UNIVERSITA’ DEGLI UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TERAMOSTUDI DI TERAMO

MASTER MASTER UNIVERSITARIO UNIVERSITARIO

DI I LIVELLODI I LIVELLO

ANNO ACCADEMICOANNO ACCADEMICO2003/20042003/2004

COMUNICAZIONE E COMUNICAZIONE E DIVULGAZIONE SCIENTIFICADIVULGAZIONE SCIENTIFICA

“DA EUCLIDEAD HILBERT”“DA EUCLIDEAD HILBERT”( ( l’evoluzione della geometrial’evoluzione della geometria))

a cura dia cura diGIOSUE’ PASSACQUALEGIOSUE’ PASSACQUALE

MENU’ INIZIALEMENU’ INIZIALE LA LA NATURA DELLA GEOMETRIA GLI “ELEMENTI” DI GLI “ELEMENTI” DI EUCLIDE LA LA CRISI DEI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIADELLA GEOMETRIA I “GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE” I “GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE”

(FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA) (FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA) DI DI HILBERT

SIGNIFICATO CULTURALE DELLA GEOMETRIADELLA GEOMETRIA BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE RINGRAZIAMENTI

LA NATURA DELLA LA NATURA DELLA GEOMETRIAGEOMETRIA

Che Che cos’è la geometria? la geometria?

Qual è Qual è l’oggetto di studio della geometria?della geometria?

Quali sono le Quali sono le origini della geometria? della geometria?

Qual è il Qual è il metodo della geometria? della geometria?

““La geometria è l’arte di fare La geometria è l’arte di fare i ragionamenti giusti i ragionamenti giusti sulle figure sbagliate.”sulle figure sbagliate.”

Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta tutte le Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta tutte le componenti essenziali della geometria:componenti essenziali della geometria:

il il ragionamentoragionamento (logico) (logico) deduttivodeduttivo; ;

i i ragionamenti giustiragionamenti giusti; ;

l’l’intuizione concretaintuizione concreta; ;

il il riferimento riferimento allaalla realtà realtà; ;

lele figure, figure, che che non sono non sono il vero oggetto dello studio della geometriail vero oggetto dello studio della geometria..

“ “ figure “ … o … “ “ … o … “ immagini mentali ““

LeLe figure figure non sono il vero oggetto dello studio della non sono il vero oggetto dello studio della geometria, ma un appoggio alla formazione di quelle geometria, ma un appoggio alla formazione di quelle immagini mentaliimmagini mentali (vero oggetto di studio della geometria) che (vero oggetto di studio della geometria) che sono le elaborazioni fantastiche con cui la nostra mente sono le elaborazioni fantastiche con cui la nostra mente descrive le forme degli oggetti reali.descrive le forme degli oggetti reali.Le Le figurefigure, cioè i , cioè i segnisegni, cioè i , cioè i simbolisimboli, NON vanno letti in , NON vanno letti in modo ingenuo e superficiale, MA vanno modo ingenuo e superficiale, MA vanno tradottitradotti nei significati nei significati che che noi conveniamo di attribuire loronoi conveniamo di attribuire loro, di cui , di cui noi vogliamo noi vogliamo caricarlicaricarli. Tutte le figure, prese come meri segni grafici, sono . Tutte le figure, prese come meri segni grafici, sono sempre sbagliatesempre sbagliate, per definizione; ma se ci serviamo , per definizione; ma se ci serviamo convenzionalmente di esse per convenzionalmente di esse per rappresentarerappresentare un particolare un particolare concetto astrattoconcetto astratto, allora possono essere un utile , allora possono essere un utile guidaguida per i per i nostri nostri ragionamenti logico deduttiviragionamenti logico deduttivi..

Le radici della geometriaLe radici della geometria

Non vi sono dubbi che la geometria Non vi sono dubbi che la geometria storicamente sia partita dalla realtà (il nome storicamente sia partita dalla realtà (il nome stesso letteralmente vuol dire ‘stesso letteralmente vuol dire ‘misura della misura della terraterra’), pensiamo alle esigenze di agrimensori, ’), pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra branca della matematica, dopo aver risposto ad branca della matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o meno pratiche, sotto la esigenze più o meno pratiche, sotto la pressione della loro necessità, essa pressione della loro necessità, essa inevitabilmente inevitabilmente acquista valore in se stessaacquista valore in se stessa e e trascende i confini dell’utilità praticatrascende i confini dell’utilità pratica ..

Il metodo ipotetico deduttivoIl metodo ipotetico deduttivoSe l’oggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, Se l’oggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la la realtà fisica in sérealtà fisica in sé ma le ma le immagini mentaliimmagini mentali che ci creiamo per che ci creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo d’indagine descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo d’indagine della geometria dev’essere diverso da quello del ’della geometria dev’essere diverso da quello del ’fisicofisico’, ’, basato sull’osservazione di un fenomeno (e sulla sua basato sull’osservazione di un fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio).riproducibilità in laboratorio).La costruzione del complesso edificio della geometria è basata La costruzione del complesso edificio della geometria è basata sul sul metodo ipotetico-deduttivometodo ipotetico-deduttivo: : si fissano degli si fissano degli enti primitivienti primitivi e degli e degli assiomiassiomi che descrivono le che descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi risultati: i deducono nuovi risultati: i teoremi.teoremi. Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati dimostrati! dimostrati! Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di Cnido e si consolidò negli “Elementi”di di Cnido e si consolidò negli “Elementi”di Euclide..

Chi è più lungo fra T ed S? e fra i segmenti AF e BF?fra T ed S? e fra i segmenti AF e BF?

T S

A B

CD

E

F

E adesso che ho ripulito il disegno? E adesso che ho ripulito il disegno? Mai fidarsi delle Mai fidarsi delle apparenze!!

T S

A B

F

Qual è il “Qual è il “verovero” quadrato?” quadrato?

EUCLIDE … chi?!EUCLIDE … chi?! Considerata la fama degli ‘Considerata la fama degli ‘

Elementi’ e del loro autore, ’ e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono vita di Euclide sono sorprendentemente scarse sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al nato). Certo è che, intorno al 300 a.C., insegnò 300 a.C., insegnò matematica ad Alessandria matematica ad Alessandria d’Egitto, nell’accademia d’Egitto, nell’accademia nota come il MUSEO. Le nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e uomo abbastanza anziano e di di temperamento gentile. gentile. Ma …Ma …

… … GENTILE, MA … DECISOGENTILE, MA … DECISO Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad

Alessandria l’accademia nota come il “Museo” e che chiamò Alessandria l’accademia nota come il “Museo” e che chiamò tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il quale, si dice, abbia fermamente replicato che “quale, si dice, abbia fermamente replicato che “non esiste non esiste nessuna strada regale che porti alla geometrianessuna strada regale che porti alla geometria””

Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una monetina all’allievo ”monetina all’allievo ”perché ha bisogno di trarre guadagno perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che imparada ciò che impara””

STRUTTURA DEGLI STRUTTURA DEGLI ELEMENTI

DEFINIZIONI ASSIOMI POSTULATI

I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE

VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI

XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA

ED IL METODO DI ESAUSTIONEED IL METODO DI ESAUSTIONE

X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI

XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI

I libri da I a VI degli ElementiI libri da I a VI degli Elementi

libro I : proprietà sulle figure “rettilinee”libro I : proprietà sulle figure “rettilinee” libro II : l’algebra geometrica libro II : l’algebra geometrica libro III : la geometria dei cerchilibro III : la geometria dei cerchi libro IV : figure inscritte e circoscritte a cerchilibro IV : figure inscritte e circoscritte a cerchi libro V : la teoria delle proporzionilibro V : la teoria delle proporzioni libro VI : le figure simililibro VI : le figure simili

I libri da VII a IX degli ElementiI libri da VII a IX degli Elementi

libro VII : proprietà dei numeri interilibro VII : proprietà dei numeri interi libro VIII : le proporzioni continue (prog. libro VIII : le proporzioni continue (prog.

geo.) geo.) libro IX : teo. su numeri quadrati, cubi, piani e libro IX : teo. su numeri quadrati, cubi, piani e

solidi e altri teoremi sulle prog. geometrichesolidi e altri teoremi sulle prog. geometriche

Il libro XIl libro X

La classificazione degli incommensurabili La classificazione degli incommensurabili

(ad es. contiene la dimostrazione (ad es. contiene la dimostrazione dell’irrazionalità di dell’irrazionalità di radice quadrata di due))

I libri da XI a XIII degli ElementiI libri da XI a XIII degli Elementi

libro XI : inizia a trattare la geometria solidalibro XI : inizia a trattare la geometria solida libro XII : teoremi sulle aree e i volumi (in libro XII : teoremi sulle aree e i volumi (in

particolare di fig. curvilinee e di fig. delimitate particolare di fig. curvilinee e di fig. delimitate da superfici) e metodo di esaustione da superfici) e metodo di esaustione

libro XIII: proprietà dei poligoni regolari; il libro XIII: proprietà dei poligoni regolari; il problema di come inscrivere i cinque solidi problema di come inscrivere i cinque solidi regolari in una sfera e non possono esistere più regolari in una sfera e non possono esistere più di di cinque solidi (poliedri) regolari (e convessi)(poliedri) regolari (e convessi)

I libri XIV a XV degli ElementiI libri XIV a XV degli Elementi(entrambi postumi)(entrambi postumi)

libro XIV : dovuto a Ipsicle (150 a.C.)libro XIV : dovuto a Ipsicle (150 a.C.) libro XV : alcune parti furono scritte libro XV : alcune parti furono scritte

probabilmente intorno al VI secolo d.C. probabilmente intorno al VI secolo d.C.

I I CINQUE SOLIDI PLATONICIPLATONICI

Mentre nel piano possiamo costruire poligoni convessi Mentre nel piano possiamo costruire poligoni convessi regolari con un numero arbitrario di lati, è sorprendente che regolari con un numero arbitrario di lati, è sorprendente che nello spazio tridimensionale sia possibile costruire solo cinque nello spazio tridimensionale sia possibile costruire solo cinque poliedri convessi regolari: tetraedro, cubo (o esaedro), poliedri convessi regolari: tetraedro, cubo (o esaedro), ottaedro, dodecaedro e icosaedro.ottaedro, dodecaedro e icosaedro.

LE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTILE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI D1. D1. Punto è ciò che non ha parti.è ciò che non ha parti. D2. D2. Linea è lunghezza senza larghezza. è lunghezza senza larghezza. D3. D3. Estremi di una linea sono i punti. di una linea sono i punti. D4. D4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto è quella che giace ugualmente rispetto

ai suoi punti.ai suoi punti. D5. D5. Superficie è ciò che ha solo lunghezza e è ciò che ha solo lunghezza e

larghezza.larghezza. D6. Estremi di una superficie sono linee.D6. Estremi di una superficie sono linee. D7. Superficie piana è quella che giace ugualmente D7. Superficie piana è quella che giace ugualmente

rispetto alle sue rette.rispetto alle sue rette.

ALTRE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTIALTRE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI D15. Cerchio è una figura piana limitata da un’unica linea D15. Cerchio è una figura piana limitata da un’unica linea

tale che tutte le linee rette condotte su di essa da un punto tale che tutte le linee rette condotte su di essa da un punto fra quelli che giacciono all’interno della figura sono uguali fra quelli che giacciono all’interno della figura sono uguali fra loro.fra loro.

D16. E il punto viene detto centro del cerchio.D16. E il punto viene detto centro del cerchio. D17. Diametro del cerchio è una retta tracciata per il Diametro del cerchio è una retta tracciata per il

centro e limitata in entrambe le direzioni dalla centro e limitata in entrambe le direzioni dalla circonferenza del cerchio, e una tale retta biseca anche il del cerchio, e una tale retta biseca anche il cerchio.cerchio.

D23. D23. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate indefinitamente in entrambe le piano e venendo prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro in nessuna di queste.direzioni, non si incontrano fra loro in nessuna di queste.

OSSERVAZIONI ALLE DEFINIZIONIOSSERVAZIONI ALLE DEFINIZIONI OD1. E cosa significa precisamente?E cosa significa precisamente? OD2. ‘Linea’ qui significa ‘curva’. Spazio ad una dimensione.OD2. ‘Linea’ qui significa ‘curva’. Spazio ad una dimensione. OD3. Questa def. mette chiaramente in evidenza che per OD3. Questa def. mette chiaramente in evidenza che per

Euclide una linea o curva ha sempre lunghezza finita.Euclide una linea o curva ha sempre lunghezza finita. OD4. La ‘retta’ per Euclide, in accordo con la def.3, è il nostro OD4. La ‘retta’ per Euclide, in accordo con la def.3, è il nostro

‘segmento’. Alcuni studiosi sostengono che tale def. ‘segmento’. Alcuni studiosi sostengono che tale def. sia sia stata suggerita dalla “livella del muratore”.stata suggerita dalla “livella del muratore”.

OD5. Spazio a due dimensioni. OD5. Spazio a due dimensioni. OD17. Notare che la ‘circonferenza’ non è stata mai definita Notare che la ‘circonferenza’ non è stata mai definita

esplicitamente.esplicitamente. OD23. In realtà la def. data riguarda due segmenti paralleli e OD23. In realtà la def. data riguarda due segmenti paralleli e

non due rette.non due rette.

LE CINQUE NOZIONI COMUNI LE CINQUE NOZIONI COMUNI ( O ( O ASSIOMI ) )

A1. Cose uguali ad una medesima cosa sono A1. Cose uguali ad una medesima cosa sono uguali anche tra loro;uguali anche tra loro;

A2. Se a cose uguali si aggiungono cose A2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme sono uguali;uguali, le somme sono uguali;

A3. Se da cose uguali si sottraggono cose A3. Se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono uguali;uguali, i resti sono uguali;

A4. Le cose che coincidono fra loro sono A4. Le cose che coincidono fra loro sono uguali fra loro;uguali fra loro;

A5. Il tutto è maggiore della parte.A5. Il tutto è maggiore della parte.

I CINQUE I CINQUE POSTULATI ( O RICHIESTE )( O RICHIESTE )

P1. si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi P1. si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad un punto qualsiasi;ad un punto qualsiasi;

P2. si possa prolungare indefinitamente una linea P2. si possa prolungare indefinitamente una linea retta;retta;

P3. si possa descrivere un cerchio con un centro P3. si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi ed un raggio qualsiasi;qualsiasi ed un raggio qualsiasi;

P4. tutti gli angoli retti siano uguali tra loro;P4. tutti gli angoli retti siano uguali tra loro; P5. se una retta che interseca due altre rette forma se una retta che interseca due altre rette forma

dalla stessa parte angoli interni inferiori a due dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, allora le due rette, se prolungate angoli retti, allora le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due retti.dove gli angoli sono inferiori a due retti.

Il postulato delle paralleleIl postulato delle parallele

Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI secondo Aristotelesecondo Aristotele

ASSIOMA::

gli assiomi o nozioni gli assiomi o nozioni comuni devono essere comuni devono essere convincenti di per se stessi, convincenti di per se stessi, sono verità comuni a tutte le sono verità comuni a tutte le scienzescienze

(dal greco (dal greco axiosaxios, degno di , degno di credibilità)credibilità)

POSTULATO::

i postulati sono meno i postulati sono meno evidenti e non evidenti e non presuppongono l’assenso presuppongono l’assenso dell’allievo, poiché dell’allievo, poiché riguardano soltanto la riguardano soltanto la disciplina in questionedisciplina in questione

(dal latino (dal latino postularepostulare, , richiedere)richiedere)

I matematici moderni non fanno alcunaI matematici moderni non fanno alcuna

differenza essenziale fra un assioma e un postulato differenza essenziale fra un assioma e un postulato

PREGI DEGLI ELEMENTIPREGI DEGLI ELEMENTI Sono la maggiore e più antica opera matematica greca che ci Sono la maggiore e più antica opera matematica greca che ci

sia pervenutasia pervenuta Sono il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi, Sono il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi,

la prima fonte di conoscenza matematicala prima fonte di conoscenza matematica Il concetto di matematica, la nozione di dimostrazione e Il concetto di matematica, la nozione di dimostrazione e

l’ordinamento logico dei teoremi vennero appresi dal loro l’ordinamento logico dei teoremi vennero appresi dal loro studiostudio

Euclide sottolinea l’importanza di dimostrare l’esistenza delle Euclide sottolinea l’importanza di dimostrare l’esistenza delle figure prima di inserirle nella struttura logica della geometriafigure prima di inserirle nella struttura logica della geometria

La scelta degli assiomi fatta da Euclide è assai sofisticata: La scelta degli assiomi fatta da Euclide è assai sofisticata: a partire da un piccolo gruppo di assiomi riesce a dimostrare a partire da un piccolo gruppo di assiomi riesce a dimostrare centinaia di teoremi alcuni dei quali molto profondicentinaia di teoremi alcuni dei quali molto profondi

L’assioma delle parallele è gestito con particolare intelligenzaL’assioma delle parallele è gestito con particolare intelligenza

DIFETTI DEGLI ELEMENTIDIFETTI DEGLI ELEMENTI L’uso della sovrapposizione (manca una base logica per il L’uso della sovrapposizione (manca una base logica per il

concetto di moto; spostando una figura chi ci garantisce che concetto di moto; spostando una figura chi ci garantisce che essa conservi tutte le sue proprietà?)essa conservi tutte le sue proprietà?)

La vaghezza di alcune definizioni (vedi libroV)La vaghezza di alcune definizioni (vedi libroV) L’inutilità di alcune definizioni (punto, rette, superficie,…)L’inutilità di alcune definizioni (punto, rette, superficie,…) Numerose definizioni, come la Numerose definizioni, come la D17, presuppongono un , presuppongono un

assiomaassioma Euclide usa fatti, evidenti dalle figure o intuitivamente veri, Euclide usa fatti, evidenti dalle figure o intuitivamente veri,

senza mai dimostrarlisenza mai dimostrarli Vi sono anche difetti nelle dimostrazioni: alcuni teoremi Vi sono anche difetti nelle dimostrazioni: alcuni teoremi

vengono enunciati in generale ma dimostrati solo in casi vengono enunciati in generale ma dimostrati solo in casi particolariparticolari

I tredici libri non costituiscono un corpo unitario, ma sono I tredici libri non costituiscono un corpo unitario, ma sono compilazioni di opere precedenticompilazioni di opere precedenti

… … E INOLTRE …E INOLTRE …

Se non è rigorosa la geometria non è nulla … I metodi di Se non è rigorosa la geometria non è nulla … I metodi di Euclide non sono, per consenso quasi universale, eccezionali Euclide non sono, per consenso quasi universale, eccezionali per il loro rigore. (Henry J. S. SMITH, 1873)per il loro rigore. (Henry J. S. SMITH, 1873)

Quando Euclide, considerato come libro di testo, veniva Quando Euclide, considerato come libro di testo, veniva attaccato … era uso difenderlo dicendo che la sua eccellenza attaccato … era uso difenderlo dicendo che la sua eccellenza logica è trascendente, e consente un invalutabile esercizio al logica è trascendente, e consente un invalutabile esercizio al potere giovanile di ragionamento. potere giovanile di ragionamento. In realtà … la forza dimostrativa di una In realtà … la forza dimostrativa di una valida dimostrazione sta nel non disegnare alcuna figura, ma molte delle sta nel non disegnare alcuna figura, ma molte delle dimostrazioni di Euclide cadono se sottoposte a questa prova. dimostrazioni di Euclide cadono se sottoposte a questa prova. (BERTRAND RUSSELL, 1902)(BERTRAND RUSSELL, 1902)

C

A BD

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H

••

xx

FALSO TEOREMA. . Ogni triangolo Ogni triangolo è isoscele.è isoscele.

VALIDA DIMOSTRAZIONE??Dato un triangolo ABC, costruiamo Dato un triangolo ABC, costruiamo la bisettrice CH dell’angolo ACB e la bisettrice CH dell’angolo ACB e l’asse DH del lato AB. l’asse DH del lato AB. Queste due rette si intersecano in Queste due rette si intersecano in un punto H (vedi fig.), allora un punto H (vedi fig.), allora tracciamo le perpendicolari ai lati tracciamo le perpendicolari ai lati BC e AC uscenti dal punto H: siano BC e AC uscenti dal punto H: siano queste HE e HF rispettivamente.queste HE e HF rispettivamente.I triangoli CFH e CEH sono uguali, I triangoli CFH e CEH sono uguali, perché hanno rispettivamente: perché hanno rispettivamente: CFH=CEH (ang. retti); CH in CFH=CEH (ang. retti); CH in comune; FCH=ECH (per ipotesi comune; FCH=ECH (per ipotesi CH bisettrice di FCE). CH bisettrice di FCE). In particolare:In particolare:

CF=CE e FH=EHCF=CE e FH=EHI triangoli AHF e BHE sono uguali, I triangoli AHF e BHE sono uguali, perché hanno rispettivamente: perché hanno rispettivamente: AFH=BEH (ang. retti); FH=EH AFH=BEH (ang. retti); FH=EH (preced. dim.); AH=BH (per una (preced. dim.); AH=BH (per una proprietà dell’asse di un segmento). proprietà dell’asse di un segmento). In particolare:In particolare:

FA=EBFA=EBMa allora i lati CA e CB sono Ma allora i lati CA e CB sono uguali perché somma di segmenti uguali perché somma di segmenti uguali:uguali:

CA=CF+FA=CE+EB=CBCA=CF+FA=CE+EB=CBPertanto il triangolo ABC è Pertanto il triangolo ABC è isoscele.isoscele.

C.V.DC.V.D

L’ERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEEL’ERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro sulle “sulle “Geometrie Non Euclidee”(G.N.E.) a rendere ”(G.N.E.) a rendere consapevoli i matematici della reale importanza delle consapevoli i matematici della reale importanza delle deficienze della struttura di Euclide, perché nel portare a deficienze della struttura di Euclide, perché nel portare a termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici su ciò che stavano accetttando: nelle G.N.E. veniva a critici su ciò che stavano accetttando: nelle G.N.E. veniva a mancare quella mancare quella verità intuitiva verità intuitiva (ma a volte (ma a volte fuorviantefuorviante) dovuta ) dovuta al ricorso al disegno (ad es. il al ricorso al disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo). sul triangolo). Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla ‘Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla ‘costruzione dei fondamenti’ della geometria euclidea e di altre della geometria euclidea e di altre ‘geometrie’ che potessero godere della stessa dignità di quella ‘geometrie’ che potessero godere della stessa dignità di quella euclidea. Tale attività si sviluppò intensamente negli ultimi euclidea. Tale attività si sviluppò intensamente negli ultimi trent’anni del XIX secolo.trent’anni del XIX secolo.

Cenni sulle ‘Cenni sulle ‘geometrie non euclidee’’

Il pensiero di Il pensiero di Kant sulla geometria euclidea sulla geometria euclidea Le Le ricerche sull’assioma delle parallele sull’assioma delle parallele Lettera di Lettera di Gauss a Bessel a Bessel Nicolaj Ivanovic Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico (il Copernico

della geometria)della geometria) Janos Janos Bolyai Georg Bernhard Georg Bernhard Riemann

Il pensiero di KantIl pensiero di Kant

Kant, nella ‘Critica alla ragion pura’ (1781), Kant, nella ‘Critica alla ragion pura’ (1781), sosteneva che le nostre menti sono obbligate a sosteneva che le nostre menti sono obbligate a vedere il mondo esterno vedere il mondo esterno in un unico modoin un unico modo, , quindi certi principi relativi allo spazio sono quindi certi principi relativi allo spazio sono anteriori all’esperienza. Tali principi e le loro anteriori all’esperienza. Tali principi e le loro conseguenze che Kant chiamava conseguenze che Kant chiamava giudizi giudizi sintetici a priorisintetici a priori sono quelli della sono quelli della geometria geometria euclidea.euclidea.

L’assioma delle paralleleL’assioma delle parallele

Fra la fine del Settecento e l’inizio Fra la fine del Settecento e l’inizio dell’Ottocento, cominciò a svilupparsi la dell’Ottocento, cominciò a svilupparsi la critica ai fondamenti della geometria euclidea, critica ai fondamenti della geometria euclidea, con particolare riferimento al V postulato o con particolare riferimento al V postulato o delle parallele. Importanti risultati furono delle parallele. Importanti risultati furono raggiunti da Girolamo Saccheri (1667-1733), raggiunti da Girolamo Saccheri (1667-1733), il quale convinto di aver dedotto tale postulato, il quale convinto di aver dedotto tale postulato, pubblicò l’ pubblicò l’ Euclides ab Omni Naevo Euclides ab Omni Naevo Vindicatus.Vindicatus.

Lettera di Gauss a BesselLettera di Gauss a Bessel

All’inizio del XIX secolo,intorno al 1813, All’inizio del XIX secolo,intorno al 1813, Karl Friedrich Karl Friedrich Gauss (1777-1855) cominciò a (1777-1855) cominciò a costruire una geometria che non ritenesse costruire una geometria che non ritenesse valido il V postulato di Euclide e in realtà si valido il V postulato di Euclide e in realtà si convinse che era logicamente coerente, ma convinse che era logicamente coerente, ma non pubblicò mai un’esposizione non pubblicò mai un’esposizione completamente deduttiva delle sue ricerche completamente deduttiva delle sue ricerche perché, come scrisse in una lettera a Bessel del perché, come scrisse in una lettera a Bessel del 27 gennaio 1829, temeva “le strida dei beoti”27 gennaio 1829, temeva “le strida dei beoti”

Nicolaj Ivanovic Lobacevskij Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della geometria)(il Copernico della geometria)

Lobacevskij (1793-1856), russo, fu il primo (1793-1856), russo, fu il primo matematico a fare il passo rivoluzionario di matematico a fare il passo rivoluzionario di pubblicare, nel 1829, sulla Gazzetta di Kazan, il pubblicare, nel 1829, sulla Gazzetta di Kazan, il saggio “Sui principi della Geometria”, in cui espone saggio “Sui principi della Geometria”, in cui espone una nuova geometria, costruita specificamente su una nuova geometria, costruita specificamente su un’ipotesi in diretta contraddizione con il postulato un’ipotesi in diretta contraddizione con il postulato delle parallele: (delle parallele: (geometria iperbolica))

per un punto P esterno ad una retta r si può tracciare per un punto P esterno ad una retta r si può tracciare nello stesso piano più di una retta parallela ad r.nello stesso piano più di una retta parallela ad r.

Janos BolyaiJanos Bolyai Bolyai (1802-1860) era un ufficiale ungherese e figlio di un (1802-1860) era un ufficiale ungherese e figlio di un

insegnante di matematica in una città di provincia, tale insegnante di matematica in una città di provincia, tale Wolfgang Bolyai, tra l’altro amico di Gauss, che aveva Wolfgang Bolyai, tra l’altro amico di Gauss, che aveva dedicato tutta la sua vita ai tentativi di dimostrare il postulato dedicato tutta la sua vita ai tentativi di dimostrare il postulato delle parallele. Il lavoro di Bolyai sulla geometria non delle parallele. Il lavoro di Bolyai sulla geometria non euclidea (La scienza dello spazio assoluto) fu pubblicato solo euclidea (La scienza dello spazio assoluto) fu pubblicato solo nel 1832 in appendice ad un libro del padre, benchè rechi una nel 1832 in appendice ad un libro del padre, benchè rechi una licenza di stampa datata 1829, lo stesso anno in cui licenza di stampa datata 1829, lo stesso anno in cui Lobacevskij pubblicò il suo. L’ipotesi di Bolyai era Lobacevskij pubblicò il suo. L’ipotesi di Bolyai era leggermente differente da quella del collega russo: (ma leggermente differente da quella del collega russo: (ma sempre sempre geometria iperbolica) ) nello stesso piano, per un punto P esterno ad una retta r nello stesso piano, per un punto P esterno ad una retta r esistono infinite rette parallele ad r. esistono infinite rette parallele ad r.

Georg Bernahrd RiemannGeorg Bernahrd Riemann Riemann (1826-1866) nonostante origini molto modeste riuscì (1826-1866) nonostante origini molto modeste riuscì

ad ottenere un’educazione di ottimo livello, prima a Berlino e ad ottenere un’educazione di ottimo livello, prima a Berlino e poi a Gottinga. Le geometrie di Riemann sono non euclidee in poi a Gottinga. Le geometrie di Riemann sono non euclidee in un senso molto più vasto di quelle di Lobacevskij e Bolyai. un senso molto più vasto di quelle di Lobacevskij e Bolyai. Secondo Riemann la geometria dovrebbe parlare solo di Secondo Riemann la geometria dovrebbe parlare solo di ennuple ordinate che vengono raggruppate secondo certe ennuple ordinate che vengono raggruppate secondo certe regole; l’uso attuale del nome di Riemann, limitatamente alla regole; l’uso attuale del nome di Riemann, limitatamente alla geometria non euclidea geometria non euclidea ellittica, non dà pieno riconoscimento , non dà pieno riconoscimento al radicale mutamento introdotto nel pensiero geometrico dalla al radicale mutamento introdotto nel pensiero geometrico dalla sua lezione, Habilitationsvortrag, per il conseguimento del sua lezione, Habilitationsvortrag, per il conseguimento del titolo di Privatdozent tenuta nel 1854 alla facoltà di Gottinga titolo di Privatdozent tenuta nel 1854 alla facoltà di Gottinga e successivamente pubblicata nel 1868 con il titolo “Sulle e successivamente pubblicata nel 1868 con il titolo “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”.ipotesi che stanno alla base della geometria”.

Gauss, , Lobacevskij, , Bolyai e e Riemann

PRINCIPALI PROTAGONISTI PRINCIPALI PROTAGONISTI DELLA RIFONDAZIONEDELLA RIFONDAZIONE

Moritz Moritz PASCH (1843-1930) ‘Lezioni sulla (1843-1930) ‘Lezioni sulla nuova geometria’, 1882.nuova geometria’, 1882.

Giuseppe Giuseppe PEANO (1858-1932) ‘Principii di (1858-1932) ‘Principii di geometria’, 1889geometria’, 1889

Giuseppe Giuseppe VERONESE (1854-1917) (1854-1917) ‘Fondamenti di geometria’, 1891‘Fondamenti di geometria’, 1891

David David HILBERT (1862-1943) ‘Grundlagen (1862-1943) ‘Grundlagen der geometrie’, 1899der geometrie’, 1899

MORITZ PASCHMORITZ PASCH Moritz Moritz PASCH (1843-1930) (1843-1930)

fu il primo a dare contributi fu il primo a dare contributi fondamentali alla fondamentali alla fondazione della geometria; fondazione della geometria; famoso un suo assioma. famoso un suo assioma. Nelle sue Vorlesungen dice: Nelle sue Vorlesungen dice: ”Se la geometria deve ”Se la geometria deve diventare una scienza diventare una scienza genuinamente deduttiva, è genuinamente deduttiva, è essenziale che il modo in essenziale che il modo in cui sono fatte le inferenze cui sono fatte le inferenze sia del tutto indipendente sia del tutto indipendente dal significato dei concetti dal significato dei concetti geometrici, e anche dai geometrici, e anche dai disegni.” disegni.”

GIUSEPPE PEANOGIUSEPPE PEANO Giuseppe Giuseppe PEANO (1858- (1858-

1932) nei suoi ‘Principii di 1932) nei suoi ‘Principii di geometria’ (1889), propose geometria’ (1889), propose un insieme di assiomi per la un insieme di assiomi per la geometria euclidea. geometria euclidea. Anch’egli mise in evidenza Anch’egli mise in evidenza che gli elementi che gli elementi fondamentali non sono fondamentali non sono definiti ed enunciò il definiti ed enunciò il principio secondo il quale ci principio secondo il quale ci devono essere meno devono essere meno concetti indefiniti possibili. concetti indefiniti possibili. Egli usò: punti, segmenti e Egli usò: punti, segmenti e moti.moti.

GIUSEPPE VERONESEGIUSEPPE VERONESE

Giuseppe Giuseppe VERONESE (1854-1917) (1854-1917) ‘Fondamenti di ‘Fondamenti di geometria’ (1891), egli geometria’ (1891), egli usò come elementi usò come elementi indefiniti rette, segmenti indefiniti rette, segmenti e congruenze di e congruenze di segmenti. Inoltre fu segmenti. Inoltre fu autore di diverse autore di diverse geometrie non geometrie non archimedee.archimedee.

HILBERT … chi?!HILBERT … chi?! David Hilbert (1862-1943), David Hilbert (1862-1943),

matematico tedesco nato a matematico tedesco nato a Konigsberg, molti lo , molti lo considerano il più grande considerano il più grande matematico del suo tempo matematico del suo tempo soprattutto per l’importanza soprattutto per l’importanza da lui data all’idea di da lui data all’idea di struttura.struttura.

I I pregi dei Grundlagen dei Grundlagen La “La “curva di Hilbert” ” I 23 I 23 problemi di Hilbert Grundlagen der Geometrie der Geometrie

I SETTE PONTI DI KONIGSBERGI SETTE PONTI DI KONIGSBERG

Esiste una “passeggiata” che Esiste una “passeggiata” che permetta di attraversare tutti permetta di attraversare tutti i 7 ponti di Konigsberg i 7 ponti di Konigsberg passando su ognuno di essi passando su ognuno di essi UNA ED UNA SOLA UNA ED UNA SOLA volta? (volta? (soluzione))

Si può partire da una delle 4 Si può partire da una delle 4 zone ( nord, sud, isola A, zone ( nord, sud, isola A, isola B) ma non stando già isola B) ma non stando già su uno dei ponti. Nella fig. su uno dei ponti. Nella fig. a fianco è descritto un a fianco è descritto un percorso che parte dall’isola percorso che parte dall’isola B e termina nella zona sud.B e termina nella zona sud.

Soluzione problema dei “7 ponti” problema dei “7 ponti” Definiamo “zona di passaggio” una zona toccata da un numero pari di Definiamo “zona di passaggio” una zona toccata da un numero pari di

ponti e “zona non di passaggio” una zona toccata da un numero dispari di ponti e “zona non di passaggio” una zona toccata da un numero dispari di ponti.ponti.Se vogliamo realizzare una passeggiata che attraversi ogni ponte una ed Se vogliamo realizzare una passeggiata che attraversi ogni ponte una ed una sola volta possono esserci al più due zone “non di passaggio”: una di una sola volta possono esserci al più due zone “non di passaggio”: una di partenza e una di arrivo. partenza e una di arrivo. Contiamo quanti ponti toccano ogni zona: 5 l’isola A e 3 tutte le altre zone.Contiamo quanti ponti toccano ogni zona: 5 l’isola A e 3 tutte le altre zone.Quindi abbiamo 4 zone “non di passaggio”: TROPPE!!! Quindi abbiamo 4 zone “non di passaggio”: TROPPE!!!

Altri problemi Altri problemi simili simili ai “7 ponti”ai “7 ponti”

Sapete trovare un modo Sapete trovare un modo per disegnare la casetta per disegnare la casetta qui a fianco senza mai qui a fianco senza mai staccare la matita dal staccare la matita dal foglio?foglio?

E la busta chiusa qui a E la busta chiusa qui a fianco?fianco?

E se la apriamo?E se la apriamo? SOLUZIONI

SOLUZIONI Ci sono esattamente due Ci sono esattamente due

zone “non di passaggio”: A zone “non di passaggio”: A (da cui escono 3 linee) e B (da cui escono 3 linee) e B (da cui ne escono 5)(da cui ne escono 5)

Anche qui 2 zone “non di Anche qui 2 zone “non di passaggio” (i 2 vertici in passaggio” (i 2 vertici in alto del rettangolo) alto del rettangolo)

Nella busta aperta tutti i Nella busta aperta tutti i punti sono zone “di punti sono zone “di passaggio”, quindi anche in passaggio”, quindi anche in questo caso esiste una questo caso esiste una soluzionesoluzione

Hilbert fu preferito ad altri perché:Hilbert fu preferito ad altri perché: Rappresenta il sistema di assiomi per la geometria (proiettiva) Rappresenta il sistema di assiomi per la geometria (proiettiva) più semplicepiù semplice

per i suoi concetti e per i suoi enunciati, ed è per i suoi concetti e per i suoi enunciati, ed è più vicinopiù vicino di altri a quello di di altri a quello di EuclideEuclide

A partire dai suoi assiomi Hilbert A partire dai suoi assiomi Hilbert dimostròdimostrò alcuni teoremi fondamentali alcuni teoremi fondamentali della geometria euclidea (altri mostrarono che tutta la geom. Euclidea della geometria euclidea (altri mostrarono che tutta la geom. Euclidea discende dagli assiomi)discende dagli assiomi)

Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un certo gruppo non possono Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un certo gruppo non possono essere dedotti dagli assiomi degli altri quattro gruppi (essere dedotti dagli assiomi degli altri quattro gruppi (problema problema dell’indipendenzadell’indipendenza))

Una delle caratteristiche più belle degli assiomi di Hilbert è che gli assiomi Una delle caratteristiche più belle degli assiomi di Hilbert è che gli assiomi per la geometria non euclidea iperbolica si ottengono immediatamente per la geometria non euclidea iperbolica si ottengono immediatamente sostituendo l’assioma euclideo delle parallele con l’assioma di sostituendo l’assioma euclideo delle parallele con l’assioma di Lobatchevsky-Bolyai, tutti gli altri assiomi del sistema di Hilbert restano Lobatchevsky-Bolyai, tutti gli altri assiomi del sistema di Hilbert restano invariati.invariati.

Per ottenere gli assiomi per la geometria non euclidea ellittica, oltre ad Per ottenere gli assiomi per la geometria non euclidea ellittica, oltre ad abbandonare l’assioma euclideo delle parallele in favore dell’assioma di abbandonare l’assioma euclideo delle parallele in favore dell’assioma di Riemann, si devono cambiare anche altri assiomi. Riemann, si devono cambiare anche altri assiomi.

LA “CURVA DI HILBERT"LA “CURVA DI HILBERT" Il nome di Hilbert è legato a una Il nome di Hilbert è legato a una

semplice semplice curvacurva che che riempie lo spazio. Essa viene . Essa viene generata continuando all’infinito generata continuando all’infinito il il seguente processo: : suddividiamo un quadrato suddividiamo un quadrato unitario in 4 quadrati uguali e unitario in 4 quadrati uguali e congiungiamo i loro punti centrali congiungiamo i loro punti centrali con una linea spezzata aperta con una linea spezzata aperta formata da 3 segmenti; ora formata da 3 segmenti; ora dividiamo ogni quadratino in altri dividiamo ogni quadratino in altri 4 quadrati uguali e congiungiamo 4 quadrati uguali e congiungiamo i centri dei 16 quadrati così i centri dei 16 quadrati così ottenuti con una nuova linea ottenuti con una nuova linea spezzata; e così via all’infinito. La spezzata; e così via all’infinito. La curva di Hilbert è il limite delle curva di Hilbert è il limite delle successive curve poligonali successive curve poligonali costruite ad ogni passo.costruite ad ogni passo.

La costruzione della “curva di Hilbert” 1La costruzione della “curva di Hilbert” 1

La costruzione della “curva di Hilbert” 2La costruzione della “curva di Hilbert” 2

con un segmento ‘ ti copro ’ un quadratocon un segmento ‘ ti copro ’ un quadrato

La La curva di Hilbert fornì un di Hilbert fornì un altro esempio di applicazio-altro esempio di applicazio-ne continua di ne continua di un segmento un segmento in un quadratoin un quadrato: infatti, : infatti, poiché sia i sottoquadrati poiché sia i sottoquadrati che le parti del segmento che le parti del segmento unitario si contraggono ad unitario si contraggono ad un punto al procedere della un punto al procedere della suddivisione, possiamo suddivisione, possiamo vedere intuitivamente che vedere intuitivamente che ad ogni punto del segmento ad ogni punto del segmento unitario corrisponde un unitario corrisponde un punto del quadrato.punto del quadrato.

Altre Altre curve “ “fastidiosefastidiose””

La La curva di Giuseppe di Giuseppe Peano (1858-1932) Peano (1858-1932)

Il Il fiocco di neve di di HelgeVon Koch (1870-HelgeVon Koch (1870-1924)1924)

La La curva di Peano di Peano

La La curva di Von Koch di Von Koch

I 23 PROBLEMI DI HILBERTI 23 PROBLEMI DI HILBERT

Hilbert viaggiò molto, specialmente per partecipare ai Hilbert viaggiò molto, specialmente per partecipare ai congressi internazionali di matematica, che sono congressi internazionali di matematica, che sono diventati caratteristici nel XX secolo. Il primo diventati caratteristici nel XX secolo. Il primo congresso ufficiale di matematica fu tenuto a Zurigo congresso ufficiale di matematica fu tenuto a Zurigo nel 1893, il secondo a Parigi nel 1900, e da allora in nel 1893, il secondo a Parigi nel 1900, e da allora in poi si sono ripetuti più o meno regolarmente ogni 4 poi si sono ripetuti più o meno regolarmente ogni 4 anni. A quello di Parigi, Hilbert, che era già un anni. A quello di Parigi, Hilbert, che era già un professore famoso a Gottinga, presentò una relazione professore famoso a Gottinga, presentò una relazione in cui proponeva in cui proponeva 23 problemi che a suo giudizio che a suo giudizio sarebbero stati o avrebbero dovuto essere quelli che sarebbero stati o avrebbero dovuto essere quelli che maggiormente avrebbero impegnato l’attenzione dei maggiormente avrebbero impegnato l’attenzione dei matematici del XX secolo.matematici del XX secolo.

La matematica è una scienza viva!La matematica è una scienza viva!

““Se vogliamo farci un’idea del probabile sviluppo della Se vogliamo farci un’idea del probabile sviluppo della conoscenza matematica nell’immediato futuro, dobbiamo conoscenza matematica nell’immediato futuro, dobbiamo passare in rassegna davanti alla nostra mente le questioni passare in rassegna davanti alla nostra mente le questioni irrisolte e guardare ai problemi che la scienza moderna ha di irrisolte e guardare ai problemi che la scienza moderna ha di fronte e la cui soluzione ci aspettiamo dal futuro.”fronte e la cui soluzione ci aspettiamo dal futuro.”

I problemi proposti da Hilbert interessavano la topologia, le I problemi proposti da Hilbert interessavano la topologia, le equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni, la struttura equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni, la struttura del continuo dei numeri reali, gli assiomi dell’aritmetica e del continuo dei numeri reali, gli assiomi dell’aritmetica e altre branche della matematica. Circa metà di essi sono rimasti altre branche della matematica. Circa metà di essi sono rimasti irrisolti, anche perché la matematica si è sviluppata in irrisolti, anche perché la matematica si è sviluppata in parecchie direzioni che non erano state minimamente parecchie direzioni che non erano state minimamente anticipate nel 1900.anticipate nel 1900.

““Fin tanto che una disciplina scientifica presenta una grande Fin tanto che una disciplina scientifica presenta una grande quantità di problemi, essa continua ad essere viva.”quantità di problemi, essa continua ad essere viva.”

STRUTTURA DEI STRUTTURA DEI GRUNDLAGEN

SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERTSISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT

8 ASSIOMI DI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE

4 ASSIOMI DI 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO

5 ASSIOMI DI 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA

ASSIOMA DELLE ASSIOMA DELLE PARALLELE

2 ASSIOMI DI 2 ASSIOMI DI CONTINUITA’

I GRUNDLAGEN IN SINTESII GRUNDLAGEN IN SINTESI Hilbert apre i ‘Grundlagen’ con la seguente frase di Kant: Hilbert apre i ‘Grundlagen’ con la seguente frase di Kant:

““Ogni conoscenza umana parte da intuizioni, procede Ogni conoscenza umana parte da intuizioni, procede attraverso concetti e culmina in ideeattraverso concetti e culmina in idee”;”;

subito dopo elenca i subito dopo elenca i concetti indefiniti: : puntopunto, , rettaretta, , pianopiano, , giacere sugiacere su, , stare frastare fra, , congruenza di coppie congruenza di coppie di puntidi punti e e congruenza di angolicongruenza di angoli; ;

poi presenta il suo sistema di assiomi che riunisce in un solo poi presenta il suo sistema di assiomi che riunisce in un solo insieme la geometria euclidea piana e solida.insieme la geometria euclidea piana e solida.Gli assiomi sono suddivisi in 5 gruppi:Gli assiomi sono suddivisi in 5 gruppi:assiomi di assiomi di connessioneconnessione, assiomi di , assiomi di ordinamentoordinamento, assiomi di , assiomi di congruenzacongruenza, assioma delle , assioma delle paralleleparallele e assiomi di e assiomi di continuitàcontinuità..

… … tavoli, sedie e boccali di birra …tavoli, sedie e boccali di birra …

Secondo Hilbert, non è Secondo Hilbert, non è necessario assegnare alcun necessario assegnare alcun significato esplicito ai significato esplicito ai concetti indefiniti. Questi . Questi elementi, punto, retta, piano elementi, punto, retta, piano ed altri, potrebbero essere ed altri, potrebbero essere sostituiti, come disse Hilbert sostituiti, come disse Hilbert stesso, “da TAVOLI, stesso, “da TAVOLI, SEDIE, BOCCALI DI SEDIE, BOCCALI DI BIRRA” e da altri oggetti. BIRRA” e da altri oggetti. Gli assiomi non sono verità Gli assiomi non sono verità evidenti in sé, ma devono evidenti in sé, ma devono essere considerati arbitrari, essere considerati arbitrari, anche se, di fatto, sono anche se, di fatto, sono suggeriti dall’esperienza”suggeriti dall’esperienza”

GLI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE GLI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE (o di incidenza)(o di incidenza)

1.1. Per ogni coppia di punti A e B, esiste una retta Per ogni coppia di punti A e B, esiste una retta aa che giace su A e B che giace su A e B

2.2. Per ogni coppia di punti A e B, esiste al più una retta Per ogni coppia di punti A e B, esiste al più una retta aa che giace su A e B che giace su A e B

3.3. Su ogni retta ci sono almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non Su ogni retta ci sono almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono su una rettagiacciono su una retta

4.4. Per ogni terna di punti A, B, C che non giacciono su una retta, esiste un Per ogni terna di punti A, B, C che non giacciono su una retta, esiste un piano piano αα che giace su questi tre punti. Su ogni piano c’è almeno un punto che giace su questi tre punti. Su ogni piano c’è almeno un punto

5.5. Per ogni terna di punti non allineati A, B, C esiste non più di un piano che Per ogni terna di punti non allineati A, B, C esiste non più di un piano che li contieneli contiene

6.6. Se due punti di una retta Se due punti di una retta aa giacciono su un piano giacciono su un piano αα, allora ogni punto sulla , allora ogni punto sulla retta giace su retta giace su αα

7.7. Se due piani Se due piani αα e e ββ hanno un punto A in comune, allora hanno almeno un hanno un punto A in comune, allora hanno almeno un altro punto B in comunealtro punto B in comune

8.8. Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso pianoEsistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano

I 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTOI 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO

1.1. Se un punto Se un punto B giace fra i punti A e C, allora A, B, C sono tre punti , allora A, B, C sono tre punti diversi su una retta e inoltre B giace anche fra C e Adiversi su una retta e inoltre B giace anche fra C e A

2.2. Per ogni coppia di punti A e C esiste almeno un punto B sulla retta AC Per ogni coppia di punti A e C esiste almeno un punto B sulla retta AC tale che tale che C giace fra A e B

3.3. Fra tre punti qualsiasi su una retta non più di uno giace fra gli altri dueFra tre punti qualsiasi su una retta non più di uno giace fra gli altri due

DEF. Siano A e B due punti su una retta DEF. Siano A e B due punti su una retta aa, la coppia di punti A, B , la coppia di punti A, B oppure B, A è detta SEGMENTO AB. I punti fra A e B sono detti oppure B, A è detta SEGMENTO AB. I punti fra A e B sono detti punti punti del segmentodel segmento AB o AB o interni al segmentointerni al segmento AB. A e B sono detti AB. A e B sono detti estremi del estremi del segmento. segmento. Si dice che sono Si dice che sono esterni al segmentoesterni al segmento tutti gli altri punti della tutti gli altri punti della rettaretta a. a.

4.4. ((Assioma di Pasch) Siano A, B, C tre punti che non giacciono su una ) Siano A, B, C tre punti che non giacciono su una retta e sia retta e sia aa una retta qualsiasi nel piano di A, B, C che non passa per A, una retta qualsiasi nel piano di A, B, C che non passa per A, B e C. Se B e C. Se aa passa per un punto del segmento AB, allora deve passare passa per un punto del segmento AB, allora deve passare anche per un punto del segmento AC o per un punto del segmento BCanche per un punto del segmento AC o per un punto del segmento BC

I 5 ASSIOMI DI CONGRUENZAI 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA

1.1. Se A, B sono due punti di una retta Se A, B sono due punti di una retta aa e A’ è un punto di e A’ è un punto di aa o di un’altra retta o di un’altra retta a’a’, , allora su un lato fissato (definito in precedenza) di A’ sulla retta allora su un lato fissato (definito in precedenza) di A’ sulla retta a’a’ si può trovare si può trovare un punto B’ tale che il segmento AB sia congruente al segmento A’B’.un punto B’ tale che il segmento AB sia congruente al segmento A’B’.In simboli AB In simboli AB ≡≡ A’B’ A’B’

2.2. Se A’B’ e A”B” sono congruenti ad AB, allora A’B’ Se A’B’ e A”B” sono congruenti ad AB, allora A’B’ ≡≡ A”B” A”B”3.3. Siano AB e BC due segmenti su una retta Siano AB e BC due segmenti su una retta aa privi di punti interni comuni, e siano privi di punti interni comuni, e siano

A’B’ e B’C’ segmenti su una retta A’B’ e B’C’ segmenti su una retta a’a’ privi di punti interni comuni. privi di punti interni comuni.Se AB Se AB ≡≡ A’B’ e BC A’B’ e BC ≡≡ B’C’, allora B’C’, allora AC ≡ A’C’

2.2. Supponiamo che l’angolo <(Supponiamo che l’angolo <(hh,,kk) giaccia su un piano ) giaccia su un piano αα e che la retta e che la retta aa’’ giaccia su giaccia su un piano un piano αα’. Sia fissato un lato di ’. Sia fissato un lato di aa’’ su su αα’. ’. Sia Sia hh’ un raggio di ’ un raggio di aa’ che ’ che emana da un punto O’. Allora in emana da un punto O’. Allora in αα’ esiste uno ed un solo raggio ’ esiste uno ed un solo raggio kk’ tale che ’ tale che l’angolo l’angolo <(<(hh,,kk) è congruente all’angolo ) è congruente all’angolo <<((h’ h’ ,,k’k’) e tale che tutti i punti interni di ) e tale che tutti i punti interni di <(<(h’h’,,k’k’) giacciano su un lato fissato di ) giacciano su un lato fissato di aa’: in simboli <(’: in simboli <(hh,,k) k) ≡ <≡ <((h’h’,,k’k’). ). Inoltre ogni angolo è congruente a se stesso. Inoltre ogni angolo è congruente a se stesso.

Se per due triangoli ABC e A’B’C’ si ha che AB Se per due triangoli ABC e A’B’C’ si ha che AB ≡≡ A’B’, AC A’B’, AC ≡≡ A’C’ e gli angoli A’C’ e gli angoli <BAC <BAC ≡≡ <B’A’C’ allora anche gli angoli <ABC <B’A’C’ allora anche gli angoli <ABC ≡≡ <A’B’C’ <A’B’C’

L’ASSIOMA DELLE PARALLELE

Sia Sia aa una retta e A un punto non di una retta e A un punto non di aa..

Allora nel piano di Allora nel piano di aa e A esiste al più una e A esiste al più una retta per A che non incontra retta per A che non incontra aa..

OSS. L’esistenza di almeno una retta per A che OSS. L’esistenza di almeno una retta per A che non interseca non interseca aa può essere dimostrata e può essere dimostrata e quindi non è necessaria in questo assiomaquindi non è necessaria in questo assioma

I 2 ASSIOMI DI CONTINUITA’I 2 ASSIOMI DI CONTINUITA’

1.1. ((Assioma di Archimede) ) Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta AB una famiglia di punti Aretta AB una famiglia di punti A11, A, A22, … A, … Ann tali che i tali che i segmenti segmenti AAAA11, A, A11AA22, … A, … An-n-11AAnn sono congruenti a CD sono congruenti a CDe tali che B giace fra A e Ae tali che B giace fra A e An .n .

2.2. (Assioma di completezza lineare)(Assioma di completezza lineare)I punti di una retta formano una collezione di punti che, I punti di una retta formano una collezione di punti che, soddisfacendo gli assiomi di connessione, di ordinamento, soddisfacendo gli assiomi di connessione, di ordinamento, di congruenza e di Archimede, non possono essere estesi ad di congruenza e di Archimede, non possono essere estesi ad una collezione più grande che continui a soddisfare gli stessi una collezione più grande che continui a soddisfare gli stessi assiomi.assiomi.

A B C

A BC

a

AB

C

Primo assioma di di ordinamentoordinamento

Secondo assioma di Secondo assioma di ordinamentoordinamento

Assioma di PaschAssioma di Pasch

a’

A B Ca

C’B’A’

A

a

Terzo assioma di Terzo assioma di congruenza

Assioma delle Assioma delle parallele

Assioma di Assioma di ArchimedeA A1 AnBA2 An-1

C D

Il significato ‘Il significato ‘culturale’ della geometria’ della geometria““La geometria è stata al centro di momenti cruciali per lo sviluppo La geometria è stata al centro di momenti cruciali per lo sviluppo

della scienza, anzi della civiltà occidentale: della scienza, anzi della civiltà occidentale: di più essa ne è stata spesso il motoredi più essa ne è stata spesso il motore .” Francesco Speranza.” Francesco Speranza

Purtroppo Purtroppo la divisione delle due culturela divisione delle due culture (scientifica e umanistica) è (scientifica e umanistica) è stata particolarmente nociva per la matematica e per la filosofia che stata particolarmente nociva per la matematica e per la filosofia che costituivano fino all’inizio dell’Ottocento una cerniera fra le due costituivano fino all’inizio dell’Ottocento una cerniera fra le due visioni del mondo. La matematica è stata percepita dall’opinione visioni del mondo. La matematica è stata percepita dall’opinione pubblica principalmente (se non esclusivamente) come pubblica principalmente (se non esclusivamente) come strumento di calcolo, perdendo così gran parte del suo fascino., perdendo così gran parte del suo fascino.

Non è raro trovare in qualche popolare talk-show televisivo Non è raro trovare in qualche popolare talk-show televisivo importanti ed affermati personaggi del mondo della politica, della importanti ed affermati personaggi del mondo della politica, della medicina o dello spettacolo che si vantano di aver raggiunto la loro medicina o dello spettacolo che si vantano di aver raggiunto la loro posizione sociale posizione sociale senza aver mai capito nulla di matematicasenza aver mai capito nulla di matematica ..

Ma allora la tesi di Speranza ricordata poco sopra è falsa? E se invece Ma allora la tesi di Speranza ricordata poco sopra è falsa? E se invece è vera, dove possiamo trovare argomenti che la sostengano?è vera, dove possiamo trovare argomenti che la sostengano?

GEOMETRIA E CULTURAGEOMETRIA E CULTURA(solo alcuni esempi)(solo alcuni esempi)

Geometria e Geometria e filosofia Geometria ed Geometria ed epistemologia Geometria ed Geometria ed arte

Rapporto geometria-filosofiaRapporto geometria-filosofia La La crisi delle grandezze crisi delle grandezze

incommensurabliincommensurabli, viene , viene liquidata come un problema liquidata come un problema tecnico: l’inadeguatezza tecnico: l’inadeguatezza della matematica greca, e ci della matematica greca, e ci si addentra in un mare di si addentra in un mare di calcoli prevalentemente calcoli prevalentemente senza interesse culturalesenza interesse culturale(i (i radicali). ).

Basterebbe sottolineare che Basterebbe sottolineare che questa crisi sconvolse questa crisi sconvolse l’idea l’idea del mondo per i platonicidel mondo per i platonici (insieme finito di punti-(insieme finito di punti-atomi) e soprattutto, atomi) e soprattutto, mettendo in crisi quello che mettendo in crisi quello che i i sensi sembravano asserire sensi sembravano asserire in modo incontrovertibilein modo incontrovertibile, , portò i pensatori greci portò i pensatori greci all’idea che all’idea che solo la ragione solo la ragione può condurre alla vera può condurre alla vera conoscenzaconoscenza: nascita : nascita dell’dell’idealismo. idealismo.

Rapporto tra geom. non euclideeRapporto tra geom. non euclideee nuovo razionalismoe nuovo razionalismo

L’idea di introdurre elementi di geom. non euclidea nei programmi della L’idea di introdurre elementi di geom. non euclidea nei programmi della scuola superiore è ottima, ma c’è il rischio che , invece di sviluppare le scuola superiore è ottima, ma c’è il rischio che , invece di sviluppare le idee più profonde scaturite dalla rivoluzione non euclidea, ci si limiti a idee più profonde scaturite dalla rivoluzione non euclidea, ci si limiti a dimostrare qualche ulteriore teorema magari accompagnato da alcune dimostrare qualche ulteriore teorema magari accompagnato da alcune sparse notizie storiche.sparse notizie storiche.

I principali aspetti epistemologici da mettere in risalto dovrebbero essere: il I principali aspetti epistemologici da mettere in risalto dovrebbero essere: il superamento della vecchia concezionesuperamento della vecchia concezione della geometria; la possibilità di della geometria; la possibilità di pensare per modelli; ; la la doppia naturadoppia natura della geometria: scienza empirica e della geometria: scienza empirica e scienza astratta (descrittrice della realtà e ideatrice di strutture astratte)scienza astratta (descrittrice della realtà e ideatrice di strutture astratte)

““il nuovo razionalismo non può svilupparsi se non in stretta interazione il nuovo razionalismo non può svilupparsi se non in stretta interazione con il pensiero scientifico e poiché il pensiero scientifico si trasforma, con il pensiero scientifico e poiché il pensiero scientifico si trasforma, anche il nuovo razionalismo non può pretendere in alcun momento di aver anche il nuovo razionalismo non può pretendere in alcun momento di aver trovato la soluzione definitiva ai problemi epistemologici.”(Gonseth, 1937)trovato la soluzione definitiva ai problemi epistemologici.”(Gonseth, 1937)

Modelli di Modelli di Geometrie Non Euclidee

Modello di Poincarè, , geom iperbolica

Modello di geometria ellittica

Modello diModello di

geometriageometria

iperbolica

Modello di PoincaréModello di Poincaré

È un modello per la È un modello per la geometria iperbolica pianapiana::

il il pianopiano è un è un cerchiocerchio;;

le le retterette sono sono archi di cerchioarchi di cerchio (interni al (interni al cerchio fissato, che lo tagliano cerchio fissato, che lo tagliano ortogonalmente) e le ortogonalmente) e le rette per il suo rette per il suo centrocentro. .

Data una retta Data una retta rr ed un punto P che non ed un punto P che non le appartiene, esistono infinite rette le appartiene, esistono infinite rette passanti per P e parallele ad passanti per P e parallele ad r.r.

Le rotte aeree sono archi di cerchi massimiLe rotte aeree sono archi di cerchi massimi

È un modello per la È un modello per la geometria ellittica::il piano è la superficie di il piano è la superficie di una sfera;una sfera;le rette sono cerchi massimi le rette sono cerchi massimi sulla sfera ( ad esempio sulla sfera ( ad esempio l’equatore e i meridiani l’equatore e i meridiani terrestri)terrestri)

Data una retta Data una retta rr ed un punto ed un punto P che non le appartiene, non P che non le appartiene, non esiste alcuna retta passante esiste alcuna retta passante per P e parallela ad per P e parallela ad r.r.

Rapporto geometria-arteRapporto geometria-arte LeonBattista Alberti (1435) LeonBattista Alberti (1435)

e Piero della Francesca e Piero della Francesca (1478) Albrecht Durer (1478) Albrecht Durer (1525) anticipano di circa (1525) anticipano di circa 200 anni la 200 anni la geometria geometria proiettivaproiettiva e con e con l’invenzione della l’invenzione della prospettivaprospettiva e del e del punto di punto di fugafuga sconfiggono l’ sconfiggono l’horror horror infinitiinfiniti dei greci dei greci

A lato: “A lato: “Flagellazionedi CristoFlagellazionedi Cristo”, di ”, di Piero della Francesca(Galleria Piero della Francesca(Galleria Nazionale delle Marche, Urbino) e Nazionale delle Marche, Urbino) e ““Creazione meccanica dell’immagine Creazione meccanica dell’immagine prospetticaprospettica”, di Albrecht Durer”, di Albrecht Durer

geometria e arte:geometria e arte:MAURITS CORNELIS ESCHERMAURITS CORNELIS ESCHER

Gruppi di trasformazioni inGruppi di trasformazioni inMAURITS CORNELIS ESCHERMAURITS CORNELIS ESCHER

Gruppi di trasformazioni Gruppi di trasformazioni nell’ARTE ARABAnell’ARTE ARABA

BIBLIOGRAFIA ESSENZIALEBIBLIOGRAFIA ESSENZIALE Carl B. BOYER, Carl B. BOYER, Storia della matematicaStoria della matematica, Arnoldo Mondadori Editore, Arnoldo Mondadori Editore Morris KLINE, Morris KLINE, Storia del pensiero matematicoStoria del pensiero matematico, Biblioteca Einaudi, Biblioteca Einaudi Francesco SPERANZA, Francesco SPERANZA, Scritti di epistemologia della matematicaScritti di epistemologia della matematica, ,

Pitagora Editrice Bologna Pitagora Editrice Bologna R. COURANT e H. ROBBINS, R. COURANT e H. ROBBINS, Che cos’è la matematica?Che cos’è la matematica?, Serie , Serie

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Le matematicheLe matematiche, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Nikolaj LOBACEVSKIJ, Nikolaj LOBACEVSKIJ, Nuovi principi della geometria (con una teoria Nuovi principi della geometria (con una teoria

completa delle parallele)completa delle parallele), Serie Scientifica, Bollati Boringhieri, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Bernhard RIEMANN, Bernhard RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometriaSulle ipotesi che stanno alla base della geometria, ,

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matematica)matematica), La Nuova Italia, La Nuova Italia M.C. ESCHER, M.C. ESCHER, Grafica e disegniGrafica e disegni, Taschen, Taschen

RINGRAZIO:RINGRAZIO:

AnnaAnna, , GiorgiaGiorgia e e RiccardoRiccardo per la loro pazienza nei per la loro pazienza nei miei confronti e per l’amore che sempre mi donano;miei confronti e per l’amore che sempre mi donano;

LauraLaura per avermi trasmesso la passione per la ricerca per avermi trasmesso la passione per la ricerca e il desiderio di capire;e il desiderio di capire;

Il Prof. Eugeni e la Prof.ssa Ghiraldini per avermi Il Prof. Eugeni e la Prof.ssa Ghiraldini per avermi dato l’occasione di realizzare questo lavoro.dato l’occasione di realizzare questo lavoro.