UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSEU.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015L1 Économie Cours de M. Desgraupes

Mathématiques: Mise à niveau

Séance 10: Fonctions usuelles

Table des matières1 Fonction logarithme 1

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Fonction exponentielle 42.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Fonctions puissance 73.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Base des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Fonctions homographiques 8

5 Fonctions trigonométriques 95.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Exercices 19

1 Fonction logarithme

1.1 DéfinitionDéfinition 1.1. La fonction logarithme est la fonction définie sur l’intervalle

]0,+∞[ dont la dérivée est la fonction1

xet qui vaut 0 en 1.

On la note en général log(x) ou parfois ln(x) (abréviation de “logarithmenaturel” ou “logarithme népérien”).

1

On a donc, par définition :(log(x)

)′=

1

xet log(1) = 0

1.2 PropriétésLe domaine de définition Df du logarithme est l’intervalle ]0,+∞[. Le loga-rithme n’est pas défini pour les valeurs négatives et n’est pas défini non plus en0.

On a vu que sa dérivée est1

xqui est positif sur le domaine Df : le logarithme

est donc une fonction croissante.Puisque log(1) = 0, le logarithme est négatif pour x < 1 et positif pour

x > 1.On a les limites suivantes : lim

x→+∞log(x) = +∞

limx→0+

log(x) = −∞

Voici la graphe de la fonction logarithme :

0 2 4 6 8 10

−2

−1

01

2

Fonction logarithme

1

Exercice

Trouver le domaine de définition de la fonction y = log(4x2 − 1).

2

CorrigéIl faut que le polynôme 4x2 − 1 soit strictement positif.Il se factorise en:

4x2 − 1 = (2x+ 1)(2x− 1)

Ses racines sont -1/2 et 1/2. On a donc :

Df =]−∞,−1/2[∪ ]1/2,+∞[

On a la relation fondamentale suivante pour deux nombres réels positifs aet b :

log(a b) = log(a) + log(b)

Le logarithme transforme les produits en sommes.En particulier, on en déduit que :

log(a2) = 2 log(a)

et plus généralement :log(an) = n log(a)

La formule précédente reste vraie si n est négatif. En particulier :

log

(1

a

)= − log(a)

Le logarithme de l’inverse d’un nombre est parfois appelé son cologarithme (parexemple dans les calculs de pH en chimie).

On peut aussi l’appliquer pour des exposants fractionnaires :

log(apq ) =

p

qlog(a)

Exemple

On a les identités suivantes :log(√a) =

1

2log(a)

log( 3√a) =

1

3log(a)

Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relationsuivante pour une fonction u de la variable x :

(log(|u|))′

=u′

u

Exercice

3

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log(√x2 + 1

).

Corrigé

On remarque que f(x) =1

2log(x2 + 1

). On a donc :

f ′(x) =1

2

(x2 + 1)′

x2 + 1=

1

2

2x

x2 + 1=

x

x2 + 1

Lorsque, dans un calcul de limite, il y a un conflit entre un logarithme et unpolynôme, c’est le polynôme qui l’emporte.

Exemple

Calculer la limite limx→+∞

1

xlog(x2 + x).

CorrigéLe polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. Par conséquent

:lim

x→+∞

1

xlog(x2 + x) = lim

x→+∞

1

xlog(x2) = lim

x→+∞2log(x)

x

Ce dernier quotient conduit à une forme indéterminée ∞∞ mais le polynômel’emporte et la limite est finalement 0.

2 Fonction exponentielle

2.1 DéfinitionDéfinition 2.1. La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonc-tion logarithme.

On la note habituellement exp(x) ou ex.Cette fonction existe car la fonction logarithme est continue et monotone

croissante, ce qui assure qu’elle a bien une réciproque.Son domaine de définition est R tout entier (c’est le domaine d’arrivée de la

fonction log).La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont réciproques l’une de

l’autre, ce qui conduit aux relations :

log(exp(x)

)= exp

(log(x)

)= x

ou encorelog(ex)= elog(x) = x

4

2.2 PropriétésLe nombre e dans la notation ex est exp(1) ≈ 2.718.

C’est une valeur approchée : avec une plus grande précision, il s’écrit e =2.718281828459045090796 . . . .

Puisque le logarithme est la réciproque de l’exponentielle, on a log(e) = 1.L’espace d’arrivée de la fonction exponentielle est ]0,+∞[, autrement dit

l’exponentielle d’un nombre est toujours strictement positive.La fonction exponentielle est sa propre dérivée :

(ex)′= ex

Cette dérivée est donc toujours positive et l’exponentielle est une fonctioncroissante.

Voici le graphe de la fonction exponentielle :

−2 −1 0 1 2

02

46

Fonction exponentielle

1

e

On a les limites suivantes : limx→+∞

exp(x) = +∞

limx→−∞

exp(x) = 0+

On a la relation fondamentale suivante :

exp(a+ b) = exp(a) exp(b)

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.

5

La relation s’écrit aussi :

ea+b = ea eb

En particulier, on en déduit que :(exp(a)

)2= exp(2a)

et plus généralement : (exp(a)

)n= exp(na)

ou encore : (ea)n

= ena

Cette formule est valable avec des exposants négatifs ou fractionnaires.Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relation

suivante pour une fonction u de la variable x :(exp

(u))′

= exp(u)u′

ou encore (eu)′

= eu u′

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = exp(√x).

CorrigéOn trouve

f ′(x) = exp(√x)×(√x)′

= exp(√x)× 1

2√x

Les graphes des fonctions logarithme et exponentielle sont symétriques parrapport à la 1ère bissectrice :

6

−2 0 2 4

−2

−1

01

23

4

Fonctions logarithme et exponentielle

0

1

e

1 e

logarithme

exponentielle

Exercice

Calculer la limite limx→+∞

log(ex + 1)

2x.

CorrigéEn +∞, ex + 1 est équivalent à ex. On a donc :

limx→+∞

log(ex + 1)

2x= limx→+∞

log(ex)

2x= limx→+∞

x

2x=

1

2

Lorsque x est très petit, on peut utiliser les équivalents suivants (déjà vusdans la séance 8) : exp(x) ∼

01 + x

log(1 + x) ∼0

x

Exercice

Calculer la limite limx→0

log(2ex − 1)

x.

Corrigé

7

On a, par équivalents :

limx→0

log(2ex − 1)

x= limx→0

log(2(1 + x)− 1

)x

= limx→0

log(1 + 2x)

x= limx→0

2x

x= 2

3 Fonctions puissance

3.1 DéfinitionPartons de la formule

log (an) = n log(a)

où a est un nombre réel strictement positif.Si on prend l’exponentielle des deux membres, on obtient :

an = en log(a)

Cette dernière relation permet de généraliser la définition des puissances àn’importe quel nombre réel x. On pose par définition :

ax = ex log(a)

avec a > 0 et x ∈ R.C’est une quantité toujours positive strictement.

Exercice

On considère la fonction f(x) = xx.a) Quel est son domaine de définition ?D’après la définition précédente (en prenant a = x), il faut (et il suffit!) que

x > 0. On a donc Df = R+∗ .

b) Calculer sa dérivée.

On écrit f(x) = xx = ex log(x) et on applique la formule(eu)′

= eu u′.On a donc :

f ′(x) = ex log(x) ×(x log(x)

)′= ex log(x) ×

(log(x) +

x

x

)= xx

(log(x) + 1

)

3.2 Base des logarithmesDéfinition 3.1. La fonction réciproque de la fonction ax s’appelle le logarithmeen base a de x.

8

On note cette fonction loga.En particulier, dans le cas où a = 10, on obtient le logarithme décimal. Le

logarithme décimal d’un nombre x est un nombre y tel que 10y = x.Par exemple log10(100) = 2 et log10(1000) = 3.Le logarithme naturel (népérien) est un logarithme en base e.Les logarithmes en base a sont définis sur ]0,+∞[.Ils vérifient la relation fondamentale :

loga(x y) = loga(x) + loga(y)

On a la relation suivante entre le logarithme en base a et le logarithmenaturel (noté ici ln pour éviter les confusions) :

loga(x) =ln(x)

ln(a)

Par exemple, le logarithme naturel est obtenu en fonction du logarithmedécimal en multipliant par ln(a) ≈ 2.3.

4 Fonctions homographiquesDéfinition 4.1. Les fonctions homographiques sont les fonctions de la forme

f(x) =ax+ b

cx+ d

Lorsque c 6= 0, le domaine de définition est Df = R\{−dc

}. Si c = 0, la

fonction est un polynôme de degré 1 et est donc définie sur tout R. Dans lasuite, on supposera c 6= 0.

La fonction y =1

xest un cas particulier de fonction homographique.

La dérivée estf ′(x) =

ad− bc(cx+ d)2

Dans le cas particulier où ad − bc = 0, la fonction est donc constante.Autrement, son sens de variation est celui dicté par le signe de la quantitéad− bc.

Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui

admet pour asymptotes les deux droites d’équation x =−dc

et y =a

c. Ces

asymptotes sont orthogonales entre elles et la courbe est constituée de deuxbranches.

Le point d’intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pourle graphe.

Exemple

9

Représenter graphiquement la fonction homographique y =2x− 1

x− 2.

La dérivée est f ′(x) =−3

(x− 2)2.

−2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

8f(x) =

2x − 1

x − 2

Hyperbole

5 Fonctions trigonométriques

5.1 DéfinitionLes fonctions cosinus et sinus se définissent sur le cercle de centre 0 et de rayon1, appelé le cercle trigonométrique.

Si on prend un point M quelconque sur ce cercle et qu’on appelle θ sonangle polaire, c’est-à-dire l’angle que fait le rayon OM avec l’axe horizontal,alors l’abscisse et l’ordonnée du point M son respectivement le cosinus et lesinus de l’angle θ.

On a donc : {cos(θ) = xM

sin(θ) = yM

10

Cercle trigonométrique

0 1

M

cos(θ)

sin(θ)

θ

5.2 PropriétésLes angles sont mesurés à partir de l’axe horizontal en tournant dans le senscontraire des aiguilles d’une montre. En analyse, ils sont mesurés généralementen radians, c’est-à-dire comme des fractions de 2π. L’angle 2π correspond à untour complet du cercle : 2π radians = 360◦.

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π. On écrit :{cos(θ + 2π) = cos(θ)

sin(θ + 2π) = sin(θ)

Les angles 0, π/6, π/4, π/3 et π/2 sont dits remarquables et les valeurs deleur cosinus et de leur sinus se calculent facilement :

11

Angles remarquables

Angles 0π

6

π

4

π

3

π

2

sin 0√3

2

√2

2

1

21

cos 11

2

√2

2

√3

20

On utilise aussi sin(π) = 0 et cos(π) = −1.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Fonction cosinus

π 2π− π− 2π

0

Période 2π

12

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Fonction sinus

π 2π− π− 2π

0

Période 2π

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur tout R. Elles sont continueset dérivables :

(cos θ

)′= − sin θ(

sin θ)′

= cos θ

Les valeurs de ces fonctions sont comprises entre -1 et 1. On a donc toujoursles inéquations : {

−1 ≤ cos θ ≤ 1

−1 ≤ sin θ ≤ 1⇐⇒

{ ∣∣ cos θ∣∣ ≤ 1∣∣ sin θ∣∣ ≤ 1

5.3 FormulesLe théorème de Pythogore conduit à la relation fondamentale suivante :

cos2 θ + sin2 θ = 1

La similitude des courbes suggère qu’il existe des relations simples entre lecosinus et le sinus d’un angle.

Par des considérations géométriques sur le cercle, on obtient les relationssuivantes : {

cos(−θ) = cos θ

sin(−θ) = − sin θ

13

Cela signifie que la fonction cosinus est paire tandis que la fonction sinus estimpaire.

En décalant d’un angle π, on obtient les relations suivantes :cos(θ + π) = − cos θ

sin(θ + π) = − sin θ

cos(π − θ) = − cos θ

sin(π − θ) = sin θ

En décalant d’un angleπ

2, on obtient les relations suivantes :

cos(θ +

π

2

)= − sin θ

sin(θ +

π

2

)= cos θ

cos(π2− θ)

= sin θ

sin(π2− θ)

= cos θ

Les identités qui suivent permettent de calculer le cosinus et le sinus d’unesomme : {

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b

sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b

Dans le cas particulier où a = b = θ, on obtient les formules de l’angle double:

cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ)

= 2 cos2(θ)− 1

= 1− 2 sin2(θ)

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)

Une autre fonction trigonométrique importante est la fonction tangente définiecomme le rapport entre le sinus et le cosinus :

tan θ =sin θ

cos θ

Cette fonction n’est pas définie pour les valeurs qui annulent le cosinus, doncpour θ =

π

2+ k π.

La tangente est périodique de période π. C’est une fonction impaire surl’intervalle ]− π

2,π

2[.

14

On a les limites suivantes :lim

θ→π2

−tan θ = +∞

limθ→−π2 +

tan θ = −∞

−6 −4 −2 0 2 4 6

−10

−5

05

10

Fonction tangente

π

2

3π

2−

π

2−

3π

2

0

Période π

La dérivée de la fonction tangente est :(tan θ

)′= 1 + tan2 θ =

1

cos2 θ

Elle est toujours positive, donc la fonction est croissante sur l’intervalle ]−π

2,π

2[.

La tangente d’une somme peut se calculer selon la formule :

tan(a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a tan b

L’inverse de la fonction tangente s’appelle la fonction cotangente. C’est lerapport entre le cosinus et le sinus :

cot θ =cos θ

sin θ

Cette fonction n’est pas définie pour les valeurs qui annulent le sinus, doncpour θ = k π. Elle est périodique de période π.

15

On a les limites suivantes :limθ→π−

cot θ = −∞

limθ→0+

cot θ = +∞

La dérivée de la fonction cotangente est :(cot θ

)′= −1− cot2 θ = − 1

sin2 θ

−6 −4 −2 0 2 4 6

−10

−5

05

10

Fonction cotangente

π 2π− π− 2π 0

Période π

Il y a une interprétation géométrique du cosinus et du sinus dans un trianglerectangle ayant un angla θ comme sur la figure suivante :

16

A

B

C

a

b

c

θ

En désignant par a, b et c les longueurs des côtés opposés aux sommets A,B et C et par θ l’angle au sommet A, on a les définitions suivantes :

sin θ =a

c

cos θ =b

c

tan θ =a

b

aveca la longueur du côté opposéb la longueur du côté adjacentc la longueur de l’hypoténuse

5.4 Fonctions réciproquesLa fonction cosinus, si on la restreint à l’intervalle [0, π], admet une fonctionréciproque appelée la fonction arc cosinus et notée arccos.

On a donc l’équivalence, pour un angle θ ∈ [0, π] :

c = cos θ ⇐⇒ θ = arccos c

De la même manière, la fonction arc sinus (notée arcsin) est la réciproquede la fonction sinus restreinte à l’intervalle ]− π

2,π

2[.

s = sin θ ⇐⇒ θ = arcsin s

17

Enfin, la fonction arc tangente (notée arctan) est la réciproque de la fonctiontangente restreinte à l’intervalle ]− π

2,π

2[.

t = tan θ ⇐⇒ θ = arctan t

Les fonctions arc cosinus et arc sinus sont définies sur l’intervalle [0, 1].La fonction arc tangente est définie sur R tout entier et prend ses valeurs

dans l’intervalle ]− π

2,π

2[.

Les trois fonctions sont dérivables :

(arcsinx

)′=

1√1− x2(

arccosx)′

= − 1√1− x2(

arctanx)′

=1

1 + x2

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fonction arc−cosinus

π 2

π

0 1−1

18

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Fonction arc−sinus

π 2

− π 2

0 1−1

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

01

23

Fonction arc−tangente

π

2

−

π

2

0

Comme les dérivées de arccos et arcsin sont opposées l’une de l’autre, leursomme est nulle. Donc la somme arccos(x)+arcsin(x) est constante. En prenant,par exemple, la valeur en 0, on obtient la relation suivante :

arccos(x) + arcsin(x) =π

2

19

La figure suivants montre la forme comprée des graphes des fonctions arccoset arcsin. Les deux courbes se coupent au point d’abscisse qui correspond àl’angle

π

4.

On a aussi les équations fonctionnelles suivantes concernant la fonctionarctan :

arctan1

x+ arctanx =

π

2∀x ∈ R∗+

arctan1

x+ arctanx = −π

2∀x ∈ R∗−

Fonctions arc−sinus et arc−cosinus

π 2

π 4

− π 2

π

0 1−1

2

2

arcsin

arccos

6 ExercicesExercices complémentaires

Exercice 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction y = log(2−√x).

Exercice 2

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log((x2 + 1)(x− 1)

).

Exercice 3

Calculer la limite limx→0

exp

(− 1

x

).

Exercice 4

20

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = 2x.

Exercice 5

Calculer les limites suivantes :

a) limx→+∞

1

x× log(x4 + x2 + 1)

b) limx→0

x log(x)

c) limx→+∞

1

x× log(2x + x)

d) limx→+∞

log(x2 + 1)

log x

Exercice 6

Monter que la composée de deux fonctions homographiques est homographique.

Exercice 7

a) Représenter graphiquement la fonction homographique y =3x− 8

x− 3.

b) Montrer qu’elle possède deux points fixes.

Exercice 8

a) Montrer, en étudiant tan(x) autour de 0, que 0 ≤ x ≤ tan(x).

b) Montrer, en étudiant sin(x) autour de 0, que 0 ≤ sin(x) ≤ x.

b) En déduire que cos(x) <sin(x)

x< 1.

c) Appliquer le théorème des gendarmes pour trouver la limite de sin(x)/xen 0.

Exercice 8

Déterminer la période des fonctions f(x) = cos(2x), f(x) = sin(3x), f(x) =tan(4x).

Exercice 9

En posant t = tan(x/2), démontrer les formules suivantes, dites “de l’angle

21

moitié” :

cos(x) =1− t2

1 + t2

sin(x) =2t

1 + t2

tan(x) =2t

1− t2

Exercice 10

Démontrer la relation suivante pour tout x ∈ R∗+ :

arctan1

x+ arctanx =

π

2

22