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Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Laureate International Universities*

TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112MA112

EPE-SISTEMASEPE-SISTEMAS

UPC

Funciones reales Funciones reales de de

varias variables varias variables

http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml

Gráficas de algunas superficies

Circunferencia

x2 + y2 = R2

ecuación:

RECORDAR:

Rx

3

2

1

-1

-2

-3

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

Elipse 3

2

1

-1

-2

-3

-3 -2 -1 0 1 2 3

a

b

12

2

2

2

by

axecuación:

Parábolas con vértice V(0,0)

y

x0

y2 = x

x

y

0

y2 = -x

0

y

x

y = x2

0

y = - x2

x

y

Funciones reales de dos variables

Sea D contenido en R2.

Una función f:D R (x,y) z=f (x,y)es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f (x,y)

DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el cual tiene sentido la regla que define a f.

Ejemplo 1: Determinar el dominio de:

22 9436),( yxyxf

Curvas de Nivel

Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k.

k = cte. real

224),( yxyxf

Ejemplo: Determinar las curvas de nivel de:

22),( yxyxf

f(x,y)=4-x^2-y^2

f f f

g(x,y)=x^2 + y^2

g g g

),( yx

hyxf x

y)f(x,-y)h,f(x lim ),(

0h

DERIVADA PARCIAL RESPECTO X

Y

X

Z

http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/partialderivs.shtml

Interpretación geométrica de

derivada parcial

Ejemplo: Si 222 34x ),( yyxyxf

Entonces:

yxyxf

xyxyxf

y

x

23),(

68),(2

Otras notaciones z = f(x,y)

fff x x11 D D f x

z

x

f

fff y y22 D D f y

z

y

f

Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

x

v

x

x )

u

vua

x

vu

x

u v

x

(uv) )

b

2x

uv

x

)v

x

vu

v

uc

x

u un

x ) 1-n

nud

xu

e x

) u

uee

xu

1

un x

)

ulf

Ejemplo: hallar fx y fy si

ln(xy) e ),( xyxf

y

eyxf

x

exyeyxf

x

y

xx

x

),(

)ln(),(

Derivadas parciales de segundo orden

2

2

2

2

11xxf x

z

x

f

x

f

xff xx

xy

z

xy

f

x

f

yff yx

22

12xyf

Derivadas parciales de segundo orden

yx

z

yx

f

y

f

xff

xy

22

21yxf

2

2

2

2

22yyf y

z

y

f

y

f

yff

yy

Ejemplo hallar

Si32 3 x ),( xyyyxf

. f ,f , yxxy yyxx fyf

292),( , 2),( yxyxfyyxf xyxx

292),( , 18),( yxyxfxyyxf yxyy

Teorema de Clairaut

Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .