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UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAHFACULTE DES SCIENCES Dhar El Mehraz
Cours d’algebre 1
MOUANIS Hakima, ZENNAYI Mohamed et EL AOUNI Allal
Departement de Mathematiques
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 1 / 34
PLAN DU COURS
1 NOMBRES COMPLEXES2 POLYNOMES3 FRACTIONS RATIONELLES4 ESPACES VECTORIELS
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 2 / 34
Chapitre 1
NOMBRES COMPLEXES
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 3 / 34
Chapitre 1
1 Definitions et proprietes2 racines carrees d’un nombre complexe3 Equations du second degre dans IC4 nombres complexes de module 15 Argument d’un nombre complexe
6 Racines nieme de l’unite7 Racines nieme d’un nombre complexe
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 4 / 34
Definitions et proprietes
L’ensemble IC des nombres complexes
Definition
On note par IC = {a + ib/ a,b ∈ IR} et i 6∈ IR muni de deux operations + et .telles que
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib).(c + id) = (ac − db) + i(ad + cb)
En particulier, i2 = i .i = −1
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 5 / 34
Definitions et proprietes
Partie reelle et partie imaginaire
DefinitionSoit z = a + ib un nombre complexe.
a est appele la partie reelle de z qu’on note par Re(z).b est appele la partie imaginaire de z qu’on note par Im(z)
Un nombre complexe et dit reel si sa partie imaginaire est nulle.Un nombre complexe et dit imaginaire pur si sa partie reelle est nulle.
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 6 / 34
Definitions et proprietes
Proposition
Soient u = a + ib ∈ IC et v = c + id ∈ IC deux nombres complexes.
u = v ⇐⇒ a + ib = c + id ⇐⇒ a = c et b = d
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 7 / 34
Definitions et proprietes
DefinitionSoit z = a + ib un nombre complexe.On appelle conjugue de z le nombre z = a− ib
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 8 / 34
Definitions et proprietes
Proprietes
Soient z = a + ib ∈ IC et z′
= c + id ∈ IC deux nombres complexes. Alors,1 z = z2 z + z ′ = z + z ′
3 zz ′ = zz ′
4 ( zz′
) = zz′
5 zz = a2 + b2 ≥ 0
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 9 / 34
Definitions et proprietes
Le module d’un nombre complexe
Definition
Soit z = a + ib, on appelle module de z le nombre reel positif note par |z| etdefini par
|z| =√
zz =√
a2 + b2
proprietes
Soit z, z′ ∈ IC
1 |z| = |z|2 z−1 = 1
z = z|z|2
3 |zz′ | = |z||z ′ |
4 | zz′| = |z|
|z′ |
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 10 / 34
Les racines carrees d’un nombre complexe
Les racines carrees d’un nombre complexe
Definition
Soient z,u ∈ IC. On dit que u est racine carree de z si
u2 = z
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 11 / 34
Les racines carrees d’un nombre complexe
Les racines carrees d’un nombre complexe
Theoreme
un nombre complexe non nul z = a + ib possede deux racines carrees nonnulles et opposees qui sont :
1 Si b ≥ 0,
u =
√2(|z|+ a)
2+ i
√2(|z| − a)
2et
−u = −√
2(|z|+ a)
2− i
√2(|z| − a)
2
2 Si b ≤ 0,
u =
√2(|z|+ a)
2− i
√2(|z| − a)
2et
−u = −√
2(|z|+ a)
2+ i
√2(|z| − a)
2
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 12 / 34
Les racines carrees d’un nombre complexe
Les racines carrees d’un nombre complexe
Exemple
Soit z = 5 + 12i .1 |z| =
√52 + 122 =
√169 = 13
2 Puisque 12 ≥ 0 alors les racines carree de z sont :
u = 3 + 2i et − u = −3− 2i
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 13 / 34
Equation du second degre dans IC
Equation du second degre dans IC
TheoremeSoient a, b et c trois nombres complexes tels que a non nul. Soit δ une racinecaree de ∆ = b2 − 4ac.Alors l’equation du second degre aX 2 + bX + c=0 admet deux solutions :
z1 =−b + δ
2aet z2 =
−b − δ2a
Remarque
1 z1 + z2 = − ba
2 z1z2 = ca
3 Si ∆ = 0, z1 = z2 = − b2a
4 Si a,b, c ∈ IR et si ∆ ≥ 0 alors z1, z2 ∈ IR5 Si a,b, c ∈ IR et si ∆ ≤ 0 alors z1 et z2 sont conjugues( c’est a dire
z2 = z1)
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Equation du second degre dans IC
Equation du second degre dans IC
Exercice
Calculer les racines des equations :1 (1− i)z2 + (1 + 2i)z − 2i = 02 3z2 − 5z + 2 = 03 2z2 − 2z + 1 = 0
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Equation du second degre dans IC
Equations du second degre dans IC
CorollaireSoient z1, z2 ∈ IC.Notons s = z1 + z2 et p = z1z2Alors, z1 et z2 sont les racines de l’equation z2 − sz + p = 0
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 16 / 34
Equation du second degre dans IC
Equations du second degre dans IC
corollaire
Soient az2 + 2b′z + c = 0 une equation de 2eme degre et ∆
′= b
′2 − acSi δ
′est une racine carree de ∆ alors les racines de l’equation sont
z1 =−b
′+ δ
′
aet z2 =
−b′ − δ′
a
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Les nombres complexes de module 1
Les nombres complexes de module 1
Proposition
Soit z ∈ IC.|z| = 1 ⇔ ∃α ∈ IR tel que z = cosα + i sinα
. Dans ce cas z est note z = eiα.
Exemples
1 ∀k ∈ ZZ; e2ikπ = cos 2kπ + i sin 2kπ = 1 + 0i2 eiπ = cos(π) + i sin(π) = −13 e
iπ2 = cos(π2 ) + i sin(π2 ) = i
4 eiπ4 = cos(π4 ) + i sin(π4 ) =
√2
2 + i√
22
5 eiπ3 = cos(π3 ) + i sin(π3 ) = 1
2 + i√
32
6 eiπ6 = cos(π6 ) + i sin(π6 ) =
√3
2 + i2
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 18 / 34
Les nombres complexes de module 1
Les nombres complexes de module 1
Proprietes
Soient z = eiα et z′
= eiβ avec α, β ∈ IR :1 z = z
′ ⇔ ∃k ∈ ZZ tel que α = β + 2kπ2 eiαeiβ = ei(α+β)
3 eiα
eiβ = ei(α−β)
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Les nombres complexes de module 1
Formule de Moivre
Theoreme (Formule de Moivre)
Soit α un nombre reel et n ∈ IN. Alors,
(eiα)n = einα
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Les nombres complexes de module 1
Formules d’Euler
Proprietes
∀α ∈ IR. On a1 cos(α) = eiα+e−iα
2
2 sin(α) = eiα−e−iα
2i
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Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
TheoremeSoit z un nombre complexe non nul.Il existe α ∈ IR tel que z = |z|eiα.α est appele argument de z et on le note arg(z)
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 22 / 34
Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Remarque
Si α est un argument de z alors, ∀k ∈ IN, α + 2kπ est aussi argument de z.On note arg(z) = α(mod2π)
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 23 / 34
Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Proprietes
Soit z ∈ IC?
1 arg(z) = 0(mod2π)⇔ z ∈ IR?+
2 arg(z) = π(mod2π)⇔ z ∈ IR?−
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 24 / 34
Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Proprietes
Soient z et z′
deux nombres complexes et λ un nombre reel.
1 z = z′ ⇔ |z| = |z ′ | et arg(z) = arg(z
′)(mod2π)
2 arg(zz′) = arg(z) + arg(z
′)(mod2π)
3 arg( 1z ) = arg(z)(mod2π) = −arg(z)(mod2π)
4 arg(λz) =
{arg(z)(mod2π) siλ > 0Π + arg(z)(mod2π) siλ < 0
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 25 / 34
Racines nieme de l’unite
racines nieme de l’unite
DefinitionSoient n un entier naturel non nul et z un nombre complexe. On dit que z estune racine nieme de l’unite si zn = 1
Proposition
Soit n ∈ IN?. L’ensemble des racines nieme de l’unite est :
S = {e 2ikπn / k = 0, ...,n − 1} = {1,e 2iπ
n , ...,e2i(n−1)π
n }
dont les elements sont distincts deux a deux.
Posons ω = e2iπ
n , alors las racines nieme de l’unite sont les n nombrecomplexe 1, ω, ω2, ..., ωn−1 .
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Racines nieme de l’unite
Racines nieme de l’unite
Corollaire
Si z est une racine nieme de l’unite avec z 6= 1 alors
1 + z + z2 + ...+ zn−1 = 0
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 27 / 34
Racines nieme de l’unite
Racines nieme de l’unite
Exemples
1 Les racines carrees de l’unite sont{
1e
2iπ2 = eiπ = −1
2 Les racines cubiques de l’unite sont
1e
2iπ3 = −1
2 + i√
32 = j
e4iπ
3 = −12 − i
√3
2 = j = j2et on a
1 + j + j2 = 0
3 Les racines 4ieme de l’unite sont
1ii2 = −1i3 = −i
et on a
1 + i + i2 + i3 = 0
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 28 / 34
Racines nieme d’un nombre complexe
racines nieme d’un nombre complexe
DefinitionSoit z un nombre complexe et n un entier naturel non nul. On appelle racinenieme de z tout nombre complexe u verifiant z = un.
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 29 / 34
Racines nieme d’un nombre complexe
racines nieme d’un nombre complexe
Theoreme
Soit z = reiθ un nombre complexe non nul. L’equation un = z possede, dansIC, exactement n racines nieme de la forme
uk = n√
rei( θn +
2kπn )
= n√
reiθn e
2ikπn
avec k = 0, ...,n − 1
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 30 / 34
Racines nieme d’un nombre complexe
Racines nieme d’un nombre complexe
corollaire
Soient z = reiθ ∈ IC et n ∈ IN?. Alors les racines nieme de z sont
u0,u0ω,u0ω2, ...,u0ω
n−1
avecu0 = n
√rei θn
etω = e
i2πn
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 31 / 34
Racines nieme d’un nombre complexe
Racines nieme d’un nombre complexe
Exemple
Calculer les racines nieme du nombre complexe z = −4 dans les cas n = 2,n = 3, et n = 4
Reponce :
On a z = −4 = 4eiπ doncu0 =
n√
4eiπn
Cas n = 2 : u0 = 2√
4eiπ2 = 2i et ω = e
i2π2 = eiπ = −1 .
Donc les racines carres de −4 sont :
2i ,−2i
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 32 / 34
Racines nieme d’un nombre complexe
Racines nieme d’un nombre complexe
Exemple (suite)
Cas n = 3 : On a u0 = 3√
4eiπ3 = 3√
4( 12 + i
√3
2 ) et ω = ei2π
3 = jAlors les racines sont :
3√
4eiπ3 ,
3√
4eiπ3 e
i2π3 ,
3√
4eiπ3 e
i4π3
c’est a dire
3√
4(12
+ i√
32
), j 3√
4(12
+ i√
32
), j2 3√
4(12
+ i√
32
)
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 33 / 34
Racines nieme d’un nombre complexe
Racines nieme d’un nombre complexe
Exemple (suite)
Cas n = 4 : On a u0 = 4√
4eiπ4 =√
2(√
22 + i
√2
2 ) = 1 + i et ω = ei2π
4 = eiπ2 = i
Alors las racines 4ieme de −4 sont :
(1 + i), (1 + i)i , (1 + i)(−1), (1 + i)(−i)
c’est a dire1 + i ,−1 + i ,−1− i ,1− i
Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 34 / 34