Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Ciências e Tecnologia

Unidade Acadêmica de Engenharia QuímicaPrograma de Pós-Graduação

Otimização Numérica de Processos

Problemas Multidimensionais com Restrição – Programação Linear

De volta ao Problema Simples

242 7.05.0 xxx

252 5.03.0 xxx

13 4.0 xx

Solvente pesado (x5), $42/bbl

Solvente médio (x4), $68/bbl

Solvente leve (x3), $53/bbl

Solvente (x2)

Nafta (x1), $42/bbl

400200 4 x

20001 x

21 25.125.1_ xxOpCusto

Como obter o maior lucro?

Generalidades

Um dos métodos mais utilizados em otimização

Uma ciência relativamente nova (1947)

George Dantzig

Função objetivo e restrições: lineares

Introdução

21)( xxxfMaximizar

x1

x2

f=1

f=2

f=3

•Cada reta tracejada representa uma curva de nível

•As retas são paralelas

•A 1a derivada de f nunca será zero

•Não existe máximo (ou mínimo) finito

Direção do aumento de f

Continuando com a Introdução

Com as restrições, a região viável fica limitada

O extremo sempre ocorrerá na intersecção das restrições

É a base da Programação Linear

1

2x

a

)(

2

1

21

x

Sujeito

xxxfMaximizar

x1

x2

f=1

f=2

f=3

12 x

21 x

Refinaria de Petróleo

Óleo 2 ($15/bbl)

Óleo 1 ($24/bbl) Gasolina ($36/bbl)

Querosene ($24/bbl)

Combustível ($21/bbl)

Residual ($10/bbl)

Refinaria

Composição em massa (%) Produção maxima bb/dia

Óleo 1 Óleo 2

Gasolina 80 44 24000

Querosene 5 10 2000

Combustível 10 36 6000

Resíduo 5 10

Custo de Processo ($/bbl) 0.50 1

Formulando o Problema

Definição das variáveis

resíduo de /

lcombustíve de /

querosene de /

gasolina de /

2 óleo de /

1 óleo de /

6

5

4

3

2

1

diabblx

diabblx

diabblx

diabblx

diabblx

diabblx

Continuando com a Formulação

Definiçao da função objetivo• Maximizar lucro

Despesa inclui a matéria-prima e custo com operação

2121

6543

15.01524

10212436

($/dia)

xxxxdespesa

xxxxreceita

despesareceitaf

Finalizando a Formulação

Restrições• Balanço de massa (rendimento)

• De mercado

621

521

421

321

10.005.0

36.010.0

10.005.0

44.08.0

xxx

xxx

xxx

xxx

6000

2000

24000

5

4

3

x

x

x

Manipulações Algébricas

Função objetivo: substituição das igualdades dentro da função objetivo inicial

Restrições: idem

600036.010.0

200010.005.0

2400044.08.0

21

21

21

xx

xx

xx

21 8.101.8 xxf

0

0

2

1

x

x

Solução Gráfica

Plotar as restrições no plano x1-x2

Determinar a região possível

Localizar o ponto onde a função é máxima• Dentro da região possível

• Em uma das intersecções das restrições

0 10 20 300

5

10

15

20

Restrição 1Restrição 2Retrição 3f = 180f = 243f = 256.5f = 286.7

Óleo 1, 1000 bblÓ

leo

2, 1

000

bbl

Determinando a Intersecção

Determinar cada ponto de intersecção

Calcular o valor de f em cada intersecção

25650012500 xe 15000

3 e 2 Re

2867007000 xe 26000

2 e 1 Re

18000016667 xe 0

0 xe 3 Re

2430000 xe 30000

0 xe 1 Re

21

21

21

1

21

2

fx

strições

fx

strições

fx

strição

fx

strição

0 10 20 300

5

10

15

20

Restrição 1Restrição 2Retrição 3

Óleo 1, 1000 bbl

Óle

o 2,

100

0 bb

l

No Mathcad

0 10 20 300

10

20

30

x/1000y/

1000

f x y( ) 8.1 x 10.8 y

M

0.8

0.05

0.10

0.44

0.10

0.36

b

24000

2000

6000

Mx

y

b

.8 x .44 y

5. 10-2 x .10 y

.10 x .36 y

24000

2000

6000

x 1000 y 20000

Given

Mx

y

b x 0 y 0

Maximize f x y( )2.621 10

4

6.897 103

Solução Degenerada I

Não existe solução única

0, x

124x

3056x

5.02)(Maximizar

21

21

21

21

x

x

xSujeito

xxxf

0 2 4 60

2

4

6

Restrição 1Restrição 2f = 2f = 4f = 6

x1

x2

Restrição 2 e f são linearmente dependentes

Solução Degenerada II

Ótimo sem restrição

0, x

3

03x

)(Minimizar

21

2

21

21

x

x

xSujeito

xxxf

0 2 4 60

2

4

6

Restrição 1Restrição 2f = -4f = -6

x1

x2

x1 não impede a diminuição de f

Solução Degenerada III

Ausência de região possível

0, x

02 x

2 x

)(Minimizar

21

21

21

21

x

x

xSujeito

xxxf

10 5 0 5 10

10

5

5

10

Restrição 1Restrição 2f = -2f = -6

x1

x2

Método Simplex

Antes, a solução gráfica

0, x

4x-

23x-

22x

)(Minimizar

21

21

21

21

21

x

x

x

xSujeito

xxxf

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

Restrição 1Restrição 2Restrição 3f = 2f = 0f = -3

x1

x2

O ótimo ocorre na intersecção das restrições 2 e 3

Passos 1 e 2 do Simplex

Converter o lado direito das restrições em números positivos

0,x

4x

23x

22x-

21

21

21

21

x

x

x

x

Converter todas as desigualdades das restrições em igualdades• Variáveis de folga: x3, x4 e x5

0,,,,x

4x

23x

22x-

54321

521

421

321

xxxx

xx

xx

xx

Passo 3 do Simplex

Temos agora n (5) variáveis e m (3) equações

• NF=n-m=2; O sistema não tem solução única

Solução básica (possível)• Fixar o valor de n-m variáveis (igual a zero); resolver

• Variável não básica (x1 e x2): igual a zero

• Variável básica (x3, x4 e x5): diferente de zero

00

44

223

222-

21

5215

4214

3213

fxxf

xxxx

xxxx

xxxx

0,,,,x

4x

23x

22x-

54321

521

421

321

xxxx

xx

xx

xx

Passo 4 do Simplex

A solução básica inicial não corresponde ao mínimo; necessário mudar a solução básica

Examinando f (lembrar que é uma minimização)• O aumento de x1 provoca diminuição (maior coeficiente positivo)

• O aumento de x2 provoca o aumento

Nova variável básica: x1

Nova variável não básica: x3, x4 ou x5

• Restrição 1: x1 pode aumentar indefinidamente

• Restrição 2: x1 pode aumentar até 2

• Restrição 3: x1 pode aumentar até 4

Nova variável não básica: x4Dica de como detectar a restrição com a nova variável não básica?

0

4

23

22-

21

215

214

213

xxf

xxx

xxx

xxx

Passo 5 do Simplex

Novas equações, em função das novas variáveis não básicas (x2 e x4)

• A partir da restrição 2, explicitar x1 e substituir nas outras equações

• Observe que o valor de f diminuiu para -2

2421

24215

24213

421

22

424

52622

32

xxxxf

xxxxx

xxxxx

xxx

22

24

23

652

24

245

241

243

xxf

xxx

xxx

xxx

Continuar …

Eliminação e Simplex

Usar eliminação (Gaussiana) no lugar da substituição algébrica

0

4

2

2

100011

010011

001031

000112

5

4

3

2

1

f

x

x

x

x

x

Pivô

Gauss: aumentar a matriz

Três 1as linhas: restrições

Última linha: função objetivo

Como escolher o pivô?

• Coluna: maior positivo de f

• Linha: menor quociente positivo

0100011

4010011

2001031

2000112

Eliminando …

2101020

2011040

2001031

6002150

5

1

3

54321

x

x

x

bfxxxxx

Transformar a coluna do pivô em [0 1 0 0]T: operação com matriz

Novo pivô: a32

Nova variável básica: x2

Nova variável não básica: x5

0100011

4010011

2001031

2000112

5

4

3

54321

x

x

x

bfxxxxx

Finalizando a Eliminação

Os coeficientes em f são negativos: processo terminado

35.05.0

5.025.025.0

5.375.025.0

5.825.175.0

54

542

541

543

xxf

xxx

xxx

xxx

315.05.0000

5.0025.025.0010

5.3075.025.0001

5.8025.175.0100

2

1

3

54321

x

x

x

bfxxxxx

3

5.0

5.3

5.8

2

1

3

f

x

x

x

Finalizando PL

Problema na forma padrão

• x é o vetor das variáveis

• c é o vetor de coeficientes de f

• A é a matriz de coeficientes das restrições

Solução básica impossível

• x1=x2=0

• X3=-5 (impossível)

• Procedimento das duas fases

0,0

a sujeito

minimizar

bx

bAx

xcf T

44

543543

a Sujeito

2 Minimizar

42121

32121

21

xxxxx

xxxxx

xxf

Exercícios

Mathcad Matlab (função linprogr)

• Problema 7.3 do livro do Himmelblau. Usar o Mathcad

• Problema 7.17 do livro do Himmelblau.

• Problema 7.23 do livro do Himmelblau. Usar o Matlab.