universidade do grande rio prof. josé de souza herdy ... · modelação matemática, além de...
TRANSCRIPT
Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy – UNIGRANRIO
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NA
EDUCAÇÃO BÁSICA
GESSÉ PEREIRA FERREIRA
A VIABILIDADE DO ENSINO DE MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO USANDO MODELAGEM
DUQUE DE CAXIAS 2009
Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy – UNIGRANRIO
CURSO DE MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NA
EDUCAÇÃO BÁSICA
GESSÉ PEREIRA FERREIRA
A VIABILIDADE DO ENSINO DE MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO USANDO MODELAGEM
DUQUE DE CAXIAS
2009
Dissertação apresentada à Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”, como parte dos requisitos parciais para a obtenção do grau de mestre em Ensino das Ciências na Educação Básica. Orientadores: Abel Rodolfo Garcia Lozano Jacqueline de Cássia P. Lima
CATALOGAÇÃO NA FONTE/BIBLIOTECA – UNIGRANRIO
F383v Ferreira, Gesse Pereira. A viabilidade do ensino de matemática discreta no ensino médio usando
modelagem / Gesse Pereira Ferreira. - 2009. 94 f. : il. ; 30 cm.
Dissertação (mestrado em Ensino de Ciências na Educação Básica) – Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”, Escola de Educação, Ciências, Letras, Artes e Humanidades, 2009.
“Orientador: Prof. Abel Rodolfo Garcia Lozano.” “Co-Orientadora: Prof.ª Jacqueline de Cássia P. Lima.” Bibliografia: p. 74.
1. Educação. 2. Educação básica - Recursos de rede de computadores. 3. Matemática – Estudo e ensino. 4. Modelos matemáticos. 5. Teoria dos grafos. 7. Computação - Matemática. I. Lozano, Abel Rodolfo Garcia. II. Lima, Jacqueline de Cássia P. III. Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”. IV. Título. CDD –370
.
Aos meus irmãos, Josenilton Ferreira e Dailva Ferreira, pela
compreensão da minha ausência nos momentos em família.
Ao meu amigo e irmão Willian da Silva Leal.
A Bruna Moreira Gonzalez e a Damiana Pereira Ferreira,
minha mãe, pelo amor e apoio incondicional.
AGRADECIMENTOS
Aos meus orientadores
Abel Lozano
Jacqueline de Cássia
Aos professores do Mestrado
Clícia Valladares, Haydéia Reis e Wilma de Lima
Aos amigos
Ângelo dos Santos Siqueira, Josias Pereira Miranda,
Márcio Vinícius do Rosário Hilário e Zenildo Buarque de Morais Filho.
Aos amigos do Grupo de Estudo
Clailton Cordeiro, José Carlos G. Gaspar e Carlos Creppe.
Às pessoas que de alguma forma contribuíram para o acontecimento desta pesquisa
Adilson Manoel, Adriana Curvello, Ana Cristina, Geovane André, Ítalo Gato,
Lacêni Frazão, José Wilson, Junior Garcia, Marcelo Moura,
Maria de Fátima, Maximiliano Augusto, Miguel Puggian, Mônica Cardoso, Nuno José,
Renata Gonzalez, Roberto Mendonça, Sérgio Pessoa, Tina Pacheco e Valter Mattos.
“O temor ao Senhor é o princípio do conhecimento, mas os loucos desprezam a sabedoria e a instrução”.
Pv 1:7
RESUMO
O avanço tecnológico e o surgimento de uma sociedade virtual juntamente com a rapidez da comunicação convergem para uma mudança no ensino da Matemática. A Matemática Discreta, então, assume um papel importante dentro da nova ordem mundial, já que o computador, peça chave dessa revolução informática, apresenta estruturas finitas. Com isso, o objetivo principal desta pesquisa é mostrar a viabilidade do ensino de Matemática Discreta no Ensino Básico usando Modelagem Matemática como ferramenta de ensino-aprendizado, tendo como referenciais teóricos artigos, teses e outros trabalhos que apresentam argumentações em defesa da necessidade de se trabalhar com modelagem matemática e modelos discretos no ensino. Dentre tópicos da Matemática Discreta, escolhemos a Teoria dos Grafos justamente por ser um tema ligado a necessidade atual dos computadores. Além disso, está sendo utilizada largamente em pesquisas operacionais, podendo também ser explorada na matemática das séries inicias. O estudo aqui apresentado enumera características qualitativas, devido à interpretação/análise da participação dos alunos durante o processo tendo por objetivo investigar as possibilidades de se promover uma mudança no currículo da matemática pré-universitária e embora tenha testado uma nova teoria no âmbito da Educação Básica (a Teoria dos Grafos), os dados coletados não são analisados com procedimentos estatísticos, não possuindo, dessa forma, características quantitativas. A população alvo constituiu-se de alunos dos 1.º e 2.º anos do Ensino Médio, matriculados em dois estabelecimentos de ensino, situados em Duque de Caxias, um dos municípios do estado do Rio de Janeiro. .
PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática, Modelagem Matemática, Matemática Discreta e Teoria dos Grafos.
ABSTRACT
The Advanced Technology and the appearing of a virtual society with “fast communication” converge to a Mathematics teaching changing. The Discret Mathematics assume an important role in the new world order, because computer, the key of informatics revolution has finite structures. However, the principal objective of this research is to show the feasibility of teaching of Discret Mathematic in Basic Teaching using Modeling Mathematics as a tool of learning-teaching with theoric references: articles, theses and others papers that presents argumentations in necessity defense of work with Modeling Mathematics and discret models in education. Among topics of Discret Mathematics, we chose the Graph theory just because it is a topic on the current need of computers. Moreover, it is being used widely in operations research and it may be exploited in Maths of initials series. The study presented here lists qualitative character due comprehension/analysis of student participations during the process it has the objective to investigate the possibilities of promoting a changing in the curriculum of Early Universitarian Mathematics and though it has tested a new theory in the ambit of Basic Education (Graphs Theory), the collected data aren’t analyzed with static procedures; this way, they don’t have qualitative characters. The target population consisted of students of 1st and 2nd stage of High School, maticulated in two schools, located in Duque de Caxias, one of Rio de Janeiro’s cities.
Key words: Mathematics Education, Mathematics Modeling, Discret Mathematics, Graphs Theory.
Lista de Abreviaturas e Siglas
CEFET Centro Federal de Educação Tecnológica.
CREMM Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino.
CNMEM Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática.
CVM Centro Virtual de Modelagem.
EM Educação Matemática.
ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática
GT10 Grupo de Trabalho de Modelagem Matemática.
IFRJ Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro.
LDB Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional.
PCNs Parâmetros Curriculares Nacionais.
SBEM Sociedade Brasileira de Educação Matemática.
SIPEM Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática.
UEFS Universidade Estadual de Feira de Santana.
UFMG Universidade Federal de Minas Gerais.
UFSC Universidade Federal de Santa Catarina.
UNIGRANRIO Universidade do Grande Rio.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 12
2 MODELOS MATEMÁTICOS AO LONGO DA HISTÓRIA
2.1 Arquimedes e a Coroa do Rei Hieron ............................................................................... 16
2.2 O Modelo Planetário de Cláudio Ptolomeu ...................................................................... 19
2.3 O Problema das Pontes de Königsberg.............................................................................. 22
3 TENDÊNCIAS DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO
3.1 A Intensificação da Criação de Modelos e o Surgimento da Matemática Aplicada.......... 27
3.2 Tendências da Modelação Matemática no Brasil .............................................................. 29
4 MATEMÁTICA DISCRETA E CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DOS GRAFOS
4.1 A importância da Matemática Discreta no Ensino ............................................................ 33
4.2 Introdução ao estudo dos Grafos ........................................................................................ 37
5. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
5.1 Metodologia ...................................................................................................................... 43
5.2 População Alvo ................................................................................................................ 44
5.3 Participantes ..................................................................................................................... 45
5.4 Coleta de dados ................................................................................................................. 46
6. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS COLETADOS
6.1 Primeiro Momento – Apresentação do Problema Motivador............................................ 48
6.2 Segundo Momento – O Conceito de Modelação Matemática é Inserido.......................... 54
6.3 Terceiro Momento – Apresentação das Noções Básicas de Grafos .................................. 61
6.4 Quarto Momento - Retomada dos Problemas sob a Ótica dos Grafos................................64
6.5 Quinto Momento – Encerramento da Oficina ................................................................... 70
7.CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 73
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 74
APÊNDICE I – Problema 1..................................................................................................... 78
APÊNDICE II – Problema 2 ................................................................................................... 80
APÊNDICE III – Problema 3 .................................................................................................. 82
APÊNDICE IV – Problema 4.................................................................................................. 84
ANEXO I – Distância entre as Capitais Brasileiras ................................................................ 90
12
1. Introdução
Se quiséssemos fazer uma divisão da matemática nos dias atuais poderíamos dividi-
la em dois domínios: o Contínuo e o Discreto. Dessa forma, não seria nenhum exagero
afirmar que os números reais estão para a Matemática Contínua assim como os inteiros estão
para a Matemática Discreta. Esta última vem ganhando cada vez mais importância,
principalmente em função do uso intenso dos computadores que, por sua vez, tratam
estruturas finitas.
Consideramos que o crescente uso dos instrumentos digitais e dos computadores em
várias atividades do cotidiano, como em uma simples operação bancária realizada em um
“caixa eletrônico”, por exemplo, bem como a maneira rápida com que se popularizou o uso
desses mecanismos, principalmente nos últimos vinte anos, vem orientando, de certa forma,
para um ensino que esteja mais atento com os aspectos processuais dessa ciência.
Dentre tópicos da Matemática Discreta como Análise Combinatória e Probabilidade,
que já fazem parte do currículo da Educação Básica, escolhemos a Teoria dos Grafos
justamente por ser um tema ligado à necessidade atual dos computadores.
Utilizada largamente em pesquisas operacionais, como problemas de redes de
computadores, redes de energia elétrica, distribuição de bens e serviço, escalonamento de
tripulações e outros, a Teoria dos Grafos pode também ser explorada na Matemática das séries
inicias do Ensino Fundamental.
Alguns problemas que envolvem grafos são adaptáveis ao propósito de exemplificar,
em sala de aula, atividades de modelagem, especialmente modelos discretos. Além disso, é
oportuno o uso dos grafos na Educação Básica, pois, suas aplicações exigem menos condições
matemáticas para utilização ou abordagem de situações-problema.
13
Os grafos também podem ser utilizados na modelagem de problemas do cotidiano do
aluno e para inclusão de novas possibilidades de uso das novas tecnologias, contribuindo para
uma transversalidade e para que o educando entenda a importância da Matemática no
desenvolvimento tecnológico e científico.
A intensificação do ensino da Matemática Discreta na Educação Básica já é
defendida há algum tempo por vários países do mundo inclusive pelos Estados Unidos e
França. No Brasil, várias pesquisas vêm sendo feitas com o mesmo intuito, principalmente
nestes primeiros anos do século XXI.
Destacamos que para uma nação que pensa em melhorar o seu sistema educacional,
atentar-se às mudanças que ocorrem nos sistemas educacionais dos outros países é importante,
pois, através da pesquisa, poderemos adaptar teses relevantes que sejam favoráveis à realidade
e ao desenvolvimento do Brasil.
Vale ressaltar que a inclusão de novos temas pode agravar um problema já
conhecido: a quantidade excessiva de conteúdos no currículo da Matemática na Educação
Básica que cria uma dificuldade para docentes e discentes elegerem os conteúdos
considerados fundamentais.
Sendo assim, temos questões relevantes a considerar: é possível inserir mais temas
de Matemática Discreta no atual cenário da educação brasileira? Sendo possível, qual a
melhor ferramenta de ensino–aprendizagem para inserção desses tópicos?
Uma solução paliativa pode ser a construção de oficinas onde novos conceitos
possam ser experimentados, de forma que, principalmente professores e alunos, possam ter
acesso às novas teorias a fim de que se promova uma mudança de forma gradativa e prudente,
com a participação de todos os envolvidos com a educação.
14
A necessidade de que a escola adote novos conteúdos - não significando a exclusão
de todos os conteúdos existentes - passa a ser fundamental para uma diminuição na dicotomia
entre o currículo abordado em sala de aula e a realidade enfrentada pelos alunos em seu dia a
dia.
A Modelagem Matemática é uma importante ferramenta para introdução de novos
tópicos em sala de aula. Além disso, é ideal para a implantação das idéias
socioconstrutivistas, em que a aprendizagem de uma nova teoria matemática é feita pela
introdução de uma situação-problema.
Nesse sentido, esta pesquisa é importante, pois seus resultados poderão servir como
referencial teórico para a agregação de conteúdos, na Educação Básica, que possam se
adequar mais à realidade atual. Para isso, partimos da hipótese de que é possível inserir temas
de Matemática Discreta no currículo do Ensino de Matemática na Educação Básica, usando
como principal ferramenta de ensino-aprendizagem a Modelação Matemática.
Divulgar a idéia central e alguns conceitos básicos sobre grafos, reforçar o uso de
modelação matemática, além de mostrar a viabilidade do ensino de Matemática Discreta no
Ensino Médio usando Modelagem Matemática são os objetivos desta pesquisa que, para
tornar a leitura mais agradável, está sendo dividida em capítulos.
Esclarecemos que em nenhum momento tivemos a intenção de aprofundarmos
estudo da Teoria dos Grafos e de nenhum outro tópico da Matemática abordado em nossa
investigação. Desta forma, dispensamos as demonstrações dos teoremas e das propriedades
que são citadas durante o desenvolvimento de todo o trabalho.
15
2. Modelos Matemáticos ao longo da História
Grande parte do currículo abordado em matemática se desenvolveu, e ainda se
desenvolve, na tentativa de se resolver algum tipo de situação problema. Dessa forma, não
seria exagero afirmar que o processo de modelagem matemática já é praticado desde o início
da própria matemática. Para Biembengut e Hein (2003) “a modelagem é tão antiga como a
própria matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos” (p.8).
Segundo Bassanezi (2006), um dos pioneiros em pesquisas sobre modelagem matemática no
ensino no Brasil, “modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da
realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem
do mundo real” (p.16). Outros pesquisadores apresentam definições mais específicas sobre
modelagem matemática: Barbosa (2007), por exemplo, com um enfoque para a Educação
Matemática, conceitua modelagem matemática como “um ambiente de aprendizagem em que
os alunos são convidados a investigar, por meio da matemática, situações com referência na
realidade” (p. 161).
Para tentarmos mostrar a veracidade da proposição feita por Maria Salet
Biembengut e Nelson Hein vamos apresentar três situações da História da Matemática (e por
que não dizer: da humanidade), em que podemos observar claramente o uso da modelagem
matemática para resolver uma situação problema. A primeira acontece durante a Antiguidade,
com a participação de Arquimedes de Siracusa; a segunda, no início da era Cristã, mas ainda
na Antiguidade, no século II, envolve Klaudius Ptolemaios; e a terceira, durante a Idade
Moderna1, tem, no elenco, a figura ímpar na História da Matemática de Leonhard Euler.
1 Para fins didáticos, a Idade Antiga ou Antiguidade é computada de cerca de 4.000 a.C. até 476 d.C., quando ocorre a queda do Império Romano do Ocidente e a Idade Moderna, vai de 1453 até 1789, com o advento da Revolução Francesa.
16
É claro que poderíamos sugerir outras situações envolvendo modelagem matemática.
Situações, inclusive, anteriores a de Arquimedes de Siracusa. No século V a.C., por exemplo,
os egípcios, segundo o grego Heródoto2, usavam conceitos de geometria plana para que, após
as enchentes do rio Nilo, os agrimensores determinassem a redução sofrida pelo terreno,
passando o proprietário a pagar um tributo proporcional ao que restara. Eventos como esse,
em que se usa Matemática como ferramenta na solução de algum problema do cotidiano, são
comuns na história antiga da Matemática.
2.1 Arquimedes e a Coroa do Rei Hieron
Arquimedes nasceu em 287 a.C., na cidade de Siracusa, Sicília. É considerado o
maior matemático da Antiguidade. Para Aaboe (2002) “nenhum tratado de matemática
clássica supera os trabalhos de Arquimedes” (p. 93). Suas contribuições, não só em
matemática, mas também em física, foram tão importantes que o colocou no rol dos três
maiores matemáticos de todos os tempos, juntamente com o inglês Isaac Newton (1642-1727)
e o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Segundo Garbi (2007) “a humanidade teve que
esperar dezenove séculos para que, com Newton, surgisse alguém que a ele pudesse ser
comparado” (p. 80).
Entre os vários trabalhos publicados por Arquimedes, existe o tratado Sobre os
Corpos Flutuantes, onde é encontrado o que hoje conhecemos como Teorema ou Princípio de
Arquimedes. Nesse trabalho, ele afirma que “todo corpo mergulhado em um fluido recebe um
empuxo3, de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado”. Nesse tratado,
segundo Boyer (1996), Arquimedes, “começando com um simples postulado, sobre a natureza
2 Heródoto viveu no século V a.C. e é considerado o Pai da História.3 Empuxo é a força, de sentido para cima, que o líquido exerce no corpo imerso em um líquido.
17
da pressão dos fluidos, obtém resultados muitos profundos” (p. 84), como o teorema
supracitado.
Em uma obra notável sobre Arquitectura dividida em dez livros, sem uma data
precisa, Marcus Vitrúvio Pollio4, engenheiro e arquiteto romano que viveu no século I a.C.,
relata, no livro IX que trata de materiais de construção, de obras de edifícios públicos, de
decorações, de hidráulica e de máquinas acompanhando as noções práticas da teoria
correspondente, como Arquimedes teria descoberto o seu Princípio:
Hieron de Siracusa tendo chegado ao poder real, decidiu colocar em um templo, por causa de seus sucessos, uma coroa de ouro que havia prometido aos deuses imortais. Ofereceu assim um prêmio pela execução do trabalho e forneceu ao vencedor a quantidade de ouro necessária, devidamente pesada. Este, depois do tempo previsto, submeteu seu trabalho, finalmente manufaturado, à provação do rei e, com uma balança fez uma prova do peso da coroa. Quando Hieron soube, através de uma denúncia, que certa quantidade de ouro havia sido retirada e substituída pelo equivalente em prata, incorporada ao objeto votivo, furioso por haver sido enganado, mas não encontrando nenhum modo de evidenciar a fraude, pediu a Arquimedes que refletisse sobre isso. E o acaso fez com que ele fosse se banhar com essa preocupação em mente e ao descer à banheira, notou que, à medida que lá entrava, escorria pra fora uma quantidade de água igual ao volume do seu corpo. Isso lhe revelou o modo de resolver o problema. Sem demora, ele saltou cheio de alegria para fora da banheira e completamente nu, tomou o caminho de sua casa, manifestando em voz alta para todos que havia encontrado o que procurava. Pois em sua corrida ele não cessava de gritar: encontrei, encontrei... (MARTINS, 2000. p. 117)
Embora muitos autores considerem a história narrada por Vitrúvio como lenda
(talvez pelo fato de que em nenhuma obra de Arquimedes tal situação seja mencionada),
vamos mostrar, em uma linguagem matemática moderna, como Arquimedes pode ter
resolvido o problema, já que a sugerida na obra de Vitrúvio apresenta algumas falhas e é vista
4 Um pequeno trecho sobre a vida de Vitrúvio é encontrado no livro do português Fernando de Almeida e Vasconcellos chamado de História das Matemáticas na Antiguidade. Esta obra foi publicada em 1925. Vasconcellos, Coronel de Engenharia, foi professor de Cálculo Diferencial e Integral e de Probabilidade da Universidade de Lisboa.
18
por muitos físicos (inclusive Galileo Galilei)5, como grosseira e muito longe de perfeição, e
que por isso não poderia ter sido essa a solução dada pelo gênio Arquimedes6.
Seja 1P o peso da coroa medido no ar, com 1P x y , onde x é a quantidade de
ouro e y a quantidade de prata.
E, 2P o peso da coroa mergulhada na água, com 2
x yP
d
, onde d R e 0.d
Ora, de fato 1P > 2P , por causa do empuxo.
Suponhamos agora, um bloco de ouro com peso 1A igual ao da coroa medidos no ar.
Daí, 1A nx , com 1 1A P e n R .
Segue-se que, medindo o bloco de ouro, mergulhado na água, encontramos um
peso 2A tal que, 2 '
nxA
d , com 'd R e ' 0d .
Analogamente, temos 1A > 2A .
As aferições foram feitas para que pudéssemos chegar a uma das conclusões:
1.º - Se os volumes fossem iguais os empuxos também o seriam e, portanto, 2A = 2P . Nesse
caso a denúncia seria falsa.
2.º - Se a coroa contiver prata, então seu volume será maior do que do bloco de ouro puro e o
empuxo também será maior. Com isso 2A > 2P . Nesse caso, estaria provado o furto do
ourives.
5 Galileo Galilei (1564-1642), notável cientista italiano, fez descobertas fundamentais no campo da Física e da Astronomia, revolucionando a ciência de sua época.6 Essa solução é bastante questionada. Maiores detalhes poderão ser encontrados no artigo escrito por Roberto de Andrade Martins intitulado Arquimedes e a coroa do rei: problemas históricos, que pode ser encontrado no sítio http://www.fsc.ufsc.br/ccef/port/17-2/artpdf/a1.pdf.
19
Vale a pena acrescentar que, construindo um bloco de prata com o mesmo peso da
coroa, medidos no ar, poderíamos descobrir a proporção de prata usada pelo ouvires com uma
boa aproximação (através da resolução de um sistema de equações).
Lenda ou não, o fato é que, através de um modelo matemático, Arquimedes resolveu
uma situação problema que, aparentemente, não tinha nada a ver com mundo da matemática.
O tipo de modelo usado por Arquimedes, está inserido, nos dias de hoje, no campo da
Matemática Contínua, que descreveremos com mais detalhes posteriormente neste trabalho. É
importante acrescentar que, segundo Martins (2000), “o conhecimento científico atual pode
ser necessário para reconstruir o objeto de investigação” (p. 120). O gênio Arquimedes foi
morto em 212 a.C. em Siracusa, Sicília.
2.2 O Modelo Planetário de Cláudio Ptolomeu
Entre as diversas definições que podemos encontrar sobre o conceito de modelo
matemático, vamos adotar aqui a sugerida por Lima Filho (2008): “um modelo matemático é
uma representação aproximada e seletiva (respectivamente, em termos matemáticos) de uma
dada situação” (p. 16). Um exemplo de modelo matemático marcante é o modelo Geocêntrico
do Sistema Planetário apresentado por Ptolomeu no século II d.C. O sistema dominou a
astronomia durante quatorze séculos até ser refutado por Nicolau Copérnico7 (1473-1543) e
seu sucessores.
Klaudius Ptolemaios (c. 85 d.C. – 165 d.C.), que latinizado virou Claudius
Ptolemaeus e atualmente é conhecido como Cláudio Ptolomeu, foi matemático, astrônomo e
7 Astrônomo polonês estudou na Universidade de Cracóvia, Polônia. Conseguiu provar, matematicamente, a teoria do modelo heliocêntrico, mas não conseguiu apoio de quase ninguém; na época, o sistema de Ptolomeu e as idéias de Aristóteles eram doutrinas estabelecidas tanto na religião como na filosofia.
20
geógrafo grego. Assim como Euclides de Alexandria8, pouco se sabe sobre sua vida, mas
acredita-se que tenha vivido também em Alexandria durante o segundo século d.C. Segundo
Boyer (1996), “Ptolomeu fez observações em Alexandria de 127 a 151 d.C. e por isso
supomos que nasceu pelo fim do primeiro século. Suidas, escritor que viveu no século dez,
diz que Ptolomeu viveu ainda sobre Marco Aurélio (imperador de 161 a 180 d.C.)” (p. 112).
Entre as obras publicadas por Ptolomeu vamos destacar a que os historiadores
consideram como a mais importante: O Almagesto. Composta por treze livros, a Síntese
Matemática, que os árabes traduziram chamando-a Al-Midschisti (do grego Megistos, “muito
grande”) donde derivou o nome Almagesto ou obra muito grande, é, segundo Vasconcellos
(1925), “uma enciclopédia das aplicações da Geometria à Astronomia, constituindo, como
depósito das observações dos antigos” (p. 470).
Ao contrário de Euclides, Ptolomeu faz uso do que conhecemos hoje como referência
bibliográfica, sendo as obras de Hiparco9 sua principal ferramenta matemática. Garbi (2007)
afirma que “Ptolomeu foi extremamente cuidadoso em seu celebre tratado, fazendo
referências minuciosas a seus antecessores (o que nos permitiu conhecer bastante da antiga
astronomia grega)” (p. 111).
No livro I do Almagesto, Ptolomeu marca a posição da Terra usando resultados de
Hiparco e considerando-a imóvel. Em seguida, com a Terra como centro do Universo,
distribui os corpos celestes, que giravam em torna dela, na seguinte ordem: Lua, Mercúrio,
Vênus, Sol e Marte. Os corpos, com exceção da Lua e do Sol que não possuíam epiciclo,
executavam basicamente dois movimentos:
Epiciclo: um pequeno círculo imaginário da esfera celeste, cujo centro se
encontrava na circunferência de um outro círculo;
8 Euclides (c. 330 a.C. – 275 a.C.) autor de Elementos, obra em treze livros dedicados à Matemática. Elementos de Euclides, possui uma parte direcionada a teoria dos números, mas o ponto forte da obra é a geometria, com 5 postulados e 467 teoremas.9 Geômetra e Astrônomo, Hiparco de Nicéia (c. 180 a.C. – 125 a.C.) é considerado o criador da Trigonometria.
21
Deferente: o círculo imaginário descrito pelos corpos celestes em seus
movimentos em volta da Terra.
A figura abaixo é um esboço10 do sistema de Ptolomeu:
Ilustração 2.1 – Sistema Planetário de Ptolomeu
Embora Aristarco11 já tivesse defendido a tese de que a Terra estivesse em rotação
em torno de si mesma e, ao mesmo tempo, em torno do Sol, todas as atenções estavam
voltadas para o modelo Geocêntrico, defendido pelo grande filósofo Aristóteles12 e indo ao
encontro dos ideais teológicos da época que recusava qualquer sistema em que a Terra não
tivesse posição de destaque como centro do Universo.
No Almagesto, Ptolomeu elevou a astronomia matemática a uma posição nunca antes
alcançada, seguindo as idéias da escola pitagórica segundo a qual “os fenômenos naturais
podem ser descritos e previstos matematicamente”. A obra apresenta também, várias 10 Esboço retirado do sítio http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm14/Ptolemy.htm.11 Aristarco de Samos (c. 310 a.C. -230 a.C.), um dos pioneiros do heliocentrismo e o primeiro a calcular as distâncias entre o Sol, a Terra e a Lua.12 Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.) filósofo grego, fundou a lógica sendo um dos primeiros a elaborar um sistema filosófico dos corpos e do mundo físico que o cercava. Para Aristóteles, toda e qualquer matéria era composta de quatro elementos: Terra, Água, Fogo e Ar. Aristóteles defendia que os planetas, o Sol e a Lua giravam em torno da Terra em órbitas circulares e a Terra não se movia.
22
contribuições para a trigonometria como o conceito do seno, valor aproximado de ,
resolução de triângulos esféricos e triângulos retilíneos. Estuda ainda a teoria dos eclipses, a
teoria dos planetas e apresentando, na época, um catálogo das estrelas.
A contribuição de Ptolomeu é tão importante que figura também entre os modelos do
universo, juntamente com os modelos de Newton e Einstein13, como mostra a tabela abaixo
destacada em Lima Filho (2008):
MODELO ÉPOCA TIPO DISCIPLINA EM QUE SE BASEIA
Babilônicos 2 000 a.C. Aritmético (estático) Aritmética
Ptolomeu Séc. II Geométrico Geometria Euclidiana
Newton Séc. XVII Analítico Cálculo
Einstein Séc. XX Geometria-diferencial Geometria-diferencial
Para Aaboe (2002), o Almagesto, “mais do que qualquer outro livro contribuiu para a
ideia tão básica nas atividades cientificas, de que uma descrição quantitativa e matemática dos
fenômenos naturais, capaz de fornecer predições confiáveis, é possível e desejável” (p. 131).
2.3 O Problema das Pontes de Königsberg
Afirmamos no início deste trabalho que grande parte da matemática se desenvolve,
ou se desenvolveu, na tentativa de se resolver algum tipo de situação problema. Queremos
13 Albert Einstein (1879 - 1955) professor, físico e matemático alemão naturalizado norte-americano conhecido principalmente por ter desenvolvido a Teoria da Relatividade, na qual expõe a célebre equação E = mc2, pela qual a energia E de uma quantidade de matéria, com massa m, é igual ao produto da massa pelo quadrado da velocidade da luz, representada por c. Em1921 ganhou o Prêmio Nobel de Física, pelos seus serviços prestados à Física Teórica e por seus trabalhos sobre efeitos fotoelétricos.
23
esclarecer ao leitor que essa situação problema não precisa ser necessariamente de cunho
científico. A teoria das probabilidades, por exemplo, teve como ponto de partida uma
correspondência entre Pascal14 e Fermat15 que tratava sobre jogo de dados. De certa forma, a
Teoria dos Grafos tem um início bastante parecido, começando como um simples problema
entre os habitantes da cidade de Königsberg que também, pelo menos à primeira vista, não se
tratava de um problema científico.
Os habitantes de Königsberg na Prússia, hoje Kaliningrad, Rússia, costumavam
passear atravessando as sete pontes que ligavam o Rio Pregel à cidade.
Ilustração 2.2 -Esquema de pontes16 da cidade de Königsberg no século XVIII
14 Blaise Pascal (1623-1662). Matemático francês; trabalhou principalmente com as cônicas e com a hidrostática. Nenhuma de suas obras foi concluída, Pascal diversificava seus interesses e não se fixava. 15 Pierre de Fermat (1601-1665). Embora não tenha sido um matemático profissional, cursou Direito em Toulouse, o francês Pierre de Fermat é tido como moderno fundador da teoria dos números, devido sua grande contribuição dentro dessa área da Matemática.16 Figura retirada do sítio http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/
24
Durante essa caminhada um fato intrigava aos que ali faziam tal percurso: seria
possível, partindo-se de qualquer uma das regiões, margens ou ilhas, atravessar as sete pontes
do Rio Pregel, sem passar duas vezes na mesma ponte, retornado ao ponto de partida? Essa
situação problema, tratada por muitos como lenda, enigma, recreação ou ainda como “charada
matemática”, ficou conhecida como O Problema das Pontes de Königsberg e coube ao grande
matemático Leonhad Euler resolvê-la.
Euler apresentou a solução do problema a Academia de Ciências Russa de São
Petersburgo no ano de 1736. Vale ressaltar que no ano anterior, 1735, a fama de Euler
começou a se espalhar pelo mundo ao encontrar a soma da série infinita dos inversos dos
quadrados dos números naturais e em 1976, publicou Mechanica, onde apresentou a mecânica
newtoniana dentro da linguagem do Cálculo Diferencial e Integral, um verdadeiro marco na
História da Física e o primeiro, dentre muitos outros trabalhos sobre o mesmo assunto,
publicado por Euler.
Em uma linguagem moderna, poderíamos dizer que Euler criou um modelo
matemático representado por um diagrama parecido com o da figura17 abaixo:
Ilustração 2.3 – Modelo matemático das pontes da cidade de Königsberg .
17 Diagrama retirado do sítio: http://users.prof2000.pt/agnelo/grafos/pontesh.htm
25
No diagrama acima temos:
A, B, C e D são os pontos associados as partes que contém terra firme, onde
A e C são as duas margens e B e D são as ilhas. Os pontos são chamados,
atualmente, de vértices;
1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são as linhas que representam as sete pontes que ligam as
ilhas as margens e as ilhas entre si (linha 6). Essas linhas são chamadas de
arestas.
Ao elevar a charada matemática a um grau de problema de matemática, Euler, como
de costume, não se contentou em simplesmente resolvê-lo, deu também um rigor a solução.
Rigor em matemática tem a ver com definições, postulados, axiomas e, principalmente, com
teoremas.
Considerando que um vértice é par ou ímpar, dependendo do número de arestas
incidentes a ele seja par ou ímpar, Euler fez as seguintes descobertas:
1. Um diagrama pode ser atravessado começando e acabando num mesmo ponto sem
passar duas vezes na mesma aresta se, e somente se, todos os vértices forem pares.
2. Um diagrama que contém, no máximo, dois vértices ímpares também pode ser
atravessado, entretanto sem voltar ao local de partida.
3. Se o diagrama contém 2n vértices ímpares, onde n é um número inteiro qualquer, para
atravessá-lo serão necessárias n passagens distintas por uma mesma linha.
Em nosso diagrama, que representa o passeio pela cidade de Königsberg, todos os
vértices são ímpares e, portanto, podemos concluir, de acordo com o exposto acima, que não é
possível efetuar todo o percurso, retornado ao local de partida, sem cruzar duas vezes a
26
mesma ponte. Este resultado, formulado nos dias atuais com maior elegância, é conhecido
como Teorema de Euler e é considerado como marco inicial da Teoria dos Grafos.
São muitas as contribuições de Euler para as Ciências Exatas, especialmente a
Matemática. Para muitos historiadores seria mais justo que tivéssemos, ao invés do “Power
Trio” (Arquimedes, Newton e Gauss), “O Quarteto Fantástico” (Arquimedes, Newton, Gauss
e Euler) completando o célebre time dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Euler escreveu mais de 900 tratados e ainda publicou vários livros e estudos.
Acredita-se que nenhum outro matemático tenha superado Euler em produção científica. Para
Garbi (2007):
Ele foi um furacão que varreu o território da Matemática durante a maior parte do século XVIII e que, nas quase seis décadas de sua vida matematicamente produtiva, dominou o cenário mundial das Ciências Exatas, sem qualquer outra das grandes figuras da época pudesse disputar o cetro. Euler é, sem dúvida e de longe, o matemático que mais obras produziu em todos os tempos, cobrindo todas as áreas então conhecidas da Matemática e criando outras que não haviam sido sequer vislumbradas por seus antecessores. (GARBI, 2008. p. 242)
Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707, na Suíça. Em 1727 chega em São
Petersburgo, Rússia. Alcança em 1733, ao 26 anos de idade, o posto máximo da área de
Matemática da Academia. Em 1741 mudou-se para Alemanha e trabalhou como matemático
da corte sem se desligar totalmente da Academia Russa, continuando a receber seu salário e a
enviar a Ela incontáveis trabalhos. Em 1776 volta para Academia de São Petersburgo, ficando
totalmente cego em 1771, ainda assim escreveu um tratado de 775 páginas sobre Cálculo
Integral, chamado Institutiones calculi integralis. Euler morreu em 18 de setembro de 1783,
aos 76 anos. Seu corpo foi enterrado em São Petersburgo e até hoje a Rússia o considera um
dos seus grandes matemáticos, não só pelas três décadas que esteve a seu serviço, mas pelo
carinho com que o abrigou durante tanto tempo.
27
3. Tendências da Modelagem Matemática no Ensino
3.1 A Intensificação da Criação de Modelos e o Surgimento da Matemática Aplicada
Mesmo estando, de certa forma, conscientes de que a modelagem matemática
caminha lado a lado com a própria História da Matemática, o termo em si é bem mais recente,
guardadas as devidas proporções. Biembengut e Hein (2003) afirmam que “a expressão, em
seu conceito moderno, surge durante o renascimento18, quando se constroem as primeiras
ideias da física apresentadas segundo linguagem e tratamentos matemáticos” (p. 8). Já a ideia
de modelo matemático, segundo Lima Filho (2008), “vem sendo amplamente usada por
engenheiros, físicos, estatísticos e economistas desde a década de 1940, pelo menos” (p. 15).
A modelagem matemática, então, serviu e serve como a principal ferramenta para
uso principalmente das outras ciências, promovendo uma inter-relação da matemática com as
outras áreas do conhecimento humano, se encaixado na corrente de pensamento conhecida
como estruturalismo19. Essa tendência contribuiu para o surgimento de um novo ramo dentro
da própria matemática, chamado de Matemática Aplicada, onde os matemáticos emprestam
sua capacidade de generalização para a criação de modelos que possam explicar fenômenos
aparentemente não matemáticos.
18 No início da Idade Moderna ocorreu em várias partes do continente europeu um movimento de transformação conhecido pelo nome de Renascimento. O Renascimento iniciou-se na Península Itálica e expandiu-se nos séculos XV e XVI para outras partes da Europa. Dentre outros fatores que justificam o pioneirismo italiano, destacamos a herança da rica cultura árabe que se sedimentou na Sicília, servindo de base para uma renovação, em especial na Medicina e na Matemática.19 O estruturalismo é um método de análise usado principalmente na segunda metade do século XX, sendo uma corrente do pensamento dentro das Ciências Humanas, que acredita na realidade social como um conjunto formal de relações; é largamente adotado dentro da Filosofia da Matemática.
28
Com o crescente interesse dos matemáticos profissionais na Matemática Aplicada, os
modelos ganharam mais precisão e confiabilidade, passando a ser essencial nas estruturas das
ciências ditas não exatas. Adotaremos aqui a noção de Modelo Matemático sugerido por
Bassanezi (2006), como sendo “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que
representam de alguma forma o objeto estudado” (p.20). Bassanezi (2006) acrescenta ainda
que “a importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que
expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidade” (p. 20).
Podemos perceber claramente que o principal objetivo da modelagem matemática é
matematizar uma situação dada. Entretanto, o matemático tende a não se limitar em apenas
traduzir o problema para a linguagem matemática. O estudo deve vir acompanhado na
tentativa de generalizar a situação, de descobrir as possíveis estruturas matemáticas que estão,
de certa forma, inseridas dentro do problema. Como Euler fez com O Problema das Pontes de
Königsberg: modelou a situação e o generalizou, dando início a Teoria dos Grafos. É claro
que nem sempre é preciso uma nova teoria matemática para se modelar um problema.
Recentemente, em 2008, foi publicada uma obra intitulada: Modelos Matemáticos
nas Ciências Não Exatas: Um Volume em Homenagem a Euclides Custódio de Lima Filho20.
Nessa obra, podemos apreciar aplicações da matemática em vários artigos como, por
exemplo:
TEMA DO ARTIGO TEORIA MATEMÁTICA UTILIZADAA inferência em epidemiologia Probabilidade
Transporte linear com dados aleatórios Equações DiferenciasRotação em biomecânica usando quatérnios: formulação teórica e exemplos de aplicação
Teoria dos Quatérnios
Aplicação de ferramentas matemáticas em análises de imagens histológicas e
citológicasTeoria dos Grafos e Transformadas de
Fourier
20 O livro foi organizado por Eduardo Arantes Nogueira, Luiz Eduardo Barreto Martins e René Brenzikofer. A obra apresenta vários artigos que ligam a Medicina à Matemática ou a Biomatemática. É feita também uma homenagem ao Doutor Euclides Custódio de Lima Filho, médico, matemático e estaticista.
29
Uma vez que as estruturas são identificadas, Lima Filho (2008) destaca as vantagens
do uso de modelos sustentados por alguma teoria matemática:
1. Informações novas sobre a situação problema;
2. Previsões e projeções;
3. Estratégias;
4. Economia: situações diferentes podem admitir um mesmo modelo.
3.2 Tendências da Modelação Matemática no Brasil.
A forma imparcial em que o processo de modelagem promove a matemática e as
diversas formas de se construir ciência, chamou a atenção dos educadores e a partir da década
de 1970 surgem os primeiros trabalhos, aqui no Brasil, sobre modelagem matemática no
ensino, promovidos, segundo Biembengut e Hein (2003), pelo professor Aristides Camargo
Barreto, da Pontifica Universidade Católica do Rio de Janeiro, seguido por Ubiratan
D’Ambrósio, representante brasileiro em Educação Matemática e pelo professor Rodney
Carlos Bassanezi da Universidade de Campinas.
Na década de 1980 surgem os primeiros Cursos de Pós-graduação em Modelagem
Matemática, coordenados principalmente pelo professor Bassanezi. A partir daí, a modelagem
matemática ganha proporções maiores como estratégia de ensino aprendizagem e em 2001 a
Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, cria o Grupo de Trabalho (GT) de
Modelagem Matemática. Em Blumenau, Santa Catarina, a professora Maria Salett
30
Biembegut funda, em 2006, o Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino,
CREMM.
Segundo informações extraídas do próprio sítio oficial do GT de Modelagem
Matemática21, que também é conhecido por GT10 (por ter sido o décimo Grupo de Trabalho a
ser criado pela SBEM), o grupo tem como principal missão “favorecer o debate e a
colaboração dos pesquisadores brasileiros que realizam investigações sobre modelagem
matemática, na perspectiva da Educação Matemática, articulando o desenvolvimento dessa
frente de pesquisa no país”.
O GT10 se reúne a cada três anos durante o Seminário Internacional de Pesquisa em
Educação Matemática, SIPEM. Participa também da organização da Conferência Nacional
sobre Modelagem na Educação Matemática, CNMEM, e ainda do Encontro Nacional de
Educação Matemática, ENEM. Atualmente, na coordenação do GT10, encontram-se Jonei
Cerqueira Barbosa (UEFS), Ademir Donizete Caldeira (UFSC) e Jussara de Loiola Araújo
(UFMG).
Além da afinidade em usar o processo de modelagem matemática como ferramenta
de ensino aprendizagem, o GT10 possui em comum com CREMM a busca da integração dos
professores, e pesquisadores em geral, com o material disponível sobre modelação
Matemática22 . O CREMM apresenta como uma das principais metas “reunir, cada vez mais,
produções acadêmicas de modelagem do Brasil e demais países do mundo e divulgar esses
materias a todos os interessados e, ainda, promover um conjunto de ações virtuais e
presencias com apoio de pesquisadores e professores”. No sítio oficial23 do CREMM
21 As informações sobre o GT10 foram todas extraídas do endereço eletrônico: http://www.sbem.com.br/gt10/index.html.22 O uso do processo de modelagem matemática como método de ensino de matemática é chamado de modelação matemática.23 O endereço eletrônico do sítio oficial do CREMM é: http://www.furb.br/cremm/. O que estamos chamando de “principal meta do Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino” também foi extraído do sítio oficial do CREMM.
31
encontramos o endereço da Universidade Regional de Blumenau, o telefone, além do
endereço eletrônico. Tudo para facilitar o contato do pesquisador com CREMM.
Em 2007, o GT10 reuniu diversos artigos sobre modelação matemática e os publicou
em um livro intitulado Modelagem Matemática na Educação Matemática: Pesquisas e
Práticas Educacionais. A obra apresenta a modelagem matemática de diversas maneiras e em
diversas situações, fazendo emergir, de certa forma, quatro grandes áreas de concentração ou,
em outras palavras, as tendências da modelagem matemática no ensino:
I. Aspectos teóricos da modelagem matemática: em um primeiro momento, os artigos
apresentam uma preocupação com o aprofundamento teórico que contribua para a
aplicação da modelação matemática.
II. Modelagem e prática de sala de aula: aqui são apresentadas as pesquisas de campo
tanto no Ensino Básico como no Ensino Superior. É o momento onde as estratégias
são testadas.
III. Modelagem matemática e as tendências da informação e da comunicação – nessa
tendência, os artigos defendem o uso da modelagem matemática através dos
ambientes virtuais de aprendizagem.
IV. Modelagem matemática e formação de professores: a modelação matemática aqui é
apresentada como estratégia de ensino para o educador e para o educando.
Dentre os quinze artigos publicados em toda obra e distribuídos nas quatro grandes
áreas, destacamos o trabalho dos autores Abel Rodolfo Garcia Lozano e Clícia Valladares P.
Friedmann. Com o título Modelagem e Modelos Discretos: uma necessidade do ensino atual,
o artigo apresenta argumentações em defesa da necessidade de se trabalhar com modelagem
matemática e modelos discretos no ensino. Inserido dentro da segunda área de concentração -
32
Modelagem e prática de sala de aula –, o texto enfoca a necessidade do ensino de Matemática
Discreta usando um exemplo relacionado com a Teoria dos Grafos. Esse artigo serve como
um das principais referências do nosso trabalho, já que as propostas que serão apresentadas
aqui vão ao encontro das questões defendidas por Clícia Valladares e por Abel Lozano.
Em tempo, queremos ressaltar que além do GT10 e do CREMM existem vários
outros grupos de estudos, aqui no Brasil, que defendem o uso da modelagem matemática
como estratégia de ensino aprendizado. Entre eles, destacamos o Centro Virtual de
Modelagem, o CVM, que além de funcionar como ambiente virtual para os pesquisadores
interessados em modelagem matemática tem sido também uma ponte entre a modelagem e a
internet, desenvolvendo projetos de modelagem on-line de forma colaborativa.
33
4. Matemática Discreta e Conceitos Básicos de Teoria dos Grafos
4.1 A Importância da Matemática Discreta no Ensino
Tentar justificar se um determinado conteúdo ou currículo24 é importante dentro do
Sistema Educacional de um país não é uma tarefa tão fácil. Isso não ocorre somente com a
Matemática. Os obstáculos variam do aluno, durante o contato direto em sala de aula, aos
colegas educadores (geralmente, os que não trabalham ou não dependem diretamente do
conteúdo especificamente questionado). Ora, qual o professor que, com alguns anos em sala
de aula, não se deparou com a seguinte pergunta: por eu tenho que estudar isso? Ou ainda
com questões filosóficas maiores: para que isso serve em minha vida?
Infelizmente, muitos desses questionamentos não têm a intenção de sanar algum tipo
de dúvida sobre a aplicabilidade de alguma teoria, seja ela pertencente às áreas tecnológicas
ou não, e por mais que se justifique tal uso o receptor está, em geral, preparado para refutar a
explicação. É bem provável que, em sala de aula, este fenômeno contribua de forma
significativa para o fracasso de determinados conteúdos. Jurkiewicz e Leventhal (2008)
alertam que a “presença de participantes interessados é um ingrediente importante na
produção do sentido da aprendizagem” (p.235).
De qualquer forma, os conteúdos que são ministrados em sala de aula, juntamente
com toda estrutura educacional, “têm por finalidades desenvolver o educando, assegurar-lhe a
formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para
24 Segundo Líbaneo, Oliveira, Toschi (2007), “compreende-se o currículo como um modo de seleção da cultura produzida pela sociedade, para a formação dos alunos; é tudo o que se espera seja aprendido e ensinado na escola”.
34
progredir no trabalho e em estudos posteriores” (Art.22, Lei n.° 9.394/96). Fica a cargo
principalmente dos professores, que possuem contatos diretos em sala de aula com os
educandos, o desafio de superar as dificuldades e aplicar de forma flexível o projeto
pedagógico-curricular desenvolvido pela escola.
Entendemos, então, que a organização dos conteúdos precisa prever, de algum modo,
tentativas de enriquecimento do currículo. Líbaneo, Oliveira e Toschi (2007), alertam: “na
sociedade contemporânea, as rápidas transformações no mundo do trabalho, o avanço
tecnológico configurado a sociedade virtual e os meios de informação e comunicação incidem
fortemente na escola, aumentando os desafios para torná-la uma conquista democrática”
(p.14). Com isso, devemos estar atentos, pois em um mundo globalizado, as mudanças na
forma de se “pensar” a sociedade podem afetar diretamente na organização do currículo.
Não podemos negar que a popularização, pelo menos nos últimos vinte anos, do uso
de aparelhos digitais e computadores (sejam os pessoais ou os usados nos terminais de
bancos), vem acelerando as mudanças na sociedade. Segundo Jurkiewicz e Leventhal (2008):
“o advento das técnicas digitais e dos computadores como instrumento comum exercem
pressão inequívoca sobre o ensino da Matemática” (p.221). Os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNs) alertam:
A denominada ‘revolução informática’ promove mudanças radicais na área do conhecimento, que passa ocupar um lugar central nos processos de desenvolvimento, em geral. É possível afirmar que, nas próximas décadas, a educação vá se transformar mais rapidamente do que em muitas outras, em função de uma nova compreensão teórica sobre o papel da escola, estimulada pela incorporação das novas tecnologias. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS ENSINO MÉDIO, 1999. p. 15)
A Matemática Discreta, de certa forma, assume um papel importante dentro do atual
cenário mundial já que o computador, peça chave dessa terceira revolução industrial25,
apresenta uma estrutura finita e o estudo dos sistemas finitos esta a cargo da Matemática
25 A terceira revolução industrial caracteriza-se principalmente pela utilização do conhecimento científico no processo de industrialização e tem o computador como o principal elemento desse fenômeno.
35
Discreta. Segundo Lipschutz e Lipson (2004) “o computador é, basicamente, uma estrutura
finita, e muitas das suas propriedades podem ser entendidas dentro do arcabouço formado por
sistemas matemáticos finitos” (p. 6).
Para Friedmann (2003) “a influência dos computadores e o desenvolvimento de
campos da Matemática Discreta são dois fatores que têm levado algumas entidades ligadas ao
ensino a se interessar pela inclusão de temas ligados à Matemática Discreta na escola” (p.13).
Acreditamos que seja importante para uma nação, que pensa em melhorar o seu sistema
educacional, estar atenta às mudanças que ocorrem nos sistemas educacionais dos outros
países, não para copiar ideias, mas, para que através de pesquisas, poder adaptar teses
relevantes que sejam favoráveis à realidade e ao seu desenvolvimento.
Samuel Jurkiewicz e Gilda Leventhal (2008), em um artigo intitulado Oficina de
Matemática Discreta no Ensino, informam que alguns países já estão preocupados com o
ensino da Matemática Discreta. Os autores alertam que “a National Science Fundation dos
Estados Unidos patrocina um programa de desenvolvimento curricular de Matemática
Discreta” (p. 233) enquanto “o Ministério da Educação da França propõe explicitamente a
introdução do ensino de Teoria dos Grafos em certas vertentes do Ensino Médio” (p. 234).
Embora alguns autores evitem fazer tal diferenciação, nos dias atuais podemos
dividir a Matemática em dois domínios: o contínuo e o discreto. Talvez, tal resistência esteja
na dificuldade de se formular uma definição precisa do que seria Matemática Discreta.
Friedmann (2003) afirma que “qualquer tentativa de definir a Matemática Discreta traz
embutida a contraposição desta com a Matemática do Contínuo” (p.12). Para Scheinermann
(2003) podemos ilustrar essa diferença da seguinte maneira:
36
A Matemática Contínua corresponde aos relógios analógicos (...), do ponto de vista de um relógio analógico, entre 12:02 pm e 12:03 pm há um número infinito de diferentes tempos possíveis, na medida em que o ponteiro dos segundos percorre o mostrador (...). A Matemática Discreta é comparada a um relógio digital, em que há apenas um número finito possível de tempos diferentes entre 12:02 pm e 12:03 pm. Um relógio digital não reconhece fração de segundos (...), a transição de um tempo para o próximo é bem definida e sem ambiguidade. (SCHEINERMANN, 2003. p. 7)
Dentre tópicos da Matemática Discreta como Análise Combinatória e Probabilidade,
escolhemos trabalhar com Grafos justamente por ser um tema ligado à necessidade atual dos
computadores. Para Friedmann e Lozano (2007), “a Teoria dos Grafos é um campo da
matemática que vem se desenvolvendo de forma acelerada e que envolve as mais diversas
aplicações (...)” (p.135). Entre essas aplicações podemos citar: problemas de redes de
computadores, distribuição de bens e serviço e elaboração de tabelas de horários, podendo
também ser explorada na matemática das séries inicias. Os mesmos autores completam:
“Alguns problemas da Teoria dos Grafos são adaptáveis ao propósito de exemplificar
atividades de modelagem e uso de modelos discretos dentro de sala de aula” (p.135).
Neste sentido, a modelagem matemática, então, serve como principal ferramenta para
introdução desse tópico em sala de aula. Segundo Biembengut e Hein (2003): “a escola é um
ambiente indicado para a criação e evolução de modelos” (p.10). Para Bassanezi (2006) “a
aprendizagem realizada por meio de modelagem facilita a combinação dos aspectos lúdicos
da matemática com seu potencial de aplicações” (p.16). Além disso, a modelagem
matemática é ideal para a implantação da idéias socioconstrutivistas26, onde a aprendizagem
de uma nova teoria Matemática é feita pela introdução de uma situação-problema.
26
Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, “as ideias socioconstrutivistas da aprendizagem partem do princípio de que a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno, quando ele é colocado em situação de resolução de problemas” (p. 81).
37
4.2 Introdução ao Estudo dos Grafos
Mesmo cientes da importância da Teoria dos Grafos no atual cenário da Matemática
como ferramenta operacional no processo de modelagem de várias situações-problema,
atingindo áreas como engenharia, medicina, economia e a informática, nosso objetivo aqui
não é um aprofundamento rigoroso nas propriedades que decorrem da definição. Não tivemos
a preocupação com as formalidades típicas dos matemáticos. Dessa forma, os conceitos são
apresentados ao leitor com a finalidade de dar uma idéia geral sobre grafos e algumas de suas
aplicações.
Vamos analisar o seguinte problema: Max vai realizar o famoso “Regabofe” (festa
realizada anualmente em sua casa). Para que o convite da festa chegue a outras seis pessoas,
resolveu fazer uma corrente de convite com as seguintes condições:
Cada pessoa deve avisar a uma só outra, começando por ele mesmo.
Cada pessoa, ao avisar, deve comunicar à outra sobre que pessoas já sabem
da festa através dessa corrente (para evitar que uma pessoa seja avisada mais
de uma vez).
Cada aviso só pode ocorrer entre duas pessoas amigas (nem todas são).
Quando todos já souberem da festa, a última pessoa avisada, que deve ser
obrigatoriamente amigo do Max, deve comunicar a este que a corrente foi
concluída.
Sabendo que Max é amigo de Ana, Geovane e Fátima; Ana é amiga de Max, Márcio
e Adilson; Geovane é amigo de Max e Gustavo; Fátima é amiga de Max e Adilson; Gustavo é
amigo de Geovane e Márcio; Adilson é amigo de Ana e Fátima; Márcio é amigo de Ana e
Gustavo; exemplifique uma possível ordem de pessoas para a corrente do Max.
38
Resolução: Seja cada pessoa associada a um ponto da seguinte forma: 1- Max, 2-Ana, 3-
Geovane, 4-Fátima, 5-Gustavo, 6-Adilson e 7-Márcio. Os pontos então serão ligados por
segmentos indicando pessoas amigas, isto é, a ausência de segmentos ligando dois pontos
indica duas pessoas que não devem avisar da festa uma à outra. Uma possível sequência é
13572641, modelada através da seguinte ilustração:
Ilustração 4.1
A ilustração acima trata-se do que conhecemos hoje como um grafo. Acabamos,
então, de modelar uma situação problema dispensando qualquer formalismo quanto à
conceituação matemática da Teoria dos Grafos. Em outras palavras procedemos a uma
modelagem em grafos.
Um grafo27 G = (V, A) é um conjunto não vazio de vértices (V) e um conjunto de
arestas28 (A), tais que cada aresta conecta em dois vértices.
27 Para a modelagem do problema anterior, representamos o grafo geometricamente, mas, existem outras representações, tais como: lista de adjacências, matriz de adjacência e matriz de incidência que não serão abordadas neste trabalho. 28 Aresta de um grafo não é uma reta ou curva, é um subconjunto de dois elementos do conjunto dos vértices.
39
Ilustração 4.2 – Representação geométrica de um grafo com 5 vértices e 6 arestas
Representando os vértices pelos números 1, 2, 3, 4 e 5 e as arestas com as letras a, b,
c, d, e, f, conforme a ilustração abaixo:
Ilustração 4.3
Temos:
V = {1, 2, 3, 4, 5}.
A = {a, b, c, d, e, f} onde a = {1,2}, b = {1,3}, c = {2,3}, d = {3,4}, e = {2,4} e
f = {4,5}.
Alguns conceitos considerados como básicos no estudo de grafos:
1 – Ordem de um grafo é o seu número de vértices.
Exemplo: O grafo da ilustração 4.2 é de ordem 5.
2 – Dois vértices de um grafo são ditos adjacentes se ambos são extremidades de uma mesma
aresta.
3 - Uma aresta é dita incidente em um vértice, se esse vértice for uma de suas extremidades.
Exemplo:
1 2
3 4 5
a
bc
d
e
f
40
Ilustração 4.4
4 - O grau de um vértice é a quantidade arestas que incidem nele.
Exemplo:
Ilustração 4.5
5 - O grau de um grafo é o grau do vértice com maior número de arestas incidentes.
Exemplo: o grafo da ilustração anterior tem grau 3.
6 – A soma dos graus dos vértices de um grafo é sempre o dobro do número de arestas.
Exemplo: Na ilustração anterior, temos:
I – Seqüência dos graus dos vértices: (3, 3, 3, 2, 1)
II – Soma = 3 + 3 + 3+ 2 + 1 = 12
III – Número de arestas = 6
1 2
3 4 5
a
bc
d
e
f
Vértices adjacentes
Arestas incidentes no
vértice 4
1 2
3 4 5
a
bc
d f
Vértice de grau 2
Vértice de grau 3
41
IV – Portanto, a soma dos graus dos vértices, 12, é igual ao dobro do número de arestas, 6.
7 – Todo grafo possui um número par de vértices de grau ímpar.
8 - Um laço é uma aresta com extremidades em um mesmo vértice.
9 - Duas arestas com as mesmas extremidades são ditas paralelas29.
10 – Um vértice de grau zero é dito “um vértice isolado”.
Exemplo:
Ilustração 4.6
Uma das grandes vantagens de se trabalhar com grafos é que sua representação pode
ser feita através de linhas e pontos, não tendo a necessidade de um relacionamento com
componentes métricos, tais como: ângulos, ordenadas, distâncias. Com isso, o trabalho com
grafo exige menos condições matemáticas, ampliando-se, dessa forma, suas possibilidades
como ferramenta na modelagem de situações-problema.
Na literatura existente, segundo Bria (2001): podemos encontrar aplicações de
grafos, entre outros, nos seguintes contextos:
29 Grafos que apresentam arestas paralelas ou laços são ditos multigrafos.
Vértice isolado
LaçoArestas
paralelas
42
Distribuição de serviços: água, luz, gás, etc.
Administração de trajetos ótimos: vendedor, carteiro, caminhão de lixo,...
Análise de mapas.
Coloração de mapas.
Organização de tráfego.
Alocação de horários.
Árvore de decisão.
Análise combinatória.
Grande parte dos exemplos envolvendo modelagem com grafos na educação básica
estão inseridos dentro de uma das seguintes áreas: questões eulerianas, questões
hamiltonianas, árvores, planaridade e coloração de vértices. Não é nosso desejo aqui nos
aprofundarmos nas peculiaridades da cada uma das áreas supracitadas, mas, informamos que
em nossa oficina, trabalhamos com exemplos de alocação de horários (problemas 1, 3 e 4) e
distribuição de serviço (problema 2), que podem ser resolvidos através de modelagem
matemática com grafos usando a técnica de coloração de vértices. Ressaltamos que um dos
objetivos desse trabalho é divulgar a ideia central e alguns conceitos básicos dos grafos em
uma abordagem informativa e introdutória.
43
5. Procedimentos Metodológicos
5.1 Metodologia
A Educação Matemática (EM) pode ser considerada uma área de conhecimento das
Ciências Sociais ou Humanas, pois, segundo Fiorentini e Lorenzato (2007), isso acontece
porque:
A EM caracteriza-se como uma práxis que envolve o domínio do conteúdo específico (a matemática) e o domínio de ideias e processos pedagógicos relativos à transmissão/assimilação e/ou à apropriação/construção do saber matemático escolar. Entretanto, sendo a prática educativa determinada pela prática social mais ampla, ela atende a determinadas finalidades humanas e aspirações sociais concretas. (FIORENTINI; LORENZATO, 2007. p.5)
Como a grande maioria das pesquisas em Ciências Sociais30, o estudo aqui
apresentado enumera características qualitativas, devido à interpretação/análise da
participação dos alunos durante o processo tendo por objetivo investigar as possibilidades de
se promover a mudança no currículo da matemática pré-universitária e embora tenha testado
uma nova teoria no âmbito da Educação Básica (a Teoria dos Grafos), os dados coletados não
são analisados com procedimentos estatísticos, não possuindo, dessa forma, características
quantitativas.
Creswell (2007) divide os métodos de pesquisa em basicamente três grupos:
qualitativos, quantitativos e mistos. Vamos apresentar algumas características básicas de cada
grupo:
30 Souza (2004), por exemplo, afirma que o “objetivo das Ciências Sociais é essencialmente qualitativo”.(p.15).
44
Técnicas qualitativas: apóia-se no conhecimento construtivista, estudo de
caso, questões abertas, dados de texto, coleta significados dos participantes
que traz valores pessoais para o estudo e estuda o contexto ou o ambiente dos
participantes.
Técnicas quantitativas: uso de conhecimento pós-positivista, experimentos,
questões fechadas, dados numéricos, verifica teorias ou explicações,
identifica variáveis para o estudo, observa e mensura as informações
numericamente.
Técnicas mistas: uso de conhecimento pragmático, questões abertas e
fechadas, dados quantitativos e qualitativos, desenvolve um raciocínio para
fazer a mistura e integra os dados em estágios diferentes da investigação.
Tomando como referência o exposto acima, confirmamos a característica qualitativa
da presente pesquisa, indo, dessa forma, ao encontro das ideias formuladas por vários
pesquisadores.
5.2 População Alvo
A população alvo constituiu-se de alunos dos 1.º e 2.º anos do Ensino Médio,
matriculados em dois estabelecimentos de ensino, situados na Baixada Fluminense: Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, IFRJ31 (unidade Duque de
31 No momento da realização da pesquisa de campo ainda se chamava Centro federal de Educação Tecnológica de Química (CEFET – Química).
45
Caxias), escola pública federal, e no Colégio Alfa, escola da rede privada localizada no bairro
Centro em Duque de Caxias.
5.3 Participantes
Os alunos do Colégio Alfa, assim como os do IFRJ, foram selecionados após
consulta aos coordenadores pedagógicos das respectivas instituições. Por termos realizado a
oficina próximo aos exames finais do ano letivo (outubro e novembro de 2008) houve uma
preocupação com o rendimento dos participantes nas avaliações do 4.° bimestre. Com isso, o
aluno para ser convidado deveria não só ter um gosto especial pela Matemática, mas também
apresentar um rendimento favorável para sua participação.
Foram selecionados inicialmente trinta alunos das duas instituições e em seguida,
apresentados os objetivos do trabalho. Quatorze alunos não foram autorizados pelos
responsáveis a participarem das oficinas (todos alegaram preocupação com as avaliações
finais). Para os alunos que concordaram e puderam participar, solicitamos, como em Reis
(2007), que assinassem um termo de concordância, em que se comprometeriam a participar
como sujeitos potenciais da investigação, informados de que existiria a possibilidade futura de
divulgação dos resultados, de apresentações em Seminários e Congressos e livros em que
constariam as observações, análises e conclusões da pesquisa. No entanto, usaríamos
pseudônimos com o intuito de preservar as identidades dos envolvidos na investigação.
O critério de amostragem por acessibilidade foi utilizado para encerrar o número de
participantes. A técnica de acessibilidade admite que os elementos selecionados representem
o universo em questão. Vale acrescentar que, segundo Jurkiewicz e Leventhal (2008), “a
46
presença de participantes previamente interessados é um ingrediente importante na produção
do sentido da aprendizagem” (p.233).
5.4 Coleta de dados
No intuito de obtermos as informações necessárias para o desenvolvimento desta
pesquisa, dividimos a oficina em cinco momentos:
Primeiro momento: Apresentação do problema motivador: Uma situação-
problema é apresentada ao aluno sem a formalização de conceitos. O
problema inicial é considerado de nível fácil e, pelo menos à primeira vista,
não tem nenhuma relação com a Matemática.
Segundo momento: Os conceitos de Modelagem Matemática e Modelação
Matemática são inseridos, bem como a importância da generalização dos
modelos32. Nesse momento, o segundo problema é apresentado e apesar de
aparentemente não ter conexão com o primeiro, carrega em sua essência
procedimentos análogos para o processo de generalização dos mesmos.
Terceiro momento: A terceira situação-problema é apresentada com o
objetivo de mostrar ao aluno que os conhecimentos matemáticos adquiridos
por ele até o presente momento podem não ser suficientes para a modelação
de alguns problemas. Nesse momento são introduzidas as noções de Teoria
dos Grafos.
32 Biembengut e Hein (2003) afirmam que “a modelação matemática norteia-se por desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de seu próprio modelo-modelagem” (p. 18).
47
Quarto momento: Nesse momento os problemas anteriores são retomados
sob a ótica da Teoria dos Grafos. A quarta situação-problema é apresentada e
neste momento o grau de dificuldade em resolver o problema tem como
principal objetivo mostrar ao aluno que, mesmo munido de ferramentas
matemáticas adequadas, em alguns casos é inviável a resolução dos
problemas sem o uso de recursos tecnológicos e a criação de modelos que
permitam a resolução da questão proposta e outras similares.
Quinto momento: Comentários finais sobre Modelagem Matemática e
sobre Teoria dos Grafos. Coleta de todo material deixado com os alunos e
encerramento da oficina.
Todos os encontros ocorreram aos sábados, com início às 8h e com o término às 12h.
Sempre com certa flexibilidade e tolerância com os imprevistos como os atrasos e com a
necessidade de alguns alunos nem sempre poderem ficar até o final.
48
6. Análise e Interpretação dos Dados Coletados
6.1 Primeiro Momento: Apresentação do Problema Motivador
O primeiro encontro foi, sem dúvida nenhuma, o mais tenso e engraçado também.
De um lado a nossa equipe de pesquisadores, um pouco preocupada com a quantidade de
alunos que iriam comparecer à oficina; do outro os alunos, sem saberem exatamente qual o
assunto (ou assuntos), dentre vários tópicos da matemática, seria abordado no encontro.
Passando o primeiro momento de tensão dos pesquisadores visto que de fato os
alunos compareceram, todos eles - diga-se de passagem - tratamos de realizarmos uma
espécie de abertura oficial da oficina que tinha como objetivo divulgar a idéia central dos
grafos e, se possível, modelar uma situação problema com o uso dos mesmos. Na abertura,
não fizemos grandes formalidades, mas contamos com a presença da coordenadora do curso
de pós-graduação. Naquele momento notamos uma certa preocupação nos olhares dos alunos,
pareciam que se sentiam privilegiados por estarem participando do evento, mas que tinha uma
certa responsabilidade por se tratar de uma pesquisa.
Depois de fazermos as considerações iniciais, entregamos aos alunos uma folha com
o primeiro problema juntamente com outras em branco para usarem como rascunho.
Entregamos também: lápis, borracha e caneta. Embora todos alunos tivessem levado material
próprio, havíamos providenciado um quite contendo o material supracitado, daí, resolvemos
distribuir para todos os participantes.
De posse do primeiro problema e das ferramentas de apoio, tivemos o nosso
momento cômico: os alunos leram o problema e ficaram esperando que fossemos para o
49
quadro expor alguma teoria antes que pudessem iniciar a resolução do mesmo. Não é de se
espantar, a maioria dos professores de matemática (e de outros currículos) costumam
apresentar um novo conteúdo da seguinte maneira:
Após colocar o título da aula, são apresentadas as definições referentes a
esse novo conteúdo;
Alguns exemplos são expostos;
São apresentados algumas propriedades ou teoremas, geralmente sem
demonstrações, muitas das vezes por falta de tempo;
São resolvidos alguns problemas ou exercícios de fixação;
O professor então deixa alguns exercícios como tarefa domiciliar;
As tarefas domiciliares são resolvidas;
Pronto: está tudo preparado para a apresentação de um novo conteúdo.
É claro que essa seqüência não acontece necessariamente nessa ordem e é
importante esclarecer ao leitor que não estamos propondo aqui uma discussão se é certo ou
errado, ou ainda se é bom ou ruim, essa maneira de apresentar um novo conteúdo. Não
estamos questionando a eficiência desse método. O que estamos querendo mostrar é como o
nosso aluno se comportou em um primeiro momento: esperou o professor tomar a frente da
situação como é de costume na maioria das nossas salas de aula.
Além disso, acreditamos que o espaço físico contribuiu para que eles, pelo menos
inicialmente, se comportassem daquela maneira, a semelhança era enorme com o que eles
estavam acostumados a freqüentar nas aulas regulares durante a semana: cadeiras do tipo
universitárias, quadro de giz com um pequeno espaço reservado para pincel ou projetores de
imagem e a presença do professor. Possivelmente, a grande novidade tenha ficado por conta
da presença de mais de um professor.
50
Depois que os alunos perceberam que não iríamos para o quadro expor nenhum
tipo de teoria ou até mesmo algo que pudesse ajudar na resolução da situação proposta,
começaram as leituras (mais uma vez) do seguinte problema: No primeiro fim de semana de
novembro deste mesmo ano, a Universidade do Grande Rio estará promovendo uma série de
palestras sobre Ecologia, Doenças Sexualmente Transmissíveis (DST), Teoria da Relatividade
e Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA). O “Público Alvo” está dividido basicamente
em três grupos: Ensino Fundamental (EF), Ensino Médio (EM) e Ensino Superior (ES). A
palestra sobre Teoria da Relatividade estará sendo oferecida somente para estudantes de nível
superior, enquanto as sobre DST e ECA não estarão sendo oferecidas aos estudantes de nível
fundamental e superior, respectivamente. Monte os horários das palestras, sabendo que serão
oferecidas, no mesmo dia, durante o turno da manhã, com as seguintes opções: 8h às 9h; 9h
30min às 10h 30min e 11h às 12h e só existe um Professor disponível para cada palestra.
Depois de algum tempo, os alunos começaram a apresentar seus resultados, muitos
deles bastante parecidos, por esse motivo separamos alguns para ficarem aqui registrados,
sem nos preocuparmos em identificar os autores, chamaremos apenas de alunos A, B, C e D,
respectivamente, de acordo com as ilustrações a seguir:
Ilustração 7.1 – solução do aluno A
51
Ilustração 7.2 – solução do aluno B
Ilustração 7.3 – solução do aluno C
52
Ilustração 7.4 – solução do aluno D
Pudemos destacar algumas poucas diferenças entre as soluções apresentadas pelos
alunos, relacionadas principalmente com as apresentações: alguns alunos escreveram por
extenso e outros utilizaram legendas. Percebemos uma certa agonia por parte dos mesmos que
desejavam, de alguma forma, equacionar o problema. Como havia alunos do 1.° e 2.° anos do
Ensino Médio misturados, ocorreram visões diferentes quanto à matemática envolvida no
problema.
Sugerimos que se formassem grupos, mas em nenhum momento os alunos se
agruparam para resolver o problema. Os alunos do 2.° ano arriscaram (em relação a
matemática por trás do problema) entre a teoria das matrizes, por terem organizado os
elementos em linhas e colunas, e a análise combinatória, em função das possibilidades de
escolha de cada palestra. Expor de forma escrita o que estavam pensando foi o ponto máximo
das dificuldades, mesmo com nossa insistência os alunos escreveram muito pouco, chegando
a apagar os rascunhos quando souberam que íamos recolher o material no final de cada
encontro (talvez preocupados com erros ortográficos ou por acharem que poderiam ter errado
a solução do problema).
53
Mesmo com todas as dificuldades dos alunos em escrever os procedimentos que os
levaram a solucionar o problema, encontramos um desenvolvimento bem interessante de um
aluno do 1.° ano que usou teoria dos conjuntos para interpretar matematicamente a situação-
problema, fizemos questão de registrá-la na ilustração 7.5:
Ilustração 7.5 – solução do aluno E
Em todos os momentos tentamos tranqüilizar o grupo quanto à solução do problema:
desde que os pré-requisitos impostos pelo enunciado fossem respeitados, não existiria
resposta errada. Esse fato deixou o grupo um pouco intrigado, alguns alunos chegaram a
54
perguntar: “o que isso tem a ver com a matemática?” É claro que não respondemos, fazia
parte do “jogo” levantarmos esse tipo de questionamento.
Ao final do primeiro encontro pudemos destacar algumas características do nosso
grupo:
O individualismo: em nenhum momento os alunos se agruparam na tentativa
de resolver o problema;
Dificuldade de expor o pensamento de forma escrita: a grande maioria dos
alunos tiveram bastante dificuldade em descrever os passos que os levaram a
resolver a situação-problema;
Uso de conhecimentos anteriores: todos os alunos, de alguma forma, tentaram
usar alguma “matemática” na resolução do problema, com destaque para a
teoria dos conjuntos, matrizes e análise combinatória.
6.2 Segundo Momento: O Conceito de Modelação Matemática é Inserido
Começamos o nosso segundo encontro com a ajuda de uma pequena exposição sobre
modelagem matemática. Com uso de um projetor de imagem, ampliamos as informações do
computador para o quadro branco, contamos para isso com a ajuda do programa Power Point.
Não foi pedido que os alunos fizessem qualquer tipo de anotação, também não os proibimos.
Queríamos apenas que ficassem atentos ao conhecimento que estava sendo compartilhado
com os mesmos.
55
O nosso objetivo naquela etapa era fazer com que eles entendessem a nossa
estratégia de aula. Passamos algumas informações que julgamos importantes dentro do
processo de modelação matemática, tais como:
Incentivar a pesquisa;
Desenvolver habilidades em formular e resolver problemas;
Aplicar o conteúdo matemático;
Importância da generalização de modelos.
Utilizamos cenas do filme Uma Mente Brilhante estrelado por Russell Crowe em
2001. O filme é uma versão romantizada da vida do matemático americano John Nash que
ganhou Prêmio Nobel de Economia em 1994. Escolhemos, entre outras cenas, o momento em
que o matemático tenta achar um padrão no movimento dos pombos que se alimentam nos
arredores da universidade. Naquele momento, Nesh tenta modelar matematicamente uma
situação que aparentemente nada tem a ver com a matemática. Vale acrescentar que não
passamos o filme todo, apenas alguns trechos que focava modelagem matemática.
Aproveitamos a empolgação dos alunos com o matemático americano e entregamos
o segundo problema que tem o seguinte enunciado: Uma empresa de táxi aéreo deseja
explorar as regiões Sudeste, Sul e Centro-Oeste do Brasil. Para isso, em seu “Projeto Piloto”,
instalou heliportos nas capitais de todos os estados das regiões citadas e em Brasília. Utilize o
mapa abaixo e a tabela com as distâncias entre as capitais e faça uma estimativa sobre as
possíveis capitais “sedes” e o número mínimo de aeronaves necessárias para a realização do
projeto, sabendo que cada aeronave deverá atender em um raio máximo de 1 000 Km.
56
Com o segundo problema entregamos também uma tabela com as distâncias entre as
capitais brasileiras juntamente com o Distrito Federal. Dessa vez, insistimos, desde o início,
que os alunos escrevessem o máximo possível sobre as etapas que os levaram a possíveis
soluções do problema. De certa forma, achamos que melhorou discretamente a questão da
escrita, como podemos perceber nas ilustrações 7.6 e 7.7:
Ilustração 7.6
57
Ilustração 7.7
Ilustração 7.8 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração 7.7.
Não seria exagero afirmamos que parte do objetivo da oficina foi alcançado nesse
segundo momento, pois, vários alunos conseguiram modelar o problema intuitivamente
usando grafos, como podemos confirmar nas ilustrações 7.9 a 7.14:
58
Ilustração 7.9
Ilustração 7.10 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.
59
Ilustração 7.11
Ilustração 7.12 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.
60
Ilustração 7.13
Ilustração 7.14 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.
Mesmo sabendo que nossos alunos estavam sobrecarregados (pois estavam próximos
as avaliações do 4.º bimestres em suas escolas) e que até poderíamos nos considerar
privilegiados por conseguirmos montar a oficina naquela época do ano, algumas questões nos
deixaram um pouco preocupados: nenhum aluno havia pesquisado na internet, ou em qualquer
61
outro meio de pesquisa, do que se tratava o problema 1 que havia sido entregue no primeiro
encontro, ou em que parte da matemática tal situação estaria inserido.
Ficamos com uma dúvida: será que os alunos não gostaram da oficina e por isso não
se interessaram em pesquisar o assunto? De qualquer forma, a pergunta que surgiu no final do
primeiro encontro (o que isso tem a ver com matemática?) não foi respondida, pois
esperávamos que eles mesmos pudessem respondê-la.
O nosso segundo encontro chegou ao final e foi possível perceber uma melhoria no
texto escrita. Eles melhoraram bastante! Perderam o medo ou a vergonha e passaram a relatar
melhor os seus desenvolvimentos. Entretanto, continuaram bem individualistas: mais uma vez
não se agruparam na hora de trabalhar na resolução do problema. Notamos também, que, ao
contrário do problema anterior, pouco se usou dos conhecimentos matemáticos anteriores. Um
aluno cogitou o uso de vetores, mas, ficou só nisso mesmo. De qualquer maneira, foi muito
proveitoso o nosso segundo momento.
6.3 Terceiro Momento: Apresentação das Noções Básicas de Grafos
Iniciamos o terceiro momento um pouco mais à vontade com o grupo. Após todos se
cumprimentarem, fomos direto para o terceiro problema que apresenta o seguinte enunciado:
Em uma escola, a quantidade de aulas semanais para cada currículo do Ensino
Médio é dividida da seguinte maneira:
Matemática, 5 aulas;
62
Língua Portuguesa, 5 aulas;
Física, 4 aulas;
Química, 4 aulas;
Biologia, 3 aulas;
Língua Estrangeira, 3 aulas;
História, 3 aulas; e
Geografia, 3 aulas.
Monte o quadro de horários para o ano letivo de 2009, sabendo que a escola já
possui alunos, pré-matriculados, suficientes para formar 20 turmas no “turno” da
manhã. Use o mínimo de professores possíveis de cada currículo e, observe ainda,
que nenhuma das turmas poderá ter mais de três aulas seguidas, do mesmo
currículo, no mesmo dia. Use o quadro abaixo como modelo.
Início de cada aula Seg. Ter. Qua. Qui. Sex.
1.ª 7h 30min
2.ª 8h 20min
3.ª 9h 10min
10h intervalo intervalo intervalo intervalo intervalo
4.ª 10h 20min
5.ª 11h 10min
6.ª 12h
63
Os alunos ficaram um pouco assustados quando viram a quantidade de turmas, muitos
deles começaram a rir, parecendo não acreditar que o problema proposto tinha alguma coisa
em comum com a matemática. Mas, por incrível que pareça, começaram a realizar a tarefa. A
única reclamação foi que só havia uma tabela para poder criar os horários. Tratamos, então,
com a ajuda do nosso computador, de criar em uma única folha seis tabelas. Imprimimos e
tiramos cópias para todos os alunos, de tal forma que todos tivessem como criar os horários
das vinte turmas.
A partir daí, alguns alunos começaram a perceber a semelhança com o primeiro
problema. De certa forma, estavam novamente tendo que criar horário de “aula”. Inicia-se,
então, uma busca por um caminho com menor esforço. Com a certeza de que se tratava de
modelagem matemática, os alunos tentaram usar métodos de resolução semelhante ao do
primeiro problema, em busca de um modelo que pudesse atender às duas situações problema.
Enquanto uns realizavam a tarefa de forma braçal, outros ficavam cada vez mais
angustiados por perceberem que não havia uma forma de equacionar a situação dada. Pelo
menos não com os conhecimentos adquiridos por eles até aquele momento. Pedimos, então,
que dessem uma parada na execução da tarefa, pois, naquele momento, seria introduzida a
noção básica da teoria dos grafos.
Com olhares atentos e curiosos, os alunos anotavam tudo que podiam das
informações que eram passadas com a ajuda de um computador e um projetor. Basicamente,
foram transmitidas todas as informações sobre grafos que se encontram no capítulo 4 deste
trabalho. Além da resolução de alguns problemas clássicos, como “o Problema das Pontes de
Königsberg”. Aproveitamos também para falar um pouco sobre história da matemática e a
origem do estudo sobre grafos. Alguns problemas envolvendo coloração de vértices foram
apresentados e resolvidos, assim como alguns teoremas que além de apresentados foram
demonstrados.
64
Poderíamos dizer que fomos felizes ao encerramos o nosso terceiro encontro, pois, a
terceira situação-problema foi apresentada com o objetivo de mostrar ao aluno que os
conhecimentos matemáticos adquiridos por ele até o presente momento poderiam não ser
suficientes para a modelação de algumas situações-problema. Entretanto, ficou aquela
sensação de que alguma coisa estava faltando. Esperávamos mais uma vez que eles
pesquisassem um pouco sobre a oficina antes do encontro, o que não aconteceu.
Embora alguns alunos tenham desenvolvido soluções braçais para o nosso terceiro
problema, resolvemos não registrá-las aqui, já que não era esse o objetivo do terceiro
momento. O comportamento do nosso grupo quase não sofreu alterações até aqui, apesar de
estarem mais à vontade entre si, continuaram resolvendo os problemas de forma individual;
melhoraram um pouco na escrita e continuaram buscando, pelo menos a grande maioria,
conhecimentos matemáticos anteriores para auxiliar na modelagem da situação-problema.
6.4 Quarto Momento: Retomada dos Problemas sob a Ótica dos Grafos
Logo na chegada dos alunos para o início do quarto momento pode-se perceber uma
certa euforia, agora não tinham mais nenhum tipo de suspense (ou pelo menos achavam que
não), já conheciam nossa estratégia de ensino-apredizagem, a modelagem matemática; e qual
ferramenta matemática poderiam usar: os grafos. Fizemos, então, a retomada dos problemas
um e dois, agora sob a ótica dos grafos.
Antes, porém, a pedido de alguns alunos, fizemos uma rápida retrospectiva do que
havíamos falado sobre grafos. Reconhecemos que no encontro anterior houve uma grande
quantidade de informações e que realizarmos uma espécie de revisão não atrapalharia na
65
análise dos dados. Procuramos tirar as dúvidas que foram levantadas pelo grupo e,
novamente, entregamos uma folha contendo o primeiro problema. Sem ter acesso às soluções
anteriores, os alunos começaram a modelar a mesma situação vista anteriormente, agora com
auxílio dos grafos. Selecionamos algumas soluções desenvolvidas pelos alunos e a
apresentamos nas ilustrações abaixo:
Ilustração 7.15
66
Ilustração 7.16
Ilustração 7.17
67
Ilustração 7.18 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.
Ilustração 7.19 - Relato e solução desenvolvidos por um aluno.
68
Como praticamente estávamos pretendendo executar em um único encontro o que
havíamos feito em três, o tempo acabou ficando apertado, tanto para nós (em função das
nossas pretensões) quanto para os alunos, que tentavam fazer as soluções de forma acelerada
provocando até uma certa disputa saudável entre eles. Com isso, as justificativas para as
soluções foram em geral curtas, mas satisfatórias, guardadas as devidas proporções.
Depois de algum tempo, entregamos o segundo problema mesmo sabendo que alguns
alunos ainda estavam engajados no problema um. Sugerimos, então, que calculassem o
mínimo de cores para colorir o mapa que aparece no problema dois. Ressaltamos que tal
proposta já havia sido feita no segundo encontro, mas, como alguns alunos já haviam tido
contato com o teorema das quatro cores através de um livro didático (talvez em notas de
rodapé, ou em alguma parte reservada para curiosidades ou algo assim), deixamos, de
propósito, para retomar a questão no quarto momento.
É bem verdade que havíamos feito alguns exemplos de coloração de mapas no terceiro
encontro e que o mapa que se encontra no segundo problema, com dez estados, não é tão
difícil de se colorir, mas, o resultado foi bastante satisfatório. Vários alunos conseguiram
modelar o problema com auxílio dos grafos. Alguns deles, inclusive, elaborando roteiros que
contribuem para forma algorítmica de pensar, ou seja, desenvolvendo procedimentos
organizados, finitos e definidos. Destacamos duas dessas soluções e apresentamos ao leitor
nas ilustrações abaixo:
69
Ilustração 7.20
70
Ilustração 7.21
Próximo ao encerramento do nosso quarto momento surpreendemos os alunos
entregando o problema 4. Por ter o enunciado muito extenso não o incluímos aqui, o leitor
pode constatar tal fato dirigindo-se ao apêndice IV onde o mesmo está reproduzido na íntegra.
71
Os alunos leram a questão e perceberam a semelhança com os problemas 1 e 3, em
seguida, comentaram sobre o crescente grau de dificuldade em se modelar cada um dos
problemas, aproveitamos a oportunidade para uma discussão sobre a importância da
generalização dos modelos.
Como já era esperado, o tempo realmente não foi suficiente, tivemos que encerrar o
nosso quarto momento com a sensação de que poderíamos produzir mais. A modelação do
problema 2 com o auxílio dos grafos, pelo método de coloração dos vértices, acabou ficando
comprometida. Alguns alunos pediram para desenvolver a solução em casa, como se fosse
uma espécie de tarefa domiciliar, o que foi prontamente aceito por nós. De qualquer maneira,
ficamos satisfeitos, já havíamos coletado material suficiente para nossa análise dados.
6.5 Quinto momento: Encerramento da Oficina.
Para o quinto momento não havia mais nenhum tipo de surpresa guardada para o
nosso grupo. Desta vez não tínhamos sequer tempo para isso. Tratamos logo de recolher todo
material que havia ficado para trás ao longo dos encontros, pois, mesmo não sendo nada
oficial, a não ser o que combinamos no quarto encontro, sempre sugerimos que os alunos
dessem uma “olhada”, em casa, nos problemas que eram propostos na oficina, mas sem fazer
qualquer tipo de exigência para não se tornar um dever de casa.
Do material recolhido no último encontro, constatamos não haver grandes novidades
nas soluções apresentadas pelos alunos, basicamente os procedimentos continuaram bastante
72
parecidos. Os que foram feitos em casa diferenciavam-se apenas no quesito acabamento, se
comparados aos resolvidos em sala de aula. Nada que pudesse fazer com que substituíssemos
alguma solução apresentada posteriormente ou que fizesse com que anexássemos agora no
quinto momento.
A grande e única surpresa ficou por conta da solução literal do problema 4 proposta
por um dos alunos da nossa oficina. Vamos reproduzi-la aqui para o leitor através da
ilustração 7.22.
Ilustração 7.22
Esclarecemos ao leitor que a inclusão do problema 4 tinha a finalidade de mostrar ao
aluno que existem situações-problema reais que podem ser modeladas por grafos, mas que,
em geral, estaríamos lidando com um grande número de vértices e com tantas possibilidades
de ligações entre dois deles seria imprescindível o uso dos recursos tecnológicos, no nosso
caso o computador. Com isso, seria necessária a criação de um algoritmo, ou seja, uma
73
sequência ordenada de procedimentos, que uma vez traduzida para a linguagem
computacional, permite que sua realização seja executada pela máquina.
Antes do encerramento da oficina, fizemos os comentários finais sobre Modelagem
Matemática e sobre Teoria dos Grafos. Além disso, levantamos algumas questões relevantes,
como a postura do aluno em sala de aula como mero receptor de informações, sugerimos que
os mesmos questionassem mais a origem e a aplicabilidade das informações que são passadas
em sala de aula pelos professores. Procuramos encorajar e incentivar o grupo, mostrando a
importância da pesquisa, não só para o engrandecimento da Matemática, mas, para qualquer
área que fosse escolhida por cada um presente naquele encontro.
O nosso grupo manteve basicamente as mesmas características do primeiro ao último
encontro. Sempre tentando resolver os problemas individualmente, com uma certa dificuldade
na escrita, com exceção de poucos, buscando sempre conhecimentos anteriores para tentar
resolver os problemas propostos. Mesmo depois de inserirmos as noções de grafos, alguns
alunos ainda tentavam usar o princípio multiplicativo para resolver os problemas. Não
poderíamos deixar de relatar que os mesmos em nenhum momento realizaram uma pesquisa
via internet ou outro veículo para o aprofundamento das informações passadas na oficina, até
mesmo para testar a veracidade das mesmas. Esse, talvez, tenha sido o ponto negativo, mas,
vale lembrar, não fazia parte do nosso objetivo.
74
7. Considerações Finais
Ao representarmos uma situação problema através de pontos e linhas, ligando dois
pares desses pontos, sem nos preocuparmos com o caráter métrico, estamos fazendo uma
modelagem em grafos – tarefa cumprida já no segundo momento da oficina, mesmo antes de
inserirmos os conceitos básicos sobre grafos.
Portanto, é possível inserirmos mais tópicos de Matemática Discreta na Educação
Básica. Os grafos apresentam um grande número de aplicações – já mencionadas – e a sua
abordagem requer menos condições matemáticas.
Além disso, apresentar a teoria através de uma situação problema ficando a
formalização do mesmo como etapa final é essencial para a construção do pensar matemático
que deve ser desenvolvido pelo educando, característica do processo de modelagem
matemática que contribui para a democratização da aprendizagem de um novo conteúdo.
Ressaltamos que no decorrer da oficina, os problemas foram inseridos de tal forma
que não aparentam ter conexão um com o outro, nem mesmo com a matemática.
Contribuindo, dessa forma, para o desenvolvimento, no aluno, da capacidade de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos.
Não podemos deixar de considerar que a conexão matemática entre os problemas –
já que usamos uma mesma teoria para modelagem matemática dos mesmos – confirma a
importância da generalização de modelos. Pois, uma vez criados, os modelos matemáticos
podem gerar previsões, estratégias e economia em tomadas de decisão, já que situações
diferentes podem admitir um mesmo modelo.
75
Tivemos ainda o privilégio de vermos nossos alunos aplicando a técnica de
coloração de vértices na resolução de situações problema, o que, de certa forma, abrilhantou
ainda mais nossas expectativas. O leitor interessado poderá fazer contato e obter acesso a todo
material da oficina, inclusive os que não foram publicados neste trabalho.
Acreditamos que a Educação Matemática no Brasil caminha na direção correta,
desenvolvendo pesquisas visando uma reformulação do currículo da matemática na Educação
Básica, de forma gradual e democrática, com a participação de pesquisadores, professores e
alunos, para não cometermos os mesmos erros do passado quando tópicos foram impostos
sem a participação de todos os envolvidos com a educação brasileira.
76
8. Referências Bibliográficas
AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.
ARAÚJO, A. As pontes de Königsberg. http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/. Acesso
em: 14 fev 2009.
BARBOSA, C. B., CALDEIRA, A. D., ARAÚJO, J. L.(Orgs). Modelagem na educação
matemática brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo:
Contexto, 2006.
BIEMBENGUT, M. S., HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3. ed. São Paulo:
Contexto, 2003.
BORBA, M.C., MALHEIROS, A. P. S. Diferentes formas de interação entre internet e
modelagem: desenvolvimento de projetos e o CVM. In: BARBOSA, C. B., CALDEIRA,
A. D., ARAÚJO, J. L.(Orgs). Modelagem na educação matemática brasileira: pesquisas e
práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007.
BOYER, C.B. História da matemática. 2.ed. São Paulo:Edgar Blucher, 1998.
BRIA, J. Grafos no ensino fundamental e médio: matemática, interdisciplinaridade e
realidade. 2001, 277 f., Tese (Doutorado) – COPPE / UFRJ – Programa de Engenharia de
Produção, Rio de janeiro, 2001.
CENTRO de REFERENCIAS de MODELAGEM no ENSINO – CREMM
http://www.furb.br/cremm/. Acesso em: 22 fev 2009.
CRESWELL, J.W. Projeto de pesquisa: método qualitativo, quantitativo e misto. 2. ed.
São Paulo: Artmed, 2007.
77
DISTÂNCIA ENTRE AS CAPITAIS BRASILEIRAS.
http://www.itatrans.com.br/distancia.html. Acesso em 01 de out de 2008.
FIORENTINI, D., LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos
teóricos e metodológicos. 2. ed. Campinas: Autores Associados, 2007.
FRIEDMANN VALLADARES, C., LOZANO, A. Modelagem e modelos discretos: uma
necessidade do ensino atual. In: BARBOSA, C. B., CALDEIRA, A. D., ARAÚJO, J.
L.(Orgs). Modelagem na educação matemática brasileira: pesquisas e práticas educacionais.
Recife: SBEM, 2007.
FRIEDMANN VALLADARES, C. Matemática discreta, algoritmos, modelos. Tendências
do ensino da matemática no século XXI. 2003, 252 f., Tese (Doutorado) – COPPE / UFRJ –
Programa de Engenharia de Produção, Rio de janeiro, 2003.
GARBI, G.G. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da
matemática.São Paulo: Livraria da Física, 2007.
GRUPO de TRABALHO de MODELAGEM MATEMÁTICA da SBEM -
http://www.sbem.com.br/gt10/index.html. Acesso em: 21 de fev de 2009.
JURKIEWICS, S., LEVENTHAL, G. Oficinas de matemática discreta no ensino médio.
In: Carvalho, L. M. (org.). História e tecnologia no ensino da matemática, vol. 2. Rio de
Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
LAXE, C.C., COUTINHO, V.M. Guia para elaborar, estruturar e apresentar
monografias, dissertações e teses. Duque de Caxias: Unigranrio, 2006.
LIBÂNEO, J.C., OLIVEIRA, J.F., TOSCHI, M.S. Educação escolar: políticas, estrutura e
organização. 5.ed. São Paulo: Cortez, 2007.
LIMA FILHO, E. C. Modelos matemáticos nas ciências não exatas. In: NOGUEIRA, E.D.,
MARTINS, L. E. B., BRENZIKOFER, R (orgs). Modelos matemáticos nas ciências não
exatas: um volume em homenagem a Euclydes Custódio de Lima Filho. São Paulo: Blucher,
2008.
78
LIPSCHUTZ, S., LIPSON, M. Matemática discreta: coleção shaum. 2. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2004.
MARTINS, R.A. Arquimedes e a coroa do rei: problemas históricos.
http://www.fsc.ufsc.br/ccef/port/17-2/artpdf/a1.pdf. Acesso em: 14 de jan de 2009.
NOGUEIRA, E.D., MARTINS, L. E. B., BRENZIKOFER, R (orgs). Modelos matemáticos
nas ciências não exatas: um volume em homenagem a Euclydes Custódio de Lima Filho.
São Paulo: Blucher, 2008.
O PROBLEMA DAS SETES PONTES DE KÖNIGSBERG.
http://users.prof2000.pt/agnelo/grafos/pontesh.htm. Acesso em 14 fev 2009.
PEDRO, A., LIMA, L.S., CARVALHO, Y. História do mundo ocidental. São Paulo: FTD,
2005.
RAMALHO JUNIOR, F., FERRARO, N. G., SOARES, P. A. T. Os fundamentos da física.
6. ed. São Paulo: Moderna, 1996.
REIS, H. M. M. S. Procedimentos metodológicos: participantes. In:_______________. A
gestão democrática na educação de jovens e adultos: reflexões sobre a evasão de alunos
talentosos. 2007. 79 f. Trabalho de conclusão de curso (especialização) – Faculdade de
Educação, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2007. P. 34.
SCHWARTZ, J., MCGUINESS, M. Conheça Einstein. São Paulo: Proposta Editorial, 1979.
SCHEINERMAN, E.R. Matemática discreta: uma introdução. São Paulo: Thomson, 2003.
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA – Orientações Curriculares para o Ensino
Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, editado pelo ministério da
Educação. 2008.
79
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA – Parâmetros Curriculares
Nacionais – Ensino Médio, editado pelo ministério da Educação. 1999.
SOUZA, M. C. (Org.). Pesquisa social: teoria, método e criatividade. 23. ed. Petrópolis:
Vozes, 2004.
VASCONCELLOS. F.A. História das matemáticas na antiguidade. Lisboa: Aillaud e
Bertrand, 1925.
80
Apêndice I
Problema Um
81
Problema 1.
No primeiro fim de semana de novembro deste mesmo ano, a Universidade do Grande
Rio estará promovendo uma série de palestras sobre Ecologia, Doenças Sexualmente
Transmissíveis (DST), Teoria da Relatividade e Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA).
O “Público Alvo” está dividido basicamente em três grupos: Ensino Fundamental (EF),
Ensino Médio (EM) e Ensino Superior (ES). A palestra sobre Teoria da Relatividade estará
sendo oferecida somente para estudantes de nível superior, enquanto as sobre DST e ECA não
estarão sendo oferecidas aos estudantes de nível fundamental e superior, respectivamente.
Monte os horários das palestras, sabendo que serão oferecidas, no mesmo dia, durante
o turno da manhã, com as seguintes opções: 8h às 9h; 9h 30min às 10h 30min e 11h às 12h e
só existe um Professor disponível para cada palestra.
“Tudo deveria se tornar o mais simples possível, mas não simplificado”.Albert Einstein
MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Modelagem matemática
Orientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira
Willian da Silva Leal
82
Apêndice II
Problema Dois
83
Problema 2.
Uma empresa de táxi aéreo deseja explorar as regiões Sudeste, Sul e Centro-Oeste do
Brasil. Para isso, em seu “Projeto Piloto”, instalou heliportos nas capitais de todos os estados
das regiões citadas e em Brasília.
Utilize o mapa abaixo e a tabela com as distâncias entre as capitais e faça uma
estimativa sobre as possíveis capitais “sedes” e o número mínimo de aeronaves necessárias
para a realização do projeto, sabendo que cada aeronave deverá atender em um raio máximo
de 1 000 Km.
“Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos”.Aristóteles
MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Modelagem matemática
Orientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira
Willian da Silva Leal
84
Apêndice III
Problema Três
85
Problema 3.
Em uma escola, a quantidade de aulas semanais para cada currículo do Ensino Médio é dividida da seguinte maneira:
Matemática, 5 aulas;
Língua Portuguesa, 5 aulas;
Física, 4 aulas;
Química, 4 aulas;
Biologia, 3 aulas;
Língua Estrangeira, 3 aulas;
História, 3 aulas; e
Geografia, 3 aulas.
Monte o quadro de horários para o ano letivo de 2009, sabendo que a escola já possui alunos, pré-matriculados, suficientes para formar 20 turmas no “turno” da manhã. Use o mínimo de professores possíveis de cada currículo e, observe ainda, que nenhuma das turmas poderá ter mais de três aulas seguidas, do mesmo currículo, no mesmo dia. Use o quadro abaixo como modelo.
Início de cada aula Seg. Ter. Qua. Qui. Sex.
1.ª 7h 30min
2.ª 8h 20min
3.ª 9h 10min
10h intervalo intervalo intervalo intervalo intervalo
4.ª 10h 20min
5.ª 11h 10min
6.ª 12h
“Não há ramo da matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”.
Lobachevsky
MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICAModelagem matemática
Orientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira
Willian da Silva Leal
86
Apêndice IV
Problema Quatro
87
Problema 4.
Uma universidade vai realizar os exames finais de seu curso de Engenharia Mecânica, que serão aplicados em n dias, cada um com apenas dois horários disponíveis para a realização dos mesmos, às 8h e 13h.
Alguns alunos estão matriculados em mais de uma disciplina, excetuando-se às disciplinas que possuem pré-requisitos ainda não atingidos pelo aluno, e assim não podemos marcar os exames das disciplinas que possam ter alunos matriculados em ambas, no mesmo horário. Observe que disciplinas que possuem pré-requisito não possuem alunos em comum com o seu pré-requisito, portanto podem realizar seus exames no mesmo horário e dia.
Observações:I) A sala é grande suficiente para todos os alunos matriculados numa determinada disciplina e satisfaz todas as características requeridas para a realização do exame.
II)Desde que obedeça a seu pré-requisito, um aluno pode estar matriculado em qualquer
disciplina, de qualquer período.
Crie uma tabela e horários em que todos os exames sejam associados a uma célula de horário, obedecendo às restrições acima citadas, e que permita que cada aluno possa fazer todos os exames que lhe cabem, sem que tenha que fazer dois exames num mesmo dia e hora, procurando realizá-los no menor número de dias possível.
MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Modelagem MatemáticaOrientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira
Willian da Silva Leal
88
O quadro abaixo mostra todas as disciplinas oferecidas, bem como seus pré-requisitos,
indicando a disciplina através do seu código.
Curso de Engenharia Mecânica: Grade Curricular
Código Disciplinas Pré-Requisito
101 DESENHO MECÂNICO -
102INTRODUÇÃO À ENGENHARIA MECÂNICA
-
103 CÁLCULO I -
104 GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES -
105 PROGRAMAÇÃO DE COMPUTADORES -
106 QUÍMICA GERAL -
107 LABORATÓRIO DE QUÍMICA -
108 COMUNICAÇÃO E EXPRESSÃO -
109 EDUCAÇÃO FÍSICA DESPORTIVA -
112 MÉTODOS COMPUTACIONAIS 103
113DESENHO COM AUXÍLIO DO COMPUTADOR
101
114 FÍSICA I 103
115 LABORATÓRIO DE FÍSICA I 114
116 CÁLCULO II 103 - 104
117 PRÁTICA DE OFICINAS -
118 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 106 - 107
119 PSICOLOGIA APLICADA -
122 FÍSICA IIII 114 - 115
123 LABORATÓRIO DE FÍSICA III 122
124CÁCULO NUMÉRICO EM COMPUTADOR
104 -112
125 ESTÁTICA 114 - 115 - 116
126INTRODUCÃO À ENG. DE FABRICAÇÃO
114 - 115 - 117
127TRANSFORM. DE D\FASES DOS MATERIAIS
118
128 CÁLCULO III 116
10
Período
20
Período
30
Período
89
131 DINÂMICA 125
132 MECÂMICA DOS FLUÍDOS I 128
133 RSISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 125
134 TERMODINÂMICA 116 - 122 - 123
135 CIRCUITOS ELÉTRICOS 128
136 ESTÁTÍSTICA I 116
137 USINAGEM DOS MATERIAIS 118 - 126
138INTROD. DAS TÉCNIC. ELETROMAGNÉTICAS
122 - 123
141 ELETOTÉCNICA 127 - 138
142 LABORATÓRIO DE ELETROTÉCNICA 141
143 RESISTÊNCIA DOS MARTERIAIS II 133
144 MECÂNICA DOS FLUÍDOS II 132
145 TRANSFERÊNCIA DE CALOR I 132 - 13445
146 ELEMENTOS DO MÁQUIINAS I 131
147 DINÂMICAS DAS MÁQUINAS 128 - 131
148 ESTÁTISTICA II 136
149 ENSAIOS DOS MATERIAIS 135
152 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 128 - 131
153 INTRODUÇÃO À ELETRÔNICA 138
154 LABORATÓRIO DE ELETRÔNICA 153
155 SISTEMA FLUÍDOSMECÂNICOS I 144
156 ELEMENTOS DE MÁQUINAS II 143 - 146
157CONTROLE DE SISTEMAS DE MECÂNICOS
147
158LABORATÓRIO DE ENG. DOS MATERIAIS
149
159PROCESSOS METALÚRG. DE FABRICAÇÃO
135
160 TRANSFERÊNCIA DE CALOR II 144 - 145
163 INTRODUÇÃO À ADMINISTRAÇÃO -
164 SISTEMA FLÚIDOS MECÂNICOS II 144
165 MÁQUINAS TERMICAS 160
166 ENGENHARIA DE QUALIDADE 148
167GERAÇÃO, DISTRIB. E UTILIZ. DO VAPOR
160
168 CONFORMAÇÃO MECÂNICA 126 - 135
169 SIST. DE PROD. E AUTOM. DE 148
40
Período
50
Período
60
Período
70
Período
90
MANUFAT.
170 INSTRUMENTAÇÃO 143 -145 - 149
173 ORGANIZAÇÃO DE EMPRESAS 163
174CONTROLE TÉRMICOS DE AMBIENTES
160
175LABORAT. DE PROCESSOS DE FABRICAÇÃO
135 - 159 - 168
176 AUTOVEÍCULO 164 - 165
177 SELEÇÃO DE MATERIAIS 135
178 LABORATÓRIO DE CALOR E FLUÍDOS 155 - 160 - 164
179 ECONOMIA PARA ENGENHARIA 148
180 DIREITO -
183 SOCIOLOGIA -
184LABORATÓRIO DE SISTEMAS TÉRMICAS
165 - 166 - 173
185MÁQUINAS DE ELEVAÇÃO E TRANSPORTE
164 -165
186 CUSTOS INDUSTRIAIS 178
187 PLANEJ. E CONTROLE DA PRODUÇÃO 163
188 MANUTENÇÃO INDUSTRIAL 173
189 CIÊNCAIS DO AMBIENTE -
Disciplinas Optativas
Código DisciplinasPré-
RequisitoCrédito
194 PESQUISA OPERACIONAL 169 60 4
195PROJETO DO RODUTO E DA FABRICA
169 60 4
196SISTEMA CED / CAD / CAM EM ENGENHARIA
112 - 116 60 4
197DESENHO 3D COM AUXÍLIO DO COMPUTADOR
- 60 4
198 TÓPICOS EM ENGENHARIA - VAR. VAR.
80
Período
90
Período
91
MECÂNICA I
199TÓPICOS EM ENGENHARIA MECÂNICA II
- VAR. VAR.
200TUBULAÇÕES E VENTILAÇÕES INDUSTRIAL
144 - 145 60 4
201PROJETOS DE SISTEMAS MECÂNICOS
166 60 4
202 USINAS HIDRELÉTRICAS 143 60 4
203ESTRUTURA METÁLICA PARA ENG. MECÂNICA
173 60 4
204ERGONOMIA E SEGURANÇA DOA TRABALHO
173
205 PROTEÇÃO ANTICORROSIVA 106 - 107
206ENGENHARIA MECÂNICA ROVIARIA
152 - 166
“É das hipóteses simples que mais devemos desconfiar; porque são aquelas que tem mais possibilidades de passar desapercebidas”.
Poincaré
92
Anexo I
Distância entre as Capitais Brasileiras
93
DISTÂNCIA ENTRE AS CAPITAIS BRASILEIRAS - em KmNúmeros acima do 0 (zero) = Distâncias AÉREAS / Números abaixo do 0 (zero) = Distâncias RODOVIÁRIAS
Aracaju BelémBelo
Horizonte
Boa VistaBrasíli
aCampo Grande Cuiabá
Curitiba
Florianópolis
Fortaleza
GoiâniaJoão
PessoaMacap
á
Aracaju 0 1.641 1.248 3.022 1.292 2.155 2.121 2.061 2.207 815 1.461 486 1.967
Belém 2.079 0 2.111 1.432 1.592 2.212 1.778 2.665 2.904 1.133 1.693 1.636 329
B. Horizonte 1.578 2.824 0 3.117 624 1.118 1.372 820 973 1.893 666 1.726 2.349
Boa Vista 6.000 6.083 4.736 0 2.496 2.667 2.107 3.370 3.620 2.562 2.503 3.067 1.110
Brasília 1.652 2.120 716 4.275 0 878 873 1.081 1.314 1.687 173 1.716 1.791
C. Grande 2.765 2.942 1.453 3.836 1.134 0 559 780 1.007 2.547 705 2.593 2.309Cuiabá 2.775 2.941 1.594 3.142 1.133 694 0 1.302 1.543 2.329 740 2.495 1.822
Curitiba 2.595 3.193 1.004 4.821 1.366 991 1.679 0 251 2.670 972 2.545 2.836
Florianópolis 2.892 3.500 1.301 5.128 1.673 1.298 1.986 300 0 2.857 1.215 2.693 3.082
Fortaleza 1.183 1.610 2.528 6.548 2.200 3.407 3.406 3.541 3.838 0 1.854 555 1.451Goiânia 1.848 2.017 906 4.076 209 935 934 1.186 1.493 2.482 0 1.889 1.868
João Pessoa 611 2.161 2.171 6.593 2.245 3.357 3.366 3.188 3.485 688 2.442 0 1.964
Macapá 0
Maceió 294 2.173 1.854 6.279 1.930 3.040 3.049 2.871 3.168 1.075 2.125 395
Manaus 5.215 5.298 3.951 785 3.490 3.051 2.357 4.036 4.443 5.763 3.291 5.808
Natal 788 2.108 2.348 6.770 2.422 3.534 3.543 3.365 3.662 537 2.618 185
Palmas 1.662 1.283 1.690 4.926 973 1.785 1.784 2.036 2.336 2.035 874 2.253
Porto Alegre 3.296 3.852 1.712 5.348 2.027 1.518 2.206 711 476 4.242 1.847 3.889
Porto Velho 4.230 4.397 3.050 1.686 2.589 2.150 1.456 3.135 3.442 4.862 2.390 4.822
Recife 501 2.074 2.061 6.483 2.135 3.247 3.255 3.078 3.375 800 2.332 120
Rio Branco 4.763 4.931 3.584 2.230 3.123 2.684 1.990 3.669 3.976 5.396 2.924 5.356
R. Janeiro 1.855 3.250 434 5.159 1.148 1.444 2.017 852 1.144 2.805 1.338 2.448
Salvador 356 2.100 1.372 5.794 1.446 2.568 2.566 2.385 2.682 1.389 1.643 949
São Luis 1.578 806 2.738 6.120 2.157 2.979 2.978 3.230 3.537 1.070 2.054 1.660
São Paulo 2.187 2.933 586 4.756 1.015 1.014 1.614 408 705 3.127 926 2.770
Teresina 1.142 947 2.302 6.052 1.789 2.911 2.910 3.143 3.450 634 1.986 1.224
Vitória 1.408 3.108 524 5.261 1.239 1.892 2.119 1.300 1.597 2.397 1.428 2.001
94
DISTÂNCIA ENTRE AS CAPITAIS BRASILEIRAS -em KmNúmeros acima do 0 (zero) = Distâncias AÉREAS / Números abaixo do 0 (zero) = Distâncias RODOVIÁRIAS
Maceió Manaus Natal Palmas Porto Alegre
Porto Velho Recife Rio
BrancoR.
Janeiro Salvador São Luis
S. Paulo Teresina Vitória
Aracaju 201 2.673 604 1.235 2.580 2.946 398 3.359 1.482 277 1.226 1.731 903 1.102
Belém 1.680 1.292 1.550 973 3.188 1.886 1.676 2.333 2.450 1.687 481 2.463 750 2.275
B. Horizonte 1.439 2.556 1.831 1.178 1.341 2.477 1.639 2.786 339 964 1.932 489 1.652 378
Boa Vista 3.089 661 2.983 1.988 3.785 1.335 3.103 1.626 3.428 3.009 1.913 3.300 2.169 3.394
Brasília 1.485 1.932 1.775 620 1.619 1.900 1.657 2.246 933 1.060 1.524 873 1.313 947
C. Grande 2.352 2.013 2.654 1.320 1.119 1.634 2.530 1.827 1.212 1.905 2.284 894 2.132 1.490
Cuiabá 2.302 1.453 2.524 1.029 1.679 1.137 2.452 1.414 1.575 1.915 1.942 1.326 1.862 1.745
Curitiba 2.259 2.734 2.645 1.693 546 2.412 2.459 2.601 675 1.784 2.599 338 2.362 1.076
Florianópolis 2.402 2.981 2.802 1.931 376 2.641 2.603 2.809 748 1.930 2.821 489 2.573 1.160
Fortaleza 730 2.383 435 1.300 3.213 2.855 629 3.300 2.190 1.028 652 2.368 495 1.855
Goiânia 1.656 1.912 1.948 724 1.497 1.813 1.829 2.138 936 1.225 1.662 810 1.467 1.022
João Pessoa 299 2.819 151 1.521 3.066 3.200 104 3.632 1.968 763 1.162 2.216 905 1.581
Macapá 2.009 1.054 1.874 1.177 3.341 1.724 2.005 2.159 2.687 2.000 803 2.664 1.079 2.545
Maceió 0 2.778 434 1.383 2.775 3.090 202 3.510 1.671 475 1.234 1.928 929 1.282
Manaus 5.491 0 2.765 1.509 3.132 761 2.833 1.149 2.849 2.605 1.746 2.689 1.921 2.865
Natal 572 5.985 0 1.527 3.172 3.179 253 3.616 2.085 875 1.071 2.320 843 1.706
Palmas 1.851 4.141 2.345 0 2.222 1.711 1.498 2.127 1.512 1.114 964 1.493 835 1.413
Porto Alegre 3.572 4.563 4.066 2.747 0 2.706 2.977 2.814 1.123 2.303 3.142 852 2.909 1.536
Porto Velho 4.505 901 4.998 3.662 0 3.190 449 2.707 2.808 2.274 2.463 2.362 2.835
Recife 285 5.698 297 2.058 3.779 4.712 0 3.618 1.874 675 1.209 2.128 934 1.483
Rio Branco 5.039 1.445 5.533 3.764 4.196 544 5.243 0 2.982 3.206 2.726 2.704 2.806 3.156
R. Janeiro 2.131 4.374 2.625 2.124 1.553 3.473 2.338 4.007 0 1.209 2.266 357 1.979 412
Salvador 632 5.009 1.126 1.454 3.090 4.023 839 4.457 1.649 0 1.323 1.453 994 839
São Luis 1.672 5.335 1.607 1.386 3.891 4.434 1.573 4.968 3.015 1.599 0 2.348 329 2.023
São Paulo 2.453 3.971 2.947 1.776 1.109 3.070 2.660 3.604 429 1.962 2.970 0 2.091 741
Teresina 1.236 5.267 1.171 1.401 3.804 4.366 1.137 4.900 2.579 1.163 446 2.792 0 1.713
Vitória 1.684 4.476 2.178 2.214 2.001 3.575 1.831 4.109 521 1.202 2.607 882 2.171 0