universitÉ de montrÉal dÉveloppement d’un modÈle
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UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
DÉVELOPPEMENT D’UN MODÈLE COMPARTIMENTAL
POUR LE TRANSFERT DE MATIÈRE DANS
LES COLONNES À BULLES
RÉMI DEMOL
DÉPARTEMENT DE GÉNIE CHIMIQUE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
MÉMOIRE PRÉSENTÉ EN VUE DE L’OBTENTION
DU DIPLÔME DE MAÎTRISE ÈS SCIENCES APPLIQUÉES
(GÉNIE CHIMIQUE)
MARS 2018
© Rémi Demol, 2018.
UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
Ce mémoire intitulé :
DÉVELOPPEMENT D’UN MODÈLE COMPARTIMENTAL
POUR LE TRANSFERT DE MATIÈRE DANS
LES COLONNES À BULLES
présenté par : DEMOL Rémi
en vue de l’obtention du diplôme de : Maîtrise ès sciences appliquées
a été dûment accepté par le jury d’examen constitué de :
M. SRINIVASAN Bala, Ph. D., président
M. CHAOUKI Jamal, Ph. D., membre et directeur de recherche
M. BERTRAND François, Ph. D., membre et codirecteur de recherche
M. VIDAL David, Ph. D., membre
iii
DÉDICACE
“Remember that all models are wrong,
the practical question is how wrong do they have to be to not be useful.”
George E. P. Box, 1987
iv
REMERCIEMENTS
Je tenais tout d’abord à remercier mes directeurs de recherche, Jamal Chaouki, et François
Bertrand de m’avoir proposé cette maîtrise et la liberté offerte pour mener à bien ce projet. Cette
maîtrise de recherche aura été, à plus d’un titre, très riche en enseignements.
Je veux remercier tous les membres de l’Unité de Recherche en Procédés d’Écoulements
Industriels (URPEI) avec qui j’ai eu un grand plaisir à travailler. Nous avons eu de nombreux
échanges, le tout dans une ambiance très positive et amicale.
Plus particulièrement, merci à David Vidal pour sa disponibilité et ses traits d’esprit. Merci à
Bruno Blais qui a toujours été très disponible pour me proposer des pistes de résolutions aux
problèmes auxquels j’étais confronté, et me sortir des méandres d’OpenFOAM. Merci encore à
Shuli Shu pour m’avoir fait bénéficier de son expérience en modélisation d’écoulements gaz-
liquide.
Je remercie également les membres du groupe Process Engineering Advanced Research Lab
(PEARL) et tout particulièrement Amin Esmaeili qui a produit les résultats expérimentaux
utilisés dans ce mémoire.
Ce projet s’inscrit dans le cadre de la chaire de recherche industrielle CRSNG/NSERC – TOTAL
à Polytechnique Montréal, je tiens donc également à remercier l’organisme de recherche et
l’entreprise qui financent ce projet. Les ressources de calculs nécessaires ont été fournies par
Calcul Québec et Calcul Canada.
Merci enfin à mon entourage, en particulier à ma famille et Jérôme, présent dans les moments
inévitables de doutes et de remise en question qu’un travail de recherche occasionne.
v
RÉSUMÉ
Parmi les réacteurs gaz-liquide, la colonne à bulles est largement utilisée dans les industries
chimiques et biochimiques. Ce réacteur emblématique, qui est doté d’une géométrie relativement
simple, offre un très bon transfert de matière et de chaleur. L’agitation du milieu réactionnel est
assurée par l’ascension des bulles au sein de la phase liquide continue. Néanmoins,
l’hydrodynamique s’avère complexe et bien que de nombreuses corrélations pour quantifier le
transfert de matière ont été mises au point, la conception et la mise à l’échelle des colonnes à
bulles demeurent des étapes ardues.
À défaut d’avoir à disposition suffisamment d’informations sur l’hydrodynamique, l’hypothèse
d’un mélange parfait est souvent émise afin d’établir les règles de mises à l’échelle, ce qui est fort
rudimentaire. Cette hypothèse est clairement mise en défaut en pratique et particulièrement pour
de grandes échelles industrielles. Une meilleure connaissance de l’hydrodynamique locale est
alors nécessaire.
Le développement de la mécanique des fluides numérique durant ces dernières décennies permet
d’envisager la simulation de l’écoulement au sein de tels réacteurs afin d’accéder à
l’hydrodynamique locale. Néanmoins, les capacités actuelles demeurent limitées pour tenir
compte des phénomènes physiques complexes tels que la turbulence, les phénomènes de transfert
et les réactions chimiques. Une option, utilisée dans ces travaux, consiste à combiner la
simulation numérique (CFD) à un modèle compartimental (CM).
La boîte à outils en libre accès OpenFOAM est utilisée afin de simuler l’écoulement avec la
turbulence. Ensuite, différents compartiments sont construits en fonction d’une propriété de
turbulence, à savoir le taux de dissipation d’énergie cinétique turbulente (!). Finalement, dans
chaque compartiment, les valeurs moyennes locales de diamètre de bulle et de coefficient de
transfert de matière côté liquide sont évaluées.
Cette approche énergétique n’a pas permis d’atteindre l’objectif escompté, les compartiments
déterminés n’ont pas été jugés pertinents vis-à-vis des phénomènes physiques en jeu. La
principale raison réside dans la faible énergie dissipée au sein des colonnes à bulles en régime
homogène. Sans grande surprise, la variation de turbulence rencontrée dans les différentes zones
vi
de la colonne à bulles en régime homogène est faible. Par conséquent, il est difficile de définir
précisément les compartiments sur le critère choisi pour ce réacteur et dans ce régime particulier.
Finalement une autre option, basée sur le patron d’écoulement, a été jugée plus pertinente afin de
bâtir les différents compartiments.
Mots-clés : colonne à bulle, transfert de matière, modèle compartimental, mécanique des fluides
numériques.
vii
ABSTRACT
Among all gas-liquid reactors, the bubble column reactor is widely used in chemical and
biochemical industries. This well-known reactor, whose geometry is relatively simple, offers
good mass and heat transfer. The mixing of the flow is generated by the rising of bubbles into the
continuous liquid phase. Yet, even though a large amount of correlations has been developed to
quantify mass transfer taking place in a bubble column reactor, its hydrodynamics is complex
which the design and scale-up of such reactor a difficult task.
Because of a lack of data on local hydrodynamics, a well-mixed assumption is generally
considered to describe the flow for design and scale-up purpose. This hypothesis is clearly
invalidated by experiments, especially for industrial scales. A better local hydrodynamics
knowledge is thus required.
The development of computational fluid dynamics (CFD) during the last decades triggered the
emergence of a set of new tools to model bubble columns and unveil its local hydrodynamics.
Yet, actual capabilities remain limited as one needs to take into account complex coupled
phenomena, such as turbulence, mass and heat transfer, and reaction kinetics. One option, used in
this present work, consists in combining computational fluid dynamics with compartment
modeling (CM).
The open source CFD toolbox OpenFOAM is used to model the turbulent two-phase flow taking
place in the bubble column reactor. Then, different compartments are built using drastic changes
in the dissipation rate of turbulent kinetic energy (!) as a criterion. Next, in each compartment,
averaged local values of bubble diameter and mass transfer coefficient in the liquid phase are
estimated.
This energetic methodology was not able to reach the objective of this project. This approach has
not been found to be the most accurate for building the compartments. Not so surprisingly, the
variation of turbulence in the different zones of the reactor in the homogeneous regime is low.
This is the reason why it is hard to define compartments for such reactor in flow regime based on
the criterion chosen.
viii
Another option, based on the flow pattern, has been found more accurate in order to build these
compartments.
Keywords: bubble column reactor, mass transfer, compartmental model, computational fluid
dynamics.
ix
TABLE DES MATIÈRES
DÉDICACE ..............................................................................................................................III
REMERCIEMENTS ................................................................................................................ IV
RÉSUMÉ ................................................................................................................................... V
ABSTRACT............................................................................................................................ VII
TABLE DES MATIÈRES ........................................................................................................ IX
LISTE DES TABLEAUX ....................................................................................................... XII
LISTE DES FIGURES ........................................................................................................... XIII
LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS ......................................................................... XVII
NOMENCLATURE ............................................................................................................ XVIII
CHAPITRE 1 INTRODUCTION ........................................................................................... 1
CHAPITRE 2 REVUE DE LA LITTÉRATURE .................................................................... 4
2.1 Conception des colonnes à bulles ................................................................................. 4
2.2 Hydrodynamique de l’écoulement ................................................................................ 7
2.2.1 Régimes d’écoulement ......................................................................................... 7
2.2.2 Patron d’écoulement ............................................................................................. 9
2.2.3 Rétention gazeuse .............................................................................................. 10
2.3 Mise à l’échelle .......................................................................................................... 12
2.4 Transfert de matière ................................................................................................... 13
2.4.1 Aire interfaciale et diamètre de bulle .................................................................. 13
2.4.2 Coefficient de transfert de matière côté liquide ................................................... 17
2.4.3 Corrélations pour le coefficient de transfert de matière global ............................ 20
2.5 Modélisation numérique des colonnes à bulles ........................................................... 23
x
2.5.1 Méthode des volumes finis ................................................................................. 23
2.5.2 Méthode à deux fluides ...................................................................................... 24
2.5.3 Résolution de la turbulence ................................................................................ 26
2.5.4 Forces interfaciales............................................................................................. 28
2.6 Modèles des colonnes à bulles ................................................................................... 33
2.6.1 Modèles de réacteurs parfaits ............................................................................. 34
2.6.2 Modèle de dispersion ......................................................................................... 34
2.6.3 Modèles compartimentaux ................................................................................. 35
2.7 Synthèse de la revue de littérature et identification des problèmes .............................. 41
CHAPITRE 3 MÉTHODOLOGIE ........................................................................................43
3.1 Mise au point du modèle ............................................................................................ 43
3.2 Dispositif expérimental .............................................................................................. 46
3.3 Simulation numérique ................................................................................................ 48
3.3.1 Construction de la géométrie et discrétisation spatiale ........................................ 48
3.3.2 Conditions frontières et conditions initiales ........................................................ 53
3.3.3 Parallélisation..................................................................................................... 54
3.4 Modèle numérique retenu........................................................................................... 54
3.4.1 Description du solveur twoPhaseEulerFoam ............................................... 56
3.4.2 Équations fondamentales et constitutives ............................................................ 56
3.4.3 Forces interfaciales............................................................................................. 61
3.4.4 Schémas de discrétisation numérique ................................................................. 62
3.4.5 Algorithmes de résolution .................................................................................. 63
3.5 Post-traitement des données ....................................................................................... 66
CHAPITRE 4 RÉSULTATS ET DISCUSSION ....................................................................67
xi
4.1 Validation du modèle numérique................................................................................ 67
4.1.1 Temps de simulation .......................................................................................... 67
4.1.2 Analyse de sensibilité du maillage ...................................................................... 69
4.1.3 Prédiction de la rétention de gaz globale ............................................................. 73
4.2 Définition énergétique des compartiments .................................................................. 78
4.3 Définition hydrodynamique des compartiments.......................................................... 81
4.4 Évaluation du modèle compartimental ....................................................................... 81
4.4.1 Prédiction de la taille de bulle............................................................................. 81
4.4.2 Prédiction du transfert de matière ....................................................................... 83
4.4.3 Effet des conditions opératoires sur le modèle compartimental ........................... 85
CHAPITRE 5 CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS ................................................91
BIBLIOGRAPHIE ....................................................................................................................93
xii
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 2.1 – Corrélations pour la taille de bulle. ...................................................................... 14
Tableau 2.2 – Corrélations de taille de bulle initiale [mm] en fonction du type d’injecteur
(Bouaifi et al., 2001). ......................................................................................................... 16
Tableau 2.3 – Différentes expressions pour le calcul de la taille moyenne de bulle exprimées en
fonction de l’énergie dissipée dans le système. .................................................................. 16
Tableau 2.4 – Corrélation pour le coefficient de transfert de matière côté liquide (Calderbank &
Moo-Young, 1961). ........................................................................................................... 18
Tableau 2.5 – Liste de corrélations pour le coefficient de transfert de matière et domaines de
validité. ............................................................................................................................. 21
Tableau 2.6 – Modèles de coefficient de traînée. ....................................................................... 30
Tableau 3.1 – Propriétés des phases continue et dispersée.......................................................... 47
Tableau 3.2 – Propriétés des maillages utilisés. ......................................................................... 49
Tableau 3.3 – Résumé des conditions frontières et conditions initiales utilisées et syntaxe
correspondante dans OpenFOAM. ..................................................................................... 55
Tableau 3.4 – Constantes utilisées dans le modèle de turbulence. .............................................. 61
Tableau 3.5 – Schémas de discrétisation numérique. ................................................................. 63
Tableau 4.1 – Liste des simulations numériques réalisées. ......................................................... 68
xiii
LISTE DES FIGURES
Figure 2.1 – Différentes géométries d'injecteurs (A. V. Kulkarni & Joshi, 2011a). ....................... 5
Figure 2.2 – Différents modes d'opérations, mode semi-batch (a), cascade de colonnes à bulles
fonctionnant en mode continu co-courant (b), mode contre-courant (c) (Bothe, 2016). ......... 6
Figure 2.3 – Différents régimes d'écoulement dans une colonne à bulle (Bouaifi, Hebrard,
Bastoul, & Roustan, 2001). .................................................................................................. 7
Figure 2.4 – Régimes d’écoulement observés pour le système air-eau (Shah et al., 1982). ........... 8
Figure 2.5 – Différents patrons de recirculation du liquide observés : a. recirculation moyenne ; b.
modèle de beignet de Joshi et Sharma ; c. modèle de beignet inversés de Van Den Akker et
Rietema ; d. modèle de beignet interpénétré de Joshi et Sharma ; e. modèle de cellules
asymétriques de Zehner (Esmaeili Khalil Saraei, 2015; Groen, 2004). ............................... 10
Figure 2.6 – Évolution typique de la rétention de gaz en fonction de la vitesse superficielle de gaz
pour les régimes homogène et hétérogène pour un système air-eau (Krishna & van Baten,
2003). ................................................................................................................................ 11
Figure 2.7 – Exemples d'arrangements en colocation (a) ou en quinconce (b) (Ferziger, 2002). . 24
Figure 2.8 – Illustration du concept de continuum interpénétré (Marschall et al., 2011). ............ 25
Figure 2.9 – Forces interfaciales principales intervenant dans les écoulements gaz-liquide
(Marschall et al., 2011). ..................................................................................................... 28
Figure 2.10 – Relation entre la complexité et les ressources nécessaires selon les différentes
méthodes de modélisation utilisées (Shu et al., 2018). ........................................................ 33
Figure 2.11 – Modèle à deux compartiments (Degaleesan et al., 1997). ..................................... 36
Figure 2.12 – Modélisation d'une colonne à bulle industrielle de production de bicarbonate de
soude (Wylock et al., 2009). .............................................................................................. 37
Figure 2.13 – Représentation schématique de données moyennes observées expérimentalement
(Gupta et al., 2001). ........................................................................................................... 37
xiv
Figure 2.14 – a. Principe d’établissement des compartiments à partir d’une simulation CFD b.
Modélisation multi-compartimentale d’après Rigopoulos (Rigopoulos & Jones, 2003). ..... 38
Figure 2.15 – Principe de détermination des deux compartiments d’une cuve agitée (Bashiri et al.,
2014). ................................................................................................................................ 39
Figure 2.16 – Compartiments caractéristiques dans une cuve agitée par une turbine Rushton
(Bashiri et al., 2016). ......................................................................................................... 40
Figure 3.1 – Taille de bulle moyenne mesurée, à deux positions, par sonde à fibre optique en
fonction de la vitesse superficielle de gaz (Esmaeili et al., 2015). ...................................... 44
Figure 3.2 – Algorithme pour bâtir les différents compartiments et évaluer le transfert de matière
local. ................................................................................................................................. 45
Figure 3.3 – Schéma de la colonne à bulles (Esmaeili et al., 2015)............................................. 47
Figure 3.4 – Arborescence des différents fichiers nécessaires pour lancer une simulation avec
OpenFOAM version 3.0.1. ................................................................................................. 48
Figure 3.5 – Maillage vu du côté (a) et vu par le bas (b) (maillage#4 300k). .............................. 51
Figure 3.6 – Exemple en deux dimensions de défauts de maillage : a. non-orthogonalité, b.
asymétrie, c. élongation. P et M sont les centres de deux volumes voisins, C le centre de la
face qui les relie. ................................................................................................................ 52
Figure 3.7 – a. Géométrie de la plaque perforée (Esmaeili et al., 2015), b. Maillage de l'entrée,
entrée du gaz en rouge, murs en bleu. ................................................................................ 52
Figure 3.8 – Algorithme de résolution de la turbulence d’après le modèle mixtureKEpsilon.
.......................................................................................................................................... 60
Figure 3.9 – Algorithme de résolution PIMPLE pour le solveur twoPhaseEulerFoam. ....... 64
Figure 4.1 – Profils moyens de rétention de gaz (") et de vitesse de gaz (#$%&) calculés pour
différentes périodes de temps (100, 300 et 500 s), à deux positions (haut et milieu) pour une
vitesse superficielle de gaz de 4,27 cm/s (cas A4) et comparé aux données expérimentales de
Esmaeili et al. (2015, 2016). .............................................................................................. 70
xv
Figure 4.2 – Effet du maillage sur les profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de
vitesse de gaz pour quatre maillages de 50k, 100k, 150k et 300k pour une vitesse
superficielle de gaz de 4,27 cm/s(cas A1-4) dans le cas d’un modèle de traînée de Schiller-
Naumann avec modèle de correction pour le panache et comparé aux données
expérimentales de Esmaeili et al. (2015, 2016). ................................................................. 71
Figure 4.3 – Effet du maillage sur les profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de
vitesse de gaz pour trois maillages de 50k, 100k et 150k pour une vitesse superficielle de
gaz de 7,42 cm/s (cas B1-3) dans le cas d’un modèle de traînée de Schiller-Naumann avec
modèle de correction pour le panache et comparé aux données expérimentales de Esmaeili et
al. (2015, 2016). ................................................................................................................ 72
Figure 4.4 – Comparaison entre la rétention de gaz globale mesurée par différence de pression
(Esmaeili et al., 2015) et calculée numériquement pour les modèles de traînée de Schiller-
Naumann (SN) et de Tomiyama (T) avec (P) et sans (NP) correction du coefficient de
traînée pour les hautes concentrations en gaz. Les quatre séries de points correspondent aux
vitesses superficielles de gaz de '( = 2,82 - 4,27 -6,51 et 7,42 cm/s (A1-4, B1-3, C1-2,
D1-2). ................................................................................................................................ 75
Figure 4.5 – Profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de vitesse de gaz pour le
maillage de 50k pour une vitesse superficielle de gaz de 4,27 cm/s (cas A1). Modèles de
traînée de Schiller-Naumann (SN) et de Tomiyama (T) avec (P) et sans modèle (NP) de
correction pour le panache. Données expérimentales issues de Esmaeili et al. (Esmaeili et
al., 2015, 2016). ................................................................................................................. 76
Figure 4.6 – Profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de vitesse de gaz pour une
vitesse superficielle de gaz de 7,42 cm/s (cas B1 et B3). Modèles de traînée de Schiller-
Naumann (SN) et de Tomiyama (T) avec (P) et sans modèle (NP) de correction pour le
panache. Données expérimentales issues de Esmaeili et al. (Esmaeili et al., 2015, 2016).... 77
Figure 4.7 – Dissipation d'énergie cinétique turbulente cumulative (3%) pour différentes vitesses
superficielles de gaz et différents maillages (cas A1-4, B1-3, C1-2, D1-2). ........................ 80
xvi
Figure 4.8 – a. Lignes de courant moyennes de la phase liquide obtenues pour u5 = 4,27 cm/s
(cas A2). b. Compartiments caractéristiques déterminés et boucles de recirculation
schématisées. ..................................................................................................................... 82
Figure 4.9 – Diamètres de bulle moyens 67 (a) et coefficients de transfert de matière 89: locaux
(b) calculés d’après le modèle compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse
superficielle de gaz '( = 4,27 cm/s (cas A1-4). Les valeurs expérimentales (Esmaeili et al.,
2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises. .......... 84
Figure 4.10 – Comparaison entre les 89: globaux calculés par deux modèles (cellule de
turbulence (équation 2.30) et vitesse de glissement (équation 2.36)) et obtenus par diverses
corrélations (section 2.4.3) (cas A1-4). .............................................................................. 85
Figure 4.11 – Diamètres de bulle moyens 67 (a) et coefficients de transfert de matière 89: locaux
(b) calculés d’après le modèle compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse
superficielle de gaz '( = 2,82 cm/s (cas C1-2). Les valeurs expérimentales (Esmaeili et al.,
2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises. .......... 87
Figure 4.12 – Diamètres de bulle moyens 67 (a) et coefficients de transfert de matière 89: locaux
(b) calculés d’après le modèle compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse
superficielle de gaz '( = 6,51 cm/s (cas D1-2). Les valeurs expérimentales (Esmaeili et al.,
2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises. .......... 88
Figure 4.13 – Diamètres de bulle moyens 67 (a) et coefficients de transfert de matière 89: locaux
(b) calculés d’après le modèle compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse
superficielle de gaz '( = 7,42 cm/s (cas B1-3). Les valeurs expérimentales (Esmaeili et al.,
2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises. .......... 89
Figure 4.14 – Coefficient de transfert de matière global pour différentes vitesses superficielles de
gaz et différents maillages (cas B1-3, C1-2 et D1-2). ......................................................... 90
xvii
LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS
ADM Axial Dispersion Model
BCR Bubble Column Reactor
CFD Computational Fluid Dynamics
CFL Courant-Friedrichs-Lewy
CARPT Computed-Automated Radioactive Particle Tracking
DNS Direct Numerical Simulation
DP Différence de Pression
E-E Euler-Euler
E-L Euler-Lagrange
FOP Fiber Optic Probe
GAMG Geometric-Algebraic Multi-Grid
LES Large Eddy Simulation
MULES Multi-dimensional Universal Limiter with Explicit Solution
OpenFOAM Open Field Operation And Manipulation
PFR Plug Flow Reactor
PBM Population Balance Model
PMR Perfect Mixed Reactor
RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes
SGE Simulation des Grandes Échelles
SND Simulation Numérique directe
STR Stirred-Tank Reactor
xviii
NOMENCLATURE
Lettres latines
: Aire interfaciale par unité de volume [m2.m-3]
;< Nombre de Bond [-]
=>∗ Concentration à la saturation de l’espèce A [mol.m-3]
=> Concentration de l’espèce A [mol.m-3]
=@ Coefficient de traînée [-]
=9 Coefficient de portance latérale [-]
=A Coefficient de réponse à la turbulence [-]
=B@ Coefficient de dispersion turbulente [-]
=CD Coefficient de masse virtuelle [-]
=E9 Coefficient de lubrification des murs [-]
F> Coefficient de diffusion moléculaire [m2.s-1]
FG Diamètre de colonne [m]
67 Diamètre de bulle [m]
6H Diamètre d’orifice [m]
3% Somme pondérée cumulative du taux d’énergie de dissipation [m2.s-3]
3< Nombre d’Eötvos [-]
IJ Nombre de Froude [-]
K Accélération de la pesanteur [m.s-2]
L: Nombre de Galilée [-]
M Hauteur de colonne [m]
8 Énergie cinétique turbulente [m2.s-2]
xix
89 Coefficient de transfert de matière côté liquide [m.s-1]
N> Taux transfert de matière [mol.m-3.s-1]
O Pression [Pa]
P Puissance [W]
Q Débit de gaz par orifice [m3.s-1]
RS Nombre de Reynolds [-]
RS7 Nombre de Reynolds de bulle [-]
RS7 Nombre de Reynolds d’orifice [-]
TU Nombre de Schmidt [-]
Tℎ Nombre de Sherwood [-]
W Vitesse [m.s-1]
'XY Vitesse de glissement [m.s-1]
Z7 Volume de bulle [m3]
Z9 Volume de liquide [m3]
[S Nombre de Weber [-]
Lettres grecques
"\ Rétention de gaz [-]
]^ Épaisseur du film de fluide [m]
! Taux de dissipation d’énergie cinétique turbulente [m2.s-3]
_ Masse volumique [kg.m-3]
` Tension superficielle [N.m-1]
a Viscosité dynamique [Pa.s]
b Viscosité cinématique [m2.s-1]
xx
c Taux de cisaillement turbulent [Pa]
d Tenseur de contrainte [Pa]
def^^ Tenseur moyen de contrainte effective de Reynolds [Pa]
Indices
K Gaz
g Liquide
h Mélange
Exposants
i Turbulent
1
CHAPITRE 1 INTRODUCTION
Parmi les réacteurs multiphasiques utilisés dans les procédés chimiques et les bioprocédés, les
colonnes à bulles (BCR) occupent une place de choix. Plus de 30 millions de tonnes
d’intermédiaires et de produits finis sont produits chaque année (Bothe, 2016). Ce réacteur
permet la mise en contact directe entre une phase continue liquide et une phase dispersée
gazeuse, sous forme de bulles. C’est pourquoi les colonnes à bulles offrent un excellent transfert
de matière et de chaleur (Shaikh & Al-Dahhan, 2013). Une troisième phase, solide, suspendue
dans le liquide peut être ajoutée afin de promouvoir par exemple la réaction. D’autres avantages
comme un faible cisaillement, de grandes capacités en particulier pour le traitement des eaux
usées, une distribution homogène de la température, un faible coût de maintenance et de
construction d’autant plus qu’il ne dispose pas de pièce mobile, font de ce réacteur gaz-liquide ou
gaz-solide-liquide un excellent candidat (Kantarci, Borak, & Ulgen, 2005; Wang, Wang, & Jin,
2007).
Cependant, la transposition de la petite à la grande échelle demeure un enjeu majeur, des effets
d’échelle affectant significativement les propriétés de mélange et par conséquent les transferts de
masse et de chaleur ainsi que la cinétique de réaction (Wang et al., 2007). En particulier, le
régime d’écoulement est déterminant pour la qualité du transfert de matière selon que le régime
soit homogène, c’est-à-dire qu’il soit caractérisé par des bulles uniformes en taille et en forme, ou
le régime hétérogène qui possède une distribution de tailles et de formes de bulles très vaste. Ces
réacteurs sont également sujets au re-mélange : en raison de la forte turbulence, les produits
formés peuvent être renvoyés vers l’entrée du réacteur au lieu d’être dirigés vers la sortie (Shaikh
& Al-Dahhan, 2007).
Afin de réaliser une mise à l’échelle des colonnes à bulles, de nombreuses études expérimentales
et numériques ont été menées afin d’évaluer les paramètres hydrodynamiques déterminants et de
mettre au point des corrélations pour réaliser cette mise à l’échelle (Nedeltchev, Nigam, &
Schumpe, 2014; Shaikh & Al-Dahhan, 2013). Ces paramètres dépendent notamment d’un
paramètre d’intérêt qui est le coefficient volumique de transfert de masse 89:. En réalité, il s’agit
du produit de deux paramètres, 89 le coefficient de transfert de masse côté liquide et : l’aire
2
spécifique d’échange. Ce coefficient est relié aux propriétés physiques des deux phases ainsi que
des conditions opératoires (Kantarci et al., 2005). Le produit du coefficient volumique de
transfert de masse et du gradient de concentration d’une espèce entre les phases liquide et
gazeuse permet d’obtenir la cinétique de diffusion dans le film liquide (Harriott, 2002). Les
modèles d’ingénierie maison, semi-empiriques et les règles du pouce demeurent largement
utilisés pour la mise à l’échelle des colonnes à bulles par manque de connaissances précises de
ces écoulements très complexes (Shaikh & Al-Dahhan, 2013).
Dans de nombreuses études, les chercheurs se sont attachés à déterminer des paramètres moyens
sur l’ensemble de la colonne. Cependant, les caractéristiques hydrodynamiques ne sont pas
uniformes dans l’ensemble du réacteur. En particulier, la rétention de gaz dans le liquide n’est pas
uniforme dans l’axe de la colonne (Botton, 1979). Pour rendre la mise à l’échelle plus efficace,
une meilleure connaissance des propriétés locales hydrodynamiques et de transfert de matière est
nécessaire.
De nombreux groupes de chercheurs se sont affairés à concevoir des modèles numériques afin de
reproduire l’écoulement que l’on retrouve dans les colonnes à bulles et notamment avec l’essor
de la mécanique des fluides numérique (CFD) depuis les années 1990 (Bothe, 2016). Néanmoins
la modélisation de ces écoulements demeure encore aujourd’hui un enjeu majeur. Afin de pallier
ces difficultés, plusieurs approches ont été utilisées pour développer des modèles mathématiques
pour ces réacteurs avec des modèles idéaux simples ou combinés. En particulier les modèles
multi-compartimentaux offrent des possibilités pour estimer les propriétés de l’écoulement
(Degaleesan, Dudukovic, Toseland, & Bhatt, 1997; Gupta, Ong, Al-Dahhan, Dudukovic, &
Toseland, 2001; Rigopoulos & Jones, 2003). Ces modèles, combinés aux outils de simulation
numériques de mécanique des fluides, peuvent être des outils de choix pour déterminer ces
propriétés hydrodynamiques et de transfert de matière. Une méthodologie basée sur l’énergie
dissipée dans le système a été mise au point pour un réacteur similaire, à savoir la cuve agitée
avec injection de gaz (Bashiri, Bertrand, & Chaouki, 2016). Ce réacteur est similaire aux
colonnes à bulles car il met en jeu des réactions gaz-liquide et qu’il est sujet à différents régimes
d’écoulement. Ce travail a consisté en la mise en place d’un modèle multicompartimental dans
lequel la construction des compartiments est basée sur l’énergie dissipée par l’agitateur ainsi que
par les bulles de gaz. Dans chacune de ces zones, des paramètres hydrodynamiques locaux ont été
déterminés. L’étude a permis de déterminer la contribution relative de chacune de ces zones au
3
transfert de matière global du réacteur. D’autres simulations ont permis de déterminer l’influence
des conditions opératoires sur la qualité du mélange.
Les colonnes à bulles posent un certain nombre de difficultés et notamment concernant les bulles
qu’il est difficile de caractériser car elles subissent des phénomènes de coalescence et de rupture
(Shimizu, Takada, Minekawa, & Kawase, 2000), en plus d’avoir une géométrie non parfaitement
sphérique et qui varie dans la colonne (Haut & Cartage, 2005). Afin de reproduire
numériquement ce type de phénomènes, des modèles potentiellement très complexes peuvent être
mis en jeu et requièrent des capacités de calcul très importantes.
L’objectif principal de cette maîtrise est de bâtir un modèle multicompartimental afin de
déterminer la contribution de différentes zones du réacteur au transfert de matière global dans une
colonne à bulle en régime homogène.
4
CHAPITRE 2 REVUE DE LA LITTÉRATURE
Les colonnes à bulles sont très largement utilisées dans les procédés chimiques et biologiques
impliquant des réactions gaz-liquide ou gaz-solide-liquide. On peut citer, par exemple, les
procédés d’hydrogénation, d’oxydation, d’ozonolyse, de chloration, d’hydroformylation, de
Fisher-Tropsch, de culture de cellules, de fermentation, de bioremédiation, de traitement des eaux
usées, etc (Dudukovic, Larachi, & Mills, 1999; Kantarci et al., 2005). Ce type de réacteur permet
la production d’environ 30 millions de tonnes de produits finaux et d’intermédiaires chaque
année (Bothe, 2016).
Après un rappel de quelques principes généraux sur les colonnes à bulles, leur conception et
l’hydrodynamique, les modèles de transfert de matière ainsi que sur les outils numériques
permettant de réaliser la simulation de l’écoulement dans ce type de réacteurs sont évoqués.
2.1 Conception des colonnes à bulles
Il existe de nombreuses géométries de colonnes à bulles, chacune répondant aux besoins
spécifiques du procédé visé. De manière générale, la conception d’une colonne à bulle est
relativement simple et peu onéreuse. Dans sa version basique, ce réacteur est constitué d’une
colonne remplie de liquide dans lequel du gaz est dispersé à l’aide d’un injecteur. La hauteur de
la colonne est supérieure à son diamètre afin de maximiser le temps de rétention de la phase
gazeuse dispersée dans la phase continue (liquide ou slurry). Le ratio hauteur sur diamètre est
habituellement supérieur à 5 (Kantarci et al., 2005).
Le gaz est le plus souvent injecté par le bas de la colonne. L’injecteur de gaz joue un rôle
important dans l’écoulement, en particulier dans la zone basse de la colonne, car il détermine la
distribution initiale de tailles de bulles, la distribution des vitesses initiales d’ascension des bulles
dans la phase liquide ainsi que la répartition du panache de gaz. L’influence de l’injecteur sur
l’hydrodynamique globale est d’autant plus grande que le ratio hauteur sur diamètre est faible (A.
V. Kulkarni & Joshi, 2011a, 2011b). Kulkarni et al. ont réalisé un état de l’art à propos des
5
différentes technologies d’injecteurs dans les colonnes à bulles. Parmi les designs d’injecteurs, on
distingue :
- Les distributeurs de type plaque dont la surface est proche de la section de la colonne.
Dans cette configuration, une chambre de gaz, disposée sous la plaque, doit être prévue.
Le volume nécessaire peut être calculé à partir de relations disponibles dans la littérature.
La plaque peut-être de deux types :
o Une plaque perforée de trous (Figure 2.1 a)
o Une membrane poreuse
- Les distributeurs de type conduite (pipe) sont eux directement disposés dans le bas de la
zone contenant la phase continue liquide. Différentes géométries peuvent être utilisées :
o Des conduites formant une araignée (Figure 2.1 b)
o Des conduites en parallèles (Figure 2.1 c)
o Des conduites formant des anneaux concentriques (Figure 2.1 d)
Figure 2.1 – Différentes géométries d'injecteurs (A. V. Kulkarni & Joshi, 2011a).
Par ailleurs, différents modes d’opérations peuvent modifier la géométrie du réacteur :
- Dans le mode semi-batch, la phase continue demeure dans la colonne, il n’y a ni entrée ni
sortie du liquide tandis que le gaz est injecté par le bas et ressort par le haut de la colonne.
La phase continue effectue une recirculation dans la colonne. Ce mode est préféré pour
des réactions gaz-liquide très lentes (Figure 2.2 a).
6
- Dans le mode continue, le liquide entre et sort au même titre que le gaz. L’alimentation du
liquide peut se faire en mode co-courant – les entrées du gaz et du liquide sont situées en
bas (Figure 2.2 b), ou à contre-courant – l’entrée du liquide est située en haut (Figure 2.2
c), selon les besoins et les spécificités du procédé. La configuration co-courant permet
d’atteindre des vitesses superficielles du gaz et du liquide plus importantes qu’en
configuration contre-courant qui est limitée par l’engorgement. La phase continue
n’effectue pas ou peu de recirculation dans ce mode qui est davantage utilisé pour des
réactions gaz-liquide plus rapides.
En outre, la colonne à bulle peut jouer le rôle de réacteur, de stripeur ou d’absorbeur (Coker,
2015).
a b c
Figure 2.2 – Différents modes d'opérations, mode semi-batch (a), cascade de colonnes à bulles
fonctionnant en mode continu co-courant (b), mode contre-courant (c) (Bothe, 2016).
Néanmoins, la géométrie des colonnes à bulles peut s’avérer plus complexe. En effet, il est
souvent judicieux d’ajouter des éléments internes afin de promouvoir un rôle particulier. Par
exemple, favoriser le transfert de chaleur dans le cas de réactions endothermiques ou
exothermiques, augmenter la dispersion ou encore augmenter le temps de rétention du gaz. En
outre l’un des rôles des internes peut être de diminuer le rétro-mélange qui provoque une dilution
des réactifs et par conséquent une diminution de la conversion de la réaction. L’ajout de
garnissage, de plateaux ou de chicanes peut permettre d’atténuer ce phénomène. À l’inverse, cet
effet de rétro-mélange peut également être recherché dans le cadre de réactions fortement
7
exothermiques, par exemple. Dans un tel cas, le contrôle de la température est plus complexe
avec des éléments internes (Coker, 2015; Youssef, Al-Dahhan, & Dudukovic, 2013).
2.2 Hydrodynamique de l’écoulement
La dynamique de l’écoulement au sein d’une colonne à bulle est très complexe. La détermination
d’un certain nombre de propriétés hydrodynamiques est cruciale puisqu’elles sont intimement
liées à d’autres phénomènes physiques tels que le transfert de matière et la cinétique de réaction.
Parmi les propriétés d’intérêt se trouvent la rétention de gaz, la vitesse des phases liquides et
gazeuses, la distribution de tailles de bulle ou encore le taux de dissipation d’énergie turbulente.
Il est aussi important d’identifier et de pouvoir prédire les différents régimes d’opérations.
2.2.1 Régimes d’écoulement
L’injection du gaz par le bas de la colonne provoque l’expansion du liquide et différents régimes
d’écoulement peuvent être observés ; ceux-ci sont représentés à la Figure 2.3 (Shaikh & Al-
Dahhan, 2007).
Figure 2.3 – Différents régimes d'écoulement dans une colonne à bulle (Bouaifi, Hebrard,
Bastoul, & Roustan, 2001).
8
Le régime homogène est caractérisé par une distribution étroite de taille de bulles relativement
sphériques et de petite taille. Ce régime est rencontré pour de faibles valeurs de vitesse
superficielle du gaz. Le régime hétérogène survient au-delà d’une vitesse superficielle de gaz
critique. Dans ce régime les phénomènes de coalescence et de rupture des bulles engendrent une
distribution de tailles de bulles beaucoup plus large. Le régime « slug » est observé lorsque le
diamètre de la colonne est faible et la vitesse superficielle du gaz élevée. De grosses bulles dont
la taille est proche de celle du diamètre se forment périodiquement. La Figure 2.4 présente les
différents régimes observés en fonction de la dimension de la colonne et de la vitesse
superficielle de gaz pour le système air-eau (Shah, Kelkar, Godbole, & Deckwer, 1982).
Figure 2.4 – Régimes d’écoulement observés pour le système air-eau (Shah et al., 1982).
9
2.2.2 Patron d’écoulement
Suivant les conditions opératoires, différents patrons d’écoulement peuvent être observés en
fonction de la présence d’éléments internes, du mode d’opération et dans une moindre mesure du
type d’injecteurs. En particulier pour le mode semi-batch, le patron d’écoulement du liquide est
induit par l’ascension des bulles de gaz. Le gaz quitte l’injecteur avec une vitesse élevée pour
former un panache de bulles qui s’élève dans la phase continue liquide sous l’action de la poussée
d’Archimède à proximité de l’axe de la colonne. Les bulles sont cependant ralenties par la force
de traînée dont la direction est opposée au mouvement de la bulle. Le liquide entourant les bulles
est entraîné avec elles vers le haut. Arrivé à l’interface gaz/liquide, le gaz s’extrait du liquide
tandis que le liquide redescend à proximité des parois de la colonne entrainant avec lui les plus
petites bulles dont la force d’Archimède n’est pas assez forte pour leur permettre de s’extraire du
liquide.
Différents patrons d’écoulement ont été observés expérimentalement pour la recirculation du
liquide. Ces profils, dont quelques-uns sont représentés à la Figure 2.5, vont du plus simple avec
une unique boucle de recirculation dans lequel le liquide monte par le centre et redescend à
proximité des parois (Figure 2.5 a), à des modèles plus complexes, tels qu’une succession de
cellules de recirculations (Figure 2.5 b,c) ou même à une combinaison de ces deux modèles
(Figure 2.5 d). Enfin le modèle de Zehner propose un patron d’écoulement du liquide
asymétrique (Figure 2.5 e), à l’inverse des précédents modèles dont l’axe de la colonne est un axe
de symétrie (Groen, 2004).
De par la nature turbulente de l’écoulement, il n’est pas possible de prédire de patron
d’écoulement instantané. Il est néanmoins possible de déterminer un patron moyen calculé sur de
long temps d’écoulements. Il convient alors de bien faire la distinction entre l’écoulement
instantané et l’écoulement moyen. En particulier, le patron à la Figure 2.5 a représente le patron
de recirculation moyen le plus couramment observé dans la littérature et notamment par CARPT
(Computed-Automated Radioactive Particle Tracking) (Degaleesan, Dudukovic, & Pan, 2001).
10
Figure 2.5 – Différents patrons de recirculation du liquide observés : a. recirculation moyenne ; b.
modèle de beignet de Joshi et Sharma ; c. modèle de beignet inversés de Van Den Akker et
Rietema ; d. modèle de beignet interpénétré de Joshi et Sharma ; e. modèle de cellules
asymétriques de Zehner (Esmaeili Khalil Saraei, 2015; Groen, 2004).
2.2.3 Rétention gazeuse
La rétention gazeuse "( est définie comme le ratio des volumes de gaz (Z() et de liquide (Z9).
"( =
Z(
Z( + Z9 (2.1)
Botton a observé trois zones pour la rétention de gaz, du bas vers le haut : 1) une zone d’émulsion
vraie où la rétention du gaz est constante, 2) une zone intermédiaire de vésiculage où l’on observe
une augmentation progressive de la rétention du gaz jusqu’à une valeur constante, 3) une zone
d’entraînement dans laquelle la rétention du gaz demeure constante en haut de la colonne,
(Botton, 1979).
De manière générale la rétention de gaz dans le liquide augmente avec le débit de gaz injecté ou
autrement dit avec la vitesse superficielle du gaz (Figure 2.6). Une augmentation de la pression
d’opération permet également d’augmenter la quantité de phase dispersée. À l’inverse, une
11
augmentation de la viscosité de la phase liquide favorise la formation de plus grosses bulles qui
possèdent des vitesses d’ascension plus élevées, et par conséquent diminue la rétention de gaz.
De même, une augmentation de la concentration en solide diminue la rétention gazeuse. L’ajout
d’un surfactant augmente la rétention car les bulles de gaz sont alors plus petites (stabilisées).
L’effet du diamètre de la colonne est négligeable s’il est supérieur à 10-15 cm et sa hauteur
supérieure à 1-3 m ou encore si le ratio hauteur sur diamètre est supérieur à 5. La rétention de gaz
dépend pour de faibles vitesses de gaz du nombre, du pas et du diamètre d’orifices de l’injecteur.
Si l’orifice a un diamètre supérieur à 1 mm, l’effet du diamètre d’orifice n’est plus significatif
(Kantarci et al., 2005). La rétention de gaz est en outre fonction de la taille des bulles. Plus les
bulles sont petites, moins leur vitesse d’ascension est élevée et plus la rétention de gaz est
importante.
Figure 2.6 – Évolution typique de la rétention de gaz en fonction de la vitesse superficielle de gaz
pour les régimes homogène et hétérogène pour un système air-eau (Krishna & van Baten, 2003).
12
Il n’existe pas de relation analytique qui relie la rétention de gaz avec les paramètres d’opération.
Plusieurs groupes se sont attachés à établir des corrélations empiriques, à ce propos Kantarci et
al. ont répertorié plusieurs corrélations disponibles dans la littérature (Kantarci et al., 2005). Bien
qu’il existe de nombreuses formulations pour calculer la rétention de gaz, l’ensemble des
corrélations s’accorde sur la dépendance de la rétention de gaz à la vitesse superficielle du gaz. A
minima, la relation suivante peut être utilisée où Cl et m sont deux paramètres dépendant du
système considéré, des conditions opératoires et de la géométrie.
"( = ClU5o (2.2)
Pour le régime homogène m est compris entre 0,83 et 1,19 (Bouaifi et al., 2001).
2.3 Mise à l’échelle
Les unités industrielles peuvent avoir différentes tailles allant de 100-300 m3 (procédé
d’oxydation de Hock), en passant par les procédés de fermentation avec 3 000 m3 jusqu’aux plus
grandes installations utilisées pour le traitement des eaux usées jusqu’à 20 000 m3 (Bothe, 2016).
La mise à l’échelle et la conception de colonnes à bulles sont habituellement réalisées à l’aide
d’heuristiques et modèles semi-empiriques qui tiennent compte des différents phénomènes
(Kantarci et al., 2005) :
- les transferts de masse et de chaleur ;
- la qualité du mélange ;
- les réactions chimiques ;
- la cinétique de réaction.
En particulier, un rétro-mélange important caractérise ce type de réacteurs. Il convient alors de
prendre en compte ce phénomène pour mener une mise à l’échelle effective (Levenspiel &
Bischoff, 1959). Les méthodes de mise à l’échelle de colonnes à bulles retenues dans l’industrie
sont rarement publiées pour des questions évidentes de secret industriel. La connaissance des
paramètres hydrodynamiques est cruciale afin de réaliser une mise à l’échelle satisfaisante. La
procédure généralement employée demeure la construction de plusieurs pilotes de plus en plus
13
grands jusqu’à la taille industrielle. La conception de ces pilotes permet de s’assurer du maintien
de propriétés recherchées aux différentes échelles telles que la qualité du mélange, les
caractéristiques hydrodynamiques et les performances du réacteur (Shaikh & Al-Dahhan, 2013).
2.4 Transfert de matière
Les colonnes à bulles offrent un excellent transfert de matière puisque les phases liquide et
gazeuse sont en contact direct. Pouvoir déterminer le transfert de masse dans un réacteur
chimique est crucial car il permet de déterminer la conversion de l’opération d’intérêt quand la
réaction est limitée par le transfert de matière. Ce transfert peut être quantifié par le produit du
coefficient global de transfert de matière (89:) et de sa force motrice, la différence de
concentration de l’espèce considérée à la saturation (=>∗) dans le gaz et la concentration présente
dans le milieu continu liquide (=>) (équation 2.3).
N> = 89:(=>∗ − =>) (2.3)
Le transfert de masse global est donc déterminé par le coefficient global de transfert de masse
côté liquide 89: dans l’hypothèse où la résistance du côté du gaz est négligeable. En réalité, ce
coefficient est lui-même le produit de deux quantités, à savoir le coefficient de transfert de masse
côté liquide 89 et l’aire de contact gaz-liquide aussi appelée aire interfaciale :. L’enjeu est de
maximiser le 89: dans le cas où la réaction gaz-liquide est lente ou très lente (Coker, 2015).
2.4.1 Aire interfaciale et diamètre de bulle
Dans l’hypothèse de bulles sphériques et de diamètre de Sauter 6sl généralement assimilé au
diamètre moyen, l’interface gaz-liquide totale par unité de volume de colonne peut être obtenue
par la relation suivante qui fait intervenir la rétention de gaz "( .
: =
6"(
6sl (2.4)
14
Tableau 2.1 – Corrélations pour la taille de bulle.
Groupe Corrélation
(Miller, 1974) 67 = t6`6H
K(_9 − _()u
v/s
(2.5)
(Davies, 1985) 67 = 0,196Hz,{|RSH
z,sl, RSz =4Q_(
}6Ha( (2.6)
(Leibson, Holcomb, Cacoso, & Jacmic, 1956) 67 = 0,186H
v/lRSH
v/s, RSz < 2000 (2.7)
(Kumar & Kuloor, 1970) Z7 = �4}
3Å
v/s
�15aYQ
2_9KÅ
s/{
(2.8)
(Bhavaraju, Mashelkar, & Blanch, 1978)
67
6H= 3,23 �
4_9Q
}a96HÅ
Çz,v
ÉQl
6HÑKÖ
z,lv
(2.9)
La taille de bulle peut être déterminée à partir de corrélations empiriques, à ce sujet Kantarci et
al. ont listé quelques-unes de ces corrélations rassemblées dans le Tableau 2.1 dans lequel 6H est
le diamètre d’orifice et Q le débit de gaz par orifice. De manière générale, la taille des bulles
augmente avec la vitesse superficielle de gaz, la concentration de solide (jusqu’à une
concentration limite), la viscosité du liquide et la tension de surface. Par contre le diamètre
moyen des bulles diminue quand la concentration en surfactant augmente (Kantarci et al., 2005).
De même, la taille de bulle initiale, c’est-à-dire la taille observée au moment de la formation des
bulles, est également fonction du type d’injecteur. Quelques exemples de corrélations sont
présentés au Tableau 2.2 dans lesquelles P est la puissance injectée dans le système et Z9 le
volume du réacteur (Bouaifi et al., 2001). L’énergie dissipée (!), générée par l’ascension des
bulles dans la phase continue, peut être estimée par (Bouaifi et al., 2001) :
! = �
P
Z9ÅAHA
= _9K#\ (2.10)
D’après la théorie de Hinze (1955) développée pour des écoulements liquide-liquide, la taille des
bulles est déterminée par la magnitude de deux forces : la force de cisaillement due à la
turbulence de l’écoulement et la force de tension de surface (Hinze, 1955). Le ratio de ces deux
forces – inertielle et de tension de surface, forme le nombre de Weber (We), dans lequel Ü
15
représente la vitesse et áà la longueur caractéristique de l’écoulement, _ et ` sont la masse
volumique et la tension de surface respectivement.
[S =
_Üláà
` (2.11)
Par hypothèse, ce nombre adimensionnel adopte, à l’équilibre, une valeur critique ([Sà&%A%âäf)
pour laquelle un diamètre de goutte (ou bulle) stable maximum est atteint. Si le nombre de Weber
est supérieur à cette valeur critique, la bulle se rompt pour former plusieurs bulles filles. Hinze a
proposé comme valeur critique du nombre de Weber [Sà&%A%âäf = 0,725.
[Sà&%A%âäf =
c67,ã$o
` (2.12)
La relation (2.12) fait intervenir le taux de cisaillement turbulent c et la tension de surface `.
Dans le cadre de la théorie de turbulence isotropique de Kolmogorov, le taux de cisaillement est
relié au carré de la vitesse de fluctuation turbulente '′ générée par un vortex de taille g à
l’équilibre. ! est le taux de dissipation d’énergie par unité de masse.
c = _9'çl (2.13)
'′ = (!g)v/s ≡ (!67)v/s (2.14)
Finalement la taille de bulle maximale stable peut être déterminée par la relation suivante :
67,ã$o = =l
`s/Ñ
_9s/Ñ!l/Ñ
(2.15)
Plusieurs valeurs ont été rapportées pour la constante =l: 1,15 (Lehr & Mewes, 2001), 1,10
(Hinze, 1955).
D’autres formulations, rassemblées dans le Tableau 2.3, ont été dérivées afin de tenir compte de
la différence de viscosité entre les phases continue aY et dispersée a\ (Bhavaraju, Russell, &
Blanch, 1978), de la rétention de gaz "\ (Calderbank, 1958) ou encore de la différence de masse
volumique entre le liquide _Y et le gaz _\ (Levich, 1962).
16
Tableau 2.2 – Corrélations de taille de bulle initiale [mm] en fonction du type d’injecteur
(Bouaifi et al., 2001).
Type d’injecteur Corrélation
Plaque perforée 67 = 16 ∙ 10Çs �P
Z9ÅAHA
Çz,ls
, 4,5 < 67 < 7,5hh (2.16)
Plaque poreuse 67 = 2,15 ∙ 10Çs �P
Z9ÅAHA
z,vê
, 3,7 < 67 < 5hh (2.17)
Membrane 67 = 2,79 ∙ 10Çs �P
Z9ÅAHA
z,z|
, 3,7 < 67 < 4,2hh (2.18)
Tableau 2.3 – Différentes expressions pour le calcul de la taille moyenne de bulle exprimées en
fonction de l’énergie dissipée dans le système.
Groupe Corrélation (Hinze, 1955)
(Lehr & Mewes, 2001) 67,ã$o = =l`s/Ñ
_9s/Ñ!l/Ñ
(2.19)
(Davies, 1985) 67,ã$o = =Ñ ë`
_9+√2
4
a(ì!67,ã$oîvs
_9ï
s/Ñ
1
!l/Ñ (2.20)
(Levich, 1962) 67,ã$o = 1,1`s/Ñ
_9l/Ñ_(
v/Ñ!l/Ñ (2.21)
(Pereyra & Shoham, 2015) 67,ã$o = ={ñ` + 2Çs/la(ì!67,ã$oî
v/sós/Ñ
_9l/Ñ_(
v/Ñ!l/Ñ (2.22)
(Bhavaraju, Russell, et al., 1978) 67 = 0,7`s/Ñ
_9v/Ñ!l/Ñ
�a9
a(Åz,v
(2.23)
(Calderbank, 1958) 67 = 4,15`s/Ñ
_9s/Ñ!l/Ñ
"(z,lÑ + 0,0009 (2.24)
(Lee & Meyrick, 1970) 67 = 4,25`s/Ñ
_9s/Ñ!l/Ñ
"(z,lÑ (2.25)
17
2.4.2 Coefficient de transfert de matière côté liquide
Le coefficient de transfert de matière côté liquide 89 représente la résistance au transfert de
matière dans le film liquide. Plusieurs approches ont été mises au point afin de déterminer ce
coefficient 89. À ce propos, Kulkarni a résumé différentes formulations disponibles dans la
littérature (Kulkarni, 2007).
Le modèle à deux films de Whitman (1924) suppose que le transfert de matière à l’interface de
deux fluides est un processus indépendant du temps. De part et d’autre de l’interface existent des
films stagnants de fluide, gaz et liquide. En supposant un gradient de concentration constant et
d’après la première loi de Fick, le coefficient de transfert côté liquide est :
89 =
Dô
]^ (2.26)
dans lequel, Dô est le coefficient de diffusion moléculaire d’une espèce A et ]^ l’épaisseur du
film. Bien que cette formulation soit simple, l’évaluation de l’épaisseur de film ne l’est pas,
d’autant plus dans un écoulement turbulent. Néanmoins, ce modèle est à la base de nombreux
autres (Bird, Stewart, & Lightfoot, 2002).
Le modèle de pénétration d’Higbie (1935) considère quant à lui, que le transfert de matière est un
processus instationnaire dicté par les tourbillons de fluide. Ce modèle suppose que les bulles de
gaz sont exposées aux tourbillons pendant des périodes de temps i égales, ou en d’autres termes
que le temps de contact entre l’interface et chaque élément de fluide est constant. De plus,
d’après la seconde loi de Fick pour tenir compte de la nature instationnaire du phénomène :
89 = 2ö
Dô
}i (2.27)
Dans le cadre de modèles de cellule de turbulence, le temps d’exposition au tourbillon peut être
exprimé de différentes façons. Il peut être estimé par la théorie de turbulence isotropique de
Kolmogorov comme :
i = õ
b
!úv/l
(2.28)
18
où b est la viscosité cinématique et ! le taux d’énergie dissipée.
Finalement,
89 = 2ö
Dô
}õ!
búv/{
= 1,13ùDô õ!
búv/{
(2.29)
Lamont et Scott (1970) ont dérivé cette expression en faisant l’hypothèse que le renouvellement
de la surface était dicté par les petits tourbillons (Lamont & Scott, 1970) :
89 = CvùDô õ
!
búv/{
(2.30)
Différentes valeurs pour Cv ont été rapportées 0,301 – 0,4 – 0,5 – 0,523 – 0,531 – 0,592 – 1,13
(Bashiri et al., 2016; Linek, Kordač, & Moucha, 2005).
Calderbank et Moo-Young ont également proposé des relations regroupées dans le
Tableau 2.4, permettant de calculer 89 en fonction du système et en particulier pour un système
dans lequel les bulles sont soumises à la turbulence (Calderbank & Moo-Young, 1961). Elles font
intervenir le nombre adimensionnel de Schmidt TU défini comme le rapport entre la diffusivité de
quantité de mouvement et la diffusivité massique :
TU =a9
_9F>û (2.31)
Tableau 2.4 – Corrélation pour le coefficient de transfert de matière côté liquide (Calderbank &
Moo-Young, 1961).
Conditions d’application Corrélation
67 > 2,5hh 89TUv/l = 0,42 †
∆_a9K
_9l ¢
v/s
(2.32)
67 < 2,5hh 89TUv/l = 0,31 †
∆_a9K
_9l ¢
v/s
(2.33)
Bulles non-libres de se déplacer sous l’effet de la pesanteur contrainte par la turbulence 89TU
l/s = 0,13 †!a9
_9l ¢ (2.34)
19
Une autre formulation du temps d’exposition à l’équation (2.35) fait intervenir la vitesse de
glissement à l’interface ÜXY, il s’agit alors d’un modèle dit de vitesse de glissement. Dans ce
modèle, le temps d’exposition s’écrit plutôt :
i =
67
'XY (2.35)
dans lequel 'XY est la vitesse de glissement à l’interface gaz-liquide. Le coefficient de transfert de
matière côté liquide s’écrit alors (Alves, Maia, & Vasconcelos, 2004) :
89 = ö
4'XYDô
}67 (2.36)
Frössling a proposé un modèle similaire pour des bulles rigides inférieures à 1 mm de diamètre
(Frossling, 1938) :
89 = Csö
'XY
67Dôl/sbÇv/ê (2.37)
Linek et al. (2005) ont montré que pour une cuve agitée, le coefficient 89 était régi par l’énergie
dissipée dans le liquide plutôt que la taille de bulle ou la vitesse de glissement. Ce modèle de
cellule de turbulence est plus adéquat et la constante a été ajustée à Cv = 0,448 pour de faibles
énergies dissipées (inférieure à 100 W/m3) pour un liquide newtonien sans agent de surface
(Linek et al., 2005).
À l’inverse des cuves agitées où la majeure partie de l’énergie dissipée provient de l’agitation
mécanique, dans une colonne à bulle, la dissipation d’énergie est produite par l’expansion du
liquide résultant de l’injection de gaz.
Il n’y a pas d’unanimité dans le choix du modèle à privilégier ; certains groupes de recherche
trouvent une dépendance de 89 avec la vitesse de glissement, tandis que d’autres trouvent au
contraire une indépendance (Linek et al., 2005). Ainsi, il semble que les deux modèles (de cellule
de turbulence et de vitesse de glissement) sont à même de prédire le coefficient de transfert de
matière côté liquide (Linek et al., 2005).
20
2.4.3 Corrélations pour le coefficient de transfert de matière global
De nombreux efforts ont été portés à établir des corrélations faisant intervenir des nombres
adimensionnels pour évaluer le coefficient de transfert de matière global moyen dans l’ensemble
de la colonne à bulle. Le Tableau 2.5 dresse la liste d’un certain nombre de ces corrélations. Ces
corrélations ne s’accordent cependant pas sur les mêmes nombres adimensionnels (Sh, Sc, Bo,
Ga, Fr, Re…). De même qu’il n’existe pas d’accord sur certaines grandeurs caractéristiques telles
que la longueur caractéristique qui est tantôt le diamètre de la colonne, tantôt le diamètre moyen
des bulles de gaz (Dudley, 1995; Kantarci et al., 2005).
21
Tableau 2.5 – Liste de corrélations pour le coefficient de transfert de matière et domaines de validité.
Groupe Corrélation
(Ozturk, Schumpe, & Deckwer, 1987)
!ℎ = 0,62!(),*+,),--./),0123),45 67879:),);
(2.38) 1,6 ∙ 10> < !ℎ =
@A/BC0
DE< 9,7 ∙ 100
3,2 ∙ 10> < !( =IA7ADE
< 1,5 ∙ 10*
1,2 < +, =K7ABC
0
L< 5,4
8,3 ∙ 100 < ./ =K7A
0BC-
IA0 < 1,5 ∙ 104
4,3 ∙ 10O0 < 23 =PQ
RKBC< 6,0 ∙ 10O>
9,3 ∙ 10O* <7Q7A< 2,0 ∙ 10O-
(Akita, 1973)
!ℎ = 0,6!(),*+,),40./),->T8>,>
(2.39) 3,05 ∙ 10- < +, =
K7ADU0
L< 1,24 ∙ 10;
2,01 ∙ 10>) < ./ =K7A
0DU-
IA0 < 4,13 ∙ 10>>
1,92 ∙ 100 < !( =IA7ADE
< 8,33 ∙ 100
!ℎ =@A/DU
0
DE
(Shah et al., 1982)
@A/ = VPQW
(2.40)
Pour une colonne remplie d’eau : - Injecteur en croix (orifices de 1 mm) avec DU = 0,2X etY = 2 − 7,2X :
[V = 0,467\ = 0,82
- Injecteur plaque frittée avec DU = 0,1 − 0,15X etY = 2,5 − 4,4X : [V = 1,174\ = 0,82
(Kawase, Halard, & Moo-Young, 1987)
Pour un fluide newtonien : !ℎ = 0,452!(>/0^_-/;23`/4)+,-/*
@A/DU0
DE= 0,452 6
IA7ADE
:>/0
6DUPQ7AIA
:-/;
aPQ0
DUKb
`/4)
aK7ADU
0
Lb
-/*
(2.41)
0,14 < Dc < 7,62X 8,1 ∙ 10O; < IA < 1,303 ∙ 10O0d/. f
22
(Hikita, Asai, Tanigawa, Segawa,
& Kitao, 1981)
@A/PQK
= 14,9 gPQIAL
h>,`4
aIA;K
7AL-b
O),0;5
6IQIA:),0;-
6IA7ADE
:O),4);
(2.42) 5,0 ∙ 10O; <
PQIAL
< 3,3 ∙ 10O0
1,3 ∙ 10O>> <IA;K
7AL-< 3,2 ∙ 10O`
1,6 ∙ 10O- <IQIA
< 2,5 ∙ 10O0
1,2 ∙ 100 <IA7ADE
< 2,0 ∙ 10;
(Higbie, 1935)
@A = 2iDEjkl
, l =BCmQPQ
(2.43)
(Calderbank & Moo-Young, 1961)
Pour de petites bulles de gaz, assimilées à des sphères rigides (BC < 2,5XX) :
@A!(>/0 = 0,42 a
∆7IAK
7A0 b
>/-
!( =IA7ADE
(2.44)
(Hughmark, 1967) !ℎ = 2 + / p^_),;5;!(),--1 q
BCK>/-
DE0/-
r
),)`0
s
C
!ℎ =@ABCDE
, !( =IA7ADE
, ^_ =BCPQ7AIA
(2.45)
23
2.5 Modélisation numérique des colonnes à bulles
L’écoulement diphasique que l’on rencontre dans les colonnes à bulles est très complexe à
modéliser en raison notamment des phénomènes non-linéaires et généralement couplés
(hydrodynamique, turbulence, transfert de matière et de chaleur, cinétique de réaction). Depuis
les années 1990, des efforts importants ont été mis en œuvre afin de développer des modèles de
mécanique des fluides numérique (CFD) efficients. Cependant, encore aujourd’hui, des
limitations de puissance de calcul demeurent. Les résolutions spatiale et temporelle demeurent
insuffisantes pour simuler de manière fidèle un écoulement turbulent couplé au transfert de
matière et aux réactions (Bothe, 2016).
Plusieurs approches sont possibles :
- La simulation numérique directe (DNS) permet de résoudre l’écoulement tout en prenant
en compte les phénomènes de tension de surface entre le liquide et le gaz. Néanmoins,
cette approche nécessite une discrétisation très fine du domaine étudié et n’est pas
envisageable pour des réacteurs industriels à l’heure actuelle.
- L’approche Euler-Lagrange (E-L) est une résolution hybride de l’écoulement où la phase
continue est résolue avec une méthode eulérienne tandis que la phase dispersée est résolue
avec une méthode lagrangienne. Dans ce cadre, la position et la vitesse de chacune des
bulles constituant l’écoulement sont enregistrées. Cette approche est encore trop exigeante
en termes de capacités de calcul à l’heure actuelle.
- L’approche Euler-Euler (E-E) quant à elle résout les deux phases avec des méthodes
eulériennes. C’est l’approche préférée actuellement car elle ne nécessite pas d’aussi
importantes capacités de calcul, particulièrement pour les réacteurs de taille industrielle.
Néanmoins, cette approche nécessite de nombreux modèles.
2.5.1 Méthode des volumes finis
La méthode des volumes finis (FVM) est une méthode de discrétisation permettant de résoudre
des équations aux dérivées partielles similaires aux méthodes de différences finies (FDM) et
d’éléments finis (FEM). Elle est très largement utilisée pour résoudre les écoulements de
24
mécanique des fluides mono ou multiphasiques car elle s’adapte facilement aux géométries
complexes et est sans doute la méthode la plus simple à conceptualiser et à programmer
(Ferziger, 2002). Cette méthode est, par ailleurs, bien adaptée aux phénomènes pour lesquels le
transport domine sur la diffusion. Elle est implémentée dans de nombreux logiciels de mécanique
des fluides tels que Fluent ou OpenFOAM.
Cette méthode permet de résoudre la forme conservative des équations de Navier-Stokes. Le
domaine spatial est divisé en un nombre finis de volumes de contrôles sur lesquels des bilans de
flux de quantité de mouvement sont réalisées pour ainsi résoudre les équations définies. Les
variables peuvent être évaluées aux centres des volumes de contrôle (grille en collocation Figure
2.1 a). Une autre possibilité est d’évaluer les propriétés scalaires aux centres des volumes tandis
que les propriétés vectorielles sont évaluées aux centres des faces (grille en quinconce Figure 2.7
b). Cette dernière option est privilégiée pour la résolution d’écoulements compressibles ou non
sur des maillages structurés. Ensuite les champs de variables sont évalués aux autres points du
domaine par interpolation (Ferziger, 2002).
a
b
Figure 2.7 – Exemples d'arrangements en colocation (a) ou en quinconce (b) (Ferziger, 2002).
2.5.2 Méthode à deux fluides
La méthode à deux fluides est une approche Euler-Euler très largement utilisée pour la
modélisation des colonnes à bulles. Cette méthode considère que les deux phases comme un
continuum interpénétré. Dans ce concept, illustré à la Figure 2.8, la propriété d’intérêt, par
25
exemple la fraction de gaz !" , est calculée pour chaque volume de contrôle. La valeur calculée
peut alors être interprétée comme une moyenne volumique des éléments discrets de fluides. Cette
méthode ne nécessite pas de maillages très fins comme pour la DNS car l’interface gaz-liquide
n’est pas capturée. Cela permet de réaliser le calcul sur des mailles bien plus larges que la taille
des bulles. Les capacités de calcul nécessaires sont alors largement moins importantes.
Figure 2.8 – Illustration du concept de continuum interpénétré (Marschall et al., 2011).
L’écoulement est dicté par les équations de conservation de la masse et de la quantité de
mouvement sans changement de phase, pour chaque phase # :
dans lesquelles !" est la rétention de gaz, $% le champ de vitesse de la phase #, & le tenseur de
contrainte de cisaillement, ' la pression partagée par les deux phases,)% les forces interfaciales
agissant sur la phase dispersée.
La résolution de l’écoulement doit se faire en régime instationnaire et 3D afin capturer au mieux
les phénomènes de turbulence (Jakobsen, Lindborg, & Dorao, 2005).
*+%!%*,
+ ∇ ∙ (!%+%$%) = 0 (2.46)
*!%+%$%*,
+ ∇ ∙ (!%+%$%$%) = −5(!%') + ∇ ∙ (!%&%) + !%+%6 ± )% (2.47)
!8 + !" = 1 (2.48)
26
2.5.3 Résolution de la turbulence
Les écoulements rencontrés dans les colonnes à bulles, qui plus est industriels, sont
systématiquement turbulents. Il convient donc de modéliser adéquatement ces phénomènes, ce
qui ajoute un degré de difficulté non négligeable. Afin de résoudre ce problème, plusieurs options
sont disponibles (Ferziger, 2002) :
- La simulation numérique directe (DNS) ne nécessite aucun modèle supplémentaire, la
résolution des équations de Navier-Stockes se fait sans approximation ni moyenne. Dans
ce genre de simulations, l’échelle de résolution est de l’ordre de grandeur des plus petits
tourbillons, appelée échelle de Kolmogorov. Bien que les capacités de calcul et
l’efficacité des algorithmes se sont considérablement accrues durant les dernières
décennies, la résolution directe (DNS) d’écoulements diphasiques tels que ceux présent
dans les colonnes à bulles ne peut s’effectuer à l’heure actuelle qu’à de petites échelles
(Shu & Yang, 2013).
- La simulation des grandes structures de turbulence pour Large Eddy Simulation en anglais
(LES) résout les grands tourbillons de l’écoulement (mésoscopiques) tandis que les
petites tourbillons (microscopiques) sont modélisées au moyen d’une pseudo-viscosité
générée par la dissipation de quantité de mouvement résultante à ces échelles. La
turbulence générée par les petites échelles est par hypothèse isotropique. Cette méthode
requiert également des capacités de calcul importantes.
- Enfin les simulations moyennées en Reynolds (RANS) permettent de résoudre un
écoulement moyen tandis que les fluctuations sont modélisées à l’aide d’une viscosité dite
turbulente calculée à l’aide de modèles de fermeture de type :-;, :-< ou encore SST.
C’est l’approche privilégiée pour les réacteurs de taille industrielle.
En outre, plusieurs stratégies peuvent être adoptées pour modéliser la turbulence. Elles consistent
à la modéliser pour :
- la phase continue seulement, la viscosité turbulente de la phase dispersée étant alors égale
à la viscosité du gaz,
- les deux phases simultanément,
27
- ou encore le mélange. Dans ce cas des propriétés moyennes de l’écoulement sont évaluées
localement en fonction des quantités de chacune des phases.
Dans l’approche RANS, les équations de conservation de la masse et de quantité de mouvement
doivent être résolues pour l’écoulement moyen. Pour un système compressible sans changement
de phase (évaporation ou condensation), les équations sont :
*+=!=*,
+ ∇ ∙ (!=+=$=) = 0 (2.49)
*!=+=$>=*,
+ ∇ ∙ (!=+=$>=$>=) = −!=5' + ∇ ∙ ?!=&@ABB,=D + !=+=6 ±)= (2.50)
!E + !F = 1 (2.51)
dans lesquelles, $>= est le champ moyen de vitesse de la phase :, )= est le termes source de
quantité de mouvements dû aux forces interfaciales, &@ABB,= = −+=GHIGJI@@@@@@ est le tenseur moyen de
contrainte effective de Reynolds.
Ce dernier peut être évalué, d’après l’hypothèse de Boussinesq comme :
&@ABB,= = KABB,=(L$>= + L$>=
M) −23P+=:= + KABB,=(L ∙ $>Q)R ST (2.52)
Cette expression fait apparaître la viscosité effective de la phase :, KABB,= :
KABB,= = K= + K=U (2.53)
Afin d’évaluer le tenseur de contrainte effective de Reynolds et en particulier la viscosité
turbulente K=U , il est nécessaire de fermer le modèle. Pour ce faire, les modèles de turbulence de
type :-; sont largement utilisés (Pourtousi, Sahu, & Ganesan, 2014). Il convient de résoudre
deux équations de conservations, à savoir l’une pour l’énergie cinétique turbulente : et l’autre
pour la dissipation d’énergie cinétique turbulente ;.
28
2.5.4 Forces interfaciales
Les forces interfaciales jouent un rôle déterminant dans la dynamique de l’écoulement gaz-
liquide. Jakobsen et al. ont listé l’ensemble des forces agissant sur la phase discontinue gazeuse.
Néanmoins, seul quelques-unes de ces forces ont un effet significatif dans le cadre d’un
écoulement gaz-liquide vertical (Jakobsen et al., 2005; Jakobsen, Sannæs, Grevskott, &
Svendsen, 1997).
Pourtousi et al. ont publié une revue de la littérature concernant les forces interfaciales utilisées
pour la simulation de colonnes à bulles (Pourtousi et al., 2014). Parmi l’ensemble des forces
identifiées, il en ressort que les principales forces utilisées sont les forces de traînée, de portance
(lift), de dispersion turbulente et de masse virtuelle (Figure 2.9). Dans une moindre mesure, la
force de lubrification des murs peut être ajoutée.
V)% = )W + )8 + )XY + )MW + )Z8 (2.54)
Dans la suite, les principales forces utilisées sont discutées succinctement.
(e) wall lubrication force
Figure 2.9 – Forces interfaciales principales intervenant dans les écoulements gaz-liquide
(Marschall et al., 2011).
29
2.5.4.1 Force de traînée
La force de traînée est une force de même direction que la trajectoire de la bulle, mais de sens
opposé au mouvement. C’est la principale force interfaciale ; sa magnitude peut être plus de cent
fois supérieure à celles des autres forces interfaciales (Laborde-Boutet, Larachi, Dromard,
Delsart, & Schweich, 2009). Elle peut être écrite sous la forme :
)W =
34!"\W
+E]^|$" − $8|($" − $8) (2.55)
Cette expression fait clairement apparaître un choix judicieux de diamètre de bulle ainsi que du
coefficient de traînée \W. De nombreux modèles sont disponibles dans la littérature pour calculer
ce coefficient, parmi lesquels on peut citer ceux de Schiller-Naumann (Schiller & Naumann,
1935), d’Ishii-Zuber qui prend en compte la forme de la bulle (Ishii & Zuber, 1979) ou encore de
Tomiyama qui tient compte de la contamination de la phase continue (Tomiyama, Tamai, Zun, &
Hosokawa, 2002), pour n’en citer que trois. Ces trois modèles sont rassemblés au Tableau 2.6.
Ces différents modèles sont généralement validés pour des écoulements de bulles à faible
concentration de phase dispersée. En conséquence de quoi, la force de traînée peut être sous-
estimée. Moins la force de traînée est importante et plus la vitesse des bulles est élevée. En réalité
des effets combinés de l’ensemble des bulles composant le panache peuvent affecter la force de
traînée. Afin de prendre en compte ces effets de panache de bulles, des modèles permettent de
corriger le coefficient de traînée local dans l’écoulement en tenant compte de la concentration
locale de phase dispersée. Par exemple, la correction apportée d’après le modèle de Tomiyama
(Tomiyama, Kataoka, Fukuda, & Sakaguchi, 1995) est donnée par l’équation :
\W\W,`
= (1 − !")abcE (2.56)
où \W,` est le coefficient de traînée calculé par l’un des modèles précédemment cités et d est un
paramètre compris entre 1,5 et 2.
30
Tableau 2.6 – Modèles de coefficient de traînée.
Groupe Corrélation
(Schiller & Naumann, 1935)
Pour de petites bulles sphériques :
!" = $
24
'()*1 + 0.15'()
0,2345, '() ≤ 1000
0,44,'() > 1000
'() =9:|<= − <:|?)
@:
(2.57)
(Ishii & Zuber, 1979)
Prise en compte de la forme de la bulle :
!" =
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
24
'(E, FéHIJ(?(KLMN(O
24
'(E*1 + 0,1'(E
0,4P5, FéHIJ(QIORS(ST
2
3√WM X
1 + 17,67[(]=)2/4
18,67[(]=)a
b
, FéHIJ(?é[MFJé
8
3(1 − ]=
b), FéHIJ(?(cdeMLL(OfℎéFIRS(
'(E =9:|<= − <:|?)
@E
(2.58)
@E
@:= h1 −
]=
]=Eijb,Pklm(nlo0,pnq)/(nlonq)
[(]=) =@:
@Er1 − ]=
(Tomiyama et al., 2002)
Prise en compte de la forme de la bulle et de la contamination de la phase liquide (s = 24 pour un système eau-air peu contaminé) :
!" = JdT tJIu hs
'((1 + 0,15'(0,234,
3s
'(i ,8
3
WM
WM + 4v
WM =(9: − 9=)H?)
b
w
(2.59)
31
Outre le coefficient de traînée, le diamètre de bulle a un gros impact sur la force de traînée. Le
choix d’un seul diamètre constant peut se justifier lorsque le régime est homogène. En effet, dans
ce régime, la distribution de tailles de bulles est resserrée. Il convient alors de choisir un diamètre
de bulle représentatif. À contrario, cette hypothèse n’est plus du tout valable pour le régime
hétérogène caractérisé par une distribution de tailles de bulles beaucoup plus large. Une approche
consiste à considérer deux tailles de bulles : une petite, de même taille que dans le régime
homogène, et une taille plus élevée (Krishna & van Baten, 2003). Il est possible de raffiner
davantage le modèle en incluant un modèle de bilan de population pour les tailles de bulles afin
de tenir compte des phénomènes de rupture et de coalescence des bulles. Ce modèle ajoute
néanmoins un degré de complexité important à la simulation (Jakobsen et al., 2005).
2.5.4.2 Force de portance latérale
La force de portance latérale est une force perpendiculaire à la force de traînée. Elle est générée
par une différence de contrainte locale de la phase continue sur la phase dispersée. C’est la
deuxième force en termes d’importance après la traînée. La force de portance latérale peut
s’écrire sous la forme suivante, dans laquelle !" est le coefficient de portance :
#" = −&'("!" ∙ (+' − +") × . ∧ +" (2.60)
Afin de déterminer la valeur du coefficient !", plusieurs modèles ont été développés, en
particulier celui de Tomiyama (Tomiyama et al., 2002). Cette force permet en outre de reproduire
les oscillations du panache de bulles autour de l’axe central (Jakobsen et al., 2005).
2.5.4.3 Force de dispersion turbulente
Cette force modélise l’action de la fluctuation de la turbulence de la phase continue sur la phase
dispersée. Cette force est proportionnelle à l’énergie cinétique turbulente de la phase continue et
au gradient de la rétention de gaz. Elle s’écrit, d’après Moraga et al., sous la forme (Moraga,
Larreteguy, Drew, & Lahey, 2003) :
#01 = −!01("2".&' (2.61)
32
Le paramètre !01 est habituellement pris constant entre 0,1 et 1,0 (Marschall et al., 2011).
2.5.4.4 Force de masse virtuelle
Lors de l’ascension d’une bulle de gaz dans la phase liquide, une partie du liquide est entraînée
avec la bulle, ce qui ralentit la bulle. Afin de tenir compte de ce phénomène, la masse de la bulle
peut être corrigée pour tenir compte de l’entraînement de liquide à l’aide de la force de masse
virtuelle :
#34 = !34&'(" 5
6'+'67
−6"+"67
8 (2.62)
6967
=:
:7+ +9. (2.63)
Pour une bulle sphérique, le coefficient de masse virtuel est !34 = 0,5, pour d’autres formes, ce
coefficient est plus faible (Marschall et al., 2011).
2.5.4.5 Force de lubrification des murs
Cette force a été introduite par Antal et al. afin de modéliser l’effet répulsif exercé par les murs
sur la phase dispersée (Antal, Lahey, & Flaherty, 1991). Cependant, il n’existe pas de consensus
sur sa formulation qui est soumise à un certain nombre de contraintes et des restrictions
d’utilisation. Elle est donc rarement utilisée.
#?" = −!?"
@A2("+CDEFGHH (2.64)
dans lequel !?I = −0,104 − 0,06+CMH et !?D = 0,147.
33
2.6 Modèles des colonnes à bulles
En raison de la complexité des phénomènes rencontrés dans les colonnes à bulles, et en
particulier du rétro-mélange, la nécessité de modéliser ces réacteurs a depuis longtemps été
éprouvée. L’approche la plus simple consiste à modéliser la colonne à bulle comme un réacteur
parfait : le modèle du réacteur parfaitement mélangé (0D), le modèle du réacteur piston (1D) avec
ou sans dispersion axiale, les modèles compartimentaux constitués d’assemblage de réacteurs
idéaux ou non (pseudo 2D), jusqu’à l’utilisation d’outils numériques de mécanique des fluides
numérique (2D ou 3D). La mécanique des fluides numérique connaît un essor très important
depuis plusieurs dizaines d’années, néanmoins des limitations persistent en terme de temps de
calcul pour des réacteurs de taille industrielle (Bothe, 2016). La relation entre la complexité du
modèle et la puissance de calcul nécessaire est illustrée à la Figure 2.10.
Figure 2.10 – Relation entre la complexité et les ressources nécessaires selon les différentes
méthodes de modélisation utilisées (Shu et al., 2018).
34
2.6.1 Modèles de réacteurs parfaits
Un premier modèle consiste à faire l’hypothèse que la phase liquide est parfaitement mélangée
(PMR) grâce aux bulles. Dit autrement, cette hypothèse suppose un rétro-mélange total. Ainsi
l’équation de conservation associée à la phase liquide est donné par :
−@
@O(P'!') = 2"Q(!"
∗ − !") (2.65)
Dans la phase gazeuse, la concentration évolue de manière continue suivant la hauteur, la phase
dispersée peut alors être modélisée comme un réacteur piston (PFR), et dans le cadre de ce
modèle, le rétro-mélange est inexistant pour la phase gazeuse. Le modèle de réacteur piston est
justifié lorsque le transport convectif est dominant par rapport au transport diffusif. L’équation de
conservation pour cette phase est l’équation (2.66) (Bukur, 1983; Lohse, Alper, & Deckwer,
1983).
ST U 2"Q(!"
∗ − !")@O"
V= W"29X"!" (2.66)
où P' est la vitesse superficielle de gaz, !' la concentration non-constante suivant la hauteur
dans la phase gazeuse, !" la concentration dans la phase liquide supposée constante dans
l’ensemble du réacteur, W" est le volume de liquide, ST la section de la colonne et 29 une
constante cinétique pour une réaction d’ordre 1 dans la phase liquide dans cet exemple.
2.6.2 Modèle de dispersion
Le modèle de dispersion axiale (ADM) améliore le modèle du réacteur piston en tenant compte
de la dispersion selon l’axe central de la colonne. L’équation de conservation d’une espèce pour
la phase liquide s’écrit sous la forme suivante, dans laquelle 6Y," est un coefficient de dispersion
axiale qu’il convient de déterminer (Deckwer, Nguyen-Tien, Kelkar, & Shah, 1983; Jakobsen et
al., 2005) :
X"6Y,"
@D!"@OD
±@!"@O
+2"Q[
P"(!"
∗ − !") = 0 (2.67)
35
Une équation similaire peut être écrite pour la phase gazeuse.
D’autres modèles prennent également en compte la dispersion radiale, ce qui rajoute un
paramètre supplémentaire pour l’établissement du modèle (Calderón & Ancheyta, 2016).
Néanmoins, ces approches ne permettent pas de reproduire la distribution radiale de la rétention
de gaz et des vitesses qui est loin d’être uniforme au sein d’une colonne à bulle.
2.6.3 Modèles compartimentaux
Des efforts ont été mis en œuvre pour bâtir des modèles compartimentaux (CM) en couplant
plusieurs réacteurs idéaux ou non dans le but de reproduire l’écoulement complexe dans une
colonne à bulle. Ces modèles sont généralement couplés à des simulations numériques plus ou
moins sophistiquées.
Plusieurs approches ont été développées afin de construire de tels modèles que l’on peut
regrouper en deux catégories : les modèles basés sur l’hydrodynamique ou phénoménologiques
(Degaleesan et al., 1997; Gupta et al., 2001; Rigopoulos & Jones, 2003; Wylock, Larcy, Cartage,
& Haut, 2009) et un nouveau modèle basé sur la turbulence qui a été développé pour les cuves
agitées (Bashiri et al., 2016; Bashiri, Heniche, Bertrand, & Chaouki, 2014).
2.6.3.1 Modèle hydrodynamique
Cette première famille de modèles s’inspire de l’hydrodynamique et en particulier du patron
d’écoulement moyen observé dans les colonnes à bulles.
Degaleesan et Dudukovic ont bâti un modèle compartimental en deux dimensions afin de prévoir
le temps de résidence dans la phase liquide pour une colonne à bulle de type slurry. Seule la
phase liquide est considérée. Ce modèle comporte quatre compartiments : un premier au bas de la
colonne est assimilé à une zone parfaitement agitée, de même qu’en haut de la colonne dans la
zone de désengagement du gaz. Entre les deux extrémités l’écoulement est établi, deux zones
sont définies, l’une pour l’écoulement du liquide vers le haut et l’autre vers le bas, assimilées à
deux réacteurs pistons non-idéaux tenant compte de dispersion axiale et radiale. Ce modèle est
schématisé à la Figure 2.11 (Degaleesan et al., 1997).
36
Figure 2.11 – Modèle à deux compartiments (Degaleesan et al., 1997).
Wylock a proposé un autre modèle (Figure 2.12) pour de larges colonnes industrielles de
production de bicarbonate de sodium. La phase liquide est modélisée comme une suite de
réacteurs parfaitement mélangés tandis que l’écoulement de la phase gazeuse est modélisé pour
deux tailles de bulles avec des réacteurs pistons. Dans ce procédé particulier, ce modèle doit
également tenir compte de phénomènes de cristallisation (Wylock et al., 2009).
37
Figure 2.12 – Modélisation d'une colonne à bulle industrielle de production de bicarbonate de
soude (Wylock et al., 2009).
Figure 2.13 – Représentation schématique de données moyennes observées expérimentalement
(Gupta et al., 2001).
Gupta et al. (2001) ont développé un modèle phénoménologique pour décrire le mélange gaz –
liquide/slurry en régime turbulent. Quatre compartiments sont identifiés pour chaque phase
conformément aux observations expérimentales, un premier au bas de la colonne dans lequel
38
l’hypothèse d’un mélange parfait est faite (PMR) tout comme au haut de la colonne (Figure 2.13).
Au milieu, il y a deux modèles de dispersion axiale et radiale. Les débits de recirculations,
nécessaire à ce modèle, sont évalués à l’aide d’un modèle numérique à deux fluides simplifié
(Gupta et al., 2001).
Rigopoulos (2003) a développé une autre méthodologie pour bâtir les différents compartiments.
Les résultats d’une simulation CFD avec un maillage relativement fin permettent de découper le
réacteur en plusieurs compartiments dans lesquels le mélange est considéré uniforme. La forme
de ces compartiments en soi n’est d’aucune importance, par contre les connectivités (flux de
matière échangés entre compartiments) sont cruciales. Le concept est clairement résumé par la
Figure 2.14. Cette méthode nécessite un maillage suffisamment fin et donc des ressources
numériques importantes (Rigopoulos & Jones, 2003).
L’établissement des compartiments est similaire à une approche de zoning automatique. Les
différentes zones sont discriminées à l’aide d’une propriété d’intérêt (par exemple la rétention de
gaz), enfin il est possible de déterminer les débits échangés entre chaque zone (Bezzo &
Macchietto, 2004).
Figure 2.14 – a. Principe d’établissement des compartiments à partir d’une simulation CFD
b. Modélisation multi-compartimentale d’après Rigopoulos (Rigopoulos & Jones, 2003).
39
2.6.3.2 Modèle énergétique
Bashiri a mis au point un modèle multicompartimental pour une cuve remplie d’eau et agitée par
une turbine de type Rushton. Deux domaines ont été déterminés, le premier autour du mobile
d’agitation, tandis que le reste de la cuve constitue le second domaine dans lequel le fluide
recircule. Dans cette nouvelle approche, les frontières des différents compartiments sont
déterminées à l’aide du taux de dissipation d’énergie turbulente issus d’une simulation
numérique. La répartition de la fraction de volume en fonction du taux de dissipation d’énergie
turbulente permet de déterminer la valeur à la frontière des deux domaines de cette propriété. En
effet l’enveloppe de cette courbe présente des changements de pente, ce qui permet de déterminer
la valeur frontière de façon unique pour un système donné (Figure 2.15). Une comparaison des
méthodes standard de mises à l’échelle est réalisée en étudiant leur influence sur les paramètres
du modèle multicompartimental. En particulier le ratio des volumes des deux compartiments et le
ratio des taux de dissipation d’énergie turbulente moyens de chacun des compartiments (Bashiri
et al., 2014).
Figure 2.15 – Principe de détermination des deux compartiments d’une cuve agitée (Bashiri et al.,
2014).
Dans une autre publication, Bashiri a adapté le précédent modèle à une cuve d’eau agitée dans
laquelle de l’air est injecté au niveau de l’agitateur. En tenant compte en plus de la rétention du
gaz, cinq zones caractéristiques sont déterminées : une première située autour de l’agitateur, une
40
seconde proche de la paroi latérale, une troisième située au fond de la cuve en dessous du premier
compartiment et enfin les deux derniers dans les espaces restants (Figure 2.16). Avec ce modèle,
il est possible de déterminer les coefficients de transfert de masse (2"Q) global sur l’ensemble de
la cuve et locaux dans chacun des compartiments. La première étape consiste à réaliser une
simulation numérique gaz/liquide de la cuve agitée. Cette simulation permet d’obtenir la rétention
du gaz et l’énergie turbulente dissipée. Une fois validée par des données expérimentales et les
frontières des différents compartiments déterminées, la simulation CFD donne accès à la
rétention du gaz dans chacun des compartiments. Ensuite, le diamètre moyen des bulles dans
chaque compartiment est calculé à l’aide de différentes équations de la littérature. Finalement,
l’aire interfaciale moyenne est déterminée dans chacune des zones ainsi que le coefficient de
transfert de masse 2". Le produit des deux propriétés donne accès au 2"Q dans chaque
compartiment. La règle de mise à l’échelle basée sur la conservation du ratio de la puissance
consommée sur le volume de liquide est alors étudiée, en particulier son effet sur la contribution
de chaque compartiment au transfert de masse global (Bashiri et al., 2016).
Figure 2.16 – Compartiments caractéristiques dans une cuve agitée par une turbine Rushton
(Bashiri et al., 2016).
41
2.7 Synthèse de la revue de littérature et identification des problèmes
Bien que la conception des colonnes à bulles soit relativement sommaire, le régime
d’écoulement, le patron d’écoulement ainsi que les champs de vitesse locaux et de rétention de
gaz sont difficiles à prévoir. En conséquence, les phénomènes de transfert de matière sont eux-
aussi difficilement prédictibles bien que de nombreux modèles et corrélations ont été mis au
point. C’est pourquoi, la modélisation numérique apparaît être un outil de choix pour le calcul de
propriétés locales d’écoulement au sein du réacteur rendue possible par le calcul scientifique de
pointe.
Pour pallier les limites des techniques de mesures expérimentales de propriétés locales, la
modélisation numérique apparaît comme une alternative intéressante. Néanmoins, les capacités
de calcul demeurent fortement limitées pour la simulation numérique directe des réacteurs de
taille laboratoire et, a fortiori, pour les réacteurs industriels.
Afin de se soustraire de cette problématique, le présent projet propose de combiner différents
modèles phénoménologiques à la mécanique des fluides numériques diphasique. Plusieurs
tentatives de développement d’approches compartimentales ont déjà été menées jusqu’à présent.
Cependant leur construction repose sur des considérations hydrodynamiques de l’écoulement et
l’énergie dissipée au sein du système n’a pas été considérée.
L’objectif de ce projet est de développer une nouvelle méthodologie utilisant une approche
compartimentale énergétique afin de mieux comprendre les phénomènes complexes dans ce
réacteur. L’intérêt de cette approche est de pouvoir déterminer la contribution relative des
différentes zones du réacteur au transfert de matière.
La méthodologie retenue dans la suite est celle de Bashiri et al. développée initialement pour les
cuves agitées (Bashiri et al., 2016). Cette approche qui attache davantage d’importance à
l’énergie dissipée dans le système plutôt qu’à l’hydrodynamique semble plus adéquate dans le
cadre de réactions limitées par le transfert de matière. En effet, dans ce modèle, le diamètre
moyen local de bulle et le coefficient de transfert de matière côté liquide sont calculés dans
chaque compartiment. Ces deux paramètres dictent le transfert de matière.
Dans le détail, les objectifs spécifiques sont les suivants :
42
- établir un modèle de simulation de colonnes à bulles à l’aide du logiciel de simulation
numérique libre de droits OpenFOAM (Open Field Operation And Manipulation), pour
reproduire l’écoulement au sein d’une colonne à bulle en régime homogène à l’aide d’un
modèle à deux fluides.
- identifier les différentes zones du réacteur à partir de la dissipation d’énergie turbulente,
- déterminer les paramètres hydrodynamiques et de transfert de matière locaux dans chacun
des compartiments,
- valider et améliorer le modèle à partir de résultats expérimentaux de la littérature et des
données fournies par d’autres chercheurs du laboratoire PEARL (Process Engineering
Advanced Research Lab).
Au contraire des cuves agitées, l’énergie dissipée au sein du réacteur est uniquement due à
l’ascension des bulles pour les colonnes à bulles qui ne disposent pas d’agitateur mécanique. Ce
projet doit répondre à l’opportunité d’utiliser une même méthodologie pour ces deux réacteurs.
Par ailleurs l’écoulement au sein des colonnes à bulles n’étant pas forcé par un agitateur
mécanique, il est davantage soumis aux oscillations du panache de bulles autour de l’axe central
de la colonne à bulle. Il convient de moyenner dans le temps afin de retrouver l’écoulement
moyen classique. Ce point, en apparence anecdotique, a de lourdes conséquences sur la
simulation numérique, tant au point de vue du temps de calcul que du raffinement du maillage.
43
CHAPITRE 3 MÉTHODOLOGIE
Ce chapitre s’attache à décrire la méthodologie utilisée pour bâtir un modèle compartimental pour
les colonnes à bulle. Le principe de ce modèle est d’abord décrit puis les étapes de prétraitement
de la simulation numérique sont détaillées, telles que la construction du maillage, les conditions
frontières et initiales et les solveurs choisis. Les étapes de post-traitement des données, une fois la
simulation réalisée, sont également mentionnées.
3.1 Mise au point du modèle
La méthodologie utilisée dans ce projet s’inspire de celle développée par Bashiri et de son
modèle compartimental pour les cuves dotées de chicanes et agitées par une turbine Rushton
(Bashiri et al., 2016; Bashiri et al., 2014). La Figure 3.2 présente les différentes étapes de
construction du modèle qui sont détaillées dans la suite.
La première étape consiste à réaliser la simulation numérique de l’écoulement diphasique. Le
modèle retenu pour la simulation numérique ne fait intervenir qu’une seule taille de bulle
constante au cours de l’ascension. Par conséquent, les phénomènes de rupture et de coalescence
de bulles ne sont pas pris en compte. La taille de bulle a un impact très important sur la
simulation d’un écoulement gaz-liquide, en particulier sur la rétention de gaz au sein de la
colonne. Il convient alors de choisir cette taille de bulle adéquatement. Dans la suite, la taille de
bulle est choisie à partir des données expérimentales de Esmaeili reproduites à la Figure 3.1
(Esmaeili, Guy, & Chaouki, 2015). Dans ces expériences, deux tailles moyennes de bulles de gaz
sont mesurées à deux endroits, au milieu et dans le haut de la colonne. Il est observé que la taille
de bulle augmente lors de l’ascension de la phase gazeuse au sein de la colonne. Par conséquent,
une taille de bulle moyenne calculée entre les deux droites de régression présentées à la Figure
3.1 est déterminée. C’est ce diamètre de bulle qui est utilisé pour mener la simulation numérique.
Il pourrait aussi être envisagé d’utiliser une corrélation de la littérature afin d’estimer le diamètre
de bulle à utiliser dans la simulation tout en gardant le sens physique de cette propriété.
44
Figure 3.1 – Taille de bulle moyenne mesurée, à deux positions, par sonde à fibre optique en
fonction de la vitesse superficielle de gaz (Esmaeili et al., 2015).
Dans la seconde étape, les résultats issus de la simulation numérique sont analysés afin de valider
ou non ces derniers. Le cas échéant, le modèle numérique est revu, par exemple en préférant
d’autres modèles pour les forces interfaciales. Plus précisément, deux propriétés de l’écoulement
sont analysées et comparées aux données expérimentales de Esmaeili : la rétention de gaz (&\) et
la vitesse d’ascension des bulles (]G9C) (Esmaeili et al., 2015).
La troisième étape consiste à construire les différents compartiments d’après le taux de
dissipation d’énergie cinétique turbulente (X). Les frontières de ces compartiments sont
identifiées par un changement drastique de cette propriété.
45
Figure 3.2 – Algorithme pour bâtir les différents compartiments et évaluer le transfert de matière local.
[email protected] — 17-12-14
Contexte Méthodologie Résultats Conclusions et perspectives
Principe du modèle 55/20
Simulation CFDtaille de bulle mono-disperse
Rétention de gaz !" Taux de dissipation d’énergie cinétique turbulente #
Construction des compartiments
Calcul des champs moyens de !" et #dans chaque compartiment
$% locaux (2.14) &' locaux (2.30 et 2.36)
( locaux (2.4)
&'( locaux
&'( global (3.1)
Choix de $%,*+,d’après expériences (Figure 3.1)
Flux échangés entre compartiments
Bashiri, H., F. Bertrand and J. Chaouki (2016). "Development of a multiscale model for the design and scale-up of gas/liquid stirred tank reactors." Chemical Engineering Journal 297: 277-294.
46
La quatrième étape consiste à déterminer dans chacun des compartiments déterminés
précédemment, les valeurs locales de rétention de gaz et de dissipation d’énergie cinétique
turbulente. Ces propriétés moyennes locales dans chaque compartiment permettent de calculer le
diamètre moyen local de bulle avec l’équation (2.14) et le coefficient de transfert de matière côté
liquide à l’aide des équations (2.30) et (2.36). Le diamètre de bulle et la rétention de gaz
permettent d’obtenir l’aire interfaciale (équation (2.4)).
Finalement, dans la dernière étape, les coefficients de transfert de matière locaux dans chaque
compartiment ("#$)& de volume '& et global dans l’ensemble du réacteur "#$((((( sont calculés au
moyen d’une moyenne volumique :
"#$((((( =
∑ '&("#$)&+,&-+∑ '&+,&-+
(3.1)
3.2 Dispositif expérimental
Les données expérimentales utilisées dans ce mémoire sont issues des travaux de Esmaeili et al.
(2015). Le dispositif expérimental consiste en une colonne à bulle en Plexiglas mesurant 2,7 m de
haut et 0,292 m de diamètre interne. Le gaz est injecté par le dessous à travers une plaque
perforée constituée de 94 trous de 1 mm de diamètre permettant une distribution uniforme du gaz
(Figure 3.3). L’alimentation du gaz est réalisée à l’aide d’un compresseur et le débit est régulé à
l’aide d’une vanne et est mesuré grâce à un rotamètre. La colonne est initialement remplie d’eau à
une hauteur statique de 1,1 m (L/D = 3,8).
Deux séries de données sont mesurées, des données globales sur l’ensemble de la colonne et des
données locales dans deux zones d’intérêts appelées par la suite milieu et haut. Comme mesure
globale, la perte de charge totale est mesurée entre 0,07 et 1,04 m. Des pertes de charge locales
sont, quant-à-elles mesurées dans les deux zones d’intérêt : entre 0,36 et 0,66 m (milieu) et entre
0,79 et 1,09 m (haut). Trois capteurs de pression à réponse rapide (inférieure à 1 ms) sont utilisés
afin de déterminer les fluctuations de pression, le premier au bas de la colonne à 0,035 m, le
deuxième dans la zone médiane à 0,54 m et le dernier dans la zone haute à 0,955 m. Deux
capteurs par fibre optique permettent de déterminer les profils radiaux de rétention de gaz et de
47
taille de bulle à 0,45 m (L/D = 1,5) et 0,91 m (L/D = 3,1). De plus amples informations sont
disponibles dans les articles cités (Esmaeili et al., 2015).
Les propriétés des phases liquide et gazeuse sont rapportées dans le Tableau 3.1.
Figure 3.3 – Schéma de la colonne à bulles (Esmaeili et al., 2015).
Tableau 3.1 – Propriétés des phases continue et dispersée.
Phase continue : eau Phase dispersée : air Viscosité [Pa.s] 1,0 10-3 1,79 10-5
Masse volumique [kg.m-3] 997 1,22
48
3.3 Simulation numérique
Avant de pouvoir lancer une simulation numérique, il convient de réaliser plusieurs étapes parmi
lesquelles la construction de la géométrie du système et de sa discrétisation spatiale (maillage), le
choix de conditions aux frontières adéquates ainsi que de conditions initiales.
Ces différentes étapes et la simulation numérique sont réalisées à l’aide de la boîte à outils libre
de droits OpenFOAM 3.0.1. La Figure 3.4 présente l’ensemble des répertoires et fichiers
nécessaires au bon fonctionnement de la simulation et qui sont détaillés par la suite.
Figure 3.4 – Arborescence des différents fichiers nécessaires pour lancer une simulation avec
OpenFOAM version 3.0.1.
3.3.1 Construction de la géométrie et discrétisation spatiale
La géométrie décrite précédemment est générée avec l’utilitaire blockMesh disponible dans
OpenFOAM. Il permet de construire des géométries simples par fusion de blocs à partir d’un
fichier blockMeshDict situé dans le répertoire system. La géométrie et le maillage sont par
la suite générés et le répertoire constant/polyMesh contenant toutes les informations sur la
49
géométrie et le maillage est créé. Le cylindre formant la colonne est construit en fusionnant un
bloc central à base carrée avec d’autres blocs latéraux dont les faces externes forment la base
circulaire. La qualité du maillage a pu être améliorée en adoptant des côtés courbés pour la base
centrale (Figure 3.5 b). Cet utilitaire permet également de discrétiser spatialement la géométrie à
l’aide d’hexaèdres. Les hexaèdres permettent dans certains cas une meilleure précision que les
tétraèdres car la diffusion numérique est plus faible quand l’écoulement est colinéaire aux
vecteurs normaux aux surfaces. Les tétraèdres nécessitent également plus de volumes pour une
taille de maille donnée. Par ailleurs, les maillages constitués de tétraèdres peuvent être plus
pauvres à proximité des parois (Ferziger, 2002). Il s’agit d’un maillage structuré présenté à la
Figure 3.5. La hauteur retenue pour la géométrie est de 1,50 m bien que la hauteur statique de
liquide ne soit que de 1,1 m, afin de permettre l’expansion du liquide lors de l’introduction du
gaz.
Tableau 3.2 – Propriétés des maillages utilisés.
Maillage #1 Maillage #2 Maillage #3 Maillage #4
Nombre d’hexaèdres [-] 47 970 100 800 155 386 305 532
Non-orthogonalité [°] Max : 22,62 Moy : 4,36
Max : 25,20 Moy : 4,56
Max : 26,36 Moy : 4,66
Max : 27,94 Moy : 4,88
Asymétrie maximale [-] 0,714 0,820 0,821 0,724 Rapport d’élongation
maximum [-] 9,30 14,12 16,78 19,66
Aire des faces[m2] Min : 8,75e-05 Max : 1,46e-03
Min : 5,29e-05 Max : 1,10e-03
Min : 3,82e-05 Max : 9,39e-04
Min : 2,54e-5 Max : 7,08e-4
Volume [m3] Min : 1,20e-06 Max : 1,27e-05
Min : 5,29e-07 Max : 6,88e-06
Min : 3,48e-07 Max : 5,06e-06
Min : 1,65e-7 Max : 3,15e-6
L’utilitaire checkMesh permet d’évaluer les propriétés du maillage, en particulier trois
propriétés d’importance que sont (Ferziger, 2002) :
- l’orthogonalité caractérisée par l’angle entre le vecteur reliant les centres de deux volumes
côte à côte et la normale à la face qui sépare les deux volumes (Figure 3.6 a),
- l’asymétrie caractérisée par la distance séparant le centre d’une face et l’intersection avec
la face du vecteur liant les centres de deux volumes côte à côte (Figure 3.6 b),
50
- le rapport d’élongation qui caractérise l’élongation ou l’uniformité des volumes de
contrôle (Figure 3.6 c).
Le non-respect de ces propriétés peut avoir des conséquences préjudiciables sur la solution
déterminée ou ralentir l’obtention de cette solution. À titre d’exemple, un maillage de mauvaise
qualité peut engendre de la diffusion d’origine purement numérique et qui n’a aucune
signification physique.
Dans les quatre maillages utilisés par la suite, la non-orthogonalité est plus marquée aux coins du
bloc interne sans pour autant être rédhibitoire. Ces quatre maillages, de 50k, 100k, 150k et 300k
volumes, présentent de bonnes propriétés qui sont résumées dans le Tableau 3.2. Le rapport
d’élongation maximum est important compte tenu des volumes plus grossiers situés dans la zone
au-dessus de l’interface jusqu’à la sortie, cependant ce rapport est beaucoup plus faible ailleurs.
La plaque perforée par laquelle entre le gaz est assimilée à un disque dont le diamètre équivaut à
77% du diamètre interne de la colonne (Figure 3.7). Cette zone correspond au disque formé par la
distribution des orifices sur la plaque perforée du dispositif expérimental. Cette simplification
peut se justifier afin de minimiser le nombre de volumes. En effet, les orifices du dispositif
expérimental mesurant 1 mm, il faudrait raffiner drastiquement le maillage dans cette zone en
particulier, ce qui engendrerait donc une augmentation très importante du temps de calcul. Par
ailleurs, les plaques perforées permettent une distribution homogène du gaz dans la colonne.
C’est l’hypothèse utilisée afin de fixer la condition de vitesse uniforme à l’entrée du domaine.
D’avantages de détails sont fournis dans la section 3.3.2. Finalement, une description très fine de
l’hydrodynamique n’est pas requise dans le cadre de ce travail.
Le maillage est raffiné à proximité des parois. La densité des cellules au haut de la colonne est
progressivement diminuée pour minimiser le temps de calcul dans cette zone située au-dessus de
l’interface et qui n’est d’aucun intérêt dans le post-traitement des données (Figure 3.5).
51
a b
Figure 3.5 – Maillage vu du côté (a) et vu par le bas (b) (maillage#4 300k).
52
a
b
c
Figure 3.6 – Exemple en deux dimensions de défauts de maillage : a. non-orthogonalité,
b. asymétrie, c. élongation. P et M sont les centres de deux volumes voisins, C le centre de la face
qui les relie.
a b
Figure 3.7 – a. Géométrie de la plaque perforée (Esmaeili et al., 2015), b. Maillage de l'entrée,
entrée du gaz en rouge, murs en bleu.
53
3.3.2 Conditions frontières et conditions initiales
Trois types de conditions frontières doivent être imposées dans le domaine : à l’entrée, à la sortie
et aux parois. Les conditions frontières sont spécifiées dans les fichiers du répertoire 0 dans
lequel se trouve l’ensemble des champs au temps initial nécessaire à la simulation. Dans ces
différents fichiers (alpha.air, U.air, epsilon.air, p…), un premier dictionnaire
internalField permet de fixer les valeurs initiales des champs dans l’ensemble du domaine
et un second dictionnaire boundaryField permet de spécifier les conditions aux frontières.
À l’entrée, une vitesse uniforme pour la phase gazeuse est imposée tandis que la vitesse de la
phase liquide est nulle, la pression absolue est fixée à 105 Pa et la fraction de gaz est fixée à 1
(Peeters, 2016).
À la sortie du domaine, située bien au-dessus de l’interface liquide-gaz, une condition de
dégazage est utilisée, la pression est fixée à la pression hydrostatique. Le débit de sortie est
composé à 100% d’air (Peeters, 2016).
Aux murs, une condition de non glissement est fixée (vitesses nulles) tandis que le gradient de
pression est calculé en tenant compte de la pression hydrostatique et des forces volumiques. La
fraction de gaz est ajustée pour que son gradient soit nul. Finalement, pour la viscosité turbulente,
une fonction pour modéliser la couche limite est utilisée (Peeters, 2016) :
./ = . 0 "12ln(512) − 18 (3.2)
12 = 9:;/=
1√". (3.3)
où 12 est la couche limite à proximité du mur, " l’énergie cinétique turbulente, . et ./ sont la
viscosité cinématique et la viscosité cinématique turbulente, 5 et 9: deux constantes. L’ensemble
de ces variables est utilisé dans le modèle numérique détaillé à la section 3.4. L’ensemble des
conditions frontières est résumé dans le Tableau 3.3.
Les différents champs sont initialement fixés uniformes dans l’ensemble de la colonne, comme
indiqué au Tableau 3.3. La colonne est initialement remplie par le liquide sur une hauteur de 1,1
m, tandis que le gaz occupe la partie supérieure. Cette condition initiale peut être obtenue par
54
l’intermédiaire de l’utilitaire setFields qui permet d’attribuer à un sous-domaine une valeur,
tandis qu’une autre valeur est attribuée au reste du domaine, pour un champ donné. Le fichier
setFieldsDict permet de spécifier tout cela. C’est ainsi que la fraction de gaz est
initialement ajustée.
3.3.3 Parallélisation
Afin d’accélérer le calcul, il convient de paralléliser celui-ci. OpenFOAM dispose d’un utilitaire
dédié à cette tâche : decomposePar. Il requiert un fichier system/decomposeParDict
dans lequel est spécifié la méthode de décomposition du domaine scotch. Cette méthode
permet de réaliser automatiquement la décomposition tout en minimisant le nombre de frontières
entre processeurs. Le nombre de sous-domaines est choisi en fonction de la taille du maillage :
24, 36 ou 48. Il s’agit de multiples de 12 car le serveur de calcul Briarée de Calcul Québec, sur
lequel sont soumises les simulations, dispose de nœuds composés de 12 cœurs. Pour le plus gros
maillage de 300k volumes, le serveur de calcul Graham de Calcul Canada a été utilisé avec 64
cœurs.
3.4 Modèle numérique retenu
Les simulations ont été réalisées en deux étapes. Dans une première étape, une solution est
obtenue après l’établissement du régime permanent (fin de l’expansion du milieu) à 100s de
temps physique avec un maillage relativement grossier (maillage #1). La solution obtenue est
alors exportée vers un maillage plus raffiné sur lequel le calcul se poursuit à l’aide de l’utilitaire
mapFields. En particulier le calcul des champs moyens débute à partir de 100s sur le maillage
plus raffiné.
55
Tableau 3.3 – Résumé des conditions frontières et conditions initiales utilisées et syntaxe correspondante dans OpenFOAM.
Entrée Murs Sortie Initial
Vitesse
fixedValue
(0 u_air 0) air
(0 0 0) eau
fixedValue (0 0 0)
Valeur nulle.
pressureInletOutletVelocity Condition mixte en fonction du champ de pression :
- Débit entrant (fixedValue)
- Débit sortant (zeroGradient)
uniform
(0 0 0) air
(0 0 0) eau
Pression
fixedFluxPressure
Pression fixée tenant compte de la pression hydrostatique.
fixedFluxPressure
Dérivée partielle de la pression constante pour prendre en compte la pression hydrostatique.
prghPressure
Pression fixée à la pression hydrostatique.
uniform
105 [Pa]
Fraction de gaz
fixedValue
Valeur fixée à 1.
zeroGradient
Gradient nul.
inletOutlet
Condition mixte en fonction du champ de pression :
- Débit entrant (fixedValue)
- Débit sortant (zeroGradient)
nonuniform
0 pour ℎ < 1,1m 1 pour ℎ > 1,1m
Viscosité turbulente
calculated nutkWallFunction
Voir équations (3.2) et (3.3).
calculated uniform
10-8 [m2.s-1]
56
3.4.1 Description du solveur twoPhaseEulerFoam
La résolution de cet écoulement liquide-gaz est réalisée avec la boîte à outils libre de droits
OpenFOAM version 3.0.1 qui utilise la méthode des volumes finis (FVM). Parmi les différents
solveurs disponibles permettant de traiter des problèmes multiphasiques, le solveur
twoPhaseEulerFoam est utilisé afin de simuler l’écoulement diphasique compressible. Il est
en effet préconisé pour un système à deux phases compressibles avec l’une dispersée dans l’autre.
L’exemple de bulles de gaz dans une phase liquide est explicitement fourni dans la description du
solveur. Bien que l’on ne s’y intéresse pas dans le cadre de ce projet, ce solveur résout également
le transfert de chaleur (Greenshields, 2015). Ce solveur a été initialement construit conformément
aux travaux de Rusche (Rusche, 2003).
Les caractéristiques de ce solveur sont (Holzinger, 2017) :
- les différentes phases sont définies par défaut comme compressibles, cependant il est
possible de spécifier l’incompressibilité d’une des phases. Ceci nécessite la résolution de
l’équation d’énergie (cette option ne peut pas être désactivée, même si les phases sont
traitées comme incompressibles toutes les deux).
- le transfert de chaleur est calculé.
- de nombreux modèles de turbulence sont disponibles (RANS, LES).
- plusieurs modèles pour les écoulements de bulles de gaz dans du liquide sont disponibles,
en particulier pour les forces interfaciales.
3.4.2 Équations fondamentales et constitutives
Les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement dans le cadre d’une
approche de turbulence RANS, sont pour chaque phase ! :
""# (%&'&) + ∇ ∙ (%&'&,-&) = 0 (3.4)
""# (%&'&,-&) + ∇ ∙ (%&'&,-&,-&) = −'&∇1 + ∇ ∙ 2'&34566,&8 + %&'&9 ± ;& (3.5)
57
Dans ces équations, ,-& est la vitesse moyenne et 1 la pression partagée par les deux phases. Les
termes de gauche à droite de l’équation de conservation de la quantité de mouvement sont la
variation temporelle et le transport convectif de la quantité de mouvement, le gradient de
pression, le tenseur de contrainte de Reynolds 34566,& relatif au transport par diffusion, la force de
gravité et la quantité de mouvement échangée entre les deux phases par l’intermédiaire des forces
interfaciales.
Les fractions volumiques des deux phases obéissent à la relation :
'< + '= = 1 (3.6)
Le tenseur de contrainte de Reynolds s’écrit d’après l’hypothèse de Boussinesq :
34566,& = ?566,&2@,-& + @,-&A8 −23 D%&E& + ?566,&(@ ∙ ,-&)F G
H (3.7)
dans lequel E& est l’énergie cinétique turbulente et ?566,& la viscosité dynamique effective :
?566,& = ?& + ?&I (3.8)
?&I est la viscosité turbulente de la phase !, elle est donnée par :
?&I = JK%&
E&L
M& (3.9)
JK est une constante, E& et M& sont respectivement l’énergie cinétique turbulente et le taux de
dissipation d’énergie cinétique turbulente.
E& =32 (N|P|)
L (3.10)
M& = JKQ/SE&
Q/L (3.11)
I est l’intensité de la turbulence. E& et M& sont obtenues par le modèle E-M pour le mélange,
développé par Behzadi et al. (Behzadi, Issa, & Rusche, 2004). Ce modèle est déjà disponible dans
OpenFOAM. Il fait intervenir des grandeurs de mélanges (indicées m) définies plus loin.
58
La densité du mélange a été modifiée par rapport au modèle original en considérant une densité
effective du gaz au lieu de la densité réelle de la phase gazeuse (Lahey, 2005) :
%T = '<%< + '=%566,= (3.12)
%566,= = %= + JUV%< (3.13)
le paramètre JUV est le coefficient de masse virtuelle défini avec la force interfaciale de masse
virtuelle.
Les taux de dissipation d’énergie cinétique turbulente et l’énergie cinétique turbulente sont reliés
par les relations suivantes, dans lesquelles le coefficient de réponse à la turbulente JI est défini
plus bas :
M= = JILM< (3.14)
E= = JILE< (3.15)
L’énergie cinétique turbulente de mélange ET est :
ET = W'4<%<%T
+ '4=%=%T
JILX E< (3.16)
Le taux de dissipation d’énergie cinétique turbulente de mélange MT s’écrit comme :
MT = W'4<%<%T
+ '4=%=%T
JILX M< (3.17)
La viscosité de mélange est définie par :
?TI =
'4<?<I + '4=?=I JIL
'4<%< + '4=%566,=JIL%T (3.18)
Enfin, la vitesse de mélange est :
,-T =
'4<%<,-< + '4=%566,=,-=JIL
'4<%< + '4=%566,=JIL (3.19)
59
Le coefficient de réponse à la turbulence JI est calculé d’après Issa and Hill (Hill, Wang,
Gosman, & Issa, 1994; Issa, 1992) par la relation :
JI('=) = 1 + (JIY − 1)Z[6(\]) (3.20)
dans lequel JI est égal à JIY en absence de gaz, où :
JIY = JI('= = 0) =3 + ^
1 + ^ + 2%=/%< (3.21)
La relation (3.21) fait intervenir ^ qui est un paramètre du modèle calculé par :
^ =
2_`a5L%<b<cZI
(3.22)
_` est un coefficient relatif à la traînée, a5 la longueur caractéristique d’un vortex, cZI le nombre
de Reynolds turbulent et def la vitesse caractéristique :
_` =3'=%<Jg4ij
(3.23)
a5 = JK
E<Q/L
M< (3.24)
cZI =d<fa5b<
(3.25)
d<f = k2E<
3 (3.26)
Finalement, le terme l('=) est fonction de la concentration de phase dispersée :
l('=) = 180'= − 4,71 ∙ 10Q'=L + 4,26 ∙ 10S'=Q (3.27)
Les équations de conservation de l’énergie cinétique turbulente de mélange (ET) et la dissipation
d’énergie cinétique turbulente de mélange (MT) sont :
60
"(%TET)"# + @ ∙ (%T,-TET) = @ ∙
?TIpq@ET + rqT − %TMT + sqT (3.28)
"(%TMT)"# + @ ∙ (%T,-TMT)
= @ ∙?TIpt@MT +
MTET
(JturqT − JtL%TMT) + JtQMTET
sqT (3.29)
où rqT représente la production d’énergie cinétique turbulente de mélange. Jtu, JtL et JtQ sont
trois constantes.
Figure 3.8 – Algorithme de résolution de la turbulence d’après le modèle mixtureKEpsilon.
61
La Figure 3.8 présente l’ordre de résolution des équations pour modéliser la turbulence. Les
différentes constantes utilisées sont rassemblées au Tableau 3.4.
Tableau 3.4 – Constantes utilisées dans le modèle de turbulence.
Constante JK Jtu JtL JtQ Jv pq pt
Valeur 0,09 1,44 1,92 1,92 0,25 1,0 1,3
3.4.3 Forces interfaciales
Les différentes forces interfaciales ont été décrites dans la section 2.5.4. Les forces interfaciales
retenues dans le cadre de ce projet sont la force de traînée, la force de portance latérale et la force
de masse virtuelle.
Pour rappel, la force de traînée s’écrit :
;g =34'yJg
%zij{,-y − ,-z{2,-y − ,-z8 (3.30)
dans lequel le coefficient de traîné Jg est calculé par le modèle de Schiller-Naumann (Schiller &
Naumann, 1935) :
Jg,Y = |
24cZ (1 + 0,15cZ
Y,}~�)cZj ≤ 10000,44cZj > 1000
(3.31)
Le nombre de Reynolds de bulle est :
cZj =
%z{,-y − ,-z{ij?z
(3.32)
Pour tenir compte des hautes concentrations de phase dispersée, le coefficient de traînée est
corrigé par le modèle de panache de Tomiyama (Tomiyama et al., 1995) :
JÉ =JgJg,Y
= (1 − ')Q[Lz (3.33)
62
où Jg,Y est le coefficient de traînée calculé par le modèle de Schiller-Naumann et Ñ est un
paramètre (Ñ = 2).
La force de portance latérale, nécessaire pour reproduire le profil de rétention de gaz, en
particulier proche des parois, est :
;< = 'y%zJ< ∙ 2,-y − ,-z8 × Ü ∧ ,-z (3.34)
dans lequel le coefficient de portance latérale J< est déterminé par le modèle de portance latérale
de Tomiyama (Tomiyama et al., 2002) :
J< = àmin å 0,288 tanh(0,121cZ)
0,00105êëQ − 0,0159êëL − 0,0204êë + 0,474 , êë < 4
0,00105êëQ − 0,0159êëL − 0,0204êë + 0,474, 4 ≤ êë ≤ 10−0,29êë > 10
(3.35)
Le nombre adimensionnel d’Eötvos caractérise la forme des bulles, il est défini comme :
êë =
ì2%z − %y8ijL
p (3.36)
où p est la tension de surface.
Finalement la force de masse virtuelle est défini comme :
;UV = JUV'y%z Wîy,-yî# −
îz,-zî# X (3.37)
Une valeur constante est utilisée pour le coefficient de masse virtuelle JUV = 0,5.
3.4.4 Schémas de discrétisation numérique
Afin de résoudre les équations de conservation de la masse (3.4) et de quantité de mouvement
(3.5), il convient de discrétiser les différents opérateurs mathématiques. L’utilisation de schémas
de discrétisation d’ordres élevés est recommandé pour les écoulements turbulents multiphasiques
afin de limiter la diffusion numérique (Laborde-Boutet et al., 2009). Les différents schémas
utilisés sont regroupés au Tableau 3.5 et doivent être spécifiés dans le fichier
63
system/fvScheme. Ces schémas de discrétisation utilisent des interpolations linéaires pour
déterminer les valeurs des différents champs aux centres des faces.
Tableau 3.5 – Schémas de discrétisation numérique.
Dérivée partielle Schéma de discrétisation
Temporelle Euler implicite (ordre 1)
Gradient Gauss (ordre 2)
Divergence (convection) Gauss (ordre 2) avec un limiteur van Leer
Laplacien (diffusion) Gauss (ordre 2) avec une correction pour la non-orthogonalité
3.4.5 Algorithmes de résolution
Le solveur twoPhaseEulerFoam utilise l’algorithme de résolution PIMPLE pour le couplage
pression-vitesse. Cet algorithme est la combinaison des algorithmes PISO (Pressure Implicit with
Splitting Operators), utilisé pour des simulations transitoires, et SIMPLE (Semi-Implicit Method
for Pressure-Linked Equations), utilisé pour des simulations stationnaires. L’algorithme
PIMPLE, illustré à la Figure 3.9, est utilisé pour les simulations instationnaires tout en offrant la
possibilité de sous-relaxer la solution, ce qui est une caractéristique de l’algorithme stationnaire
SIMPLE.
Au début d’un pas de temps, une première boucle, appelée boucle PIMPLE est formée avec
l’indice nOuterCorrectors. Si cet indice est fixé à 1, nous retrouvons l’algorithme PISO
classique. Dans cette première boucle l’équation de continuité des deux phases est résolue puis
les coefficients de traînée, de portance latérale et de masse virtuelle sont calculés. Ensuite,
l’équation de quantité de mouvement et l’équation de conservation d’énergie sont résolues avant
d’entrer dans une nouvelle boucle, appelée boucle PISO, contrôlée par l’indice nCorrectors.
Dans un souci de concision, l’équation de conservation d’énergie n’est pas mentionnée dans ce
mémoire, sa présence est due à la nature intrinsèquement compressible du solveur
twoPhaseEulerFoam, toutefois, les phases sont considérées incompressibles dans ce modèle.
64
L’équation de la pression est alors résolue puis une correction au champ de vitesse est appliquée
avec la nouvelle pression déterminée et finalement le nouveau champ de fraction des phases est
calculé. Au terme de cette boucle PISO, les équations de transport pour la turbulence sont
résolues et la boucle PIMPLE est alors éventuellement relancée. Finalement le résultat est
sauvegardé et la simulation se dirige au pas de temps suivant (Holzinger, 2017).
Figure 3.9 – Algorithme de résolution PIMPLE pour le solveur twoPhaseEulerFoam.
65
L’équation de la pression est résolue par un solveur multi-échelle GAMG (Geometric-Algebraic
Multi-Grid). Ce solveur détermine dans un premier temps une solution à l’équation pour un
maillage grossier utilisée par la suite comme solution initiale pour la résolution sur le maillage
plus fin. La taille du maillage grossier est définie par nCellsInCoarsestLevel.
Le calcul de la fraction de gaz est réalisé itérativement à l’aide de l’algorithme MULES (Multi-
dimensional Universal Limiter with Explicit Solution) afin de s’assurer que la solution obtenue
pour la fraction de gaz est bornée. Le nombre d’itérations est défini par l’indice
nAlphaSubCycles.
Finalement le pas de temps est calculé et contrôlé par la condition CFL (Courant-Friedrichs-
Lewy) qui préconise que le nombre de Courant convectif Jë, défini en (3.38), doit être maintenu
inférieur à une certaine valeur afin d’assurer la convergence de la résolution. Le pas de temps est
ensuite déterminé en conséquence. Pour les écoulements multiphasiques, la valeur généralement
admise est JëTïñ = 0,25 (Peeters, 2016).
Jë =|,|Δ#Δò (3.38)
Le nombre de Courant est évalué dans l’ensemble du domaine et seule la valeur maximale est
utilisée pour déterminer le pas de temps. Dans la suite, la valeur JëTïñ = 0,5 a été jugée
satisfaisante car uniquement les zones où le champ de vitesse est le plus intense peuvent être
affectées par cette valeur critique de 0,5 ; dans le reste du domaine le nombre de Courant est
nettement inférieur, en témoigne le nombre de Courant moyen dans l’ensemble du domaine qui
est de l’ordre de 0,01.
L’ensemble de ces options sont définies dans les fichiers system/fvSolution et
system/controlDict pour le nombre de Courant.
Le temps typique de simulation correspond à environ 6 à 10 min de temps réel. Les champs
nécessitent d’être moyennés sur de relatives longues périodes afin d’obtenir des résultats
indépendants de la position instantanée du panache de bulles.
66
3.5 Post-traitement des données
Les résultats peuvent être directement visualisés par l’intermédiaire du logiciel libre paraview
fourni avec OpenFOAM. Le couplage de ces deux logiciels est direct, il suffit pour cela
d’exécuter la commande paraFoam dans le répertoire du cas. Alternativement, l’accès aux
résultats peut aussi se faire directement à partir du logiciel paraview.
De nombreux filtres sont disponibles pour récupérer les données d’intérêt tels que les profils
radiaux de rétention de gaz et de vitesse. Il est également possible d’extraire des données
statistiques dans les domaines voulus.
Le découpage de la géométrie en plusieurs sous-domaines est également effectué avec le logiciel
paraview afin d’évaluer les propriétés locales moyennes dans chaque sous-domaine.
67
CHAPITRE 4 RÉSULTATS ET DISCUSSION
Dans ce chapitre, les résultats obtenus par l’approche détaillée dans le Chapitre 3 sont présentés.
Les résultats sont validés avec les données expérimentales de Esmaeili et al. (Esmaeili et al.,
2015; Esmaeili, Guy, & Chaouki, 2016). Les principales spécifications des différentes
simulations sont détaillées dans le Tableau 4.1 ; plus d’informations sont fournies dans le
Chapitre 3. Les différentes techniques expérimentales utilisées, détaillées dans la section 3.2, sont
des mesures de différences de pression (DP) pour la rétention de gaz et de taille de bulle. Des
sondes à fibres optiques (FOP) sont également utilisées pour déterminer des profils radiaux de
rétention de gaz ou de vitesse du gaz.
Dans un premier temps, le modèle numérique est étudié, plus précisément, le temps de
simulation, la dépendance au maillage et les profils radiaux de rétention de gaz et de vitesse du
gaz obtenus sont discutés. Ensuite, le processus de construction des compartiments basé sur
l’énergie dissipée dans le système est détaillé. Les résultats du modèle sont présentés et discutés.
Finalement, une méthode alternative de construction des compartiments est proposée et les
résultats de ce nouveau découpage sont présentés.
4.1 Validation du modèle numérique
4.1.1 Temps de simulation
La principale difficulté que posent les colonnes à bulles est que l’hydrodynamique et en
particulier le patron d’écoulement sont dictés par l’ascension des bulles dans la phase continue.
Par conséquent, la turbulence générée est relativement faible d’une part, et d’autre part le
panache de bulles oscille autour de l’axe de la colonne. Tout comme pour les mesures
expérimentales, il convient de calculer un champ d’écoulement moyen dans le temps. Les champs
instantanés doivent alors être enregistrés sur des temps longs pour atténuer l’effet de ces
oscillations. Il convient alors de déterminer le temps nécessaire pour atteindre un profil moyen
symétrique pour les vitesses et la rétention de gaz. La Figure 4.1 présente les profils obtenus pour
différentes durées utilisées pour déterminer le champ moyen ainsi que les profils mesurés
68
expérimentalement par Esmaeili et al. à l’aide d’une sonde à fibre optique (Esmaeili et al., 2015).
Il est constaté que le profil moyen se stabilise au-delà de 300 s pour calculer la moyenne.
Le calcul numérique est exécuté sur les grappes de calcul Briarée de Calcul Québec et Graham de
Calcul Canada. À titre d’exemple, pour un maillage de 50k volumes et un temps physique de 600
s (100 s de mise en régime suivis de 500 s pour le calcul des champs moyens) il faut environ 60 h
ou 2,5 jours de calcul sur 36 cœurs sur Briarée. Pour un maillage de 150k volumes, le temps de
calcul pour la même durée physique monte à 250 h ou 10,4 jours sur 48 cœurs, toujours sur
Briarée. Pour le maillage de 300k volumes, il faut compter 16 jours de calcul avec 64 cœurs sur
Graham.
Tableau 4.1 – Liste des simulations numériques réalisées.
Cas Maillage ,ô(cm/s)
öõ (mm)1 Paramètres étudiés Techniques
expérimentales
A1 1 (50k) 4,27 5,23
- Modèle de traînée (Tomiyama, Schiller-Naumann) - Modèle de correction de panache - Maillage
FOP2, DPT3
A2 2 (100k) 4,27 5,23 - Maillage FOP, DPT A3 3 (150k) 4,27 5,23 - Maillage FOP, DPT
A4 4 (300k) 4,27 5,23 - Modèle de correction de panache - Maillage FOP, DPT
B1 1 7,42 6,00
- Modèle de traînée (Tomiyama, Schiller-Naumann) - Modèle de correction de panache - Maillage
FOP, DPT
B2 2 7,42 6,00 - Maillage FOP, DPT B3 3 7,42 6,00 - Maillage FOP, DPT
C1 1 2,82 4,86 - Vitesse superficielle de gaz - Maillage DPT
C2 2 2,82 4,86 - Vitesse superficielle de gaz - Maillage DPT
D1 1 5,85 5,78 - Vitesse superficielle de gaz - Maillage DPT
D2 2 5,85 5,78 - Vitesse superficielle de gaz - Maillage DPT
1Diamètre constant utilisé pour la simulation CFD. 2FOP : Fiber Optic Probe 3DPT : Differential Pressure Transducer
69
Ce long temps de simulation constitue une contrainte majeure. Par ailleurs, un raffinement du
maillage provoque une augmentation du nombre de volumes finis ; la taille des volumes diminue
ce qui implique une augmentation du nombre de Courant (équation 3.38). Or, pour maintenir le
nombre de Courant inférieur à la valeur souhaitée (0,5), le pas de temps doit également être
diminué. D’autre part, le nombre de calculs par pas de temps est également augmenté. C’est
pourquoi le temps de calcul est augmenté significativement en raffinant le maillage. Afin de
maintenir une durée de calcul raisonnable, il convient alors de déterminer un maillage optimum
qui permet une prédiction fidèle de l’hydrodynamique sans être trop chronophage.
4.1.2 Analyse de sensibilité du maillage
Une analyse de sensibilité a été réalisée afin de déterminer l’influence du maillage. La Figure 4.2
et la Figure 4.3 présentent les profils radiaux de rétention de gaz et de vitesse de gaz moyens pour
des vitesses superficielles de 4,27 et 7,42 cm/s respectivement. Les solutions présentées sont
obtenues pour trois ou quatre maillages différents de 50k, 100k, 150k et 300k volumes. Ces
profils sont, de nouveau, comparés aux données de Esmaeili et al. ; les auteurs n’ont cependant
pas indiqué les incertitudes expérimentales associées à leurs mesures. Ils mentionnent que les
mesures ont été répétées à trois reprises et qu’une valeur moyenne est calculée sur ces trois séries
de mesures, sans plus d’information sur la variabilité expérimentale constatée (Esmaeili et al.,
2015). Après quelques échanges avec l’auteur et compte tenu de la technique utilisée,
l’incertitude a été estimée à ±5% pour la rétention de gaz et ±30% pour la vitesse d’ascension du
gaz. Pour le débit de gaz le plus faible (Figure 4.2), les quatre maillages utilisés ne montrent pas
de variations significatives des profils radiaux obtenus. Il est tout de même à noter que les profils
sont davantage symétriques quand le nombre de volumes augmente. L’influence de ces maillages
sur les profils moyennés dans le temps demeure néanmoins faible. Ce résultat surprenant illustre
une des limites de l’approche Euler-Euler. Pour le débit de gaz plus important (Figure 4.3), les
profils de rétention de gaz obtenus à la position haute (L/D = 3,1) sont bien au-dessus des points
expérimentaux que ceux obtenus au milieu de la colonne (L/D = 1,5) par rapport au profil
expérimental. Une possible raison est que la surface libre est proche de cette position haute.
Cependant ce comportement n’est pas observé expérimentalement. En outre, l’influence du
maillage est beaucoup plus marquée pour une vitesse superficielle de 7,42 cm/s.
70
Figure 4.1 – Profils moyens de rétention de gaz (') et de vitesse de gaz (dï&ú) calculés pour
différentes périodes de temps (100, 300 et 500 s), à deux positions (haut et milieu) pour une
vitesse superficielle de gaz de 4,27 cm/s (cas A4) et comparé aux données expérimentales de
Esmaeili et al. (2015, 2016).
71
Figure 4.2 – Effet du maillage sur les profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de
vitesse de gaz pour quatre maillages de 50k, 100k, 150k et 300k pour une vitesse superficielle de
gaz de 4,27 cm/s(cas A1-4) dans le cas d’un modèle de traînée de Schiller-Naumann avec modèle
de correction pour le panache et comparé aux données expérimentales de Esmaeili et al. (2015,
2016).
72
Figure 4.3 – Effet du maillage sur les profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de
vitesse de gaz pour trois maillages de 50k, 100k et 150k pour une vitesse superficielle de gaz de
7,42 cm/s (cas B1-3) dans le cas d’un modèle de traînée de Schiller-Naumann avec modèle de
correction pour le panache et comparé aux données expérimentales de Esmaeili et al. (2015,
2016).
73
En ce qui concerne la vitesse de la phase gazeuse, les profils obtenus numériquement surestiment
les profils mesurés. L’écart est d’autant plus important pour le débit de gaz le plus élevé à la
position haute (L/D = 3,1). La simulation n’avait déjà pas permis d’obtenir une bonne prédiction
de la rétention de gaz radiale pour ce cas-là. Étonnamment, le modèle numérique n’est pas à
même de fournir une aussi bonne prédiction de la rétention de gaz et de la vitesse de gaz
simultanément. Un bilan macroscopique a été réalisé et a permis de confirmer que la vitesse
relative numérique (dú = dï&ú − d5ïù) était bien consistante avec les données numériques. Il
semblerait donc que les vitesses des deux phases soient surestimées dans la simulation.
Néanmoins, nous ne disposons pas d’informations sur la vitesse expérimentale de la phase
liquide.
4.1.3 Prédiction de la rétention de gaz globale
La rétention globale de gaz est définie, pour une cuve de section constante par :
'= =ûg − ûûg
(4.1)
où û et ûg sont les hauteurs de liquide respectivement sans injection de gaz (hauteur statique) et
avec (hauteur dynamique).
Compte tenu de la définition précédente, il suffirait donc de déterminer la position de l’interface.
Cette méthode visuelle, bien que soumise aux fluctuations de la surface de liquide, est
envisageable expérimentalement, cependant elle n’est pas pertinente pour une simulation
numérique. En effet, dans le modèle numérique retenu, l’interface gaz-liquide n’est pas capturée,
la concentration en gaz évoluant de manière continue dans l’espace. Par conséquent, il convient
de mesurer la rétention de gaz dans une zone immergée de la colonne à l’aide de capteurs de
pression.
'= = 1 −1%<ì
ürü† (4.2)
où ür est la perte de charge mesurée entre deux hauteurs séparées par la longueur ü†.
Dans le cadre de la mécanique des fluides numérique, la prédiction de la rétention de gaz est
intimement liée à la taille de bulle et à la force de traînée. Le diamètre de bulle est choisi d’après
74
les données expérimentales de Esmaeili et al. (Esmaeili et al., 2015). Les détails de ce choix sont
évoqués à la section 3.1. Deux modèles pour le calcul du coefficient de traînée sont testés, celui
de Schiller-Naumann et celui de Tomiyama (section Erreur ! Nous n’avons pas trouvé la s
ource du renvoi.). Les modèles de traînée sont généralement mis au point pour de faibles
concentrations de gaz (Schiller & Naumann, 1935). D’où l’intérêt d’étudier l’effet d’un modèle
de correction du coefficient de traînée pour tenir compte du panache de bulle, dans lequel la
concentration en gaz est plus élevée. En particulier, l’influence du modèle de correction de la
traînée de Tomiyama (équation 3.30), introduit dans la section Erreur ! Nous n’avons pas t
rouvé la source du renvoi., est considéré (Tomiyama et al., 1995).
La Figure 4.4 présente les rétentions de gaz globales déterminées numériquement pour les quatre
conditions opératoires étudiées dans la suite de ce mémoire, à savoir pour des vitesses
superficielles de gaz de 2,82 – 4,27 – 6,51 et 7,42 cm/s, pour les modèles de traînée de Schiller-
Naumann et de Tomiyama, avec et sans correction du coefficient de traînée pour les hautes
concentrations en gaz. Les effets des différents maillages sont aussi présentés.
Quelque soient les cas, on peut observer une large surestimation de la rétention globale de gaz
avec le modèle traînée de Tomiyama et une sous-estimation de la rétention globale de gaz avec le
modèle de Schiller-Naumann. Le modèle de Schiller-Naumann fournit néanmoins une meilleure
estimation de la rétention de gaz par rapport au modèle de Tomiyama. C’est donc ce modèle qui
est retenu dans la suite.
Par ailleurs, la prédiction de la rétention globale de gaz est améliorée avec la correction du
coefficient de traînée par le modèle de Tomiyama. En effet, d’après l’équation (3.30), une
concentration élevée en gaz occasionne une augmentation du coefficient de traînée et donc de la
force de traînée. Ceci a pour effet de ralentir l’ascension de la phase gazeuse et par conséquent
d’augmenter le temps de rétention dans la phase liquide. Finalement la rétention de gaz calculée
est plus importante. Par ailleurs, les profils radiaux de rétention de gaz et de vitesse de gaz
présentés à la Figure 4.5 et à la Figure 4.6 confirment le choix du modèle de Schiller-Naumann
avec une correction pour les hautes concentration de gaz, afin d’obtenir une meilleure prédiction
locale. En particulier, la prédiction de la vitesse à proximité des parois est notablement améliorée
avec le modèle de Schiller-Naumann
75
Peu d’effet du maillage est observé pour les faibles vitesses superficielles de gaz. À l’inverse
pour les plus hautes vitesses (7,42 cm/s), l’effet du maillage n’est plus négligeable. Les maillages
les plus grossiers mènent à une rétention de gaz plus importante que les maillages plus raffinés.
Ceci est également observé sur les profils radiaux (Figure 4.6).
Figure 4.4 – Comparaison entre la rétention de gaz globale mesurée par différence de pression
(Esmaeili et al., 2015) et calculée numériquement pour les modèles de traînée de Schiller-
Naumann (SN) et de Tomiyama (T) avec (P) et sans (NP) correction du coefficient de traînée
pour les hautes concentrations en gaz. Les quatre séries de points correspondent aux vitesses
superficielles de gaz de P= = 2,82 - 4,27 -6,51 et 7,42 cm/s (A1-4, B1-3, C1-2, D1-2).
76
Figure 4.5 – Profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de vitesse de gaz pour le
maillage de 50k pour une vitesse superficielle de gaz de 4,27 cm/s (cas A1). Modèles de traînée
de Schiller-Naumann (SN) et de Tomiyama (T) avec (P) et sans modèle (NP) de correction pour
le panache. Données expérimentales issues de Esmaeili et al. (Esmaeili et al., 2015, 2016).
77
Figure 4.6 – Profils radiaux moyens (500 s) de rétention de gaz et de vitesse de gaz pour une
vitesse superficielle de gaz de 7,42 cm/s (cas B1 et B3). Modèles de traînée de Schiller-Naumann
(SN) et de Tomiyama (T) avec (P) et sans modèle (NP) de correction pour le panache. Données
expérimentales issues de Esmaeili et al. (Esmaeili et al., 2015, 2016).
78
4.2 Définition énergétique des compartiments
L’établissement du critère pour construire les différents compartiments est une étape
fondamentale inhérente à ce modèle. La méthodologie s’inspire de celle employée par Bashiri
pour les cuves agitées (Bashiri et al., 2014). À partir du calcul du taux de dissipation d’énergie
turbulente du mélange MT (équation 3.17), les frontières des compartiments sont déterminées.
Plus précisément, en numérotant les éléments de volume par ordre croissant (indice °) de
dissipation d’énergie turbulente pour le mélange MT, la fraction volumique occupée par un
volume fini est définie par la relation :
¢£ =§£•I¶I
(4.3)
dans lequel §£ est le volume de le la cellule ° et •I¶I le volume total du réacteur.
Ensuite, la somme pondérée cumulative du taux d’énergie de dissipation (ê&) peut-être
déterminée par :
ê& = ßZ£
&
£®u=ßMT,£¢£
&
£®u (4.4)
où MT,£ est le taux de dissipation d’énergie cinétique turbulente pour la cellule °. Cette fonction
est tracée à la Figure 4.7 pour différentes vitesses superficielles de gaz : 2,82 – 4,27 – 6,51 et 7,42
cm/s (cas A1-4, B1-3, C1-2, D1-2).
La turbulence étant générée uniquement par l’ascension des bulles, l’amplitude des taux de
dissipation d’énergie cinétique turbulente mesurées est fortement resserrée. La majorité de la
colonne est soumise à des amplitudes de turbulences similaires. Contrairement aux cuves agitées,
dans lesquelles la turbulence est principalement causée par l’agitation mécanique, il est plus
difficile d’identifier un changement drastique tels que ceux identifiés par Bashiri pour les cuves
agitées (Bashiri et al., 2014).
Compte tenu des variations faibles de la somme pondérée cumulative du taux d’énergie de
dissipation dans la colonne à bulles, il n’est pas possible de déterminer de changements
drastiques de l’énergie dissipée au sein du réacteur. Par conséquent, il s’avère difficile de
déterminer des compartiments significatifs du point de vue phénoménologique. De plus, aux
79
vitesses les plus élevées, l’énergie dissipée n’est plus indépendante du maillage comme l’illustre
la Figure 4.7-d.
a. Vitesse superficielle de gaz P= = 2,82 cm/s.
b. Vitesse superficielle de gaz P= = 4,27 cm/s.
80
c. Vitesse superficielle de gaz P= = 6,51 cm/s.
d. Vitesse superficielle de gaz P= = 7,42 cm/s.
Figure 4.7 – Dissipation d'énergie cinétique turbulente cumulative (ê&) pour différentes vitesses
superficielles de gaz et différents maillages (cas A1-4, B1-3, C1-2, D1-2).
81
4.3 Définition hydrodynamique des compartiments
Une autre option pour construire les compartiments consiste à les définir à partir du patron
d’écoulement observé au sein de la colonne. Le patron d’écoulement moyen de la phase continue
liquide est représenté à la Figure 4.8. Il fait apparaître une boucle de recirculation principale qui
parcourt l’ensemble de la colonne. L’eau entraînée par les bulles monte par le centre de la
colonne puis redescend à proximité des parois une fois le gaz libéré. Une seconde boucle de
recirculation plus petite se forme au bas de la colonne. Ces observations permettent de définir
deux compartiments, un premier pour la partie basse, contenant la plus petite boucle de
recirculation, et un second pour la partie haute occupant le reste de la colonne. En raison de la
méthode de simulation utilisée qui ne capture pas l’interface, il est difficile d’évaluer précisément
l’interface supérieure.
4.4 Évaluation du modèle compartimental
Dans cette section nous évaluons la pertinence de cette approche hydrodynamique pour bâtir les
compartiments. Tout d’abord, nous déterminons la taille de bulle moyenne locale puis nous
analysons la prédiction du transfert de matière dans les différents compartiments. Finalement,
nous examinons l’influence des conditions opératoires.
4.4.1 Prédiction de la taille de bulle
Dans chacun des compartiments, un diamètre de bulle moyen est évalué grâce à la relation (2.14).
La Figure 4.9-a présente les résultats obtenus pour les deux compartiments déterminés dans la
partie précédente pour une vitesse superficielle de gaz de 4,27 cm/s et le maillage de 100k
volumes (cas A2). Les autres maillages testés conduisent à des résultats très semblables. À titre
de comparaison, le diamètre de bulle est également calculé dans le cas où l’on ne considère qu’un
seul compartiment.
Afin de valider les résultats du modèle, deux diamètres moyens ont été mesurés
expérimentalement par analyse fréquentielle du signal de pression, 5,0 mm et 5,5 mm pour les
positions L/D = 1,5 et L/D = 3,1 respectivement (Esmaeili et al., 2015). Les diamètres obtenus
82
par le modèle, à savoir 5,6 mm pour L/D = 1,5 et 5,3 mm pour L/D = 3,1, sont en bon accord
avec ces valeurs mesurées expérimentalement .
a. b.
P45ïù [m/s]
Figure 4.8 – a. Lignes de courant moyennes de la phase liquide obtenues pour P= = 4,27 cm/s
(cas A2). b. Compartiments caractéristiques déterminés et boucles de recirculation schématisées.
83
4.4.2 Prédiction du transfert de matière
Des coefficients de transfert de matière (E<©) locaux sont calculés dans chacun des
compartiments d’après le modèle de cellule de turbulence et le modèle de vitesse de glissement
définis aux équations (2.30) et (2.36) respectivement. Les résultats sont présentés à la Figure 4.9-
b. Comme précédemment pour le diamètre de bulle, le E<© est également évalué pour un seul
compartiment. Enfin, toujours sur la Figure 4.9-b, la contribution relative au transfert de matière
de chacun des compartiments est fournie accompagnée de la fraction de volume occupée par le
compartiment.
On constate que le compartiment du haut contribue davantage au transfert de matière que le
compartiment du bas en raison de la relative plus forte dissipation d’énergie en haut de la
colonne. Par ailleurs, la rétention de gaz est plus importante et le diamètre de bulle est plus petit,
ce qui maximise l’aire interfaciale © (équation 2.4).
Ne disposant pas de données expérimentales sur le transfert de matière, seul le coefficient de
transfert global dans l’ensemble de la colonne est comparé à diverses corrélations disponibles
dans la littérature (section 2.4.3). Les E<© globaux calculés par diverses corrélations conduisent à
des valeurs comprises entre 2,1 et 8,8 × 10[L™[u. Il existe une forte disparité entre ces
corrélations.
Dans le modèle compartimental, le coefficient de transfert de matière du côté liquide E< est
calculé d’après le modèle de cellule de turbulence (équation 2.30) et d’après le modèle de vitesse
de glissement (équation 2.36). De manière général le E<© global obtenu par le modèle
compartimental est compris entre les valeurs extrêmes fournies par les corrélations tel qu’illustré
à la Figure 4.10. On remarque toutefois un meilleur accord avec les corrélations de Higbie, Shah
et al. et Calderbank et Moo-Young. Par ailleurs, le modèle de vitesse de glissement semble
fournir un meilleur estimé du E<© global (4,9 × 10[L™[u) que le modèle de cellule de turbulence
(6,0 × 10[L™[u), si on le compare à toutes les corrélations. L’écart maximal, est d’environ
+200% avec le modèle de cellule de turbulence et la corrélation d’Ozturk et al. et +150% avec le
modèle de vitesse de glissement.
84
a. Diamètres de bulle moyen (2.14). b. !"# d’après le modèle de vitesse de glissement (s) (2.36) et le modèle de
cellule de turbulence (e) (2.30). Valeurs absolues (gauche) et contribution au transfert de matière global (droite).
Figure 4.9 – Diamètres de bulle moyens $% (a) et coefficients de transfert de matière !"# locaux (b) calculés d’après le modèle
compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse superficielle de gaz &' = 4,27 cm/s (cas A1-4). Les valeurs
expérimentales (Esmaeili et al., 2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises.
85
Figure 4.10 – Comparaison entre les !"# globaux calculés par deux modèles (cellule de
turbulence (équation 2.30) et vitesse de glissement (équation 2.36)) et obtenus par diverses
corrélations (section 2.4.3) (cas A1-4).
4.4.3 Effet des conditions opératoires sur le modèle compartimental
Dans cette section, nous examinons l’influence d’autres conditions opératoires sur le modèle
compartimental. Trois autres vitesses superficielles du gaz sont utilisées : 2,82 – 6,51 et 7,42
cm/s (cas B1-3, C1-2 et D1-2). Le diamètre de bulle constant utilisé pour réaliser ces nouvelles
simulations doit être choisi en accord avec les données expérimentale de Esmaeili et al. (Esmaeili
et al., 2015). À partir de la Figure 3.1, les diamètres constants de bulle retenus sont pour les trois
nouvelles vitesses superficielles de gaz respectivement de 4,9 – 5,8 et 6,0 mm.
Suivant la méthodologie précédente reposant sur les patrons d’écoulements moyens, il faut de
nouveau construire les différents compartiments. Quelles que soient les conditions opératoires,
elles mènent à la formation des deux mêmes compartiments ; la frontière qui sépare les deux
compartiments est approximativement à la même hauteur. Les résultats pour ces trois cas sont
86
présentés à la Figure 4.11 pour $% = 2,82 cm/s, à la Figure 4.12 pour $% = 6,51 cm/s et à la
Figure 4.13 pour $% = 7,42 cm/s. De plus, le coefficient de transfert de matière global sur
l’ensemble du réacteur est de nouveau calculé en fonction des conditions opératoires. Les
comparaisons des résultats pour chacune des conditions aux corrélations sont rassemblées à la
Figure 4.14.
Pour la vitesse superficielle la plus faible ($% = 2,82 cm/s), le diamètre de bulle obtenu par le
modèle à deux compartiments est surestimé dans le compartiment du bas (4,7 mm
expérimentalement contre 6,3 mm d’après le modèle). Par contre, l’estimation du diamètre en
haut est plus proche de la valeur expérimentale (5,1 mm expérimentalement contre 5,9 mm pour
le modèle). Pour les vitesses superficielles de gaz de 6,51 et 7,42 cm/s, une sous-estimation
systématique du diamètre de bulle est observée pour l’ensemble des compartiments. La
surestimation du modèle est supérieure à 1 mm et augmente encore quand la vitesse superficielle
de gaz augmente.
En ce qui concerne le coefficient de transfert de matière global, une bonne prédiction est obtenue
pour 2,82 cm/s. Pour les deux modèles testés, le !"# global déterminé par le modèle est compris
à plus ou moins 50% de la quasi-totalité des corrélations de la littérature. Néanmoins, une
surestimation de ce !"# global est observée pour les vitesses superficielles de gaz plus élevées.
La raison de cette mauvaise estimation découle des diamètres trop faibles calculés précédemment
aux vitesses les plus élevées. La mauvaise estimation des paramètres (/0 et !"#) est due en partie
à une surestimation de l’énergie dissipée dans le système par la simulation numérique. Il
conviendrait donc d’améliorer le modèle numérique et plus particulièrement le modèle de
turbulence qui ne semble ici pas adapté pour les plus hautes vitesses. Qui plus est, cette mauvaise
estimation nous laisse entrevoir les limites de l’approche Euler-Euler.
87
a. Diamètres de bulle moyen (2.14). b. !"# d’après le modèle de vitesse de glissement (s) (2.36) et le modèle de
cellule de turbulence (e) (2.30). Valeurs absolues (gauche) et contribution au transfert de matière global (droite).
Figure 4.11 – Diamètres de bulle moyens $% (a) et coefficients de transfert de matière !"# locaux (b) calculés d’après le modèle
compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse superficielle de gaz &' = 2,82 cm/s (cas C1-2). Les valeurs
expérimentales (Esmaeili et al., 2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises.
88
a. Diamètres de bulle moyen (2.14). b. !"# d’après le modèle de vitesse de glissement (s) (2.36) et le modèle de
cellule de turbulence (e) (2.30). Valeurs absolues (gauche) et contribution au transfert de matière global (droite).
Figure 4.12 – Diamètres de bulle moyens $% (a) et coefficients de transfert de matière !"# locaux (b) calculés d’après le modèle
compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse superficielle de gaz &' = 6,51 cm/s (cas D1-2). Les valeurs
expérimentales (Esmaeili et al., 2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises.
89
a. Diamètres de bulle moyen (2.14). b. !"# d’après le modèle de vitesse de glissement (s) (2.36) et le modèle de
cellule de turbulence (e) (2.30). Valeurs absolues (gauche) et contribution au transfert de matière global (droite).
Figure 4.13 – Diamètres de bulle moyens $% (a) et coefficients de transfert de matière !"# locaux (b) calculés d’après le modèle
compartimental, pour un et deux compartiments et une vitesse superficielle de gaz &' = 7,42 cm/s (cas B1-3). Les valeurs
expérimentales (Esmaeili et al., 2015) ou issues de corrélations (section 2.4.3) sont indiquées dans les boîtes grises.
90
a. !" = 2,82 cm/s b. !" = 6,51 cm/s
c. !" = 7,42 cm/s
Figure 4.14 – Coefficient de transfert de matière global pour différentes vitesses superficielles de
gaz et différents maillages (cas B1-3, C1-2 et D1-2).
91
CHAPITRE 5 CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS
Ce projet a consisté à développer un modèle compartimental pour les colonnes à bulles bâti sur
l’énergie cinétique turbulente dissipée dans le milieu réactionnel. Ce modèle combiné à la
simulation numérique de mécanique des fluides devait permettre l’estimation de propriétés
hydrodynamiques locales telles que le diamètre moyen local de bulle ainsi que la contribution au
transfert de matière des différentes zones du réacteur. Cette approche s’intéresse particulièrement
aux réactions chimiques limitées par le transfert de matière puisque les réactions chimiques ne
sont pas prises en compte dans ce modèle.
Toutefois, le système étudié n’est pas soumis à des changements aussi drastiques en ce qui
concerne l’énergie dissipée que les cuves agitées desquelles s’inspire ce présent modèle. Les
différences de turbulence entre les différentes zones sont en effet bien moins fortes dans les
colonnes à bulles et a fortiori en régime homogène. Comme le nom de ce régime l’indique, les
propriétés locales sont relativement homogènes dans l’ensemble du réacteur. Les modèles de
turbulence de type RANS ont tendance à surestimer la turbulence. Cette approche énergétique n’a
pas été jugée la plus pertinente compte tenu des faibles variations de turbulence observées au sein
de la colonne à bulle.
Une autre approche basée sur le patron d’écoulement de la phase liquide a néanmoins été
proposée. Ce modèle à deux compartiments offre une bonne prédiction des paramètres
hydrodynamiques et de transfert de matière pour une vitesse superficielle de gaz faible (!" =2,82 et 4,27 m/s) vis-à-vis des données expérimentales. Pour le coefficient de transfert de
matière ,-., à défaut de données expérimentales, seule le coefficient global a pu être comparé à
diverses corrélations. Une étape suivante pourrait être de valider expérimentalement les
coefficients locaux déterminés à l’aide d’une sonde à fibre optique.
92
Néanmoins, le modèle numérique proposé s’avère beaucoup plus limité pour obtenir des
estimations des paramètres locaux pour une vitesse superficielle de gaz plus élevée (!" = 6,51 et
7,42 cm/s), toujours en régime homogène. Une attention particulière devrait être portée pour
améliorer la pertinence du modèle numérique. Plus précisément, de nombreux modèles sont
utilisés : le modèle à deux fluides, le diamètre de bulle constant, les forces interfaciales, la
turbulence, sans oublier le calcul du diamètre de bulle local et celui de coefficient de transfert de
matière côté liquide. De multiples hypothèses sont sous-jacentes à ces différents modèles et bien
qu’ils soient individuellement validés expérimentalement, rien ne garantit que l’association de
tous ces modèles demeure valide. Cependant, ce modèle proposé peut constituer un outil utile
pour fournir une première estimation de la contribution relative au transfert de matière de chacun
des compartiments au sein de la colonne à bulle.
En outre, le modèle actuel semble davantage approprié pour le régime homogène à faible
concentration de gaz. En effet, plus le débit de gaz est important, moins le modèle numérique est
fidèle aux observations expérimentales. Qui plus est, plus le débit de gaz est important, plus la
distribution de tailles de bulles est large. Ainsi, l’utilisation d’un seul diamètre constant de bulle
ne s’avère pas judicieux pour les fortes concentrations de gaz, pour lesquelles les phénomènes de
coalescence et de rupture de bulles sont loin d’être négligeables.
Une fois le modèle numérique amélioré pour résoudre les limites constatées, il pourrait être
intéressant de compléter ce travail avec l’étude du régime hétérogène car les modèles de
simulation actuels sont encore inadéquats pour ce régime. Par ailleurs ce modèle pourrait être
utilisé pour des colonnes à bulles avec des éléments interne afin de déterminer l’influence des
inserts sur le transfert de matière et optimiser l’usage de ces inserts. Les réacteurs sous haute
pression et haute température sont également mal connus, ce qui pourrait être une autre piste de
développement de ce modèle compartimental. Finalement, l’influence de l’addition d’une phase
solide pourrait aussi être étudiée.
93
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