univerzitet u ni su prirodno matematicki fakultet ... · zovana povr s klase ck (tj. funkcija...

Univerzitet u Nisu

Prirodno matematicki fakultet

Departman za matematiku

Master rad

Rotacione povrsi i njihova vizuelizacija uprogramskom paketu Mathematica

Student: Mentor:

Nenad Krstic dr Milan Zlatanovic

Nis, novembar 2013.

SADRZAJ 1

Sadrzaj

Uvod 5

1 Povrsi 71.1 Vektorska funkcija dva skalarna argumenta . . . . . . . . . . . 71.2 Definicija povrsi u E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Razni nacini zadavanja povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Krive na povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Tangentna ravan i normala povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Prva osnovna kvadratna forma povrsi . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Druga osnovna kvadratna forma povrsi . . . . . . . . . . . . . 171.8 Krivina krive na povrsi. Kosi i normalni preseci . . . . . . . . 181.9 Glavne krivine. Gausova i srednja krivina povrsi . . . . . . . . 191.10 Operator oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10.1 Izracunavanje operatora oblika . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Rotacione povrsi 272.1 Definicija rotacione povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Krivina rotacione povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Ajnstajnova konvencija o sabiranju

Derivacione formule I vrste iKristofelovi simboli povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Geodezijska krivina krive na povrsi i geodezijske linije . . . . . 332.5 Geodezijske linije rotacione povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Primeri rotacionih povrsi 393.1 Pseudosfera (Pseudosphere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Katenoid (Catenoid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Ding-dong povrs (Ding-dong surface) . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Osmica povrs (Eight surface) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Torus (Torus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.1 Prstenasti torus (Ring torus) . . . . . . . . . . . . . . 473.5.2 Rog torus (Horn torus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.3 Vretenasti torus (Spindle torus) . . . . . . . . . . . . . 49

3.6 Fanel povrs (levak) (Funnel surface) . . . . . . . . . . . . . . 493.7 Gavrilova truba (Gabriel’s horn) . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8 Jednograni hiperboloid (One-sheeted hyperboloid) . . . . . . . 523.9 Dvograni hiperboloid (Two-sheeted hyperboloid) . . . . . . . . 543.10 Poljubac povrs (Kiss surface) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.11 Elipsoid (Ellipsoid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

SADRZAJ 2

3.11.1 Sferoid (Spheroid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.11.2 Sfera (Sphere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.12 Povrs uparivanja dva koaksijalna cilindra razlicitih poluprecnika(Poverhnost~ sopr~�eni� dvuh soosnyh cilindrovraznyh diametrov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.13 Povrs uparivanja koaksijalnog cilindra i kupe(Poverhnost~ sopr~�eni� soosnyh cilindra i konusa) . . . . . 62

3.14 Povrs koja nastaje rotacijom polukubne parabole z = bx2/3

oko Oz ose (Poverhnost~, obrazuema� vraweniem meridianav forme polukubiqesko� paraboly) . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.15 Povrs koja nastaje rotacijom hiperbole z = b/x oko Oz ose(Poverhnost~ vraweniem giperboly) . . . . . . . . . . . . . . 64

3.16 Povrs koja nastaje rotacijom astroide(Poverhnost~ vraweni� astroidy) . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.17 Povrs koja nastaje rotacijom parabole(Poverhnost~ vraweni� paraboly) . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.18 Reaktivni konus (Reaktivny� konus) . . . . . . . . . . . . . . 683.19 Povrs koja nastaje rotacijom krive z = be−a

2x2 oko Oz ose(Poverhnost~ vraweni� krivo� z = be−a

2x2 vokrug osi z) . . . 693.20 Parabolo - logaritamska rotaciona povrs (Parabolo - logar-

ifmiqecka� poverhnost~ vraweni�) . . . . . . . . . . . . . . . 703.21 Rotacioni paraboloid cetvrtog reda (Paraboloid vraweni�

qetvertogo por�dka ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.22 Rotaciona povrs ”Kruska” (Poverhnost~ vraweni� ”Gruxa”) . 723.23 Povrs koja nastaje rotacijom opste sinusoide

(Poverhnost~ vraweni� obwe� sinusody) . . . . . . . . . . . . 733.24 Povrs koja nastaje rotacijom bikvadratne parabole

(Poverhnost~ vraweni� bikvadratno� parabol~) . . . . . . . . 74

4 Rotacione povrsi konstantne Gausove krivine 764.1 Elipticki integral druge vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Rotacione povrsi konstantne pozitivne krivine . . . . . . . . . 774.3 Rotacione povrsi konstantne negativne krivine . . . . . . . . . 79

5 Rotacione povrsi sa stanovista analiticke geometrije 815.1 Definicija i jednacina rotacione povrsi . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Neki primeri rotacionih povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Rotacione povrsi - primeri iz svakodnevnog zivota 84

7 Dodatak 87

SADRZAJ 3

Zakljucak 88

Litaratura 89

Biografija 90

SADRZAJ 4

Sadrzaj

Uvod

Proucavanjem rotacionih povrsi i njihovih svojstava prvi se bavio Arhimed1.Krivinu opstih povrsi uvodi Ojler2, koji 1760. godine dokazuje formulu zakrivinu ravanskog dela povrsi, a 1771. razmatra i povrsi zadate u param-etarskom obliku. Krucijalni doprinos teoriji povrsi daje Gaus3 u svoja dvarada iz 1825. i 1827. godine. Ta dva rada su dala potpuno nov ugaoproucavanja povrsi, jer je Gaus isprva razmatrao sustinski geometriju povrsi,smatravsi da su svojstva, koja su odredjena samo geodezijskim rastojanjemizmedju tacaka povrsi, nezavisna od nacina na koji je povrs zadata u Euklid-skom prostoru. Kljucni rezultat, Velicanstvena teorema Gausa, pokazuje daje Gausova krivina sustinski invarjantna, odnosno invarjantna u odnosu nalokalne izometrije. Ovo stanoviste prosiruje Riman4 na vise-dimenzionalneprostore i to je dovelo do onoga, sto je danas poznato kao Rimanova ge-ometrija. Devetnaesti vek je bio zlatno doba teorije povrsi, i to iz oba uglagledanja - topoloskog i iz ugla diferencijalne geometrije. Tada Darbu5 priku-plja mnoge znacajne rezultate i objavljuje ih u svom delu Theorie des sur-faces.

Ravoj kompjuterske tehnike s kraja XX i pocetka XXI veka doveo je dosve veceg interesovanja matematicara za rotacione povrsi.

Predmet izucavanja ovog rada su upravo rotacione povrsi i njihova bitnijasvojstva, uz poseban osvrt na geodezijsku krivinu i linije rotacione povrsi.

Prva glava sadrzi neke osnovne pojmove iz diferencijalne geometrijevezane za opste povrsi i operator oblika.

U drugoj glavi se upoznajemo sa definicijom rotacionih povrsi i osnovnimsvojstvima takve klase povrsi, uz poseban osvrt na geodezijsku krivinu igeodezijske linije.

Primeri rotacionih povrsi su dati u trecoj glavi ovog rada, za ciju ilustacijuje koriscen programski paket Mathematica.

Mnoge povrsi imaju konstantnu Gausovu krivinu. Njima se bavimo ucetvrtoj glavi.

Peta glava koristi analiticku geometriju kao mocni aparat u teoriji rota-cionih povrsi.

U sestoj glavi se razmatraju primene i primeri iz svakodnevnog zivota

1Archimedes of Syracuse (287 pne. - 212 pne.) - Grcki matematicar, fizicar, astronomi pronalazac.

2Leonhard Euler (1707 - 1783) - Svajcarski matematicar i fizicar.3Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) - Nemacki matematicar i fizicar.4Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) - Nemacki matematicar.5Jean-Gaston Darboux (1842 - 1917) - Francuski matematicar.

vezani za rotacione povrsi.U sedmoj glavi se malo blize upoznajemo sa nekim Mathematica funkci-

jama, koje se koriste za iscrtavanje rotacionih povrsi.

1 POVRSI 7

1 Povrsi

U ovoj glavi cemo navesti neke osnovne rezultate iz diferencijalne geometrijevezne za opste povrsi.

Prva sekcija daje definiciju opstih povrsi, a u ostalim sekcijama razma-tritamo neka bitnija svojstva istih.

Poslednja sekcija je rezervisana za operator oblika i njegovo izracunavanje.

1.1 Vektorska funkcija dva skalarna argumenta

Definicija 1.1.1. Neka je dat neki podskup U ⊂ E2. Ako svakoj tacki(uredjenom paru) (u, v) ∈ U po nekom pravilu odgovara vektor a(u, v) ∈V 3(trodimenzioni vektorski prostor), kazemo da je a(u,v) vektorska funkcijadvaju sklaranih argumenata u,v i pisemo :

a : U ⊂ E2 → V 3 (1.1.2)

odnosno:

a = a(u, v), (u, v) ∈ U

Ako u E3 uvedemo neki pravougli koordinatni sistem sa ortovima i,j,k,bice:

a(u, v) = (a1(u, v), a2(u, v), a3(u, v)) (1.1.3)

gde su ai(u, v) skalarne funkcije(projekcije), koje mozemo koristiti za proucavanjefunkcije a(u, v).

1.2 Definicija povrsi u E3

Neka je uO′v Dekartov pravougli koordinatni sistem u E2 i neka je:

U = { (u, v)|(u, v) ∈ E2}

otvoren skup u E2. U E3 posmatrajmo Dekartov pravougli koordinatni sis-tem sa pocetkom u O i ortovima i,j,k i neka je V 3

0 skup vektora sa pocetkomu O. Bijektivno preslikavanje klase Ck(k ≥ 1):

r : U → V 30 : (u, v) → r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (1.2.1)

1 POVRSI 8

tacki (u, v) dodeljuje vektor r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), a to znacii tacku (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ E2, koju mozemo takodje oznaciti i sar(u,v). Na taj nacin takodje imamo preslikavanje klase Ck:

r : U → E3 : (u, v) → (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = r(u, v) (1.2.2)

Na osnovu pomenutog, preslikavanja (1.2.1) i (1.2.2) necemo razlikovati.

Definicija 1.2.1. Parametrizovana povrs klase Ck(k > 1) u E3 jebijektivno preslikavanje (1.2.2) klase Ck. Skup U je oblast definisanostiparametrizovane povrsi (1.2.2).

Parametrizovanu povrs u E2 mozemo oznacavati i na sledeci nacin:

r = r(u, v) ∈ V 30 , (u, v) ∈ U ⊂ E2 (1.2.3)

ili samo sa r = r(u, v), podrazumevajuci da je (u, v) ∈ E2 proizvoljna tackaza koju je funkcija r(u, v) neprekidna i da je r(u, v) ∈ V 3

0 . Koristi se i oznaka(U, r).

Definicija 1.2.2. Regularna parametrizovana povrs klase Ck je parametri-zovana povrs klase Ck (tj. funkcija r(u,v) je klase Ck ), ako je jos ru×rv = 0za sve (u, v) ∈ U . Za k = 1 povrs je glatka.

Klasu regularnosti Ck necemo na dalje navoditi, podrazumevajuci da jek dovoljno veliko, kako bi trazeno ramatranje bilo zadovoljeno.

Prema Definiciji 1.2.2 pod parametrizovanom povrsi se podrazumeva odred-jeno preslikavanje otvorenog skupa U ∈ E2 u E3. Prema klasicnoj definiciji- povrs je skup tacaka u E3 koje se dobijaju u funkciji dva realna parametra.Ovde cemo takav skup zvati nosacem parametrizovane povrsi. Pa imamosledecu definiciju:

Definicija 1.2.3. Neka je U ⊂ E2 otvoren skup. Slika:

r(U) = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ⊂ E3

pri preslikavanju (1.2.2) je nosac parametrizovane povrsi (1.2.2).

Primedba 2.1. Parametrizovanu povrs smo definisali kao preslikavanjeotvorenog skupa U ⊂ E2. Takva povrs se moze definisati i na skupu U kojinije otvoren, ako se pretpostavi da postoji otvoren skup U⋆ ⊃ U i Ck

preslikavanje r⋆ : U⋆ → E3, takvo ga je r⋆|U = r.

1 POVRSI 9

Definicija 1.2.4. Neka su:

r = r(u, v), (u, v) ∈ U

ρ = ρ(u, v), (u, v) ∈ U

dve regularne parametrizovane povrsi. Difeomorfizan λ : U → U definisan sau = u(u, v), v = v(u, v) pri cemu je r = ρ ◦ λ, tj.

r(u, v) = ρ(u, v) = ρ(u(u, v), v(u, v))

zove se smena parametara (reparametrizacija). Ekvivalentne parametri-zovane povrsi su one za koje postoji smena parametara.

Dakle, difeomorfizam λ koji definise reparemtrizaciju,je

λ = ρ−1 ◦ r : U → U (1.2.4)

U vezi sa smenom parametara vazi sledeca teorema:

Teorema 1.2.1. Ako je jedna od dveju ekvivalentnih parametrizovanih povrsiregularna klase Ck,a smena parametara je difeomorfizam klase Ck, onda je idruga regularna iste klase Ck.

Dokaz: Sa oznakama kao u Definiciji 1.2.4, pretpostavimo da je parametri-zovana povrs ρ(u, v, (u, v) ∈ U regularna klase Ck i da je λ : U → U difromor-fizam iste klase. To znaci da je ρu × ρv = 0 i da su funkcije u = u(u, v), v =v(u, v) klase Ck. Otuda sledi da je i funkcija r(u, v) = ρ(u(u, v), v(u, v)) isteklase. Treba jos dokazati da je ru × rv = 0 (regularnost). Imamo:

ru × rv = (ρuuu + ρvvu)× (ρuuv + ρvvu) =∂(u, v)

∂(u, v)(ρu × ρv) (1.2.5)

odakle sledi ru × rv = 0 ⇔ ρu × ρv = 0 �

Dve ekvivalentne parametrizovane povrsi imaju isti nosac, sto proizilaziiz uslova r(u, v) = ρ(u, v) u Definiciji 1.2.4. Geometrijski to je ista povrs aliu raznim parametrizacijama.

1 POVRSI 10

1.3 Razni nacini zadavanja povrsi

Povrs u E3 se moze zadati:a) u vektorskom parametarskom obliku:

r = r(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ E2 (1.3.1)

b) u skalarnom parametarskom obliku:

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ E2 (1.3.2)

c) Ako je dat skup { (x, y, z)} ⊂ E3, tako da vazi jednacina-eksplicitniskalarni oblik:

z = f(x, y), (x, y) ∈ Y (1.3.3)

gde je f(x, y) ∈ Ck, mozemo staviti:

x = u, y = v, z = f(u, v), (u, v) ∈ U (1.3.4)

pa dobijamo oblik (1.3.2), odnosno:

r = (u, v, f(u, v)), (u, v) ∈ U (1.3.5)

sto predstavlja globalnu parametrizaciju i povrs je prosta. Ona je u ovomslucaju klase Ck, jer je u (1.3.5) r ∈ Ck, kad je f(x, y) ∈ Ck,a regularna je(Definicija 1.2.2) zbog:

ru × rv = (1, o, fu)× (0, 1, fv) = (−fu,−fv, 1) = 0

Dakle, iz oblika (1.3.3) smo dobili (1.3.4), odnosno (1.3.5), sto se svodi na(1.3.2), odnosno (1.3.1).

Obrnuto, pretpostavimo da je data povrs (1.3.2), regularna u okolinineke tacke (u0, v0), tj. ru(u0, v0) × rv(u0, v0) = 0. To znaci da je za u =u0, v = v0:

ru × rv = (xu, yu, zu)× (xv, yv, zv)

= (yuzv − yvzu, zuxv − zvxu, xuyv − xvyu)

=

(∂(y, z)

∂(u, v),∂(z, x)

∂(u, v),∂(x, y)

∂(u, v)

)= 0.

To znaci da je bar jedna od koordinata ovog vektora razlicita od nule. Neka

1 POVRSI 11

je npr. ∂(x,y)∂(u,v)

= 0. Tada se prve dve jednacine (1.3.2) prema teoremi o

implicitnoj funkciji u okolini tacke (u0, v0) mogu resiti po u, v :

u = u(x, y), v = v(x, y) (1.3.6)

sto zamenom u trecu jednacinu (1.3.2) daje z = z[u(x, y), v(x, y)] = f(x, y)tj. oblik (1.3.3).

d) Ako je dat skup:

S = { (x, y, z) ∈ E3|F (x, y, z) = 0 ∧ gradF = 0} (1.3.7)

tada je S povrs, pri cemu obicno pisemo samo:

S : F (x, y, z) = 0 (1.3.8)

i (1.3.8) zovemo implicitni oblik jednacine povrsi.Ustvari, ako je u nekoj tacki gradF = (Fx, FY , Fz) = 0 tada je bar jedna

od koordinata ovog vektora razlicita od 0. Neka je npr., Fx = 0. Po teoremio omplicitnoj funkciji u okolini te tacke postoji resenje jednacine (1.3.8):z = f(x,y), tj. ovaj slucaj se svodi na c).

1.4 Krive na povrsi

Mnogi pojmovi i osobine povrsi se uvode i proucavaju pomocu krivih, kojepripadaju povrsi. Zato cemo najpre prouciti nacine zadavanja takvih krivih.

Definicija 1.4.1. Kazemo da parametrizovana kriva (J, ρ = ρ(t)) pripadapovrsi S, ako njen nosac ρ(J) pripada nosacu povrsi S.

Sledeca teorema utvrdjuje da se svaka kriva na povrsi moze posmatratikao slika neke krive iz oblasti definisanosti parametrizovane povsi.

Teorema 1.4.1. Neka je (U,r) parametrizacija povrsi S, koja je difeomor-fizam klase C1, i (J, ϱ = ϱ(t)) glatki put (parametrizovana krivina) koji leziu r(U). Tada u oblasti U postoji jedinstven glatki put (J, ρ), takav da je:

ρ(t) = r(ρ(t)). (1.4.1)

Obrnuto, svaki glatki put ρ(t) ⊂ U, t ∈ J , odredjuje glatki put, koji lezi ur(U). Pri tome regularnost puta ρ u tacki t je ekvivalenran regularnosti putaρ u tacki.Dokaz: Iz pretpostavke je ρ(J) ⊂ r(U) ⊂ S. Preslikavanje ρ : J → ρ(J) ⊂U mozemo definisati na drugi nacin:

1 POVRSI 12

t ∈ J → ρ(t) = r−1(ρ(t)) = (r−1 ◦ ρ)(t) ⊂ U (1.4.2)

jer je po pretpostavci ρ(t) ∈ r(U). Kako je po pretpostavci r difeomorfizam,to je i r−1 klase C1. Iz uslova teoreme je i ρ ∈ C1, dakle prema (1.4.2) jei ρ = r−1 ◦ ρ ∈ C1, pa je (J, ρ) glatki put, a iz (1.4.2) sledi (1.4.1). Nekapostoji drugi takav glatki put ρ1, tako da je ρ(t) = r(ρ1(t)). Tada je paprema (1.4.1): r(ρ(t)) = r(ρ1(t)) ⇒ (ρ(t) = ρ1(t) za t ∈ J , jer je r uzajamnojednoznacno preslikavanje.

Obrnuto, ako je zadat glatki put (J, ρ) u U, tj. ρ : J → ρ(J) ⊂ U , tadaje pomocu (1.4.1) definisan glatki put ρ = r ◦ ρ : J → ρ(J) ⊂ r(U). Kako jepo pretpostavci r difeomorfizam, to su, r i r−1 regularna preslikavanja, pa izpretpostavke da je ρ regularno na osnovu (1.4.1) sledi da je ρ regularno, a izpretpostavke da je ρ regularno, na osnovu (1.4.2) sledi da je ρ regularno. �

Sa oznakama iz prethodne teoreme, ako vektor ρ(t) izrazimo njegovimpreojekcijama u sistemu uO1v : ρ(t) = (u(t), v(t)), prema (1.4.1) sledi ρ(t) =r[(u(t), v(t))]. Ako uprostimo predstavljanje desne strane zagradama, posled-nja jednacina postaje:

r(t) = r[u(t), v(t)], t ∈ J (1.4.3)

gde smo jos umesto ρ(t) pisali r(t), sto se obicno cini. Vidimo da se vek-torska parametarska jednacina krive na povrsi dobija kada se krivolin-ijske koordinate u,v izraze u funkciji jednog parametra t.

Definicija 1.4.2. Jednacine

u = u(t), v = v(t), t ∈ J (1.4.4)

zovu se unutrasnje jednacine krive na povrsi r = r(u,v).

Jednacini (1.4.3) odgovaraju skalarne parametarske jednacine krivena povrsi.

x = x(u(t), v(t)), y = y(u(t), v(t)), z = (u(t), v(t)), t ∈ J. (1.4.5)

Definicija 1.4.3. Kriva α ima jedinicnu brzinu ako∣∣dαds

∣∣ = 1.

1.5 Tangentna ravan i normala povrsi

5.1 Neka je data povrs S : r = r(u, v) , (u, v) ∈ U ⊂ E2.

1 POVRSI 13

Definicija 1.5.1. Tangentni vektor povrsi S u tacki M ∈ S je tangentnivektor neke krive na povrsi, koja (kriva) prolazi kroz M.

Definicija 1.5.2. Ravan koja prolazi kroz tacku M povrsi S i odredjena jevektorima ru i rv, cija je pocetna tacka M, zove se tangentna ravan (tan-gentni prostor) povrsi S u tacki M sa oznakom TMS.

Kriva na povrsi koja prolazi kroz M je proizvoljna, a vektori ru, rv suza M odredjeni, pa se prema tome tangentni vektor svake krive kroz Mu S razlaze na komponente po ru, rv tj. tangente svih takvih krivih cine2-dimenzioni vektorski prostor sa bazom ru, rv i obelezavamo ga V 2

M(S).Ocigledno je da mozemo identifikovati TMS i V 2

M(S). S druge strane zaa ∈ V 2

M(S) ≡ TMS imamo razlaganje a = λru + µrv, a to je tangentnivektor krive c ⊂ S

c : r(t) = r(uo + λt, vo + µt),

jer je r = λru + µrv = a . Na osnovu izlozenog, vazi

Teorema 1.5.1. Potreban i dovoljan uslov da je vektor a tangentni vektorneke krive na povrsi S tacki M je a ∈ TMS.

Definicija 1.5.3. Prava koja stoji normalno na tangentnu ravan u nekojtacki povrsi, zove se normala povrsi u posmatranoj tacki.

Posto vektori ru, rv odredjuju tangentnu ravan, vektor pravca nor-male je kolinearan sa:

ν = ru × rv, (1.5.1)

a njegov jedinicni vektor je:

ν =ru × rv

∥ ru × rv∥=

ru × rv√EG− F 2

(1.5.2)

jer je:

∥ru × rv∥2 = ∥ru∥2∥rv∥2 sin2 ϕ

= ∥ru∥2∥rv∥2 − (ru · rv)2 = EG− F 2 > 0(1.5.3)

gde smo obelezili:

E = ru · ru = ∥ru∥2, F = ru · rv, G = rv · rv = ∥rv∥2,∠(ru, rv) = ϕ (1.5.4)

Ako je r(u, v) vektor polozaja tackeM na povrsi S odnosnoM(r(U, V )) ∈S, R vektor polozaja proizvoljne tacke u tangetnoj ravni, odnisnoR−r ∈ TMjednacina tangetne ravni u vektorskom obliku u tacki M(r(u, v)) je:

1 POVRSI 14

ν · (R− r) = 0 (1.5.5)

a odgovarajuci skalarni oblik je:

νx(X − x) + νy(Y − y) + νz(Z − z) = 0 (1.5.6)

gde je ν = (νx, νy, νz),R = (X,Y, Z), r = (x, y, z).

Jednacine normale povrsi u tacki r(u, v) ∈ S su:-vektorski oblik

R− r = tν, t ∈ R (1.5.7)

-skalarni oblik

X − x

νx=Y − y

νy=Z − z

νz= t, t ∈ R (1.5.8)

gde je sada R = (X, Y, Z) vektor polozaja proizvoljne tacke na normali.Napomenimo da, pri odredjivanju tangentne ravni i normale u tacki r(u0, v0),tj. u tacki M(r(u0, v0)) ∈ S u (1.5.5)-(1.5.8) se podrazumeva r = r(u0, v0),ν = ν(u0, v0), x = x(u0, v0) itd.

Neka je povrs zadata u implicitnom obliku F (x, y, z) = 0. Ako krivac : x = x(t), y = y(t), z = z(t) pripada toj povrsi, bice:

F [x(t), y(t), z(t)] = 0 ⇒ Fzx(t) + Fyy(t) + Fz z(t) = 0

Kako je r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tangetni vektor povrsi, bice normalnivektor povrsi S:

ν = (Fx, Fy, Fz) = gradF (1.5.9)

pa se u ovom slucaju jednacina tangetne ravni (1.5.5) svodi na:

gradF · (R-r) = 0 (1.5.10)

odnosno (1.5.6) na:

Fx(X − x) + Fy(Y − y) + Fz(Z − z) = 0 (1.5.11)

gde je Fx = Fx(x, y, z) za dodirnu tacku (x, y, z).Za jednacinu normale imamo:

R -r = t · gradF, t ∈ R (1.5.12)

odnosno:

1 POVRSI 15

X − x

Fx=Y − y

Fy=Z − z

Fz= t t ∈ R (1.5.13)

Ako je povrs zadata u eksplicitnom obliku z = z(x, y) , imacemo:

r = r[x, y, z(x, y)], ru = rx = (1, 0, zx), ru = ry = (0, 1, zy)

pa, koristeci uobicajene oznake zx = p, zy = q dobijamo:

ν = (1, o, p)× (0, 1, q) =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 p0 1 q

∣∣∣∣∣∣− pi− qj+ k = (−p,−q, 1) (1.5.14)

E = 1 + p2, F = pq,G = 1 + q2, EG− F 2 = 1 + p2 + q2 (1.5.15)

ν =−pi− qj+ k√1 + p2 + q2

. (1.5.16)

Sada se jednacina tangentne ravni (1.5.6) svodi na:

Z − z = p(X − x) + q(Y − y), (1.5.17)

a jednacina normale (1.5.8) na:

X − x

−p=Y − y

−q=z − z

1= t (1.5.18)

Videli smo da pri proucavanju krivih veliku ulogu ima pokretni (prirodni)triedar. I kod povrsi imamo triedar, koji se menja od tacke do tacke.

Definicija 1.5.4. Pokretni (pridruzeni, prirodni) triedar povrsi S utacki M(r(u, v)) ∈ S je triedar vektora ru(u, v), rv(u, v), ν(u, v) = ru × rv utacki M .

Teorema 1.5.2. Pri smeni parametara klase C1 na povrsi:a) pokretni triedar se menja,pri cemu jedinicni normalni vektor povrsi

moze promeniti samo orjentaciju,b) tangentna ravan se ne menja.

Dokaz: : Posmatrajmo povrs r = r(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ E2, pri cemu jeizvrsena smena parametara, tako da je u = u(u, v), ν = ν(u, v), pa imamo:

r(u, v) = ρ(u, v) = ρ[u(u, v), v(u, v)], (u, v) ∈ U ⊂ E2,

1 POVRSI 16

odakle je:

ru = ρuuu + ρvvu, rv = ρuuv + ρvvv, (1.5.19)

ru × rv =∂(u, v)

∂(u, v)(ρu × ρv) ⇔ ν =

∂(u, v)

∂(u, v)˜ν ⇔ ν = sgnJ · ν (1.5.20)

Iz (1.5.19) i (1.5.20) slede tvrdjenja teoreme. Jedinicni vektor ν i ν suiste orjentacije ako i samo ako je jakobijan J smene parametara pozitivan. �

1.6 Prva osnovna kvadratna forma povrsi

Na povrsi:

S : r = r(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ E2 (1.6.1)

Uocimo krivu:

c : r(t) = r[u(t), v(t)], t ∈ J. (1.6.2)

Pomerajuci se duz c iz tacke M(u, v) ≡M(r(u, v)) ∈ S u beskonacno bliskutacku M ′(u+ du, v + dv) ∈ S, gde je du = u(t)dt, dv = v(t)dt, imamo:

dr = rudu + rvdv,

dr2 = dss = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 ≡ I (1.6.3)

gde je:

E = r2u, F = ru · rv, G = r2v (1.6.4)

Kvadratna forma u jednacini (1.6.3) se zove prva osnovna kvadratnaforma povrsi, a E(u, v), F (u, v), G(u, v) su koeficijenti prve osnovnekvadratne forme povrsi. Prema (1.6.4) i (1.5.3) je:

E > 0, G > 0, EG− F 2 > 0, (1.6.5)

a prema (1.6.3) je I > 0, tj. ova kvadratna forma je pozitivno definitna.Ako je povrs zadata jednacinom z = z(x, y), tada imamo:

r = (x, y, z(x, y)), ru = rx = (1, o, p), rv = ry = (0, 1, q)

(p = zx, q = zy), E = r2x = 1 + p2

1 POVRSI 17

F = rx · ry = pq, G = r2y = 1 + q2 (1.6.6)

||v|| = ||rx ××ry|| =√EG− F 2 =

√1 + p2 + q2 =

√g

ds2 ≡ I = (1 + p2)dx2 + 2pqdxdy + (1 + q2)dy2

1.7 Druga osnovna kvadratna forma povrsi

Posmatrajmo regularnu povrs S klase C2 :

S : r = r(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ E2. (1.7.1)

Tada duz neke krive C ⊂ S imamo:

dr = rudu+ rvdv, d2r = ruudu2 + 2ruvdudv + rvvdv

2 + rud2u+ rvd

2v,

odakle posle mnozenja sa jedinicnim vektorom ν povrsi sledi:

d2r · ν = Ldu2 + 2Mdudv +Ndv2 ≡ II, (1.7.2)

gde je:

L = ruu · ν, M = ruv · ν, N = rvv · ν. (1.7.3)

Obrascima (1.7.3) se moze dati i drugi oblik. Polazeci od jednacina:

ν · ru = 0, ν · rv = 0

i diferencirajuci svaku od njih po u i v, dobijamo:

νu · ru + ν · ruu = 0, νv · ru + ν · ru,v = 0

νu · rv + ν · rvu = 0 νv · rv + ν · rvv = 0

odakle i iz (1.7.3):

L = ruu·ν = −ru·νu, M = ruv·ν = −ru·νv = −rv·νu, N = rvv·ν = −rv·νv(1.7.4)

Kvadratna forma (1.7.2) se zove II osnovna kvadrana forma povrsi,a L(u, v), M(u, v), N(u, v) su koeficijenti II osnovne kvadratne forme.

Prema (1.5.2) je:

L =1√g[ruu, ru, rv], M =

1√g[ruv, ru, rv], N =

1√g[rvv, ru, rv] (1.7.5)

1 POVRSI 18

gde je g = EG− F 2 > 0.Za povrs z = z(x, y) , prema (1.6.6) imamo

rxx = (0, 0, r), rxy = (0, 0, s), ryy = (o, o, t)

gde je r = zxx, s = zx,y, t = zyy, pa jednacine (1.7.4) i (1.6.6) daju:

L =r√

1 + p2 + q2, M =

s√1 + p2 + q2

, N =t√

1 + p2 + q2(1.7.6)

1.8 Krivina krive na povrsi. Kosi i normalni preseci

Na povrsi:S : r = r(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ E2 (1.8.1)

posmatrajmo krivu:C : r = r[u(s), v(s)] = r(s) (1.8.2)

Tada je vektor krivine krive C:

K = r′′ = Kn (1.8.3)

gde je n ort glavne normale te krive. Kako se r′′ moze razloziti po vektorimapoketnog triedra u posmatranoj tacki M povrsi, to imamo:

K = r′′ = Kν + λru + µrv = Kν+K

g(1.8.4)

Komponenta Kν= Kν se zove vektor normalne krivine, a komponenta K =

λru + µrv- vektor geodezijske krivine krive na povrsi. Skalar K je normalnakrivina krive na povrsi. Ovde cemo detaljnije prouciti normalnu krivinu. Iz(1.8.4), zbog (1.7.2) i (1.6.3) je:

K = r′′ · ν =d2r

ds2· ν =

II

I(1.8.5)

S druge strane, mnozeci (1.8.3) skalrno sa ν :

K = r′′ · ν = Kn · ν = K cos θ (1.8.6)

gde je θ ugao izmedju normale povrsi S i glavne normale posmatrane kriveC ⊂ S. Iz (1.8.5), (1.8.6) sledi:

K = K cos θ =II

I=Ldu2 + 2Mdudv +Ndv2

Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

=L+ 2M dv

du+N dv

du

2

E + 2F dvdu

+G dvdu

2

(1.8.7)

1 POVRSI 19

Koristeci (1.6.6) i (1.7.6) ova jednacina se moze za povrs z = z(x, y) napisatiu obliku:

K = K cos θ =rdx2 + 2sdxdy + tdy2√

1 + p2 + q2[(1 + p2)dx2 + 2pqdxdy + (1 + q2)dy2](1.8.8)

Odnos dvdu

odredjuje pravac tangente na povrs a to vidimo iz:

dr = rudu+ rvdv = du(ru + rvdv

du)

Ovaj vektor odredjuje u posmatranoj tacki pravac tangente na povrs. Postosu u svakoj tacki N(u, v) ∈ S vektori ru, rv odredjeni, smer vektora dr cezavisiti od dv

du. Po jednakosti (1.8.7) vidimo da u datoj tacki N(u, v) ∈ C ⊂ S

normalna krivina K zavisi samo od pravca tangente. Prema tome sve krivena S koje u tackiM imaju zajednicku tangentu imace i istu normalnu krivinuK. Kriva C ne mora biti ravna. Oskulatorna ravan (odredjena sa r′ i r′′) seceS po krivoj C ′, koja ce imati istu normalnu krivinu K, kao i C (jer imaju istitangentni vekto r′). Prema tome K ce biti sta za sve krive koje se dobijajukao preseci povrsi S sa nekom ravni koja sadrzi istu tangentu i onda K nezavisi od θ. ravan, koja sadrzi posmatranu tangentu t i normalu ν, tj. zaθ ∈ { 0, π} odredjuje normalni presek C povrsi za dati pravac t. Ostalipreseci, tj. za θ /∈ { 0, π} su kosi preseci povrsi. Iz (1.8.6) imamo:

K(θ) =K

cos θ(1.8.9)

pa odavde:K(0) = K, K(π) = −K (1.8.10)

prema tome dokazana je:

Teorema 1.8.1. Normalna krivina K krive C na povrsi je po apsolutnojvrednosti jednaka krivini normalnog preseka povrsi C, koji sa C ima istutangentu.

1.9 Glavne krivine. Gausova i srednja krivina povrsi

Neka je povrs zadata u obliku z = z(x, y). Tada je :

r = (x, y, z(x, y)), rx = (1, 0, p), ry = (0, 1, q), rxx = (0, 0, r),

rxy = (0, 0, s), ryy = (0, 0, t)

1 POVRSI 20

Neka je tacka O na povrsi uzeta za koordinatni pocetak, ose Ox, Oy utangetnoj ravni tacke O. A osu Oz uzmimo duz normale povrsi u tacki O.Tada je:

p0 = p(0) = 0, q0 = q(0) = 0

L0 = L(0) = rxx · k = r0, M0 = s0, N0 = t0

gde je npr. r0 = zxx(0). Neka je C normalni presek u tacki O i neka jeK njegova krivina. Tada odgovarajucom rotacijom koordinatnog sistemamozemo dobiti da je:

K = r0 cos2 α + t0 sin

2 α (1.9.1)

gde je α ugao koji tangenta posmatranog normalnog preseka C zaklapa saOx osom. Iz navedene formule imamo:

K1 = K(α = 0) = r0, K2 = K(α = π/2) = t0

sto daje takozvanu Ojlerovu formulu:

K = K1 cos2 α + K2 sin

2 α (1.9.2)

Sada cemo pokazati da velicine K1 i K2 odgovaraju ekstremnim vrednostimaza K. Posmatrajmo sledece:

1. Za K1 = K2 neka je K2 > K1. Tada imamo

K = K1(1− sin2 α) + K2 sin2 α = (K2 − K1) sin

2 α + K1

Ovde je prvi sabirak veci od nule i ima najmanju vrednost za α = 0, pa je:

Kmin = K(α = 0) = K1, Kmax = K(α = π/2) = K2

Prema tome K1 i K2 predstvljaju minimalnu, odnosno maksimalnu normalnukrivinu povrsi u datoj tacki.

Definicija 1.9.1. Ekstremne vrednosti K1,2 normalne krivine K u posma-tranoj tacki povrsi zovu se glavne krivine povrsi.

Definicija 1.9.2. Poizvod glavnih krivina je Gausova (totalna) krivina KG

povrsi, a aritmeticka sredina je srednja krivina KS, za koju vazi :

KG = K1K2 =LN −M2

EG− F 2

KS =K1 + K2

2=EN − 2FM +GL

2(EG− F 2)2.

(1.9.3)

Za povrs z = z(x, y) uz koriscenje vrednosti za E,F,G,M,N,L imamo:

KG =rt− s2

(1 + p2 + q2)2, KS =

(1 + p2)t− 2pqs+ (1 + q2)r

2(1 + p2 + q2)3/2(1.9.4)

1 POVRSI 21

Definicija 1.9.3. Regularna povrs S ⊂ R3 se naziva minimalna povrsako je njena srednja krivina jednaka nuli u svakoj tacki.

1.10 Operator oblika

Neka je M regularna povrs. Kako izmeriti njenu zakrivljenost u R3? Dobarnacin za to je proceniti kako se normala povrsi ν menja od tacke do tacke.Za to koristimo posebnu vrstu linearnog operatora, tzv. operator oblika.

Definicija 1.10.1. Neka je f : D → R, D ⊂ R3 glatka funkcija. Neka je p,v ∈ R3. Izvod funkcije f u pravcu vektora v u tacki p je realana broj:

D−→v f =( ddtf(p+ tv)

)(0)

Operator oblika primenjen na tangentni vektor vp u tacki P povrsi je nega-tivni izvod vektora ν u pravcu vp.

Definicija 1.10.2. Neka je M ⊂ R3 regularna povrs i neka je ν normalapovrsi M definisana u okolini tacke P ∈ M . Za tangentni vektor vp u Pdefinisemo:

S(vp) = −D−→vpν (1.10.1)

Tada se S naziva operator oblika.

Lako je primetiti da je operator oblika ravni identicki jednak nuli u svimnjenim tackama. Za povrs koja nije ravan normala povrsi ν se menja odtacke do tacke, pa je S u tom slucaju razlicito od nule.

U svakoj tacki orijentisane regularne povrsi dva su izbora za jedinicnunormalu : ν i −ν. Za operator oblika dodeljen vektoru −ν vazi da je suprotanpo znaku operatoru oblika dodeljenom vektoru ν.

Definicija 1.10.3. Neka je W diferencijabilno vektorsko polje na otvorenomskupu U ⊂ Rn, a vp tangentni vektor u Rn u tacki p ∈ U . Izvod vektorskogpolja W u pravcu vp je tangentni vektor D−→vpW ∈ Rn

p dat sa:

D−→vpW = W (p+ tv)′(0)p = limt→0

W (p+ tv) + W (p)

t

∣∣∣∣∣p

.

1 POVRSI 22

Lema 1.10.1. Neka je W diferencijabilno vektorsko polje na otvorenomskupu U ⊂ Rn i

W =n∑i=1

ωiUi.

Tada za p ∈ U i vp ∈ Rnp imamo:

D−→vpW =n∑i=1

vp[ωi]Ui(p) =

(vp[ω1

], ..., vp

[ω1

])p.

Lema 1.10.2. Neka je W diferencijabilno vektorsko polje u Rn i α : (a, b) →Rn kriva, tada:

D−−→α′(t)

W = (W ◦ α)′(t)−−→α(t)

.

Lema 1.10.3. Neka je F : U → Rm diferencijabilno preslikavanje, gde je Uotvoren potskup u Rn i F = (f1, . . . , fm). Ako je p ∈ U i vp tangetni vektoru p, tada:

F∗p(vp) = (vp[f1], . . . , vp[fm])F (p).

Lema 1.10.4. Neka je r : U → R3 regularna povrs. Tada je:

S(ru) = −νu i S(rv) = −νv

Dokaz: Fiksirajmo v i definisimo krivu α sa α = r(u, v). Prema Lemi 1.10.2imamo:

S(ru(u, v)) = S(α′(u)) = −D−−−→α′(u)

ν = −(ν ◦ α)′(u)

Ali (ν ◦ α)′ je jednako νu. Slicno, S(rv) = −νv. �

Lema 1.10.5. U proizvoljnoj tacki P regularne povrsi M ⊂ R3, operatoroblika je linearno preslikavanje iz Mp u Mp, odnosno:

S :Mp →Mp

1 POVRSI 23

Dokaz: Da je S linearan sledi iz cinjenice da je Da−→v +b−→w = aD−→v + bD−→w .Da bi pokazali da je S preslikavanje iz Mp u Mp diferenciracemo jednakostν · ν = 1 pa koriscenjem leme 1.10.1 imamo:

0 = vp[ν · ν] = 2D−→vpν · ν(p) = −2S(vp) · ν(p),

za bilo koji tangentni vektor vp. Kako je S(vp) normalno na ν(p) , ono morabiti tangenta na M ; pa je S(vp) ∈Mp. �

Na dalje cemo uspostaviti bitnu vezu izmedju operatora oblika povrsi iubrzanja krive na povrsi.

Lema 1.10.6. Ako je α regularna kriva na regularnoj povrsi M ⊂ R3 tada:

α′′ · ν = S(α′) · α′

Dokaz: Vrsimo restirkciju vektorskog polja ν na krivu α i koristimo Lemu1.10.2. Posto α(t) ∈ M za svako t, brzina α′ je uvek tangenta na M; zatoje α′ · ν = 0. Kada diferenciramo ovu jednacinu, i skoristimo Leme 1.10.4 i1.10.5 zakljucujemo α′′ · ν = −ν ′ · α′ = S(α′) · α′ �

Primetimo da α′′ · ν moze biti geometrijski interpretirano kao kompo-nenta ubrzanja od α koje je normalno na M . Prema tome operator oblika jeu osnovi tangentno preslikavanje Gausovog preslikavanja.

Lema 1.10.7. Neka je M regularna povrs u R3 orijentisana jedinicnom nor-malom vektorskog polja ν. Gledajmo na ν kao na Gausovo preslikavanjeν : M → S2(1), gde je S2(1) oznacava jedinicnu sferu u R3. Ako je vptangentni vektor na M u P ∈M , onda je ν(vp) paralelno sa −S(vp) ∈Mp.

Dokaz: Iz Leme 1.10.3 imamo :

ν∗(vp) = (vp[ν1], vp[ν2], vp[ν3])ν(p)

S druge strane Lema 1.10.1 nam ukazuje da:

−S(vp) = Dvν = (vp[ν1], vp[ν2], vp[ν3])p

Kako su vektori (vp[ν1], vp[ν2], vp[ν3])ν(p) i (vp[ν1], vp[ν2], vp[ν3])p paralelni,dokaz Leme je zavrsen. �

1 POVRSI 24

1.10.1 Izracunavanje operatora oblika

Rad sa simetricnim linearnim operatorima je mnogo laksi nego sa opstim lin-earnim operatorima. Pokazacemo da je operator oblika simetrican. Pokazu-jemo tu cinjenicu.

Lema 1.10.8. Operator oblika regularne povsi M je simetrican; tako da je:

S(vp) · wp = vp · S(wp)

za sve tangentne vektore vp,wp na M .

Dokaz: Neka je r parametrizacija za M . Diferenciranjem formule ν · ru = 0po v dobijamo:

0 =∂(U · xu)

∂v= νv · ru + ν · ruv (1.10.1)

gde je νv izvod vektorskog preslikavanja v → ν(u, v) duz bilo koje v-parametarskekrive. Kako je νv = −S(rv) jednacina (1.10.1) postaje:

S(rv) · ru = ν · ru,v (1.10.2)

slicno:

S(ru) · rv = ν · rv,u (1.10.3)

Iz (1.10.2) i (1.10.3) i cinjenice da je ru,v = rv,u imamo:

S(ru) · rv = ν · rv,u = ν · ru,v = S(rv) · ru (1.10.4)

Dalje, neka je P ∈M i vp, wp ∈M . Biramo sada r tako da je R(u0, v0) = p.Onda mozemo pisati:

vp = a11ru(u0, v0)+a12rv(u0, v0) wp = a21ru(u0, v0)+a22rv(u0, v0) (1.10.5)

Iz (1.10.3) sledi:

S(vp) · wp = a11a21S(ru) · ru + a11a22S(ru) · rv + a12a21S(rv) · ru + a12a22S(rv) · rv= a11a21S(ru) · ru + (a11a22 + a12a21)S(ru) · rv + a21a22S(rv) · rv= ... = S(wp) · rp

pa smo dokazali (1.10.1). �Sada cemo pokazati kako se operator oblika izrazava u terminimaE,F,G,

L,M,N.

1 POVRSI 25

Teorema 1.10.9. ( Veingartenove 6 jednacine) Neka je r : U → R3 reg-ularna povrs. Tada je operator oblika S od r u terminu baze { ru, rv} datsa

−S(ru) = νu =MF − LG

EG− F 2ru +

LF −ME

EG− F 2rv, (1.10.6)

−S(rv) = νv =NF −MG

EG− F 2ru +

MF −NE

EG− F 2rv (1.10.7)

i moze se prikazati u matricnom obliku sa:

S =1

EG− F 2

(LG−MF −LF +MEMG−NF −MF +NE

)(1.10.8)

Dokaz: Posto je r regularno, ru i rv lenearno nezavisni, mozemo pisati:

−S(ru) = νu = a11ru + a12rv (1.10.9)

−S(rv) = νv = a21ru + a22rv, (1.10.10)

za neke funkcije a11, a12, a21, a22. Da bi pokazali (1.10.6) i (1.10.7) moramoizracunati koeficijente a11, a12, a21, a22 u (1.10.9) i (1.10.10). Mnozimo skalarnojednacine (1.10.9) i (1.10.10) sa ru i rv i dobijamo:

−L = a11E + a12F, (1.10.11)

−M = a11F + a12G, (1.10.12)

−M = a21E + a22F, (1.10.13)

−N = a21F + a22G, (1.10.14)

Jednacine (1.10.11),(1.10.12),(1.10.13),(1.10.14) se mogu jednostavnijenapisati u matricnom obliku:

−(

L MM N

)=

(a11 a12a21 a22

)(E FF G

)pa je (

a11 a12a21 a22

)= −

(L MM N

)(E FF G

)−1

6Julius Weingarten (1836-1910), nemacki matematicar.

1 POVRSI 26

onda imamo (E FF G

)−1

=1

EG− F 2

(G −F−F E

)(1.10.15)

tako da je(a11 a12a21 a22

)=

−1

EG− F 2

(L MM N

)(G −F−F E

)=

−1

EG− F 2

(LG−MF −LF +MEMG−NF −MF +NE

)Sada mozemo zakljuciti:

a11 =MF − LG

EG− F 2, a12 =

LF −ME

EG− F 2

a21 =NF −MG

EG− F 2a22 =

MF −NE

EG− F 2

Koriscenjem dobijenih vrednosti za a11, a12, a21, a22 i zamenom u (1.10.9)i (1.10.10) dobijamo trazeno u (1.10.6) i (1.10.7). �

Sada cemo bez dokaza navesti dve teoreme vezane za operator oblikakoje ce nam u daljem radu biti od velike koristi.

Teorema 1.10.10. Sopstvene vrednosti matrice operatora oblika su upravoglavne krivine K1 i K2 povrsi u datoj tacki.

Teorema 1.10.11. Za Gausovu i srednju krivinu povrsi u datoj tacki vazi:

- determinanta matrice operatora oblika jednaka je KG;

- KS jednako je polovini vrednosti traga operatora oblika.

2 ROTACIONE POVRSI 27

2 Rotacione povrsi

Rotacione povrsi su jedna od jednostavnijih netrivijalnih klasa povrsi. Sfera,torusi paraboloid spadaju u grupu takvih povrsi. Mnogi objekti iz svakodnevnogzivota, kao sto su konzerve i noge namestaja su rotacione povrsi.U Sekciji 2.1 dajemo definiciju i osnovna svojstva rotacionih povrsi, dok u 2.2razmatramo njihovu krivinu. Ostale Sekcije su vezane za blize proucavanjeGeodezijske krivine i Geodezijskih linija rotacione povrsi.

2.1 Definicija rotacione povrsi

Rotacione povrsi nastaju obrtanjem (rotacijom) ravne krive oko prave u R3.Preciznije:

Definicija 2.1.1. Neka je Π ravan u R3, A prava u ravni Π, a C skuptacaka u Π. Kada se C rotira u R3 oko A rezultujuci skup tacaka M senaziva rotaciona povrs generisana sa C. C se naziva profilna kriva povrsiM , dok je A osa rotacije za M .

Zbog pogodnosti, biramo xz-ravan za Π, a z-osu za A. Za tacke skupaC mozemo pretpostaviti da imaju parametrizaciju α : (a, b) → C, koja jediferencijabilna. Pisemo α = (φ, ψ).

Definicija 2.1.2. Preslikavanje surfrev[α] : [0, 2π] → R3 definisano sa:

surfrev[α](u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v)). (2.1.1)

se naziva standardna parametrizacija rotacione povrsi M .

Definicija 2.1.3. Neka je C skup tacaka u ravni Π ⊂ R3, i neka je M [C]rotaciona povrs u R3 generisana rotacijom skupa C oko prave A ⊂ Π. Presekproizvoljne ravni koja sadrzi osu rotacione povrsi M [C] i povrsi M[C] nazivase meridijan na M [C]. Paralela na M [C] je presek prizvoljne ravni normalnena osu rotacione povrsi M [C] i povrsi M [C].

2.2 Krivina rotacione povrsi

Prvo racunamo koeficijente prve i druge kvadratne forme, a onda i jedinicnunormalu opste rotacione povrsi.

Lema 2.2.1. Neka je M rotaciona povrs sa profilnom krivom α = (φ, ψ), ar : U → R3 standardna parametrizacija (2.1.1) od M. Onda:

E = φ2, F = 0, G = φ′2 + ψ′2 (2.2.1)


r je regularno gde god su φ = 0 i φ′2 + ψ′2 = 0. U tom slucaju:

L =−|φ|ψ′√φ′2 + ψ′2

, M = 0, N =sign(φ)(φ′′ψ′ − φ′ψ′′)√

φ′2 + ψ′2(2.2.2)

A jedinicna normala povrsi je data sa:

ν(u, v) = sign(φ)(ψ′ cosu, ψ′ sinu, φ′)√

φ′2 + ψ′2(2.2.3)

Dokaz: Iz (2.1.1) imamo da su prvi parcijalni izvodi:{ru = (−φ(v) sin u, φ(v) cos u, 0),rv = (φ′(v) cos u, φ′(v) sin u, ψ′(v)).

(2.2.4)

Onda (2.2.1) neposredno sledi iz (2.2.4) i definicija E,F,G. Slicno drugiparcijalni izvodi od r su:

ruu = (−φ(v) cos u,−φ(v) sin u, 0),ruv = (−φ′(v) sin u, φ′(v) cos u, 0),

rvv = (φ′′(v) cos u, φ′′(v) sin u, ψ′′(v)).

. (2.2.5)

Dalje racunamo L,M,N koriscenjem napred navedenih obrazaca:

L =1√g[ruu, ru, rv], M =

1√g[ruv, ru, rv], N =

1√g[rvv, ru, rv]

gde je g = EG− F 2 > 0. S’ toga imamo:

L =

det

ruururv

√EG− F 2

=

det

−φ cosu −φ sinu 0−φ sinu φ cosu 0φ′ cosu φ′ sinu ψ′

√φ2(φ′2 + ψ′2)

=−φ2ψ′

|φ|√φ′2 + ψ′2

=−|φ|ψ′√φ′2 + ψ′2

,

M =

det

ruvrurv

√EG− F 2

=

det

−φ′ sinu −φ′ cosu 0−φ sinu φ cosu 0φ′ cosu φ′ sinu ψ′

√φ2(φ′2 + ψ′2)

= 0,


N =

det

rvvrurv

√EG− F 2

=

det

−φ′′ cosu −φ′′ sinu ψ′′

−φ sinu φ cosu 0φ′ cosu φ′ sinu ψ′

√φ2(φ′2 + ψ′2)

=φ(φ′′ψ′ − φ′ψ′′)

|φ|√φ′2 + ψ′2

=φ(φ′′ψ′ − φ′ψ′′)

|φ|√φ′2 + ψ′2

=sign(φ)(φ′′ψ′ − φ′ψ′′)√

φ′2 + ψ′2

Konacno za (2.2.3) koristimo (2.2.4) i racunamo:

ν =

det

i j krurv

√EG− F 2

=

det

i j k−φ sinu φ cosu 0φ′ cosu φ′ sinu ψ′

√φ2(φ′2 + ψ′2)

=(φψ′ cosu, φψ′ sinu, φφ′)

|φ|√φ′2 + ψ′2

= sign(φ)(ψ′ cosu, ψ′ sinu, φ′)√

φ′2 + ψ′2

.

�

Teorema 2.2.2. Glavne krivine rotacione povrsi parametrizovane standard-nom parametrizacijom (2.1.1) su date sa:K1 =

NG= sign(φ)(φ′′ψ′−φ′ψ′′)

(φ′2+ψ′2)3/2

K2 =LE= −ψ′

|φ|√φ′2+ψ′2

.(2.2.6)

Gausova krivina je data sa:

KG =−ψ′2φ′′ + φ′ψ′ψ′′

φ(φ′2 + ψ′2)2(2.2.7)

dok je glavna data sa:

KS =φ(φ′′ψ′ − φ′ψ′′)− ψ′(φ′2 + ψ′2)

2|φ|(φ′3 + ψ′2)3/2(2.2.8)

Dokaz: Posto je F =M = 0 sledi da:{ru

||ru||,rv

||rv||

}formiraju ortonormiranu bazu koja dijagonalizuje operator oblika S, kadgod je r regularno. S’ toga iz Teoreme 1.10.9 imamo:


S(ru) =L

Eru S(rv) =

N

Grv (2.2.9)

Tada je po Teoremi 1.10.10 K1 =NG

K2 =LE. Sada (2.2.6) sledi iz (2.2.3) i

(2.2.2).Konacno (2.2.7) i (2.2.8) slede iz cinjenica da je KG = K1K2 i KS =

(K1 + K2)/2. �Posledica 2.2.3. Za rotacione povrsi vazi da su krivine KG, KS, K1, K2

kao i funkcije E,F,G,L,M,N konstantne duz paralela.

Dokaz: Sve ove funkcije se mogu izraziti preko φ, ψ i njihovih izvoda. Aliφ i ψ ne zavise od u. �Posledica 2.2.4. Neka je r standardna parametrizacija (2.1.1) rotacionepovrsi u R3 cija profilna kriva α = (φ, ψ) ima jedinicnu brzinu. Onda je:

E = φ2, F = 0, G = 1

L = −|φ|ψ′, M = 0, N = sign(φ)(φ′′ψ′ − φ′ψ′′),

K1 = sign(φ)(φ′′ψ′ − φ′ψ′′), K2 =−ψ′

|φ|,

KS =1

2(sign(φ)(φ′′ψ′ − φ′ψ′′)− −ψ′

|φ|), KG =

−φ′′

φ

Dokaz: Posto je 1 = ||α′|| =√φ′2 + ψ2, sve formule osim poslednje neposredno

slede iz (2.2.1), (2.2.2) i (2.2.6). Formula za KG sledi iz (2.2.7) i cinjenice daje φ′φ′′ + ψ′ψ′′ = 0. �

2.3 Ajnstajnova konvencija o sabiranjuDerivacione formule I vrste iKristofelovi simboli povrsi

Da bi dalje izlaganje bilo konciznije i preglednije, koristimo oznacavanjepomocu indeksa. Na primer:

u = u1, v = u2, E = g11, F = g12 = g21, G = g22,

L = b11, M = b12 = b21, N = b22,

ru = ru1 = r1, rv = ru2 = r2

ruu = r11, ruv = r12, rvv = r22,

(2.3.1)


tako da, na primer, koeficijente I kvadratne forme oznacavamo sa gij, a ko-eficijente II kvadratne forme sa bij. Za ove koeficijente sada imamo:

gij = ri · rj, bij = rij · ν = −ri · νj = −rj · νi (i, j = 1, 2) (2.3.2)

Koeficijente prve kvadratne forme mozemo prikazati matricom:(g11 g12g21 g22

)koju krace oznacavamo samo sa (gij).

Pri ovakvoj upotrebi gornjih i donjih indekasa, obicno se koristi i takoz-vana Ajnstajnova7 konvencija za sabiranje, koja se sastoji u tome da sepo indeksu koji se u nekom momentu nalazi jednom kao donji, a drugi putkao gornji, podrazumeva sabiranje i bez znaka Σ. Na primer, jednacina ravnise moze napisati :

a1x1 + a2x

2 + a3x3 = b⇔ aix

i = b

Posmatrajmo povrs:

r = r(u1, u2), (u1, u2) ∈ U ⊂ E2 (2.3.3)

Tada se drugi izvodi rjk = ∂2r/∂uj∂uk u nekoj tacki mogu razloziti po vek-torima pokretnog repera r1,r2, ν u toj tacki:

rjk = Γ1jkr1 + Γ2

jkr2 +Bjkν = Γpjkrp +Bjk · ν (p, j, k = 1, 2) (2.3.4)

Indeks p po kome se sabira zove se nemi indeks, na osnovu njega dobijamodva sabirka. Indeksi j, k u (2.3.4) su slobodni indeksi i svaki od njihodredjuje po dve jednacine, od kojih neke mogu biti identicne. U (2.3.4)imamo na levoj strani r11, r12 = r21, r22, sa odgovarajucim desnim stranama,tj. ukupno tri jednacine. Dalje imamo:

rjk = rkj ⇔ Γ1jk = Γ1

kj ∧ Γ2jk = Γ2

kj ∧Bjk = Bkj (2.3.5)

Odredimo koeficijente razlaganja (2.3.4). Skalarnim mnozenjem iz (2.3.4) naosnovu (2.3.2) sledi:

rjk · ν = Bjk ⇒ Bjk = bjk = rjk · ν, (2.3.6)

7Albert Einstein (1879 - 1955) - Nemacki fizicar.


r1 · rjk = Γ1jkg11 + Γ2

jkg12 = Γpjkg1p, r2 · rjk = Γpjkg2p. (2.3.7)

Prema (2.3.6) vidimo da su koeficijenti Bjk = bjk = bkj ustvari koeficijenti IIkvadratne forme. Ako uvedemo oznaku Γi.jk = ri · rjk, jednacine (2.3.7) semogu zapisati kao jedna jednacina:

Γi.jk = ri · rjk = gipΓpjk. (2.3.8)

Jednacina (2.3.4) se sad na osnovu (2.3.6) moze napisati u obliku:

rjk = Γpjkrp + bjkν. (2.3.9)

Prema (2.3.8) i (2.3.9) je:

Γi.jk = Γi.kj, Γijk = Γikj. (2.3.10)

Definicija 2.3.1. Jednacina (2.3.4) se zove derivaciona formula (jednacina)I vrste povrsi r = r(u1, u2), velicine Γi.jk su Kristofelovi simboli I vrste,a velicine Γijk - Kristofelovi 8 simboli II vrste.

Teorema 2.3.1. Neka je r = r(u1, u2) zadata povrs. Kristofelovi simboli semogu prikazati u obliku Γkij = ⟨rij, rl⟩glk, gde je gij inverzna matrica matricegij.

Definicija 2.3.2. Za koeficijente prve kvadratne forme povrsi definisemo:gij;k =

∂∂uk

(gij).

Teorema 2.3.2. Kristofelovi simboli se mogu izraziti preko koeficijenata prvekvadratne forme u obliku:

Γkij =1

2

(gij;j − gij,l + gjl;i

)glk,

gde je gij inverzna matrica matrice gij.

8Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900) - Nemaci matematicar


2.4 Geodezijska krivina krive na povrsi i geodezijskelinije

Posmatrajmo na povrsi (Slika 2.4.1):

r = r(u1, u2) (2.4.1)

krivu:

C : r = r[u1(s), u2(s)]. (2.4.2)

Slika 2.4.1

Obrazac (1.8.4) I Glave za vektor krivine ove krive mozemo napisati:

K = r′′ = Kn = Kν + λ1r1 + λ2r2 = Kν + λprp = Kν+K

g=

−−→MP (2.4.3)

gde je vektor normalne krivine:

Kν= Kν =

−−→MN (2.4.4)

a vektor geodezijske krivine:

Kg= λprp =

−−→MG (2.4.5)

koji predstavlja normalnu projekciju vektora K na tangentnu ravan u tackiM . Nameravamo da sada to proucimo. Sa slike imamo:

t ⊥ ν ∧ t ⊥ n⇒ t ⊥ ravan(ν, n) ⇒ t ⊥−−→MG = K

g


jer−−→MG lezi u ravni (ν, n). Normalni vektor ν orijentisimo na onu stranu

od tangentne ravni, na koju je orijentisan vektor glavne normale krive r′′ =−−→MP = Kn. Vektor

−−→MG = K

gorijentise se tako da se orijentacija triedra

t,Kg, ν poklapa sa orijentacijom triedra r1, r2, ν (oba desni iku oba levi).

Intezitet vektora geodezijske krivine se zove geodezijska krivina krivena povrsi:

Kg= ∥K

g∥ = ∥

−−→MG∥. (2.4.6)

Prema slici je:

K = ∥−−→MN∥ = ∥

−−→MP∥ cos θ, K

g= ∥

−−→MP∥ sin θ,

tj.K = K cos θ, K

g= K sin θ, (2.4.7)

gde je K krivina krive C.

Definicija 2.4.1. Geodezijska linija je kriva na povrsi, u cijoj je svakojtacki geodezijska krivina nula.

Teorema 2.4.1. Kriva C : r = r[u1(s), u2(s)] je geodezijska linija na povrsir = r(u1, u2), ako i samo ako je ispunjen bilo koji od uslova:

a) C je prava ili je u svakoj tacki glavna normala krivine kolinearna sanormalom povrsi;

b) [r′, r′′, ν] = 0;

c) oskulatorna ravan krive sadrzi normalu povrsi;

d) I krivina krive se po apsolutnoj vrednosti poklapa sa normalom kriv-inom.

Lema 2.4.2. Kriva C koja zadovoljava geodezijske jednacine je konstantnebrzine.


2.5 Geodezijske linije rotacione povrsi

Teorema 2.5.1. Za Kristofelove simbole rotacione povrsi:

x(u, v) = (f(v) cosu, f(v) sin u, g(v))

vazi Γ111 = Γ1

22 = 0 i Γ112 =

f dfdφ

f2.

Dokaz: Za ovu rotacionu povrs koeficijente prve kvadratne forme prikazu-jemo matricom:

(gij) =

(f 2 0

0(dfdφ

)2+(dgdφ

)2 )Kako za koeficijente van glavne dijagonale vazi g12 = g21 = 0, koeficijentiinverzne matrice zadovoljavaju:

gii =1

gii. (2.5.1)

Kako gii zavisi samo od φ imamo ∂∂θ(gii) = 0. Tako vazi:

gii;1 = 0 (2.5.2)

Izracunajmo Kristofelove simbole Γ1ij (za k = 1 u Teoremi(2.3.2)). Po for-

mulama (2.5.1) i (2.5.2) zakljucujemo:

Γ111 =

1

2g11

(g11;1 − g11;1 + g11;1

)= 0

Slicno:

Γ111 =

1

2g11

(g11;2 − g12;1 + g12;1

)=g11;22g11

=

ddφ(f 2)

2f 2=f dfdφ

f 2,

dok:

Γ122 =

1

2g11

(g12;2 − g22;1 + g12;2

)=g12;2g11

=

ddφ(0)

g11= 0.

�

Napomena: Na dalje cemo za krivu C : x[u(s), v(s)] i povrs x = x(u, v) nakojoj se nalazi ta kriva koristiti sledecu notaciju:

u′ =du

dsu′′ =

d2u

ds2v′ =

dv

dsv′′ =

d2v

ds2


Napomena: Za rotacionu povrs datu prametrizacijom x(u, v) =(f(v) cos u, f(v) sin u, g(v)) koristicemo notaciju:

f ′ =df

vf ′′ =

d2f

dv2g′ =

dg

dvg′′ =

d2g

dv2

Teorema 2.5.2. Po uvedenoj notaciji Kristofelovi simboli rotacione povrsix(u, v) = (f(v) cos u, f(v) sinu, g(v)) su dati sa:

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = 0, Γ2

11 = − ff ′

(f ′)2 + (g′)2

Γ112 =

ff ′

f 2Γ222 =

f ′f ′′ + g′g′′

(f ′)2 + (g′)2

.

Teorema 2.5.3. (Geodezijske jednacine) Kriva C : x[u(s), v(s)] povrsi x =x(u, v) je geodezijska linija te povrsi ako i samo ako su zadovoljene sledecedve jednacine:

u′′ + Γ111(u

′)2 + 2Γ112u

′v′ + Γ122(v

′)2 = 0 (2.5.3)

v′′ + Γ211(u

′)2 + 2Γ212u

′v′ + Γ222(v

′)2 = 0 (2.5.4)

Jednacine (2.5.3) i (2.5.4) mozemo korisrtiti za lokalno prucavanje geodezi-

jskih linija rotacione povrsi koja je data parametrizacijom:

x(u, v) = (f(v) cosu, f(v) sin u, g(v))

Zamenom vrednosti Kristofelovih simbola iz Teoreme 2.5.2 u Teoremu 2.5.3za datu rotacionu povrs dobijamo:

u′′ +2ff ′

f 2u′v′ = 0 (2.5.5)

v′′ − ff ′

(f ′)2 + (g′)2(u′)2 +

f ′f ′′ + g′g′′

(f ′)2 + (g′)2(v′)2 = 0 (2.5.6)

Sada cemo izvesti neke zakljucke iz ovih jednacina. Prvo, kao sto je ocekivano,

u = const i v = (s) (s je duzina luka) su geodezijske linije. Zaista, jednacina(2.5.5) je trivijalno zadovoljena za u = const. Druga jednacina je oblika:

v′′ +f ′f ′′ + g′g′′

(f ′)2 + (g′)2(v′)2 = 0


Kako za prvu fundamentalnu formu duz meridijana u = const v = v(s) vazi:

((f ′)2 + (g′)2)(v′)2 = 1

zakljucujemo:

(v′)2 =1

(f ′)2 + (g′)2

Diferenciranjem imamo:

2v′v′′ = − 2(f ′f ′′ + g′g′′)

((f ′)2 + (g′)2)2v′ = −2(f ′f ′′ + g′g′′)

(f ′)2 + (g′)2(v′)3

odnosno, posto je v′ = 0,

v′′ = −(f ′f ′′ + g′g′′)

(f ′)2 + (g′)2(v′)2;

tako je duz meridijana zadovoljena i jednacina (2.5.6), na osnovu cega za-kljucujemo da su meridijani geodezijske linije.

Sada cemo odrediti koje paralele v = const u = u(s) (s je duzina luka)su geodezijske linije na rotacionoj povrsi. Iz jednacine (2.5.5) dobijamo u′ =const a jednacina (2.5.6) je oblika:

ff ′

(f ′)2 + (g′)2(u′)2 = 0

Da bi v = const u = u(s) bila geodezijska linija neophodno je da je u′ = 0.Kako je (f ′)2+(g′)2 = 0 i f = 0, iz jednacine iznad zakljucujemo da je f ′ = 0.

Drugim recima, neophodan uslov da bi paralela rotacione povrsi bilageodezijska linija na njoj, je da paralela mora biti generisana rotacijom tackeprofilne krive u kojoj je tangenta paralelna osi rotacije.

Iz jednacine (2.5.5), poznate kao Klerova relacija , mozemo dobitizanimljive geometrijske posledice. Ova jednacina moze biti zapisana u obliku:

(f 2u′)′ = f 2u′′ + 2ff ′u′v′ = 0

s’toga,f 2u′ = const = c.

S gruge strane, ugao θ, 0 ≤ θ ≤ π/2, izmedju geodezijske linije i paralelekoja je preseca je dat sa:

cos θ =|⟨xu, xuu′ + xvv

′⟩||xu|

= |fu′|,


gde je {xu, xv} pridruzena baza date parametrizacije. Kako je f = r radijusparalele u presecnoj tacki dobijamo Klerovu relaciju :

r cos θ = const = |c|.

U sledecem primeru cemo pokazati koliko je ova relacija korisna.

Razmotrimo sada blize jednacine (2.5.5) i (2.5.6). Neka je u = u(s),v = v(s) (s duzina luka) geodezijska linija koja nije ni meridijan ni paralelarotacione povrsi. Jednacina (2.5.5) je tada oblika f 2u′ = const = 0.

Prva fundamentalna forma je duz (u(s), v(s)),

1 = f 2

(du

ds

)2

+ ((f ′)2 + (g′)2)

(dv

ds

)2

, (2.5.7)

sto je sa jednacinom (2.5.5) ekvivalentno jednacini (2.5.6). Zapravo, za-menom f 2u′ = c u jednacini (2.5.7), zakljucujemo:(

dv

ds

)2

((f ′)2 + (g′)2) = − c2

f 2+ 1;

pa diferenciranjem po s dobijamo:

2dv

ds

d2v

ds2((f ′)2 + (g′)2) +

(dv

ds

)2

(2f ′f ′′ + 2g′g′′)dv

ds=

2ff ′c2

f 4

dv

ds,

sto je ekvivalentno jednacini (2.5.6), posto u(u(s), v(s)) nije paralela. S druge

strane, kako je c = 0 (posto geodezijska linija nije meridijan) imamo u′(s) =0. Mnozenjem jednacine (2.5.7) sa (ds/du)2, dobijamo:(

ds

du

)2

= f 2 + ((f ′)2 + (g′)2)

(dv

ds

ds

du

)2

ili, koriscenjem cinjenice da je (ds/du)2 = f 4/c2,:

f 2 = c2 + c2(f ′)2 + (g′)2

f 2

(dv

du

)2

pa je:

dv

du=

1

cf

√f 2 − c2

(f ′)2 + (g′)2.

S’toga je:

u = c

∫1

f

√(f ′)2 + (g′)2

f 2 − c2dv + const

sto predstavlja jednacinu segmenta geodezijske linije rotacione povrsi kojanije niti paralela niti meridijan.

3 PRIMERI ROTACIONIH POVRSI 39

3 Primeri rotacionih povrsi

U ovoj sekciji se blize upoznajemo sa primerima rotacionih povrsi i razma-tramo njihova bitnija svojstva. Za njihovu vizuelizaciju koristimo programskipaket Matematica.

3.1 Pseudosfera (Pseudosphere)

Pseudosfera je rotaciona povrs konstantne negativne Gausove krivine kojanastaje rotacijom traktrise oko njene asimptote. Parametarska jednacinatraktrise je:

x(t) = a(t− tanh t)

y(t) = asecht

pa je s’ toga parametarska jednacina pseudosfere:x = sechu cos v

y = sechu sin v

z = u− tanhu

(3.1.8)

za u ∈ (−∞,∞) i v ∈ [0, 2π).

Ova povrs moze biti prikazana i u sledecem obliku:

z2 =

[a sech−1

(√x2 + y2

a

)−√a2 − x2 − y2

]2Ostale parametrizacije pseudosfere:

x = cosu sin v

y = sin u sin v

z = cos v + ln[tan(12v)]

(3.1.9)

za u ∈ [0, 2π) i v ∈ (0, π), i x = φ(v) cos u

y = φ(v) sin u

z = ψ(v)

(3.1.10)

za u ∈ [0, 2π) i v ∈ (−∞,∞) gde:


φ(v) =

{ev, v < 0

e−v, v ≥ 0

ψ(v) =

√1− e2v − tanh−1

(√1− e2v

), v < 0

ln

(ev +

√e2v − 1

)− e−v

√e2v − 1, v ≥ 0

Za iscrtavanje pseudosfere u programskom paketu Mathematica mozemokoristiti sledeci kod:

ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v],Sin[u] Sin[v],Cos[v] + Log[Tan[v/2]]},

{u,0,2 \[Pi]},{v,0,\[Pi]}]

Slika 3.1. Pseudosfera i presek pseudosfere

Po prvoj parametrizaciji (3.1.1) koeficijenti prve kvadratne forme su:

E = tanh2 u

F = 0

G = sech2u.

a druge kvadratne forme:

L = −sech u tanhuM = 0

N = sech u tanhu.

Gausova i srednja krivina pseudosfere su:

KG = −1

KS =1

2(sinhu− coshu).


3.2 Katenoid (Catenoid)

Katenoid je trodimenziona povrs koja nastaje rotacijom katemptote oko x-ose. Ukoliko ne racunamo ravan, to je prva otkrivena minimalna povrs. Njenootkrice da je minimalna se pripisuje Ojleru, koji je pisao o katenoidu u svojojknjizi ”Metode za nalazenje krivih linija koje poseduju osobine maksimumaili minimuma” objavljenoj 1744. godine.

Za u ∈ [0, 2π), v ∈ R, parametarska jednacina katenioda je:x = c cosh

(vc

)cosu

y = c cosh

(vc

)sinu

z = v

(3.2.1)

Koeficijenti prve kvadratne forme su:

E = c2 cosh2

(v

c

)F = 0

G = cosh2

(v

c

).

a druga kvadratna forma ima koeficijente:

L = −cM = 0

N =1

c.

Glavne krivine su:

K1 =1

c cosh

(vc

)2

K2 = − 1

c cosh

(vc

)2

Gausova i srednja krivina katenoida su:


KG =1

c2 cosh

(vc

)4

KS = 0.

Za iscrtavanje katenoida u programskom paketu Mathematica mozemokoristiti sledeci kod:

ParametricPlot3D[{Cosh[v]Cos[u],Cosh[v]Sin[u],v},{u,0,2 \[Pi]},

{v,-\[Pi]/2,\[Pi]/2}]

Slika 3.2. Katenoid i presek katenoida

Teorema 3.2.1. Neka je M rotaciona povrs koja je ujedno i minimalnapovrs. Tada je M sadrzana ili u ravni ili u nekom katenoidu.

Dokaz: Neka je r preslkavanje ciji je trag sadrzan u M , i neka je α = (φ, ψ)profilna kriva. Pretpostavimo da je r dato sa (2.1.1). Razlikujemo 3 slucaja.

Slucaj 1. ψ′ = 0. Tada je ψ konstanta, pa je α horizontalna linija i Mje deo ravni koja je normalna na osu rotacije.

Slucaj 2. ψ′ = 0 ∀t. Tada po teoremi o inverznoj funkciji ψ ima inverzψ−1. Definisimo:

α(t) = α(ψ−1(t)

)=(h(t), t

),

gde je h = φ ◦ ψ−1, a novo preslikavanje x je dato sa:

x(u, v) =(h(v) cos u, h(v) sinu, v

).

Kako je α reparametrizacija od α, sledi da r i x imaju isti trag. Ovo nam jedovoljno da pokazemo da je rotaciona povrs x deo katenoida.

Jednacine (2.2.6) su oblika:{K1 =

NG= − h′′

(h′2+1)3/2

K2 =LE= 1

h√h′2+1

(3.2.2)


Iz pretpostavke da je KS = 0 i (2.2.2) sledi da h mora zadovoljavatidiferencijalnu jednacinu:

h′′h = 1 + h′2 (3.2.3)

Da bi resili (3.2.3) pisemo je prvo u obliku:

2h′h′′

1 + h′2=

2h′

h(3.2.4)

Integralimo obe strane u (3.2.4); rezultat je:

log(1 + h′2) = log(h2)− log(c2)

za neku konstantu c = 0. Prethodna jednacina ekvivalentna je sa:

1 + h′2 =

(h

c

)2

(3.2.5)

S druge strane ova diferencijalna jednacina moze biti zapisana u obliku:

h′/c√(h/c)2 − 1

=1

c(3.2.6)

Integralimo obe strane u (3.2.6), pa imamo:

cosh−1

(h

c

)=v

c+ b.

Tako da je resenje jednacine (3.2.3):

h(v) = c cosh(v

c+ b)

pa je M deo katenoida.

Slucaj 3. ψ′ je nula u nekim tackama, a nenula u drugim. Zapravoovaj slucaj je nemoguc. Pretpostavimo da je, na primer, ψ′(v0) = 0, aliψ′(v) > 0 za v < v0. Iz Slucaja 2. sledi da je profilna kriva katemptotaza v < v0 ciji je nagib dat sa φ′/ψ′. Tada iz ψ′(v0) = 0 sledi da nagib imabeskonacnu vrednost u tacki v0. Kako je profilna kriva grafik funkcije coshovo je nemoguce. �


3.3 Ding-dong povrs (Ding-dong surface)

Ding-dong povrs je je rotaciona povrs data jednacinom:

x2 + y2 = (1− z)z2

Ova povrs moze biti prikazana i u parametarskom obliku:x = a v

√1− v cosu

y = a v√1− v sinu

z = a v

(3.3.1)

za u ∈ [0, 2π) i v ∈ (−∞, 1). Prema ovoj parametrizaciji koeficijenti prvekvadratne forme su:

E = a2v2(1− v)

F = 0

G = a28 + (9v − 16)v

4(1− v)

a druge:

L =2a(v − 1)|v|√(9v − 16)v + 8

M = 0

N =(4− 3v) a sgn(v)

2(v − 1)√

(9v − 16)v + 8.

U programskom paketuMathematica, za iscrtavanje ding dong povrsi mozemokoristiti kod:

ParametricPlot3D[{vSqrt[1-v]Cos[u],vSqrt[1-v]Sin[u],v},{u,0,2 \[Pi]},

{v,-\[Pi]/2,\[Pi]/2}]

Slika 3.3. Ding dong povrs


Gausova i srednja krivina su date sa:

KG =4(4− 3v)

a2 v[8 + v(9v−)]2

KS =2[4 + 3(v − 2)v]|v|[8 + v(9v−)]3/2

.

3.4 Osmica povrs (Eight surface)

Parametarska jednacina osmice povrsi je date sa:x = cosu sin(2v)

y = sin u sin(2v)

z = sin v

(3.4.1)

za u ∈ [0, 2π) i v ∈ [−π/2, π/2].

Osmicu povrs mozemo iscrtati u Mathematica-i koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{Cos[u]Sin[2v],Sin[2v]Sin[u],Sin[v]},{u,0,2 \[Pi]},

{v,-\[Pi]/2,\[Pi]/2}]

Slika 3.4. Osmica povrs

Ova povrs nosi takvo ime jer se dobija rotacijom figure osmice. Njenajednacina u implicitnom obliku je:

4z4 + a2(x2 + y2 − 4z2) = 0


koja transformacijom z → z/2 dobija oblik:

z4 + 4a2(x2 + y2 − z2) = 0.


E = a2 sin2(2v)

F = 0

G =1

2a2 [5 + cos(2v) + 4 cos(4v)].

a druge:

L =4√2 cos3 v sin2 v

| sin(2v)|√5 + cos(2v) + 4 cos(4v)

M = 0

N = − 2√2[5 cos v + cos(3v)] sin2 v

| sin(2v)|√5 + cos(2v) + 4 cos(4v)

.

Gausova i srednja krivina su date sa:

KG =4[2 + cos(2v)]

[5 + cos(2v) + 4 cos(4v)]2

KS =cos v [−11 + 3 cos(2v)− 2 cos(4v)]√2| sin(2v)|[5 + cos(2v) + 4 cos(4v)]3/2

.

Gausova krivina u implicitnom obliku moze biti prikazana sa:

KG(x, y, z) =3a6 − 2a4z2

(5a4 − 17 a2 z2 + 16z4)2

3.5 Torus (Torus)

Torus je rotaciona povrs koja se dobija rotacijom kruznice u trodimenzionomprostoru oko ose komplanarne sa kruznicom.Ako osa rotacije ne dodiruje kruznicu povrs ima oblik prstena i naziva seprstenasti torus ili samo torus. U slucaju da je osa rotacije tangentakruznice dobijena povrs se naziva rog torus, a kada za osu rotacije uzmemotetivu kruznice rezultujuca povrs je vretenasti torus.


Kao takva povrs torus ima ”rupu”. Ako oznacimo sa c radijus od centra”rupe” do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove param-etarske jednacine u obliku:

x = (c+ a cos v) cos u

y = (c+ a cos v) sin u

z = a sin v

(3.5.1)

za u, v ∈ [0, 2π).

3.5.1 Prstenasti torus (Ring torus)

Parametarska jednacina prstenastog torusa je istog oblika kao i jednacina(3.5.1), s’tim sto se uzima u obzir da je c > a.

Za njegovo iscrtavanje mozemo koristiti kod:

ParametricPlot3D[{(3+Cos[v])Cos[u],(3+ Cos[v])Sin[u],Sin[v]},{u,0,2\[Pi]},

{v,0,2\[Pi]}]

Slika 3.5. Prstensti torus i njegov presek


E = (c+ a cos v)2

F = 0

G = a2

dok za koeficijente gruge kvadratne forme dobijamo:

L = −(c+ a cos v) cos v

M = 0

N = −aGausova i srednja krivina su date sa:

KG =cos v

a(c+ a cos v)

KS = − c+ 2a cos v

2a(c+ a cos v).


3.5.2 Rog torus (Horn torus)

Uzimajuci u jednacini (3.5.1) da je c = a dobijamo parametarsku jednacinurog torusa

x = a(1 + cos v) cos u

y = a(1 + cos v) sin u

z = a sin v

(3.5.1)

za u, v ∈ [0, 2π).Za iscrtavanje rog torusa u programskom paketu Mathematica mozemo

koristiti kod:

ParametricPlot3D[{(1+Cos[v])Cos[u],(1+Cos[v])Sin[u],Sin[v]},{u,0,2\[Pi]},

{v,0,2\[Pi]}]

Slika 3.6. Rog torusa i njegov presek

Za koeficijente prve kvadratne forme dobijamo:

E = 4a2 cos4(12v)

F = 0

G = a2.

dok su koeficijenti druge kvadratne forme rog torusa:

L = −2 a cos2(12

)cos v

M = 0

N = −a


3.5.3 Vretenasti torus (Spindle torus)

Kod vretenastog torusa parametarska jednacina, formule za koeficijente prvei druge kvadratne forme i formule za izracunavanje srednje i Gausove krivinesu iste kao i kod prstenastog torusa, s’tim sto se uzima u obzir da je c < a.

Za iscrtavanje ove povrsi u Mathematica-i mozemo koristiti kod:

ParametricPlot3D[{(1+3Cos[v])Cos[u],(1+3Cos[v])Sin[u],Sin[v]},{u,0,2\[Pi]},

{v,0,2\[Pi]}]

Slika 3.7. Vretenasti torusa i njegov presek

3.6 Fanel povrs (levak) (Funnel surface)

Fanel povrs nastaje rotacijom krive ln x oko z - ose. Njena jednacina uimplicitnom obliku glasi:

z =1

2a ln(x2 + y2)

dok je njen parametarski oblik:x = u cos v

y = u sin v

z = a lnu

(3.6.1)

za u > 0 i v ∈ [0, 2π).

Ovu povrs mozemo iscrtati koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{uCos[v],u Sin[v],1/u},{u,0.11,2},{v,0,2\[Pi]}]


Slika 3.8. Fanel povrs i njen presek


E = 1 +a2

u2

F = 0

G = u2.

dok za koeficijente druge kvadratne forme dobijamo:

L = − a

u√a2 + u2

M = 0

N =a u√a2 + u2

.

Gausova i srednja krivina ove povrsi su:

KG = − a2

(a2 + u2)2

KS =a3

2 u(a2 + u2)3/2.

Gausova krivina moze u implicitnom obliku biti zadata sa:

KG(x, y, z) = − a2

(a2 + e2z/a)2


3.7 Gavrilova truba (Gabriel’s horn)

Gavrilova truba (poznata takodje i kao Toricelijeva truba) je rotaciona povrskoja se dobija rotacijom krive y = 1

xoko x - ose za x ≥ 1. Njeno ime se

odnosi na tradiciju identifikovanja arhangela Gavrila sa andjelom koji duvau trubu da najavi sudnji dan.

Njena parametarska jednacina je data sa:x = u

y = a cos vu

z = a sin vu

(3.7.1)

Koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{u,Cos[v]/u,Sin[v]/u},{u,0.1,5},{v,-2\[Pi],2\[Pi]}]

mozemo iscrtati ovu povrs.

Slika 3.9. Gavrilova truba i njen presek


E = 1 +a2

u4

F = 0

G =a2

u2.


dok za drugu kvadratnu formu dobijamo:

L = − 2a

u√a2 + u4

M = 0

N =a u√a2 + u4

.

Gausova i srednja krivina Gavrilove trube su:

KG = − 2u6

(a2 + u4)2

KS =u7 − a2 u3

2a(a2 + u4)3/2.

Implicitni oblik Gausove krivine je:

KG(x, y, z) = − 2x2

2a2 + x4 + (y2 + z2)2

3.8 Jednograni hiperboloid (One-sheeted hyperboloid)

Jednograni hiperboloid je povrs koja se dobija rotacijom hiperbole oko sime-trale duzi koja sparaja fokuse te hiperbole.

U implicitnom obliku ova povrs je zadata sa:

x2 + y2

a2− z2

c2= 1

gde je aParametarska jednacina ove povrsi je:

x = a√1 + u2 cos v

y = a√1 + u2 sin v

z = c u

(3.8.1)

za u ∈ R, v ∈ [0, 2π)Druge parametrizacije ove povrsi, koje se srecu su:

x = a(cosu∓ v sinu)

y = a(sinu± v cosu)

z = ±c v(3.8.2)


i x = a cosh v cosu

y = a cosh v sinu

z = c sinh v

(3.8.3)

Za iscrtavanje jednogranog hiperboloida u programskom paketuMathematicamozemo koristiti sledeci kod:

ParametricPlot3D[{Sinh[u]Cos[v],Sinh[u]Sin[v],Cosh[u]},{u,-3,3},{v,0,2\[Pi]}]

Slika 3.10. Jednograni hiperboloid

Koeficijenti prve kvadratne forme su dati sa:

E = c2 +a2u2

u2 + 1

F = 0

G = a2(u2 + 1).

dok za drugu kvadratnu formu imamo:

L = − a c(1 + u2

)√c2 +

(a2 + c2

)u2

M = 0

N =a c(1 + u2

)√c2 +

(a2 + c2

)u2.

Gausova i srednja krivina su:

KG = − c2[c2 +

(a2 + c2

)u2]2

KS =c2[a2(u−1

)+ c2

(u2 + 1

)]2a[c2 +

(a2 + c2

)u2]3/2 .


Implicitni oblik Gausove krivine je:

KG(x, y, z) = − c6(c4 + a2z2 + c2z2

)2 .3.9 Dvograni hiperboloid (Two-sheeted hyperboloid)

Dvograni hiperboloid nastaje rotacijom hiperbole oko prave koja spaja njenefokuse.

U implicitnom obliku se zadaje sa:

x2 + y2

a2− z2

c2= −1 ,

gde je a Parametarska jednacina dvogranog hiperboloida je:x = a sinhu cos v

y = a sinhu sin v

z = c coshu

(3.9.1)

za u ∈ R, v ∈ [0, π).

Slika 3.11. Dvograni hiperboloid


E =1

2

((a2 + c2) cosh(2u) + a2 − c2

)F = 0

G = a2 sinh2 u.


Za drugu kvadratnu formu imamo:

L =

√2a c|u| sinhu

u| sinhu|√(a2 + c2) cosh(2u) + a2 − c2

M = 0

N =

√2a c sgn|u| sinhu| sinhu|√(a2 + c2) cosh(2u) + a2 − c2

.

Za Gausovu krivinu ove povrsi imamo:

KG =4c2(

(a2 + c2) cosh(2u) + a2 − c2)2 ,

dok je njen implicitni oblik:

KG(x, y, z) =c6

[c4 − (a2 + c2)z2]2.

3.10 Poljubac povrs (Kiss surface)

Jednacina ove povrsi je:

x2 + y2 = (1− z)z4

i veoma je slicna jednacini ding-dong povrsi. Ova povrs nosi takvo ime jerje njen oblik slican obliku Hersi Cokoladnog poljupca (brend cokolade kojiproizvodi Hersi komapanija). Njena parametarska jednacina je:

x = av2√

1−v2

cosu

y = av2√

1−v2

sinu

z = av

(3.10.1)

za u ∈ [0, 2π) i v ∈ R.Za isrtavanje ove povrsi u Mathematica-i moze se koristiti kod:

ParametricPlot3D[{v^2 Sqrt[(1 - v)/2] Cos[u],v^2Sqrt[(1-v)/2]Sin[u],v},

{u,0,2\[Pi]},{v,-1.5,2}]


Slika 3.12. Poljubac povrs i njen presek

Koeficijenti prve kvadratne forme ove povrsi su:

E =1

2a2(1− v)v4

F = 0

G =a2(8− 8v + 16v2 − 40v3 + 25v4

)8(v − 1)

.

a za drugu kvadratnu formu imamo:

L =2a(v − 1)v2√

8− 8v + 16v2 − 40v3 + 25v4

M = 0

N =a(8− 24v + 15v2

)2(1− v)

√8− 8v + 16v2 − 40v3 + 25v4

.


KG = −16(8− 24v + 15v2

)a2v2

(8− 8v + 16v2 − 40v3 + 25v4

)2KS = −

4(4− 4v + 4v2 − 8v3 + 5v4

)av2(8− 8v + 16v2 − 40v3 + 25v4

)3/2 .Implicitni oblik Gausove krivine je:

KG(x, y, z) =16(8− 24z + 15z2)

z2(8− 8v + 16v2 − 40v3 + 25v4

)2


3.11 Elipsoid (Ellipsoid)

Elipsoid je povrs koja nastaje rotacijom elipse oko jedne od njenih glavnihosa. Njena jednacina je oblika:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

gde su a, b i c dizine njenih poluosa.

Ako je duzina dveju osa elipse jednaka, dobijena povrs se naziva sferoid(zavisno od toga da li je c < a ili c > a, imamo ispupceni ili izduzeni sferoidredom), a ako su sve tri ose jednake u pitanju je sfera. Elipsoid moze biti uparametaskom obliku prikazan sa:

x = a cosu sin v

y = b sinu sin v

z = c cos v

(3.11.1)

za u ∈ [0, 2π) i v ∈ [0, π].

Slika 3.13. Elipsoid

Po ovoj parametrizaciji, koeficijenti prve kvadratne forme su:

E =

(b2 cos2 u+ a2 sin2 u

)sin2 v

F =

(b2 − a2

)cosu sinu cos v sin v

G =

(a2 cos2 u+ b2 sin2 y

)cos2 v + c2 sin2 v.


dok za drugu dobijamo:

L =abc sin2 v√

a2b2 cos2 v + c2(b2 cos2 u+ a2 sin2 u

)sin2 v

M = 0

N =abc√


)sin2 v

.

Gausova krivina je data sa:

KG =a2b2c2[


)sin2 v

]2a srednja krivina sa:

KS =abc[3(a2 + b2

)+ 2c2 +

(a2 + b2 − 2c2

)cos(2v)− 2

(a2 − b2

)cos(2u) sin2 v

]8[a2b2 cos2 v + c2

(b2 cos2 u+ a2 sin2 u

)sin2 v

]3/23.11.1 Sferoid (Spheroid)

Sferoid je elipsoid koji ima jednake dve ose. Po dogovoru, ose koje su razliciteduzine oznacavamo sa a i c. Takodje, sferoid je orijentisan tako da je osarotacije simetricna duz z -ose. Njegova parametarska jednacina je data sa:

x = a cosu sin v

y = a sinu sin v

z = c cos v

(3.11.1)

za u ∈ [0, 2π) i v ∈ [0, π].

Jednacina u implicitnom obliku je:

x2 + y2

a2+z2

c2= 1

Ako je a > c, sferoid je ispupcen. Ako je a < c za sferoid kazemo da jeizduzen. U slucaju kada je a = c dobijamo sferu.

Izduzen sferoid mozemo iscrtati koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{Cos[u]Sin[v],Sin[u]Sin[v],2Cos[v]},{u,0,2\[Pi]},

{v,0,\[Pi]}]


Slika 3.14. Izduzen sferoid i njegov presek

Za iscrtavanje ispupcenog sferoida u programskom paketu Mathematicamozemo koristiti kod:

ParametricPlot3D[{3Cos[u]Sin[v],3Sin[u]Sin[v],Cos[v]},{u,0,2\[Pi]},

{v,0,\[Pi]}]

Slika 3.15. Ispupcen sferoid i njegov presek

U navedenoj parametrizaciji koeficijenti prve kvadratne forme su:

E = a2 sin2 v

F = 0

G =1

2

[a2 + c2 +

(a2 − c2

)cos(2v)

].


dok za koeficijente druge kvadratne forme imamo:

L =

√2ac sin2 v√[

a2 + c2 +(a2 − c2

)cos(2v)

]M = 0

N =

√2ac√[

a2 + c2 +(a2 − c2

)cos(2v)

] .Gausova i srednja krivina su redom date jednacinama:

KG =4c2[

a2 + c2 +(a2 − c2

)cos(2v)

]2KS =

c[3a2 + c2 +

(a2 − c2

)cos(2v)

]√2a[a2 + c2 +

(a2 − c2

)cos(2v)

]3/2 .3.11.2 Sfera (Sphere)

Za sferu vaze iste jednacine kao i za sferoid, samo sto se uzima da je a = c.Bitno je primetiti da sfera ima konstantnu Gausovu i srednju krivinu:

KG =1

a2

KS =1

a,

sto je cini veoma zanimljivom povrsi.U programskog paketa Mathematica sferu mozemo iscrtati koriscenjem

koda:

ParametricPlot3D[{Cos[u]Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]},{u,0,2\[Pi]},

{v,0,\[Pi]}]

Slika 3.16. Sfera i njen presek


3.12 Povrs uparivanja dva koaksijalna cilindra razlicitihpoluprecnika (Poverhnost~ sopr~�eni� dvuh soosnyh cilindrov

raznyh diametrov)

Povrs uparivanja dva koaksijalna cilindra razlicitih poluprecnika spada uklasu ciklickih povrsi, ali isto tako moze biti svrstana i u klasu rotacionihpovrsi. Ova povrs se dobija rotacijom kosinusoide oko zajednicke ose dvauparena cilindra. Njena parametarska jednacina je:

x = x(α, β) = r(α) cos β,

y = y(α, β) = r(α) sin β,

z = α

(3.12.1)

gde je:

r = r(α) =R2 −R1

2

(1− cos

πα

2b

)+R1 =

(R2 −R1

)sin2 πα

4b+R1

zakon promene poluprecnika posmatranih uparenih povrsi duz ose Oz (oserotacije). R1 i R2 poluprecnici cilindara; R2 ≥ R1. 0 ≤ α ≤ 2b; 2b -rastojanje izmedju dva cilindara razlicitih poluprecnika; β - ugao ravni kojaje paralelna povrsi, racunat od ose Ox ka osi Oy; 0 ≤ β ≤ 2π.


E2 = 1 +π2

16b2(R2 −R1

)2sin2 πα

2bF = 0

G = r(α)

dok za koeficijente druge kvadrane forme imamo:

L = −π2(R2 −R1

)8b2E

cosπα

2bM = 0

N =G

E.


KG = −π2(R2 −R1

)8b2E4G

cosπα

2b

KS =

π2(R2 −R1

)(R2 −R1 −

(R2 +R2

)cos[πα/(2b)

])+ 16b2

32b2E3G.


Primetimo da ova povrs ima negativnu Gausovu krivinu u oblasti gde je0 ≤ α ≤ b, a pozitivnu za b ≤ α ≤ 2b ( pri R2 > R1 ).

Ako uzmemo R1 = R2 onda dobijamo cilindricnu rotacionu povrs.

3.13 Povrs uparivanja koaksijalnog cilindra i kupe(Poverhnost~ sopr~�eni� soosnyh cilindra i konusa)

Povrs uparivanja koaksijalnog cilindra i kupe predstavlja deo povrsi kojase dobija rotacijom cele sinusoide. Ova povrs nastaje rotacijom krive y =a[1 − cos

(2πz/c

)]+ R1 oko Oz ose. Da bi posmatrana povrs bila povrs

uparivanja koaksijalnog cilindra poluprecnika R1 i kruzne kupe poluprecnikaosnove R2 i uglom pri vrhu φ neophodno je postaviti dva uslova:

1)(2πa/c

)sin(2πb/c

)= tanφ

2) a[1− cos

(2πz/c

)]+R1 = R2

Na takav nacin, od sest konstantiR1, R2, 1, b, c, φmogu se priozvoljno izabratibilo koje cetiri, a dve preostale se izrazavaju preko njih. Pri tom neophodnoje uzeti a > 0, ako je R1 > R2.

Na primer,ako su zadati R1, R2, c i φ ostala dva parametra a i b seracunaju po formulama:

a =−1

R1 −R2

[(R1 −R2

)22

+c2 tan2 φ

8π2

]; b =

c

2πarcsin

cotφ

2πa

za φ > 0, R2 > R1 ili φ < 0, R2 < R1 i

b =c

2− c

2πarcsin

cotφ

2πa

za φ < 0, R2 > R1 ili φ > 0, R2 < R1. Parametarska jednacina ove povrsiglasi:

x = x(z, β) = t cos β,

y = y(z, β) = r sin β,

z = z

(3.13.2)

gde je r = a[1− cos

(2πz/c

)]+R1; 0 ≤ z ≤ b; b < c; o ≤ β ≤ 2π.


Koeficijenti prve kvadratne formem su dati jednacinama:

E2 = 1 +4π2a2

c2sin2 2πz

cF = 0

G = r(z).

dok za koeficijente druge kvadrantne forme vazi:

L = −4π2a

c2Ecos

2πz

cM = 0

N =r

E.

Gausova krivina ove povrsi je data jednacinom:

KG = − 4aπ2

c2rE4cos

2πz

c

3.14 Povrs koja nastaje rotacijom polukubne parabolez = bx2/3 oko Oz ose (Poverhnost~, obrazuema� vraweniem meridiana

v forme polukubiqesko� paraboly)

Implicitni oblik ove povrsi je:

z = b 3√x2 + y2

dok su njeni parametaski oblici:x = u3

y = v3

z = b(u6 + v6)1/3(3.14.1)

i x = x(r, β) = r cos β

y = y(r, β) = r sin β

z = z(r) = br23

(3.14.2)


Slika 3.17. Povrs rotacije polukubne parabole

Uzimajuci u obzir parametarski oblik (3.15.2) ove povrsi koeficijenti prve idruge kvadratne forme su dati sa:

E = 1 +4b2

9r−2/3

F = 0

G = r.

L = −2b2

9Er−4/3

M = 0

N =2b2

3Er2/3.

3.15 Povrs koja nastaje rotacijom hiperbole z = b/x

oko Oz ose (Poverhnost~ vraweniem giperboly)

Za implicitni oblik ove povrsi imamo:

z =b√

x2 + y2

Parametarska jednacina ove povrsi je:x = x(r, β) = r cos β


z = z(r) = b/r

(3.15.1)


gde je x > 0, y > 0, r = b/x. Koeficijenti prve kvadratne forme su:

E2 = 1 +b2

r4

F = 0

G = r.

a za drugu kvadratnu formu imamo:

L =2b

Er3

M = 0

N = − b

Er.

Ovu povrs mozemo u Mathematica - i iscrtati koriscenjem koda:

RevolutionPlot3D[1/t,{t,0.1,2}]

Slika 3.18. Povrs rotacije hiperbole

3.16 Povrs koja nastaje rotacijom astroide(Poverhnost~ vraweni� astroidy)

Sada cemo posmatrati povrs koja se dobija rotacijom astroide x2/3 + z2/3 =a2/3 oko Oz ose. Njen implicitni oblik je:

z = ±[a2/3 −

(x2 + y2

)1/3] 32

Ova povrs ima dve osobene tacke, u polovima povrsi pri x = y = 0, z = ±ai na ivici paralele r = a pri z = 0.


Parametarski oblici zadavanja ove povrsi su:x = x(r, β) = r cos β

y = y(r, β) = r sin β,

z = ±(a2/3 − r2/3)2/3(3.16.1)

gde 0 ≤ r ≤ a. Po ovoj parametrizaciji koeficijenti prve, druge kvadratneforme i Gausove krivine su:

E =

(a

r

)1/3

F = 0

G = r

L =a1/3

3r√a2/3 − r2/3

M = 0

N = −r√a2/3 − r2/3

a1/3

KG = − 1

3r4/3a2/3< 0

. x = x(r, β) = a sin3 t cos β

y = y(t, β) = a sin3 t sin β

z = z(t) = a cos3 t

(3.16.2)

Koeficijenti prve kadratne forme po ovoj parametrizaciji su:

E = 3a sin t cos t

F = 0

G = a sin3 t.

dok za koeficijente druge kvadratne firme imamo:

L = 3a sin t cos t

M = 0

N = −a sin3 t cos t.


3.17 Povrs koja nastaje rotacijom parabole(Poverhnost~ vraweni� paraboly)

Rotacioni parabolid je povrs koja se dobija rotacijom parabole oko njeneose simetrije - ose parabole. Mi cemo sada posmatrati povrs koja se dobijarotacijom parabole z2 = 2p(x−a) oko prave paralelne sa njenom direktrisom.

Parametarski oblik ove povrsi je:x = x(z, β) =

[a+ z2/(2p)

]cos β

y = y(z, β) =[a+ z2/(2p)

]sin β

z = z

(3.17.1)

Ovu povrs iscrtavamo u programskom paketu Mathematica koriscenjemkoda:

ParametricPlot3D[{(u^2/(2P)+a)Cos[v],(u^2/(2P)+a)Sin[v],u},{u,-1,1},

{v,0,2Pi}]

Slika 3.19. Povrs rotacije parabole, a > 0

Slika 3.20. Povrs rotacije parabole, a = 0


Koeficijenti prve kvadratne forme ove povrsi (po ovoj parametrizaciji)su:

E2 = 1 +z2

p2

F = 0

G = r = a+z2

2p.

Za koeficijente druge kvadratne forme imamo:

L =1

pE

M = 0

N = −GE.

Za Gausovu krivinu imamo:

KG = −1/(pE4G

)< 0

Gde je r = a - polurecnik grla kruznice, p - rastojanje izmedju fokusa idirektrisinog meridijana na paraboli.

3.18 Reaktivni konus (Reaktivny� konus)

Reaktivni konus po obliku je veoma slican spoljnoj povrsini metka. Reaktivnikonus se dobija rotacijom krive x = ± az√

b2+z2oko koordinatne ose z.

Ovu povrs u implicitnom obliku prikazujemo jednacinom:

(b2 + z2)(x2 + y2) = a2z2

dok se u parametarskom obliku prikazuje jednacinom:x = x(u, v) = a cos v cosu

y = y(u, v) = a cos v sinu

z = z(v) = −b/ tan v(3.18.1)

x < a; y < a; 0 ≤ u ≤ 2π; 0 ≤ v ≤ π/2

Reaktivni konus mozemo isctrati koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{Cos[v]Cos[u],Cos[v]Sin[u],-1/Tan[v]},{u,0,2\[Pi]},

{v,0,\[Pi]/2}]


Slika 3.21. Reaktivni konus

3.19 Povrs koja nastaje rotacijom krive z = be−a2x2

okoOz ose (Poverhnost~ vraweni� krivo� z = be−a2x2

vokrug osi z)

Posmatracemo povrs koja se dobija obrtanjem krive z = be−a2x2 oko Oz ose.


z = be−a2(x2+y2)

dok za parametarski oblik imamo:x = x(u) = u

y = y(v) = v

z = be[−a2(u2+v2)]

(3.19.1)

Ovu povrs mozemo iscrati u Mathematica - i koriscenjem koda:

RevolutionPlot3D[Exp[-t^2], {t, 0.1, 2}]

Slika 3.22. Povrs rotacije krive z = be−a2x2


3.20 Parabolo - logaritamska rotaciona povrs (Parabolo- logarifmiqecka� poverhnost~ vraweni�)

Ova povrs, pozitivne Gausove krivine se dobija obrtanjem ravne krive r =r(z) = a

√cz + b ln(cz + b) oko z ose. Njen parametarski oblik glasi:

x = x(z, β) = r(z) sin β

y = y(z, β) = r(z) cos β

z = z

(3.20.1)

U tacki z0(cz0+ b = 0) dolazimo do oblika 0 ·∞ pa zbog toga dodefinisujemonasu krivu sa r(z0) = 0.

U programskom paketu Mathematica parabolo - logaritamsku rotacionupovrs mozemo iscrtati koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{ Sqrt[u + 1] Log[u + 1] Sin[v],Sqrt[u+1]Log[u+1]Cos[v],-u},

{u,-1,1},{v,0,2Pi}]

Slika 3.23. Parabolo - logaritamska rotaciona povrs


E2 = 1 +a2c2

cz + b

[ ln(cz + b)

a+ 1

]2F = 0

G = r(z) = a√cz + b ln(zc+ b).


dok za koeficijente druge kvadaratne forme imamo:

L =ac2 ln(cz + b)

4E(cz + b)3/2

M = 0

N =r(z)

a

Gausova krivina ove povrsi je data sa:

KG =c2

4E4(cz + b)2> 0

3.21 Rotacioni paraboloid cetvrtog reda (Paraboloid vraweni�

qetvertogo por�dka )

Rotacioni paraboloid cetvrtog reda se dobija rotacijom bikvadratne parabolex4 = cz oko z ose.

Implicitni oblik rotacionog paraboloida cetvrtog reda je dat sa:

cz = (x2 + y2)2

U preseku ove povrsi i ravni z = h = const dobijaju se krugovi sa poluprecnicimar = 4

√hc; h > 0.

Za parametarski oblik ove povrsi imamo:x = x(r, β) = r cos β


z = z(r) = r4/c

(3.21.1)

Ovu povrs mozemo iscrtati u programskom paketuMathematica koriscenjemkoda:

RevolutionPlot3D[at^4,{t,0,1}]

Slika 3.24. Rotacioni paraboloid cetvrtog reda, a = 1


Slika 3.25. Rotacioni paraboloid cetvrtog reda, a = −1

Prema ovoj parametrizaciji za koeficijente prve, druge kvadratne forme, Gausovui srednju krivinu dobijamo :

E = 1 + 16r6

c2

F = 0

G = r

L =12r2

cEM = 0

N =4r4

cE

KG =48r4

c2E4> 0

KS =2r2

cE

(1 +

e

E2

).

3.22 Rotaciona povrs ”Kruska” (Poverhnost~ vraweni� ”Gruxa”)

Rotaciona povrs ” Kruska” nastaje rotacijom krive b2y2 = z3(a−z) oko svojekoordinatne ose Oz.


z3(a− z)− b2(x2 + y2) = 0

Za parametarski oblik imamo:x = x(z, β) = r(z) sin β

y = y(z, β) = r(z) cos β

z = z

(3.22.1)


gde je r = r(z) = z√z(a− z)/b, ; a i b - proizvoljne konstante; 0 ≤ z ≤

a; 0 ≤ r ≤ 3√3a2/(16b).

Ovu povrs mozemo isctrati koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{uSqrt[u(1-u)]Sin[v],uSqrt[u(1-u)]Cos[v],-u},{u,0,1},

{v,0,2Pi}]

Slika 3.26. Rotaciona povrs ”Kruska” i njen presek

3.23 Povrs koja nastaje rotacijom opste sinusoide(Poverhnost~ vraweni� obwe� sinusody)

Povrs koja nastaje rotacijom opste sinusoide z = a sin(nπx+π/2) = a cos(nπx)oko Oz ose je povrs koja nalazi svoje primene u tehnici. Opsta sinusoida je uporedjenju sa obicnom sinusoidom (z = sin x) produzena duz Oz ose |a| puta,sabijena duz ose Ox 1/(nπ) puta, gde je n - ceo broj. Period ove funkcijeje T = 2/n. Rotaciona povrs koja se dobija rotacijom opste sinusoide imaprstenaste delove kako pozitivne, tako i negativne Gausove krivine.

Ova povrs se u implicitnom obliku moze prikazati sa:

z = a cos(nπ√x2 + y2

)Za njen parametarski oblik imamo:

x = x(r, β) = r cos β


z = z(r) = a cosnrπ

(3.23.1)

Ovu povrs mozemo isctrati koriscenjem koda:

ParametricPlot3D[{uCos[v],uSin[v],Cos[2uPi]},{u,-5,2},{v,0,2 Pi}]


Slika 3.27. Povrs rotacije opste sinusoide i njen presek

Po ovoj parametrizaciji za koeficijente prve kvadratne forme dobijamo:

E2 = 1 + a2n2π2 sin2(nπr)

F = 0

G = r.

dok za koeficijente druge kvadratne forme imamo:

L = −a2n2π2

Ecos(nπ)

M = 9

N = −anπE

r sin2 sin(nπr).

Za Gausovu krivinu imamo:

KG =a2n3π3

2rE4sin(2nπr)

3.24 Povrs koja nastaje rotacijom bikvadratne parabole(Poverhnost~ vraweni� bikvadratno� parabol~)

Sada cemo posmatrati povrs koja se dobija rotacijom bikvadratne parabolez4 = c(x− a) oko z - ose.


Parametarska jednacina dobijene povrsi je:x = x(r, β) = r cos β


z = z(r) = 4√c(r − a)

(3.24.1)

gde je r = a - poluprecnik grla kruznice, |x| ≥ a, |y| ≥ a, 0 ≤ β ≤ 2π.

Slika 3.28. Povrs rotacije bikvadratne parabole


E2 = 1 +

√c

16(r − a)3/2

F = 0

G = r.

Za koeficijente druge kvadratne forme imamo:

L = − 3c1/4

16Er(r − a)3/4

M = 0

N =c1/4r

4E(r − a)3/4.

Gausova krivina posmatrane povrsi je:

KG = − 3√c

64rE4(r − a)5/2< 0 .

4 ROTACIONE POVRSI KONSTANTNE GAUSOVE KRIVINE 76

4 Rotacione povrsi konstantne Gausove kriv-

ine

Sfera, ravan, cilindar i konus su najpoznatije povrsi konstantne Gausove kriv-ine, ali postoje i mnoge druge. U Sekcijama 4.2 i 4.3 pokazujemo da i nekerotacione povrsi imaju konstantnu Gausovu krivinu. Zbog toga, moramoznati nesto i o eliptickom integralu Legendrea 9, pa cemo se time pozabavitiu Sekciji 4.1.

4.1 Elipticki integral druge vrste

Dacemo kratak osvrt na komplikovnije cinjenice vezane za elipticke funkcijei integrale, koje ce nam biti potrebne za proucavanje rotacionih povrsi kon-stantne Gausove krivine.

Definicija 4.1.1. Nepotpuni elipticki integral druge vrste je definisansa:

E(ϕ | m

)=

∫ ϕ

0

(1−m sin2 θ

)1/2dθ

Potpuni elipticki integral druge vrste se definise sa:

E(π2| m)=

∫ π2

0

(1−m sin2 θ

)1/2dθ

Primetimo da za −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 imamo E(ϕ | 1

)= sinϕ; zbog toga

E(ϕ | m

)mozemo smatrati generalizacijom funkcije sin. Ispostavlja se da

je odgovarajuca generalizacije funkcije sinh data sa −iE(iϕ | −m) jer je:

−iE(iϕ | −m) =

∫ ϕ

0

(1−m sinh2 θ)1/2 dθ

sto moze biti provereno zamenom promenljive u integralu i koriscenjem iden-tieta sinh ix = i sin x.

9Adrien Marie Legendre (1752-1833) - Francuski matematicar


4.2 Rotacione povrsi konstantne pozitivne krivine

Znamo da je sfera S2(a) rootaciona povrs i da moze biti parametrizovana sa:

sphere[a](u, v) = (a cos v cosu, a cos v sinu, a sin v);

sta vise sfera ima konstantnu pozitivnu Gausovu krivinu K = 1/a2. Sferanije jedina rotaciona povrs u R3 koja ima konstantnu krivinu.

Postoje i druge rotacione povrsi konstantne pozitivne Gausove krivine.Da bi ih nasli vraticemo se unazad: pretpostavimo da nam je data rota-ciona povrs M konstantne pozitivne krivine, a onda cemo naci restrikcijuparametrizacije r od M .

Prvo cemo odrediti profilnu krivu povrsi konstantne pozitivne Gausovekrivine.

Teorema 4.2.1. Neka je M rotaciona povrs konstantne pozitivne Gausovekrivine 1/a2, za a > 0. Tada je M deo povrsi cija je parametrizacija:

r(u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v)),

gde:

φ(v) = b cos(va

), (4.2.1)

ψ(v) =

∫ v

0

√1− b2

a2

(sin( ta

))2dt = aE

(va| b

2

a2

)(4.2.2)

za neku konstantu b > 0. Za parametar v vazi jedan od sledecih slucaja:

ako je b = a, onda−π2

≤ v ≤ π

2;

ako je b < a, onda −∞ ≤ v ≤ ∞;

ako je b > a, onda − a arcsin( ba

)≤ v ≤ a arcsin

( ba

);

Parametrizacija r je regularna u (u,v) ako i samo ako je φ(v) = 0, sto jezadovoljeno za v = (n+ 1/2)πa.

Dokaz: Bez gubljenja opstosti mozemo pretpostaviti da je r dato sa:

r(u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v))

i da profilna kriva α = (φ, ψ) ima jedinicnu brzinu; tada je φ′2+ψ′2 = 1. AkoM ima konstantnu pozitivnu krivinu 1/a2, onda po posledici (2.2.4) sledi da


φ zadovoljava diferencijalnu jednacinu φ′′ + φ/a2 = 0 cije je opste resenjeφ(v) = b cos(v/a + c). Bez gubljenja opstosti, mozemo pretpostaviti da jec = 0; to ukazuje na to da ce translacijom profilne krive duz ose rotacije onabiti najdalje od te ose za v = 0. Tako dobijamo jednacinu (4.2.1).

Mozemo pretpostaviti da je ψ′(v) ≥ 0 za sve v; osim toga menjamo v sa

-v. Onda iz φ′2 + ψ′2 = 1 sledi φ′(v) =√

1− b2

a2(sin( v

a))2 i kada integralimo

ovu jednacinu u granicama od 0 do v dobijamo jednacinu (4.2.2).Da bi φ(v) bilo dobro definisano, neophodno je da 1− b2

a2(sin( v

a))2 bude

pozitivno. Za b < a ovaj izraz je uvek pozitivan, pa je φ(v) definisano zasve v. Kada je b = a profilna kriva je deo kruga; u tom slucaju zahtev−π/2 ≤ v ≤ π/2 nam osigurava da profilna kriva ne preklapa samu sebe itada je a polukrug. Ako je b > a onda 1 − b2

a2(sin(v

a))2 ≥ 0 ako i samo ako

−a arcsin( ba) ≤ v ≤ a arcsin( b

a). �

Teorema 4.2.2. Neka je S(a,b) rotaciona povrs cija je profilna kriva α =(φ, ψ) gde su φ i ψ dati kao u (4.2.1) i (4.2.2).

(i) S(a,a) je sfera radijusa a.

(ii) Ako je 0 < b < a, onda je S(a,b) rotaciona povrs koja je oblikafudbalske lopte.

(iii) Ako je 0 < a < b, onda je S(a,b) cevastog oblika i ne sece osurotacije.

Dokaz: Za b = a, profilna kriva je:

v → (a cos(v

a), asin(

v

a)

za −π/2 ≤ v/a ≤ π/2. Tako je u slucaju (i) profina kriva polukrug duzineπa, koji se rotira oko x-ose i daje sferu S2(a) radijusa a.

U slucaju (ii) izraz pod kvadratnim korenom u definiciji ψ u (4.2.2) jeuvek pozitivan, tako da je φ definisano za −π/2 ≤ v/a ≤ π/2 bas kao uslucaju (i). Profilna kriva je:

v →

(a cos(

v

a),

∫ v

0

√1− b2

a2

(sin( ta

)2)dt

)=(a cos

(va

), aE

(va| b

2

a2

)).

Tako da profilna kriva sece z-osu u:

±∫ πa/2

0

√1− b2

a2

(sin( ta

))2dt = ±E

(π2| b

2

a2

).


Profilna kriva sece z-osu u tri tacke, a rastojanje izmedju njih je πa, sto jejednako duzini polukruga u slucaju (i). Glavna razlika izmedju slucaja (i)i (ii) je to da se profilna kriva uvija gore dole oko z-ose umesto da formirakrug. Konacno, za b > a profilna kriva je definisana na intervalu:

−a arcsin( ba

)≤ t ≤ a arcsin

( ba

)jer van ovog intervala izraz ispod korena je negativan. Rezultujuca rotacionapovrs lici na cev kada je b neznatno vece od a. �

4.3 Rotacione povrsi konstantne negativne krivine

Odredjivanje rotacionih povrsi konstantne negativne krivine prolazi kroz istipostupak kao sto smo radili u prethodnoj sekciji. Ali, rezultujuce povrsi sumalo drugacije.

Teorema 4.3.1. Neka je M rotaciona povrs konstantne negativne Gausovekrivine −1/a2. Tada je M deo povrsi cija je parametrizacija:

r(u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v)),

gde je profilna kriva α = (φ, ψ) jednog od sledecih tipova:

(i) (Pseudosfera)

(4.3.2) α(v) =

(ae−v/a,

∫ v0

√1− e−2t/adt

)za 0 ≤ v <∞ ,(

aev/a,∫ v0

√1− e2t/adt

)za −∞ < v ≤ 0.

.

(ii) (Hiperboloid)φ(v) = b cosh

(va

),

ψ(v) =∫ v0

√1− b2

a2

(sinh

(ta

))2dt = −iaE

(iva| −b2a2

)za neku konstantu b > 0, a v je ograniceno sa

−a sinh−1(ab

)≤ v ≤ a sinh−1

(ab

)


(iii) (Kupast tip)

(4.3.3)

φ(v) = b sinh

(va

),

ψ(v) =∫ v0

√1− b2

a2

(cosh

(ta

))2dt = −i

√a2 − b2E

(iva| −b2a2−b2

)za neku konstantu b, 0 < b ≤ a, a v je ograniceno sa:

−a sinh−1(√a2 − b2

b

)≤ v ≤ a sinh−1

(√a2 − b2

b

).

Dokaz: Bez gubljenja opstosti neka je a > 0. Opste resenje jednacineφ′′ − φ/a2 = 0 je dato sa:

φ(v) = Aev/a +Be−v/a (4.3.1)

Slucaj 1. Prvo, pretpostavimo da je u (4.3.1) A nula. Mozemo pret-postaviti da je B > 0, uz promenu v sa −v ako je to neophodno. Stavise,koriscenjem promene promenljive v → v + a logB − a log a, mozemo pret-postaviti da je B = a; tada je φ(v) = ae−v/a. Kako je:

0 ≤ ψ′(v)2 = 1− φ′(v)2 = 1− e−2v/a,

mora biti v ≥ 0. Tako dobijamo prvi slucaj u. Slicno, B = 0 daje drugislucaj.

Na dalje, pretpostavimo da su A i B zajedno razliciti od 0 u (4.3.1).Koristeci promenu promenljive

v → v +a

2log |B

A|

ako je neophodno, mozemo pretpostaviti da je |A| = |B|.

Slucaj 2. Za A = B mozemo pretpostaviti da je A > 0. Tada

φ(v) = A(ev/a + e−v/a

)= 2A cosh

(va

)Uzimamo za b = A/2 i dobijamo.

Slucaj 3. Ako je A = −B mozemo pretpostaviti da je A > 0.(Ako jeneophodno mozemo promeniti v sa -v). Tada postaje:

φ(v) = A(ev/a − e−v/a) = 2A sinh(va

)Uzimamo za b = A/2 i dobijamo (4.3.3). �

5 ROTACIONE POVRSI SA STANOVISTA ANALITICKE GEOMETRIJE81

5 Rotacione povrsi sa stanovista analiticke

geometrije

Pored diferencijalne geometrije, iz cijeg ugla u vecini slucajeva posmatramorotacione povrsi, to mozemo ciniti i iz ugla analiticke geometrije. U ovojsekciji proucavamo rotacione povrsi koristeci osnovna znanja iz upravo ovegrane matematike.

5.1 Definicija i jednacina rotacione povrsi

Definicija 5.1.1. Neka su u prostoru R3 dati prava (p) i kriva (Λ). PovrsRot(p,Λ) koja nastaje rotacijom krive (Λ), oko prave (p) naziva se rotacionapovrs (odredjena pravom (p) i krivom (Λ))); za pravu (p) se kaze da je osarotacione povrsi.

Potrazimo jednacinu rotacione povrsi Rot(p,Λ).I nacin. Neka je u R3 dat pravougli koordinatni sistem Oxyz u odnosu

na koji su prava (p) i kriva (Λ) dati jednacinama:

(p) :x− x0l

=y − y0m

=z − z0n

, (Λ) :

{F (x, y, z) = 0

Φ(x, y, z) = 0(5.1.1)

Proizvoljna tacka M = (x, y, z) povrsi Rot(p,Λ) nalazi se na (promenljivoj)kruznici u ravni normalnoj na (p). Zato dakle, vazi:

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = α2, lx+my + nx = β, (5.1.2)

gde su α i β promenljivi parametri. Eliminacijom x, y, z iz jednacina (5.1.1)i (5.1.2) dobija se jednacina oblika:

f(α, β) = 0

koja se naziva karakteristicna jenacina povrsi Rot(p,Λ). Kada se u njojzamene α i β dobija se:

f

(√(x− x9)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, lx+my + nz

)= 0

sto je jednacina posmatrane rotacione povrsi.


II nacin Posmatrajmo pravougli koordinatni sistem Oxyz takav da jeosa Oz prava (p) - osa rotacione povrsi Rot(p,Λ), a ravan krive (Λ) je koor-dinatna ravan Oxyz. Neka je (Λ) data jednacinom:

φ(y, z) = 0, x = 0

Ako je A(0, α, β) proizvoljna tacka sa (Λ) i M(x, y, β) ∈ Rot(p,Λ) tackanastala rotacijom tacke A, onda φ(α, β) = 0. Zbog d(A, p) = d(M.p) vazix2 + y2 = α2. Tako imamo:

φ

(√x2 + y2, β

)= 0

Prema tome, tacka (x, y, z) je na povrsi Rot(p,Λ) ako i samo ako je

φ

(√x2 + y2, z

)= 0

Ovo i jeste jednacina posmatrane povrsi Rot(p,Λ).

5.2 Neki primeri rotacionih povrsi

(1) Kruzni cilindar x2+ y2 = a2 je rotaciona povrs, a nastaje rotacijomprave (q) : x = 0, y = a, oko prave (p) : x = 0, y = 0 (tj. oko ose Oz).Zaista, ovde je φ(y, z) = y − a i zato je po prethodnom razmatranjujednacina povrsi Rot(p, q) data jednacinom

√x2 + y2−a = 0, odnosno

x2 + y2 = a2.

(2) Kruzni konus x2+y2 = z2 je rotaciona povrs koja nastaje rotacijom

prave y = z, x = 0 oko Oz ose, jer sada jednacina φ

(√x2 + y2, z

)= 0

ima oblik√x2 + y2 − z = 0.

(3) Elipsoid x2+y2

s2+ z2

c2= 1 je takodje rotaciona povrs. On nastaje

rotacijom elipse:y2

a2+z2

c2= 1, z = 0

oko Oz ose, posto je sada:

φ

(√x2 + y2, z

)=x2 + y2

s2+z2

c2− 1 = 0


(4) (Torus) Povrs koja nastaje rotacijom kruznice oko ose koja je unjenoj ravni i ne sece je naziva se torus. Kao i do sada osa rotacije cebiti Oz osa; kruznica koja rotira je u Oyz ravni i ima jednacinu:

(y − a)2 + z2 = b2, x = 0, (a > 0b > 0).

Radeci kao u prethodnim slucajevima dobija se jednacina torusa:(√x2 + y2 − a

)2

+ z2 − b2 = 0

Vazno je istaci da se torus najcesce zadaje parametarskim jednacinama,pa cemo zato i njih naci. Parametarske jednacine kruznice cijom rotaci-jom nastaje torus su:

x = 0, y = a+ b cosu, z = b sinu

Ako v oznacava ugao za koji rotira ravan x = 0 oko Oz ose, onda selako vidi da je tada za proizvoljnu tacku (x, y, z) torusa zadovoljeno:

x = (a+ b cosu) sin v, y = (a+ b sinu) cos v, z = b sinu

sto su, dakle, parametarske jednacine torusa.

6 ROTACIONE POVRSI - PRIMERI IZ SVAKODNEVNOG ZIVOTA 84

6 Rotacione povrsi - primeri iz svakodnevnog

zivota

Mnogi objekti, predmeti i razne stvari iz svakodnevnog zivota imaju oblikneke od rotacionih povrsi. Sa njima se blize ipoznajemo u ovoj glavi.

Tako ,npr. krofna sa rupom u sredini i unutrasnja guma (guma zaplivanje) imaju oblik torusa. (Slike 6.1)

Slika 6.1. Krofne i unutrasnja guma

Kao sto i samo ime kaze, zvono koje se koristi u crkvama i skolama imaoblik ding dong povrsi. (Slika 6.2)

Slika 6.2. Zvono

Levak, koji se koristi za dolivanje tecnosti u razne boce je takodje primerrotacione povrsi i to primer fanel povrsi. (Slika 6.3)


Slika 6.3. Levak

Mnogi muzicki instumenti su po obliku rotacione povrsi- Gavrilova truba.(Slika 6.4)

Slika 6.4. Truba

Razni gradevinski objekti imaju oblik rotacionih povrsi - jednogranihiperboloid. (Slika 6.5)

Slika 6.5. Gradjevina u obliku jednogranog hiperboloida

Lopta za Americki fudbal, a takodje i lopta za ragbi su oblika izduzenogsferoida. (Slika 6.6)

Slika 6.6. Lopta za Americki fudbal


Zbog kombinacije efekata rotacije i gravitacije, zemljin oblik je slicanobliku sfere malo spljostene u pravcu ose. Zbog toga, u kartografiji se zemljaobicno prikazuje u obliku ispupcenog sferoida. (Slika 6.8)

Slika 6.7. Planeta Zemlja

7 DODATAK 87

7 Dodatak

U ovom odeljku blize cemo opisati neke funkcije iz programskog paketaMatematica koje su koriscene za iscrtavanje slika u radu.

Matematica funkcija ParametricPlot3D sluzi za iscrtavanje parametri-zovanih 3D krivih i povrsi, bilo da su regularne ili ne. Ovom funkcijom se napovrsi iscrtava mreza kordinatnih linija.

Za iscrtavanje krivih i povrsi mozemo koristiti i Matematica funkcijuPlot3D koja je brza od funkcije ParametricPlot3D, ali je prednost funkcijeParametricPlot3D u tome sto prikazuje realnije slike.

U ovom radu je u velikoj meri koriscena i Matematica funkcija Revolu-tionPlot3D, koju cemo sada detaljnije opisati. Ovu funkciju mozemo koristitiu vise razlicitih formi. Navedimo neke od njih:

7.1. RevolutionPlot3D [fz, t, tmin, tmax ]

7.2. RevolutionPlot3D [fz, t, tmin, tmax, {θ,θ min, θmax}]

7.3. RevolutionPlot3D [fx, fz, t, tmin, tmax ]

7.4. RevolutionPlot3D [fx, fz, t, tmin, tmax, {θ, θmin, θmax}]

7.5. RevolutionPlot3D [fx, fy, fz, t, tmin, tmax, ...]

Funkcija 7.1 iscrtava povrs, koja se dobija rotacijom parametrizovanekrive u Oz ravni, zadate koordiatom fz, uz maksimalnu i minimalnu vrednostparametra t, koji koristimo za parametrizaciju zadate krive.

Funkcija 7.2 iscrtava povrs na potpuno isti nacin, kao i funkcija 7.1,s’tim sto se uzima u obzir i azimutalni ugao θ zadat svojom minimalnom imaksimalnom vrednoscu.

Funkcija 7.3 iscrtava povrs, koja se dobija rotacijom parametrizovanekrive u xOz ravni, zadate koordinatama {fx, fz}, oko Oz ose.

Funkcija 7.4 iscrtava povrs na potpuno isti nacin, kao i funkcija 7.3,s’tim sto se uzima u obzir i azimutalni ugao θ zadat svojom minimalnom imaksimalnom vrednoscu.

Funkcija 7.5 iscrtava povrs, koja se dobija rotacijom parametrizovanekrive u trodimenzionalnom prostoru, zadate koordinatama {fx, fy, fz}.

Zakljucak

Rotacione povrsi su jedna od najvise izucavanih klasa povrsi. Cinjenica da jesama planeta Zemlja (gledano iz ugla njenog kretanja oko Sunca) rotacionapovrs uticala je na to da se, ne samo matematicari, vec i drugi naucnici(fizicari, astronomi) bave proucavanjem ove klase povrsi.

U ovom radu je data definicija opste povrsi i neka vaznija svojstva, uzposeban osvrt na operator oblika. Naravno, navodi se definicija rotacionepovrsi uz veliki broj korisnih primera. Za njihovu vizuelizaciju koriscen jeprogramski paket Matematica, kojim se mogu vizuelizovati mnoge rotacionepovrsi raznih profilnih kriva. Pored svega toga razmatrana je i posebna klasarotacionih povrsi, rotacione povrsi konstantne Gausove krivine.

Ovim radom je prikazan samo jedan mali delic onoga sto nudi teorijarotacionih povrsi. Vise o ovakvim povrsima mozete naci u [9].

LITERATURA 89

Literatura

[1] Do Carmo M. P. , Diferential geomety of Curves and Surfaces, Prentice -Hall, New Jersey 1976

[2] Gray A. , Modern diferential geomety of Curves and Surfaces with Mathemat-ica, CRC Press LLC, Florida, 1998

[3] Mincic S., Velimirovic Lj. , Diferencijalna geometrija krivih i povrsi, PMF-Nis2007

[4] Kocinac Lj., Linearna algebra i analiticka geometrija, drugo izdanje, ProsvetaNis 1997

[5] Krivoxapko S. N., Ivanov V. H., �nciklopedi� analitiqeskihpoverhnoste�, LIBROKOM, Moskva, 2009.

[6] Pressley A., Elementary Differential Geometry, second edition, Springer, Lon-don 2010

[7] Rasajski B., Analiticka geometrija, Gradjevinska knjiga Beograd 1983

[8] Velimirovic Lj., Zlatanovic M., Stanimirovic P., Geometrija krivih i povrsiuz koriscenje paketa Matematica, Prirodno matematicki fakultet u Nisu, Nis2010

[9] http://www.wolframalpha.com/

Biografija

Nenad Krstic rodjen je 22.07.1989. godine u Pirotu, Republika Srbija. Os-novnu skolu ”Dusan Radovic” zavrsio je u Pirotu kao nosilac Vukove diplome.Gimnaziju, smer prirodno matematicki zavrsio je u Pirotu.

Prirodno matematicki fakultet u Nisu, Odsek za matematiku i in-formatiku upisao je skolske 2008/2009. godine, smer Matematika. Os-novne akademske studije je zavrsio u junu 2011. godine. Iste godine up-isuje diplomske akademske studije na smeru Teorijska Matematika Prirodnomatematickog fakulteta u Nisu i zavrsava ih u oktobru 2013. godine. Prosecnaocena na diplomskim akademskim studijama je 9.37.

univerzitet u ni su prirodno matematicki fakultet ... · zovana povr s klase ck (tj. funkcija...

Documents