us - diskretna - modeli kolokvijuma

7/18/2019 US - Diskretna - Modeli Kolokvijuma

http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-modeli-kolokvijuma 1/13

Model 1 - Prvi kolokvijum iz diskretne matematike

1. Dat je skup 2, 1,0,1,2 A u kome je definisana je relacija x y x yρ .

Odrediti graf, tablicu, napisati parove i ispitati osobine relacije.

2. Dati su iskazi : b

a

p f x dx F b F a , 2

2

2ln 2 1

2 1

xq x

x

,

r A B B A i 10

ns

.

Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost

sledećeg iskaza:

p q r s

3. Preslikavanja f i g definisana su sa 4 10 f x x i 5g x x . Odrediti

1 3 f g

.

4. Dat je skup 0,1,2,3.....,9S . Odrediti skupove 2 A x x S x S i

2

x B x x S x S

, a zatim odrediti skup P A B .

5. Koristeći tautologije dokazati skupovnu jednakost A B B A .

6. Koliko se različitih četvorocifrenih brojeva može formirati od deset različitih

cifara ( sa i bez ponavljanja cifara ) ?

7. Koja je po redu permutacija matematika od osnovne aaaeikmmtt ?

8. Zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana binoma2

1 n

x x

je 46 .

Odrediti član koji ne sadrži x .




1. U skupu Z , definisana je relacija 5 x y x yρ . Ispitati da li je ova relacija

relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije.

2. Dati su iskazi : 2

5 5 p ,21

3 2 1lim

1 2 x

xq

x

, r A B B A , i

22231

21s

Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg

izkaza:

p q r s

3. Ako je 1 f x x i 2 4g x x odrediti 2 1 f g

.

4. Odrediti \P A B , ako su dati skupovi 3 A x x 8 B x x , čiji elementi

pripadaju skupu 0,1,2,3,.....,9C .

5. Koristeći tautologije dokazati skupovnu jednakost

A B C A C B C .

6. Koliko ima parnih petocifrenih brojeva koji se mogu napisati ciframa 0,1,2,3,4, ada se cifre ne ponavljaju?

7. Kako glasi 44 varijacija bez ponavlkanja elemenata, treće klase, koja se može

napisati pomoću slova abcde.

8. Kako glasi trinaesti član razvoja binoma1

9

n

x x

, ako je binomni koeficijent

trećeg člana 105?

9. Odrediti sve racionalne članove u razvijenom obliku binoma 10

2 3 .




1. Proveriti da li je sledeća formula tautologija p q p q .

2. Dati su iskazi:

p Prvi član u razvijenom obliku binoma

6

4

1 x

x

iznosi 6 x ,

1 1 1 1 37:

2 3 4 5 6q

,

2

21

6 7 8lim

5 4 3 x

x xr

x x

,

3 3

: 1a b

sb a

.

Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost izkaza

p q r s

3. Dat je skup 1,2,3,4,5,6,7 A u kome je definisana relacija

0 mod 2 x y x yρ , (njihova razlika deljiva sa 2). Ispitati da li je ova

relacija relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije.

4. Ako je 3 2 f x x , odrediti 2 1 f f .

5. Odrediti P A B , ako su dati skupovi 2 1 A x x N x

1 2 B x x .

6. Odrediti Dekartov proizvod skupova A a i 1,2 B . Da li važi zakon

komutacije i obrazložiti odgovor.

7. Koliko se različitih Morzeovih reči može formirati od osnovnih oznaka * i -, ako

reč ima najviše 4 osnovna simbola?

8. Koliko se različitih grupa može formirati od 30 studenata koji slušaju diskretnu

matematiku za takmičenje, ako grupa ima najviše 3 studenta?

9. Formitati 232. permutaciju među leksikografski uređenim permutacijama, ako jeosnovna permutacija aaajjkm.

10. U razvijenom obliku binoma 34

2

n

x x x

x

binomni koeficijenti petog i desetog

člana su jednaki. Odrediti član koji ne sadrži x .




1. Dat je skup 2, 1,0,1,2 A u kome je definisana je relacija

2 2 x y x yρ . Odrediti graf, tablicu, napisati parove i ispitati osobine

relacije.

2. Dati su iskazi:2

25

7 10lim 3

9 20 x

x x p

x x

, 4 2q i ,

r 3 A x x i 7 B x x \ 3,4,5,6 A B ,5 5

2 3s

.

Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednostsledećeg iskaza: p q r s

3. Data je funkcija 4 10 f x x . Odrediti 1 2 f f .

4. Dat je skup 0,1,2,3.....,9S . Odrediti skupove 2 A x x S x S i

2

x B x x S x S

, a zatim odrediti skup P A B .

5. Ispitati da li je formula p q p r q p q r tautologija?

6. Na jednom šahovskom turniru odigrano je 210 partija. Svaki šahista treba daodigra partiju sa svakim. Koliko je bilo učesnika?

7. Koja je po redu permutacija singidunum od osnovne gdiinnmsuu?

8. Koeficijenti trećeg i drugog člana u razvijenom obliku binoma1

n

x

x

odnose se kao 7 : 2 . Odredi peti član .

.



1 Model 2 kolokvijum

1. Napisati algoritam po izboru , ali da bude u obliku razgranate linijske šeme.

2. Napisati rekurzivni i nerekurzivni algoritam za izračunanje stepena na , za zadato

a i n .

3. Kako izgleda disjunktivna( konjuktivna) forma Bulove funkcije ako je funkcijazadata tablicom?

p q r f

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

4. Nacrtati logičko digitalno kolo i prekidačku šemu za formulu p q p r .

5. Minimizirati formulu p pq r pr i nacrtati logičko kolo.

6. Da li postiji graf sa 6 čvorova koji ima brojeve 2,3,3,4,4,4 za stepene čvorova?

7. Koliko maksimalno može da postoji grana u grafu koji sadrži n čvorova?

8. Nacrtati po izboru po jedan graf koji je:

a) Samo Ojlerov put,

b) Ojlerova kontura,c) Samo Hamiltonov put

d) Hamiltonovu konturu

e) Graf koji nije ni Ojlerov ni Hamiltonov.

9. Ako planarni graf ima 10 čvorova stepena 2, koliko ima grana i oblasti?

10. Napisti listu susedstva, matricu susedstva i matricu incidencije za graf



11. Dato je stablo

a. Odrediti visinu stabla.

b. Odrediti nivo čvora v4.

c. Odrediti listove.d. Odrediti potomke čvora v3.

12. Ako potpuno binarno stablo ima 7 nivoa, koliko ima listova, čvorova i grana?

13. Data su imena Mia, Ivan, Dubravka, Maca, Marko, Toma, Branko, Nada i Vera.

Formirati binarno stablo pretrage uzimajući ime Mia kao koren stabla.

14. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova P i Q koristeći Dajkastrin

algoritam

P

Q

D E

3

23

44

3

62

26

1

4

C A B

F

15. Primenom algoritama pretrage u širinu i dubinu nactrati stabla od zadatog grafa,

uzimajući čvor a kao koren stabla.



2 Model 2 kolokvijum

1. Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?

p q r f

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 1

Minimizirati formulu i nacrtati logičko

Rešenje: F pqr pqr pqr pqr pq q pr pr pq q

2. Dokazati zakon indenpotencije a a a .

3. Koji od sledećih grafova su Ojlerovi putevi, a koji su Ojlerove konture?

Rešenje:

a b

a) Kontura- svi čvorovi parnog stepena, b) Ojlerov put- tačno dva čvora neparnogstepena.

4. Koji od sledećih grafova su Hamiltonovi putevi, a koji su Hamiltonove konture?

Rešenje:



a b

a) Kontura b) Ojlerov put- tačno dva čvora neparnog stepena.

e

c

c) ni put, ni kontura.

5. Nacrtati bipartitivne grafove i kompletne bipatritivne grafove 2,4 2,3 3,3K K K

Rešenje:

2,4K

3,3K 2,3

K



2,4K

3,3K

2,3K

6. Data je graf, naći:listu susedstva

matricu susedstva

matricu incidencije

b

a

c

d

2e

1e

3e

4e

5e

e

Rešenje:

,

,

, ,

,

lu

b ca

a d b

b c ec

a cd

e d

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0 0 0 1 0

a b c d e

a

b

c

d

e

1 2 3 4 5

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 1

0 0 0 0 1

e e e e e

a

b

c

d

e

.

7. Ako planarni graf ima 12 čvorova stepena 3, koliko ima grana i oblasti?Rešenje:

f=e-v+2, v=12, stepena 3, pa imamo, 2e=12*3, e=18

f=18-12+2=8



8. Nacrtati potpuno binarno stablo koje ima 5 nivoa. Koliko ima listova, čvorova i

grana?

9. Napisati algoritam za množenje 2 date matrice.

10. Napraviti stabla primenom algoritma pretrage u dubinu i širinu od datog grafa na

slici

11. a) minimalno razapinjuće stablo primenom Primovog algoritma

b) minimalno razapinjuće stablo primenom Kruskalovog algoritma

A

5

E

G

F

C

B

D

57

7

8

9

8

9

11

15

6

Rešenje:

a

g f

ed

cb

h

a

a

bb

d

d f

f g

g

c

c

e

h

e



a) Ako pođemo od čvora D, uzimamo granu AD dužine 5 ( to je najmanja težina),

A

5

E

G

F

C

B

D

57

7

8

9

8

9

11

15

6

zatim posmatrajući čvorove A i D , uzimamo granu DF dužine 6 ( to je najmanja težina)

A

5

E

G

F

C

B

D

5

7

7

8

9

8

9

11

15

6

Posmatrajući sada čvorove A, D i F , uzimamo granu AD dužine 7 ( to je najmanja

težina)

A

5

E

G

F

C

B

D

57

7

8

9

8

9

11

15

6

Na kraju primene algoritma dobijamo razapinjući graf, dužine 39.



A

5

E

G

F

C

B

D

57

7

96

b) Rešenje: I način:

Popisaćemo sve grane grafa i njihove dužine i sortirati ih u neopadajući niz:

grane dužina sortirana grane dužina

(A,B) 7 (C,E) 5

(A,D) 5 (A,D) 5

(B,D) 9 (D,F) 6(C,E) 5 (A,B) 7

(B,C) 8 (B,E) 7

(D,F) 6 (B,C) 8

(D,E) 15 (E,F) 8

(E,F) 8 (B,D) 9

(G,F) 11 (G,E) 9

(B,E) 7 (G,F) 11

(G,E) 9 (D,E) 15

A

5

E

G

F

C

B

D

57

7

96

us - diskretna - modeli kolokvijuma

Documents