universitatea bucuresti facultatea de matematica si...
If you can't read please download the document
TRANSCRIPT
-
UNIVERSITATEA BUCURESTI
FACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA
SCOALA DOCTORALA DE MATEMATICA
TEZA DE DOCTORAT
REZUMAT
Repartitii de tip Moyal. Inferenta statistica si entropie
Alin Marian RUSU
Coordonator stiintific,
Prof. Dr. Vasile PREDA
- BUCURESTI 2015 -
-
1
Cuprins
1 Introducere ........................................................................................................................3
1.1 Motivare ...........................................................................................................................3
1.2 Directii principale ............................................................................................................4
1.3 Structura tezei ..................................................................................................................5
2 Repartitia Moyal generalizata .........................................................................................6
2.1 Cadru general ...................................................................................................................6
2.2 Functia de repartitie .........................................................................................................7
2.3 Momente ..........................................................................................................................8
2.4 Entropia Shannon .............................................................................................................9
2.5 Entropia Rnyi ...............................................................................................................11
2.6 Statistici de ordine asociate repartitiei Moyal generalizata ..........................................11
2.7 Estimatori si inferenta statistica pentru repartitia Moyal generalizata .........................12
3 Repartitia beta Moyal generalizata ...............................................................................14
3.1 Cadru general .................................................................................................................14
3.2 Functia de repartitie .......................................................................................................15
3.3 Momente ........................................................................................................................18
3.4 Entropia Shannon ...........................................................................................................19
3.5 Entropia Rnyi ...............................................................................................................23
3.6 Statistici de ordine asociate repartitiei beta Moyal generalizata ..................................24
3.7 Estimatori si inferenta statistica pentru repartitia beta Moyal generalizata ..................25
4 Repartitia Moyal trunchiata la dreapta .......................................................................27
4.1 Cadru general .................................................................................................................27
4.2 Functia de repartitie .......................................................................................................28
4.3 Momente ........................................................................................................................28
4.4 Entropia Shannon ...........................................................................................................29
4.5 Entropia Rnyi ...............................................................................................................31
4.6 Statistici de ordine asociate repartitiei Moyal trunchiata la dreapta .............................31
4.7 Estimatori si inferenta statistica pentru repartitia Moyal trunchiata la dreapta ............32
-
2
5 Momentele ale statisticilor de ordine pentru repartitia Moyal si Moyal
generalizata ....................................................................................................................34
5.1 Cadru general .................................................................................................................34
5.2 Calcularea momentelor statisticilor de ordine din repartitia Moyal trunchiata cu
ajutorul valorii medie conditionate ...............................................................................36
5.3 Calcularea momentelor statisticilor de ordine din repartitia Moyal generalizata
trunchiata cu ajutorul valorii medie conditionate .........................................................39
6 Aplicatii ............................................................................................................................41
6.1 Cadru general .................................................................................................................41
6.2 Aplicatie modelare repartitii Moyal, Moyal trunchiata la dreapta, beta Moyal si
beta Moyal generalizata ................................................................................................42
6.3 Simulare grafica repartitii Moyal, Moyal trunchiata la dreapta si beta Moyal
generalizata .........................................................................................................................43
Bibliografie .....................................................................................................................44
-
3
Capitolul 1
Introducere
1.1 Motivare
Multe modele statistice, cat si metode de analiza a datelor de supravietuire au
starnit un real interes de-a lungul timpului suferind o dezvoltare continua. Datorita
dezvoltarii rapide a tehnologiei si sistemelor a aparut necesitatea dezvoltarii de noi modele
matematice privind duratele de viata si aplicarea acestora in cadrul proceselor de reinnoire.
Repartitia Moyal furnizeaza un model foarte popular, ce a fost in mod continuu
folosit si extins de-a lungul ultimelor decade. Modelul a fost folosit pentru a analiza date
din diverse domenii printre care amintim: analiza de supravietuire, inginerie sau analiza
riscului si inginerie industriala pentru a reprezenta timpii de productie sau livrare, teoria
valorii extreme, comunicatie wireless sau in asigurari pentru a prezice dimensiunea
cererilor de reasigurare.
Repartitia a fost propusa de Moyal [84] si reprezinta o aproximare buna pentru
repartitia Landau [63]. S-a demonstrat de asemenea ca aceasta ramane valida la luarea in
considerare a efectelor de rezonanta cuantice si la detalii ale structurii atomice ale
absorbantului.
Nevoia de a extinde forme ale repartitiei Moyal apare in multe domenii aplicate,
dar aparitia efectiva a acestor extinderi in literatura statistica este una foarte recenta.
Urmand o idee a lui Adamidis si Loukas [1] pentru o procedura combinata de repartitii, in
lucrare vom defini repartitii Moyal generalizate si vom studia cateva dintre proprietatile
lor matematice, repartitia Moyal reprezentand astfel doar un submodel special al noilor
repartitii.
Aceasta clasa de repartitii generalizate a avut parte de o atentie deosebita de-
alungul ultimilor ani, in particular mai exact dupa efortul lui Jones [65].
Eugene et al. [38], Nadarajah si Kotz [87, 88, 90], Lee et al. [74] sau Akinsete et al.
[4] au definit repartitiile: beta normala, beta Gumbel, beta Frechet, beta exponentiala, beta
Weibull sau beta Pareto in noua forma generala.
Recent, Pescim et al. [95], Barreto-Souza et al. [16] si Cordeiro et al. [24] au
studiat repartitiile beta generalizata semi-normala, beta generalizata exponentiala si beta
Moyal. Aplicatii diverse la acest intreg set de repartitii s-au furnizat in toate domeniile
amintite mai sus.
Remarcam de asemenea o aplicatie ce a pornit de la generalizarea repartitiei
Moyal. Setul de date initial prezentat reprezinta timpii de reparatie (in ore) ai unui emitator
de comunicatie aerian. Recent acest set de date a fost analizat de Koutrouvelis et al. [71]
-
4
folosind repartitia inversa normala de 3 parametri si de Gauss M. Cordeiro et al. [24]. Mai
precis, acestia au prezentat valorile parametrilor estimati folosind metoda verosimilitatii
maxime si valorile statistice pentru modelul AIC (criteriul informational Akaike), CAIC
(criteriul informational Akaike consistent) si BIC (criteriul informational Bayesian).
Optimalitatea modelului ales se face studiind minimalitatea lui AIC. Aceste
rezultate indica faptul ca modelul repartitiei beta Moyal generalizata (respectiv Moyal
generalizata) are cea mai mica valoare a lui AIC dintre toate valorile modelelor prezentate
si astfel poate fi ales drept cel mai bun model.
Rezultatele lucrarii pot fi aplicate la analiza si proiectarea unor sisteme in
fiabilitate si mentenanta sistemelor cu durata de viata caracterizata de noile repartitii
determinate: repartitia Moyal generalizata, repartitia beta Moyal generalizata, repartitia
Moyal trunchiata la dreapta.
1.2 Directii principale
De-alungul timpului multe modele statistice au fost dezvoltate si generalizate
privind analiza datelor de supravietuire (in prealabil analiza concentrandu-se spre analiza
duratelor de defectiune.
Repartitia exponentiala, desi cea mai raspandita in analiza duratelor de viata nu
este cea mai potrivita in teoria proceselor de reinnoire caci rata de defectiune este
constanta. Acest lucru inseamna ca probabilitatea de defectiune imediata a unui obiect care
are repartitia vietii, repartitia exponentiala, nu depinde de varsta acestuia, ceea ce face ca
problemele matematice aparute sa fie triviale.
Astfel in literatura matematica s-au introdus diverse modele statistice in incercarea
de a obtine rezultate calitative, cat mai apropiate de adevar, cu proprietati matematice mai
flexibile decat modelele de baza ce se generalizeaza. Scopul urmarit a fost de a se incerca
introducerea de noi repartitii care sa modeleze cat mai bine si cat mai multe situatii din
viata reala.
Akinsete, Famoye si Lee [4] au aplicat cu succes generalizarea pentru repartitia
Pareto obtinand repartitia beta Pareto, studiindu-i proprietatile si furnizand rezultate cu
caracter aplicativ.
Recent Cordeiro, Nobre, Pescim si Ortega [25] au obtinut o forma generalizata a
repartitiei Moyal, beta Moyal studiindu-i proprietatile si cazurile aplicative.
Aryal [9] a dezvoltat o intreaga analiza privind consumul de combustibil la avioane
folosind repartitiile Gumbel si Moyal.
Cordeiro et al. [16, 17, 24] au generalizat repartitia Weibull obtinand repartitia beta
Weibull exponentiala, repartitia Weibull geometrica si repartitia beta exponentiala
generalizata si o serie intreaga de prorietati statistice ale acestor noi repartitii su impact
direct in viata reala.
Un impact puternic l-au avut generalizarile lui Nadarajah [87, 88, 89, 90]. Rand pe
rand s-au gasit generalizari pentru repartitia Gumbel combinata cu repartitia beta si
obtinand astfel repartitia beta Gumbel sau repartitia beta Frechet.
Pentru partea de momente ale statisticilor de ordine din repartitii dublu trunchiate,
Balakrishnan et al. [13, 14, 15] au obtinut rezultate pentru repartitia Pareto, iar Bekci [18]
pentru repartitii uniforme. Aceste identitati sunt folositoare la verificarea calculului
momentelor statisticilor de ordine.
-
5
1.3 Structura tezei
Lucrarea este structurata in 6 capitole.
Primul capitol are caracter introductiv si prezinta motivarea temei alese, directiile
principale de urmat si structura completa a tezei punandu-se accent pe contributiile proprii
ale autorului.
Al doilea capitol prezinta repartitia Moyal generalizata si proprietatile aferente.
Acestei noi repartitii i se vor studia: forma functiei de repartitie, forma momentelor de
ordin n si a functiei generatoare de momente. Vom calcula entropia Shannon, vom
prezenta teoreme de caracterizare entropica si vom calcula forma entropiei Rnyi. Se va
genera forma statisticilor de ordine si vom calcula un estimator pentru aceasta repartitie
folosind metoda verosimilitatii maxime. Se va observa ca pe cale analitica nu vom putea
furniza o forma finala, ci doar prin metode numerice (folosind metoda Newton-Raphson
[129]). Se va determina de asemenea forma informatiei Fisher. Ca un caz particular pentru
aceasta repartitie se va arata modul de obtinere al rezultatelor pentru repartitia de baza
Moyal prezentand si o parte din proprietatile sale statistice.
Al treilea capitol prezinta repartitia beta Moyal generalizata si proprietatile
aferente. De aceasta data repartitia ce va suferi un proces de generalizare va fi repartitia
beta Moyal. Vom determina: forma functiei de repartitie, forma momentelor de ordin n si
functia generatoare de momente asociata repartitiei beta Moyal generalizata. Vom
continua cu prezentarea formelor entropiei Shannon si Rnyi si vom furniza cateva
teoreme de caracterizare entropica. De asemenea vom pune accent pe determinarea formei
statisticilor de ordine asociate repartitiei initiale. Urmand linia capitolului anterior vom
prezenta diverse proprietati aferente. Calculul unui estimator aferent folosind metoda
verosimilitatii maxime se va face folosind metode numerice. In cazul particular se vor
prezenta rezultatele obtinute pentru repartitia de baza beta Moyal [25]. Rezultatele
originale din acest capitol au fost publicate in [109].
Al patrulea capitol prezinta o noua generalizare noua a functiei de densitate Moyal.
Pentru noua repartitie se vor studia proprietatile aferente precum: functie de densitate si
repartitie, momente de ordin n, functie generatoare de momente, statistici de ordine,
inferenta. Extinderi pentru functia de repartitie ca serii de putere se vor prezenta si de
asemenea cateva extinderi pentru entropia Shannon si teoreme de caracterizare entropica.
Prin metoda verosimilitatii maxime se va obtine un estimator pentru repartitia generalizata.
Rezultatele originale din acest capitol au fost publicate in [112].
In al cincilea capitol se prezinta momente ale statisticilor de ordine pentru repartitia
Moyal si Moyal generalizata. Se vor calcula momentelor statisticilor de ordine aferente
celor doua repartitii trunchiate cu ajutorul valorii medii conditionate pentru fiecare din cele
doua repartitii mai sus mentionate.
Utilitatea noilor modele astfel obtinute va fi evidentiata printr-o aplicatie cu date
reale in capitolul 6. Aplicatia va compara modelele prezentate anterior si va stabili ierarhic
ce model se preteaza a fi aplicat in obtinerea rezultatelor optime per calcul de date
mentionat in aplicatie. Partea aplicativa din acest capitol si rezultatele obtinute au fost
publicate in [109].
-
6
Capitolul 2
Repartitia Moyal generalizata
Repartitia Moyal [84] a fost propusa drept aproximare pentru alt tip de repartitie si
anume repartitia Landau [25, 84].
Repartitia Moyal generalizata [25, 45] apare ca o necesitate la problema
determinarii unui nou set de repartitii care se doresc a fi mai flexibile, cu posibilitatea de
modelare a mai multor situatii sau durate de viata.
Unul dintre motivele reale pentru care o repartitie standard (in cazul de fata
repartitia Moyal) se generalizeaza este acela ca forma generalizata ofera mai multa
flexibilitate in modelarea datelor.
Aryal si Tsokos [9] au obtinut un model de calcul al numarului de pasageri pierduti
per cursa folosindu-se de repartitia Moyal aratand astfel cat de important este alegerea
repartitiei potrivite spre simularea datelor intr-o situatie cu date din viata reala.
Vom prezenta forma functiei de densitate si cea de repartitie asociate noii repartitii
Moyal generalizata. Vom determina forma momentelor de ordin n si a functiei generatoare
de momente. Folosind principiul entropiei maxime vom prezenta cateva teoreme de
caracterizare entropica determinand forma entropiei Shannon si Rnyi.
Vom prezenta forma statisticilor de ordine asociate, vom determina un estimator
pentru aceasta repartitie noua folosind metoda verosimilitatii maxime si vom incheia
capitolul cu prezentarea formei informatiei Fisher pentru a ilustra complexitatea modelului
propus.
2.1 Cadru general
Fie X o variabila aleatoare, repartizata Moyal generalizat de parametrii , si s
unde s atunci functia de densitate este
+
+
+
+=
1212
2
12
)12()(
sxs
ex
s
ex
sKxf
unde
-
7
2
1)( == KK .
Pentru cazul particular in care s = 0 obtinem forma functiei de densitate Moyal
[126] de parametrii si
+
=
x
ex
exf2
1
2
1)(
unde
-
8
2.3 Momente
Momentele de ordin n asociate repartitiei Moyal generalizata sunt date de
urmatoarea teorema
Teorema 2.3.1 Daca X este o variabila aleatoare cu repartitia Moyal generalizata, atunci forma
momentului de ordin n al lui X este
( )=
= +
++
+
=
n
k l s
n
ls
ns
n
knn
n
ls
n
k
n
1 1 12
1212
2
12ln)1(12
1
unde
+2
1
12s
n reprezinta functia gamma generalizata de parametru 2
1= si
12 +=
s
nr .
Teorema 2.3.2 Forma functiei generatoare de momente este
+
=0
)]2ln([2
112
1
)( dueue
tMuut
ts
unde .0,,, >
-
9
2.4 Entropia Shannon
Vom prezenta forma entropiei Shannon si folosind principiul entropiei maxime
vom arata ca repartitia de probabilitate care maximizeaza entropia Shannon compatibila cu
anumite restrictii este chiar repartitia Moyal generalizata introdusa.
Lema 2.4.1 Daca X este o variabila aleatoare avand repartitia Moyal generalizata atunci avem
1
2
AX
E
s
=
,
2
12
AX
E
s
=
+
,
3
12
AeE
sX
=
+
unde
= =
=
+
+++
+
=
1 1 1 12
2
1
1212
12
12)2(ln12)1(2
n
n
m pp
s
m
ps
mmn
ps
m
m
nsKA ,
+=
2
1)2(ln2 1
2
1
2 KA ,
KA 21
3 2= ,
2
11 reprezinta functia gamma generalizata de parametru r = 1 si
2
1= , iar
2
1)( == KK conform sectiunii 2.1.
Teorema 2.4.1 Entropia Shannon asociata functiei de densitate Moyal generalizata este
[ ] ( )[ ]
2
1
2
12)2(ln
22
1
2
1)2(ln12
)1(22ln)12ln()(
1
12
12
1 1 1
1212
+
+=
+
+
= =
=
+++
s
k
ls
k
n
n
k l
s
klkn
ls
k
k
n
n
ssxfH
unde forma functiei gamma generalizata.
Teorema 2.4.2
Densitatea de probabilitate f data de variabila aleatoare ),,MoGen(~ sX (unde
),,MoGen( s reprezinta repartitia Moyal generalizata cu functia de densitate de forma
-
10
+
+=
++ 12122
exp2
1exp)12()(
sssxxx
sKxf
) este
unica solutie a problemei
=
=
=
=
+
+
32
12
1
212
,,)(maxarg)( AeEAX
EAX
EgHxf
sX
g
s
g
s
g
unde Eg reprezinta media in raport cu g, iar
=
s
f
XEA
2
1
,
=
+12
2
s
f
XEA
=
+
12
3
sX
f eEA
si 2
1=K .
Pentru s = 0 se obtin rezultatele de mai jos asociate repartitiei Moyal.
Corolar 2.4.1 (Moyal [84, 126])
1AX
E =
,
2AeE
X
=
unde
+=
2
1)2(ln
111
A si 12 =A .
Corolar 2.4.2 (Moyal [84, 126]) Entropia Shannon asociata repartitiei Moyal de parametrii =0 si =1 este
[ ]
+=
2
1)2(ln
11)( 1
xfH ,
unde
2
11 reprezinta functia gamma superior incompleta de parametrii 1=r si
2
1= .
Corolar 2.4.3 (Moyal [84, 126])
Densitatea de probabilitate f data de variabila aleatoare ),Mo(~ X (unde
),Mo( reprezinta repartitia Moyal) este unica solutie a problemei
=
=
=
21 ,)(maxarg)( AeEAX
EgHxf
X
g
unde Eg desemneaza media in raport cu g, iar
=
XEA f1 ,
=
X
f eEA2 .
-
11
2.5 Entropia Rnyi
Entropia Rnyi este definita astfel
[ ])(ln1
1)(
IjR
= ,
unde 1;0,)()( >= dxxfI ,
Teorema 2.5.1 Forma entropiei Rnyi asociata functiei de densitatei Moyal generalizata este
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
22)2(ln)(ln
)1(12
)1(2
12
)1(212
2
1ln
1
1)(
12
)1(22
1212
)1(2
12
)1(2
1 1
12
)1(41
s
s
ks
sl
s
s
k l
kls
s
R
ls
s
ks
ss
j
unde
+
2
12
)1(2
s
s reprezinta functia gamma generalizata de parametrii 12
)1(2
+
=
s
sr
si
2
= .
Pentru s = 0, = 0 si > 0 obtinem repartitia Moyal si rezultatul de mai jos
Corolar 2.5.1 (Moyal [84, 126]) Entropia Rnyi asociata functiei de densitate Moyal are urmatoarea forma
+
=
2lnln
1
1)( 2
Rj .
2.6 Statistici de ordine asociate repartitiei Moyal generalizata
Momentele statisticilor de ordine joaca un rol important in testarea controlului
calitatii si in fiabilitate unde se urmareste predictia avariilor viitoarelor piese cunoscand
timpii avariilor trecute.
Vom prezenta o forma explicita a functiei de densitate asociata statisticii de ordine
de ordin i, fie ea fi:n(x) pentru repartitia Moyal generalizata.
Forma generala a statisticii de ordine este urmatoarea
{ } nixFxFiniB
xfxf
ini
ni ,...,1,)(1)()1,(
)()( 1: =
+=
in
xi
x
ex
s
ni
ss
sxs
ee
ex
siniB
xf
+
+
+=
++
+
+
2,
2
111
2,
2
11
)12(2
1
)1,(
1)(
1212
1212
1
2
12
:
-
12
Rearanjand termenii in relatia de mai sus obtinem
inx
ix
n
ex
s
ni
ss
sxs
ee
ex
siniB
xf
+
+
+=
++
+
+
2,
2
1
2,
2
11
)12(2
1
)1,(
1)(
1212
1212
1
2
12
:
unde ),( si ),( B reprezinta functiile gamma si beta.
Pentru s = 0, = 0 si = 1 si pentru functiile de densitate si repartitie Moyal
[ ]xexexf
+
= 21
2
1)(
=
2,
2
11)(
xe
xF
unde x avem urmatorul corolar
Corolar 2.6.1(Moyal [84, 126]) Forma statisticilor de ordine asociate repartitiei Moyal este
( )ni
eee
iniBxf
inx
ix
ex
ni
x
,...1,2
,2
1
2,
2
11
2
1
)1,(
1)(
1
2
1
: =
+=
+
.
2.7 Estimatori si inferenta statistica pentru repartitia Moyal
generalizata
Fie X1, X2, , Xn variabile aleatoare independente ce au densitatea comuna
),...,,()..,,( 2121 nn xxxfxxxf =
Pentru X1=x1, X2=x2, , Xn=xn functia de verosimilitate a lui este
),...,,()( 21 nxxxfL =
Estimatorul de verosimilitate maxima al lui este acea valoare a lui ce
maximizeaza L().
Daca Xi sunt identic independent repartizate atunci
=
=n
i
ixfL1
)()(
Daca se maximizeaza acest produs avem
( )[ ]=
=n
i
ixfl1
ln)( .
Pentru repartitia Moyal generalizata se considera vectorul Ts),,( = .
Pentru un vector aleator x=(x1, x2, , xn)T avem
-
13
=
==n
i
i
nn lll1
)( )()( ,
unde l(i)
() reprezinta logaritmul de verosimilitate al observatiei i.
=
+
+=
+
+
n
i
ex
s
i
n
sixs
i
ex
sxxf1
2
12
2
1212
)12(2
1)|,...,(
+=
=
n
i
s
i
s
i
s
i
n
xxxsKl
1
222
exp2
1
2
1exp)12(ln)(
===
+++
=
n
i
s
i
sn
i
in
i
in
xxxssnnl
1
22
12
exp2
1
2
1ln2)12ln(
2
1ln)(
Prin derivarea relatiei de mai sus in raport cu parametrii si obtinem
=
+
==
+
++
=
n
i
s
i
s
in
i
s
in
i i
n xxsxs
x
sl
2
122
2
2
2
exp2
12
2
122
=
++
=
+
+
++=
n
i
s
i
s
in
i
s
in xxsxssnl
2
1212
2
12
exp12122
Pentru a determina estimatorul se vor egala cu 0 derivatele de mai sus si va rezulta
forma estimatorului
T
=
^^^
, .
In forma analitica acest sistem este insa greu de rezolvat. Pentru rezolvarea sa se va
apela la metoda numerica Newton-Raphson [129] si se vor obtine rezultatele ce vor fi
prezentate in sectiunea 6.
Pentru a ilustra complexitatea modelului prezentat in acest capitol se foloseste
informatia Fisher.
Pentru ( ) ,= informatia Fisher se transforma intr-o matrice 22 dimensionala. Elementul i, j al matricii, unde i{1,2} si j{1,2} este dat de
( ) ( ) ( ) ( )
=
=
XfEIXfXfCovI
ji
ji
ji
jilnln),(ln
2
,,
Astfel forma informatiei Fisher este
( ) ( )
( ) ( )
=
2
22
2
2
2
)(nn
nn
ll
ll
EI .
-
14
Capitolul 3
Repartitia beta Moyal generalizata
Un mare beneficiu al clasei de generalizari ale repartitiilor beta, propusa de Eugene et al. [38] si continuata de Cordeiro et al. [25] este abilitatea lor de a genera date scalabile
ce nu pot in mod normal a fi generate prin repartitii cunoscute. Aceasta clasa de repartitii
generalizate a primit o atentie deosebita de-a lungul ultimilor ani, in particular dupa opera
lui Jones [65].
Prin generalizarea repartitiei beta, o intreaga clasa de repartitii noi s-a obtinut
printre care amintim repartitia beta exponentiala [17, 87], repartitia beta normal [38],
repartitia beta Gumbel [90], repartitia beta Pareto [4], repartitia beta Weibull [40],
repartitia beta Dagum [32] sau repartitia beta Moyal [25], repartitie ce reprezinta punctul
nostru de pornire in generalizare. Noua repartitie generalizata denumita, beta Moyal
generalizata confera aceste lucruri pastrand intacte o serie de proprietati statistice ce vor fi
prezentate in sectiunile urmatoare.
Vom prezenta noua forma a functiilor de densitate si repartitie asociate repartitiei
beta Moyal generalizata. Forma momentelor de ordin n si a functiei generatoare de
momente, precum si entropia Shannon si Rnyi vor fi determinate. Cateva teoreme de
caracterizare entropica vor fi prezentate pornind de la principal entropiei maxime. Vom
determina forma statisticilor de ordine si vom prezenta modul de calcul al unui estimator
asociat repartitiei beta Moyal generalizata folosind metoda verosimilitatii maxime.
3.1 Cadru general
Pornind de la o functie de repartitie G(x) se poate defini clasa urmatoare
0,,)1(),(
1),()(
)(
0
11
)( >==
badbaB
baIxF
xG
ba
xG
unde B(a, b) reprezinta functia beta definita in capitolul Anexa D.
Functia de densitate asociata functiei de repartitie de mai sus este
[ ] 11 )(1)(),(
)()(
=ba xGxG
baB
xgxf ,
unde dx
xdGxg
)()( = reprezinta functia de densitate parinte.
-
15
Noua functie de densitate de parametrii a, b, s, si va fi urmatoarea 11
2
12
!2!2
!2!2
2
1,
2
1
2
1,
2
1
1),(
)12()(
+
+=
++
+
+
bx
ax
ex
s
ss
sxs ee
ex
baB
sKxf
unde b si
+
12
2
1,
2
1s
x
e
reprezinta
functia gamma inferior incompleta. K reprezinta constanta de trunchiere a carei valoare depinde de parametrii a, b si si se
determina din
=
1)( dxxf
( ) ( )1
1
1 0
22
21
2,
1
2
122
),(
11),,(
=
=
++
+
++
==
a
i w
baiw
ibaw
iaibaw
cbaBi
abaKK
unde ( )[ ]=
+++
++=
w
l
ibalwl
l
ibaw cll
lwlibaw
c1
2,2,)12(!2
)1(2
1[95] si
2
1 baiw
+> .
3.2 Functia de repartitie
Pornind de la o functie de repartitie de baza G(x) avem
==
)(
0
11
)( )1(),(
1),()(
xG
ba
xG dbaB
baIxF ,
unde a, b sunt parametrii aditionali pozitiv.
Astfel functia de densitate ce corespunde functiei de repartitie este
[ ] 11 )(1)(),(
)()(
=ba xGxG
baB
xgxf
unde dx
xdGxg
)()( = este functia de densitate parinte.
Urmand directia din [25], fie X o variabila aleatoare avand functia de densitate
+
+=
++ 1212
exp2
1exp)12()(
ss
X
xxxsKxg
unde
-
16
+
+=
++ 12122
exp2
1exp)12()(
sss
Z
xxxsKxg
unde s si b si
-
17
=
+
+
+=
+
0 )()(!
2
1,
2
1
1)1(
)(
)()(
!2
j
ja
x
j
jbjaj
e
a
baxF
s
Daca a > 0; Za relatia de mai sus ofera functia de repartitie a repartitiei beta Moyal generalizata in termeni de serii de putere ale functiei Moyal generalizata.
Altfel daca a > 0, a \ obtinem
( )
=
+
++
+=
+
0, )1()(!!
2
1,
2
1)1(
)(
)()(
!2
rjr
r
xrj
rjajbrj
e
a
baxF
s
Pentru b > 0, b obtinem
ja
x
b
j
j
s
e
jaj
b
baBxF
+
=
+
=
+
!2
2
1,
2
1
1)(
)1(1
),(
1)(
1
0
Pentru a > 0, a , aplicand dezvoltarea conform binomului lui Newton in relatia de mai sus obtinem
( )
r
xb
jr
rjja
r
s
ejar
ja
j
b
baBxF
+
+
=
+
=
++
=
!2
2
1,
2
1
)(
)1(1
),(
1)(
1
0 0
Pentru a > 0, a \ obtinem
( )
r
xb
jr
rrj
r
s
erjarja
ja
r
ja
j
b
baBxF
+++
++
+
=
+
=
+
=
!2
2
1,
2
1
)1(!)(
)1(2)1(1
),(
1)(
1
0 0
Alternativ la functia de densitate obtinuta anterior pentru b \ si folosind dezvoltarea in serie obtinem
( )[ ]k
k
s
k
sss xbawxxxsKxf
=
+++
++=0
1212122
2
)exp(,
2
1),(exp
2
1exp)12()(
unde ( )
=
+
+
+=
0 ),()()(!!
)()()1(),(
jk
kj
k
baBkjajbjk
jabbaw
Daca s = 0 obtinem cazul particular pentru repartitia beta Moyal
=2
1
exp2
1,
2
1
1
0
11 )1(),(
1)(
x
bad
baBxF
-
18
Observatie 1. Pentru a = b = 1 obtinem repartitia Moyal. 2. Pentru = 0 si = 1 obtinem functia de densitate standard beta Moyal (BMo)
( )11
2
1
2
1,
2
1
2
1,
2
1
1),(2
)(
+
=
b
x
a
xex ee
baB
exf
x
unde 0>a , 0>b si
-
19
= =
++=
0,
,,,
0 2
1),(
1
mk
rmsrk
s
r
s
kmba
, unde toate cantitatile sunt definite in
demonstratia corolarului.
Corolar 3.3.2 (beta Moyal [25]) Daca X:BMo(a,b,0,1) atunci functia generatoare de momente ale lui X este
=
++=
0,
,2
1),(
2)(
mk
kmk
t
tk
mcbawtM
,
unde ),( bawk si cm,k au fost definite in sectiunile 3.2 si 3.3 si 2
1++ .
Teorema 3.4.1 Forma entropiei Shannon asociata functiei de densitate beta Moyal generalizata
este
H(f(x)) = H1 + H2 + H3 + H4 +H5 + H6,
unde
( )
++
+=
+
=
=
+
+
2
12
),(
2)1(1ln),(ln()12ln(
21
1 0
2
21
2,
1
1
ibaw
baB
c
i
abaBsH
baia
i w
w
ibaw
ia
( )( )
++
+
=
+
+
=
=
= =
=
+++
++
2
12)2(ln
2)1(121
),(
2
12
2,
1
1 0 1 1 1
2
212
122
12
ibawc
ps
m
m
n
i
a
baB
sKH
ps
m
p
ibaw
a
i w n
n
m p
wbaiia
s
mmn
b
( )
=
=
+
+
+
++
++
=
1
1 0
12
21
2,
2
32
12
2
12)2(ln2
1a
i w
w
ibaw
bai ibawibawc
i
aKH
( )
=
=
+
+
+
++
+=
1
1 0
2
21
2,
2
42
122
1
2
)12( a
i w
w
ibaw
bai ibawc
i
asKH
-
21
( ) ( )[ ]
( )
++
+++
=
++
=
=+
=
= =
=
+
++
++
2
122)1(
1
2
12
211)1(
)1(
2
212
11
1 0
12,
1
1
1 1 0
2
21
2,
22
5
ibaw
i
acK
minbaw
cm
n
i
a
nKaH
wbai
iaa
i w
baw
n
a
i
n
m w
w
minbaw
mbaimian
( ) ( )[ ]
=
= =
=
+
++
++
+++
+=
1
1
1 1 0
2
21
2,
22
62
1221
1)1()12()1(
n
a
i
n
m w
w
imbaw
mbaimian imbaw
cm
n
i
a
nsKbH
( )2
1 mbaiw
+> .
Teorema 3.4.2
Densitatea de probabilitate f a variabilei aleatoare ),,,,BeMoGen(~ sbaX (unde
),,,,BeMoGen( sba reprezinta repartitia beta Moyal generalizata cu functia de
densitate de forma 11
2
12
!2!2
!2!2
2
1,
2
1
2
1,
2
1
1),(
)12()(
+
+=
++
+
+
bx
ax
ex
s
ss
sxs ee
ex
baB
sKxf
unde , 0>a , 0>b si
-
22
Corolar 3.4.1 (beta Moyal [25]) Pentru variabila aleatoare X avand repartitia beta Moyal avem
1AX
E =
,
2AeE
X
=
,
3
2
1,
2
1
1ln A
e
E
X
=
,
4
2
1,
2
1
ln A
e
E
X
=
,
unde
( )
+++
++
=
=
=
+
+
+
2
12
2
12)2(ln2
1
),(2
11
1
1 0
2
21
2,
2
1
ibawibawc
i
a
baBA
a
i w
w
ibaw
bai
( )
+++
=
=
=
+
+
+
2
122
1
),(2
1 1
1 0
2
21
2,
2
2
ibawc
i
a
baBA
a
i w
w
ibaw
bai
( ) ( )[ ]
( )
++
+++
=
++
=
=+
=
= =
=
+
++
++
2
122)1(
1)(ln
2
12
211)1(
),(2
1
2
212
11
1 0
12,
1
1
1 1 0
2
21
2,
22
3
ibaw
i
ac
minbaw
cm
n
i
a
nbaBA
wbai
iaa
i w
baw
n
a
i
n
m w
w
minbaw
mbaimian
( )
=
= =
=
+
++
++
+++
=
1
1
1 1 0
2
21
2,
22
52
122
1)1(
),(2
1
n
a
i
n
m w
w
imbaw
baimian imbaw
cm
n
i
a
nbaBA
Corolar 3.4.2 (beta Moyal [25])
Densitatea de probabilitate f data de variabila aleatoare ),,,BeMo(~ baX (unde
),,,BeMo( ba reprezinta repartitia beta Moyal cu functia de densitate de forma 11
2
1
2
1,
2
1
2
1,
2
1
1),(2
1)(
+
=
bx
ax
ex ee
ebaB
xf
x
-
23
unde a , 0>b si
-
24
( ) ( ) [ ]{
[ ] [ ]
[ ] [ ]( )
++
+++
+++
+
+
=
= =
++
++
0,, 0
11
2
11111
1
1
1
,
111
1
1
11
1
111
11
21)1(1)1(!!
1)1(1)1()1(
ln
),(lnln)1()ln(1
1
mkj
k
r
rm
j
rkj
rm
R
rm
kjbjakj
jbar
kc
baBbj
unde n
n ac 0,0 = si ,...2,1,)()(1
,
1
0, =+= =
kcalknlkac
k
l
nlklnk
3.6 Statistici de ordine asociate repartitiei beta Moyal generalizata
Momentele statisticilor de ordine joaca un rol important in testarea controlului
calitatii si fiabilitate unde se doreste estimarea gradului de esec al pieselor viitoare
bazandu-se pe timpii esecurilor anterioare.
Vom deriva o expresie explicita pentru densitatea statisticii de ordine i xi:n, fie
fi:n(x) intr-un exantion de dimensiune n din repartitia beta Moyal generalizata
[ ] nixFxFiniB
xfxf
ini
ni ,...,1,)(1)()1,(
)()( 1: =
+=
Inlocuind valorile functiei de densitate si ale functiei de repartitie din sectiunea 3.1
obtinem pentru b > 0, b \ prin inlocuirea valorilor lui G(x) din sectiunea 3.2
inja
j
x
j
bx
i
ax
ex
s
ni
ss
s
sxs
e
jbjaj
e
a
ba
e
ex
baBiniB
sKxf
+
=
+
+
+
+
+=
++
+
+
+
0
1
1
1
2
12
:
1212
12
1212
2
1,
2
1
1)()(!
)1(2
1,
2
1
)(
)(2
1,
2
1
1),()1,(
)12()(
unde K este constanta de trunchiere a carei valoare este
( ) ( )1
1
1 0
22
21
2,
1
2
122
),(
11),,(
=
=
++
+
++
==
a
i w
baiw
ibaw
iaibaw
cbaBi
abaKK
unde ( )[ ]=
+++
++=
w
l
ibalwl
l
ibaw cll
lwlibaw
c1
2,2,)12(!2
)1(2
1[95] si
2
1 baiw
+> .
-
25
3.7 Estimatori si inferenta statistica pentru repartitia beta Moyal
generalizata
Pentru functia de densitate beta Moyal generalizata, parametrii repartitiei beta
Moyal generalizata sunt estimati folosind metoda verosimilitatii maxime.
Daca X are repartitia beta Moyal generalizata cu vectorul de parametrii Tba ),,,( = , functia logaritm de verosimilitate pentru modelul de parametrii pentru o
singura observatie x a lui X este
( )[ ]
+
+
+
+
+++=
++
+
+
1212
12
2
1,
2
1
ln)1(
2
1,
2
1
1ln)1(
2
1lnln2)].(ln[)12ln(ln)(
12
ss
s
xx
xs
e
b
e
a
ex
xsbaBsKl
unde
( ) ( )1
1
1 0
22
21
2,
1
2
122
),(
11),,(
=
=
++
+
++
==
a
i w
baiw
ibaw
iaibaw
cbaBi
abaKK
( )[ ]=
+++
++=
w
l
ibalwl
l
ibaw cll
lwlibaw
c1
2,2,)12(!2
)1(2
1[95] si
2
1 baiw
+> .
Componentele vectorului scor
T
ll
b
l
a
lU
=
,,, sunt
[ ]
+
++++=
++
1212
2
1,
2
1
1ln2
1,
2
1
1ln)()()()(),( 0000
ssxx
e
dx
e
baabaabaBa
[ ]
+
++++=
++
1212
2
1,
2
1
ln2
1,
2
1
ln)()()()(),( 0000
ssxx
e
dx
e
babbabbaBb
1222
2
12
2
122+
+
++
=
s
xss
exsxs
x
sl
-
26
++
+
++
+
++
+=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
12
1212
12
1212
12
2
1,
2
12
)12)(1(
2
1,
2
12
)12)(1(121212
2
1
12
2
1
12
1212
s
sx
s
s
sx
s
s
x
ex
s
x
ex
s
xss
e
ex
sb
e
ex
sae
xsxssl
Functia logaritm de verosimilitate totala este
,,...,1,)()(1
)( nillln
i
i
nn === =
unde l(i)() este functia logaritm de verosimilitate
pentru a i-a observatie.
Functia scor totala este
=
=n
i
i
n UU1
)( ,
unde U(i)
are forma descrisa anterior, pentru orice i = 1, , n.
Estimatorul de verosimilitate maxima ^
al lui este reprezentat de solutia sistemului de ecuatii neliniare Un = 0.
Informatia Fisher este folosita pentru a ilustra complexitatea modelului prezentat in
acest capitol.
Pentru ( ) ,,,ba= informatia Fisher se transforma intr-o matrice 44
dimensionala. Elementul i, j al matricii, unde 4,1=i si 4,1=j este dat de:
( ) ( ) ( ) ( )
=
=
XfEIXfXfCovI
ji
ji
ji
jilnln),(ln
2
,,.
Astfel forma informatiei Fisher este
=
2
2222
2
2
222
22
2
22
222
2
2
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)(
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
ll
b
l
a
l
ll
b
l
a
l
b
l
b
l
b
l
ab
l
a
l
a
l
ba
l
a
l
EI .
-
27
Capitolul 4
Repartitia Moyal trunchiata la dreapta
Repartitia Moyal va constitui pragul de pornire in a defini noua repartitie Moyal
generalizata, prin definirea variabilei aleatoare X pe intervalul (0, ).
Noua repartitie se considera astfel trunchiata la dreapta.
Clasa de repartitii astfel obtinute se dovedeste a fi superioara repartitiei de baza
Moyal si totodata proprietatile statistice aferente repartitiei de baza se regasesc si la
repartitia generalizata.
In acest capitol vom prezenta forma functiilor de densitate si de repartitie pentru
repartitia Moyal trunchiata la dreapta. Vom determina forma momentelor de ordin n si a
functiei generatoare de momente.
Cateva teoreme de caracterizare entropica vor fi prezentate si vom determina forma
entropiei Shannon si Rnyi.
Spre finalul capitolului vom prezenta forma statisticilor de ordine asociate acestei
repartitii si vom determina un estimator pentru repartitia Moyal trunchiata la dreapta
folosind metoda verosimilitatii maxime.
Pentru a studia complexitatea modelului propus vom prezenta forma informatiei
Fisher.
4.1 Cadru general
Pornind de la functia de densitate a lui Moyal se defineste urmatoarea functie de
densitate Moyal trunchiata la dreapta:
+
+=
x
ex
x
eeKxf2
1
)(
unde ,0>x ,0> ,0>
-
28
4.2 Functia de repartitie
Forma generala a functiei de repartitie este
=x
dttfxF )()(
Astfel avem
+
+=
x et
t
dteeKxF
t
2
1
)(
unde K a fost determinat in sectiunea precedenta si are forma
1
1
2
1
2,
2
12),,(
=
+
+
==
k
k e
kKK .
Pentru ue
t
=
2
si folosind dezvoltarea conform binomului lui Newton
generalizat avem
+
=
+
=
2
12
1
1
2
1
2)(
x
e
u
k
k dueuk
KxF .
Folosind forma constantei de trunchiere K, de mai sus si forma functiei gamma
incompleta superior avem
+
+
=
2,
2
1
2,
2
1
)(
e
e
xF
x
unde ,0>x ,0> ,0>
-
29
= =
+
+
=
n
j
j
l
l
jnljjj
n
e
e
l
j
j
n
1 1
2,
2
1
2,
2
1
)2(ln)1(
Teorema 4.3.2 Functia generatoare de momente are urmatoarea forma
+
+
=
2,
2
1
2,
2
1
2)(
e
et
etM
l
t
4.4 Entropie Shannon
Lema 4.4.1 Fie X o variabila aleatoare avand repartitia Moyal trunchiata la dreapta atunci
1ln AeE
X
=
+
2AX
E =
3AeE
X
=
,
unde
( )
= =
+
+
++
=
1 1
1
1
2,
2
1
2,
2
1
12)1(
n
n
i
innn
e
en
i
n
nA
,
+
++
+
=
2,
2
1
2,
2
1
2,
2
1)2(ln 1
2
e
ee
A si
-
30
+
+
=
2,
2
1
2,
2
3
3
e
e
A .
Teorema 4.4.1 Forma generala a entropiei Shannon asociata functiei de densitate Moyal trunchiata
la dreapta este
+
+
+
++
+
++
+
+
=
=
=
+
2,
2
1
2,
2
3
2,
2
1
2,
2
1)2(ln
2
1
2,
2,
2
1
2,
2,
2
1)2(ln2)1(2
1
ln))((
11
1 1
212
1
2
12
e
e
eee
ee
srKKxfH
r s
sssr
unde
1
1
2
1
2,
2
12),,(
=
+
+
==
k
k e
kKK .
Teorema 4.4.2
Densitatea de probabilitate f data de variabila aleatoare ),,,MoTr(~ X
(unde ),,,MoTr( reprezinta repartitia Moyal trunchiata la dreapta avand functia de
densitate de forma:
+
+=
x
ex
x
eeKxf2
1
)( ) este unica solutie a problemei
=
=
=
+=
321 ,,ln)(maxarg)( AeEAX
EAeEgHxf
X
gg
X
g
unde Eg este media in raport cu g, iar
+=
X
f eEA ln1 ,
=
XEA f2 si
=
X
f eEA3
-
31
4.5 Entropia Rnyi
Entropia Rnyi [105] este definita prin
[ ])(ln1
1)(
IjR
=
unde
=0
)()( dxxfI , 1,0 > ,
Teorema 4.5.1 Forma entropiei Rnyi, asociata functiei de densitate Moyal trunchiata la dreapta este
+
+
=
=
+
1
22
2,
22lnln
1
1)(
k
k
R
e
kKj
unde K este constanta de trunchiere definita in sectiunea 4.1.
4.6 Statistici de ordine asociate repartitiei Moyal trunchiata
dreapta
Vom prezenta forma functiei de densitate a statisticii de ordine Xi:n de ordin i.
Se va obtine o expresie explicita a densitatii statisticii de ordine i Xi:n [4], fie
fi:n(x), pentru un set n de date aleator din repartitia prezentata in sectiunea 4.1
{ } nixFxFiniB
xfxf
ini
ni ,...,1,)(1)()1,(
)()( 1: =
+=
S-a vazut in sectiunea 4.1 ca F(x) si f(x) au aceste forme
+
+=
x
ex
x
eeKxf2
1
)(
+
+
=
2,
2
1
2,
2
1
)(
e
e
xF
x
unde
1
1
2
1
2,
2
12),,(
=
+
+
==
k
k e
kKK .
Astfel forma lui fi:n este
-
32
+
+
+
+
+
+
=
+
inx
ix
ex
x
ni
e
e
e
e
iniB
eeK
xf
x
2,
2
1
2,
2
1
1
2,
2
1
2,
2
1
)1,()(
1
2
1
:
inx
nix
ex
x
ni
eeee
iniB
eeK
xf
x
+
+
+
+
++
+
=
2,
2
1
2,
2
1
2,
2
1
2,
2
1
)1,()(
112
1
:
4.7 Estimatori si inferenta statistica pentru repartitia Moyal
trunchiata la dreapta
Fie nXXX ,...,, 21 variabile aleatoare ce au densitatea comuna
),...,,()..,,( 2121 nn xxxfxxxf = .
Pentru nn xXxXxX === ,...,, 2211 functia de verosimilitate a lui este
),...,,()( 21 nxxxfL = .
Estimatorul de verosimilitate maxima al lui este acea valoare a lui ce
maximizeaza L().
Pentru repartitia Moyal trunchiata la dreapta presupunem ca > 0 si Pentru selectia Tnxxxx ),...,,( 21= avem
=
==n
i
i
nn lll1
)( )()(
unde l(i)
() reprezinta logaritmul de verosimilitate al observatiei i.
=
+
+=
n
i
ex
x
n
ix
ii
eeKxxf1
2
1
1 )|,...,(
=
=
=
+
++=
n
i
xn
i
i
xn
i
n
ii
exn
eKnl111 2
1
2
1
2lnln)(
unde
1
1
2
1
2,
2
12),,(
=
+
+
==
k
k e
kKK si ( ), reprezinta functia
gamma inferior incompleta.
-
33
=
=
=
+
+
+
+
+
+
=
1
11
1
2
1
22
2
1
2
2,
2
12
i
xn
ix
x
k
k
e
ni
i
i
en
e
e
e
k
enel
( )
=
==
=
+
+
+
+
+
+
=
1
12
12
1
1
2
1
2
1
22
2
1)(
2
1)(
2,
2
12
i
x
i
n
i
i
n
ix
x
k
k
e
ni
i
i
exx
e
xe
e
k
een
l
=
=
+
=
+
+
+
+
+
=
n
ix
k
k
k
k
n
i
ee
k
ek
kn
l
1
1
2
1
1
12
1
1
2,
2
12
2,
2
12)(
Din cele 4 ecuatii de mai sus prin egalarea cu 0 va rezulta forma estimatorului
=
^^^^
,, .
In forma analitica acest sistem este insa greu de rezolvat. Se va apela la metoda
numerica Newton-Raphson [129] si se vor obtine rezultatele din sectiunea 6.
Pentru ( ) ,,= informatia Fisher se transforma intr-o matrice 33 dimensionala.
Elementul i, j al matricii, unde 3,1=i si 3,1=j este
( ) ( ) ( ) ( )
=
=
XfEIXfXfCovI
ji
ji
ji
jilnln),(ln
2
,,
Astfel forma informatiei Fisher este
=
2
222
2
2
22
22
2
2
)()()(
)()()(
)()()(
)(
nnn
nnn
nnn
lll
lll
lll
EI .
-
34
Capitolul 5
Momente ale statisticilor de ordine pentru
repartitia Moyal si Moyal generalizata
Statisticile de ordine apar in multe aplicatii din viata reala. Momentele statisticilor
de ordine au starnit mult interes de-alungul ultimilor ani si au fost calculate pentru diverse
repartitii.
Statisticile de ordine si momentele statisticilor de ordine sunt folosite cu succes in
fiabilitatea sistemelor, controlul calitatii, rezistenta materialelor sau predictii privind
diverse catastrofe.
Astfel pornind de la rezultatele obtinute de catre Ahmad [3], Balakrishnan [13, 15],
Bekci [18] si Gokham [49] am determinat momentele statisticilor de ordine trunchiate
pentru repartitiile Moyal si Moyal generalizata.
Vom determina forma generala pentru functia de densitate trrunchiata la dreapta, la
stanga si dublu trunchiate a statisticii de ordine asociate repartitie cunoscute si vom calcula
momentelor statisticilor de ordine din repartitia Moyal si Moyal generalizata trunchiate cu
ajutorul valorii medie conditionate.
5.1 Cadru general
Fie X1, X2, , Xn variabile aleatoare independente.
Functia de probabilitate de densitate a lui Xr:n ( nr 1 ) [6] este
[ ]
-
35
Functia de densitate compusa a lui Xr:n si Xs:n ( nsr
-
36
unde __
,1 yxnsr
-
37
Teorema 5.2.1
Momentul statisticii de ordine trunchiate la stanga asociate repartitiei Moyal in
termeni de valoare medie conditionata este
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
2,
2
22
2,
2
2
2)2(ln2
,2
22
2
1
2,
2
1
2,
2
11)1()(
2
1
__
_
__
1
22
2
2
22
2
01
1,
1
1
1
::
x
rnw
x
krnwx
krnw
wkrn
krnw
nkr
x
rs
k
nkr
x
krs
nrns
ekrnwekrnw
ekrnw
c
ee
k
rs
sn
rnrs
unde ( )[ ]=
+
+=
w
l
krnlwl
l
krnw cll
lwlkrnw
c1
1,1,)12(!2
)1(1
1[100] si
2
nkrw
+> .
Teorema 5.2.2
Momentul statisticii de ordine trunchiate la dreapta asociate repartitiei Moyal in
termeni de valoare medie conditionata este
21
2
1 2
_
21
_
,,
1
1
1
1
1
2
21
1
::
2
1
2,
2
1)1(
11
2,
2
11
1
1)(
kkr
krs
r
k
rs
k
y
kks
s
y
nsnr
I
e
k
rs
k
re
r
srs
=
=
=
++
++
++
++
++
++
=
++
++
=
++
++
2,
2
2
2,
2
22
2,
2
2
2,
2
22)2(ln
2,
2
2
2,
2
22
2
1
_
21
_
21
_
21
212121
211
1
211
2
2
2
21
1
212
2
2
0
21
1
212
2
11,,,
ykkrw
ykkrw
w
ykkrw
kkrkkrwkkr
ekkrwekkrw
ekkrwekkrw
ekkrwekkrwcI
-
38
unde ( )[ ]=
+++
++=
w
l
kkrlwl
l
kkrw cll
lwlkkrw
c1
1,211, 2121 )12(!2
)1(1
1[100] si
2
21 rkkw
> .
Teorema 5.2.3
Momentul statisticii de ordine dublu trunchiate asociata repartitiei Moyal in
termeni de valoare medie conditionata este dat de
21
21
2_1_
1 2
__
,,,,
2
1
1
1
1
1 21
1
:,::
)1(2
,2
1
2,
2
1
11
2,
2
1
2,
2
1
1
1)(
kksru
kkrs
kus
y
k
x
ru
k
us
k
rs
yx
nsnrnu
Iee
k
us
k
ruee
us
rsru
=
=
=
unde
++
++
++
++
++
++
=
++
++
=
++
++
2,
2
2
2,
2
22
2,
2
2
2,
2
22)2(ln
2,
2
2
2,
2
22
2
1
_
_
21
_
_
21
_
_
21
212121
211
21
12
2
221
212
2
221
0
212
2
11,,,,,
y
xkkruw
y
xkkruw
y
w
xkkruw
kkrukkruwkksru
ekkruw
ekkruwekkruw
ekkruwekkruw
ekkruwcI
unde ( )[ ]=
+++
++=
w
l
kkrulwl
l
kkruw cll
lwlkkruw
c1
1,211, 2121 )12(!2
)1(1
1[100] si
2
21 kukrw+
> .
-
39
5.3 Calcularea momentelor statisticilor de ordine din repartitia
Moyal generalizata trunchiata cu ajutorul valorii medie conditionate
Fie nrnsnrns
xXXE::
_
:: =
=
=
=_
_
::
___
::)(
x
xXXnrns
ydyfynrns
,
unde nsr
-
40
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
++
++++
+
++
+
= =
+
+
=
2,
2
52
2,
2
52)2(ln
2
72212
21
)1(2
2
1,
2
11))(1(
2
12_
12
12_
12
2
1
12
212
2
2112
12
22
2,
1
1
1 1
12
2
1::
s
s
s
y
gs
sh
gs
shs
sh
mshhs
s
shms
tsl
ts
rs
t
m
h
s
sh
g
y
nsnr
etsl
etsltsl
gs
sh
h
m
m
sce
t
rsrss
K
unde__
;1 yxnsr
-
41
Capitolul 6
Aplicatii
Alegerea unei repartii se face deseori tinand cont de cat de bine setul de date apare
a fi aproximat de acea repartitie.
In studiile de fiabilitate alegerea unei repartitii de obicei se face tinand cont de ce
se intelege din mecanismul de avarie. Spre exemplu este logic sa luam in considerare o
repartitie cu rata de avarie crescatoare pentru a reprezenta durata de viata a unui sistem
privind procesul de uzura in timp, de imbatranire. Astfel este de dorit a se folosi descrierea
fizica a avariei in alegerea corecta a repartitiei ce simuleaza cel mai bine rata de avarie.
Vom compara repartitiile noi prezentate in capitolele precedente cu repartitia de
baza Moyal din perspectiva aplicabilitatii lor pe un model de date real. Setul de date
cuprinde timpii de reparare (in ore) pentru un transmitator de comunicatie aerian.
Pentru a determina optimalitatea modelelor statistice se pot folosi criteriul
informational Akaike (AIC), criteriul informational Akaike consistent (CAIC) sau criteriul
informational bayesian (BIC). Optimalitatea modelului se va determina folosind criteriul
AIC pe baza unor considerente pur informatice privind limbajul R
Initial setul de date a fost analizat de Von Alven [125] folosind o repartitie log-
normala de 2 parametrii. Aceste date au fost reanalizate de Chhikara si Folks [21] folosind
o repartitie gaussiana inversa de 2 parametrii si de Koutrouvelis et al. [71] folosind o
repartitie gaussiana inversa de 3 parametrii.
6.1 Cadru general
Repartitia Moyal trunchiata la dreapta a fost particularizata luand valori pentru
parametrii , , , si K.
Se va observa din datele simulate ca repartitia Moyal trunchiata la dreapta este
simetrica si asimetrica. De asemenea pentru repartitia curenta am luat valoarea lui K = 1
pentru simplitatea calculelor.
Dupa cum am vazut in capitolul 2, functia de densitate Moyal are forma
+
=
x
ex
exf2
1
2
1)( , unde
-
42
unde ,
-
43
Astfel se poate observa ca cel mai bun model este modelul asociat repartitiei beta
Moyal generalizata deoarece are cea mai mica valoare pentru indicatorul AIC. Aceste
rezultate indica faptul ca modelul beta Moyal generalizata (cu cea mai mica valoare a lui
AIC dintre toate valorile modelelor prezentate) poate fi ales drept cel mai bun model
pentru setul de date initial.
Pentru a putea spune daca modelul este potrivit prezentam mai jos histograma cu
datele si simularile pentru functiile de densitate Moyal, Moyal trunchiat la dreapta, beta
Moyal si beta Moyal generalizata. Concluzia este ca noile repartitii ofera o aproximare
buna pentru aceste date. Noile repartii se dovedesc a fi modele competitive pentru analiza
datelor pe durata de viata. Simularea indica faptul ca repartitia beta Moyal generalizata
confera o alegere mai buna a setului de date.
6.3 Simulare grafica repartitii Moyal, Moyal trunchiata la dreapta
si beta Moyal generalizata
Pentru functiile de densitate Moyal, Moyal trunchiata la dreapta si beta Moyal
generalizata vom arata caracterul simetric (asimetric) al acestora prin afisarea lor grafica in
functie de diverse valori pentru parametrii acestor functii.
Comparand graficele celor doua functii de densitate (Moyal vs Moyal trunchiata la
dreapta) se observa o mai mare flexibilitate in modelarea datelor pentru repartitia Moyal
generalizata (vezi graficele (f) si (g)).
Pentru repartitia beta Moyal generalizata s-a luat in calcul o secventa de numere
din intervalul (0, 15) sau (-5, 10) (pentru cazul C si D) pentru axa x-lor si valorile functiei
de densitate au fost calculate si afisate in intervalul (0, 2).
S-a particularizat repartitia beta Moyal generalizata luand valori pentru parametrul
s (s-au luat doua valori pentru parametrul s: s=0 si s=1). Pentru aceste valori s-a simulat
functia de densitate.
Graficele arata o flexibilitate marita a noii repartitii pentru diferite valori ale
parametrilor a si b, incluzand cazuri special ale repartitiei beta Moyal.
Functia de densitate permite astfel o flexibilitate marita si totodata poate fi folosita
intr-o mare diversitate de aplicatii practice (repartitia BeMoGen poate fi simetrica si
asimetrica).
Graficele functiei de densitate asociate repartitiei beta Moyal generalizata pentru
diverse valori ale parametrilor indica flexibilitate ridicata pentru noua repartitie si caracter
simetric si asimetric al acestei functii de densitate (vezi graficul de mai sus).
-
44
Bibliografie
[1] Adamidis K., Loukas S., A Life Time Distribution with Decreasing Failure Rate,
Statist. Probab. Lett. 39, 1998, p. 35-42.
[2] Afify, El Desoky E., Order Statistics from Pareto Distributions, Journal of Applied Science 6, 2006, p. 2151-2157.
[3] Ahmad, Abd el-baset A., Moments of Order Statistics from Doubly Truncated Continuous Distributions and Characterizations, Statistics: A Journal of
Theoretical and Applied Statistics 35, 2001, p. 479-494.
[4] Akinsete A., Famoye F., Lee C., The Beta-Pareto Distribution, Statistics, 42, 2008, p. 547-563.
[5] Ammar M. Sarhan, Lotfe Tadj, David C. Hamilton, A New Lifetime Distribution and Its Power Transformation. Journal of Probability and Statistics, Vol. 2014, ID
532024, 14 pages, 2014.
[6] Arnold B.C., Balakrishnan N., Nagaraja H.N., A First Course in Order Statistics, John Wiley & Sons, New York, NY, USA, 1992.
[7] Arslan O., An Alternative Multivariate Skew Slash Distribution, Statistics and Probability Letters, 78, 2008, p. 27562761.
[8] Arslan O., Gen A. I., A Generalization of the Multivariate Slash Distribution, Journal of Statistical Planning and Inference, 139, 2009, p. 11641170.
[9] Aryal G., Tsokos C. P., Airline Spill Analysis Using Gumbel and Moyal Distributions, Neural, Parallel and Scientific Computations, 16, 2008, p. 3543.
[10] Asgharzadeh A., Hassan S., Bakouch, L. Esmaeili, Pareto Poisson-Lindley Distribution with Applications, Journal of Applied Statistics, Volume 40, Issue 8,
2013.
[11] Azzalini A., A Class of Distributions which Includes the Normal Ones, Scandinavian Journal of Statistics, 12, 1985, p. 171-178.
[12] Balakrishnan N., Cohen A.C., Order Statistics and Interference: Estimation Methods, Academic, Boston, 1991.
[13] Balakrishnan N., Joshi P. C., Moments of Order Statistics from Doubly Truncated Pareto Distribution, Journal of the Indian Statistical Association 20, 1982, 109-
117.
[14] Balakrishman N., Leiva V., Sanhueza A., Cabrera E., Mixture Inverse Gaussian Distribution and Its Transformations, Moments and Applications, Statistics, 43,
2009, p. 91-104.
[15] Balakrishnan N., Malik H.J., Ahmed S. E., Recurrence Relations and Identities for Moments of Order Statistics, II: Specific continuous Distributions,
Commun.Statist.-Theor. Meth., 17, 1988, P. 2657-2694.
[16] Barreto-Souza W., A. L. de Morais, G. M. Cordeiro, The Weibull-Geometric Distribution. J. Statist. Comput. Simul. 81, 2011, p. 645-657.
[17] Barreto-Souza W., Santos A. H. S., Cordeiro G. M., The Beta Generalized Exponential Distribution, Journal of Statistical Computation and Simulation, 80,
2010, p. 159-172.
[18] Bekci M., Recurrence Relations for the Moment of Order Statistics from the Uniform Distributions, Scientific Research and Essay 4, 2009, p. 1302-1305.
-
45
[19] Casella G., Berger R. L., Statistical Inference, 2nd ed., Thomson, 2002. [20] Chahkandi M., Ganjali M., On some lifetime distributions with decreasing failure
rate, Computational Statistics & Data Analysis, 53, 2009, p. 4433-4440.
[21] Chhikara R. S., Folks J. L., The Inverse Gaussian Distribution as a Lifetime Model, Technometrics 19, 1977, p. 461-468.
[22] Childs A., Balakrishnan N., Generalized recurrence relations for moment of order statistics from non-identical Pareto and truncated Pareto random variables with
applications to robustness, Handbook of Statistics, 16, North-Holland Amsterdam,
1998, p. 403-438.
[23] Choulakian. V., Stephens M.A., Goodness-of-fit for the Generalized Pareto Distribution, Technometrics, 43, 2001, p. 478 - 484.
[24] Cordeiro G. M, Gomes A. E., da-Silva C. Q., Ortega E. M. M., The Beta Exponentiated Weibull Distribution, Journal of Statistical Computation and
Simulation, 83, 2013, p. 114138.
[25] Cordeiro G. M., Nobre J. S., Pescim R. R., Ortega E. M. M., The Beta Moyal: A Useful-Skew Distribution, IJRRAS, 10(2), 2012, p. 171-192.
[26] Cover T., Thomas J., Elements of Information Theory, 2nd Edition. New York: Wiley-Interscience, 2006.
[27] Craiu V., Repartitii. Selectie. Estimarea punctuala (pentru uzul studentilor). Editura Universitatii din Bucuresti, 1997.
[28] DAgostino R. B., Stephens M. A., Goodness of Fit Techniques, Marcel Dekker, 1986.
[29] David H. A., Order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York, 1981. [30] Diab L.S., Hiba Z. Muhammed, Quasi Lindley geometric distribution,
International Journal of Computer Applications, Vol. 95, Nr. 13, 2014.
[31] Denisov S. P., Dzierba A., Klimenko A. K., Mitchell R., Samoylenko V. D., Scott E., Smith P., Teige S., Studies of Timing and Amplitude Properties for 2 m Long
Scintillation Counter with Feu - 115 M PMTS, State Research Center of Russia,
Institute for High Energy Physics, 2005.
[32] Domma F., Condino F., Beta Dagum Distribution: Definition and Properties, Communications in Statistics Theory and Methods, 42, 2013, p. 4070-4090.
[33] Dumitrescu M., Florea D., Tudor C., Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matematica, Tipografia Universitatii Bucuresti, 1983.
[34] Dumitrescu M., Popovici G., Entropy Invariance for Autoregressive Processes Constructed by Linear Filtering, International Journal of Computer Mathematics,
Volume 88, Issue 4, 2011, p 864-880.
[35] Dumitrescu M., Statistica proceselor stocastice si aplicatii (Note de curs), Facultatea de Matematica si Informatica, Universitatea din Bucuresti.
[36] Dumitrescu M., Stochastic Measurement Procedures Based on Stationary Time Series, Economic Quality Control, Vol 23, no. 2, 2008, p. 155-169.
[37] Dumitrescu M., Batatorescu A., Applied Statistics Using the R-System, Editura Universitatii din Bucuresti, 2006.
[38] Eugene N., Lee C., Famoye F., Beta-normal Distribution and Its Applications, Communication in Statistics Theory and Methods, 31, 2002, p. 497-512.
-
46
[39] Evans M., Hastings N., Peacock, B., Statistical Distributions. 4rd ed. Hoboken: Wiley, 2000.
[40] Famoye F., Lee C., Olumolade O, The beta-Weibull Distribution, Journal of Statistical Theory and Applications, 4, 2007, p. 121-136.
[41] Faton Merovci, Vikas Kumar Sharma, The Beta-Lindley Distribution: Properties and Applications, Journal of Applied Mathematics, Hindawi Publishing
Corporation, 10, 2014.
[42] Feller W., An Introduction to Probability Theory and Its Application, Vol II, John Willy & Sons Inc., 1966.
[43] Franco, M., Ruiz, J.M., Characterization Based on Conditional Expectation of Adjacent Order Statistics: A Unified Approach, Proceedings of the American
Mathematical Society, 123(3), 1999, p. 861-874.
[44] Gayan Warahena-Liyatange, Mavis Pararai, A Generalized Power Lindley Distribution with Applications, Asian Journal of Mathematics and Applications,
ISSN 2307-7743, 23, 2014.
[45] Gen A. A., Korkmaz M. ., Ku C., The Beta Moyal-Slash Distribution, Journal of Seluk University Natural and Applied Science, Online ISSN: 2147-3781, 3(4),
2014, p. 88-104.
[46] Ghitany M.E., Atieh B., Nadarajah S., Lindley Distribution and Its Application. Mathematics and Computers in Simulation, Elsevier, 78, 2008, p. 493-506.
[47] Ghitany M.E., Al-Mutairi D.K., Balakrishnan N., Al-Enezi L. J., Power Lindley Distribution and Associated Inference, Computational Statistics and Data Analysis,
64, 2013, p. 20-33.
[48] Ghitany M.E., Alqallaf F., Al-Mutairi D.K., Husain H.A., A Two Parameter Weighted Lindley Distribution and Its Applications to Survival Data, Mathematics
and Computers in Simulation, 81(6), 2011, p. 1190-1201.
[49] Gokhan G., Computing the Moments of Order Statistics from Truncated Pareto Distributions Based on the Conditional Expectation. Pak.j.stat.oper.res, Vol. X,
No.1, 2014, p. 9-15.
[50] Gmez H., W., Venegas O., Bolfarine H., Skew-symmetric distributions generated by the distribution function of the normal distribution, Environmetrics,
18, 2007, p. 395407.
[51] Gui W., A Generaliziation of the Slash Half Normal Distribution: Properties and Inferences, Journal of Statistical Theory and Practice, 8, 2014, p. 283-296.
[52] Gupta R. C., Ahsanullah M., Some Characterization Results Based on the Conditional Expectation of a Function of Non-adjacent Order Statistic (record
value), Ann. Inst. Statist. Math., 56(4), 2004, p. 721-732.
[53] Gupto, R.D. and Kunder, D., Generalized Exponetial Distributions, Australian and New Zealand Journal of Statistics, 41(2), 1999, p. 173-188.
[54] Hall, A. R., Generalized Method of Moments, Oxford University Press, 2005. [55] Hamedani G. H., Characterizations of Exponential Distributions, Pak. j. stat.
oper. res., 4(1), 2013, p. 17-24.
[56] Hassein Z., Noriszura I., Negative Binomial Lindley Distribution and Its Application, Journal of Mathematics and Statistics, 6 (1), 4-9, ISSN 1549-3644,
2010.
-
47
[57] Hojjatollah Z., Eisa M., A New Two-parameter Lifetime Distribution: Model and Properties, Computational Statistics and Data Analysis, 2012.
[58] Hosking J. R. M., L-moments: Analysis and Estimation of Distributions using Linear Combinations of Order Statistics, Journal of the Royal Statistical Society,
Series B, 52, 1990, p. 105-124.
[59] Hossein Z., Noriszura I., Negative Binomial Lindley distribution and its application, Journal of Mathematics and Statistics, Science Publications, 6(1),
ISSN 1549-3644, 2010, p. 4-9.
[60] Iosifescu M., Mihoc GH., Theodorescu R., Teoria probabilitatilor si statistica matematica, Editura Technica, 1966.
[61] Jaynes E. T., Information Theory and Statistical Mechanics, Physical Review, vol. 106, no. 4, 1957, p. 620-630.
[62] Jerald F. L., Statistical Models and Methods for Lifetime Data, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, Second Edition, 2003.
[63] Johnson, N. L., Kotz S., Distributions in Statistics: Continuous Multivariate Distributions, Wiley, 1972.
[64] Johnson N. L., Kotz S., Balakrishnan N., Continuous Univariate Distributions, 2nd ed. (2 vols.), Wiley, 1994.
[65] Jones M. C., Families of Distributions Arising from Distribution of Order Statistics, Test, 13, 2004, p. 1-43.
[66] Joshi P. C., Balakrishnan N., Recurrence Relations and Identities for the Product Moment of Order Statistics, Sankhya B 44, 1982, p. 39-49.
[67] Kafadar K., A Biweight Approach to the One-Sample Problem, Journal of the American Statistical Association, 77, 1982, p. 416424.
[68] Kelleher J.J., Tactical Communications Network Modeling and Reliability Analysis: Overview. JSLAI Report JC-2091-GT-F3 under contract DAAL02-89-C-
0040, 1991 (AD-A245339).
[69] Khan M. I., Faizan M., Some Characterizations Results Based on Conditional Expectation of Function of Dual Generalized Order Statistics, Pak.j.stat.oper.res.,
8(4), 2013, p. 789-799.
[70] Kotz S., Johnson N. L., Encyclopedia of Statistical Sciences, Volumes 19 and supplement, Wiley, 19821989.
[71] Koutrouvelis A., Canavos G. C., Meintanis S. G., Estimation in the Three-Parameter Inverse Gaussian Distribution, Comput. Statist. Data Anal. 49, 2005, p.
1132-1147.
[72] Kundu D., Kannan N., Balakrishnan N., On the Hazard Function of Birnbaum-Saunders Distribution and Associated Inference, Computation Statistics and Data
Analysis, 52, 2008, p. 2692-2702.
[73] Lam Y., Geometric Process and Its Applications, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2007.
[74] Lee C., Famoye F., Olumolade O., Beta-Weibull Distribution: Some Properties and Applications to Censored Data, Journal of Modern Applied Statistical
Methods, 6, 2007, p. 173-186.
[75] Leiva V., Barros M., Paula G. A, Generalized Birnbaum-Saunders Models Using R, XI Escola de Modelos de Regressao, Recife, Brazil, 2009.
-
48
[76] Lu W., D. Shi, A New Compounding Life Distribution: The Weibull-Poisson Distribution, J. Appl. Statist., 39, 2012, p. 21-38.
[77] Lye J., Martin V. L., Robust Estimation, Nonnormalities and Generalized Exponential Distributions, Journal of the American Statistical Association, 88, No.
421, 1993, p. 261267.
[78] Maindonald J., Braun J., Data Analysis and Graphics Using R, Cambridge University Press, Cambrigde, 2nd edition, 2007.
[79] Malik H.J., Balakrishnan N., Ahmed S.E., Recurrence Relations and Identities for Moments of Order Statistics, I: Arbitrary Continuous Distributions,
Commum.Statist.-Theor. Meth.,17, 26232655, 1988.
[80] Marriot F. H. C., A Dictionary of Statistical Terms, 5th ed., Wiley, 1990. [81] Mihoc GH., Craiu V., Tratat de statistica matematica vol I. Selectie si Estimatie,
Editura Academiei RSR, 1975.
[82] Mohie El-Din M.M., Mahmoud M.A.W., Abu-Youssef S.E., Sultan K.S., Order Statistics from Doubly Truncated Linear-Exponential Distribution and Its
Characterizations, Commum. Statist. Simul. and Comput., 26(1), 1997, p. 281-
290.
[83] Morgenthaler S., Robust Confidence Intervals for a Location Parameter: the Configural Approach, J. of the American Statistical Association, 81, 1986, p. 518
525.
[84] Moyal J. E., Theory of Ionization Fluctuation, The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 46, 263-280, 1955.
[85] Murthy D. N., P., Xie M., Jiang R., Weibull models, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2004.
[86] Nadarajah S., Explicit Expressions for Moment of Pareto Order Statistics, Quantitative Finance 10, 2010, p. 585-589.
[87] Nadarajah S., Kotz S., The Beta Exponential Distribution, Reliability Engineering and System Safety, 91, 2006, p. 689-697.
[88] Nadarajah S., Gupta A.K., The Beta Frchet Distribution, Far East Journal of Theorical Statistics, 15, 2004, p. 15-24.
[89] Nadarajah A., Kotz S., Skewed Distributions Generated by the Normal Kernal, Statistics and Probability Letters, 65, 2003, p. 269277.
[90] Nadarajah S., Kotz S., The Beta Gumbel Distribution, Mathematical Problems in Engineering, 10, 2004, p. 323-332.
[91] Nakagawa T., Shock and Damage Models in Reliability Theory, Springer-Verlag London Limited, 2007.
[92] Olmos N., M., Varela H. H., Gmez W., Bolfarine H., An Extension of the Half-Normal Distribution, Statistical Papers, 53, 2012, p. 875886.
[93] Papoulis A., Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Third Edition. Mc-GrawHill, 1991.
[94] Paraniaba P. F., Ortega E. M. M., Cordeiro G. M., Pescim R. R., The beta Burr XII Distribution with Application to Lifetime Data, Computational Statistics &
Data Analysis, 55, 2011, p. 118-1136.
-
49
[95] Pescim R. R., Demetrio C. G. B., Cordeiro G. M., Ortega E. M. M., Urbano M. R., The Beta Generalized Half-normal Distribution, Computation Statistics and
Data Analysis, 54, 2010, p. 945-957.
[96] Preda V., Probleme de statistica matematica. Estimari. Editura Universitatii, Bucuresti, 1992.
[97] Preda V., The Student Distribution and the Principle of Maximum Entropy, Ann. Ins. Statist. Math., 34, PartA, 1982, p. 335-338.
[98] Preda, V., Ciumara, R., The Weibull-Logarithmic Distribution in Lifetime Analysis and Its Properties, Proceedings of the XIII International Conference on
Applied Stochastic Models and Data Analysis, 2009, p. 56-61.
[99] Preda V., Panaitescu E., Ciumara R., The Modified Exponential-Poisson Distribution, Proceedings of the Romanian Academy, 12, 1, 2011, p. 22-29.
[100] Prudnikov A. P., Brychkov Y. A., Marichev O. I., Integrals and Series, vol. 1, Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 1986.
[101] R Development Core Team, R: A Language and Environment for Statistical Computing, R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, 2013.
[102] Rama S., Shambhu, Ravi S., A Two Parameter Lindley Distribution for Modeling Waiting and Survival Times Data, Applied Mathematics, Scientific
Research, 4, 2013, 363-368.
[103] Rausand M., Hoyland A., System Reliability Theory, John Wiley & Sons, Hoboken NJ, 2004.
[104] Reiss R. D., Approximate Distributions of Order Statistics, Springer, Verlag, New York, Inc., USA, 1989.
[105] Rnyi A., On Measures of Entropy and Information, in: Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, vol. I. University
of California Press, Berkeley, 1961, p. 547-561.
[106] Ryes J., Gomez H. W., Bolfarine H., Modified Slash Distribution, Statistics, 2013, 47:929-941.
[107] Rogers W. H., Tukey J. W., Understanding Some Long-tailed Symmetrical Distributions, Statistica Neerlandica, 26, 1972, p. 211226.
[108] Rusu A. M., Confidence Interval of the Failure Probability Function Using Maximum Entropy Principle, Proceedings of the 16
th European Young Statisticians
Meeting, 2009.
[109] Rusu A. M., A New Moyal Generalized Probability Density Function with Application, International Journal of Risk Theory, Vol. 4, No. 2, 2014, p. 17-42.
[110] Rusu A. M., Maximum Entropy Principle in Estimating the Failure Probability Function and Its Confidence Interval, Proceedings of the 24-th European
Conference on Operational Research, 2010.
[111] Rusu A. M., On Solving Ill Incorrect Linear Problems with Convex Constraints, ICOR, 2010 (Proceedings)
[112] Rusu A. M., On Some Generalization of Univariate Distributions Based on Truncated Moments of Order Statistics, International Journal of Risk Theory, 2015
(spre publicare).
[113] Rusu A. M., On the Beta Moyal Generalization, A 16-a Conferinta a SPSR, 2013.
-
50
[114] Samir K. Ashour, Mahmoud A. Eltehiwy, Exponentiated Power Lindley Distribution, Journal Advanced Research, Cairo University, 2014.
[115] Saralees Nadarajah, Hassan S. Bakouch, Rasool Tahmasbi, A Generalized Lindley Distribution, Indian Statistical Institute, 2012.
[116] Sheraz M., Empirical Performance of Some Garch Models, International Journal of Risk Theory, Vol 3 (no. 1), 2013, p. 11-24.
[117] Silva R. B., Bourguignon M., Dias C. R. B., Cordeiro G. M., The Compound Family of Extended Weibull Power Series Distributions, Computational Statistics
and Data Analysis, 58, 2013, p. 352367.
[118] Skoulakis G., A General Shock Model for a Reliability System. J Appl Probab 37:925-935, 2000.
[119] Stuart A., Ord J. K., Kendalls Advanced Theory of Statistics, Vol. I, Distribution Theory, 6
th ed., Hodder Arnold, 1998.
[120] Toma A., Robust Estimators for the Parameters of Multivariate Lognormal Distribution, Communications in Statistics-Theory and Methods, 32, issue #7,
2003, p. 1405-1417.
[121] Toma A., Bounded Influence Estimators for Multivariate Lognormal Distributions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338, 2004, p. 723-728.
[122] Vaduva I., Contributii la teoria estimatiilor statistice ale densitatii de repartitie si aplicatii. Studii si Cercetari Matematice, Tom.20, Nr.18, 1968.
[123] Vaduva I., Fiabilitatea programelor, Editura Universitatii din Bucuresti, 2003. [124] Vaduva I., Modele de simulare, Editura Universitatii din Bucuresti, 2004. [125] Von Alven W. H., Reliability Engineering by ARINC, Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, NJ, 1964.
[126] Walck C., Hand-book on Statistical Distributions for Experimentalists, University of Stockholm, Particle Physics Group, 2007.
[127] Wang J., Genton M. G., The Multivariate Skew-Slash Distribution, Journal of Statistical Planning and Inference, 136, 2006, p. 209220.
[128] Winston W. L., Operations Research, Brooks/Cole-Thompson Learning, 2004. [129] Wolfram MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/.