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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ROBSON DOS SANTOS FERREIRA
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO: UMA PROPOSTA COM
O SOFTWARE SIMCALC NO ENSINO FUNDAMENTAL
SÃO PAULO
2016
F444i
Ferreira, Robson dos Santos
Introdução ao conceito de função: uma proposta com o software SIMCALC no ensino fundamental. /Robson dos Santos Ferreira. – São Paulo, 2016.
197 f.: il; 30 cm
Tese (Programa de Doutorado em Educação Matemática) – Coordenadoria de Pós-graduação, Universidade Anhanguera de São Paulo, 2016.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Rosana Nogueira de Lima
1. Coletivos pensantes. 2. Função. 3. Obstáculos epistemológicos. 4. SimCalc. I.Título. II Universidade Anhanguera.
CDD 510.71
ROBSON DOS SANTOS FERREIRA
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO: UMA PROPOSTA COM
O SOFTWARE SIMCALC NO ENSINO FUNDAMENTAL
Tese apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da
Universidade Anhanguera de São Paulo
como requisito parcial para obtenção do
título de Doutor em Educação
Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Rosana Nogueira
de Lima.
SÃO PAULO
2016
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Robson dos Santos Ferreira
AGRADECIMENTOS
À Profª Drª Rosana Nogueira de Lima, orientadora, pelo empenho, paciência e
dedicação na orientação desse trabalho.
Às Profas Dras Marilena Bittar e Rúbia Barcelos Amaral pela prontidão em aceitarem
fazer parte da banca de defesa dessa tese, oferecendo contribuições indispensáveis
para o término da mesma.
Às Profas Dras, Janete Bolite Frant e Vera Helena Giusti de Souza que, para além
das contribuições como membros da banca de defesa, foram responsáveis, através
de suas aulas, pelo surgimento das questões exploradas nesta pesquisa.
À Profª Drª Verônica Yumi Kataoka, grande incentivadora do meu ingresso no
doutorado.
À coordenação e professores do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática desta Universidade, responsáveis pela minha formação e inserção como
pesquisador na Área da Educação Matemática.
Aos Srs Anália, Débora e Guilherme, secretários do curso, pela atenção dispensada.
À professora Silvana Aparecida Domingues, ao professor e diretor João Pereira
Leite e aos alunos da EMEIF Profº Antonio Cavaglieri por compreenderem a
importância da integração entre a escola e a Universidade.
À CAPES, pela bolsa concedida, a qual ofereceu condições para a finalização deste
trabalho.
À minha família e a todos os que, direta ou indiretamente, contribuíram para a
realização deste trabalho, compreendendo minha ausência em muitos momentos,
em prol do bom desenvolvimento desta pesquisa.
Porque eu fazia do amor um cálculo matemático errado: pensava que, somando as
compreensões, eu amava. Não sabia que, somando as incompreensões é que se
ama verdadeiramente.
Clarice Lispector
RESUMO
FERREIRA, R. S. Introdução ao conceito de função: uma proposta com o software SimCalc no ensino fundamental. 2016. 197f. Tese de Doutorado em
Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 20161.
Nesta pesquisa, temos por objetivo discutir quais Obstáculos Epistemológicos apontados por Sierpinska surgem ao introduzir ideias relacionadas ao conceito de Função com alunos de 9º ano do ensino fundamental por meio de um coletivo pensante, e quais são as potencialidades do software SimCalc enquanto integrante desse coletivo que colaboram com a superação dos Obstáculos evidenciados. A pesquisa é de cunho qualitativo e foi estruturada de acordo com alguns elementos da metodologia do Design Experiment. Foram desenvolvidas nove atividades distribuídas em seis encontros com oito alunos de 9º ano do ensino fundamental de uma escola municipal da cidade de São Roque, São Paulo. Os registros do desenvolvimento das atividades foram feitos por meio de gravações e de protocolos escritos. Os resultados apontam a presença de alguns Obstáculos Epistemológicos na introdução do conceito de Função neste nível de ensino, sendo que, neste estudo, os mais frequentes foram “A Matemática não está preocupada com problemas práticos” e “Proporção é um tipo privilegiado de relação”, o que nos fez inferir que, ao se introduzir o conceito de Função no ensino fundamental, deve-se ter a consciência da incidência destes obstáculos para que assim seja possível traçar estratégias para superá-los. O software SimCalc, ao ser integrado ao grupo de trabalho, ofereceu elementos importantes para a constituição de um coletivo pensante favorável para a construção do conceito de Função, uma vez que, por meio da Matemática do Movimento, explorou uma representação de função que usualmente não é explorada no ambiente escolar, propiciando, assim, o reconhecimento de características essenciais para a construção do conceito de Função, tais como: relações entre duas variáveis, dependência, características de crescimento e decrescimento e reconhecimento dos conjuntos domínio e imagem.
Palavras-chave: Coletivos Pensantes; Função; Obstáculos Epistemológicos;
SimCalc.
1 Orientadora: Profª. Drª. Rosana Nogueira de Lima
ABSTRACT
With this research study, we aim at discuss which Epistemological Obstacles presented by Sierpinska are raised when introducing ideas related to the concept of function in 9th grade by a collective thinking, and what are the potentialities of the software SimCalc as integrating such collective that support surpassing the evidenced Obstacles. This is a qualitative study, structured according to elements of Cobb et al.’s Design Experiment. We have designed nine activities to be worked in six meetings with eight 9th grade students from a public school in São Roque, São Paulo. We have audio and written registers from students working with our activities. Results point to the presence of some Epistemological Obstacles in the introduction of the concept of function in this school level, being the most frequent ones “Mathematics is not concerned with practical problems” and “Proportion is a privileged kind of relationship”. These made us infer that, when introducing the concept of function, it is necessary to be aware of the existence of such obstacles to be possible to develop strategies to surpass them. When integrated to the work group, SimCalc constituted a favourable collective thinking to the construction of the concept of function, since, by using Mathematics of Movement, an unusual representation of function to school environment was explored making it possible to recognize essential characteristics for constructing the concept of function, such as relation between two variables, dependence, growth and recognition of image and domain sets.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Representação da pista utilizada ............................................................... 52
Figura 2. Cartesiangraph x Dynagraph..................................................................... 60
Figura 3. Tela inicial do SimCalc ............................................................................... 82
Figura 4. Disposição dos eixos do SimCalc .............................................................. 84
Figura 5. Atividade reformulada. 1 ............................................................................ 89
Figura 6. Atividade reformulada. 2 ............................................................................ 91
Figura 7. Atividade reformulada. 3 ............................................................................ 93
Figura 8. Atividade reformulada. 4 ............................................................................ 94
Figura 9. Ferramentas Criar Ator ............................................................................... 97
Figura 10. Comandos Criar Ator ................................................................................ 97
Figura 11. Layout do mundo ...................................................................................... 98
Figura 12. Atores simultâneos ................................................................................... 99
Figura 13. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 103
Figura 14. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 104
Figura 15. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 104
Figura 16. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 105
Figura 17. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 106
Figura 18. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 107
Figura 19. Resposta de C3 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 107
Figura 20. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 107
Figura 21. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 108
Figura 22. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 108
Figura 23. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 109
Figura 24. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 110
Figura 25. Resposta de C4 para a Questão E da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 111
Figura 26. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 111
Figura 27. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 112
Figura 28. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 112
Figura 29. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113
Figura 30. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113
Figura 31. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113
Figura 32. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113
Figura 33. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 114
Figura 34. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 114
Figura 35. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 115
Figura 36. Rascunho de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1 .............. 116
Figura 37. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 116
Figura 38. Resposta de C2 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 116
Figura 39. Resposta de C3 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 116
Figura 40. Resposta de C1 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 117
Figura 41. Resposta de C4 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 118
Figura 42. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 119
Figura 43. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 120
Figura 44. Sequência de C4 .................................................................................... 120
Figura 45. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 3 do Bloco 1 .............. 120
Figura 46. Resposta de C4 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 .............. 121
Figura 47. Resposta de C1 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 121
Figura 48. Resposta de C2 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 122
Figura 49. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 .............. 122
Figura 50. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 4 do Bloco 1 .............. 124
Figura 51. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1 .............. 124
Figura 52. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 125
Figura 53. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 125
Figura 54. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 126
Figura 55. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 126
Figura 56. História de C1......................................................................................... 128
Figura 57. História de C2......................................................................................... 129
Figura 58. História de C3......................................................................................... 130
Figura 59. História de C4......................................................................................... 131
Figura 60. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 139
Figura 61. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 139
Figura 62. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 140
Figura 63. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 140
Figura 64. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 141
Figura 65. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 141
Figura 66. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143
Figura 67. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143
Figura 68. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143
Figura 69. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143
Figura 70. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 144
Figura 71. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 144
Figura 72. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 144
Figura 73. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145
Figura 74. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145
Figura 75. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145
Figura 76. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145
Figura 77. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 146
Figura 78. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 146
Figura 79. Resposta de C1 para a Questão E da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 147
Figura 80. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 148
Figura 81. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 148
Figura 82. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 149
Figura 83. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 149
Figura 84. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 150
Figura 85. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 150
Figura 86. Mundo utilizado por C3 na Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 .......... 151
Figura 87. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 151
Figura 88. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 151
Figura 89. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 151
Figura 90. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 152
Figura 91. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 152
Figura 92. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 157
Figura 93. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 158
Figura 94. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 158
Figura 95. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 158
Figura 96. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 159
Figura 97. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 159
Figura 98. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 160
Figura 99. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 160
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 12
1 OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS ................................................................. 18
1.1 Obstáculos Epistemológicos na Perspectiva de Gaston Bachelard ............ 18
1.2 Obstáculos Epistemológicos na Educação Matemática ................................ 24
1.3 Obstáculos Epistemológicos no Ensino de Funções .................................... 27
1.4 Diferentes Visões de Obstáculos .................................................................... 33
2 O CONCEITO DE FUNÇÃO .................................................................................. 35
2.1 Perspectivas do Conceito de Função .............................................................. 35
2.2 Sierpinska e o Conceito de Função ................................................................. 41
2.2.1 Os Atos de Compreensão e o Conceito de Função ......................................... 41
2.3 Pesquisas Envolvendo Funções ...................................................................... 49
2.3.1 Funções no Ensino Fundamental ..................................................................... 50
2.3.2 Funções e o Uso da Tecnologia ....................................................................... 58
2.3.3 Funções e a Matemática do Movimento ........................................................... 62
3 A TECNOLOGIA ................................................................................................... 69
3.1 O Papel do Computador na Teoria da Reorganização ................................... 71
3.2 A Noção de Coletivo Pensante ......................................................................... 73
3.3 O Coletivo Seres-Humanos-Com-Mídias ......................................................... 76
4 MÉTODO ............................................................................................................... 80
4.1 Design Experiment ............................................................................................ 80
4.2 O Software SimCalc .......................................................................................... 82
4.3 Procedimentos Metodológicos ........................................................................ 85
4.4 Atividades .......................................................................................................... 87
5 RESULTADOS .................................................................................................... 102
5.1 Análise das atividades do Bloco 1 ................................................................. 102
5.2 Análise das atividades do Bloco 2 ................................................................. 138
5.3 Análise das atividades do Bloco 3 ................................................................. 157
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 162
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 168
APÊNDICES ........................................................................................................... 172
12
INTRODUÇÃO
Consideramos que o conceito de função tem um papel fundamental na
Matemática escolar, e isso se deve à sua vasta aplicabilidade, seja em conexões
internas à própria Matemática, em outras áreas do conhecimento, ou na resolução
de problemas do dia a dia. No entanto, pesquisas, como por exemplo, de Benedetti
(2003) e Scano (2009), apontam problemas na aprendizagem desse conceito por
alunos de ensino médio e ensino superior.
Segundo Sierpinska (1992), as dificuldades relacionadas a esse conceito não
são algo novo; ela relata que, desde a década de 1980, estudos destacam
problemas no ensino e na aprendizagem de função. Segundo a autora, essas
dificuldades se concentram principalmente na relação entre diferentes formas de
representação de uma função. Destaca que a linguagem mais comum simbolizada
por “f(x)” não é a mais eficiente, tendo em vista que, ao mesmo tempo em que
denomina uma função, também é utilizada para determinar o valor da função f em
um valor x do domínio. Desta forma, é comum que a ideia de função seja
relacionada à atividade de calcular um valor dado à fórmula.
Isso nos leva a pensar que, para além das próprias divergências internas ao
conceito, como as diferentes definições e o trabalho com as representações dele, o
desafio para os processos de ensino e de aprendizagem deste conceito se dá em
pensar nas formas de se lidar com essas dificuldades em sala de aula.
Costa (2004), ao lecionar a disciplina de Introdução ao Cálculo em um curso
de licenciatura em Matemática, observou muita dificuldade por parte dos alunos em
entender os conceitos de limite e de derivada e, após tentar entender tais
dificuldades, notou que estas estavam diretamente relacionadas à compreensões
errôneas do conceito de função. Essas evidências nos levam a pensar sobre a
persistência de dificuldades ao se trabalhar com funções no ensino superior, sendo
que o conceito é trabalhado na escola básica desde o ensino fundamental, o que
nos faz refletir sobre como se dão os processos de ensino e de aprendizagem deste
conceito na educação básica.
A importância atribuída a este conteúdo ainda no ensino fundamental não se
deve exclusivamente ao seu caráter de pré-requisito aos níveis mais elevados de
escolaridade. Devemos considerar que, segundo Braga (2006), o aluno, ao atingir
13
um maior conhecimento do conceito de função, poderá ter melhor compreensão de
seu dia a dia, uma vez que este conceito disponibiliza ferramentas úteis ao exercício
da cidadania como, por exemplo, a leitura e a interpretação de gráficos disponíveis
nas diversas mídias de comunicação que necessitam do conhecimento de variáveis
em situações do cotidiano e o estabelecimento de relações entre elas. Esse alcance
confere ao conteúdo uma relevância incontestável na Matemática escolar.
Atualmente, dentre as várias ferramentas disponíveis para o auxílio no
desenvolvimento do conceito de função, o uso da tecnologia ocupa um lugar de
destaque, tendo em vista a valorização social dela dentro e fora do ambiente
escolar.
Gutiérrez e Boero (2006), após apresentarem uma revisão de pesquisas
sobre o uso da tecnologia para o Ensino de Funções, chamam a atenção de que, ao
se propor um projeto de pesquisa que vise aprimorar e discutir os processos de
ensino e de aprendizagem de Matemática, não se pode desconsiderar algumas
importantes questões, das quais destacam as de ordem contextuais.
De acordo com esses autores, algumas características devem ser
consideradas para o alcance do sucesso de um projeto de pesquisa, das quais
destacam as especificidades de determinado conteúdo matemático; o aluno, a
cultura e o conhecimento matemático dele; o contexto no qual está inserida a
atividade pesquisada; a cultura da sala de aula; o papel do professor; a organização
dos processos de ensino e de aprendizagem em grupos ou individualmente e as
contribuições e o potencial da ferramenta informatizada a ser utilizada (GUTIÉRREZ;
BOERO, 2006, p.267).
Esta última característica, em particular, nos chama a atenção, uma vez que
vivenciamos um mundo informatizado no qual, a cada dia, as crianças têm contato e
interagem por meio de recursos tecnológicos. Sendo assim, nos é apresentado um
novo desafio, que é justamente fazer uso dessa tecnologia em prol do ensino de
conceitos matemáticos e, em particular, do conceito de função.
Borba (2002) destaca que, dentre as várias discussões feitas na Psicologia e
em particular na Psicologia da Educação Matemática, uma se refere a pensar se o
ser humano isolado se constitui em sujeito epistêmico ou se a unidade básica de
produção de conhecimento seria o ser social, composto por mais de uma pessoa.
Esta batalha, segundo ele, foi protagonizada por Piagetianos e Vygotskinianos
durante os anos 1990.
14
Em meio a esse cenário, Borba (2002) integra a tecnologia e apresenta uma
visão baseada em Lévy (1993) e Tikhomirov (1981) que, na realidade, nos remete à
ideia de coletivos pensantes. No entanto, Borba (2002) entende coletivo como sendo
composto não apenas por humanos e sim um coletivo pensante de humanos e não
humanos. Nessa perspectiva, não se enfatiza a melhoria ou não da aprendizagem
quando uma nova mídia é incorporada a esse coletivo e sim o papel dela em meio a
esse coletivo na construção do conhecimento.
Considerando as reflexões acima, propomo-nos a discutir, nesta pesquisa, a
introdução do conceito de função no ensino fundamental, fazendo uso de um
ambiente computacional, o software SimCalc. A escolha deste software se deu por
considerarmos que o aspecto dinâmico nele presente, por meio do movimento na
relação espaço-tempo, bem como suas ferramentas de gerenciamento de sala de
aula, constitui um ambiente favorável para a introdução do conceito de função. Vale
ressaltar que, segundo Sierpinska (1992), muitos pesquisadores têm discutido o
ensino e a aprendizagem de funções, e muitos deles fazem uso de algum recurso
tecnológico, tais como calculadoras e computadores. No entanto, a autora aponta
que, para avaliarmos um projeto de ensino que procure promover a compreensão do
conceito de função por parte dos alunos, devemos pensar não apenas nas
estruturas internas ao ambiente, mas também nas estruturas externas a ele.
Nessa perspectiva, temos o desafio de elaborar atividades que, ao mesmo
tempo, explorem as potencialidades do Software SimCalc para a introdução do
conceito de função e não percam de vista o contexto no qual essas atividades serão
apresentadas, considerando que os alunos podem possuir um histórico de
aprendizagem desse conceito mesmo que por vias não escolares.
Para enfrentar tal desafio, utilizamos, em nossa pesquisa, a teoria dos
Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Funções proposta por Sierpinska
(1992), que nos dará suporte para discutir o que entendemos sobre “compreensão
do conceito de função”.
É neste contexto que situamos a pertinência dessa pesquisa em meio as já
existentes no campo da Educação Matemática em torno dessa temática, uma vez
que, apesar de se tratar de um tema amplamente discutido na literatura, ainda são
poucas as pesquisas que discutem a introdução do conceito de função no ensino
fundamental sem se remeter às características de definições formais matemáticas.
Em especial, propomos introduzir esse conceito sob a perspectiva dos Obstáculos
15
Epistemológicos para o Ensino de Funções de Sierpinska (1992), o que revela a
concepção de que ele pode ser construído a partir de um conjunto de
compreensões. Sendo assim, diferentemente das pesquisas que discutem os
motivos das dificuldades e/ ou Obstáculos existentes sobre este conceito após os
alunos já terem tido contato com a definição matemática formal de função, nos
propomos a investigar quais são os Obstáculos existentes ao se introduzir este
conceito no ensino fundamental e, consequentemente, discutir como eles podem ser
superados, antes do reconhecimento de sua definição formal.
O uso da tecnologia também já é uma temática posta nas discussões em
torno de suas potencialidades quando integrada aos processos de ensino e de
aprendizagem de função; no entanto, destacamos que grande parte dessa
discussão concentra-se em duas grandes áreas: uma que considera os recursos
tecnológicos como uma ferramenta de auxílio à constituição do “pensar”
caracterizado como próprio do ser humano, dando a ela status de facilitadora da
aprendizagem, e outra, cujas ideias compartilhamos, que considera que, ao se
integrar a tecnologia aos processos de ensino e de aprendizagem, podem ser
constituídos “pensamentos” ou ideias que não seriam possíveis na sua ausência.
Pensamos que a nossa pesquisa se enquadra nesta segunda perspectiva, no
entanto, ao considerarmos o software SimCalc como integrante de um Coletivo
Pensante para a introdução do conceito de função no ensino fundamental,
particularmente, oferecemos novas contribuições a esta discussão, uma vez que,
além de evidenciarmos os primeiros “Obstáculos” existentes na construção do
conceito de função, entendendo esta construção como resultante de um “coletivo”
que integra a tecnologia, e o fazemos por meio da exploração da representação
“movimento”, o que culturalmente não é explorado no ambiente escolar.
Nesta perspectiva, e tendo como hipótese que grande parte das dificuldades
em torno deste conceito são decorrentes de Obstáculos não superados em sua
introdução, temos como objetivo, por meio desta pesquisa, discutir quais Obstáculos
Epistemológicos discutidos por Sierpinska (1992) surgem ao introduzir ideias
relacionadas ao conceito de função no 9º ano do ensino fundamental por meio de
um coletivo pensante (alunos, atividades e recurso computacional), e quais são as
potencialidades do software SimCalc enquanto integrante desse coletivo que
colaboram com a superação dos Obstáculos evidenciados.
Frente a este objetivo, surgem as seguintes questões de pesquisa:
16
Ao se introduzir o conceito de função por meio do software SimCalc no 9º ano
do ensino fundamental, quais Obstáculos levantados por Sierpinska (1992) são
observados?
Quais são as potencialidades do software para enfrentá-los?
Na busca de responder a tais questionamentos, foi elaborada uma sequência
de atividades com objetivo de introduzir o conceito de função no 9º ano do ensino
fundamental com o auxílio do software SimCalc.
Optamos por trabalhar com alunos do 9º ano, tendo em vista que a
exploração do estudo de funções está prevista para o final do 9º ano do ensino
fundamental; desta maneira, trabalhamos com alunos que provavelmente ainda não
tiveram contato com o conceito “formal” de função, isto é, elementos da definição
matemática desse conceito, oferecendo, assim, melhores condições para discutir os
“Obstáculos” que possivelmente serão observados ao explorar a introdução deste
conceito.
A fim de apresentar a pesquisa realizada, este relatório está organizado em
seis capítulos. No Capítulo 1, discutimos o conceito de Obstáculo Epistemológico
nas perspectivas de Bachelard, Brousseau e Sierpinska, sendo que esta última
oferece elementos indispensáveis para a compreensão do processo de construção
do conceito de função adotado nesta pesquisa. No Capítulo 2, apresentamos
algumas teorias utilizadas para analisar questões referentes ao ensino de função,
bem como algumas pesquisas relacionadas a este conceito, a fim de situar a
concepção adotada neste estudo em meio às principais teorias existentes que
discutem os processos de ensino e de aprendizagem de função. No terceiro
Capítulo, é apresentada a perspectiva de “coletivos-pensantes” a ser agregada na
discussão do processo de construção do conceito de função. Com o objetivo de
embasar e organizar o desenvolvimento desta pesquisa, bem como a análise de
dados produzidos, no Capítulo 4 são apresentadas as características da
metodologia Design Experiment, as características do software SimCalc que estão
em consonância com os objetivos desta pesquisa e os procedimentos
metodológicos. No quinto Capítulo, a fim de aprofundarmos as hipóteses levantadas,
no que se refere à construção do conceito de função, com ênfase à sua introdução
no ensino fundamental, tendo SimCalc como integrante de um coletivo pensante,
17
são discutidos os resultados das atividades desenvolvidas. Finalmente, com o
objetivo de oferecermos contribuições à discussão já existente na área da Educação
Matemática no que se refere a construção do conceito de função, apresentamos
nossas Considerações Finais.
18
1 OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS
Tendo em vista que o desenvolvimento desta pesquisa tem como uma das
bases teóricas os Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Funções abordados
por Sierpinska (1992), faz-se necessária uma compreensão mais aprofundada desse
construto teórico, não somente na visão apresentada pela pesquisadora, mas
também considerando o desenvolvimento desse construto teórico. Assim, neste
capítulo, fazemos uma breve explanação da perspectiva de Obstáculo
Epistemológico, desde sua origem até as ideias que o relacionam ao conceito de
função. Inicialmente apresentamos as ideias de Gaston Bachelard (1938), que teve
como princípio os Obstáculos Epistemológicos no desenvolvimento do conhecimento
científico; e posteriormente a perspectiva dos Obstáculos Epistemológicos na
Educação Matemática desenvolvida por Guy Brousseau na década de 1970.
Finalizamos com as ideias de Sierpinska sobre estes mesmos Obstáculos
relacionados ao conceito de função.
1.1 Obstáculos Epistemológicos na Perspectiva de Gaston Bachelard
Bachelard, em seu livro “Formação do espírito científico”, escrito em 1938,
discute o papel dos Obstáculos Epistemológicos na formação desse espírito. Nesta
obra, há uma preocupação em compreender que a ciência já não se contenta com o
fazer meramente fenomenológico.
O autor destaca como objetivo em sua obra:
...mostrar o grandioso destino do pensamento científico abstrato. Para isto, temos de provar que pensamento abstrato não é sinônimo de má consciência científica, como parece sugerir a acusação habitual. Será preciso provar que a abstração desobstrui o espírito, que ela o torna mais leve e mais dinâmico (BACHELARD, 1938, p.8).
Nesta obra, Bachelard (1938) aborda o conceito de Obstáculo mostrando que
o processo de abstração não é uniforme, levando em conta que as experiências
estão inseridas em um contexto inicial concreto e real, natural e imediato.
Foi em 1905, período denominado de “novo espírito científico”, momento
marcado pela teoria da Relatividade de Einstein, responsável por deformar conceitos
primordiais até então inquestionáveis que, segundo Bachelard (1938), abriu-se
19
espaço para a discussão do papel dos Obstáculos Epistemológicos na formação do
espírito científico.
No entanto, o autor destaca que a análise da evolução do pensamento
científico não está restrita a períodos históricos. Há de se considerar que as
características psíquicas que atuam no conhecimento científico são muito mais
complexas, lembrando que mesmo no homem atual permanecem vestígios de
pensamentos e crenças decorrentes de concepções antigas e, neste caso, para que
um indivíduo se insira no espírito científico, deve estar apto a reconstruir o próprio
saber.
Já que todo saber científico deve ser reconstruído a cada momento, nossas demonstrações epistemológicas só têm a ganhar se forem desenvolvidas no âmbito dos problemas particulares, sem preocupação com a ordem histórica (BACHELARD, 1938, p.10).
O autor destaca que, para o desenvolvimento de tais demonstrações
epistemológicas sobre qualquer fenômeno, é preciso seguir as etapas: imagem,
forma-geométrica, forma-abstrata, o que denomina de via psicológica normal do
pensamento científico, ou seja, as experiências partem de imagens naturais,
considerando todas as imperfeições dela decorrentes das limitações postas pela
lente que as vê. Posteriormente, é proposta a difícil tarefa de criar uma imagem que
exclua as primeiras imperfeições, isto é, uma imagem que represente o objeto em
sua essência e não mais apenas o visto que é o processo denominado por
Bachelard (1938) de geometrização. Esse processo culturalmente é custoso e, por
conta disto, muitas vezes é tido como o fim da construção do espírito científico, e
não como um estágio intermediário que finda na abstração.
Devemos considerar que, apesar de Bachelard (1938) denominar este
processo de via psicológica normal, a transição entre os estágios não ocorre de
forma natural, e é justamente no trabalho de tratar as dificuldades presentes neste
processo que surge o interesse em discutir o que Bachelard (1938) denomina de
Obstáculos Epistemológicos.
Para o autor, quando trabalhamos com questões particulares, passamos por
três grandes estados em nossa formação individual do espírito científico:
1º O estado concreto, em que o espírito se entretém com as primeiras imagens do fenômeno e se apóia numa literatura filosófica que exalta a
20
Natureza, louvando curiosamente ao mesmo tempo a unidade do mundo e sua rica diversidade. 2º O estado concreto-abstrato, em que o espírito acrescenta à experiência física esquemas geométricos e se apóia numa filosofia da simplicidade. O espírito ainda está numa situação paradoxal: sente-se tanto mais seguro de sua abstração, quanto mais claramente essa abstração for representada por uma intuição sensível. 3
o O estado abstrato, em que o espírito adota informações voluntariamente
subtraídas à intuição do espaço real, voluntariamente desligadas da experiência imediata e até em polêmica declarada com a realidade primeira, sempre impura, sempre informe. (BACHELARD, 1938, p.11)
E, para além desses três estados do pensamento científico, emergem
também três estados de alma que estão relacionados ao interesse individual:
Alma pueril ou mundana, animada pela curiosidade ingênua, cheia de assombro diante do mínimo fenômeno instrumentado, brincando com a física para se distrair e conseguir um pretexto para uma atitude séria, acolhendo as ocasiões do colecionador, passiva até na felicidade de pensar. Alma professoral, ciosa de seu dogmatismo, imóvel na sua primeira abstração, fixada para sempre nos êxitos escolares da juventude, repetindo ano após ano o seu saber, impondo suas demonstrações, voltada para o interesse dedutivo, sustentáculo tão cômodo da autoridade, ensinando seu empregado como fazia Descartes, ou dando aula a qualquer burguês como faz o professor concursado. Alma com dificuldade de abstrair e de chegar à quintessência, consciência científica dolorosa, entregue aos interesses indutivos sempre imperfeitos, no arriscado jogo do pensamento sem suporte experimental estável; perturbada a todo momento pelas objeções da razão, pondo sempre em dúvida o direito particular à abstração, mas absolutamente segura de que a abstração é um dever, o dever científico, a posse enfim purificada do pensamento do mundo. (BACHELARD, 1938, p.12-13)
Eis, então, a difícil tarefa de focar os interesses, combater o utilitarismo, voltar
o espírito do real para o artificial, do natural para o humano e finalmente da
representação para a abstração.
Ressalta-se também que a experiência pode não remeter a nenhum erro, o
que a torna monótona e verdadeira, sem discussão. Nesse sentido, a experiência
científica contradiz a experiência comum, eis que o erro, até então visto como algo
negativo, surge como um dos protagonistas do processo de construção do
pensamento científico.
Consideramos que todas essas etapas destacadas por Bachelard (1938),
ainda se mostram essenciais para a construção do conhecimento científico, no
entanto, não necessariamente nesta ordem pré-estabelecida. Independente da
ordem dessas etapas, compartilhamos das ideias de Bachelard (1938) quando diz
que, ao procurar as condições psicológicas do progresso de constituição da ciência,
21
chega-se à convicção de que o problema do conhecimento científico deve ser
discutido a partir de Obstáculos que não estão atrelados apenas a fatores externos,
e sim ao próprio âmago do ato de conhecer e por isso o autor os denomina de
Obstáculos Epistemológicos e os divide em sete tipos.
O primeiro Obstáculo surge na experiência inicial, tendo em vista que esta se
dá em um ambiente de observações repleto de imagens que são pitorescas,
concretas e naturais, e isto pode levar à falsa impressão de compreensão e,
consequentemente, a generalizações à primeira vista. Este Obstáculo pode levar à
emissão de opiniões sobre questões mal compreendidas, causando prejuízos à
formação do espírito científico, que não pode ser pautado em opiniões de questões
mal compreendidas formuladas com falta de clareza. Podemos citar como exemplo
desse primeiro Obstáculo o fato de que, durante centenas de anos, ao se observar o
céu, parecia óbvio que a Terra permanecia parada enquanto tudo se movia em sua
volta, o que deu origem ao Geocentrismo que colocava a Terra como centro do
Universo. Anos mais tarde, estudos científicos provaram que isso não era verdade.
O conhecimento geral também é visto como um Obstáculo ao conhecimento
científico. Segundo Bachelard (1938), nada foi tão prejudicial ao progresso do
conhecimento científico quanto a falsa doutrina do geral; há um perigo no prazer
intelectual baseado em generalizações apressadas. Para ele:
...o que caracteriza o cientista moderno é a objetividade e não o universalismo: o pensamento deve ser objetivo, só será universal se puder, se a realidade lhe permitir. O conhecimento a que falta precisão, ou melhor, o conhecimento que não é apresentado junto com as condições de sua determinação precisa, não é conhecimento científico. O conhecimento geral é quase fatalmente conhecimento vago. (BACHELARD, 1938, p.85-86)
Bachelard (1938) exemplifica este Obstáculo lembrando que, ao tentar
estabelecer a lei da gravitação, alguns filósofos afirmavam de forma resumida que
“todos os corpos caem”, ao invés de realizar um estudo científico detalhado sobre o
assunto.
Outro Obstáculo para o conhecimento científico é denominado Obstáculo
verbal; ele se dá quando o conhecimento científico tem suas explicações pautadas
em uma única imagem ou palavra que muitas vezes não representa o verdadeiro
conhecimento científico, inclusive atrapalhando a sua constituição, tendo em vista
que todas as conclusões ficam contaminadas por esta imagem ou palavra. Stadler et
22
al. (2012), ao analisarem um livro didático de Ciências, exemplificam a presença
deste Obstáculo quando neste livro é feita a comparação entre um átomo e um grão,
denominação que, segundo os autores se mostra inadequada, tendo em vista que
pode gerar concepções errôneas, tais como a de que o átomo pode se desenvolver
ou brotar, o que são propriedades dos grãos.
O conhecimento unitário e pragmático também é visto como um Obstáculo.
Para Bachelard (1938), o conhecimento unitário vai além das generalizações
precoces. Nele, elementos naturais são vistos como unidades perfeitas e
inquestionáveis, citando como exemplo elementos religiosos que são usados como
justificativas para determinados fenômenos naturais, a vontade de Deus.
Outro Obstáculo é o substancialista, constituído por intuições dispersas e
muitas vezes até opostas; neste caso, procura-se atribuir diversos adjetivos a um
mesmo objeto, perdendo de vista uma análise detalhada de cada um desses
adjetivos. O autor destaca que, nas ciências modernas, há um movimento contrário,
ou seja, procura-se diminuir ao máximo a quantidade de adjetivos, podendo até
trabalhar-se apenas com um, no entanto de forma específica e detalhada.
Melzer et al. (2009), ao analisarem livros didáticos de Química,
exemplificaram que, em um dos livros, foi apresentada a seguinte afirmação “Joseph
John Thomson propôs, em 1903, um novo modelo de átomo, formado por uma
“pasta” positiva “recheada” pelos elétrons de carga negativa, o que a neutralidade
elétrica do modelo atômico" (FELTRE, 2005, apud MELZER et al. 2009, p.7) (esse
modelo ficou conhecido como “pudim de passas”). Ao analisar este trecho,
concluiram que:
...o ato de dar uma propriedade pastosa às cargas positivas dos átomos e dizer que é recheada por cargas negativas caracteriza um obstáculo substancialista, caracteriza da aos (sic) prótons uma propriedade pastosa que não é verificada e trabalhando com a ideia de recheio como se estivesse se referindo a um pudim, gênero alimentício formado de massa e frutas, isso fica bem claro quando o modelo de Thomson é comparado a um pudim de passas, outro obstáculo substancialista identificado. (MELZER et al. 2009, p.7)
O sexto Obstáculo é denominado Obstáculo animista. Nele, encontra-se o
equívoco de adotar os interesses e as preocupações meramente naturais. Isso pode
até oferecer, segundo Bachelard (1938), uma satisfação imediata à curiosidade, no
entanto, se apresenta como um Obstáculo à cultura científica, uma vez que substitui
23
o conhecimento pela admiração e as ideias pelas imagens.
Para Melzer et al. (2009), este Obstáculo pode ser caracterizado por dar
características físicas, mentais e até mesmo biológicas a imagens e analogias,
criando assim uma falsa compreensão de um determinado fenômeno. Ao fazerem
uma análise de livros didáticos de Química, ressaltam que alguns ainda trazem este
tipo de Obstáculo, como por exemplo, ao retratarem a abordagem de algumas
teorias de estrutura atômica, como núcleo e eletrosfera, por meio de fenômenos
vitais, atribuindo a modelos teoricamente inanimados características físicas,
biológicas e mentais. Citam como por exemplo, a afirmação retirada de um dos livros
analisados “O átomo não é mais uma esfera, como pensavam, mas uma entidade
que tem um padrão de comportamento difuso...” (MELZER et al., 2009, p.6).
Para Bachelard (1938), o conhecimento quantitativo também não está livre
dos Obstáculos; destaca que é um engano pensar que o conhecimento quantitativo
escapa dos mesmos perigos do conhecimento qualitativo, tendo em vista que a
grandeza não é por natureza objetiva.
Uma das exigências primordiais do espírito científico é que a precisão de uma medida refira-se constantemente à sensibilidade do método de mensuração e leve em conta as condições de permanência do objeto medido. Medir exatamente um objeto fugaz ou indeterminado, medir um objeto fixo e bem determinado com um instrumento grosseiro, são dois tipos de operação inúteis que a disciplina científica rejeita liminarmente. (BACHELARD, 1938, p.261-262)
Neste caso, pode ocorrer a crença no realismo da medida mais do que na
realidade do objeto, e, desta forma, o objeto pode ser erroneamente caracterizado a
partir de suas medidas, sendo descaracterizada a sua natureza. O autor destaca
que há de se refletir para medir e não medir para refletir.
Para o alcance de uma objetividade científica, temos como ponto de partida o
movimento de especialização dos cientistas, afastando-se da generalidade imediata.
No entanto, para isto, alguns desafios devem ser superados, a saber: ruptura entre
conhecimento sensível e conhecimento científico; o erro não é visto como um mal e
passa a ser positivo, normal e útil; os processos de ensino e de aprendizagem
devem ser compartilhados por professores e alunos e o professor deve ter a
consciência de que aulas não substituem descobertas.
Apesar do foco de Bachelard (1938) se concentrar na formação do
pensamento científico sem tratar da Matemática em particular, muitos elementos
24
tratados por ele se mostraram relevantes para a construção do pensamento
matemático. Brousseau (1998) foi o responsável por tal observação e trouxe esta
discussão para o âmbito da Educação Matemática.
1.2 Obstáculos Epistemológicos na Educação Matemática
Brousseau (1998), a partir do desenvolvimento da teoria das situações
didáticas, proposta na década de 1970, trouxe para o âmbito da Educação
Matemática a discussão dos Obstáculos Epistemológicos. Para ele, o conhecimento
é o resultado da adaptação do aluno a uma determinada situação que justifica este
conhecimento, e que o torna mais ou menos eficaz, e é por meio deste
conhecimento que se dá a aprendizagem.
Para Brousseau (1998), a construção do conhecimento não se dá por meio de
um processo regular; este deve contemplar também as dificuldades que provocam a
aprendizagem e que, ao serem superadas, constituem um conhecimento
consistente.
Outro ponto abordado por Brousseau (1998) refere-se aos erros que, por
muito tempo, estiveram relacionados à ausência de conhecimento e, portanto, a
conotações negativas. No entanto, a partir das discussões sobre Obstáculos
Epistemológicos propostas por Bachelard (1938), os erros passaram a ocupar um
lugar de destaque na construção do conhecimento e assumem, em muitos casos, o
protagonismo nas discussões em torno dos processos de ensino e de aprendizagem
de Matemática.
Esta nova posição ocupada pelos erros faz com que eles também sejam
resignificados em projetos de pesquisa. Até então considerados meros acidentes
recorrentes dos resultados produzidos em torno de um projeto de pesquisa, os erros
ganham status de protagonistas e a presença deles é considerada positiva.
Nesta perspectiva, Brousseau (1998) aponta três características fundamentais
para o desenvolvimento de um projeto investigativo:
i) encontrar erros recorrentes;
ii) identificar quais são os Obstáculos referentes à Matemática;
iii) comparar quais são as barreiras históricas, no que se refere a Obstáculos
de aprendizagem, estabelecendo, assim, o seu caráter epistemológico.
Brousseau (1998) considera que, a partir do modelo de Bachelard (1938), a
25
compreensão das dificuldades dos alunos não se dá por meio de uma definição
estática e sim ao se considerar que um Obstáculo constitui-se em um conhecimento
e não em uma dificuldade ou falta de conhecimento. Assim, para se trabalhar com
respostas corretas e universais, necessitamos analisar as diferentes perspectivas. O
conhecimento constituído resiste a contradições, estabelecendo assim uma melhor
compreensão, e isto é essencial para identificar e incorporar novos conhecimentos,
após a consciência do caráter inexato de tal conhecimento.
Cognitivamente falando, os Obstáculos parecem ser ontogenéticos, ou seja,
possuem características próprias da espécie humana e da história do
desenvolvimento da aprendizagem, além das próprias características do contexto
social, epistemológico ou mesmo atrelado à própria formação cultural.
É neste contexto que Brousseau (1998) propõe uma discussão dos impactos
didáticos que Obstáculos Epistemológicos têm nos processos de ensino e de
aprendizagem de Matemática. Para ele, ao se elaborar um ambiente de
aprendizagem, deve-se levar em consideração todas as circunstâncias relevantes à
constituição do conhecimento, e esta deve ser organizada de acordo com sua
própria lógica, de modo a contemplar quesitos para além da Matemática, como por
exemplo, elementos da psicologia, sociologia, dentre outros, sem perder de vista
também a possibilidade de reprodução deste conhecimento. Para isto, o autor
destaca algumas características a serem contempladas:
i) Descrever o conhecimento bem como a compreensão de sua utilidade;
ii) Explicar quais são os benefícios adquiridos quando comparados a usos
anteriores, quais são as práticas sociais que estão presentes, quais são as técnicas,
e, se possível, quais são as concepções matemáticas envolvidas;
iii) Identificar os conceitos específicos em detrimento de outros,
especialmente aqueles que os sucedem para entender as limitações e os desafios e,
finalmente, as causas do fracasso deste projeto e ao mesmo tempo as razões para
um equilíbrio que parece durar um tempo suficiente;
iv) Identificar o momento e as razões para a quebra deste equilíbrio, podendo,
assim, analisar os traços de resistência à rejeição, e explicar a permanência de
práticas, linguagens ou projetos;
v) Além de argumentos baseados em estudos históricos de textos, técnicas e
argumentos epistemológicos, deve-se contar também com experiências
relacionadas ao aprendizado em questão; no entanto, argumentos históricos podem
26
intervir na escolha dos processos educacionais.
Frente a tais desafios, Brousseau (1998) faz os seguintes questionamentos:
Como evitar um Obstáculo? É possível evitá-lo? Como tratar aqueles que não
podem ser evitados?
Ele aponta como resposta para estas indagações um trabalho em que se
considere tanto situações de cunho didático como situações que denomina de
situações adidáticas2.
Em relação ao currículo, Brousseau (1998) relata que Obstáculos que geram
mais dificuldades do que conhecimento por parte dos alunos e Obstáculos que
geram um desgaste puramente formal e sem sentido no que se refere ao
desenvolvimento do aluno por causa de uma distância de linguagem, que não pode
ser adaptada ao aluno, podem ser ignorados na elaboração e no trabalho com o
currículo em questão. Desta maneira, a escolha de quais Obstáculos serão
trabalhados deve ser criteriosa, a fim de identificar o que realmente é factível.
Ao se trabalhar Obstáculos em um currículo, estes devem ser abordados de
maneira específica, sendo que devem ser explorados em três diferentes
perspectivas: por meio de resolução de tarefas que os contemple em situações;
como curiosidade e como um estudo de cunho científico.
Para o autor, no processo de construção do conhecimento matemático é
importante que sejam exploradas diferentes atividades que tragam à tona os
Obstáculos característicos do conceito em questão, para que possam ser discutidos,
sendo que esta discussão pode ser feita em uma única atividade ou ter continuidade
em outras dependendo da necessidade.
Para a constituição dessas atividades o professor deve levar em consideração
tanto as características internas do grupo ao qual serão aplicadas, como as
características culturais nas quais este grupo está inserido.
Quando nos referimos às características internas ao grupo, devemos
considerar que uma atividade não deve favorecer apenas os novos conhecimentos;
também deve levar em consideração as dificuldades ou “Obstáculos” emergentes de
atividades anteriores.
Para Brousseau (1998), ao se pensar em um currículo, não devemos nos ater
2 Para Brousseau (1998) uma situação adidática é um tipo de situação didática em que o aluno
assume a posição de pesquisador de um problema matemático sem a necessidade de interferências
do professor.
27
apenas a processos técnicos referentes ao conteúdo, mas considerar também que,
por meio de um diagnóstico prévio e da análise dos erros e das justificativas para
eles, bem como os encargos de professores e alunos no desenvolvimento desses
erros, possibilita-se um processo que aponta mudanças ou adaptações no currículo
em questão.
Reconhecer e conhecer Obstáculos Epistemológicos e tratá-los oficialmente
na relação didática pode levar o professor a considerar tanto as características
históricas do conhecimento de seus alunos como compreender como eles os
abordam, desestabilizando assim a mera sequência de aulas “institucionalizadas” e
limpas de Obstáculos.
Com relação às características culturais nas quais os alunos estão inseridos,
ao incorporá-las nas discussões sobre o currículo, implica-se uma mudança na
epistemologia dos professores. Tal incorporação serve como base para a
negociação entre professores e alunos assim como para a comunidade em geral.
Um conhecimento, mesmo que falso, serve como apoio para discussão e
constituição do conhecimento e a comunicação dele.
Considerando que em nossa pesquisa exploramos particularmente os
Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Funções, apresentamos a seguir as
ideias propostas por Anna Sierpinska, que discute este conceito no âmbito da
Educação Matemática.
1.3 Obstáculos Epistemológicos no Ensino de Funções
Anna Sierpinska, em seu trabalho intitulado “On understanding the notion of
function”, de 1992, descreve os resultados de uma pesquisa sobre os Obstáculos
Epistemológicos para o Ensino de Funções. Para Sierpinska (1992), é consenso
para muitos educadores que compreender um conceito matemático está muito além
da simples leitura e aplicação de uma definição. Para ela, ao falarmos em
compreensão matemática, devemos nos concentrar nos saltos de velhos para novos
caminhos de saber, que se caracterizam como uma troca qualitativa e significativa
de “velhos” para “novos” conhecimentos matemáticos na mente humana. De acordo
com Sierpinska (1992), essas trocas ou “saltos” se dão no momento em que um
sujeito toma consciência das velhas formas de conhecimento que usava e percebe
fatores que o impediam de conhecer o “novo”. Quando, no processo de
28
aprendizagem, o foco não está apenas na mediação dos erros do passado e se
lança um novo olhar sobre o que está por vir, o “salto” se constitui como novas
formas de conhecimento.
Consideramos que, quando um sujeito se depara com uma nova forma de
conhecimento, os fatores que o impedem de conhecer as “novas maneiras” são o
que a autora denomina de “Obstáculos Epistemológicos”. Esses Obstáculos
caracterizam-se como algo comum em uma determinada cultura do presente ou do
passado e não como uma característica particular e podem ser distinguidos em três
níveis, dependendo das crenças e da visão de mundo do sujeito: 1) O conhecimento
explicável e explícito, considerando que este pode ser comunicado aos outros em
declarações claras; 2) Declarações por meio de definições sem chamar a atenção
para uma justificativa que não esteja atrelada apenas a uma autoridade, tradição ou
o senso comum; 3) Formas de pensamento (principalmente inconscientes), formas
de abordar problemas, situações de interpretação, as coisas que são aprendidas por
imitação e prática no decorrer da socialização e educação do sujeito.
Para Sierpinska (1992), um Obstáculo é superado quando há um
distanciamento dos esquemas de pensamento ou crenças e o indivíduo é capaz de
visualizar as consequências ao considerar um ponto de vista diferente. Em uma
primeira análise, poderíamos pensar que Obstáculos são negativos no
desenvolvimento conceitual, devendo, assim, ser evitados nos processos de ensino
e de aprendizagem. No entanto, para a autora, assim como para Brousseau (1998),
determinados tipos de Obstáculos epistemológicos dificilmente são evitados e estes
ocupam um papel importante no pensamento de um indivíduo.
Dessa maneira, reconhecemos esses Obstáculos como parte dos processos
de ensino e de aprendizagem de Matemática e em particular nos debruçamos sobre
aqueles que se referem ao conceito de função.
Para Sierpinska (1992), a compreensão não se dá de forma única e sim por
meio de Atos de Compreensão, que são divididos por ela em quatro categorias.
A primeira categoria é descrita como a identificação de um objeto entre
outros. Algo que até então era considerado como um mero pano de fundo, de
repente aparece como o objeto principal, sendo considerado como algo digno de
interesse e estudo, muitas vezes ganhando um status científico e deixando de ter
um nome comum do dia a dia. Desconsiderando as divergências históricas,
poderíamos citar como exemplo a rotineira ação da queda de uma maçã que se
29
desprende da árvore e que, em dado momento, passa a ser protagonista na
formulação da teoria da gravidade de Newton.
A segunda categoria é a discriminação entre dois objetos. Nesta categoria,
um indivíduo deve ter consciência da existência de dois objetos separados, com
diferenças entre eles em termos de propósitos e de propriedades. Como por
exemplo, a discriminação entre os conceitos de equação e função matemática.
A terceira categoria é denominada de generalização; nesta, os indivíduos
são levados a uma consciência que os permite aumentar as possibilidades de
aplicações, algumas suposições mostram-se irrelevantes e novas formas de
interpretação são descobertas. A síntese é a percepção de ligações ou fatos até
então isolados; como resultado, os fatos, as propriedades, as relações, os objetos,
são organizados e vão constituir o todo. Como por exemplo, ao identificar o objeto
matemático “função”, há a compreensão do papel das variáveis, da dependência
entre elas, de diferentes representações.
A quarta categoria refere-se a utilidade; nesta, considera-se que um conceito
ou conceitos são utilizados como ferramenta para fins particulares para realizar e
atingir metas. Neste caso, podemos exemplificar que, a partir do momento que o
objeto função é compreendido em sua totalidade, este é utilizado como ferramenta
na resolução de problemas particulares, tais como no contexto econômico,
estatístico, dentre outros.
Sierspinka (1992) descreve dezesseis Obstáculos Epistemológicos para o
ensino de função representado por “OE(f)”3. São eles:
OE(f)-1: A Matemática não está preocupada com problemas práticos.
OE(f)-2: Técnicas computacionais usadas para produzir tabelas de relações
numéricas não são dignas de serem objeto de estudo em Matemática.
OE(f)-3: Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as coisas
mudam e ignorar o que muda.
OE(f)-4: Pensar em termos de equações e incógnitas como sendo extraídas
de funções..
OE(f)-5: Considerar irrelevante a ordem das variáveis.
OE(f)-6: Uma concepção heterogênea de número.
OE(f)-7: A filosofia pitagórica de número: Tudo é número.
3 Os Obstáculos Epistemológicos foram extraídos do texto “On understanding the notion of function”,
Sierpinska, 1992, e a tradução foi de nossa autoria.
30
OE(f)-8: Leis da Física e funções em Matemática não têm nada em comum.
Pertencem a diferentes domínios (compartimentos) de pensamento.
OE(f)-9: Proporção é um tipo privilegiado de relação.
OE(f)-10: Forte crença no poder das operações formais sobre expressões
algébricas.
OE(f)-11: Apenas as relações descritíveis analiticamente por fórmulas são
dignas de serem chamadas funções.
OE(f)-12: Definição é uma descrição de um objeto de outro modo conhecido
pelos sentidos ou por insight. A definição não determina o objeto, mas sim o objeto
determina a definição. A definição não é “amarrada” logicamente.
OE(f)-13: Funções são sequências.
OE(f)-14: Coordenadas de um ponto são segmentos de reta (não números).
OE(f)-15: A representação gráfica de uma função é um modelo geométrico da
relação funcional. Ele não precisa ser fiel, pode conter pontos (x, y) tais que a função
não é definida em x.
OE(f)-16: As mudanças de uma variável são mudanças no tempo.
Em nossa pesquisa, exploramos os Obstáculos que julgamos estar
associados à introdução do conceito de função no ensino fundamental, observando
que Sierpinska (1992) ressalta que, para se discutir a construção do conceito de
função, como é o caso na nossa pesquisa, inicialmente deve-se reconhecer que a
Matemática foi e é construída a partir de problemas práticos do mundo. Desta forma,
se os acontecimentos do mundo forem ignorados como condições necessárias para
o desenvolvimento do conceito de função, porque se acredita que não é pertinente
pensar que a Matemática deve se preocupar com problemas práticos, então o
comportamento do sujeito será de acordo com as ideias de Platão e esta atitude é o
que é descrito como sendo o primeiro Obstáculo Epistemológico a superar:
OE(f)-1: A Matemática não está preocupada com problemas práticos.
De acordo com Trindade (1996), este Obstáculo, além de ser o primeiro a ser
vencido para a construção do conhecimento de função, pode ser considerado
também como o primeiro a ser superado na construção de muitos outros conceitos
matemáticos.
Em relação ao OE(f)-2: Técnicas computacionais usadas para produzir
tabelas de relações numéricas não são dignas de serem objeto de estudo em
Matemática. Trindade (1996) destaca que é importante analisar situações cujos
31
dados são apresentados por meio de tabelas antes que sejam apresentados aos
estudantes exemplos tradicionalmente explorados de função, tais como as funções
afins ou as funções exponenciais por meio da representação algébrica.
A importância de se identificar o que muda na análise e no estudo das
próprias dependências é apontada por Sierpinska (1992) também como um
Obstáculo a ser considerado:
OE(f)-3: Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as coisas
mudam e ignorar o que muda.
Para Trindade (1996), este Obstáculo está ligado à dificuldade que os alunos
têm de observar e identificar mudanças, de forma a perceber o que está mudando e
quais são as características das variáveis que são processadas por meio da regra
que as relaciona. Para Sierpinska (1992), ao se depararem com essas situações, os
alunos as enxergam como um todo, um fenômeno como “chover” ou “nevar”, sem a
preocupação de analisar as variáveis envolvidas. Trindade (1996) destaca, por
exemplo, que,
A experiência em sala de aula mostra que os alunos têm muitas dificuldades em vários aspectos devido a essa confusão entre o gráfico da distância percorrida em função do tempo de um móvel e a sua trajetória. É difícil para os alunos entenderem, por exemplo, que o gráfico da distância percorrida em função do tempo de uma cadeirinha de roda – gigante em movimento circular - é uma reta. (TRINDADE, 1996, p.122)
Outro Obstáculo a ser considerado na introdução do conceito de função é:
OE(f) -4: Pensar em termos de equações e incógnitas como sendo extraídas
de funções.
Segundo Sierpinska (1992), após trabalhar o conceito de incógnita com os
alunos, conceito este que, segundo ela, não é simples, normalmente é introduzido o
conceito de variável como se a transição entre essas duas ideias fosse trivial ou
automática. Trindade (1996) exemplifica que:
É uma discriminação feita entre dois domínios, ele tem diferentes aspectos e diferentes papéis em cada um desses domínios. A equação, por exemplo, deixa de ser uma condição sobre a incógnita a qual permite extrair seu valor, para ser no contexto de funções o princípio ou a lei de acordo com a qual algumas variáveis se relacionam. (TRINDADE, 1996, p.124)
No que se refere a concepção de números, Sierpinska (1992) destaca dois
Obstáculos: OE(f)-6: Uma concepção heterogênea de número; e
32
OE(f)-7: A filosofia pitagórica de número: Tudo é número.
O Obstáculo OE(f)-6 pode levar o aluno a pensar que valores particulares
podem resolver problemas genéricos; enquanto que, com o Obstáculo OE(f)-7,
pode-se acreditar que os números são suficientes para resolver qualquer problema,
ou seja, tudo pode ser traduzido por meio de números.
Segundo Sierpinska (1992), matemáticos e cientistas muitas vezes, tomam
números como sendo quantidades, no entanto, uma quantidade não pode ser
interpretada como um simples número. A quantidade, segundo a autora, apresenta
elementos extra-matemáticos: como um fenômeno físico, por exemplo, um objeto em
queda, o ato de um observador ler um relógio. Desta maneira, a discriminação entre
variáveis que representam conceitos físicos (como tempo, velocidade, posição) e
variáveis numéricas é uma das condições necessárias para a compreensão do
conceito de função.
Neste contexto, é apresentado um novo Obstáculo:
OE(f)-8: Leis da Física e funções em Matemática não têm nada em comum;
pertencem a diferentes domínios (compartimentos) de pensamento.
Para Sierpinska (1992), a discriminação entre as variáveis que representam
conceitos físicos e as variáveis numéricas constitui uma condição necessária para a
construção do conceito de função.
Sierpinska (1992) destaca que existem alguns Obstáculos que estão mais
presentes quando se pretende desenvolver uma síntese geral do conceito de
função, dos quais apresentamos:
OE(f)-9: Proporção é um tipo privilegiado de relação.
Pensar que todas as relações são do tipo diretamente ou inversamente
proporcional pode ser um erro que oferece prejuízos ao entendimento do conceito
de função. Além desse, temos:
OE(f)-11: Apenas as relações descritíveis analiticamente por fórmulas são
dignas de serem chamadas funções.
Segundo Trindade (1999), no ensino e nos livros didáticos em geral, a
apresentação do conceito de função é feita por meio da sua forma analítica e a partir
dela é construída a tabela correspondente, e, a partir destes dados, é feita a
representação gráfica no plano cartesiano. O autor destaca que esta é a ordem
usualmente utilizada para se explorar as diversas formas de representação de uma
função. Tal ordem pode levar os alunos a uma supervalorização da representação
33
algébrica em detrimento das outras.
Outro Obstáculo que julgamos importante para a introdução do conceito de
função é:
OE(f)-16: As mudanças de uma variável são mudanças no tempo.
Há uma tendência em acreditar que a única variável independente possível é
o tempo. Desta forma, há dificuldade de olhar a variável x como independente em
outras perspectivas, como, por exemplo, nas relações financeiras, ou no contexto da
Física ao pensar no volume de um corpo em função da temperatura.
Destacamos os principais Obstáculos que, em nosso ponto de vista, devem
ser considerados na introdução do conceito de função. Em nossa pesquisa não
pretendemos privilegiar algum deles, no sentido de fazer com que ele se manifeste,
mas sim buscar se, deles, algum se manifestará.
1.4 Diferentes Visões de Obstáculos
Apesar do reconhecimento do papel dos Obstáculos Epistemológicos nos
processos de ensino e de aprendizagem de Matemática discutido na seção anterior,
existem críticas a tal perspectiva. Para Radford (2011), os Obstáculos presentes
nesses processos não são epistemológicos, mas sim Obstáculos Culturais, ou seja,
não estão relacionados ao conhecimento em si, mas às questões culturais que os
permeiam. Por exemplo, Radford (2011) ressalta que
Se olharmos as dificuldades que os matemáticos ocidentais medievais tiveram ao se deparar com os números negativos, e se olharmos as dificuldades encontradas pelos nossos alunos de hoje, somos levados a pensar que, efetivamente, os números positivos constituem um obstáculo para o surgimento dos números negativos. No entanto, se revisitarmos os números negativos na perspectiva dos matemáticos chineses, veremos que eles superaram a dificuldade de lidar com os números negativos por meio de uma representação muito inteligente usando varetas (barrinhas) coloridas. (RADFORD, 2011, p.87)
Desta forma, Radford (2011) afirma ser incoerente a perspectiva de
Sierpinska ao considerar os Obstáculos por ela apresentados como epistemológicos,
principalmente por não contemplarem de maneira satisfatória as questões culturais.
Para ele, “os Obstáculos Epistemológicos não são mais do que Obstáculos
Culturais”. (RADFORD, 2011, p.87)
34
Apesar de tais críticas, consideramos que Sierpinska (1992) não
desconsidera as questões culturais, uma vez que coloca os Obstáculos como algo
que impede a desconstrução de um “conhecimento velho”, conhecimento este que
inclui o que ela chama de concepções e crenças e, portanto, culturais na construção
de um “novo conhecimento”. No entanto, Sierpinska (1992) não aprofunda o seu
estudo nestas questões de ordem cultural, tendo em vista que o foco de sua
discussão é trabalhar com as dificuldades que permanecem, apesar das questões
de ordem cultural.
Em nossa pesquisa não temos como objetivo defender a ideia de que esses
Obstáculos são imutáveis; no entanto, reconhecemos, por meio de pesquisas,
indícios de que a identificação desses Obstáculos é frequente nos processos de
ensino e de aprendizagem do conceito de função, como, por exemplo, o identificado
por Baraldo (2009), que, mesmo não tratando diretamente desta perspectiva teórica,
identifica a incidência do uso da regra de três por parte dos alunos participantes
mesmo em situações que não envolvem a proporcionalidade; ou na pesquisa de
Barreto (2009) que identifica, entre outras características, que ainda é muito comum
a dificuldades por parte dos estudantes em identificar quais são os objetos variáveis
presentes no processo de mudança modelada por meio de funções.
Sierpinska (1992) concentrou seus esforços na identificação dos Obstáculos
presentes no processo de ensino de funções. Em nossa pesquisa, propomo-nos a
avançar nesta discussão com foco em discutir quais são os Obstáculos presentes na
introdução do conceito de função no ensino fundamental e como enfrentá-los por
meio da implementação de um Coletivo Pensante constituído por seres-humanos-
com-mídias.
A seguir, apresentamos uma discussão sobre algumas pesquisas que tratam
do processo de construção do conceito de função.
35
2 O CONCEITO DE FUNÇÃO
Neste capítulo, a fim de justificar a importância atribuída ao conceito de
função nas discussões no âmbito da Educação Matemática e a pertinência de
desenvolvermos mais uma pesquisa com esta temática, apresentamos inicialmente
um breve panorama histórico de como o conceito de função foi inserido no currículo
de Matemática nos moldes como hoje o conhecemos, ou seja, a partir de múltiplas
representações. Posteriormente, a fim de situarmos a nossa escolha teórica frente a
outras importantes teorias que tratam desse conceito, apresentamos pesquisas que
utilizam na análise dos dados teorias de Processo-Objeto e Múltiplas
representações, por serem consideradas as principais referências no embasamento
das pesquisas que discutem os processos de ensino e de aprendizagem do conceito
de função. Em seguida, apresentamos a perspectiva de Sierpinska (1992), no que
se refere ao processo de construção do conceito de função adotado nesta pesquisa.
Por fim, com o objetivo de situar a nossa pesquisa frente às já existentes com
alguma familiaridade, seja por nível de ensino, uso da tecnologia ou pela exploração
do movimento, discutimos algumas pesquisas que abordam este conceito.
2.1 Perspectivas do Conceito de Função
A importância atribuída ao conceito de função não é algo novo; surge com a
própria disciplina que hoje conhecemos na escola básica como Matemática. De
acordo com Braga (2006), concretizada no ano de 1929 no Brasil pelo matemático
Euclides Roxo, a disciplina escolar denominada Matemática foi resultante da
unificação de três outras disciplinas, até então independentes: a aritmética, a
álgebra e a geometria. Euclides Roxo teve como inspiração o matemático alemão
Felix Christian Klein (1849–1925), que foi o responsável por esta unificação no
cenário mundial, possibilitando a exploração do conceito de função de forma
integrada, dando início, então, a um trabalho simultâneo considerando as diferentes
representações (algébricas, geométricas e tabulares).
Cabe observar que este trabalho integrado revelou-se imprescindível para a
abordagem por ele proposta na época em que se tratava da disciplinarização do
Cálculo, que tem como cerne o conceito de função. Dessa forma, o sucesso do
ensino do Cálculo estaria intimamente ligado a um bom domínio do conceito de
36
função por parte dos alunos. Ainda mais, o entrelaçamento desses dois assuntos só
poderia vingar se o educando soubesse transitar com relativo desembaraço pelas
várias representações de função. Além disso, esta perspectiva de trabalho se
mostrou relevante na superação de dois Obstáculos apontados anteriormente,
OE(f)-11, tendo em vista que, ao desenvolver um trabalho desintegrado das
diferentes representações de uma função, pode-se levar o aluno a reconhecer
apenas as relações descritíveis analiticamente por fórmulas como dignas de serem
chamadas funções; e o OE(f)-15, uma vez que a representação gráfica de uma
função pode ser tomada como um modelo geométrico da relação funcional sem a
necessidade de ser fiel, pensando equivocadamente que esta pode conter pontos (x,
y) tais que a função não seja definida em x.
Desta maneira, é inevitável a discussão de reflexos do trabalho com funções
em níveis mais elevados de ensino, uma vez que, desde a criação da disciplina
Matemática, em 1929, os objetivos propostos para o ensino superior levam a um
repensar do ensino de Matemática na educação básica. Braga (2006) destaca que o
pensamento funcional deveria ser cultivado desde as séries iniciais, tornando o
aluno atuante sobre a ideia de variação e de dependência. Transitando aos poucos
pelas diversas representações de função, o aluno caminharia em direção a formação
do pensamento funcional.
No ensino médio, para além de sua importância nas relações sociais, o
trabalho com funções, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Médio (PCNEM) (BRASIL, 1999), ocupa um papel de destaque ao permitir conexões
entre as diferentes formas de pensamento matemático e a relevância dessa
diversidade dentro ou fora da Matemática.
No que se refere às funções destacam:
[...] O ensino isolado desse tema não permite a exploração do caráter integrador que ele possui. Devemos observar que uma parte importante da Trigonometria diz respeito às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente. (BRASIL, 1999, p.43)
37
Ainda destacam que, além de todas as conexões internas à própria
Matemática, o conceito de função também é um dos responsáveis pela construção,
leitura e interpretação de gráficos e, dessa forma, possibilita melhor compreensão de
fenômenos tanto do cotidiano como de outras áreas do conhecimento, como é o
caso da Física, da Geografia ou da Economia, o que pode acarretar a criação de
habilidades interdisciplinares.
O relato apresentado por Braga (2006) nos faz refletir sobre as atuais
dificuldades referentes ao trabalho com o conceito de função no cotidiano da sala de
aula. De acordo com este autor, ao apresentar uma fórmula ou uma tabela ao aluno,
é mais simples, direto e cômodo para o professor explorá-las como um recurso para
obter um valor procurado ou para se construir um gráfico do que pensar nos
diversos e pertinentes enfoques de variação e de dependência existentes nessas
representações. Assim, o pensamento funcional acaba por ser abandonado nesse
tipo de atividade (BRAGA, 2006, p.147).
Malisani e Spagnolo (2008) destacam ainda que, desde o início da década de
1980, vários pesquisadores têm estudado dificuldades dos alunos ao serem
iniciados no estudo de álgebra, ressaltando que os resultados de muitos desses
estudos já se tornaram parte da cultura de pesquisadores em Educação Matemática.
Tais dificuldades, segundo Malisani e Spagnolo (2008), são concentradas
principalmente na transição da aritmética para a álgebra, considerando que a
aritmética é habitualmente associada a números e cálculos e resolver um problema
neste contexto significa resolver uma ou mais operações com dados específicos, a
fim de se chegar a uma solução, quase sempre única.
Na álgebra elementar, por outro lado, a tarefa envolve a explicitação das
relações entre o desconhecido e os dados de um problema, bem como a
manipulação destes, a fim de se alcançar uma solução. Desta maneira, a álgebra
concentra-se nas relações entre quantidades, usando uma linguagem simbólica.
Para Malisani e Spagnolo (2008), a utilização de uma simbologia adequada facilita o
pensamento algébrico, mas na fase de transição da aritmética para a álgebra é
possível pensar algebricamente sem fazer uso de letras.
No entanto, os autores ressaltam que um dos problemas fundamentais da
aprendizagem em álgebra continua sendo o trabalho de dar sentido às letras. Este
trabalho é dificultado tendo em vista que a noção de variável tem uma pluralidade de
concepções, tais como: número generalizado, número desconhecido e de relação
38
funcional. Malisani e Spagnolo (2008) definem uma variável na relação funcional
como uma “coisa que varia” e, para eles, a denotação da variável representa uma
dificuldade para os alunos, tendo em vista que os mesmos símbolos são usados
para indicar diferentes concepções da variável. Por exemplo, x pode representar um
número desconhecido, um número generalizado, ou uma variável independente em
uma função.
Malisani e Spagnolo (2008) ressaltam que a noção de variável como uma
coisa que varia é muito antiga, mas é difícil estabelecer exatamente a origem dessa
concepção na história da álgebra. Sua evolução foi muito lenta desde o início, a
partir da relação entre os números contidos em tabelas (babilônios, índios, etc.) até
a descrição da relação entre variáveis, que levou precisamente ao conceito de
função.
A partir das características do currículo discutidas anteriormente, surgem
diferentes perspectivas teóricas com o objetivo de discutir os processos de ensino e
de aprendizagem de funções. De acordo com Akkoç (2005) duas perspectivas
teóricas são amplamente utilizadas para se discutir esses processos: as teorias de
processo-objeto e as teorias que consideram múltiplas representações.
Considerando uma teoria de processo- objeto, Souza e Campos (2007)
desenvolveram uma pesquisa utilizando a teoria da reificação, trabalhando com
cinco professores de Matemática do ensino básico da rede estadual de São Paulo,
como parte de um projeto de pesquisa denominado “Os processos de ensino-
aprendizagem na escola básica”. Dentre os conteúdos abordados neste projeto,
explorou-se o tema funções. Após a aplicação de uma dinâmica do tipo mapa
conceitual em torno da palavra “função”, e observando as frases apresentadas pelos
professores, tais como “Eu tenho pavor de gráficos”, “Eu faço imediatamente uma
tabela de valores”, dentre outras, os autores consideraram que o entendimento
desses professores sobre funções concentrava-se na concepção de processo e não
como objeto. Assim, com o objetivo de ajudá-los a avançar para a fase de
condensação e auxiliá-los, na medida do possível, a evoluir de interiorização e
condensação para a fase de reificação sobre o objeto matemático função, foi
elaborada uma sequência didática de atividades utilizando os software Cabri-
géometre II e Graphmat. Foram utilizadas algumas fases da engenharia didática
como metodologia.
A sequência didática foi composta de três atividades e aplicada em seis
39
encontros semanais consecutivos, com o objetivo de
Trabalhar o tratamento do registro gráfico e as conversões entre os registros algébrico, gráfico e da língua natural. Estimular a visualização global dos gráficos, não como um conjunto de pontos com coordenadas numéricas, mas como uma trajetória sobre a qual podemos ver a relação entre as variáveis dependente e independente. Mostrar a perda de informações que certamente ocorre quando fazemos a conversão da expressão algébrica de uma função para uma tabela de valores. (SOUZA; CAMPOS, 2007, p.5)
Em cada atividade, os professores participantes da pesquisa puderam utilizar
o software Cabri-géometre II para obter os gráficos tanto das funções classificadas
como de “referência” (x
1 n(x) sin(x), m(x) , x h(x) , x g(x) x, f(x) 32 ) como das
classificadas como “associadas”, que podiam ser obtidas a partir das de referência
por meio das operações “somar uma constante”, “multiplicar por uma constante”,
“colocar o módulo” na função de referência.
Para análise dos resultados foi feita a classificação de quatro tipos de
validação:
(1) visual, se o professor conclui algo só olhando para o gráfico; (2) gráfica, se o professor usa alguma das ferramentas do software para visualizar o que está acontecendo; (3) numérica, se o professor produz algum tipo de cálculo numérico, como uma tabela de valores, uma substituição na expressão algébrica da função ou no gráfico; (4) algébrica, se o professor faz uma verificação formal, utilizando a expressão algébrica da função. (SOUZA; CAMPOS, 2007, p.6)
A partir da análise das respostas apresentadas pelos professores, notou-se
que a validação visual foi a que prevaleceu, uma vez que nenhum dos professores
participantes procurou outro tipo de validação que não a visual. Isso se deve,
segundo as autoras, ao fato de que o registro gráfico não era usual para aqueles
professores até então.
Souza e Campos (2007) concluem que, para este grupo nas condições
ofertadas, a introdução de uma nova ferramenta, como o computador, não foi
suficiente para atingir o nível desejado de reificação. Apesar de tal constatação,
destacam que a maioria dos professores participantes atingiu um nível mais elevado
de condensação.
Baraldo (2009) desenvolveu uma pesquisa utilizando a teoria APOS (Action,
40
Process e Schema), também uma teoria de processo-objeto. Nela, analisou
questões resolvidas por alunos do curso de licenciatura em Matemática de uma
universidade pública do Rio Grande do Sul, que abordavam conceitos relacionados
a funções por meio da identificação de suas características tais como domínio,
representação gráfica e relação entre variáveis, bem como a aplicabilidade delas em
situações do cotidiano.
O foco das atividades analisadas por Baraldo (2009) foi o reconhecimento de
funções por meio de suas várias representações e, para estas, destaca que a
existência de expressões algébricas foi a característica preponderante para a
classificação como função.
Baraldo (2009) destaca que, em questões apresentadas por meio de
representações não algébricas, os alunos apresentaram mais dificuldade,
prejudicando o trabalho com as funções exploradas. Já nas questões que
exploraram a aplicação desse conceito em situações do cotidiano, o que chamou a
atenção do pesquisador foi o uso da regra de três em situações de não
proporcionalidade. Tais observações nos remetem à ocorrência de dois Obstáculos
descritos por Sierpinka (1992), a saber, o OE(f)-11 “Apenas as relações descritíveis
analiticamente por fórmulas são dignas de serem chamadas funções”; e o OE(f)-9
“Proporção é um tipo privilegiado de relação”, ou seja, os alunos parecem pensar
que todas as relações são proporcionais, o que prejudicou o raciocínio deles na
resolução do problema apresentado, e, consequentemente, ofereceu prejuízos ao
entendimento do conceito de função.
A partir das questões analisadas em seu estudo, Baraldo (2009) concluiu que
todos os alunos envolvidos possuem uma concepção de ação no que se refere ao
conceito de função, e podemos entender que, apesar de se tratar de alunos do nível
superior, nenhum deles ainda encapsulou o conceito de função. À luz da Teoria
APOS, de modo geral, os alunos participantes da pesquisa têm uma concepção
ação de função, uma vez que estão aptos apenas a substituir valores em uma
equação, fazer contas com estes números e encontrar números.
Bassoi (2006), em sua pesquisa de doutoramento, utilizou uma teoria das
múltiplas representações, a Teoria de Registros de Representação Semiótica de
Raymund Duval, com o objetivo de identificar e analisar os registros de
representação semiótica utilizados, produzidos e elaborados por uma professora e
seus alunos em aulas de Matemática e analisar os tipos de transformação,
41
tratamento e conversão dos registros de representação presentes na organização e
na condução do trabalho pedagógico da professora.
Neste trabalho, a pesquisadora entrevistou uma professora, bem como
acompanhou, gravou e anotou os registros produzidos por ela e os alunos dela,
durante aulas que abordavam o conteúdo de funções polinomiais de 1º e 2º graus.
Como parte de sua pesquisa, também analisou o livro didático adotado, do qual a
professora era coautora e mais dois livros que eram usados como apoio.
Bassoi (2006) destaca que a professora começou o trabalho com funções por
meio da busca de escritas genéricas, partindo de diferentes registros como
sequências numéricas ou pictóricas para convertê-las em escrita algébrica. Para
Bassoi (2006), esta característica foi favorável ao entendimento dos alunos,
principalmente no que se refere a essas formas de conversão, das quais destacou o
uso de tabelas, tanto como auxiliares na escrita de fórmulas como para introduzir a
noção de dependência entre variáveis. No caso de funções polinomiais do 1º grau e
funções constantes, Bassoi (2006) observou que as conversões mais utilizadas
foram de tabela em escrita algébrica. A conversão entre o gráfico e a escrita
algébrica foi contemplada na organização do conteúdo pela professora e também no
livro de que era coautora. As conversões de escrita algébrica em gráfico, no caso
das funções polinomiais do 2º grau, também foram exploradas, destacando que a
professora fez uso da propriedade geométrica da simetria da parábola, que já era
conhecida pelos alunos como ferramenta na construção da tabela e
consequentemente do gráfico.
Por meio da análise dos registros de representação semiótica utilizados,
produzidos e elaborados pela professora e os alunos, Bassoi (2006) concluiu que a
professora se empenhou durante suas aulas para que os alunos reconhecessem o
objeto matemático função em cada uma de suas representações, destacando que
houve incentivo por parte dela para que os alunos pudessem expressar como
pensavam em relação aos tratamentos e conversões realizadas nas situações
matemáticas. Em relação aos alunos, evidenciou-se que apresentaram dificuldade
nos tratamentos algébricos e numéricos, mesmo no caso de conteúdos que já
haviam recebido tratamentos em séries anteriores, como no caso das operações
com inteiros, sendo que as conversões que apresentaram maior dificuldade foram as
de gráfico de função polinomial do 1º grau para escrita algébrica e a de escrita
algébrica de funções polinomiais de 1º e 2º graus para uma representação figural.
42
Por fim, considera que a diversidade de representações de um mesmo objeto
matemático, bem como o uso de diferentes registros para representá-lo, tanto no
que se refere aos tratamentos de um mesmo objeto, como na conversão de registros
nas diferentes formas de linguagem, auxiliou na caracterização e na compreensão
dos alunos participantes em relação ao objeto matemático “função”.
Nesta seção, apresentamos algumas pesquisas baseadas em dois tipos de
teorias em Educação Matemática para o estudo sobre o aprendizado do conceito de
função. No entanto, ressaltamos que, apesar desses referenciais teóricos serem
amplamente utilizados em pesquisas que discutem os processos de ensino e de
aprendizagem de função, muitas delas acabam restringindo a discussão às ideias de
algoritmos, no caso das teorias de processo-objeto e a conversões e tratamentos de
representações, no caso da teoria de Duval. Dessa forma, fazem-se necessários
trabalhos com outras perspectivas teóricas, o que nos levou a uma discussão
diferente sobre o assunto, utilizando os Obstáculos Epistemológicos para o Ensino
de Funções propostos por Sierpinska (1992), atrelado ao uso de um software, para a
introdução do conceito de função.
Salientamos ainda que, reconhecendo a importância de se iniciar o
desenvolvimento do conceito de função no ensino fundamental, faremos esta
discussão a partir das ideias propostas por Sierpinska (1992), tendo em vista que,
apesar das diferentes perspectivas teóricas discutidas anteriormente, identificamos,
mesmo que não declaradamente, a incidência de alguns dos Obstáculos
Epistemológicos discutidos por Sierpinska (1992), o que nos leva a sugerir a sua
influência nos processos de ensino e de aprendizagem de função.
Para tanto, além de discutir o processo de construção do conceito de função,
devemos pensar sobre o que entendemos como compreensão de tal conceito e para
isto compartilhamos da perspectiva proposta por Sierpinska (1992), que
apresentamos a seguir.
2.2 Sierpinska e o Conceito de Função
Para Sierpinska (1992), há várias maneiras de pensarmos na definição do
conceito de função; uma maneira seria defini-la de forma simbólica formal. Nesta
perspectiva, o conceito não é desenvolvido ao longo de um processo e sim
apresentado e validado exatamente de acordo com o que a definição diz.
43
No entanto, de acordo com a autora, há um momento em que a noção a que
estamos nos referindo é aplicada em um contexto matemático ou matematizado e,
para isto, a linguagem informal é usada e os significados dessa linguagem informal
trazem transcendências à mera lógica da definição, frisando que existem muitos
significados diferentes do conceito, dependendo do contexto. Ainda destaca que,
quando pensamos na amplitude das variáveis nas diversas ciências, seria pouco
restringir a noção de funções apenas à definição formal. Para Sierspinska (1992),
por exemplo, “o caminho percorrido por um corpo em movimento é uma função do
tempo e da velocidade, ou ainda que o preço é uma função da quantidade de bens
adquiridos no mercado” (SIERSPINSKA, 1992, p.29), ou seja, nestes casos, não
teremos à disposição uma definição escrita formalmente nos moldes puramente
matemáticos para identificarmos o conceito de função; tal conceito é explorado a
partir da situação apresentada.
Estamos, nesse caso, falando sobre leis da Física ou leis do mercado.
Quando, em Matemática, se pensa em curvas representadas em sistemas de
coordenadas, pensa-se em relacionamentos das coordenadas do ponto que
pertencem à curva. Se a curva é conhecida, a equação “revela” a relação pré-
existente entre as coordenadas. Com isso, a função é vista de forma “estática” no
sentido de que estas “leis” não são definidas pelo sujeito que as usa, não as
criamos, ao contrário, elas são descobertas, ou seja, neste caso deve-se considerar
que resolver problemas que envolvam funções não significa que o trabalho será
iniciado por meio da definição; a situação apresentada já está modelada de acordo
com uma função pré-existente; é preciso ter a habilidade de identificá-la e fazer as
explorações necessárias.
Sierpinska (1992) destaca ainda que, ao traçamos o gráfico de uma função,
temos uma imagem dinâmica dela, uma vez que processamos variáveis
independentes para obter variáveis dependentes.
Para Sierpinska (1992), a primeira exigência para se compreender o conceito
de função é ter consciência da existência dos contextos envolvidos para além da
definição simbólica matemática, tendo em vista que a percepção de relações de
regularidades tem sido uma ferramenta importante para lidar com problemas do
cotidiano.
Segundo a autora, a noção de função pode ser considerada como o resultado
do esforço humano nas relações de dependência observadas e experienciadas no
44
mundo que nos cerca. Dessa maneira, a construção do conceito de função se dá por
meio de um processo de entendimento ou Atos de Compreensão representados por
ela por U(f)4 e que apresentamos a seguir.
2.2.1 Os Atos de Compreensão do Conceito de Função
Sierpinska (1992) apresenta inicialmente dois Atos considerados essenciais
no início do processo de construção do conceito de função U(f)-1: Identificação das
alterações observadas no mundo que nos cerca como um problema de ordem
prática a ser resolvido e U(f)-2: Identificação de regularidades nas relações entre
mudanças como uma forma de lidar com essas mudanças.
Segundo Trindade (1996), esses dois atos estão intimamente ligados e são
fundamentais para a construção do conceito de função, destacando, por exemplo, a
necessidade de analisar fenômenos, descrever regularidades, interpretar
interdependências e fazer generalizações. Desta forma, para que o conceito de
função seja construído, devemos considerar que tal conceito é resultado do esforço
humano na análise e na compreensão das mudanças observadas no mundo. Após
compreender tais mudanças e identificar suas regularidades, um terceiro Ato se
mostra importante, U(f)-3: Identificar as coisas que mudam ao estudar mudanças.
Trindade (1996), ao comparar o processo de construção do conceito de
função e a história, exemplifica que, ao invés de nos portarmos como os discípulos
de Aristóteles, que acreditavam que uma bola caía simplesmente porque tinha peso,
e que caía na terra porque todo objeto procurava o seu lugar natural, considerando
que o lugar natural dos objetos com peso era o centro da Terra, seria necessário nos
portarmos como Galileu, que buscou matematizar a relação entre a velocidade com
que a bola cai e o tempo gasto nessa queda. Desta maneira, enquanto as
considerações de Aristóteles estão pautadas em uma propriedade do objeto, o peso,
as justificativas de Galileu se concentram na mudança a partir da quantificação de
uma propriedade atribuída ao objeto.
Segundo Barreto (2009), é muito comum que estudantes, ao observarem
situações que envolvam mudanças, como por exemplo, o deslocamento de um
móvel, tenham dificuldade de identificar o que muda ou quais são os objetos
4 Os Atos de Compreensão foram extraídos do texto “On understanding the notion of function” (id. Ibid.) e a tradução foi de nossa autoria.
45
variáveis presentes no processo, isto é, tendem a não analisar a situação e sim o
todo. Desta maneira, destaca-se a importância do reconhecimento do papel das
variáveis, e, para isto, Sierpinska (1992) apresenta outro Ato, U(f)-4: Discriminação
entre dois modos de pensamento matemático: um em termos de quantidades
conhecidas e desconhecidas e o outro, de quantidades variáveis e constantes.
Segundo Trindade (1996), mesmo que um objeto seja comum a dois
domínios, devemos identificar os diferentes aspectos e papéis em cada um deles. O
autor exemplifica que, em uma equação, podemos extrair valores por meio da
incógnita; já no contexto de funções, o trabalho concentra-se no princípio ou lei de
acordo com a qual algumas variáveis se relacionam, ou seja, para a construção do
conceito de função é necessário ter a compreensão das diferenças entre considerar
letras em equações e em funções.
Para o alcance de tal compreensão, Barreto (2009) destaca que, antes de
estudar o conceito de função, o aluno deve ter oportunidades de trabalhar com
quantidades conhecidas e desconhecidas.
Assim, por exemplo, na sétima série, ele se depara com equações de uma incógnita e sistemas de duas equações com duas incógnitas. Por outro lado, ao resolver um determinado problema de álgebra, o estudante poderá diferenciar a quantidade conhecida das desconhecidas e representar esta última pela letra “x” e, em seguida, armar a equação e resolvê-la. (BARRETO, 2009, p.40)
Dessa forma, Barreto (2009) postula que o aluno, ao construir o conceito de
função, deverá também utilizar um novo modelo de pensamento, baseado em
variáveis e constantes. Sierpinska (1992) ainda coloca outro Ato no que se refere à
compreensão do papel das variáveis, U(f)-5: Discriminar variáveis dependentes e
independentes.
De acordo com Barreto (2009), ao trabalharmos com o sistema de eixos
cartesianos no contexto da Matemática, apesar de denominarmos o eixo horizontal
de x (eixo das abscissas) e o eixo vertical de y (eixo das ordenadas), essas
denominações podem ser feitas de maneira inversa. No entanto, este processo de
analogia não é válido em qualquer contexto, destacando como exemplo que em
contextos da Física, uma vez que na lei de Galileu , foi descrita a variável
“s”, esta não pode ser mudada para a variável “t”. No primeiro caso, temos que o
22
1
gts
46
conjunto 2 xy :y)(x, tem o mesmo significado do conjunto 2y x:x)(y, . Já no
caso do exemplo da Física, tal analogia não se aplica.
Logo, no contexto matemático, temos que as variáveis “x” e “y” representam
números no sentido abstrato, enquanto que no exemplo da Física, lida-se com
quantidades físicas: o espaço s é uma quantidade que possui uma qualidade a ser
medida.
Outro aspecto importante considerado por Sierpinska (1992) refere-se ao
papel dos números na construção do conceito de função e, para isto, a autora
destaca inicialmente o Ato U(f) -6: Generalização e síntese da noção de número.
Segundo Sierpinska (1992), neste ato, é proposto um delicado exercício: de um lado
trabalhar com valores numéricos para entender as ideias envolvidas, sem perder de
vista a necessidade de se generalizar; por outro lado fazer generalizações sem
perder de vista o contexto que, às vezes, por si próprio, limita os valores a serem
utilizados.
A compreensão do papel dos números é complementada por outro Ato, U(f)-
7: Discriminação entre número e quantidade. Neste caso, deve haver uma
discriminação entre variáveis que representam conceitos físicos, tais como por
exemplo tempo, velocidade, deslocamento e as variáveis numéricas. Tal
compreensão constitui-se numa condição necessária para o entendimento de
funções, ou seja, enquanto uma quantidade está atrelada a padrões físicos, um
número é um objeto abstrato.
Para a constituição do conceito de função enquanto objeto matemático, um
dos Atos apresentados é o U(f)-8: Síntese dos conceitos de lei e do conceito de
função; em particular, estar ciente da possibilidade de utilizar funções para modelar
relações entre magnitudes físicas ou outras.
Segundo Trindade (1996), o trabalho conjunto de físicos e matemáticos na
Idade Média teve papel fundamental para a percepção e o desenvolvimento de
diversos tipos de relação. A Matemática tem participação fundamental nas
conquistas da Física e de outras ciências. De forma recíproca, várias ciências
contribuem para o desenvolvimento da Matemática e, particularmente, para o
desenvolvimento do conceito de função, uma vez que apresentam novos problemas
e objetos de investigação.
Outro Ato é destacado, U(f)-9: Discriminar função das ferramentas analíticas
47
às vezes utilizadas para descrever sua lei. Quando pensamos, por exemplo, na
função definida por 2)( xxf , há de se entender que a função é “elevar ao quadrado”
e não o valor de 2x .
Devemos considerar ainda que um objeto, por exemplo, uma função
específica, é descrito a partir de um ponto de vista, e, para tal, o que prevalece são
as suas particularidades; logo, as conclusões são individualizadas. Já quando um
objeto é definido, deve-se tomar distancia das particularidades e pautar-se na
compreensão do objeto matemático em sua totalidade, ou seja, apresentando o
objeto em si. Neste sentido, são destacados dois Atos U(f)-10: Discriminação entre
definições matemáticas e descrições de objetos e U(f)-11: Síntese da concepção
geral de função como um objeto. Neste último, a conceituação de função tem de ir
além de processos e representações; o conceito deve se tornar um objeto que a
mente possa manipular como elemento.
A partir da concepção de função como um objeto matemático, Sierpinska
(1992) ainda destaca outros oito Atos que considera essenciais para a compreensão
do conceito de função. São eles:
U(f)-12: Discriminação entre os conceitos de função e de relação.
As funções devem ser compreendidas como um caso particular de relação, na
qual cada elemento do domínio possui um único representante na imagem.
U(f)-13: Discriminação entre as noções de função e de sequência.
Neste caso, é importante ter o entendimento de que a sequência é um caso
particular de função.
U(f)-14: Diferenciar as coordenadas de um ponto de uma curva e os
segmentos de reta que determinam alguma “coisa” da curva.
O ponto (3, 4) no plano, por exemplo, pode ser visto como: tem duas
coordenadas numéricas (3 na horizontal e 4 na vertical) e, ao mesmo tempo, é
determinado por dois segmentos, um medindo 3 unidades de medida na horizontal e
outro medindo 4 unidades de medida na vertical. Se colocarmos escalas diferentes
nos dois eixos, é preciso ter cuidado com estas ideias, pois em termos de
coordenadas não haverá alteração, ou seja, independente da escala utilizada,
continuará válido o ponto (3, 4); já em termos de segmento, poderá haver
alterações, pois, ao se modificar a escala, a unidade em que se mede o segmento é
modificada. Neste caso poderá haver diferença no tamanho desses segmentos, o
48
que nos impede de garantir, por exemplo, qual é o segmento maior. Vale ressaltar
que, com uma alteração na escala, pode-se manipular informações expressas por
meio da representação gráfica.
U(f)-15: Discriminar diferentes formas de representação de uma função da
própria função.
Durante sua prática profissional no magistério e em particular nas disciplinas
sobre funções, Barreto (2009) observou que, ao trabalhar um determinado gráfico de
uma relação que pode ser uma função ou não, os alunos sentem imediatamente a
necessidade de identificar a expressão algébrica dela e realizar operações formais
sobre ela, ou seja, a validação como função só é dada a partir da expressão
algébrica.
No entanto, a partir da compreensão do U(f)-11: Síntese da concepção geral
de função como um objeto, surgem condições necessárias para que o conceito de
função se sobressaia a suas representações e consequentemente o ato a seguir:
U(f)-16: Síntese das diferentes maneiras de se dar uma função, representá-la ou
falar sobre ela.
U(f)-17: Generalização da noção de variável.
A variável deve ser entendida em suas diferentes características, tais como
representando quantidade, qualidade, magnitudes físicas, dentre outras.
U(f)-18: Síntese dos papéis das noções de função e das “causas” na História
da Ciência: estar ciente do fato de que a busca por relações funcionais e causais
são ambas expressões internas da mente humana para compreender e explicar as
mudanças no mundo.
U(f)-19: Discriminação entre as noções de relações funcionais e relações
causais.
A variável independente nem sempre é o tempo, mesmo que historicamente
talvez tenha sido a primeira a aparecer. Nem sempre uma relação causal é uma
função. As relações causais podem aparecer, por exemplo, na Medicina: se um
indivíduo toma um remédio, este pode causar um efeito diferente do que em outro
indivíduo.
Nesta perspectiva, o entendimento é de que o conceito de função é
construído ao longo da vida escolar dos estudantes, ou seja, o trabalho não se
resume em apresentar o conceito por meio de uma definição em um dado momento
49
ou ano escolar e ter como premissa que, a partir daquele momento, o aluno já tenha
a compreensão do que é uma função. Notamos, nos Atos de Compreensão
apresentados, que estes permeiam conceitos desde o ensino fundamental até o
ensino superior e, desta forma, ao tentar responder o que entendemos sobre ter a
compreensão do conceito de função, é que esta compreensão é construída em
níveis, ou seja, a cada novo Ato compreendido, aprimora-se tal conceito, de forma
que a totalidade da compreensão só será alcançada após o entendimento de todos
os Atos.
Vale ressaltar ainda que estamos nos referindo a esse conjunto de Atos
apresentados por Sierpinska (1992) e que os consideramos ainda atuais, no que se
refere aos processos de ensino e de aprendizagem de funções. No entanto,
devemos considerar que, assim como destacado por Sierpinska (1992), a essência
do conceito de função está na observação das mudanças que ocorrem no mundo e,
desta maneira, entendemos que falar na totalidade da compreensão do conceito de
função é algo que nos coloca no campo da incerteza.
Nesta pesquisa, não temos a intenção e nem temos condições de estender a
discussão a tal perspectiva filosófica; e compreendemos que qualquer classificação
no sentido de “sabe” ou “não sabe”, quando nos referimos ao conceito de função em
sua totalidade, se mostra incoerente.
Desta maneira, o desafio está em propiciar um ambiente adequado para que
alguns desses Atos de Compreensão sejam contemplados e, consequentemente, o
conceito de função seja construído ao longo da vida escolar. Para tal construção,
não podemos desconsiderar que o conceito de função é tema central de diversas
pesquisas no campo da Educação Matemática e que sua exploração se dá por meio
de diferentes perspectivas teóricas. Assim, apresentamos a seguir algumas
pesquisas que discutem esta temática.
2.3 Pesquisas Envolvendo Funções
Muitas são as pesquisas existentes no campo da Educação Matemática que
discutem os processos de ensino e de aprendizagem de funções. A discussão em
torno deste conceito contempla os diferentes níveis de ensino e explora diversos
recursos pedagógicos sob a ótica de diversas perspectivas teóricas.
50
Consideramos que, ao adotarmos uma perspectiva teórica específica para o
desenvolvimento desta pesquisa, se faz necessário apresentar um panorama de
algumas pesquisas que apresentam alguma proximidade com a nossa, seja por
meio da teoria utilizada, nível de ensino ou recursos utilizados. Sendo assim,
apresentamos a seguir algumas pesquisas que discutem o conceito de função,
divididas em três seções, a saber, as que exploram este conceito no ensino
fundamental, com a finalidade de termos subsídios para entender como tem sido
proposta a introdução deste conceito neste nível de ensino; as que fazem uso da
tecnologia, no intuito de entender quais têm sido as contribuições da tecnologia para
a construção do conceito de função nos processos de ensino e de aprendizagem, e
as que exploram a perspectiva da Matemática do Movimento, para ter uma melhor
compreensão de como a representação “movimento” nas funções tem sido
explorada no ambiente escolar e, consequentemente, quais são os impactos dela na
construção deste conceito. Desta maneira, acreditamos ter mais elementos para
discutir as convergências e/ ou divergências da perspectiva adotada por nós, e
podermos ter condições de localizar a nossa investigação em meio às discussões já
postas na área.
2.3.1 Funções no Ensino Fundamental
Poucas são as pesquisas que estudam a introdução de função no ensino
fundamental. Dentre elas, está a de Vollrath (1986), que realizou um experimento
com crianças e jovens de 4 a 15 anos de idade na Alemanha. Vollrath (1986) aponta
que, no contexto alemão, esse conceito é ensinado desde o ensino fundamental em
uma abordagem em espiral, sendo retomado em diferentes etapas de ensino. Desta
forma, os alunos chegam sucessivamente a diferentes níveis de compreensão, o
que está em consonância com o sugerido no capítulo anterior, no qual entendemos
também que o conceito de função é construído por meio dos Atos de Compreensão
que devem ser explorados ao longo de toda a vida escolar. Vale ressaltar que tais
considerações estão pautadas no sistema educacional da Alemanha. Ao
considerarmos a realidade brasileira, notamos que os processos de ensino e de
aprendizagem do conceito de função ainda se encontram centralizados no ensino
médio, o que nos leva a reconhecer a importância do desenvolvimento de pesquisas
que explorem este conceito no ensino fundamental.
51
Segundo Vollrath (1986), os níveis de compreensão são caracterizados por
meio de diferentes habilidades apresentadas pelos alunos, habilidades estas que
vão desde a capacidade em perceber, em uma determinada situação, que a
quantidade y depende de outra quantidade x, até a percepção de que tal
conhecimento faz com que hipóteses sejam levantadas quando uma nova situação é
investigada por esses alunos.
O autor destaca que, para aprofundar o conhecimento sobre funções e obter
sucesso na resolução de problemas que envolvam este conceito, é necessária uma
capacidade mental que se divide em dois importantes aspectos; primeiramente,
reconhecer que dependências entre variáveis podem ser indicadas, postuladas,
produzidas e reproduzidas; e, por fim, ter consciência de que hipóteses a respeito
das dependências podem ser feitas, testadas e, se necessário, revistas.
Para Vollrath (1986), muitas sugestões têm sido feitas por educadores
matemáticos, a fim de se desenvolver o conceito de função, destacando que o
conhecimento sobre o desenvolvimento de tal conceito é discutido por meio de
estudos psicológicos. O autor exemplifica que, a partir de investigações de Piaget,
por exemplo, é sabido que a capacidade de descobrir a proporcionalidade de uma
função é uma tarefa possível de ser desenvolvida com crianças. No entanto, ao se
pesquisar este raciocínio proporcional, o autor afirma que há de se considerar
algumas etapas do pensamento funcional, que são definidas por capacidades e
limitações, tais como:
A criança sabe que a partir de uma ampliação de x resultará um alargamento de y. Mas a criança não é capaz de descobrir que uma duplicação de x leva a uma duplicação do y (VOLLRATH, 1986, p.2, tradução nossa)5.
Segundo Vollrath (1986), essas habilidades e deficiências tornam-se
aparentes em situações-problema em que o aluno é convidado a prever ou pré-
calcular um resultado.
O autor relata, por exemplo que, quando um problema de valor desconhecido
é apresentado em um experimento de Física que envolve, por exemplo, uma função
quadrática, muitas crianças assumem a proporcionalidade e têm dificuldade em
superar esta suposição. Para ser bem-sucedido em tais problemas, é, portanto,
5 “The child knows that from an enlargement of x an enlargement of y will result. But the child is not
able to discover that a doubling of x leads to a doubling of y.”
52
importante descobrir as propriedades "além da proporcionalidade". Neste exemplo,
notamos que esta dificuldade apontada por VolIrath (1986) tem relação com o
Obstáculo OE(f)-9 descrito por Sierpinska (1992), em que o aluno, ao considerar a
proporção como um tipo privilegiado de relação, terá dificuldades para estabelecer
outros tipos de relações não proporcionais, o que nos indica a importância de
discutir este Obstáculo em nossa pesquisa.
A fim de discutir suas considerações, Vollrath (1986) realizou um experimento
com crianças e jovens de 4 a 15 anos. Foi construída uma pista de madeira na qual
uma esfera de aço era lançada pelos alunos rolando para baixo a fim de
desembocar em um ponto fixo (Figura 1).
Figura 1. Representação da pista utilizada Fonte: VOLLRATH, 1986, p. 4
Após a realização do experimento, foram identificados os seguintes estágios:
Estágio 0: O lançamento da esfera é feito sempre do mesmo ponto de partida,
e é esperado que ela pare em um ponto qualquer, por acaso. O insucesso dos
resultados não fez com que o aluno mudasse a estratégia de lançamento da esfera.
Estágio 1: O lançamento é iniciado em diferentes pontos, mas sem uma
estratégia determinada. O aluno tem consciência da relação entre os pontos de
partida e de parada; no entanto, está convencido de que o ponto correto de largada
é determinado aleatoriamente. O insucesso dos resultados, ou seja, não atingir o
alvo pretendido não muda o comportamento do sujeito.
Estágio 2: O sujeito inicia o lançamento da esfera em diferentes pontos da
rampa de forma sistemática e ele sabe que, quanto mais alta a posição inicial da
esfera, maior será a velocidade dela e, consequentemente, irá mais longe.
Para Vollrath (1986), as transições entre esses estágios representam fases de
aprendizagem por tentativa e erro, destacando que o sujeito inicia com o
conhecimento do Estágio 1 e por meio dos próprios erros chega ao conhecimento do
Estágio 2.
Após algumas experiências, Vollrath (1986) notou que crianças na faixa de
10-14 anos demonstraram maior facilidade no reconhecimento da propriedade
53
monotônica (funções estritamente crescentes ou decrescentes). Sendo assim,
concentrou seu estudo nesta faixa etária, uma vez que tinha como objetivo explorar
a descoberta de tal propriedade. Tais considerações são importantes para nossa
pesquisa, uma vez que seus participantes estão dentro dessa faixa etária.
Em relação às observações relativas ao aspecto do pensamento funcional,
Vollrath (1996) observou que as crianças mais jovens, menores de 10 anos, não
estavam cientes de uma dependência entre a partida e o ponto de parada. Essas
crianças, ao realizarem o experimento, mantiveram uma variável constante e
esperaram que a outra variável mudasse por acaso. O insucesso nos resultados não
ajudou a descobrir a dependência.
A primeira tentativa dessas crianças mais jovens para superar essa limitação
foi a busca de outras posições convenientes, mas ainda usaram poucas estratégias,
no que se refere ao lançamento da esfera, para estabelecer uma relação entre as
variáveis envolvidas.
A primeira aparição de ideias relacionadas ao conceito de função pôde ser
percebida quando as crianças começaram a mudar uma variável e esperar
mudanças na outra. Notou-se que havia um grupo que, apesar de tal percepção, não
conseguiu descrever um procedimento sistemático correto, ou seja, uma relação de
dependência entre as duas variáveis; no entanto, houve um grupo que, além de
reconhecer a dependência entre as variáveis, assumiu a propriedade correta.
A partir dessas observações, Vollrath (1986) identifica três estágios do próprio
pensamento funcional e os define assim:
Estágio 0: Nenhuma correlação é vista. A dependência funcional não é
descoberta.
Estágio 1: A relação funcional é conhecida, no entanto, variações de uma
variável não levam à descoberta da propriedade monotônica.
Estágio 2: A propriedade monotônica da dependência funcional é
reconhecida.
No trabalho de Vollrath (1986) observou-se que a capacidade de descobrir a
propriedade monotônica se desenvolveu por volta de 11-12 anos de idade. No
entanto, o autor ressalta que isto não é regra geral, tendo em vista que foi
encontrada uma criança de 14 anos de idade no Estágio 0 e crianças de 7 anos no
Estágio 2. Vale ressaltar que Vollrath (1986) não se preocupou em oferecer nenhum
tipo de instrução para aqueles alunos que não conseguiram atingir o Estágio 2, por
54
isso não foi possível inferir se eles poderiam aprender ou não por meio de instrução.
Ao analisar os indivíduos bem-sucedidos nesta experiência, Vollrath (1986)
infere que tal sucesso pode estar atrelado a experiências anteriores, obtidas em
situações equivalentes, sendo que, no caso do experimento em questão, tais
experiências podem estar atreladas às brincadeiras com brinquedos como carros,
trens, andar de bicicleta, ou por experiências vivenciadas nas aulas de Ciências.
Vale ressaltar que, ao descrever estes estágios, Vollrath (1986) considerou
que o conceito de função é algo construído ao longo do desenvolvimento de um
processo, ou seja, na transição do indivíduo de um estágio a outro, até que o último
seja atingido e, consequentemente, constituindo a compreensão plena do conceito
em questão. Essa perspectiva tem relação com as ideias de Sierpinska (1992), uma
vez que, na sua perspectiva dela, o conceito de função também é construído ao
longo de um processo de superação de Obstáculos, e só assim o aluno terá um
entendimento pleno desse conceito.
Os resultados obtidos por Vollrath (1986) em sua pesquisa oferecem
importantes contribuições para o desenvolvimento de nossa investigação.
Inicialmente, destacamos as considerações de que as crianças são capazes de
estabelecer relações entre variáveis em funções cujas relações são proporcionais,
no entanto, apresentam dificuldade em estabelecer relações para outros tipos de
função, como por exemplo, para a função quadrática, o que reforça a nossa hipótese
de que existe algum Obstáculo a ser superado. Outra observação importante para o
nosso estudo foi a constatação de que, por volta dos 11-12 anos de idade, as
crianças já conseguem trabalhar com propriedades para além da proporcionalidade,
o que nos leva a inferir que este Obstáculo pode ser superado ainda no ensino
fundamental, justificando assim a nossa escolha em discutir esta temática neste
nível de ensino.
Botta (2010) discutiu a seguinte questão de pesquisa: “Como o conceito de
função pode surgir e se sedimentar com a utilização da Metodologia de Ensino-
Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas?”
(BOTTA, 2010, p.1).
Esta questão de pesquisa de Botta (2010) parece referir-se ao surgimento do
conceito de função, como se este ocorresse de forma pronta e acabada, o que é
contrário à nossa perspectiva de que esse conceito é construído ao longo de um
processo; no entanto, ao analisar o trabalho de Botta (2010), notamos que o
55
conceito de função também é tratado por ele como um processo, o que nos faz
considerar que a questão posta por Botta (2010) não reflete plenamente a pesquisa
realizada.
Em relação à Metodologia Ensino-Aprendizagem-Avaliação, Botta (2010)
considera que
O problema deve ser utilizado, sempre que possível, como ponto de partida para a construção do novo conhecimento, com o processo de ensino-aprendizagem centrado nos alunos, permitindo-lhes que utilizem suas ideias e estratégias. A avaliação contínua deve estar integrada ao ensino de modo a melhorar a aprendizagem. (BOTTA, 2010, p.186)
O autor destaca ainda que a formalização dos conceitos deve ocorrer de
forma gradativa, à medida que os problemas são resolvidos, dando tempo para que
os estudantes reflitam sobre cada ação realizada durante o processo.
Botta (2010) destaca também a importância de que professores e produtores
de currículo pensem sobre o fato de que a introdução do conceito de função, bem
como a de outros conceitos a ele relacionados, não precisa ocorrer necessariamente
na primeira série do ensino médio, podendo ser antecipada para o ensino
fundamental. Tal consideração está em consonância com os objetivos propostos em
nossa pesquisa, uma vez que também consideramos que a introdução deste
conceito deve ser iniciada no ensino fundamental. Esperamos com a nossa pesquisa
obter mais elementos para fundamentar tal consideração.
Botta (2010) realizou atividades com alunos de 6º ano do ensino fundamental
até a 3ª série do ensino médio, pertencentes à rede pública estadual de São Paulo.
As atividades foram divididas em três diferentes grupos:
Atividades do tipo I: foram realizadas por meio da resolução de problemas de
acordo com a Metodologia Ensino – Aprendizagem – Avaliação de Matemática e
desenvolvidas em grupos de até quatro alunos.
Atividades do tipo II: foram realizadas como avaliação bimestral, requerida
pela escola, após o trabalho com as atividades do tipo I e desenvolvidas
individualmente.
Atividades do tipo III: foram realizadas em grupos de até quatro alunos, por
meio do desenvolvimento de projetos interdisciplinares, com temas transversais.
Destacamos alguns dos resultados obtidos com as atividades desenvolvidas
com alunos do 7o ano do ensino fundamental, nas quais foi solicitado que, por meio
56
da ideia de proporcionalidade, determinassem ângulos correspondentes a algumas
porcentagens, como 45% de 360º. Ao analisar as respostas apresentadas, Botta
(2010) destaca que, apesar de alguns estudantes terem obtido resultados corretos e
terem mostrado conhecer a técnica operatória “regra de três”, relativa ao cálculo de
porcentagens, não é ainda possível afirmar que compreenderam o raciocínio de
proporcionalidade que dá embasamento à técnica.
No 8º ano, Botta (2010) desenvolveu atividades trabalhadas de forma menos
intuitiva e que deram ênfase ao conceito de função, visando a obtenção de uma
relação funcional. Essas atividades fizeram parte do projeto denominado Consumo e
Meio Ambiente, desenvolvido em 2004, em conjunto com as professoras de Ciências
de uma escola municipal de ensino básico, em que os alunos efetuaram o cálculo do
custo de receitas e de calorias, explorando conceitos matemáticos tais como
números decimais periódicos; razão e proporção; porcentagem; unidades de medida
e suas transformações, além de interpretação de textos e tabelas.
Nesta atividade, notamos evidências do que Sierpinska (1992) coloca como
sendo o primeiro Ato de Compreensão para o ensino de função, ou seja,
“identificação de mudanças observadas no mundo como um problema de ordem
prática a ser resolvido”, Ato este que será importante para superar o primeiro
Obstáculo “a Matemática não está preocupada com problemas práticos”.
Ao final dessas atividades, Botta (2010) concluiu que as concepções de
álgebra6 como aritmética generalizada, de álgebra como procedimento e de álgebra
como relações entre grandezas, aparecem nas respostas apresentadas com a ideia
de proporcionalidade, .
Botta (2010), ao analisar as respostas dos alunos, destaca que eles usaram
letras, ora para representar incógnitas, ora para representar variáveis, no entanto,
“não há indícios de que houve compreensão conceitual no que diz respeito à ideia
de razão e de proporcionalidade” (BOTTA, 2010, p.238).
Neste resultado, aparecem evidências de um dos Obstáculos discutidos por
Sierpinska (1992) “U(f) -4: Discriminação entre dois modos de pensamento
matemático: um em termos de quantidades conhecidas e desconhecidas e o outro,
6 Botta (2010) se remete à perspectiva de Usiskin (2004), que apresenta quatro classificações para a álgebra: A álgebra como aritmética generalizada; A álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas; A álgebra como estudo de relações entre grandezas e A álgebra como estudo de estruturas.
c
x
b
a
57
de quantidades variáveis e constantes”.
Apesar disso, Botta (2010) considera que
...os estudantes desenvolveram conexões entre o uso de números em aritmética e o uso de letras em álgebra, isto é, deram significado para os símbolos e às operações da álgebra em termos do conhecimento de aritmética que já tinham, para calcular o custo da receita, e para a obtenção de uma fórmula geral do custo desta receita em particular. (BOTTA, 2010, p.238)
Por meio das atividades desenvolvidas no 9º ano, discutiram-se padrões e
generalizações. Tais atividades envolveram o princípio da contagem, apresentaram
a álgebra como estudo de relações entre grandezas, introduziram padrões para a
obtenção de relações funcionais, além de terem introduzido aos poucos os termos e
o vocabulário relacionado ao conceito de função.
Ao analisar as respostas dos alunos, Botta (2010) destaca que foi possível
observar que, a partir de um conjunto de dados apresentados em uma tabela, os
alunos conseguiram distinguir se as variáveis envolvidas eram diretamente ou
inversamente proporcionais, descreveram uma relação funcional (algebricamente) a
partir dos dados e representaram os valores da tabela no plano cartesiano, obtendo
a representação gráfica.
Tais conclusões fazem Botta (2010) inferir que o conceito de função
trabalhado intuitivamente pode ser introduzido no decorrer do ensino fundamental II,
ou seja, com crianças na faixa etária de 11-14 anos. Em suas conclusões, Botta
(2010) recomenda que a construção do conceito de função seja realizada ao longo
da vida escolar dos alunos e, nesta perspectiva, não pode ser considerada somente
a partir da apresentação de uma definição matemática, o que normalmente ocorre
na primeira série do ensino médio.
Botta (2010) finaliza sugerindo que,
No entanto, sugerimos ao professor não esperar dos alunos da 5ª série/6° ano muito mais do que uma compreensão intuitiva da relação funcional, e que, para todas as séries, de 5ª a 8ª, (6°ano ao 9°ano) procure fazer uso de problemas que envolvam, por exemplo, proporcionalidade, recorrência, padrões e noções básicas de geometria, e que estejam relacionados tanto com pequenos temas do cotidiano, quanto com temas em evidência nas diversas mídias, para que o aluno comece a perceber desde cedo a presença da matemática em virtualmente todas as áreas do conhecimento. (BOTTA, 2010, p.339)
58
Estas considerações vêm ao encontro do que propomos desenvolver em
nossa pesquisa, ou seja, Botta (2010) parece compartilhar das ideias de Sierpinska
(1992) no se refere ao conceito de Função, ao considerar que este é construído ao
longo de um processo e que não se resume a uma mera definição matemática. Além
disso, pretendemos introduzir o conceito de função com alunos que ainda não foram
apresentados à sua definição matemática formal, com a pretensão de que, desta
maneira, esses alunos possam compreender conceitos que os ajudarão futuramente
a compreender o objeto matemático “função”.
2.3.2 Funções e o Uso da Tecnologia
Considerando que em nossa pesquisa fazemos uso da tecnologia para
discutir o processo de ensino do conceito de função e que a tecnologia protagoniza
muitas pesquisas que trabalham com este conceito, entendemos ser pertinente
apresentar algumas das que as usam.
Benedetti (2003) desenvolveu uma pesquisa com o software Graphmatica,
com o objetivo de investigar como as múltiplas representações de funções poderiam
ser trabalhadas por estudantes de ensino médio, com a atuação desse software e de
outras mídias como papel e lápis e a oralidade, na perspectiva do pensamento
coletivo de Lévy (1993). Segundo Benedetti (2003), a discussão desta temática se
mostra relevante, uma vez que contamos com softwares gráficos gratuitos e a cada
dia o tema representações múltiplas de funções se faz presente nas discussões,
tanto no currículo como no cotidiano dos alunos.
O estudo foi realizado com duas duplas de estudantes da primeira série do
ensino médio e foram exploradas tanto funções que tradicionalmente são discutidas
neste nível de ensino, polinomiais do primeiro e do segundo graus, como as que não
são normalmente discutidas neste nível de ensino, tais como x
y1
, xy , 3xy .
No caso das funções polinomiais, foi explorada a manipulação dos coeficientes e
seus reflexos na representação gráfica, bem como as características de
crescimento/decrescimento delas. Nas outras funções, foram explorados também os
conceitos de domínio e de imagem, e no caso da função x
y1
, também foi
explorada a ideia intuitiva de limite lateral quando x tende a zero.
59
Para a análise das atividades desenvolvidas foi considerada a seguinte
questão norteadora: “Como estudantes trabalham com aspectos algébricos, gráficos
e numéricos dentro de um coletivo pensante formado por estudantes, mídias e
pesquisador?”.
Em suas conclusões, Benedetti (2003) ressalta que, por meio das atividades
desenvolvidas, os estudantes puderam explorar criticamente certos conceitos e
propriedades de funções, tais como crescimento/decrescimento e múltiplas
representações, e destaca ainda que eles conseguiram transitar por noções mais
amplas de função como, por exemplo, a percepção da ideia de limite. Para Benedetti
(2003), o software Graphmatica teve um importante papel, tendo em vista que
somente com lápis e papel dificilmente os alunos esboçariam gráficos de funções
como x
y2
ou )1(
15
x
y , por exemplo.
A pesquisa de Benedetti (2003) proporcionou reflexões importantes para o
desenvolvimento de nossa pesquisa, uma vez que, assim como ele, reconhecemos
a importância de se trabalhar com diferentes tipos de função, desde o ensino
fundamental, além de compartilharmos da ideia de que pensar é um fenômeno
coletivo e que o recurso computacional tem grande potencial para a constituição de
coletivos que pensam sobre Matemática e, em particular, sobre o conceito de
função. Entretanto, o uso do Graphmatica restringiu-se à visualização de gráficos e
tabelas, o que nos motiva a verificar se a utilização de representações diferentes
destas podem oferecer diferentes resultados para a nossa pesquisa.
Sales (2008) teve como objetivo investigar as narrativas produzidas por
estudantes diante de uma abordagem matemática sobre funções utilizando um
ambiente de geometria dinâmica.
Em seu trabalho, estudantes do ensino médio interagiram com dois
micromundos, criados no Cabri Géomètre. Esses micromundos exploram de forma
dinâmica as representações gráficas de funções, tanto no plano cartesiano
convencional (Cartesiangraph), como com eixos coordenados configurados
horizontalmente (Dynagraph) (Figura 2).
60
Figura 2. Cartesiangraph x Dynagraph
Fonte: SALES, 2008, p. 52
Destacamos o trabalho com o Dynagraph, que disponibiliza aos alunos uma
representação diferente das normalmente exploradas em sala de aula, uma vez que
apresentam as representações gráficas de funções por meio dos eixos x e y, que,
neste caso, são configurados horizontalmente. Segundo Sales (2008), esses
gráficos são dinâmicos, uma vez que a variável independente pode ser
dinamicamente controlada via mouse enquanto sua imagem se move paralelamente
no eixo das ordenadas.
Em nossa pesquisa, com o uso do software SimCalc, também temos o
propósito de explorar uma representação diferente das habituais: a Janela Mundo,
que apresenta o movimento dos atores de acordo com a função criada.
Consideramos que o trabalho com essas diferentes representações pode contribuir
para a investigação de concepções ou conceitos de alunos no que se refere à ideia
de função, tendo em vista que, neste caso, podem surgir respostas mais
espontâneas do que as culturalmente constituídas no ambiente escolar.
Sales (2008) trabalhou em sua pesquisa com 10 funções divididas em quatro
grupos, a saber: funções afins, funções quadráticas, funções que possuem
assíntotas e funções descontínuas. O trabalho foi realizado com oito estudantes do
1º ano do ensino médio e dividido em três sessões de ensino.
Na primeira sessão, os alunos, inicialmente, escreveram sobre o que vinha
em suas mentes ao escutarem a palavra função. Posteriormente, foram postos a
classificar 10 funções apresentadas a eles em grupos, explicando o critério utilizado
para a classificação. Na segunda sessão, foram questionados sobre o que
aprenderam sobre função na escola. Em seguida, observaram novamente o
comportamento das 10 funções selecionadas e foi solicitado que as dividissem em
grupos contendo a explicação para os critérios utilizados para tal divisão e que
nomeassem cada grupo de funções. Na terceira sessão, os alunos participantes
61
foram postos a escrever sobre o que seria uma função no contexto da Matemática e
a associar cada expressão algébrica ao seu respectivo gráfico, tanto no Dynagraph
como no Cartesiangraph.
Sales (2008) concluiu que as narrativas dos alunos possibilitaram uma
percepção particularizada dos tipos de função, percepção esta que fez com que os
aprendizes tivessem interesse pelas atividades propostas e se envolvessem,
fazendo conexões entre propriedades e relações paradigmáticas das funções com
suas concepções matemáticas decorrentes de suas próprias histórias.
Segundo Sales (2008), ao chamar a atenção para propriedades pertinentes e
identificar comportamentos que caracterizam diferentes funções informalmente, os
participantes tiveram mais facilidade para falar e opinar sobre funções e isto ocorreu
antes mesmo de terem se apropriado de uma linguagem mais formal. Sales (2008)
destaca que,
Em relação a esse comentário, vale a pena destacar um outro do professor dos estudantes (de classe), alguns meses depois da nossa aplicação prática na escola: “De modo geral, os alunos que participaram da experiência, mostram um pouco mais de interesse em compreender a matemática e não apenas conseguir nota. Apenas um aluno, dos oito que participaram, teve seu desempenho, que era ruim, inalterado”. (SALES, 2008, p.137)
De acordo com a pesquisadora, das atividades apresentadas nas três
sessões de ensino, as que possibilitam a criação de narrativas com mais frequência
foram as que contemplaram dois aspectos: “comportamento excepcional na
representação gráfica e surpresa do estudante ao se deparar com um
comportamento desconhecido ou, em princípio, que não sabe como explicar”
(SALES, 2008, p.137). Sales (2008) destaca que, nesses momentos, os estudantes
foram desafiados a criar histórias que poderiam explicar ou tornar o comportamento
observado significativo ou compreensível. Desta maneira, para Sales (2008), “a
narrativa ajuda a organizar, construir e criar conexões entre as nossas experiências,
enfatizando um modo particular de lidar com algum fenômeno aparentemente novo”
(SALES, 2008, p.137).
Esses resultados parecem reforçar a perspectiva de Sierpinska (1992), que
considera que a compreensão matemática se dá por meio de saltos de velhos para
novos caminhos do saber, em que o indivíduo é capaz de visualizar as
consequências, ao considerar um ponto de vista diferente. No entanto, entendemos
62
que o professor tem responsabilidades no processo, para que tais pontos de vista
diferentes sejam constituídos, uma vez que, apesar de toda a bibliografia existente
sobre os processos de ensino e de aprendizagem de funções, devemos considerar
que o processo de construção do conhecimento de cada indivíduo se dá por meio de
descobertas e estas não podem se limitar à mera reprodução de descobertas já
realizadas.
Nesse sentido, acreditamos que o trabalho com o software SimCalc, em
nossa pesquisa, assim como o trabalho realizado por Sales (2008), por meio do
trabalho na conjunção dos ambientes Cartesiangraph e Dynagraph, oferecem
potencial para “novas descobertas”, diferentes das proporcionadas pelas
representações de funções habituais (Gráfica, tabular e algébrica) e,
consequentemente, oferecem novas possibilidades para o desenvolvimento do
conceito de função.
Entretanto, Sales (2008) ressalta que não são todas as funções que
possibilitam o surgimento de narrativas com muita frequência, destacando como
exemplo as funções afins que, para ela, oferecem menos possibilidades para que
narrativas surjam, tanto no que se refere à observação dos comportamentos, como
na discussão sobre a classificação. Para Sales (2008), isso ocorre uma vez que o
comportamento observado não apresenta nada de excepcional e, desta maneira,
não causa surpresa ao estudante.
O trabalho realizado por Sales (2008) nos faz refletir sobre o desafio que nos
é posto em proporcionar um ambiente em que seja possível que os alunos se
expressem de maneira mais espontânea no que se refere ao conceito de função,
tendo em vista que, ao abordar este conceito, Sierpinska (1992) relata que um dos
Obstáculos a serem superados é justamente repensar práticas nas quais apenas as
relações descritíveis analiticamente por fórmulas são dignas de serem chamadas
funções.
2.3.3 Funções e a Matemática do Movimento
Tendo em vista que em nossa pesquisa temos como objetivo explorar a
representação com “movimento” de funções, representação esta que ainda é pouco
explorada no ambiente escolar, consideramos importante apresentar algumas
pesquisas que exploram funções por meio da Matemática do Movimento.
63
Costa (2008), em sua pesquisa, cujo objetivo foi investigar o que dez
professoras de Matemática da educação básica aprenderam juntas sobre a
profissão, durante o processo de elaboração de um artigo multimídia, usou como
tema de discussão a Matemática do Movimento e utilizou, para instigar a discussão
entre as professoras participantes e a pesquisadora, a exploração da representação
gráfica no plano cartesiano de movimentos retilíneos, por meio do uso da
calculadora gráfica acoplada a um sensor (kit).
Costa (2008) escolheu a abordagem matemática do tema movimento pois,
segundo ela, esta abordagem está relacionada ao ensino de funções, envolvendo,
por exemplo, as representações no plano cartesiano dos movimentos corporais
captados por sensores, acoplados a calculadoras gráficas. Para Costa (2008),
geralmente, os conteúdos físicos que são explorados no último ano do ensino
fundamental não são trabalhados a partir de exemplos de objetos em movimento. O
estudo de funções, segundo ela, é normalmente introduzido para o aluno da
educação básica pela representação algébrica, por meio de um estudo analítico de
fórmulas matemáticas, sem relação com a representação gráfica ou de movimentos
corporais com sensores.
De acordo com Costa (2008), a representação gráfica é introduzida a partir da
apresentação de pares ordenados no plano, de forma isolada, para só depois
explorar a notação para funções. A ideia de movimento, segundo Costa (2008), não
é associada aos traçados que aparecem no plano; para ela, o currículo da escola
fundamental ainda não contempla o estudo do movimento de forma interdisciplinar
com a Física.
Em relação ao uso do kit, Costa (2008) ressalta que este enriquece o trabalho
tradicional da utilização de mídias como o lápis e papel, na discussão de significados
matemáticos. Costa (2008) usa a perspectiva da tecnologia como uma “prótese”,
permitindo ao sujeito agir e falar sobre objetos matemáticos, com um discurso
diferente, por meio da ação proporcionada pela tecnologia utilizada.
Inicialmente, as professoras foram postas a representar graficamente no
ambiente papel e lápis o problema de um percurso, realizado por um aluno fictício,
João, que envolvia idas, voltas, paradas, aumento ou decréscimo de velocidade ou
aceleração. Para Costa (2008), apesar das ações de João serem corriqueiras e
cotidianas, representá-las no gráfico cartesiano, mesmo para as professoras, era
uma novidade, uma vez que esta tarefa é diferente dos problemas sobre gráficos de
64
função usualmente explorados nos livros utilizados no dia a dia da sala de aula.
As professoras tiveram dificuldade em diferenciar e relacionar a trajetória
percorrida por João com o traço do gráfico da função que relacionava a distância
percorrida em função do tempo.
Segundo Costa (2008), ao observar a discussão das professoras foi possível
notar que elas concordavam que o tempo passava, mas o problema estava em
pensar em como voltar para o lugar de onde o menino partiu no mesmo traçado feito
pela ida, considerando a alteração do tempo. Esta dúvida, segundo Costa (2008),
permeou o pensamento das professoras na construção dos gráficos, demonstrando
como elas se sentiam fragilizadas em relação ao que sabiam de função. No caso da
fundamentação teórica de nossa pesquisa, entendemos que esta atividade
conseguiu desestabilizar o “velho” pensamento dessas professoras. Vale ressaltar
que esta dificuldade também pode surgir com o uso do SimCalc, uma vez que nele
também é permitido o uso do tempo como variável independente.
Em um segundo momento, as professoras foram postas a pensar no mesmo
problema fazendo uso do kit para a representação de movimentos. Ao analisar os
resultados, Costa (2008) destacou que algumas observações foram consenso entre
as professoras, tais como,
a representação do gráfico é definida por duas variáveis: d (distância) em função do t (tempo), o traçado paralelo ao eixo x implica que a distância não se altera enquanto o tempo aumenta – objeto parado, a representação da volta para casa intercepta o eixo x, existe diferença entre a distância da casa à escola e a distância percorrida pelo menino, função crescente sobe e vai para cima, função decrescente é o retorno de João, O tempo varia independente do movimento que se realiza. (COSTA, 2008, pp. 105 - 106)
Costa (2008) ressalta ainda que o sensor acoplado ao corpo junto com a
calculadora possibilitou uma nova experiência corpórea para as professoras, uma
vez que, ao movimentar o corpo, recebiam na tela da calculadora um gráfico como
feedback dos movimentos realizados. Nesse estudo, o uso do kit possibilitou às
professoras percepções gráficas, tais como a relação dinâmica entre as variáveis, o
que não teriam percebido sem o uso do Kit.
Em relação aos conceitos matemáticos, Costa (2008) destaca que, a partir
das interações com o kit, as professoras estabeleceram novas relações que, para
elas, eram abstratas. Exemplifica que começaram a fazer relações, tais como, do
65
movimento de ir e vir de João com os diferentes segmentos no gráfico, da reta
paralela ao eixo dos x com uma função constante, a rapidez do movimento de andar
para a frente com a inclinação do segmento, entre outras.
Nesta perspectiva, Costa (2008) concluiu que o uso de materiais apropriados
e de dispositivos como o kit facilitam a inclusão do movimento do próprio corpo na
aprendizagem de Matemática. Por exemplo, a representação gráfica de movimentos
corporais, com a utilização de sensores, trouxe novas formas de pensar o tema
movimento e os aspectos explorados, por meio da discussão, promoveram o pensar
sobre o tempo e o espaço.
Bolite Frant (2011) também desenvolveu uma pesquisa com o uso do Kit com
uma turma da primeira série do ensino médio que estava estudando funções nas
aulas de Matemática e cinemática nas aulas de Física. Para Bolite Frant (2011), a
leitura de um gráfico cartesiano pode parecer uma tarefa fácil, uma vez que todas as
informações necessárias estão postas nele; no entanto, ressalta que enxergar um
gráfico não implica ver tudo que está posto. Para isso, deve-se entender este signo
matemático.
Duas questões nortearam a pesquisa de Bolite Frant (2011):
“Que significados para o eixo tempo em gráficos cartesianos são produzidos
pelos alunos? Qual o papel da tecnologia na emergência da compreensão do eixo
tempo nestes gráficos?” (BOLITE FRANT, 2011, p.213).
Em relação ao uso da tecnologia, Bolite Frant (2011) usa a ideia de tecnologia
como prótese. Para ela, assim como uma prótese, o uso da tecnologia modifica a
percepção de quem a usa e provoca novas produções de significados.
No estudo de Bolite Frant (2011), uma professora denominada Alice, com a
ajuda de mais três professoras, inicialmente dividiu a turma, que era composta de 28
alunos, em grupos de 4 alunos. Assim como o explorado na pesquisa de Costa
(2008), inicialmente os alunos receberam a história do personagem Joãozinho, que
morava a alguns quarteirões da escola e no percurso de casa à escola fazia um
movimento de ida e de volta em alguns trechos, até finalizar o percurso e chegar à
escola. Após a leitura da história, cada grupo fez um gráfico que representava o
percurso de Joãozinho e um elemento de cada grupo o esboçou no quadro. Ao final
desta tarefa, foram apresentados cinco gráficos diferentes e, após uma discussão
com a turma toda, não conseguiram chegar a um acordo sobre qual gráfico
representaria melhor a situação. Assim como o demonstrado na pesquisa de Costa
66
(2008), Bolite Frant (2011) identificou que a maior dificuldade dos alunos
concentrou-se na representação da volta de Joãozinho para casa.
Na segunda tarefa, foram distribuídos os Kits aos alunos e o objetivo era
sobrepor um gráfico que era apresentado na tela da calculadora gráfica para,
posteriormente, voltarem a pensar nos gráficos feitos na tarefa anterior. A primeira
percepção foi de que o tempo sempre passa. Ao iniciarem a tarefa, notaram que,
mesmo parados, o gráfico começava a ser desenhado na tela por meio de uma reta
paralela ao eixo horizontal. Bolite Frant (2011) destaca que, a cada movimento que
os alunos faziam, era gerada uma representação bidimensional e, desta forma, a
prótese os ajudava a compreender a variável tempo no gráfico.
Após a realização desta tarefa, os alunos foram postos a pensar novamente
nos gráficos esboçados na primeira tarefa e, segundo Bolite Frant (2011), a tarefa foi
realizada com tranquilidade e maior compreensão por parte dos alunos. Ao final do
trabalho, Bolite Frant (2011) destaca que emergiram diferentes considerações sobre
o tempo, destacando a concepção de que “o tempo pode voltar, ser negativo ou até
parar”, “o tempo sempre anda” e a “compreensão do eixo do tempo nos gráficos d x
t”.
Bolite Frant (2011) concluiu que a teoria da cognição corporificada abriu
novas possibilidades para a compreensão da produção de significados dos alunos e
que o recurso tecnológico, trabalhado na perspectiva de prótese, além de oferecer
possibilidades de resolver o problema proposto, tornou tangível o que até então era
invisível, oferecendo um contexto bidimensional, por meio da coordenação dos eixos
no gráfico cartesiano. As reflexões propostas por meio da pesquisa de Bolite Frant
(2011) se mostraram importantes para o desenvolvimento de nossa pesquisa,
principalmente no que se refere ao papel da tecnologia na construção do
pensamento funcional, uma vez que consideramos que há convergências nas
concepções de prótese propostas por Bolite Frant e a de coletivo pensante proposta
por Lévy, tendo em vista que ambas reconhecem que, por meio do uso de recursos
tecnológicos, são impulsionados pensamentos e/ ou ideias que não seriam possíveis
na ausência desses recursos, ou seja, os sujeitos são elevados ao status de
participantes ativos na construção do conceito de função.
Ainda na perspectiva da Matemática do Movimento, Pereira (2013) realizou
uma pesquisa com o objetivo de analisar as narrativas produzidas por estudantes de
Licenciatura em Matemática, diante de uma abordagem para funções em um
67
ambiente dinâmico, bem como de observar as reações deles quando deparados
com funções representadas por animações, na janela do mundo do software
SimCalc. A pesquisa foi realizada com alunos do segundo período do curso de
Licenciatura em Matemática de uma universidade particular, localizada no sul de
Minas Gerais e as atividades desenvolvidas foram divididas em cinco sessões.
Na primeira sessão, foi apresentada aos alunos uma lista de funções
polinomiais na forma algébrica, contemplando funções de primeiro, segundo e
quarto graus, funções exponenciais, função seno, função definida por mais de uma
sentença e uma função racional. De acordo com Pereira (2013), nesta atividade, o
objetivo foi que os alunos utilizassem o software SimCalc especificamente para a
criação de atores, a partir da lei algébrica.
Segundo Pereira (2013), os alunos mostraram interesse em conhecer e
trabalhar com o programa e acharam interessante a representação animada de
atores que se movimentam em função do tempo. Pereira (2013) destaca que, nesta
primeira sessão, apareceram algumas dificuldades, no que se refere ao manuseio
do software SimCalc, que foram superadas no decorrer do trabalho.
Na segunda sessão, segundo Pereira (2013), a pretensão foi que os alunos,
utilizando as mesmas funções da sessão anterior, descrevessem o comportamento
do ator no mundo. Para Pereira (2013), por meio da observação das animações
realizadas pelas funções construídas no software SimCalc, os alunos apresentaram
“formas engraçadas” de contar o que estavam vendo na animação. Isso validou a
hipótese de que a utilização do software SimCalc permitiu aos alunos a associação
de situações e experiências do dia a dia para descrever o movimento do ator.
Pereira (2013) ainda destaca que o ato de observar as animações
proporcionou uma perspectiva de que estas podem ser vistas como um meio de
explorar e de analisar o movimento simulado e concluiu que a maioria dos alunos
expressou as ideias de acordo com o pensamento narrativo.
Na terceira sessão, foram apresentados aos alunos participantes alguns tipos
diversificados de animações, com o objetivo de que eles, ao analisarem o
movimento do ator, descobrissem características da lei algébrica da função. Pereira
(2013) notou que os alunos apontaram características que não estavam diretamente
relacionadas a ideias matemáticas de descrever o movimento dos atores e concluiu
que as respostas apresentadas estão de acordo com o pensamento narrativo.
Na quarta sessão, era esperado que os alunos criassem atores que
68
reproduzissem o mesmo movimento de atores criados pelo pesquisador e
apresentados na janela Mundo do software SimCalc. De acordo com Pereira (2013),
foi possível observar que todos os alunos imaginaram quais eram as possíveis
características da função apresentada, por meio do movimento do ator, para
reproduzir as animações. Nas discussões feitas pelos alunos, de acordo com Pereira
(2013), foi possível notar a tentativa de relacionar o movimento com a lei algébrica
da função. Nesse sentido, Pereira (2013) reafirma que a dinâmica do movimento
apresentado possibilitou aos alunos o desenvolvimento de características do
pensamento narrativo.
Na quinta sessão, foi solicitado aos alunos que, a partir de uma breve história
apresentada a eles de forma escrita, elaborassem uma animação, com um ou mais
atores, que representassem a história dada. De acordo com Pereira (2013), esta
sessão foi marcada inicialmente por muita discussão por parte dos alunos a respeito
das animações apresentadas, sendo que a grande preocupação observada se
concentrou em tentar relacionar a história com alguma forma gráfica, para
posteriormente poderem criar a animação, com o auxílio do software SimCalc.
Pereira (2013) notou que, a partir da apresentação dos pensamentos narrativos por
meio das histórias, os alunos apresentaram suas respostas por meio de modos de
pensamento paradigmáticos.
Em relação ao software SimCalc, Pereira (2013) acredita que a utilização dele
colaborou para que os alunos percebessem a relação entre o movimento e a função
que estava sendo representada e principalmente a variação da função, a partir do
movimento. Pereira (2013) destaca ainda que a sua pesquisa, assim como a
pesquisa desenvolvida por Sales (2008), aponta que o trabalho com funções
utilizando a interatividade de uma ferramenta computacional possibilita a produção
de narrativas.
A discussão provocada por estas pesquisas nos proporcionaram elementos
indispensáveis para o desenvolvimento da nossa, uma vez que nos levou a pensar
sobre o quanto a exploração do movimento, nas aulas de Matemática, pode
contribuir para a construção desse conceito. Tais considerações vêm ao encontro de
nosso objetivo, uma vez que compartilhamos das ideias de Sierpinska (1992) ao
reconhecer que a Matemática é resultante da resolução de problemas de ordem
prática, por meio da identificação das alterações observadas no mundo e, a nosso
ver, o movimento ocupa um lugar de destaque nessas alterações.
69
3 A TECNOLOGIA
Neste Capítulo, inicialmente, destacamos o papel da tecnologia tanto no que
se refere à formação básica do estudante brasileiro como no desenvolvimento de
conceitos matemáticos nesta etapa de ensino, para que localizemos a nossa
pesquisa neste contexto por meio da ideia de coletivos pensantes proposta por
Tikhomirov (1981) e Lévy (1993) e discutida no âmbito da Educação Matemática por
Borba (2002).
Inicialmente, destacamos as considerações dos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998) quando apontam que, para além do ensino de
Matemática, as tecnologias são um dos principais agentes de transformação da
sociedade, por exercerem importantes modificações nos meios de produção e,
consequentemente, no cotidiano das pessoas. Desta forma, apresenta-se o desafio
de pensarmos como as escolas devem incorporá-las ao trabalho, que tem se
pautado amplamente na oralidade e na escrita.
Esses recursos, uma vez inseridos na escola, trazem contribuições diferentes
das tradicionalmente utilizadas, colocando-nos a repensar sobre os processos de
ensino e de aprendizagem de Matemática de forma geral, uma vez que possibilitam
aos alunos reconhecer a importância do papel da linguagem gráfica e de novas
formas de representação, permitindo estratégias diferenciadas para o tratamento de
problemas e possibilitando aos alunos a construção de uma visão mais completa da
verdadeira natureza da atividade matemática, desenvolvendo neles atitudes
positivas e integradas, diante de seus estudos.
De acordo com os PCN, a tecnologia pode possibilitar o desenvolvimento de
um trabalho que se adapta a distintos ritmos de aprendizagem, permitindo que
alunos aprendam com os próprios erros. Por outro lado, ao fazer uso do computador
em sala de aula, deve-se ter uma atenção na escolha dos softwares, para que estes
compartilhem dos mesmos objetivos e concepções de conhecimento e de
aprendizagem que orientam o processo.
Os PCN reforçam uma característica importante para o sucesso com as
experiências escolares com o computador, considerando que o uso efetivo desse
recurso pode levar ao estabelecimento de uma nova relação professor-aluno,
marcada por maior proximidade, interação e colaboração. Essa nova dinâmica
define um novo lugar para o professor, pois este profissional é retirado da posição
70
de detento absoluto do saber e é colocado a pensar em sua formação contínua e
permanente ao longo de toda a vida profissional. Longe da ideia de que o
computador viria substituir o professor, seu uso vem, sobretudo, reforçar o papel
dele na preparação, condução e avaliação dos processos de ensino e de
aprendizagem.
Nesse contexto, é esperado que
nas aulas de Matemática se possa oferecer uma educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada nas práticas sociais. (BRASIL, 1998, p.46)
Apesar dos objetivos destacados nos PCN já estarem com quase duas
décadas de existência, notamos que tais discussões ainda são atuais no campo da
Educação Matemática, uma vez que, segundo Moraes (2013), ainda são muitos os
desafios a serem superados, no que se refere ao uso da tecnologia nas aulas de
Matemática, desde a falta de apoio das instituições para equipar as escolas; a falta
de motivação do professor, que ainda tem uma carga muito grande de trabalho e
nem sempre tem tempo para explorar o potencial dos recursos tecnológicos
disponíveis; a resistência de alguns professores a este tipo de trabalho, tendo em
vista a formação insuficiente para esta nova perspectiva. Desta forma, ao nos
propormos a desenvolver uma pesquisa nesta área, que utiliza o recurso
computacional como elemento integrante no desenvolvimento do conceito de
função, uma questão se mostra essencial: Qual concepção será adotada no que se
refere ao papel desse recurso na construção de tal conhecimento? Para tentar
responder a esse questionamento, discutimos a ideia de coletivos seres-humanos-
com-mídias, proposta por Borba (2002).
Segundo Borba (2002), a introdução da informática na Educação Matemática
tem sido alvo de discussão de vários segmentos da sociedade, destacando
questões políticas, comerciais, ou pela perspectiva que visa a motivação ou melhora
da aprendizagem. Para Borba (2002), essa última perspectiva, além de ser debatida
na sociedade de um modo geral, também vem sendo debatida no ambiente
universitário. O autor destaca que, se pensássemos em motivação, estaríamos
frente a um desafio quase impossível das instituições em manterem atualizados os
71
equipamentos e compra de softwares; já em relação à melhora da aprendizagem,
destaca diversos problemas e, para fundamentar tal posição, o autor discute duas
noções, a de reorganização (TIKHOMIROV, 1981) e a de relação entre técnica,
conhecimento e história (LÉVY, 1993).
3.1 O Papel do Computador na Teoria da Reorganização
Tikhomirov (1981), no artigo denominado “As consequências psicológicas da
computerização” retrata que um dos desafios da Psicologia, no decorrer da
revolução tecnológico-científica, é estudar as consequências psicológicas
decorrentes da integração do computador.
Destaca que a possibilidade de resolver problemas com o computador,
problemas estes que eram até então resolvidos por humanos, levou acadêmicos a
concluírem que:
1) O roteiro do trabalho de um computador é uma teoria do pensamento humano. 2) A possibilidade de reprodução em uma máquina de algumas funções é o critério para a validade ou não de uma explicação psicológica de atividade. 3) Uma resposta negativa à tradicional pergunta: “uma máquina é capaz de pensar?” é “não científica e dogmática”, pois a comparação do comportamento de uma máquina e de um ser humano geralmente revela resultados idênticos (TIKHOMIROV, 1981, p.1).
Para ele, ao considerarmos essas ideias, estamos pensando no computador
como aquele que assume o lugar do ser humano na atividade intelectual, tendo em
vista que este poderia ser substituído em todas as esferas do trabalho intelectual;
esta teoria ele denomina de substituição. No entanto, essa ideia, segundo
Tikhomirov (1981), não expressa a real relação entre o pensamento humano e o
trabalho do computador.
O autor apresenta também o que denomina de abordagem informacional do
pensamento, que consiste na ideia de que qualquer comportamento pode e deve ser
estudado independentemente do estudo de seus fundamentos neurofisiológicos,
bioquímicos dentre outros e destaca que,
Apesar das diferenças entre o cérebro e o computador serem evidentes,
existem similaridades funcionais importantes. A idéia de que os processos
complexos do pensamento são constituídos de processos elementares de
manipulação de símbolos é a principal premissa da explicação do
pensamento humano no nível do processo informacional, em geral, estes
72
processos elementares são descritos como se segue: Leia o símbolo,
escreva o símbolo, copie o símbolo, apague o símbolo e compare dois
símbolos. (TIKHOMIROV, 1981, p.2)
Nessa perspectiva, segundo o autor, explica-se o pensamento humano dentro
de um sistema de conceitos idênticos ao modo de operar de uma calculadora e,
sendo assim, poderíamos pensar que o trabalho do computador suplementa o
pensamento humano no processo da informação. Essas características determinam
o que denomina de teoria da suplementação. Nela, o processamento da informação
é feito pelo ser humano, com a ajuda do computador.
No entanto, segundo Tikhomirov (1981), a ideia de pensamento não pode ser
restrita à simples capacidade de resolver problemas, mas envolve também a
formulação deles. Acrescenta que, na resolução e na formulação de problemas,
deve-se levar em conta características importantes, como a asserção de valores e,
desta forma, a teoria da suplementação não dá conta de explicar a relação ser
humano-computador, no que se refere ao pensamento.
Do ponto de vista de Tikhomirov (1981), uma perspectiva a ser considerada é
a análise da reorganização das atividades intelectuais humanas, mnemônica7,
comunicativa e criativa, quando se considera a relação ser humano-computador.
Nessa perspectiva, considera que a memória, o armazenamento e a busca de
informações são reorganizados. Além disso, destaca que novas formas de
comunicação surgem e as relações humanas passam a ser mediadas pelo
computador.
De acordo com Tikhomirov (1999), as discussões do que e como conhecemos
estão intrinsecamente ligadas às mídias disponíveis na construção de tal
conhecimento e, desta maneira, por meio do uso do computador, surgem
conjecturas que talvez não fossem possíveis sem ele. Dessa forma, entendemos
que, ao adotar a teoria da reorganização da atividade humana e as novas formas de
mediação, a concepção é a de que o pensamento é um fenômeno coletivo.
Para Kalinke (2009), ao adotarmos esta perspectiva do coletivo ser humano-
computador, somos postos a pensar também nas novas relações professor-aluno,
tendo em vista que novas maneiras de legitimar e de justificar descobertas surgem
7 Mnemônico é um conjunto de técnicas utilizadas para auxiliar o processo de memorização.
Consiste na elaboração de suportes como os esquemas, gráficos, símbolos, palavras ou frases
relacionadas com o assunto que se pretende memorizar.
(Fonte:http://www.significados.com.br/?s=mnem%C3%B4nico)
73
em sala de aula, reforçando, assim, a importância e a aplicabilidade dessa
perspectiva na área da Educação. De acordo com Tikhomirov (1999), o uso do
computador nesta perspectiva gera novas dinâmicas em sala de aula, resignificando
os papéis do computador, do aluno e do professor.
Culturalmente, no ambiente escolar, o conceito de função é explorado por
meio das representações algébrica, gráfica e tabular. Em nossa pesquisa, ao
explorarmos o conceito de função por meio do movimento do ator proporcionado
pelo Software SimCalc, acreditamos que ideias já desenvolvidas no decorrer da vida
escolar desses alunos, tais como relação entre duas grandezas, proporcionalidade,
dependência, dentre outras, serão reorganizadas, dando margem para a construção
de “novas” formas de pensamento e, desta maneira, constituindo um coletivo alunos-
software SimCalc, que potencializará a construção do conceito de função na
perspectiva de Sierpinska (1992).
3.2 A Noção de Coletivo Pensante
Para Lévy (1993), emerge, no final do século XX, com o surgimento das
tecnologias digitais e em especial, do computador, um conhecimento por simulação
que os epistemologistas até então não previam. O estudo do conhecimento estava
pautado principalmente na oralidade e na escrita. Lévy (1993) destaca que, frente a
esta nova perspectiva de construção do conhecimento, o desafio seria inventar
novas estruturas discursivas, descobrir novas formas de argumentações
comunicativas até então desconhecidas, em um esquema dinâmico de textos e de
imagens animadas; conceber representações diretas das ideias, por meio de figuras
gráficas que são as “imagens” do objeto, com as quais as cores, o som e o
movimento se associarão para dar significado. Destaca ainda que:
A simulação, que podemos considerar como uma imaginação auxiliada por computador, é, portanto, ao mesmo tempo uma ferramenta de ajuda ao raciocínio muito mais potente que a velha lógica formal que se baseava no alfabeto. (LÉVY, 1993, p.125)
Entretanto, ressalta que o conhecimento por simulação só tem validade
dentro de um quadro epistemológico relativista, em detrimento do idealismo e do
universalismo platônico; e, ao considerarmos esta perspectiva, surgem também
novos desafios pedagógicos, no que se refere à construção do conhecimento.
74
Segundo Lévy (1993), há de se reconhecer que as resistências sociais a essa
nova perspectiva existem e são fundamentadas, uma vez que, desde a introdução
da informatização nas escolas, muitos foram os objetivos políticos e muitos deles
perseguidos, sem se pensar na real utilização e na qualidade de ensino. Em muitos
casos, não houve preocupação, por exemplo, com a qualificação dos profissionais,
com o espaço físico adequado, entre outros. O autor destaca que
A escola é uma instituição que há cerca de cinco mil anos se baseia no falar/ditar do mestre, na escrita manuscrita do aluno e, há quatro séculos, em um uso moderado de impressões. Uma verdadeira integração da informática supõe, portanto, o abandono de um hábito antropológico mais que milenar o que não pode ser feito em apenas alguns anos. (LÉVY, 1993, p.8)
Ao tentar abandonar tal hábito, um novo desafio é posto em discussão. “O
que acontece com a distinção bem marcada entre o sujeito e o objeto do
conhecimento, quando nosso pensamento encontra-se profundamente moldado por
dispositivos e coletivos sociotécnicos?” (LÉVY, 1993, p.10).
Desta maneira, Lévy (1993) nos leva ao seguinte questionamento “Quem
pensa?” e apresenta o conceito de ecologia cognitiva, no qual defende a ideia de um
coletivo pensante, homens-coisa, coletivo este que é dinâmico e povoado por
singularidades atuantes e subjetividades mutantes, distinguindo-se, assim, do sujeito
exangue da epistemologia e das estruturas formais.
Lévy (1993) destaca que o computador se tornou hoje um dispositivo técnico
pelo qual percebemos o mundo e isto não apenas em um plano empírico,
considerando elementos como os fenômenos aprendidos graças aos cálculos,
perceptíveis na tela, ou traduzidos em listagens pela máquina, mas também em um
plano transcendental, pois, segundo ele, hoje, cada vez mais, concebemos o social,
os seres vivos ou processos cognitivos sob a ótica de uma matriz de leitura
informática. Destaca, ainda, que os coletivos compostos de indivíduos, instituições e
técnicas não são somente meios ou ambientes para o pensamento, mas sim seus
verdadeiros sujeitos.
Atualmente, o computador tem se tornado cada vez mais presente nesse
processo como ator deste coletivo pensante e isso, segundo Lévy (1993), ocorre
porque, assim como o livro em épocas anteriores, o computador se tornou uma
mídia de massa.
75
Para Lévy (1993), muitos dos aspectos culturais da sociedade estão fundados
sobre as lembranças dos indivíduos e a inteligência pauta-se na memória. Memória
esta que vem sendo modificada ao longo do tempo; inicialmente, valorizava-se a
memória auditiva e, posteriormente, a escrita também passou a ser valorizada.
Atualmente, discute-se como e por que diferentes tecnologias intelectuais geram
estilos de pensamento distintos.
Para discutir tal questão, Lévy (1993) destaca que, ao compreender o lugar
fundamental das tecnologias da comunicação e da inteligência na história cultural,
somos levados a olhar de uma nova maneira a razão, a verdade e a história,
ameaçadas de perder sua proeminência na civilização do computador. Frente a tal
realidade, destaca que o desafio dos autores e dos editores deste século está
pautado em inventar novas estruturas discursivas, descobrir as retóricas ainda
desconhecidas do esquema dinâmico, do texto da geometria variável e da imagem
animada, conceber ideografias nas quais as cores, o som e o movimento se
associarão para significar.
Apesar das novas expectativas que giram em torno dos modelos digitais, vale
ressaltar que, de acordo com Lévy (1993), um modelo digital normalmente não é
verdadeiro nem falso, nem mesmo testável, em um sentido estrito. Ele apenas será
mais ou menos útil mais ou menos eficaz ou pertinente em relação a este ou aquele
objetivo específico. Alguns fatores, segundo ele, muitos deles distantes da ideia de
verdade, podem intervir na avaliação de um modelo como, por exemplo, a facilidade
de simulação, a velocidade de realização e de modificação, as conexões possíveis,
dentre outros.
O autor ressalta, no entanto, que a fragilidade da verdade não significa que, a
partir de agora, qualquer coisa será aceita sem uma análise, mas sim que lidaremos
com modelos variáveis, obtidos e simulados de forma mais ou menos rápida e cada
vez mais independente daquele horizonte da verdade, no qual podíamos aderir
firmemente. O desafio atual concentra-se não apenas em criticar determinados
modelos, tendo em vista que a pretensão à verdade diminui e sim em corrigir e fazer
as adaptações necessárias nos erros detectados. Nessa vertente,
A inteligência ou a cognição são o resultado de redes complexas onde interage um grande número de atores humanos, biológicos e técnicos. Não sou “eu” que sou inteligente, mas “eu” com o grupo humano do qual sou membro, com minha língua, com toda uma herança de métodos e tecnologias intelectuais. (LÉVY, 1993, p.137)
76
O ser pensante é constituído na perspectiva de que “o pensamento se dá em
uma rede na qual neurônios, módulos cognitivos, humanos, instituições de ensino,
línguas, sistemas de escrita, livros e computadores se interconectam, transformam e
traduzem as representações” (LÉVY, 1993, p.137).
Sendo assim, para Lévy (1993), o pensar é um dever coletivo no qual se
misturam homens e coisas, justificando que os artefatos têm o seu papel nos
coletivos pensantes. “Da caneta ao aeroporto, das ideografias à televisão, dos
computadores aos complexos de equipamentos urbanos, o sistema instável e
pululante das coisas participa integralmente da inteligência dos grupos” (LÉVY,
1993, p.137).
3.3 O Coletivo Seres-Humanos-Com-Mídias
Segundo Borba (1999), no âmbito da Psicologia da Educação Matemática tem
havido acalorados debates entre aqueles que defendem que o sujeito epistêmico é o
ser humano isolado e os que defendem que a produção de conhecimento se dá
essencialmente no social, ou seja, na composição de mais de uma pessoa.
Para se posicionar sobre tal debate, Borba (1999) compartilha das ideias de
Lévy (1993), considerando que o pensamento é constituído de forma coletiva, sendo
que tal coletivo é constituído não apenas por seres humanos, mas sim de homens e
coisas, tais como instituições ou recursos tecnológicos e desta maneira considera
que o pensar é um dever coletivo. Vale ressaltar que Lévy (1993) considera que, ao
longo da história, vários recursos tecnológicos tiveram um papel importante na
construção do conhecimento, destacando, por exemplo, a comunicação por meio da
linguagem escrita e verbal.
De acordo com Borba (1999), cada recurso tecnológico tem suas
características próprias, no que se refere às suas influências no pensar matemático
e, com a inserção dos recursos computacionais no processo de construção do
pensamento matemático, características que até então não eram levadas em
consideração, principalmente as novas dinâmicas de simulações, movimentos e
representações, passam a fazer parte do pensar matemático. Para sustentar tal
perspectiva, Borba (1999) compartilha das ideias de Tikhomirov (1981),
77
considerando que de fato o pensar é um dever coletivo composto por homens-
coisas.
Neste contexto, Borba (1999) apresenta a perspectiva de que o pensamento
matemático é constituído pelo coletivo seres-humanos-com-mídias; para ele, nas
discussões em torno dos processos que envolvem o pensamento, pouca ênfase é
dada ao papel ocupado pelas mídias disponíveis. Tais discussões, na maioria dos
casos, têm em sua centralidade o ser humano, sendo que, muitas vezes, são
limitadas a uma única parte dele: a cabeça. Para Borba (1999), devemos considerar
os limites de tal perspectiva, uma vez que, segundo ele, após a inserção da
tecnologia, novas formas de pensamento surgiram por meio dos sistemas seres-
humanos-com computadores.
Segundo Borba (2002), uma vez que a informática está se tornando cada vez
mais presente em nossas práticas cotidianas, devemos considerar as
transformações no conhecimento, decorrentes da inserção desta nova mídia. Para o
autor, há três grandes técnicas associadas à memória e ao conhecimento: a
oralidade, a escrita e a informática e, assim como a oralidade e a escrita são
consideradas extensões da memória, hoje, a informática se apresenta também, com
suas particularidades, como uma extensão da memória. Destaca “que esta [(a
informática)] permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de
pensar, baseados na simulação, na experimentação, e uma “nova linguagem” que
envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea” (BORBA, 2002,
p.138).
Nesta perspectiva, Borba (1999) considera que o conhecimento matemático
também está condicionado às mídias disponíveis em um determinado momento e,
desta forma, destaca, por exemplo, que a ênfase das demonstrações matemáticas é
influenciada fortemente pela disponibilidade da escrita e dos materiais disponíveis,
tais como lápis, papel, quadro negro e giz, ou seja, tais demonstrações alcançaram
suas validades em decorrência também das mídias disponíveis; por exemplo o
sistema ser-humano-lápis-e-papel e, desta forma, de acordo com Borba (2002),
devemos considerar que as novas mídias da informática também modificam os
caminhos que nos levam às verdades matemáticas e que a presença dessas novas
mídias, portanto, pode alterar o pensamento matemático.
Frente a este novo desafio, Borba (2002) discute tais ideias no campo da
Educação Matemática, adotando uma perspectiva teórica que se apoia na noção de
78
que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-
mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias. Nessa perspectiva, destaca que,
Em outras palavras, tal noção é adequada para mostrar como o pensamento se reorganiza e com a presença das tecnologias da informação e que tipos de problemas são gerados por coletivos que incluem seres humanos e mídias como o lápis e papel e diversas facetas das tecnologias da informação. (BORBA, 2002, p.139)
Segundo Borba (2002), a informática no campo da Educação Matemática é
vista como uma mídia diferente da linguagem do ponto de vista qualitativo,
reorganizando o pensamento de uma forma particular. Nessa perspectiva, não há
interesse em discutir se nosso pensamento é pior ou melhor quando interagimos
com as mídias informáticas, ressaltando que “o que importa do ponto de vista
educacional é que pensemos que tipo de problema pode ser gerado e/ou resolvido
por um sistema formado por ser-humano-computador” (BORBA, 2002, p.137).
Para Borba (2002), o foco está no processo de como o pensamento se
reorganiza com a presença das tecnologias da informação com destaque a que tipos
de problemas são gerados por coletivos que incluem seres-humanos e mídias como
o lápis e papel e diversas facetas das tecnologias da informação. Tais
considerações sugerem novas mudanças nas práticas pedagógicas
Acredito, então, que a metáfora ser-humano-mídias possa nos dar suporte às mudanças de ênfase em atividades didático-pedagógicas centradas na mídia escrita, para aquelas que incorporem a informática enquanto mídia. Entendendo que, desta forma, é possível estar teoricamente equipado para compreender as mudanças que poderão ocorrer quando o uso dessas novas tecnologias se tornar mais disseminado e, talvez, evitar que sejam repetidas práticas de épocas em que as mídias predominantes eram outras. (BORBA, 1999)
A partir das considerações de Tikhomirov (1999), Lévy (1993) e Borba (1999),
compartilhamos da ideia de que o pensar é uma tarefa coletiva. Consideramos que
um coletivo pensante se constitui por meio das contribuições oferecidas por
diferentes atores, sejam eles humanos ou não. Cada um dialoga a sua maneira com
os outros na constituição do pensar, enquanto construção coletiva. Considerando
esta perspectiva e as recomendações dos PCN, escolhemos para esta pesquisa o
trabalho com o Software SimCalc. Acreditamos que este software, por explorar uma
representação diferente das habituais (movimento), ao compor um coletivo
79
pensante, proporcionará novas discussões, no que se refere à construção do
conceito de função, na perspectiva de Sierpinska (1992).
80
4 MÉTODO
Neste capítulo, apresentamos a metodologia do Design Experiment (COBB,
CONFREY, DISESSA, LEHRER, SCHAUBLE, 2003), adotada para o
desenvolvimento desta pesquisa, bem como os procedimentos metodológicos
utilizados em nossa coleta de dados. Destacamos que, como parte desses
procedimentos, apresentamos alguns resultados de duas aplicações- piloto
realizadas cada uma delas com um aluno de 9º ano do ensino fundamental, com a
finalidade de rediscutir e reformular as atividades inicialmente elaboradas, conforme
previsto no Design Experiment. Para a compreensão das atividades trabalhadas,
apresentamos o software SimCalc e as características dele utilizadas em nossa
pesquisa.
4.1 Design Experiment
Segundo Cobb et al. (2003), o desenvolvimento de uma pesquisa baseada
em design ocorre por meio de ciclos contínuos que contemplam o design das
atividades a serem exploradas, a interação e a aplicação delas, a análise dos
resultados e o redesign das atividades, caso seja necessário.
Essas características fazem com que esse tipo de pesquisa não considere
apenas os sucessos ou as falhas que surgem em seu desenvolvimento, mas sim as
interações entre as atividades propostas e os participantes que contribuam para a
compreensão dos fatores de aprendizagem envolvidos, e, desta forma, a pesquisa
pauta-se no desenvolvimento de relatos fidedignos sobre os métodos que possam
documentar e conectar os processos de interação aos resultados de interesse, tendo
em vista que o foco deve estar nas interações.
Um aspecto determinante em qualquer experimento de design, segundo Cobb
et al. (2003), é que o pesquisador tenha o cuidado de realizar os procedimentos
associados, como desenvolver um design inicial, conduzir a experiência e extrair
uma análise retrospectiva e sistemática dela. Salienta-se que o experimento é
adaptável à produção dos alunos, ou seja, pode ser remodelado durante o processo.
Desta maneira, pensamos que essa metodologia mostra-se coerente com os
objetivos do presente estudo, tendo em vista que o professor-pesquisador, por meio
de adaptações necessárias nas atividades, terá possibilidade de sustentar e/ou
81
proporcionar modificações nos esquemas matemáticos dos alunos participantes, no
decorrer do estudo. Assim, em nossa pesquisa, não partiremos da premissa de que
alguns dos Obstáculos Epistemológicos levantados por Sierpinska (1992) ocorrerão,
mas sim, faremos uma discussão, a partir dos Obstáculos que surgirem no decorrer
da aplicação das atividades, tendo ainda a possibilidade de reformulação destas, no
caso de manifestação de algum destes Obstáculos.
Em nossa pesquisa, como temos por objetivo discutir quais Obstáculos
Epistemológicos discutidos por Sierpinska (1992) surgem ao introduzir ideias
relacionadas ao conceito de função no ensino fundamental, por meio de um coletivo
pensante e quais são as potencialidades do software SimCalc, enquanto integrante
desse coletivo, que colaboram com a superação dos Obstáculos, optamos por uma
das modalidades do design que considera um experimento de ensino aplicado a um
pequeno grupo de estudantes, para que tenhamos condições de elaborar e analisar
com mais profundidade e com riqueza de detalhes as atividades propostas.
Existem outras vertentes de design, dependendo do objetivo da pesquisa a
ser desenvolvida, a destacar: experimentos voltados ao desenvolvimento em salas
de aula, em que uma equipe de investigadores auxilia o professor, que pode ser ou
não um membro desta equipe de investigação; estudos voltados a professores em
formação; estudos voltados a professores atuantes para o desenvolvimento de uma
comunidade profissional; e modelos que objetivam grandes reestruturações,
envolvendo equipes de pesquisadores, professores, gestores escolares e outras
partes interessadas em auxiliar na organização.
Para Cobb et al. (2003), todas as modalidades possuem pontos
convergentes, dos quais destaca o desenvolvimento de uma classe de teoria em
pequena escala, representando a descrição de um modelo do entendimento dos
estudantes em relação a um conceito matemático, em particular a consideração de
que este modelo é de natureza intervencionista, uma vez que a meta do Design
Experiment é propor novas formas de aprendizagem; e que, nesta intervenção,
surgem duas características, uma de ordem prospectiva, tendo em vista que há a
implementação de uma hipótese e outra de ordem reflexiva, uma vez que há
conjecturas elaboradas durante a condução do experimento.
82
Vale ressaltar que todas essas ideias são desenvolvidas levando em
consideração o caráter cíclico, aliado a uma construção iterativa, bem como o
caráter pragmático, inerente a essa metodologia.
Em nossa pesquisa, conduzimos as sessões com uma turma de 20 alunos de
9o ano do ensino fundamental, no entanto, levando em consideração que nosso
objetivo envolve analisar de forma mais detalhada aspectos relacionados à
introdução do conceito de função, fizemos uma análise mais detalhada de um
pequeno grupo de oito estudantes, evidenciando, com profundidade, as construções
e evoluções apresentadas por estes participantes.
As atividades trabalhadas com esses alunos serão estudadas com a
utilização do software SimCalc. Dessa forma, antes de descrevê-las, é necessário
apresentar as características do software que utilizamos para o desenvolvimento da
pesquisa e é o que faremos na próxima seção.
4.2 O Software SimCalc
O Software SimCalcMath Worlds foi desenvolvido no Centro de Pesquisa e
Inovação em Educação para Ciências Exatas, o KAPUT CENTER, da Universidade
de Massachusetts em Darthmouth (EUA), tendo como propósito democratizar o
acesso ao trabalho matemático que lida com as variações, incluindo as ideias
subjacentes ao Cálculo. Na Figura 3, apresentamos a tela inicial desse software.
Figura 3. Tela inicial do SimCalc
83
O Software SimCalc foi idealizado a partir da Matemática da Mudança e da
Variação que, segundo Roschelle, Kaput e Stroup (2000), se constitui em um
fenômeno central no contexto do século XXI.
Apesar de tal importância atribuída a esta Matemática, os autores ressaltam
que os currículos tradicionais ainda excluem as crianças do trabalho com conceitos
de taxa de variação, acumulação, aproximação, continuidade e limite, dentre outros,
destacando que estes são conceitos fundamentais para que as crianças possam
participar de experiências físicas e das ciências, bem como de tomada de decisões
em suas vidas pessoais e políticas.
Segundo Roschelle, Kaput e Stroup (2000), apesar dos conceitos da
Matemática da Mudança e da Variação ocuparem um lugar central na Matemática,
eles ainda são negligenciados em currículos e, desta forma, o acesso de estudantes
ao desenvolvimento destes conceitos é limitado.
É nesta perspectiva que Roschelle, Kaput e Stroup (2000) propõem o projeto
SimCalc, com a missão de proporcionar às crianças oportunidades comuns,
experiências e recursos necessários para o desenvolvimento, a compreensão e a
habilidade com a Matemática da Mudança e da Variação. Ao propor tal projeto,
ressaltam que o acesso a este tipo de Matemática não se limita simplesmente à
escolha da mídia a ser explorada, mas pretende criar as condições necessárias para
que os alunos possam crescer em suas experiências e na capacidade de resolver
problemas.
Roschelle, Kaput e Strout (2000) destacam três importantes características do
software SimCalc: procura definir colaborativamente uma “matemática de mudança e
variação”, que é apropriada para o desenvolvimento das crianças desde o ensino
fundamental até a universidade; proporciona um acesso democrático, a partir da
compreensão das experiências das crianças; e coloca a tecnologia no papel de
mediadora, no processo de investigação.
O SimCalc apresenta importantes características. Em relação à viabilidade da
organização do trabalho em sala de aula, destacamos que oferece a possibilidade
de trabalhar com até 30 computadores em uma rede com ou sem fio e, desta forma,
possibilita que professores possam desenvolver atividades para serem realizadas
com a sala toda. A interface dele explora conceitos algébricos, dos quais se
84
destacam a possibilidade da exploração de várias representações, para além das
tradicionalmente trabalhadas (tabelas, gráficos, expressões). A simulação do
movimento de Atores segundo a função explorada possibilita o trabalho com uma
álgebra mais dinâmica e interativa, bem como a simulação de vários modelos
baseados no tempo como, por exemplo, posição, velocidade, finanças, entre outros.
Essas características possibilitam o desenvolvimento de novos modelos de
atividades matemáticas, proporcionando novas formas de ensino de álgebra, desde
o ensino fundamental até o superior, oferecendo novas ferramentas para o
professor, para aumentar a participação e a motivação dos alunos no trabalho
realizado em sala de aula.
Para a nossa pesquisa, utilizamos a janela Mundo, na qual exploramos o
movimento do “Ator” (movimento de um personagem, que pode ser horizontal ou
vertical, segundo uma função previamente escolhida). Nesta mesma janela, é
possível obter as representações gráfica, tabular e algébrica.
Ao abrir um novo arquivo, este pode dispor a representação horizontal ou
vertical (Figura 4).
Figura 4. Disposição dos eixos do SimCalc
85
Neste ambiente, é possível criar atores por meio da expressão algébrica, de
tabelas ou por menus de funções pré-estabelecidas, tais como ator quadrático,
linear, dentre outros. No menu Professor é disponibilizada, por meio da janela
Gerenciamento de Sala de Aula, a possibilidade de que o professor/ pesquisador
poste para os alunos apenas as representações desejadas para uma determinada
atividade, além de permitir que, a qualquer momento, ele possa pausar a atividade
para uma intervenção ou discussão com o grupo. Em nossa pesquisa não utilizamos
este menu, pois, para a utilização dele, os computadores precisam estar conectados
a uma rede e como o nosso trabalho foi realizado em uma escola da zona rural, os
computadores não estavam em rede e apenas alguns deles tinham conexão à
internet.
A seguir, apresentamos os procedimentos metodológicos adotados para a
coleta de dados de nossa pesquisa. As características do software SimCalc nos
deram embasamento para a elaboração das atividades aplicadas aos alunos.
4.3 Procedimentos Metodológicos
Inicialmente, selecionamos um aluno do 8º ano do ensino fundamental para a
participação em um instrumento de estudo piloto (Apêndice A), que teve como
objetivo analisar as questões que seriam desenvolvidas no estudo principal e suas
possíveis adaptações, em concordância com a metodologia de Design Experiment.
Em um segundo momento, foi feito um convite para uma turma do 8º ano do
ensino fundamental para a aplicação do estudo principal. Sete alunos aceitaram
participar das atividades (Apêndice B), que ocorreram no contra turno escolar. No
primeiro encontro, apareceram seis dos sete participantes, no segundo apareceram
apenas três e a partir do quarto encontro apenas um aluno participou de todos os
encontros. Desta maneira, fizemos uma análise do desenvolvimento desse aluno, e
consideramos esta aplicação como sendo uma segunda aplicação piloto, o que foi
proveitoso, pois passamos a ter como objetivo também observar como esse aluno
desenvolveria as atividades propostas e se as alterações realizadas nas atividades
da primeira aplicação teriam os efeitos pretendidos.
Finalmente, para coletar os dados da pesquisa, no início do terceiro bimestre
do ano letivo de 2015, fizemos o convite de participação, por meio da assinatura do
86
termo de responsabilidade da instituição (Apêndice C), à direção de uma escola
pública da rede municipal de São Roque, São Paulo. Com a assinatura deste termo,
foi feito o convite aos alunos de 9º ano do ensino fundamental dessa escola, que
aceitaram participar e trouxeram o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
assinado pelos responsáveis (Apêndice D). A faixa etária destes alunos era de 14-15
anos.
As atividades foram aplicadas a uma turma de 20 alunos do 9º ano do ensino
fundamental, que foram divididos em duplas para a realização do estudo principal.
Dessas duplas selecionamos para a nossa análise as quatro que participaram de
todos os encontros. A escola contava apenas com uma turma do 9º ano e não houve
necessidade de escolha de turma para a aplicação.
As atividades foram divididas em três blocos, sendo que, para os dois
primeiros, foram necessários dois encontros cada um e, para o terceiro bloco, um
encontro. Cada encontro teve a duração de duas horas/aula (100 minutos) e todos
aconteceram no período regular no laboratório de informática durante as aulas de
informática da turma.
A cada encontro, foi realizada, para a análise, a coleta dos seguintes dados:
captura das telas geradas no SimCalc por meio do software Active Presenter e
filmagem dos sujeitos, para analisar quais são os indícios da constituição do Coletivo
Pensante Atividades-SimCalc-Alunos por meio da interação dos alunos com os
ambientes propostos na construção do conceito de função; a produção escrita dos
alunos, para identificar e discutir quais foram as ideias expressas por eles que
indicam Atos de Compreensão do conceito de função. Destacamos que, em
decorrência da incompatibilidade dos sistemas operacionais dos computadores,
algumas gravações, tanto de telas como dos alunos, foram perdidas no decorrer do
desenvolvimento das atividades, prejudicando, assim, a análise de algumas
questões.
A análise das respostas escritas e das gravações foi feita em dois níveis; um,
para evidenciar a influência do Coletivo Atividades-SimCalc-Alunos, na perspectiva
de Borba (2002), nas respostas expressas pelos alunos em relação ao conceito de
função; e o outro para identificarmos os Obstáculos Epistemológicos, discutidos por
Sierpinska (1992), que aparecessem e analisar o potencial do software SimCalc
para superá-los. Nesta perspectiva, faz parte de nossos objetivos evidenciar as
dificuldades e/ou os Obstáculos presentes no processo de construção do conceito
87
de função e, desta maneira, a incidência desses Obstáculos não é visto como algo
negativo em nossa pesquisa e sim como ponto essencial para desestabilizar
“velhas” formas de pensar.
Ao propormos este trabalho por meio do pensar coletivo, estamos
considerando também a mediação do professor pesquisador representada nas
atividades propostas.
4.4 Atividades
Apresentamos, nesta seção, o conjunto das nove atividades que fazem parte
do Coletivo Pensante, que inclui o software SimCalc, por meio da janela “Mundo” e
os oito alunos do 9º ano do ensino fundamental para a aplicação do estudo principal,
bem como os objetivos de cada uma delas. Elas foram divididas em três sessões,
desenvolvidas em seis encontros de uma hora e quarenta minutos cada.
Bloco 1.
Para o desenvolvimento das atividades desse bloco, foi disponibilizada aos
alunos apenas a janela Mundo, na qual é possível visualizar o movimento do ator
que foi constituído a partir da função que será explorada. A fim de familiarizar os
alunos com a janela Mundo, foram apresentadas a eles as ferramentas que seriam
utilizadas neste ambiente, como, por exemplo, o menu Animação, que oferece a
possibilidade de colocar o ator em movimento, tanto de forma contínua no intervalo
explorado, como passo a passo, por meio de comandos manuais. Foi apresentado
aos alunos também como movimentar a tela de animação para poder visualizar
trechos que inicialmente podem não estar visíveis.
Após esta familiarização com o software SimCalc, que teve uma duração de
aproximadamente 30 minutos, iniciou-se a aplicação das atividades deste bloco com
duração de dois encontros de 2 horas/aula (1h40min) cada um, num total de
3h20min.
Neste Bloco, foram explorados os movimentos de dois atores, sendo um
criado por meio de uma função polinomial do segundo grau e outro por uma função
polinomial do primeiro grau. Era esperado que os alunos percebessem as
características do movimento de cada um deles e que conseguissem estabelecer
relações espaço-tempo, tanto analisando cada um dos atores separadamente como
88
comparando o movimento simultâneo dos atores. Desta maneira, esperávamos ter
elementos para analisar quais conceitos, como o de relação, proporcionalidade,
velocidade, crescimento/decrescimento emergiriam a partir das atividades propostas,
para posteriormente termos condições de discutir como a presença desses
conceitos contribuiria ou não para a construção do conceito de função, na
perspectiva de Sierpinska (1992).
Tínhamos também como objetivo analisar se e quais Obstáculos surgiriam e
de que forma as atividades propostas, desenvolvidas por meio do coletivo aluno-
Simcalc, contribuiriam ou não para a superação deles.
Atividade 1
Tínhamos como objetivo nesta atividade perceber e discutir se os alunos
participantes, por meio do movimento do palhaço modelado pela função 2)( xxf ,
conseguiriam descrever uma relação geral entre o espaço e o tempo, após terem
feito relações pautadas no movimento visível em tela e algumas projeções de
intervalos não visíveis na tela. Era esperado ainda que os alunos percebessem que
as grandezas envolvidas (espaço e tempo) não cresciam proporcionalmente e
consequentemente a velocidade de deslocamento do palhaço não era constante.
Na aplicação do primeiro estudo piloto, notamos, nas respostas apresentadas
pelo aluno, a presença do Obstáculo OE(f)- 9: “Proporção é um tipo privilegiado de
relação”, uma vez que o aluno estabeleceu relações no intervalo visível em tela,
percebeu que a velocidade do palhaço não é constante neste caso; no entanto,
quando tentou projetar valores para intervalos não visíveis em tela, usou ideias de
proporcionalidade. Tal constatação também foi observada nas respostas
apresentadas pelo aluno na aplicação do segundo estudo piloto. Desta forma,
também tínhamos como objetivo discutir se para o grupo de alunos do estudo
principal este Obstáculo se caracterizava como um Obstáculo Epistemológico para o
Ensino de Funções, como previsto por Sierpinska (1992). Vale destacar que, nas
duas primeiras aplicações, a atividade inicial apresentava uma função linear e
decidimos trocar para trabalhar com uma não linear logo de início, para observar se
tal mudança poderia reverter este quadro de manifestação do Obstáculo OE(f)- 9.
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Nesta atividade, o ator foi criado segundo a função 2)( xxf , no intervalo
[0;6,5]. Foi postada para o aluno apenas a janela Mundo em que o autor se
movimenta (Figura 5).
Figura 5. Atividade reformulada. 1
Foram feitos os seguintes questionamentos:
A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Quantos metros ele terá caminhado após: a) 2 segundos? b) 4 segundos?
Justifique as suas respostas.
C) Quanto tempo será necessário para que ele atinja: a) 1m? b) 9m?
Justifique as suas respostas.
D) Para que o palhaço percorra uma distância de 4 metros há alguma
diferença entre o percurso dos 4 primeiros metros e os mesmos 4 metros no
intervalo de 20m a 24m? (justifique a sua resposta)
E) Quantos metros o palhaço terá caminhado após 9 segundos? Justifique a
sua resposta.
F) Andando neste ritmo, é possível identificar quantos metros ele terá
caminhado após 33 segundos? Como você chegou a esta conclusão?
G) Quanto tempo será necessário para ele atingir 144 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
90
H) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o
palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?
Na Questão (A), era esperado que os alunos reconhecessem as
características do movimento por meio da velocidade do ator; nas Questões (B) e
(C), optamos por explorar intervalos visíveis em tela e expressos por números
inteiros a fim de proporcionar conclusões plausíveis de serem exploradas ou
verificadas por meio da visualização do movimento do ator. Na Questão (D),
tínhamos como objetivo que, por meio da observação do movimento em tela, fossem
reconhecidas as diferenças entre espaços percorridos em diferentes intervalos,
tendo em vista as características da velocidade do ator. Nas Questões (F) e (G),
tínhamos como objetivo notar se, por meio das conclusões decorrentes das
questões anteriores, seriam feitas projeções para intervalos não visíveis em tela por
meio da relação espaço-tempo. Tanto na Questão (C) como na (G) optamos por
trabalhar com quadrados perfeitos, tendo em vista que, por se tratar de uma relação
não familiar aos alunos, esta exploração poderia facilitar a observância da relação
espaço-tempo. Na Questão (G), o propósito foi identificar características da função
2)( xxf , bem como de sua inversa, por meio do movimento observado nas
primeiras questões e as projeções para intervalos não visíveis em tela propostas nas
últimas questões.
Atividade 2
Nesta atividade, o objetivo foi que os alunos participantes, a partir do
movimento do palhaço modelado por meio da função , fossem capazes de
fazer relações entre o espaço percorrido e o tempo. Inicialmente, era esperado que
esta relação fosse feita apenas por meio da visualização do movimento na tela; em
um segundo momento, que apresentassem relações para intervalos não visíveis na
tela; e, por fim, que descrevessem uma relação geral do espaço percorrido em
função do tempo. Era esperado ainda que os alunos percebessem que as duas
grandezas envolvidas (espaço e tempo) crescem proporcionalmente.
Tanto na primeira como na segunda aplicação do estudo piloto, notamos que
foi possível aos alunos estabelecer uma relação entre espaço e tempo e projetar
valores para intervalos não visíveis na tela, sendo que, na segunda aplicação, o
91
aluno chegou a descrever uma regra geral, relacionando o espaço em função do
tempo. Com isso, por meio da atividade que solicita que os alunos descrevam uma
regra geral e que façam a relação entre o espaço e o tempo, teremos elementos
importantes para tentarmos compreender quais os conceitos explicitados pelos
alunos, na resolução desta atividade, no que se refere à função afim.
O ator foi criado segundo a função , no intervalo [0;6,5]. Foi postado
para o aluno apenas a janela Mundo em que o ator se movimenta (Figura 6)
Figura 6. Atividade reformulada. 2
Os seguintes questionamentos foram feitos:
A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Você(s) nota(m) alguma similaridade com o movimento do palhaço da
atividade anterior? Se sim quais?
C) Você(s) nota(m) alguma diferença entre este movimento e o do palhaço da
atividade anterior? Se sim quais?
D) Observando o movimento do palhaço, quantos metros ele caminha em: a)
2 segundos? b) 4 segundos?
E) Quanto tempo é necessário para que o palhaço caminhe: a) 7m? b) 21m?
F) Se o palhaço continuar caminhando, quantos metros ele terá caminhado
após 13 segundos? Como você chegou a esta conclusão?
92
G) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 98 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
H) Quantos metros ele terá caminhado após 53 segundos? Como você
chegou a esta conclusão?
I) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o
palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?
Nesta Atividade, assim como na anterior, tivemos a preocupação de explorar
tanto os intervalos visíveis como os nãos visíveis em tela.
Atividade 3
Nesta atividade, o objetivo é potencializar as observações feitas nas
Atividades 1 e 2, tendo em vista que os alunos observarão o movimento simultâneo
dos dois palhaços. Espera-se que os alunos notem que, por conta do "palhaço azul"
(aquele que representa a função quadrática) caminhar em uma velocidade
crescente, encontrará o "palhaço vermelho" (representado pela função linear) em 7
segundos e que, a partir deste movimento, passará na frente do vermelho, ou seja,
mesmo que de maneira intuitiva, esperamos que os alunos, por meio do movimento
simultâneo dos palhaços, reconheçam as características do crescimento de cada
uma das funções, identificando o ponto em que x=7 como a intersecção das duas
funções, no intervalo explorado.
Com o objetivo de perceber quais foram as relações (espaço-tempo)
estabelecidas pelos alunos, foi solicitado que fizessem algumas conjecturas sobre o
movimento dos atores em intervalos que não estavam visíveis na tela.
Ao propor esta Atividade, pensamos em duas hipóteses. No caso dos alunos
terem percebido, nas atividades anteriores, as diferenças existentes entre o
movimento dos dois atores, estas servirão para validar suas respostas, uma vez que
terão a visualização dos movimentos simultâneos, o que facilitará a percepção das
diferenças entre as velocidades dos atores.
No caso de não terem percebido que um dos atores tem velocidade constante
e o outro não, pensamos que a visualização do movimento simultâneo pode
contribuir para tal percepção. Vale ressaltar que, segundo Sierpinska (1992), é por
meio da desestabilização de “velhos” conceitos que proporcionamos condições para
o desenvolvimento de “novos” conceitos. Desta maneira, acreditamos que a
93
visualização do movimento simultâneo dos dois atores pode se constituir em uma
importante ferramenta para a percepção das diferenças desses movimentos, e
consequentemente para a superação do OE(f)-9, caso este seja evidenciado nas
respostas dos alunos participantes.
Nesta Atividade, foi postada a tela de movimento dos atores das Atividades 1
e 2 simultaneamente, seguido dos seguintes questionamentos (Figura 7).
Figura 7. Atividade reformulada. 3
A) Coloque os palhaços em movimento, observe e descreva como são esses
movimentos.
B) Ao comparar o movimento dos palhaços, o que você observa sobre a
velocidade deles? Existe alguma diferença? Se sim qual(is)?
C) Qual dos palhaços atinge a marca de 30 metros primeiro? Justifique sua
resposta.
D) Qual dos dois palhaços você acha que atingirá a marca de 70 metros
primeiro? Justifique sua resposta.
E) Após 10 segundos de caminhada quem estará na frente? Justifique sua
resposta.
F) Os dois palhaços se encontrarão em algum ponto? Se sim, quanto tempo
será necessário para que eles se encontrem? Em que ponto eles se encontrarão?
94
G) O que você pode dizer sobre o movimento desses palhaços: Um deles
sempre estará na frente? Se sim, qual deles? Por quê? Se não, descreva o que
acontece.
Atividade 4
Nesta atividade, a fim de investigar os conceitos explicitados pelos alunos no
movimento simultâneo dos dois palhaços, apresentamos uma “história” envolvendo
o movimento e fazemos questionamentos similares aos feitos na Atividade 3, com o
objetivo de perceber se o fato do movimento estar atrelado a uma situação “mais
contextualizada” faz com que surjam ideias até então não explicitadas nas atividades
anteriores.
Segundo Sierpinska (1992), uma das condições para que seja construído o
conceito de função é reconhecer que este surge a partir dos problemas práticos do
mundo e, se negada tal premissa, constitui-se o OE(f)-1: “A Matemática não está
preocupada com problemas práticos”. Sendo assim, ao propormos esta atividade,
também temos como objetivo analisar as evidências de tal Obstáculo, tendo em vista
que, na segunda aplicação do estudo piloto, notamos evidências dele nas respostas
apresentadas. Destacamos também que, nesta atividade, o aluno é posto a pensar
sobre as relações causais e que, por se tratar de uma disputa, outras variáveis
podem ser discutidas, além da relação espaço-tempo, tais como as características
fisiológicas de cada atleta, condições do clima, dentre outras. A Atividade foi
apresentada da seguinte forma.
Existem algumas estratégias para se realizar uma maratona (Figura 8)
Figura 8. Atividade reformulada. 4
Fonte: Página do Freepik8.
8 Disponível em: <http://br.freepik.com/index.php?goto=2&searchform=1&k=maratona> Acesso em:
Nov. 2013.
95
A seguir, apresentamos quatro estratégias destacadas em um estudo
realizado na Escola de Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo
conforme a distribuição da velocidade ao longo da prova:
a) Estratégia constante - o atleta mantém (ou altera pouco) a
velocidade ao longo da prova; b) estratégia negativa ou
decrescente - o atleta inicia a prova em alta velocidade e
diminui ao longo da prova; c) estratégia positiva ou
crescente - o atleta inicia a prova em velocidades baixa e
aumenta gradualmente até o final; d) estratégias variáveis - a
distribuição da velocidade não segue um padrão bem definido
(CARMO et al., 2012, p.352).
Suponha que os palhaços da Atividade 1 estejam em uma disputa a fim de
verificar quem atingirá a marca de 60 metros primeiro.
A) O que você diria sobre a estratégia de corrida de cada um deles? Há
alguma semelhança com as estratégias apresentadas no estudo da Escola de
Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo?
B) Qual corredor terá mais sucesso, ou seja, vencerá a disputa? Justifique a
sua resposta.
C) No caso de disputas com outras distâncias (menores e maiores do que 60
metros) a estratégia que foi considerada a melhor para vencer a disputa de 60
metros permanecerá sendo a melhor estratégia? O que você pensa sobre isto ao
observar o movimento dos palhaços?
D) Devemos considerar que, no caso de uma disputa entre atletas reais,
outros fatores devem ser considerados, como, por exemplo, os limites fisiológicos de
cada atleta. Se estas mesmas estratégias utilizadas por estes dois palhaços forem
adotadas por atletas de verdade, quais serão os pontos positivos e os negativos de
cada uma delas, dependendo da distância a se percorrer?
Nesta Atividade, optamos por simular uma corrida de 60 metros, para
explorarmos tanto o intervalo em que o palhaço criado por meio da função xxf 7)(
96
estivesse na frente do criado pela função 2)( xxf , o ponto de encontro dos dois,
como a ultrapassagem por parte do palhaço 2)( xxf .
Atividade 5
Esperamos, nesta atividade, que os alunos, ao escreverem uma história que
envolva o movimento dos dois palhaços, sem estarem pensando necessariamente
em regras matemáticas, tragam ideias não explicitadas nas atividades anteriores.
Ideias tais como as características do crescimento de cada uma das funções, ponto
de intersecção entre elas e a percepção de que as ideias relacionadas à
proporcionalidade, que servem como base para modelar a relação espaço-tempo no
caso do palhaço vermelho, não dá conta de modelar a relação espaço-tempo no
caso do palhaço azul.
Para esta Atividade, foi disponibilizado aos alunos o mesmo arquivo da
Atividade 3. A Atividade 5 foi apresentada da seguinte forma:
Escreva uma história que envolva o movimento dos palhaços da Atividade 3.
Bloco 2.
Para o desenvolvimento das atividades dos Blocos 2 e 3, além da janela
Mundo, foi disponibilizada a janela Álgebra, na qual é apresentada a representação
algébrica e um intervalo do domínio da função explorada.
Neste Bloco, o objetivo foi perceber quais são as relações feitas pelos alunos
entre o intervalo do domínio e a imagem das funções exploradas. Não houve a
pretensão de apresentar estas nomenclaturas aos alunos; essas observações foram
feitas apenas por meio da manipulação do intervalo de tempo que dura o movimento
do ator disponível na janela “Álgebra” e a percepção de elementos como distância
percorrida, ponto inicial, ponto final, por meio da visualização do movimento dos
atores.
Pensamos que a exploração mais detalhada de um intervalo do domínio faria
com que os alunos analisassem quais são as mudanças no movimento do ator, a
partir das alterações feitas no domínio da função explorada, a partir da janela
Mundo. Como nas atividades anteriores os alunos apenas manipularam o
movimento dos atores em um intervalo de tempo fixo, pode parecer que isto se
97
constitui em um fenômeno fixo e inalterável, o que pode contribuir para a incidência
do OE(f)-03: “Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as coisas
mudam e ignorar o que muda”. Caso isto ocorra, acreditamos que este conjunto de
atividades tem potencial para superá-lo.
Foram necessários para o desenvolvimento deste bloco, dois encontros de 2
horas/aula cada um, totalizando 3h20min.
Atividade 1. (Atividades de familiarização)
Por meio desta Atividade, o objetivo foi familiarizar os alunos participantes
com a utilização da ferramenta de criação de atores por meio de parâmetros pré-
estabelecidos, bem como a alteração do intervalo do domínio.
A) Abra o SimCalc
B) No canto inferior esquerdo click no menu “criar ator” (Figura 9).
Figura 9. Ferramentas Criar Ator
Em nossas atividades utilizamos para criar os atores os seguintes comandos
(Figura 10):
Figura 10. Comandos Criar Ator
C) Crie um ator utilizando um desses comandos.
98
Agora click no menu “Ver” disponível na barra de ferramentas. Nele, é
possível visualizar três diferentes representações: “Mundo”, “Função” e “Tabela”. Em
nossas atividades, trabalhamos apenas com o “Mundo” e a “Função” (Figura 11).
Figura 11. Layout do mundo
Na janela “Função” todos os números que estão dentro dos retângulos (ex
) podem ser alterados.
D) Coloque o ator que você criou em movimento. Observe e descreva como é
este movimento.
Altere o intervalo de tempo, coloque o peixe em movimento e observe o que
acontece.
E) Altere os outros números, coloque o peixe em movimento e veja o que
acontece.
F) Altere a escala e observe o que acontece.
É possível criar mais de um ator no mesmo “Mundo”. Crie os quatro tipos de
atores utilizando os menus “Ator Linear Paramétrico”, “Ator Quadrático Paramétrico”,
“Periódico Paramétrico” e “Exponencial Paramétrico”. Ao clicar sobre o ator é
apresentada a sua tela “Função”. Cada um dos atores é representado por uma cor
(Figura 12).
99
Figura 12. Atores simultâneos
H) Coloque os atores (peixes) em movimento. Descreva o que acontece.
Nesta Atividade, ao criar o ator utilizando os comandos pré-estabelecidos,
este é representado automaticamente pelo personagem “peixe”.
Atividade 2
Nesta atividade, o objetivo foi fazer com que os alunos, por meio da
manipulação do intervalo do domínio, estabelecessem relações entre o intervalo de
tempo e a distância percorrida.
Crie um ator usando a ferramenta “Criar Ator Exponencial Paramétrico”
A) Coloque-o em movimento, observe e descreva suas características.
B) Altere o intervalo [0, 3] e descreva o que acontece com o movimento do
peixe.
C) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-8, 3]?
D) Existe algum intervalo de modo que ele parta de um valor negativo?
Justifique a sua resposta.
E) Quantos metros ele percorre em 1 segundo? E em dois segundos? A
distância percorrida no primeiro segundo é a mesma da percorrida no segundo? O
que você pensa sobre isto?
Atividade 3.
Nesta atividade, o objetivo foi discutir as diferenças entre espaço percorrido e
distância entre ponto inicial e final após um tempo de movimentação do peixe. Em
uma questão similar na segunda aplicação do estudo piloto, notamos que o aluno
conseguiu identificar as características do movimento do ator, bem como distinguiu
100
as diferenças entre espaço percorrido e ponto inicial e ponto final, evidenciando,
desta maneira, a possibilidade de se trabalhar por meio da exploração do software
SimCalc com funções que culturalmente só seriam exploradas no ensino médio.
A) Crie um ator utilizando “Ator Periódico Paramétrico”.
B) Coloque-o em movimento, observe e descreva como é esse movimento.
C) Quantos metros ele percorre em 4 segundos? Justifique a sua resposta.
D) Após 20 segundos, quantos metros ele terá percorrido? Em que ponto ele
estará?
E) Em algum momento ele passará pela marca de 30 metros? Justifique a sua
resposta.
F) Altere o intervalo (0,3) e descreva o que acontece com o seu movimento.
Bloco 3.
Neste bloco, era esperado termos condições de perceber como os alunos
fariam uso dos conceitos desenvolvidos até então, por meio da resolução do
problema proposto. Acreditávamos que, desta forma, teríamos mais elementos para
analisar, ao final das atividades, quais são os conceitos e os Obstáculos presentes e
suas consequências, na construção do conceito de função por esses alunos.
Para o desenvolvimento deste bloco, foi necessário um encontro de 2
horas/aula, totalizando 1h40min.
Atividade 1.
Tínhamos como objetivo, por meio desta Atividade, que os alunos voltassem
a pensar nas atividades iniciais, agora tentando “modelar” uma função, mesmo com
as limitações disponíveis, a partir da observação do movimento, ou seja, fariam uso
das ferramentas de criação de função, exploradas nas atividades anteriores, e
explorariam as alterações, tanto do intervalo de tempo como dos coeficientes. Foram
apresentados os seguintes questionamentos:
A) Crie um Ator que descreva o mesmo movimento do Palhaço da atividade 1
(Bloco1). Crie um roteiro explicativo de como o criou.
B) Crie um Ator que descreva o mesmo movimento do Palhaço da atividade 2
(Bloco 1). Crie um roteiro explicativo de como o criou.
101
Era esperado que este conjunto de atividades, ao serem desenvolvidas pelos
coletivos pensantes Alunos-Atividades-SimCalc, oferecessem contribuições para a
discussão da introdução do conceito de função no ensino fundamental e,
consequentemente, para a sua construção no decorrer da vida escolar. Para tal,
apresentamos no capítulo seguinte, a análise dos resultados obtidos ao término da
aplicação do conjunto das nove Atividades.
102
5 RESULTADOS
Neste capítulo, apresentamos a análise dos resultados das produções dos
coletivos pensantes Alunos-Atividades-SimCalc, no que se refere às ideias
relacionadas à introdução do conceito de função. Para essa análise, consideramos
duas perspectivas: as potencialidades decorrentes do pensar coletivo, apontadas
por Lévy (1993) e a constituição de Atos de Compreensão que são impulsionados
pela superação dos Obstáculos Epistemológicos existentes no processo de Ensino
de Funções, na perspectiva de Sierpinska (1992).
Por acreditar que o saber é algo coletivo, consideramos que as respostas
descritas pelas duplas D1, D2, D3 e D4 expressam ideias que não são oriundas
apenas dessas duplas e sim do coletivo pensante constituído pelos alunos, pelo
SimCalc e pelas atividades propostas. Assim, para esta análise, ao invés de
utilizarmos a nomenclatura D1, D2, D3 e D4 para nos referirmos às duplas, fazemos
referência a esses coletivos, denominando-os como C1, C2, C3 e C4,
respectivamente, entendendo que todas as respostas apresentadas são decorrentes
de um pensar coletivo.
5.1 Análise das atividades do Bloco 1
Neste bloco, era esperado que os participantes, por meio da análise das
características do movimento de cada um dos atores, conseguissem estabelecer
relações entre o espaço percorrido e o tempo, expressando quais conceitos, tais
como o de relação, proporcionalidade, velocidade, crescimento/decrescimento
emergiriam a partir das atividades propostas. O objetivo foi analisar como a
presença desses conceitos contribuiria, ou não, para a construção do conceito de
função na perspectiva de Sierpinska (1992), bem como identificar quais Obstáculos
surgiriam ao longo das atividades propostas e quais seriam as contribuições do
trabalho coletivo para superá-los.
Em geral, no trabalho dos alunos participantes, houve a percepção de que há
uma diferença entre os movimentos dos atores apresentados, mas nem todos os
grupos conseguiram explicitar essa diferença ou uma "regra" que relacionasse a
posição do ator no tempo, para ambos os casos. Além disso, a percepção dessa
diferença não foi suficiente para que todos superassem o Obstáculo da
103
Proporcionalidade (OE(f)-9), que foi o mais evidenciado neste bloco. Apesar desta
dificuldade, foram reconhecidas as características do comportamento do
crescimento das funções exploradas, por meio do movimento dos atores.
Notamos também a presença do OE(f)-1 “A Matemática não está preocupada
com problemas práticos”, uma vez que, em algumas atividades, houve o
reconhecimento da relação espaço-tempo por meio do movimento; no entanto, em
alguns casos, foram consideradas pelos alunos como não plausíveis de serem
generalizadas, por apresentarem movimentos diferentes dos que são normalmente
explorados no ambiente escolar.
Nas próximas seções, detalhamos e analisamos os dados obtidos em cada
atividade deste bloco.
Atividade 1
O objetivo principal desta atividade era analisar se o OE(f)-9: “Proporção é um
tipo privilegiado de relação” se constitui como um Obstáculo Epistemológico para o
Ensino de Funções, tendo em vista que notamos indícios dele nas respostas
apresentadas pelos participantes do estudo piloto. Para atingir este objetivo,
pretendíamos analisar se seria constituída a relação entre o espaço e o tempo,
representada pelo movimento do ator, depois de feitas as relações pautadas na
simulação proporcionada pelo SimCalc, bem como algumas projeções de intervalos
não visíveis na tela, para chegar à conclusão de que as grandezas envolvidas na
atividade (espaço e tempo) não cresciam proporcionalmente, neste caso.
Na Questão (A), quando postos a pensar sobre as características do
movimento do palhaço, C1 expressa que (Figura 13):
Figura 13. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1
“Ele caminha até o 42m num tempo de 06,50 segundos. Ele começa em um
ritmo mais de vagar (sic), mas depois o ritmo começa a aumentar”.
104
Entendemos que esta resposta evidencia que C1 notou que a velocidade do
palhaço não é constante. Tal reconhecimento foi levado em consideração também
ao responderem a Questão (B), quando questionados sobre quantos metros o
palhaço caminharia após 2 e 4 segundos. C1 respondeu corretamente esta questão,
referindo-se a 4 e 16 metros respectivamente, justificando que “...tendo um ganho de
12 metros em 2 segundos. Pois sua velocidade aumenta conforme o tempo” (Figura
14).
Figura 14. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1
Neste caso, notamos que o coletivo C1, ao fazer a relação do espaço que o
palhaço percorreria após 2 e 4 segundos, reconheceu a necessidade de levar em
consideração que, por conta da velocidade aumentar, a distância percorrida em um
mesmo intervalo de tempo também aumenta.
Notamos, nas justificativas de C2, que esse coletivo tem a percepção de que
somente a partir de seis metros é que o palhaço altera a velocidade, ficando mais
rápido. Essa percepção é reforçada na fala de um dos alunos quando diz “olha aqui
depois do seis ele fica mais rápido”.
C3 também se remete à velocidade do palhaço para descrever as
características do movimento, no entanto, refere-se a ele como sendo uniforme
(Figura 15).
Figura 15. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1
“Seu movimento é uniforme, e altera sua velocidade conforme o tempo”.
Neste caso, é possível notar que, ao dizer “movimento uniforme”, o coletivo
C3 refere-se à uniformidade da aceleração e não da velocidade, ou seja, mesmo
105
que intuitivamente, percebeu que se trata de um Movimento Uniformemente
Acelerado9. Estes três coletivos, nas questões (B) e (C), quando foram postos a
estabelecer relações em um intervalo visível na tela, não apresentaram dificuldades.
Já na questão (C), apesar de não solicitado, C1 demonstrou, por meio de rascunhos,
uma preocupação em tentar representar uma sequência que relacionasse a
distância percorrida em função do tempo (Figura 16).
Figura 16. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1
“Para que ele atinja 1m ele vai levar 1 segundo e para atingir 9m ele vai levar
3 segundos. Tendo o intervalo de 2 segundos de 1m a 9m, devido à aceleração do
passo”.
Foi possível notar no esquema apresentado que C1 conseguiu estabelecer
uma regularidade ao descrever que, para determinar o próximo elemento, deveria
somar a razão anterior mais duas unidades, ou seja, trabalhou com a ideia de uma
Progressão Aritmética de segunda ordem cuja razão é 2. No entanto, teve
dificuldade de estender a ideia para distâncias maiores. É nosso entendimento que
tal dificuldade se deve ao fato de que, para o intervalo de 0 a 6 segundos, o SimCalc
foi mais atuante na discussão, tendo em vista que era possível testar as hipóteses
por meio do movimento do palhaço; já para as distâncias maiores, tal observação
não estava disponível, ou seja, o questionamento feito por meio da atividade
proposta levou a dupla a observar o movimento do palhaço proporcionado pelo
SimCalc. Tal observação fez com que a dupla levantasse hipóteses sobre a
regularidade desse movimento, explicitando-a por meio de uma sequência numérica.
9 Em Física, um movimento uniformemente acelerado é aquele em que a variação de velocidade é sempre igual em intervalos de tempo iguais, ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero (Fonte: http://www.sofisica.com.br).
106
A observação dessa simulação, após a conjectura de tais hipóteses, levou à
descrição da sequência numérica (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 42, 46, 50). Para analisá-la,
nós a dividimos em dois intervalos; o intervalo em que a simulação foi
disponibilizada [0;6,5] e o intervalo em que a simulação não estava disponível ]6,5;
∞[. Observamos que a constituição do Coletivo compostos por seres-humanos-com-
mídias, neste caso por meio do SimCalc, possibilitou que as hipóteses de relação
espaço-tempo fossem observadas a partir da simulação do movimento do ator. Isso
possibilitou a descrição da sequência das distâncias percorridas pelo ator nos
instantes 1s, 2s, 3s, 4s, 5s e 6s, (0,1,4,9,16,25,36). Como consequência, chegaram,
para os instantes 7s, 8s e 9s, à sequência (42, 46, 50) que não condiz com a
distância percorrida nesses instantes.
A partir da questão (E), na qual os alunos foram postos a fazer projeções para
intervalos não visíveis em tela, ou seja, não há uma resposta direta do SimCalc para
confirmar as hipóteses levantadas, ele apenas oferece elementos do movimento
inicial do ator, ficando a cargo do coletivo desenvolver um raciocínio mais
generalizado. Notamos que os três coletivos apresentaram ideias relacionadas à
proporcionalidade. C1, por exemplo, na questão (F), na qual era necessário pensar
na distância percorrida em 33 segundos, expressou que o palhaço caminharia 210
metros, uma vez que, se em 6,5 segundos o palhaço caminha 42 metros, em 5
vezes 6,5, que seria 32,5, o palhaço teria caminhado 210 metros (Figura 17).
Figura 17. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1
“Em aproximadamente 32,5 segundos, ele terá caminhado por volta de 210
metros. Chegamos a esta conclusão usando o tempo e a quilometragem disponível,
a multiplicando até chegarmos ao tempo estimado”.
107
Nesta mesma questão, C2 justificou que “se ele percorre o dobro” de 42m,
que é 84m, ele também percorrerá o dobro de segundos, no caso, aproximadamente
em 33 segundos, ele percorrerá 215m (Figura 18).
Figura 18. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1
Para C3, “Ele terá caminhado 99 metros, cheguei a essa conclusão a partir de
que 03,00 ele percorre 9 metros então em 33 cabem 11 partes de 3 segundos e fiz
11 multiplicado pelo valor de metros a cada 3,00 segundos” (Figura 19).
Figura 19. Resposta de C3 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1
Tais dificuldades se refletiram na resposta da questão (H), na qual os
coletivos pensantes foram postos a pensar em uma regra geral que relacionasse
espaço-tempo. Para C3, era possível descrever uma regra “Sim. A cada 2 metro
(sic) e leva um segundo para percorrer” (Figura 20).
Figura 20. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1
Para C2, também era possível descrever uma regra geral (Figura 21)
108
Figura 21. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1
“Após ele ter começado a andar rápido se você souber quantos metros ele
esta andando por segundo, já se pode ter uma base, no caso ele está andando 12m
por segundo”.
Já para C1, não era possível descrever uma regra geral, tendo em vista que a
velocidade do palhaço não era constante “Não, não é possível estabelecer uma
regra, pois a velocidade do palhaço se alterna entre o decorrer do percurso. É
possível somente achar estimativas de resultado usando a lógica e o cronômetro
disponível” (Figura 22).
Figura 22. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1
Notamos, por meio dessas respostas, indícios da presença do OE(f)-09 nas
ideias desenvolvidas pelos coletivos C1, C2 e C3, uma vez que, apesar de
reconhecerem as características do movimento do palhaço, quando foram postos a
pensar em intervalos não visíveis na tela, recorreram a ideias relacionadas à
proporcionalidade para apresentarem suas respostas. Uma dificuldade parecida foi
apontada por Vollrath (1986), que identificou que, quando apresentado um problema
de valor desconhecido em um experimento de Física modelado por meio de um a
função quadrática, as crianças assumem a proporcionalidade e têm dificuldade em
superar tal suposição. Além disso, notamos evidências deste Obstáculo também na
pesquisa de Baraldo (2009), quando observou que a regra de três foi utilizada em
situações de não proporcionalidade.
109
As ideias de proporcionalidade surgem de diferentes maneiras para os três
coletivos. A resposta de C3 teve como base a visualização inicial, na qual o palhaço
caminhava 4 metros após 2 segundos. C2 teve como base que, a partir de um
determinado momento, o palhaço aumentaria sua velocidade, no entanto, a
considerou constante (12m/s). Já na resposta apresentada por C1, foi possível
observar que a concepção deles é a de que só seria possível descrever a relação se
a velocidade fosse constante, ou seja, considerou, mesmo que intuitivamente, que
apenas as relações proporcionais são plausíveis de serem descritas por meio de
uma lei algébrica.
C4, desde a primeira atividade, reconheceu as características do movimento
do palhaço, e já na questão (B), quando questionado sobre quantos metros o
palhaço caminharia após 2 e 4 segundos, tentou estabelecer uma regra que
determinasse o total percorrido em função do tempo (Figura 23).
Figura 23. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1
“a) 4 metros, pois nos primeiros metros que o palhaço anda de 1 a 4 metros ele anda 2 metros a cada segundo. b) 16 metros, pois o palhaço a cada 4 metros aumenta sua velocidade em 2 metros a cada 1 segundo, sendo assim 1 segundo é igual a 2 metros, 2 segundos 4 metros, 3 segundos 10 metros, 4 segundos 16 metros”.
Notamos, assim, que houve o reconhecimento de que a velocidade do
palhaço era alterada ao longo do tempo; no entanto, consideraram-na constante em
diferentes intervalos. Esta constatação nos faz inferir que, mesmo pensando nesses
diferentes intervalos, o coletivo C4 recorreu às ideias de proporcionalidade para
tentar descrever uma regra que relacionasse espaço e tempo. Notamos tal
observação na resposta da questão (C), uma vez que houve uma tentativa de utilizar
a regra estabelecida na questão anterior, chegando à conclusão de que, para
caminhar 1 metro, seria necessário 0,5 segundo, já que o palhaço caminhava 2
110
metros a cada segundo. Para percorrer 9 metros, responderam que seriam
necessários 2,8 segundos, pois “de 4 a 8 metros ele caminha 6 metros a cada
segundo” (Figura 24).
Figura 24. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1
Na discussão entre os participantes deste coletivo sobre quantos metros o
palhaço caminharia após 9 segundos, na questão (E), inicialmente voltaram a
pensar na conclusão apresentada na questão (B), na qual reconheceram que havia
alteração na velocidade; mas a percepção foi a de diferentes intervalos com
velocidades constantes diferentes e não se sentiram confiantes em usá-la para fazer
a projeção da distância percorrida em 9 segundos; no entanto, notamos que após a
interação dos alunos de C4 com o SimCalc, simulando o movimento do ator, um
aluno expressou por meio de sua fala que “anda trinta e seis em seis, cinquenta e
oito em oito” e que “não sei vou chutar que vai dar noventa”. Seu parceiro propôs
“vamos apertar o botão direito para prosseguir ver se vai para próxima fase, isto
funciona na maioria dos joguinhos da internet”, mas perceberam que tal estratégia
não funcionava. Após interagirem um pouco mais com o SimCalc, por meio de
simulações do movimento, o aluno que tinha proposto chutar a resposta inicialmente
chegou a uma nova conclusão “espera um pouco, duas vezes dois é igual a quatro,
quatro vezes quatro é igual a dezesseis, cinco vezes cinco é igual a vinte e cinco. Já
descobri é tudo ao quadrado logo nove vezes nove é igual a oitenta e um” e o seu
parceiro complementou “é isto mesmo, somos um gênio”, chegando à conclusão de
que a distância percorrida era obtida por meio do quadrado do tempo (Figura 25).
111
Figura 25. Resposta de C4 para a Questão E da Atividade 1 do Bloco 1
“81 metros, pois 7s=49m, 8s=64m e 9s=81m”.
Neste caso, notamos que tal conclusão se deu por meio do diálogo dos
participantes, considerando como participantes não só os alunos, uma vez que o
SimCalc esteve presente em tal discussão, apresentando, ou poderíamos dizer
“falando” à sua maneira aos alunos que “após dois segundos se caminha quatro
metros”, “após três segundos se caminha nove metros”, etc. O que nos leva a inferir
que a percepção da regra “elevar ao quadrado” de fato foi consequência de um
pensar coletivo, neste caso, reforçando o potencial da constituição do coletivo seres-
humanos-com-mídias na desestabilização das “velhas” formas de pensar desse
coletivo no que se refere à relação espaço-tempo discutida nesta atividade.
Após tal constatação, esse coletivo demonstrou facilidade em responder as
questões (F) e (G), pois foi utilizada a relação descoberta na atividade anterior. Na
questão (F), em que se questionava a distância que seria percorrida após 33
segundos, C4 respondeu “ele terá caminhado 1089m, a cada segundo sua
velocidade se eleva ao quadrado, sendo assim 6s=36m, 7s=49m, 8s=64m, assim
em diante, ou seja, 1089332 ” (Figura 26).
Figura 26. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1
Por meio das justificativas apresentadas, percebemos que este coletivo
conseguiu estabelecer a relação espaço-tempo e tal relação foi descrita na resposta
da questão (H) (Figura 27).
112
Figura 27. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1
“Sim, pois o número de metros que o palhaço anda equivale ao número de
segundos ao quadrado”.
Neste caso, notamos que, para este coletivo, também houve, inicialmente, a
incidência do Obstáculo OE(f)-9: “Proporção é um tipo privilegiado de relação”, no
entanto, por meio da resolução do conjunto de tarefas propostas na Atividade 1, foi
possível desestabilizar as considerações iniciais, levando-o à constituição de uma
“nova” forma de estabelecer a relação espaço–tempo.
Atividade 2
Nesta atividade, tínhamos como objetivo observar quais seriam as ideias
constituídas pelos coletivos no que se refere às relações entre o espaço e o tempo a
partir do movimento do palhaço. Por se tratar de uma relação de proporcionalidade,
que a priori não teria a incidência do OE(f)-09, teríamos elementos para analisar se
os alunos teriam mais facilidade em identificar uma regra geral que relacionasse o
espaço percorrido em função do tempo.
Quando posto a descrever as características do movimento do palhaço na
questão (A), C3 apresentou dificuldade, apontando apenas que “O movimento é
rápido” (Figura 28).
Figura 28. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1
C1, C2 e C4 tiveram facilidade. Para C1 “Ele se movimenta de modo regular,
e permanece com a mesma velocidade durante todo o percurso” (Figura 29).
113
Figura 29. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1
Para C2, (Figura 30).
Figura 30. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1
“Na mesma velocidade que ele começou ele continuou até atingir 46m, isso
em 6,50m”. Para C4, “É um movimento constante” (Figura 31).
Figura 31. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1
No caso desses três coletivos, notamos que, por meio do uso de termos como
“regular”, “mesma velocidade” e “movimento constante”, todos reconheceram o
movimento do palhaço como sendo um Movimento Uniforme10.
Ao descreverem as diferenças entre o movimento deste palhaço e o da
atividade anterior, C1, C2 e C4 fizeram menção à aceleração. C4, por exemplo, na
questão (C), quando questionado se existiam diferenças entre os movimentos,
responde (Figura 32).
Figura 32. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1
10 Em Física, quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um movimento uniforme (Fonte: http://www.sofisica.com.br).
114
“sim, pois este palhaço tem movimento constante e o outro um movimento
acelerado”.
C3, apesar das dificuldades na questão (A), também identificou as
diferenças, respondendo “Sim, ele anda mais rápido, e na atividade anterior ele
começa lento e vai aumentando gradativamente, já na atividade 2 ele já começa na
mesma velocidade (movimento uniforme)” (Figura 33).
Figura 33. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1
Nas questões (D) e (E), por se tratar de intervalos visíveis na tela, os coletivos
não tiveram dificuldade.
Nas questões seguintes, por se tratar de intervalos não visíveis na tela,
tiveram um pouco mais de dificuldade. C2, por exemplo, na questão (F), quando
questionado sobre quantos metros o palhaço caminharia em 13 segundos, a partir
do movimento visível em tela, projetou uma resposta aproximada de 93 metros,
quando a resposta correta seria 91 metros (Figura 34).
Figura 34. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 2 do Bloco 1
“Se ele anda 16m a cada 02,20s em 13 segundos ele andara 93 metros”.
Ao darem esta resposta, não recorreram a nenhum registro no papel para
efetuar cálculos e também não fazem comentários sobre como chegam a esse
resultado. Logo, sugerimos que a resposta teve como base apenas um cálculo
115
mental utilizando valores aproximados. C1 também conseguiu projetar uma resposta
aproximada por meio do movimento visualizado em tela (Figura 35).
Figura 35. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1
“Ou seja se ele caminha 45m em 6,5 segundos ele irá caminhar 90m em 13 segundos, já que para obtermos 13 segundos multiplicamos o tempo final do primeiro percurso por dois, fizemos o mesmo com a metragem, e chegamos a 90m em 13 segundos”.
Neste caso, observamos que os valores utilizados por este coletivo foram
decorrentes das limitações da visualização do movimento na tela, tendo em vista
que, em 6,5 segundos o ator havia caminhado 45,5 metros e para os cálculos
consideraram 45 metros, o que demonstra um pensamento resultante das
possibilidades compartilhadas entre as possibilidades oferecidas pela mídia
disponível, neste caso, o movimento no SimCalc por meio da janela Mundo e a
percepção visual dos alunos, considerando o potencial e as limitações de cada uma
das partes e apresentando como resposta o resultado de um pensar coletivo seres-
humanos-com-mídias; no entanto utilizam corretamente a ideia de proporcionalidade
para chegarem à resposta apresentada, ou seja, 90 metros.
C4 foi o único coletivo que, ao responder as questões que tratavam de
intervalos cuja simulação não estava disponível na tela, chegou a respostas exatas,
tendo em vista que, desde as primeiras questões, já identificou a relação que havia
entre o espaço percorrido e o tempo, conforme o rascunho esboçado na Figura 36.
116
Figura 36. Rascunho de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1
Na justificativa apresentada na questão (F), C4 já demonstrou conhecer a
regra geral que relaciona o espaço percorrido ao tempo (Figura 37).
Figura 37. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1
“13s = 91m pois, a cada um segundo ele anda 7m”
Na questão (I), quando postos a pensar sobre uma regra geral que
relacionasse a quantidade de metros em função do tempo, C2 e C3 apresentaram
dificuldade. C2 esboçou o raciocínio apresentado na Figura 38:
Figura 38. Resposta de C2 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1
“Sim. Observando em quanto tempo ele anda a cada metro e assim vice-
versa vendo em quantos metros ele anda por segundo”.
C3 responde “Sim, a regra é que a cada 2 segundos ele percorre 15 metros”
(Figura 39):
Figura 39. Resposta de C3 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1
117
No caso deste coletivo, notamos que a resposta tem como princípio a
percepção inicial da visualização do movimento na tela, na qual era difícil notar
exatamente os 14 metros percorridos, considerando desta maneira para os cálculos
a distância de 15 metros. Apesar desses dois coletivos não terem chegado à
conclusão de que o palhaço percorria 7 metros a cada segundo, é possível notar
que se remetem à ideia de que é possível fazer a projeção para intervalos não
visíveis em tela por meio da proporcionalidade.
C1 e C4 não tiveram dificuldades. C1 descreveu (Figura 40)
“sim, com base no cronometro e na metragem podemos concluir que o
palhaço anda 7m por segundo. Dessa maneira podemos descrever a regra
da seguinte maneira: Cada 7 metros corresponderá a 1 segundo de seu
percurso”.
Figura 40. Resposta de C1 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1
Apesar de ter apresentado, nas questões anteriores, respostas aproximadas,
baseadas apenas no visualizado em tela, C1 consegue, ao final desta atividade,
identificar a correspondência de 7 metros por segundo. Ao observar a fala de um
dos participantes deste coletivo “olhando direito parece que em um segundo o
palhaço anda sete metros”, notamos que, ao explorar o movimento do ator, C1 nota
a relação espaço-tempo existente.
Para C4, “Sim, pois é um movimento retilíneo uniforme para uma distância
correta através do tempo que o palhaço anda, basta multiplicar o tempo por sete (7),
por exemplo, 20s=140 metros” (Figura 41).
118
Figura 41. Resposta de C4 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1
Notamos, nestas respostas, que surgiram termos que são usualmente
utilizados em Física, tais como movimento retilíneo uniforme e que na fala dos
alunos é possível perceber que fazem uma relação com a aula de Ciências, como
por exemplo, a fala de um dos alunos de C4 ao pensar na resposta da questão (I)
“Isto parece com aquele bagulho de movimento retilíneo uniforme que estudamos
em Ciências” e seu parceiro (aluno) complementa “vamos escrever que fica bonito”.
Esta constatação nos faz pensar que este coletivo já tentou relacionar
situações de outras áreas para a formulação de uma “regra” matemática, o que pode
ser um indício de que pensar que “Leis da Física e funções em Matemática não têm
nada em comum; pertencem a diferentes domínios (compartimentos) de
pensamento”, pode não ser um Obstáculo Epistemológico no desenvolvimento do
Conceito de Função para este coletivo, tendo em vista que, neste discurso, é
perceptível o reconhecimento de elementos da aula de Ciências (conceitos,
atividades, professor, etc.) também como integrantes deste coletivo na resolução
das atividades propostas.
Atividade 3
Nesta Atividade, por meio da interação do SimCalc, disponibilizando a
visualização simultânea dos dois palhaços das atividades anteriores, era esperado
que, por meio das características da velocidade dos palhaços, fosse percebido pelos
alunos que eles se encontrariam em 7 segundos e que, a partir deste momento, o
palhaço “azul” passaria à frente do palhaço “vermelho”, ou seja, mesmo que de
forma intuitiva, houvesse a caracterização do comportamento do crescimento de
cada uma das funções identificando o ponto de abscissa como intersecção das
duas funções no intervalo explorado.
Na hipótese dos participantes de nossa pesquisa já terem percebido nas
atividades anteriores as diferenças existentes entre o movimento dos dois atores,
pensamos que esta atividade serviria para validar suas respostas por meio desta
7x
119
nova forma de interação do SimCalc com os movimentos simultâneos dos palhaços.
Caso não tivessem ainda percebido essas características, pensamos que a
visualização do movimento simultâneo poderia contribuir para tal percepção.
Nesta segunda hipótese, era esperado que a visualização simultânea dos
dois atores pudesse desestabilizar os “velhos” conceitos, proporcionando condições
para o desenvolvimento de “novos” conceitos e, consequentemente, contribuindo
para a superação do OE(f)-9, caso este tenha sido evidenciado nas respostas
apresentadas até então.
Nesta atividade, o palhaço azul foi criado por meio da função 2)( xxf e o
palhaço vermelho por meio da função xxf 7)( .
Tendo em vista que os quatro coletivos conseguiram identificar as
características do movimento dos palhaços nas atividades anteriores, não tiveram
dificuldades nesta atividade. Na questão (A), apenas reforçaram tais considerações,
como, por exemplo, o respondido por C1 (Figura 42).
Figura 42. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 1
“O de vermelho mantém a mesma velocidade do início ao fim e o azul começa
devagar e depois começa a andar mais rápido”.
Neste caso, houve a referência ao início e ao fim como sendo o intervalo de
tempo que estava limitado no SimCalc de 0 a 6,5 segundos.
Quando questionados sobre qual dos palhaços atingiria a marca de 30 metros
primeiro, intervalo este que era visível na tela, todos os coletivos identificaram o
palhaço vermelho por estar na frente neste intervalo. Notamos que C4, mesmo se
tratando de um intervalo visível na tela, em sua resposta já descreveu a
característica geral do movimento simultâneo dos palhaços (Figura 43).
120
Figura 43. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 1
“O vermelho, pois o vermelho tem uma velocidade constante desde o início, já o
palhaço azul só irá alcançar o palhaço vermelho em 49 metros assim o
ultrapassando”.
Notamos que esta resposta teve como base as duas sequências numéricas
descritas espontaneamente pelo coletivo logo no início desta atividade,
representando as características das relações espaço-tempo de cada um dos
palhaços (Figura 44).
Figura 44. Sequência de C4
É possível notar que C4 erra ao apresentar 48 como sendo o último valor de
P2 quando o valor correto seria 49, no entanto, ao observar a fala de um dos
participantes “sete vezes sete igual a quarenta e oito”, constatamos que este erro foi
decorrente de uma falha de multiplicação. Quando questionados sobre quem
atingiria a marca de 70 metros, mesmo se tratando de um intervalo não visível na
tela, todos os coletivos identificaram o palhaço azul, justificando que, neste intervalo,
ele era mais rápido do que o vermelho.
Na questão (F), quando questionados se os palhaços se encontrariam em
algum ponto, C1, C3 e C4 conseguiram identificar que os palhaços se encontrariam
na marca de 7 segundos. C2 entendeu que a pergunta era se os palhaços se
encontraram no intervalo simulado, e responde como apresentado na Figura 45.
Figura 45. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 3 do Bloco 1
121
“Não 00,30 milésimos, assim eles se encontrariam aos 48 m, mais ou menos”.
Mesmo não tendo entendido a pergunta, é possível notar que estes alunos
reconheceram que existe um ponto de intersecção entre as funções e fizeram uma
estimativa para ele.
Na questão (G), quando questionados se um dos palhaços sempre estaria na
frente, C4 identificou o ponto exato em que as posições se invertem e reconheceu
que, a partir de 7 segundos, o palhaço azul estaria sempre à frente do palhaço
vermelho (Figura 46).
Figura 46. Resposta de C4 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1
“Sim, a partir dos 7 s o palhaço azul sempre estará na frente, já antes dos 7s
o vermelho ficará na frente”.
C1 também descreveu tal característica, no entanto, não se remeteu ao ponto
exato em que as posições se invertem ao responder “Sim, pois as velocidades são
diferentes, inicialmente o vermelho, mas depois consequentemente o azul passará à
sua frente devido ao aumento da sua velocidade” (Figura 47).
Figura 47. Resposta de C1 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1
C2 chega à conclusão de que “No começo o vermelho começa na frente e
mais ou menos nos 50 metros o azul passaria na frente por que (sic) a partir de 30m
o azul vai aumentando a velocidade” (Figura 48).
122
Figura 48. Resposta de C2 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1
Neste caso, percebe-se que houve referência a valores aproximados a partir
do observado na tela, tanto no que se refere ao ponto de ultrapassagem como na
percepção de que o palhaço azul aumenta a sua velocidade a partir dos 30 metros,
uma vez que, no início do trajeto, por meio apenas da visualização do movimento, é
difícil perceber que a velocidade do palhaço não é constante.
C3 respondeu que “Não, pois o segundo até 10 segundos o palhaço vermelho
está na frente, mais depois de 40 metros o palhaço azul ultrapassa o vermelho”
(Figura 49).
Figura 49. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1
Apesar de ter identificado na questão (F) que os palhaços se encontrariam
após 7 segundos, C3 apontou que apenas a partir de 10 segundos é que as
posições se inverteriam.
Nas atividades anteriores, os coletivos já haviam, mesmo que intuitivamente,
percebido que, no caso da primeira atividade, cujo ator foi modelado pela função
2)( xxf , tratava-se de um movimento acelerado e que na segunda atividade, na
qual o ator foi modelado pela função xxf 7)( , de um movimento constante. Nesta
atividade, ao explorarem o movimento simultâneo dos dois atores, notamos que
reforçaram as observações feitas nas atividades anteriores e ainda reconheceram,
mesmo que de forma intuitiva, por meio do movimento dos atores, características do
crescimento das funções, ao expressarem que no intervalo de tempo [0,7] o
crescimento da função 2)( xxf era menor do que o da função xxf 7)( e que a
123
partir deste intervalo esta característica era invertida, demonstrando assim o
potencial do coletivo constituído por seres-humanos-com-mídias, uma vez que neste
caso a mídia utilizada, SimCalc, possibilitou a simulação do movimento simultâneo
dos dois atores, característica esta que proporcionou uma forma de pensar própria
deste coletivo.
Apesar destas constatações, notamos que esta atividade não atingiu
plenamente os objetivos esperados, uma vez que já no desenvolvimento da primeira
atividade constatamos a presença do Obstáculo da proporcionalidade OE(f)-09, já
que, quando postos a projetar valores fora do intervalo disponibilizado em tela,
apenas C4 conseguiu estabelecer uma relação fazendo uso de propriedades além
da proporcionalidade. O reconhecimento das características do movimento dos
atores, nesta terceira atividade, não foi suficiente para superar tal Obstáculo e, desta
maneira, inferimos que seria necessária a inserção de mais questões nesta
atividade, que colocassem os coletivos a pensar novamente na projeção de valores
fora da visualização em tela, após terem simulado o movimento simultâneo, ou seja,
neste caso notamos que a atividade, nos moldes como foi apresentada, não
ofereceu as contribuições necessárias para a constituição do pensar coletivo, no que
se refere à constituição de propriedades para além da proporcionalidade.
Atividade 4
Nesta atividade, tínhamos como objetivo perceber e discutir quais ideias
surgiriam ao atrelar o movimento simultâneo dos palhaços da atividade anterior a
uma situação “mais contextualizada”, isto é, uma situação posta em meio a um
contexto para além do meramente matemático, tendo em vista que, segundo
Sierpinska (1992), uma das condições para que seja construído o conceito de
função é reconhecer que este surge a partir dos problemas práticos do mundo, e, se
negada tal premissa, constitui-se o OE(f)-01: “A Matemática não está preocupada
com problemas práticos”.
Sendo assim, também tínhamos como objetivo analisar as evidências deste
Obstáculo nas respostas apresentadas e o potencial desta atividade na superação
dele. Destacamos também que, nesta atividade, os coletivos foram postos a pensar
sobre relações causais que, neste caso, por se tratar de uma disputa, poderiam
surgir, como por exemplo, outras variáveis para além da relação espaço-tempo, tais
124
como as características fisiológicas de cada atleta, condições do clima, dentre
outras.
Nesta perspectiva, pensamos que, ao reconhecer o “Saber Matemático” como
um fenômeno coletivo, estamos agregando elementos pertencentes “aos problemas
práticos” como participantes da constituição desse saber e tal reconhecimento por si
próprio já se constitui como uma importante ferramenta na superação do OE(f)-01.
Na questão (A), todos os coletivos conseguiram estabelecer uma relação
entre as características do movimento dos palhaços e as estratégias de corrida
apresentadas; ou seja, o palhaço azul, que foi criado por meio da função 2)( xxf ,
tinha relação com a estratégia crescente; e o palhaço vermelho, que foi criado por
meio da função xxf 7)( , tinha relação com a estratégia constante. Apenas C1,
apesar de ter reconhecido nas atividades anteriores a velocidade do palhaço
vermelho, relacionou-o à estratégia decrescente ao responder “Sim o palhaço azul
usa a estratégia c, positiva ou crescente e o palhaço vermelho usa a estratégia b,
negativa ou decrescente” (Figura 50).
Figura 50. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 4 do Bloco 1
Na questão (B), quando questionados sobre qual corredor teria mais sucesso,
ou seja, venceria a corrida de 60 metros, todos apontaram o palhaço azul como
vencedor. C1 justificou que “O azul, porque ele não vai cansar tão rápido como o
vermelho” (Figura 51).
Figura 51. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1
Por meio desta resposta, foi possível notar que, em sua justificativa, este
coletivo não levou em conta apenas a relação matemática espaço-tempo que
caracteriza o movimento, mas fez menção também a outro fator que poderia
125
influenciar a disputa, neste caso fez referência ao cansaço. C4 pautou a sua
justificativa nas relações deduzidas nas atividades anteriores: “O palhaço azul, pois
ao usar a estratégia positiva a partir dos 7s ele começará a ultrapassar o vermelho,
pois essa velocidade aumentará a cada segundo muito mais que o vermelho”
(Figura 52).
Figura 52. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1
Na questão (C), quando questionados se independente da distância a se
percorrer a estratégia utilizada pelo vencedor da corrida de 60 metros seria a
melhor, todos identificaram que, dependendo da distância, a estratégia do palhaço
vermelho poderia ser melhor como o exemplificado na resposta de C3 “Não, em
distâncias menores o vermelho vencerá” (Figura 53).
Figura 53. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 4 do Bloco 1
Quando são postos a descrever as características positivas e negativas das
estratégias utilizadas por cada um dos palhaços quando pensamos em disputas com
distância menores ou maiores do que 60m metros, na questão (D), notamos que
todos os coletivos incluíram em suas justificativas outras variáveis além da distância
e o tempo. Para C1, por exemplo,
“Estratégia do azul – pontos positivos: ele não cansará tão rápido e vai conseguir uma boa distância. Pontos negativos – depois de um tempo ele começa a cansar e perder velocidade. Estratégia do vermelho – pontos positivos: ele vai conseguir sair na frente. Pontos negativos: ele cansará mais rápido e vai perder velocidade e será ultrapassado” (Figura 54).
126
Figura 54. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1
Neste caso, além de levar em consideração o fator cansaço, esses alunos
fizeram com que isto descaracterizasse o movimento original dos palhaços.
Mesmo para C4, que até então tinha baseado suas respostas apenas nas
relações matemáticas, houve a inserção de outras variáveis em suas justificativas.
Se for uma distancia (sic) muito longa o corredor com a estratégia constante ganhará, mas se for uma disputa de pouca distancia (sic) quem ganhará será o corredor que usar a estratégia positiva. Por isso o corredor que usar a estratégia constante cansará menos tendo mais chance de ganhar, mas se usar a estratégia positiva o corredor cansará mais. Tendo menos probabilidade de ganhar (Figura 55).
Figura 55. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1
Nestas respostas notamos que, ao considerar a variável cansaço, tal
consideração se sobressaiu às características das relações matemáticas descritas
inicialmente, nos dando indícios da presença do Obstáculo EO(f)-1, ou seja, há uma
127
dificuldade em se discutir conceitos matemáticos a partir do reconhecimento de
outras variáveis. Tais evidências podem ser observadas na fala de um dos
participantes de C4, quando, ao responder a última questão, questiona o professor
pesquisador “professor esta questão está falando de um corredor de verdade ou do
corredor palhaço?” e depois diz ao seu parceiro “bom se for uma corrida de verdade
em um percurso muito longo o azul que adotou a estratégia positiva perderá, pois irá
cansar”. Estas falas nos fazem inferir que os participantes reconheceram as
variáveis causais, no entanto, ainda não diferenciaram-nas das variáveis funcionais
quando são postos a resolver problemas.
A inserção desta atividade evidencia mais uma vez o quão complexo é o
trabalho de se discutir conceitos matemáticos a partir da simulação de situações
vivenciadas pelos alunos em suas rotinas cotidianas, uma vez que, neste caso, as
respostas passam a ser imprevisíveis e devemos estar abertos a pensar em como
direcioná-las para a tentativa de construir “novas” formas de pensar.
Atividade 5
Era esperado, nesta atividade, que, por meio da escrita de uma história
envolvendo o movimento simultâneo dos dois palhaços sem pensar
necessariamente em regras matemáticas, os participantes de nossa pesquisa
explicitassem ideias até então não evidenciadas nas atividades anteriores; no
entanto, notamos que, com a inclusão desta atividade, a discussão concentrou-se
em torno das variáveis causais, fazendo com que os participantes se distanciassem
das características oriundas do movimento simulado no SimCalc. Isso nos levou a
identificar a incidência do U(f)-19: Discriminação entre as noções de relações
funcionais e relações causais, uma vez que os participantes apresentaram facilidade
na identificação e reconhecimento das variáveis causais, no entanto, apresentaram
dificuldade em direcioná-las em prol da resolução do problema proposto.
Para esta atividade, a História de C1 foi apresentada conforme explicitado na
Figura 56.
128
Figura 56. História de C1
“Um dia dois amigos resolveram apostar uma corrida para ver na casa de quem seria a festa. A corrida foi marcada para uma semana antes da festa para dar tempo de preparar tudo. O dia da corrida chegou já estava tudo pronto para começar. A corrida começou e o palhaço vermelho saiu em disparada na frente do palhaço azul, que logo começa a aumentar sua velocidade e ficar mais próximo do palhaço vermelho que começa a diminuir sua velocidade, pois já está se cansando. O palhaço azul vê que o outro já está se cansando e aumenta sua velocidade e o ultrapassa rapidamente aproximando ainda mais da linha de chegada e em instantes ganha a corrida”.
Notamos que a consideração da variável cansaço fez com que C1
considerasse que o palhaço vermelho diminuía a sua velocidade enquanto o azul
aumenta para assim poder ultrapassá-lo, mesmo não estando condizente com o
movimento simulado no SimCalc.
História de C2 (Figura 57):
129
Figura 57. História de C2
Em um belo dia dois amigos resolveram brincar de corrida em um espaço de 50m duas vezes na primeira vez Ronaldo ganhou e na segunda também ai João pensou como ele poderia ganhar. Se ele sair na frente percebeu que quando ele sai na frente ele cansa muito e vai perdendo velocidade assim ele fez o teste começou devagar e foi aumentando a velocidade com o tempo e ganhou a corrida e percebeu que nem sempre quem sai na frente ganha é questão de lógica e continuarão ganhando e com empates e com vitórias e derrotas (Figura 57).
C2 também pareceu ter dificuldades em reconhecer em sua história que o
palhaço modelado pela função xxf 7)( tinha velocidade constante e que apenas o
fato do palhaço azul aumentar a sua velocidade era suficiente para que o vermelho
fosse ultrapassado. Ao observarmos a fala de um dos participantes, “olha o
vermelho vai perdendo posição para o azul”, pensamos que o fato de terem relatado
na história que o vermelho vai “perdendo velocidade” se deu um detrimento do
movimento simultâneo no qual, por conta da diferença entre as distâncias dos dois
atores, diminuir ao longo do tempo pode dar a impressão errônea de que ao passo
que um ator aumenta a sua velocidade, o outro diminui. Tal impressão ainda foi
potencializada pelo fato de que neste momento estava presente no discurso dos
alunos a variável cansaço atrelada ao fato de ganhar ou perder a disputa.
História de C3 (Figura 58):
130
Figura 58. História de C3
Era uma vez, dois vizinhos palhaços, um era muito apressado pois não esperava seu vizinho palhaço, todo dia eles saião (sic) juntos mas o apressadinho sempre chegava ao trabalho primeiro. Certo dia, o amigo do palhaço apressado se cansou de ficar para trás e resolveu dar uma lição no amigo, no dia seguinte o amigo apressado saiu normalmente, mas no meio do caminho ficou cansado e parou para descansar, e nesse instante seu vizinho que andava sempre calmo mantendo o equilíbrio da velocidade o passou e consequentemente chegou antes que o apressadinho no trabalho (Figura 58).
Para C3 o palhaço vermelho precisaria parar para que o azul pudesse
ultrapassá-lo.
A história descrita por este coletivo pareceu não ter muito a ver com as
relações matemáticas deduzidas anteriormente. Neste caso, foram pautadas apenas
nos fatores fisiológicos e de inferência de justiça.
História de C4 (Figura 59):
131
Figura 59. História de C4
Em um dia três amigos começaram a discutir para ver quem corria mais rápido, sendo assim resolveram fazer uma competição melhor de três. A corrida consistia de cinquenta metros a outra de cem metros e a outra de duzentos metros quem ganhace (sic) duas corridas iria vencer quando foram disputar a primeira corrida de cinquenta metros o José que começou muito rápido ganhou, já na segunda corrida de cem metros Pedro que manteve uma velocidade constante ganhando, cançando (sic) menos que José, já na terceira corrida de duzentos metros Gleydson ganhou, pois começou a corrida devagar e começou a acelerar aos poucos, cansando menos que José e sendo mais rápido que Pedro, ou seja no fim deu empate, então os três perceberam que nem sempre a velocidade é a mais importante e sim a estratégia para cada tempo de corrida.
Apesar de ser sido solicitado que a história tivesse como base o movimento
simultâneo dos dois palhaços da atividade 2, C4 pareceu não pautar a sua história
em tal simulação e sim nas diferentes estratégias para se obter êxito em uma
competição.
Notamos que os quatro coletivos, ao escreverem suas histórias, não tiveram
como base apenas as relações matemáticas que modelam o movimento dos
palhaços, todos levaram em consideração outros fatores; tais como o cansaço físico
e a inferência de justiça.
A partir das histórias apresentadas, destacamos alguns pontos a serem
132
considerados. Inicialmente, percebemos que todos os participantes sentiram a
necessidade de transpor para as suas histórias elementos que não se restringem ao
movimento simulado no SimCalc.
Esta constatação nos leva a inferir que há indícios do Obstáculo OE(f)-01: A
Matemática não está preocupada com problemas práticos, uma vez que, apesar da
tentativa de fazer relações entre os movimentos modelados por funções puramente
matemáticas, ao tentar transpor tais ideias, os coletivos pensantes participantes de
nossa pesquisa não as levam totalmente em consideração, ou seja, as histórias têm
fortes justificativas nas relações causais em detrimento das relações funcionais, e,
desta forma, põe-se o desafio proposto no Ato U(f)-19: Discriminação entre as
noções de relações funcionais e relações causais.
Tais constatações nos levaram a concluir que, ao propormos esta atividade,
incluímos inferências de causa ao coletivo pensante, que se sobressaíram à
visualização proporcionada pelo SimCalc, centralizando as discussões em torno das
relações causais, o que deixou em segundo plano as relações funcionais discutidas
nas atividades anteriores.
Esta atividade, portanto, nos remete ao OE(f)-01: “A Matemática não está
preocupada com problemas práticos”, uma vez que, ao tentarmos contextualizar um
conteúdo matemático, temos que partir do contexto real e discutir quais são as
limitações a serem feitas para uma simulação em sala de aula e não o inverso, ou
corremos o risco de na tentativa de superar tal Obstáculo, potencializá-lo, uma vez
que, segundo Sierpinska (1992), uma das condições para que seja construído o
conceito de função é reconhecer que este surge a partir dos problemas práticos do
mundo. E, nesta perspectiva, não há como omitir esta discussão, uma vez que
acreditamos que o “Pensar Matemático” é um fenômeno coletivo.
Considerações sobre as Atividades do Bloco 1
Nesta seção, destacamos algumas características que surgiram ao longo do
desenvolvimento dessas cinco atividades e que consideramos importantes para a
construção do conceito de função, tanto no que se refere às compreensões (Atos de
Compreensão) como aos desafios a serem superados (Obstáculos) pelos coletivos
pensantes compostos por Atividades-Alunos-SimCalc. Inicialmente apresentamos
um resumo das principais características observadas nas respostas de cada um dos
Coletivos.
133
C1: Na primeira atividade, reconheceu que a velocidade do palhaço não é
constante, e considerou, mesmo que de maneira informal, as características do
movimento no estabelecimento da relação espaço-tempo. No entanto, quando posto
a pensar em intervalos não visíveis na tela, teve dificuldade no estabelecimento da
relação espaço-tempo considerando a proporcionalidade para fazer projeções para
intervalos não visíveis em tela, chegando à conclusão de que não é possível
descrever uma regra geral que relacione espaço-tempo por se tratar de um
movimento acelerado. Na segunda atividade, fez menção à aceleração para
descrever o movimento, usou valores aproximados para fazer projeção para
intervalos não visíveis em tela e descreveu a relação tempo distância igual a tempo
multiplicado por sete. Na Atividade 3, identificou que os palhaços se encontrarão
após sete segundos, reconheceu que após algum tempo as posições se invertem,
não apontando o ponto exato para esta inversão. Na quarta atividade, usou variáveis
causais, apontando, por exemplo, que o palhaço azul ganhará disputas maiores,
pois não fica cansado, reconheceu que em distâncias menores o vermelho ganhará
a disputa. Na quinta atividade, com a forte presença das variáveis causais,
apresentou dificuldade em retomar o problema proposto, o que fez com que
chegasse à conclusão de que era necessário que a velocidade do palhaço vermelho
diminuísse para que o azul pudesse ultrapassá-lo.
C2: Na primeira atividade, reconheceu que a velocidade não é constante,
considerou, mesmo que de maneira informal, as características do movimento no
estabelecimento da relação espaço-tempo. Quando posto a pensar e fazer
projeções para intervalos não visíveis na tela, teve dificuldade e considerou a
proporcionalidade. Para descrever a regra geral, recorreu a conceitos de
proporcionalidade. Na atividade dois, reconheceu o movimento como sendo
uniforme, usou valores aproximados para fazer projeções para intervalos não
visíveis em tela e usou a proporcionalidade para descrever uma regra geral. Na
terceira atividade, reconheceu que, após algum tempo, as posições se invertem, não
apontando o ponto exato dessa inversão. Na quarta atividade, fez menção às
variáveis causais, reconheceu que, em distâncias menores, o palhaço vermelho
vencerá a disputa e quando foi posto a pensar nas melhores estratégias, surgiram
as variáveis causais, apresentando dificuldade em retomar o problema proposto. Na
quinta atividade, a variável cansaço fez com que chegasse à conclusão de que era
necessário que a velocidade do palhaço vermelho diminuísse para que o azul
134
pudesse ultrapassá-lo.
C3: Na primeira atividade, reconheceu que a velocidade não é constante,
considerou, mesmo que de maneira informal, as características do movimento no
estabelecimento da relação espaço-tempo; no entanto, quando posto a pensar em
intervalos não visíveis na tela, teve dificuldade e considerou a proporcionalidade,
fazendo menção a ela para descrever a regra geral. Na segunda atividade,
reconheceu o movimento como sendo uniforme, usou valores aproximados para
fazer projeções para intervalos não visíveis em tela e fez menção à
proporcionalidade para descrever uma regra geral. Na terceira atividade, identificou
que os palhaços se encontrarão após sete segundos, reconheceu que, após algum
tempo, as posições se invertem, não apontando o ponto exato dessa inversão. Na
quarta atividade, há o apontamento de variáveis causais; reconheceu que, em
distâncias menores, o palhaço vermelho vencerá a disputa, e quando é posto a
pensar nas melhores estratégias, a discussão em torno das variáveis causais fez
com que tivesse dificuldade em retomar o problema proposto. Na quinta atividade, a
variável cansaço fez com que chegasse à conclusão de que era necessário que o
palhaço vermelho parasse para que o azul pudesse ultrapassá-lo.
C4: Na primeira atividade, apresentou dificuldade no reconhecimento das
características do movimento, considerando-o uniforme em diferentes intervalos. No
entanto, por meio da exploração do SimCalc, conseguiu desestabilizar tal
concepção, descrevendo que a regra geral da distância percorrida é igual a tempo
ao quadrado. Na atividade dois, fez menção à aceleração para descrever o
movimento, usou valores aproximados para fazer projeção para intervalos não
visíveis em tela, chegando à relação distância percorrida igual a tempo vezes sete.
Na terceira atividade, identificou que os palhaços se encontrarão após sete
segundos e reconheceu este ponto como sendo o ponto exato da inversão das
posições. Na quarta atividade, houve apontamento de variáveis causais, reconheceu
que, para distâncias maiores, o palhaço azul vencerá a disputa, justificando que a
partir de 7 segundos ele sempre estará na frente. Reconheceu também que, em
distâncias menores, o palhaço vermelho vencerá a disputa, e quando foi posto a
pensar nas melhores estratégias, a referência às variáveis causais prevaleceu,
apresentando dificuldade em retomar o problema proposto. Na quinta atividade, a
história apresentada não estabeleceu conexões com o movimento simulado.
135
Destacamos que, por meio da análise das respostas expressas pelos
coletivos, o principal Obstáculo a ser superado é o OE(f)-9: “Proporção é um tipo
privilegiado de relação”. Notamos que este Obstáculo se mostrou presente para os
quatro coletivos; no entanto, C4 conseguiu superá-lo no decorrer das atividades
propostas. Os outros três coletivos, mesmo percebendo as características dos
movimentos de cada um dos atores, quando postos a pensar em intervalos não
visíveis na tela ou na descrição de uma regra geral que relacionasse espaço em
função do tempo, fizeram uso de ideias relacionadas à proporcionalidade para
apresentarem as suas respostas. Neste caso, parece-nos que a concepção de que
todo tipo de generalização é feito por meio de relações proporcionais realmente
pode se manifestar com frequência e isto pode ser uma evidência de que esses
alunos têm pouca familiaridade em buscar e reconhecer padrões que envolvam
ideias não proporcionais.
Para além das observações das respostas obtidas em nossa pesquisa,
notamos evidências deste Obstáculo também na pesquisa de Baraldo (2009),
quando observou que a regra de três foi utilizada em situações de não
proporcionalidade. Isso e a evidência desse Obstáculo em outras pesquisas nos leva
a conjecturar que a superação deste Obstáculo ainda se constitui como ponto
fundamental para a construção do conceito de função. Observamos que a
introdução do conceito de função ainda está fortemente atrelada a situações de
proporcionalidade, como o observado na pesquisa de Botta (2010), que afirma que
no 7º ano é possível introduzir o conceito de função, por meio da exploração de
atividades relacionadas à ideia de proporcionalidade, a partir do uso de regra de três
para o cálculo de porcentagem.
Apesar da presença do OE(f)-9, notamos que, por meio da constituição do
Coletivo Pensante seres-humanos-com-mídias, particularmente fazendo uso da
mídia janela Mundo do software SimCalc, foram constituídas importantes
características do conceito de função, uma vez que, mesmo nas respostas dos
coletivos com mais dificuldade, houve o reconhecimento das diferenças entre os
movimentos dos palhaços e, mesmo que de maneira intuitiva, expressaram as
características do comportamento do crescimento de cada uma das funções, ou
seja, neste caso não foi usado este termo e nem era a intenção usá-lo; no entanto,
todos identificaram por meio do movimento possibilitado pela mídia disponível, que
no intervalo [0,7] o palhaço modelado por meio da função xxf 7)( era mais rápido
136
do que o palhaço modelado pela função 2)( xxf e que, a partir de 7 segundos, a
situação era invertida constituindo desta maneira um pensar próprio deste coletivo.
Outra observação é de que a presença do OE(f)-9 fez com que os
participantes se remetessem às relações de proporcionalidade para tentarem fazer
projeções para os intervalos não visíveis na tela, no entanto, demonstram ter a
compreensão do U(f)-3 “Identificar as coisas que mudam ao estudar mudanças”, ou
seja, a resposta apresentada não tem como base apenas a posição dos atores no
decorrer do movimento; os participantes têm a percepção de que o espaço
percorrido depende do tempo, como o apresentado em uma das respostas de C3 na
primeira atividade que, mesmo não tendo acertado a questão, responde “Ele
caminhará 45 metros em 9 segundos, pois a cada 03,00 segundos ele caminha 9
metros”.
Para esta mesma questão, nos chamou a atenção a resposta de C1 “Não,
não é possível estabelecer uma regra, pois a velocidade do palhaço se altera entre o
decorrer do percurso. É possível somente achar estimativas de resultado usando a
lógica...”, neste caso foi possível notar as evidências do OE(f)-09. Notou-se que o
SimCalc, ao proporcionar a simulação, fez com que este coletivo, mesmo não
conseguindo descrever a regra geral, percebesse que havia uma relação espaço-
tempo posta por meio do movimento dos atores, ou seja, de acordo com a resposta
apresentada, existia uma “lógica”; lógica esta que, aparentemente, neste nível de
ensino, ainda não foi considerada como “Matemática formal” ou “Matemática
escolar”.
Essas evidências nos fizeram inferir a presença de outro Obstáculo, o OE(f)-1
“A Matemática não está preocupada com problemas práticos”, uma vez que, por
mais que a relação esteja posta por meio do movimento, tal relação, para esses
alunos, não é plausível de ser generalizada. Notamos também uma relação entre
esses dois Obstáculos na pesquisa de VolIrath (1986), que já apontava que, para
ser bem-sucedido na resolução de problemas que envolvam o conceito de função,
havia a necessidade de se descobrir propriedades além da proporcionalidade.
Para a superação deste Obstáculo, segundo Sierpinska (1992), seria
necessário o desenvolvimento de dois Atos de Compreensão, U(f) -1 “Identificação
das alterações observadas no mundo que nos cerca como um problema de ordem
prática a ser resolvido” e U(f) -2 “Identificação de regularidades nas relações entre
137
mudanças como uma forma de lidar com essas mudanças”. Tais atos pareciam ter
sido compreendidos por C4 ao final deste bloco de atividades, uma vez que a
resposta nesta mesma questão “... o número de metros que o palhaço anda equivale
ao número de segundos ao quadrado”, demonstrou que C4 teve muita clareza da
relação matemática espaço-tempo. Ao analisarmos como chegou a tal conclusão,
percebemos que esta se deu em função do diálogo constante deste coletivo, seja na
expressão da fala dos alunos, nos questionamentos postos por meio das atividades
ou pela simulação do SimCalc, chegando desta forma à conclusão de que a
distância era obtida por meio do tempo ao quadrado, ou seja, consideramos que tal
conclusão é resultante do pensar coletivo decorrente das potencialidades e
limitações tanto dos alunos como das mídias disponíveis.
Outro ponto a ser destacado refere-se às histórias descritas na Atividade 5.
Parece que, quando estes coletivos foram colocados a pensar a partir de um novo
ambiente “Escrever histórias”, que não é comum nas aulas de Matemática, as ideias
se distanciaram um pouco da proposta inicial, o relato a partir do movimento pré-
existente dos atores, o que nos levou a conjecturar que há uma falta de
compreensão do Ato U(f)-19 “Discriminação entre as noções de relações funcionais
e relações causais”, descrito por Sierpinska (1992).
A seguir apresentamos um quadro- resumo com as principais características
dos Obstáculos identificadas ao longo do desenvolvimento das atividades deste
Bloco.
138
Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade 4 Atividade 5
C1 Considerou proporcionalidade para intervalos não visíveis em tela
Reconheceu a relação entre tempo e distância
Identificou o momento de encontro dos atores
Presença de variáveis causais
Presença de variáveis causais
C2 Considerou proporcionalidade para intervalos não visíveis em tela
Uso de proporcionalidade para descrever regra geral
Identificou que as posições se invertem, mas não o momento de encontro
Presença de variáveis causais
Presença de variáveis causais
C3 Considerou proporcionalidade para intervalos não visíveis em tela
Uso de proporcionalidade para descrever regra geral.
Identificou o momento de encontro dos atores
Presença de variáveis causais
Presença de variáveis causais
C4 Observou a relação entre movimento e o tempo
Reconheceu a relação entre tempo e distância
Identificou o momento de encontro dos atores e percebeu esse mesmo momento como de inversão dos atores
Justificou a partir da relação entre os palhaços no software
História sem relação com o movimento simulado
5.2 Análise das atividades do Bloco 2
Neste Bloco, os participantes demonstraram facilidade e entusiasmo na
exploração das ferramentas do SimCalc no que se refere à criação de atores
utilizando comandos pré-estabelecidos (“Linear Paramétrico”, “Quadrático
Paramétrico”, “Periódico Paramétrico” e “Exponencial Paramétrico”)11.
Para além desta familiarização, houve o reconhecimento das características
dos conjuntos domínio e imagem das funções exploradas (exponencial e
trigonométrica), com destaque para suas particularidades.
11 Ao serem criados, os atores assumem funções específicas. O ator “Linear Paramétrico” foi
automaticamente representado pela função , o “Quadrático Paramétrico” por o “
Periódico Paramétrico” por e o “Exponencial Paramétrico” por ,todos no intervalo de tempo (0,3).
xy 4 xxy 42
)4( xCosy xey 4
139
Atividade 1
Nesta atividade, cujo objetivo foi proporcionar uma familiarização das
ferramentas de criação de atores por meio de parâmetros pré-estabelecidos e a
possibilidade de fazer alterações do intervalo do domínio, além dos questionamentos
entregues aos alunos, foi apresentada a ferramenta “mudar a arte do mundo” que
possibilitou a exploração de diversos personagens disponíveis12 no SimCalc.
Na questão (C), foi solicitado que criassem um ator utilizando um dos
comandos apresentados e, na questão (D), que descrevessem o ator criado.
Quando foram postos a descrever as características do ator que criaram na questão
(C), C1 e C4, que criaram seus atores por meio do “Ator Linear Paramétrico”, fizeram
menção à velocidade constante como exemplificado na resposta de C4 “O ator linear
paramétrico tem um movimento constante, ou seja, independente do tempo e metros
não mudará sua velocidade” (Figura 60).
Figura 60. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2
C2, que criou seu ator por meio do comando “Quadrático paramétrico”,
respondeu “não tem velocidade nem tempo certo conforme vai aumentando os
metros andados por segundo ele vai aumentando” (Figura 61).
Figura 61. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2
Demonstrou, desta forma, ter reconhecido que se tratava de um movimento
com velocidade acelerada. C3 não respondeu esta questão.
12 Esta opção só está disponível na licença de professor. Para este estudo, como o laboratório de informática da escola não tinha internet em todas as máquinas, disponibilizamos a licença de professor aos alunos para aumentar as possibilidades de ferramentas a serem exploradas.
140
Na questão H, quando foram postos a criar e observar o movimento
simultâneo dos quatro tipos diferentes de atores, C1 respondeu:
O verde – Linear paramétrico – Ele anda o percurso todo na mesma velocidade, sendo ela 100 km/h. O azul – Quadrático paramétrico – Ele começa devagar e depois vai almentando (sic) a sua velocidade e como sua velocidade é maior ele acaba andando mais que o verde. O laranja – Periódico paramétrico – Ele faz o movimento vai e volta. O magenta – Ele sai em disparada na frente dos outros cachorros, e anda sempre na mesma velocidade. (Figura 62)
Figura 62. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2
Neste caso, notamos que C1 se remete à velocidade para descrever as
características de três dos quatro atores, sendo que no caso da função exponencial
não percebeu que se tratava de uma velocidade acelerada, destacando que o ator
caminhava rápido em velocidade constante. Já no caso da função trigonométrica,
este coletivo não fez referência à velocidade. O que chamou a atenção dele foi o
movimento de “vai e volta. Uma das falas de um aluno desse coletivo externa que “O
movimento desse peixe não é normal, parece que está louco”.
C2 também fez referência à velocidade ao responder “O tempo e os metros
são iguais, eles não andam juntos porque não são a mesma velocidade” (Figura 63).
Figura 63. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2
141
Para C3
“O Linear Paramétrico é o mais lento, menos do que o periódico paramétrico que tem movimento “retardado”, ou seja fica indo e voltando. Já o quadrático paramétrico é o segundo mais rápido, pois demora certo tempo para passar o limite do quadrado. E o ator exponencial paramétrico é sem duvida (sic) o mais rápido demora 0,60 segundos para sumir no quadrado” (Figura 64).
Figura 64. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2
C4 respondeu:
“Josh – Linear / Rui – quadrático/ Gleyd – periódico/ Pop – exponencial. Pop tem um movimento acelerado. Gleyd tem um movimento para frente e para traz. (sic) Rui tem um movimento que começa devagar e fica rápido. Josh tem um movimento constante” (Figura 65).
Figura 65. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2
C4 também, ao descrever as características do ator criado por meio da função
exponencial, classificou-a como tendo velocidade constante. Tal conclusão pode
estar atrelada às limitações da visualização disponibilizada em tela, tendo em vista
que a observação do movimento dos quatro atores ocorreu simultaneamente e,
neste contexto, o ator exponencial foge do campo de visão rapidamente. Para C4,
142
assim como para C1, o movimento do ator periódico não foi descrito por meio da
velocidade e sim pela característica de “ida e volta”.
Consideremos que o objetivo de familiarizar os alunos com as ferramentas de
criação de atores por meio dos parâmetros pré-estabelecidos foi atingido e, para
além desse objetivo, destacamos que a inserção dessa ferramenta ofereceu
contribuições para a construção do “pensar coletivo”, uma vez que, a partir das
justificativas apresentadas, podemos notar a inserção de frases que reforçam as
características das relações espaço-tempo estabelecidas nas atividades anteriores
como a apresentada por C4 na questão (D) “O ator linear paramétrico tem um
movimento constante, ou seja, independente do tempo e metros não mudará sua
velocidade”.
Destacamos ainda que as respostas apresentadas nesta atividade refletem
um tipo de pensar característico do coletivo seres-humanos-com-mídia, uma vez que
a mídia disponível, software SimCalc, possibilitou a exploração de movimentos
modelados por meio de funções que normalmente não são exploradas neste nível
de ensino e a visualização destes movimentos proporcionou um “pensar coletivo”
diferente do explicitado nas outras funções. Notamos esta evidência quando, ao
explorarem a função trigonométrica, para as descrições das características
diferentes das demais, não fizeram referência à velocidade, tendo como foco o
movimento de “vai e volta”, o que nos leva a conjecturar que, apesar de
presenciarmos os vários tipos de movimento em nossas atividades cotidianas, esses
movimentos não são explorados no ambiente escolar. A fala de um dos participantes
“O movimento desse peixe não é normal, parece que está louco” pode evidenciar
mais uma vez presença do OE(f)-1 “A Matemática não está preocupada com
problemas práticos”. Neste contexto, destacamos que há uma dificuldade em
reconhecer a realidade tanto do movimento de um animal peixe em seu ambiente
natural como o movimento do personagem peixe em seu ambiente virtual,
considerando as semelhanças e as diferenças de cada uma dessas realidades em
prol da resolução de problemas matemáticos.
Atividade 2
Nesta atividade, o ator foi criado por meio do “Ator Exponencial Paramétrico”
e o objetivo foi fazer com que, por meio da manipulação do intervalo do domínio,
fossem estabelecidas relações entre o intervalo de tempo e a distância percorrida.
143
Na questão (A), quando posto a descrever as características do movimento
do ator, C1 respondeu que “Ele anda muito rápido, percorre todo percurso na
mesma velocidade” (Figura 66).
Figura 66. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2
Para C2, “O inicio dele já e rapido (sic) e ele mantem (sic) a velocidade
constante” (Figura 67).
Figura 67. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2
Assim como na atividade anterior, esses coletivos não reconheceram que no
caso deste ator a velocidade não era constante.
Já para C3 “super veloz, aumenta levemente a velocidade faz 40 metros em
0,90 segundos” (Figura 68).
Figura 68. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2
Para C4, “Ele começa devagar nos primeiros 0,5 segundos logo após ele
acelera absurdamente” (Figura 69).
Figura 69. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2
Neste caso, notamos que os participantes reconheceram as características do
movimento acelerado, caracterizando a alta variação da velocidade quando dizem
144
que o ator “acelera absurdamente”, ou seja, por meio do movimento destacam as
características do crescimento desta função.
Na questão (B), quando postos a explorar a simulação em diferentes
intervalos de tempo e a descrever o que acontece com o movimento do ator,
notamos que C2, que na questão anterior não havia reconhecido as características
da velocidade, respondeu que “E um movimento acelerado começando em uma
velocidade media e depois ele altera e passa dos 200 metros” (Figura 70).
Figura 70. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2
Desta forma, C2 reconheceu que se tratava de um movimento acelerado; já
para C1, que teve a mesma dificuldade, a opinião permanece a mesma,
respondendo que “continua da mesma maneira e só corre mais tempo durante o
percurso” (Figura 71).
Figura 71. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2
C3 e C4, que já haviam reconhecido as características do movimento,
descreveram que houve uma alteração do espaço percorrido em função das
alterações feitas no intervalo do tempo. C4 respondeu, por exemplo, que “muda o
tempo do início e do fim da corrida dele” (Figura 72).
Figura 72. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2
Neste caso, é possível observar que, mesmo de forma intuitiva, C3 e C4
notaram que, ao alterar o intervalo de tempo, houve como consequência uma
alteração no intervalo da distância percorrida.
145
Na questão (C), quando fizeram a simulação do movimento no intervalo [-8,3],
C1 respondeu que “Ele só começa a andar depois que o tempo fica positivo, pois
quando está negativo ele não sai do lugar” (Figura 73),
Figura 73. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2
C2 “no intervalo de -8, 3 ele ficou parado e a partir do 0,00 positivo ele
começa a andar bem rápido” (Figura 74),
Figura 74. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2
C3 “O peixe fica -08,00 segundos parado e depois dispara na mesma
velocidade anterior, 4 metros demora 0,90 segundos” (Figura 75).
Figura 75. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2
C4 “Do -8 ao 0 ele anda parado, depois do 0 ele volta a mesma situação da
ultima vez” (Figura 76).
Figura 76. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2
Estas respostas nos levam a inferir que, por meio da observação e da
descrição do movimento do ator, há a identificação de características dos conjuntos
146
domínio e imagem da função exponencial, neste caso, representadas por ,
como por exemplo, a percepção de que o ator só se movimenta no lado positivo.
Na questão (D), quando questionados se existia algum intervalo em que o
ator partisse de um valor negativo C1, C2 e C3 respondem que não com base na
simulação observada, como o exemplificado na resposta de C1 “Não, pois quando
está negativo ele não se movimenta, ele só passa a andar quando o valor é positivo”
(Figura 77).
Figura 77. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2
Apenas C4 responde “Sim, o -1, pois começa a andar a partir daí” (Figura 78).
Figura 78. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2
No entanto, ao observarmos o diálogo dos participantes, ao dizerem que
“Parece que no menos um ele já começa a andar, ou seria depois do zero? Não sei,
mas parece que no menos um ele já arranca, põem para andar de novo, não sei
vamos por menos um”, entendemos que essa resposta se deu em decorrência das
limitações do movimento observado na tela. Desta forma é possível notar que, por
meio do movimento, há o reconhecimento de que independente do intervalo de
tempo utilizado o ator só se movimenta no lado positivo.
Na questão (E), quando postos a pensar sobre a distância percorrida pelo ator
em um segundo em dois diferentes intervalos, todos reconhecem que, por conta do
aumento da velocidade, o ator percorre distâncias diferentes. C1, que nas atividades
anteriores não tinha reconhecido o movimento acelerado, nesta questão responde
que
Em um segundo com uma velocidade de 10 km/h e aceleração de 4, ele percorre 550m. E em 2 segundos mantendo a mesma velocidade, ele percorre uma metragem que não se pode visualizar na régua, mais ultrapassando os 2.000 metros. (Figura 79).
xexf 4)(
147
Figura 79. Resposta de C1 para a Questão E da Atividade 2 do Bloco 2
Neste caso, apesar de não termos elementos para analisar como chegaram a
esta resposta ou como decidiram por uma velocidade de 10km/h, tendo em vista que
o arquivo que continha a gravação foi corrompido, notamos na resposta apresentada
que quando este coletivo se refere à mesma velocidade, não está considerando a
velocidade constante e sim a aceleração constante, uma vez que notou a diferença
nas distâncias percorridas.
Para além das características dos conjuntos domínio e imagem, de modo
geral, notamos que todos descreveram características do crescimento da função
exponencial fazendo menção às “altas variações” do aumento da velocidade. Apesar
de tais características, o objetivo, que era fazer com que, por meio da manipulação
do intervalo do domínio, fossem estabelecidas relações entre o intervalo de tempo e
a distância percorrida, não foi plenamente atingido, uma vez que as respostas
apresentadas limitaram-se ao visualizado em tela, prejudicando assim o
aprofundamento da discussão em torno da relação espaço-tempo.
Tal limitação nos leva a inferir que, por se tratar de um movimento modelado
por uma função pouco explorada neste nível de ensino, houve evidências da
presença do OE(f)-03 “Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as
coisas mudam e ignorar o que muda”, no entanto, julgamos que a atividade no
molde como foi apresentada não contribuiu para a superação de tal percepção, uma
vez que pouco contribuiu na construção de um “pensar” mais aprofundada no que se
refere à relação entre as variáveis envolvidas.
Atividade 3
Nesta atividade, o ator foi criado por meio do “Ator Periódico Paramétrico”
com o objetivo discutir as diferenças entre espaço percorrido e distância entre ponto
inicial e final após a movimentação do peixe.
148
Notamos, em atividades anteriores que, quando postos a caracterizar o
movimento dos atores, o foco dos coletivos foi a velocidade em que os atores se
moviam. No caso da questão (A), quando postos a descrever as características do
movimento do ator, o que chamou a atenção desses coletivos foi o movimento de
“ida e volta” citado por todos eles. Para C1, “O movimento é incerto, pois o peixe vai
para o lado negativo e volta para o lado positivo e por mais 1 vez” (Figura 80).
Neste caso, notamos que o fato do movimento não ser unicamente do sentido
negativo para o positivo faz com que seja classificado como “incerto”, o que nos leva
a inferir que este tipo de movimento ainda é pouco explorado no ambiente escolar,
tendo em vista que no ensino fundamental o foco na exploração do movimento
concentra-se no movimento retilíneo uniforme, o que acaba reforçando o OE(f)-09.
Figura 80. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2
Para C2 “Ele vira de um lado para outro anda entre 1m e o -1 isso em três
segundos” (Figura 81). Neste caso, C2 reconheceu as características do conjunto
imagem desta função, ou seja, [-1,1].
Figura 81. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2
Nesta questão o foco se concentrou em “como as coisas mudam” em
detrimento “do que muda” evidenciando, neste caso, o OE(f)-3 “Considerar as
mudanças como fenômenos, focar em como as coisas mudam e ignorar o que
muda”. Esta constatação nos faz pensar na necessidade de que, por meio de mídias
diferentes, vários tipos de funções sejam explorados, ainda no ensino fundamental e
que esta exploração contemple várias representações, considerando as que já são
normalmente exploradas (Algébrica, tabular e gráfica), assim como o movimento.
Desta forma os alunos terão mais elementos para reconhecer os diferentes tipos de
149
movimento como plausíveis de serem estudados em Matemática, estabelecendo
relações com outras disciplinas e não os considerando como movimentos
irregulares.
Na questão (B), quando questionados sobre quantos metros o ator percorreria
em quatro segundos, destacamos as respostas de C1 e C4. C1 responde que “4
metros, porque ele vai do 0 ao 1, 4 vezes seguidos” (Figura 82).
Figura 82. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2
Ao observar a fala de um dos alunos de C1 “temos que contar quantas vezes
ele anda do zero ao um positivo”, percebemos que ele considera como espaço
percorrido apenas o trecho positivo, demonstrando que, para este coletivo, ainda é
difícil identificar a distância percorrida quando se trata do lado negativo do percurso.
Isto nos faz conjecturar que tanto nas aulas de Ciências como nas aulas de
Matemática no ensino fundamental é mais comum a exploração de deslocamento no
sentido positivo, o que pode gerar um Obstáculo na exploração de deslocamentos
no sentido negativo. Esta prática docente está tão enraizada que mesmo na
elaboração das atividades desta pesquisa notamos, durante esta análise, que esta
atividade foi a única que explorou o movimento no lado negativo. Todas as outras
exploraram apenas o lado positivo. Para C4 “10 metro (sic), pois ele vai em 1 metro
depois para o -1 fazendo esse movimento varias (sic) vezes sempre passando pelo
0” (Figura 83).
Figura 83. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2
Durante a realização desta atividade, um dos alunos de C4 disse “aumenta aí
para quatro segundos, para mim é cinco”. Seu parceiro respondeu “isso! é cinco!
vamos para a próxima” e ele, observando um pouco mais, diz “não, não é! do um até
o menos um tem o zero; ele percorre um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito,
150
nove, dez”, ou seja, notaram que do menos um ao um o ator percorreu um espaço
de dois metros.
C2 e C3 não conseguiram responder esta questão, tiveram mais dificuldade.
Para C2 “Ele começa andando do 1 ao -1 e se por exemplo colocar no 5 ele anda do
5 ao -5” (Figura 84),
Figura 84. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2
Para C3, “Ele percorre 24 metros em 4 segundos, pois mesmo ele
movimentando para frente e para trás continua percorrendo os metros” (Figura 85).
Figura 85. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2
Ao analisarmos a fala de um dos alunos de C3 “Bom em um segundo parece
que ele anda seis metros, então em quatro segundos é só multiplicar quatro vezes
seis”, notamos que tiveram a percepção errada de que o ator caminhava seis metros
a cada segundo; tal consideração pode ser decorrente do fato de que, neste
momento, estavam utilizando uma “arte do mundo” (Figura 86) com uma escala
muito grande, o que prejudicou a observação do movimento no intervalo [-1, 1].
Apesar desse prejuízo, é possível notar que perceberam as características do
espaço percorrido quando relatam que, independente do movimento ser para frente
ou para trás, deve-se contar os metros percorridos.
151
Figura 86. Mundo utilizado por C3 na Questão B da Atividade 3 do Bloco 2
Na questão (C), que solicitava o espaço percorrido pelo ator após vinte
segundos, C1 respondeu “20 metros, ele vai estar no zero” (Figura 87). Utilizando o
mesmo raciocínio realizado na questão (B).
Figura 87. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2
C2 descreveu apenas as características do movimento e do conjunto imagem
ao responder que “Em 20s ele estará andando do -1 ao 1 mas bem rápido” (Figura
88).
Figura 88. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2
Para C3, “Ele terá percorrido 120 metros em 20 segundos. Ele estará no
ponto 0” (Figura 89).
Figura 89. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2
152
Neste caso, notamos influências do raciocínio apresentado na questão
anterior; e, para C4, “50 metros, ele está no ponto -1” (Figura 90).
Figura 90. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2
Um dos alunos de C4 diz que “se em quatro segundos ele anda 10 metros,
vinte é quatro vezes cinco, logo em vinte segundos ele andará 10 vezes cinco que é
igual a cinquenta”.
Na questão (D), quando questionados se havia algum momento em que o ator
passaria na marca de trinta metros, todos descrevem que não, fazendo menção às
características do conjunto imagem limitado pelo intervalo [-1,1], como o
exemplificado na resposta de C2, “Não após criar o autor ele apenas andou do 1 ao
-1” (Figura 91), que mesmo não tendo reconhecido as características do conjunto
imagem na questão (B) agora as reconhece, após terem explorado um pouco mais o
movimento no SimCalc.
Figura 91. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 3 do Bloco 2
Na questão (E), quando postos a descrever o que aconteceria com o
movimento do ator quando alterado o intervalo de tempo [0,3], todos relatam que
não há alterações nas características do movimento, ficando a percepção de que,
independente do intervalo de tempo utilizado, o ator se movimentava apenas do -1
ao 1.
Apesar da presença do OE(f)-03 no início desta atividade, em consequência
de um movimento não familiar aos alunos no ambiente escolar, consideramos que
os objetivos pensados para esta atividade, de proporcionar uma discussão das
diferenças existentes entre espaço percorrido e distância entre ponto inicial e final,
após a movimentação do peixe, foram satisfatórios, uma vez que todos os coletivos
reconheceram as características dos conjuntos domínio e imagem mesmo que de
maneira intuitiva, ou seja, mesmo sem ainda conhecerem as características formais
destes dois conjuntos. Por meio da manipulação do intervalo de tempo, fizeram
153
relações com as características de movimento do ator em questão, como por
exemplo, percebendo que, independentemente do intervalo de tempo utilizado, o
movimento do ator limitava-se ao intervalo [-1,1]. Destacamos que o conjunto de
questões exploradas nesta atividade não foi suficiente para superar o OE(f)-03; no
entanto, não tínhamos esta pretensão nesta atividade, uma vez que há indícios de
que essa foi a primeira vez que estes alunos foram postos a explorar este tipo de
movimento no ambiente escolar e, desta maneira, com esta atividade, apenas
iniciamos um processo que poderá futuramente agregar novos elementos, a fim de
superar o Obstáculo.
Considerações sobre as atividades do Bloco 2
Inicialmente apresentamos um resumo das respostas apresentadas pelos
coletivos.
C1: Na primeira atividade, ao descrever as características do movimento dos
atores, fez referência à velocidade, exceto no caso da função exponencial, na qual o
movimento de ida e volta foi o que chamou a atenção e foi classificado como
“anormal”. Na segunda atividade, o movimento modelado por meio da função
exponencial foi classificado como rápido e constante, o coletivo identificou que o ator
só começa a andar depois que o tempo fica positivo, houve, também, o
reconhecimento de que, para se percorrer a mesma distância em intervalos
diferentes, são necessários tempos diferentes. Na terceira atividade, na qual o ator
foi modelado por meio da função trigonométrica, o movimento foi classificado como
incerto do lado negativo para o positivo, reconheceu as diferenças de ponto inicial e
final a partir do conceito de distância percorrida, no entanto, para o cálculo de
distância percorrida considerou apenas o lado positivo, reconheceu que,
independente do tempo do movimento, o ator se movimenta apenas no intervalo de
distância de -1 ao 1.
C2: Na primeira atividade, reconheceu que os atores modelados por
diferentes funções não andam juntos, pois têm velocidades diferentes, fazendo
menção à velocidade do ator exponencial como sendo constante. Na Atividade 2,
quando é posto a pensar no deslocamento do ator em diferentes intervalos,
reconheceu que o movimento é acelerado, fez referência a que o ator fica parado
quando usado um intervalo de tempo negativo e que anda muito rápido no tempo
positivo. Na terceira atividade, reconheceu que, independente do intervalo de tempo,
154
a imagem é limitada no intervalo [-1, 1].
C3: Na primeira atividade, fez referência à velocidade para caracterizar o
movimento dos atores, exceto para o ator paramétrico, que é classificado como
retardado. Na segunda atividade reconheceu as características do movimento
acelerado do ator exponencial, identificou que, em intervalos diferentes, o ator
percorre distâncias diferentes, apontou que o ator não se movimenta no intervalo de
tempo negativo. Na terceira atividade, em que foi explorado o ator periódico
paramétrico, reconheceu as características da distância percorrida identificando que,
independente do tempo, o movimento do ator limita-se ao intervalo [-1, 1].
C4: Na primeira atividade, fez menção à aceleração para classificar o
movimento do ator, exceto para o ator periódico em que o que chamou a atenção foi
o movimento de ida e volta. No caso do ator exponencial, classificou o movimento
como sendo constante. Na segunda atividade, descreveu que o ator exponencial
começa o movimento devagar e depois acelera “absurdamente”, reconheceu que o
ator, para percorrer a mesma distância em intervalos diferentes, necessita de
tempos diferentes, relatou que, no lado negativo, o ator anda parado. Na terceira
atividade, na qual foi explorado um ator periódico, conseguiu calcular distâncias
percorridas a partir do tempo dado e reconheceu as características da imagem
limitada ao intervalo [-1,1].
Neste Bloco de atividades, principalmente por meio da análise das respostas
apresentadas na Atividade 3, cujo ator foi modelado por meio da função ,
notamos evidências do OE(f)-3 “Considerar mudanças como fenômenos, focar em
como as coisas mudam e ignorar o que muda”, inferimos que a presença deste
Obstáculo se deve ao fato de que, em atividades cotidianas, nos deparamos com
movimentos de tipos variados; no entanto, quando o tema “movimento” é abordado
no ambiente escolar, aparentemente são apresentados inicialmente aos alunos
apenas movimentos retilíneos, com características crescentes, ou seja, no ambiente
escolar, estes movimentos acabam sendo considerados “normais” e movimentos
como o proposto por esta função, como o expressado por um dos coletivos, podem
ser considerados “retardados”, o que demonstra o potencial do SimCalc na
desestabilização dessas concepções enquanto mídia integrante do Coletivo
Pensante.
Desta maneira, ao tentarmos contextualizar ou fazer relações da Matemática
xy 4cos
155
por meio de exemplos que classificamos como do cotidiano, devemos levar em
consideração e dar ciência aos alunos das limitações e/ou potencialidades da
situação apresentada, em relação às situações do cotidiano, levando em conta suas
irregularidades. Caso contrário, corremos o risco de, por meio de uma situação que
julgamos ser do cotidiano, potencializar o OE(f)-1 “A Matemática não está
preocupada com problemas práticos”, tendo em vista que seus resultados e
características não são condizentes com o experienciado no cotidiano.
Essas evidências nos sugerem a importância de explorar os vários tipos de
funções no ambiente escolar, desde o ensino fundamental, tirando o foco apenas
das funções decorrentes de relações proporcionais. Sales (2008), por exemplo, já
apontava que, ao explorar funções por meio do movimento, as funções afins
ofereciam menos possibilidades de trabalho com os alunos, uma vez que o
comportamento observado não apresentava nada de excepcional e, desta maneira,
não causava surpresa aos estudantes. Nesta perspectiva, destacamos o potencial
do trabalho com o Coletivo seres-humanos-com-mídias na exploração do conceito
de função, uma vez que cada tipo de mídia possibilita diferentes reflexões aos
alunos e, no caso do software SimCalc, por meio dos diferentes movimentos
disponibilizados em sua janela Mundo, possibilitou reflexões diferentes das
normalmente exploradas no ambiente escolar e, neste caso, a inclusão deste
software na constituição dos coletivos pensantes, assim como na pesquisa de Costa
(2008) com o uso do kit, utilizando a ideia do recurso tecnológico como prótese,
possibilitou aos participantes um “pensar” sobre funções diferente do constituído
sem o uso destas tecnologias.
Tais características reforçam o potencial do software SimCalc no
reconhecimento do conceito de função por meio do movimento, como apontado por
Pereira (2013), ao destacar a fala de um dos participantes de sua pesquisa “Então,
por trás desse movimento existe uma função que é estabelecida em sua parte
gráfica e algébrica, nossa! Que legal!” (PEREIRA, 2013, p.116), o que nos leva a
inferir que a utilização do SimCalc pode auxiliar nos processos de ensino e de
aprendizagem de função.
No que se refere ao conceito de função, destacamos que, apesar da presença
do OE(f)-3: Considerar as mudanças como fenômenos, focar em como as coisas
mudam e ignorar o que muda, por meio do movimento dos atores, há a concepção
das características dos conjuntos domínio e imagem das funções exploradas no
156
caso da atividade 1 cujo ator foi modelado pela função ,com e
e que no caso da função , explorada na atividade 3
a imagem limitava-se a .
A seguir apresentamos um quadro- resumo com as principais características
dos Obstáculos identificadas ao longo do desenvolvimento das atividades deste
Bloco.
Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3
C1 Referência à velocidade Espanto com função trigonométrica
Movimento exponencial como rápido e constante Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes
Movimento trigonométrico é “incerto” Imagem limitada
C2 Referência à velocidade
Movimento exponencial é acelerado Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes
Imagem limitada
C3 Referência à velocidade
Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes
Imagem limitada
C4 Referência à aceleração
Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes
Imagem limitada
xey 4 }{)( RfDom
0/)Im( yRyf xy 4cos
}11/{)Im( yRyf
157
5.3 Análise das atividades do Bloco 3
Neste bloco, tínhamos como objetivo analisar como os alunos fariam uso dos
conceitos desenvolvidos nas atividades anteriores para reproduzir atores que
apresentassem o mesmo movimento dos atores das atividades 1 (modelado por
meio da função 2xy ) e 2 (modelado por meio da função xy 7 ) do Bloco A. Nas
respostas apresentadas, notamos que os participantes, ao criarem os atores,
utilizaram, além das ferramentas apresentadas na atividade de familiarização ao
SimCalc, a ferramenta “criar expressão da função ator”, uma vez que perceberam
que poderiam criar o ator com a possibilidade de alterar qualquer um dos elementos
da expressão algébrica gerada, bem como o intervalo do tempo.
Atividade 1
Nesta atividade, esperávamos que as respostas fossem baseadas na
observação e na comparação da velocidade dos atores; no entanto, já na questão
(A), quando solicitado que criassem um ator que descrevesse o mesmo movimento
do palhaço da Atividade 1 do Bloco 1 (modelado por meio da função ),
observamos que os coletivos, ao explorarem as ferramentas do SimCalc,
descobriram as características da representação algébrica da função explorada e
que estas poderiam ser reproduzidas por meio do menu “criar expressão da função
ator”, como o exemplificado na resposta de C1 “Usamos “criar expressão da função
ator” e fizemos as alterações da seguinte maneira: mudamos o tempo de 3 para 6,5
e a fórmula. Fiz alteração dessa função : para ” (Figura 92).
Figura 92. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3
2xy
x*4 2^x
158
C2 respondeu “Coloquei em velocidade constante de 2 em 2 metros e ele
andar por 6,5s o ator que eu selecionei andou 10m expreção (sic) usada: ( )”
(Figura 93).
Figura 93. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3
Apesar da análise desta resposta ter ficado prejudicada, uma vez que o
arquivo da gravação foi corrompido, notamos que, quando se referem à expressão
usada como sendo , há indícios de que também utilizaram a ferramenta “criar
expressão da função ator”.
C4 relata que “Primeiro criamos um ator, usando a ferramenta de criar a
expressão da função ator, usando a expressão , replicamos o palhaço da
atividade 1 onde sua posição era o tempo ao quadrado” (Figura 94).
Figura 94. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3
Apenas C3 apresentou uma resposta desconexa com a proposta “Eu criei um
ator linear paramétrico, observei o movimento e o intervalo ai (sic) só criei outro ator
igual” (Figura 95).
Figura 95. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3
Observamos, nas gravações, que C3 respondeu esta questão aleatoriamente;
os alunos estavam neste momento mexendo em outras coisas no computador.
2^x
2^x
2^xy
159
Notamos, nesta questão, que, apesar de não estar previsto nos objetivos
iniciais, os participantes, por meio da exploração das ferramentas do SimCalc,
mesmo que de forma intuitiva, utilizaram o nome “função” relacionando-o com
expressões algébricas, como por exemplo · Consideramos que tal
reconhecimento contribuirá para a compreensão desta representação quando esta
for apresentada aos alunos nos anos escolares posteriores.
A ferramenta “criar a expressão da função ator” também foi utilizada na
questão (B) por C4, quando solicitado que criassem um ator que descrevesse o
mesmo movimento do palhaço da Atividade 2 do Bloco 1 (modelado por meio da
função ) ao responder: “Criando um ator, usando a ferramenta de criar a
expressão da função do ator, usando a expressão , replicamos o palhaço da
atividade 2, onde sua posição será o tempo vezes 7 tendo velocidade constante”
(Figura 96).
Figura 96. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3
C1, ao reconhecer as características do movimento do ator, respondeu:
“Mudamos o y de um para 7 e o tempo para 6,5, e o x+ de 4 para 0. E usamos “Criar
ator linear paramétrico”” (Figura 97).
Figura 97. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3
Já C2 respondeu que “Já na atividade 2 ele tem uma velocidade constante
mais rápida e também colocando 6,5s, ele andou 21m. Expressão usada ( )”
(Figura 98).
2^xy
xy 7
xy *7
2^xy
160
Figura 98. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3
Ao analisar as gravações, percebemos que C2 acabou abrindo o arquivo
errado; eles abriram o mesmo arquivo da questão (A), o que prejudicou a resposta
desta questão. C3 descreve que “Eu criei uma expressão da função ator e coloquei
7 no , e [0;6,5]” (Figura 99).
Figura 99. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3
A análise das respostas apresentadas nesta atividade ficou limitada, uma vez
que inferimos que seria necessário inserir mais atividades a fim de discutir com os
participantes as características das expressões algébricas apresentadas, bem como
suas relações com as características dos movimentos dos atores, no entanto, em
função da limitação do tempo para a conclusão da pesquisa isto não foi possível.
Todavia, acreditamos que a exploração da representação algébrica, mesmo neste
caso feita superficialmente, ao ser atrelada ao movimento dos atores, pode contribuir
para a construção do conceito de função como objeto ao longo da vida escolar
desses estudantes, uma vez que não a apresentamos de modo isolado, sua
exploração esteve diretamente relacionada à representação “movimento”.
Considerações sobre as atividades do Bloco 3
Neste Bloco de atividades, inicialmente era esperado que os participantes
criassem os atores por meio das características dos movimentos dos atores. No
entanto, notamos que, uma vez constituído um coletivo pensante, não temos mais
controle sobre as estratégias de resolução que serão desenvolvidas por este
coletivo. No caso das respostas apresentadas neste bloco, percebemos que a
estratégia de resolução se deu por meio não da comparação das características da
velocidade, e sim pela comparação das funções disponíveis na janela álgebra.
y
161
Na exploração do SimCalc, algumas características das funções trabalhadas
foram identificadas, tais como, no caso da função que esta poderia ser
representada por meio da expressão , representação esta que também é
utilizada em outros ambientes tecnológicos, como por exemplo, nas calculadoras
científicas e no caso da função duas características chamaram a atenção: o
reconhecimento do coeficiente angular com a característica “o tempo deve ser
multiplicado por sete”, identificado nas primeiras atividades e que, neste caso, o
coeficiente linear deveria ser igual a zero, como foi destacado por C1.
Sendo assim, consideramos que, por meio da exploração do SimCalc, houve
o reconhecimento de algumas características da representação algébrica das
funções exploradas. Consideramos que não há necessidade de se apresentar
primeiro a representação algébrica de uma função para posteriormente explorar as
suas outras representações; o trabalho pode ser iniciado por meio de qualquer uma
de suas representações. No caso de nossa pesquisa, a proposta foi iniciar por meio
da exploração do movimento. Consideramos ainda que a introdução do conceito de
função, por meio do movimento, constitui uma estratégica ferramenta pedagógica
para a superação OE(f)-11: Apenas as relações descritíveis analiticamente por
fórmulas são dignas de serem chamadas funções e, consequentemente, para a
construção do conceito de função, ao longo da vida escolar dos estudantes.
A partir dos resultados e da análise feita sob a perspectiva dos Obstáculos
Epistemológicos para o Ensino de Funções de Sierpinska (1992) e dos Coletivos
Pensantes na perspectiva de Lévy (1993), apresentamos as considerações finais
desta tese, fazendo uma retomada de cada uma das questões de pesquisa, bem
como refletindo sobre os objetivos propostos nesta pesquisa.
2xy
2^xy
xy 7
162
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tentar entender a incidência da dificuldade dos alunos no trabalho com
funções, ao término da educação básica e no início da superior foi o que nos
impulsionou a desenvolver esta pesquisa. Vimos, em capítulos anteriores, que
pesquisas apontam que os alunos, ao iniciarem o ensino superior, apresentam muita
dificuldade em trabalhar com o conceito de função. Assim, ao iniciarmos esta
pesquisa, nos questionamos como esta dificuldade pode persistir durante toda a
educação básica, passando para a superior, tratando-se de um conceito que é
bastante explorado na educação básica.
Ainda antes de fazer o experimento com os alunos, ao definirmos as
referências que deram embasamento à nossa pesquisa, algumas inquietações foram
parcialmente respondidas, uma vez que, ao compreendermos o conceito de função
como uma construção ao longo de toda a vida escolar, como proposto por
Sierpinska (1992), algumas concepções se desestabilizaram, uma vez que fomos
postos a pensar sobre a qual concepção nos referimos ao tratar o conceito de
função, tendo em vista que ainda é frequente, no ambiente escolar, a concepção de
que ter o conceito de função resume-se a conhecer sua definição formal
matemática.
Mas, como apontado por Sierpinska (1992), ao desestabilizamos os nossos
“velhos conhecimentos”, estamos aptos a construir “novos” e é nesta perspectiva de
quem também está aos poucos reconstruindo a concepção do conceito de função e
sob a proposição de que grande parte das dificuldades que permeiam este conceito
concentra-se em Obstáculos não superados em sua introdução, apresentamos as
considerações finais dessa pesquisa.
Tínhamos como objetivo discutir quais Obstáculos Epistemológicos
identificados por Sierpinska (1992) surgiriam ao introduzir ideias relacionadas ao
conceito de Função no 9º ano do ensino fundamental, compondo quatro Coletivos
Pensantes, e quais seriam as potencialidades do software SimCalc, enquanto mídia
integrada nesse coletivo, que colaborariam para a superação dos Obstáculos
evidenciados. A fim de alcançar estes objetivos, constituímos quatro Coletivos
Pensantes, cada um deles composto por dois alunos do 9º ano do ensino
fundamental, o software SimCalc e um conjunto de nove atividades que envolvem
ideias relacionadas ao conceito de função. A análise dos dados teve como base as
163
características dos Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Função, na
perspectiva de Sierpinska (1992), bem como as ideias de Coletivo Pensante,
propostas por Lévy (1993) e Borba (2002).
A partir dessas considerações retomamos as nossas questões de pesquisa.
Retomando as questões de pesquisa
Na primeira questão da pesquisa nos questionamos: Ao se introduzir o
conceito de função por meio do software SimCalc no 9º ano do ensino fundamental,
quais Obstáculos levantados por Sierpinska (1992) são observados?
Após a análise dos dados desta pesquisa, passados mais de 30 anos das
considerações feitas por Sierpinska (1992) acerca dos Obstáculos Epistemológicos
para o Ensino de Funções, apesar das divergências teóricas existentes, que
questionam se esses Obstáculos são epistemológicos ou didáticos, constatamos
que estes ainda se mostram presentes, e, neste estudo, pudemos evidenciar a
presença de alguns deles.
O OE(f)-9: “Proporção é um tipo privilegiado de relação” foi o que mais se fez
presente no trabalho com os alunos participantes de nossa pesquisa, uma vez que
ideias relacionadas à proporcionalidade direta foram transpostas para situações de
não proporcionalidade, no decorrer das atividades desenvolvidas, o que nos leva a
inferir que, ao se iniciar a introdução do conceito de função no ensino fundamental,
devemos ter consciência da incidência deste Obstáculo, para que assim possamos
traçar estratégias para superá-lo. Destacamos que a presença desse obstáculo só
pode ser evidenciada pelas nossas escolhas de iniciar o trabalho com funções a
partir de uma que não apresenta um comportamento proporcional, e também não é
usualmente a função a ser discutida na introdução desse conceito.
Outro Obstáculo que se mostrou bastante presente foi o OE(f)-1 “A
Matemática não está preocupada com problemas práticos”. Pensamos que, na
tentativa de contextualizar a Matemática, devemos ter clareza de todas as limitações
postas em simulações feitas no ambiente escolar. Em nosso trabalho, não
exploramos atividades que propiciassem a discussão de tais limitações com os
alunos, no entanto, reconhecemos a importância de tal discussão no processo de
superação deste Obstáculo. Entendemos que a superação do OE(f)-1 está muito
além da inserção da Matemática na resolução de problemas práticos, há de se
pensar na difícil tarefa de fazer uma integração entre as características dos
164
fenômenos naturais e as simulações destes fenômenos, feitas no ambiente escolar,
por meio da tecnologia. No caso desta pesquisa, há de se compreender as
diferenças existentes entre os movimentos presenciados no dia a dia com suas
características desuniformes, curvilíneas e sinuosas e o movimento simulado no
SimCalc, que possibilita a exploração dos movimentos retilíneos uniformes e
uniformemente variados.
Destacamos ainda que, mesmo pensando apenas nos movimentos simulados
no SimCalc, devemos ter a preocupação de explorar movimentos variados, gerados
a partir de diferentes funções, uma vez que o OE(f)-3 “Considerar as mudanças
como fenômenos, focar em como as coisas mudam e ignorar o que muda” também
foi identificado em nossa pesquisa quando propusemos um movimento gerado por
meio de uma função trigonométrica e foi classificado por um dos coletivos como
“movimento retardado”. Esta também é uma função não usualmente apresentada na
introdução desse conceito.
Na segunda questão, foi levantado o seguinte questionamento: Quais são as
potencialidades do software para enfrentar os Obstáculos citados na primeira
questão?
Consideramos que, ao integrar o software SimCalc ao grupo de trabalho,
constitui-se um coletivo pensante favorável, tanto para a identificação, como para
exploração de alguns Obstáculos Epistemológicos presentes na introdução do
conceito de função no ensino fundamental, dos quais destacamos o OE(f)-9:
“Proporção é um tipo privilegiado de relação”, que emergiu já a partir da primeira
atividade na qual foi explorado o movimento do ator criado por meio do “Ator
Quadrático Paramétrico”, confrontando o movimento proporcionado pelo SimCalc e
o pensamento proporcional apresentado pelos alunos, confronto este que iniciou o
processo de desestabilização do pensar proporcional apresentado pelos alunos. A
exploração do movimento do “Ator Linear Paramétrico” proporcionou, por meio do
movimento de “ida e volta”, a identificação do OE(f)-3: “Considerar mudanças como
fenômenos, focar em como as coisas mudam e ignorar o que muda”, o que
demonstra o potencial desta mídia por propiciar a exploração de um movimento
pouco explorado no ambiente escolar constituindo desta forma um pensar próprio do
coletivo que inclui esta mídia. Quando postos a pensar nas semelhanças e
diferenças existentes entre movimentos rotineiros do dia a dia e os movimentos
simulados no SimCalc, levando em consideração a realidade de cada ambiente,
165
identificamos a presença do OE(f)-1: “A Matemática não está preocupada com
problemas práticos”.
Ressaltamos ainda que a identificação e exploração desses Obstáculos
contribuem para a construção do conceito de função, uma vez que, por meio da
Matemática do Movimento, explorou-se uma representação de função que
normalmente não é explorada no ambiente escolar. Ao pensarmos na perspectiva de
Sierpinska (1992), que destaca como primeiro Obstáculo a ser superado, na
construção do conceito de função, “A Matemática não está preocupada com
problemas práticos”, consideramos que o movimento é algo presente no cotidiano
dos alunos e, portanto, deve ser mais explorado no ambiente escolar. Desta
maneira, consideramos que a constituição do Coletivo seres-humanos-com-mídias
se mostrou fundamental tanto para identificação como para a exploração dos
Obstáculos citados anteriormente, uma vez que a mídia escolhida, SimCalc, por
meio das características da janela “mundo”, propiciou um ambiente favorável para o
desenvolvimento do conceito de função, uma vez que a exploração dos movimentos
dos atores, modelados por diferentes funções, trouxe à tona os Obstáculos
anteriormente citados, contribuindo assim para que “velhos” conhecimentos fossem
desestabilizados, ainda que não na totalidade.
Destacamos ainda que, por meio do trabalho Coletivo, mesmo sem que os
alunos participantes conhecessem uma definição formal matemática de o que é uma
função, surgiram ideias que julgamos fundamentais para a construção do conceito
de função, tais como relação entre duas variáveis, dependência, características de
crescimento e reconhecimento dos conjuntos domínio e imagem. A partir de tais
respostas, retomamos a pertinência desta pesquisa no campo da Educação
Matemática.
Pertinência do estudo
A identificação de alguns dos Obstáculos apontados por Sierpinka (1992)
mesmo em meio a um trabalho Coletivo que inclui seres-humanos-com-mídias pode
reforçar as suas características epistemológicas, em detrimento das didáticas, na
perspectiva explorada por Sierpinska (1992). Desta maneira, evidencia-se a
importância e a pertinência dessa perspectiva teórica, na discussão dos processos
de ensino e de aprendizagem de função e, em particular, na sua introdução ainda no
ensino fundamental, uma vez que, ao respondermos as questões de pesquisa,
166
notamos fundamentos para a nossa premissa inicial de que muitas das dificuldades
relacionadas ao conceito de função podem ter origem em Obstáculos não
superados, neste nível de ensino.
A nosso ver, o primeiro passo para que um Obstáculo seja superado é a sua
identificação e o reconhecimento da importância de sua superação, no processo de
construção do conceito de função e, para tal, reconhecemos a pertinência dessa
pesquisa ao integrar o software SimCalc ao Coletivo Pensante, uma vez que a
simulação de movimentos, proporcionada na janela “Mundo”, mostrou-se
fundamental para que estes Obstáculos viessem à tona, lembrando ainda que,
segundo Lévy (1993), por meio da simulação computacional, são constituídos
raciocínios diferentes daqueles decorrentes da velha lógica formal, baseada
unicamente no alfabeto, no caso desta pesquisa, a constituição do raciocínio
relacional entre duas variáveis por meio de uma representação dinâmica de funções
proporcionada pela representação “movimento”.
Assim, evidenciamos nesta pesquisa, algumas características que
consideramos relevante para a construção do conceito de função frente à discussão
já posta na área da Educação Matemática; destacamos inicialmente que, ao propor
a introdução desse conceito de função no ensino fundamental por meio de um
trabalho Coletivo seres-humanos-com-mídias, exploramos este conceito por meio de
raciocínios próprios deste Coletivo, uma vez que possibilitou a exploração de
funções não habituais, neste nível de ensino, tais como, funções quadrática,
exponencial e trigonométrica, possibilitando aos alunos pensar em relações para
além da proporcionalidade, o que trouxe a tona o OE(f)-9.
Além de trabalhar com diferentes tipos de funções, as exploramos em uma
ordem diferente da usual (iniciada sempre com funções lineares), o que colaborou
para a desestabilização do pensar proporcional apresentado pelos alunos,
descaracterizando o status dado às relações de proporcionalidade neste nível de
ensino em detrimento das relações não proporcionais, contribuindo assim para o
início do processo de superação do OE(f)-9. Destacamos ainda que o trabalho
desenvolvido por meio da mídia, software SimCalc, possibilitou a exploração da
representação “movimento” que normalmente não é explorada no ambiente escolar
nas aulas de Matemática, propiciando aos alunos um pensar sobre a relação entre
duas variáveis próprio deste ambiente pela característica dinâmica. Este conjunto de
características atreladas a uma perspectiva teórica que não resume o entendimento
167
do conceito de função apenas ao reconhecimento de uma definição matemática
formal, considerando-o como uma construção que se dá ao longo da vida escolar,
nos faz pensar que esta pesquisa oferece novas reflexões no que se refere ao
processo de construção do conceito de função.
Reconhecemos que ainda são muitos os desafios relacionados ao
desenvolvimento desse conceito nesta perspectiva, uma vez que, quando nos
remetemos ao conceito de função, ainda é muito presente no ambiente escolar a
concepção de que este se resume à definição formal matemática e, no que se refere
ao uso da tecnologia, devemos considerar todas as limitações existentes no
ambiente escolar, seja pela precariedade dos equipamentos, pela falta de
conectividade, como foi o caso da escola participante dessa pesquisa, ou por
concepções teóricas inadequadas aos objetivos propostos.
Por fim, consideramos que, ao encarar o desenvolvimento do conceito de
função nesta perspectiva, estamos constituindo um recurso pedagógico favorável à
introdução do conceito de função no ensino fundamental e, consequentemente, para
a sua construção ao longo dos anos posteriores.
Perspectivas futuras
As reflexões apresentadas nesta pesquisa nos levam a inferir a necessidade
de um aprofundamento na discussão da incidência dos Obstáculos Epistemológicos
para o Ensino de Função no ensino fundamental, bem como os reflexos dessa
incidência no processo de construção deste conceito, ao longo da vida escolar.
Considerando que cada mídia possibilita um pensar próprio do ambiente explorado,
há a necessidade de pesquisas que discutam nos diferentes níveis de ensino, por
meio da constituição de diferentes Coletivos seres-humanos-com-mídias se todos os
Obstáculos identificados por Sierpinska (1992) ainda se constituem como
Epistemológicos no processo de ensino de funções ou se até mesmo outros surgem.
Também destacamos a necessidade de outras pesquisas que explorem o potencial
do software SimCalc para o processo de superação dos Obstáculos presentes na
construção do conceito de função.
168
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172
APÊNDICES
APÊNDICE A - Estudo Piloto: Primeira Aplicação
Bloco 1.
Atividade 1
Para o estudo desta atividade, foi criado um ator segundo a função ,
no intervalo [0,6]. Foi postado para o aluno apenas a tela em que o ator se
movimenta.
Os seguintes questionamentos foram feitos:
A) Coloque o ator em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Se o ator continuar caminhando, quantos metros ele terá caminhado após
13 segundos? Como você chegou a esta conclusão?
C) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 14 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
D) E para caminhar 20 metros, quanto tempo será necessário? Justifique a
sua resposta.
173
E) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 98 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
Atividade 2
Nesta atividade, o ator foi criado segundo a função , no intervalo
[0,6]. Foi postado para o aluno apenas a tela em que o autor se movimenta.
Foram feitos os seguintes questionamentos:
A) Coloque o ator em movimento, observe e descreva como é esse movimento. Você(s)
nota(m) alguma similaridade com o movimento do ator anterior? Se sim quais?
Nota(m) diferenças? Se sim quais?
B) Quanto tempo será necessário para ele atingir 16 metros? Como você
chegou a essa conclusão?
C) Quanto tempo será necessário para ele atingir 35 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
D) Quanto tempo será necessário para ele atingir 144 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
E) Quantos metros ele terá caminhado após 5 segundos? Justifique a sua
resposta.
F) Andando neste ritmo, é possível identificar quantos metros ele terá
caminhado após 10 segundos? Como você chegou a esta conclusão?
174
Considerações desse Bloco de atividades
Notamos neste bloco, que, na primeira atividade proposta, que descreve o
movimento do ator por meio de uma função afim, o aluno, mesmo sem reconhecer a
função que descreve o movimento do ator, é capaz de fazer relações espaço-tempo
a partir do movimento observado. Esta observação nos leva a concluir que, por um
lado, a atividade do modo como foi apresentada contribui para o reconhecimento do
papel da Matemática na resolução de problemas práticos, uma vez que o aluno é
capaz de partir do problema apresentado, procurar conceitos matemáticos para a
resolução do mesmo e apresentar a resposta solicitada. Por outro lado, notamos
que, pelo fato desta atividade ser a primeira, pode ter reforçado a incompreensão no
entendimento das relações de proporcionalidade como um caso particular de
relação.
A segunda atividade, que descreve o movimento do ator por meio de uma
função quadrática nos revela o aparecimento de um obstáculo, ou seja, a questão da
proporcionalidade está muito forte na forma de pensar do aluno, o que o impede de
abandonar esta forma de pensar para desenvolver um pensar “novo”.
Bloco 2.
Atividade 1
Nesta Atividade, foi postada a tela de movimento dos dois atores das
atividades anteriores simultaneamente, seguido dos seguintes questionamentos.
Olhando para o movimento simultâneo dos dois atores responda:
A) Qual dos atores atinge a marca de 30 metros primeiro? Justifique sua
resposta.
B) Qual dos dois atores você acha que atingirá a marca de 60 metros
primeiro? Justifique sua resposta.
C) Os dois atores se encontrarão em algum ponto? Se sim, quanto tempo
será necessário para que eles se encontrem? Em que ponto eles se encontrarão?
D) Após 10 segundos de caminhada quem estará na frente? Justifique sua
resposta.
175
E) O que você pode dizer sobre o movimento desses atores: Um deles
sempre estará na frente? Se sim, qual deles? Por quê? Se não, descreva o que
acontece.
Atividade 2
Nesta Atividade, o ator foi criado segundo a função no
intervalo [0;9,4] e o aluno, nesse caso, teve acesso também apenas à janela Mundo.
A) Quantos metros o ator percorre em 4 segundos? Justifique a sua resposta.
Após 10 segundos, quantos metros ele terá percorrido? Em que ponto ele
estará?
B) Você nota alguma semelhança ou diferença do movimento desse ator com
os dois anteriores? Quais?
Atividade 3
Existem algumas estratégias para se realizar uma maratona.
Veja algumas estratégias destacadas em um estudo realizado na Escola de
Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo.
Neste estudo, são apresentados quatro diferentes tipos de estratégias,
conforme a distribuição da velocidade ao longo da prova:
176
a) Estratégia constante - o atleta mantém (ou altera pouco) a velocidade ao longo da prova; b) estratégia negativa ou decrescente - o atleta inicia a prova em alta velocidade e diminui ao longo da prova; c) estratégia positiva ou crescente - o atleta inicia a prova em velocidades baixa e aumenta gradualmente até o final; d) estratégias variáveis - a distribuição da velocidade não segue um padrão bem definido (CARMO et al., 2012, p.352).
Suponha que os atores da Atividade 1 estejam disputando uma maratona de
60 Km.
A) O que você diria sobre a estratégia de corrida de cada um deles? Há
alguma semelhança com as estratégias apresentadas no estudo da Escola de
Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo? Neste caso, qual
corredor terá mais sucesso, ou seja, vencerá a disputa? Justifique a sua resposta.
B) No caso de maratonas com outras distâncias (menores e maiores do que
60 km) a estratégia que foi considerada melhor para vencer a maratona de 60 km
permanecerá sendo a melhor estratégia? O que você pensa sobre isto ao observar o
movimento dos atores?
C) Devemos considerar que, no caso de uma maratona, outros fatores devem
ser considerados, como, por exemplo, os limites fisiológicos de cada atleta. Se estas
mesmas estratégias utilizadas por estes dois atores forem adotadas por atletas de
verdade, quais serão os pontos positivos e os negativos de cada uma delas,
dependendo da distância a se percorrer.
Considerações deste Bloco de atividades
177
Notamos, neste bloco de atividades, que, inicialmente, quando trabalhamos o
movimento dos dois atores simultaneamente no software, o aluno apresentou
dificuldades em reconhecer que a partir de um determinado intervalo de tempo o
Ator 2 passaria à frente do Ator 1. No entanto, notamos, nas respostas apresentadas
na Atividade 3, que, quando o aluno foi posto a pensar em uma situação do mesmo
movimento em uma situação de disputa real, ele passou a reconhecer esta
característica.
Esta identificação nos revela que reconhecer a Matemática como uma ciência
que resolve problemas práticos é um Obstáculo a ser superado, e esta atividade se
mostra importante para a superação de tal Obstáculo.
Notamos, desta forma, que este bloco de atividades oferece elementos que,
se complementados com novas atividades, poderão desestabilizar as respostas
pautadas apenas nas ideias proporcionais, dando margem à consideração de novas
formas de pensar sobre as mesmas situações, e contribuir para a construção do
conceito de função.
A partir destas observações, julgamos importantes algumas alterações neste
bloco de atividades, a saber:
1) exclusão da Atividade 2, que deverá ser explorada em um outro bloco de
atividades que trabalhe outros tipos de funções com movimentos diferenciados, uma
vez que notamos que as idéias proporcionais apresentadas no Bloco 1 não foram
desestabilizadas, e que a Atividade 3 mostrou potencial nessa tentativa de
desestabilização. Desta maneira, constituiremos um segundo bloco iniciado pela
Atividade 3, e a Atividade 2, que propõem uma discussão diferente, será explorada
em um bloco posterior.
2) reformulação da Atividade 3, que deverá explorar uma corrida que discuta
a distância em metros e não em quilômetros. Isso será necessário para a realização
da simulação da disputa no SimCalc, que trabalha em metros, e
3) inserção de uma nova atividade que propicie a simulação no software desta
disputa em um intervalo de tempo maior que 7 segundos e coloque os alunos a
rediscutir as respostas apresentadas nas questões anteriores deste bloco.
Esperamos que a partir da realização desta nova Atividade, os alunos percebam que
há incoerências entre as respostas apresentadas nas Atividades do Bloco 1 e as
respostas apresentadas na primeira questão do Bloco 2, e pensamos que neste
momento o pensamento “velho” (todas as relações são proporcionais) pode ser
178
desestabilizado e dar espaço para a construção do pensamento “novo” (a relação de
proporcionalidade como um caso particular de relação).
Bloco 3.
Neste momento, o professor pesquisador apresentou ao aluno a janela de
representação algébrica da função que descreve o movimento, e explicou como o
intervalo de tempo do movimento pode ser alterado.
Atividade 1
Foi postada ao aluno a função , no intervalo de [0,4] com as
janelas: Mundo, Gráfico e Álgebra.
Com os seguintes questionamentos:
A) Altere o intervalo [0,4] e faça alguns testes do movimento do ator com
intervalos diferentes. O que ocorre com o movimento do ator? O que você observa?
O movimento é o mesmo? Há alguma diferença?
B) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-2,2]?
C) Qual intervalo deveria ser utilizado para que o foguete partisse do ponto
zero? Justifique a sua resposta.
179
D) Para que o foguete parta do ponto 10 e pare no ponto 100, qual intervalo
deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a
sua resposta.
E) Para que o foguete parta do ponto 10 e percorra uma distância de 93 m,
que intervalo é necessário utilizarmos? Quanto tempo ele gastará para fazer este
percurso? Justifique a sua resposta.
Atividade 2
Foi postada aos alunos a função , no intervalo de [-4,4] com o movimento,
a representação gráfica e a representação algébrica.
Com os seguintes questionamentos:
A) Altere o intervalo [-4,4] e faça alguns testes do movimento do ator com
intervalos diferentes. O que ocorre com o movimento do ator? O que você observa?
O movimento é o mesmo? Há alguma diferença?
B) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-10,5]?
C) Existe algum intervalo que faça com que o foguete parta de um ponto
inferior a zero? Justifique a sua resposta.
D) Para que o foguete parta do ponto 8 e pare no ponto 64, qual intervalo
deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a
sua resposta.
180
E) Para que o foguete parta do ponto 4 e percorra uma distância de 124 m.
Que intervalo é necessário utilizar? Quanto tempo ele gastará para fazer este
percurso? Justifique a sua resposta.
Considerações deste Bloco de atividades
Notamos que, apesar das dificuldades apresentadas em relação às situações
que envolvem relações não proporcionais, o aluno apresenta importantes
características no reconhecimento do domínio e da imagem das funções exploradas.
Isso nos remete às ideias apontadas por Sierpinska (1992) quando retrata que o
desenvolvimento dos conceitos matemáticos não pode estar pautado apenas no
trabalho por meio de definições matemáticas.
Vale ressaltar que, neste bloco, o aluno é posto a fazer relações a partir da
concepção inicial de domínio e imagem. Por exemplo, quando, na Atividade 2,
responde que para iniciar o movimento no ponto 8 metros o intervalo de tempo deve
ser iniciado no 3 segundos, ou seja, reconhece que para se atingir o marco 8
metros, primeiro deve fixar o início do intervalo de tempo em 3 segundos, e neste
caso notamos que há uma preocupação com a ordem das variáveis, demonstrando
indícios do reconhecimento de um dos Obstáculos descritos por Sierpinska (1992),
OE(f)-5: Considerar irrelevante a ordem das variáveis.
181
APÊNDICE B - Estudo Piloto: Segunda Aplicação
A partir das necessidades de alteração citadas anteriormente e as sugestões
da banca de qualificação que ocorreu após a aplicação e análise deste primeiro
estudo piloto reformulamos as atividades e aplicamos a outro aluno do oitavo ano do
ensino fundamental.
Bloco 1.
Atividade 1
O ator será criado segundo a função , no intervalo [0;6,5]. Será
postado para o aluno apenas a tela em que o ator se movimenta.
Os seguintes questionamentos serão feitos:
A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Observando o movimento do palhaço, quantos metros ele caminha em: a)
2 segundos? b) 4 segundos? c) 6 segundos?
C) Quanto tempo é necessário para que o palhaço caminhe: a) 7m? b) 21m?
c) 35m?
182
D) Se o palhaço continuar caminhando, quantos metros ele terá caminhado
após 13 segundos? Como você chegou a esta conclusão?
E) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 98 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
F) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 14 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
G) E para caminhar 20 metros, quanto tempo será necessário? Justifique a
sua resposta.
H) Quantos metros ele terá caminhado após 53 segundos? Como você
chegou a esta conclusão?
I) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o
palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?
Atividade 2
Nesta atividade, o ator será criado segundo a função , no intervalo
[0;6,5]. Será postado para o aluno apenas a tela em que o autor se movimenta.
Serão feitos os seguintes questionamentos:
A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Você(s) nota(m) alguma similaridade com o movimento dos palhaços das
atividades anteriores? Se sim quais?
C) Você(s) nota(m) alguma diferença entre este movimento e os dos palhaços
das atividades anteriores? Se sim quais?
D) Quantos metros ele terá caminhado após: a) 2 segundos? b) 4 segundos?
c) 6 segundos? Justifique as suas respostas.
E) Quanto tempo será necessário para que ele atinja: a) 1m? b) 9m? c) 25m?
Justifique as suas respostas.
183
F) Quantos metros o palhaço terá caminhado após 9 segundos? Justifique a
sua resposta.
G) Andando neste ritmo, é possível identificar quantos metros ele terá
caminhado após 33 segundos? Como você chegou a esta conclusão?
H) Quanto tempo será necessário para ele atingir 35 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
I) Quanto tempo será necessário para ele atingir 144 metros? Como você
chegou a esta conclusão?
J) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o
palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?
Considerações deste Bloco de atividades
Na primeira atividade o aluno conseguiu a partir do movimento do palhaço
estabelecer que a distância percorrida pudesse ser obtida multiplicando o tempo por
sete. Na última questão descreveu uma regra pertinente relatando que seria
necessário saber quantos metros o palhaço percorreria em 1 segundo e depois
bastaria multiplicar este valor por 6, acreditamos que citou 6 por uma distração,
tendo em vista que em na resposta apresentada na questão H já tinha relatado que
deveria multiplicar o tempo por 7 “...vi quantos metros ele anda em 1 segundo (7
metros) e multipliquei por 53 que deu 371”.
Na segunda atividade O aluno reconhece as características do movimento do
palhaço, ou seja, nota que a velocidade não é constante. No entanto na questão F
respondeu que o tempo para caminhar os primeiros 4 metros seria o mesmo para se
caminhar os mesmos 4 metros no intervalo de 20m a 24m. Quando posto a pensar
no tempo de caminhada em um intervalo que não estava disponível na tela (33m)
responde “não, pois passos quase incontáveis já o tempo é contável mas o ritmo
que ele anda não é possível decifrar muito bem quantos metros ele andaria em 33
segundos. No entanto na hora de descrever uma regra geral (questão K) notamos
que o aluno usa a mesma justificativa apresentada na questão 1 quando responde
“sim é só você saber quantos metros ele anda em 1 segundo...”.
Essas evidências nos levam a concluir assim como na primeira aplicação do
estudo piloto evidências do OE(f)-9: “Proporção é um tipo privilegiado de relação”. A
partir das respostas apresentadas concluímos que as atividades desenvolvidas
184
podem contribuir para a superação de tal Obstáculo, no entanto não foram
suficientes para desestabilizar totalmente tal concepção.
Bloco 2.
Atividade 1
Nesta Atividade, será postada a tela de movimento dos atores das atividades
1 e 3 simultaneamente, seguido dos seguintes questionamentos.
A) Coloque os palhaços em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) O que você observa sobre a velocidade dos palhaços? Existe alguma
diferença? Se sim qual(is)?
C) Quanto tempo será necessário para que cada um dos palhaços caminhe:
a) 10 m? b) 20m? c) 30m?
D) Qual dos palhaços atinge a marca de 30 metros primeiro? Justifique sua
resposta.
E) Qual dos dois palhaços você acha que atingirá a marca de 70 metros
primeiro? Justifique sua resposta.
F) Após 10 segundos de caminhada quem estará na frente? Justifique sua
resposta.
185
G) Os dois palhaços se encontrarão em algum ponto? Se sim, quanto tempo
será necessário para que eles se encontrem? Em que ponto eles se encontrarão?
H) O que você pode dizer sobre o movimento desses palhaços: Um deles
sempre estará na frente? Se sim, qual deles? Por quê? Se não, descreva o que
acontece.
Atividade 2
Escreva uma história que envolva o movimento dos palhaços da Atividade 1.
Atividade 3
Existem algumas estratégias para se realizar uma maratona.
A seguir apresentamos quatro estratégias destacadas em um estudo
realizado na Escola de Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo
conforme a distribuição da velocidade ao longo da prova:
a) Estratégia constante - o atleta mantém (ou altera pouco) a velocidade ao longo da prova; b) estratégia negativa ou decrescente - o atleta inicia a prova em alta velocidade e diminui ao longo da prova; c) estratégia positiva ou crescente - o atleta inicia a prova em velocidades baixa e aumenta gradualmente até o final; d) estratégias variáveis - a distribuição da velocidade não segue um padrão bem definido (CARMO et al., 2012, p.352).
Suponha que os palhaços da Atividade 1 estejam em uma disputa a fim de
verificar quem atingirá a marca de 60 metros primeiro .
A) O que você diria sobre a estratégia de corrida de cada um deles? Há
alguma semelhança com as estratégias apresentadas no estudo da Escola de
Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo?
186
B) Qual corredor terá mais sucesso, ou seja, vencerá a disputa? Justifique a
sua resposta.
C) No caso de disputas com outras distâncias (menores e maiores do que 60
metros) a estratégia que foi considerada melhor para vencer a disputa de 60 metros
permanecerá sendo a melhor estratégia? O que você pensa sobre isto ao observar o
movimento dos palhaços?
C) Devemos considerar que, no caso de uma disputa entre atletas reais,
outros fatores devem ser considerados, como, por exemplo, os limites fisiológicos de
cada atleta. Se estas mesmas estratégias utilizadas por estes dois palhaços forem
adotadas por atletas de verdade, quais serão os pontos positivos e os negativos de
cada uma delas, dependendo da distância a se percorrer?
Atividade 4
Nesta Atividade, será postada a tela de movimento dos dois atores da
atividade 1 simultaneamente, agora no intervalo de [0,15].
Escreva uma história a partir da observação do movimento dos palhaços.
Para o desenvolvimento das atividades dos blocos 3 e 4 além da janela
Mundo também foi disponibilizada para visualização dos alunos a janela Álgebra,
onde é apresentada a representação algébrica e o intervalo do domínio da função
explorada. Para o desenvolvimento destas atividades, além das ferramentas
apresentadas anteriormente o professor pesquisador apresentou aos alunos como
alterar a intervalo do domínio.
Após esta familiarização se iniciou as atividades dos blocos 3 e 4.
Considerações deste Bloco de atividades
Na atividade 1 o aluno identifica as diferenças entre os movimentos dos dois
atores e reconhece que a partir de um determinado momento o palhaço azul
passará na frente no vermelho, sendo capaz de fazer a projeção que para percorrer
distâncias cuja movimentação não era visível na tela como por exemplo 70 metros, o
azul teria vantagens sobre o vermelho. Essas constatações foram confirmadas na
atividade 2 onde era solicitado que o aluno descrevesse uma história que ilustrasse
a disputa dos dois atores.
187
Na atividade 3 tal percepção também se confirma, principalmente quando
relata que a estratégia do palhaço azul é a melhor e quando questionado se essa
estratégia seria a melhor independente da distância a ser percorrida responde
“não...nos 40 metros o palhaço vermelho chegaria primeiro por começar rápido...e
nos 58 o azul chegaria por ir aumentando a velocidade. Tal constatação é
confirmada na resposta apresentada na questão 4 quando em sua história relata que
a estratégia de cada um deles é melhor ou pior dependendo da distância a ser
percorrida, logo a priori nenhuma delas pode ser considerada melhor de forma
absoluta.
As respostas apresentadas neste bloco de tarefas nos levam a concluir a
influência novamente de dois Obstáculos discutidos anteriormente. Inicialmente
notamos que o aluno tem clareza das diferenças entre os movimentos dos dois
atores, no entanto, notamos já no bloco 1 que quando é necessário fazer algum
cálculo para expressar a sua resposta recorre as ideias de proporcionalidade, ou
seja, de fato há a incidência do Obstáculo de que a proporção é um tipo privilegiado
de relação. Nota-se também que ao analisar uma situação que aparentemente está
fora do contexto escolar descreve com clareza as características do movimento de
cada um dos atores, ou seja, isso nos leva a conjecturar que na construção dos
conceitos matemáticos no ambiente escolar os problemas do “mundo” podem não
estarem sendo explorados adequadamente e desta forma evidenciando o Obstáculo
de considerar que a Matemática não está preocupada com os problemas práticos.
Bloco 3.
Atividade 1
Será postada ao aluno a função , no intervalo de [0,4].
188
Com os seguintes questionamentos:
A) Coloque o elevador em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Altere o intervalo [0,4] e faça alguns testes com o movimento do foguete
com intervalos diferentes. O que você observa? O que ocorre com o movimento do
elevador? O movimento permanece o mesmo? Há alguma diferença? O que muda e
o que permanece igual?
C) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-2,2]?
D) Qual intervalo deveria ser utilizado para que o foguete partisse do ponto
zero? Justifique a sua resposta.
E) Para que o elevador parta do ponto 10 e pare no ponto 100, qual intervalo
deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a
sua resposta.
F) Para que o elevador parta do ponto 10 e percorra uma distância de 93 m,
que intervalo é necessário utilizarmos? Quanto tempo ele gastará para fazer este
percurso? Justifique a sua resposta.
G) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o
elevador andou conhecendo o tempo e vice-versa?
189
Atividade 2
Nesta atividade temos os mesmos objetivos descritos para a atividade
anterior, aqui explorado por meio de uma função que envolve uma relação de duas
grandezas não proporcionais.
Será postada aos alunos a função , no intervalo de [-4,4].
Com os seguintes questionamentos:
A) Coloque o foguete em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Altere o intervalo [-4,4] e faça alguns testes do movimento do ator com
intervalos diferentes. O que você observa? O que ocorre com o movimento do
foguete? O movimento é o mesmo? Há alguma diferença?
C) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-10,5]?
D) Existe algum intervalo que faça com que o foguete parta de um ponto
inferior a zero? Justifique a sua resposta.
E) Para que o foguete parta do ponto 8 e pare no ponto 64, qual intervalo
deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a
sua resposta.
190
F) Para que o foguete parta do ponto 4 e percorra uma distância de 124 m.
Que intervalo é necessário utilizar? Quanto tempo ele gastará para fazer este
percurso? Justifique a sua resposta.
G) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o
foguete andou conhecendo o tempo e vice-versa?
Considerações deste Bloco de atividades
Neste bloco, novamente o aluno percebe as diferenças entre os movimentos
dos dois atores nota a dependência da distância percorrida em função do intervalo
de tempo, no entanto quando é posto a pensar sobre uma regra geral que
descrevesse o movimento dos atores tem facilidade na atividade 1 e continua
transferindo as mesmas ideias de proporcionalidade para tentar justificar a regra do
ator da atividade 2 que foi projetado por meio de uma função exponencial.
Bloco 4.
Atividade 1
Nesta atividade o objetivo é discutir as diferenças entre espaço percorrido e
distância entre ponto inicial e final após um tempo de movimentação do peixe.
Nesta Atividade, o ator será criado segundo a função no
intervalo [0;9,4] e o aluno terá acesso apenas à janela Mundo.
191
A) Coloque o peixe em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Quantos metros o peixe percorre em 4 segundos? Justifique a sua
resposta.
C) Após 20 segundos, quantos metros ele terá percorrido? Em que ponto ele
estará?
D) Em algum momento o carrinho passará pela marca de 30 metros?
Justifique a sua resposta.
Atividade 2
Nesta atividade esperamos que os alunos percebam e discutam as
características de uma função “por partes”. Esperamos que neste caso, esta
discussão esteja pautada principalmente na observação de que no intervalo [0,2] a
velocidade do carrinho é constante e que no intervalo ]2,10] a velocidade não é
constante.
Nesta Atividade, o ator será criado segundo a função
e o aluno e terá acesso também apenas à janela
Mundo.
192
A) Coloque o carro em movimento, observe e descreva como é esse
movimento.
B) Quanto tempo é necessário para que o carro percorra os primeiros 8
metros?
C) Quanto tempo é necessário para que o carro percorra os mesmos 8 metros
no intervalo de 8m até 16m?
D) Tente escrever uma história a que represente o movimento do carro.
Considerações deste Bloco de atividades
Na primeira atividade identifica as características do movimento do peixe e
consegue distinguir as diferenças entre ponto inicial e ponto final e a distância
percorrida, notamos esta evidência na resposta apresentada na questão 1 C quando
é questionado sobre quantos metros o peixe percorreria após 20 segundos e em que
ponto estaria, responde que percorreria 240m, justificando que a cada 1 segundo
percorre 12 metros e que estaria no ponto 5,5 metros.
A análise da questão 2 ficou um pouco prejudicada, tendo em vista que os
questionamentos feitos não foram suficientes para gerar uma reflexão além do
movimento visualizado e desta forma o aluno apenas colocou o carro em movimento
e suas respostas pautaram-se a penas no visualizado.
193
APÊNDICE C - Termo De Responsabilidade da Instituição
194
APÊNDICE D - TCLE
Carta de esclarecimento sobre o Projeto e a Pesquisa
Pesquisa: Introdução ao Conceito de Função: Uma discussão a partir de uma
proposta com o software SimCalc no Ensino Fundamental.
Pesquisadores responsáveis: Robson dos Santos Ferreira RG 42985571-0 e
Rosana Nogueira de Lima RG: 11.536.099-2
Informações sobre a pesquisa:
Esta pesquisa está sendo desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, tendo como
objetivo principal analisar quais são as potencialidades do software SimCalc na
construção do pensamento funcional, tendo como base teórica os Obstáculos
Epistemológicos para o ensino de função descritos por Sierpinska e os Coletivos
Pensantes seres-humanos-com-mídias propostos por Borba. Na pesquisa, o aluno
responderá a sete questões, divididas em três encontros com duração aproximada
de uma hora e trinta minutos cada um, a serem realizados no laboratório de
informática da escola no contra turno escolar.
Ao preencher estes instrumentos de pesquisa, você estará consentindo que
estes dados sejam utilizados apenas para os fins desta pesquisa. Ressaltamos que
não há interesse de identificá-lo.
Desde já agradecemos sua contribuição, porque ela será de extrema
importância para que os objetivos deste trabalho sejam atingidos.
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Eu, _______________________________________________________________,
portador(a) do RG:___________________________________ responsável pelo
aluno ______________________________________________________, residente
na ____________________________________________________, com número
de telefone _______________e e-mail _____________________, abaixo assinado,
dou meu consentimento livre e esclarecido para a participação do aluno acima
referenciado como voluntário(a) da pesquisa supra citada, sob a responsabilidade
dos pesquisadores Robson dos Santos Ferreira e Rosana Nogueira de Lima.
Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:
1) O objetivo principal dessa pesquisa é analisar quais são as potencialidades do
software SimCalc na construção do pensamento funcional, tendo como base teórica
195
os Obstáculos Epistemológicos para o ensino de função descritos por Sierpinska e
os Coletivos Pensantes seres-humanos-com-mídias proposta por Borba;
2) Durante o estudo, o aluno sob minha responsabilidade realizará oito atividades
divididas em três encontros de aproximadamente uma hora e trinta minutos cada.
Assim que for terminada a pesquisa, o aluno sob minha responsabilidade terá
acesso aos resultados globais do estudo;
3) O aluno sob minha responsabilidade está livre para interromper, a qualquer
momento, sua participação nesta pesquisa;
4) A participação nesta pesquisa é voluntária, sendo que estou ciente que o aluno sob
minha responsabilidade não receberá qualquer forma de remuneração;
5) O risco desta pesquisa é mínimo e restringe-se ao constrangimento de não saber
responder os problemas propostos ou a lembrança de algum evento desagradável
durante sua experiência escolar com a própria Matemática.
6) Os dados pessoais do aluno sob minha responsabilidade serão mantidos em sigilo e
os resultados obtidos com a pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os
objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica especializada;
7) Sempre que julgar necessário poderei entrar em contato com pesquisador Robson
dos Santos Ferreira, no telefone (19)98370-4376 ou pelo e-mail:
[email protected] e a pesquisadora Rosana Nogueira de Lima, no
telefone (11)98210-9949 ou pelo e-mail: [email protected].
8) Obtive todas as informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre
a participação do aluno sob minha responsabilidade na referida pesquisa;
9) Este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma
permanecerá em meu poder e a outra com os pesquisadores responsáveis.
_____________________, ______de ____________________ de 2015.
Assinatura do Responsável pelo aluno:___________________________________
Assinatura do Pesquisador Responsável pelo estudo: _______________________
Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics (2a ed.). /the nettherlands: kluwer
academic publishers.