TRANSFORMASI LAPLACE

Oleh :Pamor GunotoTRANSFORMASI LAPLACEMODEL MATEMATIKRancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.Mengapa harus dengan model matematika ?Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.Misalnya:Bagaimana hubungan antara input dan output.Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.

Cont....Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali:Fungsi Transfer (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.RANGKAIAN RLCPersamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff.Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output

Menggunakan KVL:

Transformasi Laplace memberikan:Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah.Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.Keterbatasan dari Transformasi Laplace :Bekerja dalam domain frekuensi.Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..TRANSFORMASI LAPLACE

TRANSFORMASI LAPLACETransformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks.Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem.Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen keadaan tunak (steady state).Ditemukan oleh Piere Simon Maequis de Laplace tahun (1747-1827) seorang ahli astronomi dan matematika PrancisMenurut; fungsi waktu atau f(t) dapat ditranspormasi menjadi fungsi komplek atau F(s)Dimana s bilangan komplek dari s = s + j2pf atau s + j

Variabel KompleksVariabel kompleks: s = + jdengan : s adalah komponen nyata jw adalah komponen maya Bidang sosjwjw1s1s1Suatu fungsi kompleks: G(s) = Gx + jGydengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata Besar dari besaran kompleks:Sudut :

Bidang G(s)OReImGyGxGqHasil TL dari f(t) di beri nama F(s)Tanda TL diberikan dengan atau L, dan fungsinya di tulis

f(t): nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel tF(s): Nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel s

Contoh: Transpormasi Laplace f(t) = AJawab

Contoh 2. f(t) = At Jawab

Dibantu dengan formula integral partsiel yaitu

Contoh :

Tabel Transformasi Laplace

Cont...

Operasi Transformasi Laplace

Contoh soal:

Soal

Tentukan :Penyelesaian :

Teorema transformasi Laplace

Latihan

Penyelesaian

Cont....

Soal

Beberapa Fungsi InputFungsi Tangga

f(t)Tanggat

f(t)t

Rumus LaplaceFungsi Ramp

f(t)Rampt

Invers Transformasi LaplaceInvers Transformasi Laplace adalah proses kebalikan dari transformasi laplace dimana jika diberikan suatu transformasi laplace maka mencari fungsi t dari laplace tersebut.Sebagai contoh jika diketahui adalah transformasi laplace dari sin at .Sehingga kita dapat menuliskan L-1 adalah simbol dari invers transformasi laplaceContoh :

Bagaimana jika invers yang diberikan adalah Bentuk ini tidak ada dalam bentuk transformasi standart, sehingga kita harus menguraikannya ke dalam bentuk standart terlebih dahuluKita dapat menuliskan bentuk sebagai

Sehingga

Dan hasilnya adalah

Persamaan dan disebut pecahan parsial dari

Aturan dalam pecahan parsialDerajat pembilang harus lebih rendah dari penyebut, hal ini yang sering terjadi pada transformasi laplace. Jika tidak, maka harus dibaginya terlebih dahulu.Faktorkan penyebutnya ke dalam faktor primaFaktor linier (s+a) akan menghasilkan pecahan parsial dimana A adalah konstanta yang harus ditentukan Faktor (s+a)2 menghasilkan

Serupa dengan diatas, menghasilkan

Contoh SoalTentukan transformasi laplace invers dari

Pertama kita periksa derajat pembilang lebih rendah dari penyebutnyaPecahan parsial dari F(s) adalah

Dimana a1 dan a2 diperoleh dengan

Jadi

Soal :Tentukan

Jawaban

syms s>> F=((9*s-8)/(s^2-2*s));>> f=ilaplace(F) f = 5*exp(2*t)+4syms s>> F=((5*s+1)/(s^2-s-12));>> f=ilaplace(F) f =2*exp(-3*t)+3*exp(4*t)Terima KasihDCV(t)LRCi(t)