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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
PROGRAMAÇÃO DINÂMICA APLICADA À ANÁLISE DE
ESTABILIDADE DE TALUDES NÃO SATURADOS
CARLOS CALDAS DE BRITO
ORIENTADOR: PROF. JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA
PUBLICAÇÃO G.DM - 109/03
BRASÍLIA / DF: AGOSTO / 2003
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
PROGRAMAÇÃO DINÂMICA APLICADA À ANÁLISE
ESTABILIDADE DE TALUDES NÃO SATURADOS
CARLOS CALDAS DE BRITO
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E
AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE.
APROVADA POR:
__________________________________________
JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD, UnB
(ORIENTADOR)
____________________________________
MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD, UnB
(EXAMINADOR INTERNO)
_____________________________________
ENNIO MARQUES PALMEIRA, PhD, UnB
(EXAMINADOR INTERNO)
______________________________________________
DENISE MARIA SOARES GERSCOVICH, DSc., UERJ
(EXAMINADOR EXTERNO)
ii
FICHA CATALOGRÁFICA
BRITO, CARLOS CALDAS
Programação Dinâmica Aplicada à Análise de Estabilidade de Taludes não Saturados, DF,
2003.
xxv, 139 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 2003)
Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília.
Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
1. Solos Não Saturados 2. Estabilidade de Taludes
3. Métodos Numéricos 4. Programação Dinâmica
I. ENC/FT/UnB II. Título (série)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
BRITO, C. C. (2003). Programação Dinâmica Aplicada à Análise de Estabilidade de Taludes
não Saturados. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM - 109/03, Departamento de
Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 139 p.
CESSÃO DE DIREITOS
NOME DO AUTOR: Carlos Caldas de Brito
TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Programação Dinâmica Aplicada à Análise
de Estabilidade de Taludes não Saturados.
GRAU: Mestre/ ANO: 2003
É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação
de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de
mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.
_____________________________
Carlos Caldas de Brito
Rua Alexandre Ferreira de Souza, 592
44380-000 – Cruz das Almas / BA – Brasil.
iii
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à memória de meu pai,
Antônio Fagundes, que nunca mediu esforços
para dar-me o patrimônio da educação, e à
minha mãe, Maria Caldas, que sempre esteve
ao meu lado nos momentos mais desafiadores
da minha vida.
iv
AGRADECIMENTOS
A Deus por ter me dado o presente de ter conhecido o professor José Henrique Feitosa
Pereira. Homem de inquestionável competência e ilimitada humildade, cujo companheirismo
e bom humor eram suas marcas registradas.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Geotecnia: André Assis, Ennio Palmeira,
Eraldo Pastore, Márcio Muniz, Pedro Murrieta, Renato Cunha, Newton Moreira, José
Camapum, pelos conhecimentos transmitidos durante essa jornada. À secretária Valéria pelos
momentos de descontração.
Aos colegas de curso e em especial àqueles os quais convivi constantemente: Adriano
Frutuoso da Silva, Fabrício Macedo, José Allan, Jairo Furtado, Renato Apolinário, Dorival
Pedroso, Davi Américo, Luciana Medeiros, Paula Passos, pela amizade. Também aos colegas
Hector Hernandez, Domingos Stalin, Walszon Terllizzie cujas contribuições se somaram na
construção do todo. As garotas de Geo-House Luciana e Suzana Dellabianca, pelas festivas
noites em Brasília. Aos colegas da sala Geot-3: Idemilson Prado, Petrúcio Antunes, Luciana
Medeiros, Adriano Frutuoso, João Carlos, pelo salutar ambiente de trabalho. Ao amigo Rideci
Faria pela amizade e assistência.
Meus sinceros agradecimentos à Maria Célia por ter assumido o papel de mãe durante essa
difícil caminhada, e a Adriano Frutuoso pela sincera amizade construída. Também meus
sinceros agradecimentos a Gilson Gitirana pela excelente assistência prestada, assumindo o
papel de orientador no momento em que nosso mestre teve que partir. Sem sua contribuição
talvez esse trabalho tivesse sido concluído. A Manoel Porfírio, que também assumiu papel de
orientador no momento em que mais precisei, pelas revisões e sugestões.
v
RESUMO
PROGRAMAÇÃO DINÂMICA APLICADA À ANÁLISE DE
ESTABILIDADE DE TALUDES NÃO SATURADOS
Este trabalho buscou avaliar a aplicabilidade do método da programação dinâmica à análise
da estabilidade de uma barragem colapsível, sujeita a um complexo estado de tensão
produzido durante o primeiro enchimento do reservatório. Uma característica que distingue o
método da programação dinâmica é que a única restrição imposta à forma da superfície é que
esta seja cinematicamente admissível. A superfície obtida é formada pela reunião de
segmentos lineares interconectados, cujas coordenadas são obtidas pela minimização de uma
função auxiliar do fator de segurança. Para realizar a análise transiente, o método da
programação dinâmica foi implementado no programa COUPSO. O programa COUPSO
resolve as equações diferenciais de equilíbrio e de continuidade da água de maneira acoplada,
utilizando o método dos elementos finitos para discretização espacial, e um esquema de
diferenças finitas para discretização temporal. Os parâmetros constitutivos do solo são obtidos
a partir das superfícies de estado, e assume-se o comportamento elástico não linear para o
material. Os exemplos de verificação mostraram concordância dos fatores de segurança
globais, comparativamente aos obtidos pelo programa de análise de estabilidade de taludes
Slope/W, tanto para o maciço não saturado quanto para o maciço parcialmente saturado, com
a vantagem de se obter a superfície crítica de forma automática. A análise da barragem
colapsível mostrou que, apesar do complexo estado de tensões, o método da programação
dinâmica foi capaz de identificar o mecanismo de ruptura sugerido por Pereira (1996). A
evolução do fator de segurança global foi coerente com os esperados para as fases analisadas.
A barragem colapsível é estável durante a fase final construção, e se torna instável após o
primeiro enchimento do reservatório, rompendo-se pelo talude de montante 138 dias depois.
vi
ABSTRACT
This work evaluated the applicability of the dynamic programming method to analyze the
stability of a collapsible dam, under a complex stress state induced on the first impounding of
the reservoir. A distinct characteristic of the dynamic programming method is that the only
restriction imposed is that the surface form must be cinematically admissible. The slip surface
is formed by interconnected linear segments, whose coordinates are determined by
minimizing an auxiliary functional of the factor of safety. In order to perform the transient
analyses the dynamic programming method was implemented on the computer program
COUPSO. The computer software COUPSO solves water equilibrium and continuity
differential equations in a coupled manner, using the finite element method to make the
spatial discretization, and the finite difference method to the time discretization. The soil
parameters are obtained from state surfaces, and the elastic non-linear model is assumed. The
global safety factors showed accordance when comparing the verification examples with the
ones calculated on the slope stability program Slope/W, for both the unsaturated and partially
saturated embankments, having the dynamic programming method the advantage of
automatically obtaining the critical slip surface. It can be concluded that the analysis of the
collapsible dam using the dynamic programming method, even having a complex stress state,
was suitable to identify the failure mechanism proposed by Pereira (1996). The evolution of
the global safety factor showed coherence with the expected ones in all the analyzed phases.
The collapsible dam is stable during the end of construction phase and unstable after the first
impounding of the reservoir, having an upstream slope failure after 138 days.
vii
ÍNDICE
CAPÍTULO 1............................................................................................................................ 1
1 - Introdução ............................................................................................................................. 1
1.1 - Relevância da pesquisa ...................................................................................................... 1
1.2 - Objetivos da dissertação .................................................................................................... 2
1.3 - Organização da dissertação................................................................................................ 2
CAPÍTULO 2............................................................................................................................ 4
2 - Revisão Bibliográfica............................................................................................................ 4
2.1 - Introdução .......................................................................................................................... 4
2.2 - Mecânica dos solos saturados ............................................................................................ 4
2.2.1 - Deformabilidade ............................................................................................................. 5
2.2.2 - Resistência ao cisalhamento ........................................................................................... 7
2.2.3 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas ........................................................................ 7
2.3 - Mecânica dos Solos Não Saturados ................................................................................... 8
2.3.1 - Comportamento Mecânico.............................................................................................. 8
2.3.1.1 - Deformabilidade ........................................................................................................ 11
2.3.1.2 - Resistência ................................................................................................................. 14
2.3.2 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas ...................................................................... 16
2.3.2.1 - Permeabilidade com relação à fase água ................................................................... 17
2.3.2.2 - Permeabilidade com relação à fase ar ........................................................................ 18
2.4 - Estabilidade de Taludes ................................................................................................... 19
2.4.1 - Análise de estabilidade de taludes pelo método de equilíbrio limite (MEL)................ 21
2.4.2 - Análise de estabilidade de taludes por elementos finitos (método melhorado)............ 24
2.4.3 - Análise de estabilidade de talude pelo método abrangente .......................................... 26
2.5 - Resumo ............................................................................................................................ 29
CAPÍTULO 3.......................................................................................................................... 31
3 - Fundamentos Teóricos ........................................................................................................ 31
3.1 - Introdução ........................................................................................................................ 31
3.2 - Formulação das equações acopladas de equilíbrio e fluxo .............................................. 31
3.2.1 - Hipóteses adotadas........................................................................................................ 32
3.2.2 - Equações básicas........................................................................................................... 33
3.2.2.1 - Equação de continuidade da água .............................................................................. 33
viii
3.2.2.2 - Equações de equilíbrio do solo .................................................................................. 34
3.2.3 - Relações constitutivas e lei de movimento ................................................................... 35
3.2.3.1 - Relação constitutiva para a estrutura do solo............................................................. 35
3.2.3.2 - Relação constitutiva para a fase água ........................................................................ 36
3.2.4 - Equações diferenciais finais para a condição de deformação plana ............................. 37
3.2.5 - Solução numérica do sistema de equações acopladas................................................... 38
3.2.5.1 - Discretização espacial das equações de equilíbrio e continuidade da fase água ....... 38
3.2.5.2 - Discretização temporal do sistema de equações acopladas ....................................... 39
3.3 - Teoria geral do método da Programação Dinâmica......................................................... 41
3.3.1 - Formulação do método da programação dinâmica ....................................................... 42
3.3.2 - Restrição aplicada à forma da superfície crítica ........................................................... 48
3.4 - Resumo ............................................................................................................................ 49
CAPÍTULO 4.......................................................................................................................... 50
4 - Implementação e Validação do Programa COUPSO.......................................................... 50
4.1 - Introdução ........................................................................................................................ 50
4.2 - Descrição geral do programa COUPSO .......................................................................... 50
4.3 - Descrição geral do programa SAFE-DP .......................................................................... 51
4.4 - Implementação da rotina de otimização .......................................................................... 51
4.5 - Validação do programa COUPSO ................................................................................... 53
4.5.1 - Procedimento de análise ............................................................................................... 53
4.5.1.1 - Análise da estabilidade de final de construção .......................................................... 55
4.5.1.2 - Análise da estabilidade em condição de fluxo estacionário....................................... 59
4.6 - Resumo ............................................................................................................................ 62
CAPÍTULO 5.......................................................................................................................... 64
5 - Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável ........................................................ 64
5.1 - Introdução ........................................................................................................................ 64
5.2 - Procedimento de análise .................................................................................................. 64
5.3 - Apresentação e análise dos resultados ............................................................................. 65
5.3.1 - Final de construção ....................................................................................................... 66
5.3.2 - Fase de enchimento do reservatório.............................................................................. 69
5.3.3 - Fase de pós-enchimento do reservatório....................................................................... 73
5.3.3.1 - Estágio 1 – 58 dias após o enchimento do reservatório ............................................. 74
5.3.3.2 - Estágio 2 – 98 dias após o enchimento do reservatório ............................................. 79
ix
5.3.3.3 - Estágio 3 – 138 dias após o enchimento do reservatório ........................................... 83
5.4 - Resumo ............................................................................................................................ 87
CAPÍTULO 6.......................................................................................................................... 90
6 - Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras................................................................. 90
6.1 - Conclusões ....................................................................................................................... 90
6.2 - Recomendações para pesquisas futuras ........................................................................... 91
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 93
APÊNDICE A ......................................................................................................................... 96
A - Descrição das Subrotinas do COUPSO ............................................................................. 96
APÊNDICE B ....................................................................................................................... 101
B - Caracterização e Modelagem do Solo.............................................................................. 101
B.1 - Introdução...................................................................................................................... 101
B.2 - Caracterização do material ............................................................................................ 101
B.3 - Modelagem do solo ....................................................................................................... 104
B.3.1 - Modelagem de uma estrutura metaestável ................................................................. 104
B.3.2 - Modelagem de uma estrutura estável ......................................................................... 111
APÊNDICE C ....................................................................................................................... 115
C - Resultado da Análise Transiente ...................................................................................... 115
C.1 - Introdução...................................................................................................................... 115
C.2 - Deslocamentos .............................................................................................................. 115
C.3 - Distribuição de poropressão em kPa ............................................................................. 117
C.4 - Distribuição da tensão normal média. ........................................................................... 119
C.5 - Distribuição das deformações volumétricas εv. .................................................... 122
C.6 - Superfície Crítica do Talude de Montante. ................................................................... 124
C.7 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e
mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de montante......................................... 127
C.8 - Superfície Crítica do Talude de Jusante. ....................................................................... 132
C.9 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e
mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de jusante. ........................................... 135
x
LISTA DE FIGURAS
Figura. 2.1 Superfícies constitutivas de índice de vazios e grau de saturação: a) índice de
vazios, b) grau de saturação. (Matyas e Radhakrishna, 1968). ........................... 11
Figura 2.2 Superfícies constitutivas para um solo não saturado: (a) superfície constitutiva da
estrutura do solo, (b) superfície constitutiva da fase água (Fredlund &
Rahardjo,1993). ................................................................................................... 14
Figura 2.3 Envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb para solos não saturados
(Fredlund & Rahardjo, 1993). ............................................................................. 15
Figura 2.4 Permeabilidade de um solo não saturado: a) curvas típicas de permeabilidade
relativa (Bear, 1972), b) coeficientes de permeabilidade com relação à fase ar,
ka, e fase água, kw,como função do teor gravimétrico de água (Barden &
Pavlakis, 1971). ................................................................................................... 16
Figura 2.5 Típicas funções de forças entre fatias: a) geometria mostrando a linha de
empuxo, b) possíveis funções de forças entre fatias (Ching & Fredlund, 1983). 23
Figura 2.6 Variação funcional da direção das forças entre fatias com relação à direção x
(Fredlund & Krahn, 1977). .................................................................................. 24
Figura 2.7 Esquema analítico do procedimento de busca (Baker, 1980).............................. 28
Figura 3.1 Superfície de deslizamento AB na forma discreta (Pham, 2002)........................ 43
Figura 3.2 Esquema analítico do método da programação dinâmica (Pham, 2002)............. 44
Figura 3.3 Resistência ao cisalhamento e tensão de cisalhamento na forma discreta
(Pham,2002). ....................................................................................................... 45
Figura 3.4 Restrição cinemática aplicada à forma da superfície crítica (Pham, 2002)......... 48
Figura 4.1 Esquema representativo: (a) e (b) Interpolação no centro dos quadrantes; (c) e (d)
elementos fictícios. .............................................................................................. 52
Figura 4.2 Seção transversal da barragem e discretização espacial utilizada no problema. . 55
Figura 4.3 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 4,220. . 56
Figura 4.4 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,181............................................................................. 56
Figura 4.5 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,195............................................................................. 57
xi
Figura 4.6 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 4,220. . 57
Figura 4.7 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,150............................................................................. 58
Figura 4.8 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,195............................................................................. 58
Figura 4.9 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 3,690. . 59
Figura 4.10 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 3,849............................................................................. 60
Figura 4.11 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 3,719............................................................................. 60
Figura 4.12 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 2,861. . 61
Figura 4.13 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 2,832............................................................................. 61
Figura 4.14 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 2,845............................................................................. 62
Figura 4.15 Distribuição de poropressão na condição de fluxo estacionário (kPa)................ 62
Figura 5.1 Deslocamentos da fase de final de construção: ampliado 20 vezes. ................... 66
Figura 5.2 Tensão normal média na fase de final de construção (kPa). ............................... 66
Figura 5.3 Deformações volumétricas na fase de final de construção.................................. 67
Figura 5.4 Superfície crítica do talude de montante na fase de final de construção: FS global
2,585. ................................................................................................................... 67
Figura 5.5 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante na fase de final de construção. ........................................................ 68
Figura 5.6 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante na
fase de final de construção. ................................................................................. 68
Figura 5.7 Superfície crítica do talude de jusante na fase de final de construção: FS global
2,585. ................................................................................................................... 68
Figura 5.8 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante na fase de final de construção............................................................. 69
Figura 5.9 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante na fase
de final de construção.......................................................................................... 69
Figura 5.10 Deslocamentos da fase de enchimento rápido do reservatório: ampliado 50
vezes .................................................................................................................... 70
xii
Figura 5.11 Tensão normal média na fase de enchimento rápido do reservatório (kPa)........ 70
Figura 5.12 Deformações volumétricas na fase de enchimento rápido do reservatório. ........ 70
Figura 5.13 Superfície crítica do talude de montante na fase de enchimento rápido do
reservatório: FS global = 6,632. .......................................................................... 71
Figura 5.14 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante na fase de enchimento rápido do reservatório. ............................... 71
Figura 5.15 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante na
fase de enchimento rápido do reservatório. ......................................................... 72
Figura 5.16 Superfície crítica do talude de jusante na fase de enchimento rápido do
reservatório: FS global = 2,592. .......................................................................... 72
Figura 5.17 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante na fase de enchimento rápido do reservatório. ................................... 72
Figura 5.18 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante na fase
de enchimento rápido do reservatório. ................................................................ 73
Figura 5.19 Modelo reológico da simulação do avanço da linha freática Cordão Neto,
2001).................................................................................................................... 74
Figura 5.20 Deformações devido a redução da rigidez no apoio (Cordão Neto, 2001). ........ 74
Figura 5.21 Poropressão 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ....................... 75
Figura 5.22 Deslocamentos 58,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 50
vezes. ................................................................................................................... 75
Figura 5.23 Tensão normal média 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ........ 76
Figura 5.24 Deformações volumétricas 58,5 dias após o enchimento do reservatório........... 76
Figura 5.25 Superfície crítica do talude de montante 58,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,409. .......................................................................... 77
Figura 5.26 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 58,5 dias após o enchimento do reservatório. ................................. 77
Figura 5.27 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 58,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................... 77
Figura 5.28 Superfície crítica do talude de jusante 58,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,598. .......................................................................... 78
Figura 5.29 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 58,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................... 78
Figura 5.30 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 58,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................... 78
xiii
Figura 5.31 Poropressão 98,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ....................... 79
Figura 5.32 Deslocamentos 98,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30
vezes. ................................................................................................................... 79
Figura 5.33 Tensão normal média 98,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ........ 80
Figura 5.34 Deformações volumétricas 98,5 dias após o enchimento do reservatório........... 80
Figura 5.35 Superfície crítica do talude de montante 98,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,027. .......................................................................... 81
Figura 5.36 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 98,5 dias após o enchimento do reservatório. ................................. 81
Figura 5.37 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 98,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................... 81
Figura 5.38 Superfície crítica do talude de jusante 98,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,586. .......................................................................... 82
Figura 5.39 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 98,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................... 82
Figura 5.40 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 98,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................... 82
Figura 5.41 Poropressão 138,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 83
Figura 5.42 Deslocamentos 138,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30
vezes .................................................................................................................... 84
Figura 5.43 Tensão normal média 138,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 84
Figura 5.44 Deformações volumétricas na fase de final de construção.................................. 84
Figura 5.45 Superfície crítica do talude de montante 138,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 0,948. .......................................................................... 85
Figura 5.46 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 138,5 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 85
Figura 5.47 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante
138,5 dias após o enchimento do reservatório..................................................... 86
Figura 5.48 Superfície crítica do talude de jusante 138,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,442. .......................................................................... 86
Figura 5.49 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 138,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 86
Figura 5.50 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 138,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................... 87
xiv
Figura 5.51 Superfícies críticas obtidas para o talude de jusante nas três fases analisadas.... 88
Figura 5.52 Superfícies críticas obtidas para o talude de montante nas três fases analisadas.88
Figura 5.53 Variação do fator de segurança global para os taludes de montante e jusante nas
três fases analisadas. ............................................................................................ 89
Figura A.1 Fluxograma do programa COUPSO.................................................................. 100
Figura B.1 Distribuição granulométrica (modificado de Pereira, 1996). ............................ 103
Figura B.2 Curva de compactação e o ponto utilizado na modelagem metaestável
(modificado de Pereira, 1996). .......................................................................... 103
Figura B.3 Superfície de estado de índice de vazios para o solo colapsível (modificado de
Pereira, 1996). ................................................................................................... 108
Figura B.4 Superfície de estado de grau de saturação para o solo colapsível (modificado de
Pereira, 1996). ................................................................................................... 108
Figura B.5 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo colapsível (modificado
de Pereira, 1996)................................................................................................ 109
Figura B.6 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo colapsível para
diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996). ............................................ 109
Figura B.7 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo colapsível para diferentes
tensões normais líquidas (modificado de Pereira, 1996)................................... 110
Figura B.8 Variação do ângulo de atrito com a sucção mátrica (Cordão Neto, 2001)........ 110
Figura B.9 Superfície de estado de índice de vazios para o solo estável (modificado de
Pereira, 1996). ................................................................................................... 112
Figura B.10 Superfície de estado de grau de saturação para o solo estável (modificado de
Pereira, 1996). ................................................................................................... 113
Figura B.11 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo estável (modificado de
Pereira, 1996). ................................................................................................... 113
Figura B.12 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo estável para
diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996). ............................................ 114
Figura B.13 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo estável para diferentes
tensões normais líquidas (modificado de Pereira, 1996)................................... 114
Figura C.1 Deslocamentos 17,7 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 100
vezes. ................................................................................................................. 115
xv
Figura C.2 Deslocamentos 18,1 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 100
vezes. ................................................................................................................. 115
Figura C.3 Deslocamentos 18,3 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 100
vezes. ................................................................................................................. 116
Figura C.4 Deslocamentos 38,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 50
vezes. ................................................................................................................. 116
Figura C.5 Deslocamentos 78,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 40
vezes. ................................................................................................................. 116
Figura C.6 Deslocamentos 118,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30
vezes. ................................................................................................................. 117
Figura C.7 Poropressão 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 117
Figura C.8 Poropressão 17,7 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 117
Figura C.9 Poropressão 18,1 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 118
Figura C.10 Poropressão 18,3 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 118
Figura C.11 Poropressão 38,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 118
Figura C.12 Poropressão 78,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 119
Figura C.13 Poropressão 118,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ................... 119
Figura C.14 Tensão normal média 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 119
Figura C.15 Tensão normal média 17,7 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 120
Figura C.16 Tensão normal média 18,1 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 120
Figura C.17 Tensão normal média 18,3 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 120
Figura C.18 Tensão normal média 38,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 121
Figura C.19 Tensão normal média 78,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 121
Figura C.20 Tensão normal média 118,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). .... 121
Figura C.21 Deformações volumétricas 17,5 dias após o enchimento do reservatório......... 122
Figura C.22 Deformações volumétricas 17,7 dias após o enchimento do reservatório......... 122
Figura C.23 Deformações volumétricas 18,1 dias após o enchimento do reservatório......... 122
Figura C.24 Deformações volumétricas 18,3 dias após o enchimento do reservatório......... 123
Figura C.25 Deformações volumétricas 38,5 dias após o enchimento do reservatório......... 123
Figura C.26 Deformações volumétricas 78,5 dias após o enchimento do reservatório......... 123
Figura C.27 Deformações volumétricas 118,5 dias após o enchimento do reservatório....... 124
Figura C.28 Superfície crítica do talude de montante 17,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 6,586. ........................................................................ 124
Figura C.29 Superfície crítica do talude de montante 17,7 dias após o enchimento do
xvi
reservatório: FS global = 6,237. ........................................................................ 124
Figura C.30 Superfície crítica do talude de montante 18,1 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 6,230. ........................................................................ 125
Figura C.31 Superfície crítica do talude de montante 18,3 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 6,220. ........................................................................ 125
Figura C.32 Superfície crítica do talude de montante 38,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,526. ........................................................................ 125
Figura C.33 Superfície crítica do talude de montante 78,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,168. ........................................................................ 126
Figura C.34 Superfície crítica do talude de montante 118,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,010. ........................................................................ 126
Figura C.35 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 17,5 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 127
Figura C.36 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 17,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 127
Figura C.37 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 17,7 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 128
Figura C.38 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 17,7
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 128
Figura C.39 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 18,1 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 128
Figura C.40 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 18,1
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 129
Figura C.41 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 18,3 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 129
Figura C.42 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 18,3
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 129
Figura C.43 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 38,5 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 130
Figura C.44 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 38,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 130
Figura C.45 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 78,5 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 130
Figura C.46 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 78,5
xvii
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 131
Figura C.47 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 118,5 dias após o enchimento do reservatório. ............................. 131
Figura C.48 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante
118,5 dias após o enchimento do reservatório................................................... 131
Figura C.49 Superfície crítica do talude de jusante 17,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,592. ........................................................................ 132
Figura C.50 Superfície crítica do talude de jusante 17,7 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,591. ........................................................................ 132
Figura C.51 Superfície crítica do talude de jusante 18,1 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,589. ........................................................................ 133
Figura C.52 Superfície crítica do talude de jusante 18,3 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,589. ........................................................................ 133
Figura C.53 Superfície crítica do talude de jusante 38,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,597. ........................................................................ 133
Figura C.54 Superfície crítica do talude de jusante 78,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,590. ........................................................................ 134
Figura C.55 Superfície crítica do talude de jusante 118,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,576. ........................................................................ 134
Figura C.56 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 17,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 135
Figura C.57 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 17,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 135
Figura C.58 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 17,7 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 136
Figura C.59 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 17,7
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 136
Figura C.60 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 18,1 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 136
Figura C.61 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 18,1
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 137
Figura C.62 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 18,3 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 137
Figura C.63 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 18,3
xviii
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 137
Figura C.64 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 38,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 138
Figura C.65 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 38,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 138
Figura C.66 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 78,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 138
Figura C.67 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 78,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 139
Figura C.68 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 118,5 dias após o enchimento do reservatório. ................................ 139
Figura C.69 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 118,5
dias após o enchimento do reservatório............................................................. 139
xix
LISTA DE TABELAS
Tabela B.1 Propriedades índice do solo ensaiado (Pereira, 1996)....................................... 102
Tabela B.2 Resumos dos resultados obtidos para o índice de vazios (e) e grau de saturação
(S) sob trajetória de molhagem (Pereira, 1996)................................................. 107
xx
LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES
A Matriz final do modelo numérico
B Matriz final do modelo numérico
bx, by, bz Forças de massa nas direções x, y e z respectivamente
c Intercepto Coesivo
CA Matriz de acoplamento relacionada a fase ar
CW Matriz de acoplamento relacionada a fase água
d Incremento
D Matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com deformação
Ds Matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com sucção
DK Matriz de rigidez
e Índice de vazios
E Módulo de elasticidade do solo relacionado com a variação da tensão total
Ew Módulo volumétrico da água relacionado com a variação da tensão total
e0 Índice de vazios inicial
et al. et alli (e outros)
etc. et cetera (e assim por diante)
F Vetor de força relacionado com a estrutura do solo
F Fator de segurança i
SF Fator de segurança inicial
aSF Fator de segurança avaliado
Fs Fator de segurança
FW Vetor de força relacionado com a fase água
G Função de retorno
G Módulo cisalhante
H Módulo elástico do solo com relação a variações de sucção
Hw Módulo volumétrico da água com relação a variações de sucção
H Função ótima no ponto de estado
H Altura do talude
H Vetor constitutivo que relaciona deformações com sucção
h1, h2, h3 Termos do vetor constitutivo que relaciona tensões totais líquidas com
sucção
xxi
h Carga hidráulica
Hx, Hy, Hz Termos do vetor constitutivo que relacionam deformações com sucção
Hs Vetor de termos constitutivos que relacionam deformações com sucção
HW Matriz de condutância
Ja Razão de massa de ar fluindo através da massa do solo
K0 Coeficiente de empuxo em repouso
kxw , ky
w kzw Condutividade hidráulica nas direções x, y e z respectivamente
kr Condutividade hidráulica relativa
l Comprimento de um segmento
L Comprimento total
m Metro
min Mínimo
m1s Compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de tensões
totais líquidas
m1w Compressibilidade da fase água em relação a variações de tensões totais
líquidas
m2s Compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de sucção
m2w Compressibilidade da fase água em relação a variações de sucção
n Número de estágios
n Número de segmentos
n Porosidade
N Função interpoladora
Pa Pascais
R Resistência ao cisalhamento
S Tensão de cisalhamento
S Grau de saturação
S Contorno do domínio
t Variável tempo
TW Matriz de massa de água
u Deslocamento na direção x
u Taxa de deslocamento com o tempo na direção x
ua Pressão de ar
(ua - uw) Sucção
xxii
uw Pressão de água
wu Taxa de variação da pressão de água com o tempo
v Deslocamento na direção y
v Taxa de deslocamento com o tempo na direção y
V0 Volume total inicial
Va Volume de ar
Vv Volume de vazios
vxa, vy
a, vza Velocidades do ar no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z
respectivamente
vxw, vy
w, vzw Velocidades da água no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z
respectivamente
Vw Volume de água
w Umidade
w Deslocamento na direção z
w Vetor de incógnitas do modelo numérico
WK Matriz de acoplamento
x Coordenada na direção x
y Coordenada na direção y
y Elevação
z Coordenada na direção z
α Ângulo medido entre a direção x e um plano qualquer
βw1, βw2 Parâmetros constitutivos de acoplamento entre equilíbrio e fluxo
χ Parâmetro constitutivo da equação de Bishop
χx, χy, χz Coeficientes de anisotropia nas direções x, y e z respectivamente
∆t Variação de tempo
εv Deformação volumétrica
εx, εy, εz Deformação nas direções x, y e z respectivamente
Φ Função de forma
φ’ Ângulo de atrito efetivo
φb Ângulo de atrito em relação à sucção
γ Peso específico do solo
γa Peso específico da fase ar
xxiii
γxy Deformação cisalhante no plano x, e na direção y
γxz Deformação cisalhante no plano x, e na direção z
γyz Deformação cisalhante no plano y, e na direção z
γw Peso específico da fase água
λ Tolerância admitida para a convergência do fator de segurança
µ Coeficiente de Poisson
µf Coeficiente de Poisson para o solo saturado
µs Coeficiente de Poisson para o solo saturado
µu Coeficiente de Poisson para o solo com elevada sucção
θ Valor que define o esquema de integração no tempo das equações
diferenciais
ρw Densidade da água
ρa Densidade absoluta do ar
σ* Vetor de tensões totais líquida
σ’ Tensão efetiva
σα Tensão normal no plano α
σn Tensão normal
σxx Tensão normal total no plano x e direção x
σyy Tensão normal total no plano y e direção y
σzz Tensão normal total no plano z e direção z
σ1 Tensão principal maior
σ2 Tensão principal intermediária
σ3 Tensão principal menor ou tensão de confinamento
σc Tensão total de confinamento
σf Tensão total normal no plano de ruptura, na ruptura
σh Tensão total horizontal
σmédia Tensão total média
σv Tensão total vertical
σx, σy, σz Tensões normais totais nas direções x, y e z respectivamente
(σ - uw) Tensão efetiva
(σ - ua) Tensão total líquida
xxiv
τ Tensão de cisalhamento
τα Tensão de cisalhamento no plano α
τf Resistência ao cisalhamento
τff Tensão de cisalhamento no plano de ruptura, na ruptura
τxy Tensão de cisalhamento no plano x, e na direção y
τxz Tensão de cisalhamento no plano x, e na direção z
τyz Tensão de cisalhamento no plano y, e na direção z
Ω Domínio do problema
xxv
Capítulo 1 – Introdução
CAPÍTULO 1
Introdução
1.1 - Relevância da pesquisa
A análise de estabilidade de taludes é uma das tarefas mais comuns e importantes na prática
da engenharia geotécnica. Vários métodos de Equilíbrio Limite foram propostos para resolver
o problema de estabilidade de taludes, como por exemplo, o método de Bishop (1955),
Morgenstern & Price (1965), Spencer (1967), Janbu (1973), Fredlund (1980). Entretanto,
esses métodos ignoram o comportamento tensão deformação do solo, assumindo que a
ruptura ocorre simultaneamente em todos os pontos da superfície crítica de deslizamento.
Assim, o mecanismo de ruptura não é completamente entendido e, portanto, apesar de
amplamente aceitos na prática geotécnica, são inadequados para situações envolvendo
complexo histórico de tensões.
Uma das deficiências dos métodos de Equilíbrio Limite está na incerteza quanto a distribuição
das forças normais na base da superfície. Essa deficiência é superada pelo envolvimento do
método dos elementos finitos não avaliação do estado de tensão do maciço. Tal envolvimento
foi classificado por Naylor (1982) como método melhorado. Embora haja uma significativa
melhora do método de Equilíbrio Limite quando se utiliza uma análise de tensões por
elementos finitos, ainda assim a forma do mecanismo de ruptura é assumida.
Pelas razões descritas acima, pesquisas com relação à análise de estabilidade de taludes têm
sido desenvolvidas continuamente. O método da Programação Dinâmica proposto por Baker
(1980) dá um importante avanço na direção do entendimento do mecanismo de ruptura, já que
a superfície crítica é resposta e não entrada do problema. Alguns trabalhos recentes
examinaram a aplicabilidade do método da Programação Dinâmica acoplado a uma análise de
tensões por elementos finitos (Yamagami & Ueta , 1988; Zou et al., 1995; Pham et al., 2002).
O método dos elementos finitos é um poderoso método numérico que tem sido utilizado para
resolver uma variedade de problemas de engenharia. Situações de fluxo transiente, onde o
maciço se encontra parcialmente saturado, carecem de procedimentos que permitam a
1
Capítulo 1 – Introdução
estimativa do risco de deslizamento. Um dos problemas que requer uma análise numérica
devido a sua complexidade e a falta de uma solução exata é análise de percolação transiente
em barragem metaestável. Esse tipo de barragem, devido a deficiências no processo de
compactação, é comumente construído no nordeste brasileiro e tem importância vital para o
combate à seca na região. O comportamento mecânico e as propriedades hidráulicas do
maciço são continuamente alterados num processo dinâmico a medida que a água flui. O solo
sofre variação de volume em resposta a mudança na tensão total e na sucção mátrica. A
mudança de volume altera o processo de fluxo transiente e a ruptura pode ocorrer antes que se
chegue ao estado de fluxo estacionário. Assim, esse tipo de problema requer uma análise
acoplada das equações de equilíbrio e fluxo na avaliação do estado de tensão do maciço
durante o processo transiente. Além disso, deve-se buscar uma ferramenta que seja capaz de
avaliar a estabilidade do maciço ao longo do processo. Nesse sentido o método da
Programação Dinâmica tem se mostrado uma poderosa ferramenta, haja visto que parte do
princípio da busca otimizada dentro do estado de tensão fornecido pelo problema, procurando
identificar o mecanismo de ruptura e seu correspondente fator de segurança.
1.2 - Objetivos da dissertação
Os principais objetivos deste trabalho são:
Implementar no programa de elementos finitos COUPSO (Pereira, 1996) as rotinas de
busca otimizada desenvolvidas por Gitirana Jr. (2002) de acordo com os
procedimentos de Baker (1980).
Verificar a aplicabilidade do método da Programação Dinâmica em problemas de
complexo estado de tensão, por meio da simulação numérica de uma barragem
metaestável após o primeiro enchimento do reservatório.
1.3 - Organização da dissertação
Este trabalho foi organizado em seis capítulos da seguinte forma:
No presente Capítulo são apresentados a relevâncias e os objetivos da pesquisa;
No Capítulo 2 é realizada a revisão da literatura para os solos não saturados buscando-
se mostrar as tentativas de se estender o conceito de tensão efetiva de um solo saturado
2
Capítulo 1 – Introdução
para o solo não saturado. Além disso, os métodos de análise de estabilidade são
apresentados enfocando as suas virtudes e deficiências;
O Capítulo 3 apresenta a teoria necessária para o desenvolvimento deste trabalho;
No Capítulo 4 é realizada a validação da implementação das rotinas de otimização;
No Capítulo 5 são apresentados e discutidos os resultados da simulação numérica de
uma barragem metaestável;
O Capítulo 6 apresenta as conclusões do trabalho e sugestões para pesquisas futuras.
3
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
CAPÍTULO 2
Revisão Bibliográfica
2.1 - Introdução
Muitos problemas geotécnicos tais como determinação de capacidade de carga, estrutura de
contenção e estabilidade de taludes estão relacionados com a resistência ao cisalhamento do
solo. Essa resistência está associada ao estado de tensão do mesmo, que pode ser descrito em
termos das variáveis de estado de tensão.
Neste capítulo são apresentados conceitos clássicos e amplamente difundidos na mecânica dos
solos como o conceito de tensão efetiva de Terzaghi para solos saturados. Também se
apresenta de forma sucinta algumas tentativas de se obter uma expressão para tensão efetiva
de solos não saturados. O conceito de superfícies de estado proposto por Mathias e
Radhakrishna (1968) para solos não saturados é apresentado de forma ilustrativa mostrando-
se a transição do solo de um estado não saturado para o estado saturado. Este conceito é de
extrema importância para se entender o comportamento do solo, quando se avalia o estado de
tensão necessário, para a análise de estabilidade durante um processo transiente. Também são
apresentadas as relações constitutivas para um solo não saturado propostas por Fredlund
(1979) de forma a seguir a linha de desenvolvimento teórico apresentado no Capítulo 3.
Ainda neste capítulo é feita uma revisão dos métodos de análise de estabilidade de talude de
terra. Os métodos são apresentados em grupos difundidos na literatura como: método do
equilíbrio limite (M.E.L), análise por elementos finitos e os métodos abrangentes como, por
exemplo, o método da programação dinâmica proposto por Baker (1980).
2.2 - Mecânica dos solos saturados
Terzaghi (1936) apresentou o mais conhecido conceito da mecânica dos solos para solos
saturados, o conceito de tensão efetiva:
“As tensões em qualquer ponto de uma secção através de uma massa de solo podem ser
4
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
computadas das tensões totais principais 1σ , 2σ , 3σ que atuam neste ponto. Se os vazios do
solo estão preenchidos com água sob uma tensão, u , as tensões totais principais consistem
de duas partes. Uma parte, u , atua na água e no solo em todas as direções com igual
intensidade. Esta é chamada de pressão neutra ou poropressão de água. O saldo ,
, e representa um excesso sobre a pressão neutra e concentra-se
exclusivamente na fase sólida do solo. Todos os efeitos mensuráveis de uma mudança na
tensão, como por exemplo compressão, distorção, e uma mudança na resistência de
cisalhamento, são exclusivamente devido a mudanças na tensão efetiva , , e
”.(Fredlund & Rahardjo, 1993).
w
w
wu11 −=' σσ
' '
' '
'σ
'
wu−= 22 σσ wu−= 33 σσ
1σ 2σ
3
A tensão efetiva é a única variável de estado que controla o comportamento de variação de
volume e a resistência ao cisalhamento de um solo saturado e é expressa pela Eq. (2.1).
wu−= σσ (2.1)
onde:
'σ , tensão normal efetiva;
σ , tensão normal total;
wu , poropressão de água.
A validade da tensão efetiva como variável de estado de tensão tem sido bem aceita e foi
verificada experimentalmente (Rendulic, 1936; Bishop & Eldin, 1950; Laughton, 1955;
Skempton, 1961), citados por Fredlund & Rahardjo (1993). Entretanto, Lambe & Whitman
(1959), citados por Pereira (1996), conduziram uma análise sob o princípio das tensões
efetivas e concluíram que do ponto de vista teórico este era válido para solo granulares e
mencionou a necessidade de mais pesquisas acerca de sua validade para solos finos,
principalmente pelo fato de se desconhecer as áreas de contato nesses solos e a adesão entre
partículas.
2.2.1 - Deformabilidade
Relações constitutivas têm sido estabelecidas para descrever o comportamento tensão
deformação do solo e podem ser formuladas de forma semi-empírica, de acordo com a lei de
5
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
Hooke generalizada, usando-se a tensão efetiva como variável de estado de tensão )( uw−σ .
Para um solo isotrópico, linear elástico, as relações constitutivas nas direções x, y, e z têm a
forma incremental, respectivamente, de acordo com as Eqs (2.2), (2.3), (2.4):
)2( wzywx
x ud)(EE
ud −d −+−= σσµσε (2.2)
)2( wzxwy
y ud)(
EEud −
d −+−= σσµσε (2.3)
)2( wyxwz
z ud)(EE
ud −d −+−= σσµσε (2.4)
onde:
xσ , tensão normal total na direção x;
yσ , tensão normal total na direção y;
zσ , tensão normal total na direção z;
E , módulo de elasticidade de Young; µ , coeficiente de Poisson.
Para as deformações cisalhantes têm-se:
Gd
d xyxy
τγ = ;
Gd
d yzyz
τγ = ;
Gdd zx
zxτγ = (2.5)
onde:
xyτ , tensão cisalhante no plano x na direção y ( yxxy ττ = );
yzτ , tensão cisalhante no plano y na direção z ( zyyz ττ = );
zxτ , tensão cisalhante no plano z na direção x ( xzzx ττ = );
G = E/ ([ )]µ+12 corresponde ao módulo cisalhante.
O módulo de elasticidade de Young (E) é definido com relação à variação da tensão
efetiva,( wu−σ ). As equações constitutivas podem ser aplicadas a situações não lineares,
aplicando-se pequenos incrementos de tensão ou de deformação.
6
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
2.2.2 - Resistência ao cisalhamento
Para um solo saturado, a resistência ao cisalhamento pode ser descrita pelas diversas
combinações críticas da tensão normal efetiva com a tensão de cisalhamento. Essas
combinações descrevem uma envoltória conhecida na mecânica dos solos como envoltória de
ruptura de Mohr-Coulomb. A utilização do princípio das tensões efetivas de Terzaghi (1936)
com o critério de ruptura de Mohr-Coulomb têm provado ser satisfatória na prática associada
a solo saturado.
2.2.3 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas
O fluxo de água em um solo saturado é comumente descrito pela lei de Darcy. Esta lei
generalizada para a condição 3-D esta lei é escrita conforme a Eq. (2.6). O sinal negativo
indica que a carga hidráulica diminui quando a água flui na direção considerada.
xh∂kv w
xwx ∂
−= ; y
kv wy
wy ∂
−=h∂ ;
zkv w
zwz
h∂∂
−= . (2.6)
onde:
iv , velocidade macroscópica de descarga da água, na direção i;
wik , coeficiente de permeabilidade com relação à fase água, na direção i;
xh
∂∂ ,
yh
∂∂ ,
zh
∂∂ , gradientes de carga hidráulica nas direções x, y e z, respectivamente.
A lei de Darcy mostra que a solução de problemas de fluxo necessita da quantificação das
propriedades hidráulicas do solo. Terzaghi e Peck (1967) apresentaram uma equação que foi
sugerida por Casagrande, e que expressa o coeficiente de permeabilidade do solo em termos
de índice de vazios. Lambe & Whitman (1969) também apresentaram uma equação obtida por
Kozeny-Carman e que também expressam a permeabilidade do solo em termos do índice de
vazios.
Lambe & Whitman (1969) enfatizam a influência da estrutura do solo sobre a magnitude da
permeabilidade tanto do ponto de vista da microestrutura, isto é arranjo interno das partículas,
quanto do ponto de vista macroestrutura, estratificação do maciço, e ressaltam a importância
de se reproduzir em laboratório as condições identificadas in situ.
7
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
2.3 - Mecânica dos Solos Não Saturados
São vários os materiais encontrados na prática da engenharia geotécnica que não se encontram
saturados. Assim, a mecânica dos solos subdivide-se em mecânica dos solos saturados e dos
solos não saturados.
Um solo não saturado é comumente reconhecido como tendo três fases: fase sólida, fase água
e fase ar. Fredlund & Rahardjo (1993) reconhecem a existência de uma quarta fase: a
interface ar-água, película contráctil, que se comporta como uma membrana elástica, muito
embora ela possa ser desprezada se o seu volume for muito pequeno em relação ao volume da
fase água. Eles justificam a existência desta mostrando que as suas características são bem
definidas como:
a) propriedades diferentes das fases adjacentes (fase ar e fase água);
b) superfície de contorno bem definida.
Os problemas de interesse da mecânica dos solos não saturados são os mesmos de interesse da
mecânica dos solos saturados tais como: construção e operação de barragens de terra,
estabilidade de escavações e taludes naturais, empuxo de terra, capacidade de carga de
fundações superficiais, dentre outros. Assim, do ponto de vista do comportamento, um solo
não saturado pode ser visualizado como um sistema de fases das quais duas chegam ao
equilíbrio quando da aplicação de um gradiente de tensão (partícula do solo e película
contráctil), e duas fases fluem quando aplicado tal gradiente (fase ar e fase água).
Nas seções seguintes será feita uma breve revisão da teoria geral desenvolvida para os solos
não saturados, enfocando o comportamento mecânico de deformabilidade e resistência, bem
como as propriedades hidráulicas. Procura-se evidenciar o aspecto geral da teoria
desenvolvida, onde o solo saturado enquadra-se como caso particular de um solo não
saturado.
2.3.1 - Comportamento Mecânico
Solos não saturados podem experimentar colapso ou expansão quando caminham em direção
à saturação. A natureza expansiva do solo é melhor observada nas camadas superficiais, as
quais estão mais sujeitas às variações sazonais. Tais variações provocam, de forma reversível,
a mudança de volume do mesmo (expansão e contração). Já os solos colapsíveis têm
8
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
comportamento oposto aos solos expansivos, havendo decréscimo de volume de forma
irreversível quando submetidos a um gradiente de tensão ou a trajetória de umedecimento.
Podem ocorrer tanto em maciços naturais como em solos estruturados artificialmente durante
o processo de compactação.
O princípio das tensões efetivas é um dos mais importantes conceitos empregados na
engenharia geotécnica. O conceito de tensão efetiva forma a base fundamental de estudo da
mecânica dos solos saturados. Em um solo não saturado a avaliação do comportamento
mecânico, em termos de tensão efetiva, é mais complexa devido à existência das variáveis
independentes de estado de tensão. Pereira (1996) cita algumas tentativas de se estender o
princípio das tensões efetivas do solo saturado para o solo não saturado (Croney, 1952;
Bishop, 1959; Aitchinson, 1961; Jennings, 1961).
Bishop (1959) tentou estender o princípio das tensões efetivas para o solo não saturado,
modificando a equação de Terzaghi e introduzindo a poropressão de ar e um parâmetro que
depende do grau de saturação do solo conforme mostrado na Eq. (2.7):
)()(' uuu −+−= (2.7) waa χσσ
onde:
χ , parâmetro de Bishop;
au , poropressão de ar.
Na Eq. (2.7), χ representa a fração dos vazios ocupada por água. Para o solo seco 0=χ e
para o solo saturado 1=χ . Para valores intermediários o parâmetro χ é influenciado pelo
grau de saturação, sucção mátrica, teor de água, tipo de solo e histórico de tensões.
Praticamente todos os fatores que controlam o comportamento de deformação e resistência
estão presente no parâmetro χ (Lloret & Alonso, 1980).
Morgenstern (1979) declarou que: “A tensão efetiva é uma variável de tensão e, portanto,
relacionada somente a considerações de equilíbrio. Enquanto a Eq. (2.7) contém um
parâmetro, χ , que assume um comportamento constitutivo. O parâmetro χ é avaliado
assumindo-se que o comportamento do solo pode ser expresso unicamente em termos da
variável de estado de tensão efetiva, comparando-se o comportamento do solo não saturado
com o comportamento do solo saturado para calcular χ . Normalmente as relações
9
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
constitutivas não introduzem o comportamento constitutivo diretamente na variável de
tensão”. A suposição de que o comportamento do solo saturado e o solo não saturado são
idênticos, mostrou ser enganosa na previsão do comportamento de solos que tendem ao
colapso com a saturação (Jennings & Burland, 1962).
O Reexame das equações propostas para expressar a tensão efetiva de um solo não saturado,
levou alguns pesquisadores a sugerir o uso das variáveis independentes de estado de tensão
)( u− aσ e ( para descrever o comportamento mecânico do solo não saturado. )uu − wa
Mathias e Radhakrishna (1968) abandonam o conceito de tensão efetiva e, para um ensaio de
compressão triaxial, identificam três variáveis de estado de tensão que controlam o
comportamento de variação de volume: )( au , )( 31−σ σσ − e , onde )( wa uu −
3/)2( 31 σσσ +=
)( u−
é a tensão média. Mathias e Radhakrishna (1968) introduziram o conceito
de parâmetros de estado como sendo “As variantes físicas do solo, que são suficientes para a
completa descrição do estado de um elemento de solo sem a necessidade de fazer referência
ao seu histórico de tensões”. Essas variantes são: estado de tensão, índice de vazios, grau de
saturação e estrutura do solo.
O estado de um elemento de solo pode ser representado por um ponto no interior de um
sistema de eixos coordenados representando os parâmetros de estado. Este ponto é chamado
de ponto de estado. O deslocamento deste ponto, quando o estado do elemento muda, é
chamada de trajetória de estado. Todas as possíveis trajetórias do ponto de estado nesse
espaço formarão uma superfície chamada de superfície de estado como mostrado na
Fig. 2.1.
Matyas & Radhakrishna (1968) utilizaram uma mistura de “pedrisco e caolin” para
determinação das superfícies de estado. Esse material mostrou-se essencialmente colapsível, o
que serviu para demonstrar a limitação do uso da equação de Bishop e confirmou o adequado
uso de duas variáveis de estado de tensão na formulação do comportamento mecânico do solo
não saturado.
Fredlund & Morgenstern (1977) realizaram uma série de ensaios, oedométrico e triaxial,
controlando a variação de volume para demonstrar a adequabilidade das seguintes alternativas
de variáveis de estado de tensão para um solo não saturado: 1) aσ e ( )uu wa − ;
2) )( u− wσ e ( ; 3) )uu − )( u−wa aσ e )( uw . −σ
10
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
C
C1
C’
A(e0, Sr0)
A’AS
B
B’
B’’
e
uc=ua-uw
B3B4
B2B1
σa = σ-ua
Saturação a Volume Constante
Trajetória de Saturação (Adensamento)
Saturação a Volume Constante
Saturação a σa
Constante
Desaturação a σa
Constante
Trajetória a Sucção Constante
Trajetória com Conteúdo de Água Constante
Plano σa
Expansão
C
C1
C’
A(e0, Sr0)
A’AS
B
B’
B’’
e
uc=ua-uw
B3B4
B2B1
σa = σ-ua
C
C1
C’
A(e0, Sr0)
A’AS
B
B’
B’’
e
uc=ua-uw
B3B4
B2B1
σa = σ-ua
Saturação a Volume Constante
Trajetória de Saturação (Adensamento)
Saturação a Volume Constante
Saturação a σa
Constante
Desaturação a σa
Constante
Trajetória a Sucção Constante
Trajetória com Conteúdo de Água Constante
Plano σa
Expansão
C
C1
C’
B
B’
B’’
B2 B1
A(e0, Sr0)
A’
uc=ua-uw
σ = σ-ua
100%Constante
Saturação a σa
Constante
Sr %Saturação a Volume
Saturação a Volume Constante
Trajetória com Conteúdo de Água Constante
Trajetória a Sucção Constante
Plano σa
Linha de Saturação
Plano uc
C
C1
C’
B
B’
B’’
B2 B1
A(e0, Sr0)
A’
uc=ua-uw
σ = σ-ua
100%
Sr %
C
C1
C’
B
B’
B’’
B2 B1
A(e0, Sr0)
A’
uc=ua-uw
σ = σ-ua
100%Constante
Saturação a σa
Constante
Sr %Saturação a Volume
Saturação a Volume Constante
Trajetória com Conteúdo de Água Constante
Trajetória a Sucção Constante
Plano σa
Linha de Saturação
Plano uc
Saturação a Volume Constante
Saturação a σa
Constante
Saturação a Volume Constante
Trajetória com Conteúdo de Água Constante
Trajetória a Sucção Constante
Plano σa
Linha de Saturação
Plano uc
(a) (b)
Figura. 2.1 Superfícies constitutivas de índice de vazios e grau de saturação: a) índice de
vazios, b) grau de saturação. (Matyas e Radhakrishna, 1968).
2.3.1.1 - Deformabilidade
A deformabilidade de um solo não saturado pode ser expressa em termos do movimento
relativo das fases do solo. Para tanto, é necessário estabelecer as variáveis de estado de
deformação que são consistentes com os princípios da mecânica dos contínuos, ou seja, a
variação do volume total é igual a soma das variações das fases do sistema (conservação das
massas).
Para descrever adequadamente a variação de volume de um solo não saturado, apenas duas
das três variáveis de estado de deformação precisam ser medidas, enquanto a terceira pode ser
calculada. Na prática a variável de estado de deformação associada à estrutura do solo
( 0v VV∆ ) e à fase água ( 0w VV∆ ) são medidas, enquanto a variação de volume da fase ar
( 0a VV∆
u−
) é calculada.
Fredlund & Rahardjo (1979) usaram a combinação de variáveis de estado de tensão ( aσ ) e
( ) para apresentar as relações constitutivas de um solo não saturado, como uma
extensão das equações semi-empíricas usadas para o solo saturado. Trata-se da lei de Hooke
generalizada. Assumindo o solo como um material isotrópico, linear e elástico, são
apresentadas a equações para a estrutura do solo, Eqs (2.8) a (2.10), e para fase água,
Eq. (2.11):
wa uu −
11
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
Huudud
EEud )()(d wa
azyax
x )2( −+−+−= σσ− µσε (2.8)
Huudud
EEud )( −
d waazx
ayy
)()2( −+−+−= σσµσ
ε (2.9)
Huudud
EEud )()(d wa
ayxaz
z )2( −+−+−= σσ− µσε (2.10)
w
wa
w
az
w
ay
w
axw
Huud
Eud
EEud
VdV )()()(
0
−+
−++
−=
σud )( −σσ (2.11)
onde:
H , módulo de elasticidade para o esqueleto sólido associado à variação em ; )( wa uu −
wH , módulo volumétrico da água associado à variação em )( wa uu − ;
E , módulo de elasticidade para o esqueleto sólido associado à variação em )( au−σ ;
wE , módulo volumétrico da água associado à variação em )( au−σ .
As equações associadas com as deformações cisalhantes são as mesmas apresentadas para um
solo saturado, pois são assumidas independentes das fases ar e água.
As Eqs (2.8) a (2.11) podem ser aplicadas, por meio de um procedimento incremental, a uma
análise tensão deformação não linear. Sendo dependente da trajetória de sucção mátrica,
isto é, secagem ou molhagem, a Eq. (2.11) apresenta histerese.
wH
u
A ligação entre as variáveis de estado de deformação e as variáveis de estado de tensão é feita
pela incorporação dos coeficientes de deformação volumétrica. Os parâmetros da relação
entre tensões e deformações podem ser obtidos por meio das superfícies de estado (Fig. 2.2).
Pode-se modelar a variação de volume do solo simulando o carregamento em pequenos
incrementos, onde para cada incremento têm-se novos módulos, que variam conforme
caminha-se sobre as superfícies. Pode-se observar na Fig. 2.2 que a variação volumétrica é
função das inclinações nas direções de ( a ) e (u wa u−−σ ). Essas inclinações representam os
parâmetros de compressibilidade do solo em relação a variável de tensão total líquida e à
sucção. Relacionando-se os parâmetros de deformabilidade das Eqs (2.8) a (2.10) com os
parâmetros da Eq. (2.12) obtidos da superfície de estado da Fig. 2.2a, obtêm-se a relação entre
12
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
os coeficientes de compressibilidade da estrutura do solo ( e ), os módulos de
elasticidade ( ) e o coeficiente de Poisson (
s s
HE e
m1 m2
µ ). De forma similar comparando a
Eq. (2.11) com a Eq. (2.13) obtida da superfície da Fig. 2.2b têm-se os coeficientes de
compressibilidade da fase água ( e ).relacionados com os módulos w wm1 m2 ww HE e .
)()(1Sdm σ 2
0wa
Samédia
vv uudmu
VdVd −+−==ε (2.12)
)()( 210
waw
amédiaWw uudmudm
V−+−= σdV (2.13)
onde:
zyxv dddd εεεε ++= ;
3/)( zyxmédia σσσσ ++= ;
EmS )21(3
1µ−
= , é o coeficiente de variação volumétrica com relação à tensão normal líquida;
zyx
S
HHHHm 1113
2 ++== , é o coeficiente de variação volumétrica com relação à sucção
mátrica;
W
W
Em 3
1 = , é o coeficiente de variação volumétrico da água com relação à tensão normal
líquida;
W
W
Hm 1
2 = , é o coeficiente de variação volumétrico da água com relação à sucção mátrica.
13
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
d( - u )médio a
V / Vv o
médio a ( - u )
d(u - u )wa
V / Vv o
(u - u )a w
Vv
Vo
Tensão normal líquida Sucção mátrica
( - u )
médioa
(u - u )a w Tensão normal líquida
( - u )a
médio
d( - u )
V / Vw o
( - u )médio a
médio a
wad(u - u )
V / V(u - u )
(u - u )a w
Sucção mátrica
w
a
o
w
v
Vw
Vo
(a) (b)
Figura 2.2 Superfícies constitutivas para um solo não saturado: (a) superfície constitutiva da
estrutura do solo, (b) superfície constitutiva da fase água (Fredlund &
Rahardjo,1993).
2.3.1.2 -
−
Resistência
A resistência ao cisalhamento de um solo não saturado pode ser formulada em termos das
variáveis independentes de estado de tensão. Quaisquer das três possíveis combinações,
)( auσ e ; )( wa uu − − )( wuσ e )( wa uu − ; )( au e )( wu−σ −σ , podem ser usadas para a
equação de resistência. Entretanto, a combinação )( au−σ e )( wa uu − tem mostrado ser mais
vantajosa na prática (Fredlund & Morgenstern, 1977). A resistência ao cisalhamento de um
solo não saturado pode ser escrita de acordo a Eq. (2.14):
bφφστ −+−+= fwafafff tguutguc )(')(' (2.14)
onde:
' , intercepto da envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb no eixo de tensão
cisalhante onde a tensão normal líquida e a sucção mátrica são iguais a zero;
c
faf u )( −σ , tensão normal líquida no plano de ruptura na ruptura;
'φ , ângulo de atrito interno associado à variável de tensão normal líquida faf u )( −σ ;
fwa uu )( − , sucção mátrica no plano de ruptura na ruptura;
bφ , ângulo indicando a razão de aumento da resistência ao cisalhamento associado à sucção
mátrica . fwa uu )( −
14
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
A Eq (2.14) define um plano conforme mostrado na Fig. 2.3. A locação dos círculos de Mohr,
no gráfico tridimensional, é função da sucção. A superfície tangente aos círculos de Mohr na
ruptura é referida como envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb para solos não
saturados. A Fig. 2.3 também mostra que a interseção da envoltória de ruptura estendida com
o plano formado por τ e define uma reta conforme a Eq. (2.15). Onde é o
intercepto de coesão total.
)( uu − c
b
'c '
wa
fwa tguucc φ)(' −+= (2.15)
A Eq. (2.15) mostra que o solo não saturado pode ser visualizado com tendo duas
componentes de coesão. Quando a sucção tende a zero a Eq. (2.14) reverter-se-á para a
equação de resistência de um solo saturado. Portanto, uma transição suave entre a condição
não saturada e a saturada é observada. Também pode ser observado que a equação de
resistência ao cisalhamento traz a mesma forma em ambos os casos. Isto que dizer que a
mesma equação para o fator de segurança pode ser usada tanto para o solo saturado quanto
para o solo não saturado, fazendo a coesão função da sucção (Fredlund,1985).
Para os solos estáveis e φ são constantes (Gan & Fredlund, 1978). Para um solo
metaestável, espera-se um comportamento não linear para os paramentos de resistência ',' φc e
. bφ
Tens
ão d
e ci
salh
amen
to,
Tensão normal líquida,
Sucçã
o mátr
ica,Envoltório de ruptura extendida
de Mohr-Coulomb
c'
c'
(u - u ) tga w fb
b
'
b
'
(u - u
)
a
w
- ua0
Figura 2.3 Envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb para solos não saturados
(Fredlund & Rahardjo, 1993).
15
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
2.3.2 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas
A análise do escoamento de um fluido requer uma lei para relacionar a taxa de escoamento
com o potencial de transporte, usando-se coeficientes apropriados (Fredlund & Rahardjo,
1993). A água flui de um ponto de maior carga total para um ponto de menor carga total, sem
levar em conta se as cargas de pressão são positivas ou negativas. O fluxo de ar, como uma
fase contínua, é governado pela concentração ou gradiente de pressão. O gradiente de pressão
é comumente o mais considerado como potencial de transporte para a fase ar. O movimento
relativo do ar e da água através de um meio poroso não saturado é função da porosidade, grau
de saturação, distribuição de poros, propriedades específicas dos fluidos como densidade e
viscosidade.
A Fig. 2.4 ilustra de forma qualitativa a dependência do fluxo de água e ar, através de um solo
não saturado, com o grau de saturação. A permeabilidade da fase ar decresce com o acréscimo
do teor volumétrico de água ou grau de saturação. Entretanto, como ilustrado na Fig. 2.4.b a
permeabilidade do ar permanece significativamente maior que a permeabilidade da água para
todos os teores de água no solo. Portanto, a maior parte dos problemas envolvendo solos não
saturados considera o ar em pressão atmosférica constante desde que o gradiente de pressão
seja rapidamente dissipado.
Swo Sao
kra
krw
Grau de Saturação, S
Perm
eabi
lidad
e re
lativ
a (k
rw, k
ra
0,5
0,0
1,0
)
8 9 10 11 12 13 1410E-12
10E-11
10E-10
10E-9
10E-8
10E-7
10E-6
10E-5
10E-4
10E-3(ua - uw) = 62 kPa
(ua - uw) = 7 kPa
(ua - uw) = 0
ka
kw
Padrão AASHTO Teor Ótimo de Água
Conteúdo de água, w (%)
Coe
ficie
nte
de P
erm
eabi
lidad
e
ka
e k
w (m
/s)
(a) (b)
Figura 2.4 Permeabilidade de um solo não saturado: a) curvas típicas de permeabilidade
relativa (Bear, 1972), b) coeficientes de permeabilidade com relação à fase ar, ka,
e fase água, kw,como função do teor gravimétrico de água (Barden & Pavlakis,
1971).
16
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
2.3.2.1 -
α/)( 0ee−
Permeabilidade com relação à fase água
A água pode ser visualizada como fluindo somente através dos poros do solo preenchidos
com água. Os poros preenchidos com ar não permitem o fluxo da água. Logo os poros
preenchidos com ar num solo não saturado comportam-se, do ponto de vista do fluxo de água,
como se fossem partículas sólidas. Portanto, quando o solo torna-se não saturado o ar ocupa
primeiro os poros maiores, forçando a água fluir pelos poros menores aumentando o caminho
de percolação da mesma.
Fredlund & Rahardjo (1993) citam o trabalho de Childs & Collis-George (1950) que
comprovam a aplicabilidade da lei de Darcy para solos não saturados. Sendo a condutividade
hidráulica função do índice de vazios e do grau de saturação (ou teor de água).
Segundo Lloret & Alonso (1980) a variação da permeabilidade com o grau de saturação não é
bem estabelecida, mas dados disponíveis sugerem um rápido decréscimo da permeabilidade
quando a saturação decresce. Os autores sugerem a Eq. (2.16) onde combinam os efeitos do
índice de vazios e grau de saturação.
Lloret & Alonso (1980) informam que a Eq. (2.16) foi baseada em um modelo apresentado
por Bear (1972) para um solo não saturado.
0 10),(ww eSkk = (2.16)
onde:
),( 0eSkw , função de permeabilidade para um índice de vazios e grau de saturação ; 0e S
0e , índice de vazios inicial (ou de referencia);
α , inclinação da relação linear versus e para constante. É sugerido que wk10log S α pode
ser obtido para =1 usando-se o ensaio oedométrico. S
O coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado pode variar consideravelmente
durante um processo transiente como resultado das mudanças nas propriedades do solo.
Estimativas confiáveis da condutividade hidráulica do solo não saturado são difíceis de obter,
devido a sua extensiva variabilidade no campo, e também devido ao tempo e custo elevados
para obtenção dos parâmetros (van Genuchten, 1980). Numerosas equações semi-empíricas
têm sido derivadas para o coeficiente de permeabilidade usando-se a curva característica.
17
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
van Genuchten (1980) apresentou Eq. (2.17) baseada no modelo de previsão de condutividade
hidráulica de Mualem (1976).
2/])(1[])(1[)(1)( mnr h
hhhkα
αα+
+−=
21 mnn −−
(2.17)
onde:
rk , condutividade hidráulica relativa;
h , carga de pressão;
mn,,α , parâmetros do solo estimado da curva característica;
nm /11−= .
van Genuchten (1980) comparou os resultados obtidos pela Eq. (2.17) com os dados
experimentais de cinco solos com ampla faixa de variação da condutividade hidráulica,
obtendo bons resultados de previsão da condutividade hidráulica para um solo não saturado.
2.3.2.2 - Permeabilidade com relação à fase ar
A lei de Fick é geralmente usada para descrever a difusão de gases através de líquidos. Uma
forma modificada da lei de Fick é usualmente aplicada para descrever o fluxo de ar através de
um meio poroso não saturado conforme mostra a Eq. (2.18).
yDJ a
aa ∂= .* u∂ (2.18)
onde:
yua
∂∂ , gradiente de poropressão de ar na direção y (similarmente na direção x e z);
aJ , razão de massa de ar fluindo através de uma unidade de área do solo;
a
aaa u
nSDD∂
−∂=
])1([.* ρ , coeficiente de transmissão, função das propriedades do solo (S,n), da
densidade do ar ( aρ ) e da constante de transmissão para fluxo de ar através do solo ( ) aD
aρ , densidade absoluta do ar (lei dos gases);
n , porosidade do solo.
18
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
De maneira semelhante ao coeficiente de permeabilidade com relação à água, o coeficiente de
permeabilidade com relação ao ar é uma função do fluido (neste caso o ar) e propriedades do
solo. Contudo, as propriedades do ar podem não ser consideradas constante com o tempo.
Densidade e viscosidade do ar são funções da pressão absoluta de ar.
Neste trabalho a pressão de ar é considerada atmosférica e conseqüentemente constante.
Portanto, desenvolvimentos teóricos além daqueles apresentados aqui não fazem parte do
escopo deste trabalho.
2.4 - Estabilidade de Taludes
Como em qualquer ramo da engenharia, um dos principais requerimentos na engenharia
geotécnica é projetar as estruturas de forma a garantir um fator de segurança mínimo contra a
ruptura. A definição mais geral para o fator de segurança pode ser escrita como:
mobilizada aresistênci F =
disponível aresistênci (2.19)
Segundo Tavenas et al. (1980) a relação acima é aplicada em engenharia geotécnica de várias
formas. Na análise de aterros, fundações ou taludes, tanto a resistência ao cisalhamento como
o carregamento são funções da geometria do problema. Assim, a Eq. (2.19) não pode ser
escrita em uma forma explicita.
Métodos numéricos têm sido desenvolvidos para tratar casos em que a Eq. (2.19) é aplicada
em análise de problemas geotécnicos de forma local e global simultaneamente. Assim, por
meio de processos iterativos a Eq. (2.19) é resolvida para o problema analisado.
Extensivos estudos foram empreendidos nessa área e uma variedade de formulações que
generalizam o fator de segurança foram desenvolvidas. Dentre estas as de Bishop (1955),
Morgenstern & Price (1965), Spencer (1967), Janbu (1973), Fredlund (1980). Embora esses
métodos sejam simples e populares, eles são incompleto devido ao fato de a forma da
superfície de ruptura ter que ser assumida de antemão. Também ignora o comportamento
tensão deformação do solo e são inadequados para as situações envolvendo complexo
histórico de tensões. Os métodos de equilíbrio limite assumem que o fator de segurança é o
mesmo para todas as fatias, portanto, inapropriado exceto no momento em que a ruptura
ocorre ao longo da superfície.
19
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
Uma das maiores deficiências dos métodos de equilíbrio limite é o fato de ignorar o
comportamento tensão deformação do solo. Essa limitação pode ser superada pelo uso do
método dos elementos finitos como ferramenta de análise desse comportamento, tornando a
condição de equilíbrio limite, aplicada a uma superfície, mais significativa quando da
avaliação das forças atuantes e resistentes.
Segundo Pham (2002) existem cinco abordagens propostas onde o método dos elementos
finitos é usado na análise de estabilidade de taludes. Três desses métodos usam as tensões
produzidas pelo método dos elementos finitos para definir o fator de segurança e são
referenciados como métodos melhorados. Os outros dois métodos usam as deformações para
definir o fator de segurança e são referidos como métodos diretos (Naylor, 1982).
Segundo Baker & Garber (1978) o cálculo do fator de segurança requer informações com
relação a duas funções. A primeira função é a equação da superfície potencial de
escorregamento (forma da superfície), que é chamada de função cinemática. A segunda
representa a distribuição das tensões ao longo dessa superfície ou algumas propriedades das
forças atuando no plano vertical, essa chamada de função de tensão. De acordo com Baker &
Garber (1978) a primeira tentativa de se formular um problema de estabilidade de taludes
como um problema de cálculo variacional, em termos de duas funções não especificadas, foi
feito por Kopacsy (1955) e posteriormente por Revilla & Castillo (1977). Métodos que
resolvam problemas de estabilidade de taludes em termos de superfície de ruptura e do fator
de segurança simultaneamente, fazendo uso de formulações matemáticas ou técnicas de
otimização, são chamados de métodos completos. Esses métodos podem ser classificados
como métodos abrangentes. O fator de segurança associado à superfície é calculado usando-
se a teoria de equilíbrio limite.
Baker (1980) publicou seu trabalho dedicado à aplicabilidade do método da programação
dinâmica na análise de estabilidade de taludes. O método desenvolvido por Baker (1980)
combinou o método da programação dinâmica, como técnica de otimização, com o método de
estabilidade de taludes de Spencer (1967). A complexidade matemática na formulação do
método de Baker (1980) foi essencialmente superada pelo uso do método dos elementos
finitos no cálculo das tensões. Esse método será apresentado no Capítulo 3 desse trabalho,
pois os procedimentos de otimização de Baker (1980) foram implementados numericamente
no programa de elementos finitos COUPSO (Pereira, 1996).
20
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
As contribuições de alguns pesquisadores no desenvolvimento de métodos de análise de
estabilidade são apresentadas nas seções seguintes. Os métodos são agrupados em três como
segue: método de equilíbrio limite, método melhorado e método abrangente.
2.4.1 - Análise de estabilidade de taludes pelo método de equilíbrio limite (MEL)
Numerosos métodos de equilíbrio limite são geralmente utilizados na prática. A principal
razão é o fato de esses métodos terem se mostrado como ferramentas confiáveis na análise da
estabilidade de taludes. O MEL é baseado no princípio estático de equilíbrio das forças e
momentos, sem levar em consideração o deslocamento da massa de solo, que é considerado
como um material rígido plástico. O número de equações disponíveis para tornar o sistema
estaticamente determinado é inferior ao número de variáveis geralmente encontradas no
problema. Assim, os métodos se diferenciam a partir da estática usada e das considerações
com relação às forças atuantes na face vertical da fatia.
Em 1936, no Segundo Congresso de Grandes Barragens realizado em Washington, Fellenius
apresentou o Método das Fatias. Esse método foi desenvolvido pela Comissão Sueca de
Geotecnia e melhorado por Fellenius. Basicamente o método consiste em dividir a massa
acima da superfície de ruptura em fatias verticais, assumindo-se que as forças resultantes nos
lados opostos de cada fatia são iguais e de sentidos opostos atuando numa mesma linha,
paralela à base da fatia. Assim, as forças normais e cisalhantes nas laterais das fatias podem
ser desprezadas e o problema torna-se estaticamente determinado. O Método das Fatias
apresentado por Fellenius satisfaz somente o equilíbrio das forças na direção normal à base e
dos momentos, e o fator de segurança é expresso em termos de momento.
Em 1955, em Oslo na Noruega foi registrada a maior ruptura de talude que se tinha registro à
época. O Instituto de Geotecnia da Noruega analisou esse clássico caso histórico reportado na
literatura. Os métodos de análise de estabilidade disponíveis na época foram utilizados para
verificar o fator de segurança e a locação da superfície de ruptura. Os resultados mostraram
que o até então desconhecido método de Bishop Simplificado foi o que forneceu os melhores
resultados. Bishop (1955) apresentou a teoria geral de análise de estabilidade em um trabalho
intitulado “The use of the slip circle in the stability analysis of slopes”. Segundo Bishop
(1955) a forma e a locação da superfície de ruptura é influenciada pela distribuição de
poropressão e pela variação dos parâmetros de resistência do talude. Portanto, uma solução
21
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
analítica generalizada não é possível e uma solução numérica é requerida em cada caso
individualmente. Ele afirma ainda que “A determinação mais rigorosa da forma da superfície
mais crítica apresenta muitas dificuldades na prática e uma forma simplificada, usualmente
um arco circular, é adotada e o problema é assumido ser de deformação plana”.
Basicamente o método de Bishop Simplificado consiste em considerar a resultante das forças
atuantes nas laterais das fatias como sendo horizontais ou seja, as forças cisalhantes nas
laterais das fatias são consideradas nulas. O fator de segurança é expresso em termos de
momento, assim como no método Ordinário (Fellenius), somente os equilíbrios estáticos das
forças na direção vertical e dos momentos são satisfeitos.
No método de Janbu Simplificado a determinação do fator de segurança é feita a partir do
equilíbrio horizontal das forças. A soma das forças normais nas laterais das fatias deve se
anular, e as forças cisalhantes nessas fatias são desprezadas. O fator de segurança é corrigido
por um fator que é função dos parâmetros de resistência, ' e ' φc , e da forma da superfície de
ruptura. Esse fator de correção é aplicado pelo fato de se assumir que as forças cisalhantes são
nulas nas laterais das fatias. Já o método de Janbu Generalizado assume que a resultante das
forças nas laterais das fatias estão aplicadas numa linha de empuxo conforme mostrado na
Fig. 2.5a.
Ching & Fredlund (1983) apresentaram algumas dificuldades associadas ao método de
equilíbrio limite. Eles utilizaram o método de Janbu Generalizado para demonstrar que
problemas de convergência podem acontecer, quando se assume uma função não muito
razoável para descrever a atuação das forças nas laterais das fatias. Ching & Fredlund (1983)
mostraram que a força cisalhante na lateral da fatia é função da inclinação da linha de empuxo
e se a linha de empuxo for muito inclinada, no caso de superfície de ruptura muito íngrime,
uma força cisalhante maior será computada. Quando a inclinação da linha de empuxo excede
os graus a força cisalhante na lateral da fatia será maior que a força normal, levando a
problemas de convergência. Ching & Fredlund (1983) sugerem o uso de uma função que seja
mais realista com a distribuição de tensões no maciço. De acordo com a Fig. 2.5b, a função
gerada pela linha de empuxo é quase o contrário da função gerada pela distribuição de tensão,
que parece ser a função mais razoável.
45
22
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
0 10 20 30 40 50
10
20
Centro de rotação
Distância (m)
Elev
ação
(m)
Linha de empuxo
Superfície de rupturacircular
Distância (m)
Gradiente da superfícieFunção de distribuição
de empuxo assumida
de tensãodo terreno
f(x) =
X/E
Função gerada da linha
10 20 30 40 50
(a) (b)
Figura 2.5 Típicas funções de forças entre fatias: a) geometria mostrando a linha de empuxo,
b) possíveis funções de forças entre fatias (Ching & Fredlund, 1983).
Spencer (1967) derivou duas equações para o fator de segurança. Uma baseada no somatório
de momentos em torno de um ponto comum e a outra baseada no somatório das forças na
direção paralela às forças entre fatias. O método de Spencer assume que a resultante das
forças nas laterais das fatias estão atuando numa direção inclinada de um ângulo θ com a
horizontal e com relação constante entre a tensão cisalhante, X , e tensão normal, E .
Portanto, o valor de θ tem de satisfazer às duas equações para o fator de segurança. O método
de Spencer é referenciado na literatura como sendo um método rigoroso, pois satisfaz todas as
equações de equilíbrio da estática.
Outro método também referenciado na literatura como rigoroso é o método de Morgenstern-
Price. O método assume uma função matemática para descrever a direção das forças entre as
fatias como mostra a Eq. (2.20):
(2.20) EXxf /)( =λ
onde:
λ , é uma constante a ser avaliada na resolução do fator de segurança;
)(xf , é uma variação funcional com relação à direção x.
No método de Morgenstern-Price algumas funções, , podem ser usadas para descrever a
relação entre as tensões cisalhante e normal na lateral das fatias através da massa do solo
conforme pode ser visto na Fig. 2.6. Para uma função constante, Fig. 2.6a, o método de
Morgenstern-Price é o mesmo método de Spencer. O fator de segurança é expresso usando-se
o somatório das forças nas direções normal e tangencial à base da fatia, e de momento em
torno de um ponto comum, mesmo que a superfície seja composta.
)(xf
23
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
f(x)
0
1
E x D
f(x) = constante
f(x)
0
1
E x D
f(x) = metade do seno
f(x)
0
1
E x D
f(x) = seno cortado
f(x)
0
1
E x D
f(x) = trapezoidal
f(x)
0
1
E x D
f(x) = especificada
(0,0) (1,0) (1,0)
(a) (b) (c)
(d) (e)
Figura 2.6 Variação funcional da direção das forças entre fatias com relação à direção x
(Fredlund & Krahn, 1977).
Fredlund & Rahardjo (1991) apresentaram os procedimentos de cálculo para análise de
estabilidade envolvendo poropressão de água negativa. Basicamente o método, chamado de
GLE, é o mesmo método de Morgenstern-Price, exceto pelo fato de que no método de
Morgenstern-Price as equações foram escritas para fatias infinitesimais, enquanto que o GLE
para fatias discretas. Também diferem quanto à aplicação da resultante da força normal na
base. Enquanto no GLE a resultante da força normal é aplicada no centro da fatia, no método
de Morgenstern-Price a resultante é levemente deslocada do centro. Fredlund et al. (1981)
apresentam o GLE como um método geral em que, com exceção do método de Fellenius, os
outros métodos são casos especiais.
2.4.2 - Análise de estabilidade de taludes por elementos finitos (método melhorado)
Pham (2002) referencia um trabalho publicado por Bishop (1952) onde ele discute a
existência de áreas dentro de um talude onde há ocorrência de tensão excessiva. O trabalho
apresentado por Bishop (1952) mostrou que a existência de um estado de equilíbrio plástico
deve ser considerada pelo menos em algumas partes do talude. Bishop (1952) concluiu que a
solução de análise de estabilidade de talude usando-se o método do equilíbrio limite
convencional (MEL) não estava em conformidade com o que ocorria no campo. Pham (2002)
também cita algumas pesquisas que confirmam a declaração de Bishop (1952), como a
realizada por La Rochelle (1960) onde ele avaliou a condições de tensão em um talude de
escavação. Essa avaliação mostrou a ocorrência de áreas de tensão excessiva na parte inferior
da superfície de deslizamento.
24
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
A influência da distribuição de tensões na análise de estabilidade de taludes tem sido bastante
estudada. Wright et al. (1973) usaram o parâmetro adimensional (Janbu, 1954) φλc , conforme
Eq. (2.21), para comparar os resultados de distribuição de tensão normal e fator de segurança
local obtidos a partir do método de Bishop Simplificado com os obtidos na análise de
estabilidade de taludes por elementos finitos. Na análise por elementos finitos a superfície
considerada foi àquela obtida pelo método de Bishop Simplificado.
ccHtgφγλ φ = (2.21)
onde:
γ , peso específico do solo;
H , altura do talude;
φ , c , parâmetros de resistência do solo.
Os resultados para uma análise linear elástica mostraram que a distribuição de tensão normal
ao longo da superfície de deslizamento foi maior no centro da superfície e menor próximo aos
extremos, para o método de Bishop Simplificado. O fator de segurança local ao longo de
aproximadamente 1/3 a 1/2 da superfície foi menor que o fator de segurança global. Para uma
análise linear elástica eles concluíram que um fator de segurança global igual a 1,5 é
suficiente para prevenir tensão excessiva local. Já na análise por elementos finitos o fator de
segurança global foi maior que o verificado no método de Bishop Simplificado, com
diferença em torno de 4,5%. Essa diferença diminui a medida em que se aumenta o parâmetro
de Janbu (1955).
Wright et al. (1973) mostraram também resultados de análise não linear por elementos finitos,
onde o fator de segurança foi ligeiramente maior que o obtido pelo método de Bishop
Simplificado. Os resultados da análise não linear mostram que o fator de segurança aumenta
com um aumento do Poisson e que a diferença foi de 2% para um Poisson de 0,3 e de 8% para
um Poisson de 0,49. Wright et al. (1973) concluem que as hipóteses assumidas por Bishop
(1955) para o cálculo do fator de segurança não levam a erros significativos comparados com
o fator de segurança calculado pelo método dos elementos finitos.
Além de querer determinar o fator de segurança, é desejável se ter informações sobre o
desenvolvimento do mecanismo de ruptura. Naylor (1982) classificou os métodos que usam
25
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
as tensões obtidas por elementos finitos para análise de estabilidade de taludes em dois:
métodos diretos e métodos melhorados. Os métodos diretos se referem àqueles que utilizam
os deslocamentos nodais, na análise por elementos finitos, para definir a superfície potencial
de deslizamento. Nesse método o fator de segurança é diretamente medido a partir de análises
sucessivas, onde os parâmetros de resistência do solo são reduzidos ou o carregamento do
mesmo é aumentado até que a ruptura seja indicada. No método melhorado as tensões
calculadas, na análise por elementos finitos, são utilizadas em conjunto com a teoria de
equilíbrio limite para determinar o fator de segurança. Naylor (1982) conclui, a partir das
análises realizadas, que os métodos diretos são ferramentas eficientes na identificação do
mecanismo de ruptura e que nos métodos melhorados uma malha refinada é necessária para
que se atingir resultados com acurácia de 2% (comparando-se com uma malha infinitamente
fina), sendo então este uma alternativa menos atrativa, porém servindo de apóio para os
métodos diretos.
Farias & Naylor (1998) desenvolveram um método capaz de identificar os pontos no interior
dos elementos, numa análise de tensões por elementos finitos, pertencentes a uma superfície
potencial de deslizamentos e interpolar nesses pontos as tensões normais, nσ , e cisalhantes,
nτ , obtidas a partir das componentes de tensão ( xyyx τσσ ,,
)(xy
). Na análise realizada por Farias &
Naylor (1998) o fator de segurança foi obtido, a partir do campo de tensões, em conjunto com
o método de equilíbrio limite convencional (método melhorado). O método mostrou-se
eficiente na determinação do fator de segurança, bem como forneceu informações a respeito
do desenvolvimento do mecanismo de ruptura a partir dos gráficos de contornos do índice de
solicitação (OSR). Farias & Naylor (1998) mostraram que a análise linear elástica forneceu
uma boa estimativa para o fator de segurança, mas que esse tipo de análise não deve substituir
uma análise não linear sugerindo, então, que a análise linear elástica tenha um papel
preliminar na avaliação do fator de segurança.
2.4.3 - Análise de estabilidade de talude pelo método abrangente
Revilla & Castilllo (1977) apresentaram um método para a determinação do fator de
segurança de um talude baseado na teoria do cálculo variacional. O cálculo variacional é a
generalização de um problema onde se estuda a maximização e/ou minimização de um
funcional ao invés da própria função. Segundo Revilla & Castillo (1977) no caso da
estabilidade de taludes, a função é a linha de deslizamento e o número real associado a
26
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
essa linha é o fator de segurança. Revilla & Castillo (1977) declaram que: “A chave do
método está em encontrar os dois pontos desconhecidos, que estão no contorno do talude, e
que fazem parte da superfície de deslizamento”. O método de Janbu Simplificado foi
utilizado para determinação da tensão normal. Para resolver a equação do fator de segurança,
a equação de Euler foi generalizada juntamente com as condições de transversalidade,
continuidade e contorno. Alguns casos de estudos foram apresentados e comparados com o
método de Taylor. O fator de segurança determinado pelo cálculo variacional foi menor e em
alguns casos a diferença foi significativa.
Em extensão a um trabalho anteriormente apresentado (Baker & Garber, 1977), Baker &
Garber (1978) apresentaram uma teoria generalizada para derivar um teorema que governasse
a forma da superfície potencial de deslizamento, utilizando a técnica do cálculo variacional.
Segundo Baker & Garber (1978) o teorema obtido é válido para casos gerais de solos não
homogêneos, não isotrópicos, com distribuição arbitrária de poropressão de água e
carregamento externo, e com sua aplicação é possível obter o fator de segurança mínimo para
a maioria dos problemas práticos. O conceito usado no método proposto foi essencialmente o
mesmo apresentado por Revilla & Castillo (1977). Baker & Garber (1977) concluíram que o
fator de segurança é independente da distribuição de tensão normal na superfície crítica de
deslizamento, e que para o caso analisado (talude homogêneo e isotrópico) a forma da
superfície crítica pode consistir de uma log-espiral ou uma série de segmentos de reta.
A aplicabilidade do cálculo variacional à análise de estabilidade de taludes foi questionada
por De Josselin De Jong (1981) num artigo intitulado “A Variational Fallacy”. Ele argumenta
que os aspectos de minimização propostos por Kopacsy (1961) mostraram-se falsos. Segundo
De Josselin De Jong (1981) a essência do defeito foi um funcional degenerativo envolvido na
formulação. Em sua argumentação De Josselin De Jong (1981) referencia o método proposto
por Baker & Garber (1978), que segundo ele é uma modificação da análise de Kopacsy
(1961) que essencialmente mantém o mesmo defeito. O funcional G (Baker & Garber, 1978)
tem duas variáveis ( )( e )( xyxσ ), distribuição de tensão normal e altura da superfície crítica,
respectivamente) que são degenerativas porque não contêm a primeira derivada ( 'σ ) e é linear
em . De Josselin De Jong (1981) embasa sua argumentação no livro texto de Petrov (1968)
e conclui que um funcional de natureza degenerativa não possui valor mínimo.
'y
Baker (1980) apresentou um procedimento de minimização baseado na programação
dinâmica em que a superfície crítica e o fator de segurança são determinados
27
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
simultaneamente. De acordo com Baker (1980) a programação dinâmica tem sido
desenvolvida como um procedimento numérico para problemas de decisão seqüencial em
diversos estágios (Fig. 2.7), não utilizando o conceito das derivadas e, portanto, adequado
para perfis de solo com diferentes camadas e propriedades variáveis. O procedimento
proposto (Baker, 1980) foi aplicável apenas a “funções aditivas” (mais detalhes no Capítulo
3) e nenhuma restrição quanto a forma da superfície crítica foi adotada, exceto que tenha a
forma convexa. O método de Spencer foi utilizado para se determinar o fator de segurança.
Vários casos foram estudados e os resultados comparados com os métodos de Bishop
Simplificado e GLE. Baker (1980) conclui que para uma dada superfície o fator de segurança
foi quase idêntico àqueles reportados na literatura, e que para as superfícies locadas pelo
procedimento de programação dinâmica o fator de segurança foi abaixo daqueles registrados
na literatura.
X Xb Xo
A
C
yt
(1)
(2)
ys
dyyb
(3)
12
43
7
56
1098
15=KK614131211 (4)
(5)
Números de Estado
ybNúmero de Estágios
1234567891011
Superfície do Talude
Região de Busca
B
D
(6)(7)
(8)(9)
(10)dx6
y(x) S
uperf
ície d
e rup
tura
Figura 2.7 Esquema analítico do procedimento de busca (Baker, 1980).
Zou et al. (1995) desenvolveram um procedimento chamado “improved dynamic
programming method” , IDPM. Segundo Pham (2002), teoricamente o método foi baseado
num método proposto por Yamagami & Ueta (1988) que por sua vez foi baseado no método
de Baker (1980). A melhoria feita no método de Yamagami & Ueta (1988) foi que além de a
superfície conter segmentos lineares conectados entre dois estágios sucessivos, ela também
poderia ter segmentos lineares conectando dois pontos de um mesmo estágio. Isso
corresponde a dizer que a superfície crítica poderia conter um segmento na direção vertical.
No IDPM a resistência ao cisalhamento mobilizada dentro do talude, obtida pela análise por
28
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
elementos finitos, foi utilizada como indicativo para provável locação da superfície crítica de
deslizamento e, portanto, servindo como parâmetro para definição da posição de um “grid” de
busca da superfície crítica (Fig. 2.7). Zou et al. (1995) aplicaram o IDPM a um aterro
experimental construído sobre argila mole e levado a ruptura (Bangkok, Tailândia). O
resultado mostrou que a locação da superfície crítica encontrada pelo método foi próxima à
superfície de ruptura observada no campo. O fator de segurança calculado foi posto em um
gráfico e comparado a altura do aterro. Notou-se que o fator de segurança igual a 1 (um) foi
obtido para a altura de ruptura do aterro.
Pham (2002) estudou a viabilidade e a aplicabilidade do método da programação dinâmica na
análise de estabilidade de taludes utilizando um código numérico chamado DYNPROG. Pham
(2002) desenvolveu um programa de estudo onde verificou o efeito da variação dos
parâmetros de resistência, coeficiente de Poisson e poropressão de água em taludes
homogêneos e com múltiplas camadas. O estado de tensão foi obtido pelo programa de
elementos finitos FlexPDE, considerando modelagens constitutivas linear e não linear. Os
resultados obtidos mostraram que o coeficiente de Poisson exerce um importante papel na
locação da superfície e no fator de segurança.
Pham (2002) também reanalisou o clássico caso histórico que deu notoriedade ao método de
Bishop (1955). O resultado obtido em termos de locação da superfície foi idêntico ao
observado no campo à época.
2.5 - Resumo
Neste capítulo a revisão da literatura foi feita em duas partes. A primeira apresenta o
desenvolvimento da teoria geral para solos não saturados. Na segunda parte buscou-se
apresentar de forma cronológica o desenvolvimento dos métodos de análise de estabilidade de
taludes.
A apresentação da teoria geral para os solos não saturados foi inicialmente precedida por uma
breve revisão do conceito de tensão efetiva, mostrando sua importância quando se avalia o
comportamento mecânico de resistência e deformabilidade de um solo saturado. A partir daí
são feitas referência a autores que propuseram estender o princípio das tensões efetivas para
os solos não saturados, dentre estes Bishop (1959). Como foi visto neste capítulo, a proposta
de Bishop (1959) mostrou-se inconsistência com alguns resultados experimentais, levando as
29
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
pesquisas a avançar em direção da utilização de duas variáveis de estado de tensão para
descrever o comportamento mecânico de um solo não saturado. Deixando de lado a tentativa
de se utilizar uma única variável de estado de tensão, Matyas & Radhakrishna (1968)
apresentaram o conceito de parâmetro de estado, e com base em resultados experimentais
modelam as superfícies de estado de um solo não saturado.
Foram apresentadas relações constitutivas para o solo não saturado, assim como a equação de
resistência ao cisalhamento e as leis de fluxo em meio não saturado. As equações constitutivas
apresentadas foram as do modelo elástico não linear de Fredlund (1979), que utiliza o
conceito de superfícies de estado apresentado por Matyas & Radhakrishna (1968). Esse
modelo é utilizado por Pereira (1996) na formulação da solução acoplada de equilíbrio e
fluxo, introduzindo o parâmetro de anisotropia como será visto no Capítulo 3.
Foi feita uma revisão cronológica do desenvolvimento dos métodos de análise de estabilidade
de taludes. Os métodos foram agrupados e apresentados de forma simples e objetiva
destacando suas virtudes e deficiências, bem como os passos dados na direção de
aperfeiçoamento dos mesmos. Fica evidente o avanço do método de Equilíbrio Limite no
sentido de se levar em conta o comportamento tensão deformação do maciço na determinação
das tensões. Estudos acerca da utilização da teoria do cálculo variacional na análise de
estabilidade de taludes também são enfocados. O método de Baker (1980) foi simplesmente
apresentado como ferramenta de análise de estabilidade de taludes. Entretanto, no Capítulo 3
será apresentada a formulação do método que será implementado no programa de elementos
finitos COUPSO (Pereira, 1996).
30
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
31
CAPÍTULO 3
Fundamentos Teóricos
3.1 - Introdução
Neste capítulo são apresentadas as teorias necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.
Na seção 3.2.1 são apresentadas as hipóteses adotadas no desenvolvimento das equações
acopladas de equilíbrio e fluxo de um meio poroso não saturado. Na seqüência uma rápida
apresentação dos passos seguidos para o acoplamento das equações e por fim a solução
numérica do problema.
Numa segunda etapa o método da Programação Dinâmica é apresentado na seção 3.3 com
detalhes e de forma ilustrativa. O método desenvolvido por Baker (1980) é utilizado neste
trabalho para analisar a estabilidade de taludes de barragens de terra, conforme será visto nos
Capítulos 4 e 5. São apresentadas as principais características do método e a restrição adotada
por Pham (2002) no processo de busca da superfície crítica. Essa restrição também é utilizada
nesse trabalho de forma a se buscar superfícies que sejam fisicamente admissíveis.
3.2 - Formulação das equações acopladas de equilíbrio e fluxo
Uma formulação rigorosa para análise de problemas de solos não saturados, em duas e três
dimensões, requer o acoplamento das equações de continuidade das fases ar e água com as
equações de equilíbrio do solo. Processos transientes de fluxo de ar e água alteram as
condições de equilíbrio em um solo não saturado visto que eles mudam o estado de tensão no
meio poroso. Em conseqüência, mudança de volume ocorre e a estrutura do solo procura por
uma nova configuração de equilíbrio. A mudança de volume altera as propriedades
hidráulicas da estrutura do solo e assim afetam o processo de fluxo transiente de ar e água
através do meio poroso.
Na seção seguinte são apresentadas as hipóteses adotadas por Pereira (1996) na solução das
equações diferenciais que regem o problema de equilíbrio e fluxo de água em meio poroso
não saturado.
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
32
3.2.1 - Hipóteses adotadas
A formulação de uma teoria que descreva o comportamento mecânico de um solo não
saturado requer a consideração das equações de equilíbrio e continuidade das fases água e ar.
Além disso, a solução dessas equações requer a definição de uma série de relações
constitutivas dos materiais envolvidos. No Capítulo 2 foram apresentadas as relações
constitutivas da estrutura do solo e das fases ar e água do modelo elástico não linear proposto
por Fredlund (1979), considerando as variáveis de estado de tensão ( au ) e ( wa uu ).
Na solução das equações diferenciais Pereira (1996) considera a forma incremental para as
relações constitutivas da estrutura do solo e da fase água. As deformações são assumidas
infinitesimais e o solo é considerado como um material isotrópico, linear e elástico em termos
das propriedades mecânicas relacionadas com a variação na tensão normal líquida. Em termos
das propriedades mecânicas relacionadas com a variação da sucção mátrica o solo é
considerado como sendo anisotrópico, linear e elástico. Pereira (1996) modificou o modelo
elástico não linear proposto por Fredlund (1979), introduzindo o parâmetro de anisotropia .
A anisotropia proposta por Pereira (1996) baseia-se em resultados experimentais e em
observações de Lawton et al. (1991), onde sob trajetórias de molhagem o colapso volumétrico
do solo é uma função da tensão total média. A alteração proposta por Pereira (1996) nas
relações constitutivas das Eqs. (2.8), (2.9) e (2.10), consistiu na modificação do módulo H da
seguinte forma: ii HHH 1/ , onde iH é o módulo de elasticidade da estrutura do solo
na direção i
relativo a variação na sucção mátrica, H
é o módulo de elasticidade isotrópico
também relativo a variação da sucção mátrica, função da tensão total média, e i
é o
parâmetro de anisotropia na direção i . É necessário que os fatores i
sejam tais que se tenha
0zyx . Assim, garante-se que a inclusão dos fatores de anisotropia não altere a
deformação volumétrica ocorrendo mudança apenas nas componentes individuais de
deformação.
Para a fase água também se utilizou uma modelagem constitutiva baseada no conceito de
superfícies de estado (Matyas & Radhakrishna, 1968) conforme visto no Capítulo 2. A
modelagem constitutiva da fase ar não foi necessária, visto que esta é considerada contínua e
à pressão atmosférica constante. Segundo Gitirana Jr. (1999) apesar de a condição de fluxo
livre de ar ser muito freqüente, deve-se reconhecer que na realidade essa condição pode em
alguns casos não prevalecer. Gitirana Jr. (1999) cita Barden (1965) segundo o qual afirma que
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
33
quando o solo é compactado em torno da umidade ótima, ocorre uma fase de transição, em
que o ar na condição contínua e na condição de bolhas de ar oclusas estão em proporções
consideráveis. Quando o solo é compactado acima da umidade ótima, a condição de ar em
forma de bolhas oclusas passa a prevalecer. Neste caso, pode-se modelar o comportamento do
solo considerando a mistura ar-água como sendo uma fase única e compressível (Biot, 1941,
Chang & Duncan, 1983 e Santos Neto & Almeida, 1993) citados por Gitirana Jr. (1999).
Pereira (1996) utilizou a consideração de ar contínuo e à pressão atmosférica constante na
análise numérica do comportamento mecânico de barragens de terra compactadas em
condição metaestável.
3.2.2 - Equações básicas
A seguir são apresentadas as equações básicas que regem o comportamento mecânico do solo
não saturado. Como já discutido anteriormente, a equação da fase ar é desprezada. Na
formulação desenvolvida o eixo coordenado y coincide com a direção vertical.
3.2.2.1 - Equação de continuidade da água
Na condição tridimensional a continuidade da água é escrita de acordo com a Eq. (3.1)
0)v()(
www
t
nS
(3.1)
onde:
n é porosidade do solo: 0/VVn v ;
S é o grau de saturação do solo: vw VVS / ;
w = densidade da água;
kvjvivv zw
yw
xww , vetor de velocidade macroscópica da água;
zyx, operador divergente;
0V é o volume total inicial do elemento;
WV é o volume de água no interior do elemento;
vV é o volume de vazios no interior do elemento.
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
34
Na engenharia prática a água é considerada incompressível, isto é, w
constante. Assim,
assumindo a condição de deformação infinitesimal a Eq. (3.1) pode ser reescrita na forma da
Eq. (3.2).
0)v()/(
w0
t
VVw (3.2)
3.2.2.2 - Equações de equilíbrio do solo
Considerando o equilíbrio estático de um elemento de solo têm-se as Eqs. (3.3), (3.4) e (3.5)
nas direções x, y e z respectivamente como segue:
0xzxyxxx bzyx
(3.3)
0yzyyyxy bzyx
(3.4)
0zzzyzxz b
zyx
(3.5)
onde:
ij é a tensão normal total no plano i
e direção j ;
ij é a tensão de cisalhamento no plano i e direção j ;
ib são as forças de massa.
No caso da condição bidimensional as Eqs. (3.6) e (3.7) definem o equilíbrio do elemento de
solo
0xyxx byx
(3.6)
0yyxy b
yx
(3.7)
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
35
3.2.3 - Relações constitutivas e lei de movimento
Para resolução das equações básicas é necessária a definição de relações constitutivas para a
estrutura do solo e para a fase água, ligando as variáveis de estado de deformação com as
variáveis de estado de tensão. Além disso, lei de movimento para a fase água e equação
constitutiva para a lei de movimento são necessárias.
3.2.3.1 - Relação constitutiva para a estrutura do solo
As relações constitutivas para a estrutura do solo não saturado foram apresentadas na seção
2.3.1.1 conforme as Eqs. (2.8), (2.9) e (2.10). Na forma incremental essas equações podem ser
escritas conforme a Eq. (3.8).
was uudhdDd~~~~
*1
(3.8)
onde:
amu* ; 0,0,0,1,1,1Tm ; 0,0,0,1
,1
,1T
zyxs HHH
h ;
yz
xz
xy
z
y
x
;
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
11
~ED ;
yz
xz
xy
z
y
x
A Eq. (3.8) expressa de forma genérica a relação tensão deformação e também fornece uma
forma conveniente para propósitos computacionais (Zienkiewicz, 1975) citado por Pereira
(1996).
De acordo com a Eq. (3.8), incrementos de tensão normal líquida podem ser expressas como
função dos incrementos de deformações e da sucção mátrica como mostra a Eq. (3.9):
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
36
)(*
was uudDdDd~~~~
(3.9)
onde:
ss hDD~~
.
Na condição de deformação plana, é restringida a deformação na direção z isto é, 0zd .
Logo, pela Eq. (3.8) tem-se a tensão normal líquida na direção z dada pela Eq. (3.10).
)()2()( waz
ayxaz uudH
Eudud
(3.10)
Levando-se a Eq. (3.10) para Eq. (3.9) têm-se as relações constitutivas para a condição de
deformação plana onde:
xy
ay
ax
a u
u
mu* ;
x
v
y
uy
vx
u
xy
y
x
,
são os vetores de tensão total líquida e deformação total, respectivamente;
u, v são os deslocamentos nas direções x e y, respectivamente;
)1(2
2100
011
01
1
)21)(1(
)1(ED ;
0
)11
(1
1
)11
(1
1
)21)(1(
)1(
zxy
zyx
s HHH
HHHE
D
são as matrizes constitutivas tangentes.
3.2.3.2 - Relação constitutiva para a fase água
A relação constitutiva da fase água foi apresentada no Capítulo 2 pelas Eqs. (2.11) e (2.13).
Para o caso de deformação plana a Eq. (2.13) é escrita em termos da tensão média nas
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
37
direções x e y, ou seja, 2/)( yxmédia . Os parâmetros de compressibilidade ss mm 21 e ,
ww mm 21 e são obtidos combinando-se distintamente a Eq. (2.11) com a Eq. (3.10), e a
Eq. (2.13) com a Eq. (3.10):
Ems )21)(1(2
1 ; zyx
s
HHHm
2112 ;
w
w
Em
)1(21 ;
ww
w
E
HE
Hm
)/(12
(3.11)
Substituindo-se a Eq. (3.9) na Eq. (2.13), a equação constitutiva da fase água pode ser
expressa conforme a Eq. (3.12).
)(210
wawvww uudd
V
dV
(3.12)
onde:
s
w
w m
m
1
11 ;
s
sww
w m
mmm
1
2122
3.2.4 - Equações diferenciais finais para a condição de deformação plana
A seguir são apresentadas as equações acopladas que regem o fenômeno de consolidação do
solo não saturado, em termos das incógnitas primárias. As incógnitas primárias para a
condição de deformação plana são os deslocamentos (u e v) e a pressão de água ( wu ). As
equações são explicitamente definidas a partir combinação das equações básicas com as
relações constitutivas e a lei de fluxo, discutida no Capítulo 2. Assim, têm-se as Eqs. (3.13) e
(3.14) para o equilíbrio da estrutura do solo nas direções x e y respectivamente. A Eq. (3.15)
para conservação de massa de água.
0331211 xawax
s bx
u
x
uud
y
v
x
u
yc
y
vc
x
uc
x (3.13)
0221233 byx
u
x
uud
y
vc
x
uc
yx
v
y
u
xc away
s (3.14)
yu
kt
uu
t w
wwaw
vw 21 (3.15)
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
38
onde:
)21)(1(
)1(2211
Ecc ;
)21)(1(12
Ec ;
)1(233
Ec
zyx
xs HHH
cd)1()1(
111 ;
zyx
ys HHH
cd)1(
1
)1(11
3.2.5 - Solução numérica do sistema de equações acopladas
A solução das equações obtidas é feita de forma aproximada por meio de técnicas numéricas,
onde o domínio contínuo é dividido em elementos discretos conectados pelos nós. Para o caso
de deformação plana, Pereira (1996) utiliza o método dos elementos finitos para a
discretização espacial do contínuo, e um esquema de diferenças finitas para a discretização
temporal, haja visto a natureza transiente do problema.
3.2.5.1 - Discretização espacial das equações de equilíbrio e continuidade da fase água
Pereira (1996) utiliza o Princípio dos Trabalhos Virtuais para resolver as equações de
equilíbrio e o Método de Galerkin para a solução da equação de continuidade da fase água. Na
forma matricial estas são apresentas conforme Eq. (3.16) e (3.17), respectivamente:
FuCWuDK w
(3.16)
FWuTW-uWKuHW ww
(3.17)
onde:
x , representa a derivada de x em relação ao tempo;
x , representa o valor nodal da variável;
DK = dDBBT , é a matriz de rigidez da estrutura do solo;
CW = d
DB sT , é a matriz de rigidez relacionada a fase água;
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
39
F
= d
tbT
+ dSts
S2
, é o vetor de cargas relacionado as forças de volume e
forças de superfície;
HW = dk1
)( ww
T , é a matriz de condutividade hidráulica;
WK
= BdmTTw1
, é a matriz de massa do solo. Acopla a equação de continuidade da
água com a equação de equilíbrio;
TW = dTw 2
, é a matriz de massa de água;
FW = - dS-y)d(k)(2S
Tw
T , é o vetor de força;
n21 ,...,, ;
j , função de forma do nó j;
n, número de pontos nodais.
Na forma condensada o sistema pode ser escrito na forma da Eq. (3.18):
TwBwA
(3.18)
onde:
HW0
00A ;
TW-WK
CWDKB ;
wu
uw ;
FW
FT .
3.2.5.2 - Discretização temporal do sistema de equações acopladas
O sistema de equações obtido na discretização espacial, Eq. (3.18), possui um vetor de
incógnitas de deslocamentos e pressão de água, w , e um vetor de incógnitas de variação no
tempo dos deslocamentos e pressão de água, w . A derivada em relação ao tempo identifica
um fenômeno transiente e, portanto, uma solução em relação ao tempo é requerida. A solução
apresentada utiliza o Método das Diferenças Finitas para a aproximação temporal das
equações acopladas em um instante )( tt .
De forma geral Pereira (1996) apresenta as matrizes B e A e o vetor de força T
como
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
40
sendo não lineares, dependentes do estado de tensão e propriedades do material. Assim, o
sistema de equações que rege o problema de tensão deformação acoplado ao fluxo em meio
não saturado pode ser descrito como função do tempo de acordo com a Eq. (3.19):
tttttttttt TwBwA
(3.19)
O valor de
define o esquema de integração numérica adotado. Neste trabalho utilizou-se o
esquema de integração com =1 (backward difference scheme) por mostrar-se mais estável.
Pereira (1996), utilizou um esquema de tempo em dois níveis e assumiu uma variação linear
para o vetor de incógnitas para um dado incremento de tempo dado pela Eq. (3.20):
ttttt ww1w
(3.20)
A derivada em relação ao tempo das incógnitas pode ser expressa pela Eq. (3.21):
tww
w ttttt
(3.21)
Substituindo as Eqs. (3.20) e (3.21) na Eq. (3.19), chega-se a solução final das equações
diferencias do problema conforme mostrado pela Eq. (3.22):
tFGwAG tt
(3.22)
onde:
tttt BAtAG ; twBA)t(1tTFG ttt tttt .
A solução do vetor de incógnitas do sistema FGwAG tt
para um instante )( tt
é
obtida em função do vetor de incógnitas do passo de tempo anterior e das matrizes de rigidez.
Portanto, é necessário conhecer a condição inicial das três variáveis primárias do problema,
wu e vu, .
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
41
3.3 - Teoria geral do método da Programação Dinâmica
Bellman (1957) introduziu uma nova teoria matemática de processo de decisão em múltiplos
estágios. O processo de decisão é definido como um sistema cujo estado, em um tempo t
qualquer, é especificado para o vetor P que sofre transformações no curso do tempo. A
transformação da variável P é equivalente a uma decisão. Se uma única decisão é feita, o
processo é chamado de processo de decisão de estágio único.
Originalmente a terminologia Programação dinâmica é derivada da natureza da solução. Os
problemas tratados são de programação e o adjetivo dinâmica indica o envolvimento do
tempo.
As características da teoria da programação dinâmica podem ser resumidas como segue:
O propósito do método da programação dinâmica é maximizar ou minimizar uma
função;
A função pode ser descrita como um sistema contendo estágios. O sistema é
caracterizado em qualquer estágio por parâmetros chamados de variáveis de estado;
Em cada estágio do processo, existe um número de decisões a ser feita;
O efeito de uma decisão é a transformação das variáveis de estado;
O passado histórico do sistema não é de importância para a determinação de futuras
ações.
Bellman (1957) introduziu a clássica declaração do princípio da optimalidade
transcrito a
seguir:
Princípio da optimalidade: Uma ótima política tem a propriedade de que, qualquer que seja
o estado inicial e a decisão inicial, as decisões restantes devem levar em conta no resultado o
estado da decisão inicial.
Segundo Bellman (1957), tradução matemática deste princípio levará a todas as equações que
serão encontradas na teoria do método da programação dinâmica.
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
42
3.3.1 - Formulação do método da programação dinâmica
Uma das definições do fator de segurança encontradas na literatura é expressa pela Eq. (3.23):
B
A
B
A
f
s
dL
dL
F
(3.23)
onde:
sF , é o fator de segurança da superfície AB,
, é a tensão de cisalhamento mobilizada ao longo da superfície AB
f , é a resistência ao cisalhamento do solo,
L , é o comprimento total da superfície AB.
Assumindo-se que a superfície crítica de deslizamento é a reunião de segmentos lineares,
conforme mostrado na Fig. 3.1. Na forma discreta o fator de segurança global, SF , pode ser
escrito para a superfície AB conforme Eq. (3.24):
n
ii
i
n
if
s
L
LF
i
1
1
(3.24)
onde:
n , é o número de segmentos discretos,
i , é a tensão de cisalhamento mobilizada ao longo do segmento i ,
if , é a resistência do solo ao longo do segmento i ,
iL , é o comprimento do segmento i .
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
43
X
A
Y
"1" "n+1""i"
B
"Estágio"
"Ponto de Estado"
Figura 3.1 Superfície de deslizamento AB na forma discreta (Pham, 2002).
Visto que um dos propósitos da análise de estabilidade de taludes é determinar o fator de
segurança mínimo, um esquema de minimização precisa ser feito para encontrar o valor
mínimo do fator de segurança, sF na Eq. (3.24).
A minimização de sF na Eq. (3.24) requer uma técnica apropriada. Baker (1980) mostrou a
relação entre o cálculo variacional e o método da programação dinâmica, concluindo que a
minimização do fator de segurança pode ser feita minimizando-se uma função auxiliar, G ,
também chamada de função de retorno, que é definida na forma discreta pela Eq. (3.25):
i
n
iisf LFG
i1
(3.25)
Para um segmento, i, a resistência ao cisalhamento do solo pode ser definida pela teoria geral
da mecânica dos solos não saturado conforme discutido no Capítulo 2 e mostrado pela
Eq. (2.14). Assim, a tensão normal e de cisalhamento atuando no ponto de um plano particular
podem ser computadas das tensões yx , e xy de acordo com as Eqs. (3.26) e (3.27):
2cos22 sensen xyyx
(3.26)
22
cos22 sensen xyxy
(3.27)
onde:
yx , , são as tensões totais nas direções X e Y respectivamente;
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
44
xy , é a tensão de cisalhamento na direção XY;
, é o ângulo medido entre a direção do plano e a direção do eixo X.
Na Figura 3.2 os pontos que definem a superfície crítica pertencem a um sistema formado por
pontos de estado e estágios. Os estágios estão na direção horizontal, e cada estágio contém um
número de pontos de estado locados na direção vertical. Visto que a busca otimizada pela
programação dinâmica utiliza um sistema de pontos de estado e estágios, o sistema formado é
chamado de grade de busca. O contorno da grade de busca é chamado de contorno de busca,
e deve ser definido pelo usuário.
X
A
Y
"1" "n+1"...i
B
"Ponto de
"Ponto de estado"
"Ponto final"
"Ponto Inicial"
j
i+1
SikRi
"Grade de pesquisa"
"Grade de saída"ou
"Contorno de pesquisa"
"Elemento da grade""Ponto de saida"
i+1... Xb
Yb
entrada"
i
Figura 3.2 Esquema analítico do método da programação dinâmica (Pham, 2002).
Conforme será visto no Capítulo 4, as tensões e propriedades do solo são interpolados no
centro de cada elemento da grade de busca. Se a densidade da grade de busca é
suficientemente fina, então as tensões no interior do elemento podem ser assumidas
constantes, sendo representativa para todo o elemento. Supondo que a superfície crítica de
deslizamento contenha um segmento, jk , conectando dois pontos, j
e k , locados em dois
estágios sucessivos, i e 1i , respectivamente, como mostra a Fig. 3.3. A força resistente e de
cisalhamento atuando no segmento jk pode ser calculada pela Eq. (3.28).
ij
ne
ijf
ne
ijijifi lRLR
iji11
(3.28)
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
45
Si
Ri
Rij
Sij
j
(ij)
(ij)
(ij)
(ij)
estágio "i+1"estágio "i"estágio "i" estágio "i+1"estágio "i" estágio "i+1"
jj
k
j
k
Lij
Lij
Lij
Lij
Lij
Lij
Lij
Lij
Li
Rij
Sij
Rij
Sij
Rij
Sij
f i j
i j
i j
k
f i j
i j
i j
i jf
i j
i j
i jf
i j
i j
Figura 3.3 Resistência ao cisalhamento e tensão de cisalhamento na forma discreta
(Pham,2002).
De acordo com a Eq. (2.14) as forças resistente e de cisalhamento atuantes no segmento jk
são expressas a seguir:
ij
ne
ij
bijwaijaijiji ltguutgucR
ijijij1
'''
(3.29)
ij
ne
ijij
ne
ijijiii lSLS
11
(3.30)
onde:
ij , é o elemento da grade atravessado pelo segmento jk ;
ijf , é a resistência ao cisalhamento no centro do elemento ij ;
ij , é a tensão de cisalhamento mobilizada no centro do elemento ij ;
bijijijc ,, '' , são os parâmetros de resistência do solo no centro do elemento ij ;
ne , número de elementos ij ;
ijl , é o comprimento do segmento passando pelo elemento ij .
De acordo com Baker (1980), o método da programação dinâmica é simplesmente aplicável a
uma função aditiva , que é essencialmente a mesma função auxiliar G da Eq. (3.25). Para
um segmento jk , o valor mínimo de G pode ser escrita conforme Eq. (3.31).
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
46
n
iisi SFRGG
1min minmin (3.31)
onde:
iR , é a força resistente do solo ao longo do segmento jk ;
iS , é a força de cisalhamento atuando no segmento jk .
Segundo Baker (1980) o principal elemento da abordagem da programação dinâmica é uma
seqüência de funções )( jHi , que são chamadas de funções ótimas. O valor da função ótima
)( jHi , é igual ao mínimo valor da função de retorno, G , calculada de um ponto no estágio
inicial para o ponto j no estágio i .
De acordo com o princípio da optimalidade (Bellman, 1957), a função ótima )(1 kHi
obtida
no ponto k do estágio 1i pode ser calculada de acordo com a Eq. (3.32):
),()()(1 kjGjHkH iii
(3.32)
onde:
)(1 kHi , é a função ótima obtida no ponto k do estágio 1i ;
)( jHi , é a função ótima obtida no ponto j no estágio i ;
),( kjGi , é a função de retorno calculada para o segmento quando passa do ponto de estado j
no estágio i para o ponto de estado k no estágio 1i .
No estágio inicial, ( 1i ), o valor da função ótima )(1 jH para todos os pontos de estado j
é
igual a zero ( 0)(1 jH ). Já para o estágio final, ( 1ni ), a função ótima é igual ao mínimo
valor da função de retorno G , isto é:
),()()(1 kjGjHkH nnn
(3.33)
n
iisin SFRGkH
1min1 )( ; 1...1 nNPk (3.34)
onde:
1nNP , é o número de pontos de estado no estágio final.
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
47
O ponto ótimo no estágio final é definido como o ponto em que, a função ótima )(1 kHi
calculada é mínima. A partir do ponto k no estágio final, o ponto ótimo j
no estágio anterior
é determinado. A trajetória jk formada pelos pontos ótimos j
e k é um segmento
pertencente à trajetória ótima. A trajetória ótima é completamente determinada, conectando-
se os pontos ótimos do último para o primeiro estágio. Essencialmente a trajetória ótima é a
superfície crítica de deslizamento.
Baker (1980) enfatiza a dificuldade em se aplicar diretamente a Eq. (3.32) para o funcional
G , pelo fato de que os pontos inicial e final da superfície de deslizamento não serem
conhecidos de antemão. Esses pontos não podem ser arbitrariamente locados em qualquer
lugar da superfície do talude. Portanto, para resolver essa dificuldade, a busca deve ser
iniciada e finalizada em pontos arbitrários fora do contorno físico do talude. Esses pontos são
chamados de ponto inicial e final, respectivamente. Visto que fora do contorno do talude não
há tensões, todas as funções de retorno calculadas, G , são iguais a zero.
A Fig. 3.2 mostra o contorno de busca, que circunscreve a maior parte do talude, mas que tem
um ponto ( BB YX e ) dentro do limite físico do talude. Esse ponto é colocado dentro do limite
físico, justamente para prevenir que a busca pela trajetória ótima se dê por fora do talude.
É importante ressaltar que a busca pela trajetória ótima depende do fator de segurança
definido na Eq. (3.24), que não é conhecido previamente. Portanto, um valor inicial para o sF
deve ser atribuído para que se possa iniciar a busca.
Assumindo-se um valor inicial para o fator de segurança, iSF , a busca é iniciada e uma
trajetória ótima inicial é obtida. O fator de segurança, aSF , para a trajetória ótima é avaliado
pela Eq. (3.24). Se uma tolerância
é definida para a convergência do aSF , então a
convergência deve ser checada pela Eq. (3.35):
iS
aS FF (3.35)
Se a condição apresentada pela Eq. (3.35) é satisfeita, então aSF é o fator de segurança e a
correspondente trajetória ótima é a superfície crítica de deslizamento. De outra maneira um
novo valor para o fator de segurança inicial, iSF , é calculado para a próxima iteração de
acordo com a Eq. (3.36):
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
48
i
Sa
Sa
Si
s FFFF
(3.36)
Onde
é um fator aplicado ao erro utilizado na avaliação do novo i
SF , isto é, se
igual a 1
então todo erro é utilizado. Portanto, a busca é não linear em sF .
O procedimento é repetido até que a condição mostrada na Eq. (3.35) seja satisfeita. A
trajetória ótima final é a superfície crítica de deslizamento e o fator de segurança
correspondente o mínimo sF .
3.3.2 - Restrição aplicada à forma da superfície crítica
Segundo Zou et al. (1995) uma verificação deve ser feita para garantir que a superfície crítica
seja cinematicamente admissível. Infelizmente, Zou et al. (1995) não deram nenhum detalhe
de como se fazer essa verificação.
Teoricamente, quando a ruptura ocorre, a força resistente e a força atuante ao longo da
superfície de deslizamento estão em direções contrárias. A força resistente deve sempre atuar
na direção oposta ao movimento da massa. Assim, a força atuante deve estar na mesma
direção do movimento, como mostrado na Fig 3.4. Se a força atuante calculada está na
direção contrária ao movimento da massa, então o segmento é eliminado da busca, como
também é mostrado na Fig. 3.4.
S1
R1
X
Y
A
B
i
j
i+1k
S2
S2
S4 S5S5
R2
R3R4 R5
R6
RiSi
Eliminado
Figura 3.4 Restrição cinemática aplicada à forma da superfície crítica (Pham, 2002).
Capítulo 3 Fundamentos Teóricos
49
Pham (2002) enfatizou que a aplicação de uma restrição cinemática exerce um importante
papel para aplicabilidade do método da programação dinâmica à análise de estabilidade de
taludes. Pham (2002) aplicou em seu trabalho a restrição cinemática mostrada na Fig. 3.4,
para prevenir superfícies que tenham forma não razoável. Neste trabalho também é aplicada
essa restrição.
3.4 - Resumo
Este capítulo apresentou a fundamentação teórica aplicada na análise de estabilidade de
taludes. Inicialmente foram apresentadas as equações básicas de equilíbrio e fluxo para a
condição bidimensional, passando-se a seguir a apresentação das equações acopladas e por
fim a solução numérica do problema. Na seqüência o princípio da optimalidade, que é o
núcleo do método da programação dinâmica, é apresentado juntamente com os procedimentos
de busca otimizada proposto por Baker (1980).
Como pôde ser visto na teoria apresentada, o método da programação dinâmica utilizado
nesse trabalho requer a avaliação do estado de tensão do maciço para proceder a análise de
estabilidade dos taludes. Uma análise acoplada de equilíbrio e fluxo descreve de forma mais
realista a natureza do fenômeno transiente, bem como avaliação do estado de tensão do
mesmo. Pereira (1996) ainda busca reproduzir melhor o comportamento deformabilidade de
maciços que apresentam metaestabilidade utilizando na relação constitutiva um parâmetro de
anisotropia induzida pelo estado de tensão, quando não se dispõe de medidas experimentais
obtidas em laboratório.
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Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
CAPÍTULO 4
Implementação e Validação do Programa COUPSO
4.1 - Introdução
Neste capítulo são apresentadas as alterações feitas na versão original do programa COUPSO
de forma a habilitá-lo a fornecer a superfície crítica de deslizamento na análise de estabilidade
de taludes de terra. Inicialmente é feita uma breve descrição do programa COUPSO, do
programa de análise de estabilidade de talude SAFE-DP e as alterações realizadas em algumas
subrotinas do programa SAFE-DP de forma a adequá-lo como uma nova subrotina do
COUPSO.
A validação da implementação é feita por meio da análise da estabilidade dos taludes de
montante e jusante de uma barragem de terra construída com um solo de estrutura estável. Os
fatores de segurança e a locação das superfícies obtidas pelo COUPSO são comparados aos
resultados obtidos pelo programa SLOPE/W (Geo-Slope, 1994) para a superfície circular,
utilizando o método do Equilíbrio Limite Melhorado. A superfície obtida pelo COUPSO
também é especificada no SLOPE/W (Geo-Slope, 1994) e os fatores de segurança
comparados.
4.2 - Descrição geral do programa COUPSO
O programa COUPSO, que originalmente constitui-se de um programa principal e 22
subrotinas, faz análise acoplada de equilíbrio e fluxo em solos não saturados, sendo a
condição saturada um caso particular. A versão original do programa (Pereira, 1996) utiliza
como modelo para a relação constitutiva entre tensões e deformações o modelo elástico não
linear proposto por Fredlund (1979) e considera a condição bidimensional de deformações
planas. O programa COUPSO utiliza elementos quadrilaterais de nove nós para discretização
espacial do problema. A interpolação é realizada utilizando polinômios de Lagrange e a
integração numérica é feita utilizando a quadratura de Gauss-Legendre. A matriz de equações
lineares é armazenada em “skylines”, de acordo com o procedimento de Dhat & Touzot
50
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
(1982), citados por Pereira (1996).
4.3 - Descrição geral do programa SAFE-DP
O programa SAFE-DP utiliza as tensões obtidas de uma análise por elementos finitos para
fazer a busca da superfície crítica dentro de uma região especificada pelo usuário. A cada
superfície fornecida pela subrotina de otimização o fator de segurança global é calculado e
comparado com o valor previamente fornecido conforme discutido no Capítulo 3. O erro entre
o valor fornecido e o calculado é verificado, e se necessário, é recalculado um novo fator de
segurança global para uma nova busca. A análise se processa iterativamente até que o fator de
segurança global convirja dentro de um erro admitido pelo usuário. Assim, simultaneamente,
são fornecidos a superfície crítica e o fator de segurança. Basicamente o programa SAFE-DP
consiste de um programa principal e 5 subrotinas as quais serão descritas no Apêndice A.
4.4 - Implementação da rotina de otimização
Neste trabalho o programa COUPSO ([COUP]led [SO]lution) foi implementado com a rotina
de otimização desenvolvida por Gitirana Jr. (2002) de acordo com os procedimentos de Baker
(1980) apresentados no Capítulo 3. A rotina de otimização de Gitirana Jr. (2002) e outras
subrotinas de controle e interpolação reunidas deram origem ao programa chamado SAFE-DP
([S]lope [A]analise [F]inite [E]lement [D]ynamic [P]rogramming), que foi implementado
como uma subrotina do programa COUPSO. Gitirana Jr. (2002) desenvolveu as subrotinas
para ler os dados de tensão e propriedades do solo a partir das análises feitas pelo programa de
elementos finitos FlexPDE. Nas análises realizadas pelo programa FlexPDE, independente da
geometria e discretização do problema, uma grade regular controlada pelo usuário é gerada
com os valores de tensão e propriedades do solo extrapolados para os nós dessa grade. As
tensões e propriedades do solo nos nós são então interpolados no centro de cada elemento da
grade utilizando funções de interpolação lineares. Assim, com a finalidade de não modificar a
subrotina núcleo da otimização, o programa COUPSO foi dotado da capacidade de gerar essa
grade de elementos usando como base a malha de elementos finitos utilizada no problema. A
subrotina DATAIN foi implementada de forma a gerar essa grade.
O programa SAFE-DP foi alterado nas subrotinas de leitura e interpolação das tensões no
centro dos elementos de grade. As alterações foram feitas de modo a dotar o programa SAFE-
DP, da capacidade de poder ler e interpolar as tensões no centro dos elementos de grade a
51
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
cada passo de tempo em uma análise transiente.
O procedimento adotado para gerar uma grade de elementos foi o de utilizar a simetria do
elemento finito de nove nós e visualizar quatro regiões dentro do mesmo as quais serão
referenciadas como quadrantes. A partir daí as tensões e propriedades do solo são interpoladas
no centro de cada quadrante do elemento finito utilizando-se funções de interpolação para 4
ou 9 nós conforme a análise é feita com 4 ou 9 pontos de integração (Figs. 4.1a e 4.1b).
Teoricamente a funções são aplicáveis aos nós, entretanto, visualizando-se os pontos de
integração como pontos nodais tem-se internamente ao elemento finito outro elemento fictício
delimitado pelos pontos de integração (Figs. 4.1c e 4.1d). O procedimento é feito em todos os
elementos da malha utilizada no problema, tendo-se ao final para cada elemento da malha
quatro elementos da grade. Entretanto, nos contornos do problema o elemento finito é
deformado de modo a satisfazer a geometria do problema. Nesse caso o procedimento
descrito acima continua valendo e os pontos interpolados que eventualmente ficarem fora dos
limites do problema serão zerados pelo programa. Assim, é antecipado que uma malha de
elementos finitos regular deve ser utilizada como entrada para a nova versão do programa
COUPSO.
X/4X
Y
Y/4
Y2
Y1
X1 X2 X
Y
X2X1
Y1
Y2
X
Y
Y/4
X/4
X
Y
X2X1
Y1
Y2
X
Y
N4 N3
N1 N2
ξ
η
ξ
η
N3N4
N1 N2
Y
Y2
Y1
X1 X2 X
N7
N5
N6N8
NÓ DO ELEMENTOPONTO DE INTEGRAÇÃOPONTO DE INTERPOLAÇÃO
N9
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.1 Esquema representativo: (a) e (b) Interpolação no centro dos quadrantes; (c) e
(d) elementos fictícios.
52
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
Em termos de entrada de dados a nova versão do programa COUPSO foi alterada em relação
à versão original, pois é solicitado ao usuário o fornecimento do número máximo de nós da
malha de elementos finitos nas direções “X” e “Y”, respectivamente. Esse procedimento
torna-se necessário para que o programa possa gerar a grade de elementos. Outra mudança foi
a inclusão de um segundo arquivo de entrada de dados, utilizado no programa SAFE-DP,
onde são fornecidas os pontos da geometria do problema, as coordenadas do contorno de
busca, o fator de segurança inicial e a tolerância admitida para convergência do fator de
segurança. O contorno de busca se faz necessário para que o programa possa procurar a
superfície crítica dentro dos limites especificados pelo usuário e para que o programa entenda
em que direção é o deslizamento que se está procurando.
O Apêndice A apresenta uma descrição sucinta das principais subrotinas utilizadas na nova
versão do programa COUPSO. Um fluxograma é apresentado ao final destacando as rotinas
incluídas na nova versão, bem como a lógica funcional do mesmo.
4.5 - Validação do programa COUPSO
Serão apresentadas nos itens seguintes as simulações feitas com o programa COUPSO tendo
como objetivo validar a capacidade do mesmo de fazer análise de estabilidade de taludes.
Escolheu-se para essa validação uma pequena barragem de terra com estrutura de solo estável.
Pereira (1996) modelou o comportamento do solo utilizado nesse tipo de barragem que é
construída no nordeste brasileiro. As propriedades mecânicas e hidráulicas do material
utilizado são apresentadas no Apêndice B.
Uma sucção inicial de 30 kPa é aplicada uniformemente em todo o maciço. As simulações são
feitas para os taludes de montante e jusante considerando as situações de final de construção e
condição de fluxo estacionário. Os resultados obtidos são comparados com o programa
SLOPE/W (Geo-Slope, 1994) em termos de superfície crítica e fator do segurança obtido.
4.5.1 - Procedimento de análise
A validação do programa COUPSO foi realizada em duas etapas. A primeira etapa consistiu
em simular a fase de construção do maciço. Nessa etapa o aterro foi simulado em 5 camadas,
com 2 metros cada, pelo programa de elementos finitos SIGMA/W (Geo-Slope, 1994).
Variações na poropressão de água foram desconsideradas durante a construção. O aterro foi
53
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
simulado como um material linear elástico com coeficiente de Poisson constante igual a 0.3 e
módulo de elasticidade de Young de 5.300 kN/m2. Somente o peso próprio do solo, com peso
específico de 18,44 kN/m3, gerou as tensões dentro da barragem durante esta fase. As tensões
geradas na construção da barragem foram lidas pelo programa COUPSO. No programa
COUPSO uma sucção de 30 kPa foi assumida igualmente para todo o maciço. A fase ar foi
desprezada assumindo-se que esta flui livremente. Essa hipótese isso implica que a
poropressão de água negativa tem magnitude igual à sucção assumida. A partir daí os taludes
de montante e jusante foram analisados para essa etapa e comparados com o programa
SLOPE/W (Geo-Slope, 1994).
A segunda etapa consistiu em simular a fase de enchimento do reservatório, novamente
utilizando o programa SIGMA/W (Geo-Slope, 1994), e o fenômeno de percolação transiente
por meio do programa COUPSO. O enchimento do reservatório ocorreu até a cota 8m,
permanecendo no mesmo nível durante todo processo transiente. É assumido que o
enchimento ocorre num intervalo de tempo muito pequeno, e que nesse período a água não
flui para dentro da barragem nem há variação de poropressão de água dentro do maciço. O
programa SIGMA/W (Geo-Slope, 1994) calcula o estado de tensão da fase de enchimento a
partir do estado de tensão obtido na fase de construção do aterro e do carregamento de água
imposto à face do talude de montante. De maneira semelhante à primeira etapa, o programa
COUPSO assume uma sucção uniforme de 30 kPa para o maciço. As condições de fronteira
de poropressão de água e deslocamentos são utilizadas na solução do sistema. Foi considerada
a anisotropia de permeabilidade horizontal da ordem de 10 vezes a permeabilidade vertical.
Segundo Pereira (1996) é prática de projeto na construção de pequenas barragens no nordeste
brasileiro a adoção de anisotropia dessa magnitude.
A Fig. 4.2 mostra a seção transversal da barragem bem com a discretização espacial do
problema. Foi utilizada a integração reduzida com 4 pontos de Gauss. A utilização de 4
pontos de integração mostrou maior estabilidade do programa COUPSO. Para fins de
validação somente o último passo de tempo, que corresponde ao estado estacionário, é
apresentado. No Capítulo 5 serão mostradas as análises para passos de tempo intermediários
para uma barragem construída com solo metaestável.
54
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108 109 110 111 112113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126127 128 129 130
2 2
11
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.2 Seção transversal da barragem e discretização espacial utilizada no problema.
4.5.1.1 - Análise da estabilidade de final de construção
A Fig. 4.3 ilustra a superfície crítica obtida pela nova versão do programa COUPSO.
Observa-se que a superfície é composta por três segmentos retos. De fato a única restrição
aplicada à superfície é que seja cinematicamente admissível. Comparando-se a superfície da
Fig. 4.3.com a superfície crítica da Fig. 4.4 obtida pelo programa SLOPE/W, que utilizou o
estado de tensão fornecido pelo programa COUPSO, percebe-se uma boa aproximação das
superfícies. O fator de segurança obtido pelo programa COUPSO foi 0,9% superior ao obtido
pela superfície circular do SLOPE/W.
A Fig. 4.5 mostra a superfície obtida pelo programa COUPSO e que foi especificada no
programa SLOPE/W. Teoricamente o fator de segurança teria que ser o mesmo obtido pelo
COUPSO, já que utilizam o mesmo conceito de fator de segurança (Eq. 3.23). Entretanto,
como já discutido anteriormente na seção 4.4, as tensões utilizadas para a busca da superfície
são proveniente de uma grade de elementos onde são interpoladas no centro de cada elemento
da mesma. Enquanto que no SLOPE/W as tensões são interpoladas exatamente na base das
fatias que compõem a superfície.
55
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Barragem
Superfície crítica
Contorno de busca
Figura 4.3 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 4,220.
4.25 4.5
4.75
4.181
Superfície crítica obtida pelo programa COUPSO
Superfície crítica obtida obtida pelométodo do Equilíbrio Limite Melhorado
Distância (m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.4 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,181.
56
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
As Figs 4.6 a 4.8 ilustram as análises feitas para o talude de jusante. Devido a simetria, os
resultados com relação a análise de montante são idênticos em termos de locação das
superfícies críticas e do fator de segurança como mostrado nas Figs. 4.6 e 4.8. Já a superfície
circular mostrada na Fig. 4.7 não apresenta o mesmo resultado por não haver uma exata
simetria dos centos dos círculos, com relação a análise de montante.
4.195
Distância (m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.5 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,195.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Barragem
Superfície crítica
Controno de busca
Figura 4.6 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 4,220.
57
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
4.2
00
4.40
0
4.150
Superfície crítica obtida pelométodo do Equilíbrio Limite Melhorado
Superfície crítica obtidapelo programa COUPSO
Superfície crítica obtida pelométodo do Equilíbrio Limite Melhorado
Distância (m)
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.7 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,150.
4.195
Distância (m)
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.8 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 4,195.
58
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
4.5.1.2 - Análise da estabilidade em condição de fluxo estacionário
As Figs 4.9 a 4.11 mostram as superfícies críticas obtidas e os respectivos fatores de
segurança para a condição de fluxo estacionário atingido 3013 dias após o enchimento do
reservatório. Como se trata do estado estacionário a pressão de água positiva agindo na base
da superfície abaixo da linha freática tende a diminuir a tensão normal efetiva. Ainda assim o
talude de montante tem uma boa estabilidade, refletida pelo fator de segurança devido ao
carregamento da água. A locação da superfície difere em relação à obtida na fase de
construção, ficando mais profunda.
A análise de jusante ilustrada pelas Figs. 4.12 a 4.14 mostra que em termos de locação da
superfície crítica, comparativamente a fase de final de construção, houve mudança
significativa somente na superfície circular obtida pelo SLOPE/W. Uma superfície circular
mais profunda foi obtida pelo programa SLOPE/W em comparação com a superfície obtida
pelo COUPSO. O fator de segurança obtido para as três simulações reflete o efeito da perda
de sucção da porção abaixo da linha freática e diminuição da mesma acima, como ilustrado na
Fig. 4.15. Além disso, não há o carregamento de água na face e jusante para dificultar o
deslizamento.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Barragem
Água
Superfície crítica
Contorno de busca
N.A
Figura 4.9 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 3,690.
59
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
3.9 4.05
4.2
3.849
Superfície crítica obtida pelo programa COUPSO
Superfície crítica obtida pelométodo do Equilíbrio Limite Melhorado
Linha freática
Distância (m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.10 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 3,849.
3.719
Linha freática
Distância (m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.11 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 3,719.
60
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
BarragemÁguaSuperfície críticaControno de busca
N.A
Figura 4.12 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 2,861.
2.9
00
3.1
00
2.832
Superfície crítica obtida pelométodo do Equilíbrio Limite Melhorado
Superfície crítica obtidapelo programa COUPSO
Linha freática
Distância (m)
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.13 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa
SLOPE/W: FS Global – 2,832.
61
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
2.845
Linha freática
Distância (m)
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.14 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa
SLOPE/W: FS Global – 2,845.
-20
-10
0
0
10
10
10
10
20
20
20
30
30
30
40
40 40
50
50
60 60
70
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 4.15 Distribuição de poropressão na condição de fluxo estacionário (kPa).
4.6 - Resumo
Neste capítulo foi apresentada a potencialidade do método da Programação Dinâmica
implementado no programa COUPSO. Inicialmente tanto a descrição do COUPSO quanto a
descrição do programa SAFE-DP foi apresentada de forma sucinta, remetendo o leitor ao
Apêndice A onde poderá encontrar detalhes do fluxo de funcionamento da nova versão
implementada. Na seqüência os pontos mais importantes da implementação foram descritos e
como o programa SAFE-DP foi incorporado ao programa COUPSO.
62
Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO
A validade da implementação foi verificada por meio da análise de estabilidade dos taludes de
montante e jusante de uma pequena barragem. Os resultados foram comparados com os
obtidos pelo programa comercial SLOPE/W (Geo-Slope, 1994). Com base nos resultados
discutidos nas seções anteriores a nova versão demonstrou capacidade para analisar a
estabilidade do maciço, fornecendo superfície e fator de segurança simultaneamente. No
entanto, a forma da superfície obtida pelo COUPSO é levemente diferente da obtida pelo
programa SLOPE/W.
63
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
CAPÍTULO 5
Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
5.1 - Introdução
Pereira (1996) em seu trabalho cita dados obtidos pela comissão de engenheiros designada a
estudar a segurança das estradas do Estado do Ceará em conseqüência da freqüente ruptura de
pequenas barragens. A ruptura das mesmas ocorria em um curto intervalo de tempo logo após
o primeiro enchimento do reservatório. Segundo dados obtidos por Pereira (1996), entre o
período de 1979 a 1983 aproximadamente 20.000 pequenas barragens foram construídas,
ampliadas ou reabilitadas no Estado do Ceará pelo Programa Emergencial de Combate a
Seca. A comissão analisou 720 dessas barragens e concluiu que 80% delas rompiam durante a
estação chuvosa como conseqüência da deficiência na compactação do material, que era
realizada quase sempre sem uso de água. A justificativa encontrada pela comissão para a
construção de pequenas barragens sem o uso de água é transcrita a seguir: “A dificuldade
para fornecer água para satisfazer as mais elementares necessidades da população não
permite o uso de tal precioso líquido na construção de barragens”.
Neste Capítulo a nova versão do programa COUPSO é utilizada para avaliar a estabilidade de
uma barragem metaestável após o enchimento do reservatório. A aplicabilidade do método da
Programação Dinâmica em problemas de complexo estado de tensão é avaliada nessa
simulação.
5.2 - Procedimento de análise
O procedimento de análise seguiu os mesmos passos descritos na seção 4.5.1, exceto que o
módulo de elasticidade de Young e o peso específico seco do material utilizado para simular o
estado de tensão inicial foram de 5.800 kN/m2 e 14,75 kN/m3, respectivamente. Também foi
assumida uma anisotropia de permeabilidade horizontal de 10 vezes a permeabilidade vertical
e uma sucção inicial de 370 kPa para todo o maciço. A sucção assumida foi obtida a partir da
curva característica para umidade de compactação utilizada por Pereira (1996). A modelagem
64
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
do comportamento mecânico e as propriedades hidráulicas do material utilizado na simulação
são mostradas no Apêndice B. Foram utilizados os coeficientes de anisotropia zyx χχχ ,,
K
obtidos por Pereira (1996) conforme discutido no Capítulo 3. Esses coeficientes foram
obtidos por tentativa e erro a partir da simulação do colapso induzido pela molhagem sob
condições . Foi assumido igual valor para os coeficientes de anisotropia para as direções
horizontais,
0
xχ e zχ . Já para a direção vertical, yχ , o coeficiente foi definido como
sendo )( zx . O valor -1,95 obtido por Pereira (1996) foi utilizado neste trabalho. χχ +−
Durante a análise considerou-se que o estado de tensão inicial de cada fase era igual ao estado
de tensão final da fase anterior. Entretanto, os deslocamentos não foram considerados de
forma acumulativa nas fases de construção e enchimento do reservatório, isto é, em cada fase
os deslocamentos foram zerados.
A seção transversal e a discretização espacial do problema analisado são as mesmas
apresentadas no Capítulo 4 como mostrado na Fig. 4.2. A discretização temporal consistiu de
um tempo inicial de 17 dias e incrementos de tempo de 0,2 dia. O tempo inicial de 17 dias foi
obtido de forma a evitar a oscilação numérica. A saída de resultados foi realizada a cada 100
incrementos de tempo, sendo que inicialmente são mostrados os resultados para o tempo
inicial e para os 4 primeiros incrementos.
5.3 - Apresentação e análise dos resultados
A apresentação e análise dos resultados obtidos são realizadas para as três fases consideradas,
ou seja, fase de final de construção, fase de enchimento do reservatório e a fase de pós-
enchimento do reservatório. Os resultados são apresentados simultaneamente para os taludes
de montante e jusante em termos de superfície crítica, distribuição de tensões média, fator de
segurança local ao longo da superfície crítica, deslocamentos, avanço da frente de saturação e
incrementos de deformações volumétricas. Os resultados de tensões e deformações nas fases
de construção e enchimento do reservatório foram obtidos pelo programa Sigma/W. Assim, as
deformações volumétricas de compressão são positivas. Já na análise transiente os resultados
têm origem no programa COUPSO. Portanto, as deformações volumétricas de compressão
são negativas e as de expansão positivas. Para a fase de percolação transiente foram
selecionados três estágios do processo até onde se caracteriza uma superfície de ruptura com
fator de segurança global menor que 1 (um). Os estágios foram escolhidos de maneira a se ter
65
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
intervalos de tempos eqüidistantes. Contudo, os estágios intermediários não apresentados na
análise são mostrados no Apêndice C.
5.3.1 - Final de construção
A Fig. 5.1 mostra os deslocamentos na fase de final de construção. Nota-se a simetria em
relação ao centro da barragem, sendo que a magnitude desses deslocamentos é maior na parte
central do maciço. Nas Figs 5.2 e 5.3 as distribuições de tensão normal média e de
deformações volumétricas, respectivamente, também apresentam simetria. O padrão simétrico
é devido a geometria do problema e da consideração de que apenas do peso próprio do
material gerou o estado de tensão no maciço.
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.1 Deslocamentos da fase de final de construção: ampliado 20 vezes.
15 15
15 15
15
30 30
30 30
45 45
45
60 60 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.2 Tensão normal média na fase de final de construção (kPa).
66
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
0.004 0.004
0.004 0.004
0.004
0.008 0.008
0.008 0.008
0.012 0.012
0.016
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.3 Deformações volumétricas na fase de final de construção.
As Figs. 5.4 e 5.7 ilustram as superfícies críticas obtidas para os taludes de montante e jusante
respectivamente. As superfícies obtidas são simétricas e tem fator de segurança igual a 2,585.
As distribuições do fator de segurança local para as superfícies são mostradas nas Figs. 5.5 e
5.8. As Figs. 5.6 e 5.9 mostram a distribuição das tensões normais, resistentes e mobilizadas
ao longo das respectivas superfícies. Como ilustrado nas Figs. 5.6 e 5.9 a mobilização da
resistência é maior, em termos absoluto, na parte central do maciço refletindo num menor
valor para o fator de segurança local como pode ser visto nas Figs 5.5 e 5.8. Também como
pode ser visto nas Figs. 5.6 e 5.9 a resistência ao cisalhamento do maciço nessa fase é
elevada. Isso reflete o efeito da sucção que aumenta a parcela coesiva. Entretanto, vale
ressaltar que para faixa de sucção entre 100 e 370 kPa a resistência ao cisalhamento é
considerada constante para o material utilizado (Pereira, 1996). Portanto, o incremento de
resistência ao cisalhamento devido o efeito da sucção possui valor limite de 100 kPa.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Superfície crítica
Contorno de busca
Figura 5.4 Superfície crítica do talude de montante na fase de final de construção: FS global
2,585.
67
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
0
1
10
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.5 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante na fase de final de construção.
-20
0
20
40
60
80
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.6 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante na
fase de final de construção.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Superfície crítica
Controno de busca
Figura 5.7 Superfície crítica do talude de jusante na fase de final de construção: FS global
2,585.
68
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.8 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante na fase de final de construção.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.9 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante na fase
de final de construção.
5.3.2 - Fase de enchimento do reservatório
A Fig. 5.10 ilustra os deslocamentos ocorridos no interior do maciço após o enchimento do
reservatório. Como pode ser visto a pressão de água no talude de montante produz um padrão
de deslocamentos na direção de jusante. A magnitude dos deslocamentos é maior na zona do
talude de montante. A Fig. 5.11 mostra a distribuição de tensão normal média após o
enchimento do reservatório. Comparativamente com a fase de final de construção, nota-se o
aumento da tensão média na zona do talude de montante. Efeito das componentes vertical e
horizontal do carregamento de água. As deformações volumétricas devido à pressão de água,
como mostrado na Fig. 5.12, são mais evidente no talude de montante e vão diminuindo sua
magnitude a medida que se afasta em direção a jusante.
69
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
Distância Horizontal (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Elev
ação
(m)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.10 Deslocamentos da fase de enchimento rápido do reservatório: ampliado 50 vezes
15
15
15 15
30
30 30
30
45 45
45 45
60 60
60
75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.11 Tensão normal média na fase de enchimento rápido do reservatório (kPa).
0
0.0005
0.0
015
0.0
025
0.0
035
0.0
045
0.0
055
0.0
065
0.0
08
Distância Horizontal (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.12 Deformações volumétricas na fase de enchimento rápido do reservatório.
A Fig. 5.13 ilustra a superfície crítica obtida para o talude de montante na fase de enchimento
do reservatório. Comparativamente à fase de final de construção, percebe-se um aumento no
fator de segurança global de 2,585 para 6,632, e diferença na locação da superfície crítica.
Essa diferença reflete o efeito das componentes vertical e horizontal do carregamento de água
no talude de montante, que aumenta a tensão de confinamento e como conseqüência a tensão
normal ao longo da superfície como mostrado na Fig. 5.15. Ainda na Fig. 5.15 pode ser visto
que a resistência ao cisalhamento aumenta significativamente na zona mais próxima do
70
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
espaldar de montante, conseqüência direta do aumento da tensão normal. Assim, era de se
esperar que a locação da superfície fosse mais profunda, pois o caminho que ofereceu menor
resistência foi mais profundo. A Fig. 5.14 mostra a distribuição do fator de segurança. Fica
evidente o significativo aumento da estabilidade local.
A Figs 5.16, 5.17 e 5.18 mostram a superfície crítica, a distribuição do fator de segurança
local e distribuição de tensões, respectivamente, para o talude de jusante na fase de
enchimento do reservatório. Comparando-se com a fase de final de construção, a única
diferença foi um pequeno aumento no fator de segurança global de 2,585 para 2,592.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Água
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura 5.13 Superfície crítica do talude de montante na fase de enchimento rápido do
reservatório: FS global = 6,632.
0
1
10
100
1000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.14 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante na fase de enchimento rápido do reservatório.
71
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-40-20
020406080
100120140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.15 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante na
fase de enchimento rápido do reservatório.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁgua
Superfície críticaControno de busca
N.A
Figura 5.16 Superfície crítica do talude de jusante na fase de enchimento rápido do
reservatório: FS global = 2,592.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.17 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante na fase de enchimento rápido do reservatório.
72
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.18 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante na fase
de enchimento rápido do reservatório.
5.3.3 - Fase de pós-enchimento do reservatório
A análise pós-enchimento do reservatório de uma barragem sujeita a colapso requer uma
melhor compreensão do processo de deformações induzidas pelo avanço da frente de
saturação. Cordão Neto (2001) apresentou um modelo reológico simplificado, mostrado nas
Figs. 5.19 e 5.20, para melhor entendimento deste processo. A Fig. 5.19 apresenta uma viga
sobre três apoios elásticos. Inicialmente o grau de saturação e as constantes elásticas são
considerados iguais em todos os apoios. O avanço da linha freática sobre a viga produzirá
mudanças no grau de saturação, e conseqüentemente, variações nos valores das constantes
elásticas. Segundo Cordão Neto (2001) inicialmente o sistema se encontra em equilíbrio
estático. Com o avanço da saturação, mostrado na Fig. 5.20, há uma variação na rigidez do
apóio 1, e o sistema entra em desequilíbrio energético. Para que o equilíbrio seja
restabelecido, é necessário que o mesmo sofra deformações em relação à configuração inicial.
A acomodação do apóio 1 causa recalques diferenciais, gerando momentos ao longo da
estrutura. Os momentos dão origem a esforços de tração e compressão ao longo da seção da
viga. Os esforços de tração não serão resistidos pelo material constituinte, no caso o solo,
surgindo trincas na região solicitada. Assim, partindo-se do modelo reológico apresentado,
tenta-se explicar o efeito das deformações induzidas pela frente de saturação no
comportamento mecânico do maciço.
73
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
K1 (S0) K2 (S0) K3 (S0)
Figura 5.19 Modelo reológico da simulação do avanço da linha freática (Cordão Neto, 2001).
Linha Freátrica
S2 > S1> S0
K1 (S2) K2 (S1) K3 (S0)
dy
Figura 5.20 Deformações devido a redução da rigidez no apoio (Cordão Neto, 2001).
Para esta fase serão apresentados apenas os resultados correspondentes aos períodos de 58, 98
e 138 dias após o enchimento do reservatório. Apenas para efeito didático esses períodos
serão chamados de estágio 1, 2 e 3, respectivamente.
5.3.3.1 - Estágio 1 – 58 dias após o enchimento do reservatório
Na Fig. 5.21 pode-se visualizar o avanço da frente de saturação 58 dias após o enchimento do
reservatório. O avanço da linha freática ocorre paralelo ao talude de montante. Esse
comportamento pode ser creditado ao elevado gradiente hidráulico na porção a jusante da
linha freática, combinado com a anisotropia de permeabilidade assumida. A Fig. 5.22 mostra
os deslocamentos ocorridos no maciço nesse estágio. Na zona saturada a parte inferior
apresenta um padrão de deslocamento bem definido predominando as forças de subpressão,
enquanto que na parte superior não existe um padrão. Ainda na Fig. 5.22 nota-se que na zona
não saturada predomina os deslocamentos para jusante, como efeito da força de percolação.
A Fig. 5.23 ilustra a distribuição da tensão média no maciço. A tensão média na zona saturada
corresponde à tensão efetiva, enquanto que na região não saturada à tensão líquida. A
apresentação de contornos de tensão média dá uma idéia de como a rigidez do maciço é
74
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
alterada com o avanço da frente de saturação. Como era de se esperar a porção saturada
apresenta diminuição devido às forças de subpressão. Ainda pode-se observar na Fig. 5.23
que na região não saturada a tensão média mantém a configuração obtida na fase de
enchimento do reservatório. A manutenção dessa configuração reflete a rigidez em que se
encontra essa porção do maciço que mantém a sucção inicial. A Fig. 5.24 mostra a
deformação volumétrica ocorrida no maciço durante o avanço da frente de saturação. Nota-se
que a faixa de deformações positivas tem coerência com os deslocamentos apresentados nesse
estágio, conforme mostrado na Fig. 5.22.
-360
-360
-360
0
0
0
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.21 Poropressão 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Elev
ação
(m)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.22 Deslocamentos 58,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 50 vezes.
75
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
0
0
15 15
15
15
15
15 15
30
30
30
30 30
45 45
45 45
60 60
60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.23 Tensão normal média 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
-2e-00
5
-2e
-005
8e-005
8e-005
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.24 Deformações volumétricas 58,5 dias após o enchimento do reservatório.
Na Fig. 5.25 pode-se observar a superfície crítica de deslizamento do talude de montante e o
respectivo fator de segurança global igual a 1,409. A mesma é composta por dois segmentos
retos locados na região que já se encontra totalmente saturado. Observa-se pela Fig. 5.27 que
a resistência ao cisalhamento ao longo da superfície é constante e igual a 5 kPa. Isso significa,
conforme discutido no Apêndice B, que a resistência ao cisalhamento foi ajustada para esse
valor, já que a envoltória apresentada por Pereira (1996) prevê valores negativos para o
intercepto coesivo. Logo, o método da programação dinâmica foi efetivo na busca pelo
caminho mais crítico. A Fig. 5.26 mostra a distribuição do fator de segurança local. Os
valores obtidos refletem o ajuste feito na envoltória de ruptura para o caso resistência ao
cisalhamento inferior a 5 kPa.
A Fig. 5.28 mostra a superfície crítica do talude de jusante. Nesse estágio a frente de
saturação ainda não atingiu a zona de jusante, conforme se pode observar na Fig 5.21.
Entretanto, comparativamente à fase de enchimento do reservatório a superfície apresentada
na Fig. 5.28 difere quanto a locação, ficando mais a jusante. A distribuição do fator de
segurança local e de tensões, Figs. 5.29 e 5.30, respectivamente, permanecem inalterados.
76
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)Barragem
ÁguaSuperfície críticaContorno de busca
N.A
Figura 5.25 Superfície crítica do talude de montante 58,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,409.
0
1
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.26 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 58,5 dias após o enchimento do reservatório.
-20
-10
0
10
20
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.27 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 58,5
dias após o enchimento do reservatório.
77
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)BarragemÁguaSuperfície críticaControno de busca
N.A
Figura 5.28 Superfície crítica do talude de jusante 58,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,598.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.29 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 58,5 dias após o enchimento do reservatório.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.30 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 58,5
dias após o enchimento do reservatório.
78
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
5.3.3.2 - Estágio 2 – 98 dias após o enchimento do reservatório
A Fig. 5.31 mostra posição da linha freática no estágio 2. O avanço se mantém essencialmente
paralelo ao talude de montante com já discutido no estágio 1. A Fig. 5.32 ilustra os
deslocamento ocorrido 98 dias após do enchimento do reservatório. Nesse estágio o padrão na
região saturada já é bem definido. A parte inferior se desloca na direção do reservatório, como
no estágio anterior, enquanto a parte superior se desloca para cima numa clara tendência de
inversão no deslocamento com relação ao estágio 1, ou seja, de jusante para montante. Nesse
estágio já é possível perceber pelo padrão de deslocamento a definição de uma superfície de
ruptura no talude de montante. Já na região não saturada percebe-se um padrão aleatório, mas
que é essencialmente na direção de jusante.
Na Fig. 5.33 mostra que a tensão média na região não saturada permanece inalterada em
relação à fase de enchimento do reservatório. Já na região saturada também ocorre a
diminuição esperada como já discutido. A deformação volumétrica decorrente do avanço da
frente de saturação, mostrada na Fig. 5.34, é efetivamente positiva na zona saturada.
-36
0
-360
-36
0
0
0
0
60
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.31 Poropressão 98,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.32 Deslocamentos 98,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30 vezes.
79
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
0
0
0
15
15
15 15
15 15
30 30
30
30
30
45
45
45
60
60
60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.33 Tensão normal média 98,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
-2e-005
-2e-005
8e-005
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.34 Deformações volumétricas 98,5 dias após o enchimento do reservatório.
A Fig. 5.35 ilustra a superfície crítica do talude de montante obtida 98 dias após o enchimento
do reservatório. Nota-se que a superfície está locada dentro da região saturada onde se
observa maior deslocamento do maciço (Fig. 5.32). Percebe-se também que a superfície tem
forma côncava. As Figs. 5.36 e 5.37 mostram as distribuições do fator de segurança local e
tensões ao longo da superfície. Na Fig. 5.36 nota-se dois picos na distribuição do fator de
segurança. Esses picos correspondem aos pontos de menores tensões mobilizadas, já que as
tensões resistentes ao longo de toda a superfície foram ajustadas para o valor mínimo de 5
kPa, como já discutido anteriormente.
As Figs. 5.38 a 5.40 mostram a superfície crítica, as distribuições do fator de segurança local
e tensões para o talude de jusante. Como pode ser visto, o maciço na zona não saturada de
jusante ainda mantém essencialmente o mesmo comportamento mecânico do estágio anterior.
Portanto, era de se esperar que o método da programação dinâmica obtivesse a mesma
superfície crítica para o talude de jusante.
80
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)Barragem
ÁguaSuperfície críticaContorno de busca
N.A
Figura 5.35 Superfície crítica do talude de montante 98,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,027.
0
1
10
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.36 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 98,5 dias após o enchimento do reservatório.
-20
-10
0
10
20
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.37 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 98,5
dias após o enchimento do reservatório.
81
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)BarragemÁgua
Superfície críticaControno de busca
N.A
Figura 5.38 Superfície crítica do talude de jusante 98,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,586.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.39 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 98,5 dias após o enchimento do reservatório.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.40 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 98,5
dias após o enchimento do reservatório.
82
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
5.3.3.3 - Estágio 3 – 138 dias após o enchimento do reservatório
A Fig. 5.41 mostra a posição da frente de saturação 138 dias após o enchimentos do
reservatório. Como já discutido anteriormente, o elevado gradiente hidráulico combinado com
anisotropia de permeabilidade assumida, mantém a o avanço da linha freática essencialmente
paralelo ao talude montante. Na Fig. 5.42 é mostrado o padrão de deslocamentos do maciço
nesse estágio. Como já constatado no estágio 2, os deslocamentos ocorridos mostram
claramente o desenvolvimento da superfície de ruptura no talude de montante. Já a região não
saturada os deslocamentos permanecem na direção de jusante. A magnitude dos
deslocamentos na região não saturada reflete a rigidez do maciço, que preserva a sucção
mátrica inicial. Pode-se notar pela Fig. 5.41 que o avanço da frente de saturação atingiu uma
região do maciço onde o coeficiente de anisotropia de deformação, induzido pelo estado de
tensão, começa a predominar. Assim, como mostrado na Fig. 5.42, tem-se o início do colapso.
Isso mostra influência da tensão média na deformação do maciço.
Como conseqüência do avanço da frente de saturação, o maciço saturado aumenta de peso.
Combinando-se o aumento de peso com a alta compressibilidade do solo na região saturada, a
tensão média na região não saturada sofre aumento devido a transferência de carga como
mostra a Fig. 5.43.
Na Fig. 5.44 as deformações volumétricas do maciço na zona saturada ainda são
essencialmente positivas. Entretanto, nota-se uma pequena região dentro dessa zona que
sofreram deformações negativas.
-360
-360
-36
0
0
0
0
60
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.41 Poropressão 138,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
83
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Elev
ação
(m)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.42 Deslocamentos 138,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30 vezes
0
0
15
15 15
15
15
15
30 30
30 30
30
45
45 45
60
60
60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.43 Tensão normal média 138,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
-2e-005 -2e-005
-2e-005
8e-0
05
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 5.44 Deformações volumétricas na fase de final de construção.
A Fig. 5.45 mostra a caracterização da ruptura do maciço 138 dias após o enchimento do
reservatório. Como esperado, a ruptura ocorreu no talude de montante. A superfície crítica
obtida pelo método da programação dinâmica mostra concordância com o mecanismo que
vinha se desenvolvendo, como mostrado nas Figs. 5.22, 5.32 e 5.42. A Fig. 5.46 mostra a
distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica. Nota-se que localmente,
excetuando-se alguns pontos, os fatores de segurança estão abaixo de 1. Porém, em um ponto
existe um pico devido a combinação da desprezível tensão mobilizada com a elevada
84
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
resistência ao cisalhamento como mostrado na Fig. 5.47. Essa elevada resistência se deve
principalmente à parcela coesiva devido a sucção mátrica.
A Fig. 5.48 mostra a superfície crítica do talude de jusante 138 dias após o enchimento do
reservatório. Como discutido nos estágios anteriores a frente de saturação não atingiu o
espaldar de jusante. Entretanto, nota-se que o avanço nesse estágio foi suficiente para
influenciar o fator de segurança global. A influencia se deve à diminuição da parcela coesiva
devido à sucção mátrica na parte da superfície mais próxima da frente de saturação As Fig.
5.49 e 5.50 mostram as distribuições do fator de segurança local e de tensões ao longo da
superfície crítica. Como pode ser visto, comparativamente aos estágios anteriores, as
distribuições são praticamente as mesmas.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁgua
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura 5.45 Superfície crítica do talude de montante 138,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 0,948.
0
1
10
100
1000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.46 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 138,5 dias após o enchimento do reservatório.
85
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-10
0
10
20
30
40
50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.47 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante
138,5 dias após o enchimento do reservatório.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁguaSuperfície críticaControno de busca
N.A
Figura 5.48 Superfície crítica do talude de jusante 138,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,442.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura 5.49 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 138,5 dias após o enchimento do reservatório.
86
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura 5.50 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 138,5
dias após o enchimento do reservatório.
5.4 - Resumo
Este capítulo apresentou a simulação numérica de uma barragem metaestável em três fases
distintas. A fase de final de construção mostrou, como esperado, uma simetria nas superfícies
obtidas para os taludes de montante e jusante, já que os dados de entrada para análise pelo
método da programação dinâmica foram simétricos. Na fase de enchimento do reservatório, a
superfície obtida para o talude de montante diferiu da superfície obtida para o talude de
jusante, em termos de locação e fator de segurança global. O maior fator de segurança global
calculado para a superfície de montante refletiu a estabilidade conferida pelo carregamento de
água, que aumentou a tensão de confinamento no espaldar de montante. Em termos de
locação o método da programação dinâmica buscou o caminho mais crítico, dentro da nova
distribuição de tensões do problema. Assim, comparativamente com a fase de final de
construção, uma locação mais a jusante para o talude de montante foi coerente com o
princípio de busca otimizada. Na fase de fluxo transiente o processo foi descrito de 3 estágios.
Em todos os três estágios se observou a influência da frente de saturação na modificação do
estado de tensão do maciço, principalmente na zona saturada e em uma estreita faixa a jusante
da linha freática. Para os três estágios pode-se perceber o desenvolvimento do mecanismo de
ruptura no talude de montante, mostrado pelos vetores de deslocamento e confirmados pelas
superfícies críticas obtidas pelo método da programação dinâmica. Enquanto o avanço da
frente de saturação alterava o estado de tensão, e conseqüentemente o comportamento
mecânico da região de montante, a região de jusante mantinha o seu comportamento
mecânico praticamente inalterado. Isso refletiu nas superfícies praticamente idênticas, como
mostrado na Fig. 5.51, em todos os três estágios analisados, já que o estado de tensão
87
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
fornecido para a busca otimizada praticamente não era alterado. A Fig. 5.52 ilustra as
superfícies analisadas obtidas para o talude de montante. A Fig. 5.53 mostra como variou o
fator de segurança global das superfícies de montante e jusante analisadas. Pode-se dizer que
o método da programação dinâmica foi capaz de identificar o instante em que ocorre a ruptura
da barragem, e fornecer a respectiva superfície.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Água
Contorno da busca
f inal de construção
enchimento do reservatório
58 dias após o enchimento
98 dias após o enchimento
138 dias após o enchimento
N.A
Figura 5.51 Superfícies críticas obtidas para o talude de jusante nas três fases analisadas.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Água
Contorno de busca
final de construção
enchimento do reservatório
58 dias após o enchimento
98 dias após o enchimento
138 dias após o enchimento
N.A
Figura 5.52 Superfícies críticas obtidas para o talude de montante nas três fases analisadas.
88
Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável
0
1
2
3
4
5
6
7
Final de construção
Enchimento do res.
58 dias após o ench.
98 dias após o ench.
138 dias após o ench.
Período
Fato
r de
segu
ranç
a gl
obal Talude de montante
Talude de jusante
Figura 5.53 Variação do fator de segurança global para os taludes de montante e jusante nas
três fases analisadas.
89
Capítulo 6 – Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras
90
CAPÍTULO 6
Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras
Este trabalho buscou avaliar aplicabilidade do método da programação dinâmica à análise da
estabilidade de uma barragem colapsível sujeita a um complexo estado de tensão produzido
durante o primeiro enchimento do reservatório. Para tal, a versão original do programa
COUPSO foi alterada de maneira a acomodar os procedimentos de busca otimizada
desenvolvidos por Gitirana Jr. (2002), de acordo com o método da programação dinâmica de
Baker (1980). O estado de tensão foi avaliado de forma acoplada, levando em conta o efeito
do fluxo de água no equilíbrio do maciço. A combinação da análise de tensões e fluxo
acoplada com o método da programação dinâmica resulta teoricamente em uma reprodução
mais fiel do comportamento de barragens colapsíveis. O processo de busca otimizada pelo
método da programação dinâmica representa um avanço em relação aos métodos de equilíbrio
limite convencionais, pois não assume de antemão a forma da superfície.
6.1 - Conclusões
As principais conclusões sobre as análises realizadas são resumidas a seguir:
1) Os exemplos de verificação mostraram que os fatores de segurança globais obtidos
com o procedimento de programação dinâmica implementado e combinado com o
programa COUPSO são semelhantes aos valores obtidos por superfícies idênticas
calculadas pelo programa SLOPE/W (Geo-Slope, 1996).
2) A análise da barragem estável mostrou a potencialidade do método da programação
dinâmica na determinação das superfícies de deslizamento e dos respectivos fatores de
segurança, tanto para o maciço não saturado quanto para o maciço parcialmente
saturado, ou seja, durante as fases de final de construção e fluxo estacionário,
respectivamente. Comparativamente com o método de equilíbrio limite melhorado, o
método da programação dinâmica tem a vantagem de não assumir de antemão a forma
da superfície crítica. A posição e a forma da superfície crítica são obtidas de forma
Capítulo 6 – Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras
91
automática.
3) Apesar do complexo estado de tensão da barragem metaestável durante o processo
transiente, o método da programação dinâmica foi capaz de identificar em todas as
fases analisadas as superfícies de deslizamento. Conseqüentemente, os respectivos
fatores de segurança foram obtidos.
4) A evolução do fator de segurança global obtida é coerente com os valores esperados
para as fases analisadas (Fig. 5.53). Houve uma redução no fator de segurança global à
medida que a frente de molhagem avança dentro do corpo da barragem.
5) Foi determinado que a barragem colapsível estudada por Pereira (1996) é estável
durante a fase de construção (FS = 2,585) e se torna instável durante o primeiro
enchimento do reservatório. O fator de segurança global atinge o valor unitário 138
dias após o enchimento do reservatório.
6) O mecanismo de ruptura sugerido por Pereira (1996) com base em fatores de
seguranças locais e no padrão de deslocamentos da barragem foi confirmado pelo
procedimento utilizando programação dinâmica. A barragem se rompe no talude de
montante, com uma superfície localizada na parte saturada do talude.
7) Constatou-se a violação do princípio da optimalidade, conforme mostrado nas
Figs. C.32 e C.33. De acordo com o princípio da optimalidade, a superfície crítica não
poderia ter entrado no maciço mais de uma vez. Tais resultados sugerem que o custo
associado aos segmentos passando em uma das duas regiões atravessadas deve ter sido
computado como nulo. O princípio da optimalidade é o núcleo do método da
programação dinâmica e a causa da sua violação deve ser melhor investigada.
6.2 - Recomendações para pesquisas futuras
Com base nos resultados observados e na teoria envolvida recomenda-se aprofundamento nos
seguintes pontos:
1) Analisar alternativas de construção de barragens economicamente viáveis e que
garantam a estabilidade e condições de fluxo adequadas após o primeiro enchimento.
A compactação em condições ótimas de parte do talude de montante poderia resultar
Capítulo 6 – Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras
92
em uma solução viável.
2) Analisar a influência da utilização de coeficientes de anisotropia variáveis, visto que
segundo Gitirana (1999), em casos onde a avaliação da estabilidade da obra é mais
importante, os coeficientes variáveis podem trazer relevantes melhorais nas previsões
em relação aos coeficientes constantes.
3) Combinar o método de programação dinâmica com análises de tensões e fluxo
acoplado e utilizando modelos tensão-deformação que admitam endurecimento e
amolecimento (modelos de estados críticos).
4) Verificar a aplicabilidade do método de programação dinâmica em problemas de
capacidade de carga de maciços metaestáveis.
5) Melhorar a atual versão do programa COUPSO de maneira a desassociar o
refinamento da grade de busca da malha de elementos finitos utilizada na discretização
espacial. Isso tornará mais fácil e eficiente a verificação da sensitividade dos
problemas analisados a uma grade de busca mais ou menos refinada.
6) Verificar o que pode ter ocasionado a violação do principio da optimalidade
constatado em alguns passos do processo de fluxo transiente.
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95
APÊNDICE A – Descrição das Subrotinas do COUPSO
APÊNDICE A
Descrição das Subrotinas do COUPSO
Neste apêndice as principais subrotinas da nova versão do programa COUPSO são descritas.
As elipses indicam o início e o fim do diagrama de fluxo. As caixas em linhas cheias duplas
representam pontos de controle dentro do programa. As caixas em linhas cheias simples
representam as subrotinas existentes na versão original do COUPSO e que permaneceram
inalteradas. As caixas em linhas duplas, cheia e tracejada, representam subrotinas da versão
original do COUPSO que foram alteradas. Já as caixas em linhas duplas tracejadas
representam as subrotinas incluídas na nova versão do programa. Essas novas subrotinas são
executadas numa seqüência a partir da chamada a subrotina SAFE-DP. Logo, pode-se
considerar a subrotina SAFE-DP a versão modificada do programa de análise de estabilidade
SAFE-DP.
A subrotina SAFE-DP entrou no programa COUPSO de tal forma que a partir dos dados lidos
a estabilidade é calculada para a condição inicial. A partir daí, no fenômeno de análise
transiente, a subrotina SAFE-DP é chamada para os passos em que o usuário deseja a saída
dos resultados.
Como pode ser visto no fluxograma da Fig A.1. o programa principal controla todas as
operações chamando as subrotinas requeridas pela análise. A Fig A.1. mostra dois ciclos
principais no programa. O ciclo externo corresponde à sucessiva aplicação de passo de tempo,
que permite o avanço do fenômeno transiente de forma incremental. O ciclo interno é
executado várias vezes dentro de cada ciclo de tempo e corresponde ao procedimento de
iteração simples, utilizado na solução do sistema não linear. No programa principal também
são feitos o controle de erro e a conseqüente determinação da convergência na iteração
simples e saída dos resultados. Uma breve descrição das principais subrotinas é dada a seguir.
SUBROTINA DATAIN: controla a entrada de dados e o pré-processamento dos dados. São
lidos os dados de controle para o tipo de análise que será feito. As opções de análise
disponíveis são: fluxo ou consolidação em solos saturados ou não saturados. Também pode-se
96
APÊNDICE A – Descrição das Subrotinas do COUPSO
escolher o número de pontos de integração que podem ser 4 ou 9 pontos.
Na subrotina DATAIN são obtidos as coordenadas dos nós, a conectividade dos elementos, as
propriedades dos materiais, a geometria da estrutura em análise, as condições de fronteira em
termos de deslocamento e pressão de água e os carregamentos externos aplicados. Por fim,
são lidos os dados da análise transiente que incluem as condições iniciais e o tamanho do
passo de tempo.
A modificação feita na subrotina DATAIN em relação à versão original foi a inclusão do
código para geração de uma grade de elementos com base nas coordenadas dos nós. Essa
grade de elementos é usada praticamente em todas as subrotinas implementadas na nova
versão do programa COUPSO.
SUBROTINA TENSI: calcula as tensões iniciais, nos pontos de Gauss, para a estrutura do
solo nos casos onde não se tem disponíveis as tensões iniciais. Para os casos onde existem as
tensões iniciais provenientes de uma análise anterior (por exemplo, a simulação da fase de
enchimento do reservatório) esta subrotina permanece com os valores existentes. Na
seqüência a subrotina TENSI chama as subrotinas TEPRIN e MOBLZ para calcular,
respectivamente, as tensões principais e a resistência de cisalhamento mobilizada nos pontos
de Gauss.
SUBROTINA TEPRIN: calcula as tensões principais, 31 e σσ , para o estado plano de tensões
( xyyx τσσ e , ). A subrotina TEPRIN também calcula a orientação dos planos de tensões
principais, em cada ponto de Gauss, relativo ao eixo coordenado horizontal.
SUBROTINA MOBLZ: calcula a tensão de cisalhamento mobilizada para o ponto de Gauss.
A tensão de cisalhamento é avaliada considerando a envoltória de ruptura Mohr – Coulomb
estendida, proposta por Fredlund et al. (1978).
SUBROTINA SAFE-DP: procede a análise de estabilidade de talude do problema. Esta
subrotina chama seqüencialmente as subrotinas PROPER, COVERIF, VALFLEX, DP E
FOFS. Também em SAFE-DP é verificada a convergência do fator de segurança.
SUBROTINA PROPER: verifica as condições de pressão de água em cada ponto de Gauss e
calcula a coesão e o ângulo de atrito do solo. Na analise transiente de um solo não saturado,
tanto a coesão quanto o ângulo de atrito variam com a sucção. Neste trabalho desconsiderou-
97
APÊNDICE A – Descrição das Subrotinas do COUPSO
se a variação do ângulo de atrito e adotou-se um valor constante.
SUBROTINA COVERIF: verifica se existem erros no arquivo de entrada de dados utilizado
para a análise de estabilidade de taludes. Os erros verificados são referentes ao
posicionamento dos pontos que definem o contorno da procura. Quando possível a subrotina
ajusta os pontos para que coincidam com pontos da grade gerado pela subrotina DATAIN.
Quando não for possível a correção uma mensagem com a causa do erro é escrita na tela e o
programa é parado.
SUBROTINA VALFLEX: interpola as tensões e propriedades do solo no centro do elemento
da grade usando funções de interpolação de 4 ou 9 nós, conforme a análise é feita com 4 ou 9
pontos de integração, como já discutido no Capítulo 4. VALFLEX chama a subrotina
INTERP que interpolar as tensões existentes nos pontos de Gauss do elemento da malha para
o centro dos quadrantes pertencentes ao elemento da malha.
SUBROTINA DP: a partir da grade de elementos com as tensões interpoladas no centro,
disponibilizada pela subrotina VALFLEX, a subrotina DP procede a busca pela superfície
crítica.
SUBROTINA FOFS: calcula o fator de segurança global para a superfície fornecida pela
subrotina DP.
SUBROTINA TIMESCH: atualiza o tamanho dos passos de tempo aplicados. É possível
assinalar um primeiro passo de tempo diferente dos demais, de forma a evitar problemas de
oscilação devidos a incrementos de tempo muito pequenos no primeiro passo.
SUBROTINA GLOBAL: formula o sistema global de equações lineares, , para o
modelo numérico em cada iteração da análise transiente. Para montagem do sistema de
equações lineares, a subrotina ASSEMATRIX é chamada para obter as matrizes globais e os
vetores de força globais do sistema acoplado. Essas matrizes são: matriz de rigidez, as
matrizes de acoplamento, a matriz de condutância, matriz de massa de água e os vetores de
força relacionados com a estrutura do solo e com a fase água. A subrotina ASSEMATRIX
utiliza a subrotina ELEM2Q para calcular as matrizes citadas para cada elemento, em função
das propriedades do ponto de integração, obtidos na subrotina SOILPARAM. Na subrotina
global também são aplicados as condições de fronteira e os carregamentos. Para tal é chamada
a subrotina NBC2, para a aplicação das condições de fronteira naturais e a subrotina ESSBC,
BxA =.
98
APÊNDICE A – Descrição das Subrotinas do COUPSO
para a aplicação das condições de fronteira essenciais.
SUBROTINA SOILPARAM: chama as subrotina VCPARAM e PERMEAB para calcular as
propriedades hidráulicas e mecânicas nos pontos de Gauss. É calculada a variação do peso
próprio devido à variação do grau de saturação e, se for especificado, são aplicados os
coeficientes de anisotropia sugeridos por Pereira (1996). Durante a analise transiente o estado
de tensão médio é calculado usando-se o estado de tensão anterior e o recém calculado estado
de tensão.
SUBROTINA VCPARAM: calcula os parâmetros elásticos. A subrotina STATESUR é
chamada para calcular propriedades do solo que serão usadas no cálculo das matrizes do
modelo numérico.
SUBROTINA STATESUR: calcula o grau de saturação, o índice de vazios e o coeficiente de
Poisson, utilizando superfícies de estado. São calculadas também as derivadas das superfícies
de estado de grau de saturação e de índice de vazios, para um dado estado de tensões, em
relação às variáveis de tensão.
SUBROTINA PERMEAB: calcula a condutividade hidráulica do solo para um dado estado de
tensões, utilizando a superfície de estado de condutividade hidráulica.
SUBROTINA MASOLSKY: resolve o sistema de equações lineares da forma A(X) = B. do
em “skylines”. Onde A é a matriz (N x N), X é um vetor de incógnita e B é um vetor de N
elementos.
SUBROTINA STRESSES: calcula as deformações, as tensões e as pressões de água nos
pontos de Gauss usando os valores nodais calculados de deslocamentos e pressão de água.
Para cada iteração, em uma análise transiente, as tensões em um elemento são obtidas
utilizando as mesmas propriedades usadas para o cálculo das matrizes do sistema.
99
APÊNDICE A – Descrição das Subrotinas do COUPSO
INÍCIO
DATAIN
TENSI
SAFE_DP
MOBLZ
TEPRIN
VALFLEX
COVERIF
PROPER
DP
FOFS
INTERP
CONTROLE DE PASSOSDE TEMPO
CONTROLE DE CONVERGÊNCIANA ITERAÇÃO SIMPLES
TIMESCH
GLOBAL
MASOLSKY
STRESSES
CONTROLE DE PARADA ESAÍDA DOS RESULTADOS
FIM
SOILPARAM
VCPARAM PERMEAB
STATESUR
TEPRIN
MOBLZ
SAFE_DP
CIC
LO D
E IN
CR
EM
EN
TO D
E C
AR
GA
CIC
LO D
E IT
ER
AÇÃ
O S
IMPL
ES
VALFLEX
COVERIF
PROPER
DP
FOFS
INTERP
Figura A.1 Fluxograma do programa COUPSO.
100
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
APÊNDICE B
Caracterização e Modelagem do Solo
B.1 - Introdução
Neste apêndice são apresentadas a caracterização física e a modelagem do material utilizado
nas simulações. A modelagem é feita em termos de comportamento mecânico de
deformabilidade e resistência, e em termos de propriedades hidráulicas.
Pereira (1996) compactou o material de forma a obter duas estruturas: uma de estrutura
metaestável e outra estável. A modelagem de uma estrutura estável teve como objetivo
estudar soluções alternativas para as barragens metaestáveis. Essas barragens são conhecidas
como barragem sonrizal por apresentar estrutura sujeita a colapso durante o primeiro
enchimento.
Neste trabalho a modelagem estável foi utilizada para validação da implementação numérica
das rotinas de otimização. Já a modelagem metaestável foi utilizada para o caso de estudo.
B.2 - Caracterização do material
A Tab. B.1 mostra as propriedades índice do material estudado por Pereira (1996). O material
estudado foi um solo residual derivado de um gnaise do grupo Ceará. O solo foi classificado
como uma areia siltosa e pode ser considerado como material representativo utilizado na
construção de pequenas barragens de terra no nordeste brasileiro (Pereira, 1996).
A Figura B.1 mostra a distribuição granulométrica do solo. Segundo Pereira (1996) a
quantidade de argila é um importante fator na formação das ligações instáveis entre partículas
maiores de areia e silte. Pereira (1996) comenta ainda que a formação de agregações de argila
num solo compactado é função da quantidade de argila e do teor de água durante a
compactação.
A partir das amostras extraídas de barragens sonrizal, Miranda (1988) constatou que essas
apresentavam peso específico seco médio da ordem de 14,75 kN/m3. Baseado nessa
101
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
constatação, e a partir desse valor de peso específico, Pereira (1996) procede a determinação
da umidade inicial por tentativa e erro de forma que a sucção relacionada pudesse ser
controlada nos equipamentos utilizados nos ensaios de compressibilidade e resistência ao
cisalhamento.
Tabela B.1 Propriedades índice do solo ensaiado (Pereira, 1996).
Solo Areia siltosa residual derivada de gnaise
Localização Pacatuba no Estado do Ceará/Brasil
Umidade Natural 2 – 4 %
Distribuição Granulométrica
Areia: 52 – 54%
Silte: 35 – 28%
Argila: 13 – 13%
D10: 0,0006 mm
D30: 0,016 mm
D60: 0,22 mm
Limites de Atterberg Limite de Liquidez: 29%
Limite de Plasticidade: 17%
Índice de Plasticidade: 12%
Densidade Real dos Grãos 2,64
Classificação segundo o Sistema Unificado SM-ML
102
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
0
20
40
60
80
100
120
0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10
Diametro (mm)
Pass
a (%
)
Figura B.1 Distribuição granulométrica (modificado de Pereira, 1996).
A Fig. B.2 mostra a curva de compactação do solo. Pereira (1996) utilizou a energia de
compactação Proctor Normal por refletir melhor, em termos de equipamentos disponíveis, a
condição local de construção das barragens sonrizal. A Fig. B.2 também mostra o ponto de
umidade obtido por Pereira (1996) para estruturar o solo maneira a torná-lo metaestável.
Como pode ser visto na Fig. B.2, a umidade ótima do material corresponde a 14,5%, e a
umidade utilizada para a estrutura metaestável foi de 10,5%.
14
15
16
17
18
19
20
5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33
Umidade (%)
Pes
o es
pecí
fico
seco
, (kN
/m3 )
Curva de compactaçãoGrau de saturação=90%Grau de saturação=100%
Ponto utilizado po r Pereira
×
Figura B.2 Curva de compactação e o ponto utilizado na modelagem metaestável
(modificado de Pereira, 1996).
103
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
B.3 - Modelagem do solo
As modelagens mecânicas e as propriedades hidráulicas do material são apresentadas a seguir.
Pereira (1996) executou uma série de ensaios de laboratório como o objetivo de definir as
superfícies de estado, o critério de ruptura estendido de Mohr-Coulomb e o coeficiente de
permeabilidade, dentro da faixa de variação das variáveis de estado de tensão.
B.3.1 - Modelagem de uma estrutura metaestável
Baseado nos resultados de laboratório, Pereira (1996) utilizou o programa SigmaPlot para
ajustar os dados a uma função matemática que descrevesse o comportamento observado nos
resultados experimentais. A Tab. B.2 mostra os resultados obtidos em laboratório para as
amostras ensaiadas. Com os resultados da Tab. B.2 e partindo do princípio de que, para as
superfícies de estado de índice de vazios e grau de saturação, as funções tinham que ser
contínuas na primeira derivada, Pereira (1996) chega as Eq. (B.1) e (B.2) para o índice de
vazios e grau de saturação respectivamente. As Figs. B.3 e B.4 mostram as superfícies de
estado de índice de vazios e grau de saturação respectivamente, obtidas pelas Eqs. (B.1) e
(B.2).
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
+=b
wa
ufu
cuu
ee
1
− ee (B.1)
onde:
( )mue σln0073,07697,0 −= é o índice de vazios inicial para a fase de pré-colapso;
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−+=
− 5,3
751
142,0752,0m
feσ
é o índice de vazios final para fase pós-colapso;
( ) 6103,001,39 −= mb σ parâmetro que define a inclinação no trecho da fase de colapso;
1107465,000094,0 2 ++= mmc σσ parâmetro que define o valor da sucção no ponto médio da
fase de colapso;
mσ é tensão normal média;
e é o índice de vazios para uma dada combinação das variáveis de estado de tensão.
104
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
( )( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
−+=
dwa
cuu
SSS
1
1 00 (B.2)
onde:
375,0=oS é o grau de saturação inicial do solo;
9769,0=d parâmetro que define a inclinação no trecho da fase de colapso;
20=c parâmetro que define o valor da sucção no ponto médio da fase de colapso;
S é o grau de saturação para uma dada combinação das variáveis de estado de tensão.
Brooks & Corey (1964) estimaram o coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado a
partir da curva característica e da condutividade hidráulica do solo saturado, . Pereira
(1996) utilizando os dados de ensaio e o programa SigmaPlot propõe a Eq. (B.3) para a
condutividade hidráulica do solo não saturado como função da sucção mátrica e da
condutividade hidráulica do solo saturado:
sk
( )
λ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Ψ
=wa
crpw uu
kk (B.3)
onde:
( )mpk σln10*26,610*4,1 87 −− +−= ;
( )msk σln10*8,110*17,1 76 −− −−= ;
sw kk ≤ ;
crΨ = 3,0;
λ = 2,10.
A Figura B.5 mostra a variação da condutividade hidráulica, obtida a partir da Eq. (B.3) com
relação à variação da sucção. Como pode ser visto pela Fig. B.5 a condutividade hidráulica
depende basicamente da sucção mátrica.
Da mesma forma descrita anteriormente, Pereira (1996) utiliza os dados obtidos do ensaio de
cisalhamento direto para modelar matematicamente a envoltória de ruptura estendida de
Mohr-Coulomb utilizando o programa SimaPlot. Pereira (1996) assume que a resistência ao
105
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
cisalhamento se mantém constante para a faixa de sucção mátrica entre 100 e 370 kPa O
resultado do ajuste é expresso pela Eq. (B.4):
( ) ( ) ( )( )pwaawaaff uuuduucuba −−+−+−+= .... 1111 σστ (B.4)
onde:
1a = -7,783, é o intercepto coesivo;
1b = 0,1944 é a tangente do ângulo de atrito efetivo do solo;
1c = 0,1943 é o valor médio da tangente do ângulo relativo à variação da sucção mátrica;
1d = 0,09319 parâmetro de ajuste da envoltória;
p = 0,04307 parâmetro de ajuste da envoltória.
Comparando-se a Eq. (B.4) com a Eq. (2.14) têm-se o ângulo de atrito e a coesão funções da
sucção mátrica como mostrado nas Eqs. (B.5) e (B.6).
p
)( uucac −+=
wa uudbtg )(11 −+=φ (B.5)
11 wa (B.6)
Como pode ser visto pela Figs. B.6 e B.7, a Eq. (B.4) na forma apresentada por Pereira (1996)
prevê valores negativos para o intercepto de coesão, quando o solo se aproxima da saturação.
Assim, neste trabalho o intercepto coesivo mínimo de 5 kPa foi admitido com base nos
resultados experimentais obtidos por Pereira (1996). A variação do ângulo de atrito com
relação à variação sucção mátrica pode ser visualizada pela Fig. B.8. (Cordão Neto, 2001)
observou que para valores de sucção próximos a zero existe uma descontinuidade na variação
do ângulo de atrito. Essa descontinuidade não reflete o real comportamento do solo, dado a
diferença de 5 graus no ângulo de atrito para uma variação de 1 kPa na sucção. Portanto, um
ângulo de atrito constante e igual a 16 graus foi utilizado neste trabalho como representativo
do comportamento do solo.
106
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
Para a Tab. B.2 as siglas têm os seguintes significados:
TPT1: Corpo de prova submetido a uma tensão confinante de 20 kPa durante a molhagem;
TPT2: Corpo de prova submetido a uma tensão confinante de 50 kPa durante a molhagem;
TPT3: Corpo de prova submetido a uma tensão confinante de 100 kPa durante a molhagem;
TPT4: Corpo de prova submetido a uma tensão confinante de 200 kPa durante a molhagem.
Tabela B.2 Resumos dos resultados obtidos para o índice de vazios (e) e grau de saturação
(S) sob trajetória de molhagem (Pereira, 1996).
TPT1 TPT2 TPT3 TPT4 ua-uw
(kPa)
(1)
e
(2)
S
(3)
e
(4)
S
(5)
E
(6)
S
(7)
e
(8)
S
(9)
370 0.7483 0.370 0.7408 0.374 0.7354 0.377 0.7314 0.379
90 0.7483 0.437 - - - - 0.7003 0.423
60 0.7483 0.460 0.7406 0.445 0.7314 0447 0.6811 0.461
30 0.7483 0.503 0.7406 0.485 0.7213 0.509 0.6468 0.525
10 0.7483 - - - 0.6779 0.622 0.6013 0.671
5 0.7483 - - - 0.6481 0.761 0.6010 0.756
0 0.7483 1.00 0.7251 1.00 0.6481 1.00 0.6007 1.00
107
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
0 5 10 30 60 90 200 370
2050
100
200
0,50
0,60
0,70
0,80
Índi
ce d
e Va
zios
(e)
Sucção Mátrica (kPa)
Tensão líquida média (kPa)
Figura B.3 Superfície de estado de índice de vazios para o solo colapsível (modificado de
Pereira, 1996).
5 10 30 60 90 200 37020
50100
200
0
20
40
60
80
100
Satu
raçã
o S
(%)
Sucção Mátrica (kPa)
Tensão líquida média (kPa)
Figura B.4 Superfície de estado de grau de saturação para o solo colapsível (modificado de
Pereira, 1996).
108
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
1,0E-151,0E-141,0E-131,0E-121,0E-111,0E-101,0E-091,0E-081,0E-071,0E-061,0E-05
1 10 100 1000
Sucção mátrica (kPa)
Coef
icie
nte
de p
erm
eabi
lidad
e K
w (m
/s)
Tensão confinante líquida=200 kPaTensão confinante líquida=100 kPaTensão confinante líquida=50 kPaTensão confinante líquida=20 kPa
Figura B.5 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo colapsível (modificado
de Pereira, 1996).
-50
0
50
100
150
200
0 50 100 150 200 250
Tensão normal líquida (kPa)
Res
istê
ncia
ao
cisa
lham
ento
(kP
a)
Sucção mátrica=0 kPa
Sucção mátrica=25 kPa
Sucção mátrica=50 kPa
Sucção mátrica=100 kPa
Figura B.6 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo colapsível para
diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996).
109
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
-50
0
50
100
150
200
0 50 100 150 200 250
Sucção mátrica (kPa)
Resi
stên
cia
ao c
isal
ham
ento
(kPa
)
Tensão normal líquida=25 kPa
Tensão normal líquida=50 kPa
Tensão normal líquida=100 kPa
Tensão normal líquida=200 kPa
Figura B.7 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo colapsível para diferentes
tensões normais líquidas (modificado de Pereira, 1996).
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0 50 100 150 200
sucção mátrica (kPa)
ângu
lo d
e at
rito
(gra
us)
Figura B.8 Variação do ângulo de atrito com a sucção mátrica (Cordão Neto, 2001).
110
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
B.3.2 - Modelagem de uma estrutura estável
A modelagem de uma estrutura estável para o material seguiu os mesmos passos discutidos
previamente para modelagem metaestável. As Eqs. (B.7) e (B.8) para o índice de vazios e
grau de saturação, respectivamente, foram obtidas por Pereira (1996) a partir de dados de
ensaios de duplo oedométrico e assumindo um coeficiente de Poisson constante igual a 0,3. A
tensão vertical variou de 25 a 200 kPa e a sucção inicial foi de 30 kPa. As Figs. B.9 e B.10
mostram as superfícies de estado de índice de vazios e grau de saturação, obtidas a partir das
Eqs. (B.7) e (B.8).
)(10*23.3432,0 am ue −−+= σ4−
( )
(B.7)
( )[ ] mnwa uu
SS−+
+=α1
00
S−1 (B.8)
onde:
0S = 0,811 é o grau de saturação inicial do solo;
α = 0,045; parâmetro do solo estimado da curva característica;
n = 2,3; parâmetro do solo estimado da curva característica;
)/1(1 nm −= = 0,565.
Segundo Pereira (1996) a Eq. (B.7) é válida tanto para a condição saturada quanto para a não
saturada, quando o solo é compactado nas condições de umidade ótima da energia Proctor
Normal. Como pode ser visto pela Fig. B.9 a compressibilidade do solo estável, sob
carregamento oedométrico, é independente da variação da sucção. Isto implica que o módulo
de compressibilidade .é igual a zero. Já pela Fig B.10 vê-se que o módulo tem valores
pequeno para a faixa de tensão vertical aplicada.
2 1sm wm
A Eq. (B.9) para a condutividade hidráulica foi modelada por Pereira (1996) a partir da
equação proposta por van Genuchten (1980).
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
2
2/
1
1
1*1. mnwa
mnwa
nwa
swuu
uuuukk−+
−+−−=
−−
α
αα (B.9)
onde:
111
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
910*5,7 −=sk m/s, é condutividade hidráulica saturada;
α = 0,045; n = 2,3; )/1(1 nm −= = 0,565.
A Fig. B.11 mostra a variação da condutividade hidráulica, obtida a partir da Eq. (B.9), com
relação à variação da sucção.
Para definir a envoltória de resistência ao cisalhamento do solo estável na condição não
saturada, Pereira (1996) utiliza os parâmetros efetivos obtidos nos ensaios de cisalhamento
direto e a curva característica do solo para chegar na Eq. (B.10). A Figs. B.12 e B.13 mostram
as envoltórias obtidas pela Eq. (B.10).
( ) ( ) ( )( ) ( )
'11.1
.'.' 11 φλ
φφστ λλ tguuuu
uutguutguc
bwabwa
bwabwawff ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−−
+−+−+= −−
λ
(B.10)
onde:
' = 33,8 é a coesão efetiva; c
'φ = 32,6 é o ângulo de atrito efetivo; bφ = 32,6 é o ângulo relativo a variação da sucção mátrica;
bwa uu )( − = 10kPa é o valor de entrada de ar.
λ = 0,6 é o índice de distribuição de poros
0 5 10 30 60 90 200 370
2050
100
200
0,30
0,40
0,50
Índi
ce d
e V
azio
s (e
)
Sucção Mátrica (kPa)
Tensão líquida média (kPa)
Figura B.9 Superfície de estado de índice de vazios para o solo estável (modificado de
Pereira, 1996).
112
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
5 10 30 60 90 200 37020
50
100200
0
20
40
60
80
100S
atur
ação
S (%
)
Sução Mátrica (kPa)
Tensão líquida média (kPa)
Figura B.10 Superfície de estado de grau de saturação para o solo estável (modificado de
Pereira, 1996).
1,0E-14
1,0E-13
1,0E-12
1,0E-11
1,0E-10
1,0E-09
1,0E-08
1,0E-07
1,0E-06
1,0E-05
1 10 100 1000
Sucção mátrica (kPa)
Coe
ficie
nte
de p
erm
eabi
lidad
e
K w(m
/s)
Tensão confinante líquida=200 kPaTensão confinante líquida=100 kPaTensão confinante líquida=50 kPaTensão confinante líquida=20 kPa
Figura B.11 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo estável (modificado de
Pereira, 1996).
113
APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250
Tensão normal líquida (kPa)
Resi
stên
cia
ao c
isal
ham
ento
(kPa
)
Sucção mátrica=0 kPaSucção mátrica=25 kPaSucção mátrica=50 kPaSucção mátrica=100 kPa
Figura B.12 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo estável para
diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996).
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250
Sucção mátrica (kPa)
Res
istê
ncia
ao
cisa
lham
ento
(kP
a)
Tensão normal líquida=25 kPa
Tensão normal líquida=50 kPa
Tensão normal líquida=100 kPa
Tensão normal líquida=200 kPa
Figura B.13 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo estável para diferentes tensões
normais líquidas (modificado de Pereira, 1996).
114
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
APÊNDICE C
Resultado da Análise Transiente
C.1 - Introdução
Neste apêndice são apresentados graficamente os resultados obtidos e não analisados no
Capítulo 5.
C.2 - Deslocamentos
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.1 Deslocamentos 17,7 dias após o enchimento do reservatório:ampliado 100 vezes.
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.2 Deslocamentos 18,1 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 100
vezes.
115
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.3 Deslocamentos 18,3 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 100
vezes.
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.4 Deslocamentos 38,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 50 vezes.
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.5 Deslocamentos 78,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 40 vezes.
116
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.6 Deslocamentos 118,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30
vezes.
C.3 - Distribuição de poropressão em kPa
-300
-300
-300
-300
0
0
0
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.7 Poropressão 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
-300
-300
-300
-300
0
0
0
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.8 Poropressão 17,7 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
117
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-300 -3
00
-300
-300
0
0
0
0
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.9 Poropressão 18,1 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
-300
-300
-300
0
0
0
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.10 Poropressão 18,3 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
-360
-360
-360
0
0
0
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.11 Poropressão 38,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
118
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-360
-360
-360
0
0
0
60
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.12 Poropressão 78,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
-360
-360
-360
0
0
0
60
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.13 Poropressão 118,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
C.4 - Distribuição da tensão normal média.
15
15
15 15
30
30 30
30
45 45
45 45
60 60
60
75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.14 Tensão normal média 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
119
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
15
15
15
15 15
30
30 30
30 30
45 45
45 45
45 45
60 60
60
60
75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.15 Tensão normal média 17,7 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
15
15
15
15 15
30
30
30 30
30
45 45
45 45
60 60
60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.16 Tensão normal média 18,1 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
15
15
15
15 15
30
30
30 30
30
45 45
45
45 45
60 60
60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.17 Tensão normal média 18,3 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
120
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
0
0
15
15
15
15 15
30
30
30 30
30
45 45
45 45
60 60
60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.18 Tensão normal média 38,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
0
0
15 15
15 15
15
15
30 30
30 30
30
45
45
45 45
60
60 60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.19 Tensão normal média 78,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
0
0
0
15 15
15 15
15 15
30 30
30
30 30
30
45
45
45
60
60
60
75 75
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.20 Tensão normal média 118,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).
121
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
C.5 - Distribuição das deformações volumétricas εv.
-6e-006
-6e-006
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.21 Deformações volumétricas 17,5 dias após o enchimento do reservatório.
-2e-005
-2e-005
-2e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.22 Deformações volumétricas 17,7 dias após o enchimento do reservatório.
-2e-0
05 -2e-005
-2e
-005
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.23 Deformações volumétricas 18,1 dias após o enchimento do reservatório.
122
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-2e-0
05
-2e-005
-2e
-005
-2e-005
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.24 Deformações volumétricas 18,3 dias após o enchimento do reservatório.
-2e-005 -2
e-005
-2e-005
-2e-005 -2e-005
8e-005
8e-005
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.25 Deformações volumétricas 38,5 dias após o enchimento do reservatório.
-2e
-005
-2e-005 -2e-005
-2e-005
-2e
-005
8e-005 8e-005
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.26 Deformações volumétricas 78,5 dias após o enchimento do reservatório.
123
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-2e
-005
-2e-005
-2e-005
8e-005
8e-005
Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Ele
vaçã
o (m
)
-2
0
2
4
6
8
10
Figura C.27 Deformações volumétricas 118,5 dias após o enchimento do reservatório.
C.6 - Superfície Crítica do Talude de Montante.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Água
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura C.28 Superfície crítica do talude de montante 17,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 6,586.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁguaSuperfície críticaContorno de busca
N.A
Figura C.29 Superfície crítica do talude de montante 17,7 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 6,237.
124
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)Barragem
Água
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura C.30 Superfície crítica do talude de montante 18,1 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 6,230.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Água
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura C.31 Superfície crítica do talude de montante 18,3 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 6,220.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Água
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura C.32 Superfície crítica do talude de montante 38,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,526.
125
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)Barragem
Água
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura C.33 Superfície crítica do talude de montante 78,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,168.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
Barragem
Água
Superfície críticaContorno de busca
N.A
Figura C.34 Superfície crítica do talude de montante 118,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 1,010.
126
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
C.7 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de montante.
0
1
10
100
1000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.35 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 17,5 dias após o enchimento do reservatório.
-40-20
020406080
100120140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.36 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 17,5
dias após o enchimento do reservatório.
127
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
0
1
10
100
1000
10000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.37 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 17,7 dias após o enchimento do reservatório.
-60-40-20
020406080
100120140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.38 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 17,7
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
1000
10000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.39 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 18,1 dias após o enchimento do reservatório.
128
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-60-40-20
020406080
100120140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.40 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 18,1
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
1000
10000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.41 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 18,3 dias após o enchimento do reservatório.
-60-40-20
020406080
100120140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.42 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 18,3
dias após o enchimento do reservatório.
129
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
0
1
10
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.43 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 38,5 dias após o enchimento do reservatório.
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.44 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 38,5
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.45 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 78,5 dias após o enchimento do reservatório.
130
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-20
-10
0
10
20
30
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.46 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 78,5
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.47 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de montante 118,5 dias após o enchimento do reservatório.
-20
-10
0
10
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.48 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante
118,5 dias após o enchimento do reservatório.
131
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
C.8 - Superfície Crítica do Talude de Jusante.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁgua
Superfície críticaControno de busca
N.A
Figura C.49 Superfície crítica do talude de jusante 17,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,592.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁgua
Superfície críticaControno de busca
N.A
Figura C.50 Superfície crítica do talude de jusante 17,7 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,591.
132
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)BarragemÁgua
Superfície críticaControno de busca
N.A
Figura C.51 Superfície crítica do talude de jusante 18,1 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,589.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁguaSuperfície críticaControno de busca
N.A
Figura C.52 Superfície crítica do talude de jusante 18,3 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,589.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁguaSuperfície críticaControno de busca
N.A
Figura C.53 Superfície crítica do talude de jusante 38,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,597.
133
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)BarragemÁgua
Superfície críticaControno de busca
N.A
Figura C.54 Superfície crítica do talude de jusante 78,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,590.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
Ele
vaçã
o (m
)
BarragemÁgua
Superfície críticaControno de busca
N.A
Figura C.55 Superfície crítica do talude de jusante 118,5 dias após o enchimento do
reservatório: FS global = 2,576.
134
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
C.9 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de jusante.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.56 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 17,5 dias após o enchimento do reservatório.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.57 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 17,5
dias após o enchimento do reservatório.
135
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.58 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 17,7 dias após o enchimento do reservatório.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.59 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 17,7
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.60 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 18,1 dias após o enchimento do reservatório.
136
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.61 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 18,1
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.62 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 18,3 dias após o enchimento do reservatório.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.63 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 18,3
dias após o enchimento do reservatório.
137
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.64 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 38,5 dias após o enchimento do reservatório.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.65 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 38,5
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.66 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 78,5 dias após o enchimento do reservatório.
138
APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.67 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 78,5
dias após o enchimento do reservatório.
0
1
10
100
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Distância (m)
FS L
ocal
Figura C.68 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude
de jusante 118,5 dias após o enchimento do reservatório.
-40
0
40
80
120
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Distância (m)
Tens
ão (k
Pa)
Resistente Mobilizada Normal
Figura C.69 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 118,5
dias após o enchimento do reservatório.
139