UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

ANA PETEK

GRUPE IN CAYLEYJEVI DIGRAFI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI UCITELJ: fizika - matematika

ANA PETEK

Mentor: Doc. dr. Primoz Sparl

GRUPE IN CAYLEYJEVI DIGRAFI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

Zahvala

Mentorju doc. dr. Primozu Sparlu se zahvaljujem za vse koristne nasvete, strokovnopomoc in razumevanje pri nastajanju mojega diplomskega dela.

Rada bi se zahvalila tudi vsem svojim najblizjim sorodnikom in prijateljem, ki so mi vescas stali ob strani in me spodbujali skozi celoten studij.

Povzetek

Vsebina diplomskega dela po eni strani sodi na podrocje teorije grup, po drugi strani pana podrocje teorije grafov. V diplomskem delu obravnavamo Cayleyjeve digrafe razlicnihkoncnih grup in se ukvarjamo s prepoznavanjem lastnosti grup iz njihovih upodobitev spomocjo Cayleyjevih (di)grafov. Ko govorimo o lastnostih grup, mislimo predvsem nalastnosti kot so redi elementov, generatorji grupe, podgrupe, podgrupe edinke, odseki inpodobno. Cayleyjevi digrafi so za taksno obravnavo zelo primerni, saj nam neposrednoali posredno pokazejo vse lastnosti grupe in nam dajejo jasno sliko o njeni kompleksnosti.

Cayleyjevi (di)grafi so ime dobili po Arthurju Cayleyju, ki jih je prvic omenil leta 1878.Omenjene grafe naravno dobimo iz grup, saj so njihova vozlisca elementi grupe. Zaradi si-metrije, ki jo dopuscajo, ti grafi iz vsakega vozlisca ”izgledajo”povsem enako. Pri iskanjulastnosti grup preucujemo strukture njihovih Cayleyjevih (di)grafov in njegovih lastno-sti. Grupe so namrec abstrakten pojem, zato nam je v veliko pomoc, da lahko lastnostigrup obravnavamo na njihovih Cayleyjevih (di)grafih in s tem obravnavo teh abstraktnihobjektov vizualiziramo.

V diplomskem delu uvodoma pojasnimo osnovne pojme teorije grup, ki jih bo bralec potre-boval pri razumevanju diplomskega dela. Za tem ponovimo osnovne pojme teorije grafovin vpeljemo pojem digrafa. Potem bralca seznanimo s pojmom Cayleyjevega (di)grafa,kateremu v diplomskem delu posvetimo najvec pozornosti. Pri tem predvsem pokazemo,na kaksen nacin se lastnosti grup odrazajo v njihovih Cayleyjevih (di)grafih in kako lahkonavedene lastnosti razberemo.

Kljucne besede: grupa, digraf, Cayleyjev digraf, upodobitev.

Klasifikacija MSC (2010): 05C20, 05C25, 05C90.

Title: Groups and Cayley digraphs

Abstract

On one hand the content of this thesis falls within the scope of Group theory, and onthe other hand in the field of Graph theory. The thesis deals with Cayley digraphs ofdifferent finite groups and with identifying properties of groups from their representationas Cayley (di)graphs. By the properties of groups we particularly refer to the propertiessuch as the orders of elements, generators of group, the subgroups, the normal subgroups,the cosets, and so on. Cayley digraphs are very appropriate for such consideration as theydirectly or indirectly reveal various properties of the groups, and give a clear insight intothe complexity of the group.

Cayley (di)graphs are named after Arthur Cayley, who first mentioned them in 1878.These graphs are naturally obtained from groups with their vertices being the elements ofthe group in question. Due to the symmetry these graphs “look“ exactly the same fromeach vertex. When investigating the properties of the groups we examine the structureof their Cayley (di)graphs and their characteristics. Groups are in fact abstract objects.Being able to investigate their properties via their Cayley (di)graphs is thus of great helpsince it enables us to visualise these abstract objects.

At the beginning of the thesis we define the basic concepts of Group theory that are ne-eded to understand the thesis. After that we explain the basic concepts of Graph theoryand introduce a concept of the digraph. Afterwards we introduce the concept of Cayley(di)graphs, which play a central role in the thesis. In particular, we indicate how the pro-perties of the group are reflected in their Cayley (di)graphs and how these characteristicscan be determined.

Keywords: group, digraph, Cayley digraph, representation.

MSC(2010) classification: 05C20, 05C25, 05C90.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmi 32.1 Teorija grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Pojem grupe in njene lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Druzine grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Pojem digrafa in njegove lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Cayleyjevi digrafi 113.1 Pojem Cayleyjevega digrafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Grupe in Cayleyjevi digrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Zakljucek 29

Literatura 30

Poglavje 1

Uvod

Vsebina diplomskega dela po eni strani sodi na podrocje mlade veje matematike, imeno-vane teorija grafov, hkrati pa tudi na podrocje teorije grup, ki je del podrocja abstraktnealgebre. Teorija grup se ukvarja s preucevanjem grup in njihovih lastnosti. Njen razvojnaj bi se zacel v 18. in 19. stoletju, med zacetnike pa med drugim uvrscamo LeonhardaEulerja, Josepha Louisa Lagrangea in Carla Friedricha Gaussa. Sodobna teorija grup,kot jo poznamo danes, naj bi se sicer zacela sele leta 1882, ko sta Walther von Dyck inHeinrich Weber podala definicijo pojma ”abstraktna grupa”. Grupe pogosto srecujemopri razlicnih vejah matematike, saj opisujejo notranjo simetrijo razlicnih struktur v oblikigrupe avtomorfizmov. Simetrije pa so uporabne tudi na drugih podrocjih. Uporabljajo sena primer v kemiji, za opisovanje simetrij molekul, ali v fiziki, ker opisujejo simetrije, kinaj bi jih upostevali fizikalni zakoni. Fiziki se se posebej zanimajo za upodobitev Liejevihgrup, saj naj bi njihove upodobitve kazale na mozne fizikalne teorije (povzeto po [2], [5]).

Kot receno je drugo podrocje, s katerim se srecamo, teorija grafov, katere razvoj se jezacel sele v 20. stoletju. Grafe si lahko predstavljamo kot objekte, sestavljene iz vozlisc inpovezav med njimi. Kot zacetek teorije grafov nekateri sicer stejejo ze clanek LeonhardaEulerja iz leta 1736, ki je razresil ”Problem Konigsberskih mostov”. A prva knjiga o tejteoriji je izsla sele leta 1936. Poznamo vec podrocij teorije grafov, to so na primer to-poloska, algebraicna in algoritmicna teorija grafov. Pri algebraicni teoriji grafov se velikoukvarjamo s simetrijami grafov in njihovim vplivom na razne grafovske lastnosti. Pritem pod pojmom simetrije grafov razumemo permutacije mnozice vozlisc, ki ohranjajostrukturo grafa. Prav tako kot teorija grup je tudi teorija grafov pomembna na stevilnihdrugih podrocjih, kot sta fizika in kemija. Pricujoce diplomsko delo lahko umestimo napodrocje algebraicne teorije grafov, saj je vecji del namenjen rezultatom in pristopom spodrocja algebre. Pri proucevanju grafov z algebraicnega vidika nas zanimajo predvsemsimetrije grafov in njihovi avtomorfizmi. To so bijektivne preslikave tega matematicnegaobjekta samega vase, ki ohranjajo sosednost (povzeto po [6], [7]).

Primer druzine grafov, ki dopuscajo veliko mero simetrije, so Cayleyjevi grafi. Cayley-jevi grafi so druzina grafov, ki jih naravno dobimo iz grup. Ti grafi so zelo simetricni,saj imajo to lastnost, da graf iz vsakega vozlisca ”izgleda”povsem enako. Ime so dobilipo Arthurju Cayleyju, ki je bil angleski matematik 19. stoletja in je ”svoje”grafe prvicomenil leta 1878 (povzeto po [1], [9]). Ti grafi so tudi glavna tema diplomskega dela.

Diplomsko delo je razdeljeno na vec poglavij. V drugem poglavju so ponovljeni osnovni

1

pojmi teorije grup in grafov, ki jih bo bralec potreboval za razumevanje diplomskegadela. V tretjem in najpomembnejsem poglavju posvecamo pozornost Cayleyjevim di-grafom razlicnih grup. Osredotocamo se predvsem na povezavo med lastnostmi grup innjihovimi Cayleyjevimi digrafi. Cayleyjevi digrafi so namrec na nek nacin eden izmednacinov vizualizacije grup in nekaterih njenih lastnosti. Dajejo nam jasno sliko strukturein kompleksnosti grupe. Pogledamo si, kako lahko dolocene lastnosti grup vidimo iz nji-hovih Cayleyjevih digrafov. S pomocjo znanj, pridobljenih v drugem poglavju, poskusimodokazati nekatere trditve, povezane z lastnostmi grup v digrafih. Srecamo se tudi s poj-mom simetrije oziroma avtomorfizma v Cayleyjevih digrafih.

2

Poglavje 2

Osnovni pojmi

Preden se lotimo glavne teme diplomskega dela, ponovimo nekaj osnovnih pojmov s po-drocja teorije grup in teorije grafov ter navedimo nekatere rezultate, ki jih potrebujemoza razumevanje v nadaljevanju. Razdelek 2.1 je povzet predvsem po virih [2], [3] in [5],razdelek 2.2 pa po virih [6], [7] in [11].

2.1 Teorija grup

2.1.1 Pojem grupe in njene lastnosti

V tem podrazdelku ponovimo pojem grupe in navedemo nekatere njihove osnovne lastno-sti. Za zacetek najprej ponovimo pojem grupe.

Definicija. Grupa je mnozica G z binarno operacijo ∗ : G× G → G, pri cemer ima par(G, ∗) naslednje lastnosti:

• mnozica G je zaprta za operacijo ∗, to je, ∀g, h ∈ G je g ∗ h ∈ G

• operacija ∗ je asociativna, torej velja (g ∗ h) ∗ i = g ∗ (h ∗ i) za vse g, h, i ∈ G

• obstaja nevtralni element e ∈ G, da velja e ∗ g = g ∗ e = g za vse g ∈ G

• vsak element iz G ima inverz, to je, ∀g ∈ G ∃g−1 ∈ G, da je g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e

Grupa G je komutativna oziroma abelska, ce je operacija ∗ komutativna, to je, ∀g1, g2 ∈ G,velja g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1. Primeri komutativnih grup so na primer ciklicne grupe Zn (opisanev naslednjem podrazdelku).

Nevtralni element e v nekaterih grupah oznacimo z 1 ali 0 (ce operacijo pisemo multipli-kativno oziroma aditivno), inverz g−1 pa v primeru aditivne pisave v komutativni grupioznacimo z −g. Prav tako je dobro omeniti, da je nevtralni element v grupi en sam, patudi inverz poljubnega elementa g ∈ G je enolicno dolocen.

Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju oklepaje in znak za operacijo obicajno izpuscali innamesto o grupi (G, ∗) govorili kar o grupi G. Prav tako bo zapis gh pomenil g∗h. Grupe,o katerih bomo govorili, bodo obicajno koncne grupe, kar pomeni, da je mnozica G koncna.

3

Definicija. Naj bo G koncna grupa in g ∈ G. Moc (tudi red) grupe G, ki jo oznacimo z|G|, je stevilo elementov v grupi G. Red elementa g je definiran kot najmanjse naravnostevilo n, tako da velja gn = e. Ce tako stevilo n ne obstaja pravimo, da ima g neskoncenred.

Definicija. Razbitje mnozice G je druzina njenih nepraznih podmnozic {G1, G2, . . . , Gn},za katere velja:

1. Poljubni dve mnozici sta disjunktni, to je, Gi ∩Gj = ∅ za vse 1 ≤ i < j ≤ n.

2. Unija vseh mnozic je enaka G, to je G = G1 ∪ · · · ∪Gn.

Razbitje na n mnozic imenujemo n-razbitje, mnozicam Gi pa recemo deli razbitja.

Trditev 2.1. Naj bo G grupa z binarno operacijo ∗. Potem v G velja pravilo krajsanja zleve in z desne strani, tako da iz g ∗ h = g ∗ i sledi h = i in iz h ∗ g = i ∗ g sledi h = i.

Tako kot v vsaki algebrski strukturi najdemo podstrukture, tudi v grupi najdemo pod-grupe za podedovano operacijo. Pri tem pravimo, da je v grupi G neprazna podmnozicaH ⊂ G zaprta za podedovano operacijo, ce ∀x, y ∈ H velja xy ∈ H. Podedovana opera-cija je torej notranja operacija v H.

Definicija. Naj bo G grupa in H ⊂ G njena neprazna podmnozica. Tedaj je H podgrupagrupe G, ce je zaprta za binarno operacijo grupe G in je za podedovano operacijo grupa.To dejstvo oznacimo z H ≤ G.

Trditev 2.2. Naj bo G grupa. Njena neprazna podmnozica H je podgrupa grupe G na-tanko tedaj, ko ∀h1, h2 ∈ H velja h1h

−12 ∈ H.

Vsaka grupa G ima ocitno vsaj dve podgrupi:

• Vsaka grupa je podgrupa same sebe, to je G ≤ G. Pravimo ji neprava podgrupa.

• Mnozica {e} je podgrupa vsake grupe. Pravimo ji trivialna podgrupa.

Vse ostale podgrupe so prave netrivialne.

Definicija. Naj bo G koncna grupa in S ⊆ G njena neprazna podmnozica. Podgrupagenerirana s S, ki jo oznacimo z 〈S〉, je najmanjsa podgrupa grupe G, ki vsebuje S. Vprimeru, ko je G = 〈S〉, potem podmnozica S generira grupo G, in elementom mnoziceS pravimo generatorji grupe G.

Bralec lahko razmisli, da v primeru, ko je G = 〈S〉, vsak element iz grupe G izrazimo kotprodukt koncnega stevila elementov iz podmnozice S in njihovih inverzov. V primeru, koje 〈s〉 = G, je grupa G ciklicna grupa, ki je generirana z enim samim elementom. Taksnegrupe omenimo tudi v naslednjem podrazdelku.

4

Definicija. Naj bo g ∈ G in naj bo H ≤ G podgrupa koncne grupe G. Podmnozici gH ={gh : h ∈ H} grupe G recemo levi odsek grupe G po podgrupi H, ki pripada elementug. Podobno je desni odsek grupe G po podgrupi H, ki pripada g, enak podmnoziciHg = {hg : h ∈ H}. Mnozici vseh levih odsekov grupe G po podgrupi H, ki jo oznacimoz G/H, pravimo kvocientna mnozica grupe G po podgrupi H. Kardinalnosti kvocientnemnozice pravimo indeks podgrupe H v grupi G in ga oznacimo z [G : H].

Lahko se prepricamo, da imata odseka gH in Hg isto moc kot podgrupa H, saj je zaradipravila krajsanja preslikava iz H v gH, podana s predpisom h 7→ gh, bijektivna.

Definicija. Naj bo G grupa in H ≤ G njena podgrupa. Podgrupi H pravimo podgrupaedinka v G, kar oznacimo z H CG, ce velja katerikoli od ekvivalentnih pogojev:

(i) Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak pripadajocemu desnemu odseku,torej ∀g ∈ G velja: gH = Hg.

(ii) Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak kakemu desnemu odseku, torej∀g1 ∈ G∃g2 ∈ G: g1H = Hg2.

(iii) Za vsak g ∈ G velja gHg−1 = H, kjer je gHg−1 = {ghg−1 : h ∈ H}.

Izkaze se, da je v primeru, ko je H edinka v G, na G/H dobro definirana operacija(g1H)(g2H) = (g1g2H) in da na ta nacin G/H postane grupa.

Definicija. Naj bo G grupa in H edinka v G. Potem je kvocientna grupa mnozicaG/H = {gH|g ∈ G} z operacijo (g1H)(g2H) = (g1g2)H.

Bralec lahko sam pokaze, da je kvocientna grupa res grupa za podano operacijo mnozenjain da je reda [G : H].

Izrek 2.3 (Lagrangeov izrek). Naj bo H podgrupa koncne grupe G. Potem je red podgrupeH delitelj reda grupe G in velja

[G : H] = |G||H| .

Poglejmo si se definicijo delovanja grup. Kasneje omenimo tudi diedrsko grupo Dn, kije grupa vseh simetrij pravilnega n-kotnika, katere elementi ”delujejo”na n-kotnik kotrotacije in zrcaljenja. Izkaze se celo, da lahko vsako grupo predstavimo kot grupo, kideluje na ustrezni mnozici, a ker tega rezultata v nadaljevanju ne bomo potrebovali, gane bomo eksplicitno navedli.

Definicija. Naj bo X neprazna mnozica in G koncna grupa z nevtralnim elementom e.Levo delovanje grupe G na mnozici X je preslikava • : G×X → X, da velja:

1. e • x = x za vse x ∈ X

2. (g1g2) • x = g1 • (g2 • x) za vse x ∈ X in za vse g1, g2 ∈ G

Mnozici X potem pravimo G-mnozica.

5

2.1.2 Druzine grup

V tem podrazdelku se spomnimo se nekaterih (druzin) grup, ki jih bomo srecali v nada-ljevanju.

Ciklicna grupa Zn

Je komutativna grupa (Zn,+), pri cemer je Zn mnozica ostankov pri deljenju z n, v grupipa sestevamo po modulu n. Grupa je moci n, to je |Zn| = n. Grupa je generirana z enimsamim elementom, na primer 〈1〉 = Zn.

Simetricna grupa Sn

Simetricna grupa Sn je grupa vseh permutacij mnozice {1, 2, 3, . . . , n}. Grupa ni komuta-tivna (ce je n ≥ 3), operacija pa je obicajno komponiranje preslikav. Elemente grupe Sn

obicajno zapisujemo kot produkte locenih ciklov. Po dogovoru kompozitume beremo oddesne proti levi, tako je na primer (123)(124) = (13)(24). Red grupe Sn je enak n!, kjerje n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1.

Alternirajoca grupa An

V tem primeru je mnozica An mnozica vseh sodih permutacij iz grupe Sn, to je takihpermutacij, ki jih je moc zapisati kot produkt sodo mnogo transpozicij (permutacij, kizamenjajo dva elementa, vse ostale pa pustijo na mestu). Operacija je komponiranje pre-slikav, red grupe An pa je enak n!

2. Gre pravzaprav za podgrupo edinko grupe Sn.

Diedrska grupa Dn

Tudi tokrat gre za druzino nekomutativnih grup (ce je n ≥ 3), kjer gre za mnozicosimetrij pravilnega n-kotnika. Operacija je zopet komponiranje preslikav. Diedrskogrupo reda 2n oznacimo z Dn in velja Dn = 〈r, z : rn = 1, z2 = 1, zrz = r−1〉 ={1, r, . . . , rn, z, zr, . . . , zrn}. To pomeni, da grupo Dn generirata elementa r in z, ki vresnici predstavljata rotacijo in zrcaljenje v n-kotniku. Pri tem je r reda n, z pa reda2, z pa nam r skonjugira v r−1. (Seveda lahko mnozico Dn opazujemo kot podmnozicomnozice Sn.)

Kvaternionska grupa Q reda 8 ([4])Je nekomutativna grupa, ki je oznacena s Q in definirana kot Q = 〈i, j|i4 = j4 = 1, i2 =j2, iji−1 = j−1〉.

2.2 Teorija grafov

2.2.1 Pojem digrafa in njegove lastnosti

Kot receno, v diplomskem delu navedemo tudi nekatere osnovne pojme iz teorije grafov, kiso pomembni za razumevanje diplomskega dela. Najprej si poglejmo pojem usmerjenegain neusmerjenega grafa.

Definicija. Usmerjeni graf ali digraf je urejeni par Γ = (V (Γ), E(Γ)), kjer je V(Γ) ne-prazna mnozica vozlisc in E(Γ) podmnozica urejenih parov razlicnih vozlisc, imenovanihusmerjene povezave ali loki. Ce je za u, v ∈ V (Γ) (u, v) ∈ E(Γ), potem recemo, da je

6

povezava (u, v) usmerjena od u k v ali da gre iz u v v in da je v naslednik vozlisca u, upa je predhodnik vozlisca v.

S tem smo definirali enostavne digrafe brez zank in vzporednih povezav, saj se bomo staksnimi ukvarjali tudi v nadaljevanju diplomskega dela. V primeru, ko za vsako povezavo(u, v) ∈ E(Γ) obstaja povezava (v, u) ∈ E(Γ), pa je digraf Γ neusmerjeni graf oziroma graf.Obe povezavi pri upodobitvah obicajno zdruzimo v eno (neusmerjeno) povezavo {u, v} (aliuv ali vu) in ”pozabimo” na usmeritve. Vozliscema u in v pravimo sosednji vozlisci, karoznacimo z u ∼Γ v. Bralec lahko opazi, da je torej vsak graf pravzaprav le poseben digraf.

Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju oznako Γ obicajno izpuscali (razen, ce bi to pov-zrocilo zmedo). Namesto V (Γ), E(Γ) in u ∼Γ v bomo tako pisali V,E in u ∼ v. Bralcaopominjamo, da bomo z besedo graf vedno mislili na neusmerjen graf.

(Di)graf je naceloma abstrakten objekt, ki ga lahko v primeru, da ni prevelik, upodobimo.Vozlisca upodobimo kot tocke v ravnini, razlicni tocki pa povezemo z (usmerjeno) krivuljo(ce je povezava element mnozice povezav). Vecino rezultatov se da iz usmerjenih grafov(digrafov) razsiriti na neusmerjene grafe, zato bomo po vecini pri navedbi rezultatov upo-rabljali le izraz digraf.

Spodnja slika prikazuje primer grafa in digrafa ter njuno glavno razliko. To so usmerjenepovezave.

Slika 2.1: Neusmerjen in usmerjen ciklicen graf reda 6.

Definicija. Naj bo Γ poljuben digraf. Temeljni graf digrafa Γ je graf, ki ga dobimo iz di-grafa tako, da usmerjene povezave zamenjamo z ustreznimi (neusmerjenimi) povezavami,to je, za vsako povezavo (u, v) ∈ E v E dodamo se povezavo (v, u).

Tako kot grupe imajo tudi grafi ”svoj”red. Red grafa Γ je kardinalnost mnozice V (Γ).

Definicija. Naj bo Γ digraf in v ∈ V . Izhodna stopnja vozlisca v je stevilo usmerjenihpovezav, ki izhajajo iz vozlisca v. Vhodna stopnja vozlisca v je stevilo usmerjenih povezav,ki se koncajo v vozliscu v. Ce govorimo o grafu Γ, potem izraza vhodna in izhodna stopnjanadomestimo z izrazom stopnja. Gre torej za stevilo (neusmerjenih) povezav, ki vsebujejov. Oznacimo jo z deg(v).

V tem diplomskem delu se srecujemo predvsem z digrafi, v katerih imajo vsa vozlisca istovhodno in isto izhodno stopnjo, pa se ti dve sta med seboj enaki. V ta namen zapisimonaslednjo definicijo.

Definicija. ([8]) Naj bo Γ digraf. Digraf Γ je regularen, ce imajo vsa vozlisca digrafa Γenako vhodno in izhodno stopnjo, ki sta med seboj tudi enaki.

7

V primeru, ko je izhodna in vhodna stopnja vseh vozlisc enaka k, govorimo o k-regularnemdigrafu. Kadar je digraf graf, je torej le-ta regularen, ce imajo vsa vozlisca isto stopnjo.Ko je stopnja vseh vozlisc grafa enaka k, govorimo o k-regularnem grafu. Regularnimgrafom, katerih stopnja je 3, pravimo kubicni.

Trditev 2.4. Vsak koncen digraf Γ, v katerem imajo vsa vozlisca isto izhodno stopnjo d+

in isto vhodno stopnjo d−, je regularen, to je, d+ = d−.

Dokaz. Naj bo m stevilo vseh vozlisc v grafu Γ. Ker iz vsakega vozlisca izhaja d+ lokov(ki se koncajo v d+ vozliscih) in ker se v vsakem vozliscu konca d− lokov, potem velja, daje vseh lokov md+ = md−. Od tod sledi, da je d+ = d−, torej je digraf Γ regularen. �

V primeru, ko je digraf neskoncen, navedeno seveda ne velja nujno. Bralca vabimo, dasam poisce kak protiprimer.

Iz slike 2.1, kjer imamo upodobljen regularni graf reda 6 (levi graf), vidimo, da ima graf6 vozlisc stopnje 2. Vsota stopenj vseh vozlisc v grafu je enaka 12, kar pa je ravno dva-kratnik stevila povezav, saj ima graf 6 povezav. Ta ugotovitev velja za vse grafe in joimenujemo Lema o rokovanju.

Trditev 2.5 (Lema o rokovanju). Naj bo Γ koncen graf. Vsota stopenj vseh njegovihvozlisc je enaka dvakratniku stevila njegovih (neusmerjenih) povezav, to je:

Σv∈V (Γ)deg(v) = 2|E(Γ)|,

kjer je E(Γ) mnozica vseh neusmerjenih povezav grafa Γ.

Lema o rokovanju je ime dobila po dejstvu, da lahko z grafom predstavimo skupino ljudi,ki se rokuje na zabavi. Ljudje predstavljajo vozlisca, povezavo med clovekoma pa dodamo,ce sta se rokovala. Lema o rokovanju torej pravi, da je stevilo vseh rok, ki so sodelovale vvseh rokovanjih (steto glede na stevilo rokovanj posameznika), enaka dvakratniku stevilavseh rokovanj.

Pri obravnavi lastnosti digrafov nas zanimajo tudi usmerjeni sprehodi, usmerjene poti inpodobno, zato si poglejmo se naslednje definicije.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) poljuben digraf. Usmerjeni sprehod od u0 do uk dolzinek v digrafu Γ je zaporedje vozlisc (u0, u1, . . . , uk), pri cemer je (ui, ui+1) ∈ E za vse0 ≤ i ≤ (k − 1). Vozliscu u0 pravimo zacetno vozlisce, vozliscu uk pa koncno vozlisceusmerjenega sprehoda. Ce so vse povezave sprehoda uiui+1, za 0 ≤ i ≤ (k − 1), paromarazlicne, potem usmerjeni sprehod imenujemo enostavni usmerjeni sprehod. Ce pa so venostavnem usmerjenem sprehodu razlicna tudi vsa vozlisca, potem govorimo o usmerjenipoti.

Poleg zgornjih definicij je smiselno imeti poimenovanja za usmerjene sprehode, ki sekoncajo in zacnejo v istem vozliscu. V ta namen si poglejmo naslednjo definicijo.

8

Definicija. Naj bo Γ poljuben digraf in (u0, u1, . . . , uk) usmerjeni sprehod v Γ. Ce veljau0 = uk, gre za sklenjeni usmerjeni sprehod oziroma usmerjeni obhod. Ce so v (usmerje-nem) obhodu paroma razlicne vse povezave in vsa vozlisca, razen zacetnega in koncnegavozlisca, potem ga imenujemo usmerjeni cikel.

Tako kot vsak sprehod ima svojo dolzino tudi cikel. (Usmerjenemu) ciklu dolzine k pra-vimo tudi (usmerjeni) k-cikel.

S pomocjo zgornjih pojmov lahko zapisimo naslednjo definicijo, ki govori o povezanostidigrafa Γ.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) poljuben (di)graf in naj bo v ∈ Γ. Komponenta poveza-nosti (di)grafa Γ, ki vsebuje vozlisce v, je enaka mnozici vseh vozlisc u ∈ V , za katereobstaja vsaj en (neusmerjeni) sprehod od v do u, to je, ko v temeljnemu grafu digrafa Γobstaja vsaj en sprehod od v do u. Ko ima digraf Γ eno samo komponento povezanosti,je digraf Γ povezan.

Digraf Γ je torej povezan, ce med poljubnima vozliscema v Γ obstaja (neusmerjeni) spre-hod ali pot, v nasprotnem primeru je digraf nepovezan.

Definicija. Naj bo Γ poljuben digraf. Digraf Γ je krepko povezan, ce v njem od poljub-nega vozlisca obstajajo usmerjene poti do vseh drugih vozlisc.

Potrebujemo tudi pojem dvodelnosti v (di)grafih.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Graf Γ je dvodelen, ce lahko mnozico vozlisc Vrazbijemo na dve neprazni podmnozici V1 in V2, tako da vsaka povezava grafa Γ povezujevozlisce iz V1 z vozliscem iz V2.

Podobno definiramo, da je digraf Γ dvodelen, ce je dvodelen njegov temeljni graf. Kadarje (di)graf Γ dvodelen, je mogoce njegova vozlisca pobarvati z dvema barvama tako, danobeni dve vozlisci iste barve med seboj nista povezani. Prav tako v primeru, da je Γdvodelen, v njem ne najdemo nobenega cikla lihe dolzine. To sledi iz dejstva, da no-beni vozlisci iste barve med seboj nista sosednji, saj bi bili potem prvo in zadnje vozliscetaksnega cikla iste barve, kar seveda ni mogoce.

Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) poljubna (di)grafa. (Di)grafa Γ1

in Γ2 sta izomorfna, ce med njima obstaja kak izomorfizem (di)grafov, to je bijektivnapreslikava φ : V1 → V2, za katero velja, da za poljuben par vozlisc u, v ∈ V1 velja:

(u, v) ∈ E1 ⇔ (φ(u), φ(v)) ∈ E2

To oznacimo z Γ1∼= Γ2. Izomorfizem (di)grafov torej ohranja sosednost.

Seveda je naceloma lazje pokazati, da dva (di)grafa nista izomorfna kot da sta. To lahkopokazemo tako, da ugotovimo, na primer, da (di)grafa nista istih redov, da nimata enakihzaporedij stopenj, nimata enakega stevila komponent povezanosti in podobno.

Poglejmo si sedaj se definicijo simetrije (di)grafa, ki ji pravimo avtomorfizem (di)grafa.

9

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) poljuben (di)graf. Avtomorfizem (di)grafa Γ je bijektivnapreslikava φ : V → V , ki ohranja sosednost. Za poljuben par vozlisc u, v ∈ V mora torejveljati:

(u, v) ∈ E ⇔ (φ(u), φ(v)) ∈ E.

Mnozico vseh avtomorfizmov digrafa Γ oznacimo z Aut(Γ). Avtomorfizmi so izomorfizmidigrafa Γ samega vase, saj so permutacije mnozice vozlisc digrafa, ki ohranjajo sosednost.Izkaze se, da je mnozica Aut(Γ) celo zaprta za operacijo komponiranja.

Trditev 2.6. Naj bo Γ poljuben digraf. Mnozica Aut(Γ) je grupa za operacijo kompozi-tuma preslikav.

Zato mnozici Aut(Γ) obicajno pravimo kar grupa avtomorfizmov digrafa Γ.

Za konec tega razdelka si poglejmo se nekatere druzine in konstrukcije digrafov.

Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) dva digrafa. Tedaj je digraf Γ2

poddigraf grafa Γ1, ce je V2 ⊂ V1 in E2 ⊂ E1.

Definicija. Naj bo n ≥ 3 poljubno naravno stevilo. Usmerjeni cikel reda n je digraf zmnozico vozlisc Zn, kjer so povezave oblike (i, i + 1), za i ∈ Zn. Graf imenujemo tudiciklicen digraf in ga oznacimo s Cn. Digraf je reda n in je 1-regularen digraf.

Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) poljubna digrafa. Njuna (disjunk-tna) unija je tedaj definirana kot digraf Γ = (V1tV2, E1tE2), pri cemer znak t predstavljadisjunktno unijo. Red digrafa Γ je torej vsota redov obeh digrafov. Drugace povedano, toje digraf, ki da dobimo tako, da loceno zdruzimo obe kopiji digrafov. Tak digraf oznacimokot Γ1 t Γ2.

10

Poglavje 3

Cayleyjevi digrafi

V tem poglavju se posvecamo glavni temi diplomskega dela, to so Cayleyjevi digrafi vpovezavi z grupami. V najvecji meri se opiramo na vire [1], [2] in [13], ter si pri risanjupomagamo s programom Group Explorer. Ce temu ni tako, je vir posebej naveden.

Kot smo ze omenili, so Cayleyjevi digrafi ime dobili po Arthurju Cayleyju, ki je bil an-gleski matematik 19. stoletja. Prvic je te grafe omenil leta 1878. Cayleyjev digraf lahkokonstruiramo za vsako (koncno) grupo G in poljubno podmnozico S ⊂ G. So eden izmednacinov vizualizacije grup in nekaterih njihovih lastnosti. Dajejo nam vpogled v strukturoin samo kompleksnost grupe.

3.1 Pojem Cayleyjevega digrafa

Za zacetek si poglejmo definicijo Cayleyjevih digrafov, povzeto po viru [12], in Cayleyjevihgrafov ter nekatere njihove osnovne lastnosti.

Definicija. Naj bo G poljubna koncna grupa in S ⊂ G njena taka podmnozica, dae /∈ S. Cayleyjev digraf Γ = Cay(G;S) grupe G glede na podmnozico S je usmerjenigraf z mnozico vozlisc G in mnozico usmerjenih povezav ali lokov E = {(g, h) ∈ G×G :g−1h ∈ S} = {(g, gs) : g ∈ G, s ∈ S}.

Bralec lahko opazi, da je mnozica {gs : s ∈ S} mnozica naslednikov vozlisca g ∈ G,mnozica {gs−1 : s ∈ S} pa mnozica predhodnikov vozlisca g ∈ G.

g

gs1

gs2

gs3

gs1-1

gs2-1

gs3-1

Slika 3.1: Mnozica predhodnikov in mnozica naslednikov.

Razmislimo sedaj za uvod, kdaj je Cayleyjev digraf pravzaprav graf.

11

Trditev 3.1. Cayleyjev digraf Cay(G;S) je graf natanko tedaj, ko je S = S−1.

Dokaz. Naj bo Γ = Cay(G;S) digraf. Predpostavimo najprej, da je Γ graf. Potem zavsako usmerjeno povezavo (g, h) ∈ E(Γ) obstaja tudi povezava (h, g) ∈ E(Γ). Naj bosedaj s ∈ S poljuben in pokazimo, da je s ∈ S−1. Po definiciji je (e, s) ∈ E(Γ), torej popredpostavki velja tudi (s, e) ∈ E(Γ). Potem obstaja s ∈ S, da je ss = e, od koder sevedasledi s = s−1 in tako s−1 ∈ S. Sledi S ⊆ S−1. Podobno pokazemo se, da je S−1 ⊆ S, odkoder potem sledi S = S−1.

Predpostavimo sedaj se, da je S = S−1 in pokazimo, da je Γ graf. Ker je podmnozicaS zaprta za inverze, za vsak s ∈ S obstaja s−1 ∈ S. Za vsako usmerjeno povezavo(g, gs) ∈ E(Γ) torej v Γ obstaja povezava (gs, (gs)s−1) = (gs, g). S tem smo pokazali, daje digraf Γ res graf, saj za vsako povezavo v Γ obstaja tudi njena obratna povezava. �

Spomnimo se, da v primeru komutativnih grup operacijo obicajno pisemo aditivno s +,zato namesto gs pisemo g + s. Ce je grupa G ciklicna in je S = S−1 (oziroma −S vprimeru aditivno pisane operacije), potem pripadajocemu Cayleyjevemu grafu pravimocirkulant. Primer cirkulanta je Cay(Z6, {±1}), ki je prikazan na sliki 2.1 (levi graf).

Definicija. Naj bo Cay(G;S) Cayleyjev digraf in s ∈ S. Povezave oblike (g, gs) tedajimenujemo s-povezave.

Pri upodobitvi Cayleyjevih digrafov lahko zaradi vecje preglednosti s-povezave, za razlicnes ∈ S, prikazemo z razlicnimi barvami ali tipom crte (crtkano, polno crto, pikicami, itd.).Dogovorimo se, da bomo tako postopali v tem diplomskem delu in bomo s-povezave zarazlicne s ∈ S oznacevali z razlicnimi barvami. Ko bomo torej govorili o barvi povezavebomo pravzaprav mislili na ustrezen s ∈ S. V Cayleyjevem digrafu je torej vsakemug ∈ G dodeljeno vozlisce, vsakemu elementu s ∈ S pa so dodeljene usmerjene povezavedolocene barve.

Smer usmerjene povezave pomeni mnozenje elementa g ∈ G z elementom s ∈ S z desne.Pri tem je koncno vozlisce s-povezave z zacetkom v g enako gs = h , ki je prav takoelement grupe G. Usmerjena povezava torej kaze od vozlisca g proti vozliscu h. Opo-mnimo, da bo sledenje smeri usmerjene povezave ves cas ustrezalo mnozenju z desne. Vprimeru dvosmerne s-povezave med elementoma g in h bomo ti povezavi pri upodobitvidigrafa nadomestili z eno samo povezavo brez usmeritve (primer so modre povezave na

Cay(S3; S) na sliki 3.2).

Trditev 3.2. Naj bo Cay(G;S) Cayleyjev digraf grupe G za podmnozico S. Elements ∈ S nam generira dvosmerne povezave natanko tedaj, ko je reda 2 v grupi G.

Dokaz. Naj bo Γ = Cay(G;S). Predpostavimo, da nam nek element s ∈ S generiradvosmerne povezave. Ker od e do s pridemo po s-povezavi, moramo torej tudi od s do epriti po s-povezavi, od koder sledi, da je ss = e, to je, s je reda 2.

Predpostavimo sedaj, da je element s ∈ S reda 2. Tedaj za poljuben g ∈ G velja, da je(gs)s = g, torej so s-povezave res dvosmerne, saj imamo v Γ tako s-povezave (g, gs) kots-povezave (gs, g). �

12

V nadaljevanju poglejmo, kako lahko iz Cayleyjevega digrafa razberemo rede elementovgrupe G (povzeto po viru [10]).

Trditev 3.3. Naj bo Γ = Cay(G;S) digraf in s ∈ S tak, da s2 6= e. Tedaj nam s-povezave v Γ dajo disjunktno unijo samih usmerjenih ciklov dolzine k (k ≥ 3), kjer je kred elementa s v G.

Dokaz. Ker je s reda k, je sk = e, poleg tega je sj 6= e za vse 1 ≤ j < k. Naj bo g ∈ G po-ljuben. Potem v digrafu Γ dobimo usmerjeni obhod oblike (g, gs, gs2, . . . , gsk−1, gsk = g).Ta usmerjeni obhod je pravzaprav usmerjeni cikel, saj so po pravilu krajsanja v grupi vsavozlisca paroma razlicna. Dobljeni cikel je seveda dolzine k. Da se usmerjeni cikli dolzinek, ki nam jih generira s, med seboj ne dotikajo, sledi direktno iz definicije Cayleyjevihdigrafov, saj bi v nasprotnem primeru za neko vozlisce h dveh takih ciklov veljalo, das-povezava iz h pripelje do dveh razlicnih vozlisc, kar je seveda nemogoce. �

Zgled: Oglejmo si Cayleyjev digraf simetricne grupe S3 za podmnozici S = {(12), (123), (132)} =

S−1 in S = {(123), (12)} 6= S−1.

id

(12)

(123)(132)

(13)(23)

id

(12)

(123)(132)

(13)(23)

Slika 3.2: Cayleyjev digraf Cay(S3; {(12), (123), (132)}) in Cay(S3; {(12), (123)})..

Dobljena digrafa seveda nista enaka, saj v drugem primeru podmnozica S ni zaprta zainverze, ker (132) /∈ S, zaradi cesar dobljeni digraf ni graf. Crne povezave ustrezajo

mnozenju z elementom (123) ∈ S (z desne) in nam dajo dva locena usmerjena 3-cikla,medtem ko modre povezave ustrezajo mnozenju z elementom (12). Modre povezave sodvosmerne, saj je (12) reda 2, kar se ujema z zgornjo trditvijo 3.2.

Trditev 3.4. ([10]) Naj bo G koncna grupa in S ⊂ G njena podmnozica, za katero e /∈ S.Tedaj je Cayleyjev digraf Cay(G;S) regularen z izhodno in vhodno stopnjo enako mocimnozice S, to je |S|. Podobno je vsak Cayleyjev graf Cay(G;S) regularen, kjer stopnjagrafa sovpada z mocjo povezavne mnozice S.

Dokaz. Naj bo Γ = Cay(G;S) in naj bo g ∈ G poljuben. Po definiciji Cayleyjevegadigrafa je mnozica naslednikov vozlisca g ravno {gs : s ∈ S}. Ker po pravilu krajsanjaza s1 6= s2 velja gs1 6= gs2, ima torej g natanko |S| naslednikov. Vsa vozlisca digrafa Γimajo torej izhodno stopnjo enako |S|. Podobno pokazemo, da je vhodna stopnja vsehvozlisc enaka |S|, saj je mnozica predhodnikov vozlisca g enaka {gs−1 : s ∈ S}. Od todsledi, da je digraf Γ res regularen. Posledicno je tudi vsak Cayleyjev graf regularen, kjer

13

je stopnja grafa enaka |S|. �

Obrat trditve 3.4 ne velja. Ni vsak regularen digraf Cayleyjev. Primer taksnega digrafaje na primer graf, ki je unija dveh ciklov in sicer C4 t C3, ki je prikazan na spodnji sliki3.3.

u v

w z

a b

c

Slika 3.3: Nepovezan graf, ki je unija dveh ciklov.

Zakaj ta graf ni Cayleyjev graf? Predpostavimo, da je graf C3 t C4 Cayleyjev za grupoG. Ker je graf reda 7, mora biti tudi grupa G reda 7. Edina grupa reda 7 je ciklicnagrupa Z7. Po trditvi 3.3 nam vsak s ∈ Z7\{0} da ustrezen 7-cikel v Cayleyjevem digrafuCay(Z7;S), kjer je s ∈ S (saj so vsi elementi v grupi reda 7). Ker nas graf ne premorenobenega 7-cikla, to ni mogoce. Torej C3 t C4 res ni Cayleyjev graf. Bralec lahko tudipokaze, da je vsak Cayleyjev (di)graf Cay(Z7; {a,−a}) ∼= C7 za vsak a ∈ Z7\{0}. Sevedabi lahko dejstvo, da C3 t C4 ni Cayleyjev, utemeljili tudi tako, da bi opazili, da ta grafni vozliscno tranzitiven (premore namrec vozlisca, ki so na 3-ciklu, in vozlisca, ki nisona nobenem 3-ciklu). Izkaze pa se, da je vsak Cayleyjev (di)graf vozliscno tranzitiven(komentar po trditvi 3.7). A o vozliscni tranzitivnosti ne bomo veliko govorili.

3.2 Grupe in Cayleyjevi digrafi

V tem razdelku si pogledamo, kako lahko iz Cayleyjevega digrafa dane grupe, glede na nekopodmnozico S, razberemo nekatere lastnosti te grupe in kako se lastnosti grup izrazajov razlicnih Cayleyjevih digrafih dane grupe. Pri tem si pomagamo z zgoraj omenjenimidefinicijami, izreki in trditvami ter poskusamo izpeljati se kaksne nove rezultate. Najprejsi poglejmo naslednji zgled, kjer so prikazani Cayleyjevi digrafi grupe Z4 za nekatere pod-mnozice S ⊂ Z4.

Zgled: Cayleyjevi digrafi Cay(Z4;Si) (i ∈ {1, 2, . . . 6})) za S1 = {1}, S2 = {2}, S3 = {3},S4 = {1, 2}, S5 = {1, 3} in S6 = {1, 2, 3}.

0 1

23

0

2

1

3

0

3

1

2

14

0 1

23

0 1

23

0 1

23

Slika 3.4: Cayleyjevi digrafi grupe Z4 za razlicne podmnozice S.

Iz zgornje slike 3.4 razberemo, da je izgled Cayleyjevega digrafa precej odvisen od izbirepodmnozice S. Kaj lahko razberemo iz konkretnega Cayleyjevega digrafa, je torej odvi-sno od izbire podmnozice S. V vecini zgornjih primerov je digraf povezan, medtem koza podmnozico S = {2} digraf ni povezan. Kaj nam povezanost pove o grupi G in pod-mnozici S? Vemo, da je ciklicna grupa Z4 grupa, generirana z enim samim elementom,pri cemer je ta element lahko 1 ali 3. Po drugi strani element 2 ne generira cele grupe Z4,saj je 2 ∈ Z4 reda 2. Povezanost oziroma nepovezanost Cayleyjevega digrafa Cay(G;S)nam torej pove, ali podmnozica S generira grupo G ali ne. Zapisimo to dejstvo kot trditev.

Trditev 3.5. Cayleyjev digraf Cay(G;S) je povezan natanko tedaj, ko je G = 〈S〉 (to je,ko podmnozica S generira grupo G).

Dokaz. Naj bo Γ = Cay(G;S). Denimo najprej, da je digraf Γ povezan, in pokazimo,da v tem primeru S generira grupo G, to je G = 〈S〉. Vzemimo poljuben g ∈ G. Potempo definiciji povezanosti v temeljnem grafu digrafa Γ obstaja pot od e do g. Torej za nekk in neke s1, s2, . . . , sk ∈ S ter a1, a2, . . . , ak ∈ {1,−1} velja g = sa11 s

a22 . . . sakk , od koder

takoj sledi g ∈ 〈S〉. Pri tem vrednost ai = 1 pomeni, da ustrezno si-povezavo prehodimovzdolz usmeritve v Γ, vrednost ai = −1 pa proti usmeritvi v Γ. Torej S generira grupoG.

Denimo sedaj, da S generira grupo G in pokazimo, da je digraf Γ povezan. Pokazatimoramo torej, da med poljubnima g, h ∈ G obstaja vsaj ena pot v temeljnemu grafudigrafa Γ. Ker velja, da je g−1h ∈ G = 〈S〉, torej obstajajo k ∈ N, s1, s2, . . . , sk ∈ S ina1, a2, . . . , ak ∈ {1,−1}, da je g−1h = sa11 s

a22 · · · s

akk . Tedaj je (g, gsa11 , gs

a11 s

a22 , . . . , gs

a11 s

a22 · · · s

akk )

pot v temeljnemu grafu digrafa Γ od g do h = gsa11 sa22 · · · s

akk . Torej je digraf Γ povezan. �

V primeru, da je grupa G koncna, lahko povemo celo vec.

Trditev 3.6. Naj bo G koncna grupa in S ⊂ G taka podmnozica, da e /∈ S. Tedaj jeCayleyjev digraf Cay(G;S) krepko povezan natanko tedaj, ko je 〈S〉 = G.

Dokaz. Ker je G koncna grupa, so vsi elementi si ∈ S koncnega reda. Torej lahkovsak si

−1 v dokazu trditve 3.5 nadomestimo z sim−1, kjer je m red elementa si. Na ta

nacin sicer lahko dobimo usmerjeni sprehod, ki ni usmerjena pot, ampak se ga da vednoreducirati v usmerjeno pot. �

Poglejmo sedaj Cayleyjev digraf za podmnozico S, ki nam generira dano grupo in pod-mnozico S, ki nam grupe ne generira.

15

Zgled: Zanima nas ali podmnozica S = {r2, z, zr3} generira grupo G = D8 ali ne.

Ce zelimo na to vprasanje odgovoriti direktno, brez uporabe digrafov, je v splosnempotrebnega veliko racunanja (se posebej, ce gre za nekoliko vecje grupe). Pogledati mo-ramo,sta ali lahko vsak element iz grupe D8 dobimo kot produkt elementov iz podmnoziceS in njihovih inverzov. V nasem primeru tako na primer element r dobimo kot produktz · zr3 · r−2 in element zr5 kot produkt zr3 in r2. Na ta nacin bi lahko po nekaj racunihugotovili, da podmnozica S generira grupo D8, saj z elementi iz S dobimo vse elementegrupe D8 = {1, r, r2, r3, r4, r5, r6, r7, z, zr, zr2, zr3, zr4, zr5, zr6, zr7}. To lahko bralec pre-veri sam.

Pri vecjih grupah se zna zgoditi, da bi na ta nacin kak element kar dolgo iskali. V zgornjitrditvi pa smo videli, da lahko ze z risanjem Cayleyjevega digrafa ugotovimo ali nam nekapodmnozica generira grupo ali ne. Seveda bo tudi tu potrebnega nekaj racunanja, a je tapristop precej bolj sistematicen.

1

r2

r4

r6

r7

z

zr3

r3 r5

r

zr

zr2

zr4

zr5

zr6

zr7

Slika 3.5: Cayleyjev digraf Cay(D8; {r2, z, zr3}).

Iz zgornje slike 3.5 vidimo, da je Cayleyjev digraf grupe D8 za mnozico S = {r2, z, zr3}povezan digraf, torej nam podmnozica S res generira celotno diedrsko grupo D8.

Zgled: Kaj pa v primeru, ko je grupa G diedrska grupa D4? Ali nam tokrat podmnozicaS = {r2, z} generira celotno grupo?

1 r2

z zr2

r r3

zr3 zr

Slika 3.6: Cayleyjev digraf Cay(D4; {r2, z})..

16

Iz slike 3.6 opazimo, da Cayleyjev digraf v tem primeru ni povezan, torej nam mnozicaS = {r2, z} ne generira celotne diedrske grupe D4. Iz digrafa tudi vidimo, da elementa rne moremo dobiti kot kombinacijo elementov r2 in z, saj r ni v isti komponenti poveza-nosti kot 1.

Kot smo omenili ze v uvodu, Cayleyjevi (di)grafi dopuscajo precejsnjo mero simetrije.

Trditev 3.7. ([6]) Naj bo Cay(G;S) Cayleyjev digraf grupe G za podmnozico S. Potemza vsak h ∈ G velja, da je preslikava:

th : g 7→ hg,

avtomorfizem digrafa Cay(G;S).

Dokaz. Naj bo Γ = Cay(G;S) in th : G → G preslikava definirana s predpisomth(g) = hg za vsak g ∈ G. Pokazimo, da je preslikava th bijekcija, ki ohranja sose-dnost. Ta preslikava je injektivna, saj v grupi velja pravilo krajsanja z iste strani. Torejth(g1) = hg1 = hg2 = th(g2) le v primeru, ko je g1 = g2. Prav tako je surjektivna, sajza g ∈ G velja th(h−1g) = g. Poglejmo se ali ohranja sosednost. Pokazimo, da ce je(g, gs) ∈ E(Γ), potem je (th(g), th(gs)) ∈ E(Γ). Ker je th(gs) = h(gs) = (hg)s = (th(g))sje torej th(gs) naslednik vozlisca th(g), od koder sledi, da je preslikava th res avtomorfizemdigrafa Γ. �

Mnozenje z elementom grupe G na levi je torej avtomorfizem digrafa Cay(G;S). Se vec,ti avtomorfizmi ohranjajo ”barve” povezav. To med drugim pomeni, da lahko vozliscavedno preimenujemo tako, da bo neko drugo vozlisce ”postalo” nevtralni element e ∈ G,in bo digraf se vedno izgledal povsem enako, s povezavami iste barve. Posledica zgornjetrditve je vozliscna tranzitivnost Cayleyjevih digrafov. To pomeni, da za poljuben parvozlisc g in h, obstaja φ ∈ Aut(Γ), ki nam g preslika v h. Poglejmo si ilustracijo tegadejstva na naslednjem primeru.

Zgled: Oglejmo si Cayleyjev digraf za kvaternionsko grupo Q in podmnozico S = {i, j},to je Cay(Q; {i, j}), ki je upodobljen na levi strani slike 3.7.

k

1

j

i

-j

-1-i

-k

-1

-k

k

-j

j

i

-i

1 k

1

j

i

-j

-i

-1

-k

Slika 3.7: Cayleyjev digraf kvaternionske grupe Cay(Q; {i, j}) in prikaz mnozenja na levi kotavtomorfizem tega digrafa.

.

17

Sedaj s pomocjo ustreznega avtomorfizma iz trditve 3.7 preimenujmo vozlisca digrafaCay(Q; {i, j}) tako, da bo ”novo” vozlisce 1 postalo ”staro” vozlisce k. Imena vseh vo-zlisc moramo torej pomnoziti z leve z −k (saj je −k · k = 1). Na sliki 3.7 opazimo, dasmo dobili Cayleyjev digraf, ki ima povsem enako strukturo, kot prvoten. Sestavljen je izdveh modrih in dveh crnih 4-ciklov, ki se med seboj povezujejo na enak nacin.

Trditev 3.8. Naj bo Γ = Cay(G;S), kjer je G koncna grupa in S ⊆ G \ {e} takapodmnozica, da je 〈S〉 = G. Tedaj ima digraf Γ naslednje stiri lastnosti:

(i) Γ je krepko povezan.

(ii) Za vsak g1, g2 ∈ G obstaja v Γ najvec ena usmerjena povezava, ki gre od vozliscag1 ∈ G do vozlisca g2 ∈ G.

(iii) Vsako vozlisce g ∈ G ima za vsak s ∈ S natanko eno s-povezavo, ki se zacne v g,in natanko eno, ki se konca v g.

(iv) Ce se dve razlicni zaporedji usmerjenih povezav, ki izhajata iz istega vozlisca g,koncata v istem vozliscu h, potem ti isti zaporedji usmerjenih povezav iz poljubnegazacetnega vozlisca u ∈ G vodita v isto vozlisce.

Dokaz. Naj bo Γ = Cay(G;S). Da velja (i) smo pokazali ze pri trditvi 3.6. Lastnost(ii) velja, ker v grupi velja pravilo krajsanja torej g1 · s1 = g2 = g1 · s2 natanko tedaj, koje s1 = s2. Enacba g1 · s = g2 v G je tako enolicno resljiva na s ∈ G. V odvisnosti od tegaali je s ∈ S ali ne, potem povezava od g1 do g2 v Γ obstaja oziroma ne obstaja. Lastnost(iii) sledi neposredno iz definicije Cayleyjevih digrafov. Zadnjo lastnost zopet pokazemo spravilom krajsanja v grupi. Naj bosta s1, s2, . . . , sn in s1, s2, . . . , sm dve poljubni razlicnizaporedji elementov iz S, da je g · (s1s2 · · · sn) = g · (s1s2 · · · sm) = h. Po pravilu krajsanjavelja (s1s2 · · · sn) = (s1s2 · · · sm). Od tod sledi, da je u · (s1s2 · · · sn) = u · (s1s2 · · · sm), kotsmo trdili. �

Izkaze se, da velja tudi neke vrste obrat. Torej, vsak digraf, ki ustreza zgornjim stirimlastnostim, je Cayleyjev digraf za kaksno koncno grupo G. V primeru, da nas zanima alije nek digraf Cayleyjev, moramo pogledati ali lahko povezave digrafa obarvamo v skladuz zgornjo trditvijo. Vsaka izhodna povezava v danem vozliscu mora torej biti svoje barve.Barv imamo po lastnosti (iii) natanko toliko, kolikor je izhodna stopnja (poljubnega) vo-zlisca. Pri barvanju moramo upostevati zaporedja barv, ki nas pripeljejo v isto vozlisce.Nikoli se ne sme zgoditi, da se dva cikla iste barve med seboj dotikata. Z barvanjemlahko po trditvi 3.7 zacnemo v kateremkoli vozliscu. Ce nam uspe pri barvanju digrafavse to upostevati, potem je ta digraf lahko Cayleyjev digraf neke koncne grupe (za kateroveljajo pogoji, ki so doloceni z barvanjem). Poiskati moramo le se elemente grupe. Kermora v splosnem biti digraf krepko povezan, bo pripadajoca mnozica ”barv” generiralaiskano grupo. Dokaz, da je tak digraf res Cayleyjev in iskanje ustrezne grupe v splosnem,izpustimo, saj to zahteva veliko dela. Oglejmo si le ilustracijo obrata na nekaj primerih.

Zgled: Za zacetek si poglejmo enostavnejsi primer. Zanima nas, ali je digraf Γ na spodnjisliki 3.8 Cayleyjev digraf za kaksno grupo G in ce je, za katero.

18

Slika 3.8: Ali je digraf Cayleyjev?

.

Digraf na sliki je reda 8 in je 2-regularen, saj sta izhodna in vhodna stopnja enaki 2. Di-graf je torej lahko Cayleyjev digraf za kaksno grupo reda 8 (teh je 5). Grupe reda 8 so naprimer Z8, D4 in Q. Naloge bi se torej lahko lotili tako, da bi konstruirali vse 2-regularneCayleyjeve digrafe vseh petih grup reda 8 in potem ugotavljali, ce je kateri izomorfen di-grafu Γ. Kar je seveda prevec zamudno. Zato se naloge lotimo drugace. Opazimo lahko,da v digrafu dobimo usmerjeni 8-cikel (crne barve), ki nam ga generira element reda 8.Drugi element je zaradi dvosmernosti povezav lahko le reda 2 (povezave brez usmeritevlahko sicer dobimo tudi v primeru, ko je v podmnozici S inverz obravnavanega elementareda vec kot 2, vendar bi v tem primeru v vsakem vozliscu imeli vsaj dve neusmerjenipovezavi). Grupa je tako lahko le ciklicna grupa Z8. Edini element reda 2 v grupi Z8 je 4.Na sliki 3.9 lahko opazimo, da nas zaporedje treh crnih in ene modre povezave iz vozliscae pripelje nazaj v vozlisce e. Sledi torej, da je 3a + 4 ≡ 0 (mod 8) in zato 3a ≡ 4 (mod8). Od tod sledi, da je a enak 4, vendar v grupi Z8 4 ni reda 8. Torej digraf ni Cayleyjevza ciklicno grupo Z8.

Lotimo se naloge se z barvanjem, brez da bi se ozirali na mozne konkretne grupe. Zanimanas torej, ali je mogoce digraf pobarvati z dvema barvama tako, da bodo izpolnjene vselastnosti po trditvi 3.8. Za zacetek dolocimo a, b ∈ S, tako da a ustreza crni, b pa modribarvi povezave. Izberimo poljubno vozlisce in ga oznacimo z e. Vidimo, da iz e po trehcrnih in eni modri povezavi zopet pridemo nazaj v isto vozlisce e, torej je (a3b) = e (tokratoperacijo v iskani grupi pisemo kar multiplikativno). Prav tako vidimo, da iz vozlisca b stem istim zaporedjem (a3b) ne pridemo nazaj v vozlisce b, temvec v vozlisce a. S tem nevelja (iv) lastnost iz trditve 3.8, torej digraf ni Cayleyjev.

a a

a

b

a

a

a

b

e be

Slika 3.9: Zaporedje a3b nas v prvem primeru pripelje v isto vozlisce, v drugem primeru pa ne.

19

Zgled: Poglejmo si se (di)graf Γ na sliki 3.10. Zanima nas, ali gre za Cayleyjev grafkaksne koncne grupe G.

Slika 3.10: Enostavni graf Γ. Ali je Cayleyjev?

.

Ce zelimo ugotoviti, ali je graf Γ Cayleyjev za kaksno grupo (in za katero), moramo pre-veriti ali ga lahko pobarvamo tako, da bo ustrezal vsem stirim zahtevam trditve 3.8. Kergre za povezan graf reda 24, bo imela morebitna ustrezna grupa 24 elementov. Graf je3-regularen. Ocitno je, da sta izpolnjeni prvi dve zahtevi trditve 3.8. Tokrat usmeritevpovezav nimamo, kar je lahko bodisi posledica dejstva, da so vsi elementi iz S reda 2,bodisi za vsak s ∈ S v S najdemo s−1.

Kot receno, imamo torej v S ali tri elemente reda 2 ali en element reda 2 in en ele-ment reda vec kot 2 (ter njegov inverz). Element reda vec kot 2 je lahko na primer reda4, 6 ali 8, saj v grafu najdemo 4-cikle, 6-cikle in 8-cikle. Ta element nam mora po tr-ditvi 3.3 generirati disjunktne cikle. Ker je moznosti vec, si oglejmo le nekatere izmed teh.

Za zacetek dolocimo a, b ∈ S tako da b ustreza elementu reda 2, a pa elementu reda 6(modre povezave na sliki 3.11). Poglejmo, koliko je moznosti za disjuntkne unije 6-ciklov.Ker vsako vozlisce lezi na 6-ciklu, lahko izberemo poljubno vozlisce in ga oznacimo z e.Opazimo, da iz vozlisca e izhajajo le tri povezave, torej imamo 3 moznosti za izbiro, kateridve povezavi tvorita 6-cikel, ki ustreza mnozenju z elementom a (levi graf na sliki 3.11).Moznost, oznacena z zeleno barvo, odpade, ker ti povezavi ne lezita na nobenem 6-ciklu.Ostaneta nam torej le dve moznosti za pripadajoci 6-cikel skozi e, ki ustreza mnozenjuz a. Bralec se bo zlahka preprical, da vsaka od njiju enolicno doloca disjunktno unijo6-ciklov generiranih z a (desna grafa na sliki 3.11). Na zacetnem 6-ciklu lahko poljubnoizberemo usmeritev.

e e ea b

ab

Slika 3.11: Dve moznosti za disjunktne unije 6-ciklov (modre povezave).

20

Poglejmo si prvo moznost za izbiro 6-ciklov (srednji graf na sliki 3.11). Glede na smerna zunanjih 6-ciklih velja bodisi abab = e bodisi aba−1b = e. Potem mora po trditvi3.8 veljati, da nas eno od teh dveh zaporedij iz kateregakoli vozlisca pripelje nazaj visto vozlisce. Ugotovimo, da to ne velja vedno, saj na primer iz vozlisca a, z nobenimod zaporedij (abab) in (aba−1b) ne pridemo nazaj v vozlisce a (slika 3.12). S tem niizpolnjena (iv) zahteva iz trditve 3.8. Podobno bi lahko pokazali se za drugo izbiro 6-ciklov in ugotovili, da tudi v tem primeru ni izpolnjena (iv) zahteva. Torej digraf niCayleyjev za podmnozico z elementom reda 6.

ea

b

ea

Slika 3.12: Dve mozni usmeritvi zunanjega 6-cikla (prva moznost disjunktnih 6-ciklov).

Poglejmo sedaj moznosti, ko je en element reda 2, drugi reda 4. Pri tem naj a ustrezaelementu reda 4 (modre povezave), b pa elementu reda 2 (crne povezave). Podobno kotzgoraj lahko ugotovimo, da imamo le eno moznost za izbiro dveh povezav, ki tvorita4-cikel (zeleni povezavi na sliki 3.11), saj morata imeti a in a−1 skupnega soseda. Kodolocimo 4-cikel, ga lahko poljubno usmerimo. Bralec se bo zopet zlahka preprical, daje s tem disjunktna unija 4-ciklov, ki ustrezajo mnozenju z a enolicno dolocena. Kakopa so usmerjeni ostali 4-cikli? Moznosti za usmeritev sta v nasem primeru dve. Izkazese, da je le ena moznost prava (levi graf na sliki 3.13). V primeru usmeritve na desnemgrafu slike 3.13 (iv) pogoj iz trditve 3.8 namrec ni izpolnjen. Velja namrec ababab =(ab)3 = e, vendar iz vozlisca a ne pridemo v isto vozlisce, ampak v vozlisce a−1. Vprimeru usmeritve, prikazane na levi strani, pa po koncanem barvanju ugotovimo, da soizpolnjene vse zahteve trditve 3.8 in je digraf Cayleyjev digraf za podmnozico z elementomreda 2 in reda 4 (ter njegovim inverzom). Bralec lahko sam preveri, da gre za temeljnigraf digrafa Cay(S4, {(12), (1234)}) (slednji je upodobljen na sliki 3.14). V podmnozicoS torej vzamemo tudi inverz elementa (1234), to je element (1432), saj je bil izhodiscniΓ (neusmerjen) graf.

e eab b

a

a-1

Slika 3.13: Dve moznosti za usmeritev 4-ciklov (modre povezave).

21

Poglejmo, ali je se kaksna moznost za izbiro podmnozice S. Zgoraj smo ze omenili, da sov podmnozici S lahko elementi reda 2, 4, 6 ali 8. V S tako ne more biti element reda 7,saj graf zaradi dvodelnosti nima ciklov lihe dolzine, prav tako v nobeni grupi reda 24 nielementa reda 7 (saj 7 ne deli 24). Poglejmo si se eno izmed moznosti, ki nam je ostala.To je moznost, ko so v podmnozici S trije elementi reda 2. Izkaze se, da je v tem primeruprav tako graf mogoce pobarvati s tremi barvami tako, da ustreza vsem zgornjim zahtevamtrditve 3.8. Torej je pobarvani graf krepko povezan, med dvema sosednjima vozliscemaobstaja najvec ena s-povezava (za vsak s ∈ S), itd. Moznost ustreznega barvanja digrafaje prikazana na desni strani slike 3.14. Bralec se lahko preprica, da gre za Cayleyjev digrafgrupe S4 glede na podmnozico S = {(12), (23), (34)}.

e e

Slika 3.14: Cayleyjeva digrafa Cay(S4, {(12), (1234)}) in Cay(S4, {(12), (23), (34)}).

Na podoben nacin bi lahko, brez omenjanja grup reda 10, pokazali, da Petersenov graf(slika 3.15) ni Cayleyjev graf. Bralec lahko sam pokaze, da sta naceloma le dve moznosti.Bodisi je S sestavljena iz treh elementov reda 2, bodisi iz enega elementa reda 2 inenega reda 5 ali 10 ter njegovega inverza. V nobenem primeru zahteve iz trditve 3.8 nisoizpolnjene (podrobnosti prepuscamo bralcu).

Slika 3.15: Petersenov graf ni Cayleyjev graf.

V nadaljevanju si poglejmo, katere lastnosti grup se lahko razberemo iz Cayleyjevih di-grafov. Zgoraj smo ze omenili, da sledenje smeri povezave pomeni mnozenje z elementoms ∈ S z desne. Produktov torej ni tezko opazovati. Vzeti moramo le pravo podmnozicoS ⊂ G in potem iz izbranega elementa slediti ustreznim povezavam (barvam). Ce naprimer zelimo izracunati produkt elementa g z s1s2, torej g(s1s2), potem v podmnozicoS vzamemo elementa s1 in s2. Produkt dolocimo tako, da gremo iz elementa g najprej vsmeri s1-povezave in nato se v smeri s2-povezave.

22

Poglejmo si tudi, kako razberemo komutativnost grupe iz Cayleyjevega digrafa. Vemo, dasmer povezave ustreza mnozenju z desne z ustreznim elementom iz S. Ce je torej grupaG komutativna, moramo z razlicnim zaporedjem dveh razlicnih povezav iz istega vozliscavedno priti v isto vozlisce. Za komutativno grupo namrec velja enakost (gs1)s2 = (gs2)s1

za poljuben g ∈ G in s1, s2 ∈ S. V ta namen si poglejmo naslednjo trditev.

Trditev 3.9. Naj bo Γ = Cay(G;S) Cayleyjev digraf, kjer je 〈S〉 = G, in naj bo S ={s1, s2, . . . , sn} za nek n ∈ N. Tedaj je grupa G komutativna natanko tedaj, ko v digrafuΓ velja, da za poljuben 1 ≤ i < j ≤ n iz poljubnega vozlisca g ∈ G pot vzdolz si-povezavein nato sj-povezave vedno pripelje do istega vozlisca kot pot vzdolz sj-povezave in natosi-povezave.

Dokaz. Najprej denimo, da za digraf Γ velja predpostavka trditve. Potem (ce si ogle-damo ustrezni poti iz e) za poljubna 1 ≤ i < j ≤ n velja sisj = sjsi, torej vsi elementi izS komutirajo med seboj. S tem je G = 〈S〉 komutativna grupa.

Obratno, predpostavimo, da je grupa G komutativna. Potem zaradi komutativnosti zapoljubna si, sj ∈ S velja enakost sisj = sjsi. Sledi, da nas dve poljubni povezavi zapoljubna si in sj vedno pripeljeta iz istega zacetnega vozlisca v isto koncno vozlisce, sajje (gsi)sj = g(sisj) = g(sjsi) = (gsj)si. �

V primeru komutativnosti grupe G nam torej poljubni dve barvi data alternirajoce 4-cikle, pri cemer gremo dvakrat vzdolz usmeritve, dvakrat pa proti usmeritvi. V primeru,da grupa G ni komutativna, nam zaporedje dveh dolocenih barv povezav ne da 4-cikla,kar je prikazano na spodnji sliki 3.16.

g

sj si

sjsi

gsi

(gsi)sj = (gsj)si

gsj

g

si

si

sj

sj

gsj

gsi (gsi)sj

(gsj)si

Slika 3.16: Komutativnost in nekomutativnost v Cayleyjevem digrafu.

.

Komentar. Komutativnost je torej razvidna iz vsakega vozlisca. V primeru, ko je grupaG na primer generirana s tremi elementi, moramo tako za vsak par izmed teh treh ele-mentov preveriti le ali nam generira ustrezne 4-cikle v e ali ne, da lahko zagotovo trdimo,ali je grupa G komutativna. V primeru, da nam en izmed parov ne porodi 4-cikla, grupaG ni komutativna.

Zgled: Na sliki 3.17 sta upodobljena dva Cayleyjevega digrafa dveh neizomorfnih grup.Prvi graf je reda 12, drugi pa reda 24. Zanima nas, ali je katera izmed pripadajocih grupG, komutativna.

23

Slika 3.17: Ali sta to Cayleyjeva digrafa abelske (komutativne) grupe?

Po zgoraj opisanem postopku (obrat trditve 3.8) bi lahko ugotovili, da sta oba digrafaCayleyjeva digrafa za neko grupo G. Na tem mestu nas zanima, ali sta to Cayleyjevadigrafa abelske grupe. Levi digraf je reda 12 in je 2-regularen. V podmnozici S sta to-rej dva elementa, en element reda 2 (ki nam generira dvosmerne modre povezave) in enelement reda 6, ki nam generira dva disjunktna usmerjena 6-cikla. Opazimo lahko, da jeta digraf Cayleyjev digraf abelske grupe G, saj nam obe barvi povezav iz (kateregakoli)vozlisca data ustrezne alternirajoce 4-cikle (kjer gremo dvakrat vzdolz povezav in dvakratv nasprotni smeri). Bralec lahko preveri, da gre za Cay(Z2 × Z6; {(1, 0), (0, 1)}), saj jeto edina komutativna grupa reda 12 poleg ciklicne grupe Z12. V primeru ciklicne grupeZ12 Cayleyjev digraf za podmnozico z elementoma reda 2 in 6 namrec ne bi bil povezan.Kaj pa desni digraf na sliki 3.17 (spoznali smo ga ze zgoraj)? Opazimo, da ta digrafne pripada komutativni grupi, saj nam modra in crna povezava iz nobenega vozlisca netvorita alternirajocih 4-ciklov, ampak le 6-cikle. V tem primeru gre za graf simetricnegrupe S4, ki pa seveda res ni komutativna.

Pri preucevanju grup nas pogosto zanimajo tudi redi elementov v grupi in njihovi inverzi.V ta namen si zato poglejmo, kako rede elementov in inverze razberemo iz Cayleyjevih di-grafov. Spoznali smo, da je Cayleyjev digraf odvisen od izbire podmnozice S. V primeru,da Cayleyjev digraf ni povezan, potem redov nekaterih elementov grupe ne bo mogocedolociti. V trditvi 3.3 smo videli, da red elementa g ∈ G najlazje dolocimo tako, da kar vpodmnozico S vzamemo element g, saj nam le-ta generira usmerjene cikle dolzine svojegareda. Red pa lahko dolocimo tudi v primeru, da g /∈ S, in sicer tako, da poiscemo ustreznozaporedje povezav, ki vodijo od nevtralnega elementa e do izbranega elementa g in potemto zaporedje ponavljamo iz e tolikokrat, dokler se ne vrnemo nazaj v vozlisce e. Steviloponovitev je ravno red elementa g ∈ G. V primeru, da je s ∈ S reda 2, torej je s = s−1,dobimo dvosmerno povezavo.

Kako pa dolocimo inverze? V primeru, da je g ∈ S, je njegov inverz g−1, enak elementu,ki ga iz Cayleyjevega digrafa dobimo tako, da gremo iz e v nasprotni smeri g-povezave.Ko zelimo dolociti inverz elementa g /∈ S, najprej poiscemo pot v temeljnem grafu tegadigrafa od e do g. Recimo, da ji ustreza zaporedje povezav (sa11 , s

a22 , . . . , s

akk ), k ∈ N, za

neke si ∈ S in ai ∈ {−1, 1} (1 ≤ i ≤ k). Potem je inverz g−1 enak elementu, ki ga v Cay-leyjevem digrafu dobimo tako, da gremo iz e z obratnim zaporedjem obratnih povezav,to je, (s−akk , sk−1

−ak−1 , . . . , s−a11 ).

24

Zgled: Dolocimo red elementa r6 in poiscimo inverza elementov r2 in r5 v Cay(D8, {r2, z, zr3})s slike 3.5.

Najprej dolocimo red elementa r6 po zgoraj opisanem nacinu. Za zacetek lahko opazimo,da gremo od 1 do r6 lahko po dveh razlicnih zaporedjih ”barv”, ali gremo v smeri trehcrnih povezav, ali v nasprotni smeri crne povezave. Pri tem nas zanima, kolikokrat mo-ramo ponoviti eno izmed teh zaporedij, da zopet pridemo nazaj v 1. Ugotovimo, da jepotrebno obe zaporedji ”barv” ponoviti stirikrat. Od tod sledi, da je red elementa r6 enak4. Kako je z inverzom elementov r2 in r5? Inverz elementa r2 je ociten, saj je r2 ∈ S.Njegov inverz dobimo tako, da gremo v nasprotni smeri r2-povezave (crne povezave). Is-kani inverz je enak r6 = (r2)

−1. Inverz r−5 pa ni tako ociten. Poglejmo si neko zaporedje

povezav, ki nas pripelje od 1 do r5. To zaporedje je na primer (z, r−2, zr3), saj gremo od1 do r5 v smeri rdece, nato v nasprotni smeri crne in na koncu v smeri modre povezave.Inverz r−5 dobimo torej tako, da gremo od 1 v obratnem zaporedju, torej gremo od 1 v(nasprotni) smeri modre, nato v smeri crne in na koncu v smeri rdece povezave (zaporedje(zr3, r2, z−1)). V tem primeru pridemo v element r3, ki je iskani inverz elementa r5.

Ker je iskanje redov elementov na zgornji nacin zamudno, si v ta namen poglejmo se enotrditev, ki nam v posebej lepih primerih pomaga pri iskanju redov.

Trditev 3.10. ([3]) Naj bo Γ = Cay(G;S) Cayleyjev digraf grupe G za podmnozico S innaj bosta g ∈ G in s ∈ S taka elementa, da g lezi na ciklu iz samih s-povezav, ki vsebujenevtralni element e. Naj bo n dolzina tega cikla in k stevilo korakov od e do g vzdolz tegausmerjenega cikla. Tedaj je red elementa g enak:

|g| = nD(n,k)

,

kjer je D(n, k) najvecji skupni delitelj n in k. Ce je D(n, k) = 1, je torej 〈g〉 = 〈s〉, insta g in s istega reda.

Pred dokazom si trditev poglejmo na preprostem primeru. V Cayleyjevem digrafu zagrupo Z4 in podmnozico S = {1} na sliki 3.4 smo videli, da element 2 lezi na crnem4-ciklu in je od nevtralnega elementa 0 oddaljen za k = 2. Red elementa 2 v grupi Z4 jetorej po trditvi 3.10 enak |2| = 4

D(4,2)= 4

2= 2.

Dokaz. V digrafu Γ velja, da je s ∈ S reda n in g = sk. Trditev torej sledi iz rezultatao ciklicnih grupah, saj je 〈s〉 ciklicna grupa reda n, v ciklicni grupi Zn pa je poljubenelement a ∈ Zn reda n

D(n,a). �

Kako je s podgrupami dane grupe v Cayleyjevem digrafu Γ? Kot smo ze omenili, imavsaka grupa vsaj trivialno in nepravo podgrupo. Zanimajo nas predvsem ostale. Iz danegaCayleyjevega digrafa vse podgrupe niso neposredno razvidne. Prav tako je nekatere pod-grupe iz izbranega Cayleyjevega digrafa lazje razbrati kot druge. Za zacetek je potrebnapravilna izbira podmnozice S. Ce na primer za grupo Z4 izberemo podmnozico S = {1},nam Cayleyjev digraf neposredno ne pokaze nobene druge podgrupe razen nepravo (slika3.4). Ce izberemo podmnozico S = {1, 2}, lahko odkrijemo se kaksno podgrupo polegneprave. Vidimo na primer podgrupo {0, 2}. Podgrupo seveda najlazje odkrijemo tako,da v podmnozico S vkljucimo generatorje te podgrupe (vsaka podgrupa pa vsebuje e). Zaiskanje konkretnih podgrup je to seveda neprakticno, saj bi morali za ta namen podgrupo

25

ze v naprej poznati. Nekatere podgrupe, generirane z vec elementi, lahko opazimo tako,da si izberemo nekaj ”barv” iz S, nato poiscemo poddigraf grafa Γ, ki ga dobimo tako,da iz vozlisca e potujemo po vseh povezavah izbranih barv, dokler dobivamo se kaksnonovo vozlisce. Mnozica vozlisc dobljenega poddigrafa je ravno podgrupa, generirana zizbranimi ”barvami” iz S. Na podoben nacin bi lahko poiskali vse podgrupe dane grupein sicer tako, da si izberemo nek nabor vozlisc S ⊂ G, nato pa za vsakega poiscemo poeno zaporedje ”barv”, ki nas v Γ pripelje od e do tega vozlisca. Nazadnje le se izvedemopodoben postopek iskanja poddigrafa, ki vsebuje vozlisce e, kot prej, le da tokrat namestoz ”barvami” operiramo z izbranimi zaporedji ”barv”.

Premislimo se, kako je z edinkami v Cayleyjevemu digrafu. Ce zelimo preveriti, ali jeneka podgrupa H ≤ G edinka v grupi, moramo v Cayleyjevem digrafu za 〈S〉 = G pre-veriti veljavnost pogoja gHg−1 ⊆ H za ∀g ∈ G oziroma vsaj sHs−1 ⊆ H za ∀s ∈ S.To preverimo tako, da gremo iz e s poljubno s-povezavo do s, potem vzamemo poljubenelement h ∈ H, pri cemer izberemo poljubno zaporedje ”barv”, ki nas v Γ pripelje od edo h. Nato iz vozlisca s naredimo sprehod tega zaporedja ”barv” in na koncu iz elementash nadaljujemo se po s-povezavi v obratni smeri, da pridemo do shs−1. Ce pridemo vkaterikoli element izven H, potem podgrupa H ni edinka. Ce bo dobljeno vozlisce za vses ∈ S in vse h ∈ H vsebovano v H, je H edinka grupe G.

Zgled: Poiscimo kaksno podgrupo in edinko grupe S4 v Cay(S4; {(12), (1234)}), prika-zanem na sliki 3.18.

id(1234)

(134)

(1432)

(1423)

(1243)(143)(234)

(243)

(123)(132)

(124)

(142)(12)(34)

(13)(24)

(14)(23)

(1324)

(1342)

(12)

(13)

(14)

(23)

(24)

(34)

Slika 3.18: Cayleyjev digraf Cay(S4; {(12), (1234)})..

V Cayleyjevem digrafu grupe S4 seveda takoj opazimo podgrupi 〈(1234)〉 in 〈(12)〉. Posku-simo poiskati se kaksno podgrupo, ki ni tako ocitna. Poglejmo, cemu je enaka podgrupa,generirana z elementoma (234) in (143). Od id do elementa (234) potrebujemo dve ”barvi”− crno in modro (v smeri povezave). Podobno potrebujemo od id do elementa (143) crnoin modro povezavo, vendar gremo tokrat v nasprotni smeri modre povezave. Poglejmo, ka-teri elementi so v tej podgrupi. Od elementa (234) gremo lahko z obema zaporedjema po-vezav in njuno kombinacijo. Po crni in modri (v smeri) povezavi pridemo v vozlisce (243),po crni in modri (v nasprotni smeri) pa v vozlisce (123). Z obema kombinacijama zaporedijpovezav enkrat pridemo v vozlisce (12)(34), drugic v vozlisce (13)(24). Iz vseh dobljenihvozlisc zopet ponavljamo vsa zaporedja povezav (stiri razlicna zaporedja), dokler ponovno

26

ne pridemo v ze obiskana vozlisca. Dobljeni poddigraf nam da elemente podgrupe, to so〈(134), (234)〉 = {id, (234), (243), (143), (134), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (132), (123), (142)(124)}. Bralec lahko preveri, da gre pravzaprav za grupo A4. Preverimo, ali je podgrupaA4 edinka v S4. To dejstvo smo sicer ze zapisali pri omembi alternirajocih grup, vendarpoglejmo, kako ilustriramo to na Cayleyjevem digrafu. Preverimo, ali velja sHs−1 ⊆ H zavsak s ∈ S. Vzemimo na primer element (1234) ∈ S. Iz elementa (1234) nato nadaljujemoz zaporedjem povezav, ki ustrezajo kaksnemu elementu iz podgrupe (na primer elementu(234)) in pridemo v vozlisce (1243), od koder nadaljujemo z obratom (1234)-povezave,ki ustreza (1234)−1. Po koncanem sprehodu pridemo v vozlisce (134), ki je vsebovano vpodgrupi A4. Podobno bi lahko pogledali se ostale elemente in ugotovili, da je podgrupares edinka.

Za konec omenimo, da v Cayleyjevemu digrafu najdemo tudi kopije podgrup. Tako naprimer v digrafu Cay(S4; {(12), (1234)}) na sliki 3.18 opazimo podgrupo 〈(1234)〉, ki jeizomorfna Z4 in generira 4-cikel modre barve. Dobimo se vse kopije modrega 4-cikla pod-grupe dane grupe, ki pa ne vsebujejo nevtralnega elementa e. Gre ravno za leve odsekegrupe G po tej podgrupi, to je g〈(1234)〉. Levi odseki grupe po izbrani podgrupi 〈s〉 vCayleyjevem digrafu torej ustrezajo disjunktnim kopijam usmerjenih ciklov iste barve.Stevilo vseh disjunktnih usmerjenih ciklov ustreza stevilu vseh levih odsekov grupe G popodgrupi 〈s〉 (kar nam pove tudi Lagrangeov izrek). Desne odseke 〈s〉g pa razberemotako, da pogledamo kam vodi g-povezava (ce je g ∈ S, sicer je treba zopet vzeti ustreznozaporedje ”barv”) iz vsakega elementa podgrupe 〈s〉 (kar prikazuje slika 3.19). V primeru,da je vsak levi odsek enak desnemu, je podgrupa 〈s〉, podgrupa edinka.

e g g<s>

e eg

s1g

...

<s>s1

s2<s>g

s2g

Slika 3.19: Levi in desni odseki v Cayleyjevem digrafu.

Na tem mestu obravnavo, zaradi ze tako precejsnjega obsega diplomskega dela, zakljucimo.Omenimo pa, da se s tem moznosti, ki jih za studij grup dajejo Cayleyjevi digrafi, nekoncajo. Studirali bi na primer lahko tudi kvocientne grupe po dani edinki. Za konec sioglejmo le se en primer Cayleyjevega digrafa in poskusajmo s pomocjo opisanih rezultatovrazbrati nekatere lastnosti pripadajoce grupe.

Zgled: Na spodnji sliki je upodobljen Cayleyjev digraf Γ = Cay(A4; {(123), (12)(34)}).S pomocjo zgornjih rezultatov razberimo nekaj lastnosti dane grupe (rede elementov, in-verze, podgrupe, odseke,...).

Iz Cayleyjevega digrafa vidimo, da je alternirajoca grupa A4 reda 12, saj ima digraf 12vozlisc. Opazimo lahko, da nam podmnozica S generira grupo A4, saj je digraf povezan.Iz Cayleyjevega digrafa prav tako razberemo, da grupa A4 ni komutativna, saj modrain crna barva ne tvorita ustreznih alternirajocih 4-ciklov. Na primer, po mnozenju id z(12)(34) in nato (123) ne pridemo v isto vozlisce, kot ce id najprej mnozimo z (123) in

27

nato (12)(34).

id

(123)(132)

(12)(34)

(143)(243)

(124)

(134)(14)(32)(13)(24)

(142)

(234)

Slika 3.20: Cayleyjev digraf Cay(A4; {(123), (12)(34)}).

Dolocimo se rede nekaterih elementov. Red elementa (123) je po trditvi 3.3 enak 3, sajnam element (123) generira 3-cikel. Podobno ugotovimo, da je element (12)(34) reda 2.Z iskanjem zaporedja povezav in ponavljanjem lahko dolocimo rede ostalih elementov.Na primer red elementa (124) je prav tako 3, saj lahko od id do elementa (124) pridemopo modri, crni in zopet modri povezavi vzdolz njihovih usmeritev. Potem smo morali tozaporedje ponoviti trikrat, da smo iz id prisli nazaj v id. Po dolocitvi vseh redov ugo-tovimo, da je zaporedje redov v grupi A4 enako 1, 3, 8, kar lahko bralec preveri sam. Izdigrafa takoj opazimo inverza elementov (123) in (12)(34), saj ju dobimo tako, da gremoiz id v nasprotni smeri obeh ”barv” povezav. To sta (132) in (12)(34). Poiscimo se inverzelementa (234). Do elementa (234) lahko od id pridemo v nasprotni smeri modre povezavein nato v smeri crne povezave. Torej je inverz enak (243), saj v ta element pridemo iz idvzdolz crne in nato modre povezave.

Poiscimo sedaj se kaksno bolj in kaksno manj ocitno podgrupo. Najbolj ocitna podgrupaje seveda podgrupa H1 = {id, (123), (132)}, njeni levi odseki pa so disjunktni cikli, se-stavljeni iz modrih povezav. Dobimo 4 leve odseke po podgrupi H1. To so odsek H1,(12)(34)H1, (234)H1 in (134)H1, ki jih dobimo tako, da H1 pomnozimo s katerimkolimelementom iz odseka. Stevilo levih odsekov ustreza indeksu te podgrupe (po Lagrangeu),

to je [G : H] = |G||H| = 4. Podobno lahko vidimo tudi sest levih odsekov po podgrupi

H2 = {id, (12)(34)} (dvosmerne crne povezave). Ostale podgrupe je nekoliko tezje videti.Za vsak element grupe A4 obstaja ciklicna podgrupa, generirana s tem elementom, ki jopoiscemo tako, da pogledamo katere elemente ”zaobjamemo”, ko ponavljamo zaporedje”barv” povezav, ki ga potrebujemo, da pridemo od id do izbranega elementa. Poglejmo,ali imamo kaksno pravo podgrupo, generirano z elementoma (12)(34) in (14)(23). Po zgo-raj opisanem postopku iskanja elementov podgrupe ugotovimo, da je ta podgrupa enakaH3 = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Poglejmo, ali je podgrupa H3 edinka v A4. Pre-veriti moramo torej, ali je gH3g

−1 ⊆ H3. Izberimo poljubni element g ∈ G, na primer(234), in od tod nadaljujmo s sprehodom ”barv” povezav, ki ustrezajo poljubnemu ele-mentu iz H3, nato iz dobljenega elementa nadaljujmo z zaporedjem ”barv”, ki ustrezajog−1 = (243). Po koncu sprehoda pridemo v vozlisce (12)(34), ki je vsebovano v pod-grupi H3. Potem postopek ponovimo se za ostale elemente iz podgrupe in grupe (ali vsajpodmnozice) ter ugotovimo, da je podgrupa H3 podgrupa edinka v A4.

28

Poglavje 4

Zakljucek

V diplomskem delu smo se ukvarjali z grupami, njihovimi lastnostmi in njihovimi Cayley-jevimi digrafi. S tem smo spoznali druzino digrafov, ki teorijo grafov povezujejo s teorijogrup.

V tretjem in najpomembnejsem poglavju smo se posvetili omenjenim (di)grafom, ki sorezultat dela Arthurja Cayleyja, in povezali teorijo grup s teorijo grafov. ObravnavaCayleyjevih digrafov in ugotavljanje lastnosti grup iz njihovih digrafov od nas zahtevakar nekaj predznanja s podrocja teorije grup, saj gre za neke vrste ”nadgradnjo” znanj.Rezultate s podrocja teorije grup smo namrec predstavili na drugacen nacin preko Cay-leyjevih digrafov. Spoznali smo nacin, s katerim so v preteklosti prvic odkrili kaksno dotedaj neznano grupo in si ogledali princip dolocanja ali je nek digraf Cayleyjev. Najvecpozornosti smo v diplomskem delu namenili razpoznavanju lastnosti grup, kot so redi ele-mentov, generatorji in podgrupe iz pripadajocih Cayleyjevih digrafov teh grup. Spoznalismo, od cesa je odvisna upodobitev grupe preko Cayleyjevega digrafa in vsako trditevposkusali ilustrirati s konkretnim primerom. Bralec si je imel tako moznost ogledati prin-cip odlocanja lastnosti grupe iz Cayleyjevega digrafa s konkretnimi primeri in na ta nacinspoznati uporabnost omenjenih digrafov v povezavi z grupami. Soocili smo se ne le z di-grafi ciklicnih grup, ampak tudi alternirajocih in diedrskih, ter kvaternionske grupe. Pravtako smo si ogledali primer grupe visjega reda, kjer je uporabnost Cayleyjevih digrafovse bolj ocitna. V diplomskem delu je bralec lahko spoznal, od cesa je odvisen Cayleyjevdigraf dane grupe in kdaj nam le-ta pokaze veliko lastnosti dane grupe. Ugotovili smo,da moramo v ta namen zahtevati vsaj to, da je digraf povezan in nam torej povezavnapodmnozica generira celotno izbrano grupo. Seveda je bilo mogoce opaziti, da so neka-tere lastnosti izbrane grupe v digrafu veliko bolj ocitne kot druge. Tako smo na zadnjemprimeru Cayleyjevega digrafa za grupo A4 najlazje videli podgrupo 〈(123)〉, medtem kosmo podgrupo 〈(14)(32), (12)(34)〉 nasli tezje.

Cayleyjevi digrafi so torej izredno uporabni digrafi na podrocju teorije grup, saj nampokazejo vrsto lastnosti grup. Iz strukture Cayleyjevih digrafov je razvidna tudi strukturain kompleksnost grupe. Omenjeni digrafi dane grupe torej ”vsebujejo” kar nekaj informacijo tej grupi, vendar je v nekaterih primerih potrebno pogledati globje.

29

Literatura

[1] Carter, N. (2009). Visual Group Theory. United States of America: MarhematicalAssociation of America.

[2] Fraleigh, J.B. (1999). A first course in ABSTRACT ALGEBRA, sixth edition.United States of America: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

[3] Malnic, A. (2013). Zapiski pri predmetu algebrske strukture. Ljubljana: Pedagoskafakulteta.

[4] Stepancic, E. (2014). Posplosene kvaternionske grupe. Diplomsko delo, Koper:Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijsketehnologije.

[5] Sparl, P. (2014). Zapiski pri predmetu abstraktna algebra. Ljubljana: Pedagoskafakulteta.

[6] Sparl, P. (2016). Zapiski pri predmetu teorija grafov. Ljubljana: Pedagoska fakul-teta.

[7] Wilson J., Robin in Watkins J., John (1997). Uvod v teorijo grafov. Ljubljana:Knjiznica Sigma.

Spletna literatura

[8] Al-Azemi, A. (2012). Classification of regular digraphs, normally regular digraphs,and strongly regular digraphs. Pridobljeno 20.8. 2016, s http : //www.ijpam.eu/contents/2012− 78− 3/8/8.pdf (str. 2)

[9] Hahn, G. in Sabidussi,G. (1996). Graph Symmetry, Algebraic Methods and Applica-tions. Pridobljeno 20. 8. 2016 s https : //books.google.si/books?id = WnGrCAAAQBAJ&pg = PA377&dq = cayley + vertex + symmetry&hl = sl&sa = X &ved =0ahUKEwiqo7zIl − bOAhUlK8AKHQE9BkIQ6AEIGjAA#v = snippet&q =%20symmetry&f = false. (str. 168 - 169)

[10] Jensen, R. (2014). Cayley graph. Pridobljeno 30.6. 2016 s http : //web.eecs.utk.edu/ ∼cphillip/cs594 spring2014/cayley − graphs/cayley − graphs.pdf .

[11] Skrekovski, R. (2015). Digrafi 2008. Pridobljeno 14. 8. 2016, s http : //www.fmf.uni−lj.si/ ∼ skreko/Pouk/ds2/Predavanja/2007− 08/.

30

[12] Skrekovski, R. (2015). Grupe 2008. Pridobljeno 31. 5. 2016, s http : //www.fmf.uni−lj.si/ ∼ skreko/Pouk/ds2/Predavanja/2007− 08/.

[13] Wedd, N. S. (2007). Cayley Diagrams of Small Groups. Pridobljeno 31. 5. 2016, shttp : //weddslist.com/groups/cayley31/index.html.

31