Usporedba sustava prirodne dedukcije

16. studenog 2007.

() 16. studenog 2007. 1 / 26

Povijest prirodne dedukcije

Dag Prawitz. Ideje i rezultati teorije dokaza. u Novija �lozo�jamatematike.

CitatµCini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodnededukcije (i) analiza zakljuµcivanja do atomarnih koraka, kojima surazdvojene deduktivne uloge logiµckih konstanti, i (ii) otkrice dvovrsnostiovih atomarnih koraka, tj. otkrice uvo�enja i uklanjanja, koja stoje uodre�enoj simetriµcnoj relaciji.

() 16. studenog 2007. 2 / 26

Encyclopaedia Britannica �98

CitatNajprije, 1934. njemaµcki je matematiµcar Gerhard Gentzen razvio metoduSequenzen (pravila za sekvente), koja je bila posebno korisna za izvo�enjemetalogiµckih rezultata o odluµcivosti. Ovakvu je metodu inicirao Paul Hertz1932, a sliµcnu je metodu opisao Stanislaw Jashkowski 1934. Sljedeca naredu bila je sliµcna metoda bez aksioma �metoda "prirodne dedukcije,"koja koristi samo pravila zakljuµcivanja; ta je metoda potekla iz sugestijeBertranda Russella iz 1925 a razvili su je Quine i logiµcari iz SAD-eFrederick Fitch i George David Wharton Berry. Tehnika prirodne dedukcije�iroko se koristi u nastavi logike, iako time demonstracija metalogiµckihrezultata postaje pone�to teµza [. . . ]

() 16. studenog 2007. 3 / 26

Osnovni pristupi prikazivanju prirodne dedukcijeJaskowski 1

Gra�µcki pristup [S. Jaskowski]: poddokazi se smje�taju unutarpravokutnika.

Dijagramski pristup kasnije razvija Frederic Fitch.

() 16. studenog 2007. 4 / 26

Primjer

() 16. studenog 2007. 5 / 26

Osnovna ideja je u tome da se slikom ukaµze na µcinjenicu da se nekozakljuµcivanje odvija pod nekom pretpostavkom i da se "izlaskom"izvan pravokutnika ukaµze na napu�tanje pretpostavke.

() 16. studenog 2007. 6 / 26

Osnovni pristupi prikazivanju prirodne dedukcijeJaskowski 1

Prva brojka jest redni broj koraka u dokazu. Pretpostavke su oznaµceneslovom S . Brojke nakon prve, ako ih ima, ukazuju na pretpostavke kojevrijede u tom koraku.

() 16. studenog 2007. 7 / 26

Kasniji Suppesov i Lemmonov pristup mogu se promatrati kao razvojovog pristupa s obzirom na "knjigovodstvo", tj. biljeµzenje brojkipretpostavki koje su na snazi.

() 16. studenog 2007. 8 / 26

Osnovni pristupi prikazivanju prirodne dedukcijeP. Suppes i E. J. Lemmon

Primjer

() 16. studenog 2007. 9 / 26

Osnovni pristupi prikazivanju prirodne dedukcijeG. Gentzen

Primjer

() 16. studenog 2007. 10 / 26

�to je prirodna dedukcija?Obiteljski pojam

Francis Je¤ry Pelletier navodi tri obiljeµzja koja se obiµcno oµcekuju od"prirodnog" deduktivnog sustava:

1 On obuhvaca sve uobiµcajane logiµcke veznike;2 Za svaki veznik on ima po dva pravila: pravilo uvo�enja i pravilouklanjanja;

3 On odgovara predteorijskim pravilima zakljuµcivanja, stvarnom naµcinukonstrukcije zakljuµcaka (zato je "prirodan").

Ipak niti jedno navedeno obiljeµzje nije ni dovoljan ni nuµzan uvjet.

PitanjeKoja oµcekivana obiljeµzja ima aksiomatski sustav kojemu je modus ponensjedino pravilo zakljuµcivanja? Je li takav deduktivan sustav prirodan?

PitanjePostoje li opceprihvaceni rezultati o tome kako ljudi doista zakljuµcuju?Mogu li takvi rezultati biti logiµcki relevantni?

() 16. studenog 2007. 11 / 26

Opcenita obiljeµzjaBez aksioma

Najµce�ce se kao razlikovno obiljeµzje prirodnog deduktivnog sustava uodnosu na druge deduktivne sustave (npr. aksiomatske) navodiodsutnost aksioma.

PitanjePoku�ajmo de�nirati pojam o dokazu u sustavu prirodne dedukcije!

De�nicijaDokaz u sustavu prirodne dedukcije za reµcenicu K iz skupa premisa Γ jestniz reµcenica R1, . . . ,Rn takav da:(i) svaka je reµcenica u nizu ili premisa iz Γ ili je privremena pretpostavka ilije dobivena putem primjene pravila izvo�enja iz prethodnih reµcenica u nizu,(ii) posljednja reµcenica u nizu ovisi samo o reµcenicama iz Γ,(ii) posljednja reµcenica u nizu je reµcenica K , to jest Rn = K .

Pote�koca s pojmom "ovisi o". Taj pojam moµzemo de�nirati samo sobzirom na varijantu (stil, format) prirodne dedukcije koji koristimo.

() 16. studenog 2007. 12 / 26

Usporedba prirodne dedukcije u Lemmon i Fitch stilu

Oznaka Lemmon Fitch

Pretpostavke navo�enje rednih brojeva pretpostavke koje su na snazi

pretpostavki o kojima korak ovisi iznad i s lijeva crte dokaza

Broj koraka u zagradama redni broj ispred reµcenice

Pravilo iza dobivene reµcenice s citiranjem reµcenica na kojima se primjenjuje

Stavljanje pretpostavke van snage izostavljanje broja pretpostavke izlaµzenje izvan crte poddokaza

() 16. studenog 2007. 13 / 26

Nazivi u Lemmon stilu

Dokaz, izvod, derivacija.Pretpostavke (asumpcije):

"Trajne" pretpostavke nazivaju se premisama. One se ne "uklanjaju",ne "stavljaju se van snage", ne "li�avamo ih se"; za razliku od..."Privremene" pretpostavke. [eng. discharge za "stavljanje van snage"]

Korak u dokazu.

Sastoji se od:1. zapisa skupa reµcenica o kojima ovisi (vitiµcaste zagrade najµce�ce seizostavljaju i zapisuju se brojke koje oznaµcavaju reµcenice);2. brojke koja oznaµcava reµcenicu u tom koraku (najµce�ce zapisaneunutar oblih zagrada);3. reµcenice;4. naziva pravila i brojµcane oznake reµcenica nad kojima se praviloprimjenjuje ako je rijeµc o izvvedoj reµcenici, inaµce se ili ne pi�e ni�ta ili seupisuje naziv vrste pretpostavke ili se upisuje �Pretpostavka�.

() 16. studenog 2007. 14 / 26

Primjer

Primjer

skup o kojem ovisi brojkom oznaµcena reµcenica dobivena po pravilu iz reµcenic-e/a

1 (1) A^ B1 (2) A ^Elim : 1

() 16. studenog 2007. 15 / 26

Nazivi u Fitch stilu

Dokazna crta.

Glavna dokazna crta je okomita crta koja je krajnja lijevo (lijevo odkoje nema drugih dokaznih crta).Pomocne dokazne crte nalaze se desno od glavne dokazne crte

Pod(...pod)dokaz.

Dio dokaza koji se nalazi desno od dokazne crte koja nije glavnadokazna crta. Broj navo�enja pre�ksa �pod�jednak je broju dokaznihcrta koje se nalaze lijevo od dokazne crte koju promatramo.

Dokazna crta nekog koraka je krajnja desna dokazna crta, naime onadokazna crta desno od koje se upisuje reµcenica u tom koraku.

() 16. studenog 2007. 16 / 26

PrimjerOdredite dijelove dokaza!

crte

5.jpg

() 16. studenog 2007. 17 / 26

Pretpostavke na snazi

Pretpostavke (asumpcije):

Ispod pretpostavki povaµci se vodoravna crtica.Premise se upisuju se na vrhu glavne dokazne crte."Privremena" pretpostavka upisuje se na vrhu pomocne dokazne crte.

U nekom su koraku "na snazi", vrijede sve one pretpostavke koje senalaze na vrhu dokazne crte iza koje se upisuje reµcenica u tom korakui one pretpostavke koje se nalaze na vrhu dokaznih crta koje su lijevoprethodno spomenute.

() 16. studenog 2007. 18 / 26

Pretpostavke na snazi

PrimjerKoja su pretpostavke na snazi u koraku 7.?

() 16. studenog 2007. 19 / 26

Dostupne reµcenice

Dostupne ("iskoristive", "raspoloµzive") su reµcenice nad kojima sesmije primijeniti pravilo.

Dostupne reµcenice za neki korak su reµcenice koje nalaze (i) iznad togkoraka, i koje k tome (ii) leµze na istoj dokaznoj crti ili leµze nadokaznoj crti lijevo od dokazne crte tog koraka.

Smije se "brati" samo prema gore i to "na istoj grani" ili "na lijevimgranama".

() 16. studenog 2007. 20 / 26

PrimjerKoje su reµcenice dostupne u koraku 7.?

crte

7.jpg

() 16. studenog 2007. 21 / 26

Korak

Korak u dokazu.

Sastoji se od:1. okomitih crtica koje pokazuju koje su pretpostavke na snazi.2. brojke koja oznaµcava reµcenicu u tom koraku (najµce�ce zapisaneunutar oblih zagrada);3. reµcenice;4. naziva pravila i brojµcane oznake reµcenica nad kojima se praviloprimjenjuje ako je rijeµc o izvvedoj reµcenici, inaµce se ili ne pi�e ni�ta ili seupisuje naziv vrste pretpostavke ili se upisuje �Pretpostavka�.

Citat, navod.

Za reµcenice nad kojima se pravilo primjenjuje kaµzemo da se u tompravilu one citiraju, navode, spominju.

() 16. studenog 2007. 22 / 26

PrimjerOpi�ite sve obavijesti koje u sebi nosi korak 6.!

() 16. studenog 2007. 23 / 26

Odnos ovisnosti

Naslje�ivanje.

Kod nekih pravila izvedena reµcenica naslje�uje ovisnost; ona je ovisna osvim onim reµcenicama o kojim ovise citirane reµcenice.

Pretpostavke ovise o samima sebi. Reµcenice koje citiraju premise oviseo njima. Reµcenice koje citiraju izvedene reµcenice ovise o onimreµcenicama o kojima ovise citirane reµcenice na naµcin odre�en pravilomkoje se primjenjuje.

Kod nekih pravila privremena se pretpostavka ukida. U tom sluµcajuizvedena reµcenica ne ovisi toj reµcenici iako je citira.

Prednost Lemmon stila: izriµcito su navedene reµcenice o kojimaizvedena reµcenica ovisi.

U Fitch stilu ne moµzemo izravno oµcitati o kojim reµcenicama ovisiizvedena. Me�utim, lako se oµcitava skup reµcenica o kojima moµzdaovisi izvedena reµcenica.

() 16. studenog 2007. 24 / 26

PrimjerOdredite pravila u ovom dokazu! O kojim reµcenicama ovise reµcenice 5. i8.? Naslje�uje li reµcenica 9. ovisnost od reµcenica 5. i 8.?

() 16. studenog 2007. 25 / 26

() 16. studenog 2007. 26 / 26