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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial
DISSERTAÇÃO apresentada à UTFPR
para obtenção do grau de
MESTRE EM CIÊNCIAS
por
ANDRÉ MACÁRIO BARROS
PROJETO DE FILTROS FIR ATRAVÉS DE ALGORITMOS
GENÉTICOS
Banca Examinadora:
Presidente e Orientador:
PROF. ÁLVARO LUIZ STELLE, PHD UTFPR
Examinadores:
PROF. DR. HEITOR SILVÉRIO LOPES UTFPR
PROF. DR. ANSELMO RODRIGUES UNICENP
Curitiba, Abril de 2006.
Livros Grátis
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Milhares de livros grátis para download.
ANDRÉ MACÁRIO BARROS
PROJETO DE FILTROS FIR ATRAVÉS DE ALGORITMOS GENÉTICOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica e Informática
Industrial da Universidade Tecnológica Federal do
Paraná, como requisito parcial para a obtenção do
grau de “Mestre em Ciências” – Área de
Concentração: Informática Industrial.
Orientador: Prof. Álvaro Luiz Stelle, PhD.
Curitiba
2006
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da UTFPR – Campus Curitiba
B277p Barros, André Macário Projeto de filtros fir através de algoritmos genéticos / André Macário Barros . Cu- ritiba. UTFPR, 2006 XII, 112 p. : il. ; 30 cm Orientador: Prof. Dr. Álvaro Luiz Stelle Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial. Curitiba, 2006 Bibliografia: p. 105-112 1. Processamento de sinais. 2. Algoritmos genéticos. 3. Matlab. I. Stelle, Álvaro Luiz, orient. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curso de Pós-Gra- duação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial. III. Título. CDD: 621.3822
iii
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais pela criação, pela formação moral que tive e por acreditarem
incondicionalmente nos meus sonhos.
Aos Professores Paulo Brero de Campos e Alfranci Freitas Santos pelas suas cartas de
recomendações.
Ao meu orientador, Professor Álvaro Luiz Stelle, pela sua segurança transmitida, seu
amplo domínio da área, sua confiança, seu apoio constante e uma paciência infinita durante
todo este período.
Ao Professor Heitor Silvério Lopes, pela sua orientação em diversos momentos
importantes desta pesquisa, pelas suas idéias fornecidas, sua visão da área, suas
recomendações e pelo seu pronto atendimento sempre em que foi solicitado.
A minha esposa Izabel, a minha eterna namorada, por sua obstinada determinação em
me acompanhar e apoiar incondicionalmente neste e em todos os desafios que apareceram em
nosso caminho.
A minha filha Andréa, o meu eterno neném, por ter se contentado com tão pouco
tempo para brincar com seu pai que tanto a ama durante este período.
A todos os meus colegas que direta ou indiretamente contribuíram para o
desenvolvimento deste trabalho.
E agradeço a Deus, por iluminar meu caminho, possibilitando-me chegar até aqui.
iv
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ......................................................................................................... vii
LISTA DE TABELAS ........................................................................................................ ix
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ....................................................................... x
RESUMO ............................................................................................................................. xi
ABSTRACT .......................................................................................................................... xii
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1
1.1 MOTIVAÇÕES .......................................................................................................... 1
1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................... 3
1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO .......................................................................... 4
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..................................................................................... 5
2.1 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS ............................................................. 5
2.1.1 Introdução ............................................................................................................. 5
2.1.2 Filtros Digitais ...................................................................................................... 7
2.1.3 Sistemas LIT ........................................................................................................ 8
2.1.4 A Transformada Discreta de Fourier .................................................................... 10
2.1.5 A Transformada-z ................................................................................................ 14
2.1.6 Tipos de filtros FIR .............................................................................................. 16
2.1.7 Projeto de filtros FIR ............................................................................................ 20
2.1.8 Projeto de filtros FIR pelo método de Parks-McClellan ...................................... 21
2.1.9 Projeto de filtros FIR por outros métodos ............................................................ 26
2.1.10 A transformada rápida de Fourier ...................................................................... 27
2.1.11 Filtros digitais sem multiplicação ...................................................................... 28
2.1.12 Quantização dos coeficientes na implementação ............................................... 29
2.2 ALGORITMOS GENÉTICOS ................................................................................... 30
2.2.1 Introdução ............................................................................................................. 31
2.2.2 Outros métodos numéricos e aplicabilidade ......................................................... 33
2.2.3 Representação cromossômica .............................................................................. 34
2.2.4 Função-objetivo, função-penalidade e função de fitness ..................................... 35
2.2.5 Convergência prematura, diversidade genética e pressão seletiva ....................... 35
2.2.6 Métodos de seleção .............................................................................................. 35
v
2.2.7 Operadores de cruzamento ................................................................................... 37
2.2.8 Operadores de mutação ........................................................................................ 37
2.2.9 Escalonamentos de fitness .................................................................................... 38
2.3 REVISÃO DA LITERATURA .................................................................................. 39
2.3.1 Trabalhos correlatos ............................................................................................. 39
2.3.2 Trabalhos na área ................................................................................................. 43
3 METODOLOGIA .............................................................................................................. 45
3.1 MATERIAIS E INFRA-ESTRUTURA ..................................................................... 45
3.1.1 Computador .......................................................................................................... 45
3.1.2 Softwares utilizados .............................................................................................. 46
3.2 O MÉTODO ............................................................................................................... 47
3.2.1 Descrição geral do cenário dos experimentos ...................................................... 47
3.2.2 Variáveis do experimento ..................................................................................... 48
3.2.3 Condições de resposta sub-ótima ......................................................................... 51
3.2.4 Formulação do problema e da hipótese ................................................................ 53
3.2.5 Operacionalização das variáveis e critérios de redução ....................................... 53
3.2.6 Os testes propostos ............................................................................................... 58
3.2.6.1 Primeira fase ................................................................................................ 58
3.2.6.2 Segunda fase ................................................................................................ 61
3.2.6.3 Terceira fase ................................................................................................ 61
3.2.7 A modelagem do AG ............................................................................................ 62
3.2.8 Limitações ............................................................................................................ 68
3.2.9 Os softwares ......................................................................................................... 69
3.2.9.1 O software Especificador ............................................................................ 69
3.2.9.2 O software AG ............................................................................................ 71
3.2.9.3 O software RespFreq ................................................................................... 73
4 RESULTADOS ................................................................................................................. 77
4.1 PRIMEIRA FASE ....................................................................................................... 77
4.1.1 Configurações utilizadas ...................................................................................... 77
4.1.2 Resumo dos resultados ......................................................................................... 78
4.1.3 Exemplos de resultados NOK, SS e OK .............................................................. 80
4.2 SEGUNDA FASE ....................................................................................................... 83
4.2.1 Resumo dos resultados ......................................................................................... 83
vi
4.2.2 A influência dos parâmetros sobre os resultados ................................................. 84
4.2.3 Resultado relevante de possível aplicação do AG ............................................... 86
4.3 TERCEIRA FASE ...................................................................................................... 86
4.3.1 Teste da superposição ........................................................................................... 87
4.3.2 Teste da normalização da fitness .......................................................................... 89
4.3.3 Evolução das curvas de fitness ............................................................................. 89
4.3.4 Teste do escalonamento de fitness ....................................................................... 91
4.3.5 Teste da ordem do filtro ....................................................................................... 92
4.3.6 Teste com filtros de amplitudes arbitrárias .......................................................... 93
4.3.7 Teste com outras probabilidades de mutação ....................................................... 93
4.3.8 Resultado relevante de provável máximo local .................................................... 95
5 DISCUSSÃO E CONCLUSÕES ....................................................................................... 97
5.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................... 97
5.1.1 Análise da primeira fase ....................................................................................... 97
5.1.2 Análise da segunda fase ....................................................................................... 98
5.1.3 Análise da terceira fase ....................................................................................... 99
5.2 CONCLUSÕES .......................................................................................................... 102
5.2.1 Conclusões gerais ................................................................................................. 102
5.2.1.1 AG automático ............................................................................................ 102
5.2.1.2 AG não automático ...................................................................................... 103
5.2.2 Conclusões específicas ......................................................................................... 103
5.3 LINHAS DE AÇÃO FUTURAS ................................................................................ 104
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 105
vii
LISTA DE FIGURAS
1 Método de obtenção de um filtro digital via AGs ........................................................ 2
2 Um sinal de ECG .......................................................................................................... 5
3 A Forma Direta I ........................................................................................................... 7
4 TDF de um sinal de ECG ............................................................................................. 13
5 h(n) de um filtro FIR, Tipo II, com M = 16 .................................................................. 18
6 |H(f)| do filtro FIR da Figura 5 ..................................................................................... 18
7 h(n) de um filtro FIR, Tipo III, com M = 17 ................................................................ 18
8 |H(f)| do filtro FIR da Figura 7 ..................................................................................... 19
9 h(n) de um filtro FIR, Tipo IV, com M = 14 ................................................................ 19
10 |H(f)| do filtro FIR da Figura 9 ..................................................................................... 19
11 Parâmetros de especificação de um filtro digital .......................................................... 20
12 Alternâncias em filtros gerados pelo MPM .................................................................. 23
13 Fluxo básico de um AG ................................................................................................ 31
14 Visão geral do experimento .......................................................................................... 47
15 Ripples envolvidos no experimento .............................................................................. 51
16 Distorções causadas por arredondamentos nos coeficientes dos filtros ....................... 63
17 Diferença entre H(f)|3 casas e H(f) |15 casas ....................................................................... 64
18 Fluxograma do software Especificador ........................................................................ 69
19 Fluxograma da rotina de geração de arquivos .............................................................. 70
20 Fluxograma da rotina do cálculo do M (recomendado) ................................................ 70
21 Interface do software Especificador ............................................................................. 71
22 Interface do software AG ............................................................................................. 72
23 Fluxograma do software RespFreq ............................................................................... 74
24 Fluxograma da rotina Captura ..................................................................................... 74
25 Fluxograma da rotina Resposta .................................................................................... 75
26 Fluxograma da rotina Resposta dB ............................................................................... 75
27 Interface do software RespFreq .................................................................................... 76
28 Primeiro exemplo de um resultado NOK ..................................................................... 81
29 Segundo exemplo de um resultado NOK ..................................................................... 81
30 Exemplo de resultado SS .............................................................................................. 81
31 Um exemplo de resultado OK ...................................................................................... 82
viii
32 Resposta da Figura 31 em decibéis ............................................................................... 82
33 Resposta NOK com maxgen = 500 ............................................................................... 84
34 Resposta SS com maxgen = 750 ................................................................................... 85
35 Resposta OK com maxgen = 1500 ............................................................................... 85
36 Filtro passa-faixa estreito que o MPM não conseguiu gerar ........................................ 86
37 |H1(f)| do teste da subseção 4.3.1 ................................................................................. 88
38 |H2(f)| do teste da subseção 4.3.1 ................................................................................. 88
39 |H(f)| do teste da subseção 4.3.1 ................................................................................... 88
40 Curvas de fitness para um resultado do registro 2 da Tabela 6 .................................... 90
41 Número de indivíduos com fitness acima da média por geração ................................. 90
42 Fitness dos indivíduos da última população ................................................................. 90
43 Filtro NOK obtido via escalonamento de fitness linear ................................................ 91
44 Curvas de fitness com escalonamento linear ................................................................ 91
45 Filtro em OK confrontado com MPM equivalente ....................................................... 92
46 Filtro via MPM com mesmos ripples que o filtro AG ................................................. 93
47 Desempenho de fitness com pmutation = 0,01 ............................................................. 94
48 Uma solução do tipo NOK ........................................................................................... 95
49 Melhor indivíduo de uma geração intermediária .......................................................... 95
ix
LISTA DE TABELAS
1 Parâmetros de especificação de um filtro digital .......................................................... 21
2 Relação entre o no de alternâncias Ne e o no de coeficientes M .................................... 23
3 Perfil dos métodos, suas deficiências e características ................................................. 34
4 Banco de filtros propostos ............................................................................................ 57
5 Planilha do teste principal ............................................................................................. 60
6 Notas para a primeira fase ............................................................................................ 78
7 Planilha do teste principal preenchida .......................................................................... 79
8 Notas para os testes da segunda fase ............................................................................ 84
x
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
AE - Algoritmo Evolucionário.
AG - Algoritmo Genético.
AIS - Artificial Immune System.
AM - Algoritmo Memético.
AS - Anelamento Simulado.
CE - Computação Evolucionária.
ECG - Eletrocardiograma.
ED - Evolução Diferencial.
EE - Estratégia Evolucionária.
FIR - Finite Impulse Response.
FORTRAN - Formula Translation.
GEP - Genetic Expression Programming.
IC - Inteligência Computacional.
IIR - Infinite Impulse Response.
HE - Hardware Evolutivo.
LIT - Linear e Invariável com o Tempo.
MPM - Método de Parks-McClellan.
MSE - Mean Square Error.
PDS - Processamento Digital de Sinais.
PE - Programação Evolucionária.
PG - Programação Genética.
POT - Power of Two.
PCRSO - Primeira Condição de Resposta Sub-Ótima.
PSCRSO - Primeira e Segunda Condições de Resposta Sub-Ótima.
PSO - Particle Swarm Optimization.
RNA - Redes Neurais Artificiais.
SC - Sistema Classificador.
SCRSO - Segunda Condição de Resposta Sub-Ótima.
TDF - Transformada Discreta de Fourier.
TRF - Transformada Rápida de Fourier.
xi
RESUMO
Um método baseado em Algoritmos Genéticos foi desenvolvido e implementado em
software para fornecer os coeficientes de um filtro FIR, cuja resposta em freqüência é
classificada como quase ótima em relação a um método especialista escolhido. Resultados
comparativos evidenciam a contribuição do trabalho para os casos de freqüências de transição
abaixo de determinado valor. O software desenvolvido oferece a possibilidade de gerar filtros
FIR com: três faixas de freqüências com amplitudes arbitrárias, um número variável de
coeficientes (pares e ímpares) e simetria positiva ou negativa. O método que originou o
software busca a diminuição do número de parâmetros do Algoritmo Genético que requeiram
uma configuração caso a caso. Portanto, a segunda contribuição do trabalho é a de oferecer
uma forma de ser utilizada uma ferramenta baseada em Algoritmos Genéticos sem a
necessidade de serem conhecidas as complexidades que envolvem sua utilização, por
exemplo, operadores de recombinação, probabilidades de cruzamento e representação
cromossômica. O resultado desta contribuição é uma ferramenta que proporciona ao usuário
que só entenda de Processamento Digital de Sinais um meio de obtenção de filtros FIR com
uma qualidade útil para casos onde o método especialista que foi confrontado não atenda. O
método especialista a partir do qual foi feita a classificação de respostas ótimas, quase ótimas
ou insatisfatórias, foi a versão implementada no software MATLAB do Segundo Algoritmo
de Remez, o de múltiplas trocas, adaptado à síntese de filtros FIR por Rabiner, Parks e
McClellan. O software foi implementado a partir da ferramenta GALOPPS para Algoritmos
Genéticos.
xii
ABSTRACT
A genetic algorithm based method was developed and implemented. Its main task is to
receive from the user a FIR filter specification (including the desired frequency response) and
to give a set of FIR filter coefficients. This set of coefficients must be the best approximation
the proposed genetic algorithm can reach for the desired frequency response specification.
The software implementation offers the following specification possibilities: three arbitrary
amplitude levels, positive and negative simetry, and variable size order. The second scientific
contribution of the proposed method is to offer a minimum number of genetic algorithm
parameters needed to be changed from one to another different run (considering a different
FIR filter specification). The specialist method used for comparison was the Parks-McClellan
adaptation for FIR filters of the Second Remez Multiple Exchange Algorithm implemented in
MATLAB. The software was implemented using the GALOPPS tool for genetic algorithms.
Results were obtained which can stablish a suboptimal condition compared with a specialist
method. One scientific contribution of the proposed method is for the cases of short tansition
bands: the frequency response, even subotimal, offers smaller ripples compared to the
specialist method.
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÕES
O projeto de filtros digitais envolve técnicas matemáticas e de PDS (Processamento
Digital de Sinais), algumas das quais consagradas e implementadas em softwares gratuitos ou
comerciais.
A obtenção dos coeficientes de um filtro digital através de uma determinada técnica de
PDS que esteja disponível em software é normalmente simples: são passados os parâmetros
de especificação do filtro desejado e o software fornece os coeficientes do filtro que mais se
aproxima do que foi solicitado. Logo, na maioria das vezes, sequer há a necessidade de serem
conhecidos detalhes a respeito do funcionamento interno do software ou do método que
forneceu tal filtro.
Quando não há um software pronto que realize este trabalho por meio de uma
determinada técnica, podem estar disponíveis na literatura os algoritmos computacionais ou
ainda os códigos-fonte correspondentes à técnica procurada.
O projeto de filtros digitais, especificamente filtros do tipo FIR (Finite Impulse
Response), por meio de AGs (Algoritmos Genéticos), é uma técnica alternativa, cujas linhas
de pesquisa já iniciaram e estão em atividade no mínimo há dezesseis anos. São áreas, em sua
maioria, com um alto grau de especificidade, voltadas à discussão de métodos que foram
descobertos. Não há em tais áreas uma preocupação específica neste momento a respeito da
forma através da qual um método baseado em AGs seja utilizado. Na maioria dos casos, é
pressuposto que o utilizador de tal método esteja ciente de que irá precisar não só especificar
a resposta em freqüência do filtro desejado, assim como, para cada caso, ajustar algum tipo de
parâmetro específico de AGs. Tais parâmetros são classificados neste trabalho como voláteis,
pois precisam de ajustes caso a caso. São exemplos: tamanho de população, probabilidades de
cruzamento e de mutação, número de gerações e semente pseudo-aleatória. Há ainda
parâmetros de AGs que podem permanecer fixos e por este motivo classificados como tal, por
exemplo, o método de seleção, o tipo de cruzamento e o tipo de mutação. Porém, esta relação
entre parâmetros supostamente voláteis e fixos é dinâmica, podendo um parâmetro volátil
2
passar a ser fixo em uma outra modelagem escolhida. Uma possível representação deste
cenário é a da Figura 1:
Figura 1: Método de obtenção de um filtro digital via AGs.
É pressuposto ainda, em um cenário como o da Figura 1: que o utilizador compreenda
o perfil estocástico que uma execução de um AG tem, requerendo normalmente várias
execuções para encontrar uma solução s1 quase ótima, podendo ainda ser diferente de outra
quase ótima s2, obtida em outra execução e ambas possam ser inferiores a uma solução ótima
s, obtida por um método especialista.
Não foi localizado um software ou um código-fonte disponível gratuitamente para a
comunidade acadêmica, no qual seja possível:
a) Serem inseridas as especificações de PDS de um filtro FIR desejado;
b) Serem inseridos um conjunto mínimo de parâmetros de AG, sejam eles
fixos ou voláteis;
c) Ser executado o AG com um mínimo de compromisso com resultados
úteis (sucesso em 4 tentativas, por exemplo);
d) Ser obtido um filtro FIR que ofereça uma motivação mínima para a
utilização do software no lugar de outro que contenha um método
especialista.
Portanto, esta lacuna observada é a motivação deste trabalho.
Especificações de PDS do filtro desejado
software baseado em AG
Coeficientes do filtro FIR que mais se aproxima das especificações
Parâmetros voláteis
de um AG Parâmetros fixos de um AG
3
1.2 OBJETIVOS
O principal objetivo deste trabalho foi desenvolver um método para a síntese de filtros
FIR por meio de AGs que busque minimizar o número de parâmetros voláteis do AG, visando
proporcionar uma transparência ao método para o utilizador.
Como a abordagem escolhida foi experimental, o objetivo principal se estende para a
sua implementação por meio de um software com as seguintes características:
a) Ter uma interface gráfica para receber a especificação dos parâmetros de PDS;
b) Ser capaz de processar especificações de filtros com um número de coeficientes
variável, simetria positiva ou negativa, três faixas de freqüência com amplitudes
arbitrárias;
c) Proporcionar um ajuste mínimo de parâmetros de AGs a cada vez que as
especificações do filtro a ser buscado sejam alteradas;
d) Fornecer o número de coeficientes recomendado para o método especialista
atender às especificações passadas; e
e) Oferecer, no máximo em quatro tentativas, uma resposta em freqüência justificável
para seu emprego, em comparação com os resultados oferecidos pelo MPM
(Método de Parks e McClellan) (RABINER, MCCLELLAN e PARKS, 1975), que
está implementado no programa MATLAB (MATHWORKS, 2002). Este é o
método especialista que servirá de referência para a avaliação de resultados e será
estudado no caso particular de pesos iguais para a faixa passante e a de rejeição.
Como objetivos específicos há:
a) a elaboração de um arquivo leia-me.txt para facilitar a
utilização do software;
b) o fornecimento da versão executável do software para uso gratuito
pela comunidade científica;
c) a descrição sucinta das linhas de ação futuras que possam utilizar
este método como base; e
d) o desenvolvimento de um artigo que descreva o método utilizado e
forneça detalhes gerais de sua implementação.
4
1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
Esta dissertação está organizada em cinco capítulos.
No Capítulo 2 há a fundamentação teórica, tanto de PDS quanto de AGs e há a
apresentação de alguns trabalhos relevantes na área e correlatos.
No Capítulo 3 é feita a exposição dos materiais, do método e dos critérios empregados.
No Capítulo 4, há os resultados (gráficos e tabelas) obtidos.
E no Capítulo 5 há a discussão sobre tais resultados e a que conclusões foram
chegadas.
5
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Este capítulo é dividido em três seções. A primeira e a segunda são destinadas a
oferecerem a fundamentação teórica de PDS e de AGs. A terceira seção apresenta os trabalhos
correlatos.
2.1 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
As subseções 2.1.1 a 2.1.7, partes da 2.1.9, 2.1.10 e 2.1.12, foram elaboradas com base
em Proakis e Manolakis (1996).
2.1.1 Introdução
Um sinal é qualquer quantidade física que varie com o tempo, espaço ou qualquer
outra variável (ou variáveis), sendo portanto uma descrição de como um parâmetro varia de
acordo com outro parâmetro, por exemplo, a alteração de uma tensão em um circuito em
função do tempo. Alguns sinais podem ser expressos matematicamente por meio de funções.
Um sinal elétrico como o ECG (eletrocardiograma), é um exemplo cuja representação pode
ser vista na Figura 2.
Figura 2: Um sinal de ECG
6
O sinal de ECG da Figura 2 corresponde a uma porção do conteúdo do arquivo
aami3a de Moody, Mark e Goldberger (2001). Nesta figura, o eixo dos tempos demonstra
que toda esta excursão do sinal se deu em aproximadamente um segundo.
Um sistema pode ser definido como sendo um dispositivo físico que pode ser um
software ou um firmware1, que realize uma operação sobre um sinal. Um filtro que elimina
ruído de um sinal, por exemplo, é um sistema.
Os sinais na natureza são contínuos e para que um software ou um firmware consiga
processá-los, é necessário convertê-los para um formato digital. Esta conversão se dá através
da coleta de instantes do sinal, normalmente a intervalos regulares de tempo. É a chamada
amostragem. No sinal de ECG apresentado na Figura 2, por exemplo, foram ali apresentadas
1024 amostras. O número de amostras coletadas de um sinal será aqui simbolizado por N.
Porém, para que a representação seja condizente com o sinal real, é necessário que seja
realizada esta coleta com uma freqüência denominada freqüência de amostragem, Fs, a qual
deverá igual ou superior ao dobro da máxima freqüência existente no sinal que esteja sob
amostragem. No exemplo do sinal de ECG, a freqüência de amostragem utilizada foi de 720
Hz, o que fornece um período de amostragem Ts de 1/720 ≈ 1,39 ms. Desta forma é possível
serem determinados, a cada 1,39 ms, pontos no gráfico da Figura 2 para representarem os
1024 instantes do sinal de ECG. A freqüência máxima típica de um sinal de ECG é
aproximadamente 100 Hz. Logo o valor de Fs escolhido foi satisfatório.
Portanto, uma das formas de se representar um sinal em PDS é através de um vetor
x(n), uni ou multidimensional, onde cada componente do mesmo corresponde uma das
amostras do sinal analógico coletadas durante o método da amostragem:
x(n) = [x(0), x(1), x(2), ..., x(N-1)] (1)
Onde:
• x(n) é o sinal x(t) após o processo de amostragem; e
• N é o número de amostras utilizado no processo da amostragem.
Um filtro digital é um tipo de sistema que processa um sinal recebido x(n) deixando
passar ou atenuando determinadas componentes de freqüência deste, fornecendo um sinal de
saída y(n), resultado deste processamento.
1 Firmware: também conhecido como software embarcado, trata-se de um software que controla o hardware diretamente. É armazenado permanentemente em um chip de memória de hardware.
7
2.1.2 Filtros digitais
O sinal resultante de uma filtragem digital pode ser obtido através da seguinte
equação:
��=
−+
=
−−=M
k
knxkb
P
k
knykany
0
)(
1
)()( (2)
Onde:
• y(n) é o sinal x(n) filtrado;
• ak são as P constantes características que cada filtro digital tem. Estas constantes
ponderam as amostras de instantes anteriores do sinal de saída, por exemplo, y(n-1) e
y(n-2), para formarem a amostra presente do sinal y(n); e
• bk são as M constantes características que cada filtro digital tem. Estas constantes
ponderam as amostras de instantes anteriores do sinal de entrada, por exemplo, x(n-1)
e x(n-2), para formarem a amostra presente do sinal y(n).
Uma das formas de ser implementada a equação (2) pode ser a Forma Direta I,
apresentada na Figura 3:
Figura 3: A Forma Direta I.
Na Figura 3:
a) as constantes a1, a2, ..., aP e b0, b1, b2, ..., bM representam blocos multiplicadores do
sinal e são representadas por pontas de setas no meio de cada linha. Quando uma
b0
b2
... +
Z-1
bM
Z-1
b1 +
+
Z-1
x(n)
+
+
+
-aP-1 ...
-aP
-a1
y(n)
Z-1
Z-1
Z-1
8
linha não possui uma ponta de seta no meio de seu caminho, significa que o sinal
não está sendo multiplicado por nenhuma constante;
b) os blocos que contêm um Z-1, são responsáveis pela geração de um atraso na
amostra do sinal, isto é, recebem, por exemplo, x(n-1) e entregam x(n-2);
c) os blocos com um sinal de + representam os somadores do sinal; e
d) o vetor do sinal x(n) é filtrado sendo passado por esta estrutura e sendo formado na
saída desta o sinal filtrado y(n).
2.1.3 Sistemas LIT
Dependendo do filtro, a obtenção das constantes ak e bk nem sempre é simples. Porém,
há sistemas que são classificados como LITs (Linear e Invariável com o Tempo) e conseguem
fornecer o sinal de resposta y(n) por um caminho alternativo ao da equação (2).
Um sistema é linear quando admite o princípio da superposição:
[ ] [ ]
[ ])()()()()(
)()()()(
2121
2211
nxnxnynyny
então
nxnyenxny
se
+ℑ=+=
ℑ=ℑ=
(3)
Onde:
• x1(n) e x2(n) são dois sinais de entrada que são aplicados ao sistema linear;
• y1(n) e y2(n) são os sinais de saída individuais correspondentes às entradas x1(n) e
x2(n), respectivamente;
• ℑ é a transformação matemática que o sistema aplica ao sinal de entrada para fornecer
o sinal de saída; e
• y(n) é, nesta equação, a saída do sistema a qual irá corresponder a uma entrada que
seja a soma dos sinais x1(n) e x2(n).
Um sistema é invariável com o tempo quando obedece à seguinte condição:
9
[ ]
[ ])()(
)()(
anxany
então
nxny
se
−ℑ=−
ℑ=
(4)
Onde:
• y(n) é o sinal de resposta do sistema;
• x(n) é o sinal de entrada do sistema;
• ℑ é a transformação matemática que o sistema linear aplica ao sinal de entrada para
fornecer o sinal de saída; e
• a é uma constante que é responsável pelo deslocamento no tempo do sinal.
Portanto, um sistema LIT é aquele que atende às equações (3) e (4) e pode ser
representado pela sua resposta a um sinal chamado impulso unitário. Um impulso unitário é
um sinal que atenda à seguinte equação:
���
≠=
=0,00,1
)(n
nnδ
(5)
Onde:
• δ(n) é o sinal impulso unitário.
Será chamado de h(n) o sinal de resposta de um sistema LIT a um impulso unitário.
Portanto:
[ ]
[ ])()()(
)()(
nnhny
então
nxny
se
δℑ==
ℑ= (6)
O caminho alternativo ao oferecido à equação (2) para a obtenção do sinal de saída
y(n) com sistemas LIT é através da convolução entre o sinal de entrada e a resposta ao
impulso unitário do filtro:
�∞
=
−=∗=
0
)()()()()(
k
knhkxnhnxny (7)
10
Onde:
• y(n) é o sinal filtrado pelo filtro LTI;
• h(n) é a resposta ao impulso unitário do filtro digital LTI;
• x(n) é o sinal de entrada do sistema; e
• * é o operador matemático que representa a convolução entre dois sinais.
A simplificação da obtenção do sinal filtrado y(n) através da equação (7) em relação à
equação (2) acontece devido ao seguinte fato: basta ser aplicado à entrada do filtro um
impulso unitário e serem feitos os registros de h(n); em seguida, através da equação (7), é
possível ser feita a convolução de x(n) com h(n) sendo obtido y(n). Isto evita a busca pelos
coeficientes ak e bk necessários diretamente através da equação (2).
2.1.4 A Transformada Discreta de Fourier
Há a necessidade também de ser conhecida a resposta em freqüência de um filtro
digital, independentemente de qual sinal de entrada o mesmo esteja processando. Para isto, é
possível ser utilizada a TDF (Transformada Discreta de Fourier):
1N2,...,1,0,n k,,
1
0
)()(2
−=×−
=
=��
��
−
�kn
Nj
e
N
n
nhkHπ
(8)
Onde:
• H(k) é o vetor de números complexos que expressa a resposta em freqüência de um
dado filtro LTI;
• N é o número de pontos coletados durante o processo da amostragem;
• k é um índice que varia entre zero a N-1; e
• h(n) é a resposta do filtro digital ao impulso unitário.
A equação (8) também pode ser utilizada para sinais quaisquer onde se queira saber o
perfil de freqüências dos mesmos. Para isto, basta substituir nesta equação h(n) por x(n)
Porém, através da equação (8), somente será obtido um vetor complexo, indexado por
k, que ainda não esclarece quais as regiões de freqüências o filtro irá atenuar ou deixar passar.
11
Para ser atingido este objetivo, primeiramente estabelece-se uma relação entre a faixa de
freqüências que foi o alvo da filtragem e k, de acordo com:
1−=
Nk
f (9)
Onde:
• f é a freqüência normalizada que varia de 0,0 a 1,0 e é medida em ciclos por
amostra;
• N é o número de pontos coletados durante o processo da amostragem;
• k é um índice que varia entre zero a N-1.
A freqüência normalizada expressa freqüências quaisquer através da seguinte relação:
f = F / Fs (10)
Onde:
• f é a freqüência normalizada que varia de 0,0 a 1,0 e é medida em ciclos por amostra;
• F é a freqüência a ser normalizada em Hz;
• Fs é a freqüência de amostragem em Hz.
É neste ponto que deve ser salientado o que foi citado anteriormente a respeito da
freqüência de amostragem, que é ser igual ou superior ao dobro da máxima freqüência
existente no sinal a ser processado. Com base nisto, é possível ser determinado que a faixa
que contém informações relevantes sobre a atuação da resposta em freqüência do filtro está
compreendida entre 0,0 e 0,5.
O que ocorre entre 0,5 e 1,0 é a repetição do que foi apresentado. Uma explicação
pode ser:
a) a TDF pode ser vista também como uma combinação linear de senos e co-
senos representativos do sinal. Como o formato de um sinal senoidal é do
tipo A×sen(2πf), é possível serem extraídas as diversas contribuições de
diferentes freqüências que um sinal pode ter;
b) as freqüências destes termos em seno e co-seno também não deverão
exceder à metade da freqüência de amostragem, conforme citado
anteriormente e indiretamente através da equação (9);
12
c) logo, o que é apresentado de 0,5 a 1,0 é a repetição do conteúdo que vai de
0,0 a 0,5.
Ainda, para prover uma compreensão da resposta em freqüência, há a necessidade do
vetor complexo H(k) ser processado. Um caminho para isto poderia ser retornar à equação (8)
e separar H(k) em um vetor real e outro imaginário:
)()()( fjHfHfH IR += (11)
Onde:
• H(f) é o vetor complexo, indexado pela freqüência normalizada e obtido através da
equação (8);
• f é a freqüência normalizada que pode ser obtida a partir de k na equação (9);
• HR(f) é o vetor de números reais indexado pela freqüência normalizada que representa
a parte real de H(f);
• HI(f) é o vetor de números reais indexado pela freqüência normalizada que representa
a parte imaginária de H(f); e
• j é o número imaginário (-1)1/2.
HR(f) e HI(f) podem ser calculados a partir de H(k) na equação (8) adaptada à fórmula
de Euler2:
�∞
−∞=
=
n
nfnhfH R )2cos()()( π (12)
�∞
−∞=
−=
n
nfnhfH I )2sen()()( π (13)
A resposta em freqüência do módulo e da fase pode ser obtida a partir de:
)(2)(2)( fIHfRHfH += (14)
2 Fórmula de Euler: ex = cos(x) + j sen(x)
13
���
���
=Θ −
)()(
tan)( 1
fHfH
fR
I (15)
Onde:
• |H(f)| é módulo da resposta em freqüência do filtro digital; e
• Θ(f) é resposta da fase de H(f) em função da freqüência.
O sinal de ECG da Figura 2, por exemplo, possui um perfil de freqüências, |X(f)|,
obtido a partir da equação (14), como o que está apresentado na Figura 4:
Figura 4: TDF de um sinal de ECG.
Na Figura 2:
a) foi apresentada a escala de freqüências não normalizada, portanto, variando de
zero a 700 Hz (que foi a freqüência de amostragem adotada);
b) a repetição de |X(f)| a partir dos 350 Hz já era prevista (repetição da TDF a partir
de 0,5 devido à freqüência máxima do sinal processado ser menor que a metade da
freqüência de amostragem); e
c) É confirmado pela figura o dado informativo de que a componente de freqüência
máxima típica de um sinal de ECG não é superior aos 100 Hz.
As equações (14) e (15) costumam expressar vetores para as freqüências entre 0,0 e
0,5 devido ao que foi exposto anteriormente nesta subseção (vide repetição de |X(f)| na Figura
4).
E finalmente, a partir das equações (14) e (15), é obtida a informação procurada: qual
é a atuação do filtro digital em função da freqüência sendo fornecida h(n).
14
Algumas propriedades da TDF serão destacadas a seguir.
Uma propriedade dos sinais que trata relaciona a convolução com a TDF é:
y(n)=x(n) * h(n) ↔ Y(f) = X(f) × H(f) (16)
Outra propriedade da TDF que será destacada é:
se y1(n)=x1(n) * h(n)
e y2(n)=x2(n) * h(n),
então y(n)=y1(n)+y2(n)=[x1(n)+x2(n)] × h(n) (17)
Há ainda duas propriedades que envolvem deslocamentos.
A propriedade do deslocamento no tempo:
x(n) ↔ X(f), assim como x(n - k) ↔ e-j2πfX(f) (18)
E a propriedade do deslocamento em freqüência:
x(n) ↔ X(f), assim como x(n)× ej2πan ↔ X(f-a) (19)
2.1.5 A Transformada -z
O produto entre números complexos pode ser obtido a partir do produto de seus
módulos e da soma de seus argumentos. Com base nisto e na equação (16), pode surgir um
problema. Se H(f) possuir uma fase que não for linear, y(n) poderá receber uma deformidade
que não seja a desejada em algum tipo de aplicação. Portanto, para serem investigados e
projetados filtros tendo-se a informação de que os mesmos tenham ou não uma fase linear, é
utilizada uma outra ferramenta matemática em conjunto com a TDF, chamada Transformada-
z:
�∞
∞=
−=
n
nznhzH )()( (20)
15
Onde:
• H(z) é a transformada-z de h(n); e
• z é um número complexo.
A Transformada-z consiste de uma somatória de termos de uma progressão geométrica
que quando converge, pode ser escrita em um formato total do tipo numerador-denominador:
22
...12
111
11
...22
110
)(1)(
)(N
zNazaza
NzNbzbzbb
zDzN
zH−
++−+−+
−++−+−+
=+
= (21)
Onde:
• N(z) é o polinômio em z que é encontrado para o numerador;
• D(z) é o polinômio em z que é encontrado para o denominador;
• b1 a bN1 são os coeficientes do polinômio de N(z);
• a1 a aN2 são os coeficientes do polinômio de D(z);
• N1 é o grau máximo do módulo do expoente de z em N(z); e
• N2 é o grau máximo do módulo do expoente de z em D(z).
Em (21), é dado o nome de zeros de H(z) às raízes de N(z) e pólos de H(z) às raízes de
1+D(z).
O número z é um número complexo pode ser expresso a partir de:
z=rej2πf (22)
Onde:
• r é um número real positivo.
Um sistema é chamado de causal quando depende somente de amostras, tanto da saída
quanto da entrada, que sejam pertencentes ao estado presente ou a estados anteriores.
A equação (21) escrita na equação (20), permite determinar:
fnje
n
nrnhzH fjrez
ππ
2)()( 2
−∞
−∞=��
��� −= �=
(23)
16
Há uma relação, com base em (23), entre r e a viabilidade prática do filtro, isto é, se o
mesmo é ou não causal: os pólos de H(z) devem estar contidos no interior de um círculo de
raio r unitário no plano complexo z.
Filtros digitais causais que tenham todos os seus pólos na origem do plano z são
chamados de filtros FIR. E filtros digitais causais que tenham pelo menos um pólo fora da
origem são chamados de filtros IIR (Infinite Impulse Response).
Com relação aos filtros FIR:
a) são também caracterizados por terem uma resposta em freqüência linear de sua
fase;
b) como D(z) = 0, filtros FIR podem ser expressos por uma seqüência polinomial em
z, tal polinômio apresenta uma simetria em relação ao seu centro e os termos em ak
na equação (2) tornam-se iguais a zero, assim como seus respectivos blocos na
Figura 3.
Com base na resposta de fase, dada pela equação (15), é determinado que:
a) Filtros FIR têm sua resposta de fase linear; e
b) Filtros IIR têm sua resposta de fase não linear.
Portanto, fica desta forma estabelecido o apoio que a Transformada-z oferece ao
estudo dos filtros digitais: permite a avaliação direta dos pólos e zeros, permitindo sua
classificação entre filtros FIR e IIR, além de outras finalidades, por exemplo, a determinação
se o filtro FIR tem fase mínima (todos os zeros estão no interior do círculo unitário do plano-
z).
2.1.6 Tipos de filtros FIR
A simetria dos filtros FIR, porém, os divide em quatro tipos, que são os de simetria
positiva e negativa agrupados em um número de coeficientes par ou ímpar.
Os de simetria positiva atendem à seguinte relação:
)1()( nMhnh −−= (24)
Onde:
• M é o número de coeficientes que o filtro FIR tem.
17
Os de simetria negativa atendem à seguinte relação:
)1()( nMhnh −−−= (25)
Para cada estes dois tipos, ainda há a possibilidade dos mesmos terem um número M
par ou ímpar de coeficientes.
São encontrados ainda na literatura outros nomes para estes tipos de filtros:
a) Tipo I para simetria positiva e M ímpar;
b) Tipo II para simetria positiva e M par;
c) Tipo III para simetria negativa e M ímpar;
d) Tipo IV para simetria negativa e M par.
Filtros dos Tipos II ao IV possuem restrições em termos de sua resposta em
freqüência, que surgem da substituição das equações (24) e (25) na equação (8). Tais
restrições são:
a) Tipo II requer |H(f)|=0 para f=0,5. Logo, filtros como os passa-baixas e os corta-
faixa não podem ser projetados com este perfil;
b) Tipo III requer |H(f)|=0 para f=0,0 e f=0,5. Logo, filtros do tipo passa-baixas,
passa-altas e corta-faixa não podem ser projetados com este perfil; e
c) Tipo IV requer |H(f)| = 0 para f=0,0. Logo, filtros do tipo passa-baixas e corta-
faixa não podem ser projetados com este perfil.
Filtros do Tipo III, para satisfazerem à equação (16) têm de ter sua amostra central
igual a zero.
Portanto, o único tipo de filtro que não tem restrições quanto ao perfil de resposta em
freqüência a ser apresentada é o Tipo I.
As Figuras 5 a 10 apresentam as respostas ao impulso unitário de exemplos de filtros
Tipo II ao IV e suas respectivas respostas em freqüência. Os gráficos das respostas em
freqüência já estão no formato de 0,0 a 0,5, como explicado na subseção 2.1.4.
18
Figura 5: h(n) de um filtro FIR, Tipo II, com M=16.
Figura 6: |H(f)| do filtro FIR da Figura 5.
Figura 7: h(n) de um filtro FIR, Tipo III, com M=17.
19
Figura 8: |H(f)| do filtro FIR da Figura 7.
Figura 9: h(n) de um filtro FIR, Tipo IV, com M=14.
Figura 10: |H(f)| do filtro FIR da Figura 9.
20
2.1.7 Projeto de filtros FIR
A primeira etapa em um projeto de um filtro digital é a sua especificação, que é uma
forma de serem fornecidos dados a respeito de pontos que devam ser atingidos pela resposta
em freqüência do filtro a ser projetado. Um exemplo pode ser observado na Figura 11.
Figura 11: Parâmetros de especificação de um filtro digital.
Estes parâmetros e outros podem também ser vistos na Tabela 1, com suas respectivas
descrições. Os valores que podem ser alcançados pelo parâmetro chamado ripple atualmente
são baixos. Devido a isto eles podem também ser encontrados na literatura expressos em
decibéis através da relação 20×log(δ2) (SMITH, 1999).
Para métodos mais eficazes de projetos de filtros FIR, é costume não ser encontrado o
valor da freqüência de corte Fc e sim os valores da faixa passante e da faixa de rejeição,
devido ao fato de que quando se informa simplesmente a Fc, é possível existir uma faixa
passante e uma faixa de rejeição com valores que não possam ser aproveitados (devido a seus
ganhos já não estarem valendo 1.0 ou 0.0).
Um exemplo de especificação de freqüências pode ser Fs = 1000 Hz, faixa passante de
0 a 200 e faixa de rejeição de 300 a 500 Hz. Efetuando a normalização estes valores passam
para uma faixa passante que vai de fn11 = 0/1000 = 0,0 ciclos/amostra até fn12 = 200/1000 =
0,2 ciclos/amostra, uma faixa de rejeição que vai de fn21 = 300/1000 = 0,3 ciclos/amostra a
fn31 500/1000 = 0,5 ciclos/amostra.
δ1
δ2
∆fp
∆fr
fc
0.5
f (ciclos/amostra)
|H(f)|
∆ft
21
Tabela 1: Parâmetros de especificação de um filtro digital
Parâmetro Descrição
M Número de coeficientes
M-1 Ordem do filtro
∆fp Faixa passante
∆fr Faixa de rejeição
∆ft Faixa de transição
δ1 Ripple da faixa passante
δ2 Ripple da faixa de rejeição
Fc Freqüência de corte
Fs Freqüência de amostragem
fc Freqüência de corte normalizada
2.1.8 Projeto de filtros FIR pelo método de Parks-McClellan
Para a apresentação deste método, será tomado um filtro FIR Tipo I, ou seja, com
simetria positiva e com um número de coeficientes M ímpar (PARKS e MCCLELLAN,
1972a). A sua TDF, a partir das equações (8) e (9), pode ser tomada como sendo:
nfje
n
nhfH π2)()( −×∞
−∞=
= � (26)
Sendo aplicada a simetria dos filtros Tipo I e sendo considerado um número L, a
equação (26) pode ser reescrita como sendo:
nfje
L
Ln
nhfH π2)()( −×
−=
= � (27)
Onde:
• L é um número tal que L=(M-1)/2.
22
Para um caso com um número ímpar de coeficientes, M=7, os coeficientes serão tais
que h(-3)=h(3), h(-2)=h(2) e h(-1)=h(1). Sendo aplicadas estas igualdades na equação (8)
combinada com a (9), sendo colocados os termos em evidência através da fórmula de Euler e
sendo feita uma generalização para casos quaisquer de simetria positiva e M ímpar, é obtida a
seguinte equação:
)2cos(1
)(2)0()( fnL
nnhhfH π×�
=+= (28)
Esta equação pode ser generalizada para:
kfnL
k kafH )]2[cos(0
)( π×�=
= (29)
Onde:
• ak é cada um dos coeficientes dos termos da combinação linear dos co-senos
resultantes.
A equação (29) está no formato em que se pode aplicar a teoria da aproximação de
Chebyshev (PRESS et. al., 2002), que basicamente consiste num procedimento matemático
para encontrar uma combinação linear de co-senos que mais se aproxime de uma determinada
curva que precise ser expressada numericamente por meio deste recurso. Através desta teoria,
é aplicado o Teorema da Alternância, que basicamente consiste em ser determinado um
polinômio de ordem L, que minimize o máximo erro existente em:
)]()()[()( fHfdHfWfE −= (30)
Onde:
• E(f) é um vetor que contém os erros, ponto a ponto, entre os valores dos vetores de
resposta em freqüência desejada e a que está sendo obtida;
• W(f) é uma função do tipo peso;
23
• Hd(f) é o vetor de resposta em freqüência desejado (aquele que contém o formato da
resposta em freqüência que se quer);
• H(f) é o vetor de resposta em freqüência que o método numérico está fornecendo.
Quando o polinômio H(f) exibir L+2 alternâncias, este será o que irá oferecer o erro
máximo, max[E(f)], que terá o mínimo valor. Porém, há um subcaso, denominado filtro
extraripple (PARKS e MCCLELLAN, 1972a), onde é possível também serem encontradas
L+3 alternâncias, dependendo das especificações do filtro, ou seja, não ocorre sempre.
Portanto, o algoritmo de Parks-McClellan pode tanto oferecer L+2 quanto L+3 alternâncias.
Em Rabiner, McClellan e Parks (1975), há a generalização para os quatro casos. A
Tabela 2 apresenta um resumo da relação que deve existir entre o número de coeficientes do
filtro e seu número máximo de alternâncias. Os extremos, 0,0 e 0,5, não devem ser contados.
Tabela 2: Relação entre no de alternâncias Ne e no de coeficientes M
Tipo de filtro Relação com no de alternâncias
I Ne ≤ (M+1)/2
II Ne ≤ M/2
III Ne ≤ (M-1)/2
IV Ne ≤ M/2
Por exemplo: um filtro com 13 coeficientes, uma faixa passante ∆fp de 0,0 a 0,35 e
uma faixa de rejeição ∆fp de 0,42 a 0,5, gerado a partir do MPM, pode ser visto na Figura 12.
Figura 12: Alternâncias em filtros gerados pelo MPM.
0
1
2
3
4
5
8
6
δ1
24
Na Figura 12:
a) há seis alternâncias, sendo que a sexta não foi contada em f=0,5, mas sim
antes, no intervalo 0,45 < f < 0,5;
b) a relação para filtro Tipo I da Tabela 2 foi atendida, pois 6 ≤ (13+1)/2;
c) foi enfatizado o ripple δ1 para demonstrar que filtros obtidos pelo MPM
oferecem ripples de iguais amplitudes, sejam nas faixas passante ou de
rejeição;
Os exemplos das Figuras 6, 8 e 10 foram também obtidos pelo MPM e podem
confirmar a relação apresentada na Tabela 2.
Os valores dos ripples δ1 e δ2 podem ainda ter seus valores individualizados por meio
da função-peso W(f) da equação (30).
O algoritmo de Remez (1957) adaptado para a síntese de filtros FIR por Parks e
McClellan consiste basicamente nos seguintes passos:
a) um conjunto L+2 pontos de freqüências candidatas a serem os pontos
extremos procurados para serem o polinômio de Chebyshev é
aleatoriamente estabelecido;
b) um valor chamado de ρ é calculado a partir destes pontos;
c) tal conjunto de pontos determina uma curva através de uma interpolação de
Lagrange específica;
d) a curva resultante desta interpolação é utilizada para calcular o erro entre a
mesma e a curva desejada de acordo com a equação (30) e tal erro deverá
ser menor ou igual a ρ;
e) se existirem L+2 ou L+3 pontos extremos, os pontos deverão ser testados se
mudaram de posição em relação à iteração anterior;
f) se os pontos não mudaram, a solução foi encontrada;
g) se os pontos mudaram, há um retorno à etapa b do algoritmo e é feita a
repetição do processo até serem encontrados pontos que não mudem de
valor na etapa e.
A apresentação e descrição do método estão em Parks e McClellan (1972a) e o
fluxograma com o código em FORTRAN (Formula Translation) estão em Parks e McClellan
(1972b).
25
A relação entre os nomes envolvidos neste método é a que se segue:
a) Pafnuty Lvovich Chebyshev foi um matemático russo que viveu entre 1821
a 1894 e criou a teoria dos mínimos e máximos, com ou sem pesos, de
aproximações matemáticas a partir de seu polinômio, que se baseia em uma
combinação linear de co-senos;
b) Evgeny Yakovlevich Remez (1957), outro matemático russo que viveu entre
1896 e 1975, desenvolveu dois algoritmos de aproximação por Chebyshev,
um chamado “Primeiro Algoritmo de Remez” e o outro “Segundo Algoritmo
de Remez”. O primeiro desempenha a aproximação de Chebyshev por trocas
simples dos pontos e o segundo por múltiplas trocas de pontos;
c) Thomas Parks passou para seu então aluno de PhD, James McClellan um
trabalho de turma de verão, que era adaptar o trabalho de Remez para a
síntese de filtros FIR (MCCLELLAN e PARKS, 2005). Em tal trabalho, foi
tomado como base o Segundo Algoritmo de Remez e nele feitas três
modificações. A primeira foi a de converter um intervalo genérico onde a
aproximação era calculada, [a, b], para o intervalo de freqüências [0,0; 0,5].
A segunda foi a habilitação para a movimentação dos prováveis pontos de
extremos que correspondam às freqüências onde ocorram as alternâncias. E
a terceira foi a utilização de uma interpolação de Lagrange denominada
Baricêntrica (BERRUT e TREFETHEN, 2004) para unir os pontos. Esta
interpolação tem a finalidade de prover um melhor formato da curva para
filtros com altas ordens, quando comparada com a interpolação de Lagrange
convencional.
Para que o método também contemplasse os outros tipos de filtros, com suas ressalvas
em termos de resposta em freqüência em função do número de coeficientes e simetria
escolhida, um arranjo trigonométrico foi necessário para que todos os casos pudessem recair
sobre um formato do polinômio de Chebyshev análogo ao obtido na equação (29). Para tratar
dos filtros de simetria negativa, foi utilizado o conceito dos filtros de Hilbert (que mantém o
ganho unitário em toda a faixa e invertem a fase a partir f > 0,5). Esta generalização foi feita
em McClellan e Parks (1973) e a adaptação no fluxograma e no programa, já com a
colaboração do Professor Lawrence Rabiner, em McClellan, Parks e Rabiner (1973). Após
isto, em Rabiner, McClellan e Parks (1975) foi apresentado um trabalho no qual eram
detalhados aspectos do método e trabalhos correlatos, dentre eles a fórmula de Herrmann,
26
Rabiner e Chan (1973) para previsão do número M de coeficientes a partir dos ripples δ1 e δ2
e da faixa de transição ∆ft:
)log(log51244,0012,11),(
]4278,0)(log5491,0)(log00266,0[
)(log]4761,0)(log07114,0)(log005309,0[),(
sendo
1)(),(),(
2121
12
1
212
121
22121
δδδδ
δδδδδδδ
δδδδ
−×+=
+×+×−
−×−×+×=
+∆
∆×−≅
∞
∞
fe
D
fffD
Mt
t
(31)
Onde:
• δ1 e δ2 são os ripples da faixa passante e da faixa de rejeição, respectivamente; e
• ∆ft é a freqüência de transição, apresentada na Figura 11.
O MPM foi o método mais difundido, principalmente pelos seguintes fatores:
a) ser possível a obtenção de um filtro que atenda rigorosamente às
especificações de faixa passante (∆fp), faixa de rejeição (∆fr) e ripples (δ1 e
δ2), desde que seja empregado o M calculado previamente pela equação
(31);
b) ter seu detalhamento público tanto do método quanto de sua implementação
(fluxograma e código); e
c) o código-fonte ser simples (foi um código em FORTRAN, feito em algumas
semanas, composto somente por atribuições, estruturas de decisão e gotos).
Pela trajetória histórica apresentada, o MPM também é encontrado com os seguintes
nomes: Método de Rabiner, Parks e McClellan (ou estes mesmos nomes em seqüências
alternadas), Algoritmo de Remez ou ainda um dos algoritmos de aproximação por Chebyshev.
2.1.9 Projeto de filtros FIR por outros métodos
O método dos mínimos quadrados: segundo Lang (1999), enquanto o método de Parks
e McClellan procura minimizar o máximo erro existente no vetor E(f) da equação (30), o
método dos mínimos quadrados procura minimizar a energia do erro deste mesmo vetor:
27
�∈
−×=]2,0[
2)]()([)()(
πf
d dffHfHfWfE (32)
Os termos desta expressão são os mesmos que os da equação (30).
Há ainda outros métodos como o das janelas e o da amostragem de freqüência, ambos
sem controle sobre a faixa passante e a de rejeição, não podendo ter seus formatos previstos.
2.1.10 A transformada rápida de Fourier
A equação (8) pode ser reescrita, fornecendo:
�−
=
×=1
0
)()(N
n
knNWnhkH (33)
Onde:
Nj
N eWπ2−
= (34)
Os demais termos desta equação são os mesmos descritos para a equação (8).
Ao ser desenvolvida a equação (33), aparecem N2 multiplicações para um conjunto de
N pontos. Estas multiplicações podem ser reduzidas através de duas propriedades da TDF, que
são a periodicidade:
k
NNk
N WW =+ (35)
E a simetria:
kN
Nk
N WW −=+
2 (36)
Baseado nestas propriedades surge um conjunto de algoritmos que foi chamado de
TRF (Transformada Rápida de Fourier). Em sua maioria, estes algoritmos se baseiam na
fatoração do número N em números menores, não obrigatoriamente primos. Um caso
28
particular é aquele em que assume N como sendo sempre uma potência de dois. Para este
caso, há uma redução de N2 multiplicações para N/2×log2 N. Há ainda outros métodos que
conseguem prover uma redução maior do número de operações, por exemplo, radix-4, radix-8
e split-radix.
2.1.11 Filtros digitais sem multiplicação
A partir de um sistema implementado em uma estrutura como a Forma Direta I da
Figura 3, o sinal x(n) ao ser processado por um sistema h(n) com M coeficientes a e P
coeficientes b, gerará uma saída y(n), que passará por um número de multiplicações igual a
M+N+1.
Uma multiplicação em hardware entre dois números de ponto flutuante consome
tempo de processamento e com um M e N altos, o tempo de resposta que o sistema levará para
gerar y(n), poderá comprometer sua viabilidade em um projeto.
Visando resolver este problema, um artifício foi empregado e encontra-se disponível
na literatura da área. Em Ye e Chang (2004), por exemplo, encontra-se uma apresentação
deste recurso: para filtros FIR, com base na Figura 3, com os termos bi iguais a zero (por ser
FIR), os valores de ai, que são os coeficientes do sistema h(n) responsáveis pelas
multiplicações, podem ter seus valores restritos a expressarem somente potências de dois,
POT (Power of Two).
Um número em ponto flutuante, ao ser multiplicado por um outro que seja POT, é
simplesmente repetido com seus bits deslocados para a esquerda ou para a direita a depender
isto do expoente da potência de dois, se for positivo ou negativo, respectivamente. Desta
forma o número de multiplicações existentes será substituído por um igual numero de
deslocamentos de bits, o que oferece agilidade ao processamento. Tais filtros, desta forma
implementados, são chamados de filtros sem multiplicações (ou do inglês Multiplierless
Filters).
29
2.1.12 Quantização dos coeficientes na implementação
Um problema pode ocorrer durante a implementação dos filtros FIR por meio dos
métodos clássicos: uma vez obtidos os coeficientes de um filtro FIR que melhor se aproxime
das especificações desejadas por meio de algum método numérico, é chegada a hora de tais
coeficientes serem colocados em algum firmware na fase da implementação do filtro. Porém,
nem sempre há 15 casas decimais destinadas a cada coeficiente, como normalmente é
calculado. Devido a isto, os coeficientes são arredondados para valores com menos casas
decimais. Porém isto ocasiona o deslocamento dos pólos e zeros do filtro, podendo distorcer a
resposta em freqüência real.
30
2.2 ALGORITMOS GENÉTICOS
Os processos naturais que regem os seres vivos, como evolução, reprodução, extinção,
entre outros mecanismos, assim como a dinâmica dos organismos vivos e da natureza em
geral, tornaram-se fonte de inspiração para estudos, entre os quais, aqueles que buscam
imitar-lhes. Cientistas procuraram estudar algoritmos genéticos para resolver problemas
computacionais complexos, os quais não vinham sendo resolvidos de uma forma satisfatória
por outros métodos.
Segundo Tanomaru (1995), processos como o anelamento que ocorre nos metais, deu
origem à área da ciência que adota este paradigma, denominada AS (Anelamento Simulado)
(KIRKPATRICK, GELATT e VECCHI, 1983), o estudo do sistema nervoso central dos
animais superiores deu origem às RNAs (Redes Neurais Artificiais) (BARRETO, 2004) e o
processo estocástico da evolução natural deu origem à CE (Computação Evolucionária)
(BÄCK, HAMMEL e SCHWEFEL, 1997), a qual um de seus ramos são os AGs.
Dentro da CE há ainda as seguintes áreas: PE (Programação Evolucionária) (BÄCK,
ULRICH E HAMMEL, 1997), EE (Estratégias Evolucionárias) (BÄCK, HAMMEL e
SCHWEFEL, 1997), AMs (Algoritmos Meméticos) (KRASGONOR, 2002), ED (Evolução
Diferencial) (STORN e PRICE, 1995), HE (Hardware Evolutivo) (HOUNSELL, ARSLAN e
THOMSON, 2004), SC (Sistemas Classificadores) (BÄCK, HAMMEL e SCHWEFEL, 1997)
e PG (Programação Genética) (KOZA, 1992).
A CE está enquadrada dentro de uma grande área chamada IC (Inteligência
Computacional), que compreende outras áreas, como por exemplo, RNA, AIS (Artificial
Immune Systems) (DASGUPTA, 1999), PSO (Particle Swarm Optimization) (SHI, 2004) e
Sistemas Fuzzy (ZADEH, 1965).
31
2.2.1 Introdução
Um AG baseia-se em uma seqüência de ações, que podem ser representadas pela
Figura 13:
Figura 13: Fluxo básico de um AG.
Um detalhamento do AG apresentado nesta figura, segundo uma interpretação feita a
partir de Goldberg (1989) e Tanomaru (1995) pode ser a que se segue:
a) uma possível solução de um problema, isto é, um candidato-resposta, é
representado como sendo um indivíduo. Normalmente o indivíduo não é
representado pelos números reais ou inteiros do problema a ser otimizado.
Este conjunto de números do mundo real, que representa a informação
numérica do problema em si, é chamado de fenótipo. Um possível alfabeto
no qual um indivíduo possa ser codificado é o binário. É dado o nome de
genótipo a um valor específico de uma palavra binária que represente um
indivíduo. Um exemplo de um indivíduo codificado por meio de genótipos
pode ser uma cadeia de bits, com os quatro primeiros bits representando uma
resposta à pergunta 1 do problema, os seis bits que se seguem representando
uma resposta à pergunta 2 e assim sucessivamente. A todo o indivíduo (aos
20 bits do exemplo), é dado o nome de cromossomo. Ao conjunto de bits
que representem um fenótipo é dado o nome de gene. No caso do exemplo
um gene seria os quatro primeiros bits, outro gene os seis seguintes e assim
população inicial
seleção
cruzamento
mutação
nova população
condição de
término
melhor indivíduo
s
n
1
2
3
4
5
6
7
32
por diante. Esta etapa, denominada representação cromossômica, antecede à
execução do AG e faz parte da modelagem do problema;
b) um conjunto de indivíduos é gerado aleatoriamente (ou a partir de algum
critério inicial) formando o que se chama de uma população. Normalmente,
esta população tem um tamanho, λ, fixo. Em AGs, é chamado de espaço de
busca, S, ao conjunto de todas as possíveis combinações de soluções de
genótipos considerados como satisfatoriamente representativos. A relação
entre os fenótipos e seus respectivos genótipos dependerá da codificação
adotada e pode não ser de um para um. Esta é a etapa um na Figura 13;
c) uma avaliação inicial de cada indivíduo da população é feita de acordo com
a resposta que se está procurando. Quanto mais próximos da resposta,
maiores serão as notas dos indivíduos em tal avaliação. Dá-se o nome de
fitness a esta medida e este cálculo normalmente é feito em função do
cromossomo decodificado de cada indivíduo. Esta ação ainda faz parte da
etapa um na Figura 13;
d) é aplicado sobre a população algum mecanismo de seleção, visando a
exclusão da próxima etapa do processo os indivíduos com valores de fitness
baixos. Um exemplo de seleção pode ser basicamente o ato de serem
tomados aleatoriamente um par de indivíduos da P e submetê-los aos
processos de cruzamento e mutação. Esta é a etapa dois na Figura 13;
e) em seguida é aplicado, com uma probabilidade pcross, um cruzamento (ou
do inglês crossover) sobre uma dupla de indivíduos selecionados, ou seja, tal
dupla poderá ou não efetuar o cruzamento, que consiste na geração de dois
indivíduos, chamados descendentes, com base na troca de bagagem genética
entre os indivíduos que foram selecionados no item d. Este é a etapa três na
Figura 13;
f) após isto, os descendentes são submetidos a uma mutação, com uma
probabilidade pmutation. A mutação consiste basicamente em ser aplicado
uma mudança aleatória de um ou mais loci do cromossomo. Este é a etapa 4
na Figura 13;
g) concluídas as etapas d, e e f os descendentes gerados são destinados à nova
população. Os indivíduos desta população irão passar neste estágio por uma
avaliação. Esta é a etapa cinco na Figura 13;
33
h) chama-se de geração ao ciclo compreendido entre as etapas d à g, inclusive.
Concluída uma geração, é feito um teste se a condição de término foi
atendida. A condição de término pode ser, por exemplo, um valor buscado
de fitness, um determinado número máximo de gerações. Esta é a etapa seis
na Figura 13;
i) se a condição de término não foi atendida, há um retorno à etapa que
corresponde ao item d e um novo ciclo de geração é executado. Esta ação
corresponde à seta que conecta o bloco 6 ao 2 na Figura 13;
j) se a condição de término foi atendida, há a passagem para o próximo bloco,
o sete, que é a determinação do indivíduo pertencente à última geração tenha
a maior fitness.
Há variações deste modelo.
Segundo Beasley, Bull e Martin (1993), há problemas de AGs que não enfocam o
valor do gene e sim seu possível locus dentro do cromossomo, isto é, os genes permanecem
com seus alelos fixos. Tais problemas são chamados de problemas de análise combinatória ou
de ordenação. Um exemplo de problema deste tipo é o do Caixeiro Viajante (TANOMARU,
1995).
2.2.2 Outros métodos numéricos e aplicabilidade
Os algoritmos que utilizam o paradigma da CE são chamados de AEs (Algoritmos
Evolucionários) e estão enquadrados dentro dos métodos heurísticos baseados em transições
probabilísticas. Há outros métodos, como se pode ver na Tabela 3 (GOLDBERG, 1989).
Nesta tabela, também estão resumidos os perfis dos demais métodos de busca e otimização e
suas deficiências. Foi atendendo a estas deficiências, que os AEs conquistaram espaço,
mesmo fornecendo uma resposta quase ótima na maioria das vezes.
34
Tabela 3: Perfil dos métodos, suas deficiências e características
Método Descrição Deficiência
Enumerativo Busca
Seqüencial
Lento, não opera com
S grande
Baseado em Cálculo
Numérico
Gradiente/Simplex
Newton
Dificuldades com
f(x) multimodal e
S descontinuado
Analítico
Cálculo
Analítico
(derivadas)
Exige que f(x) seja
Derivável
Aleatório Baseado na
Sorte
Pode encontrar ou
não a resposta
Baseados em Transições
Probabilísticas Métodos de CE
Pode encontrar a solução
quase ótima
2.2.3 Representação cromossômica
A interpretação a seguir tomou como base as seguintes obras: Goldberg (1989),
Tanomaru (1995) e Bäck, Hammel e Schwefel (1997).
Para se representar um conjunto de números com uma cadeia de bits, tendo sido
estabelecidas as faixas dos valores válidos mínimo Valmín e máximo Valmax, assim como sua
precisão prc, pode-se empregar a fórmula a seguir para determinar-se o tamanho l do
cromossomo (IZIDORO, 2005):
12 −
−=
lmínValmáxVal
prc (37)
35
2.2.4 Função-objetivo, função-penalidade e função de fitness
Além das obras da subseção anterior foi tomada também como base para esta subseção
a obra de Silva (2002).
A função-objetivo é o cálculo matemático que expressa o quão perto do ótimo está um
indivíduo. A função-penalidade opera atribuindo decréscimos à função-objetivo para
diferentes casos, por exemplo, indivíduos que não representem um fenótipo válido (seja um
número pertencente a uma faixa inválida). E a função de fitness, é o valor que é destinado ao
AG e, por este motivo, normalmente procura por definição ser sempre positiva e estar dentro
de uma faixa de valores controlados, como 0,0 a 1,0.
Portanto, as funções-objetivo e função-penalidade operam em conjunto para
atribuírem valores para a função de fitness.
2.2.5 Convergência prematura, diversidade genética e pressão seletiva
Um indivíduo que esteja com uma fitness ligeiramente acima da média da população,
poderá espalhar seu material genético para as próximas gerações. Porém, se tal material
genético for o caminho da convergência para um máximo local, pouco poderá ser feito a partir
deste ponto. Em um AG que esteja sendo executado nas suas primeiras gerações, tal
indivíduo, caso possua uma fitness acima dos demais, poderá conduzir a população a uma
convergência prematura.
Diversidade genética pode ser entendida como o grau de dissimilaridade entre
indivíduos.
Pressão seletiva pode ser entendida como a conseqüência da discrepância entre os
valores de fitness dos indivíduos da população atual.
2.2.6 Métodos de seleção
A seleção proporcional (GOLDBERG, 1989) pode ser interpretada como sendo a
escolha dos indivíduos através do giro de uma roleta: cada indivíduo está encaixado no seu
local dentro da roleta e o tamanho deste local corresponde ao valor individual de fitness que
cada um tem.
36
É dado um giro na roleta e no ponto em que a mesma parar, é selecionado o indivíduo
que estiver naquele ponto. Porém, o indivíduo não sai da roleta, sendo colocado uma cópia
dele em Pi. São repetidos os giros até serem completados um número de λ (número de
indivíduos da população P) repetições. Logo, Pi poderá estar constituída mais com elementos
de alta fitness do que de indivíduos com fitness menores. Por este motivo, métodos que
tenham como base este mecanismo, são chamados de métodos de seleção baseados em roleta.
A equação a seguir indica como as probabilidades (os espaços na roleta) são determinadas:
�=
=N
iisf
sfsselp
1
)(
)()( (38)
Onde:
• psel(s) é a probabilidade de seleção do indivíduo s;
• f(s) é o valor de fitness do indivíduo s; e
• o denominador corresponde à somatória dos valores de fitness de todos os indivíduos
da população.
Outro método de seleção é o da Amostragem Estocástica Universal (do inglês
Stochastic Universal Sampling) (BAKER, 1987), que será apresentado a partir de uma
interpretação feita com base em Chiperfield el. al. (1994) comparando-o com o método da
roleta:
a) os indivíduos são acomodados na roleta, cada um dentro de um espaço
determinado pela equação (38);
b) a roleta é girada e ao parar, um ponto de retirada é estabelecido;
c) são somados a este ponto de retirada, mais outros pontos de retirada que são
eqüidistantes até ser completada uma volta sobre a roleta; e
d) são repetidas as etapas b e c até o processo estar concluído.
Há ainda outros métodos de seleção como o Resto Estocástico (TANOMARU, 1995),
Torneio Estocástico e Ordenação Linear (SILVA, 2002). Tais métodos podem passar por
técnicas que atuam sobre a seleção como o Elitismo e o crowding (BEASLEY, BULL E
MARTIN, 1993).
37
2.2.7 Operadores de cruzamento
No cruzamento de um ponto:
a) é determinada aleatoriamente uma determinada posição de um gene nos
dois cromossomos que farão o cruzamento;
b) são gerados dois cromossomos descendentes cujos genes serão uma cópia
de seus cromossomos ascendentes, exceto a partir do locus determinado,
que deste lócus até o final do cromossomo descendente, terá o conteúdo de
seus genes composto pelo outro cromossomo ascendente.
No cruzamento multiponto:
a) são determinadas m faixas para segmentar os cromossomos ascendentes A1
e A2, respectivamente;
b) são gerados os cromossomos descendentes, D1 e D2 respectivamente, a
partir da cópia dos alelos de seus respectivos ascendentes;
c) são copiados em D1 e D2, a partir da segunda faixa, os alelos de A2 e A1
respectivamente;
d) são mantidos em D1 e D2, para a faixa que se segue, o conteúdo original da
etapa b;
e) são repetidas as etapas c e d até o final do comprimento dos cromossomos.
Os dois cruzamentos citados e outros cruzamentos, como o cruzamento uniforme,
podem ser encontrados em Goldberg (1989). Os cruzamentos são os operadores de
recombinação responsáveis pela busca local (nas vizinhanças próximas) no espaço de busca.
2.2.8 Operadores de mutação
Segundo Goldberg (1989), a mutação altera, com uma probabilidade pmutation, o
alelo de um cromossomo. É importante ressaltar que o operador de mutação atua sobre cada
gene e devido a isto, um cromossomo pode sair de uma mutação com mais de um gene
alterado. O operador que desempenha esta operação é o chamado operador de mutação bit a
bit (GOODMAN, 1996). Com base nisto, por exemplo, um cromossomo descendente que
38
passe por uma mutação bit a bit, pode entrar 0100110 e sair 0101110 (somente o gene do
locus 3 foi alterado), 1100010 (os genes dos loci 0 e 4 foram alterados), etc.
Segundo Goodman (1996) e as linhas de comentários do arquivo multimut.c de
Goodman e Punch (2002), foi criado também um outro operador de mutação denominado
operador de mutação de múltiplos campos (do inglês Multiple Field Mutation Operator), o
qual atua não somente sobre um gene, mas sim sobre uma faixa de genes adjacentes, isto é,
um determinado número de loci. A faixa de genes adjacentes que pode sofrer esta mutação é
estipulada e pode ir de um até avg_mut_width (com comprimento máximo igual ao tamanho
do cromossomo), que é um parâmetro determinado por quem esteja utilizando este operador.
O número de loci a serem alterados é determinado de acordo com a distribuição de Poisson
utilizada como uma aproximação à distribuição Normal (MEIER, 1983), a partir de uma
probabilidade 1/avg_mut_width. Para o mesmo cromossomo que foi usado de exemplo no
parágrafo anterior, um cromossomo resultante possível neste caso poderia ser 1010110 (genes
dos loci 0 ao 2, com avg_mut_width=5, isto é, não é preciso que 5 genes sejam alterados.
A mutação é responsável pela busca global dentro do Espaço de busca.
2.2.9 Escalonamentos de fitness
Há ferramentas de AGs que aceitam receber os valores de fitness brutos, podendo
excursionar em faixas além do 0,0 a 1,0, assim como receber valores negativos. Para tal, estas
ferramentas desempenham escalonamentos nos valores de tais fitness. São formas de
escalonamentos: a) o linear; b) o por janela; c) por corte σ; e d) de Boltzmann.
Os escalonamentos dos itens a ao c podem ser encontrados em Tanomaru (1995) e o d
em Goodman (1996).
39
2.3 REVISÃO DA LITERATURA
Não foram encontrados softwares automatizados, disponibilizados de forma gratuita
ou comercializáveis, para o projeto de filtros FIR por meio de AGs, que possam ser utilizados
por usuários que desconheçam o paradigma da CE.
Dentro desta seção encontram-se alguns métodos de projetos de filtros FIR que
utilizam AGs e outros métodos, com a finalidade de servirem para mostrar um estado da arte
que possa ser traçado em paralelo à investigação de softwares prontos que desempenhem a
geração de filtros FIR.
2.3.1 Trabalhos correlatos
O primeiro registro localizado de um trabalho de projetos de filtros digitais usando
AGs, foi o de Etter, Hicks e Cho (1982), onde é apresentado um sistema de identificação no
qual a busca pelos coeficientes do filtro digital que deve ser encontrado é por AGs. O filtro
estudado é do tipo IIR.
Para se apresentar o primeiro trabalho específico de projeto de filtros FIR, é necessário
ser apresentado primeiramente o trabalho de Wade, Van-Eetvelt e Darwen (1990), o qual
propôs o seguinte:
a) uma biblioteca de seções de estruturas, parecidas com a Forma Direta II, de
filtros básicas era pré-determinada; cada uma das estruturas já era pré-
otimizada para não terem multiplicações e somente deslocamentos e somas;
b) quando do recebimento de uma nova especificação, um método numérico
buscava uma combinação linear da melhor disposição em cascata destas
estruturas que atendesse à resposta em freqüência desejada.
O primeiro registro localizado e específico sobre projeto filtros FIR, foi este mesmo
trabalho, porém com um AG ao invés do método numérico que estava sendo usado, devido
terem ocorrido problemas com altos tempos de execução (SUCLEY, 1991). Como se pode
observar, o grau de hibridismo deste trabalho é alto e direcionado para serem construídos
filtros sempre a partir de uma biblioteca de estruturas de filtros fixa.
Seguidas a este primeiro trabalho, durante o ano de 1993, surgiu uma série de
pesquisas relatadas, tendo inclusive ocorrido uma conferência sobre processos naturais
40
aplicados à área de PDS. Uma pesquisa desta época foi a de Cemes e Ait-Boudaoud (1993a),
que empregou o seguinte método:
a) a partir das especificações do filtro, era determinado o número de
coeficientes do filtro segundo a equação (31);
b) para este número de coeficientes, um AG era iniciado para buscar um filtro
que atendesse às especificações. Tais coeficientes eram pertencentes ao
conjunto de números em potências de dois, também a fim de se prover um
melhor desempenho para o filtro;
c) caso não se encontrasse uma solução aceitável, um coeficiente a mais era
adicionado, até ser encontrada a solução.
Este método foi melhorado em Cemes e Ait-Boudaoud (1993b), através do seguinte
artifício: o coeficiente do filtro podia agora não mais somente receber um único valor de
potência de dois, mas também dois valores de potência de dois somados ou subtraídos,
aumentando-se a possibilidade de valores a serem expressos em potências de dois que
anteriormente era restrito a um só e nem por isso aumentando o tempo de processamento
significativamente, pois a soma era ainda mais vantajosa do que a multiplicação.
Há um livro (MAN, TANG e KWONG, 1999) que traz uma abordagem específica
para a síntese de filtros digitais através de AEs. Mesmo com um estudo restrito aos filtros IIR,
é possível nesta literatura serem aproveitados os esquemas de codificação (representação
cromossômica).
Em Hounsell, Arslan e Thomson (2004), é apresentado um método para serem
projetados filtros FIR por meio de HE que gera coeficientes em potências de dois. Portanto, é
possível atualmente serem implementados diretamente em estruturas (como a Forma Direta I
da Figura 3), caso seja necessário, filtros FIR.
Em Chen e Yu (2000), é utilizada PE para serem obtidos dois pontos de freqüência.
Estes dois pontos obtidos pelo método evolucionário irão ser utilizados em um método
especialista de síntese de filtros FIR chamado amostragem de freqüência. Tais pontos de
transição são normalmente consultados em uma tabela (RABINER, GOLD, MCGONEGAL,
1970), a qual força o projetista a adequar o perfil do filtro aos valores apresentados na tabela e
que não obrigatoriamente oferece os ripples mínimos. O que se busca otimizar neste método
híbrido é a amplitude dos ripples. Analogamente, em Huang, Zhou e Qian (2004), é relatado
um trabalho onde foi utilizado PSO para projetar-se filtros FIR, fornecendo-se as amostras de
41
transição para o método da amostragem de freqüência. Um trabalho análogo foi feito, porém
para AIS, em Xiaoping, Bo e Gang, (2003).
Em Benevenuto, Marchesi e Uncini (1992), é apresentado um método utilizando AS
para gerar coeficientes em potências de dois para filtros FIR empregando AS. Cabe aqui a
observação de que há diversos trabalhos com AS para o projeto de filtros FIR.
Em Ng et.al. (1999) é relatado um método para o projeto de filtros FIR via o método
dos mínimos quadrados mesclado com EE.
Em Zhang e Iwakura (1994), é empregada uma RNA em um método para serem
gerados filtros FIR baseados no módulo do erro quadrático entre a freqüência desejada e a
freqüência que está sendo gerada. Filtros FIR e RNA são também assuntos amplamente
pesquisados.
Em ED, não há somente um método (STORN, 2005), assim como há um software
(STORN, 2003): em 01/02/2006 seu preço estava em US$ 500,00 e trata-se de uma aplicação
que sob o ponto de vista de projetos de filtros, não apresenta rigorosamente algum tipo de
inovação em termos de características que a diferencie dos softwares comerciais com métodos
especialistas, porém, por ser um AE, o limite de coeficientes de filtros FIR ser de 200, é um
ponto relevante. O código-fonte não é revelado e pelo que se pôde observar no manual, é
necessário que seu usuário conheça parâmetros evolucionários (population vector, por
exemplo).
Em PG, foi também encontrada uma dissertação (MUÑHOZ, 2005) que apresenta uma
derivação deste paradigma, denominada GEP (Genetic Expression Programming), para o
projeto de filtros FIR.
Embora tenha sido um estudo sobre filtros IIR, em Nambiar e Mars (1992) é feito um
estudo comparativo entre AS e AGs, tendo-se chegado à conclusão de que cada uma das
técnicas é melhor em situações diferentes durante a execução. Por este motivo, foi proposto
neste trabalho um algoritmo híbrido mesclando as duas técnicas.
Já na área dos métodos especialistas, somente para ser citado um deles, por exemplo,
há um método que é capaz de fornecer filtros digitais com um número de coeficientes que
pode ir até 1500 (EVANGELISTA, 2002).
O próprio método especialista alvo da comparação neste trabalho já recebeu
melhoramentos, sendo o trabalho de Antoniou (1983) um dos representantes.
Na grande maioria, atualmente em um número que se aproxima dos 100 (levando-se
em consideração os periódicos de circulação internacional), os trabalhos desenvolvidos para o
projeto de filtros FIR com AGs é voltado à obtenção de coeficientes expressos em potências
42
de dois. Foram tomados alguns exemplos somente para ser oferecida uma noção do que se
tem à disposição da comunidade científica.
Em Gentili, Piazza e Uncini (1994), é apresentado um AG para o projeto de filtros
FIR, modelado para fornecer coeficientes expressos em potências de dois. Neste trabalho é
feito um confronto entre o AG proposto e AS, um método especialista baseado em
programação linear e outros métodos relatados. O AG só perde para o método especialista,
empata com AS e ganha dos demais. O empate com o AS ocorre, porém com a ressalva de
que foi necessária mais de uma execução via AS para atingir a qualidade de resposta obtida
pelo AG em somente uma execução.
Os trabalhos de Karabo�a e Çetinkaya (2003) e Öner (1998) podem ser considerados
representantes de diversos trabalhos que adotaram funções de fitness no formato:
yopxba
f)(
)(+
=⋅ (39)
Onde:
• f(⋅) é o valor da função de fitness;
• a e b são números ajustáveis caso a caso;
• x são valores dependentes de diferenças entre a resposta em freqüência desejada e a
obtida por cada indivíduo;
• y seja um valor de peso dependente de cada perfil de filtro a ser projetado
(configurado caso a caso); e
• op seja uma operação matemática do tipo produto, soma, diferença, multiplicação ou
divisão.
Funções de fitness neste formato provêm uma convergência com uma boa aceleração e
ao mesmo tempo podem ainda ser controladas para ser evitada a convergência prematura.
Em Lee et. al. (1999), é proposta uma modificação no formato padrão do AG da
Figura 13, sendo sacrificados os indivíduos que não atendam às restrições, com fins a se
operar somente com potências de dois.
43
2.3.2 Trabalhos na área
Em Hasan et.al. (2001), é apresentado um método e uma toolbox de MATLAB
(MATHWORKS, 2002) chamada CSDFIR. É uma ferramenta automática e que atualmente
pertence à MOTOROLA.
Foi encontrado um software que gera os coeficientes de filtros FIR a partir de
especificações nele inseridas. É outra toolbox para MATLAB (MATHWORKS, 2002)
desenvolvida pelo Professor Sabah M. Ahmed (2003), apresentada em um simpósio. As
diferenças deste trabalho para o trabalho aqui proposto são:
a) para este software ser executado é necessário o MATLAB. O software aqui
proposto é executado diretamente a partir do Windows; e
b) é um software que mantém os parâmetros de AG em aberto para serem
configurados pelo usuário, isto é, necessita-se conhecer AGs para utilizá-lo.
O software aqui proposto deixa em aberto ao usuário um ou no máximo
dois parâmetros simples de AGs para que o usuário necessite eventualmente
configurá-los, sendo desnecessário o conhecimento de AGs para ser
utilizado.
Alguns problemas foram observados com relação aos resultados relatados: o filtro
proposto no exemplo da seção 5 está invertido (a amostra central é negativa) e sua resposta
em freqüência, quando testada, não proporciona o formato anunciado no artigo. Foi
encaminhada uma mensagem eletrônica para o autor, Professor Ahmed, em 20/01/2006, no
endereço constante no artigo, solicitando do mesmo uma cópia da toolbox para que fossem
feitos testes, não tendo sido obtida nenhuma resposta. Foram também procurados registros
referentes ao Professor Ahmed para verificar se o mesmo tinha alguma página pessoal na qual
existissem mais dados a respeito de seu trabalho. Não foi encontrada a referida página nem
alguma página da Faculdade de Engenharia de Assuit, local de procedência do trabalho.
Todos os trabalhos citados nesta seção não apresentaram explicitamente os passos
adotados na modelagem. Em todos, por exemplo, não é encontrada a codificação adotada ou
ainda não é informado quantas vezes foram executados o AG para serem obtidos os resultados
anunciados. Em alguns não é possível ser compreendida com clareza o cálculo da função de
fitness que foi adotado.
44
45
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA
Conforme citado na revisão da literatura, não foi encontrado um método e seu
respectivo software que enfatizasse a atual proposta do trabalho proposto: gerar filtros FIR via
AGs sem que o usuário necessite conhecer algum tipo de paradigma de CE e que um ofereça
um resultado relevante em um número pré-determinado de tentativas.
Para a metodologia a ser empregada dentro deste contexto, foi escolhido o seguinte
caminho: para qualificar os resultados como relevantes, foi escolhido para fins comparativos
um método consagrado, o MPM, resultando em uma pesquisa experimental. Porém, não
foram encontrados na literatura padrões pré-estabelecidos de comparação entre respostas em
freqüência. Portanto, tais padrões foram criados, o que resultou em uma pesquisa com
enfoque experimental tendo como base critérios de referência de uma pesquisa exploratória
(GIL, 1996).
3.1 MATERIAIS E INFRA-ESTRUTURA
Foi um experimento simples em termos de materiais e infra-estrutura: computador,
referências bibliográficas e softwares de apoio à depuração dos resultados.
3.1.1 Computador
Foi utilizado um computador pessoal do tipo notebook, da marca Hewlett-Packard,
modelo Pavillion ze2000, cujas características relevantes ao trabalho foram a de ter um
processador da marca Intel, modelo celeron com um clock de 1.4 GHz, memória RAM de 256
Mb, interface de rede Fast-Ethernet e sistema operacional Windows (MICROSOFT, 2002)
versão XP-Home-Eddition, release 5.1.2600.
O critério de escolha do sistema operacional foi o software desenvolvido poder atingir
uma comunidade maior de acadêmicos. Os tempos de execução apresentados nas tabelas de
resultados foram obtidos neste computador.
46
3.1.2 Softwares utilizados
O MATLAB (MATHWORKS, 2002) foi o software de validação de códigos e análise
de resultados durante o experimento.
O GALOPPS (GOODMAN e PUNCH, 2002) foi utilizado como ferramenta de apoio
ao desenvolvimento do algoritmo genético. Para que uma aplicação de AGs seja desenvolvida
no GALOPPS, é necessário um compilador da linguagem C. O escolhido para o experimento
foi o GCC (MITCHEL, 2005). Os critérios de escolha desta ferramenta foram:
a) ser gratuito;
b) ter o seu código-fonte disponível (isto possibilitou, por exemplo, a análise do
mecanismo de geração aleatória de indivíduos da população); e
c) oferecer internamente o fluxograma da Figura 13, requerendo do projetista
somente a modelagem da função de fitness, a especificação dos parâmetros de
execução, dos operadores de cruzamento e de mutação e do método de seleção.
O BORLAND C++ BUILDER (BORLAND, 2000) foi utilizado para desenvolver
partes do software. Este ambiente de desenvolvimento oferece uma forma de programação
denominada Programação Baseada em Componentes (PRESSMAN, 2002). É possível,
através deste conceito, ser desenvolvida toda uma programação estruturada, no padrão ANSI-
C, sendo utilizados os recursos gráficos e multi-thread que o Windows oferece, aumentando
desta forma a portabilidade códigos escritos anteriormente no modo Dos/Console. Basta ao
programador que domina a linguagem C conhecer um conjunto proprietário de comandos da
BORLAND responsável pela interface gráfica.
Dentro do software desenvolvido, foram utilizados três códigos disponíveis na
Internet:
a) um para o cálculo da TRF (NIELSEN, 2000);
c) outro para a geração do filtro FIR pelo MPM (JANOVETZ, 1998), porém
na linguagem C ao invés de FORTRAN como fora lançado em 1972; e
d) e uma pequena função que converte de binário posicional para Gray
Refletido (PRESS, 2002).
47
3.2 O MÉTODO
O método proposto é apoiado em uma pesquisa experimental: são testadas diversas
possibilidades de configuração do AG para serem verificadas a qualidade da resposta e qual
configuração mais permanece constante diante das mais diferentes possibilidades de
especificações que forem passadas. A qualidade baseia-se em oferecer uma resposta em
freqüência com um perfil equiparado ao do MPM, senão melhor.
3.2.1 Descrição geral do cenário dos experimentos
Os experimentos foram realizados no cenário representado pela Figura 14. A dinâmica
do experimento consiste dos seguintes passos:
a) há um programa, chamado de Especificador, que recebe do usuário as
especificações desejadas de filtro a ser gerado;
b) recebendo os dados, o Especificador gera dois arquivos. Um é chamado de
f_ref.txt, com N amostras, que é a resposta em freqüência desejada do
filtro, na forma ideal, isto é, com os intervalos entre as faixas um dois e três
unidos com segmentos de reta, fazendo com que |Hd(f)| tenha um formato
trapezoidal. O formato desta resposta em freqüência ideal pode ser visto
nos gráficos do capítulo de Resultados, com a legenda correspondente. O
outro arquivo, specs.txt, contém informações de controle para o
funcionamento do AG;
Figura 14: Visão geral do experimento.
Especificações de PDS do filtro desejado
Especificador f_ref.txt
specs.txt
AG
RespFreq hnagint.txt
hwagint.txt
rfreq_ag.txt
MATLAB filtro_ag.txt
parâmetros AG
48
c) o programa que executa o AG é implementado dentro do GALOPPS e
recebe como dados de entrada os dois arquivos gerados pelo programa
Especificador, juntamente com todo o conjunto de parâmetros AG que o
GALOPPS recebe. Estes parâmetros serão descritos adiante;
d) durante a execução do AG, dois arquivos criados vão recebendo
informações, que são o hnagint.txt, o qual contém os coeficientes do
melhor filtro obtido por geração e o hwagint.txt que contém a
respectiva resposta em freqüência de tal filtro;
e) ao final da execução do AG, um arquivo, com o nome filtro_ag.txt,
contém os coeficientes do filtro gerado, o qual é confrontado com o método
especialista no MATLAB. Para quaisquer propósitos, também é fornecida a
resposta em freqüência deste filtro em um arquivo chamado
rfreq_ag.txt; e
f) durante ou depois da execução, é possível ser executado um outro
programa denominado RespFreq, que permite monitorar a qualidade da
resposta em freqüência que esteja sendo obtida por meio da leitura do
arquivo hwagint.txt. Caso uma determinada resposta em freqüência
intermediária de uma geração g-ésima seja considerada satisfatória, basta
serem coletados os g-ésimos coeficientes correspondentes no arquivo
hnagint.txt.
3.2.2 Variáveis do experimento
São variáveis independentes as pertencentes ao conjunto A, que são as especificações
do filtro desejado:
A={fn11, fn12, fn21, fn22, fn31, fn32, A1, A2, A3, Tipo, M} (40) Onde:
• fn11, fn12, fn21, fn22, fn31 e fn32 são as freqüências iniciais e finais das faixas um dois e
três, respectivamente, da resposta em freqüência desejada, assumindo valores entre 0,0
e 0,5 ciclos/amostra;
49
• A1, A2 e A3 são as amplitudes nas faixas um dois e três, respectivamente, da resposta
em freqüência desejada, assumindo valores entre 0,0 e 1,0;
• Tipo é o tipo de filtro desejado a ser gerado, assumindo valores do I ao IV; e
• M é o número de coeficientes que o filtro a ser gerado deva ter, assumindo valores
inteiros positivos.
O MPM, método a ser confrontado, exige algumas restrições que deverão ser seguidas
por este motivo:
fn12 ≠ fn21 (41)
fn22 ≠ fn31 (42)
São variáveis independentes, porém indiretas, as pertencentes ao conjunto B:
B={fnR11, fnR12, fnR21, fnR22, fnR31, fnR32, AR1, AR2, AR3, δR1, δR2, δR3} (43) Onde:
• fnR11, fnR12, fnR21, fnR22, fnR31 e fnR32 são as freqüências iniciais e finais das faixas um
dois e três, respectivamente, da resposta em freqüência do filtro FIR obtido via MPM,
assumindo valores entre 0,0 a 0,5 ciclos/amostra;
• AR1, AR2 e AR3 são as amplitudes nas faixas um, dois e três, respectivamente, da
resposta em freqüência do filtro FIR obtida via MPM, assumindo valores entre 0,0 e
1,0;
• δR1, δR2 e δR3 são, respectivamente, os ripples nas faixas um dois e três na resposta em
freqüência do MPM, assumindo valores entre 0,001 a 0,500.
São variáveis independentes, porém indiretas, as pertencentes aos conjuntos C, D e E:
C={seleção, cruzamento, mutação, rc, fitness} (44)
D={elitismo, maxgen, popsize, pcross, pmut, semente} (45)
50
E={par_sel, par_escal} (46)
Onde:
• seleção é o método de seleção escolhido, assumindo os seguintes valores: suselect
(amostragem estocástica universal), rselect (roleta estocástica) e tselect (torneio
estocástico);
• cruzamento é o operador de cruzamento escolhido, assumindo os seguintes valores:
oneptx (cruzamento de um ponto), twoptx (cruzamento de dois pontos) e unifx
(cruzamento uniforme);
• mutação é o operador de mutação escolhido, assumindo os seguintes valores: bitmutat
(mutação bit a bit) ou multimut (mutação de múltiplos campos);
• rc é a representação cromossômica escolhida, assumindo os seguintes valores: BinPos
(binário posicional) e BinGray (Binário Gray Refletido);
• fitness é a função de fitness escolhida, ser detalhada na subseção de modelagem;
• elitismo é o parâmetro que determina se foi escolhido elitismo ou não, assumindo os
valores sim ou não;
• maxgen é o número máximo de gerações, assumindo valores inteiros;
• popsize é o tamanho da população, que assumirá valores inteiros;
• pcross e pmut são as probabilidades na quais ocorrerão os cruzamentos e as mutações,
respectivamente, assumindo valores de 0,0 a 1,0; e
• par_sel e par_escal são, respectivamente, parâmetros que dependam do método de
seleção e do tipo de escalonamento de fitness.
O conjunto C corresponde aos parâmetros de AG que normalmente ficam fixos dentro
do GALOPPS, requerendo uma nova compilação do código-fonte, caso precisem de alteração.
O conjunto D corresponde aos parâmetros de AG que normalmente são alterados caso
a caso. No GALOPPS, podem tanto receber valores iniciais, quanto serem alterados ao longo
da execução.
Os elementos do conjunto E dependem dos parâmetros dos conjuntos C e D e, por este
motivo, foram deixados em separado.
São variáveis dependentes as pertencentes ao conjunto F:
F={fnAG11, fnAG12, fnAG21, fnAG22, fnAG31, fnAG32, AAG1, AAG2, AAG3, δAG1, δAG2, δAG, tAG} (47) Onde:
51
• fnAG11, fnAG12, fnAG21, fnAG22, fnAG31 e fnAG32 são as freqüências iniciais e finais das
faixas um dois e três, respectivamente, da resposta em freqüência do filtro FIR gerado
pelo AG, assumindo valores de 0,0 a 0,5 ciclos/amostra;
• AAG1, AAG2 e AAG3 são as amplitudes nas faixas um dois e três, respectivamente, da
resposta em freqüência do filtro FIR gerado pelo AG, assumindo valores de 0,0 a 0,5;
• δAG1 e, δAG2 e δAG3 são, respectivamente, os ripples nas faixas um dois e três presentes na
resposta em freqüência do filtro FIR gerado pelo AG, assumindo valores de 0,001 a
0,500; e
• tAG é o tempo consumido pelo AG para gerar os coeficientes do filtro FIR.
3.2.3 Condições de resposta sub-ótima
O confronto entre os métodos consiste de duas comparações: entre ripples e entre
pontos onde ocorrem as transições da resposta em freqüência. Destas duas comparações
surgem duas condições que foram classificadas como sub-ótimas a serem procuradas.
Para apresentá-las, será utilizado um exemplo. Seja um filtro de resposta arbitrária
Tipo I, com 15 coeficientes, a ser projetado pelas especificações constantes no conjunto a
seguir:
A = {fn11, fn12, fn21, fn22, fn31, fn32, A1, A2, A3, Tipo, M}
= {0,00; 0,05; 0,10; 0,20; 0,30; 1,00; 0,00; 0,50; I, 15}
As respostas em freqüência dos filtros gerados pelo MPM e pelo AG, com seus
respectivos ripples correspondentes aos conjuntos B e E estão mostrados na Figura 15:
Figura 15: Ripples envolvidos no experimento.
fnAG21
δR1δAG1
δAG3 δR3
δR2 δAG2 fn21
fnR21
52
Na Figura 15 e demais a serem apresentadas, uma legenda com o nome Remez
corresponde ao mesmo que MPM. Serão ainda apresentadas respostas em freqüência tanto de
0,0 a 0,5 ciclos por amostra, quanto de 0,0 a 1,0 ciclos/amostra (veja subseção 2.1.4).
Com relação à Figura 15, são observados todos os ripples gerados pelo AG de valor
inferior aos gerados pelo MPM. Quanto menores forem os ripples, maior será a qualidade do
filtro. Será chamada de PCRSO (Primeira Condição de Resposta Sub-Ótima) a que estabelece
a seguinte inequação:
3,2,1,5)log(20)log(20 =≤×−× iiRiAG
δδ (48)
Onde:
• δiAG são os ripples das faixas um dois e três da resposta em freqüência do AG; e
• δiR são os ripples das faixas um dois e três da resposta em freqüência do MPM.
Por exemplo: δ1AG = 0,0694 e δ2R = 0,0470, têm entre si uma distância de 0.0224, a
qual está em conformidade com a PCRSO. Este valor é mais facilmente visto nas respostas
em freqüência cuja amplitude está em decibéis.
É ainda observado na Figura 15 que fn21AG > fn21R > fn21. Já na faixa três, a relação
passa a ser fn31R > fn31AG > fn31. Quanto mais próximas estas freqüências estiverem do valor
especificado (do ideal), melhor será a qualidade do filtro. Será chamada de SCRSO (Segunda
Condição de Resposta Sub-Ótima): a que estabelece a seguinte inequação:
05,0≤− iRfiAGf (49)
Onde:
• fiAG são as freqüências fnAG21 e fnAG31 da resposta em freqüência do AG; e
• fiR são as freqüências fnR21 e fnR31 da resposta em freqüência do MPM.
Um filtro que obedeça às inequações (48) e (49) será classificado como um filtro que
tenha atendido às PSCRSO (Primeira e Segunda Condições de Resposta Sub-Ótima).
53
As medidas que deram origem às PSCRSO tiveram como base resultados obtidos por
trabalhos correlatos (HASAN et. al., 2001), (CEMES e AIT-BOUDAOUD, 1993a), (CEMES
e AIT-BOUDAOUD, 1993b).
3.2.4 Formulação do problema e da Hipótese
O problema a ser resolvido é: como reduzir o número de variáveis ajustáveis dos
conjuntos C, D e E, de maneira a maximizar o valor dos elementos do conjunto A, gerando
resultados correspondentes no conjunto F que atendam às PSCRSO.
A hipótese defendida é a de que exista pelo menos uma combinação de parâmetros dos
conjuntos C, D e E que possa satisfazer às PSCRSO. Tal combinação poderá, se necessário,
ajustar o tamanho da população de indivíduos, a semente aleatória e o número de gerações.
Com relação ao tamanho da população de indivíduos e o número máximo de gerações, serão
procuradas relações destas com as variáveis do conjunto A, para serem encontradas formas de
automatização, dispensando seu ajuste manual caso a caso. Com relação à semente aleatória,
serão procuradas relações com os demais parâmetros dos conjuntos C, D e E, de maneira a
não ser necessário mais do que quatro tentativas de execução para ser encontrada uma
resposta que atenda às PSCRSO.
3.2.5 Operacionalização das variáveis e critérios de redução
Há três linhas de ação que disponíveis para a condução do trabalho:
a) testes baseados na combinação de todas as possibilidades de valores para as
variáveis dos conjuntos apresentados;
b) testes baseados na escolha de determinados valores para as variáveis dos
conjuntos apresentados por critérios intuitivos; e
c) testes baseados em combinações selecionadas com critérios técnicos para os
valores das variáveis dos conjuntos apresentados.
Para operacionalizar as variáveis com base em testes através da primeira alternativa,
um exemplo simples pode fornecer uma estimativa da magnitude de tal experimento: 20
ordens de filtro, 20 perfis de filtros diversificados, 5 valores de população, 5 valores de
54
geração, 5 métodos de seleção, 3 tipos de cruzamento, 2 tipos de mutação, 4 probabilidades de
cruzamento, 4 probabilidades de mutação, 3 tipos de escalonamento de fitness, 3 possíveis
combinações de valores que parâmetros associados a tais tipos de escalonamento possam
receber, 4 sementes aleatórias, 2 representações cromossômicas e 3 funções de fitness. Sendo
executados uma só vez, seriam 20×20×5×5×5×3×2×4×4×3×3×4×2×3 = 1.036.000.000 testes.
A outra alternativa de operacionalização seria a de não haver um critério definido para
serem testadas as possibilidades. Um exemplo disto seria o projetista adotar um arquivo de
configuração de um outro problema que contivesse uma combinação de valores definidos para
os conjuntos C, D e E, adequando-o ao seu problema. Esta alternativa foi experimentada em
uma fase de testes informais e não conseguiu se manter para cinco tipos de filtros, todos com
um mesmo número de coeficientes.
Face ao exposto, restou a operacionalização das variáveis pautada em critérios que
conseguissem reduzir o total de combinações para um número realizável.
Para reduzir os métodos de seleção a serem testados, três conceitos serão apresentados.
James Edward Baker teve seu trabalho citado em Goldberg (1989) e em Chiperfield et. al.
(1994), como tendo criado três conceitos relativos aos métodos de seleção:
a) o desequilíbrio (do inglês bias), que é a diferença entre a probabilidade atual
e a esperada, com base na equação (38);
b) o espalhamento (do inglês spread), que é o número de ocorrências que
determinado indivíduo poderá ter na população intermediária resultante da
seleção; e
c) a eficiência, que está relacionada com tempo de processamento, resultante
da complexidade computacional.
Na seleção pela roleta estocástica, não há um desequilíbrio em favor de nenhuma
parte, inteira ou fracionária, porém o espalhamento para qualquer indivíduo com uma
probabilidade não-nula é ilimitado.
Na seleção pelo Resto Estocástico, há o aparecimento de um desequilíbrio em favor de
indivíduos que tenham partes fracionárias decorrentes dos cálculos da equação (38), porém
restringe o espalhamento.
E na Amostragem Estocástica Universal, não há desequilíbrio, o espalhamento é
mínimo e a complexidade computacional é menor que os métodos de seleção anteriores.
Encontra-se em Goodman (1996) uma recomendação para ser preferida a Amostragem
Estocástica Universal à Roleta Estocástica e ao Resto Estocástico.
55
Portanto, serão descartados do processo os métodos da roleta estocástica e do resto
estocástico, para ficarem somente participantes dos testes: Amostragem Estocástica Universal
e Torneio Estocástico.
A função de fitness foi mantida fixa nos padrões da equação (39). Esta escolha foi feita
a partir de comparações em testes preliminares com outras funções de fitness baseadas em
diferenças normalizadas do tipo 1 - x, onde x seja a diferença entre a resposta em freqüência
desejada e a resposta em freqüência de cada indivíduo. O formato 1/x demonstrou ser capaz
de atender a uma variedade maior de especificações.
Com relação à representação cromossômica, será adotada a binária. Através desta
representação é esperada uma maximização do número de esquemas, aumentando as chances
de surgir indivíduos com esquemas contendo um bloco constituinte da resposta. Com o
aumento do número de esquemas, é esperada uma compensação sobre o efeito destrutivo dos
cruzamentos e das mutações sobre seu número (GOLDBERG, 1989). Em Dianati, Song e
Treiber (2002), são citados quem é contra e a favor da Teoria dos Esquemas. Devido aos
contras apoiarem-se em questões envolvendo ruído e neste trabalho o conjunto A não
contemplar tal característica, a opção pela Teoria dos Esquemas será mantida. Detalhes da
codificação serão apresentados na subseção da modelagem.
Com relação aos cruzamentos, a partir de Beasley, Bull e Martin (1993), foi preferido
o cruzamento de dois pontos ao de um ponto, sem ainda a preocupação de serem perdidos os
blocos constituintes de esquemas. E o cruzamento uniforme foi também preterido em relação
ao de dois pontos, com base na mesma literatura, por ter ocorrido um relato de um
experimento com um tamanho grande de populações.
Embora seja possível encontrar em Goodman (1996) uma recomendação de uso do
operador de mutação de múltiplos campos ao invés do operador de mutação bit a bit para
problemas enganadores3, foram mantidos os dois tipos de mutação dentro da seqüência de
avaliação para serem testados. Isto foi feito, devido ao problema poder revelar indícios de
interação entre os genes.
Independentemente dos critérios, será colocado, para efeitos de comparação, o modelo
de AG canônico (DIANATI, SONG e TREIBER, 2002) a fim ser proporcionado uma noção
de qual seria seu desempenho para resolver um problema como estes.
3 Um problema enganador é aquele em que acontece o seguinte fenômeno (deception): os indivíduos gerados em uma população, embora resultantes da combinação de pais cujos blocos constituintes tenham bons valores de fitness, a sua própria fitness que deveria ser maior, é mais baixa que a deles (GOLDBERG, 1989).
56
No intuito de serem diminuídos o número de testes a serem realizados, as seguintes
considerações foram feitas:
a) manterem-se em valores fixos a probabilidade de mutação pmutation em 0,10 e a
probabilidade de cruzamento pcross em 0,85; e
b) não serem realizados testes com escalonamentos de fitness (os valores de fitness
ficarão na forma bruta) nem com crowding.
As possíveis combinações de especificações do conjunto A que possam surgir foram
representadas por um banco de filtros-teste que está apresentado na Tabela 4.
Através destes filtros são excursionadas sistematicamente faixas de transição que vão
de 0,08 até 0,05 ciclos/amostra, assim como larguras da faixa passante ou de rejeição que vão
de 0,04 até 0,01 ciclos/amostra.
Com os critérios adotados, o número de testes ficou reduzido para: 3 métodos de
seleção, 3 operadores de cruzamento, 2 operadores de mutação, 2 tipos de representação
cromossômica, 2 possibilidades de elitismo, perfazendo um total de 144 testes para uma
especificação de filtro. Logo, para os 19 tipos de filtros-teste a serem analisados, o número de
testes passa para 2736. Se os testes tiverem de ser repetidos com quatro diferentes sementes
aleatórias este valor será de 10944, o que ainda é alto.
Para reduzir este número de testes ainda alto foi feita uma divisão em três fases, que
serão detalhadas na próxima subseção:
a) a primeira fase mantém alguns parâmetros fixos e varia outros, de acordo
com seus possíveis valores apresentados na subseção 3.2.2 e reduzidos
segundo os critérios apresentados anteriormente nesta subseção;
b) a segunda fase toma os melhores resultados obtidos da fase anterior e realiza
testes invertendo o cenário para os parâmetros: quem fica fixo agora são
aqueles que melhor se classificaram na primeira fase e são alterados os
parâmetros que ficaram anteriormente fixos;
c) a terceira fase receberá resultante da primeira e segunda fases pelo menos
uma configuração de parâmetros fixados em seus melhores valores, que
atenda às PSCRSO em pelo menos quatro tentativas. Esta fase é responsável
por uma compensação: irá confrontar esta configuração com variantes da
mesma contemplando valores e técnicas que foram desconsiderados do
plano de ação principal das fases anteriores. Escalonamentos de fitness,
57
assim como outros valores para as probabilidades de mutação e de
cruzamento são exemplos de testes realizados nesta fase.
Tabela 4: Banco de filtros propostos.
No Ação fn11 fn12 A1 fn21 fn22 A2 fn31 fn32 A3 Nome1 Nome2
1 fpb 0,00 0,35 1 0,42 0,45 0 0,45 0,50 0 fpb-apresentação fpba
2 fpb 0,00 0,15 1 0,23 0,35 0 0,35 0,5 0 fpb-padrão fpb1
3 fpb 0,00 0,37 1 0,45 0,46 0 0,46 0,5 0 fpb-largo fpb2
4 fpb 0,00 0,04 1 0,12 0,20 0 0,20 0,5 0 fpb-estreito fpb3
5 fpb 0,00 0,15 1 0,19 0,30 0 0,30 0,5 0 fpb-transição fpb4
6 fpa 0,00 0,20 0 0,20 0,33 0 0,40 0,5 1 fpa-padrão fpa1
7 fpa 0,00 0,04 0 0,04 0,05 0 0,12 0,5 1 fpa-largo fpa2
8 fpa 0,00 0,35 0 0,35 0,40 0 0,47 0,5 1 fpa-estreito fpa3
9 fpa 0,00 0,20 0 0,20 0,27 0 0,30 0,5 1 fpa-transição fpa4
10 fpa 0,00 0,40 0 0,40 0,44 0 0,47 0,5 1 fpa-estreito-transição fpa5
11 fpf 0,00 0,14 0 0,20 0,30 1 0,36 0,5 0 fpf-padrão fpf1
12 fpf 0,00 0,05 0 0,11 0,39 1 0,45 0,5 0 fpf-largo fpf2
13 fpf 0,00 0,14 0 0,20 0,22 1 0,28 0,5 0 fpf-estreito fpf3
14 fpf 0,00 0,18 0 0,20 0,38 1 0,40 0,5 0 fpf-transição fpf4
15 fcf 0,00 0,20 1 0,25 0,35 0 0,40 0,5 1 fcf-padrão fcf1
16 fcf 0,00 0,05 1 0,10 0,40 0 0,45 0,5 1 fcf-largo fcf2
17 fcf 0,00 0,11 1 0,16 0,17 0 0,22 0,5 1 fcf-estreito fcf3
18 fcf 0,00 0,15 1 0,16 0,44 0 0,45 0,5 1 fcf-transição fcf4
19 fcf 0,00 0,28 1 0,29 0,30 0 0,31 0,5 1 fcf-estreito-transição fcf5
Convenções: fpb = passa-baixas, fpa = passa-altas, fpf = passa-faixa e fcf = corta-faixa.
58
3.2.6 Os testes propostos
As fases dos testes apresentadas na subseção anterior são aqui descritas em detalhes.
3.2.6.1 Primeira fase
É a etapa que visa encontrar uma configuração de parâmetros de AG que melhor
resolva o subproblema de se projetar filtros FIR para um número fixo de coeficientes.
Para tal, serão testadas as combinações dos conjuntos C e D, reduzidas de acordo com
os critérios apresentados na subseção 3.2.5. Os testes serão realizados com o banco de filtros
da Tabela 4 (que representa o conjunto A) e uma nota é associada aos resultados de cada
combinação de parâmetros AG que for testada.
O teste e sua avaliação de desempenho das configurações será conforme segue:
a) uma configuração de parâmetros de AG é proposta;
b) com esta configuração busca-se gerar cada um dos filtros do banco de filtros. O
número de filtros do banco que serão testados dependerá do seu tipo devido às suas
restrições (veja subseção 2.1.6): 19 para filtros Tipo I, 9 para filtros Tipo II, 4 para
filtros Tipo III e 10 para filtros Tipo IV;
c) o número máximo de tentativas por filtros para ser obtida pelo menos uma resposta
em freqüência que atenda às PSCRSO é 4;
d) se a combinação de parâmetros AG sob teste não conseguir em quatro tentativas
gerar uma resposta que atenda às PSCRSO, o teste é interrompido. A nota que será
atribuída a esta combinação de parâmetros AG será zero;
e) se a combinação de parâmetros AG sob teste conseguir passar por todos os filtros
gerando pelo menos uma resposta que atenda às PSCRO, concluindo o teste, uma
nota será estipulada. Esta nota dependerá de três classificações atribuídas aos
resultados de cada uma 4 das execuções: NOK para os casos em que a resposta do
filtro AG não atenda às PSCRSO, SS para os casos em que tenha atendido e uma
classificação especial, denominada OK, que corresponde a uma resposta fornecida
pelo AG que ofereça todos os seus ripples com valores inferiores aos fornecidos
pelo MPM e que também atenda à SCRSO.
59
A nota será calculada de acordo com:
102/)()(
×+
=D
SSNOksNNota (50)
Onde:
• Nota é a nota que a configuração irá receber;
• N(Oks) é a quantidade de OKs recebidos;
• N(SS) é a quantidade de SSs recebidos;
• D é o número total de testes que será 76 (19×4) para filtros Tipo I, 36 (9×4) para
filtros Tipo II, 16 (4×4) para filtros Tipo III e 40 (10×4) para filtros Tipo IV.
A planilha que atende às condições do teste principal pode ser vista na Tabela 5.
Nesta planilha são preenchidos todos os dados referentes às configurações dos
conjuntos C e D, assim como qual tipo de filtro e qual número de coeficientes (M) estão sob
avaliação. O campo das observações será destinado principalmente para o registro da fitness
máxima.
Realizados os testes com uma dada configuração de AG conforme estipulado na
Tabela 5, a próxima configuração de parâmetros AG é testada, até se chegar ao final das
possíveis configurações.
Resultantes deste teste principal, as combinações de AG que não ficarem com zero,
estarão organizadas por nota, podendo desta forma ser escolhida a melhor configuração para
prosseguir na segunda fase. Convém ressaltar que o número fixo de coeficientes, para
contemplar todos os tipos de filtros deverá pelo menos ter um número de coeficientes par e
outro ímpar (veja subseção 2.1.6).
60
Tabela 5: Planilha do teste principal.
popsize M Tipo maxgen
tempo
seleção cruzamento Mutação
fitness rc Elitismo
No Filtro 0,123 0,456 0,789 0,012 Observações
1 fpba
2 fpb1
3 fpb2
4 fpb3
5 fpb4
6 fpa1
7 fpa2
8 fpa3
9 fpa4
10 fpa5
11 fpf1
12 fpf2
13 fpf3
14 fpf4
15 fcf1
16 fcf2
17 fcf3
18 fcf4
19 fcf5
No OK No SS Nota
61
3.2.6.2 Segunda fase
A primeira fase visa estabelecer e determinar o conjunto de parâmetros AG que
conseguem resolver o subproblema de se gerar filtros FIR com tamanhos fixos de
coeficientes.
A segunda fase toma a melhor configuração da fase anterior e a faz ser confrontada
novamente com o banco de filtros, agora com valores variáveis para o número de coeficientes.
Esta variação, conforme será apresentado na subseção da modelagem, altera o espaço de
busca do problema.
Ainda na segunda fase serão testados os valores dos parâmetros a fim de se observar o
surgimento de algum padrão comportamental dos resultados que possa relacionar o número de
coeficientes com algum valor de parâmetro da configuração do AG obtida na primeira fase.
Ao final da segunda fase, a expectativa é ter-se uma configuração de parâmetros AG
estabelecida e com alguns de seus parâmetros regulados por alguma relação numérica que
dependa do número de coeficientes que o filtro deva ter.
3.2.6.3 Terceira fase
Este grupo de testes corresponderá a confrontos entre a configuração de AG obtida e
algumas configurações que foram excluídas do processo. Por exemplo, as que usariam,
escalonamentos de fitness, testes com filtros de amplitudes arbitrárias, testes com
especificações de filtros via superposição. Neste último caso, trata-se de ser testado a
propriedade de sistemas LTI (dentro do qual filtros FIR estão incluídos) apresentada na
equação (17). Através desta propriedade, por exemplo, dados três filtros específicos, a
resposta em freqüência de um filtro passa-baixas somada à de um filtro passa-altas pode ser
igual à que um filtro corta-faixa forneça diretamente.
62
3.2.7 A modelagem do AG
O primeiro passo, que corresponde a ser avaliada a necessidade de ser usado um AG
para resolver este problema, é justificada através dos trabalhos apresentados pela comunidade
científica desde 1991, conforme apresentado na seção da Revisão da Literatura. Porém, é
importante ser repetido aqui o motivo: aproximar cada vez mais a resposta em freqüência do
filtro gerado (conjuntos B e F, por exemplo) da resposta em freqüência especificada (conjunto
A).
A natureza do problema: é um problema de otimização. São passados como dados de
entrada as especificações para o AG incluindo o vetor da resposta em freqüência desejada
|Hd(f)|, para que seja encontrado um indivíduo com um conjunto de coeficientes que tenha um
vetor com uma resposta em freqüência |Hi(f)| tal, que a operação 1/(|Hi(f)|-|Hd(f)|)2 resulte em
um valor máximo. Foi, portanto, feita uma adaptação de um problema que originalmente era
de minimização para se tornar de maximização para adequá-lo à ferramenta de AG escolhida,
que foi o GALOPPS, que requer valores de fitness crescentes.
As variáveis que afetam a otimização são os coeficientes da resposta ao impulso
hAG(n) do indivíduo, pois são estes coeficientes que são aplicados na TDF da equação (8)
combinada com a equação (9). O resultado deste cálculo é o vetor |Hi(f)|, que é a resposta em
freqüência do indivíduo usada no cálculo da função de fitness a ser apresentada nesta
subseção.
A representação das variáveis que afetam a otimização consiste basicamente no vetor
hAG(n) representado em uma cadeia de bits.
Os valores extremos que cada coeficiente de hAG(n) pode receber são 0,5 e –0,5. Estes
extremos vêm da teoria de PDS ainda referente a sistemas não causais. Um filtro digital
basicamente é uma função do tipo retângulo no domínio da freqüência, a qual corresponde a
uma função sinc no tempo.
A função sinc(x) é definida como sendo:
��
��
�
=
≠=
0,1
0,)sen(
)(x
xx
xxsinc π
π (51)
63
Se um sinal, no domínio do tempo, tiver uma forma tal que:
��
��
�
≠
==
0),2(2
0,2
)(nncfsinccf
ncf
nh π
π (52)
Sua TDF será:
��
���
<<
<=
5.0,0
,1)(
fcfcff
fH (53)
Onde fc é a chamada freqüência de corte do filtro digital. A partir da equação (53) um
filtro digital do tipo passa-baixas, por exemplo, com a maior largura de banda possível será
aquele que ofereça uma fc = 0,5 ciclos/amostra. Usando este valor de fc na equação (52), é
possível ser observado que a maior amplitude do h(n) correspondente será 2×π×fc/π = 1,0.
Como o cálculo da magnitude é feito em módulo, o outro extremo também deve ser
contemplado, proporcionando a excursão de –1,0 a +1,0.
A precisão adotada para a representação de hAG(n) foi de três casas decimais. Quanto
mais casas decimais forem utilizadas, maior será o tamanho do cromossomo resultante e mais
tempo o AG levará para processar a resposta. O método a ser confrontado utiliza 15 casas
decimais. Quanto menos casas decimais forem utilizadas, maior será a diferença obtida entre
os resultados se fossem feitos com 15 casas decimais. Através de ensaios preliminares com
um número de casas variáveis, chegou-se a resultados apresentados nas Figuras 16 e 17.
Figura 16: Distorções causadas por arredondamentos nos coeficientes de filtros.
64
Observou-se que os resultados com 1 e 2 casas decimais deformam a resposta em
freqüência quando comparados com 15 casas decimais, com pode ser visto na Figura 16.
Figura 17: Diferença entre H(f)|3 casas e H(f) |15 casas.
Resultados a partir de três casas decimais apresentaram um formato idêntico, somente
variando a precisão do erro. Na Figura 17, a excursão do erro para três casas decimais é da
ordem de 10-3. Um gráfico análogo para quatro casas decimais, por exemplo, pode ser obtido,
porém com uma excursão da ordem de 10-4.
Porém, esta é uma característica que foi observada somente para os filtros FIR. Para
filtros IIR, os pólos e zeros mudam de posição drasticamente e este critério não pode ser
aplicado.
De posse da precisão prc valendo 1×10-3 e dos valores máximo Valmáx = +1,0 e
mínimo Valmín = -1,0, é possível ser determinado através da equação (37), o tamanho do gene
l´ que é necessário para representar somente um coeficiente: 11 bits.
Para ser obtido o tamanho l total do cromossomo que será usado no AG, uma variável
L2 será definida:
���
���
�
+=
ímparMM
parMM
L,
21
,2
2 (54)
Onde:
• L2 é uma variável auxiliar usada na obtenção do tamanho total do cromossomo;
65
• M é o número de coeficientes especificados para o filtro.
Uma vez determinado o valor de L2, o tamanho total do cromossomo poderá ser obtido
a partir de:
l = l´ × L2 (55)
Onde:
• l é o tamanho final do cromossomo em bits;
• L2 é obtido a partir da equação (54);
• l´ ficou fixo neste trabalho em 11 bits devido à precisão escolhida e aos valores
máximo e mínimo que hAG(n) poderá receber.
Foi utilizado o L2 devido às propriedades de simetria apresentadas nas equações (24) e
(25). Portanto, o AG só precisa determinar metade dos coeficientes, pois os demais são
obtidos pela simples repetição simétrica para os tipos I e II e repetição simétrica com troca de
sinal para os tipos III e IV. Com isto o espaço de busca é reduzido à metade. O cromossomo
que será utilizado pelo AG será então uma cadeia de l bits que representam, a cada onze deles,
um coeficiente de hAG(n).
O espaço de busca pode ser determinado a partir da equação (55):
lS 2= (56)
Onde:
• S é o espaço de busca; e
• l é obtido a partir da equação (55).
Com base em (56), é constatado que a cada acréscimo de L2, o espaço de busca é
multiplicado por 2048. São possíveis espaços de busca que vão de, por exemplo, 4.194×106
para M=4, a 2.658×1036 para M=21. Portanto, o método contempla um espaço de busca
variável.
66
O mapeamento genótipo-fenótipo ficou:
a) fenótipo variando entre –1,0 a +1,0 em passos de 1×10-3, gerando 2000 números;
b) quanto ao genótipo, é adotado o seguinte procedimento:
a. é tomado um gene do cromossomo, 11 bits. Destes 11 bits vem uma
decodificação de um número que vai de zero a 2047 (211);
b. tal número decodificado recebe uma subtração de 1024, passando a
representar um número entre –1024 a +1023;
c. este número é em seguida dividido por 1024, o que irá gerar números entre
–1,0 e +1,0 com uma resolução de 0,977×10-3;
d. a decodificação prossegue para os demais genes até a conclusão do
cromossomo.
Ao final, metade dos coeficientes de um filtro hAG(n) terá sido obtida. A outra metade
virá das propriedades de simetria proporcionada pelas equações (24) e (25).
Duas representações cromossômicas foram utilizadas para ser determinada qual a que
oferecia melhores resultados: binário posicional e binário em Gray Refletido.
Será empregada a seguinte função-objetivo, a chamada MSE (Mean Square Error):
�−
= ����
−
=1
0 2)()(
1N
iifiHifdH
fobj (57)
Onde:
• N é número de pontos do vetor resposta em freqüência;
• fobj é a função-objetivo;
• |Hd(f)| é o módulo da resposta em freqüência desejada; e
• |Hi(f)| é o módulo da resposta em freqüência do indivíduo que esteja sendo avaliado;
Esta função se baseia no erro quadrático para indicar quão próximo um indivíduo está
do perfil de resposta em freqüência que se procura. Em Öner (1998), por exemplo, foi
empregada uma função parecida com esta, porém não era elevada ao quadrado. Em Karabo�a
e Çetinkaya (2003) são empregadas duas funções de fitness: uma para a faixa de transição e
outra para as faixas passante e de rejeição.
A função de fitness: o GALOPPS é uma ferramenta que aceita valores de fitness
brutos, isto é, não normalizados entre 0,0 e 1,0. Da mesma forma, esta ferramenta também
67
provê técnicas de escalonamento de fitness brutas. Por este motivo, a função de fintess
empregada no teste principal foi diretamente a função-objetivo.
Foram deixadas para a terceira fase duas verificações:
a) uma tentativa de normalização da função de fitness para que os valores
recaiam sempre dentro de uma faixa entre 0,0 e 1,0; e
b) testes com escalonamentos da fitness bruta.
O mecanismo que será empregado na tentativa de normalização nos testes posteriores
será baseado no que o MPM fornece para cada especificação. Isto é possível devido ao
código-fonte do MPM ter sido adaptado para a linguagem C e também ter sido
disponibilizado à comunidade científica (JANOVETZ, 1998). Isto também foi possível
devido a existirem centenas de códigos na linguagem C gratuitos que calculam a resposta em
freqüência de um dado vetor através da TRF, sendo um deles a versão de Nielsen (2000). A
partir destes dois códigos:
a) é obtido o filtro de Remez para o caso da especificação que foi colocada;
b) de posse deste filtro, é obtida a TRF do mesmo;
c) com o valor da resposta em freqüência de Remez, |Hr(f)|, é utilizada a equação
(57) para ser obtido o valor de MSE que o filtro de Remez oferece para o caso
específico que foi calculado;
d) Este número que representa o erro quadrático de Remez, ER será um parâmetro que
servirá para normalizar a função de fitness.
Com base no exposto, a função de fitness que será utilizada em um dos testes
pertencentes à terceira fase será:
REfobj
fitness = (58)
Onde:
• fitness é a função de fitness; e
• ER é o erro quadrático do MPM obtido através da substituição da sua resposta em
freqüência |HR(f)| no lugar de |Hi(f)| na equação (57).
Para a modelagem proposta para o AG principal foi feita a opção por não serem
empregadas penalidades.
68
3.2.8 Limitações
Embora o experimento esteja preparado para resolver casos de filtros com amplitudes
arbitrárias, como pode ser observado pelo banco de filtros da Tabela 4 proposto para o teste
principal, estão sendo investigados em detalhe somente os filtros com amplitudes fixas em 0,0
ou 1,0.
Foi mantido fixo em 512, para este estudo, o número de pontos coletados, N. O
código-fonte desenvolvido, no entanto, tem este valor sob a forma de constante de pré-
processador, podendo ser alterada. Como a equação (57) é sensível ao número de pontos, isto
significa que os resultados podem ser alterados para casos diferentes deste valor.
Não foi equacionado no conjunto de variáveis independentes o desempenho do
software, isto é, face ao caráter exploratório o que foi priorizado a ser descoberto foi um
método que conduza a um software que consiga suportar um número máximo de
especificações que não requeira interação com o usuário.
A proposta do experimento apóia-se também em uma hipótese secundária que defende
a idéia da equação (31) não precisar ser obedecida obrigatoriamente para ser atingida a
qualidade especificada pelos ripples e largura da faixa de transição que lhe serviram de
argumentos. Certamente, se o MPM for executado com um número de coeficientes
recomendado pela equação (31), sua qualidade será praticamente imbatível. A motivação de
serem investigados valores de M abaixo da recomendação da equação (31), vem do fato de
que, quanto maior o número de coeficientes, maior será o atraso para o filtro processar um
sinal. Logo, soluções que forneçam valores de M abaixo do recomendado e que mantenham
uma qualidade, são úteis. E é esta a grande região de operação onde é esperada a contribuição
do AG.
A interface do software proposto e sua forma de trabalho são mais apropriadas a fins
de depuração do que de uso final.
O limite mínimo de intervalo de freqüências estudado ficou em 0,01 ciclos por
amostra.
69
3.2.9 Os softwares
São três softwares que são executados em WINDOWS, todos com interfaces gráficas.
3.2.9.1 O software Especificador
O software Especificador apresentado na subseção 3.2.1 segue um conjunto de ações
que está representado no fluxograma da Figura 18.
Figura 18: Fluxograma do software Especificador.
O fluxograma da Figura 18 faz referência a duas rotinas cujos fluxogramas estão nas
Figuras 19 e 20.
Das figuras 18, 19 e 20:
a) a leitura dos dados do conjunto A consiste na aquisição simples (via teclado)
da especificação da respost em freqüência desejada e demais parâmetros do
conjunto A apresentado na subseção 3.2.2, que o filtro FIR a ser gerado pelo
AG deve buscar aproximar-se;
início
Botão Gera Arquivos Selecionado? Rotina Gera Arquivos
Botão Calcula M
Selecionado?
S
N
Rotina Calcula M S
Botão Fim
Selecionado?
N
N
fim
S
70
Figura 19: Fluxograma da rotina de geração de arquivos.
Figura 20: Fluxograma da rotina do cálculo do M (recomendado).
b) o teste das consistências é a verificação se a especificação solicitada condiz
com as restrições relativas aos tipos de filtros apresentada na subseção 2.1.6;
c) a geração da resposta em freqüência ideal desejada |Hd(f)| consiste
basicamente na geração de um vetor com N (fixado em 512) pontos unindo
as faixas 1, 2 e 3 através de segmentos de retas;
d) para fins comparativos (no AG e no software RespFreq), é gerada uma
resposta em freqüência |HR(f)|, que é a resposta do MPM. Para tal, foi
utilizado um código pronto (JANOVETZ, 1998) que fornece este vetor a
partir das especificações (conjunto A) recebidas;
e) dados e especificações auxiliares gerados são as demais informações a
serem coletadas pelo AG para processamentos adicionais, por exemplo, o ER
da equação (58);
f) a resposta em freqüência ideal, os dados auxiliares e a resposta em
freqüência do MPM são, respectivamente, salvos nos arquivos f_ref.txt
e specs.txt e remez.txt.
g) caso seja solicitado, o número de coeficientes recomendado Mrec, pode
também ser calculado. Isto é feito através da rotina apresentada na Figura
Ler dados conjunto A
Início
Gera |Hd(f)|, |HR(f)| e especificações
Fim
Ler δ1, δ2 e dados do conjunto A
Início
Calcula Mrec: equação (31)
Fim
71
20, que contém a equação (31) apresentada na subseção 2.1.8, usando como
argumentos a diferença entre as faixas passante e de rejeição (que pode ser
obtida a partir das especificações recebidas) e de dois valores de ripples, δ1 e
δ2, que sejam informados.
A implementação do software Especificador foi em BORLAND C++ BUILDER
(BORLAND, 2000) e sua interface está apresentada na Figura 21:
Figura 21: Interface do software Especificador.
3.2.9.2 O software AG
Um software para AG que possibilite implementar o método proposto deve conter o
que o fluxograma da Figura 13 apresenta, acrescido de uma série de variações, recursos e
conceitos atualizados sobre AGs. Entre tais recursos, são indispensáveis:
a) ler arquivos de entrada (antes da execução);
b) gerar informações via arquivo entre cada geração e no final da execução;
c) receber as diversas combinações propostas pelos conjuntos C, D e E; e
d) informar dados estatísticos sobre o andamento dos resultados a cada geração.
A implementação deste software foi feita com o GALOPPS (MSU GARAGE, 2002).
A versão disponível para distribuição é para ser executada no modo Dos/Console. Esta foi a
72
versão utilizada na fase de desenvolvimento. Porém para a versão final, foi empregada uma
versão do GALOPPS adaptada para o WINDOWS, com uma interface gráfica. Esta adaptação
foi feita por Geraldo Correia e Edson Bobel disponível no link de Recursos da Disciplina de
CE da página do Prof. Dr. Heitor Silvério Lopes4.
Uma das telas de interface desta versão pode ser vista na Figura 22.
Figura 22: Interface do software AG.
O GALOPPS é uma ferramenta de apoio ao desenvolvimento de AGs, gratuita, com o
seu código-fonte em aberto e escrito na linguagem C. Esta ferramenta permite ao
programador concentrar-se em desenvolver as seguintes ações:
a) decodificar o cromossomo de bits (podendo ainda ser outro alfabeto) para seus
valores numéricos correspondentes; e
b) calcular a função de fitness, que é chamada de fitness bruta.
Estas duas ações são feitas para cada indivíduo da população sendo processada a cada
geração. Isto é feito em uma função chamada objfunc(), que fica dentro de um arquivo
cujo nome original de distribuição é appxxxxx.c, mas que pode ser alterado.
O restante das ações, determinação do tamanho da população, do número máximo de
gerações a serem processadas, qual operação de cruzamento, qual operação de mutação, qual
4 http://bioserver.cpgei.cefetpr.br/disciplinas/ce
73
método de seleção, quais mecanismos para que a fitness receba escalonamentos, entre
diversos outros recursos, são fornecidos e com várias opções a escolher. Basta selecionar o
que se quer e utilizar dentro de arquivos que vêm com as opções de escolha. Estas opções
estão em dois arquivos, que são o MAKEFILE e outro cujo nome original de distribuição é
appone.in. Caso não se queira trabalhar com este segundo arquivo, é possível serem
passados os para AG em modo interativo.
A decodificação do cromossomo de bits para o h(n) correspondente foi realizada
através de uma função também pronta e fornecida pelo GALOPPS, a ithruj2int, que foi
parametrizada para fornecer, a cada 11 bits, um número inteiro, de zero a 2048, que será um
coeficiente de h(n), de acordo com a seqüência de mapeamento genótipo-fenótipo apresentada
na subseção 3.2.7 (modelagem).
Para os casos em que está configurada a representação em binário Gray, é preciso
aplicar-se uma lógica XOR ao inteiro convertido pela função citada no parágrafo anterior.
Esta lógica é realizada com dois operadores da linguagem C: ^ e >> (PRESS, 2002).
A função de fitness, apresentada na equação (57), é calculada para cada indivíduo,
decodificado em um h(n) correspondente, a cada geração que vai sendo executada.
Se a equação (8) da TDF fosse aplicada como está, o tempo de processamento iria
ultrapassar 8 horas no computador apresentado na subseção 3.1.1 para um filtro com somente
19 coeficientes. Para resolver este problema, foi utilizado em seu lugar um algoritmo que
calcula a TRF (NIELSEN, 2000) no lugar da TDF.
3.2.9.3 O software RespFreq
O software RespFreq contém um algoritmo que está representado através do
fluxograma da Figura 23. Nesta figura, são chamadas rotinas cujos fluxogramas estão
apresentados nas figuras 24, 25 e 26.
O software funciona de acordo com o botão que for selecionado, podendo apresentar
resultados durante a execução ou após o seu término.
O botão responsável por executar tarefas durante o momento em que o software AG
esteja sendo executado é o Captura, que faz aparecer na tela, a cada geração, o melhor
indivíduo até o momento encontrado pelo AG.
74
Os demais botões são destinados a apresentarem a resposta em freqüência do melhor
indivíduo encontrado, comparando sua qualidade com a obtida pelo MPM.
Figura 23: Fluxograma do software RespFreq.
Figura 24: Fluxograma da rotina Captura.
início
Botão Captura
Selecionado? Rotina Captura
Botão Resposta
Selecionado?
S
N
Rotina Resposta S
Botão Resposta dB Selecionado?
N
N
fim
N Botão Fim
Selecionado?
S Rotina Resposta dB
S
início
Fim De
Arquivo?
Ler arquivos MPM e Ideal
N
fim
Apresenta em tela |Hd(f)|, |HR(f)| e |HAG(f)|int
S
Carregar vetores |Hd(f)| e |HR(f)|
Ler arquivo AG intermediário
Carregar vetor |HAG(f)|int
75
Figura 25: Fluxograma da rotina Resposta.
Figura 26: Fluxograma da rotina Resposta dB.
Das figuras 23 à 26:
a) ao ser selecionado o botão Captura, são lidos os arquivos contendo a
resposta em freqüência do MPM e a resposta em freqüência do filtro ideal
gerados pelo software Especificador;
b) os conteúdos de tais arquivos são transferidos para seus respectivos vetores,
|HR(f)| e |Hd(f)|;
c) em seguida é aberto o arquivo de resposta em freqüência intermediária que é
gerado pelo software AG e é constantemente por ele atualizado;
d) é carregado um vetor de resposta em freqüência intermediária, |HAG(f)|int,
com a i-ésima linha deste arquivo;
e) são apresentados em tela os três vetores obtidos nos itens b) e d);
f) é novamente carregado o vetor |HAG(f)|int com o próximo conjunto de
resposta em freqüência intermediária do arquivo citado no item c);
início
Ler arquivos
fim
Carregar vetores |Hd(f)| , |HR(f)| e |HAG(f)|
Apresentar em tela |Hd(f)| , |HR(f)| e |HAG(f)|
início
Ler arquivos
fim
Carregar vetores |Hd(f)| , |HR(f)| e |HAG(f)|
Apresentar em tela |Hd(f)| , |HR(f)| e |HAG(f)|int
Calcula vetores |Hd(f)|dB , |HR(f)|dB e |HAG(f)|dB
76
g) repete-se a etapa citada no item e);
h) repetem-se as etapas f) e g) até que seja encontrado o final do arquivo de
resposta em freqüência intermediária;
i) quando isto ocorrer, a rotina Captura é encerrada;
j) ao ser selecionado o botão Resposta, são lidos os arquivos citados no item a)
e também é lido o arquivo com a resposta em freqüência do melhor
indivíduo;
k) os conteúdos de tais arquivos são transferidos para seus respectivos vetores,
|HR(f)|, |Hd(f)| e |HAG(f)|;
l) são apresentados em tela os vetores obtidos na etapa anterior;
m) ao ser selecionado o botão Resposta dB, são processadas de forma
semelhante às etapas j) k);
n) são obtidos os vetores em decibéis através da relação |H(f)|dB = 20 ×
log(|H(f)|); e
o) são apresentados em tela os vetores obtidos na etapa anterior.
A implementação do software RespFreq foi também feita em Borland C++
(BORLAND, 2000) e sua interface pode ser vista na Figura 27. Nesta figura |Hd(f)| está em
azul, |HR(f)| está em vermelho e |HAG(f)| em preto.
Figura 27: Interface do software RespFreq.
77
CAPÍTULO 4
RESULTADOS
Serão apresentadas neste capítulo amostras representativas dos testes realizados. As
siglas que referenciam os filtros correspondem aos seus respectivos nomes na Tabela 4 do
Banco de Filtros.
4.1 PRIMEIRA FASE
É o conjunto de testes que foram propostos na subseção 3.2.6.1.
4.1.1 Configurações utilizadas
O conjunto A ficou disposto conforme segue:
a) fn11, fn12, fn21, fn22, fn31, fn32, A1, A2 e A3 variando seus valores de acordo com as
especificações do banco de filtros apresentado na Tabela 4;
b) Tipos = I, II, III e IV;
c) M = 15 para os tipos I e III e M=16 para os tipos III e IV. Estes números de
coeficientes fornecem, de acordo com a equação (54), um L2=8, o que levado à
equação (55) fornece um comprimento do cromossomo l de 88 bits, que por sua
vez, se levado à equação (56), fornece um espaço de busca S de aproximadamente
3,095×1026.
O conjunto C ficou disposto conforme segue:
a) seleção, cruzamento, mutação e rc variando seus valores de acordo com a
subseção 3.2.2;
b) função de fitness = equação (57);
78
O conjunto D ficou disposto conforme segue:
a) elitismo = sim/não;
b) pcross = 0,85; pmutation = 0,10 (conforme critérios de redução apresentados na
subseção 3.2.5);
c) maxgen = 500, 750 e 1000;
d) popsize = 160;
e) semente = valores aleatórios entre 0,000 e 0,999;
O conjunto E ficou com seu parâmetro de seleção par_sel = 4 quando o método tselect
for selecionado e par_scal = vazio (sem escalonamento, conforme critérios de redução
apresentados na subseção 3.2.5).
4.1.2 Resumo dos resultados
A Tabela 6 resume algumas notas obtidas por configurações do AG variando-se os
possíveis valores dos conjuntos C, D e E conforme apresentado nesta subseção.
Tabela 6: Notas para a primeira fase.
No Tipo seleção maxgen cruzamento mutação rc elitismo tAG Nota
1 I rselect 500 oneptx bitmutat BinPos não 11s 0,00
2 I suselect 500 twoptx bitmutat BinGray sim 11s 5,00
3 II suselect 500 twoptx bitmutat BinGray sim 11s 0,00
4 II suselect 750 twoptx bitmutat BinGray sim 17s 0,00
5 II suselect 1000 twoptx bitmutat BinGray sim 24s 5,00
6 III suselect 500 twoptx bitmutat BinGray sim 11s 7,81
7 IV suselect 500 twoptx bitmutat BinGray sim 11s 5,42
8 I suselect 500 Twoptx bitmutat BinGray não 24s 0,00
9 I tselect/4 500 Twoptx multimut BinPos sim 11s 0,00
10 I tselect/4 500 Twoptx bitmutat BinGray sim 11s 0,00
11 I tselect/4 500 Twoptx multimut BinGray sim 11s 0,00
79
Cada um dos registros da Tabela 6 corresponde a uma planilha preenchida de acordo
com a Tabela 5. A Tabela 7 apresenta as avaliações feitas para a geração do registro No 4 da
Tabela 6.
Tabela 7: Planilha do teste principal preenchida.
popsize 750 M 16 Tipo II maxgen 750
tempo 17 s
seleção suselect cruzamento twoptx Mutação bitmutat
fitness MSE rc BinGray Elitismo Sim
No Filtro 0.123 0.456 0.789 0.012 Observações
1 fpba NOK SS NOK NOK
2 fpb1 NOK NOK NOK OK
3 fpb2 NOK NOK NOK NOK fpb que causou a nota zero
4 fpb3 NOK SS SS SS
5 fpb4 OK OK NOK NOK
6 fpa1 NA NA NA NA NA = Não Aplicável
7 fpa2 NA NA NA NA Não aplicável por ser filtro Tipo II
8 fpa3 NA NA NA NA (veja subseções 2.1.6 e 3.2.6.1)
9 fpa4 NA NA NA NA
10 fpa5 NA NA NA NA
11 fpf1 OK OK OK SS
12 fpf2 NOK SS NOK OK
13 fpf3 OK OK OK OK
14 fpf4 NOK OK NOK OK
15 fcf1 NA NA NA NA
16 fcf2 NA NA NA NA
17 fcf3 NA NA NA NA
18 fcf4 NA NA NA NA
19 fcf5 NA NA NA NA
No OK 13 No SS 7 Nota Zero
80
4.1.3 Exemplos de resultados NOK, SS e OK
Serão apresentados nesta subseção três exemplos de resultados de resposta em
freqüência para ser feita a demonstração dos qualificadores NOK e SS apresentados nas
subseções 3.2.3 e 3.2.6.1.
A Figura 28 apresenta um exemplo de resultado NOK por não ter atendido à PCRSO.
Trata-se do resultado gerado para o filtro fpb1 (do Banco de Filtros – Tabela 4), com semente
0,789 durante os testes correspondentes ao registro No 2 da Tabela 6.
A Figura 29 apresenta um exemplo de resultado NOK por não ter atendido à SCRSO.
Trata-se do resultado gerado para o filtro fpb3, com semente 0,123 durante os testes
correspondentes ao registro No 7 da Tabela 6.
A Figura 30 refere-se ao mesmo registro do parágrafo anterior, porém com uma
semente 0,456 gerando um resultado que atendeu às PSCRSO, sendo um exemplo de
resultado SS. Devido ao filtro AG ter apresentado um valor de ripple superior ao oferecido
pelo filtro MPM (próximo a 0,05 ciclos/amostra), este exemplo não chega a ser um resultado
do tipo OK.
As Figuras 31 e 32 apresentam um exemplo de resultado OK por ter atendido às
PSCRSO e também ter apresentado todos os ripples menores do que os ripples do MPM.
Trata-se do resultado gerado para o filtro fpb1, com semente 0,012 durante os testes
correspondentes ao registro No 2 da Tabela 7.
81
Figura 28: Primeiro exemplo de um resultado NOK.
Figura 29: Segundo exemplo de resultado NOK.
Figura 30: Exemplo de resultado SS.
> 5
> 0.05
82
Figura 31: Um exemplo de resultado OK.
Figura 32: Resposta da Figura 31 em decibéis.
83
4.2 SEGUNDA FASE
São os testes que foram propostos na subseção 3.2.6.2. Para que tais testes fossem
realizados, deveria restar pelo menos uma configuração de parâmetros AG definida pelos
conjuntos C, D e E, que conseguisse passar pela primeira fase, isto é, obtivesse uma nota
diferente de zero. A configuração que restou foi a seguinte:
Conjunto C:
a) seleção = suselect, cruzamento = twoptx, mutação = bitmutat e rc = BinGray;
b) função de fitness = equação (57);
Conjunto D:
a) elitismo = sim;
b) pcross = 0,85; pmut = 0,10;
c) maxgen = 500, 750 e 1000;
d) popsize = 160;
e) semente = valores aleatórios entre 0,000 e 0,999;
O conjunto E ficou com seu parâmetro de seleção par_sel = vazio (sem parâmetros
para o método de seleção) e par_scal = vazio (sem escalonamento, conforme critérios de
redução apresentados na subseção 3.2.5).
Portanto, todos os testes realizados nesta fase foram feitos com configurações de
parâmetros AG dispostos conforme apresentado nesta subseção.
Como esta fase visa resolver casos com um número variável de coeficientes do filtro,
o espaço de busca irá também será variável da mesma forma, de acordo com a equação (56).
Com esta variação, os parâmetros que foram escolhidos da configuração restante para
receberem ajustes são: o número máximo de gerações, maxgen, e o tamanho da população,
popsize.
4.2.1 Resumo dos resultados
A Tabela 8 resume algumas notas obtidas pela configuração que foi classificada na
primeira fase.
84
Tabela 8: Notas para a os testes da segunda fase.
No popsize maxgen Tipo M S tAG(s) Nota
1 44 500 I 13 151,1×1021 4 0.00
2 50 500 I 13 151,1×1021 4 5.46
3 480 500 II 18 633,8×1027 29 3.06
4 608 500 I 17 633,8×1027 36 4.54
5 608 500 II 18 633,8×1027 36 3.75
6 2310 1500 II 20 1,298×1033 410 4.86
4.2.2 A influência dos parâmetros sobre os resultados
As figuras 33 e 34 correspondem a testes que antecederam a um dos testes que
forneceram dados para o registro No 6 da Tabela 8, isto é, com as mesmas especificações. Tais
testes foram feitos com um valor de maxgen abaixo do utilizado no referido registro.
A Figura 35 corresponde ao resultado de um dos testes obtidos para a formação do
registro No 6 da Tabela 8.
Testes preliminares também foram feitos com valores de popsize abaixo do que foi
utilizado durante os testes para a formação do registro No 8 da Tabela 8. Todos receberam
nota zero.
Figura 33: Resposta NOK com maxgen = 500.
85
Figura 34: Resposta SS com maxgen = 750.
Figura 35: Resposta OK com maxgen = 1500.
86
4.2.3 Resultado relevante de possível aplicação do AG
Durante a realização dos testes da segunda fase, um tipo de resultado se destacou por
sua característica: o AG conseguiu fornecer respostas para determinados tipos de
especificações em que MPM não conseguiu.
A Figura 36 apresenta um filtro passa-faixa estreito, o fpf3, em uma configuração com
M=18, maxgen = 1500, popsize = 200, semente = 0,123 e tAG = 24 s, que o MPM não
conseguiu fornecer uma solução. Por este motivo não é possível ser visualizada a curva em
azul na figura.
Figura 36: Filtro passa-faixa estreito que o MPM não conseguiu gerar.
4.3 TERCEIRA FASE
São os testes que foram propostos na subseção 3.2.6.3. A configuração que serviu de
base para os teste foi a mesma da segunda fase com os respectivos ajustes de tamanho de
população e número máximo de gerações. Esta configuração será chamada de configuração
básica nos testes que serão realizados.
87
4.3.1 Teste da superposição
Este teste verifica a capacidade do AG em atender ao princípio da superposição devido
a filtros FIR serem sistemas do tipo LTI, conforme apresentado na subseção 2.1.3.
Uma interpretação do teorema da superposição para filtros pode ser a que se segue:
a) considerar um filtro do tipo passa-baixas, h1(n), com uma resposta em freqüência
|H1(f)|;
b) considerar um filtro do tipo passa-altas, h2(n), com uma resposta em freqüência
|H2(f)|;
c) considerar um filtro do tipo corta-faixa, h(n), com uma resposta em freqüência
|H(f)|;
d) se |H(f)| = |H1(f)| + |H2(f)|, então h(n) = h1(n)+ h2(n).
Portanto, este teste irá fazer com que o AG forneça os vetores h1(n) e h2(n). Em
seguida tais vetores serão somados e será obtida a TDF do vetor-soma. Este resultado deverá
corresponder a um filtro corta-faixa cujas especificações sejam a união das especificações dos
dois filtros que o originaram. Foram empregados nos testes filtros Tipo I com M=19
coeficientes. A configuração do AG utilizada, conjuntos C, D e E, foi a adotada na segunda
fase com maxgen = 500 e popsize = 2132.
As especificações, conjunto A, do filtro que deverá originar o h1(n) são: a) fn11 = 0,0;
fn12 = 0,1; A1 = 0,8; b) fn21 = 0,2; fn22 = 0,3; A2 = 0,0; e c) fn31 = 0,4; fn32 = 0,5; A3 = 0,0. E
as especificações, conjunto A, do filtro que deverá originar o h2(n) são: a) fn11 = 0,0; fn12 =
0,1; A1 = 0,0; b) fn21 = 0,2; fn22 = 0,3; A2 = 0,0; e c) fn31 = 0,4; fn32 = 0,5; A3 = 0,3. Observar
que estas especificações podem ser unidas em uma especificação de um filtro corta-faixa.
As figuras 37 e 38 apresentam, respectivamente as respostas |H1(f)| e |H2(f)| que o AG
forneceu. A Figura 39 apresenta a TDF, obtida via MATLAB, de |H(f)|.
88
Figura 37: |H1(f)| do teste da subseção 4.3.1.
Figura 38: |H2(f)| do teste da subseção 4.3.1.
Figura 39: |H(f)| do teste da subseção 4.3.1.
89
4.3.2 Teste da normalização da fitness
Este teste substitui a função de fitness da equação (57), na configuração básica, pela
equação (58), com o objetivo de normalizar os resultados entre 0,0 e 1,0. Isto foi idealizado
tendo-se levado em consideração a suposição de que o erro quadrático fornecido pelo MPM
fosse sempre menor do que o fornecido pelo AG.
Foram realizados alguns testes e o que se observou foi que, para alguns deles, o erro
quadrático médio do AG foi menor do que o do MPM. Isto fêz com que o valor da função de
fitness continuasse apresentando valores superiores a 1,0. Um exemplo deste tipo de resultado
foi a repetição do teste correspondente à obtenção do filtro fpf3, com semente 0,789, dentro
dos testes realizados para formar o registro No 8 da Tabela 8, porém com a equação (58) ao
invés da (57).
4.3.3 Evolução das curvas de fitness
Esta subseção apresenta o perfil típico das curvas de fitness quando o AG encontra
soluções OK ou SS.
As figuras 40, 41 e 42 referem-se ao resultado OK obtido para o filtro fpba (do Banco
de Filtros – Tabela 4), com semente 0,123 durante os testes que geraram o registro No 2 da
Tabela 6.
A Figura 40 é a evolução dos valores de fitness máximos, médios e mínimos.
A Figura 41 apresenta o número de indivíduos com fitness acima da média a cada
geração.
E a Figura 42, apresenta os valores de fitness para cada um dos 160 indivíduos da
população final em ordem decrescente.
90
Figura 40: Curvas de fitness para um resultado do registro 2 da Tabela 6.
Figura 41: Número de indivíduos com fitness acima da média por geração.
Figura 42: Fitness dos indivíduos da última população.
91
4.3.4 Teste do escalonamento de fitness
Estes testes visam aplicar mecanismos de escalonamentos sobre a fitness bruta
calculada pelo AG através da equação (57).
O primeiro teste foi aplicando à configuração básica um escalonamento da fitness do
tipo linear. A relação escolhida foi fitness máxima / fitness média = 1,6. O filtro escolhido
para os testes foi o fpba do Banco de Filtros (Tabela 4), Tipo = I, M = 15, maxgen = 500,
popsize = 160, com a configuração básica alterada para o escalonamento de fitness linear
proposto. O melhor resultado foi ainda um filtro NOK apresentado na Figura 43 e com um
desempenho de fitness apresentado na Figura 44.
Figura 43: Filtro NOK obtido via escalonamento de fitness linear.
Figura 44: Curvas de fitness com escalonamento linear.
92
Como o teste não passou das quatro tentativas (foram feitas em média mais que quatro
tentativas) no primeiro filtro, que é o fpba, a nota da configuração sob teste foi 0,0. Mesmo
com este resultado, buscou-se dar continuidade ao teste, primeiramente com outros filtros do
Banco de Filtros, além do fpba e em seguida com outras relações como 1,5 e 1,2. A nota
permaneceu em 0,0.
Testes adicionais foram também feitos com escalonamento de fitness por janela e
escalonamento através da constante β de Boltzmann com e sem controle automático de
população (GOODMAN, 1996). Todas receberam 0,0 para o mesmo perfil de teste realizado
com o escalonamento de fitness linear.
4.3.5 Teste da ordem do filtro
O objetivo deste teste é o de se verificar se o AG pode fornecer resultados
equivalentes aos apresentados pelo MPM através de um número de coeficientes menor.
A Figura 45 apresenta um caso destes: trata-se do filtro fcf4 do Banco de Filtros
(Tabela 4), em configuração básica, Tipo = I, M = 15, maxgen = 1000, popsize = 160.
Figura 45: Filtro em OK confrontado com MPM equivalente.
Para o resultado obtido na Figura 45, foram medidos os ripples da resposta em
freqüência fornecida pelo AG. Tais ripples, juntamente com as especificações do filtro fcf4
(faixas 1, 2 e 3, inicial, final e amplitude) constantes na Tabela 4, foram inseridas na equação
(31). O valor recomendado para o número de coeficientes foi de 80, isto é, o MPM, para
93
atender a tais especificações, que o AG atendeu com 15 coeficientes, necessitou de 80 para
fazer a mesma filtragem.
A Figura 46 apresenta o filtro MPM com M = 80 e o filtro AG com M = 15, obtido no
teste da Figura 45.
Figura 46: Filtro via MPM com mesmos ripples que o filtro AG.
4.3.6 Teste com filtros de amplitudes arbitrárias
Foram realizados testes com filtros cujas especificações envolviam amplitudes
arbitrárias, isto é, com valores de amplitudes diferentes de 0,0 e 1,0. O filtro corta-faixa
resultante do teste da superposição apresentado na subseção 4.3.1, é um exemplo de filtro cuja
resposta em freqüência pôde ser obtida diretamente, porém com outros valores para maxgen,
popsize e número máximo de tentativas. A resposta em freqüência obtida pelo processo direto
é exatamente a mesma que foi obtida na Figura 39.
4.3.7 Teste com outras probabilidades de mutação
Foram realizados testes com a configuração básica recebendo diferentes valores para a
probabilidade de mutação, além do valor que foi fixado para as fases 1 e 2, que foi de 10%.
Foi escolhido um deles como um dos principais representantes do efeito causado sobre
os resultados que o AG forneceu: pmutation = 0,01, isto é de 1%.
94
O principal impacto foi sobre o desempenho das curvas de fitness. Foram repetidos os
testes análogos aos obtidos no registro No 2 da Tabela 6, porém com esta probabilidade de
mutação alterada. Um dos resultados está apresentado na Figura 47.
Figura 47: Desempenho de fitness com pmutation = 0,01.
O valor máximo de 1,00 para a fitness máxima é mera coincidência nada tendo a ver
com algum processo de normalização.
Os resultados do teste para esta probabilidade de mutação e outros próximos a estes
valores, 1 a 5%, geraram uma nota final zero, por terem falhado em fornecerem resultados
que atendessem às PSCRSO em quatro tentativas.
95
4.3.8 Resultado relevante de provável máximo local
Vários resultados NOK foram obtidos com um perfil assemelhado ao da Figura 48.
Porém, em tais testes, indivíduos com valores de fitness inferiores pertencentes a gerações
intermediárias, apresentaram respostas assemelhadas às da Figura 49.
Figura 48: Uma solução do tipo NOK.
Figura 49: Melhor indivíduo de uma geração intermediária.
96
97
CAPÍTULO 5
DISCUSSÃO E CONCLUSÕES
5.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS
5.1.1 Análise da primeira fase
O AG canônico, isto é uma configuração dos parâmetros dos conjuntos C, D e E no
formato conhecido como canônico (roleta, mutação simples, cruzamento de um ponto,
probabilidades de mutação e de cruzamento fixas, sem elitismo ou outras técnicas
específicas), que corresponde ao registro No 1 da Tabela 6, não conseguiu atender a um
número superior a três filtros do Banco de Filtros. Configurações adicionais (com elitismo,
com representação cromossômica em Binário Posicional e com cruzamento de dois pontos)
com o AG canônico foram também testadas, também gerando poucos resultados válidos para
os filtros propostos no Banco de Filtros. Estes resultados comprovaram a necessidade de um
AG parametrizado sob configurações de valores e operadores mais tecnicamente aprimorados.
Configurações do AG com o método de seleção Torneio Estocástico, o tselect,
apresentaram o seguinte sintoma: ou geravam um resultado OK ou um NOK. Poucos
resultados SS foram gerados. Observando-se os valores finais de fitness que os resultados OK
geravam (foram registrados na coluna de observações da Tabela 5), foi possível constatar-se
que tais resultados OK eram a mesma solução para diferentes valores de sementes pseudo-
aleatórias. Configurações de AG que continham este método falharam para alguns filtros cujo
grau de dificuldade era maior (filtros com faixas de transição inferiores a 0,05 ciclos/amostra).
Por este motivo, todas as configurações que empregaram este método receberam nota zero na
Tabela 6.
Configurações do AG com o método de seleção da Amostragem Estocástica
Universal, o suselect, apresentaram o seguinte comportamento: foram gerados resultados OK,
NOK e SS, a depender do grau de dificuldade do filtro a ser encontrado. Observando-se os
valores finais de fitness que os resultados OK geravam, foi possível constatar-se que eram
sempre diferentes, isto é, encontravam sempre diferentes soluções sub-ótimas. Devido a esta
característica, os registros de números 2, 5, 6 e 7 conseguiram receber notas diferentes de
98
zero. Os registros de números 3, 4 e 8 ficaram com zero devido ao tamanho da população ou o
número de gerações não ser o que proporcionava pelo menos um resultado SS para algum dos
filtros do Banco de Filtros. Porém, estes resultados NOK que desclassificavam a configuração
não eram respostas que haviam evoluído para um máximo local (como na Figura 47). Eram
respostas em que se aumentando o número máximo de gerações, a qualidade da resposta
evoluía para SS ou OK. É o que aconteceu com a seqüência de registros de números 3, 4 e 5
da Tabela 6. Um exemplo de registro que recebeu esta evolução foi o No 3 da Tabela 7.
A combinação dos operadores que mais ofereceu resultados OK foi o cruzamento de
dois pontos, o twoptx, com a mutação simples bit a bit, bitmutat. Todos os resultados que
receberam notas diferentes de zero na Tabela 6 empregaram esta combinação.
O vetor h(n) tem seus maiores valores de coeficientes em torno da amostra central e
seus menores valores nos extremos, havendo uma gradual diminuição dos mesmos de acordo
com a equação (51), como se pode ver nas Figuras 5, 7 e 9. Portanto, pequenas variações no
cromossomo precisam representar pequenas variações no valor do coeficiente decodificado. A
representação cromossômica que melhor conseguiu acompanhar estas variações foi a que
utilizou o Binário Gray, como se pode constatar pelos resultados que receberam notas
diferentes de zero.
Da primeira fase restou somente uma configuração que conseguiu passar pelo Banco
de Filtros, com todos os tipos de filtros (I ao IV), com uma nota diferente de zero, que foi a
apresentada na subseção 4.2.
5.1.2 Análise da segunda fase
Na segunda fase, a configuração que foi aprovada na primeira foi tomada como base,
porém os valores do tamanho da população, (popsize) e número máximo de gerações
(maxgen) foram recebendo diferentes valores conforme a análise que se segue:
a) o número de coeficientes determina, através das equações (54), (55) e (56), o
espaço de busca do problema;
b) com o aumento do número de coeficientes era necessário um aumento no
valor de popsize. Se isto não fosse feito, os resultados do tipo NOK
apresentavam soluções em máximos locais, como na Figura 47;
c) com o aumento de popsize, surgia pelo menos um resultado, ainda em NOK,
porém sem ter parado em um máximo local;
99
d) nesta configuração, com este valor de popsize aumentado, aumentou-se o
valor de maxgen, fazendo com que o resultado NOK do item c passasse para
SS ou para OK, que é o caso das seqüência de figuras 33, 34 e 35.
E seguindo este princípio foram obtidos os registros 1 e 2, 3 e 5 da Tabela 8. O
registro 6 desta tabela foi obtido por observação aos resultados que estavam sendo obtidos,
permitindo ser estabelecida as seguinte relações:
828.3160 −×= Lposize (59)
Onde:
• popsize é o tamanho da população; e
• L2 é obtido através da equação (54).
82,50)82(1000 ≥×−+= LLmaxgen (60)
Onde:
• maxgen é o número máximo de gerações; e
• L2 é obtido através da equação (54).
Ainda na segunda fase um resultado, o que foi apresentado na Figura 36, demonstrou
uma primeira aplicação alternativa onde o AG pode ser útil: em gerar filtros onde o MPM não
o consiga fazer. Esta situação foi observada quando o número de coeficientes da especificação
está acentuadamente abaixo do número de coeficientes recomendado pela equação (31).
5.1.3 Análise da terceira fase
Através do primeiro teste onde as figuras 37, 38 e 39 foram apresentadas, foi
constatado que o AG atende ao princípio da superposição. A utilidade prática disto
corresponde à possibilidade de serem obtidos filtros com especificações que tenham um grau
de dificuldade tal não permita ao AG obtê-los de forma direta. Para estes casos, pode-se entrar
com partes da especificação do filtro e depois somar seus resultados, como feito neste teste.
No teste da normalização da fitness bruta, ficou constatado que o erro quadrático do
MPM não é o menor que se pode obter para todos os casos. O próprio AG obteve erros
100
menores. Isto fêz com que a tentativa de normalização proposta pela equação (58) não fosse
útil para manter a fitness excursionando de 0,0 a 1,0.
Os registros das evoluções de fitness para respostas OK e SS foi atípico. Com base
unicamente na Figura 40, uma primeira análise poderia conduzir a se pensar que fosse
somente um indivíduo que, através de mutações favoráveis, conseguisse aumentar sua fitness,
devido ao elitismo estar sendo usado. Porém, através das figuras 41 e 42, constata-se que não
é somente um indivíduo, mas aproximadamente 20 de 160 que efetivamente trocavam
bagagem genética contribuindo para o aumento da fitness do melhor indivíduo, porém não
chegando a aumentar efetivamente o valor da fitness média.
Os testes de escalonamentos da fitness bruta apresentaram resultados que conseguiram
estabelecer uma melhor relação entre os valores de fitness máxima, média e mínima, como se
pode observar na Figura 44. Porém o AG não evoluiu para os escalonamentos propostos,
como se pode ver na Figura 43. E por este motivo foi mantida a fitness bruta que é obtida
através da equação (57).
O teste da ordem do filtro demonstrou, através dos resultados das figuras 45 e 46, uma
segunda aplicação alternativa onde o AG pode ser útil: em gerar filtros com um número de
coeficientes menor do que o MPM gera, para mesmos valores de ripples. A única ressalva é a
faixa de transição do filtro AG, apresentada na Figura 46, pode ser inaceitável para algumas
aplicações. Isto ocorre quando o número de coeficientes especificado está abaixo do número
recomendado pela equação (31) com o MPM ainda gerando resultados, porém com ripples
inaceitáveis para qualquer tipo de aplicação, como o apresentado pela Figura 45.
O teste com filtros de amplitudes arbitrárias não evidenciou uma relação entre o
conjunto A e os conjuntos C, D e E, que permitisse ser estabelecido algum padrão para
maxgen, popsize e número máximo de tentativas. Os filtros de amplitudes arbitrárias
precisaram ser tratados caso a caso. Porém, em conjunto com a capacidade do AG em operar
com superposição, em menos de 10 tentativas em média, consegue-se encontrar o filtro
procurado.
O teste com outras probabilidades de mutação revelou um aspecto interessante: a
capacidade que o método da Amostragem Estocástica Universal tinha de oferecer diferentes
respostas sub-ótimas para diferentes sementes pseudo-aleatórias, comentada na subseção
5.1.1, diminuiu com a diminuição da probabilidade de mutação. Isto fêz com que os
resultados fornecidos pelo AG apresentassem um perfil assemelhado ao obtido quando estava
sendo usado o método do Torneio Estocástico, isto é, aumentaram os resultados OK,
diminuíram os resultados SS e apareceram resultados NOK em maior quantidade. Não foi
101
possível ao AG resolver alguns filtros difíceis propostos pelo Banco de Filtros. Porém, ao
contrário de outros métodos o método da roleta Estocástica, no máximo três filtros não
conseguiam ser obtidos em quatro tentativas. Um fator positivo foi ter-se conseguido
melhorar o aspecto da evolução das curvas de fitness, como se pode ver na Figura 47 quando
comparada à Figura 40.
A função de fitness adotada, a equação (57), apresentou uma ineficácia. As figuras 48
e 49 demonstram o problema. O indivíduo apresentado Figura 48 tem um valor de fitness
superior ao apresentado pelo indivíduo da Figura 49. Estes dois indivíduos pertencem a
execuções distintas. O indivíduo da Figura 49 evoluiu para uma resposta SS, pois ainda
correspondia a uma geração intermediária. E o indivíduo da Figura 48 é o melhor indivíduo
de uma execução do AG. Portanto, numericamente, a somatória dos erros, ponto a ponto, que
a função de fitness processa, não faz o AG ser informado de que um ponto em específico está
deformando a resposta. Foram feitas algumas tentativas envolvendo estratégias de
penalidades, porém sem resultados relevantes.
Foi ainda observado que, quanto maior for o número de coeficientes da especificação,
mais o AG tende a encontrar respostas NOK com o perfil assemelhado ao da Figura 48. Foi
buscada na Fundamentação Teórica, uma possível explicação para este fato e para os ajustes
de tamanho de população: quanto maior for o número de coeficientes, maior será o número de
oscilações na faixa passante e na faixa de rejeição (veja contraste entre a Figura 45 com M=15
e a Figura 46 com M=80). Isto pode ser observado na Tabela 2, independentemente de tal
tabela estar relacionada ao MPM exclusivamente, uma vez que a resposta em freqüência
obtida pelo AG também é resultado de uma combinação linear de co-senos, que é a equação
(8). Portanto, a cada nova oscilação encontrada na faixa passante do filtro, um novo ponto de
máximo local surge onde o AG possa parar de evoluir. Isto fêz com que o grau de dificuldade
do AG aumentasse com o aumento do número de coeficientes, implicando na necessidade de
ser aumentado o tamanho da população observado nas Tabelas 6 e 8.
O software RespFreq exerceu fundamental importância no descobrimento destes
pontos apresentados nos dois parágrafos anteriores, por permitir que fosse visto em tela,
geração a geração por meio do botão Captura, os melhores indivíduos que estavam sendo
obtidos.
102
5.2 CONCLUSÕES
Através da metodologia proposta e dos resultados obtidos, foi possível a obtenção de
dois AGs minimamente parametrizados e de algumas conclusões específicas que serão
descritas.
5.2.1 Conclusões gerais
5.2.1.1 AG automático
Para filtros cuja especificação determine amplitudes em 0,0 ou 1,0, foi obtido um AG
automático, que fornece respostas sub-ótimas em comparação aos resultados oferecidos pelo
Método de Parks-McClellan, em um número máximo de quatro tentativas. Seus parâmetros
são:
Conjunto C:
a) seleção = Amostragem Estocástica Universal;
b) cruzamento = dois pontos;
c) mutação = simples;
d) representação cromossômica = Binário Gray; e
e) função de fitness = equação (57).
Conjunto D:
a) elitismo = sim;
b) número máximo de gerações (maxgen) = equação (60);
c) tamanho da população (popsize) = equação (59);
d) probabilidade de cruzamento (pcross) = 0,85;
e) probabilidade de mutação (pmutation) = 0,10; e
f) semente = aleatória entre 0,001 e 0,999.
Conjunto E:
a) par_sel = nenhum parâmetro; e
b) par_escal = sem parâmetro ou técnica de escalomento de fitness.
103
5.2.1.2 AG não automático
Para filtros cuja especificação determine amplitudes arbitrárias, foi obtido um AG que
fornece respostas sub-ótimas em comparação aos resultados oferecidos pelo Método de Parks-
McClellan, em um número médio de tentativas inferior a 10, com parâmetros análogos ao AG
automático apresentado na subseção 5.2.1.2, porém com os parâmetros maxgen e popsize em
aberto, a serem definidos caso a caso.
5.2.2 Conclusões específicas
O método proposto não emprega outras técnicas de outros métodos, como os que
utilizaram a amostragem por freqüência. Em tais métodos, tanto com AGs, PSO ou AIS, as
estratégias de IC encontram dois ou no máximo quatro dos M coeficientes que devem ser
encontrados do h(n). Encontrados tais coeficientes, o método especialista ainda tem de ser
empregado para encontrar os M-2 ou M-4 coeficientes restantes. Este AG entrega o h(n)
pronto para ser utilizado, não requerendo outros recursos.
Não há problemas no método diante da quantização dos coeficientes, pois todo o
confronto foi realizado com três casas decimais do AG contra as quinze do MPM. Basta
mudar a codificação para o método gerar um número diferente de casas decimais.
O método é orientado à faixa, isto é, pode ser estabelecido um compromisso entre
faixa passante e faixa de rejeição desejadas e obtidas, ao contrário do método das janelas ou
do método de amostragem por freqüência.
A estratégia de se ter deixado variar as probabilidades de mutação em um teste da
terceira fase foi equivocada. Resultados com relevância possivelmente maior poderiam ser
obtidos se mais testes variando-se a probabilidade de mutação e a de cruzamento fossem
feitos na primeira fase.
O critério rígido das notas, desclassificando a configuração sob teste se em quatro
tentativas não atendesse a um dos filtros da Tabela 4, também exerceu um impacto negativo
sobre os resultados, pois acabou por desclassificar resultados interessantes como os
proporcionados pelo Torneio Estocástico e pelo próprio método da Amostragem Estocástica
Universal.
104
5.3 LINHAS DE AÇÃO FUTURAS
O método está, como especificado nos conjuntos A, C, D, E e F, pronto para ser
utilizado para gerar resultados para amplitudes arbitrárias. Basta ser determinado um novo
banco de filtros que representem uma amostra significativa do novo universo de
possibilidades do conjunto A. Três refinos podem ser aplicados: a) trocar o número máximo
de tentativas por um número médio de tentativas; b) colocar na primeira fase testes
envolvendo variações das probabilidades de mutação e de cruzamento; e c) só operar com a
representação cromossômica em Binário Gray.
Uma linha de ação futura relevante é a seguinte: codificar também dentro do
cromossomo os parâmetros do conjunto D (que podem ser alterados em tempo de execução).
Desta forma, o próprio AG pode encarregar-se de encontrar valores ótimos para parâmetros
como as probabilidades de mutação, que exerceram neste experimento um impacto
significativo.
A adaptação deste trabalho para encontrar coeficientes expressos em potências de dois
é praticamente imediata devido à modelagem usada. Uma grande vantagem existe em se
trabalhar com potências de dois: o que vai para o cromossomo é um pequeno conjunto de
símbolos, que são os expoentes de dois. Portanto, o número de símbolos que serão
representados dependerá da precisão desejada. Se a precisão fosse a utilizada neste trabalho,
10-3, os expoentes a serem representados iriam do 2-1 ao 2-9, pois o 2-10 não é mais
representável em três casas decimais (0,0009766). Isto fornece nove expoentes que se tornam
nove símbolos. Logo, 4 bits os representam com sobra. Reduzir o tamanho do cromossomo de
L2×11 bits para L× 4 bits proporciona um aumento significativo no desempenho do AG, com
duas vantagens: a) operar com coeficientes de alto desempenho; e b) poder gerar filtros com
ordens cada vez maiores em tempos de processamento tratáveis.
Uma vez obtida a versão com amplitudes arbitrárias, será um bom momento para ser
iniciada uma modelagem através de Engenharia de Software (PRESSMAN, 2002) de uma
versão de um produto propriamente dito, assemelhado ao FT3D (MARCON, 2002). Esta
versão deverá oferecer uma interface no idioma Inglês e ser um software único, no intuito de
ser oferecida à comunidade uma versão mais amigável, sem precisar entrar em um programa,
sair, chamar outro e monitorar com outro. Haverá ainda a compatibilidade com o GALOPPS,
a fim se serem feitos testes de depuração.
105
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113
RESUMO:
Um método baseado em Algoritmos Genéticos foi desenvolvido e implementado em
software para fornecer os coeficientes de um filtro FIR, cuja resposta em freqüência é
classificada como quase ótima em relação a um método especialista escolhido. Resultados
comparativos evidenciam a contribuição do trabalho para os casos de freqüências de
transição abaixo de determinado valor. O software desenvolvido oferece a possibilidade de
gerar filtros FIR com: três faixas de freqüências com amplitudes arbitrárias, um número
variável de coeficientes (pares e ímpares) e simetria positiva ou negativa. O método que
originou o software busca a diminuição do número de parâmetros do Algoritmo Genético
que requeiram uma configuração caso a caso. Portanto, a segunda contribuição do trabalho
é a de oferecer uma forma de ser utilizada uma ferramenta baseada em Algoritmos
Genéticos sem a necessidade de serem conhecidas as complexidades que envolvem sua
utilização, por exemplo, operadores de recombinação, probabilidades de cruzamento e
representação cromossômica. O resultado desta contribuição é uma ferramenta que
proporciona ao usuário que só entenda de Processamento Digital de Sinais um meio de
obtenção de filtros FIR com uma qualidade útil para casos onde o método especialista que
foi confrontado não atenda. O método especialista a partir do qual foi feita a classificação
de respostas ótimas, quase ótimas ou insatisfatórias, foi a versão implementada no software
MATLAB do Segundo Algoritmo de Remez, o de múltiplas trocas, adaptado à síntese de
filtros FIR por Rabiner, Parks e McClellan. O software foi implementado a partir da
ferramenta GALOPPS para Algoritmos Genéticos.
PALAVRAS-CHAVE
FIR, Algoritmos Genéticos, Remez, MATLAB, Parks-McClellan.
ÁREA/SUB-ÁREA DE CONHECIMENTO
3.04.00.00 – 7 Engenharia Elétrica
Processamento de Sinais
Processamento Digital de Sinais
Ano 2006
Nº: 400
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