universitas gadjah mada fakultas teknik jurusan teknik ... probabilitas.pdf · jurusan teknik sipil...
TRANSCRIPT
StatistikaProbabilitas
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
1
UniversitasGadjahMadaFakultasTeknikJurusanTeknikSipildanLingkunganProdiS2TeknikSipil
Probabilitas• Probabilitas–Peluang–Kemungkinan• Mengapaprobabilitas?• Orang7dakdapatmemas7kannilaisuatuproses(misalerupsigunungberapi)berdasarkandataerupsiselamawaktuyanglalusampaisaatini.
• Sifatstokas7kataupunke7dak-pas7anmerupakansifatyangmelekatpadaproses(yangmelibatkan)alam.
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
2
Probabilitas,PeluangKejadian
NourutJumlahhariterjadinya
kemacetanpasokanairperbulan
Frekuensi
1 10 2
2 9 1
3 8 0
4 7 2
5 6 3
6 5 5
7 4 4
8 3 8
9 2 3
10 1 2
Jumlah 30
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
3
JumlahharisaatterjadikemacetanpasokanairPDAMselama30bulanterakhir.
DapatkahSaudaramemas7kanjumlahhariakanterjadikemacetanpasokanairPDAMpadabulandepan?
Probabilitas,PeluangKejadian,Risiko
DapatkahSaudaramemas7kandebitmaksimumpadatahunke-67?
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
4
Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s)
1 473 23 1110 45 8432 544 24 717 46 4503 872 25 961 47 2844 657 26 925 48 4605 915 27 341 49 8046 535 28 690 50 5507 678 29 734 51 7298 700 30 991 52 7129 669 31 792 53 46810 347 32 626 54 84111 580 33 937 55 61312 470 34 687 56 87113 663 35 801 57 70514 809 36 323 58 77715 800 37 431 59 44216 523 38 770 60 20617 580 39 536 61 85018 672 40 708 62 82919 115 41 894 63 88720 461 42 626 64 60221 524 43 1120 65 40322 943 44 440 66 505
DebitpuncaksuatuSungaiXYZselama66tahun
Probabilitas• Definisi#1• Andaikatasuatuperis7warandomdapatterjadidalamncarayangmasing-masingmemilikikemungkinanyangsama,danapabilasejumlahnacaramemberikanhasilA,makaprobabilitasterjadinyaperis7wadenganhasilAadalahna/n
• Dalamdefinisidiatas,nadalahhimpunansemuayangmungkinterjadi.
• Definisidiatasberasumsibahwandiketahui,padahalhimpunansemuacarayangmungkinpadakenyataannya7dakselaludiketahuiatau7dakterjadiatau7dakdiama7atau7dakdihitung.
prob A( ) = na n
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
5
Probabilitas• Definisi#2• Andaikatasuatuperis7warandomterjadiberkali-kalidalamjumlahyangsangatbesar,nkali,dansejumlahnakalimemilikihasilA,makaprobabilitasperis7wadenganhasilAadalah
• Definisidiatasberbedadengandefinisi#1dalamhal-halberikut:• Probabilitassuatukejadian“diperkirakan”(canbees)mated)berdasarkanobservasisejumlahnkali.
• ndisini7dak/bukanmerupakanhimpunansemuakejadianyangmungkin;dalamhalini,7dakdiperlukanuntukmengetahuiataumelakukanobservasiterhadapsemuakemungkinan
• Se7apcarayangmungkinterjadi(dalamntersebut)7dakharusmemilikikemungkinanyangsamauntukterjadi.
prob A( ) =
n→∞lim na n
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
6
Probabilitas• Definisi2:butuhberapan?• Contoh
• Pada2setpengamatan(sampel)yang7daksalingterkait/tergantung,perkiraanprobabilitaskejadianAdapatditetapkanberdasarkanmasing-masingsampeltersebut.
• Keduanilaiprobabilitas7dakselalusamasatudenganyanglain.• Keduanilaiprobabilitas7dakselalusamadenganperkiraanprobabilitasAyangditetapkandenganpengamatansejumlahtak-berhinggakali.
• Problem:berapajumlahpengamatannyangdiperlukanuntukmendapatkanes7masiprobabilitasAyangdapatditerima?
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
7
Probabilitas• Kisaran(range)probabilitas• Darikeduadefinisi,kisaranprobabilitasadalah0s.d.1.• prob(A)=0“hampir”7dakmungkinterjadi
(nearlyimpossible)• prob(A)=1“hampir”pas7terjadi
(almostcertain)
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
8
Probabilitas• Misalsuatueksperimen(proses)menghasilkansejumlahoutputyangberupavariablerandom• Himpunansemuahasilyangmungkindidapatdisebutsamplespace.
• Se7apelemendidalamsamplespacedisebutsamplepoints(element)
• Se7apelemendidalamsamplespacememilikifaktor/bobot/weight(posi7f)sedemikianhinggajumlahweightseluruhelemenbernilai1.
• Nilaibobotberbandinglurusdengankemungkinaneksperimenakanmemberikanhasilelementersebut.
• Bobot7daklainadalahprobabilitas.
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
9
OrganisasiData• Koleksidatasta7s7kperludisusun(diorganisir)sedemikianhinggadapat“dibaca”denganjelas.
• Salahsatupengorganisasiandatasta7s7kadalahdengan:• tabel• grafik
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
11
OrganisasiData• Tabel• Didalamtabel,se7aprawscore(“datamentah”)sejenisdikelompokkan.
• Pengelompokkantersebutkemudiandirangkumdalamsuatutabelyangringkas.
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
12
Contoh#1• Datahujanhariandisuatustasiunselama30bulanselamaJanuari2003s.d.Juni2005• Harihujanperbulan
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
13
Harihujandalamsebulan1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Jan-03 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9Feb-03 2 1 1 1 1 1 1 1 7Mar-03 3 1 1 1 3Apr-03 4 1 1 1 1 4May-03 5 1 1 2Jun-03 6 1 1 1 1 1 5Jul-03 7 1 1 1 3Aug-03 8 1 1 1 1 1 1 1 7Sep-03 9 1 1 2Oct-03 10 1 1 1 1 1 1 6Nov-03 11 1 1 1 1 1 5Dec-03 12 1 1 1 3Jan-04 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10Feb-04 14 1 1Mar-04 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10Apr-04 16 1 1 1 3May-04 17 1 1 1 3Jun-04 18 1 1 2Jul-04 19 1 1 1 1 1 5Aug-04 20 1 1Sep-04 21 1 1 1 1 4Oct-04 22 1 1 1 1 1 1 6Nov-04 23 1 1 1 1 4Dec-04 24 1 1 1 3Jan-05 25 1 1 1 1 1 5Feb-05 26 1 1 1 1 1 1 6Mar-05 27 1 1 1 3Apr-05 28 1 1 1 1 1 5May-05 29 1 1 1 3Jun-05 30 1 1 1 1 4
JumlahTanggalBulan Bulanke-
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
14
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
15
0
2
4
6
8
10
12Jan-03
Feb-03
Mar-03
Apr-03
May-03
Jun-03
Jul-0
3Au
g-03
Sep-03
Oct-03
Nov-03
Dec-03
Jan-04
Feb-04
Mar-04
Apr-04
May-04
Jun-04
Jul-0
4Au
g-04
Sep-04
Oct-04
Nov-04
Dec-04
Jan-05
Feb-05
Mar-05
Apr-05
May-05
Jun-05
Jumlahha
ri
Jumlahharihujanperbulan
H
HsH −
HsH +
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
16
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20 25 30
Jumlahha
ri
Bulanke-
Jumlahharihujanperbulan
H
HsH −
HsH +
TabelFrekuensi:jumlahharihujanperbulanperiodeJan-03s.d.Jun-05
Jumlahharihujanperbulan Frekuensi
10 2
9 1
8 0
7 2
6 3
5 5
4 4
3 7
2 3
1 2
0 1
Jumlah 30
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
17
TabelFrekuensi:jumlahharihujanperbulanperiodeJan-03s.d.Jun-05
Jumlahharihujanperbulan Frekuensi
10 2
9 1
8 0
7 2
6 3
5 5
4 4
3 7
2 3
1 2
0 1
Jumlah 30
Jumlahharihujanperbulan Frekuensi
0 1
1 2
2 3
3 7
4 4
5 5
6 3
7 2
8 0
9 1
10 2
Jumlah 30
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
18
BarChart
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Frekue
nsi
Jumlahhari
Jumlahharihujanselama30bulan 26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
19
BarChart
0
1
2
3
4
5
6
7
8
109876543210
Frekue
nsi
Jumlahhari
Jumlahharihujanperbulanselama30bulan 26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
20
Histogram
2
1
0
2
3
5
4
7
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
109876543210
Frekue
nsi
Jumlahhari
Jumlahharihujanperbulanselama30bulan 26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
21
Histogram
2
1
0
2
3
5
4
7
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
109876543210
Frekue
nsi
Jumlahhari
Jumlahharihujanperbulanselama30bulan 26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
22
Probabilitas,PeluangKejadian
Jumlahharihujanperbulan Frekuensi Frekuensirela7f
10 2 0.07
9 1 0.03
8 0 0.00
7 2 0.07
6 3 0.10
5 5 0.17
4 4 0.13
3 7 0.23
2 3 0.10
1 2 0.07
0 1 0.03
Jumlah 30 1.00
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
23
untukjumlahsampelyangbesar,makanilaifrekuensirela7fdapatdipakaisebagaies7masinilaiprobabiltas
Probabilitas-Histogram
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
109876543210
Frekue
nsirela6
f
Jumlahhari
Jumlahharihujanperbulanselama30bulan 26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
24
Probabilitas-Histogram
0.07
0.03
0.00
0.07
0.10
0.17
0.13
0.23
0.10
0.07
0.03
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
109876543210
Frekue
nsirela6
f
Jumlahhari
Jumlahharihujanperbulanselama30bulan 26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
25
Contoh#2• Datadebitpuncaksuatusungaiselamakurun66tahun• Debitdikelompokkankedalamklasdenganlebarintervaltertentu
• Frekuensikejadiandebitpadase7apklasdihitung
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
26
gunakanperintahfungsiMSExcel:=FREQUENCY(...)
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
27
Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s)
1 473 23 1110 45 8432 544 24 717 46 4503 872 25 961 47 2844 657 26 925 48 4605 915 27 341 49 8046 535 28 690 50 5507 678 29 734 51 7298 700 30 991 52 7129 669 31 792 53 46810 347 32 626 54 84111 580 33 937 55 61312 470 34 687 56 87113 663 35 801 57 70514 809 36 323 58 77715 800 37 431 59 44216 523 38 770 60 20617 580 39 536 61 85018 672 40 708 62 82919 115 41 894 63 88720 461 42 626 64 60221 524 43 1120 65 40322 943 44 440 66 505
DebitpuncaksuatuSungaiXYZselama66tahun
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60 70
Debit(m
3 /s)
Tahunke-
Debitpuncaktahunansuatusungaiselama66tahun
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
28
TabelFrekuensi
IntervalKlas Klas Frekuensi Frekuensirela6f
Frekrelkumula6f
100 − 200 150 1 0.02 0.02
200 − 300 250 2 0.03 0.05
300 − 400 350 3 0.05 0.09
400 − 500 450 10 0.15 0.24
500 − 600 550 9 0.14 0.38
600 − 700 650 12 0.18 0.56
700 − 800 750 10 0.15 0.71
800 − 900 850 11 0.17 0.88
900 − 1000 950 6 0.09 0.97
1000 − 1100 1050 0 0.00 0.97
1100 − 1200 1150 2 0.03 1.00
Σ 66 1.00
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
29
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
30
0.020.03
0.05
0.150.14
0.18
0.150.17
0.09
0.00
0.03
0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.20
Frekue
nsirela6
f
Debit(m3/s)
Debitpuncaktahunansuatusungaiselama66tahun
intervalklas100m3/s
TabelFrekuensi
IntervalKlas Klas Jumlah Frekuensirela6f
Frekrelkumula6f
0 – 150 75 1 0.02 0.02
150 – 300 225 2 0.03 0.05
300 – 450 375 8 0.12 0.17
450 – 600 525 14 0.21 0.38
600 – 750 675 18 0.27 0.65
750 – 900 825 15 0.23 0.88
900 – 1050 975 6 0.09 0.97
1050 – 1200 1125 2 0.03 1.00
Σ 66 1.00
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
31
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
32
0.020.03
0.12
0.21
0.27
0.23
0.09
0.03
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Frekue
nsirela6
f
Debit(m3/s)
Debitpuncaktahunansuatusungaiselama66tahun
intervalklas150m3/s
KlasvsNilaiParameterStatistika
• Adakahpengaruhpengelompokandataterhadapnilai-nilaiparametersta7s7ka?• Rata-rata• Simpanganbaku
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
33
SampleSpacedanSampleElements
• Contoh#1:• SuatuDASmemiliki3stasiun:Sta-1,Sta-2,Sta-3.• Eksperimen:meneli7se7apstasiunperlu/7dakkalibrasi• Output:(y,n,y)Sta-1perlukalibrasi(y=yes)Sta-2takperlukalibrasi(n=no)Sta-3perlukalibrasi(y=yes)
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
35
SampleSpacedanSampleElements• Samplespace:Alterna7f1
• S1={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y),(y,n,n),(n,y,n),(n,n,y),(n,n,n)}
• S1adalahdiscretesamplespace:jumlahelemendidalamS1dapatdihitung.
• Apabilaeksperimendilakukansatukalisaja,makasalahsatuelemenS1pas7terjadi.
• Samplespace:Alterna7f2• S2={0,1,2,3}• S2adalahdiscretesamplespace.• Hanyaingindiketahuijumlahstasiunyangperludikalibrasi.• Tidakdiperlukanuntukmengetahuistasiunmanayangperludikalibrasi.
• InformasiyangdiperolehlebihsedikitdaripadaS1.
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
36
SampleSpacedanSampleElements
• Contoh#2:• Pengukuranangin:
• kecepatan(km/jam)dan• arah(o).
• Output:(x,y)• x=kecepatan(km/jam)• y=arah(o)
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
37
SampleSpacedanSampleElements• Samplespace:Alterna7f1
• Samplespace:Alterna7f2
• +=kecepatan>60(km/jam)• −=kecepatan<60(km/jam)
Ω1 = x, y( ) : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 360{ }
360
0 x(km/jam)
y(o)
Ω2 = +,−{ }
continuous sample space
discretesamplespace
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
38
Events• Eventadalahsuatuhimpunanbagian(subset)darisamplespace
• Suatueventterjadijikadanhanyajikahasildarieksperimenadalahanggotaeventtersebut
• Contoh:KalibrasiSta-1,Sta-2,Sta-3• EventA:palingsedikit2stasiunperludikalibrasiA={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)}
• EventB:takadastasiunyangperludikalibrasiB={(n,n,n)}
• EventC:2stasiunperludikalibrasiC={(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)}
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
39
DiagramVenn• Notasi:S=samplespaceEi=elemendidalamSA,B=eventsdidalamSprob(Ei)=probabilitaselemenEi
0 ≤ prob Ei( ) ≤1
S = ∪ i Ei
prob S( ) = prob Ei( )∑ =1
A B
S o E1 o E2
o E3 o En
AB A B
S o E1 o E2
o E3 o En
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
40
ProbabilitasSuatuEvent• EventA
• EventAdanB
• ApabilaAdanBtakbergantungsatudenganyanglainnya(independent),maka
A = Eii=m
n
∪0 ≤ prob A( ) = prob Ei( )
i=m
n
∑ ≤1
prob A∪B( ) = prob A( )+prob B( )−prob A∩B( )
prob A∪B( ) = prob A( )+prob B( )
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
41
ProbabilitasSuatuEvent• EventAc(=komplemeneventA)
A∪Ac = S
prob A∪Ac( ) = prob A( ) +prob Ac( ) =1
prob A( ) =1−prob Ac( )
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
42
ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)
• Probabilitassuatuevent(eventB)bergantungpadaterjadinyaeventlain(eventA).
prob(B|A)=prob(B)dengansyarateventAterjadi» samplespaceberubahdariSmenjadiA,
» eventdiwakilioleh
prob B A( ) =prob A∩B( )
prob A( ), prob A( ) ≠ 0
prob A∩B( ) = prob A( )prob B A( )
A∩B
A B
S
AB
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
43
ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)• ApabilaeventBtakbergantungpadaeventA(keduanyamerupakanindependentevents),maka
prob B|A( ) = prob B( )prob A∩B( ) = prob A( ) ⋅prob B( )
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
44
ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)• Contoh• Datapengamatanharihujandisuatuwilayahmenunjukkanprobabilitasharihujansbb.harihujansetelahharihujan=0.444haritakhujansetelahharihujan=0.556haritakhujansetelahharitakhujan=0.724harihujansetelahharitakhujan=0.276
• Apabiladijumpaibahwasuatuhariterjadihujan,berapakahprobabilitasbahwa2hariberikutnyajugahujan?
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
45
ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)• Penyelesaian• Misalharihujan(h)terjadisbb.
harike-0 harike-1 harike-2h h h
• EventA=harike-1hujansetelahharike-0hujanEventB=harike-2hujansetelahharike-0hujan
• Yangdicariadalah3harihujanberturut-turut:
• Diketahuiprob(A)=0.444
eventA
eventB
prob A∩B( ) = prob A( ) ⋅prob B A( )
prob B A( ) = 0.444
prob A∩B( ) = 0.444×0.444 = 0.197
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
46(harihujansetelahharihujan)
ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)• Carapenyelesaianyanglain• Probabilitasharihujansetelahharihujanadalahp=0.444• Suatuhari(harike-0)terjadihujan
p=0.444
harike-0 harike-1 harike-2h h
th
p=0.556
h
th
p=0.444×0.444
p=0.556×0.444
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
47
ProbabilitasTotal(TotalProbability)• ApabilaB1,B2,…,Bnadalahserangkaianeventsyang7daksalingberkaitan(mutuallyexclusiveevents)danmasing-masingmemilikiprobabilitas7daksamadengannol,prob(Bi)≠0,untuksemuai:
B1∪B2∪…∪Bn = S
Bi ∩Bj = 0, ∀i, j i ≠ j( )prob Bi( ) > 0, ∀i
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
48
ProbabilitasTotal(TotalProbability)• ProbabilitassuatueventAdapatdituliskansbb.
prob A( ) = prob A∩B1( )∪ A∩B2( )∪ ...∪ A∩Bn( )#$ %&
= prob A∩B1( )+prob A∩B2( )+ ...+prob A∩Bn( )
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
49
SAB1
B2 B3
Bn
ProbabilitasTotal(TotalProbability)
• Daricondi)onalprobability:
prob A( ) = prob B1( ) ⋅prob A B1( )+ ...+prob Bn( ) ⋅prob A Bn( )prob A( ) = prob Bi( ) ⋅prob A Bi( )"
#$%i=1
n
∑
prob A∩B1( ) = prob A( ) ⋅prob B1 A( )prob B1∩A( ) = prob B1( ) ⋅prob A B1( )
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
50
SAB1
B2 B3
Bn
ProbabilitasTotal(TotalProbability)• Contoh• Datagenangandisuatuwilayahpermukimanmenunjukkanbahwaprobabilitasterjadinyagenanganadalah0.80saatharihujandan0.25saattakhujan.
• Diketahuibahwaprobabilitasharihujanadalah0.36.• Berapakahprobabilitasterjadinyagenangandiwilayahtersebut?
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
51
ProbabilitasTotal(TotalProbability)• Penyelesaian• Jika eventA=terjadigenangan
eventB1=harihujaneventB2=haritakhujan
prob A( ) = prob B1( ) ⋅prob A B1( )+prob B2( ) ⋅prob A B2( )= 0.36×0.80+ 1−0.36( )×0.25
= 0.448
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
52
TeoremaBayes
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
53
• Daricondi)onalprobability
prob A∩B( ) = prob A( ) ⋅prob B A( )prob B∩A( ) = prob B( ) ⋅prob A B( )
prob A( ) ⋅prob B A( ) = prob B( ) ⋅prob A B( )
• UntukeventsAdanBj,persamaandiatasmenjadi
prob A( ) ⋅prob Bj A( ) = prob Bj( ) ⋅prob A Bj( )
(1)
(2)
(3)
(4)
Karena prob A∩B( ) = prob B∩A( ) , maka:
TeoremaBayes
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
54
• Daritotalprobability
prob A( ) = prob Bi( ) ⋅prob A Bi( )"
#$%i=1
n
∑
• Dengan(5)à(4)
prob Bj A( ) =prob Bj( ) ⋅prob A Bj( )
prob Bi( ) ⋅prob A Bi( )i=1
n
∑
(5)
(6)
TeoremaBayes• Pemakaian• UntukmencariprobabilitaseventBjapabiladiketahuieventAtelahterjadi.
• Untukmencari(memperkirakan)probabilitassuatuevent(Bj)denganmengama7eventkedua(A).
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
55
TeoremaBayes• Contoh• Informasiramalancuacabiasadikirimkanmelalui4saluran:Ri(i=1,2,3,4)adalaheventdimanainformasitsbdikirimkanmelaluisalurani.
• Probabilitasmasing-masingeventRiadalah:0.1,0.2,0.3,dan0.4.• Diketahuijugabahwaprobabilitasterjadinyakesalahanpengiriman(eventE)melaluimasing-masingsaluranadalah:0.10,0.15,0.20,dan0.25.
• Suatusaatdiketahuibahwasuatukesalahanpengirimantelahterjadi.
• Berapakahprobabilitasbahwakesalahantersebutterjadimelaluisaluranke-2?
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
56
TeoremaBayes• Penyelesaian• Diketahui: prob(R1)=0.1 prob(E|R1)=0.10
prob(R2)=0.2 prob(E|R2)=0.15prob(R3)=0.3 prob(E|R3)=0.20prob(R4)=0.4 prob(E|R4)=0.25
• Probabilitasbahwapengirimandilakukanmelaluisaluranke-2denganmelihatkenyataanbahwatelahterjadikesalahanadalah:
prob R2 E( ) =prob R2( ) ⋅prob E R2( )
prob Ri( ) ⋅prob E Ri( )1
4
∑
=0.2×0.15
0.1×0.10+0.2×0.15+0.3×0.20+0.4×0.25= 0.15
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
57
TeoremaBayes
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
58prob(E)
i prob(Ri) prob(E|Ri) prob(Ri).prob(E|Ri) prob(Ri|E)
1 0.1 0.10 0.01 0.05
2 0.2 0.15 0.03 0.15
3 0.3 0.20 0.06 0.30
4 0.4 0.25 0.10 0.50
Σ 1.0 0.20 1.00
PermutasidanKombinasi• Caramendapatkansampelyangterdiridarirelemendarisuatusamplespaceyangmemilikinelemen(n≥r)→satuelemenperpengambilan• urutanelemendiperha7kandansetelah7appengambilan,elemendikembalikankedalamsamplespace(orderedwithreplacement)
• urutanelemendiperha7kandan7dakdilakukanpengembalianelemensetelah7appengambilan(orderedwithoutreplacement)
• urutanelemen7dakdiperha7kandan7dakdilakukanpengembalianelemensetelah7appengambilan(unorderedwithoutreplacement)
• urutanelemen7dakdiperha7kandandlakukanpengembalianelemensetelah7appengambilan(unorderedwithreplacement)
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
60
PermutasidanKombinasi• Contohilustrasi• DilakukanpemilihanduastasiunAWLRdariempatstasiunyangada(A,B,C,D)untukdiberidana.
• Berapajumlahpasangstasiunyangmungkinmendapatkandana?
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
61
PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan• urutandiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBberbedadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA
• denganpengembalian→suatustasiundapatmemperolehdana2x
• Pasangan2stasiunyangmendapatkandana• (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
62
16→ nr = 42 =16
PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan• urutandiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBberbedadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA
• tanpapengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana1x
• Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana• (A,B) (A,C) (A,D)(B,A) (B,C) (B,D)(C,A) (C,B) (C,D)(D,A) (D,B) (D,C)
• Iden7kdenganpengambilan2elemensekaligusdari4elemendalamsamplespace
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
63
n( )r=
n !n− r( )!
=4!
4−2( )!=12
permutasi
PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan• urutan7dakdiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBsamadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA
• tanpapengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana1x
• Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana• (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (C,D)
• Iden7kdenganpengambilan2elemensekaligusdari4elemendalamsamplespace
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
64kombinasikoefisienbinomial
nr
!
"#
$
%& =
n !n− r( )!r !
=4!
4−2( )!2!= 6
PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan• urutan7dakdiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBsamadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA
• denganpengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana2x
• Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana• (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (B,B) (B,C) (B,D) (C,C) (C,D) (D,D)
• Memilihrelemendarinelemendenganpengembalianadalahsamadenganmemilihrelemendarinelementanpapengembalian
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
65
n+ r −1r
"
#$
%
&' =
n+ r −1( )!n−1( )! r !
=4+2−1( )!4−1( )! 2!
=10
Resume
Denganpengembalian
Tanpapengembalian
Urutandiperha7kan nr
Urutan7dakdiperha7kan
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
66
nr( ) = n !
n− r( )!
nr
!
"#
$
%& =
n !n− r( )! r !
n+ r −1r
"
#$
%
&' =
n+ r −1( )!n−1( )! r !
PersamaanSterling: n ! = 2π e−n nn+ 12
Perintah(Fungsi)MSExcel• FACT(n)• menghitungfaktorial,n!• nbilanganposi7f(bilangancacah)
• PERMUT(n,r)• menghitungpermutasi,• ndanrinteger,n≥r
• COMBIN(n,r)• menghitungkombinasi,• ndanrinteger,n≥r
26-Aug-16
h3p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
67