universidad nacional de moquegua...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-1-
INDICE
I . CONCEPTO DE DERIVADA………………………………………..2
1. Der ivada en un punto……………………………………………….2
2. In terpretac ión de la der ivada……………………………………8
3. Función der ivada……………………………………………………10
I I . DERIVADAS INMEDIATAS……………………………………….20
1. Fórmulas de der ivadas……………………………………………20
2. Der ivada de una constante……………………………………...20
3. Der ivada de x…………………………………………………………20
4. Der ivada de una potencia………………………………………..20
5. Der ivada de una raíz………………………………………………20
6. Der ivada de una suma…………………………………….………21
7. Der ivada de un producto…………………………………………21
8. Der ivada de un coc iente…………………………………………21
I I I . DERIVADAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS…..…21
1. Der ivada de la func ión exponencia l…………………………21
2. Der ivada de la func ión logar ítmica…………………………..22
3. Der ivac ión logar ítmica……………………………………………22
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-2-
IV. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS…………………………..22
1. Der ivada del seno…………………………………………………22
2. Der ivada del coseno……………………………………………..22
3. Der ivada de la tangente………………………………………...22
4. Der ivada de la cotangente……………………………………..22
5. Der ivada de la secante…………………………………………23
6. Der ivada de la cosecante……………………………………..23
V. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS……………23
1. Der ivada del arcoseno………………………………………….23
2. Der ivada del arcocoseno………………………………………23
3. Der ivada del arcotangente……………………………………23
4. Der ivada del arcocotangente………………………………..23
5. Der ivada del arcosecante…………………………………….23
6. Der ivada del arcocosecante…………………………………24
VI . OTRAS DERIVADAS…………………………………………..24
1. Reg la cadena……………………………………………………..24
2. Der ivada de la func ión inversa……………………………..63
3. Der ivadas sucesivas……………………………………………64
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-3-
4. Der ivac ión impl íc i ta……………………………………………….67
5. Di ferencia l de una func ión……………………………………..69
6. Der ivabi l idad…………………………………………………………74
VI I . APLICACIONES DE LAS DERIVADAS……………………..80
1. Recta tangente……………………………………………………..80
2. Recta normal………………………………………………………..85
3. Crec imiento y decrec imiento………………………………….87
4. Máximos y mínimos……………………………………………….93
5. Opt imizac ión………………………………………………………...100
6. Concavidad y convexidad………………………………………111
7. Punto de inf lexión…………………………………………………116
VI I I . TEOREMAS……………………………………………….……..120
1. Teorema de Rol le………………………………………..………..120
2. Teorema de Lagrange…………………………………..……….125
3. Teorema de Cauchy……………………………………..……….128
4. Reg la de L 'Hôpi ta l……………………………………….……….130
Ejerc ic ios………..………………………………………………………..135
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-4-
Derivada
I . CONCEPTO DE DERIVADA
1. Derivada en un punto
La derivada de una func ión f (x) en un punto x = a es e l valor
del l ímite , s i exis te, del cociente incremental cuando e l
incremento de la var iable t iende a cero .
Ejemplos
Calcular la derivada de la func ión f (x) = 3x2 en e l punto x =
2.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-5-
Hal lar la derivada de la func ión f (x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.
Calcular la derivada de en x = −5.
Hal lar la derivada de en x = 1.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-6-
Determinar la derivada de en x = 2.
Calcula e l va lor de la derivada en x = 2.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-7-
Hal lar la derivada de en x = 3.
A. Derivadas laterales
Der ivada por la izquierda
Der ivada por la derecha
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-8-
Una función es der ivable en un punto s i , y só lo s i , es
der ivable por la izquierda y por la derecha en d icho punto y
las derivadas laterales coinciden .
Ejemplo
Estudiar e l va lor de la derivada de en x
= 0
Como no coinc iden las derivadas laterales la func ión no
t iene der ivada en x = 0.
2. Interpretación de la der ivada
Interpretación geométrica de la derivada
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-9-
Cuando h t iende a 0, e l punto Q t iende a confundirse con e l
P. Entonces la recta secante t iende a ser la recta
tangente a la función f (x) en P, y por tanto e l ángulo α
t iende a ser β .
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual
a la derivada de la func ión en ese punto.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-10-
m t
Ejemplos
= f ' (a)
Dada f (x) = x2 , ca lcu lar los puntos en los que la recta
tangente es para le la a la b isect r iz del pr imer cuadrante.
La ecuación de la b isect r iz del pr imer cuadrante es y = x,
por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son para le las tendrán la misma
pendiente, así que:
f ' (a) = 1 .
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a
la der ivada en e l punto x = a.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-11-
Dada la curva de ecuación f (x) = 2x2 − 3x − 1, hal la las
coordenadas de los puntos de d icha curva en los que la
tangente forma con e l e je OX un ángulo de 45°.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-12-
Determinar los va lores del parámetro b, para qué las
tangentes a la curva de la func ión f (x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9
en los puntos de absc isas x = 1, x = 2 sean para le las.
Para que sean para le las se t iene que cumpl i r que las
der ivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f ' (1) = f ' (2)
f ' (x) = 3b2 x2 + 2bx + 3
f ' (1) = 3b2 + 2b + 3
f ' (2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2
A. Interpretación f ísica de la derivada
+ 2b = 0
b = 0 b = −2/9
Veloc idad media
La velocidad media es e l coc iente ent re e l espacio
recorrido (Δe) y e l t iempo transcurr ido (Δt) .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-13-
Veloc idad instantánea
La velocidad instantánea es e l l ím i te de la ve loc idad
media cuando Δt t iende a cero, es decir , la derivada del
espacio respecto al t iempo .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-14-
Ejemplo
La re lac ión ent re la d is tanc ia recorr ida en metros por un
móvi l y e l t iempo en segundos es e( t ) = 6t2 . Calcular :
1 la ve loc idad media entre t = 1 y t = 4.
La veloc idad media es e l coc iente incremental en e l
in tervalo [1, 4] .
2 La veloc idad instantánea en t = 1.
La veloc idad instantánea es la der ivada en t = 1.
¿Cuál es la ve loc idad que l leva un vehículo se mueve según
la ecuación e( t ) = 2 − 3t 2 en e l quinto segundo de su
recorr ido? El espacio se mide en metros y e l t iempo en
segundos.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-15-
Una poblac ión bacter iana t iene un crec imiento dado por la
func ión p(t ) = 5000 + 1000t ² , s iendo t e l t iempo met ido en
horas. Se p ide:
1. La veloc idad media de crec imiento.
2. La veloc idad instantánea de crec imiento.
3. La veloc idad de crec imiento instantáneo para t 0 = 10
horas.
B. Derivadas de funciones
La función derivada de una función f(x) es una función que
asocia a cada número real su der ivada , s i ex is te. Se expresa
por f ' (x) .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-16-
Ejemplos
Determinar la func ión der ivada de f (x) = x2 − x + 1.
Calcular f ' (−1) , f ' (0) y f ' (1)
f ' (−1) = 2(−1) − 1 = −3
f ' (0) = 2(0) − 1 = −1
f ' (1) = 2(1) − 1 = 1
C. Derivada de las funciones a t rozos
En las funciones def inidas a trozos es necesar io estudiar
las derivadas laterales en los puntos de separac ión de los
d is t in tos t rozos .
Estudiar la derivabil idad de la func ión f (x) = |x | .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-17-
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son dist intas ,
la func ión no es der ivable en d icho punto.
Las derivada laterales no coinc iden en los p icos n i en los
puntos angulosos de las func iones. Por tanto en esos
puntos no exis te la der ivada.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-18-
No es der ivable en x = 0.
Hal lar e l punto en que y = |x + 2| no t iene der ivada.
Just i f icar e l resul tado representando su gráf ica.
La func ión es cont inua en toda .
f ' (−2) − = −1f '(−2) + = 1
No será der ivable en: x= -2.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-19-
En x = -2 hay un p ico, por lo que no es der ivable en x= -2.
Hal lar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no t iene
der ivada. Just i f icar e l resul tado representando su gráf ica.
La func ión es cont inua en toda .
f ' (2) - = −1f ' (2) + = 1
f ' (3) - = −1f ' (3) +
Como no coinc iden las der ivadas la tera les la func ión no
será der ivable en: x=2 y x=3.
= 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-20-
Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos
puntos angulosos, por lo que la func ión no será der ivable en
e l los.
I I . DERIVADAS INMEDIATAS
1. Formulas de der ivadas
2. Der ivada de una constante
3. Der ivada de x
Der ivada de func ión af ín
4. Der ivada de una potencia
5. Der ivada de una raíz
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-21-
Der ivada de una raíz cuadrada
6. Der ivada de suma
Der ivada de de una constante por una func ión
7. Der ivada de un producto
Der ivada de constante par t ida por una func ión
8. Der ivada de un coc iente
I I I . DERIVADAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
1. Der ivada de la func ión exponencia l
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-22-
Der ivada de la func ión exponencia l de base e
2. Der ivada de un logar i tmo
3 . Der ivada de un logar i tmo neper iano
IV. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
1. Der ivada del seno
2. Der ivada del coseno
3. Der ivada de la tangente
4. Der ivada de la cotangente
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-23-
5. Der ivada de la secante
6. Der ivada de la cosecante
V. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
1. Der ivada del arcoseno
2 . Der ivada del arcocoseno
3. Der ivada del arcotangente
4 . Der ivada del arcocotangente
5. Der ivada del arcosecante
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-24-
6. Der ivada del arcocosecante
VI . OTRAS DERIVADAS
Derivada la función potencial-exponencial
1. Regla de la cadena
Fórmula de der ivada implícita
Derivada de una constante
La derivada de una constante es cero .
Ejemplo
Derivada de x
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-25-
La derivada de x es igual a 1 . Es decir , la der ivada de la
func ión ident idad es igual a la unidad.
Derivada de una potencia de base x
Derivada de una raíz de radicando x
Derivadas exponenciales y logarí tmicas
Derivada de la función exponencial de exponente x
Derivada del logaritmo de x
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-26-
Derivadas tr igonométricas
Derivada del seno de x
Derivada del coseno de x
Derivada de la tangente de x
Derivada de la cotangente de x
Derivada de la secante de x
Derivada de la cosecante de x
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-27-
Derivadas tr igonométricas inversas
Derivada del arcoseno de x
Derivada del arcocoseno de x
Derivada del arcotangente de x
Derivada del arcocotangente de x
Derivada del arcosecante de x
Derivada del arcocosecante de x
Derivada de una potencia
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-28-
La derivada de una potencia o función potencial , es igual a l
exponente por la base e levada a l exponente menos uno y por la
der ivada de la base.
Si la base es la func ión ident idad, la der ivada es igual a l
exponente por la base e levada a l exponente menos uno.
f (x) = xk f ' (x)= k · x
Ejemplos
k− 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-29-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-30-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-31-
Derivada de una raíz
La derivada de la raíz enésima de una func ión es igual a la
der ivada del radicando par t ida por la n veces la ra íz enésima de
la func ión radicando e levada a n menos uno.
Derivada de la raíz cuadrada
La derivada de la raíz cuadrada de una func ión es igual a la
der ivada del radicando part ida por e l duplo de la raíz.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-32-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-33-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-34-
Derivada de una suma
La derivada de una suma de dos func iones es igual a la suma
de las derivadas de d ichas func iones.
Esta reg la se ext iende a cualquier número de sumandos, ya sean
posi t ivos o negat ivos.
Ejemplos
Der ivada de un producto
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-35-
La derivada del producto de dos func iones es igual a l pr imer
factor por la der ivada del segundo más e l segundo factor por la
der ivada del pr imero.
Derivada de una constante por una función
La derivada de l producto de una constante por una función es
igual a l producto de la constante por la der ivada de la func ión.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-36-
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos func iones es igual a la
der ivada del numerador por e l denominador menos la der ivada
del denominador por e l numerador, d iv id idas por e l cuadrado del
denominador .
Derivada de una constante part ida por una función
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-37-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-38-
Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial ea igual a la misma
func ión por e l logar i tmo neper iano de la base y por la der ivada
del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la
misma func ión por la der ivada del exponente.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-39-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-40-
Derivadas logarí tmicas
La derivada de un logari tmo en base a es igual a la der ivada
de la func ión d iv id ida por la func ión, y por e l logar i tmo en base a
de e.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-41-
Como , también se puede expresar así:
Derivada de un logari tmo neperiano
La derivada del logari tmo neperiano es igual a la der ivada de
la func ión d iv id ida por la func ión.
En a lgunos e jerc ic ios es conveniente ut i l izar las propiedades de
los logar i tmos antes de der ivar , ya que s impl i f icamos e l cá lcu lo.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-42-
Apl icando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
Apl icando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-43-
Apl icando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
Apl icando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-44-
Apl icando las propiedades de los logar i tmos tenemos:
Apl icando las propiedades de los logar i tmos tenemos:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-45-
Apl icando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
Derivación logarítmica
Con determinadas func iones, especia lmente para la función
potencial -exponencial , es aconsejable e l empleo de la
derivación logarítmica , ya que fac i l i tan bastante e l cá lculo.
.
.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-46-
.
.
.
Ejemplos
.
.
.
.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-47-
Apl icamos la definición de logari tmo :
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-48-
Der ivada del seno
La derivada del seno de una func ión es igual a l coseno de la
func ión por la der ivada de la func ión.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-49-
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-50-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-51-
Derivada del coseno
La derivada del coseno de una función es igual a menos e l
seno de la func ión por la der ivada de la func ión.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-52-
Derivada de la tangente
La derivada de la función tangente es igual a l cuadrado de la
secante de la func ión por la der ivada de la func ión.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-53-
Ejemplos
Derivada de la cotangente
La derivada de la función cotangente es igual a menos e l
cuadrado de la cosecante de la func ión por la der ivada de la
func ión.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-54-
Derivada de la secante
La derivada de la secante de una func ión es igual a la secante
de la func ión por la tangente de la func ión, y por la der ivada de
la func ión.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-55-
Derivada de la cosecante
La derivada de la cosecante de una func ión es igual a menos la
cosecante de la func ión por la cotangente de la func ión, y por la
der ivada de la func ión.
Ejemplo
Derivada del arcoseno
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-56-
La derivada del arcoseno de una función es igual a la der ivada
de la func ión d iv id ida por la raíz cuadrada de uno menos e l
cuadrado de la función.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-57-
Derivada del arcocoseno
La derivada del arcocoseno de una func ión es igual a menos la
der ivada de la func ión d iv id ida por la raíz cuadrada de uno
menos e l cuadrado de la func ión.
Ejemplos
Derivada del arcotangente
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-58-
La derivada del arcotangente de una func ión es igual a la
der ivada de la función d iv id ida por uno más e l cuadrado de la
func ión.
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-59-
Derivada del arcocotangente
La derivada del arcotangente de una func ión es igual a menos
la der ivada de la func ión d iv id ida por uno más e l cuadrado de la
func ión.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-60-
Derivada del arcosecante
La derivada del arcosecante de una func ión es igual a la
der ivada de la func ión d iv id ida por la función mul t ip l icada por la
raíz cuadrada del cuadrado de la func ión menos 1.
Derivada del arcocosecante
La derivada del arcocosecante de una func ión es igual a menos
la der ivada de la func ión d iv id ida por la func ión mul t ip l icada por
la raíz cuadrada del cuadrado de la func ión menos 1.
OTRAS DERIVADAS
Regla de la cadena
La regla de la cadena es la fórmula resul tante de la derivada
de la composición de funciones .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-61-
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-62-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-63-
2. Derivada de la función inversa
S i f y g son func iones inversas, es decir .
Entonces
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-64-
Der ivar , usando la der ivada de la func ión inversa: y = arc sen x
Der ivar , usando la der ivada de la func ión inversa: y = arc tg x
3. Derivadas Sucesivas
Derivada pr imera, segunda, . . . , enésima
Al der ivar la der ivada de una func ión, derivada pr imera ,
obtenemos una nueva func ión que se l lama derivada segunda,
f ' ' (x) .
S i vo lvemos a der ivar obtenemos la derivada tercera, f ' ' ' (x) .
S i der ivamos ot ra vez obtenemos la cuarta derivada f ' v
Ejemplos
y as í
sucesivamente.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-65-
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para
cualquiera de las der ivadas sucesivas (y para todas e l las) . Esta
fórmula rec ibe e l nombre de derivada enésima, f ' n
Ejemplos
(x) .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-66-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-67-
4. Derivación implíci ta
Para hal lar la der ivada en forma impl íc i ta no es necesario
despejar y . Basta derivar miembro a miembro , u t i l izando las
reg las de der ivac ión y teniendo presente que:
x'=1 .
En general y'≠1 .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-68-
Por lo que omit iremos x' y dejaremos y' .
Ejemplos
Cuando las func iones son más comple jas vamos a ut i l i zar una
reg la para fac i l i tar e l cá lcu lo:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-69-
Ejemplos
5. Diferencial de una función
S i f (x) es una func ión der ivable, la diferencial de una función
cor respondiente a l incremento h de la var iable independiente, es
e l producto f ' (x) · h .
La diferencial de una función se representa por dy.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-70-
Interpretación geométrica
La diferencial en un punto representa e l incremento de la
ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la
var iable.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-71-
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-72-
Apl icamos la definición de logari tmo :
Un cuadrado t iene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta
e l área del cuadrado cuando su lado lo hace en un mi l ímet ro.
Calcúlese e l er ror que se comete a l usar d i ferencia les en lugar
de incrementos.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-73-
Hal lar la var iac ión de volumen que exper imenta un cubo, de
ar is ta 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su long i tud.
Calcula e l er ror absoluto y re lat ivo comet ido en e l cá lcu lo del
vo lumen de una esfera de 12.51 mm de d iámetro, medido con un
inst rumento que aprec ia mi lés imas de cent ímetro.
S i e l lugar de se hal la . ¿Cuáles son las
aproximaciones del er ror absoluto y re lat ivo?
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-74-
6. Derivabi l idad
S i una func ión es derivable en un punto x = a , entonces es
cont inua para x = a .
E l rec iproco es fa lso, es decir , hay func iones que son cont inuas
en un punto y que, s in embargo, no son der ivables.
Ejemplos
Estudiar la cont inuidad y der ivabi l idad de las func iones:
En pr imer lugar estudiamos la cont inuidad en x = 0.
La func ión no es cont inua, por tanto tampoco es der ivable.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-75-
En pr imer lugar estudiamos la cont inuidad en x = 0.
La func ión es cont inua, por tanto podemos estudiar la
der ivabi l idad.
Como no coinc iden las der ivadas la tera les no es der ivable en x =
1.
f (x) = x2 en x = 0.
La func ión es cont inua en x= 0, por tanto podemos estudiar la
der ivabi l idad.
En x = 0 la func ión es cont inua y der ivable.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-76-
Dada la func ión:
¿Para qué valores de a es der ivable?
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-77-
Estudiar para qué valores de a y b la func ión es cont inua y
der ivable:
Determinar los valores de a y b para quien la s iguiente func ión
sea der ivable en todos sus puntos:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-78-
Para qué una func ión der ivable t iene que ser cont inua En este
caso la func ión no es cont inua para x = 0 cualesquiera que sean
a y b, es decir , no exis ten va lores de a y b que hagan cont inua
la func ión.
Por tanto, no exis ten a y b para los cuales la func ión sea
der ivable.
Estudiar para qué valores de a y b la func ión es cont inua y
der ivable:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-79-
Estudiar la cont inuidad y der ivabi l idad de la func ión def in ida por:
La func ión no es cont inua en x = 0 porque no t iene imagen. Por
tanto tampoco es der ivable.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-80-
Por lo que es cont inua, veamos s i es der ivable mediante las
fórmulas de der ivadas t r igonómetr icas inmediatas.
Como las der ivadas la tera les no coinc iden no es der ivable en e l
punto.
VI I . APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. Recta tangente
Pendiente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es
la derivada de la func ión en d icho punto.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-81-
Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a a una curva en un punto es aquel la
que pasa por e l punto (a, f (a) ) y cuya pendiente es igual a f
' (a) .
Problemas
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 −
3x2 − 9x + 5 es parale la a l e je OX.
y ' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (s impl i f icando por 3)
x 1 = 3 y 1 = −22
x 2 = −1y 2 = 10
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-82-
A(3, −22) B(−1, 10)
Se ha t razado una recta tangente a la curva y= x3 , cuya
pendiente es 3 y pasa por e l punto (0,−2). Hal lar e l punto
de tangencia.
Sea e l punto de tangencia (a, f (a))
f ' (x)= 3x2 f ' (a)= 3a2
3a2=3a = ±1
Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
a = 1 f (a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f (a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) per tenece a la recta y = 3x−2.
Por tanto e l punto de tangencia será (1, 1) .
Encont rar los puntos de la curva f (x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x
+1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con
OX.
m = 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-83-
f ' (x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1
4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1
x = 0 x = −2 x z= 13/4
P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)
Dada la func ión f (x) = tg x, hal lar e l ángulo que forma la
recta tangente a la gráf ica de la func ión f (x) en e l or igen,
con e l eje de absc isas.
f′ (x) = 1 + tg² x f′ (0) = 1 = m
y = x
α = arc tg 1 = 45º
Hal lar los coef ic ientes de la ecuación y = ax2 + bx + c,
sabiendo que su gráf ica pasa por (0, 3) y por (2, 1) . , y en
este ú l t imo punto su tangente t iene de pendiente 3.
Pasa por (0, 3) 3 = c
Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c
y ' = 2ax + b 3 = 4a + b
Resolv iendo e l s is tema se obt iene:
a = 2 b = −5 c = 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-84-
La gráf ica de la func ión y = ax2 + bx + c pasa por los puntos
(2, 3) y (3, 13) . s iendo la tangente a la misma en e l punto
de absc isa 1 para le la a la b isect r iz del pr imer cuadrante.
Hal lar e l va lor numér ico de a, b y c .
Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c
Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c
y ' = 2ax + b 1 = 2a + b
Resolv iendo e l s is tema se obt iene:
a = 3 b = −5 c =1
Dada la func ión f (x) = ax3 + bx 2
+ cx + d, determina a, b, c
y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2,
3) , y que las tangentes a e l las en los puntos de absc isa 1 y
−2 son para le las a l e jes de absc isas.
f (−1) = 2 −a + b − c + d = 2
f (2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3
f′ (−1) = 0 3a + 2b + c = 0
f′ (2) = 0 12a − 4b + c = 0
a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-85-
2. Recta normal
Pendiente
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto
es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta
tangente , por ser rectas perpendiculares entre s í.
La pendiente de la recta normal es la opuesta de la
inversa de la derivada de la func ión en d icho punto.
Ecuación de la recta normal
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-86-
La recta normal a a una curva en un punto a es aquel la
que pasa por e l punto (a, f (a) ) y cuya pendiente es igual a
la inversa de la opuesta de f ' (a) .
Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la
curva f (x) = ln tg 2x en e l punto de absc isa: x = π/8.
Hal lar la ecuación de la recta tangente y normal a la
parábola y = x2 + x + 1 para le la a la b isect r iz del pr imer
cuadrante.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-87-
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f ' (a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal :
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1
3. Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento
Si f es der ivable en a:
Decrecimiento
Si f es der ivable en a:
Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-88-
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
de:
f (x) = x3 − 3x + 2
Para hal lar su crec imiento y decrec imiento vamos a real izar
los s iguientes pasos:
1. Derivar la función.
f ' (x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la der ivada pr imera, para el lo
hacemos: f ' (x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abier tos con los ceros ( raíces) de la
der ivada pr imera y los puntos de d iscont inuidad (s i los
hubiese)
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hal lamos el
signo que t iene en la derivada pr imera.
Si f ' (x) > 0 es creciente.
Si f ' (x) < 0 es decreciente.
Del in tervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-89-
f ' ( -2) = 3( -2)2 −3 > 0
Del in tervalo (−1, 1) tom amos x = 0, por e jemplo.
f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0
Del in tervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por e jemplo.
f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0
5. Escr ib imos los in tervalos de crec imiento y decrec imiento:
De crec imiento: (−∞, −1) (1, ∞)
De decrec imiento: (−1,1)
Ejercicios
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-90-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-91-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-92-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-93-
4. Máximos y mínimos
Máximos
Si f y f ' son der ivables en a, a es un máximo relat ivo o
local s i se cumple:
1. f ' (a) = 0
2. f ' ' (a) < 0
Mínimos
Si f y f ' son der ivables en a, a es un mínimo relat ivo o
local s i se cumple:
1. f ' (a) = 0
2. f ' ' (a) > 0
Cálculo de los máximos y mínimos relat ivos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-94-
f (x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada pr imera y calculamos sus raíces.
f ' (x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Real izamos la 2ª der ivada, y calculamos el signo que
toman en el la los ceros de der ivada pr imera y si :
f ' ' (x) > 0 Tenemos un mínimo.
f ' ' (x) < 0 Tenemos un máximo.
f ' ' (x) = 6x
f ' ' (−1) = −6 Máximo
f ' ' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos
relat ivos.
f (−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4
f (1) = (1)3
Ejercicios
− 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-95-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-96-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-97-
Problemas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-98-
Determinar a, b y c para que la func ión f (x) = x 3 + ax 2 + bx
+ c tenga un máximo para x=−4, un mínimo , para x=0 y
tome el va lor 1 para x=1.
f (x) =x3 + ax 2 + bx + c f′ (x) = 3x 2 + 2ax + b
1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0
0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48
0 = 0 − 0 + b b = 0
a = 6 b = 0 c = −6
Determinar e l va lor de a, b, c y d para que la func ión f (x) =
ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo
en (2, 0) .
f (x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′ (x) = 3ax 2 + 2bx + c
f (0) = 4 d = 4
f (2) = 0 8a + 4b + 2c = 0
f′ (0) = 0 c = 0
f′ (2) =0 12a + 4b + c = 0
a = 1 b = −3 c = 0 d = 4
Dada la func ión:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-99-
Calcula a, b y c , de modo que f (x) tenga en (2, −1) un
ext remo local y que la curva pase por e l or igen de
coordenadas.
Hal lar a y b para qué la func ión: f (x) = a · ln x + bx 2 + x
tenga ext remos en los puntos x 1 = 1 y x 2 = 2. Para esos
valores de a y b, ¿qué t ipo de ext remos t ienen la func ión en
1 y en 2?
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-100-
5. Optimización
En la resoluc ión de problemas de opt imización de
func iones seguiremos los s iguientes pasos:
1. Plantear la función que hay que maximizar o
minimizar.
2. Plantear una ecuación que relacione las distintas
var iables del problema , en e l caso de que haya más de
una var iable.
3. Despejar una var iable de la ecuación y sust i tuir la en la
función de modo que nos quede una sola var iable .
4. Derivar la función e igualarla a cero , para hal lar los
ext remos locales.
5. Real izar la 2ª der ivada para comprobar e l resul tado
obtenido.
Problemas de opt imización
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-101-
De todos los t r iángulos isósceles de 12 m de per ímetro,
hal lar los lados del que tome área máxima.
La func ión que tenemos que maximizar es e l área de l
t r iángulo:
Relac ionamos las var iables:
2 x + 2 y = 12
x = 6 − y
Sust i tu imos en la func ión:
Der ivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-102-
Real izamos la 2ª der ivada y sust i tu imos por 2, ya que la
soluc ión y = 0 la descar tamos porque no hay un t r iángulo
cuyo lado sea cero.
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados obl icuos (x) también
miden 4 m, por lo que e l t r iangulo de área máxima ser ía un
t r iangulo equi lá tero.
Recor tando convenientemente en cada esquina de una
lámina de car tón de d imensiones 80 cm x 50 cm un
cuadrado de lado x y dob lando convenientemente (véase
f igura), se construye una caja. Calcular x para que volumen
de d icha caja sea máximo.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-103-
Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso,
márgenes super ior e in fer ior de 2 cm de a l tura y márgenes
la tera les de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las
d imensiones que min imizan la superf ic ie del papel .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-104-
Descomponer e l número 44 en dos sumandos ta les que e l
quíntuplo del cuadrado del pr imero más e l séxtuplo del
cuadrado del segundo sea un mínimo.
E l va lor de un d iamante es proporc ional a l cuadrado de su
peso. Divide un d iamante de 2 g en dos partes de forma que
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-105-
la suma de los valores de los dos d iamantes formados sea
mínima.
E l d iamante se ha de d iv id i r en dos partes iguales de 1 g .
Una boya, formada por dos conos rectos de h ier ro unidos
por sus bases ha de ser const ru ido mediante dos p lacas
c i rcu lares de 3 m de radio. Calcular las d imensiones de la
boya para que su volumen sea máximo.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-106-
Se pretende fabr icar una la ta de conserva c i l índr ica (con
tapa) de 1 l i t ro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus
d imensiones para que se ut i l ice e l mín imo posib le de metal?
Se t iene un a lambre de 1 m de long i tud y se desea d iv id i r lo
en dos t rozos para formar con uno de e l los un c írcu lo y con
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-107-
el ot ro un cuadrado. Determinar la long i tud que se ha de
dar a cada uno de los t rozos para que la suma de las áreas
del c írcu lo y del cuadrado sea mínima.
Un sector c i rcu lar t iene un per ímetro de 10 m. Calcular El
radio y la ampl i tud del sector de mayor área.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-108-
Recor tando convenientemente en cada esquina de una
lámina de car tón de d imensiones 80 cm x 50 cm un
cuadrado de lado x y dob lando convenientemente (véase
f igura), se construye una caja. Calcular x para que volumen
de d icha caja sea máximo.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-109-
Obtener e l t r iángulo isósceles de área máxima inscr i to en
un c írcu lo de radio 12 cm.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-110-
Un t r iángulo isósceles de per ímetro 30 cm, g ira a l rededor
de su a l tura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a
la base para que e l vo lumen del cono sea máximo?
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-111-
6. Concavidad y convexidad
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-112-
Estudio de los intervalos de concavidad y convexidad
f (x) = x3 − 3x + 2
1. Hal lamos la der ivada segunda y calculamos sus raíces.
f ' ' (x) = 6x 6x = 0x = 0.
2. Formamos intervalos abier tos con los ceros ( raíces) de la
der ivada segunda y los puntos de d iscont inuidad (s i los
hubiese) .
3. Tomamos un valor de cada intervalo , y hal lamos e l s igno
que t iene en la der ivada segunda.
Si f ' ' (x) > 0 es cóncava.
Si f ' ' (x) < 0 es convexa.
Del in tervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f ' ' (−1) = 6(−1) < 0 Convexa.
Del in tervalo (0, ∞) tomamos x =1, por e jemplo.
f ' ' (1) = 6 (1) > 0 Cóncava.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-113-
4. Escr ib imos los in tervalos:
Concavidad: (0, ∞)
Convexidad: (− ∞, 0)
Ejercicios
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-114-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-115-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-116-
7. Puntos de inflexión
En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a
convexidad o viceversa.
Cálculo de los puntos de inf lexión
f (x) = x3 − 3x + 2
1. Hal lamos la der ivada segunda y calculamos sus raíces.
f ' ' (x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Real izamos la der ivada tercera, y ca lculamos e l s igno
que toman en e l la los ceros de der ivada segunda y s i :
f ' ' ' (x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f ' ' ' (x) = 6 Será un punto de inf lexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de
inflexión.
f (0) = (0)3
Punto de inflexión: (0, 2)
− 3(0) + 2 = 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-117-
Cálculo de los puntos de inf lexión conociendo los
intervalos de concavidad y convexidad
Los puntos de inflexión son los puntos de la func ión en
que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.
Ejercicios
Tenemos un punto de inflexión en x = 0 , ya que la func ión
pasa de convexa a concava.
Punto de inflexión (0, 0)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-118-
Dominio
Problemas
Obtener la ecuación de la tangente a la gráf ica de f (x) = 2x3
− 6x 2 + 4 en su punto de inf lexión .
f′ (x) = 6x 2− 12xf ′ ′ (x) = 12x − 121
2 x − 12 = 0x = 1
f′ ′ ′ (x) = 12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f (1) = 0
Punto de inf lexión: (1, 0)
f′ (1) = 6 − 12= − 6 = m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-119-
y − 0 = −6(x − 1) y = −6x + 6
La curva f (x) = x 3 + a x2 + b x + c corta a l e je de absc isas
en x = 3 y t iene un punto de inflexión en (2/3, 1/9) . Hal lar
a, b y c .
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su
punto de inf lexión a la curva: f (x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f′ (x) = 3 x 2 − 6x+ 7
f′ ′ (x) =6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f′ ′ ′ (x) =12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f (1)= 6
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-120-
Punto de inf lexión: (1, 6)
m t = f′ (1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
Sea f (x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hal lar a y b de manera que la
gráf ica de la func ión f (x) tenga para x= 1 un punto de
inflexión , y cuya recta tangente en ese punto forme un
ángulo de 45° con el e je OX.
f ' (x) = 3 x2
1. Teorema de Rolle
+ 2 ax + b f′ ′ (x) = 6x + 2a
f′ (1) = 1 3 + 2a + b = 1
f′ ′ (1) = 0 6 + 2a = 0
a = − 3 b = 4
VI I I . TEOREMAS
El teorema de Rol le d ice que:
Si f es una func ión cont inua en [a, b] y derivable en (a, b) ,
ta l que f (a) = f(b) , hay a lgún punto c (a, b) en e l que f ' (c)
= 0 .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-121-
La interpretación gráf ica del teorema de Rol le nos d ice
que hay un punto en e l que la tangente es para le la a l e je de
absc isas.
Ejemplos
1. ¿Es apl icable e l teorema de Rol le a la func ión f (x) = |x −
1| en e l in tervalo [0, 2]?
La func ión es cont inua en [0, 2] .
No es apl icab le e l teorema de Rol le porque la soluc ión no
es der ivable en e l punto x = 1.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-122-
2. Estudiar s i la func ión f (x) = x − x 3 sat is face las
condic iones del teorema de Rolle en los in tervalos [−1, 0] y
[0 , 1 ] . en caso af i rmat ivo determinar los valores de c.
f (x) es una func ión cont inua en los in tervalos [−1, 0] y [0, 1]
y der ivab le en los in tervalos abier tos (−1, 0) y (0, 1) por ser
una func ión pol inómica.
Además se cumple que:
f (−1) = f (0) = f (1) = 0
Por tanto es apl icable e l teorema de Rol le .
3.¿Sat isface la func ión f (x) = 1 − x las condic iones del
teorema de Rol le en e l in tervalo [−1, 1]?
La func ión es cont inua en e l in tervalo [−1, 1] y der ivable en
(−1, 1) por ser una func ión pol inómica.
No cumple teorema de Rolle porque f (−1) ≠ f (1) .
4.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 t iene una
única soluc ión.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-123-
Vamos a demostrar lo por reducción a l absurdo.
Si la func ión tuviera dos raíces d is t in tas x 1 y x 2 , s iendo x 1 <
x 2 , tendr íamos que:
f (x 1 ) = f (x 2 ) = 0
Y como la func ión es cont inua y der ivable por ser una
func ión pol inómica, podemos apl icar e l teorema del Rolle ,
que d i r ía que exis te un c (x 1 , x 2 ) ta l que f ' (c) = 0.
f ' (x) = 2 + 6x + 12x2 f ' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2
Pero f ' (x) ≠ 0, no admite soluc iones reales porque el
) .
discr imínante es negat ivo:
Δ = 9 − 24 < 0.
Como la der ivada no se anula en n ingún valor está en
cont radicc ión con e l teorema de Rol le , por lo que la
h ipótes is de que exis ten dos raíces es fa lsa.
5.¿Cuántas raíces t iene la ecuación x3 + 6x2 + 15x − 25 =
0?
La func ión f (x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es cont inua y der ivable
en ·
Teorema de Bolzano .
f (0) = −25
f (2) = 37
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-124-
Por tanto la ecuación t iene a l menos una soluc ión en e l
in tervalo (0, 2) .
Teorema de Rolle .
f ' (x) = 3x2
Dado que la der ivada no se anula, ya que su
+ 12x +15
discr iminante
es negat ivo, la func ión es est r ic tamente crec iente y posee
una única raíz.
6. Demostrar que la ecuación 2x3 − 6x + 1 = 0 una única
soluc ión real en e l in tervalo (0, 1) .
La func ión f (x) = 2x3 − 6x + 1 es cont inua y der ivable en ·
Teorema de Bolzano .
f (0) = 1
f (1) = −3
Por tanto la ecuación t iene a l menos una soluc ión en e l
in tervalo (0, 1) .
Teorema de Rolle.
f ' (x) = 6x2 - 6 6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0
La der ivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede
haber dos raíces en e l in tervalo (0, 1) .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-125-
2. Teorema de Lagrange o Teorema del valor medio
El teorema del valor medio o de Lagrange d ice que:
Sea f es una func ión cont inua en [a, b] y der ivable en (a,
b) , exis te un punto c (a, b) ta l que:
La in terpretac ión geométr ica del teorema del valor medio
nos d ice que hay un punto en e l que la tangente es para le la
a la secante.
El teorema de Rol le es un caso par t icu lar del teorema del
valor medio , en e l que f (a) = f (b) .
Ejemplos
1. ¿Se puede apl icar e l teorema de Lagrange a f (x) = 4x2 −
5x + 1 en [0, 2]?
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-126-
f (x) es cont inua en [0, 2] y der ivable en (−1, 2) por tanto se
puede apl icar e l teorema del valor medio :
2. ¿Se puede apl icar e l teorema de Lagrange a f (x) = 1/ x2
en [0, 2]?
La func ión no es cont inua en [−1, 2] ya que no def in id a en x
= 0.
3. En el segmento de la parábola comprendido ent re los
puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hal lar un punto cuya tangente
sea para le la la cuerda.
Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) per tenecen a la parábola
de ecuación y = x2 + bx + c .
Por ser la func ión pol inómica se puede apl icar e l teorema
del va lor medio en e l in tervalo [1, 3] .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-127-
4. Calcular un punto del in tervalo [1, 3] en e l que la
tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea para le la a la recta
determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20) . ¿Qué
teorema garant iza la exis tenc ia de d icho punto?
Hal lamos la ecuación de la recta que pasa por los dos
puntos.
Por ser y = x3 − x2 + 2 cont inua en [1, 3] y der ivable en (1 ,
3) se puede apl icar e l teorema del valor medio :
5.Determinar a y b para que la func ión
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-128-
cumpla las h ipótes is del teorema de Lagrange en e l
in tervalo [2, 6] .
En pr imer lugar se debe cumpl i r que la func ión sea cont inua
en [2, 6] .
En segundo lugar se debe cumpl i r que la func ión sea
der ivable en (2, 6) .
3. Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy o teorema del valor medio
general izado d ice que:
Si f y g son func iones cont inuas en [a, b] y der ivables en (a,
b) , exis te un punto c (a, b) ta l que:
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-129-
1. Apl icar e l teorema de Cauchy a las func iones f (x) = sen
x y g(x) = cos x en e l in tervalo [0, π/2] .
Las func iones f (x) = sen x y g(x) = cos x son cont inuas y
der ivables en toda la recta real .
Y en par t icu lar son cont inuas en el in tervalo [0, π/2] y
der ivables en (0, π/2) .
g(π/2) ≠ g(0)
Por lo tanto podemos apl icar e l teorema de Cauchy :
g ' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.
2.Anal izar s i e l teorema de Cauchy es apl icable en e l
in tervalo [1, 4] a las func iones:
f (x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 120x − 5.
En caso af irmat ivo, apl icar lo .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-130-
Las func iones f (x) y g (x) son cont inuas en [1, 4] y
der ivables en (1, 4) por ser pol inómicas, además se cumple
que g(1) ≠ g(4).
Por lo tanto se ver i f ica e l teorema de Cauchy :
4. Regla de L'Hôpital
Sean f y g func iones der ivables en a lgún in tervalo abier to
que cont iene a l punto a. Si f (a) = g(a) , y exis te,
entonces:
La regla de L'Hôpital se apl ica d i rectamente en las
indeterminaciones:
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-131-
S i comparamos infinitos observamos que e l numerador es
un in f in i to de orden infer ior a l denominador , por tanto el
l ími te es 0.
Indeterminación inf ini to menos inf ini to
En la indeterminación inf inito menos infinito , s i son
f racc iones, se ponen a común denominador .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-132-
Indeterminación cero por inf ini to
La indeterminación cero por in f in i to , se t ransforma del
s iguiente modo:
Indeterminaciones
En las s in determinaciones cero e levado cero, inf in i to
e levado a cero y uno e levado a in f in i to ; se real iza en pr imer
lugar las s iguientes operac iones:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-133-
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-134-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-135-
Ejercicios
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-136-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-137-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-138-
Apl icando las propiedades de los logari tmos en e l
segundo miembro tenemos:
Ejercicios de los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de
L'Hôpital
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-139-
1. Estudiar s i se ver i f ica e l teorema de Rol le en e l
in tervalo [0, 3] de la func ión:
En pr imer lugar comprobamos que la func ión es cont inua en
x = 1.
En segundo lugar comprobamos s i la func ión es der ivable
en x = 1.
Como las der ivadas la tera les no coinc iden, la func ión no es
der ivable en e l in tervalo (0, 3) y por tanto no se cumple e l
teorema de Rol le .
2.¿Es apl icable e l teorema de Rol le a la func ión f (x) = ln (5
− x2 ) en e l intervalo [−2, 2]?
En pr imer lugar ca lculamos e l dominio de la func ión.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-140-
La func ión es cont inua en e l in tervalo [−2, 2] y der ivable en
(−2, 2) , porque los in tervalos están contenidos en
.
Además se cumple que f (−2) = f (2) , por tanto es apl icable e l
teorema de Rol le .
3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 t iene una
única soluc ión real .
La func ión f (x) = x7 + 3x + 3 es cont inua y der ivable en ·
Teorema de Bolzano .
f (−1) = −1
f (0) = 3
Por tanto la ecuación t iene a l menos una soluc ión en e l
in tervalo (−1, 0) .
Teorema de Rolle .
f ' (x) = 7x6 + 3
Como la der ivada no se anula en n ingún valor está en
cont radicc ión con e l teorema de Rolle , por tanto sólo t iene
una raíz real .
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-141-
4.¿Se puede apl icar e l teorema de Lagrange a f (x) = x3 en
[−1, 2]?
f (x) es cont inua en [−1, 2] y der ivab le en (−1, 2) por tanto
se puede apl icar e l teorema del valor medio :
5.Comprobar s i se cumplen las h ipótes is del teorema de
Cauchy para las func iones f (x) = x3 y g(x) = x + 3 en el
in tervalo [0, 2] .
Las func iones f (x) y g (x) son cont inuas en e l in tervalo [0, 2]
y der ivables en (0, 2) , por ser func iones pol inómicas.
Y además g(0) ≠ g(2) .
Como g ' (0) = 0 no se puede apl icar e l teorema de Cauchy .
Resolver los siguientes l ímites
1.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-142-
2.
S i comparamos infinitos observamos que e l numerador es
un in f in i to de orden infer ior a l denominador , por tanto el
l ími te es 0.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-143-
3.
4.
6.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-144-
7.
8.
9.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-145-
10.
11.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-146-
Apl icando las propiedades de los logari tmos en e l
segundo miembro tenemos:
12.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS
LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA
-147-