UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

DEPARTAMENTO DE FISICA TEORICA I

MJRPlaza

Fısica Computacional

Los libros de donde se toman los ejercicios estan indicados entre corchetes, ası [Knuth] es Knuth,[PTVF] es Press, Teukolsky, Vetterling and Flannery, [FB] es Faires&Burden, etc. La referenciacompleta esta en el programa de la asignatura. Los problemas en rojo se proponen como ejerciciosal alumno. Los que no tienen punto unos los hago yo en clase, otros los haremos en el laboratoriode Fısica Computacional. Los que sean para entregar al profesor (evaluacion continua) se senalarana su debido tiempo.

Nota muy importante: El profesor, o sea yo, MJRP, no valora los ejercicios que se hacen en grupoo en parejas. Lo que falta de frase, lo dire en clase que se tarda menos.

DE RELLENO PERO UTILES

1. (A mano) Convert 729 to binary. Sol: 10110110012 . Convert 100111.1012 to decimal. Sol:39.62510. • Convert −214358 to binary.

2. (A mano) Escribir como fraccion los siguientes numeros racionales: a) 0.6666666 . . ., • b)5.137137137 . . ., • c) 0.999999 . . . (el mas sorprendente, sin duda alguna).

3. • Buscar en Maple los comandos que resuelven los ejercicios anteriores. Pierda en ello untiempo prudencial, no mas. Pregunteme si no los encuentra. Compruebe que los resultadosson los obtenidos a mano.

4. • En la secuencia 1012 − 1, 1012 − 2, 1012 − 3, . . ., ¿cual es el primer primo? (ver el ejercicio12) ¿Ha necesitado usted ordenador para averiguarlo?

[Yo sı necesite el ordenador. Habıa dos numeros antes del pedido que no sabıa entre quedividirlos. Y lo mismo aplica para el que pide el ejercicio: que no sabıa si era primo o no.¿Que habrıan hecho un Euler o un Gauss en este caso? Pregunta retorica, no conteste.]

NUMEROS PSEUDO-ALEATORIOS

5. Usando unas tablas de numeros aleatorios sortear 10 variables (claramente en problemas deverdad se preparan muchas mas, 10 es solo para el ejemplo) con la distribucion:

(

3 40.58 0.42

)

.

6. Here are 4-digit numbers generated with the middle square method proposed by J. von Neu-mann in the 1940’s. The starting point has been 3567. Observe that the sequence enters in acycle very soon.

3567, 7234, 3307, 9362, 6470, 8609, 1148, 3179, 1060, 1236, 5276, 8361, 9063, 1379, 9016, 2882,3059, 3574, 7734, 8147, 3736, 9576, 6997, 9580, 7764, 2796, 8176, 8469, 7239, 4031, 2489, 1951,8064, 280, 784, 6146, 7733, 7992, 8720, 384, 1474, 1726, 9790, 8441, 2504, 2700, 2900, 4100,8100, 6100, 2100, 4100

7. • [Knuth, pag 7] Con Maple o a mano. What number follows 1010101010 in the middle squaremethod? Sol: 3040504030.

8. Determine all primitive roots for p = 11. Sol: 2, 6, 7, 8

9. [Examen Feb2012] (Con calculadora o a mano, de ambas maneras sale) Sea el generador decongruencias lineales

xi+1 = 29xi mod 32.

a) Utilizando un teorema visto en clase determinar si tiene perıodo maximo. b) Tomandocomo semilla 7, ¿cual es el perıodo? ¿Y tomando como semilla 15? ¿Y tomando un 4? ¿Y sila semilla es 6? A la vista de lo obtenido en estas preguntas, ¿depende el perıodo de este gen-erador de que la semilla elegida sea par o impar? c) Con el resultado de los apartados a) y b),¿podrıa enunciar una regla general acerca del perıodo maximo de generadores multiplicativoscon modulo m = 2k?

10. Consider the lcg with (a, c,m) = (21, 3, 100). By Theorem 1 it has full period 100. Plottingall points of the form (xi, xi+1) in a 2D picture check for serial correlations. (We will discoverthat all points line on 9 parallel lines with slope 1, and also will identify other lines of slope −4).

6, 29, 12, 55, 58, 21, 44, 27, 70, 73, 36, 59, 42, 85, 88, 51, 74, 57, 0, 3, 66, 89, 72, 15, 18, 81, 4,87, 30, 33, 96, 19, 2, 45, 48, 11, 34, 17, 60, 63, 26, 49, 32, 75, 78, 41, 64, 47, 90, 93, 56, 79, 62,5, 8, 71, 94, 77, 20, 23, 86, 9, 92, 35, 38, 1, 24, 7, 50, 53, 16, 39, 22, 65, 68, 31, 54, 37, 80, 83,46, 69, 52, 95, 98, 61, 84, 67, 10, 13, 76, 99, 82, 25, 28, 91, 14, 97, 40, 43, 6, 29, 12

11. The RANDU generator was widely used on IBM 360/370 machines. Defined by the choice(a, c,m) = (216+3, 0, 231), it had very bad random properties. While the results from RANDUplotted in a 1D distribution looked okay, and still looked okay in a 2D distribution, in a 3Dhad serious problem when observed at the right angle!

12. Generators of pseudo-random numbers that you can use safely:

a) The Minimal Standard lcg defined by the choice (a, c,m) = (75, 0, 231 − 1). The number231 − 1 = 2147483647 is a Mersenne prime

b) The lcg method used in Maple mathematical software (a, c,m) = (427419669081, 0, 1012 −11). Observe that 1012−11 = 999999999989 is the largest prime number of twelve digits. Botha) and b) give quite satisfactory results as generatos of random numbers, though their periodsare short.

(Ambos los puede usar para los calculos que vamos a hacer en clase. De ninguna manerapuede utilizar usted un generador inferior al Minimal Standard. Si elige usted otro generador,

2

dıgame, por favor, la referencia de donde lo ha tomado y los test que ha pasado. Inventadosno valen. Si no me va a dar esa informacion, use uno de estos dos. O los nuevos de ahora deMaple que segun dice ‘help’ son el no-va-mas)

13. • Con Maple. Sea la siguiente secuencia de Fibonacci,

Xn+1 = (Xn +Xn−1) mod m.

Calcular: (i) el perıodo de la secuencia cuando m = 10. El perıodo no depende de la semillaelegida, ya lo sabeis, pero para que vuestros X1,X2, . . . coincidan con los mıos tomad comosemilla X−1 = 1 y X0 = 4. Ası pues aseguraos de que X22 = 9 y X27 = 2. (ii) Con laeleccion de la semilla indicada en (i), ¿Cuanto son X100, X276 y X340? (iii) Si se disponen lospuntos generados en un espacio tridimensional, se observan dos planos (solo dos). Encontrarlas ecuaciones de dichos planos. Nota: Este generador, con otros m’s por supuesto, fue con-siderado al principio de los anos 1950s y habitualmente tiene un perıodo superior a m.

14. [Knuth, pg 22] Find the multipliers a that satisfy the conditions of Theorem 1 whenm = 106−1.

15. • Con Maple. He generado varios numeros aleatorios con un generador de congruencias linealesmixto, o sea, de la forma

xn = (axn−1 + c) mod m,

pero en un descuido he borrado el programa y ahora no se cuales eran los parametros a, c,m delgenerador. Afortunadamente recuerdo que los primeros numeros obtenidos eran: 1486584891,2502414592, 3645611265, 2122211086, 245917623, 4173278796 y 1402184157. Con estos datos(creo que incluso sobran) calcular a, c y m.

Nota: Esta es la razon por la que el metodo de congruencias lineales no se emplea en en-criptacion: porque se adivina la clave (i.e., a, c y m) facilmente.

16. • i) Determine 24n mod 31 for n = 1, . . . 30. Find the smallest n for which the mod operation’sresult is 1. Is 24 a primitive root of 31?

ii) Compute the period of the following generator: xn = 13xn−1 mod 2311

METODO DE MONTE CARLO

17. Usando tecnicas de Monte Carlo evaluar el numero π mediante la integral∫ ∫

σdxdy, donde σ

es el cırculo de radio unidad, o sea x2 + y2 ≤ 1. Para calcular esta integral encerrar el cırculoen un cuadrado de lado 2 y generar una secuencia uniforme de numeros pseudo-aleatorios(xi, yi), i = 1, . . . N en [−1, 1]. El valor de π vendra dado por 4n/N , siendo n el numero depuntos que han caido dentro del cırculo. Incrementar N hasta conseguir π con tres cifrassignificativas (lo cual no es mucho pedir!). Escribir los errores.

Las tecnicas de Monte Carlo no se usan para calcular aproximaciones de π porque desde los tiempos de Newton

se conocen metodos analıticos que hacen el trabajo mucho mejor. Por favor, no tome este ejercicio mas que

como un ejemplo ilustrativo que viene en todos los libros de iniciacion a MC. Distinto es el caso de cos x2 que

aparece en muchos problemas de la Optica. No se conoce la integral de esta funcion en terminos de funciones

elementales, ası que para calcular∫√π/2

0dx cos x2 hay que tirar de aproximaciones.

18. [Experimento con ordenador] Para entender el Teorema Central del Lımite de la Teorıa deProbabilidades o que la suma de un numero grande de variables aleatorias independientespreparadas de la misma forma se aproxima muy exactamente a una distribucion gaussiana, hagael siguiente experimento con Maple: 1) Genere N = 1000 variables distribuidas uniformemente

3

ente 0 y 1 con un buen metodo de congruencias lineales. 2) Sume las 10 primeras variables yguarde el resultado, sume las siguientes 10 y guarde, ası hasta el final. 3) Pinte estas nuevasvariables (llamemoslas y) en un histograma como hicimos en clase. La forma del histogramaya no es la que corresponde a una distribucion uniforme (recuerde que esta es casi horizontal,con todas las barras de altura parecida), ahora tiene otro perfil, ¿lo ve? 4) Como Maple puedesuperponer dibujos con display ponga juntos en el mismo frame el anterior histograma y eldibujo de una distribucion normal de media 5 y de desviacion standard

√

5/6. Son exactos!(bueno, casi). 5) Comentario: recuerde que no hace falta que las variables originales seanuniformes. Usted podrıa haberlo hecho el experimento con variables entre 0 y 1 preparadas,por ejemplo, con una densidad de probabilidad p(x) = p+2qx+3rx2 (p, q, r constantes positivastal que p+ q+ r = 1) y tambien habrıa salido una Gaussiana pero de media a y de desviacionstandard σ. • Calcule a y σ con Maple o a mano.

Por el mismo precio uno puede preguntarse ¿sera tambien una distribucion gaussiana el pro-ducto de dos variables uniformes entre 0 y 1? Pruebe a ver que sale dibujando el histograma.Desde luego no es una gaussiana. En este caso creo que el histograma se aproxima muy bienpor la densidad de probabilidad − log x.

Para terminar, de la referencia de Glen, Leemis, y Drew, Computing the Distribution of theProduct of Two Continuous Random Variables, en Computational Statistics and Data Anal-ysis, 44 (2004) 451-464, he copiado lo siguiente: el producto de dos distribuciones uniformes,una entre 1 y 2 y la otra ente 3 y 4 tiene como densidad de probabilidad log x − log 3 six (x denota el producto) esta entre 3 y 4, log 4 − log 3 si esta entre 4 y 6 y 3 log 2 − log xsi esta entre 6 y 8. Ver que esto es ası dibujando el histograma en el mismo frame que estadistribucion (no hay que calcular nada, solo dibujar y superponer dibujos con Maple). Exactos!

19. Con Maple. Seleccione 2 puntos aleatorios sobre la circunferencia unidad. ¿Donde es de esperarque caiga el centro de gravedad de esos dos puntos? Haga lo mismo con 3 y 4 puntos tiradosal azar.

Ayuda: Si considera 2 puntos las coordenadas del c.d.g. seran

x = (cos θ1 + cos θ2)/2, y = (sin θ1 + sin θ2)/2,

siendo la coordenada radial r =√

x2 + y2. No hace falta decir que la coordenada angular estarauniformemente distribuida pues cualquier posicion angular sera tan probable como cualquierotra. Vamos con la coordenada radial que es mas interesante. Para ver como se distribuyeesta tire los 2 puntos sobre la circunferencia unidad (lo puede hacer con numeros aleatoriosdistribuidos uniformemente ente 0 y 2π y luego les calcula el seno y el coseno). Calcule r. Pinteun histograma con la distribucion de r. La forma del histograma sera p(r): la densidad deprobabilidad de que al medir el cdg se obtenga un valor entre r y r+dr. Se atreve a aproximarp(r) analıticamente (aunque sea a ojo)? (yo se calcular p(r) exactactamente en este caso, esfacil, pero si se trata de 3, 4 puntos ya la cosa cambia... saco histograma, algun valor medio(exacto) y poco mas).

20. • Con Maple. Sea Ω la region solida limitada superiormente por el cilindro parabolico z = 4−y2

e inferiormente por el paraboloide elıptico z = x2 +3y2. ¿Puede pintar Ω con Maple? Calculeel volumen de Ω. Hagalo de dos maneras: analıticamente -si sabe- o en su defecto pidiendoseloa Maple, y por el metodo de Monte Carlo (utilice un generador de numeros aleatorios bueno,el que usted quiera pero bueno). En este ultimo caso tire N = 100, 1000 y 10000 puntos. ¿ConN = 10000 se obtienen tres cifras significativas del volumen pedido? Haga calculo de errores.

21. • Con Maple. Calcular por Monte Carlo una aproximacion–con la estimacion del error–al valorde la integral

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

dx dy dz du dv dw

1 + x+ y + z + u+ v + w

4

Table 1:n xn f(xn)

2 1.263157895 -1.6022743793 1.338827839 -0.4303647474 1.366616395 0.022909445 1.365211902 -0.0002990806 1.365230001 -0.0000002047 1.365230013 -0.000000008

Calcular tambien con Maple su valor exacto.

22. • Con Maple. Con un buen generador de numeros aleatorios genere tres numeros entre 0 y1. Ordenelos en orden creciente x1 < x2 < x3. Repita el proceso muchas veces (del orden de1000 o 10000, tras haberse asegurado, claro esta, que el programa funciona con un numero deveces de juguete) y calcule el valor medio de x1, el valor medio de x2 y el de x3.

CALCULO DE LOS CEROS DE UNA FUNCION

De esta parte del curso, y por este ano, la pagina web serahttp://teorica.fis.ucm.es/ft8/FisicaComp.html

Ahı pondre las soluciones de los problemas y otras cosas, ademas de estos ejercicios. Miradlade vez en cuando, por favor.

23. • Para familiarizarse con el metodo de Newton y el de la Secante coged el Faires&Burdende la biblioteca, y de las secciones 2.3, 2.4 y algo de la 2.5 haced los ejercicios que querais.Mejor aquellos de los que venga la solucion en el libro o tengan algo interesante (no todos soninteresantes). Cuando os salgan, pasais a otra cosa.

24. [Newton’s method] To approximate numbers such as√3 or 3

√25 one calculates the zeros of

x2 − 3, or x3 − 25, for instance. Resolve both cases with Newton’s method with your owntolerance. Choose the initial point carefully.

If we wanted to have a numerical approximation of log 2, would it be possible to write a poly-nomial with integer coefficients such that one of its roots were exactly equal to log 2? Answer:no. The number log 2 is a trascendent number, not an algebraic number. An algebraic numberis a zero of a polynomial of arbitrary degree with integer coefficients.

25. Con Maple. La solucion real de x3 + 4x2 − 10 = 0 es exactamente:

3

√

71

27+

√105

9+

3

√

71

27−

√105

9−

4

3.

Encuentrela resolviendo el polinomio (los de grado 3 se resuelven por radicales). Y ya puestos,las complejas conjugadas tambien. El valor exacto de la solucion real con ocho cifras decimales,como usted puede comprobar con Maple (comando fsolve) o utilizando metodos numericos es1.36523001. Usando el metodo de la secante con x0 = 1 y x1 = 2 y tolerancia 10−6 se obtienela Tabla 1. Se trabaja con 10 dıgitos.

5

26. • [F-B, pag 47] Utilice Maple para determinar cuantas iteraciones del metodo de la secante sonnecesarias para calcular una raız de f(x) = cos x − x con una precision de 10−100 tomandocomo puntos iniciales x0 = 1/2 y x1 = π/4.

Sol: Maple trabaja por defecto con 10 dıgitos y no puede ver de ninguna manera si la diferenciade dos numeros es 10−100 como dice el enunciado (porque ve 0). Cambie entonces el numerode dıgitos a 120, por ejemplo. Necesita 10 iteraciones (el primer x2 lo cuento como primeraiteracion, el libro lo hace como segunda, por el dos del subındice) para alcanzar una toleranciade 10−100. El resultado escrito con 100 cifras es

p = 0.73908513321516064165531208767387340401341175890075746496568063

57732846548835475945993761069317665319.

(lo he escrito con 102 cifras y luego tirado dos para redondear con la ley del 5). O sea, que el19 final viene de 1850.

27. • [Iteration method] In the year 1225 Leonardo of Pisa, also known as Fibonacci, studied theequation

f(x) = x3 + 2x2 + 10x− 20 = 0

and produced p = 1.368 808 107. Nobody knows by what method Leonardo found this valuebut it is a remarkable result for his time. Write the equation in the form x = F (x) withF (x) = 20/(x2 + 2x + 10). i) Starting with x0 = 1, how many iterations are necessary toproduce Leonardo’s result? ii) Why is the convergence of the algorithm so slow? iii) Find thatthe real root of Leonardo is exactly

1

3

3

√

6√3930 + 352 −

1

3

3

√

6√3930 − 352 −

2

3.

Sol: i) 26. ii) Because en+1 ∼ F ′(p) en (demuestre esto, por favor), i.e. en+1 ∼ 0.44 en and0.44 indicates that are necessary two or three iterations to obtain a new correct decimal place.(Observe that if F ′(p) is near 1 this is slow convergence. And F ′(p) ≥ 1 is no convergence at all)

28. [Bender&Orszag, pg 245] Show that the sequence√7,√

7−√7,

√

7−√

7−√7, . . . converges

and evaluate the limit [Putnam, 1953].

Sol: Primero se ve a que converge y luego se justifica. Es de aplicaciones contractivas.

29. • [K&Ch, pg 89] Suppose that p > 1. What is the value of the continued fraction given by

x =1

p+1

p+1

p+ · · ·

Sol: Igual que en el ejercicio anterior: primero se ve a que converge, luego se justifica. Tambiende aplicaciones contractivas.

30. • [Kepler’s equation] A very famous equation in Astronomy is Kepler’s equation, s−e sin s = m.It derives from the Second Law of Planetary Motion ‘the line connecting the Sun to a planetsweeps equal areas in equal times’ and involves the ellipse eccentricity, 0 < e < 1, the angle s(see the picture) known as eccentric anomaly and the mean anomaly m, that by definition isequal to m = 2πt/T . The problem is to find s when e and m are known.

6

x

y

P

s

ae focus

a

b

θ

i) Mathematically speaking for each m in [0, π] there is only one s that satisfies the equation.This is because Kepler equation is a fixed point problem with F (s) ≡ m + e sin s = s. But itis not just another fixed point problem: it is a very rich and surprising one. Although no onehas solved it analitically (numerically, yes, of course, and as a power series in e, and relatedto Bessel functions also) try to obtain with Maple a few results. For example, a) set e = 1/2,and construct the sequence F (0), F (F (0)), F (F (F (0))), . . .. Stop when you have applied Fone hundred times (a do will do the job and will do it perfecfly if you write e = 0.5 insteadof 1/2). Expand the result in power series around m = 0 (with the Maple command series

and with truncate order equal to 16, for instance). What is your result? Is it an even functionof m or is it odd? b) Repeat with F (1), F (F (1)), F (F (F (1))), . . .. Expand in a series. Doyou obtain the same series than in a)? You shall obtain the same series! c) Repeat withF (3), F (F (3)), F (F (F (3))), . . .. Expand again. Do you obtain the same series than in a)?Again, you shall obtain the same series since the fixed point is unique. d) Check that in allthe three previous cases the result is

2m−4

3m3 +

44

15m5 −

2696

315m7 +

81068

2835m9 + · · · .

ii) Often Kepler equation is used in the following manner. In its motion around the Sun, thatit is in the focus of an ellipse, the Earth makes one complete orbit in approximately T = 365days. The eccentricity of the ellipse is about 0.0167. Approximately is on January 4 when theEarth approaches closest to the Sun (perihelion occurs approximately on January 4). Now wewe want to know the Earth’s position on February 15, or 41 days since perihelion. Finding theEarth’s position at this time requires solving Kepler’s equation for s. In this case, the Earth isat P and m = 2π · 41/365 ∼ 0.70578. Use Newton’s method to obtain a good approximationfor s solving s − 0.0167 sin s = 0.70578. Just in case you want to know, once s is known the

angle θ is calculated with tanθ

2=

√

1 + e

1− etan

s

2.

31. • [Pozo finito de potencial-Pozo infinito] Consider an electron in a finite potential well L =0.5 × 10−9 m wide and V0 = 25 eV deep. Obtain the energy levels for this finite well solvingone of the equations (Newton’s method does the job very well)

α tanα =√

α2o − α2, α cotα = −

√

α2o − α2,

where α2 = meEL2/2~2 and α20 = mec

2V0L2/2~2c2, and compare the results to an equal width

infinite well. The first equation is for even eigenfunctions, the second for odd. Remember fromQuantum Mechanics that the ground state is even, the next state is odd, then follows an evenstate, odd the next one and so on. Notice that the energy levels for the finite well are lessthan the corresponding energies for the infinite well and that the difference becomes greater asthe energy nears the well depth. Besides, a finite well only supports a fixed number of boundstates. In our example this number is 5. Here are some useful numbers for your calculations:me = 0.511 × 106 eV/c2, ~ = 6.58 × 10−16 eV s, c = 3 × 108 m s−1, 1 A = 10−10 m. Use a

7

Table 2:Energy levels Infinite well energy (eV) Finite well energy (eV)

1 1.50523 1.123652 6.02092 4.464673 13.54708 9.913614 24.08370 17.175685 37.63077 24.790906 54.18831 none

good book of Quantum Mechanics if you need particular formulae. Otherwise you might wantto deduce them, what is very good too! If your numbers are correct they shall be similar tothose in Table 2.

Nota: La anchura del pozo es del orden del A y las energıas del orden del eV (da igualsi uno o cincuenta o cien) lo quiere decir que estamos trabajando con un electron que semueve en un atomo porque empleamos unidades caracterısticas de atomos y no de nucleos opartıculas elementales. Digo esto porque cantidades como mec

2V0L2/2~2c2 que necesitamos

para resolver nuestro problema son cosas razonables, 4, 25, 43, 60 . . . no 10−10. Si saliera estoultimo tendrıamos que abrir unos ojos como platos de sorpresa. Si usted no sabe esto es porqueesta poco familiarizado con los numeros de Fısica y sus unidades. Hacerlo adecuadamente llevatiempo aunque parezca que solo es substituir.

NONLINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS IN SEVERAL VARIABLES

32. Solve the equations x = sin(x+ y), y = cos(x− y).

Sol: Unique solution (plot with Maple). It is the point (0.93508206, 0.99802005) and takes forNewton-Raphson 5 iterations with the choice (x0, y0) = (0.9, 0.7), ten digits accuracy, toler-ance 10−9.

33. Solve the equations x = sinx cosh y, y = cos x sinh y near x = 7., y = 3.. Sol: In this case thereare many solutions, as a Maple plot indicates.

34. • Solve the system x4 + y4 − 67 = 0, x3 − 3xy2 + 35 = 0 near x = 2., y = 3.. Note: Be carefuland give several input points. The plot here (the magnified plot) is important.

35. • Choose two of the three following algorithms, iterative method, Newton-Raphson, steepestdescent (no tiene usted por que saber los tres si no se han explicado en clase, pero dos sı quesabe usted utilizar) to find a solution of

x = 0.7 sin x+ 0.2 cos y, y = 0.7 cos x− 0.2 sin y

near (0.5, 0.5)

NUMERICAL INTEGRATION OR QUADRATURE

36. [Experimental Mathematics] Simpon formula is exact (not an approximation) if one integratesany cubic polynomial. Check it with the following two examples: i) By hand. Calculate

8

∫ 4

1dxx3 with the primitive and with Simpson formula, x1 = 1, x2 = 5/2, x3 = 4. Both results

agree, 633

4. ii) With Maple. Calculate

∫ 7

log 2

dx 5 + ζ(5)x2 + 15x3,

with the same two methods, now x1 = log 2, x3 = 7 and x2 the middle point of the previoustwo.

Result: 35− 5 log 2 +343

3ζ(5)−

1

3ζ(5)(log 2)3. La constante ζ(5) es la Zeta de Riemann en el

5.

37. • With the express straightforward method explained in the lectures (invented term, if you cansay ‘metodo de Newton-Raspon’ I can say this too) derive the five-point Newton-Cotes formula(known as Bode’s rule but this is a typo as some authors point and should be called Boole’srule instead), that again benefits from a cancellation.

Calculate the explicit numerical coefficient of the error with the same method. Checkyour answer (not copy from!) with, for example, http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html

38. [Ex Feb2012] a) Determinar las constantes a, b, c tal que la regla de cuadratura

∫ 1

−1

f(x) dx ≈ af(−1) + af(1) + bf(−c) + bf(c)

sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Diga claramente cual es el grado maximo.

b) Usar la regla para aproximar la siguiente integral (con a, b, c los valores calculados en a),por supuesto)

∫ 4

0

e√x dx.

¿Sabrıa usted calcular a mano el valor exacto? (esto ya no se pedıa en el examen, pero salefacilmente. Si lo sabe, bien).

Solucion a a): The precision of the rule is 5 (se llama ası, precision, vale hasta orden 5, para6 ya no. De haber escrito un error con derivadas en la regla –que para cuadraturas de Gaussno he explicado ni pido– el error irıa con una derivada sexta evaluada en algun punto delintervalo considerado. La dreivada sexta de un polinomio de orden 5 es cero.)

NOTAS QUE LEO O RECUERDO Y SON INTERESANTES

– The linear congruent method is also known as power residue method. It was proposed byD.H. Lehmer in 1948.

– For multiplicative lcg with modulus m = 2k the maximum possible period is 2k−2 (i.e., m/4).The seed should be odd.

Esto se ve con el ejemplo xi+1 = (29xi) mod 256. El perıodo es 64, y es lo mejor quepodemos obtener porque cambiando 29 por, digamos, 31 la cosa va aun peor: el perıodo sequeda en 8 solamente. Y esto si la semilla es impar. De empezar con una semilla par enxi+1 = (29xi) mod 256, por ejemplo un 4, el perıodo es solo 16.

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– Let p be a prime number. Definition: When 2p − 1 is prime it is said to be a Mersenne prime.

– What are primitive roots? Let p be a prime. Then b is a primitive root for p if the powers of b,1, b, b2, b3, . . . include all of the residue classes mod p (except 0). Since there are p− 1 residueclasses mod p (not counting 0), that means the the first p− 1 powers of b have to be differentmod p. We have noticed that the powers of b form a repeating cycle, and that cycle cannot belonger than p− 1 (because of Fermat’s Little Theorem). So, b is a primitive root if the cycle isas long as it can possibly be.

Example: If p = 7, then 3 is a primitive root for p because the powers of 3 are 1, 3, 2, 6, 4, 5–thatis, every number mod 7 occurs except 0. But 2 is not a primitive root because the powers of2 are 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4 . . . missing several values.

Another example: If p = 13, then 2 is a primitive root because the powers of 2 are1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7–which is all of the classes mod 13 except 0. There are otherprimitive roots for 13.

Theorem: If p is a prime, then there is a primitive root for p. (In fact, if p is a prime andp > 2, there are always at least two primitive roots, and sometimes many more.)

How to find a primitive root for p? Just try possibilities, starting with 2, 3, . . ., until you findone that works.

– Maple tambien calcula raıces primitivas. Package: with(numtheory), comands ‘order’ or ‘prim-root’ –lo que no exime, en este curso, de hacerlas a mano cuando se pueda, ni de emplear unprograma Maple sencillo hecho por cada uno de nosotros cuando no se pueda a mano.

– La probabilidad de que dos enteros m y n tomados al azar sean relativamente primos (tambiense dice coprimos y se escribe (m,n) = 1) es

P ((m,n) = 1) =1

ζ(2)=

6

π2= 0.607927 . . . ,

donde ζ es la funcion Zeta de Riemann.

– George Marsaglia wrote the paper ”Random numbers fall mainly in the planes”, Natl. Acad.Sci. Prec. 61 (1968), 25-28. The paper shows a defect inherent in all linear congruentialmethods used to generate random numbers. It assumes a strong familiarity with AbstractAlgebra and Linear Algebra.

An excellent test of random sequences is DIEHARD, maintained by George Marsaglia inhttp://stat.fsu.edu/∼geo The page has both executables and source code.

– Chi-square distribution, Chi-square test... (it reads ”kai-square”). Los matematicos espanolespuede que digan ji-escuer, pero no lo se porque solo se lo he oıdo a uno.

– Normal deviates: Random numbers with the normal distribution.

– El Teorema Fundamental del Algebra lo demostro Gauss en 1799.

– Richardson interpolation is described in the book of Press et al. as a process to turn lead intogold. Tela marinera!

– Mecanica Cuantica: En los calculos analıticos de los coeficientes de reflexion y transmision deuna barrera, siempre se calcula el de trasmision. Simplemente porque es mas facil de calcular.Por eso es el que tabulan los libros.

10

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####### April 2012

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Metodo de Newton para resolver f(x)=0 Input (o lo que usted debe dar al programa): f(x), fp(x), x0, numero de iteraciones N (aqui no lo he llamdo N, he puesto 50 directamente), tolerance (aqui 10^(-6), puede usted cambiarlo).

Comentarios: 1-Hay casi un cero de f(x) en [-3,-2], pero si uno se acerca se ve que es mentira, no lo hay. Se ve con plot.2-Yo he calculado fp(x), la derivada de f(x), con diff(f(x),x); y luego definido esta copiando con el raton.3- El punto inicial x0=-100 es una mala eleccion, pero converge lo mismo... al cabo de muchas iteraciones (56), convergencia no cuadratica, pero convergencia al fin y al cabo. Y si se empieza porx0= 5+I*1.5 (quien dice que no se pueden usar complejos?? Se usan igual, faltaria mas) tarda 7 iteraciones.

restart: with(plots):

f:=x->x^3+4*x^2-10: fp:=x->3*x^2+8*x: plot(f(x),x=-4..2); x0:=evalf(5+I*1.5): #good choice: 4 iterations # x0:=evalf(-1.5): #bad choice: 61 iterations. Worse than -100

diff(f(x),x);

n:='n':for n from 1 to 150 dox1:=x0-f(x0)/fp(x0): if abs(x1-x0)<10^(-6) then break else x0:=x1end if;end do;n;

(1)(1)

x0 1 2

5

10

7

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Newton compared with secant to solve f(x)=0 Same exercise with Newton and Secant methods

######## Newtonrestart:f:=x->x^3+4*x^2-10:diff(f(x),x);fp:=x->3*x^2+8*x:x0:=evalf(1): #good choice of the starting point

n:='n':for n from 1 to 50 dox1:=x0-f(x0)/fp(x0): if abs(x1-x0)<10^(-6) then break else x0:=x1end if;end do;n;

##### Secantx0:=1: x1:=2:n:='n': for n from 1 to 10 dox2:=evalf(x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))): #f(x2);if (abs(x2-x1))<10^(-6) then break else x0:=x1: x1:=x2:

(3)(3)

(2)(2)

end if: end do;n;

5

6

Digits:=20: fsolve(f(x),x); ### Lo que dice Maple1.3652300134140968458

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Un metodo iterativo. Este no converge. Input: F(x), (no hace falta derivada), x0, numero de iteraciones (7), y tolerancia (10^(-6))

restart:F:=x->x^3+4*x^2+x-10; x0:=1.5:n:='n': for n from 1 to 7 dox1:=F(x0):if abs(x1-x0)<10^(-6) then break else x0:=x1end if: end do;n;

(4)(4)8

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Tres+dos dibujos en el mismo frame. Cinco en total. Las rectas negras quedan a 45 grados con la horizontal. Se cortan en la solucion F1(x)=F3(x)=F5(x)=0.

Si se estudia desde el punto de vista de tres esquemas iterativos F1(x)=x, F3(x)=x,F5(x)=x, se tiene que: rojo diverge, azul converge... lentamente pero converge yverde converge rapido (claro, es Newton, la estrella)

restart:F1:= x->x^3+4*x^2+x-10; F3:=x->sqrt(10-x^3)/2:F5:=x->x-(x^3+4*x^2-10)/(3*x^2+8*x);

plot([F1(x),F3(x),F5(x),x,1.365230013-(x-1.365230013)],x=-4.5..3.1,y=-3..4,discont=true,color=[red,blue,green,black,black]);

x0 1 2 3

y

1

2

3

4

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Newton en dos (o mas) dimensiones. Esto ya es otra cosa... aqui ya llegan pocos packages. Los hay, pero siempre resuelven otro problema distinto al que uno tiene. La ultima sentencia es un teorema (es broma).

(5)(5)

Input: f1,f2; matriz Jacobiana, su inversa, x0, y0, numero de iteraciones (15) tolerancia (10^(-9)):Eso quiere decir que del resultado final solo podemos decir que POR LO MENOS 9 cifras decimales son exactas. Ojo que es un Newton y va que vuela. Si tarda 15, 20 iteraciones... es que algo pasa.Es tarea nuestra saber el que.

Si el input es complejo x0:=0.9+11*I: y0:=0.7: le cuesta 26 iteraciones. Se cambiua 15 por 50 y encima sobran.

restart: with(plots): with(LinearAlgebra): with(VectorCalculus):

f1:=(x,y)->sin(x+y)-x:f2:=(x,y)->cos(x-y)-y:

##### Maple sabe resolverlo el solitofsolve(f1,f2);### o tb fsolve(f1(x,y),f2(x,y));

##### Este lo sabe resolver maple (hay solo una solucion y te la da).### Como hubiera mas de una solucion ibamos listos para darnos Maple #### la que nosotros buscamos.

implicitplot([x=sin(x+y),y=cos(x-y)],x=-2..2,y=-1.5..1.5,color=[red,blue]);

x0 1 2

y1

##################################### Para ver que funciona### El jacobiano (una matriz)Jacobian([f1(x,y),f2(x,y)],[x,y]);

(6)(6)

#### En el punto (2,5). Su inversa en ese punto J:=Jacobian([f1(x,y),f2(x,y)],[x,y]=[2.,5.]); Jinverse :=MatrixInverse(J);

x0:=0.9+0*I: y0:=0.7: n:='n':for n from 1 to 15 do J:= Jacobian([f1(x,y),f2(x,y)],[x,y]=[x0,y0]); Jinverse :=MatrixInverse(J);v:=Vector(1..2,[x0, y0])-Jinverse.Vector(1..2, [f1(x0,y0),f2( x0,y0)]); if (abs(v[1]-x0)<10^(-9)) and (abs(v[2]-y0)<10^(-9)) then breakelsex0:=v[1]: y0:=v[2]:end if: end do; n;

(7)(7)

(8)(8)

5

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Generando numeros aleatorios con el antiguo lcg method que tenia Maple en las tripasInput: N, x[1]. a, m fijados por los libros. Si se necesitanm entre o,1) hay que dividir cada x[n] por m

restart: with(Statistics): with(linalg): #### antigua. Dice Help que ya no se use.with(plots):N:=100: a:=427419669081: m:=999999999989: sn:=10:x:=array(1..N);x[1]:=9574396327:for i from 2 to N dox[i]:=irem(a*x[i-1],m): #### generador de numeros alotorios: lotiene Maple somewhereend do:evalm(x);

(9)(9)

(10)(10)

i:='i': sum(x[i],i=1..60);

i:='i': sum((x[i])^2,i=1..N)/N; evalf(%);28171801079590

687997083603351195878818925

###############################################################################

Generando numeros aleatorios con el nuevo generador de Maple en with(RandomTools[MersenneTwister]): Input: N. los numeros estan entre [0,1) uniformemente distribuidos.

restart: with(linalg): N:=20: x:=array(1..N):with(RandomTools[MersenneTwister]):

for i from 1 to N dox[i]:=GenerateFloat();end do:evalm(x);

(11)(11)

Esto dice Help de el. Me parece muy bien. Sin inconveniente en usarlo

The RandomTools[MersenneTwister] subpackage contains functions for creating pseudo-random number generators using the Mersenne Twister algorithm. This algorithm has the following properties: -- the command outputs a pseudo-random float uniformly distributed in [0,1), -- period length of 2^19937-1-- 623-dimensional equidistribution property-- passed various tests, including the diehard test by G. Marsaglia and the load test by O.Hellekalek and S. Wegenkittl-- very fast

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Input: N. Los numeros son enteros entre [0, ) uniformemente distribuidos.

restart: with(linalg): N:=20: x:=array(1..N):with(RandomTools[MersenneTwister]):

for i from 1 to N dox[i]:=GenerateInteger();end do:evalm(x);