universidade federal do espÍrito...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIacuteRITO SANTO CENTRO DE CIEcircNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMAacuteTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT

TEORIA DOS JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA PARA O ENSINO E

APRENDIZADO DE MATEMAacuteTICA

BRENO PORTUGAL FALQUETO

ORIENTADORA PROFA DRA ROSA ELVIRA QUISPE CCOYLLO

Vitoacuteria - ES 2020

Breno Portugal Falqueto

JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA DE ENSINO ALIADA Agrave TEORIA

DOS JOGOS

Dissertaccedilatildeo apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo PROFMAT ndash Mestrado Profissional em Matemaacutetica em Rede Nacional do Departamento de Matemaacutetica do Centro de Ciecircncias Exatas da Universidade Federal do Espiacuterito Santo como requisito para obtenccedilatildeo de tiacutetulo de Mestre em Matemaacutetica

Orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo




DOS JOGOS



Membros da Banca

Profordf Drordf Rosa Elvira Quispe Ccoyllo

(Orientadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo - UFES)

Profordf Drordf Julia Schaetzle Wrobel

(Examinadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)

Prof Dr Valmecir Antocircnio dos Santos Bayer

(Examinador- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)

Prof Dr Juan Elmer Villanueva Zevallos

(Examinador- Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT)


AGRADECIMENTOS

A Deus por fortalecer minha feacute a cada dia e sempre me renovar

Agrave minha famiacutelia que sempre se mostrou presente com palavras de carinho e

apoio

Agrave minha matildee Liacutevia Maria Teixeira Portugal Faustino por ser minha base

Ao meu irmatildeo Zelier Portugal Falqueto pelos incentivos

Ao meu namorado Leomar Cardoso Tiroli por ser meu refuacutegio nos momentos

difiacuteceis

Agrave minha orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo que

mesmo sabendo das minhas dificuldades sempre me prestou auxiacutelio quando

solicitada

A todos os meus professores do PROFMAT da UFES

Aos meus colegas de mestrado que tornaram todo esse tempo mais leve e

certamente uacutenico

Ao meu amigo Maxwel Soares de Oliveira por todos os conselhos

Agrave minha amiga Juacutelia Alcacircntara Roldi de Azeredo que mesmo distante sempre

esteve presente

Agrave minha amiga Rita de Caacutessia Fundatildeo Reis Campos que nunca mediu

esforccedilos para me ajudar no que fosse preciso

RESUMO

Aumentar o interesse na disciplina ao otimizar o tempo em sala de aula

com contribuiccedilatildeo positiva torna-se uma tarefa essencial pois o

desinteresse atrelado agrave evasatildeo satildeo realidades presenciadas em todo

acircmbito escolar Este trabalho foca em um tema muito apreciado

principalmente no que tange o ambiente educacional jogos que tem como

principal finalidade o ensino e aprendizado de forma luacutedica da matemaacutetica

Por esta razatildeo jogos como o Jogo de Nim e o Pocircquer foram escolhidos

que aliados agrave Teoria dos Jogos possibilitaraacute estrateacutegias vencedoras para

cada um entre as situaccedilotildees possiacuteveis

Palavras-chave ambiente educacional jogos Jogo de Nim Pocircquer Teoria dos

Jogos sequecircncia didaacutetica

ABSTRACT

Increasing interest in the discipline by optimizing time in the classroom with

a positive contribution becomes an essential task because the disinterest

linked to dropout are realities witnessed throughout the school This work

focuses on a highly appreciated theme mainly regarding the educational

environment games whose main purpose is the playful teaching and

learning of the mathematics For this reason games like Game of Nim and

Poker were chosen allied to Game Theory which allows determining a

winning strategy for each game among the possible situations

Keywords scholar scope games Nim Game Poker Game Theory teaching

sequence

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16

Figura 2 - Tangram 16

Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25

Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26

Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26




Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28

Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28

Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29

Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29

Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29

Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30

Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35

Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36

Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43

Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46

Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52

Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52

Figura 21 - Exemplo de Quadra 52

Figura 22 - Exemplo de Full House 53

Figura 23 - Exemplo de Flush 53

Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53

Figura 25 - Exemplo de Trinca 53

Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54

Figura 27 - Exemplo de Par 54

Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54

Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59

Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66

Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67

Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73

Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74



Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22

Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48

Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49

SUMAacuteRIO

INTRODUCcedilAtildeO 12

Justificativa 12

Motivaccedilatildeo e Objetivos 15

Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17

Organizaccedilatildeo do Trabalho 18

CAPIacuteTULO 1 19

NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19

11 Fatos Histoacutericos 19

12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19

13 Proposiccedilatildeo 21

14 Jogo de Nim 24

15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25

16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30

17 Conclusatildeo 34

CAPIacuteTULO 2 35

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35


22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36


CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39


32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40

321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41

33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42

34 Probabilidade Condicional 43

CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45

41 Consideraccedilotildees Iniciais 45

42 Fatos histoacutericos 45

43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46

44 Dilema dos Prisioneiros 47

45 Equiliacutebrio de Nash 48

46 Chicken Game 48

47 Le Her - Introduccedilatildeo 49

48 Pocircquer 50

481 Texas Holdrsquoem 51

4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55

4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57

4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58

CAPIacuteTULO 5 60

METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60


52 Sequecircncia Didaacutetica 61

53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64

54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65

55 Consideraccedilotildees Finais 76

REFEREcircNCIAS 78

12

INTRODUCcedilAtildeO

Justificativa

A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a

Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres

e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No

diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como

uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a

Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do

homem grego

A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos

treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua

educaccedilatildeo

Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como

uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute

estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma

ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais

Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas

por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas

dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)

A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era

dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a

chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos

alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e

esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas

humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica

Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com

o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua

essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica

acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o

13

aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil

(JAEGER 2001)

Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que

propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas

escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a

uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de

partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao

longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete

em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo

Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil

o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno

que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor

e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha

por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que

esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo

dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o

sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil

SILVEIRA (2002 p 8)

Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum

Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma

das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf

colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se

encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos

alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar

dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior

nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo

a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses

participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer

meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre

porcentuais

1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)

14

Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo

peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo

teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo

possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo

e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA

(2005)

Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente

trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a

Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica

hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica

da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das

asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema

envolvido neste estudo

A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um

determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do

desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido

no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas

desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas

buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de

domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho

acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar

previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios

GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)

Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave

Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a

Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas

que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador

Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros

Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo

abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim

propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo

abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar

alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria

dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa

15

Motivaccedilatildeo e Objetivos

Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso

se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O

jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela

agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia

da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo

por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo

HUIZINGA (2000)

Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes

e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo

prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica

Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo

estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse

por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades

que se apresentem no estudo dessa ciecircncia

() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos

eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os

valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e

aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES

OLIVEIRA (2016 p 2)

Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o

ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o

ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto

ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite

aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na

cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como

recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de

ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo

que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam

pontos

4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos

16

Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5

Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6

5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020

17

Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais

claro a compreensatildeo do conteuacutedo

Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a

possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de

nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se

incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute

impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que

ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica

apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas

frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD

(2008 p 1)

Objetivo geral

Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria

dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso

objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico

Objetivo especiacutefico

Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo

divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema

de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar

a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer

Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho

A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros

Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno

conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos

Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte

histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos

abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave

Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse

amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos

18

quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos

abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria

e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos

Organizaccedilatildeo do Trabalho

Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e

uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo

1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o

leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa

compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre

Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em

capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o

Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no

Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com

seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria

englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica

analisada por dados estatiacutesticos

19

CAPIacuteTULO 1

NUacuteMEROS BINAacuteRIOS

11 Fatos Histoacutericos

O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental

conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos

eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic

Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e

aritmeacutetica binaacuteria em 1937

Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio

para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um

computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que

vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)

O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer

operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados

(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda

a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na

loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais

(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e

aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria

e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI

et al 2018)

12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio

De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)

O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em

que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros

Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1

20

Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender

como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a

base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer

converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute

formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos

de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas

Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero

binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos

11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0

Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem

11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112

A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a

respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de

Davi Lopes (2017)

Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles

seratildeo representados na base 2 na forma

119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)

Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para

119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma

1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente

A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o

seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos

entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu

valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos

Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111

21

A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na

forma

119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894

1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896

Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14

11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5

13 Proposiccedilatildeo

Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo

binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes

propriedades

1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886

2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)

3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886

4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0

5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0

6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886

Demonstraccedilatildeo

1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894

1 119904119890 119886119894 ne 119887119894

119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894

1 119904119890 119887119894 ne 119886119894

Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894

119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894

1 119904119890 119887119894 ne c119894

7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base

2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22

Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894

1 119904119890 119909119894 ne 119888119894

119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894

1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894

Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para

isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)

Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)

Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que

(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)

3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0

Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que

para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886

4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894

1 119904119890 119886119894 ne 119886119894

Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0

Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886

5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave

esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se

119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo

(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade

0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo

119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade

119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo

23


esquerda por meio das propriedades da tem-se



0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo

119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade


∎

Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas

que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os

que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora

Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos

tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895

Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0


Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva

supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma

(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0

Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade

(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0

Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo

119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim

0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0

Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895

absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0

∎

Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a

condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo

24

negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde

119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0


Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos

um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo

do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que

119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo

119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da

posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo

Em outras palavras podemos expressar

119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2

Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que

119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2

Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado

119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896

= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896

= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904

= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim

O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem

na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas

moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido

um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e

em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada

jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo

menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa

25

Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em

trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne

nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua

vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de

apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)

uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)

Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901

que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que

envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria

Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de

Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para

esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de

poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k

pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de

uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no

filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais

15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim

A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias

vencedoras para o Jogo de Nim

a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)

Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O

nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no

segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo

Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)

26

A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)

maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de

palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada

ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao

considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas

propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de

deixar o sistema em equiliacutebrio

Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em

potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte

Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)

A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e

dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a

configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem

em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando

assim deixar o sistema em equiliacutebrio

Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)

E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio

como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este

faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar

27

Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para

o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo

desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)

b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)

Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir

cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2


Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo

encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para

formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias

menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade


Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos

com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no

segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute

necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada

teremos a seguinte configuraccedilatildeo

28


Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em

desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele

faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o

jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como

a ilustraccedilatildeo abaixo

Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)

Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo

logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois

grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos

no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo

como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema

volte a ficar equilibrado

Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)

29

Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o

desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo

um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo

Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)

Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1

palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito

e dois grupos com 4 palitos

Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)

Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o

prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo

Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)

A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro

grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois

grupos com 2 palitos

30

Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)

Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a

configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na

configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior

16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim

Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a

soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim

Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um

jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores

utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria

Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute

feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos

dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos

que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer

alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de

zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe

uma jogada que a tornaraacute igual a zero

Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em

sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a

soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar

esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim

para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer

o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim

seja diferente de 0

31

Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A

(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte

configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no

primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o

jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um

apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se

(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)

Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se

3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero

3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A

2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B

2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A


0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha

o jogo

Seu equivalente binaacuterio seraacute

(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero

(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A

(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B



(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo

jogador A que ganha o jogo

O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do

jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou

com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e

9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas

32

ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o

levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B

Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador

A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia

a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior

Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de

escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos

(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)

Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a

zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento

o jogo

Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente

pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o

jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho

ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada

de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho

Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute

aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo

que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que

ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a

uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos

grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador

B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo

inicial em (3 1 2)

O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a

configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele

11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos

33

fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo

ter tanto conhecimento do jogo

Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o

jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar

apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade

natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador

A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)

O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem

20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas

ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode

optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)

Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador

B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees

estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo

Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial

diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior

(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr

rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)

Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim

9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero










0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo

12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor

34

E seu equivalente binaacuterio seraacute

(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero

(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A

(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B








(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que

ganha o jogo

A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como

cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias

algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades

envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar

a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar

uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim

17 Conclusatildeo

Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios

que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram

responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave

praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos

35

CAPIacuteTULO 2

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA


Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem

contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos

eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria

Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso

quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de

Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria

TAVARES BRITO (2005 p 1)

Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu

uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais

tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma

forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha

cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave

esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)

Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13

13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020

36

Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre

Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo

semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser

encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)

A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam

diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia

ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da

Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)

Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017

Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo

historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel

Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado

por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo

22 Princiacutepio Fundamental da Contagem

MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo

estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais

frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um

14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras

37

conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou

classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas

condiccedilotildees dadasrdquo

Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais

fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem

Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja

esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o

nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1

e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)

Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como

transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os

transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na

ida

Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso

haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6

Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser

resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que

vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples

Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte

situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n

objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do

conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899

Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo

simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as

combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo

1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865

Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe

3 de 5 objetos eacute 10

38

Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees

simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por

119862119899119901

=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)

119901 0 lt 119901 le 119899

Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos

formar se dispomos de 10 frutas diferentes

Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o

que pode ser feito de 119862104 =

10987

4= 210 modos

Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo

pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres

Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo

4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres

Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos

11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos

Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas

as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e

com apenas uma mulher (e 5 homens) logo

119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624

1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos

23 Conclusatildeo

Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise

Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes

No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave

Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos

39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE


Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash

1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um

cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas

discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em

certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal

correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de

probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)

A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo

muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de

azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia

a probabilidades em jogos de dados

O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a

primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do

livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu

livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode

ser bem descrito como um manual para jogadores

Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as

precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a

trapacear (TODHUNTER 1865)

Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta

e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada

por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e

o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da

sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o

preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode

influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende

15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663

40

exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante

do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo

considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as

competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que

dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a

aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais

jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)

32 Definiccedilatildeo de Probabilidade

Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute

determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a

resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as

mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo

chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem

constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como

choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual

seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o

Brasil no ano 2030rdquo

A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados

do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual

eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o

nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo

Amostral LIMA et al (2006 p 129)

A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do

mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou

seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e

em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja

probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os

casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto

uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo

denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006

p 127)

A Probabilidade de um evento A eacute definida por

41

Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904

119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899

Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a

probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2

caras

Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa

Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto

Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)

Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o

evento ldquoobter 2 carasrdquo assim

A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)

Logo (A) = 3 e portanto

P(A) = (A)

(Ω)=

3

8

Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo

B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)

Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)

(Ω)=

4

8=

1

2

321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo

Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo

natildeo seratildeo demonstradas

I Para todo evento A 0 le P(A) le 1

II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral

III P(empty) = 0

IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)

Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns

exemplos seratildeo dados a seguir

Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade

de se obter o nuacutemero 3

42

Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo

(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6

Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1

Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1


de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3

Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute

6 isto eacute (Ω) = 6

Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3

pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo

P(A) = (A)

(Ω)=

3

6

Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo

exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6

E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se

P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3

33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo

Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute

uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de

vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples

ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)

O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma

justificativa para a equaccedilatildeo

43

Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)

Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z

e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y

= x + y + z

= (A cup B)

∎

34 Probabilidade Condicional

Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B

dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este

nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente

P(BA) = P(AcapB)

P(A)

Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0

A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a

P(A cap B) = P(A) P(BA)

Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem

P(A cap B) = P(B) P(AB)

Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte

forma

Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs

Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44

Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala

francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem

Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala

francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos

P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99

Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem

45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

41 Consideraccedilotildees Iniciais

Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo

entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns

jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo

Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados

fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a

constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema

dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma

percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia

42 Fatos histoacutericos

No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os

primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem

de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi

proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como

embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram

aprofundados (SARTINI et al 2004)

Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou

o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o

jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo

pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou

conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que

todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em

estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos

16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade

46

possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute

abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von

Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic

Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre

Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e

Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a

Teoria dos Jogos

Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17

43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos

O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam

decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais

decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos

resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos

jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios

para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas

pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK

RUBINFELD (2002 p 483 - 484)

Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo

Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que

dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte

como um todo CARVALHO (2017 p 12)

17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020

47

Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor

estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito

de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute

superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer

que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita

fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu

ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias

A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos

que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo

interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de

processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que

um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)

Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez

pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da

anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta

a definiccedilatildeo

Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias

Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo

claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros

44 Dilema dos Prisioneiros

Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros

pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da

mesma

Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram

conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas

separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois

confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu

parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois

anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar

ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)

Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo

tornando mais simples a compreensatildeo

48

Suspeito A

Suspeito B

Confessar Natildeo confessar

Confessar (-6 -6) (-2 -10)

Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)

Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros

Fonte BONTEMPO (1997 p 3)

Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada

de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por

confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro

Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances

de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo

45 Equiliacutebrio de Nash

John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos

Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias

estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador

envolvido no jogo (REIS 2018)

No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi

ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo

(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema

46 Chicken Game

O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e

que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos

Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus

carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute

identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo

desviar seraacute o duratildeo

Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se

ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente

graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas

49

proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma

estrateacutegica ou normal

O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever

uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o

enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra

Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para

descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de

mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)

Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)

Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as

preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o

pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com

maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem

desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos

mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores

Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de

Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos

jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que

fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel

47 Le Her - Introduccedilatildeo

Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o

estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste

Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas

Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro

cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze

50

No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc

o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute

colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele

deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no

segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois

eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca

com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO

(2013 p 22)

A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas

como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos

48 Pocircquer

Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo

10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do

seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas

Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito

semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos

familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18

O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em

fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo

Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao

Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase

sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas

A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir

deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo

do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para

Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do

Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como

ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)

18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020

51

O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca

foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o

draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na

deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)

Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52

cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas

sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a

melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote

O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e

jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)

Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como

xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica

teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22

481 Texas Holdrsquoem

O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias

jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada

jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o

proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas

abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores

Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5

cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo

do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p

268)

A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas

Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)

19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020

52

De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por

1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo

todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no

pocircquer

Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23

2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do

mesmo naipe

Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23

3 Quadra Quatro cartas iguais

Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23

23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020

53

4 Full House Uma trinca e uma dupla

Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23

5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe

Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23

6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo

naipe

Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23

7 Trinca Trecircs cartas iguais

Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23

54

8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais

Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23

9 Par Duas cartas iguais

Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23

10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima

Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23

Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as

possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o

caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como

referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de

probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)

55

4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas

Holdrsquoem

1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes

(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal

Straight Flush

2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias

de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma

para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36

possibilidades para o Straight Flush

3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades

de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48

possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48

= 624 possibilidades para a Quadra

4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como

haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis

para as trincas

Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas

(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees

possiacuteveis para as duplas

O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio

Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full

House

5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287

possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148

Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem

parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush

6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)

em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem

4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de

Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight

56

Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200

possibilidades para a Sequecircncia

7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees

possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as

48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de

combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades

Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades

para a Trinca

8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois

Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas

tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas

Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim

teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares

9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como

existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para

a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a

quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo

importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela

permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240

possibilidades para Um Par

10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a

matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no

baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =

2598960

Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +

36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540

possibilidades para a Carta Alta

57

4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas

Holdrsquoem

Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao

acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960

1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a

probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute

119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539

2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico

acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute

119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385

3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute

119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024

4 Full House A probabilidade do Full House eacute

119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144

5 Flush O Flush tem como probabilidade

119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965

6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute

119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925

7 Trinca A Trinca tem como probabilidade

119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58

8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute

119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539

9 Um Par Um Par tem como probabilidade

119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569

10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute

119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177

4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem

Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer

para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das

matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute

um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado

o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto

Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto

o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de

anaacutelises que teratildeo que ser feitas

Exemplo de Partida com dois jogadores

Analisemos o seguinte jogo

59

Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014

A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores

(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de

rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes

sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda

uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade

de o jogador alfa vencer eacute

119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182

Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o

jogador beta vencer eacute

119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818

Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador

alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo

consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas

perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar

o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida

24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria

60

CAPIacuteTULO 5

METODOLOGIAPROPOSTA DE

ENSINO


Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim

ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as

definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo

Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes

Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo

presentes diretamente na rotina de muitos

No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90

(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores

instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais

quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan

2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande

nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas

tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados

como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner

1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)

As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de

ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada

vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos

alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina

prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins

Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que

se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e

informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a

apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio

sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta

26 Videogames

61

forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para

que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma

atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS

(2011 p 2)

Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a

Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator

motivacional para alguns estudantes

Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio

de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem

como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara

a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na

escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se

localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo

Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula

apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que

eacute uma realidade da escola em que trabalho

52 Sequecircncia Didaacutetica

Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos

A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos

comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais

relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25

minutos)

Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela

Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem

forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo

Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos

Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The

Theory of Games and Economic Behaviour

Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard

Selten que receberam o precircmio Nobel por suas

contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos

62

B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e

em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e

Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o

equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente

30 minutos)

Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica

A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e

deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas

configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5

e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)

B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no

desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em

seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero

na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente

35 minutos)

Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim

A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos

teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula

aproximadamente 15 minutos)

B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os

alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a

estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)

C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre

o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)

A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem

comeccedila ganha

Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)

63

Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia

vencedora)

O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo

Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser

observado nesse jogo

Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no

processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica

Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica

A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e

aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15

minutos)

Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a

origem do seu nome

Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes

ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas

Holdem)

B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado

neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos

no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar

enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para

as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo

as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao

final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula


Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras

A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e

Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados

no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente

25 minutos)

64

B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero

de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula


Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da

probabilidade de outros jogadores vencerem

A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo

de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi

explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)

B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos

mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das

matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)

C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem

quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula


53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica

A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os

alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante

esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram

realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave

praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo

Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade

para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria

abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os

alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo

65

54 Resultado e Anaacutelise de Dados

Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma

de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com

um total de 22 alunos

Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um

comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos

questionamentos

Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada

exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me

chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema

dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo

era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e

acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas

se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo

Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os

alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a

respeito de como e quando ganhar o jogo

Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam

equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com

uma abordagem da estrateacutegia vencedora

66

Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)

67

Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)

Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio

a respeito do Jogo e suas experiecircncias

Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do

Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco

Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais

ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado

Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na

vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim

60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo

68

Fonte O autor (2020)

Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos

acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia

A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos

fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de

Nim

O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo

natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da

estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma

pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe

mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)

Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre

aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos

acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das

jogadas que se repetiam

No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes

ou apenas um palito (Grupo 1)

Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra

com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e

o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)

Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre

(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a

20

60

20

A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha

Sim Natildeo Talvez

69

primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube

responder Observe a tabela a seguir


Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que

respondeu Natildeo

Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando

(Grupo 3)

O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham

da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois

montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)

Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo

com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma

quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o

adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)

A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo

tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico

a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70

Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)

Sim Natildeo Natildeo soube responder

70


Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as

estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo

Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha

seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por

acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma

pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)

Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute

possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na

hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar

conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi

feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos

60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71


Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)

conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra

Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)

Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das

diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)

No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo

referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio

utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)

Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria

aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as

chances de ganhar (Grupo 3)

A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse

motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica

considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois

acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela

0

10

20

30

40

50

22

45

33

Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo

Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico

72


Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo

Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste

Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem

natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por

outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do

aluno (Grupo 4)

Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que

Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os

jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado

(Grupo 1)

Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo

80

20

0 20 40 60 80 100

Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-

aprendizagem da Matemaacutetica

Natildeo Sim

73

Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)

74

Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)


75


Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)

Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada

novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve

certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa

forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia

no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem

participar da aula

Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na

hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os

conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade

na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos

76

precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do

nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador

Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita

junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles

apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos

em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais

efetivo

A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia

Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do

Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam

compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas

da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo

ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse

pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina

55 Consideraccedilotildees Finais

Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela

sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de

possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade

das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores

vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e

respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar

em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio

sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado

Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O

questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele

foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes

a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em

aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos

Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais

poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base

nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que

77

o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas

diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo

fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo

estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se

sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se

envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se

tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel

Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria

passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas

durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em

sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e

interdisciplinarizaccedilatildeo

Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos

contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam

abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com

exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas

as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo

complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos

foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um

atendimento para cada aluno

Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o

excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede

Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto

para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar

conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que

deseja ser ensinado

78

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DOS JOGOS






DOS JOGOS



Membros da Banca










AGRADECIMENTOS



apoio




difiacuteceis



solicitada






esteve presente



RESUMO












ABSTRACT










sequence

LISTA DE FIGURAS





































LISTA DE TABELAS




SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80















DOS JOGOS



Membros da Banca










AGRADECIMENTOS



apoio




difiacuteceis



solicitada






esteve presente



RESUMO












ABSTRACT










sequence

LISTA DE FIGURAS





































LISTA DE TABELAS




SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













AGRADECIMENTOS



apoio




difiacuteceis



solicitada






esteve presente



RESUMO












ABSTRACT










sequence

LISTA DE FIGURAS





































LISTA DE TABELAS




SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













RESUMO












ABSTRACT










sequence

LISTA DE FIGURAS





































LISTA DE TABELAS




SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













ABSTRACT










sequence

LISTA DE FIGURAS





































LISTA DE TABELAS




SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













LISTA DE FIGURAS





































LISTA DE TABELAS




SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80



















LISTA DE TABELAS




SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













SUMAacuteRIO


Justificativa 12




CAPIacuteTULO 1 19





14 Jogo de Nim 24




CAPIacuteTULO 2 35





CAPIacuteTULO 3 39

PROBABILIDADE 39






CAPIacuteTULO 4 45

TEORIA DOS JOGOS 45






46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80
















46 Chicken Game 48


48 Pocircquer 50





CAPIacuteTULO 5 60







REFEREcircNCIAS 78

12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













12


Justificativa







homem grego



educaccedilatildeo


















13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

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1

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III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

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1

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P(A) = (A)

(Ω)=

3

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exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

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2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













13


(JAEGER 2001)
















SILVEIRA (2002 p 8)












porcentuais


14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













14






(2005)





























15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

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P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













15








HUIZINGA (2000)












OLIVEIRA (2016 p 2)










pontos


16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













16




17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













17











(2008 p 1)

Objetivo geral


















18

















19

CAPIacuteTULO 1




















et al 2018)






20









11 2 = 5 resto 1

5 2 = 2 resto 1

2 2 = 1 resto 0





Davi Lopes (2017)



119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)

119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)



1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904

respectivamente






21


forma


1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896


11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2

= (0101)2

= 5




propriedades









1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne 119886119894



1 119904119890 119886119894 ne 119887119894


1 119904119890 119887119894 ne c119894


2 eacute (0)2 = 0 20 = 0

22


1 119904119890 119909119894 ne 119888119894


1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894










1 119904119890 119886119894 ne 119886119894










23








∎


















∎



24


















= 119904 oplus 119904

= 0

∎

14 Jogo de Nim








25

























26




















27


















28















29















30
























seja diferente de 0

31















o jogo













32








(252) (342) (351)

(152) (332) (350)

(052) (322)

(312)

(302)



o jogo













inicial em (3 1 2)




33
































34













ganha o jogo







17 Conclusatildeo





35

CAPIacuteTULO 2


















36



















37













ida









conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899




1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864

1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865

1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865



38



119862119899119901


119901 0 lt 119901 le 119899





10987

4= 210 modos




4 homens 2 mulheres

3 homens 3 mulheres

2 homens 4 mulheres


11986274 1198624

2 + 11986273 1198624

3 + 11986272 1198624

4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos




119862116 minus 1198627

6 minus 11986275 1198624


23 Conclusatildeo





39

CAPIacuteTULO 3

PROBABILIDADE





























40































p 127)


41


119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=

(A)

(Ω)=

119898

119899



caras



Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)



A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)


P(A) = (A)

(Ω)=

3

8


B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)


(Ω)=

4

8=

1

2






III P(empty) = 0






42




Assim

P(A) = (119860)

(Ω)=

1

6 0 le

1

6le 1







P(A) = (A)

(Ω)=

3

6


exemplo acima

P(B) =(B)

(Ω)=

1

6


P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3

6+

1

6=

4

6=

2

3





ele afirma que

(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)



43




= x + y + z

= (A cup B)

∎





P(BA) = P(AcapB)

P(A)







forma


Homens 92 35 47

Mulheres 101 33 52

44





P(A) =47 + 52

360=

99

360

P(A cap B) =47

360

Portanto

P(BA) =P(A cap B)

P(A)=

(A cap B)

(A)=

47

47 + 52=

47

99


45

CAPIacuteTULO 4

TEORIA DOS JOGOS

























46







Teoria dos Jogos










RUBINFELD (2002 p 483 - 484)






47























mesma










48

Suspeito A

Suspeito B


Confessar (-6 -6) (-2 -10)

















46 Chicken Game










49


























50








(2013 p 22)



48 Pocircquer



















51























268)




52




pocircquer



mesmo naipe





53






naipe




54












55


Holdrsquoem



Straight Flush











para as trincas






House









56








para a Trinca
















2598960


36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540


57


Holdrsquoem





119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4

2598960asymp 00001539



119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36

2598960asymp 0001385


119875(119876119906119886119889119903119886) =624

2598960asymp 0024


119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744

2598960asymp 0144


119875(119865119897119906119904ℎ) =5108

2598960asymp 01965


119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200

2598960asymp 03925


119875(119879119903119894119899119888119886) =54912

2598960asymp 21128

58


119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552

2598960asymp 47539


119875(119880119898 119875119886119903) =1098240

2598960asymp 422569


119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540

2598960asymp 501177












59








119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14

44asymp 3182



119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14

44asymp 6818







60

CAPIacuteTULO 5


ENSINO



























26 Videogames

61




(2011 p 2)


















minutos)










62





30 minutos)










35 minutos)











comeccedila ganha


63


vencedora)









minutos)


origem do seu nome



Holdem)













25 minutos)

64

























65







questionamentos














66


67











68






Nim

















20

60

20


Sim Natildeo Talvez

69





respondeu Natildeo


(Grupo 3)










a seguir

60

20 20

0

10

20

30

40

50

60

70



70













60

20

20


Sim Natildeo Talvez

71

















0

10

20

30

40

50

22

45

33



72







aluno (Grupo 4)




(Grupo 1)


80

20

0 20 40 60 80 100



Natildeo Sim

73


74



75








participar da aula





76







efetivo

























77


























deseja ser ensinado

78

REFEREcircNCIAS
















79

















80













universidade federal do espÍrito...

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