universidad técnica nacional · ¡impresiona con tu magia! ... los siguientes son trucos de...

Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas

Álgebra 1

Contenido

Sesión 10................................................................................................................................. 3 Actividad 10.1: “La magia del álgebra”. ..................................................................................... 3 Actividad 10.1.1. ....................................................................................................................... 3 Actividad 10.1.2. ....................................................................................................................... 4 Actividad complementaria 10.2: .................................................................................................. 4

Expresiones algebraicas ................................................................................................. 5 Actividad 10.3........................................................................................................................... 5 Conociendo las expresiones detrás del truco... ............................................................................ 5 Actividad complementaria. 10.4. ................................................................................................. 6 Hagamos números… .................................................................................................................. 7 Actividad.10.5........................................................................................................................... 7 Actividad 10.6........................................................................................................................... 8

Sesión 11................................................................................................................................. 9

Empleando los polinomios. ................................................................................................... 9 Actividad. 11.1.......................................................................................................................... 9 Descubriendo y deduciendo las fórmulas notables. ....................................................................11 Actividad.11.2..........................................................................................................................11 Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la suma. ................................11 Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la resta. .................................13 Representación Geométrica de la Diferencia de cuadrados .........................................................14 Resumiendo … .........................................................................................................................16 Actividad 11.3..........................................................................................................................16 Poniendo en práctica … ............................................................................................................16 Los primeros productos notables...............................................................................................17 Actividad 11.4..........................................................................................................................19 Pongamos en práctica el modelo: ..............................................................................................19 Actividad 11.5..........................................................................................................................19 Para practicar...........................................................................................................................19 La diferencia de cuadrados .......................................................................................................20 Actividad complementaria 11.6................................................................................................21 Para practicar...........................................................................................................................22 Factor común y agrupación .......................................................................................................22 Actividad complementaria 11.7................................................................................................26 Para practicar...........................................................................................................................27

Sesión 12............................................................................................................................... 27 Actividad. 12.1.........................................................................................................................27 Representación Geométrica de factorización por agrupación ......................................................27 Actividad.12.2..........................................................................................................................29 Análisis de casos.......................................................................................................................29 Buscando factores… .................................................................................................................30 Actividad.12.3..........................................................................................................................31 Poniendo en práctica. ...............................................................................................................31


Álgebra 2

Actividad. 12. 4. .......................................................................................................................32 Actividad.12.5..........................................................................................................................33 Actividad.complementaria 12.6................................................................................................35 Para practicar...........................................................................................................................35 Actividad.12.7..........................................................................................................................38 Poniendo en práctica … ............................................................................................................38

Sesión 13............................................................................................................................... 39 División de polinomios..............................................................................................................39 Actividad.13.1..........................................................................................................................39 Creando retos…........................................................................................................................39 Actividad complementaria.13.2................................................................................................40 Análisis de casos.......................................................................................................................40

Actividad de cierre ............................................................................................................... 41

Sesión 14............................................................................................................................... 51 Actividad 14.1..........................................................................................................................51 Ecuaciones...............................................................................................................................51

.............................................................................................................................................. 52 Actividad 14.2..........................................................................................................................53 Conociendo más a fondo las ecuaciones …................................................................................54 Actividad 14.3:.........................................................................................................................56 Actividad 14.3..........................................................................................................................56 Actividad 14.1..........................................................................................................................56 El símbolo de igualdad .............................................................................................................56 Actividad 14.1.1 .......................................................................................................................57 Actividad 14.1.2 .......................................................................................................................57

Sesión 15............................................................................................................................... 60 Actividad 15.1..........................................................................................................................60 Actividad 15. 2 .........................................................................................................................61 Despejando … ..........................................................................................................................64 Actividad 15.3..........................................................................................................................64 Actividad 15.4 (complementaria) .............................................................................................65 Construyendo modelos matemáticos para resolver problemas mediante ecuaciones ................65 Casos.......................................................................................................................................65

Sesión 16............................................................................................................................... 66

Inecuaciones ......................................................................................................................... 66 Actividad 16.1..........................................................................................................................66 Actividad 16.2..........................................................................................................................67 Actividad 16.3..........................................................................................................................70

Bibliografía ........................................................................................................................... 72


Álgebra 3

Sesión 10

Actividad 10.1: “La magia del álgebra”.

¡Impresiona con tu magia!

Actividad 10.1.1.

Piensa en tu número favorito. Súmale 5

Mult iplícalo por 6 Divídelo por 3

Mult iplica por 2

Divide por 4 Réstale tu número favorito

¿Qué resultado obtuviste? _______

¡De seguro que el número que hallaste es el mismo que la cantidad de estrellas en este sombrero del mago!

¿Les sucedió lo mismo a tus compañeros? Pregúntale a tus compañeros

acerca de cuál fue el número que ellos pensaron y cuál ha sido su resultado.

¿Te resulta asombroso? Comparte la experiencia con los compañeros.

Ahora tu profesor pide que pienses en un número y lo dejes secreto. Debes sumar 1 al número y luego mult iplicar por 3. Cuando ya tenga el resultado

reste 6 y divida el resultado entre tres. Dile al profesor cuál fue el número que obtuviste y él adivinará el número en el que habías pensado.


Álgebra 4

Actividad 10.1.2. Esta es una actividad grupal. Forma grupos de 3 personas.

¡Ahora serás el mago! ¡Sorprende a tus amigos!

Para lograrlo, el equipo debe crear un “Truco” similar al empleado por el profesor y probarlo.

Cuando ya están seguros de que funciona, aplíquenlo con compañeros de

otros grupos y hasta lo puedes usar en casa, sólo por diversión.

Actividad complementaria 10.2: Los siguientes son t rucos de algunos magos reconocidos. Realiza lo que

consideres necesario para saber cuál es la estrategia que cada mago sigue

para darle respuesta a su público.

Truco 1. Piense en un número, pero no lo diga. Ahora réstele 2 a su número, cuando lo haya hecho mult iplica el resultado por 2 y a lo que obtienes debes

sumarle 4. Bien, ahora divide el resultado por 2 y súmale 1. ¿Cuál es el

resultado que obtuviste? … Entonces el número que habías pensado es: _____

Escriba lo anterior expresado de manera algebraica:

Truco 2. Piense un número y no me lo diga. Mult iplica ese número por 3 y luego resta 6. ¿Listo? Bien, ahora debes dividir ese resultado por 3. A lo que

te da debes sumar 4 unidades. ¿Qué número obtuviste? … Entonces el

número que habías pensado es: _____


Truco 3. Piense un número sin mencionarlo. A ese número súmele 4 y lo que

da mult iplíquelo por 3 y luego reste 6 del resultado. Lo que obtienes debes dividirlo por 3. ¿Listo? Bien, ahora debes restar 5 unidades. ¿Qué valor se

obtuvo? … Entonces el número que habías pensado es: _____



Álgebra 5

Expresiones algebraicas

Actividad 10.3.

Conociendo las expresiones detrás del truco...

¿Has escuchado hablar de valores que se mantienen fijos y de algunos que pueden variar en un contexto? Te diremos de qué se trata…

Hay ciertas cantidades que las expresamos mediante números, y en casos part iculares se usan letras. Se trata de las constantes. Una constante es un

valor permanente que no puede modificarse en el contexto en que está definido. Si es un número real se llama constante real.

Son ejemplos de constantes reales los siguientes: −3, 8, √1

7, −√2, 𝑒, 𝜋, 𝜑

Observa que en los ejemplos anteriores los últ imos dos números están expresados mediante letras, pero en muchos contextos se sabe que

𝑒 = 2.718281828459… 𝑦 𝜋 = 3.1415926535….

Por otra parte, en ocasiones requerimos un representante de varios valores

pero que permita identificarlos de acuerdo a una definición, en estos casos usamos una letra para indicar a elementos con ciertas característ icas. A

estas letras que se designan se les llama variables. Una variable es un símbolo

que se ut iliza en un mismo contexto y que toma valores diferentes de un mismo conjunto numérico definido.

Por ejemplo, si t ienes los números pares posit ivos menores que 10 y lo

representas con la letra x, entonces a x le llamaremos variable y ella puede tomar cualquiera de los valores: 2, 4, 6, 8, o 10.

Ahora que conoces las definiciones anteriores, ¿Sabes qué resulta de

combinar las constantes y variables, mediante las operaciones con números

reales?

En muchos casos es necesario representar cantidades que quizá requieren de valores constantes, pero también de alguno que puede variar. Por

ejemplo, para saber la cantidad de medicamento que debe administrarse

a un paciente, el médico debe conocer característ icas de cada individuo. El peso y la edad son de esas característ icas que varían de persona a

persona, mientras que los componentes del medicamento se mantienen


Álgebra 6

invariantes en su composición independientemente de las personas a las

que se les recomienda ut ilizarlo. Así entonces el peso y la edad son variables,

que en la fórmula usada para calcular la dosis a recomendar se relacionan mediante operaciones aritméticas y otras cantidades constantes para así

obtener la mejor recomendación a cada paciente. La expresión en la que se combinan constantes y variables mediante

operaciones aritméticas es conocida como expresión algebraica.

En el siguiente cuadro se ilustra algunas expresiones algebraicas ut ilizadas comúnmente.

Fórmula Área temática

o ciencia

Utilidad

𝑣 =𝑑

𝑡

Física.

Movimiento

se ut iliza para calcular la velocidad v,

cuando la distancia recorrida es d y el

t iempo t .

𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑎 ∙ ℎ Matemática. Volúmenes

Se ut iliza para calcular el volumen de un prisma rectangular recto con largo l, ancho

a y altura h.

𝑑 =𝑚

𝑣 Química.

Densidad

Se usa para calcular la densidad d, de un

cuerpo cuya masa es m y su volumen v.

𝐼 = 𝑃𝑖𝑟 Administración.

Interés simple

Se ut iliza para calcular el interés I de un

monto P, a una tasa i en un periodo r.

En algunas de las fórmulas, existen valores que las variables no pueden tomar

pues llevarían a la expresión algebraica a indefinirse. A esos valores que se debe evitar les llamaremos restricciones. Como ejemplo analice ¿qué

ocurriría en la fórmula de la densidad de un cuerpo cuando la variable

volumen toma el valor 0? Analiza que debemos restringir su uso ya que se indefine o toma un valor que no es número real.

Actividad complementaria. 10.4. Observa a tu alrededor y piensa en qué situaciones se requieren fórmulas. Escríbelas y anota si existe algún valor que sea restricción. Puedes entrevistar a un

amigo o familiar si en sus labores diarias usa algunas fórmulas o ecuaciones y si te puede ejemplificar su uso. Comparte tu pequeña investigación con los compañeros de la clase.


Álgebra 7

Hagamos números…

Se ha venido trabajando con ciertas cantidades que resultan de reemplazar valores en las fórmulas. Cuando se cambian los valores de algunas variables y se realizan las operaciones

indicadas en la expresión algebraica estamos obteniendo el valor numérico de la expresión. Como, por ejemplo, si utilizas la fórmula del volumen de un prisma dada en la tabla y le das

a las variables los valores a=2, l=3 y h=5, se obtiene como resultado v=30. Este número lo llamamos valor numérico de la expresión y en este caso se interpreta como: el volumen de

un prisma cuya altura es 5, y su largo y ancho son 3 y 2 respectivamente. ¿Qué importancia tiene el correcto cálculo de los valores numéricos de ciertas expresiones algebraicas? Algunas personas consideran que el trabajo algebraico es tarea sólo de algunos, pero si bien es cierto a diario se realizan cálculos de vital importancia desde el punto de vista económico,

social, ecológico y sanitario. Así que presta atención cuando tú mismo u otra persona requiera de valores numéricos pues su exactitud puede representar más allá que una simple

operación.

Dada la importancia de las expresiones algebraicas, se hace necesario un análisis más detallado de sus características y por ende de su clasificación.

Actividad.10.5. Investiga qué significan los prefijos: mono, bi, t ri, poli y en cuáles disciplinas o

contextos son ut ilizados. ¿Se te hacen familiares? Comenta con tus compañeros.

Observa los patrones y completa los que hacen falta:

1) 3𝑥2,6𝑥4, 12𝑥8,24𝑥16, _________

2) 𝑎𝑏, 2𝑎2𝑏2 , 3𝑎3𝑏3, 4𝑎4𝑏4, __________

3) 𝑎 + 𝑏, 𝑎3 + 𝑏3, 𝑎5 + 𝑏5, 𝑎7 + 𝑏7, __________

4) 1 +2𝑚

3+𝑛, 2 +

3𝑚2

4+𝑛2 , 3 +

4𝑚3

5+𝑛3 , 4 +

5𝑚4

6+𝑛4 , __________

Las expresiones algebraicas pueden ser clasificadas en monomios, binomios,

t rinomios y polinomios. La parte “nomio” hace referencia a la palabra nombre. Así definiremos lo siguiente:


Álgebra 8

Un monomio es una expresión algebraica que sólo contiene mult iplicación

de números reales y una o más variables con exponentes naturales. Son

ejemplos de monomios: 3

7𝑎𝑏,

4𝑥𝑦

√3, −12, −𝜋𝑘2𝑛𝑝5.

¿Entonces qué es un binomio? Y ¿un trinomio? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Actividad 10.6. Observa con atención el siguiente rectángulo. En él se encuentran

sombreados algunos rectángulos.

Asuma que el largo del rectángulo pequeño mide y, y el ancho mide n,

todos los rectángulos pequeños son iguales. Escriba en el espacio indicado lo que se solicita en cada caso:

a) el área sombreada del rectángulo pequeño _______________ b) el perímetro del rectángulo pequeño ___________________

c) el área sombreada del rectángulo grande ________________

d) el perímetro de ese rectángulo grande __________________

Si te detienes un momento, podrás ver que las expresiones algebraicas sirven para representar medidas, las cuales en este caso se usarían en el cálculo

de áreas y perímetros. Para poder realizarlo se debió ut ilizar sumas y

mult iplicaciones entre las cantidades. Por eso es importante definir las operaciones con polinomios y expresiones algebraicas.


Álgebra 9

Sesión 11

Empleando los polinomios.

Suponga que se debe hacer una visita a una empresa y que para llegar a ella se debe viajar 3 kilómetros en autobús y 400 metros caminando. ¿Cómo

puede representar la distancia en una sola cantidad? ¿Cuál es la distancia recorrida?

Anota en el siguiente espacio la distancia recorrida en total, en metros: ________ y acá _______ la cantidad total en kilómetros.

Lo mismo sucede cuando vamos a sumar o restar polinomios, sólo podremos

realizar la operación cuando los términos literales sean exactamente iguales.

Por ejemplo, los monomios 2𝑎𝑏, −7𝑎𝑏,2

5𝑎𝑏 cuentan con el factor 𝑎𝑏, así que

se denominan monomios semejantes. Otro grupo de monomios semejantes

es el siguiente: 𝑥𝑦2

3, 𝑥𝑦2, −5𝑥𝑦2, −√17𝑥𝑦2 , cuyo factor literal es 𝑥𝑦2.

Así que solo podremos sumar o restar monomios que sean semejantes. Por ejemplo, para hallar la cantidad de metros en el caso citado anteriormente,

se debió indicar la distancia de 3 kilómetros en metros, es decir, 3000 metros. Así se pudo adicionar los 400 metros y decir que en total se recorrieron 3400

metros. En otra manera: 3000 m + 400 m = 3400 m. Conservando la unidad

de medida en metros y operando con los números.

Actividad. 11.1 Pon en práctica lo aprendido y trabaja en las siguientes situaciones:

1. Si una persona piensa viajar a Estados Unidos, y para ello cuenta con un ahorro de 1550 dólares y 450 000 colones. ¿Cuántos dólares en total tendrá

disponibles para el viaje?

2. Se requiere decorar el borde de una ventana que t iene la forma que se

ilustra en la figura. ¿Cuántos metros de cinta decorativa deben comprarse?


Álgebra 10

3. De acuerdo con las figuras indique el área de la figura que se forma con dos de los cuadrados y tres de los rectángulos dados.

x x

x 2x

4. Exprese algebraicamente el perímetro de cada figura

50 cm

0,3534 m

m

25 cm 0,25 m

2

𝑑

3

𝑑

3

1

1


Álgebra 11

En los casos anteriores se han realizado operaciones con monomios y

polinomios. Se estudiará a continuación una serie de fórmulas que son comunes y facilitarán el t rabajo de realizar mult iplicaciones de polinomios

que cumplen ciertas característ icas. Éstas son conocidas como fórmulas

notables.

Descubriendo y deduciendo las fórmulas notables.

Actividad.11.2. A continuación, se plantean algunas actividades en las que mediante el

análisis de figuras geométricas se van a descubrir e ilustras los conocidos productos notables.

Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la suma.

Todas las formulas notables t ienen una representación geométrica en el

plano. Para el caso de la diferencia de cuadrados, se considera el área de

un cuadrado de lado 𝑎 + 𝑏. Cada lado se divide en dos segmentos de medidas a y b, por lo que las regiones que se forman hacen que el cuadrado

se visualice de la siguiente manera:

a + b

a + b

a

b

b a

a+b

a+x


Álgebra 12

Acciones a seguir en esta actividad.

1) Con base en ilustración dada, compruebe geométricamente que el área total es igual a la suma de las áreas de las partes.

2) Calcule el área de la figura completa, del lado 𝑎 y escriba el resultado sobre la figura correspondiente.

3) Calcule el área de cada una de las partes y escriba el resultado sobre

la figura correspondiente. 4) Con base en los resultados obtenidos en las actividades 1 y 2,

compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la

suma de las áreas de las partes.

Como usted puede comprobar, la suma de las áreas de estos cuadrados y

rectángulos es igual al área total del rectángulo de lados 𝑎 y 𝑏. Es decir:

= + + +

= + + +

Reordenado la ecuación y desarrollando algunos términos, se obtiene la fórmula notable:

=

=


Álgebra 13

Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la resta.

Todas las fórmulas notables t ienen una representación geométrica. Para el

caso del cuadrado de la resta, se considera el área de un cuadrado de lado 𝑎. Cada lado del cuadrado se divide en dos partes, de manera que una de

ellas mida 𝑏 y la otra mitad la diferencia entre 𝑎 y 𝑏 ; por lo que las regiones que se forman hacen que éste se visualice de la siguiente manera:

Acciones a seguir en esta actividad

1) Con base en la ilustración anterior compruebe geométricamente que

el área total es igual a la suma de las áreas de las partes.

2) Calcule el área de la figura completa, de lado 𝑎 y escriba el resultado sobre la figura correspondiente.

3) Calcule el área de cada una de las partes y anote el resultado sobre la figura correspondiente.

4) Con base en los resultados obtenidos en las actividades 1, 2 y 3 y a

part ir de la comprobación geométrica, compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la suma de las áreas de las

partes.

Como usted pudo comprobar geométricamente, la suma de las áreas de

los cuadrados y rectángulos es igual al área total del rectángulo de lado 𝑎. Es decir:


Álgebra 14

= + + +

Reordenado la ecuación y desarrollando algunos términos, se obtiene:

Área total = Suma de las áreas de las partes.

= + + +

= + +

= + +

= + + por lo tanto se t iene:

– + =

A esta igualdad se le llama: cuadrado de la resta de un binomio

Representación Geométrica de la Diferencia de cuadrados

Todas las formulas notables t ienen una representación geométrica. Para el

caso de la diferencia de cuadrados, se considera el área de un rectángulo

de lados 𝑎 y 𝑎 + 𝑏. El lado del rectángulo que mide 𝑎 se divide en dos partes, la parte menor mide 𝑏 por lo que la parte mayor es igual a 𝑎 − 𝑏. El lado de

medida se divide en dos partes a y b; por lo que las regiones que se

forman hacen que éste se visualice de la siguiente manera:

a + b

a - b


Álgebra 15

Acciones a desarrollar en esta actividad

1) Con base en el material dado, compruebe geométricamente que el área total es igual a la suma de las áreas de las partes.

2) Calcule el área de la figura completa, de lado y escriba el

resultado sobre la figura correspondiente.

3) Calcule el área de cada una de las partes y escriba el resultado sobre la figura correspondiente.

4) Con base en los resultados obtenidos en las actividades 1 y 2, compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la


Como usted puedo comprobar, la suma de las áreas de estos cuadrados y

rectángulos es

igual al área total del rectángulo de lados 𝑎 y 𝑎 + 𝑏. Es decir:

= + + +

Reordenando la ecuación y desarrollando algunos términos, se obtiene la tercera fórmula notable:

Área total


Álgebra 16

Resumiendo …

Las fórmulas notables se presentan en el siguiente cuadro y al lado un

ejemplo de su uso.

Actividad 11.3.

Poniendo en práctica …

A) Desarrolle los siguientes productos notables.

1. (𝑥 − 3)2 2. (𝑎 + 4)2 3. (5𝑦 − 1)2

4. (𝑝 + 𝑞)(𝑝 − 𝑞) 5. (𝑦 − 𝑧)(𝑦 + 𝑧) + (𝑦− 6)2

B) Identifique la fórmula notable que se ilustra en cada caso. Escriba el

nombre de la fórmula en el espacio en blanco.

1. 9𝑥2 +30𝑥 + 25 _________________ 2. 100 − 20𝑎 + 𝑎2 _________________

3. 121𝑣2 −4 _____________________

4. 𝑧4 + 2𝑧2 +1 ____________________

Después de hacer los ejercicios anteriores, habrá notado que en unos casos

se desarrolla la fórmula notable mientras que en otros se expresa como una mult ipliación. En ese segundo caso se está factorizando la expresión. Se

estudiará el proceso de factorización.

Al estudiar el tema de factorización para expresiones algebraicas, debemos

tener presente el significado del proceso: ¿cómo podríamos factorizar si no

tenemos claro lo que significa este concepto? Recordemos que factorizar una expresión significa: “expresarla como product o de sus fact ores”.

Lo anterior sugiere entonces, que una expresión algebraica se puede expresar de dos maneras: una de forma desarrollada (expandida) y otra de

forma factorizada. El siguiente ejemplo muestra una misma expresión

algebraica escrita en ambos formatos:

Fórmula Ejemplo

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (2𝑥 + 3)2 = (2𝑥)2 + 2(2𝑥)(3) + 32 = 4𝑥2+ 12𝑥 + 9

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (√7 + 𝑚)2 = (√7)2 − 2(√7)(𝑚) + 𝑚2 = 7 − 2𝑚√7 + 𝑚2 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 (𝑦 − 4)(𝑦 + 4) = 𝑦2 − 42 = 𝑦2 − 16


Álgebra 17

Expresión desarrollada Expresión factorizada

𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚 − 𝟑𝟓𝒚𝟐 (2𝑥 + 5𝑦)(4𝑥 − 7𝑦)

De esta manera, expandir y factorizar son procesos inversos. Expandir una

expresión siempre resulta ser un método más sencillo de realizar, mientras que factorizar requiere de más herramientas y muchas veces no resulta tan

sencillo identificar el formato estándar de las expresiones, para poder elegir

adecuadamente un método.

Para recordar un poco sobre como expandir expresiones escritas en forma

factorizada, repasaremos la propiedad distribut iva (recuerde que esta

propiedad es distribut ividad de la mult iplicación con respecto a la suma), que nos permit irá realizar el proceso de transición de una factorización

hacia expansión para la expresión factorizada:

(2𝑥 + 5𝑦)(4𝑥 − 7𝑦) = 8𝑥2 − 14𝑥𝑦+ 20𝑥𝑦− 35𝑦2 = 8𝑥2 + 6𝑥𝑦− 35𝑦2

Note que cada término del primer factor, se mult iplica con cada término del

segundo factor. Para reducir el resultado al máximo, se suman los términos semejantes entre sí, pero, ¿qué son términos semejantes?

Recordemos… Los términos semejantes son aquellos monomios (combinación de variables y números unidos únicamente por

mult iplicación) que t ienen el mismo factor literal, es decir, la parte

del monomio formada por el producto de las variables es la misma. Note que en el ejemplo anterior los términos −14𝑥𝑦 y 20𝑥𝑦

son semejantes, pues poseen el mismo factor literal 𝑥𝑦.

Part iendo de esta pequeña introducción, volvamos la mirada nuevamente a las fórmulas notables básicas, pero ahora las usaremos para factorizar

expresiones algebraicas.

Los primeros productos notables

Supongamos que queremos desarrollar el siguiente producto: (𝑥 + 5)(𝑥 + 5),

para lo cual nos vamos a apoyar en la propiedad distribut iva que previamente estudiábamos en la introducción:

(𝑥 + 5)(𝑥 + 5) = 𝑥2 + 5𝑥 + 5𝑥 + 52 = 𝒙𝟐 +𝟏𝟎𝒙+ 𝟐𝟓


Álgebra 18

Note que la expresión anterior, posee el siguiente formato:

(𝒙 + 𝟓)2 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 5) = 𝒙𝟐 +𝟐(𝒙 ∙ 𝟓)⏟ +𝟓𝟐

Analicemos otro caso para ver si identificamos el mismo patrón:

(𝟑𝒙+ 𝟐)2 = (3𝑥 + 2)(3𝑥 + 2) = 9𝑥2 +12𝑥 + 4 = (𝟑𝒙)𝟐+𝟐(𝟑𝒙)(𝟐) + 𝟐𝟐

Note que el formato se conserva, esto por la razón de que cada una de

estas expresiones está just ificada por la siguiente fórmula notable, estudiada anteriormente:

Análogamente, se puede inducir la siguiente fórmula:

Retomemos ahora el modelo mediante el proceso inverso, es decir,

supongamos que tenemos una expresión desarrollada y queremos saber si

se puede factorizar ut ilizando alguna de estas fórmulas: ¿cómo podemos identificarlo?

Siga los siguientes consejos:

1. Asegúrese primero de que consta de 3 términos, ordénelos según la forma de la fórmula y verifique que los extremos sean cuadrados.

2. Luego, extraiga la raíz cuadrada de los dos extremos. 3. Verifique que el término central corresponde al doble producto de las

raíces cuadradas obtenidas en el paso anterior.

4. El signo del término central, nos indicará si es el caso de cuadrado de la suma o cuadrado de la resta (caso 1 o 2).

Si esto se cumple, entonces el modelo corresponde a una de las fórmulas

notables estudiadas.

1º

término 2º término

Es el doble de los dos

términos

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2


Álgebra 19

Actividad 11.4.

Pongamos en práctica el modelo:

Se t iene la expresión 𝑎4 − 2𝑎2𝑏2 + 𝑏4 y queremos determinar si esta expresión corresponde a alguna de las fórmulas notables. Note que la expresión ya

está ordenada según el modelo:

Paso 1: Tenemos una expresión de tres términos, los extremos son cuadrados y el término central es −2𝑎2𝑏2

Paso 2: Tenemos que √𝑎4 = 𝑎2 y √𝑏4 = 𝑏2

Paso 3: Note que el término central corresponde al doble del producto de las raíces anteriores.

Paso 4: Cómo el término central es negativo, el modelo se expresa como el caso 2.

Finalmente, tenemos: 𝑎4 − 2𝑎2𝑏2 + 𝑏4 = (𝑎2 −𝑏2)2

Caso: El cuadrado de la figura t iene como área la expresión 9𝑥2 +12𝑥+4. ¿Será posible hallar una expresión algebraica para la medida del lado del

cuadrado? ¿Puedes indicar el perímetro del cuadrado? ¿Qué operaciones

con polinomios son requeridas para indicar el perímetro?

Actividad 11.5

Para practicar

Factorice cada uno de las siguientes expresiones, si es posible, usando las fórmulas notables:

1. 𝑚2 + 2𝑚𝑏 + 𝑏2 2. 9𝑥2 + 6𝑥𝑦+ 𝑦2

3. (𝑚 + 𝑛)2 − 6(𝑚 +𝑛) + 9


Álgebra 20

4. 𝑤2 −2𝑤

3+1

9

5. 2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥

6. 25𝑥2𝑦4 −20𝑡𝑥4𝑦2 +4𝑡2𝑥6

7. 450𝑟4 +81𝑟8 + 625 8. 12𝑡6 +147+ 84𝑡3

La diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados, es una de las expresiones que suele aparecer

con mayor frecuencia en los procesos de simplificación algebraica, de ahí

la importancia de su estudio. Recordemos su forma:

Los siguientes, son ejemplos de diferencias de cuadrados:

𝑥2 − 49 = 𝑥2 − 72 = (𝑥 − 7)(𝑥+ 7)

25𝑥2 − 1 = (5𝑥)2− 1 = (5𝑥 − 1)(5𝑥 + 1)

En algunas ocasiones se acostumbra a usar el método de una forma no tan evidente como la que se muestra en los casos anteriores. A manera de

ejemplo, ilustramos este argumento:

9𝑥2 −2 = (3𝑥 − √2)(3𝑥 +√2)

En otras ocasiones, un proceso de factorización completa requiere la

aplicación de la diferencia de cuadrados en reiteradas ocasiones, como se muestra en el siguiente ejemplo:

16𝑥4 −81𝑦8 = (4𝑥2 −9𝑦4)⏟ (4𝑥2 +9𝑦4)

Lo anterior, sugiere que para factorizar al máximo la expresión original,

debemos aplicar nuevamente el método de diferencia de cuadrados, de

la siguinete manera:

16𝑥4 − 81𝑦8 = (𝟒𝒙𝟐 −𝟗𝒚𝟒)(𝟒𝒙𝟐+𝟗𝒚𝟒) = (𝟐𝒙− 𝟑𝒚𝟐)(𝟐𝒙+ 𝟑𝒚𝟐)(𝟒𝒙𝟐+ 𝟗𝒚𝟒)

(𝑎− 𝑏)(𝑎+ 𝑏) = 𝑎2 −𝑏2

Nueva diferencia de cuadrados


Álgebra 21

b

Observe que los términos expresados como sumas nunca se

factorizan, porque no está definida la suma de cuadrados dentro de

las fórmulas notables. Es importante tomar esto es cuenta para no incurrir en posibles errores de confusión.

En constantes ocasiones, a pesar de que las personas hayan ut ilizado el recurso algebraico por muchos años, siguen arrastrando errores en su

aplicación. Unos de las más comunes se detallan en los siguientes casos:

1.(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 𝑦2

2.(𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2 − 𝑦2

Pero, ¿dónde está el error? En el primer caso se desarrolla la fórmula notable

estudiada en la sesión 11.2 (cuadrado de la suma de dos cantidades) como

si fuese una simple suma de cuadrados. Por otra parte, vimos que la factorización para la suma de cuadrados no está definida, por tanto, es

imposible factorizar una suma de este t ipo. La expresión 1 quedaría

completa si le agregamos a la suma de cuadrados la expresión 2𝑥𝑦.

El caso 2 es similar, sólo que a diferencia de la suma de cuadrados, la

diferencia si se puede factorizar. Sin embargo en la lección 2 estudiamos la factorización de la diferencia de cuadrados, situación que no corresponde

a la igualdad del caso 2. La expresión (𝑥 − 𝑦)2 corresponde a la fórmula

notable que estudiamos en la lección 1(el cuadrado de la diferencia de dos cantidades).

Actividad complementaria 11.6 Caso. Observe con atención la siguiente secuencia de cómo se construyó un rectángulo

¿Es posible hallar las dimensiones del rectángulo nuevo? Indica una expresión para el área y otra para el perímetro de rectángulo

resultante.

Cuadrado de lado x

Se corta la porción indicada

por la línea amarilla y se une al lado derecho

Rectángulo resultante

Cuadrado de lado x

b

Se corta un cuadrado de lado b


Álgebra 22

Para practicar

Factorice al máximo, las siguientes expresiones. Recuerde que se pueden

combinar métodos:

1. 𝑢2 − 36 2. 𝑎8 − 𝑏8 3. 1 − 3𝑏2

4. 25𝑥4 −82𝑦2 5. (𝑧 + 1)4 −81

6. 𝑎2 − 𝑚2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

7. −9𝑥2 +24𝑥𝑦 − 16𝑦2 8. (𝑥2 +𝑏2) + 2𝑥𝑏

Factor común y agrupación

En las clases anteriores hemos estudiado algunas fórmulas notables importantes y en especial, formas en que podemos explicar sus procesos de

factorización. Ahora, nos surge la preguntas: ¿son todas las fórmulas

importantes que estudiaremos?

La respuesta es no, faltan otras por estudiar, pero, que en esta clase,

dejaremos de lado para atender uno de los métodos de factorización más

importantes: el factor común, y una variante de este método que es conocido como agrupación.

Empecemos...

Arranquemos esta clase recordando una de las propiedades que

estudiamos al inicio de este curso intensivo, la cual llamamos propiedad

dist ribut iva. El siguiente caso ilustra su funcionamiento:

𝒂(𝑏 + 𝑐) = 𝒂𝑏 + 𝒂𝑐

El concepto de distribut ividad, hace alusión a la idea de repart ir o distribuirse, en el caso anterior, la variable “a” que mult iplica a una suma, se

distribuye entre los términos de la suma.

Ahora, ¿qué relación t iene esta propiedad con el factor común?

Observe detenidamente el proceso a la inversa. Note que si tomamos la

expresión 𝒂𝑏 +𝒂𝑐, vamos a poder identificar que tanto en el primer término como en el segundo, la variable “a” aparece como una factor repetido o


Álgebra 23

común, entonces, para factorizar la expresión lo que hacemos es aplicar la

propiedad distribut iva en la otra dirección y a ese método lo llamamos

Factor Común.

En esencia, el factor común se obtiene mediante los siguientes pasos:

Paso 1: Identifique el factor común.

En nuestro ejemplo el factor común es la variable “a”.

Paso 2: Extraiga el factor y divida cada término de la suma (resta) entre el

factor común.

Es decir: 𝒂(𝑎𝑏

𝒂+𝑎𝑐

𝒂)

Paso 3: Simplifique cada término, como sigue. 𝒂(𝑎𝑏

𝒂+𝑎𝑐

𝒂) = 𝒂(𝑏 + 𝑐)

Y listo.

Ahora, analicemos algunos casos:

Caso 1:

Se desea factorizar la expresión 15𝑥5𝑦2 + 30𝑥3𝑦4.

Para cumplir con el requisito del paso 1, debemos tomar en cuenta dos

cosas:

1. El factor común para los coeficientes será el máximo común divisor entre los coeficientes. En nuestro caso el máximo común divisor entre

15 y 30 es 15, pues aunque existan otros divisores comunes entre esos

números (por ejemplo el 3,5, etc), se cumple que el mayor de todos ellos es el15.

2. Se obtiene el factor común del factor literal. En nuestro caso, note que en el primer término encontrarnos el factor 𝑥5 mientras que en el

segundo término aparece 𝑥3, entonces el factor común entre ellos es

la menor de las potencias, es decir 𝑥3. Análogamente se obtendría 𝑦2 como el otro factor común.

Combinando los resultados anteriores, podemos ver que el máximo factor

común entre ambos términos sería 15𝑥3𝑦2. Ahora continuamos con el paso 2:

15𝑥5𝑦2 +30𝑥3𝑦4 = 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐(15𝑥5 𝑦2

𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐+30𝑥3𝑦4

𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐)


Álgebra 24

Ahora, con el paso 3 simplificamos para obtener la expresión final

factorizada al máximo:

15𝑥5𝑦2+ 30𝑥3𝑦4 = 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐(𝑥2 +2𝑦2)

El método conocido como agrupación no es un método del todo nuevo,

sino más bien una variante del método de factor común, pero entonces, ¿en qué se diferencia?.

Lo novedoso del método consiste en que algunas expresiones algebraicas no poseen una factor común para todos sus términos, sin embargo, muchas

veces es posible apreciar que algunos subgrupos de términos sí poseen un

factor común. Si ocurre lo anterior, entonces, procedemos a hacer una agrupación adecuada asociando aquellos términos que posean ese factor

común.

Para comprender el mensaje que queremos comunicar, analicemos el

siguiente caso.

Caso 2:

Se desea factorizar la expresión 6𝑎2𝑏𝑥𝑦− 15𝑎3𝑥2 + 10𝑏𝑦2 − 25𝑎𝑥𝑦.

Note que la expresión algebraica anterior no posee un factor común para

todos sus términos, sin embargo, note que si podemos encontrar factor común entre los primeros dos términos y entre los dos últ imos términos

respectivamente.

Hacemos la siguiente agrupación:

(𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚 − 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐) + (𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐− 𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚) (1)

Analicemos cada paréntesis por separado:

(𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚 − 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐) = 𝟑𝒂𝟐𝒙(𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)

(𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐− 𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚) = 𝟓𝒚(𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)

De esta manera, sust ituyendo los resultados anteriores en (1) se tendría lo

siguiente:

(𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚− 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐)+ (𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐−𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚) = 3𝑎2𝑥(2𝑏𝑦− 5𝑎𝑥)+ 5𝑦(2𝑏𝑦− 5𝑎𝑥)

Sin embargo, el proceso no termina ahí, porque la expresión resultante t iene

ahora un nuevo factor común, como se muestra a continuación:

3𝑎2𝑥(𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)+ 5𝑦(𝟐𝒃𝒚 − 𝟓𝒂𝒙) = (𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)(3𝑎2𝑥 + 5𝑦)

De esta manera, concluimos con la expresión factorizada al máximo.


Álgebra 25

Note que en el ejercicio anterior hicimos un asocie adecuado de términos

que tuviesen factor común, tomando los dos primeros y los dos segundos por

separado, no obstante, ¿crees que sea la única opción de hacer el asocie adecuado?. Para responder esta pregunta le invito a asumir el reto de

factorizar nuevamente la expresión, pero, en esta oportunidad asocie los términos según lo indican los siguientes colores comunes: 𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚− 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐+𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐− 𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚.

Combinando procesos...

Veamos el siguiente ejemplo presente en la práctica final de la clase 1:

2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥

La idea es factorizar al máximo dicha expresión. Note que primeramente se puede apreciar un factor común entre los términos: 2x.

Entonces, procedemos como sigue:

2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥 = 2𝑥(2𝑎2𝑥

2𝑥−4𝑎𝑏𝑥

2𝑥+2𝑏2𝑥

2𝑥)

= 2𝑥(𝑎2 −2𝑎𝑏 + 𝑏2) por factor común

= 2𝑥(𝑎 − 𝑏)2 por fórmula notable.

Y de esta manera factorizamos la expresión usando dos métodos

combinados. Cuando hemos adquirido cierta destreza en el método, se puede obviar el paso donde se indica que cada término se divide por el

factor común, es decir, el segundo paso, pero, sin olvidar que en el fondo lo que estamos haciendo es aplicando la idea base.

Pasemos a un nuevo caso, donde se desea factorizar la expresión: 9𝑎2 −𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎

Tenemos ahora una situación que se antoja resolver de varias formas. La siguiente tabla resume ambos casos:

Caso 1 Caso 2

Tenemos: 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎 = (𝟗𝒂𝟐 −𝒙𝟐) + (−𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒂) asociamos

= (𝟑𝒂 − 𝒙)(𝟑𝒂 + 𝒙) + 𝟒(−𝒙+ 𝟑𝒂) diferencia de cuadrados y factor común

= (𝟑𝒂 − 𝒙)(𝟑𝒂 + 𝒙) + 𝟒(𝟑𝒂 − 𝒙) identificamos un nuevo factor común = (𝟑𝒂 − 𝒙)((𝟑𝒂 + 𝒙) + 𝟒) se factoriza mediante

facto común. = (𝟑𝒂 − 𝒙)(𝟑𝒂 + 𝒙 + 𝟒)se simplifica eliminando paréntesis innecesarios.

Tenemos: 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎 = 𝟗𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙+ 𝟏𝟐𝒂 identificamos

expresiones con factor común = (𝟗𝒂𝟐 +𝟏𝟐𝒂) + (−𝒙𝟐− 𝟒𝒙) asociamos

adecuadamente los términos con factor común = 3𝑎(𝟑𝒂 +𝟒) + 𝒙(−𝒙 − 𝟒) mediante factor

común en ambos casos.


Álgebra 26

Note que en el caso 2, no fue posible llegar al mismo resultado que en el

caso 1, entonces, ¿qué fue lo que ocurrió? Las expresiones con las que

regularmente trabajamos, son expresiones bastante simplificadas y esto provoca que durante el proceso de simplificación se anulen términos que

posteriormente, resultan importantes si queremos regresar a la expresión base. Si desarrollamos la expresión factorizada, obtenemos lo siguiente:

(𝟑𝒂− 𝒙)(𝟑𝒂+ 𝒙 + 𝟒) = 9𝑎2 +3𝑎𝑥 + 12𝑎 − 3𝑎𝑥 − 𝑥2 − 4𝑥

= 9𝑎2 + 𝟑𝒂𝒙+ 12𝑎− 𝟑𝒂𝒙− 𝑥2 −4𝑥 note que tenemos dos términos idénticos

opuestos

= 9𝑎2 + 12𝑎− 𝑥2 − 4𝑥 restamos los términos opuestos y llegamos a la

expresión original.

¿Cuál es la moraleja en esto? Si regresamos al proceso aplicado en el caso

2, lo que explica por qué no se pueda continuar es el hecho de ese término

𝟑𝒂𝒙 que desapareció en el proceso.

Veamos qué ocurre si agregamos nuevamente los términos, es decir 𝟑𝒂𝒙 y

– 𝟑𝒂𝒙 a la expresión:

9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 = 9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 + 𝟑𝒂𝒙–𝟑𝒂𝒙 Note que en realidad lo que estamos haciendo es sumar un cero conveniente a la expresión, un

proceso común en matemática. La dificultad de agregar un cero

adecuado, incide en el hecho de ser capaz de predecir el término que se eliminó en el proceso de simplificación.

Continuamos con el t rabajo:

9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 = 9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 + 𝟎

= 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎 + 𝟑𝒂𝒙–𝟑𝒂𝒙 sumamos un cero adecuado.

= (𝟗𝒂𝟐 +𝟏𝟐𝒂+𝟑𝒂𝒙) + (−𝑥2− 4𝑥–3𝑎𝑥) asociamos adecuadamente

= 3𝑎(𝟑𝒂+ 𝟒 + 𝒙) − 𝒙(𝒙+ 𝟒 +𝟑𝒂) aplicamos factor común

= (3𝑎 − 𝒙)(𝟑𝒂+ 𝟒 + 𝒙) volvemos a aplicar factor común y listo

Actividad complementaria 11.7 Creación. Diseña un póster en el que presentes las fórmulas notables y los t ips que has aprendido al ut ilizarlas.

En el caso anterior, tenga cuidado con el manejo de los signos.


Álgebra 27

Para practicar

Para cada uno de los siguientes casos, factorice las expresiones al máximo.

Recuerde que puede requerir varios métodos.

1. 5𝑦 + 𝑦2

2. 5𝑥2𝑦+ 15𝑥3𝑦2 +25𝑥2𝑦2 3. 14𝑏(𝑎 + 𝑐) − 7(𝑎 + 𝑐)

4. 8𝑥3 +4𝑥2 5. 𝑟3 −64𝑟5 6. 42𝑝2− 86𝑝− 2𝑝4 +6𝑝3 − 120 7. 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎

8. 9𝑥2 − 𝑦2 + 3𝑥 − 𝑦 9. 2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥

10. 𝑎𝑥(𝑡 − 3) − 𝑎𝑡 + 3𝑎+ 2𝑥𝑡− 6𝑥 − 2𝑡 + 6

Sesión 12

Actividad. 12.1

Representación Geométrica de factorización por agrupación

Caso: ( + ) + ( + )

Para realizar la representación del caso de la mult iplicación del polinomio dado, considere el área del rectángulo de lados a + c y a + b. El lado

a + c se divide en dos segmentos de medidas a y c; y el lado a + b en los

segmentos de medidas a y b tal y como se muestra en la siguiente figura.

a a b c a b


Álgebra 28

Acciones a seguir.

1) Con base en el dibujo dado compruebe geométricamente que el

área total es igual a la suma de las áreas de las partes.

2) Utilizando una regla, determine los valores de y el resultado

sobre cada figura.

3) Calcule el área de cada una de las figuras dadas y anote el dato en la superficie de cada una de ellas.

4) Verifique que el área del rectángulo de lados a + c y a + b es igual

a la suma de las áreas de las partes en que se dividió el rectángulo. 5) Compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la


Como usted pudo comprobar geométricamente, la suma de las áreas de

los rectángulos es igual al área total del rectángulo de lados y

.

Área total = Suma de las áreas de las partes.

= + + +

Agrupando los términos de la derecha de la igualdad, se obtiene:

= ( + ) + ( + )

= ( + ) + ( + )

= ( + ) ( + )

cyba,

ca ba

caba 2a ba ca bc

caba 2a ba ca bc

caba a a b c a b

caba a b a c


Álgebra 29

Actividad.12.2

Análisis de casos

Para poner en práctica lo estudiado hasta ahora, analiza con detenimiento

las siguientes figuras y anota para ellas lo que se solicita.

Caso 1. Suma las áreas de todas las figuras que se presentan y anote el

resultado en la siguiente línea: _________________.

Dibuja un cuadrado que esté formado con las figuras anteriores y anota su área en el siguiente espacio: _____________________.

Indica el nombre del producto notable que has encontrado en las figuras.

Caso 2. Anota la medida del lado del cuadrado menor para que

el área de la figura en color verde sea 𝑥2 + 10𝑥+25.

Caso 3. Observa con atención las figuras que se presentan.

¿Qué dimensiones debe tener una figura para que complete

correctamente la igualdad anterior? Dibuje la figura en el espacio indicado.

x w

x x w

w

x w

w

w

x w

x x

w

x

3 +

2

X+3

X+2 X +

X

=


Álgebra 30

1x 2x 3

Buscando factores…

Hay casos como número 3 en los que se puede expresar un término como

el producto de dos factores dist intos. Pero, ¿cómo encontrarlos fácilmente?

Veamos por ejemplo la expresión 2𝑥2 + 7𝑥 + 3. Comprueba que al realizar la

mult iplicación (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) se obtiene esa misma expresión. Veremos un

método llamado inspección que permite hallar estos últ imos factores.

Puedes guiarte en los siguientes pasos:

1. Ordena, en orden descendente el polinomio que deseas factorizar. El polinomio 2𝑥2 +7𝑥 + 3 ya está ordenado de la manera deseada.

2. Anote dos paréntesis 2𝑥2 +7𝑥 + 3 = ( )( )

3. Busca la factorización del primero de los extremos y coloca los posibles factores en la primera posición de los paréntesis, de la forma que se

indica: 2𝑥2 +7𝑥 + 3 = (2𝑥 )( 𝑥 ). 4. Ahora, coloca la factorización de los segundos factores en los otros

extremos de los paréntesis dados anteriormente, así: 2𝑥2 +7𝑥 + 3 =

( 2𝑥 1 )( 𝑥 3 ).

5. Realiza las mult iplicaciones de los términos como se indican a

continuación: 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 = ( 2𝑥 1 )( 𝑥 3 ).

6. Suma los resultados de esas mult iplicaciones y si lo que resulta es igual al

término central entonces estás cerca de factorizar.

Acá por ejemplo, el resultado es 7x, lo cual coincide con el valor del centro de la expresión que se está

factorizando.

7. Finalmente la factorización corresponde a: 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 = (2𝑥 + 1 )( 𝑥+ 3)

8. En caso de que la suma de los terminos indicados en el paso 5 y 6 no

coinciden con el valor del medio de la expresión que se quiere factorizar entonces deberá buscar otra manera de combinar los términos. De ahí

que el nombre que recibe el método seafactorización por inspección.

1x + 2x·3 =

7x


Álgebra 31

Actividad.12.3.

Poniendo en práctica.

A continuación se le ofrecen algunos casos en los que se representa

geométricamente la factorización. Usa el método de inspección para realizar la comprobación de manera algebraica.

Caso 1

4𝑥2 + 5𝑥 + 1 = (4x + 1)(x + 1 )

Caso 2

2𝑦2 + 7𝑦 + 6 = (2y + 3)(y + 2 )

A practicar …

Prepárate para descubrir nuevos casos en los ejericios siguientes. Debes factorizar completamente cada ezpresión:

1) 5𝑥2 − 6𝑥 + 1

2) 𝑥2 − 4𝑥 + 3 3) 10𝑥2 +2𝑥 − 8

Recordemos… El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que resulta cuando sust ituimos las variables que conforman la expresión

algebraica por valores específicos dados.

2x

2x + x

5

+ 1

1

=

4x + 1

x+ 1

y

2y

+ y

7

+ 2

3

=

2y + 3

y+2 2y


Álgebra 32

Actividad. 12. 4. Complete la tabla que se presenta.

Expresión algebraica Cantidad de variables en la expresión

Valores de las variables

Valor numérico

1

𝑦+1

𝑥

𝑥 = 3, 𝑦 = 2

2𝑥3 − 𝑥𝑦𝑧 𝑥 = 1, 𝑦 = −3, 𝑧 = 4

𝑥3 − 4𝑥 𝑥 = 2

5𝑥2 + 3𝑥 −2 𝑥 = −1

2𝑚 + 3𝑛

4𝑧

𝑚 = 0, 𝑛 = −3, 𝑧 = 7

𝑎4 − 2𝑎 + 1 𝑎 = 1

Discutamos…

Observe los resultados de la tabla y reflexione acerca de las siguientes

preguntas:

¿En cuáles de las expresiones existen restricciones para los valores de las variables?

¿En cuáles casos el resultado del valor numérico es cero? En la expresión 𝑥3−4𝑥 ¿qué resultado se obtiene si la variable x tomara el

valor de 3 (𝑥 = 3)? Y si ¿x tomara el valor -2?

Anote sus respuestas y comente con un compañero.

Tome nota de lo siguiente: llamaremos cero de un polinomio al valor que al

ser sust ituido en la variable da como resultado cero. Por ejemplo, toma la expresión 𝑥3 −4𝑥 que se ut ilizó en la tabla y observa que al sust ituir 𝑥 = 2 el

resultado fue 0. Así que decimos que x=2 es un cero del polinomio. Lo ocurre con el valor x= -2 y x=0. ¡Haz la prueba!

Pero, para qué hablamos de los ceros. Presta atención porque conocer los ceros de un polinomio es muy importante en la factorización del mismo.

Recuerda que acabas de notar que 2, -2 y 0 son ceros de 𝑥3−4𝑥 y observa la factorización de este polinomio: 𝑥3−4𝑥 = 𝑥(𝑥+2)(𝑥− 2). Observa también que para el polimio 𝑎4 −2𝑎+ 1 el valor de 𝑎 = 1 es un cero

del polinomio y la factorización de este polinomio es: 𝑎4 −2𝑎+ 1 = (𝑎−1)(𝑎3+𝑎2+𝑎− 1)


Álgebra 33

Pues si observas con detenimiento verás que existe una relación entre el cero

del polinomio con los factores del mismo. Si la hallaste, escríbela:

___________________________________________________________________

Actividad.12.5. Ahora toma la nota anterior como una regla general y escribe la información que falta en la columna correspondiente de la siguiente tabla

Polinomio ceros factorización

4𝑦2 − 8𝑦 − 32 y=4, y= -2

𝑚 = 3 (𝑚 − 3)2

−6𝑧2 + 5𝑧 + 4 (2𝑧 + 1)(4 − 3𝑧)

12𝑥3+ 16𝑥2 − 41𝑥 − 15 𝑥 =3

2, 𝑥 =

−5

2, 𝑥 =

−1

3

𝑎2 + 12𝑎 + 36

4𝑤2 − 9

𝑛 = −3, 𝑛 = 0, 𝑛 = 2

Toma nota… Ahora que ya conoces la ut ilidad de los ceros o también llamados raíces de

un polinomio en la factorización del mismo, de seguro te preguntarás cómo

hacer para encontrar los ceros. Veremos algunos de los casos a continuación:

En el caso de expresiones cuya mayor potencia sólo alcanza el grado 2 y se

muestra de la siguiente forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes,

entonces el desarrollo de la fórmula –𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 nos ofrece los ceros del

polinomio de grado 2 en ese formato (ésta es la llamada fórmula general).

Existen en este caso dos restricciones, una de ellas es que 𝑎 debe ser diferente de cero. Si sabes la razón anótala

aquuí:_________________________________________________.

La otra restricción está relacionada con el valor 𝑏2 −4𝑎𝑐 . ¿Qué debe cumplir dicho valor? ¿Se podría escribir cualquier número real dentro de la

raíz?


Álgebra 34

¿Qué valores puede tomar 𝑏2 − 4𝑎𝑐 para poder hallar los ceros del

polinomio?________ __________________________________________________________________.

Entonces si se cumplen las condiciones, el resultado de –𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 es un cero

y el resultado de –𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 es el otro cero. De esta manera, cómo quedaría

la factorización del polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ?

Anótala: _________________________.

Comprobemos los resultados anteriores con los siguientes polinomios.

1) 5𝑥2 + 6𝑥 − 8

2) 𝑥2 + 3𝑥 − 4

Nota: en ambos casos encuentra los ceros usando la fórmula –𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 ,

plantea los factores y luego haz la comprobación mult iplicando los factores para determinar si el resultado es el mismo polinomio original. ¿Qué sucedió?

Anota los resultados del ejercicio y saca tus propias conclusiones.

_________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________

Coriije la regla general para factorizar el polinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

y anota en el recuadro la manera correcta de generalizar la regla:

Ahora ponga en práctica las reglas aprendidas hasta el momento.


Álgebra 35

Actividad complementaria 12.6

Para practicar

Escriba la factorización completa de los siguientes polinomios.

1. 3𝑧2 − 5𝑧 − 2

2. 2𝑥2 + 7𝑥 − 15

3. 27𝑥3 − 𝑥

4. 4𝑡3 + 8𝑡2 − 5𝑡

Ya vimos cómo hallar los ceros si el polinomio es de grado 2, pero ¿qué hacemos si tenemos un polinomio de grado 3?

En este caso debemos ut ilizar una técnica llamada división sintét ica. La cual

requiere de seguir varios pasos para poder desarrollarla. Vamos a explicar los pasos al mismo t iempo que vamos factorizando el polinomio : 𝑥3 − 7𝑥 + 6

(Nota: observe con atención que aunque el polinomio sólo t iene tres términos no es posible usar el método de factorización con la fórmula

general ni con los productos notables, ¿Por qué?)

a) Anot emos en un conjunt o t odos los divisores del t érmino constante y en ot ro t odos los divisores del fact or numérico del t érmino con

mayor grado. En nuestro ejemplo, el término constante es 6 y todos sus divisores son: ±1,±2,±3, ±6. Y los divisores del coeficiente con el término de

mayor grado, que en este ejemplo es el 1, son: ±1.

b) Tomemos cada uno de los divisores del t érmino const ante y lo

dividimos ent re los divisores del coeficient e de mayor grado. Los result ados de est e proceso serán los posibles ceros.

Esto sería realizar las siguientes divisiones:

±1

±1= ±1,

±2

±1= ±2,

±3

±1= ±3 ,

±6

±1= ±6

Es decir, tenemos como posibles ceros los números 1, 2, 3 y 6, y sus negativos.

c) Se debe buscar, dent ro de los números obt enidos en el paso ant erior, ¿cuáles de ellos son ceros del polinomio?. ¿Cómo lo


Álgebra 36

hacemnos? Evaluemos t odos los valores en el polinomio y

seleccionemos los que son ceros. Retomemos el polinomio que estamos trabajando : 𝑥3 −7𝑥 + 6 y

busquemos un cero del polinomio. 𝑃(1) = 13 − 7 ∗ 1 + 6 =0

Ya tenemos un primer cero del polinomio, el número x = 1 es un cero.

Podemos iniciar la división sintét ica.

d) Podemos empezar a probar los posibles ceros y cuado ya los t engas debes aplicar el procedimient o llamado división sint ét ica

Para hacer la división sintét ica tomamos únicamente los coeficientes de todos los términos del polinomio. En nuestro caso

debemeos reescribir el polinomio de la siguiente manera: 𝑥3− 7𝑥 +6=1 ∙ 𝑥3+ 0𝑥2 −7𝑥 + 6 . los números en color los colocamos como sigue:

A la derecha escribiremos el cero del polinomio, el cual lo

encontramos previamente.

El primer número en la fila se baja y se mult iplica por el número a la derecha

de la línea vert ical, y coloca el resultado en la segunda columna segunda fila.


Álgebra 37

Con eso se obtiene

Debes realizar ahora lo siguiente:

Finalmente obtendrás:

¿Qué me indican los resultados de esa tabla? Veamos…

El 1 en azul es el cero del polinomio y éste me indica que uno de los factores es x – 1.

Los números de la fila 3 serán los coeficientes de otro polinomio que es factor

también del polinomio que estamos factorizando. De modo que tendremos lo siguiente:

𝑥3 − 7𝑥 + 6 = (x − 𝟏)(1 ∙ 𝑥2 +1 ∙ 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1)(𝑥2+ 𝑥 − 6)

Pero este últ imo término, probablemente es factorizable. Así que debemos aplicar de nuevo el proceso o bien, al ser de grado 2 el polinomio que falta

por factorizar se puede usar el método de inspección o la fórmula general.

𝑥2 +𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

e) Se debe anot ar la factorización con t odos los factores hallados en el

proceso complet o.

Asi que finalmente la factorización completa del polinomio 𝑥3− 7𝑥 + 6 sería la siguiente:

𝑥3 − 7𝑥 + 6 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)


Álgebra 38

Actividad.12.7

Poniendo en práctica

1. Para el polinomio 3𝑥3 −8𝑥2 + 3𝑥 + 2 se sabe que el valor 𝑥 =−1

3 es un cero

del mismo. Encuentra la factorización completa ut ilizando la división

sintét ica.

2. Halle la factorización completa de los siguientes polinomios:

a) 𝑥3 − 3𝑥2 −4𝑥 + 12

b) 𝑥4 − 4𝑥 + 3

Caso. Hallando el factor perdido…

Un ingeniero debía encontrar los ceros unos polinomios que representaban

el costo de unas piezas de máquinas que debía poner en funcionamiento. Así que anotó en la pizarra de su oficina las factorizaciones que le permit irían

encontarlos. Pero un compañero quizo jugarle una broma y aprovechando que el ingeniero contestó una llamada y se distrajo, le borró algunos factores

de la pizarra. Quedando de la siguiente manera:

Ayuda al ingeniero a salir del apuro.


Álgebra 39

Sesión 13

División de polinomios

Hasta el momento hemos hablado de algunas operaciones de polinomios.

Pero aún no ahondamos en la división. Dedicaremos esta sección para realizar divisiones de algunos términos.

Cuando se necesita dividir un polinomio entre un monomio lo más sencillo

es recurrir a las fracciones, esas mismas que estudiamos en el módulo 1. Por ejemplo queremos realizar la siguiente división: (2𝑥3 −5𝑥2 + 6𝑥) ÷ 2𝑥

podemos expresarla como una fracción, así: 2𝑥3−5𝑥2+6𝑥

2𝑥. De esta manera, se

puede usar un análogo a la ley distribut iva y reescribir la fracción así: 2𝑥3−5𝑥2+6𝑥

2𝑥=2𝑥3

2𝑥−5𝑥2

2𝑥+6𝑥

2𝑥.

¿Qué ventaja t iene esto?

Aplicando las reglas de simplificación de fracciones, lo anterior resultaría en:

𝑥2 −5𝑥

2+3

Así de sencillo podemos resolver estos casos en los que dividimos un

polinomio entre un monomio. Puede ser incluso en las ocasiones en que se

incluye más de una variable. Por ejemplo, 6𝑥𝑦4−12𝑥3𝑦

2𝑥2𝑦2=

6𝑥𝑦4

2𝑥2𝑦2−12𝑥3𝑦

2𝑥2𝑦2=3𝑦2

𝑥−6𝑥

𝑦

Actividad.13.1.

Creando retos…

1. Reúnase con dos o tres compañeros de clase. Diseñe 3 ejercicios como los anteriores y rete a otro grupo de estudiantes a resolverlo en el menor

t iempo posible. Asegúrate de haberlos resuelto en tu grupo primero para

que puedas revisar que esté correcto el t rabajo de tus otros compañeros. Busca apoyo en tu facilitador del curso si t ienes dudas.

3. El siguiente diagrama representa el terreno que una empresa t iene

para dest inar a sus bodegas. El terreno debe dividirse en tres partes.

Representa geométricamente una posible distribución del terreno.


Álgebra 40

9+5x

Si la repart ición del terreno se hace en partes iguales, ¿cuánto es el área

que va a quedar para cada bodega?

Actividad complementaria.13.2.

Análisis de casos.

¿Qué estrategia se debe seguir para resolver los casos que se presentan a continuación?

Caso 1. Los ganancias de una compañía se representan con la fórmula 5𝑛2 +2𝑛 − 5

donde n representa el número de transacciones. Si se hace una transacción

más, las ganancias aumentan 2 unidades, ¿cuando se hace una transacción más cuál es la ganancia promedio?

Caso 2.

Se sabe que el volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto está dado por la fórmula 𝑉(𝑥) = 6𝑥3 +7𝑥2 + 2𝑥 y que una de sus aristas es x.

Pero es necesario conocer el área de cada una de sus caras para calcular

el costo de construcción de la caja. El único dato adicional que se conoce es que otra de sus aristas mide 3x+2.

Puedes hallar pistas para resolver el caso en los siguientes enlaces: https://es.khanacademy.org/math/geometry-home/basic-geo/basic-geo-

volume-sa/volume-rect-prism/a/volume-of-rectangular-prisms-review

https://es.khanacademy.org/math/geometry-home/basic-geo/basic-geo-volume-sa/volume-rect-prism/v/volume-of-a-rectangular-prism-or-box-

examples

2x+3

https://es.khanacademy.org/math/geometry-home/basic-geo/basic-geo-volume-sa/volume-rect-prism/a/volume-of-rectangular-prisms-review

https://es.khanacademy.org/math/geometry-home/basic-geo/basic-geo-volume-sa/volume-rect-prism/a/volume-of-rectangular-prisms-review

https://es.khanacademy.org/math/geometry-home/basic-geo/basic-geo-volume-sa/volume-rect-prism/v/volume-of-a-rectangular-prism-or-box-examples




Álgebra 41

Caso 3.

Se está invest igando acerca de la resistencia de ciertos materiales que se ut ilizan en la construcción de recipientes. Se t iene un recipiente en forma de

pirámide recta, cuyo volumen está dado por la fórmula 𝑉(𝑥) =8𝑥3+10𝑥2+2𝑥

3. Se

requiere conocer el área de la base de la pirámide, en metros cuadrados,

en términos de x para ver la cantidad de material invert ido en la base del

recipiente. Se conoce que la altura del envase es x+1.

Actividad de cierre

Laboratorio

Introducción

Toda célula de cualquier organismo contiene un depósito de

información genética codificado en el ADN (Ácido desoxi ribonucleico) de sus cromosomas. Recordemos que un GEN es un segmento de ADN situado

en un lugar específico de un CROMOSOMA. Todo gen posee una secuencia

de NUCLEÓTIDOS que representa el código de la secuencia de aminoácidos de una proteína, que normalmente es una ENZIMA que cataliza una

reacción determinada de la célula.

En la ubicación de un gen específico puede haber secuencias de nucleótidos ligeramente dist intas llamadas ALELOS. Los alelos diferentes

generan formas dist intas de una misma enzima. De esta forma, por ejemplo, diversos alelos del gen que influyen en el color de los ojos en los seres

humanos contribuyen a producir ojos de color castaño, azul, verdes, etc.

En toda población de organismos hay habitualmente dos o más alelos de cada gen. Un individuo de una especie DIPLOIDE o poliploide cuyos

alelos de un gen determinado son todos del mismo t ipo es HOMOCIGÓTICO, y un individuo con alelos de t ipos diferentes de ese gen es HETEROCIGÓTICO.

Los alelos específicos presentes en los cromosomas de un organismo

(su GENOTIPO) interactúan con el medio para influir en el desarrollo de sus característ icas físicas y conductuales (su FENOTIPO).


Álgebra 42

Estos Conceptos que hemos repasado anteriormente, nos permit irán

comprender la propuesta, que se expone en la ley de Hardy-Weinberg y su

relación con el equilibrio genético.

El principio de Hardy-Weinberg y el equilibrio genético.

Primeramente, vamos a part ir de un caso hipotét ico para tratar de

ilustrar el funcionamiento de este principio. Considere un rasgo como color

de ojos, color de piel, etc, por un solo LOCUS genético con dos alelos: y , regidos por la dominancia mendeliana simple. Cuando se examina una

población natural de 1 000 individuos, se observa que sólo 90 exhiben el

fenotipo recesivo característ ico del genotipo . Los 910 individuos restantes

exhiben el fenotipo dominante y son o .

Se podría suponer que después de muchas generaciones de recombinación genética durante la reproducción sexual haría que el alelo

dominante se hiciera más común en la población e incluso, suponer que el

alelo recesivo desaparecería con el t iempo. Est as suposiciones serían incorrectas ya que las frecuencias de alelos y genotipos no cambiarían de

una generación a otra, a menos que fuesen influidas por factores externos.

Si una población mantiene invariante sus frecuencias alélicas y

genotípicas de una generación a la siguiente, se dice que esta población

está en EQUILIBRIO GENÉTICO.

La explicación de esta estabilidad de las generaciones sucesivas fue

propuesta en 1908 de manera independiente por el matemático inglés

Godfrey Hardy y el médico alemán Wilhelm Weinberg. Ellos señalaron que las frecuencias esperadas de diversos genotipos en una población pueden

describirse de manera MATEMÁTICA. El principio de .Hardy-Weinberg demuestra que en poblaciones grandes el proceso de la herencia no causa

por sí mismo cambios en las frecuencias alélicas. También explica porqué los

alelos dominantes no son necesariamente más comunes que los recesivos en una población.

Este principio representa una situación ideal que tal vez nunca se

presenta en la naturaleza, sin embargo, es út il porque const ituye un modelo que nos ayuda a comprender el mundo real, es decir, al conocer el principio

de Hardy -Weinberg podremos comprender los mecanismos de cambio evolut ivo en poblaciones que se reproducen sexualmente.

Seguidamente ampliaremos el ejemplo original para ilustrar el

principio de Hardy -Weinberg. La frecuencia de algunos de los alelos o , es descrita por un número de 0 a 1, es decir, puede ser considerado como una probabilidad. Un alelo totalmente ausente de la población t iene

frecuencia cero o probabilidad cero. Si en la población todos los alelos en

A a

aa

AA Aa

A a


Álgebra 43

un locus determinado son el mismo, entonces la frecuencia de este alelo es

de uno.

Para el locus de este ejemplo sólo existen dos alelos y , que sat isfacen la condición de que la suma de sus frecuencias es iguala a 1. Vamos a representar esta situación:

Sea la frecuencia o probabilidad del alelo

Sea la frecuencia o probabilidad del alelo

Entonces se cumple que:

.

Además, elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad obtenida en el paso anterior, se cumple:

Note que la expresión resultante corresponde a un binomio conocido

como fórmula notable y que se expresa de la siguiente manera:

Al inicio de esta unidad, se nos informaba que se habían determinado

90 individuos homocigotos recesivos en nuestra población de 1 000, es decir,

los individuos que exhiben un fenotipo recesivo característ ico. Se puede

inferir que la frecuencia del genotipo está dada por:

De este resultado es posible obtener el valor de la frecuencia del alelo

de la siguiente manera:

Además, como sabemos que , se puede obtener haciendo

el despeje respectivo:

Ahora, sabiendo el valor de la probabilidad o frecuencia de , se

puede determinar la frecuencia de los individuos homocigotos dominantes

y la frecuencia de los individuos heterocigotos como se expone a continuación:

Frecuencia de :

A a

p A

q a

1 qp

12 qp

12222

aadeFrecuenciaAadeFrecuenciaAAdeFrecuencia

qpqpqqqppqppqpqpqp

aa

09,00001

902 q

a

3,009,02 qq

1 qp p

7,03,011 qp

p

AA Aa

AA 49,07,022 p


Álgebra 44

Frecuencia de :

La siguiente tabla ilustra este análisis de forma resumida

Tabla 1: Segregación de alelos y fecundación al azar

Frecuencias alélicas en los gametos femeninos

Frec

uen

cia

s a

lélic

as

en l

os

ga

met

os

ma

scu

lino

s

Tabla 2: Cálculo de frecuencias de los alelos y en los gamet os

Genotipos

Frecuencia de

genotipos en la

población

0,49

0,42

0,09

Frecuencia de alelos

en los gametos

Seguidamente haremos una interpretación de los datos de acuerdo

con el genotipo y el fenotipo de la población, así como los resultados

mostrados en las tablas 1 y 2:

Genot ipo:

Como la probabilidad de encontrar un individuo homocigoto dominante es de 0,49, quiere decir que el 49% de los individuos de

esta población sat isfacen esta característ ica genotípica. Cómo la

Aa 42.03,07,022 pq

7,0p 3,0q

7,0p

AA

49,0

7,07,02

xp

Aa

21,0

3,07,0

xpq

3,0q

Aa

21,0

3,07,0

xpq

aa

09,0

3,03,02

xq

A a

AA Aa aa

7,021,0

49,0

A3,009,0

21,0

a

AA

A

A a

a


Álgebra 45

población que estamos estudiando es de 1000 individuos, implica que

490 son Homocigóticos Dominantes.

La probabilidad de encontrar un individuo heterocigoto es de 0,42, es decir, el 42%. En nuestra población de 1000 individuos significa que 420 son Heterocigotos.

El dato que conocíamos desde el inicio, indica que 90 individuos de 1000, son homocigotos recesivos. Cómo la frecuencia que obtuvimos

fue de 0,09, implica que el 9% de la población es Homocigoto

Recesiva.

Fenot ipo:

Recordemos que el fenotipo nos permite ver la manifestación física

del rasgo en el individuo. Esto quiere decir que si observamos en un individuo el rasgo recesivo, necesariamente debe ser genotípicamente homocigoto

recesivo. Por el contrario, si se observa la cualidad dominante podría ser que ese individuo sea homocigoto dominante o heterocigoto, puesto que este

últ imo al tener un genotipo , donde se percibe un rasgo recesivo, fenotípicamente predomina el dominante.

De esta manera:

Los individuos que exhiben el fenotipo recesivo son los que poseen un

genotipo , cuya probabilidad es de 0,09 o 9%. Con respecto a la población de 1000 individuos serían 90.

Los individuos que exhiben el fenotipo dominante, estarían representados por los genotipos , donde la probabilidad de

mostrar el fenotipo dominante se obtiene sumando las probabilidades

de los genotipos mencionados, es decir . Este dato nos

indica que en la población de 1000, 910 exhiben el rasgo dominante.

Cualquier población en la cual la distribución de genotipos se ajuste a la

relación , sin importar los valores absolutos, se encuentra en

EQUILIBRIO GENÉTICO.

El principio de Hardy-Weinberg del equilibrio genético nos dice que esperar cuando una población que se reproduce de manera sexual no esté

evolucionando. La proporción de alelos en generaciones sucesivas siempre

será la misma, cada vez que se cumplan las cinco condiciones siguientes:

1. Apareamiento al azar: Todos los individuos de la población t ienen la

misma posibilidad de aparearse con un individuo del sexo opuesto.

Aa

Aa

aa

AayAA

91,0·

1222 qpqp


Álgebra 46

2. Ausencia de mut aciones net as: No debe haber mutaciones que

conviertan en o viceversa. Esto es, las frecuencias de y en la población no deben cambiar por causa de una mutación.

3. Tamaño poblacional grande: Las frecuencias alélicas t ienen mayor probabilidad de ser afectadas por fluctuaciones fortuitas (Deriva

genética) en una población pequeña que en una población grande.

4. Ausencia de migración: No puede haber intercambio de genes con otras

poblaciones que podrían tener diferentes frecuencias alélicas, esto es, no

hay emigración o inmigración de individuos.

5. Ausencia de selección nat ural: Si está ocurriendo selección natural,

algunos genotipos (y sus fenotipos correspondientes) son favorecidos

sobre otros. En consecuencia las frecuencias alélicas cambian y la población evoluciona.

El principio de Hardy-Weinberg permite a los biólogos calcular las frecuencias alélicas en una población determinada siempre y cuando se

conozcan las frecuencias genotípicas. Estos valores pueden funcionar como

la base para comparar las frecuencias alélicas de la población en generaciones sucesivas, donde si se determina que estas frecuencias se

desvían de los valores predichos por el principio de Hardy-Weinberg,

entonces se concluye que la población está evolucionando.

I Parte

Reflexione el texto anterior y responda las siguientes preguntas:

1. ¿Bajo qué condiciones una población puede estar en equilibrio genético

y así sat isfacer el principio de Hardy- Weinberg?.

2. Las condiciones a las cuales se hace referencia en la pregunta anterior,

suelen ser casi imposibles de de que ocurran en la naturaleza. Considerando esta afirmación, ¿por qué crees que es importante

estudiar la ley de Hardy-Weinberg?

3. La ley de Hardy-Weinberg correlaciona dos elementos centrales: el primero son los genes y el segundo es el ambiente. El principio requiere

para su cumplimiento un escenario invariante del ambiente, algo difícil

de considerar en nuestro medio. Sin embargo, pueden exist ir algunos hábitats que sean menos vulnerables a estos cambios y que se aproximen

a las condiciones de esta ley. Reflexione e invest igue sobre algún ejemplo de estos hábitat y explique porqué son poco vulnerables al cambio

4. ¿Cuál es el aporte de la matemática que observas en este laboratorio?

A a A a


Álgebra 47

II Parte

Utilice la ley de Hardy-Weinberg para resolver los siguientes problemas:

1. El albinismo en humanos es un rasgo recesivo que se hereda por un t ipo de herencia denominada dominancia completa. En una población de

1000 individuos se encontraros 20 albinos. Con base a esta información:

a. Calcule la frecuencia para el albinismo en esa población

b. ¿Cuántos niños de pigmentación normal en la siguiente

generación, portarán el alelo de albinismo?

c. ¿Cuántos niños no portarán del alelo de albinismo?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga pigmentación normal?

2. Un t ipo de pelo de los humanos responde a un t ipo de herencia

codominante. El rizado es dominante, el lacio recesivo y el ondulado heterocigoto. En una población encontramos 180 rizados, 240 ondulados

y 80 lacios. Con base en la información:

a. Calcule la frecuencia del alelo de cabello rizado y de cabello lacio.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona posea cabello ondulado?

c. ¿Cuál es el porcentaje de hijos de esta población que portará

el alelo de cabello rizado?

d. Si se toma una muestra representativa de la siguiente

generación de esta población y se obtienen los siguientes datos: la frecuencia del alelo para cabello rizado es de 0,30 y

para cabello lacio es de 0,70. Considerando esta situación:

¿considera que la población está en equilibrio genético?, ¿qué está ocurriendo con esta población?

3. Demuestre que y que . Ut ilice estas fórmulas para

verificar la veracidad de los resultados obtenidos en los ejercicios 1 y 2.

pqpp 2

pqqq 2


Álgebra 48

Vocabulario importante Gen: En términos generales se

habla de un conjunto de

información que lleva consigo una instrucción en part icular que

generalmente codifica una proteína. El ADN que conforma los

genes, almacena la información

genética en el núcleo. Existen fragmentos de ADN que no

codifican una proteína. Codifican

otras moléculas como el ARN estructural y a esos también los debemos denominar genes. Además, se presentan situaciones en las que un

fragmento de ADN es capaz de codificar más de una proteína. Entonces, ¿se debe hablar de un gen o de varios? En esas situaciones tendemos a

confundirnos un poco con la terminología. Pero en general, se puede decir

que un gen es un fragmento de ADN, que puede tener 100 pares de bases o hasta dos millones de pares de bases, como en el caso del gen de la

distrofia muscular, el cual codifica una proteína en part icular que t iene a su

vez una función part icular

Alelo: Los alelos son formas alternas de un gen, que difieren

en secuencia o función. Los

alelos que varían en secuencia t ienen diferencias en el ADN,

como deleciones, inserciones o sust ituciones. Los alelos que

difieren en función pueden tener

o no diferencias conocidas en las secuencias, pero se evalúan por la forma en que afectan al organismo.


Álgebra 49

Nucleótido: Un nucleótido es la unidad

estructural del ADN o ARN. Es una molécula en

anillo que contiene nit rógenos y carbonos, oxígenos e

hidrógenos. Hay cuatro nucleótidos diferentes en el

ADN. Los llamamos adenina,

citosina, guanina y t imina. También hay 4 nucleótidos en el

ARN, adenina, citosina y guanina, pero en lugar de la

t imina está el nucleótido llamado uracilo. Estos

nucleótidos o bases están unidas en una cadena de ARN o ADN por medio de una

molécula de azúcar fosfato.

Locus: Nuestros cromosomas contienen entre 30 y 40 mil genes, distribuidos en los 23 pares de cromosomas. El locus es el sit io de un cromosoma donde

se localiza un gen determinado. En otras palabras, es la dirección de este

gen.

Cromosoma: Todas las células vivas almacenan su información genética en

estructuras llamadas cromosomas. Los

cromosomas están const ituidos de ADN y proteínas que están empacadas en forma

compacta y al examinarlos

microscópicamente parecen un hilo o una soga. En el caso de las células nucleadas,

como la mayoría de las células humanas, los cromosomas están localizados dentro del

núcleo. Diferentes organismos t ienen dist into

número de cromosomas. Los humanos tenemos 23 pares de cromosomas o sea 46 en total; 44 autosomas y 2

cromosomas sexuales. Cada progenitor aporta un cromosoma a cada par,

así que los hijos adquieren la mitad de sus cromosomas de la madre y la mitad del padre. De esta manera se crea una nueva combinación

genética, que representa la mezcla de ambos padres.


Álgebra 50

ADN: El ADN es el ácido desoxirribonucléico, un

componente químico dentro del núcleo de las células, portador de las instrucciones genéticas para

la elaboración de los organismos vivientes. Hace relativamente poco tiempo se estableció que el ADN

es el material genético, pues antes de los años 50 se creía que las proteínas eran las que llevaban la

información genética de la célula.

Mutación: El término mutación se refiere a un cambio o alteración en el ADN. Cuando la gente oye la palabra mutación, generalmente piensa en un evento negativo, algo que es

nocivo. Sin embargo, hay algunos cambios o alteraciones en el ADN que pueden ser beneficiosos. Las mutaciones pueden no tener ningún impacto sobre la función de un

órgano o sistema o pueden en cambio causar problemas.

Aminoácido: Los aminoácidos son las unidades de construcción con que se arman las proteínas.

Existen veinte aminoácidos diferentes naturales, ensamblados en combinaciones diferentes para formar diferentes proteínas. Por ejemplo, el cabello de su cabeza está constituido por una proteína específica, elaborada con una secuencia

específica de aminoácidos. Los músculos de su brazo pueden estar compuestos por los mismos veinte aminoácidos, pero se agrupan en

una secuencia diferente para producir músculo en vez de cabello. Y de esta manera, el cuerpo elabora una serie de proteínas diferentes con diferentes funciones, usando los

mismos veinte bloques de construcción, pero en combinaciones diferentes. Enzimas: Las enzimas son proteínas que catalizan básicamente todas las reacciones

químicas en el cuerpo humano. Muchas de las reacciones que ocurren durante el metabolismo y funcionamiento normal del cuerpo humano, de hecho no podrían ocurrir si no fuera por las enzimas, que generalmente aceleran la velocidad a la cual ocurrirían de manera natural y espontánea estas reacciones. Diploide: El término diploide describe el número completo de copias del genoma en una célula determinada. Di significa dos y ploide se refiere al número de copias. Así, la inmensa mayoría de las células normales contienen dos copias del genoma, cada una proveniente de cada progenitor y se conocen como células diploides. Haploide por otra parte, sería el número de copias del genoma en las células reproductoras maduras de los organismos: los óvulos y los espermatozoides. Haploide significa la mitad del número de copias en el

genoma diploide. Catalizar: Favorecer o acelerar el desarrollo de un proceso


Álgebra 51

Sesión 14

Actividad 14.1

Ecuaciones El concepto ecuación es más común de lo que podemos imaginar. Tan

simple como cuando en una red social un amigo te et iqueta o te envía una

imagen como las siguientes:

¿Te ha sucedido? Dale respuesta a los retos de las imágenes anteriores y

pregunta a tus compañeros o profesor si obtuvieron tus mismas conclusiones. ¡Debes prestar mucha atención a los detalles!

Pero, ¿Qué es lo que hay detrás de lo propuesto en los retos anteriores?

Expresiones similares a las de las imágenes las llamamos ecuaciones. En

muchos casos esas ecuaciones involucran expresiones algebraicas y corresponden a modelos que buscan explicar los fenómenos naturales

como el comportamiento de las mareas, la composición de la materia, el movimiento de los objetos, la conducción del calor, el comportamiento de

los mercados entre un sin fin más de situaciones que a diario nos podemos

topar. Tan indispensables son las ecuaciones en nuestras vidas que te has preguntado alguna vez, ¿Cuál es la ecuación matemática más hermosa del

mundo?

Quizá tu respuesta sea que no. Melissa Hogenboom de la BBC Earth, el 25 enero 2016 publicó un art ículo t itulado con esa pregunta. El not iciero le

consultó a matemáticos y físicos acerca del tema y eligió 12 de las respuestas. Te invito a leer el art ículo completo siguiendo el enlace

http://www.bbc.com/mundo/noticias/2016/01/160121_ciencia_matematic

a_formulas_hermosas_gtg

http://www.bbc.com/mundo/noticias/2016/01/160121_ciencia_matematica_formulas_hermosas_gtg



Álgebra 52

Sin embargo, nos gustaría destacar, en este texto, la ecuación de Dirac:

La cual describe cómo las part ículas muy pequeñas como por ejemplo los

electrones se comportan cuando viajan a casi la velocidad de la luz. Ese comportamiento se llama entrelazamiento cuántico: "si dos sistemas

interaccionan entre ellos durante cierto periodo de t iempo y luego se

separan, son dos sistemas dist intos, pero de una forma indirecta se vuelven un sistema único porque lo que le sucede a uno sigue afectando al otro,

aun cuando estén a distancia de kilómetros o años luz". El comportamiento que describe la ecuación de Dirac, se relaciona con lo que le ocurre a dos

personas cuando los une un sentimiento fuerte denominado amor.

Otras ecuaciones interesantes, que a través de los siglos han sido

trabajadas, se relacionan por ejemplo con la búsqueda de números primos, el número pi, y muchas más que hasta el día de hoy se siguen

ut ilizando.

¿Cuál es tu ecuación favorita? Anótala aquí:

__________________________________

Conviene entonces estudiar con detalle tan importantes expresiones.

Ut ilizaremos algunas propiedades que t ienen las ecuaciones para resolverlas. Es muy posible que ya las conoces y que sin nombrarlas aún

puedas dar respuesta a una ecuación como esta:

Sin embargo, en otras ocasiones se requiere mucho más que conocer información previa, como que una manzana roja equivale a 7, por lo que

será necesario comprender bien ciertas reglas enunciadas hace muchísimos años y que hoy en día ut ilizamos. Antes de enunciarlas, realiza la siguiente

actividad.

(𝒊𝝋 − 𝒎)𝝍 = 𝟎


Álgebra 53

Actividad 14.2 Resuelve las siguientes ecuaciones gráficas.

1.

2.

3.

Analice las estrategias ut ilizadas para resolver los casos anteriores y escribe

una lista de los pasos que crees que se deben seguir en general para trabajar con este t ipo de expresiones.

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________


Álgebra 54

Conociendo más a fondo las ecuaciones… Uno de los libros más antiguos e importantes en matemáticas corresponde

a los 13 tomos del Griego Euclides, estos libros son llamado los Elementos, en el tomo I él define 5 nociones comunes de las cuales nos interesan las

siguientes

1. Regla de las ecuaciones equivalentes: Cosas iguales a cosas iguales

son iguales entre sí, o bien dos cosas iguales a una tercera son iguales

entre sí.

Ejemplo:

Si 3 + 2 = 5 y 9 - 4 = 5 entonces 3 + 2 = 9 – 4,

Mediante el álgebra se dice que si x = 3 y z = 3 entonces x = z

Ut ilizando balanzas, en equilibrio, esta propiedad se puede representar así:

Si: y entonces

Entonces 2. Regla de la suma: Si cantidades iguales son adicionadas a cantidades

iguales, las sumas son iguales.

Ejemplo:

Si 5 + 2 = 7 y 9 - 4 = 5 entonces 5+ 2 + 3 = 7 + 3,

Algebraicamente, podemos decir que si x - 2 = 3 entonces x - 2 + 2 =

3 + 2, es decir: x = 5 Mediante balanzas, en equilibrio, esta propiedad se puede

representar así: Si:

entonces

3. Regla de la resta: Si cantidades iguales son disminuidas a cantidades

iguales, las restas son iguales.

Ejemplo: Si 5 + 2 = 7 entonces 5 + 2 – 1 = 7 – 1,


Álgebra 55

Además, usando variables podríamos decir que x + 2 = 5 entonces x +

2 – 2 = 5 – 2, es decir, x = 3

Ut ilizando la analogía con balanzas, esta propiedad se puede ejemplificar así:

Si: entonces

Además de estas tres nociones comunes, enunciadas por Euclides, podríamos agregar las siguientes propiedades:

4. Regla del producto: Si cantidades iguales son mult iplicadas por

cantidades iguales, los productos son iguales.

Ejercicio: Represente esto numéricamente y algebraicamente con un ejemplo.

Ut ilizando balanzas, esta propiedad se puede ejemplificar así: Si:

Entonces

5. Regla del cociente: Si cantidades iguales son divididas por cantidades

iguales, los cocientes son iguales.

Mediante un ejemplo numérico esto se puede representar escribiendo

25 = 20 + 5, entonces 25 ÷ 5 = (20+5) ÷ 5 Usando álgebra se puede escribir que 2x = 20 entonces 2x : 2 = 20 : 2,

es decir x = 10

Ejercicio: Ut ilizando estas balanzas realice una representación de la propiedad,

si:

entonces

Observación: Todas las propiedades anteriores se podrían resumir, diciendo que si en una

igualdad se realizan las mismas operaciones a ambos lados del símbolo de

igual, la igualdad seguiría siendo válida.


Álgebra 56

Actividad 14.3: Considere las siguientes balanzas en equilibrio:

Qué figuras se deben poner, en el plato vacío de la siguiente balanza, para ésta se encuentre en equilibrio:

Actividad 14.3 Utilizando el applet Pan Balance – Shapes, que se encuentra disponible en

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=3531 y con la ayuda del profesor, plantee un acert ijo similar al

de la actividad anterior y compártalo con los

compañeros de clase, para que ellos intenten resolverlos, aplicando las propiedades aprendidas

sobre las ecuaciones.

Actividad 14.1

El símbolo de igualdad 1. Es út il en todas las áreas de la matemática que ut ilizan números como la

aritmética y el álgebra.

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=3531


Álgebra 57

2. La mayor parte de los estudiantes tanto en secundaria como en los

primeros cursos de la universidad emplean mal el símbolo de igualdad.

3. La igualdad no es una operación es un símbolo para representar una

relación.

Actividad 14.1.1 Descargue el archivo balanzas.swf desde

https://www.dropbox.com/s/eos0wtiqm14jk72/Balanzas.swf?dl=0 y con la ayuda del profesor, ut ilícela para resolver las ecuaciones de primer grado

que se generan en ella, o si lo prefiere desde un disposit ivo portable con Android descargue la aplicación

https://play.google.com/store/apps/details?id=air.genmagic.ecuacionesse

ncillas&hl=es e intente resolver al menos 6 de las ecuaciones de primer grado que se generen en cada una de las aplicaciones.

Actividad 14.1.2 Cada uno de los siguientes conjuntos representa retos que irás resolviendo.

Cuando avances de un conjunto a otro habrás demostrado más dominio de las propiedades de las ecuaciones. ¡Adelante! ¡Manos a la obra!

Debes saber que posiblemente algunos de los retos no tengan solución.

https://www.dropbox.com/s/eos0wtiqm14jk72/Balanzas.swf?dl=0

https://play.google.com/store/apps/details?id=air.genmagic.ecuacionessencillas&hl=es

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Álgebra 58

Conjunto 1.

Conjunto 2


Álgebra 59

Conjunto 3. Conjunto 4.

Tomado de:


Álgebra 60

Sesión 15

Actividad 15.1 1. Comenta y resuelve el caso:

Un grupo de 5 est udiantes quiere hacer un viaje para sus vacaciones. El punt o de part ida va a ser la sede universit aria y el sit io de dest ino está

ubicado a 85 kilómetros. El litro de gasolina t iene un cost o de ¢632 y el carro

en el que van consume en promedio 18 lit ros por cada 100 Km. Gina es la encargada del presupuest o y debe indicar una part ida para el t ransporte

de ida y regreso para informarle a t odos los est udiantes y saber cuánto

dinero debe llevar cada uno para el t rasporte. Ayúdale a Gina a hacer el cálculo correspondient e?

2. Observa las siguientes ecuaciones que se relacionan con modelos de

situaciones reales. Reemplaza el valor de la variable (en algunos casos

es más de una) por el valor dado y observa que ocurre con los

resultados. Indica si los resultados son verdaderos o falsos.

Ecuación Valor de la variable Igualdad

Verdadera o

falsa

𝑣 =40

𝑡

Fórmula de la velocidad

𝑣 = 30,𝑡 = 15

30 + 2𝑡 = 𝑡2

Trayectoria de un proyectil en un tiempo t

𝑡 = 2

100 = 20𝑝 + 20

Precio de un producto

p=4

𝑅 =1

1𝑅1+1𝑅2

Resistencia en un circuito con

dos resistores

𝑅 =20

3, 𝑅1 = 10, 𝑅2 = 20


Álgebra 61

Toma nota… Si observas con atención, en el cuadro obtuviste algunos resultados

verdaderos y otros falsos. Para que un valor de la variable sea solución de una ecuación debe ocurrir, que al reemplazar la variable por dicho valor el

resultado sea una igualdad verdadera. De lo contrario, el valor asignado no será solución.

Cuando se encuentran todos los posibles valores que al ser reemplazados

en la ecuación generan una igualdad verdadera, se dice que se ha encontrado la solución de las ecuaciones y se representa en un conjunto

llamado conjunto solución de la ecuación. A cada valor que al ser reemplazado en la ecuación genere una igualdad

verdadera se le llama solución de la ecuación. ¿Puedes indicar en cuáles

casos del cuadro anterior los valores dados a las variables son solución de la ecuación? Señale también el conjunto solución de los casos del cuadro.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ El proceso de hallar todas las soluciones de una ecuación lo llamamos

resolver la ecuación. ¡Precaución! Recuerda que por tratarse de expresiones algebraicas pueden

exist ir valores que sean restricción y, además, al t rabajar con casos o

modelos de situaciones reales algunas de las soluciones de una ecuación podrían no serlo de un caso en sí. Por ejemplo, si estás buscando una

variable como la distancia, no es posible que ésta sea negativa.

Actividad 15. 2 a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones de primer grado:

1. 8 4 3 7 14x x x x

2. 8 15 30 51 53 31 172x x x x x x

3. 3 2 1 7 3 5 24x x x x

4. 5 2 6 18 7 6 3 24x x x x x

5. 4 2 3 3 5 49 6 1 2x x x x x

6. 1 2 4 1 3 5 6 8 11 3 7x x x x x x x

b) Observa las ecuaciones dadas en el cuadro y comprueba que los

valores dados en la columna derecha son soluciones. Analiza bien

cada caso.


Álgebra 62

Ecuación Solución (𝑥 + 4)(3 − 𝑥) = 0 𝑥 = −4,𝑥 = 3 (5𝑥 − 3)(2𝑥 + 7) = 0

𝑥 = −7

2, 𝑥 =

3

5

4𝑥2 +12𝑥 + 9 = 0 𝑥 = −

3

2

𝑚2 − 5𝑚 = 36 𝑚 = −4,𝑚 = 9

𝑎(𝑎 − √2) = 0 𝑎 = 0, 𝑎 = √2

Luego de comprobar y observar, ¿podrías decir si existe alguna relación entre los factores de la ecuación y las soluciones?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ ¿Tiene algo que ver el cero de la derecha? ¿Qué papel juegan los ceros de

un polinomio en la resolución de ecuaciones? _______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

c) Escribe tu propio método o estrategia para resolver ecuaciones

polinomiales.

_______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ d) En el método que planteaste, ¿has incluido la fórmula general que

usamos para hallar los ceros en el módulo de factorización? Si tu

respuesta es no, podrías considerar el dato y ver si te funciona como

una manera de hallar ceros.

e) Observa las gráficas que a continuación se presentan, las cuales son

una manera de expresar en forma geométrica a un polinomio. Busca

en ellas cuáles números hacen que el polinomio sea cero. ¿Te

parecería interesante plantear esta actividad como método para

saber las soluciones de una ecuación polinomial?


Álgebra 63

Gráfica 1

Gráfica 2

Gráfica 3


Álgebra 64

Despejando

Actividad 15.3 Las propiedades que se estudiaron para resolver ecuaciones son de suma importancia.

Vuelve tu mirada hacia las balanzas y aplica esos conocimientos para despejar la variable

que se solicita en cada uno de los siguientes casos. Caso Ecuación Variable a despejar

1 𝑅 =

1

1𝑅1+1𝑅2

𝑅2

2 𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑎 ∙ ℎ 𝑎

3 𝐼 = 𝑃𝑖𝑟 𝑃

4 𝐹 =

𝑔𝑚𝑀

𝑟2

𝑀

5 𝑟2𝐹 = 𝑚𝑀𝑔 𝑟

6 𝑚−𝑀𝑣 = 𝑚𝑥 + 1 𝑚

7 𝑀𝑣

𝑥𝑔+ 2= 𝑚(𝑥𝑔− 2)

𝑀


Álgebra 65

Actividad 15.4 (complementaria)

Construyendo modelos matemáticos para resolver problemas mediante ecuaciones

Casos La constructora Dyel SA es una empresa relat ivamente joven que opera en la ciudad de Liberia desde 2012. Actualmente, está analizando su plan de

construcción para los próximos años y desea encontrar un modelo que le

ayude para este fin. La información de las actividades de la empresa fue proporcionada por el gerente general: en el año 2013 la constructora Dyel

SA logró construir 4 casas a un costo total de 110 millones de colones; en

2014 construyó 6 casas a un costo total de 189.75 millones de colones, en el 2015 fueron construidas 8 casas a un costo total de 286 millones de colones

y durante el 2016 un total de 10 casas a un coto total de 398.75 millones de colones.


Álgebra 66

Sesión 16

Inecuaciones

Actividad 16.1. Recuerdas la noticia “Puente bailey colapsa cuando dos vagonetas con 40

toneladas de asfalto trataron de cruzar a la vez”

Fuente:

http://www.nacion.com/nacional/infraestructura/Puente-colapsa-vagonetas-intentaban-Fortuna_0_1523847678.html

Fuente: http://www.nacion.com/nacional/infraestructura/Vagonetas-duplicaron-

capacidad-puente_0_1524047616.html

Como puedes observar hay dos versiones en relación al peso de las

vagonetas y para saber cuál de las dos noticias se aproxima más a la realidad, invest iga: ¿Cuál es el peso de una vagoneta sin carga?

Según Bianconi, Apango y Ramírez (2015), estos puentes están diseñados

para ser ut ilizados por periodos cortos y atender emergencias surgidas

prioritariamente en casos de desastres naturales al tener la característ ica de facilidad en el t ransporte y montaje. Hay de diferentes tamaños pero en

promedio pueden soportar una carga de 40 a 95 toneladas. Para el caso del puente del río Catarata, según el ministro de transporte, la

estructura está creada para un solo camión. Sin embargo, de los medios de

Según el reporte de bomberos, las vagonetas transportaban en conjunto 40 toneladas de asfalto y cada una pesa por si sola 20 toneladas, lo que significa que el puente cedió tras soportar al

menos 80 toneladas. Según informó el Ministerio de Obras Públicas y Transportes

(MOPT), la estructura está diseñada para que solo un camión

pesado circule a la vez.

Por la estructura, con una capacidad máxima de unas 27 toneladas, intentaron pasar unas

60 toneladas, según estimaciones del Consejo Nacional de Vialidad (Conavi).

A esta “ mprudencia”; sin embargo, se une el hecho de que no había un rótulo de

advertencia sobre la capacidad máxima de la estructura portátil.




Álgebra 67

comunicación se desprende que no había rotulación que indicara esa

limitante.

Reflexionemos - Si x representa el peso máximo en toneladas que soporta un puente

bailey, ¿será posible expresar de manera algebraica los límites de

tolerancia dados por Bianconi, Apango y Ramírez? Inténtalo:

____________________

- ¿Crees que en nuestro país los puentes bailey se instalan por periodos

cortos?

En conclusión:

-Los puentes bailey son construidos con una capacidad máxima de soporte

de peso, por lo que debería exist ir una señalización de tránsito indicándolo. - Los puentes están diseñados para ser ut ilizados por periodos cortos.

- Fue Donald Bailey, oficial del ejército británico durante la Segunda Guerra

Mundial, quien presentó la propuesta de producción en 1941. En 1943 la contribución fue de suma importancia y en 1946 se le otorgó el t ítulo de

ilustre “Sir” en reconocimiento a su aporte.

Actividad 16.2 La ley general de tránsito de Costa Rica, señala que:

“En ausencia de señalización, los límit es mínimos y máximos serán:

a) En aut opista la velocidad mínima será de cincuent a kilómetros por hora (50km/h).

b) Donde no exist a demarcación, el límite será de sesent a kilómetros

por hora (60km/h); en zona urbana de alta densidad poblacional será de cincuent a kilómet ros por hora (50 km/h).

c) En pasos peat onales de vías públicas localizadas alrededor de planteles educat ivos con est udiantes present es, cent ros de salud y

donde se realicen act ividades o concent raciones masivas, el límite

será de veint icinco kilómet ros por hora (25 km/h). Deberá est ar debidamente definido y demarcado el punt o de inicio

y fin de dicha rest ricción, así como las horas y los días en que surte

efect o. Se prohíbe circular a una velocidad superior al límite máximo o inferior a la mínima est ablecida; para ello, el conduct or deberá

t omar en cuent a las condiciones de la vía y las normas de conducción”


Álgebra 68

Reflexionemos…

¿Por qué se ponen límites de velocidad en las leyes?

Si 𝑣 representa la velocidad de un vehículo cualquiera, represente algebraicamente la respuesta que darías a las siguientes preguntas.

1. ¿En qué rango de velocidad puedo viajar en zona escolar?

2. ¿Cuándo me expongo a una multa?

3. ¿A qué velocidad se considera conducción temeraria?

Expresa en forma algebraica los niveles de alcohol permit idos en la sangre

al conducir.

¿Consideras que sea necesario que se haga algún cambio en esa ley?

Comente con sus compañeros.

Como puedes notar, las actividades 17.1 y 17.2, se refieren a casos de la vida

cotidiana y nos son tan familiares, que no nos percatamos que se están ut ilizando desigualdades matemáticas.

En la medicina, toda la parte de dosis en los t ratamientos (dosimetría) y en medición de la intensidad de las radiaciones (radiometría) se basa en

desigualdades: menos que, más que, porque está en juego la vida de los pacientes y una dosis inferior o mayor puede provocar hasta la muerte

Otros casos son: el pago mínimo de la tarjeta de crédito, fecha límite de pago de tus deudas, número de mensajes de texto permit idos en su plan.

Cuando hablamos de estas situaciones por lo general se está haciendo referencia a los límites establecidos: la capacidad máxima o límite de un

ascensor, la velocidad límite o máxima permit ida, el monto mínimo de compras para que se te aplique un descuento.

En general los seres humanos nos hemos caracterizado por t ipificar, poner estándares o límites para las leyes de tránsito, clasificar a las personas como

altas, pequeñas, ricas o pobres, jóvenes o viejas. Para ello se pone un dato que va a ser el que indique que a part ir de ese valor cumple una

característ ica o la otra.


Álgebra 69

En matemáticas, una inecuación es una expresión que hace referencia al

tamaño u orden relat ivo de dos objetos o situaciones.

La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b.

Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando

La notación a ≤ b significa que a es menor o igual que b y la notación a ≥ b

quiere decir que a es mayor o igual que b.

En algunos casos se ut ilizan frases e indicadores del símbolo a ut ilizar.

Tabla 1

frase Desigualdad

matemática “a es más que b” a > b

“a es por lo menos b” a ≥ b

“a es menos que b” a < b

“a es por lo menos b;” o “a no es más que b”

a ≤ b

Sin embargo, muchos problemas no usan precisamente las palabras "por lo

menos" o “mayor que”, o "es menos que" o “menor que”. Entonces, ¿cómo saber qué símbolo usar en cualquier situación?

Ante una situación en la que no se usen palabras que indiquen directamente la relación establecida entre las variables u objetos, se debe

analizar el caso e identificar el contexto de la situación, y relacionar ese contexto a una de las situaciones enlistadas en la tabla. El contexto se

describe a la situación cotidiana en la cual se desenvuelve el problema, tal

y como podemos observar en la tabla 2.


Álgebra 70

Tabla 2

Situación Desigualdad matemática

Velocidad (v) mínima en autopista V 50 km/h

Velocidad límite en si no hay límites de demarcación

V 60 km/h

Velocidad límite en zona urbana de alta densidad de población

V 60 km/hal 10%

Pago mínimo mensual (p) de la tarjeta de crédito P 10% del monto total gastado a la

fecha de corte.

Número de mensajes de texto permit idos (M) al mes M 250

Actividad 16.3. Analicemos la siguiente situación

Jairo es un estudiante de ingeniería que ocupa comprar un par de tenis para

correr en las competencias interuniversitarias. Él encontró tres pares de tenis

para correr que le gustan. El precio de cada par es $150, $159, y $179. Él ya t iene ahorrados $31, y posee un empleo donde gana $8.50 la hora.

¿Cuántas horas debe trabajar para poder pagar cualquiera de los pares de tenis?

Estrategia de solución:

Análisis de lo solicitado: 1. Nos está pidiendo encontrar el número de horas que Jairo debe

trabajar para comprar cualquiera de los pares de tenis. (Ut ilizaremos

la letra h para el total de horas trabajadas)

2. Como él t iene 3 posibilidades de est ilos y por lo tanto de precios; lo

mínimo que t iene que ajustar de dinero son $150.

3. Tiene $31

4. Gana $8,50 por hora.

5. Establecer la relación que existe entre la o las variables: en este caso

horas que debe trabajar para tener al menos $150. (Simbólicamente

el monto debe ser $150)

Pensemos en que somos Jairo:


Álgebra 71

(Salario por hora) · (total de horas trabajadas) + el ahorro precio

de las tenis más baratas ($8,50) · ( h ) + $31 $150

Así se t iene que la inecuación que relaciona las variables es:

($8,50) · ( h ) + $31 $150

Método de solución: ($8,50) · ( h ) + $31 - $31 $150 - $31

($8,50) · ( h ) $119 ($8,50) · ( h ) $119

$8,50 $8,50

h $119

$8,50

h 14


Álgebra 72

Bibliografía Acuña, L y Artavia,M. (2009). Ejercicios de matemática para

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Álgebra 73

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