Universite Paris Dauphine2019-2020

Geometrie et systemes dynamiquesNotes de cours

Table des matieres

1. Calcul differentiel 31.1. Differentiabilite 31.2. Inversion locale et fonction implicite 31.3. Immersions, submersions 42. Sous-varietes de Rn 62.1. Sous-varietes generales 62.2. Courbes 82.3. Surfaces de R3 113. Equations differentielles 153.1. Flot d’une equation differentielle 153.2. Equations differentielles lineaires 183.3. Equilibres d’une equation differentielle autonome 20

Avertissement. Les notes qui suivent ont pour objet d’indiquer les grandeslignes du cours. Elles ne sont en aucun cas un “polycopie” de cours : lesenonces sont sommaires et les preuves systematiquement omises. Le lecteurtrouvera cependant des references sur chacun des chapitres. En particulier,nous faisons frequemment reference aux ouvrages ou aux cours en lignesuivants :

• Benzoni S. Calcul differentiel et equations differentielles,SMAI Dunod, 2010• Cartan H. Cours de calcul differentiel, Paris, Hermann, 1977.• Fejoz J. “Calcul differentiel et optimisation.” Cours de Universite

Paris-Dauphine• Lecomte, P. “Courbes et surfaces.”

https://www.geothalg.ulg.ac.be/CourbesSurfaces.pdf• Marle C.-M. Systemes dynamiques - une introduction. El-

lipse, 2003.• Pierron T. “Geometrie differentielle”, cours ENS Ker Lann

perso.eleves.ens-rennes.fr/ tpier758/cours/gedi.pdf

• Pierron T. “Equations differentielles et phenomenes de transport”,cours ENS Ker Lannperso.eleves.ens-rennes.fr/ tpier758/cours/edph.pdf

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• Texier B. “Geometrie differentielle”https://webusers.imj-prg.fr/ benjamin.texier/enseignement/geodiff/2015/cours-geodiff.pdf

Nous conseillons vivement au lecteur de consulter ces ouvrages pour lesenonces precis des resultats, le detail des demonstrations et d’eventuels ap-profondissements. Pour aller plus loin, quelques autres references classiquessur le sujet sont :

• Arnold V., Equations differentielles ordinaires. EditionsMir, Moscow, 1974• Berger M. et Gostiaux B., Geometrie differentielle: varietes,

courbes et surfaces. Collection Mathematiques. Puf, 1992• Do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves

and Surfaces: Revised and Updated Second Edition. CourierDover Publications.• Mneimne, R. et Testard, F. (1986). Introduction a la theorie

des groupes de Lie classiques (Vol. 41). Hermann.• Verhulst F. Nonlinear differential equations and dynami-

cal systems. Springer Science & Business Media, 2006.

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1. Calcul differentiel

References : Benzoni Chap. 1, Fejoz, Cartan Partie I.

Cette partie est un bref rappel de calcul differentiel : ces notions sont indis-pensables dans le reste des notes. Meme si nous travaillerons pour l’essentielen dimension finie dans la suite, il est plus simple de considerer ici des es-paces un peu plus generaux.

1.1. Differentiabilite. Soient E,F deux EVN (EVN=espaces vectorielsnormes). On note L(E,F ) l’ensemble des applications lineaires continues deE dans F . On rappelle que L(E,F ) est un EVN pour la norme habituelle:

‖L‖L(E,F ) := supx 6=0

‖L(x)‖F‖x‖E

.

Si F = E, on pose L(E) = L(E,E). Rappelons que, si F est complet, alorsL(E,F ) l’est aussi.

Definition 1.1. Soit E,F deux EVN, U un ouvert de E et x ∈ U . Uneapplication f : U → F est differentiable en x s’il existe L ∈ L(E,F ) telleque

lim‖h‖E→0

‖f(x+ h)− f(x)− L(h)‖F‖h‖E

= 0

La fonction L est unique et on pose df(x) = L.

A bien connaıtre : derivee de composees de fonctions, fonction de classeC1, theoreme des accroissements finis, derivees partielles, derivees d’ordresuperieur.

1.2. Inversion locale et fonction implicite. On rappelle qu’un isomor-phisme de E dans F est un element u ∈ L(E,F ) tel qu’il existe v ∈ L(F,E)avec u ◦ v = idF et v ◦ u = idE .

Definition 1.2. Soient U et V des ouverts de E et F respectivement. Ondit que f : U → V est un diffeomorphisme sii) f est une bijection de U dans V ,ii) f est C1 de U dans Viii) f−1 est C1 de V dans U .

Rappelons que l’on peut exprimer la differentielle de f−1 en fonction decelle de f :

Proposition 1.3. Si f est un diffeomorphisme de U dans V , alors pourtout x ∈ U , df(x) est un isomorphisme de E dans F et pour tout y ∈ V ,

df−1(y) = (df(f−1(y)))−1.

A partir de maintenant, on suppose que E et F sont complet (et donc queE et F sont deux espaces de Banach). On rappelle que dans ce cas, si u ∈L(E,F ) est bijective, alors u−1 est automatiquement continue. Autrement

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dit, si u est lineaire, continue et bijective de E dans F , alors u est unisomorphisme de E dans F (voir par exemple Brezis, “Analyse fonctionnelleet applications”, Masson 1983, Cor. II.6). De plus, l’ensemble Isom(E,F )des isomorphismes de E dans F est un sous-ensemble ouvert de L(E,F ).Une remarque centrale pour montrer cela, est que si u ∈ L(E) et si ‖u −idE‖L(E) < 1, alors u est un isomorphisme de E.

Theoreme 1.4 (Inversion locale). Soient E et F deux espaces de Banach,U un ouvert de E, f : U → F de classe C1 sur U et x0 ∈ U . On supposeque df(x0) est un isomorphisme de E dans F . Alors il existe un ouvert Ux0contenant x0 (et contenu dans U), un ouvert Vy0 contenant y0 = f(x0) telsque f : Ux0 → Vy0 est un diffeomorphisme.

Theoreme 1.5 (Fonctions implicites). Soient E,F,G trois espaces de Ba-nach, U un ouvert de E × F , f : U → G de classe C1 et (x0, y0) ∈ U avecf(x0, y0) = 0. Si ∂yf(x0, y0) est bijective de F dans G, alors il existe desouverts U ′, V de U et E respectivement, avec (x0, y0) ∈ U ′ et x0 ∈ V , etune application g : V → F de classe C1 tels que, pour tout (x, y) ∈ U ,[

(x, y) ∈ U ′ et f(x, y) = 0]⇐⇒

[x ∈ V et y = g(x)

].

Idee de preuve. On considere l’application φ :

{U → E ×G(x, y)→ (x, f(x, y))

. Alors

φ est C1 et dφ(x0, y0) =

(idE 0

∂xf(x0, y0) ∂yf(x0, y0)

)est bijective. On peut

donc appliquer le theoreme d’inversion locale. �

1.3. Immersions, submersions.

Definition 1.6. Soient n, p ∈ N\{0}, U un ouvert de Rn, f : U → Rp declasse C1 et x0 ∈ U . On dit que f est une immersion (resp. submersion)en x0 si df(x0) est injective (resp. surjective) de Rn dans Rp.

Remarque : immersion n ≤ p, submersion n ≥ p.Theoreme 1.7 (Forme normale des immersions). Ici, n ≤ p. Si f est uneimmersion en 0 et telle que f(0) = 0, alors il existe un diffeomorphismelocal ψ d’un voisinage V de 0 dans Rp avec ψ(0) = 0 tel que

ψ ◦ f(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0)

pour tout x = (x1, . . . , xn) ∈ V .

Les conditions x0 = 0 et f(0) = 0 sont juste ici pour fixer les idees. Letheoreme affirme qu’au voisinage de 0, f ressemble a l’injection canoniqueι : Rn → Rp definie par ι(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0).

Idee de preuve. A un changement de variable pres, on peut supposer queIm(df(x0)) = V ect{e1, . . . , en}. Puis on considere φ : Rp → Rp definie par

ψ(x1, . . . , xn) = φ(x1, . . . , xn) + (0, . . . 0, xn+1, . . . , xp).

etc... �

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Theoreme 1.8 (Forme normale des submersions). Ici n ≥ p. Si f est unesubmersion en 0 avec f(0) = 0, alors il existe un diffeomorphisme φ d’unvoisinage V de 0 dans Rn tel que φ(0) = 0 et

f ◦ φ(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xp).

pour tout (x1, . . . , xn) ∈ V .

Autrement dit, f ressemble a la projection canonique de Rn dans Rp.

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2. Sous-varietes de Rn

Ce chapitre est une breve introduction a la geometrie des courbes et sur-faces, et, plus generalement, aux sous-varietes d’espaces de dimension finie.

2.1. Sous-varietes generales.References : Texier Chap. 2.

2.1.1. Definitions equivalentes.

Definition 2.1. On dit qu’un sous-ensemble M de Rn est une sous-variete(sans bord) de dimension m (avec m < n) si, pour tout x ∈ M , il existedeux ouverts U et V de Rn avec x ∈ U et 0 ∈ V et un diffeomorphismeφ : U → V tels que

φ(U ∩M) = V ∩ (Rm × {0n−m}).

On dit que U est de classe Ck (k ≥ 1) si φ est de classe Ck.

Afin de manipuler mieux les sous-varietes, il est necessaire de possederdes definitions equivalentes (meme si cela peut semble a premiere vue unpeu fastidieux).

Theoreme 2.2 (Le point de vue des submersions). Soit M un sous-ensemblede Rn et m < n. Alors M est une sous-variete de dimension m si et seule-ment si, pour tout x ∈ M , il existe un voisinage ouvert U de x dans Rn etune submersion f : U → Rn−m telle que

f−1({0n−m}) = M ∩ U.

De plus, M est de classe Ck, si et seulement si, f est de classe Ck.

Theoreme 2.3 (Le point de vue des graphes). Soit M un sous-ensemblede Rn et m < n. Alors M est une sous-variete de dimension m si et seule-ment si, pour tout x ∈ M , il existe un systeme de coordonnees de Rn,un ouvert U de Rn contenant x = (x1, . . . , xn), un ouvert V de Rm con-tenant (x1, . . . , xm) et une application h : V → Rn−m de classe C1 avech(x1, . . . , xm) = (xm+1, . . . , xn) et

M ∩ U = {(y, h(y)), y ∈ V }

De plus, M est de classe Ck, si et seulement si, h est de classe Ck.

Theoreme 2.4 (Le point de vue des parametrages). Soit M un sous-ensemble de Rn et m < n. Alors M est une sous-variete de dimensionm si et seulement si, pour tout x ∈ M , il existe un ouvert U de Rn con-tenant x, un ouvert V de Rm contenant 0, une application ψ : V → Rn declasse C1 avec ψ(0) = x, ψ(V ) = M ∩ U et dψ(0) injective.

De plus, M est de classe Ck, si et seulement si, ψ est de classe Ck.

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2.1.2. Espace tangent. Un arc parametre de Rn est la donnee d’un couple(I, γ) ou I est un intervalle ouvert non vide de R et γ : I → Rn de classeC1.

Soit M une sous-variete de Rn de dimension m. Un arc parametre de Mest un arc parametre (I, γ) tels que γ(I) ⊂M .

Definition 2.5. Soit x ∈M . On appelle espace tangent a M en x l’ensembledes vecteurs γ′(t) ou (I, γ) est un arc de M , t ∈ I et γ(t) = x. Cet ensembleest note Tx(M).

Theoreme 2.6. L’espace tangent TxM a M en x est un espace vectoriel dedimension m. De plus il est donne par

(i) (en utilisant la definition) TxM = dφ(x)−1(Rm × {0n−m}),(i) (en terme de submersion) TxM = Ker(df(x)),

(ii) (en terme de graphe) TxM = {(v, dh(0) · v), v ∈ Rm},(iii) (en terme de parametrage) TxM = Im(dψ(0)).

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2.2. Courbes.References : Lecomte, Partie 1.

2.2.1. Definitions. Une sous-variete de dimension m = 1 de Rn est appeleeune courbe. Par definition d’une variete, cette notion est directement liee acelle d’arc parametre que nous detaillons maintenant.

Definition 2.7. 1) Un arc parametre de Rn est la donnee d’un coupe (I, γ)ou I est un intervalle de R et γ : I → Rn est une fonction de classe C1.L’arc est de classe Ck (k ∈ N∗) si γ est Ck.2) On dit que deux arcs parametres (I, x) et (J, y) definissent un meme arcgeometrique s’il existe un diffeomorphisme θ : J → I tel que y(t) = x(θ(t))pour tout t ∈ J . On parle d’arc geometrique oriente si, de plus, θ estcroissante.

Proposition 2.8. Soit (I, γ) un arc parametre, t ∈ I et x = γ(t). On ditque x est un point regulier de γ si γ′(t) 6= 0. Dans ce cas, il existe ε > 0 telque C := γ(]t− ε, t+ ε[) est une variete de dimension 1 d’espace tangent

TxC = Rγ′(t).Si tous les points d’un arc parametres sont reguliers, on dira que cet arc estregulier.

Attention, un arc parametre regulier n’est pas une variete en general, carl’arc peut avoir des points multiples, c’est-a-dire des points s < t dans I telsque γ(s) = γ(t) mais γ(·) et γ(· − t+ s) ne coıncident pas dans un voisinagede s. Typiquement, c’est le cas si γ(s) = γ(t) et γ′(s) 6= γ′(t).

2.2.2. Longueur d’une courbe. Soit (I, γ) un arc parametre (pas necessairementregulier) et [a, b] ⊂ I. On note par ∆ l’ensemble des partitions δ = (ti)i=0,...,n

de [a, b] : a = t0 < t1 < · · · < tn = b. On pose

Lδ(γ) :=

n−1∑i=0

‖γ(ti+1)− γ(ti)‖.

(ici et dans toute la suite, ‖ · ‖ est la norme euclidienne de Rn). La longueurde la courbe γ sur [a, b] est donnee par

L(γ, [a, b]) = supδ∈∆

Lδ(γ).

Theoreme 2.9. Soit (I, γ) un arc parametre (de classe C1) et [a, b] ⊂ I.Alors

L(γ, [a, b)) =

∫ b

a‖γ′(t)‖dt.

La longueur d’arc ne depend pas du choix de la parametrisation, au sensou, si (J, y) est une autre parametrisation de (I, x) avec y = x◦θ et θ : J → Idiffeomorphisme, alors

L(γ, a, b) = L(γ, a, b)

si θ(a) = a, θ(b) = b.

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2.2.3. Abscisse curviligne et courbure.

Theoreme 2.10 (Absisse curviligne). Soit (I, γ) un arc parametre regulier.Alors il existe un parametrage equivalent (J, γ) de (I, γ), tel que, pour tout[a, b] ⊂ J ,

L(γ, a, b) = b− a.Autrement dit ‖γ′(t)‖ = 1 pour tout t ∈ J .

Idee de preuve. Pour fixer les idees, on suppose que 0 ∈ I. Soit φ(t) =∫ t0 ‖γ

′(s)‖ds. Comme φ′ > 0, φ est un diffeomorphisme de I sur son image

J . On pose alors γ(s) = γ(φ−1(s)) et on a bien

‖γ′(s)‖ = ‖γ′(φ−1(s))/φ′(φ−1(s))‖ = 1.

�

Definition 2.11 (Courbure d’un arc). Soit A = (I, γ) un arc regulierparametre par abscisse curviligne. Si x = γ(t) avec t ∈ I, la courburede l’arc A en x est KA(t) := ‖γ′′(t)‖.

Remarque : la definition ne depend pas du parametrage (par abscissecurviligne) choisi.

Remarque 2.12. En general, il est difficile de calculer une abscisse curviligned’un arc regulier A = (I, γ). En utilisant le fait que, si θ′(t) = 1/‖γ′(θ(t))‖,alors γ ◦ θ est parametre par abscisse curviligne, on obtient

KA(t) =

∥∥∥∥ γ′′(t)

‖γ′(t)‖2− τ〈γ′′(t), τ〉‖γ′(t)‖2

∥∥∥∥ ou τ =γ′(t)

‖γ′(t)‖.

Definition 2.13. On suppose que A = (I, γ) est un arc de classe C2 dansRn (n ≥ 3). On dit que cet arc est bi-regulier en x = γ(t) si les vecteurs γ′(t)et γ′′(t) sont lineairement independants. Dans ce cas, le plan osculateur aA en γ(t) est l’espace vectoriel engendre par γ′(t) et γ′′(t).

Remarque 2.14. Si de plus A = (I, γ) est parametre par abscisse curviligne,alors on appelle τ(t) la tangente a A en γ(t), n(t) = γ′′(t)/‖γ′′(t)‖ la nor-male a A en γ(t). On a la relation τ ′(t) = KA(t)n(t) (puisque τ ′(t) = γ′′(t)).

Si la courbe est plane et de classe C3, alors on a egalement la relation :n′(t) = −KA(t)τ(t). En effet, comme ‖n(t)‖ = 1, n′(t) est orthogonal a n(t)et donc parallele a τ(t) (on en en dimension 2). Or en derivant la relationn(t) · τ(t) = 0, on obtain

0 = n′(t) ·τ(t)+n(t) ·τ ′(t) = n′(t) ·τ(t)+KA(t)‖n(t)‖2 = n′(t) ·τ(t)+KA(t).

Proposition 2.15 (Cercle osculateur). Soit A = (I, γ) un arc regulierparametre par abscisse curviligne et x = γ(t) un point biregulier de A. Alorsil existe un unique cercle (R, γ) osculateur a A en p, c’est-a-dire tel que

γ(t) = γ(t), γ′(t) = γ′(t), ‖γ(s)− γ(s)‖ = o((s− t)2).

C’est le cercle contenu dans le plan osculateur, de rayon 1/KA(t) et de centre(le centre de courbure) x+ (KA(t))−2γ′′(t).

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2.2.4. Theorie globale.

Definition 2.16. On dit qu’un arc parametre (I, γ) est simple si γ(t) 6= γ(s)∀s 6= t.

Lemme 2.17. Si C est une courbe de Rn et est fermee (au sens topologique),alors il existe un arc parametre regulier et simple (I, γ) tel que

- soit I = R et γ(I) = C. Dans ce cas, C n’est pas compacte,- soit I = (a, b), γ et γ′ sont prolongeables par continuite sur [a, b] avec

γ(a) = γ(b) et γ′(a) = γ′(b) et C = γ(I) ∪ {γ(a)}. Dans ce cas C est com-pacte. On dit alors que la courbe C est une courbe fermee simple (attentiona l’ambiguıte de la terminologie).

Les resultats suivants, qui jouent un role important en analyse et engeometrie, seront enonces sans demonstration (celles-ci sont assez delicates).

Theoreme 2.18 (Theoreme de Jordan). Soit C une courbe fermee simplede R2. Alors R2\C possede deux composantes connexes distinctes, l’uneetant bornee et l’autre non. Toutes deux ont pour frontiere la courbe C.

En fait le resultat est egalement vrai lorsque la courbe est seulement declasse C0.

Une extension : le theoreme de Jordan-Brouwer. Soit n un entier (superieurou egal a 1) et f une application continue et injective de la sphere Sn dedimension n dans Rn+1. Alors le complementaire de f(Sn) est forme dedeux composantes connexes, dont l’une est bornee et l’autre non. Toutesdeux ont pour frontiere f(Sn).

Theoreme 2.19. Si A = (]a, b[, γ) est une courbe simple de R2, parametreepar abscisse curviligne et telle que γ(a) = γ(b) et γ′(a) = γ′(b), alors∫ b

aKA(t)dt = 2π.

De facon generale, si A n’est pas une courbe simple, alors∫ ba KA(t)dt est

un multiple entier de 2π.

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2.3. Surfaces de R3.

References : Lecomte, Partie 2.

Dans cette partie on s’interesse aux surfaces (= varietes de dimension 2)dans R3.

2.3.1. Premiere forme fondamentale.

Definition 2.20. Soit Σ une surface. Un systeme de coordonnees (U, f) deΣ en un point p ∈ Σ est la donnee d’un ouvert de R2 contenant (0, 0), d’unouvert de R3 contenant p et d’une immersion f : U → V tel que f(0, 0) = p.

On rappelle qu’un tel systeme de coordonnees existe en tout point p ∈ Σ(theoreme 2.4).

Etant donne un point p ∈ Σ, on considere la restriction du produit scalairede R3 a l’espace tangent TpΣ :

Ip(X,Y ) = 〈X,Y 〉 ∀X,Y ∈ TpΣ.C’est la premiere forme fondamentale de Σ en p.

Dans le repere (U, f), une base de TpΣ est { ∂f∂x1 (p), ∂f∂x2 (p)}. Donc unematrice de la forme bilineaire Ip est dans cette base

αf (x) =

(〈 ∂f∂x1 (p), ∂f∂x1 (p)〉 〈 ∂f∂x1 (p), ∂f∂x2 (p)〉〈 ∂f∂x1 (p), ∂f∂x2 (p)〉 〈 ∂f∂x2 (p), ∂f∂x2 (p)〉

)= (Jf (x))TJf (x),

ou Jf (x) est la matrice Jacobienne de φ en x.

Remarque : si (V, g) est un autre systeme de coordonnees de Σ au pointp, alors (quitte a restreindre les ouverts U et V , il existe un diffeomorphismeφ : V → U tel que g = f ◦ φ. Alors

αg(x) = (Jφ(x))Tαf (φ(x))Jφ(x)

ou Jφ(x) est la matrice Jacobienne de φ en x (par formule de changementde variable).

Application : longueur et angles en coordonnees. Soit (I, γ) unarc parametre de Σ. On sait que la longueur de γ entre a et b (ou a, b ∈ I)est donnee par

L(γ, [a, b]) =

∫ b

a‖ γ′(t)‖dt =

∫ b

a〈 γ′(t), γ′(t)〉1/2dt.

Si (U, f) est un systeme de coordonnees et si γ(I) ⊂ f(U), alors on aimeraitpouvoir calculer la longueur de la courbe γ(t) := f−1(γ(t)) (qui est aussiune courbe de classe C1) qui est dans U . Comme γ(t) = f ◦ γ(t),

γ′(t) = df(γ(t))(γ′(t)) =∂f

∂x1(γ(t))γ′1(t) +

∂f

∂x2(γ(t))γ′2(t)

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et donc

L(γ, [a, b]) =

∫ b

a

((γ′(t))Tαf (γ(t))γ′(t)

)1/2dt.

Cela explique comment (l’expression en coordonnees de) la premiere formefondamentale est liee a la longueur d’une courbe sur la surface.

Mesure des angles : Si X,Y sont deux vecteurs de R3, l’angle entre X etY est donne par arcos〈X/‖X‖, Y/‖Y ‖〉. Si on definit V et W dans R2 telsque Jf (x)V = X, Jf (x)W = Y , alors cet angle est egal a

arcos

(V T

(V Tαf (x)V )1/2αf (x)

W

(W Tαf (x)W )1/2

).

Exemple : dans la portion de S2 definie par φ(x1, x2) = (x1, x2,√

1− x21 − x2

2)dans U = {x2

1 + x22 < 1}, on a

Jf (x) =

1 00 1−x1

(1−x21−x22)1/2−x2

(1−x21−x22)1/2

,

et donc

αf (x) =1

1− x21 − x2

2

(1− x1

2 x1x2

x1x2 1− x21

)Noter que αf (x) n’est proportionnelle a l’identite qu’en (0, 0) et donc leslongueurs calculees sur la carte U ne sont jamais egales a celles sur la sur-face S1.

Projections de Mercator. On represente S2 par g(u, v) = (cosu cos v, sinu cos v, sin v)dans V =]− π/2, 3π/2[×]− π/2, π/2[. On montre que

αg(u, v) =

(cos(v)2 0

0 1

)Pour le cylindre, que l’on peut localement parametrer par f(x, θ) =

(x, cos(θ), sin(θ)) pour (x, θ) ∈ R×]− π/2, 3π/2[, on a

αf (x, θ) =

(1 00 1

)On peut mesurer les longueurs et les angles en coordonnees comme si lecylindre etant plan.

2.3.2. Application de Gauss.

Definition 2.21. Une application de Gauss est une application continue νde Σ dans la sphere S2 ⊂ R3 telle que νp est orthogonal a TpΣ en tout pointp ∈ Σ.

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Si (f, U) est un parametrage de Σ, alors une application de Gauss estdonnee par

Nf (x) =

∂f∂x1

(x) ∧ ∂f∂x2

(x)

‖ ∂f∂x1 (x) ∧ ∂f∂x2

(x)‖.

Remarque : il est clair que si ν est une application de Gauss, alors −ν aussiet que ν et −ν sont les seules possibles. La donnee d’une application deGauss definit une orientation de la surface.

Par exemple, sur S2, on peut prendre νp = p.

2.3.3. Seconde forme fondamentale, Courbure. On considere une applica-tion de Gauss ν : Σ→ S2 ⊂ R3 (donc une orientation de Σ). Sa differentielleen un point p ∈ Σ est l’application de TpΣ dans lui-meme definie, pour toutX ∈ TpΣ par

dpν ·X = (ν ◦ γ)′(0)

ou (I, γ) est un arc parametre de Σ avec γ(0) = p et γ′(0) = X. Noterque, comme ‖νp‖ = 1 pour tout p, (ν ◦ γ)′(0) est orthogonal a νp et doncappartient a TpΣ.

Cette definition ne depend pas du choix de γ puisqu’en coordonnees, ona

dpν ·X = dNf (x) · [df(x)]−1X.

Par exemple, pour S2, on a

dpν ·X = X.

Proposition 2.22. L’application dpν est lineaire et symetrique sur TpΣ, ausens ou

〈dpνX, Y 〉 = 〈X, dpνY 〉 ∀X,Y ∈ R3.

Preuve. En effet, il suffit de montrer la symetrie en coordonnees, c’est-a-dire

〈dpν ·∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x)〉 = 〈 ∂f

∂x1(x), dpν ·

∂f

∂x2(x)〉.

Par definition,

dpν ·∂f

∂x1(x) =

∂Nf

∂x1(x).

D’autre part, comme ∂f∂x2

(x) ∈ TpΣ, on a

〈 ∂f∂x2

(x), Nf (x)〉 = 0.

Donc, en derivant par rapport a x1:

〈 ∂2f

∂x1∂x2(x), Nf (x)〉+ 〈 ∂f

∂x2(x),

∂Nf

∂x1(x)〉 = 0.

Comme d’apres le theoreme de Schwarz le membre de gauche est symetriquepar rapport a x1 et x2, il en est de meme pour le membre de droite. �

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La second forme fondamentale est la forme bilineaire sur TpΣ :

IIp(X,Y ) = −〈dpν ·X,Y 〉.Par exemple, sur S2, on a

IIp(X,Y ) = −〈X,Y 〉.

Proposition 2.23. Soit (I, γ) un arc de classe C2 sur M avec γ(0) = p,γ′(0) = X ∈ TpΣ. Alors

〈γ′′(0), νp〉 = IIp(X,X).

Preuve. On a〈γ′(t), ν ◦ γ(t)〉 = 0.

Donc, en derivant en t = 0,

〈γ′′(0), νp〉+ 〈X, dpν ·X〉 = 0.

�

Definition 2.24. On appelle courbure de Gauss en p le determinant de lamatrice associee a IIp (comme forme bilineaire symetrique).

(la courbure est independante de l’orientation).

Par exemple, sur S2, la matrice associee a IIp est −I2 (l’identite de R2)et donc la courbure est 1.

Deux nappes Σ1 et Σ2 sont dite isometriques s’il existe des systemes decoordonnees (U, φ) et (V, ψ) sur Σ1 et Σ2 tels que αφ = αψ.

Par exemple, le cylindre est (localement) isometrique au plan.

Theoreme 2.25 (Theorema Egregium de Gauss, admis). Deux nappesisometriques ont meme courbure.

En particulier, la sphere n’est pas (meme localement) isometrique au plan.

15

3. Equations differentielles

La seconde partie du cours est consacree aux equations differentielles.Apres un rappel des theorie d’existence et d’unicite (theorie de Cauchy-Lipschitz), on discutera de la differentiabilite de la solution par rapport a ladonnee initiale et le lien avec les equations de transport. Puis on revisiterala theorie des equations differentielles lineaires, avant d’etudier la stabilitedes solutions au voisinage d’un equilibre.

3.1. Flot d’une equation differentielle.References : Benzoni, Chap. 5, Marle Chap. II.

3.1.1. Le probleme de Cauchy.

Lemme 3.1 (Gronwall). Soient T > 0 et u : [0, T ] → R une fonctioncontinue verifiant une inegalite du type :

u(t) ≤ c(t) +

∫ t

0a(s)u(s)ds ∀t ∈ [0, T ],

ou a et c sont des applications continues et positives sur [0, T ]. Alors

u(t) ≤ c(t) +

∫ t

0c(s)a(s) exp{

∫ t

sa(τ)dτ}ds ∀t ∈ [0, T ].

Preuve. On pose U(t) =∫ t

0 a(s)u(s)ds. Alors U est de classe C1 et

d

dt

[exp{−

∫ t

0a(s)ds}U(t)

]= exp{−

∫ t

0a(s)ds} [−a(t)U(t) + a(t)u(t)]

≤ exp{−∫ t

0a(s)ds} [−a(t)U(t) + a(t)c(t) + a(t)U(t)]

= exp{−∫ t

0a(s)ds}a(t)c(t).

On integre cette inegalite entre 0 et T . Comme U(0) = 0, on obtient :

exp{−∫ t

0a(s)ds}U(t) ≤

∫ t

0exp{−

∫ s

0a(τ)dτ}a(s)c(s)ds.

Par consequent,

u(t) ≤ c(t) +U(t) ≤ c(t) + exp{∫ t

0a(s)ds}

∫ t

0exp{−

∫ s

0a(τ)dτ}a(s)c(s)ds,

d’ou le resultat. �

Soit I un intervalle de R, U un ouvert d’un espace de Banach E et(t0, x0) ∈ I × E une condition initiale. Soit f : I × U → E une appli-cation continue telle qu’il existe L > 0 avec

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ L‖x− y‖E ∀(t, x, y) ∈ I × U × U.On dit dans ce cas que f est globalement lipschitzienne dans I × U .

16

Theoreme 3.2. Il existe un intervalle ouvert J ⊂ I avec t0 ∈ J et unetrajectoire x : J → U de classe C1 solution de{

x′ = f(t, x(t)) t ∈ Jx(t0) = x0

De plus, si (J1, x1) et (J2, x2) sont deux solutions comme ci-dessus, alorsx1 = x2 dans J1 ∩ J2.

A partir de maintenant, on ne suppose plus que f est globalement lip-schitzienne, mais seulement localement lipschitzienne : pour tout (t, x) ∈I × U , il existe un ouvert J inclus dans I et un ouvert V inclus dans U etune constante Lt,x tels que (t, x) ∈ J × V et

‖f(s, y)− f(s, y′)‖ ≤ Lt,x‖y − y′‖E ∀(s, y, y′) ∈ J × V × V.On appelle solution maximale une solution (J, x) qui n’est prolongeable suraucun ouvert strictement plus grand que J . Notons qu’elle existe et estunique (cela vient de Cauchy-Lipschitz, applique sur les petits ouverts (J, V )definis ci-dessus.

Theoreme 3.3 (Comportement aux extremites). Soit (J, x) solution max-imale de l’equation. Si b est la borne superieure de J , alors

• soit b = +∞ ou b /∈ I,• soit, pour tout compact K de U , il existe tK ∈ J tel que x(t) /∈ K

pour tout t ∈ [tK , b[.

Voici maintenant un resultat typique d’existence globale.

Theoreme 3.4. On suppose que E est de dimension finie, que f est definie,continue et localement Lipschitzienne dans I × E et, de plus, qu’il existeA,B ≥ 0 tels que

‖f(t, x)‖ ≤ A‖x‖+B ∀(t, x) ∈ I × U.Alors toute solution maximale est globale (i.e., definie sur I).

3.1.2. Flot d’une equation differentielle.

Theoreme 3.5. On suppose que f : I×U → E est de classe C2. Alors, pourtout (t0, x0) ∈ I ×U , il existe un voisinage ouvert J ⊂ I de t0, un voisinageouvert V ⊂ U de x0 et une application φt0 ∈ C1(J × V,U) verifiant, pourtout x ∈ V , {

ddtφ

t0(t, x) = f(t, φt0(t, x)), t ∈ Jφt0(t0, x) = x

L’application φt0 est le flot de l’equation differentielle. Noter que le flot estde classe C1 egalement par rapport a la donnee initiale. Sa differentiellepar rapport a la donnee initiale ψ := Dxφ

t0 est solution (dans L(E)) del’equation differentielle lineaire :{

ddtψ(t, x) = Dxf(t, φt0(t, x)) ◦ ψ(t, x), t ∈ Jψ(t0, x) = IdE

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3.1.3. Application aux equations de transport. On s’interesse aux equationsaux derivees partielles (EDP) de la forme

(1) ∂tu(t, x) + f(t, x) · ∇u(t, x) = h(t, x)

ou l’inconnue est la fonction u, dont on designe par ∂tu sa derivee parrapport a la variable temporelle t ∈ R et par ∇u son gradient par rapporta la variable spatiale x ∈ Rn. Le champs de vecteurs f : R × Rn → Rn estdonne, ainsi que le membre droit h : R×Rn → R et la valeur de u en t = 0 :u(0, x) = u0(x) ou u0 : Rn → R.

La remarque cruciale pour resoudre cette equation est l’idee suivante,qui est une consequence directe du theoreme de derivation des fonctionscomposees :

Lemme 3.6. On suppose que f et h sont continues et que u est une solutionde classe C1 de l’EDP. Soit x : I → Rn une solution de l’EDO

x′(t) = f(t, x(t)), t ∈ I,definie sur un intervalle I de R+. Alors

(2)d

dtu(t, x(t)) = h(t, x(t)), t ∈ I.

A partir de maintenant, on suppose que le flot φ0(t, x) de l’EDO associee af (avec pour donnee initiale x en t = 0) est defini sur R+. Si on suppose tou-jours que u est une solution de classe C1 de l’EDP, on obtient, en integrantla relation (2) entre 0 et t et en tenant compte du fait que u(0, x) = u0(x) :

u(t, φ0(t, x)) = u0(x) +

∫ t

0h(s, φ0(s, x))ds.

En remplacant x par φt(0, t) on deduit de la propriete de flot la representationde u :

(3) u(t, x) = u0(φt(0, x)) +

∫ t

0h(s, φt(s, x))ds.

Theoreme 3.7. On suppose que f est de classe C2 sur [0,+∞[×Rn, queh et u0 sont de classe C1 et que le flot φ0(t, x) de l’EDO associee a f estdefini sur R+. Alors u defini par (3) est l’unique solution de classe C1 del’EDP (1) avec condition initiale u(0, ·) = u0.

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3.2. Equations differentielles lineaires.References : [Benzoni, chap.6]

Dans cette partie, nous nous interessons aux EDO lineaires, c’est-a-direde la forme :

x′(t) = A(t)x(t) + b(t)

ou A : I → Rn×n et b : I ×Rn sont continues. On peut deduire directementdu theoreme de Cauchy-Lipschitz l’existence globale d’une unique solutionpour une donnee initiale (t0, x0) ∈ I × Rn.

3.2.1. Resolvente. Nous considerons ici l’EDO dans l’espace des matricesRn×n : pour t0 ∈ I, {

M ′(t) = A(t)M(t) t ∈ IM(t0) = In

L’unique solution a cette EDO est la resolvante du probleme et est noteeR(t, t0).

Principales proprietes :Semi-groupe : R(t, s)R(s, t0) = R(t, t0) pour tout s, t, t0 ∈ I.En particulier, R(t, t0) est inversible pour tout t, t0 ∈ I et d’inverse R(t0, t).De plus,

d

dsR(t, s) = −A(s)R(t, s)

Cas autonome : si A(t) = A ne depend pas de t, alors R(t, t0) = eA(t−t0).

Proposition 3.8 (Formule de Liouville). Soit ∆(t, t0) = det(R(t, t0)). Alors

∆(t, t0) = exp{∫ t

t0

Tr(A(s))ds}.

Proposition 3.9 (Formule de Duhamel). La solution x de l’EDO{x′(t) = A(t)x(t) + b(t), t ∈ Ix(t0) = x0

est donnee en fonction de la resolvante par

x(t) = R(t, t0)x0 +

∫ t

t0

R(t, s)b(s)ds

3.2.2. Stabilite. On considere maintenant le cas autonome ou A ∈ Rn×n etl’EDO

x′(t) = Ax(t), t ∈ R.Les solutions sont definies sur R tout entier et sont donnees par t → eAtxou x ∈ Rd est la position initiale en t = 0. On cherche a comprendre lecomportement de ces solutions lorsque t→ ±∞.

Definition 3.10. On dit que A est hyperbolique si les valeurs propres (reellesou complexes) de A ont toutes une partie reelle non nulle.

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Theoreme 3.11. On suppose que A est hyperbolique. Alors les ensembles

Es := {x ∈ Rd, limt→+∞

eAtx = 0} et Eu := {x ∈ Rd, limt→−∞

eAtx = 0}

sont appeles espaces stables et instables de A. Ce sont deux sous-espacesvectoriels de Rn stables par A, qui sont supplementaires dans Rn (Es⊕Eu =Rn). De plus il existe des projections Πs et Πu sur Es et Eu, commutantavec A et telles que

Πs + Πu = In.

Enfin, il existe des constantes ε > 0, C > 0 telles que

‖eAtΠs‖ ≤ Ce−εt ∀t ≥ 0 et ‖eAtΠu‖ ≤ Ceεt ∀t ≤ 0.

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3.3. Equilibres d’une equation differentielle autonome.References : Benzoni, 8.2 et 8.3, Marle Chap. III et V.

On dit qu’une EDO est autonome lorsque le champs de vecteurs f nedepend pas du temps :

x′(t) = f(x(t))

ou f est une fonction de classe C1 sur un ouvert U que l’on supposera egala Rn pour fixer les idees. On note φx la solution maximal de l’EDO avecpour donnee initiale x0 en t0 = 0.

Un equilibre de l’EDO (ou de f) est un zero de f .

3.3.1. Stabilite asymptotique. On dit qu’un equilibre x0 ∈ Rn est asympto-tiquement stable s’il existe un voisinage Ux0 de x0 dans Rn tel que, pourtout x ∈ Ux0 , φx est defini sur R+ et limt→+∞ φ

x(t) = x0.Voici un critere simple de stabilite asymptotique :

Theoreme 3.12. On suppose que f est de classe C2 et que toutes les valeurspropres (reelles ou complexes) de df(x0) sont de partie reelle strictementnegative. Alors x0 est asymptotiquement stable.

3.3.2. Equilibre hyperbolique. On dit qu’un equilibre x0 ∈ Rn de f est hy-perbolique si les les valeurs propres (reelles ou complexes) de df(x0) sontde partie reelle non nulle. Autrement dit, x0 est hyperbolique si la matricedf(x0) est hyperbolique (au sens de la definition 3.10).

Le theoreme de Hartman-Grobman affirme que, si x0 est un point fixehyperbolique, alors l’allure du flot de l’EDO associee a f au voisinage de x0

est la meme1 que celle du flot de l’EDO lineaire associe a la matrice df(x0)au voisinage de 0.

Le resultat suivant va egalement dans ce sens :

Theoreme 3.13 (de la variete stable). Soit f tel que le flot de l’EDO estcomplet (i.e., defini sur R pour toute donnee initiale) et x0 un equilibrehyperbolique de f . On note Es et Eu les espaces stables et instables associesa la matrice hyperbolique df(x0) (cf. le theoreme 3.11). Alors il existe unvoisinage Ux0 de x0 dans Rn tel que les ensembles

Wsloc := {x ∈ Ux0 tq φx(t) ∈ Ux0 ∀t ≥ 0}

et

Wuloc := {x ∈ Ux0 tq φx(t) ∈ Ux0 ∀t ≤ 0}

sont des sous-varietes de Rn contenant x0, d’espace tangent respectifs Es etEu en x0. De plus

Wsloc := {x ∈ Ux0 tq lim

t→+∞φx(t) = x0}

et

Wuloc := {x ∈ Ux0 tq lim

t→−∞φx(t) = x0}.

1Au sens ou il existe un homomorphisme local entre les deux flots.

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Les sous-varietes Wsloc et Wu

loc sont appelees varietes stables et instablesau voisinage de x0.