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Universität Bielefeld
Elementare GeometrieSommersemester 2018
Der goldene Schnitt
Stefan Witzel
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Goldene RechteckeEin goldenes Rechteck ist ein Rechteck, von dem man ein Quadratabziehen kann, so dass das resultierende Rechteck ähnlich zumursprünglichen ist.
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Goldener SchnittRechtecke sind ähnlich, wenn ihre Seitenlängen das gleiche Verhältnishaben. Damit PQRS golden ist muss also
|PQ||QR|
=|PQ||PT |
=|PQ|
|PQ| − |QR|
sein.Setzen wir ϕ = |PQ|/|QR| erhalten wir die Gleichung
ϕ =1
ϕ− 1.
Die Lösung ϕ > 1 dieser Gleichung ist der goldene Schnitt.Lösen der Gleichung ergibt
ϕ =
√5 + 12
und1ϕ
= ϕ− 1 =
√5− 12
.
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Der goldene Schnitt in der Kunst
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Der goldene Schnitt in der Architektur
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DIN-RechteckeEin DIN-Rechteck ist ein Rechteck, von dem man ein Quadrat abziehenkann, dann noch einmal ein Quadrat abziehen, so dass das darausresultierende Rechteck ähnlich zum ursprünglichen ist.
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DIN-Schnitt
Wenn ein DIN-Rechteck Seitenlängen |PQ| > |QR| hat, sind dieSeitenlängen des kleinen Rechtecks |PQ| − |QR| und|QR| − (|PQ| − |QR|) = 2|QR| − |PQ|.Das heißt, das Seitenverhältnis δ := |PQ|/|QR| erfüllt
δ =|PQ||QR|
=2|QR| − |PQ||PQ| − |QR|
=2− δδ − 1
.
Wir nennen die positive Lösung δ den DIN-Schnitt.Die Gleichung kann man umformen zu δ2 = 2 und erhält δ =
√2.
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Das „DIN“ in DIN-RechteckeDie definierende Gleichung für δ kann man weiter umformen zu δ = 2/δoder
|PQ||QR|
=|QR|12 |PQ|
.
Das heißt, DIN-Rechtecke sind auch genau diejenigen Rechtecke,deren Hälfte ähnlich zum ursprünglichen Rechteck ist.
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Teilen eines SegmentsEin Segment PQ wird von T ∈ PQ im Verhältnis α geteilt wenn
|PT | = α|PQ|.
Das heißt T teilt PQ im goldenen Schnitt wenn PQ/PT = ϕ, d.h. wenngillt
|PQ||PT |
=|PT |
|PQ| − |PT |.
Und T teilt PQ im DIN-Schnitt wenn PQ/PT = δ, d.h. wenn gillt
|PQ||PT |
=|PT |
12 |PQ|
.
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Goldene Dreiecke, DIN-DreieckeEin goldenes Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit|AB| = |AC|I und |AB|/|BC| = ϕ (spitzwinklig)I oder |BC|/|AB| = ϕ (stumpfwinklig).
Ein DIN-Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit |AB| = |AC|I und |AB|/|BC| = δ (spitzwinklig)I oder |BC|/|AB| = δ.
Im zweiten Fall ist das Dreieck rechtwinklig (Pythagoras rückwärts!).
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DIN-Dreieck zerlegenEin rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck lässt sich zerlegen in zweirechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke.Aus dieser Eigenschaft allein können wir bereits die Winkelrekonstruieren:
α = 45◦ und β = 90◦.
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Goldene Dreiecke zerlegenEmpirisch gilt etwas ähnliches für goldene Dreiecke:
Satz (Euklid). Jedes goldene Dreieck lässt sich zerlegen in einspitzwinkliges und ein stumpfwinkliges goldenes Dreieck.
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Logarithmische Spirale
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Konsequenzen der Zerlegung
Es istα+ 2β = 180◦ 2α+ γ = 180◦ β + γ = 180◦.
Die erste plus zweimal die zweite minus zweimal die dritte ergibt
5α = 180◦.
Also
α =180◦
5= 36◦, β =
360◦
5= 72◦ und γ =
35◦ 180◦ = 108◦.
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Goldene Dreiecke und regelmäßige Fünfecke
α =180◦
5= 36◦, β =
360◦
5= 72◦ und γ =
35◦ 180◦ = 108◦.
Folgerung. Wenn wir goldene Dreiecke (bzw. den goldenen Schnitt)konstruieren können, können wir auch regelmäßige Fünfeckekonstruieren.
A
B
C
D
E
M
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Konstruktion von Quadratwurzeln
Problem. Konstruiere O, I,P so dass |OP|/|OI| =√
2.
Konstruktion. Konstruiere ein Quadrat OIPS. ♦
Beweis. Sei M der Mittelpunkt von OP. Nach dem Kathetensatz ist|OI|2 = |OP| · |OM|. Aber |OM| = 1/2|OP|, also ist |OP|2/|OI|2 = 2.
Diese Konstruktion verallgemeinert sich auf die Konstruktion von√
d fürbeliebiges d (Übung).Die Gleichung
x2 + px + q = 0
hat Lösungen x1,2 = −p2 ±
√p2
4 − q.
Folgerung. Wenn p2/4− q > 0 können wir die Lösungen x1,2konstruieren.
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Penrose-Teile
72°144°
36°
36°
144°
72°
72°
72°
https://en.wikipedia.org/wiki/User_talk:Geometry_guy
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Penrose-Teile
https://en.wikipedia.org/wiki/User_talk:Geometry_guy
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Quasi-Kristalle