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Lista 1 (Curvas parametrizadas)
(1) Encontre uma curva parametrizada �(t) cujo traço seja o círculo x2 + y2 = 1 de
maneira que �(t) percorra o círculo no sentido anti-horário e tenhamos �(0) = (0; 1).
(2) Seja �(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se �(t0) é o ponto do
traço de � mais próximo da origem e �0(t0) 6= 0, mostre que o vetor posição �(t0) é ortogonal
a �0(to).
(3) Considere uma curva parametrizada �(t) tal que a sua derivada segunda �00(t) seja
identicamente nula. O que podemos dizer a respeito de �?
(4) Seja � : I �! R3 uma curva parametrizada e seja v 2 R3 um vetor �xado. Admita
que �0(t) seja ortogonal a v para todo t 2 I e que �(0) também seja ortogonal a v. Prove
que �(t) é ortogonal a v para todo t 2 R3.
(5) Seja � : I �! R3 uma curva parametrizada, com �0(t) 6= 0 para todo t 2 I. Mostre
que j� (t)j é uma constante não nula se, e somente se, �(t) é ortogonal a �0(t) para todo
t 2 I.
Lista 2 (Curvas Regulares; Comprimento de Arco)
(1) Mostre que as retas tangentes à curva parametrizada regular �(t) = (3t; 3t2; 2t3)
fazem um ângulo constante com a reta y = 0, z = x:
(2) Seja OA um diâmetro, de comprimento 2a, de um círculo S e sejam OY e AV as
retas tangentes a S, respectivamente, em O e A. Uma semi-reta r é traçada a partir de O
e encontra o círculo S em C e a reta AV em B. Marque na reta OB o segmento Op de
maneira que o comprimento de Op seja igual ao de CB. Girando r em torno de O, o ponto
p descreve uma curva chamada a cissóide de Diocles. Tomando O como a origem do plano
xy, OA como o eixo Ox e OY como o eixo Oy, mostre que:
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(a) O traço de
�(t) =
�2at2
1 + t2;2at3
1 + t2
�; t 2 R;
é a cissóide de Diocles. (t = tg �, ver �gura a seguir);
(b) A origem O(0; 0) é um ponto singular da cissóide;
(c) À medida que t ! 1, �(t) se aproxima da reta x = 2a, e �0(t) ! (2a; 0): Assim,
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quando t!1, a curva e sua tangente se aproximam da reta x = 2a; dizemos que x = 2a é
uma assíntota da cissóide.
Lista 3 (Teoria local das curvas p.p.c.a.)
(1) Dada a curva parametrizada (hélice)
�(s) =�a cos
s
c; a sin
s
c; bs
c
�; s 2 R;
onde c2 = a2 + b2,
(a) Mostre que o parâmetro s é o comprimento de arco;
(b) Determine a curvatura e a torção de �;
(c) Determine o plano osculador de �;
(d) Moste que as retas contendo n(s) e passando por �(s) encontram o eixo Oz sob um
ângulo constante igual a �2:
(e) Mostre que as retas tangentes a � fazem um ângulo constante com o eixo Oz.
(2) Mostre que a torção � de �, curva parametrizada pelo comprimento de arco, é dada
por
�(s) =�0(s) ^ �00(s) � �000(s)
jk(s)j2 :
(3) Suponha que todas as normais a uma curva parametrizada passem por um ponto
�xo. Mostre que o traço da curva está contido em um círculo.
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