:23 2.Un nmero menor que uno elevado al infinito es cero:023 3.Un nmero real dividido entre infinito es cero:0a 4.Un nmero real dividido entre cero es infinito: 0a 5.Cero dividido entre un nmero es cero:00a 2.5Lmites Determinados.Un lmite es determinado cuando al evaluar la funcin en el valor al cual tiende x este lmite existe o es un nmero real. Ej: Resolver los siguientes lmites determinados: 1) 4 6 2 3 2 6 32 22x x Limx x1,51,91,9922,012,12,5 y3,53,93,9944,014,14,5 40 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 2) 3265 3 3 2523xxLimx 3) 91 1 7 12 1 5 12 53 3 31, ) ( x Limx 2.6 Lmite Indeterminado.Un lmite es indeterminado cuando al evaluar la funcin en el valor al cual tiende x el lmite no existe, es decir da una indeterminacin 2.6.1Tipos de Indeterminaciones. En la teora de los lmites se conocen siete tipos de indeterminaciones, los cuales son: 1)002)3)1 4) 5) 0 6)0 7)00 2.6.2Clculo de lmites Indeterminados. Caso: 00 (Para salvar esta indeterminacin se debe descomponer y simplificar) Ej: Resolver los siguientes lmites indeterminados: 1) 0010 2 3 24 210 3 422222x xxLimx Salvando la indeterminacin, descomponiendo se tiene: 2 52 22 x xx xLimx 522 xxLimx =5 22 2 = 74

2)003 273 3 3273 33 33xxx xLimx Salvando la indeterminacin, descomponiendo y realizando un arreglo, se tiene: 233 9 33 3x x xx xLimx

233 9 33 3x x xx xLimx 233 93x x xLimx=23 3 3 93 3 =273 =91 3)005 55 5555xxLimx Salvando la indeterminacin, por medio de la racionalizacin: 55555xxxxLimx 2 255 5 5xx xLimx

55 55 xx xLimx

55x Limx =5 5 = 5 2 41 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Caso:(Parasalvarestaindeterminacinsedebedividircadaterminoporelxn, siendo n el de mayor exponente) Ej: Resolver los siguientes lmites indeterminados: 1)4 1012 8 54 1012 8 52 2xx xLimx 2 22 2 224 1012 8 5xxxx xxxxLimx =050 00 0 54 1012 854 1012 852222xxxxLimx 2)5 4 26 65 4 26 632 332 3x xx xLimx Salvando la indeterminacin, dividiendo por x3, siendo 3 el mayor exponente 3 3 333 32335 4 26 6x xxxxx xxxxLimx =3 235 426 16x xxxLimx =3 235 426 16 =0 0 20 0 6 =3 3) 4 3 25 3 24 2 35 3 2 5xx x x xLimx x x Salvando la indeterminacin, dividiendo por x5, siendo 5 el mayor exponente 4 3 25 5 5 55 5 25 5 5 54 2 35 3 2 5xx x x xx x x xLimx x xx x x x = 2 3 42 3 53 4 2 13 5 25xxx x xLimx x x= 2 3 42 3 53 4 2 13 5 25xLim= 0 0 0 0 005 0 0 0 5 PROBLEMAS ABP RESUELTOS 1.Se estima que dentro de t aos la poblacin de la villa primero de mayo ser: 120 1001tpttmiles de habitantes a)Qu poblacin tendr dentro de 10 aos 42 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 10120 100lim1120 10 10010 1100 habitantesttptpp mil Dentro de 10 aos la poblacin de villa primero tendr 100 mil habitantes. b)Graficar:

2.En ciertaempresa la funcin de costo que est representada por la siguiente ecuacin: 50 202xxCx donde x es el nmero de unidades producidas en miles. a)Qu le pasara al costo si llega a producirse dos mil unidades? 2250 20 50 2 20 80lim2 2 2 0x x xxPara x milxC C Cx b)Qu le pasara al costo si llega a producirse cada vez ms unidades? 50 20 50 20lim2 2indeterminacionx xxxC Cx Salvando la indeterminacin: 50 20 205050 20lim lim lim2 221x x xx x xxxx x xC C Cxxx x x 43 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 205050 05021 01x x xC C C El costo se reducir a 50. Esto se debe a las economas de escala, mientras ms se produce el costo tiende a disminuir. 2.7 Asntotas y Continuidad de una Funcin. 2.7.1Asntotas. Existen tres tipos de asntotas, las cuales son: Asntotas Verticales (AV): Si:x f Lima xEntonces Existe AV en: a x Asntotas Horizontales (AH): Si: b x f Limx Entonces Existe AH en:b y Asntotas Oblicuas (AO): Tiene la forma:b mx yDonde: xx fLim mx ymx x f Lim bx 2.7.2 Continuidad de una Funcin. Se dice que una funcin y = f(x) es continua en un punto x = a si cumple con las siguientes condiciones: 1)a f (que la funcin este definida o exista en x = a) 2)x f Lima x (que el lmite de la funcin exista en x = a) 3)x f Lim a fa x(que la 1 y la 2 condicin sean iguales) Cuando no cumple con una de estas condiciones, se dice que la funcin es discontinua en x = a. 2.7.3Discontinuidad. Existen dos tipos de discontinuidad, que son: evitable y no evitable. Discontinuidad Evitable: Se dice que una funcin f(x) es discontinua evitable en x = a, si: 1.Cumple la 2 y no la 1 condicin de continuidad. 2.Cumple la 1 y la 2 y no la 3 condicin de continuidad. Discontinuidad No Evitable: Se dice que una funcin f(x) es discontinua no evitable en x = a, si: Cuando no cumple con la 2 condicin de continuidad. 44 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO PROBLEMA ABP RESUELTO: 1)Una empresa de servicio de televisin por cable en nuestra ciudad, estima que el nmerode usuarios que se suscriben cada mes viene dada por: 4 250ttt CDonde: C(t) = cantidad de usuarios t = tiempo (meses) a)Encontrar el Dominio, la Imagen y graficar la funcin. b)Determinar si la suscripcin de usuarios es continua o discontinua. c)Calcular la cantidad de usuarios al cabo de 6 meses y al cabo de 2 aos. Solucin: a)Dominio: la funcin est en forma explcita, porque C(t) = f(x)

4 250ttt C (se busca el nmero que haga cero al denominador) 0 4 2t 4 2t2 tEl D:2Imagen: se debe despejar x, en este caso t, porque t = x t ) t ( C 50 4 2 t C tC 50 4 2C t tC 4 50 2 C ) C ( t 4 50 2 50 2 4C Ct La I: 25b)Continuidad: (se analiza en el valor que hace cero al denominador de la funcin)Continuidad: en t = 2(se analiza las tres condiciones) 1. 01004 41004 2 22 502 ) ( C (no existe, entonces no cumple) 2. 01004 2 22 504 2502 ttLimx (no existe, entonces no cumple) 3. 4 25022ttLim ) ( Cx (no cumple) No cumple con ninguna de las tres condiciones, la funcin es discontinua en t = 2 La suscripcin del nmero de usuarios es discontinua al cabo de 2 meses c)Cantidad de usuarios: Parat = 6 (meses): 5 3783004 6 26 506 , ) ( C La cantidad de usuarios al cabo de 6 meses es de 37,5 usuarios Parat = 2 (aos) = 24 (meses): 3 2744200 14 24 224 5024 , ) ( CLa cantidad de usuarios al cabo de 2 aos (24 meses) es de 27,3 usuarios 45 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Graficar: UNIDAD 3: DERIVADAS A. Objetivos. Interpretar la definicin de la derivada de una funcin en un punto. Calcular la derivada de las funciones por definicin y por tablas. Derivar funciones expresadas en forma implcita. Analizar completamente una funcin. B. Actividades de aprendizaje 3.1Introduccin. La derivada puede servir para aproximar los cambios en y si se produjera un cambio en el valor de x. Tambin la derivada es parte fundamental en la solucin de problemas de tipo econmicos donde intervienen los mximos, mnimos y el anlisis marginal. 3.2Definicin. La derivada de una funcin f(x) es otra funcin que est dada por el lmite del cociente incremental de la variable dependiente (y) e independiente (x) en cualquier punto de su dominio, y simblicamente se lo representa de la siguiente forma:

0 0Ix xf x x f x yf x Lim Limx x x Razn de incremento

0f x x f xlf x Limxx(Derivada por Definicin) Nota. La derivada es un lmite y existir la derivada si existe el lmite 3.2.1Notacin. La derivada (1 derivada) de una funcin) (x fse las denota de las siguientes formas: ) (x fI ; Iy ; dxdy ; dxdf ; y Dx ; ) (x Df 46 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 3.3. Interpretacin Geomtrica. Geomtricamente la Derivada de una funcin en un punto P(x, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva ) (x f yen un punto determinado

3.4 Derivadas por Definicin. Ej: Calcular la primera derivada(x) fl por definicin 1) 9 6x 3x f(x)2 9 ) ( 6 ) ( 3 ) (2x x x x x x fReemplazando:

xx x x x x xLim x fxI9 6 3 9 6 32 20

xx x x x x x . x xLim x fxI9 6 3 9 6 6 3 6 32 2 20

xx x xLim x fxI6 3 60 6 3 60x x Lim x fxI6 6x x fI 2)x x x f 5 2 ) (3 ) ( 5 ) ( 2 ) (3x x x x x x f Reemplazando:

xx x x x x xLim x fxI) 5 2 ( ) ( 5 ) ( 2) (3 30

xx x x x x x x x x xLim x fxI5 2 5 5 2 6 6 2) (3 3 2 2 30

xx x x x xLim x fxI) 5 2 6 6 () (2 20 ) 5 2 6 6 ( ) (2 20x x x x Lim x fxI5 6 ) (2x x fI 3)x x f 2 3x x x x f 2 3y yx xy ) , ( y x PyRecta Secante Recta Tangente x x 47 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Reemplazando y racionalizando: x x xx x xxx x xLim x fI2 3 2 32 3 2 3 2 3 2 30 x x x xx x xLimx x x xx x xLim x fx xI2 3 2 32 3 2 2 32 3 2 32 3 2 302 20

x x x x x x xLim x fxI2 312 3 222 3 2 322 3 2 320 3.5. Reglas de Derivacin. Sea:cte cyw v u , ,funciones dex , se tiene: FuncinDerivadaFuncin Derivada 1)c x f ) ( 0 ) (x fI7)vux f ) ( 2) (vv u v ux fI II 2)x x f ) ( 1 ) (x fI8) nu x f ) ( I n Iu u n x f . . ) (1 3)x c x fc x fI) ( 9) ue x f ) ( u I Ie u x f . ) (4) nx x f ) (1 n Ix n x f 10)ua x f ) (Lna a u x fu I I 5)w v u x f ) (I I I Iw v u x f ) (11)) ( ) ( u Ln x f uux fII) (6)v u x f ) ( I I Iv u v u x f ) (12)u Log x fa) ( e Loguux faII) ( 3.6.Derivadas por Tablas. Ej: Calcular la primera derivada por tablas 1)53 ) ( x x f 2) xe x f26 ) ( 3)) 7 3 ( ) (2x Ln x f

415 ) ( x x fl x le x f212 ) (7 36) (2xxx fl

4) 12 10 6 4 ) (2 3x x x x f(Se aplica la regla No 3, 2 y 1) 0 1 10 2 6 3 4 ) (1 1 1 2 1 3x x x x fI

10 12 12 ) (2x x x fI 5) 3 5) 8 5 .( 4 ) ( x x x f (Se aplica la regla No 4) 54x u ;3) 8 5 ( x v

420x uI 5 . ) 8 5 ( 32x vI 2) 8 5 ( 15 x vI

48 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Reemplazando la regla No 4, se tiene:

2 5 3 4) 8 5 ( 15 . 4 ) 8 5 .( 20 ) ( x x x x x fI 2 5 3 4) 8 5 ( 60 ) 8 5 ( 20 ) ( x x x x x fI x x x x x fI3 8 5 ) 8 5 ( 20 ) (2 4 ) 8 8 ( ) 8 5 ( 20 ) (2 4x x x x fI 3.7Derivadas de Funciones Implcitas. Para derivar funciones implcitas se siguen los siguientes pasos: 1)Se deriva a ambos miembros, tomando en cuenta que x es la variable independiente y y es la variable dependiente. 2) Aplicar la regla de la cadena. 3) Despejar la derivada y realizando operaciones algebraicas. Ej: Hallar la derivada de la siguiente funcin implcita 1) 13 3y x 0 3 32 2 ly y x2 23 3 x y yl

22yxyl 3.8Derivadas de Orden Superior. Se llama derivada de orden superior a la derivada sucesiva de una funcin. As) (x fl representa la primera derivada, si volvemos a derivar) (x fl tendremos la segunda derivada) (x fll y as sucesivamente. 3.8.1Notacin de la Derivada Superior. Si ) (x f yentonces: ) (x f yl l Primera derivada ) (x f yll ll Segunda derivada ) (x f ylll lll Tercera derivada ) (x f yn n Ensima derivada 3.8.2. Clculo de Derivadas de Orden Superior. Ej: Calcular las derivadas de orden superior 1)x x x x f 4 6 2 ) (2 3

4 12 6 ) (2x x x fl 12 12 ) ( x x fll 12 ) (x flll 0 ) (x f lV

2) xxe yx x lxe e yx x x llxe e e y) 2 ( x e yx ll 3.9 Regla de la Cadena o Derivada de una Funcin Compuesta. Es una regla o mtodo que funciona como un cambio o sustitucin de variable, por lo tanto es una funcin compuesta donde resulta que su derivada se la realiza en relacin a 49 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO la variable del dominio de la primera funcin y con la imagen de la segunda o ltima funcin. Sean las funciones:) (u f y y) (x f uSu derivada ser:dxdududydxdy Ej.: Derivar las siguientes funciones, aplicando la regla de la cadena 1)Sean las funciones: 6 32u y;10 52xe uududy6; xedxdu210 xe udxdy210 6xe udxdy260 x xe edxdy2 210 5 60 x xe edxdy2 4600 300 3.10 Mximos y Mnimos. Regla para determinar el Mximo y/o Mnimo en una funcin. 1)Se calcula la 1 derivada) (x fl y luego se iguala a cero, es decir0 ) (x fl. Al igualarse a cero la 1 derivada se transforma en una ecuacin cuyas soluciones o races son los puntos crticos de la funcin 1)Se calcula la 2 derivada, es decir) (x fll 2)Los puntos crticos encontrados en el primer paso se sustituyen en la 2 derivada: Si:01x fIIExiste un Mnimo en x1 02x fIIExiste un Mximo en x2 3)Para hallar los puntos mximosy mnimos en elsistema cartesiano, se reemplazanestos puntos crticos en la funcin f(x), es decir: ) (11x f yExiste el mnimo en P1 (x1, y1) ) (2 2x f yExiste el mximo en P2 (x2, y2) Ej: Hallar el Mximo y/o el Mnimo 1) 13 24 9 ) (2 3x x x x f1 Paso: 24 18 3 )2 (x x x fl

0 24 18 32x x 0 8 62x x0 ) 4 )( 2 ( x x 21x y 42x(puntos crticos) 2 Paso: 18 6 ) ( x x fll 3 Paso:Reemplazar los puntos crticos en la 2 derivada 21x ; 6 18 ) 2 ( 6 ) 2 (IIf Existe un Mximo en21x42x ;6 18 ) 4 ( 6 ) 4 (IIf Existe un Mnimo en42x4 Paso:Reemplazar los puntos crticos en la funcin 21x ;7 13 2 24 2 9 2 ) 2 (2 3fExiste Mx en ) 7 , 2 (1P 42x;3 13 4 24 4 9 4 ) 4 (2 3f Existe Mn en ) 3 , 4 (2P 50 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO PROBLEMAS ABP RESUELTOS: 1. La demanda del producto de una compaa vara segn el precio que se fije al producto, la compaa ha descubierto que el ingreso anual I (expresada en miles de dlares) es:

250 500 I p pa)Determinar que precio debe fijarse con el objeto de maximizar el ingreso total b)Cual es valor mximo del ingreso anual c)Graficar la funcin Ingreso. Solucin: a)Determinando el precio que debera fijarse con el objeto de maximizar el ingreso total:

250 500 I p pDerivando: ''100 5000100 500 05$I pIpp us Verificando si es mximo:

''100 I Como ''0, I es mximo b)Hallando el valor del ingreso anual (mximo)

22maxmax50 50050 5 500 5I 1250$I p pIus c)Grfico: 250 500 I p p 51 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO

El ingreso mximo ser de 1250 $us cuando el precio sea de 5 $us. 2. Una industria de nuestro medio encuentra que la produccin de su producto viene expresada por la siguiente funcin: q q q P 3 ) (3 Donde: P = produccinyq = materia prima Encontrar la produccin mxima y mnima real del producto 1 Paso:3 3 ) (2q q PI11q y 12q (puntos crticos) 2 Paso:q q PII6 ) (3 Paso:Reemplazar los puntos crticos en la 2 derivada q1 = -1;6 ) 1 ( 6 ) 1 (IIPExiste un mximo en q1 = -1 q2 = 1 ;6 ) 1 ( 6 ) 1 (IIP Existe un mnimo en q2 = 1 4 Paso:Reemplazar los puntos crticos en la funcin q1= -1;2 1 3 1 ) 1 (3PExiste ProdMx en P (-1, 2) q2= 1 ;2 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 (3PExiste ProdMn en P (1, -2) Por lo tanto no existe produccin Mxima ni Mnima Real3.11 Aplicacin de las Derivadas. 3.11.1Recta Tangente a una Curva. Para hallar la recta tangente a una curva en un punto) , (1 1y x Py por la definicin geomtrica de la derivada que dice que: La derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva. Por lo tanto la ecuacin de la recta tangente a la curva viene dada por: ) )( (1 11x x x f y yl Ej.: Hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva 22 3 ) ( x x x fen3 x , adems graficar: Para31x; 1yser:Ahora) (1x fl ser: 213 ) 3 ( 2 3 y 61y x x fl2 2 ) ( 4 ) 3 (lfLa ecuacin de la recta ser: ) 3 ( 4 6 x y 12 4 6 x y 6 4x y 52 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 3.11.2 Anlisis Marginal. Costo Marginal. El Costo Marginal es el costo adicional en que se incurre al producir y vender una unidad ms de un producto o servicio. Nota. La funcin Marginal es la 1 Derivada) (x fl de la funcin) (x f . PROBLEMA ABP RESUELTO: 1)ElgerentedelafbricadeharinademazdeMairana,medianteunainvestigacin encuentra que el costo de produccin de su producto est dada por la funcin:

2003 , 0 100 150000 ) ( q q q CDonde:Ccosto total de produccin ($us) qcantidad de produccin (tn) Encontrar el Costo Marginal y el Costo Promedio para 100 tn de harina producida. Solucin: Costo Marginal para 100 tn: q q Cl006 , 0 100 ) ( ) 100 ( 006 , 0 100 ) 100 (lC ) ($ 6 , 100 ) 100 ( us Cl Costo promedio para 100 tn: qq qq CP2003 , 0 100 150000) ( qqq CP003 , 0 100150000) ( ) 100 ( 003 , 0 100100150000) 100 (PC) ($ 3 , 1600 ) 100 ( us CP Grfica: 53 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO UNIDAD 4: INTEGRALES A. Objetivos. Aplicar los mtodos de integracin para resolver integrales indefinidas. Aplicar las propiedades de integracin en el clculo de integrales definidas. Aplicar las integrales definidas en el clculo de areas. B. Actividades de aprendizaje 4.1Introduccin. Unaspectofundamentaldelclculointegralesdeterminarlasreasqueseencuentran entre curvas y otras fronteras definidas. As tambin si se conoce la derivada de una funcin, con el clculo integral podr obtenerse la funcin original. 4.2Concepto. La integral es la operacin inversa de la derivada, por lo tanto conocida la derivada ) (x fl, con laoperacinintegralsecalculalafuncinoriginal ) (x f.Tambinsedicequelaintegralse interpreta como la sumatoria de elementos infinitamente pequeos en cantidades infinitamente grandes. 4.3Integral Indefinida. 4.3.1. Definicin. Se dice que una funcin F(x) es funcin primitivade otra f(x), cuando esta ltima es la derivada de la primera. La funcin F(x) se llama integral indefinida de f(x)y se la expresa de la siguiente forma: f xdx Fx c Donde:signo integral) (x f funcin integrando ) (x Ffuncin primitiva cconstante de integracin 54 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 4.3.2Interpretacin geomtrica. La integral indefinida da como resultado una familia de curvas las cuales solo difieren de una constante, que se denomina constante de integracin. Ej.: Sea la siguiente funcin:c x x F2) ( A esta integral o funcin primitiva corresponde una familia de parbolas que difieren en laconstante c. xy-6 -4 -2 0 2 4 6-4-2024

4.4 Reglas de Integracin. 1)c x dx6)c x Ln dxx1 2)cnxdx xnn117) cnudu unn11 3) dx x f k dx x kf8)c e du eu u 4) dx x g dx x f dx ) x ( g x f9) c u Ln duu1 5) c e dx ex x 4.4.1Clculo de Integrales Indefinidas. Ej: Resolver las siguientes integrales indefinidas: 1)dx x36 (se aplica la regla 2)

dx x36

cx464

c x423 2)dx e xx5 92 (se aplica la regla 4, 2 y 5)

dxxe dx x 5 92 c exx5393 c e xx5 33 55 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 3)dx x x x 5 6 2 103 4(se aplica la regla No 4, 3 y 2) dx xdx dx x dx x 5 6 2 103 4

dx xdx dx x dx x 5 6 2 103 4 c xx x x51 161 321 4101 1 1 3 1 4 c xx x x526425102 4 5

c x x x x 5 32122 4 5 4)dxxx x x22 36 4 5 2(Simplificamos la expresin dividiendo)

dxxdxxxdxxxdxxx2 2 22236 4 5 2 dx x dxxdx xdx2614 5 2

cxx Ln xx16 4 5221 2 cxx Ln x x64 52 PROBLEMA ABP RESUELTO: 1)UnfabricanntedescubriqueelcostomarginalcuandoseproducenqunidadesesCm =3q - 60q + 400 Dolares por unidad. Si el costo total de produccion de las dos primeras unidadeses $us 900, Cul es el costo total de produccion de las 5 primeras unidades? Solucion: Recuerdese que el costo marginal es la derivada de la funcionde costo total C(q). Asi , C(q)=3q-60q+400 Y por tanto C(q) debe ser antiderivada3' 3 60 400 30 400 Cq C q dq q q dq q q q k ParaalgunaconstanteK.(seempleolaletraKparalaconstanteafindeevitar confucion con la funcion de costo C). El valor K esta determinado por el hecho de que C(2)=900. En particular

3 2900 2 30 2 400 2o K=212 KPor tanto, 3 230 400 212 Cq q q q Y el costo de produccion de las 5 primeras unidades es: 3 25 5 30 5 400 5 212 $1, 587 C US 4.5 Mtodos de Integracin. 4.5.1Mtodo de sustitucin.Consiste en el cambio de una parte de la funcin por otra variable (u, v, w, t), para que por un procedimiento adecuado pueda cumplir con una de las reglas de integracin. 56 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Ej: Resolver las siguientes integrales 1)dx x x 5 2 33 2 (realizando un arreglo para facilitar la sustitucin) dx x x/22 135 2 3 Cambio de variable: Sustituyendo u, se tiene: 5 23x u

632 1duu/= du u/ 2 163 26xdxdu

c/u/1 2 1 211 2 1 = c/u/2 3 212 3 dx xdu26

c u331 =c x335 231 2)dx xex 6 328 (realizando un arreglo para facilitar la sustitucin) dx x ex 6 328 Cambio de variable: 68dtet=dt et68 6 32x t

c et34=c ex 6234xdxdt6xdxdt6 4.6 Integral Definida. 4.6.1Definicin.Sea f(x) una funcin continua en el intervalo de su dominio b , a , el rea de la regin bajo la curva y = f(x) y el eje x, entre las rectas x = a y x = b, est dada por la expresin: 01nAR Lim f x xi ixi Sedicequef(x)esintegrableenelintervalob a, ,entonceslaintegraldefinidadef(x) entre a y b viene dada de la siguiente forma:

01nb f x dx Lim f x xai ixi Entonces el rea de la regin bajo la curva est dada por la integral definida: bAR f xdxa 57 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 4.6.2Interpretacin Geomtrica.

bbAR f xdx Fx Fb Faaa Teorema Fundamental

4.6.3Clculo de Integrales Definidas. Ej: Calcular las siguientes integrales definidas 1) 3125 3 dx x= 313533 xx= 3135x x =) 1 5 1 ( 3 5 33 3=362) dx ex20321 =20321x ex= 0 3212 3210 2e e=0 5 0 6 69 3 , , = 81 , 23)dx x x302 35 3 2=303 453342 xx x=0 5 0203 5 3233434= ) 0 ( 5 , 82 = 5 , 824.7Clculo de reas. Ej: Resolver el siguiente problema 1) Encontrar el rea limitada por la curva 2 22x x y , las rectas2 xy 1 xy el eje x. 2 22x x x f ; 2 a y 1 b Aplicando el Teorema fundamental, se tiene: 1222 2 AR x x dx

1 1 122 2 22 2 AR x dx xdx dx 13 2223 22x xAR x 122323x xxR A 4 4382 131R A

38331R A6 R A(u2) x fR Ai x faixbyx 58 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO Grficamente: 4.8 Aplicaciones de las Integrales. 4.8.1Excedente del Consumidor y del Productor. Excedente (o supervit) del Consumidor. Segnciertashiptesiseconmicas,lagananciatotaldelconsumidoresta representadaporelreabajolalneadedemandaysobrelarectay=y0 yse conocecomoExcedentedelConsumidorytalreasecalculaconlaexpresin siguiente: Excedente del Consumidor (EC)= 00 00xf x dx xy Excedente (o supervit) del Productor. Segnciertashiptesiseconmicas,lagananciatotaldelproductorest representada por el rea bajo la lnea de oferta y sobre la recta y = y0 y se conoce como Excedente del Productor y tal rea se calcula con la expresin siguiente: Excedente del Productor (EP)= 00 0 0xx y f xdx PROBLEMAS ABP RESUELTOS: 1)Si la funcin de demanda es 24 32 x x y , determinar el excedente del consumidor si x0= 3

Para x0= 3 reemplazando en la funcin se tiene que y0= 11: 30211 3 4 32 dx x x EC =303232 32xx x=33 ) 0 ( ) 9 18 96 ( = 36 59 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO 2)SeconocequelacurvadelaofertaparaunproductoesS(x)= 72x.Encuentrela gananciadelosproductoressilaproduccinasciendeadiezartculos.Silaproduccin asciende a 10 artculos el precio esS(10) = 7210 =12 $. La ganancia o supervit de los productores se clculo resolviendo: 10010010025 7212 7212 dxxdxxdxx Ganancia de las productores = 10072x= 25 La ganancia de los productores asciende a 25 $ si la produccin es de diez artculos. 1. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas. Funcindedemanda:P1(q)=1000-0,4q2.Funcindeoferta:P2(q)=42q.Elexcesode oferta y el de demanda estn representados por las reas que muestra la grfica: 60 UTEPSA- ELEMENTOS DE CLCULO La oferta coincide con la demanda en (q0, p0), es decir: p1 (q) = p2 (q) 1000 0,4q2 = 42q - 0,4q2 42q + 1000 = 0 q1 = 125 q2 = 20 Comolosvaloresdelasabscisascorrespondeanmerodeartculosofrecidoso demandados, q0 = 20 y, por lo tanto, p0 = 840. El excedente de demanda o supervit de los consumidores es la regin comprendida entre p1 (q)yla recta p = 840, entre 0 y 20, o sea: 33 133 220034 0 160 4 0 160 840 4 0 000 120032 2200.q. dq q . dq q . El excedente de demanda asciende a $ 2 133,33. El excedente de oferta es la regin comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o sea: 400 8 20 21 20 840 21 840 42 8402 200200q dq q El supervit de oferta alcanza $ 8 400.