universidad del azuay facultad de ciencia y tecnología

Universidad del Azuay

Facultad de Ciencia y Tecnología

Escuela de Ingeniería Civil y Gerencia de

Construcciones

ELABORACIÓN DE GUÍAS

METODOLÓGICAS PARA ENSAYOS DE

LABORATORIO DE LA ASIGNATURA DE

RESISTENCIA DE MATERIALES DE LA

UNIVERSIDAD DEL AZUAY

Trabajo de graduación previo a la obtención del título de:

INGENIERO CIVIL CON ÉNFASIS EN GERENCIA DE

CONSTRUCCIONES

Autores:

DAVID FERNANDO JERVES CÓRDOVA

JONNATHAN ADRIAN GUACHÚN SUCO

Director:

ESTEBAN CABRERA VÉLEZ

Cuenca-Ecuador

2020

Jerves Córdova, Guachún Suco. i

DEDICATORIA

El presente trabajo final de grado está dedicado a principalmente a mis padres José y Gloria,

todo su cariño y esfuerzo incondicional me han sabido guiar por el camino del bien,

inculcándome valores y principios que me han ayudado para poder llegar a cumplir todos mis

sueños y metas propuestos en esta vida.

De igual manera agradezco a mis hermanos Carlos y Diego que son pilares importantes en

mi vida, estuvieron siempre conmigo, brindándome su apoyo y amistad en todo momento.

David Fernando Jerves Córdova.

Jerves Córdova, Guachún Suco. ii

DEDICATORIA

Dedico este trabajo final de grado a toda mi familia en especial a mis padres que me han

apoyado infinitas veces en cada etapa de mi vida tanto académica como personal, dándome

todo su amor y confianza en cada uno de mis anhelos de vida.

Jonnathan Adrian Guachún Suco.

Jerves Córdova, Guachún Suco. iii

AGRADECIMIENTO

El desarrollo de este trabajo involucró un esfuerzo arduo en cada una de sus etapas, por tal

motivo estamos muy agradecidos con nuestro tutor de tesis de grado, Ing. Esteban Cabrera, que

estuvo en cada instante brindándonos su tiempo y sabiduría para la culminación de este

proyecto.

De la misma un agradecimiento a los miembros de tribunal asignados, Ing. Vladimir

Carrasco e Ing. Rolando Armas, que supieron ayudarnos y guiarnos de la mejor manera para

el éxito de este trabajo.

Por último y no menos importante agradecemos a la prestigiosa Universidad del Azuay, ya

que nos dio la posibilidad de crecer y realizar nuestro sueño de una vida profesional prospera,

con ayuda de cada uno de los catedráticos, que con sus enseñanzas y perseverancia logramos

salir adelante; y así mismo, nos dio la oportunidad de conocer en las aulas a grandes

compañeros y amigos, que de alguna manera u otra llegaron a formar parte de nuestra vida

tanto universitaria como personal.

Jerves Córdova, Guachún Suco. iv

ÍNDICE DE CONTENIDOS

DEDICATORIA ......................................................................................................................... i

DEDICATORIA ........................................................................................................................ ii

AGRADECIMIENTO ............................................................................................................. iii

RESUMEN ............................................................................................................................. xvi

ABSTRACT ........................................................................................................................... xvii

CAPÍTULO 1 ............................................................................................................................. 1

1. GENERALIDADES ........................................................................................................... 1

Justificación ................................................................................................................. 1

Objetivos ..................................................................................................................... 2

1.2.1 Objetivo general ................................................................................................... 2

1.2.2 Objetivos específicos ........................................................................................... 2

Estado del arte ............................................................................................................. 2

CAPÍTULO 2 ............................................................................................................................. 5

2. MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... 5

Mecánica de materiales ............................................................................................... 5

2.1.1 Teoría de Elasticidad............................................................................................ 5

Concepto de sólido ...................................................................................................... 6

Equilibrio de un cuerpo deformable ............................................................................ 8

2.3.1 Cargas externas .................................................................................................... 8

2.3.2 Reacciones en los apoyos o soportes ................................................................... 9

2.3.3 Cargas internas resultantes ................................................................................. 10

Esfuerzo ..................................................................................................................... 12

2.4.1 Esfuerzo normal ................................................................................................. 12

2.4.2 Esfuerzo Cortante............................................................................................... 13

2.4.3 Esfuerzo de Contacto o Aplastamiento .............................................................. 13

Deformación .............................................................................................................. 15

2.5.1 Deformación unitaria ......................................................................................... 16

Propiedades mecánicas de los materiales .................................................................. 16

2.6.1 Diagrama esfuerzo – deformación unitaria ........................................................ 17

2.6.2 Características de la curva esfuerzo-deformación del acero .............................. 19

2.6.3 Comportamiento de los materiales dúctiles y frágiles según sus características

esfuerzo-deformación ....................................................................................................... 22

2.6.4 Ley de Hooke ..................................................................................................... 27

2.6.5 Curvas esfuerzo-deformación unitaria no lineales ............................................. 28

Jerves Córdova, Guachún Suco. v

Vigas.......................................................................................................................... 30

2.7.1 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes ...................................................... 31

2.7.2 Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante ............... 33

2.7.3 Esfuerzos en vigas.............................................................................................. 36

2.7.4 Deflexiones de vigas .......................................................................................... 45

Columnas ................................................................................................................... 48

2.8.1 Pandeo ................................................................................................................ 48

2.8.2 Estabilidad.......................................................................................................... 49

2.8.3 Carga crítica ....................................................................................................... 50

2.8.4 Fórmula de Euler................................................................................................ 51

2.8.5 Longitud efectiva ............................................................................................... 54

2.8.6 Limitaciones ....................................................................................................... 55

CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................... 57

3. GUÍAS METODOLÓGICAS PARA LOS ENSAYOS DE LABORATORIO DE

RESISTENCIA DE MATERIALES ....................................................................................... 57

Ensayo de la resistencia a tracción del acero ............................................................ 57

3.1.1 Objetivos ............................................................................................................ 57

3.1.2 Fundamentos teóricos ........................................................................................ 58

3.1.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 59

3.1.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 59

3.1.5 Evaluación.......................................................................................................... 60

Ensayo del contenido de humedad para muestras de madera ................................... 61

3.2.1 Objetivos ............................................................................................................ 61



3.2.4 Evaluación.......................................................................................................... 65

Ensayo de la resistencia a compresión en la madera ................................................. 66

3.3.1 Objetivos ............................................................................................................ 66




3.3.5 Evaluación.......................................................................................................... 69

Ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset ......................... 71

3.4.1 Objetivos ............................................................................................................ 71


Jerves Córdova, Guachún Suco. vi



3.4.5 Evaluación.......................................................................................................... 74

Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero ...................................................... 75

3.5.1 Objetivos ............................................................................................................ 75




3.5.5 Evaluación.......................................................................................................... 76

Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera ............................... 77

3.6.1 Objetivos ............................................................................................................ 77

3.6.2 Fundamento teórico ........................................................................................... 77



3.6.5 Evaluación.......................................................................................................... 80

Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos) ............................ 81

3.7.1 Objetivos ............................................................................................................ 82




3.7.5 Evaluación.......................................................................................................... 87

Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos) ................................................. 88

3.8.1 Objetivos ............................................................................................................ 88




3.8.5 Evaluación.......................................................................................................... 91

Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas ........................................ 92

3.9.1 Objetivos ............................................................................................................ 92




3.9.5 Evaluación.......................................................................................................... 95

Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas ................................................. 96

3.10.1 Objetivos ............................................................................................................ 96

Jerves Córdova, Guachún Suco. vii




3.10.5 Evaluación.......................................................................................................... 98

CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................... 99

4. ENSAYOS DE LABORATORIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES .................. 99

Ensayo de la resistencia a tracción del acero ............................................................ 99

4.1.1 Procedimiento realizado..................................................................................... 99

4.1.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 101

4.1.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 104

4.1.4 Conclusiones .................................................................................................... 106

4.1.5 Recomendaciones ............................................................................................ 106

Ensayo de la resistencia a compresión de la madera ............................................... 107

4.2.1 Procedimiento realizado................................................................................... 107



4.2.4 Conclusiones .................................................................................................... 121


Ensayo de contacto o aplastamiento en placas Gusset ............................................ 124




4.3.4 Conclusiones .................................................................................................... 129


Ensayo del esfuerzo cortante en pernos .................................................................. 130




4.4.4 Conclusiones .................................................................................................... 133


Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera ............................. 134




4.5.4 Conclusiones .................................................................................................... 138

Jerves Córdova, Guachún Suco. viii


Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos) .......................... 140




4.6.4 Conclusiones .................................................................................................... 145


Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos) ............................................... 147




4.7.4 Conclusiones .................................................................................................... 153


Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas ...................................... 155




4.8.4 Conclusiones .................................................................................................... 159


Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas ................................................... 160




4.9.4 Conclusiones .................................................................................................... 163


5. CONCLUSIONES .......................................................................................................... 165

6. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 167

7. ANEXOS ........................................................................................................................ 170

Jerves Córdova, Guachún Suco. ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1: Sección de exploración a-a de un sólido sometido a un sistema de fuerzas

externas. ................................................................................................................................... 10

Figura 2.2: Componentes internos: Normal, Cortante y Momento en la sección de exploración

a-a. ............................................................................................................................................ 11

Figura 2.3: Componentes internas en la sección de exploración. ............................................ 12

Figura 2.4: Diagrama de cuerpo libre entre placa y perno. ...................................................... 14

Figura 2.5: Deformación longitudinal y transversal de una membrana de goma. ................... 15

Figura 2.6: Segmento de barra prismática en tensión. ............................................................. 16

Figura 2.7: Diagrama esfuerzo deformación unitaria para un acero estructural en tensión (sin

escala) ...................................................................................................................................... 19

Figura 2.8: Estricción de una barra de acero dulce en tensión................................................. 21

Figura 2.9: Ejemplo de la construcción de una gráfica (línea continua) para determinar la

resistencia a la cedencia de una aleación de aluminio. ............................................................ 23

Figura 2.10: Etapas de formación de una fractura dúctil de copa y cono. ............................... 24

Figura 2.11: Fractura dúctil (copa y cono)............................................................................... 24

Figura 2.12: Diagrama esfuerzo-deformación para el hierro fundido gris. ............................. 25

Figura 2.13: Falla frágil a tracción y compresión de una probeta. .......................................... 26

Figura 2.14: Fractura frágil de una aleación metálica que muestra surcos radiales que emanan

del centro del espécimen. ......................................................................................................... 27

Figura 2.15: Tipos de comportamiento idealizado del material. ............................................. 29

Figura 2.16: Vigas sometidas a cargas laterales y la deflexión producida. ............................. 31

Figura 2.17: Diagrama de cuerpo libre para una viga seccionada. .......................................... 32

Figura 2.18: Viga con carga uniforme y elemento infinitesimal. ............................................ 34

Figura 2.19: Cargas concentradas en el elemento infinitesimal dx. ........................................ 35

Figura 2.20: Flexión de una viga en voladizo. ......................................................................... 37

Figura 2.21: Esfuerzo y deformación unitaria en la sección de corte - vista de perfil............. 38

Jerves Córdova, Guachún Suco. x

Figura 2.22: Esfuerzos cortantes en un elemento infinitesimal de una viga. ........................... 41

Figura 2.23: Viga conformada por elementos menores. .......................................................... 42

Figura 2.24: Distribución de esfuerzos en elemento seccionado de una viga cargada. ........... 42

Figura 2.25: Columna cargada axialmente. ............................................................................. 49

Figura 2.26: Columna idealizada. ............................................................................................ 50

Figura 2.27: Columna con extremos articulados. .................................................................... 51

Figura 2.28: Efecto de n en el valor de la carga crítica. ........................................................... 53

Figura 2.29: Curvas de deflexión que muestran la longitud efectiva Le. ................................ 54

Figura 3.1: Dimensionamiento de la probeta de ensayo a tracción. ........................................ 58

Figura 3.2: Probetas de madera de pino dimensionadas de acuerdo a la norma ASTM D143-

94.............................................................................................................................................. 67

Figura 3.3: Dimensiones de la placa de acero.......................................................................... 71

Figura 3.4: Espécimen de prueba de corte paralelo a la fibra. ................................................. 78

Figura 3.5: Falla sobre la superficie de soporte – vista frontal, perfil, lateral e isométrico. .... 79

Figura 3.6: Tipos de vigas. ....................................................................................................... 81

Figura 3.7: Esquema del ensayo a esfuerzo normal - cuatro puntos. ....................................... 82

Figura 3.8: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a cuatro puntos.

.................................................................................................................................................. 84

Figura 3.9:Esquema del ensayo a esfuerzo cortante - tres puntos. .......................................... 88

Figura 3.10: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a tres puntos. 89

Figura 3.11:Esquema del ensayo de flexión en viga semi - empotrada. .................................. 92

Figura 3.12: Diagrama de la fuerza cortante y momento flector en una viga semi - empotrada.

.................................................................................................................................................. 93

Figura 3.13:Dimensionamiento de las probetas de ensayo de pandeo de columnas. .............. 97

Figura 4.1: Equipo universal de tracción-compresión. .......................................................... 104

Figura 4.2: Elementos de sujeción para el ensayo a tracción de acero. ................................. 104

Figura 4.3: Mordazas de acero templado. .............................................................................. 104

Jerves Córdova, Guachún Suco. xi

Figura 4.4: Deformímetro colocado de forma lateral. Medición del desplazamiento del pistón.

................................................................................................................................................ 104

Figura 4.5: Panel de configuración del computador del equipo de tracción-compresión para

ensayo a tracción del acero. ................................................................................................... 105

Figura 4.6: Indicador de la velocidad que ejerce el pistón del equipo universal de compresión.

................................................................................................................................................ 105

Figura 4.7: Probeta de acero. ................................................................................................. 105

Figura 4.8: Carga aplicada a la cual la probeta de ensayo falla. ............................................ 105

Figura 4.9: Probeta ensayada hasta la rotura. ........................................................................ 105

Figura 4.10: Falla dúctil en el material. ................................................................................. 105

Figura 4.11: Equipo universal de compresión. ...................................................................... 118

Figura 4.12: Medición de la longitud de la probeta de madera con ayuda del calibrador o

vernier. ................................................................................................................................... 118

Figura 4.13: Medición del largo y ancho de la probeta de madera con ayuda del calibrador o

vernier. ................................................................................................................................... 118

Figura 4.14: Accesorios de sujeción de acero para el ensayo de compresión paralela a la fibra.

................................................................................................................................................ 118

Figura 4.15: Acoplamiento del elemento con el pistón del equipo........................................ 119

Figura 4.16: Colocación adecuada del deformímetro. ........................................................... 119

Figura 4.17: Falla producida en la probeta. ........................................................................... 119

Figura 4.18: Probeta pesada antes y después del secado para calcular el Contenido de

humedad. ................................................................................................................................ 119

Figura 4.19: Ensayo a compresión perpendicular a la fibra................................................... 120

Figura 4.20: Falla producida en el material. .......................................................................... 120

Figura 4.21: Probeta pesada antes y después del secado para calcular el Contenido de

humedad. ................................................................................................................................ 120

Figura 4.22: Secado al horno de las probetas ensayadas. ...................................................... 120

Figura 4.23: Accesorios para el ensayo de aplastamiento en placas...................................... 127

Jerves Córdova, Guachún Suco. xii

Figura 4.24: Medición del espesor de la placa de ensayo. ..................................................... 127

Figura 4.25: Medición del diámetro del agujero de la placa a ensayar.................................. 127

Figura 4.26: Medición de la longitud de la probeta de la placa de ensayo. ........................... 127

Figura 4.27: Medición del ancho de la placa de ensayo. ....................................................... 127

Figura 4.28: Instalación de accesorios para el ensayo de placas por aplastamiento. ............. 128

Figura 4.29: Placa de ensayo fija con los accesorios correspondientes. ................................ 128

Figura 4.30: Panel de configuración del equipo de tracción para el ensayo de aplastamiento

en placas. ................................................................................................................................ 128

Figura 4.31: Esquema de falla de la placa Gusset. ................................................................ 128

Figura 4.32: Modo de armado de los elementos de ensayo. .................................................. 132

Figura 4.33: Armado final del elemento para el ensayo a corte. ........................................... 132

Figura 4.34: Elemento de ensayo fijo y alineado con el pistón del equipo universal de

compresión. ............................................................................................................................ 132

Figura 4.35: Falla del perno por corte. ................................................................................... 132

Figura 4.36: Carga última registrada al momento del fallo del perno. .................................. 133

Figura 4.37: Esquematización de la falla en el perno de ensayo. .......................................... 133

Figura 4.38: Probetas de madera con sección reducida. ........................................................ 137

Figura 4.39: Accesorio de corte para el equipo de compresión. ............................................ 137

Figura 4.40: Accesorio montado y probeta colocada para el ensayo a cortante. ................... 137

Figura 4.41: Accesorio instalado en el equipo de laboratorio. .............................................. 137

Figura 4.42: Probeta ensayada, falla en la sección de corte designada. ................................. 137

Figura 4.43: Pieza menor obtenida de sección cortada de la probeta, utilizada para el ensayo

del Contenido de humedad..................................................................................................... 137

Figura 4.44: Ensayo de viga de madera a cuatro puntos. ....................................................... 144

Figura 4.45: Panel de programación del equipo para el ensayo. ........................................... 144

Figura 4.46: Colocación del deformímetro en el centro de la luz de la viga. ........................ 144

Figura 4.47: Falla producida en la viga. ................................................................................ 145

Jerves Córdova, Guachún Suco. xiii

Figura 4.48: Viga simplemente apoyada - tres puntos. .......................................................... 152

Figura 4.49: Punto de aplicación de la carga en el centro de la luz. ...................................... 152

Figura 4.50: Falla por cortante en la sección del Eje neutro de la viga. ................................ 152

Figura 4.51: Esquema de falla por cortante en la región media de la viga, vista perfil –

Desplazamiento horizontal de la sección superior sobre la sección inferior al eje neutro. ... 153

Figura 4.52: Mordaza sujeta a uno de los extremos de la viga. ............................................. 158

Figura 4.53: Punto de aplicación de la carga puntual. ........................................................... 158

Figura 4.54: Obtención de la dimensión del espesor de la probeta a ensayar. ...................... 162

Figura 4.55: Obtención de la dimensión de la base de la probeta a ensayar. ......................... 162

Figura 4.56: Medición de los elementos de carga en la balanza electrónica. ........................ 162

Figura 4.57: Equipo de ensayo de pandeo de columnas y sus diferentes tipos de sujeción. . 162

Jerves Córdova, Guachún Suco. xiv

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 .................................................................................................................................... 9

Tabla 2.2 .................................................................................................................................. 47

Tabla 2.3 .................................................................................................................................. 55

Tabla 3.1 .................................................................................................................................. 68

Tabla 3.2 .................................................................................................................................. 86

Tabla 7.1 ................................................................................................................................ 176

Tabla 7.2 ................................................................................................................................ 177

Tabla 7.3 ................................................................................................................................ 178

Jerves Córdova, Guachún Suco. xv

ÍNDICE DE ANEXOS

Anexo 1: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a tracción del acero ....................... 170

Anexo 2: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a la compresión paralelo y

perpendicular a la fibra de la madera ..................................................................................... 172

Anexo 3: Ficha técnica para el Ensayo de contacto o aplastamiento de placas de acero ...... 174

Anexo 4: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero ................. 175

Anexo 5: Tablas para especificaciones de pernos de acero ................................................... 176

Anexo 6: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera

................................................................................................................................................ 179

Anexo 7: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas – cuatro

puntos ..................................................................................................................................... 181

Anexo 8: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos ............. 183

Anexo 9: Ficha técnica para el Ensayo a flexión en vigas de madera semi - empotradas. .... 186

Anexo 10: Ficha técnica para el Ensayo de la carga crítica y pandeo de columnas .............. 188

Anexo 11: Programación en Matlab ...................................................................................... 189

Jerves Córdova, Guachún Suco. xvi

ELABORACIÓN DE GUÍAS METODOLÓGICAS PARA ENSAYOS DE

LABORATORIO DE LA ASIGNATURA DE RESISTENCIA DE MATERIALES DE

LA UNIVERSIDAD DEL AZUAY

RESUMEN

En el presente trabajo de titulación, se desarrollaron guías metodológicas para ensayos de

laboratorio de la cátedra de Resistencia de Materiales, que pueden ser realizados en el

laboratorio de Ingeniería Civil de la Universidad del Azuay; las cuales brindan tanto a

catedráticos como a estudiantes la facilidad de realizar cada uno de los diferentes ensayos, esto

con ayuda del equipo disponible en el laboratorio. Cada ensayo está documentado

fotográficamente y empleando las normativas que puedan aplicarse a los mismos, como lo son

la ASTM, SAE, CTE y NEC. Así también, se proporciona fichas de laboratorio adecuados para

cada uno de los ensayos.

Palabras clave: Resistencia de Materiales, guía metodológica, normativa, ensayos, fichas.

__________________________________ _______________________________

Ing. Esteban Cabrera Vélez Ing. José Fernando Vázquez Calero

Director del Trabajo de titulación Director de Escuela

______________________________ __________________________

David Jerves Córdova. Jonnathan Guachún Suco.

Autores

.

Jerves Córdova, Guachún Suco. xvii

ELABORATION OF METHODOLOGICAL GUIDES FOR THE STRENTH OF

MATERIALS LABORATORY TESTS AT UNIVERSIDAD DEL AZUAY

ABSTRACT

In the present research, methodological guides for laboratory tests regarding the Chair of

Strength of Materials were developed. The guides were carried out at the Civil Engineering

laboratory of the University of Azuay to facilitate both professors and students the performance

of different tests with the help of the equipment available in the laboratory. Each trial was

photographically documented and smeared the regulations that should be applied, such as

ASTM, SAE, CTE and NEC. This investigation also used laboratory cards, which were

provided for each of the tests.

Keywords: Materials Resistance, methodological guide, regulations, tests, cards.

__________________________________ _______________________________

Ing. Esteban Cabrera Vélez. Ing. José Fernando Vázquez Calero.

Thesis Director Faculty Director

______________________________ __________________________

David Jerves Córdova. Jonnathan Guachún Suco.

Authors

Translated by

David Jerves and Jonnathan Guachún.

Jerves Córdova, Guachún Suco. xviii

Jerves Córdova, Guachún Suco. 1

CAPÍTULO 1

1. GENERALIDADES

Justificación

La Resistencia de Materiales es una asignatura que se imparte en la Facultad de Ciencia y

Tecnología, obligatoria para las carreras de Ingeniería Civil y Gerencia de Construcciones, e

Ingeniería de Producción y Operaciones. La asignatura es fundamental para establecer las bases

de conceptos usados para el análisis y diseño de elementos y estructuras, ya que en esta se

estudian los conceptos de esfuerzo axial, esfuerzo cortante, momento flector y deformación en

vigas, esfuerzos combinados, pandeo de columnas, etc.

Si bien los conocimientos desarrollados son importantes, la enseñanza actual de dicha

asignatura en la carrera de Ingeniería Civil y Gerencia de Construcciones, se limita a

consideraciones teóricas. Actualmente, no se cuenta con una parte experimental en donde el

estudiante pueda reforzar los conceptos adquiridos en clase, además, poder comparar resultados

analíticos aprendidos con resultados experimentales realizados en laboratorio, y así, comprobar

efectivamente las técnicas aprendidas.

Con el fin de reforzar los conceptos teóricos de la asignatura de Resistencia de Materiales,

es necesario que los alumnos realicen prácticas de laboratorio de algunos temas que se imparten

en la asignatura, ellos podrían realizar la práctica, pero esto no garantiza que la misma culmine

con un buen resultado, ya que muchas veces el estudiante omite ciertos procedimientos que

son claves a la hora de obtener resultados confiables, los cuales permitan conocer las

características mecánicas del material y compararlos con resultados analíticos. Todo esto

debido a que no existen guías y fichas metodológicas en las que se explique con detalle la

correcta ejecución de cada una de las prácticas que abordan el estudio de la Resistencia de

Materiales. Por tal motivo, este trabajo se basa en el desarrollo de guías metodológicas y fichas


técnicas, que facilitan a los estudiantes y catedráticos de la asignatura de Resistencia de

Materiales a poder aplicar de los conceptos teóricos impartidos en las aulas de clase.

Objetivos

1.2.1 Objetivo general

Elaborar una guía metodológica para cada uno de los diferentes ensayos de laboratorio

concernientes a la asignatura de Resistencia de Materiales.

1.2.2 Objetivos específicos

• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a tracción del acero.

• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a compresión de la madera.

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset.

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en pernos.

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en la madera - paralelo a la fibra.

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas - cuatro puntos.

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos.

• Describir y realizar el ensayo de deflexión en vigas de madera semi - empotradas.

• Describir y realizar el ensayo de carga crítica y pandeo en columnas.

Estado del arte

A lo largo de la historia, desde los inicios de la humanidad las personas han buscado la

comodidad para la ejecución de tareas y la de salvaguardar su vida. Por lo que el hombre se ha

visto en la necesidad de elaborar máquinas que faciliten su vida diaria y la construcción de

viviendas que le protejan ante los peligros de la naturaleza. Las máquinas simples como: plano

inclinado, poleas, tornillos y cuñas fueron unas de las primeras en ser creadas y las cuales

sirvieron para la construcción de estructuras antiguas que aún en estos días están de pie.


Muchos matemáticos, físicos y científicos en la historia, han realizado estudios y

descubrimientos sobre la mecánica de materiales.

Galileo Galilei (1564-1642) ha aportado de manera significativa a la resistencia de

materiales con su teoría del cálculo del momento último de resistencia de un elemento de

cualquier material a flexión, donde consideraba que la rotura a tracción longitudinal dependía

de la sección y no de la longitud del elemento (Heyman, 2004).

Robert Hooke (1635-1703), en su libro “De potentia restitutiva” de 1679, estableció la ley

que relaciona las fuerzas y deformaciones; para ello utilizó un dispositivo muy sencillo en el

que a un plato se le agrega peso y medía las deformaciones producidas en un resorte. A partir

de este ensayo se puede graficar la variación de la fuerza vs la deformación en el resorte

(Eduardo, Trujillo, & De, 2007).

Jakob Bernoulli (1654-1705) en el año de 1691 realizó de manera analítica el problema de

flexión elástica en vigas, el cual nos dice: el radio de curvatura, en cualquier punto de una viga

inicialmente es recta es inversamente proporcional al valor del momento flector en ese punto.

De igual manera Jakob fue el primero en dar una solución al problema de la forma de una banda

elástica flectada de sección transversal uniforme, el sobrino de Jakob, Daniel Bernoulli (1700-

1782) complementó los estudios realizados por su tío el cual dio una solución más sencilla

obteniendo una ecuación para la forma flectada, el valor de la flecha en el extremo de una viga,

bajo una carga aplicada (Heyman, 2004).

Leonhard Euler (1707-1783) fue uno de los científicos más influyentes en la historia y

contribuyó de manera importante en lo que es Ingeniería Civil, específicamente en la

Resistencia de Materiales, presentando una fórmula para el cálculo de la inestabilidad por

pandeo en piezas prismáticas (Poblet, Ribera, & Ballester, 2009).


Charles Coulomb (1736-1806) aportó de manera significativa al estudio de la Resistencia

de Materiales con el análisis de las tensiones en las fibras de una viga sometida a flexión. De

igual manera determinó la posición de la fibra neutra, estableciendo el equilibrio de fuerzas en

la sección sometida a flexión. Además, introdujo las tensiones cortantes, partiendo del

equilibrio en secciones (Álvarez Sánchez, 2016).

Thomas Young (1773-1829) introdujo la notación del módulo de elasticidad dándole una

definición exacta el cual es la relación entre la tensión aplicada y la deformación unitaria de un

elemento al ser comprimido o traccionado (Álvarez Sánchez, 2016).

Henri Navier (1785-1836) contribuyó a la Resistencia de Materiales con su libro publicado

en 1826, en el que se expone estructuras trabajando en el límite en la que se comportan de

forma perfectamente elástica. La ley de Navier es uno de los resultados de gran importancia ya

que este permite relacionar los esfuerzos de un problema a flexión con las tensiones a la que

está sujeto un sólido (García, 2002).


CAPÍTULO 2

2. MARCO TEÓRICO

Mecánica de materiales

La Mecánica de Materiales es una rama de la Mecánica aplicada que estudia el

comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diferentes tipos de cargas aplicadas. Su

objetivo es la de determinar los esfuerzos, deformaciones, desplazamientos de las estructuras

y las componentes que surgen debido a las cargas que actúan sobre ellas (Gere & Goodno,

2009, p. 5).

“El objetivo principal del estudio de la mecánica de materiales es suministrar al futuro

ingeniero los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas y estructuras

portadoras de carga” (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek, 2014, p. 2).

La Resistencia de Materiales y la Teoría de Elasticidad son parte fundamental de la

Mecánica de Materiales, ambas son las encargadas del estudio de la Resistencia (Estado de los

esfuerzos) y la Rigidez (Estado de deformaciones) a los cuales puede estar sometido un cuerpo,

por ende, los conceptos de Esfuerzos y Deformación son fundamentales para su desarrollo

(Ruiz & Blanco Díaz, 2015, p. 1).

2.1.1 Teoría de Elasticidad

Estudia la mecánica de los cuerpos sólidos, también considerados como Medios Continuos;

considera que un sólido se puede deformar bajo la acción de cargas aplicadas, es decir, cambian

de forma y volumen, en pequeña o gran medida; lo que depende de la magnitud de la carga

aplicada (Landau & Lifshitz, 1982, p. 1).

“Todos los materiales estructurales presentan un grado de elasticidad, por lo que si las

fuerzas exteriores o cargas que deforman la estructura no rebasan cierto límite, las


deformaciones desaparecen cuando se eliminan las fuerzas” (Timoshenko & Goodier, 1975, p.

21).

Concepto de sólido

Berrocal (2007), menciona que la Mecánica Teórica considera como indeformables los

cuerpos, ya que se encuentren en estado de reposo o de movimiento. Esta propiedad no es más

que una abstracción, pues no se asemeja a la realidad de cualquier material, sin embargo, es de

mucha utilidad por la comodidad y simplificación que introduce al análisis de los cuerpos o

sólidos (p.3).

Siguiendo este criterio del sólido, se obtiene las tres siguientes consideraciones de los

mismos:

• Sólido rígido: Es aquel cuerpo que, ante cualquier esfuerzo (sin importar su magnitud)

al que esté sometido, la distancia entre dos moléculas cualquiera permanece invariable,

es decir, es indeformable.

• Sólido elástico: Se define como aquel que ante un esfuerzo exterior se deforma, y

recupera su forma original al eliminar el esfuerzo. A los sólidos elásticos se les supone

tres características como son las de isotropía1, homogeneidad2 y continuidad3.

• Sólido verdadero: Es aquel sólido que resulta de considerarlo como deformable ante

los esfuerzos a los que está sometido, y al mismo tiempo carece de alguna de las

características como isotropía, homogeneidad o continuidad.

1 Se dice que un cuerpo es isótropo cuando sus propiedades físicas no dependen de la dirección

en que se han medido en dicho cuerpo, es decir, sus propiedades son las misma en cualquiera de los ejes del cuerpo

(Berrocal, 2007, p. 4). 2 Se dice que un cuerpo es homogéneo cuando equivale a considerar que una parte arbitraria del mismo posee

idéntica composición y características que otra parte cualesquiera (Berrocal, 2007, p. 4). 3 Un cuerpo tiene continuidad cuando supone que no existen huecos entre partículas ni, por consiguiente,

distancias intersticiales (Berrocal, 2007, p. 4).


Berrocal (2007), menciona que, la suposición de un sólido rígido no es completamente

cierta, pues a una viga simplemente apoyada y afectada por una carga, jamás sería posible

llegar a la rotura de la misma, porque estaría en contra de lo que realmente sucedería, ya que,

al ir aumentando la carga aplicada, siempre existirá un valor máximo que provocara la rotura

de la viga, a pesar de que las reacciones en los apoyos fuesen lo suficientes para equilibrar la

carga (p.4).

Suponer que un sólido es elástico, representa que algunas de las propiedades como: isotropía

y homogeneidad, suelen estar íntimamente unidas, pues si un cuerpo es elástico en cualquier

dirección, también es de suponer que sea homogéneo, e inversamente. Sin embargo, estas

propiedades no concurren en la mayoría de los materiales, ya sea natural o elaborado. No es

posible que se dé un grado de elasticidad exactamente igual en todas las direcciones, debido a

la distribución de sus átomos o moléculas (Berrocal, 2007, p. 4).

Tampoco existe la homogeneidad perfecta, puesto que en la materia existen espacios entre

las moléculas y entre los átomos que la componen, no obstante, la consideración de sólido

continuo es bastante útil, pues permite que cuando existe una deformación debida a una fuerza

aplicada a las moléculas del sólido, el esfuerzo sea absorbido en parte por las moléculas

próximas y de esta forma queda repartido de forma continua y apta para el cálculo (Berrocal,

2007, p. 4).

Finalmente Berrocal (2007), asegura que la mayoría de los cuerpos son sólidos verdaderos,

ya que son deformables ante los esfuerzos y carecen de las características que poseen los

sólidos elásticos. Pero para efectos de cálculo, se los considerarán como sólidos elásticos, es

decir que, si microscópicamente no se cumplen las hipótesis de elasticidad, se está cumpliendo

macroscópicamente, pues los resultados que se obtienen quedan demostrados por la

experimentación y experiencia. Es así que, cuando falte la homogeneidad en un sólido, se


considere la existencia de varios sólidos elásticos dentro del mismo, cada uno de los cuales

estará compuesto por zonas que posean perfecta homogeneidad, y así aplicarles las

consideraciones teóricas que hagamos para los sólidos elásticos en general (p. 5).

Equilibrio de un cuerpo deformable

2.3.1 Cargas externas

Un cuerpo puede estar sometido a dos tipos de cargas o fuerzas, como son: las fuerzas de

superficie y/o las fuerzas de cuerpo.

Fuerzas de superficie

Las Fuerzas de superficie son causadas por el contacto directo en la superficie de un cuerpo

con otro, esas fuerzas están distribuidas sobre el área de contacto entre los cuerpos en contacto.

Hibbeler (2011) en su libro dice, si el área de contacto es pequeña a comparación de la

superficie del cuerpo, entonces esta fuerza se puede idealizarse como una sola fuerza

concentrada. En otro caso, si la carga de la superficie se aplica a lo largo de una sección

estrecha, la carga se puede idealizar como una carga distribuida.

Fuerzas de cuerpo

Una fuerza de cuerpo se produce cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, sin

que exista contacto físico directo entre ambos, por ejemplo: el efecto causado por la gravitación

del planeta o por su campo electromagnético.


2.3.2 Reacciones en los apoyos o soportes

Hibbeler (2011) menciona que, las fuerzas de superficie que se desarrollan en los apoyos o

puntos de contacto entre los cuerpos, se llaman reacciones. En la Tabla 2.1 se puede apreciar

los soportes más comunes para problemas bidimensionales, como lo son los cuerpos sometidos

a sistemas de fuerzas coplanares (p. 5).

Tabla 2.1

Reacciones para diferentes tipos de apoyos.

Fuente: (Hibbeler, 2011).

Y como regla general, Hibbeler (2011) asegura, “Si el soporte impide la traslación en una

dirección dada, entonces debe desarrollarse una fuerza sobre el elemento en esa dirección. Del

mismo modo, si se impide la rotación, debe ejercerse un momento sobre el elemento” (p. 5).


2.3.3 Cargas internas resultantes

Para el análisis de cargas internas, se considera el sólido con un sistema de fuerzas externas

como se muestra en la Figura 2.1a. Se determina la resultante de las fuerzas aplicadas para

conocer si el sólido se encuentra o no en equilibrio, si la resultante es nula entonces existe

equilibrio estático, si la resultante es diferente de cero e introduciendo en el sistema las fuerzas

de inercia correspondiente, se obtiene un sistema en equilibrio dinámico (Pytel & Singer, 2008,

p. 3).

Figura 2.1: Sección de exploración a-a de un sólido sometido a un sistema de fuerzas externas.


Para el análisis de las cargas internas resultantes es necesario hacer un corte ideal imaginario

en el cuerpo por una sección de exploración a-a (Figura 2.1b), buscando que las fuerzas

internas actúen sobre esta sección. Así se busca mantener el equilibrio del cuerpo en cada una

de las dos partes en las que se ha dividido el sólido, Figura 2.1c. Esas fuerzas representan los

efectos internos de las fuerzas de la parte exterior del cuerpo que actúan sobre el material (Pytel

& Singer, 2008, p. 2).

Aunque, la distribución exacta de las cargas internas puede ser desconocida, puede usarse

las ecuaciones de equilibrio para relacionar las fuerzas externas con las fuerzas internas. En

general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultante, las cuales se

denominan como: FR y MRO, Figura 2.1c (Hibbeler, 2011, p. 8).


Figura 2.2: Componentes internos: Normal, Cortante y Momento en la sección de exploración a-a.


El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centroide de la sección.

Si el eje x es normal a la sección de corte (comúnmente denominado Sección Transversal), se

denomina superficie x o cara x. La orientación de los ejes z e y en el plano de la sección se

suele elegir de manera que coincidan con los ejes principales de inercia de la misma Figura 2.2.

Según el plano en el que actúa la carga (con respecto a la sección a-a), se puede analizar y

calcular su efecto sobre el material. Dependiendo del plano en el que se encuentran la cargas,

se puede obtener las siguientes fuerzas (Pytel & Singer, 2008, p. 3).

• Fuerza normal (N): Esta fuerza actúa perpendicularmente al área. Se desarrolla siempre

que las cargas externas tienden a empujar o jalar sobre los dos segmentos del cuerpo,

Figura 2.2.

• Fuerza cortante, (V): La fuerza cortante se encuentra tangente al plano del área y se

desarrolla cuando las cargas externas tiendan a ocasionar que los dos segmentos del

cuerpo se deslicen uno sobre el otro, Figura 2.2.

• Momento flector, (M): El momento flector es causado por las cargas externas que

tienden a flexionar o deformar el cuerpo perpendicularmente a un eje que se encuentra

dentro de la sección transversal, Figura 2.2.


Como se puede observar en la Figura 2.3, el sistema se analiza en dos dimensiones usando

como referencia la sección de corte a-a, de esta manera también se puede analizar las fuerzas

internas como un sistema bidimensional Figura 2.3b. Es importante recalcar que el centroide

de la sección transversal, es considerado como el eje de la figura y se denotado por la letra O,

lo que facilita el trabajo para el análisis del sistema (Hibbeler, 2011, p. 8).

Figura 2.3: Componentes internas en la sección de exploración.


Esfuerzo

El esfuerzo es una fuerza por unidad de área, es decir, es la intensidad de las fuerzas internas

distribuidas a través de la sección de un sólido (Beer et al., 2014, p. 5).

2.4.1 Esfuerzo normal

Hibbeler (2011), describe el esfuerzo normal como la intensidad de la fuerza normal N que

actúa en forma perpendicular al área transversal A de un elemento sometido a una carga axial

(Figura 2.3b). Se denota por la letra griega sigma (𝜎), y se obtiene al dividir la magnitud de la

carga N (aplicada en el centroide de la sección) entre el área A de la sección transversal del

elemento (p. 23), Ecuación 2.1.

𝜎 =𝑁

𝐴

Ecuación 2.1


Donde:

𝜎 = Esfuerzo normal o fuerza por unidad de área.

𝑁 = Carga o fuerza normal aplicada en el centroide de la sección A.

𝐴 = Área de sección transversal.

Cuando el elemento o sólido es estirado por la carga N, el esfuerzo es un esfuerzo de

tracción; si se invierte la dirección de la carga, la barra se comprime y obtenemos un esfuerzo

de compresión. Puesto que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie

de corte, se denominan esfuerzos normales. Y, por tanto, los esfuerzos normales pueden ser de

tensión o de compresión (Gere & Goodno, 2009, p. 8).

2.4.2 Esfuerzo Cortante

El esfuerzo cortante (Ecuación 2.2) es la intensidad de la fuerza V que actúa en forma

tangente a la sección transversal A del elemento (Figura 2.3b), se denota por la letra griega tau

(𝜏) y se obtiene al dividir la magnitud V de la carga tangencial aplicada y el área A de la sección

del elemento (Hibbeler, 2011, p. 23).

𝜏 =𝑉

𝐴

Ecuación 2.2

Donde:

𝜏 = Esfuerzo normal o fuerza por unidad de área.

V = Carga aplicada tangente a la sección transversal.

𝐴 = Área de sección transversal.

2.4.3 Esfuerzo de Contacto o Aplastamiento

Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyo o superficie de

contacto de los elementos que conectan. El perno ejerce una fuerza P sobre la placa A igual y

opuesta a la fuerza F ejercida por la placa sobre el perno Figura 2.4a (Beer et al., 2014, p. 11).


Figura 2.4: Diagrama de cuerpo libre entre placa y perno.

Fuente: Adaptado de (Hibbeler, 2011).

La presión del perno contra las paredes del orificio no es constante, pues varía desde cero

en los puntos que no existe contacto (laterales), hasta un máximo en el centro de la pared

apoyada (Pytel & Singer, 2008, p. 16).

La fuerza Pb representa la resultante de las fuerzas distribuidas en la superficie interior de

un medio cilindro de diámetro d y espesor t (Figura 2.4b). Como la distribución de estas fuerzas

y de los esfuerzos son muy complicados de obtener, entonces se utiliza un valor nominal

promedio 𝜎𝑏 para el esfuerzo, llamado esfuerzo de contacto, (Ecuación 2.3) (Beer et al., 2014,

p. 11).

𝜎𝑏 = 𝑃𝑏

𝐴𝑏=

𝑃𝑏

𝑡 ∗ 𝑑

Ecuación 2.3

Donde:

𝜎𝑏= Esfuerzo de contacto o aplastamiento.

𝑃𝑏= Carga de aplastamiento.

𝐴𝑏= Área de contacto.

t= Espesor de la placa.

d= Diámetro del orificio del perno o remache.


Deformación

Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, esta tiende a cambiar el tamaño y la forma del

mismo. Por ejemplo, una barra recta cambiará su longitud al cargarla axialmente, haciéndose

más larga en tensión y más corta en compresión. Estos cambios se conocen como deformación,

la cual puede ser visible a simple vista o casi imperceptible (Hibbeler, 2011, p. 65).

En general la deformación de un cuerpo no será uniforme en todo su volumen, por lo que el

cambio de geometría de cualquier segmento de línea del cuerpo puede variar de forma

considerable a lo largo de su longitud Figura 2.5. Por tanto para estudiar los cambios por

deformación se considera que el cuerpo mantiene una deformación homogénea a lo largo de

toda la línea del cuerpo (Hibbeler, 2011, p. 65).

Figura 2.5: Deformación longitudinal y transversal de una membrana de goma.



2.5.1 Deformación unitaria

El alargamiento o cambio de longitud de una barra debido a una carga P (Figura 2.6a) se

denotada por la letra griega delta (𝛿) y es el resultado acumulativo del alargamiento de todos

los elementos del material en todo el volumen de la barra.

Figura 2.6: Segmento de barra prismática en tensión.

Fuente: (Gere & Goodno, 2009).

Se denomina alargamiento por unidad de longitud o deformación unitaria al cambio de

longitud delta (𝛿) divido para la longitud original o inicial, se denota con la letra griega épsilon

(휀), (Ecuación 2.4) (Gere & Goodno, 2009, p. 10).

휀 =𝛿

𝐿

Ecuación 2.4

Donde:

휀 = Deformación unitaria.

𝛿 = Alargamiento o desplazamiento.

𝐿 = Longitud total.

Propiedades mecánicas de los materiales

La resistencia de un material depende de su capacidad para resistir grandes magnitudes de

cargas, sin presentar deformación o falla. Esta propiedad es inherente al propio material y debe


determinarse mediante la experimentación. Las pruebas más importantes respecto a este son

los ensayos de tracción y compresión, a partir de estos ensayos se podrá determinar

principalmente la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria (Hibbeler, 2011, p. 81).

2.6.1 Diagrama esfuerzo – deformación unitaria

Los resultados de los ensayos de laboratorio, por lo general dependen de las dimensiones de

las muestras que se ensayan. Como es poco probable diseñar una estructura que tenga partes

con el mismo tamaño que las muestras para ensayo, es necesario expresar los resultados en una

forma general para cualquier tamaño. Para lograr este objetivo se transforma los resultados de

los ensayos en esfuerzos y deformaciones unitarias (Gere & Goodno, 2009, p. 16).

Para lograr el ensayo de un material, en este caso un material metálico, se debe obtener los

datos de la carga y la deformación correspondiente, los mismos que se utilizan para calcular

distintos valores del esfuerzo y las correspondientes deformaciones en la muestra. La

representación gráfica de los resultados produce una curva llamada diagrama esfuerzo-

deformación (Hibbeler, 2011, p. 83).

El esfuerzo axial (sigma) en una muestra ensayada a tracción se calcula dividiendo la carga

axial entre el área de la sección transversal (Ecuación 2.1). Cuando se utiliza el área inicial de

la muestra en todo el proceso de cálculo del ensayo, el esfuerzo se denomina esfuerzo nominal4.

En otro caso, para obtener un valor más exacto del esfuerzo axial, se utiliza el área real de la

muestra a ensayar en la sección transversal donde ocurre la falla, este esfuerzo es denominado

esfuerzo real5. Como el área real en un ensayo de tracción siempre es menor que el área inicial

4 Esfuerzo nominal: También conocido como esfuerzo convencional o esfuerzo ingenieril, se obtiene al aplicar

una carga sobre una sección que se considera constante. 5 Esfuerzo real: Se obtiene al aplicar una carga sobre una sección que se considera variable conforme se aplica la

carga.


(Figura 2.5), el esfuerzo real es mayor que el esfuerzo nominal. Es por eso que existen dos

maneras de describir los diagramas esfuerzo-deformación (Gere & Goodno, 2009, p. 16).

Diagrama esfuerzo-deformación convencional

Se puede determinar el esfuerzo nominal (Ecuación 2.5), al dividir la carga aplicada P entre

el área 𝐴0 de la sección transversal original de la probeta. En este cálculo se supone que el

esfuerzo es constante en la sección trasversal y en toda la longitud calibrada6 (Hibbeler, 2011,

p. 83).

𝜎 =𝑃

𝐴0

Ecuación 2.5

Del mismo modo, la deformación nominal se determina al dividir el cambio de delta (δ)

entre la longitud calibrada original L. Así se supone que la deformación es constante a lo largo

de la región (Hibbeler, 2011, p. 83).

Diagrama esfuerzo-deformación verdadero o real

En lugar de emplear el área original de la sección trasversal de la probeta para calcular el

esfuerzo, se podría utilizar el área real de la probeta en la sección transversal donde ocurre la

falla. Los valores de esfuerzo y deformación encontrados en estas mediciones, se denominan

esfuerzo verdadero y deformación verdadera y una gráfica de sus valores se llama diagrama

de esfuerzo-deformación verdadero o real (Hibbeler, 2011, p. 85).

6 Calibrar: En un ensayo es el proceso de comparar los valores obtenidos por un instrumento de medición con la

medida correspondiente de un patrón de referencia (o estándar) de la muestra.


2.6.2 Características de la curva esfuerzo-deformación del acero

Para describir el diagrama de un material obtenido en un ensayo a tracción, se utilizará el

acero como ejemplo, un material que se usa frecuentemente para fabricar elementos

estructurales y mecánicos. A partir de esta curva (Figura 2.7) se pueden identificar cuatro

diferentes formas de comportamiento del material, aquellos están en función de la deformación

inducida.

Figura 2.7: Diagrama esfuerzo deformación unitaria para un acero estructural en tensión (sin escala)

Fuente: Adaptado de (Gere & Goodno, 2009).

Comportamiento elástico

El comportamiento elástico se produce cuando el esfuerzo es proporcional a la deformación

Figura 2.7, va del punto de origen O hasta el punto A, aquí la curva es en general una línea

recta en la mayor parte de la región (Hibbeler, 2011, p. 84).

El esfuerzo en el punto A se le conoce como límite de proporcionalidad. Si el esfuerzo

excede ligeramente el límite de proporcionalidad, la curva tiende a doblarse y aplanarse, esto

sucede hasta que el esfuerzo alcanza el límite elástico, denotado en el punto B en la Figura 2.7.


En este punto si se retira la carga, la probeta puede recuperar su estado inicial. La pendiente de

la recta (del punto O al A) se denomina Módulo de Elasticidad (Hibbeler, 2011, p. 84).

Cedencia o fluencia

Un ligero aumento en el esfuerzo por encima del límite elástico como se observa en la Figura

2.7 en el punto B, generará un rompimiento del material a nivel molecular, es decir, la estructura

interna del material pierde estabilidad, lo que ocasionará que este se deforme de manera

permanente. Este comportamiento se denomina cedencia o fluencia y está indicado por la

región adyacente a la región elástica de la curva (del punto B al C). El esfuerzo que causa la

cedencia se llama esfuerzo de fluencia o punto de cedencia (punto B), y la deformación que se

produce se denomina deformación plástica. En esta región de B a C el material se vuelve

perfectamente plástico, es decir, presenta deformaciones permanentes (Hibbeler, 2011, p. 84).

Endurecimiento por deformación

Hibbeler, (2011) asegura que, cuando termina la cedencia, la probeta puede soportar un

aumento de la carga, lo que resulta en una curva que asciende continuamente pero que se vuelve

más plana hasta llegar a un esfuerzo máximo conocido como esfuerzo límite. Este incremento

en la curva se llama endurecimiento por deformación y se identifica en la Figura 2.7, entre los

puntos C al D. al final llega a su valor máximo y el esfuerzo correspondiente (punto D) se

denomina esfuerzo último (p. 85).

Estricción

Mientras la probeta se alarga hasta llegar al esfuerzo último, el área de su sección transversal

sufre una contracción lateral. Esta reducción es bastante uniforme en toda la longitud de la

probeta. En consecuencia, suele formarse una constricción o cuello en dicha región a medida

que la probeta se alarga más allá del punto de esfuerzo último (Figura 2.8), lo que ocasiona una

alteración en la forma de la curva. En esta región, si se emplea el área original de la probeta, el

diagrama esfuerzo-deformación tiende a curvarse hacia abajo (del punto D al E), hasta que la


probeta se rompe en el esfuerzo de fractura (punto E), como se muestra en la Figura 2.7

(Hibbeler, 2011, p. 85).

Figura 2.8: Estricción de una barra de acero dulce en tensión.


Si se emplea el área real de la sección transversal en la parte angosta de la estricción para

calcular el esfuerzo, se obtiene la curva verdadera esfuerzo-deformación (línea discontinua

CE´ en la Figura 2.7). La carga total que la barra puede soportar disminuye después de que se

alcanza el esfuerzo último (como lo muestra la curva DE), pero esta reducción se debe a la

disminución del área de la barra y no a una pérdida de resistencia del material. En realidad, el

material soporta un aumento en el esfuerzo verdadero hasta la falla (punto E´).

Gere & Goodno, (2009) menciona lo siguiente, cómo se espera que la mayoría de las

estructuras trabajen a esfuerzos menores que el límite de proporcionalidad, la curva

convencional esfuerzo-deformación unitaria OABCDE (Figura 2.7), que se basa en el área

original de la sección transversal de la muestra, es de gran utilidad pues es fácil de determinar

y proporciona la información adecuada para utilizarla en el diseño de ingeniería (p. 20).


2.6.3 Comportamiento de los materiales dúctiles y frágiles según sus características

esfuerzo-deformación

Materiales dúctiles

Cualquier material que pueda someterse a grandes deformaciones antes de fracturarse se

denomina material dúctil. Por ejemplo, el acero de bajo carbono es un material dúctil, pues son

capaces de absorber la energía de los impactos, y si se sobrecargan, presentan grandes

deformaciones antes de su fractura (Hibbeler, 2011, p. 97).

Hibbeler (2011), menciona que, una manera de especificar la ductilidad de un material es

registrar su porcentaje de elongación o porcentaje de reducción en el área de la sección al

momento de la fractura, estos valores se obtienen en pruebas de laboratorio, específicamente

en los ensayos de tracción aplicados a probetas estandarizadas.

El porcentaje de elongación es la deformación a la fractura expresada en porcentaje como

se puede apreciar.

𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =𝐿𝑓 − 𝐿0

𝐿0∗ 100

Ecuación 2.6

Donde:

𝐿0= Longitud calibrada original de la probeta.

𝐿𝑓 = Longitud de fractura.

Otra manera de especificar la ductilidad es el porcentaje de reducción de área. Está definida

dentro de la región de estricción como:

𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 =𝐴𝑓 − 𝐴0

𝐴0∗ 100

Ecuación 2.7

Donde:

𝐴0= Área original de la sección transversal de la probeta.

𝐴𝑓 = Área del cuello de la probeta en el momento de la rotura.


Además del acero, existen diferentes metales que presentan características dúctiles

similares. Sin embargo, en la mayoría de los metales la cedencia constante no se producirá más

allá del rango elástico. Para poder definir una resistencia a la cedencia de un material metálico,

existe un procedimiento gráfico denominado Método de corrimiento. Este método por lo

general elige una deformación de 0.2 por ciento y desde este punto sobre el eje 휀 (deformación

unitaria) se dibuja una línea paralela a la porción inicial recta del diagrama esfuerzo-

deformación del material. El punto donde esta línea interseca a la curva, define la resistencia a

la cedencia. En la Figura 2.9 se observa un ejemplo para determinar la resistencia a la cedencia

de una aleación (Hibbeler, 2011, p. 87).

Figura 2.9: Ejemplo de la construcción de una gráfica (línea continua) para determinar la resistencia a la

cedencia de una aleación de aluminio.


Hibbeler (2011), asegura que, la resistencia a la cedencia no es una propiedad física del

material, ya que se trata de un esfuerzo que causa una deformación permanente en dicho

material. Sin embargo, para fines de aprendizaje se asume que la resistencia a la cedencia, el

punto de cedencia, el límite elástico y el límite de proporcionalidad coinciden en la curva

esfuerzo deformación (p. 87).


Fractura dúctil en los metales

Smith & Hashemi (2006) asegura que, la fractura dúctil de un metal tiene lugar después de

una intensa deformación plástica. Este resultado se lo obtiene en ensayos donde se prueba la

fractura dúctil de una probeta cilíndrica. Si se aplica una fuerza a la probeta tal que exceda su

resistencia máxima a la tracción, y si se mantiene suficiente tiempo la fuerza, la probeta se

fracturará. En este ensayo se puede reconocerse tres etapas en el fenómeno de fractura dúctil:

1) La muestra presenta una estricción y se forman cavidades en la zona de estricción (Figura

2.10a y Figura 2.10b).

2) Las cavidades formadas se juntan generando una fisura en el centro de la probeta que se

propaga hacia la superficie de la misma y en dirección perpendicular al esfuerzo aplicado

(Figura 2.10c).

3) Cuando la fisura se aproxima a la superficie, la dirección de la misma cambia a 45°

respecto al eje de la tracción (Figura 2.10d y Figura 2.10e) y se genera una fractura del

tipo cono y copa (Figura 2.11).

Figura 2.10: Etapas de formación de una fractura dúctil

de copa y cono.

Figura 2.11: Fractura dúctil (copa y cono).

Fuente: (Smith & Hashemi, 2006). Fuente: (Smith & Hashemi, 2006).


En la práctica, las fracturas dúctiles son menos frecuentes que las frágiles, y su principal

causa es el exceso de carga aplicado al componente. Estas podrían ocurrir como resultado de:

un diseño inadecuado, lo que incluye a la selección de materiales; fabricación inadecuada y

abuso del material, es decir, el material se emplea a niveles de carga que exceden lo permitido

por el diseñador (Smith & Hashemi, 2006, p. 322).

Materiales frágiles

Los materiales que no presentan cedencia o ductilidad, o que presentan una muy pequeña

antes de la fractura se conocen como materiales frágiles. Por ejemplo, el hierro fundido gris

tiene un diagrama de esfuerzo-deformación en tracción como el mostrado en la porción AB de

la Figura 2.12. Aquí, la fractura en 𝜎𝑓 tuvo lugar inicialmente en una imperfección o grieta para

luego propagarse a través de la probeta, Figura 2.14. Como la aparición de grietas en materiales

sometidos a fuerzas externas es bastante aleatoria, no se puede obtener un esfuerzo de fractura

a la tracción bien definido. Pero generalmente se puede reportar el esfuerzo de fractura a la

tracción promedio de un conjunto de ensayos para un material en concreto (Hibbeler, 2011, p.

89).

Figura 2.12: Diagrama esfuerzo-deformación para el hierro fundido gris.


En comparación con su comportamiento en tensión, los materiales frágiles como el hierro

fundido gris presentan una resistencia mucho mayor a la compresión axial, como se puede


observar en la porción AC de la curva, Figura 2.12. Para este caso, cualquier grieta o

imperfección en la probeta tiende a cerrarse y, a medida que la carga aumenta, el material suele

expandirse o tomar forma de barril mientras las deformaciones se vuelven mayores, Figura

2.13.

Figura 2.13: Falla frágil a tracción y compresión de una probeta.


Fractura frágil en los metales

Gran variedad de metales y aleaciones se fracturan de forma frágil con muy poca

deformación plástica. En la Figura 2.14 se muestra una probeta que falló en forma frágil ante

un esfuerzo a tracción. Al compararla con la Figura 2.11, se observa marcadas diferencias entre

las fracturas dúctil y frágil.

La fractura frágil suele avanzar a lo largo de los planos cristalográficos llamados planos de

exfoliación7 bajo un esfuerzo normal al plano de exfoliación. Se cree que la fractura frágil en

los metales, tiene lugar en tres etapas (Smith & Hashemi, 2006, p. 328):

• La deformación plástica concentra las dislocaciones8 a lo largo de los planos de

deslizamiento en los obstáculos.

7 Exfoliación: Es un tipo de daño debido a la difusión de hidrógeno atómico dentro de los poros internos en

un metal, lo que crea una alta presión interna que produce rotura (Smith & Hashemi, 2006). 8 Dislocación: es una imperfección en la red cristalina del material (forma y geometría), cuyo defecto es de línea

o de una dimensión (Smith & Hashemi, 2006, p. 117).


• El esfuerzo cortante se acumula en los lugares donde las dislocaciones están bloqueadas

y como resultado se nuclean micro fisuras.

• Un esfuerzo posterior propaga las micro fisuras y la energía de deformación elástica

almacenada puede contribuir a la propagación de las mismas.

En muchos casos, las fracturas frágiles ocurren debido a la existencia de defectos en el metal,

los mismos que se forman durante la etapa de fabricación o aparecen durante el desempeño.

Pueden formarse defectos indeseables durante las operaciones de manufactura como el forjado,

laminado, extrusión y colado. Con frecuencia las fisuras por fatiga, la fragilidad del material

debido al hidrógeno atómico y el daño causado por la corrosión dan por resultado una fractura

frágil (Smith & Hashemi, 2006, p. 329).

Figura 2.14: Fractura frágil de una aleación metálica que muestra surcos radiales que emanan del centro del

espécimen.

Fuente: (Smith & Hashemi, 2006).

2.6.4 Ley de Hooke

Gere (2009), señala que, la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria para una

barra en tensión o compresión se expresa por:

𝜎 = 𝐸 ∗ 휀 Ecuación 2.8

Donde:


σ = Esfuerzo axial.

E = Constante de proporcionalidad o Módulo de elasticidad del material.

휀 = Deformación unitaria axial.

El módulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo-deformación unitaria en la

región triangular linealmente elástica (Figura 2.7). Como la deformación unitaria es

adimensional, las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo (Gere & Goodno, 2009,

p. 27).

La Ecuación 2.8 se conoce como Ley de Hooke, nombrada en honor del famoso científico

inglés Robert Hooke (1635-1703), quien fue la primera persona que investigó científicamente

las propiedades elásticas de los materiales y probó varios de ellos como: metal, madera, piedra,

hueso y tendones. Hooke midió el alargamiento de alambres largos que soportaban pesos y

observó que los estiramientos “siempre mantienen las mismas proporciones entre sí, de acuerdo

con los pesos que los causaron”. Así, Hooke estableció la relación lineal entre las cargas

aplicadas y los alargamientos resultantes (Gere & Goodno, 2009, p. 27).

2.6.5 Curvas esfuerzo-deformación unitaria no lineales

Los puntos más importantes en una curva esfuerzo-deformación unitaria típica para el acero

son: el límite de proporcionalidad, el límite elástico, el esfuerzo de cedencia, el esfuerzo último

y el esfuerzo de fractura, (Figura 2.7). Muchos materiales y sus respectivas curvas no exhiben

estos valores de forma apreciable, por ejemplo; muchos metales como aceros de alta

resistencia, aluminio y titanio no presentan un punto de cedencia bien definido. No obstante,

estos materiales en realidad si ceden, es decir, presentan una cantidad de deformación

apreciable antes de que se fracture. Debido a esto, con frecuencia se representa la curva

esfuerzo-deformación unitaria real de un material mediante una curva idealizada esfuerzo-


deformación unitaria que se puede expresar como una función matemática y permita identificar

los puntos más significativos.

Algunos ejemplos de idealización de curvas esfuerzo – deformación unitaria para diferentes

materiales se muestra en la Figura 2.15, los cuales pueden ser obtenidos por el Método de

corrimiento descrito en la sección 2.6.3 (Materiales dúctiles).

Figura 2.15: Tipos de comportamiento idealizado del material.


El primer diagrama (Figura 2.15a) consiste en dos partes, una primera región linealmente

elástica definida por una recta, seguida de una región no lineal definida por una expresión

matemática (Figura 2.15a) (Gere & Goodno, 2009, p. 170).

En la segunda gráfica (Figura 2.15b), se utiliza una función matemática para toda la curva

esfuerzo-deformación unitaria. Este tipo de expresión es conocido como la ley esfuerzo-

deformación unitaria de Ramberg - Osgood (consultar el texto citado) (Gere & Goodno, 2009,

p. 173).


En la Figura 2.15c representa el diagrama idealizado esfuerzo-deformación unitaria para el

acero estructural. El acero tiene una región linealmente elástica seguida de una región de

fluencia (Figura 2.7), por lo cual su comportamiento se puede representar mediante dos líneas

rectas. La región triangular sigue la ley de Hooke hasta el esfuerzo de fluencia 𝜎𝑦. Seguido a

la región triangular está la región rectangular donde el acero fluye ante un esfuerzo constante,

este último comportamiento se conoce como plasticidad perfecta. Un material que tiene un

diagrama esfuerzo- deformación unitaria de este tipo se denomina material elastoplástico o

elástico-plástico (Gere & Goodno, 2009, p. 170).

En la Figura 2.15d se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria formado por dos

rectas con pendientes diferentes, se denomina diagrama bilineal esfuerzo-deformación unitaria.

Este diagrama idealizado se puede utilizar para representar materiales con endurecimiento por

deformación o para obtener una aproximación a diagramas con las formas no lineales generales

que se muestran en las Figura 2.15a y Figura 2.15b. Observe que la primera parte del diagrama

la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria es lineal, por lo que el esfuerzo es

proporcional a la deformación unitaria (ley de Hooke) (Gere & Goodno, 2009, p. 170).

Vigas

Los elementos estructurales suelen clasificarse según los tipos de cargas que soportan. Una

barra cargada axialmente soporta fuerzas con sus vectores dirigidos a lo largo del eje

longitudinal y una barra en torsión soporta pares del mismo, que tienen sus vectores momentos

dirigidos a lo largo del eje. Otro tipo de elementos estructurales son las vigas (Figura 2.16),

que son elementos estructurales sometidos a cargas laterales, es decir, fuerzas o momentos que

tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra (Gere & Goodno, 2009, p. 306).


Figura 2.16: Vigas sometidas a cargas laterales y la deflexión producida.


Las vigas que se muestran en la Figura 2.16 se clasifican como estructuras planares, debido

a que se encuentran en un solo plano. Al referirnos a estructuras planares también hacemos

referencia al plano en el que actúan estas fuerzas. Si todas las cargas actúan en ese mismo plano

y, si todas las deflexiones (deformaciones indicadas por las líneas discontinuas Figura 2.16)

también ocurren en ese plano, este se denomina plano de flexión, (Gere & Goodno, 2009, p.

306).

2.7.1 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes

Cuando una viga se carga con fuerzas o pares, se desarrollan esfuerzos y deformaciones en

todo su interior. Para determinarlos, primero debemos encontrar las fuerzas internas y los pares

internos que actúan sobre las secciones transversales de la viga. Para determinar estos valores,

consideraremos una viga en voladizo AB cargada por una fuerza P en su extremo libre Figura

2.17a. Cortamos a través de la viga en una sección transversal mn ubicada a una distancia x del

extremo libre y aislamos la parte izquierda como un diagrama de cuerpo libre (Figura 2.17b).


Figura 2.17: Diagrama de cuerpo libre para una viga seccionada.


El diagrama de cuerpo libre se mantiene en equilibrio por la fuerza P y por las fuerzas que

actúan sobre la sección transversal cortada. Estas fuerzas representan la acción de la parte

derecha de la viga sobre la parte izquierda. En este punto no conocemos la distribución de los

esfuerzos que actúan sobre la sección transversal; solo se conoce que la resultante de dichos

esfuerzos debe mantener el equilibrio del cuerpo libre.

La resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal se puede reducir a una

fuerza cortante V y a un momento flexionante M. Como la carga P es transversal al eje de la

viga, no existe fuerza axial en la sección transversal. La fuerza V como el momento M actúan

en el plano de la viga, es decir que el vector para la fuerza cortante se encuentra en el plano de

la Figura 2.17b y el vector para el momento es perpendicular al plano de la Figura 2.17b (Gere

& Goodno, 2009, p. 313).

Las resultantes del esfuerzo en vigas estáticamente indeterminadas se pueden calcular con

ecuaciones de equilibrio. En el caso de la viga en voladizo de la Figura 2.17a, utilizamos el

diagrama de cuerpo libre de la Figura 2.17b y obtenemos las siguientes ecuaciones:

∑𝐹𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = 0; 𝑃 − 𝑉 = 0 ó 𝑉 = 𝑃 Ecuación 2.9


∑𝑀 = 0; 𝑀 − 𝑃 ∗ 𝑥 = 0 ó 𝑀 = 𝑃 ∗ 𝑥 Ecuación 2.10

Donde:

x = distancia desde el extremo libre de la viga hasta la sección transversal donde se van a

determinar V y M.

Así, utilizando el diagrama de cuerpo libre y dos ecuaciones de equilibrio, se puede calcular

la fuerza cortante y el momento flexionante producidos a lo largo del eje longitudinal de la

viga.

2.7.2 Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante

Carga distribuida

El primer tipo de carga a analizar, es una carga distribuida con intensidad w(x). Considere

la porción infinitesimal de longitud dx, de una viga que está sometido a una carga distribuida

w (Figura 2.18a). Las convenciones de signos para estas cargas son las siguientes: las cargas

distribuidas y las concentradas son positivas cuando actúan hacia abajo y negativas cuando

actúan hacia arriba. Un par que actúa como una carga sobre una viga es positivo cuando lo hace

en sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del

reloj (Gere & Goodno, 2009, p. 321).


Figura 2.18: Viga con carga uniforme y elemento infinitesimal.


Para la sección infinitesimal se realiza el diagrama de cuerpo libre. Se tiene en cuenta que,

para la fuerza cortante y el momento resultante interno, que actúan en la cara derecha de

segmento infinitesimal, debe afectarse por una cantidad pequeña para mantener al segmento en

equilibrio (Figura 2.18b). La carga distribuida se sustituye por una fuerza resultante w(x)*dx

que actúa a una distancia fraccional k*dx desde el lado derecho, donde 0 < k < 1 (por ejemplo,

si w(x) es uniforme, k=1/2). Al aplicar las ecuaciones de equilibrio para el segmento

infinitesimal, se obtiene las siguientes ecuaciones.

+↑ ∑𝐹𝑦 = 0; 𝑉 − 𝑤(𝑥)𝑑𝑥 − (𝑉 + 𝑑𝑉) = 0

𝑑𝑉 = 𝑤(𝑥)𝑑𝑥

Ecuación 2.11

+↺ ∑𝑀𝑜 = 0; −𝑉 𝑑𝑥 − 𝑀 − 𝑤(𝑥)𝑑𝑥(𝑘𝑑𝑥) − (𝑀 + 𝑑𝑀) = 0

𝑑𝑀 = 𝑉𝑑𝑥 + 𝑤(𝑥)𝑘(𝑑𝑥)2

Ecuación 2.12

Al dividir por dx y tomar el límite cuando dx tiende a 0, las dos ecuaciones anteriores se

convierten en las Ecuación 2.13 y Ecuación 2.14.

𝑑𝑉

𝑑𝑥= 𝑤

Ecuación 2.13


𝑑𝑀

𝑑𝑥= 𝑉

Ecuación 2.14

Estas dos ecuaciones proporcionan un medio rápido y sencillo para obtener los diagramas

de fuerza cortante y momento flexionante para una viga. La Ecuación 2.13 establece que en un

punto la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad de la carga

distribuida. De manera similar, la Ecuación 2.14 establece que en un punto la pendiente del

diagrama de momento es igual a la fuerza cortante (Hibbeler, 2011, p. 264).

La Ecuación 2.13 y la Ecuación 2.14 también se pueden expresar como la Ecuación 2.15 y

la Ecuación 2.16. Si se tiene en cuenta que w(x)dx y Vdx representan áreas diferenciales bajo

la carga distribuida y del diagrama de fuerza cortante y momento respectivamente.

𝑑𝑉 = ∫𝑤(𝑥)𝑑𝑥 Ecuación 2.15

𝑑𝑀 = ∫𝑉(𝑥)𝑑𝑥 Ecuación 2.16

Carga concentrada y momento concentrado

Figura 2.19: Cargas concentradas en el elemento infinitesimal dx.


Ahora se considera una carga puntual P que actúa sobre el elemento infinitesimal de la

Figura 2.19a. Aplicando el diagrama de cuerpo libre y la ecuación de equilibrio de las fuerzas

obtenemos la Ecuación 2.17. Del mismo modo aplicando el equilibrio de momentos en el


elemento infinitesimal con momento concentrado de la Figura 2.19b, obtenemos la Ecuación

2.18.

+↑ ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉 − 𝑃 − (𝑉 + 𝑑𝑉) = 0

𝑑𝑉 = 𝑃

Ecuación 2.17

+↺ ∑𝑀𝑜 = 0 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑀𝑂 − 𝑉𝑑𝑥 − 𝑀 = 0

si 𝑑𝑥 → 0 entonces 𝑑𝑀 = 𝑀𝑜

Ecuación 2.18

El resultado para la Ecuación 2.17, significa que ocurre un cambio abrupto en la fuerza

cortante en cualquier punto donde actúa una carga concentrada. Conforme pasamos de

izquierda a derecha por el punto de aplicación de la carga, la fuerza cortante disminuye o

aumenta en una cantidad igual a la magnitud de la carga P dirigida, y en relación al sentido de

la misma (Gere & Goodno, 2009, p. 324).

Para el caso del segmento de viga que con un momento concentrado Mo de la Figura 2.19b

con la Ecuación 2.18, se obtiene los siguientes resultados. Si Mo se aplica en sentido horario,

dM es positivo por lo que el diagrama de momento sufrirá un salto, es decir aumentara. Del

mismo modo, cuando Mo actúa en sentido anti horario, el salto dM será contrario, es decir,

disminuirá, según la convención de signos adoptada (Hibbeler, 2011, p. 264).

2.7.3 Esfuerzos en vigas

Las cargas que actúan sobre una viga ocasionan que ésta se curve, y debido a esto deforman

su eje en una curva. Las vigas consideradas en esta parte se suponen simétricas con respecto al

plano xy, lo que significa que el eje y es de simetría de la sección transversal. Además, todas

las cargas deben actuar en el plano xy. En consecuencia, las deflexiones por flexión ocurren en

este mismo plano, conocido como plano de flexión (Gere & Goodno, 2009, p. 353).


Figura 2.20: Flexión de una viga en voladizo.


La curva de deflexión que se muestra en la Figura 2.20b correspondiente a la barra cargada

de la Figura 2.20a, es una curva plana que se encuentra en el plano de flexión. La deflexión de

la viga en cualquier punto a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su

posición original, medido en la dirección y. Denotamos la deflexión con la letra griega delta

(𝛿) (Gere & Goodno, 2009, p. 353).

Flexión pura y flexión no uniforme

Gere & Goodno (2009) se refiere a la flexión pura, como la flexión de una viga ante un

momento flexionante constante. Por tanto, la flexión pura ocurre sólo en regiones de una viga

donde la fuerza cortante es cero (Ecuación 2.14). En contraste, la flexión no uniforme hace

referencia a la flexión donde existe presencia de fuerzas cortantes, lo cual significa que el

momento flexionante cambia conforme nos movemos a lo largo del eje de la viga (p. 353).

Hipótesis

Pytel & Singer (2008) plantea que, para obtener las relaciones entre los esfuerzos normales

por flexión, la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes, se hacen las siguientes

hipótesis (p. 122):

1) Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas.

2) El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.


3) El módulo elástico es igual a tensión y a compresión.

4) La viga es inicialmente recta y de sección constante.

5) El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección

recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella.

Esfuerzo de flexión

Para conocer la ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo en una viga con el

momento flexionante interno, se supone que el material se comporta de forma elástica lineal y

por tanto, se produce una variación lineal de la deformación normal (Figura 2.21a), resultado

de una variación lineal en el esfuerzo normal (Figura 2.21b), por consiguiente, al igual que la

variación de la deformación, el esfuerzo normal 𝜎𝑥 (con resecto al eje x) variará desde cero en

el eje neutro del elemento hasta un valor de 𝜎𝑚𝑎𝑥, a una distancia y (con respecto al eje y) más

alejada del eje neutro. Debido a la proporcionalidad de triángulos o mediante el uso de la ley

de Hooke (Hibbeler, 2011, p. 285).

Figura 2.21: Esfuerzo y deformación unitaria en la sección de corte - vista de perfil.



Una vez que se ha identificado el eje neutro y deducido la relación entre el momento-

curvatura9, podemos determinar los esfuerzos en términos del momento flexionante, al sustituir

la expresión para la curvatura en la expresión para el esfuerzo 𝜎𝑥, que relaciona esfuerzo-

deformación unitaria para un material linealmente elástico (referirse al texto citado, p. 362 y

363), por lo cual obtenemos la siguiente ecuación (Gere & Goodno, 2009, p. 364).

𝜎𝑥 =𝑀 ∗ 𝑦

𝐼 Ecuación 2.19

Donde:

𝜎𝑥= Esfuerzo de flexión o esfuerzos flexionantes (según el eje seleccionado, Figura 2.21b).

y = Distancia del eje neutro a la fibra más alejada (según el eje seleccionado, Figura 2.21b).

M = Momento flexionante.

I = Momento de inercia de la sección transversal.

Esta ecuación, también llamada fórmula de la flexión, indica que los esfuerzos son

directamente proporcionales al momento flexionante M, e inversamente proporcionales al

momento de inercia I de la sección transversal. También los esfuerzos varían linealmente con

la distancia (y) desde el eje neutro (Gere & Goodno, 2009, p. 364).

Módulo de rotura

Pytel & Singer (2008) asegura que, se puede emplear la Ecuación 2.19 para determinar el

esfuerzo de flexión de una viga hasta llegar a su ruptura en una máquina de ensayo. Puesto que

en este caso se excede el límite de proporcionalidad, el esfuerzo determinado de esta forma, no

es el esfuerzo real en el material cuando se produce la ruptura. Sin embargo, el esfuerzo ficticio

obtenido se denomina módulo de ruptura del material y se utiliza para comparar la resistencia

última de vigas de distintos tamaños y materiales (p. 128).

9 Relación Momento-Curvatura: Es la ecuación que demuestra que la curvatura que puede presentar un

elemento viga sometido a flexión, es directamente proporcional al momento flexionante M e inversamente

proporcional a la cantidad E*I, que se denomina rigidez a la flexión de la viga (Gere & Goodno, 2009, p. 364).


Limitaciones

Gere & Goodno (2009) menciona que, el análisis presentado es de uso único para flexión

pura de vigas prismáticas, compuestas de materiales homogéneos linealmente elásticos. Si una

viga se somete a flexión no uniforme, las fuerzas cortantes producirán alabeo (distorsión fuera

del plano) de las secciones transversales. Es decir, una sección transversal que era plana antes

de la flexión ya no lo es después de experimentarla.

El alabeo debido a deformaciones por cortante complica el comportamiento de la viga. Sin

embargo, Gere & Goodno (2009), asegura que, investigaciones detalladas demuestran que los

esfuerzos normales calculados con la fórmula de la flexión no sufre grandes cambios por la

presencia de esfuerzos cortantes y del alabeo asociado. Por lo que, se puede justificar el uso de

la teoría de la flexión pura para calcular los esfuerzos normales en vigas sometidas a flexión

no uniforme (Gere & Goodno, 2009, p. 366).

También Gere & Goodno (2009), asegura que, la fórmula de la flexión da resultados que

sólo son exactos en regiones de la viga donde la distribución de esfuerzo no se interrumpe por

cambios en la forma de la viga o por discontinuidades en la carga.

“El análisis no es aplicable cerca de los apoyos de una viga o cerca de una carga concentrada,

puesto que se producen esfuerzos localizados, o concentraciones de esfuerzos, que son mucho

mayores que los obtenidos con la fórmula de la flexión” (Gere & Goodno, 2009, p. 366).

Esfuerzo cortante transversal

El método de análisis a utilizar se limitará a casos especiales de la geometría de la sección

transversal de una viga. A pesar de esto, el método tiene muchas aplicaciones dentro del análisis

y el diseño en ingeniería.


Fuerza cortante longitudinal

En general, una viga soportara tanto una fuerza cortante como un momento. La fuerza

cortante V es el resultado de una distribución del esfuerzo cortante transversal que actúa sobre

la sección transversal de la viga. Por otra parte, debido a la propiedad complementaria de la

fuerza cortante, este esfuerzo creara los esfuerzos cortantes longitudinales correspondientes

que actuaran a lo largo de los planos longitudinales de la viga, Figura 2.22 (Hibbeler, 2011, p.

359).

Figura 2.22: Esfuerzos cortantes en un elemento infinitesimal de una viga.


Para ilustrar el efecto, se considera una viga elaborada con tres tablas (Figura 2.23a), si la

superficie inferior y superior son lisas, y las tablas no están unidas entre sí, al aplicar la carga

P hará que cada tabla se deslice con respecto a las otras cuando la viga se someta a flexión. Sin

embargo, si las tablas están unidas entre sí, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales que

actúan unidos entre las tablas impedirán su deslizamiento, y por lo tanto actuara como una sola

unidad. Como resultado del esfuerzo cortante, se desarrollaran deformaciones angulares y estas

tenderán a distorsionar la sección transversal (Figura 2.23b) (Hibbeler, 2011, p. 360).


Figura 2.23: Viga conformada por elementos menores.


Hibbeler (2011) asegura que, una viga al estar sometida tanto a flexión como a cortante, la

sección transversal no permanecerá plana como se supone en el desarrollo de la fórmula a

flexión, pero por lo general se puede suponer que el alabeo de la sección transversal debido a

la fuerza cortante es lo suficientemente pequeño como para poderlo despreciar (p.360).

La fórmula del esfuerzo cortante longitudinal

Para obtener la fórmula del esfuerzo cortante longitudinal de manera directa, Hibbeler

(2011) considera un equilibrio de fuerzas horizontales en una porción de la viga que se muestra

en la Figura 2.24a. En la Figura 2.24c se puede apreciar el diagrama de cuerpo libre de la

porción seleccionada, esta distribución se debe a los momentos flexionantes que actúan.

También se han excluido los efectos de V, V + dV y w(x) en el diagrama de cuerpo libre, porque

estas cargas son verticales y por tanto no participan en la sumatorias de fuerzas horizontales.

Figura 2.24: Distribución de esfuerzos en elemento seccionado de una viga cargada.


También se considera la porción superior sombreada del elemento que se ha seccionado en

y´ desde el eje neutro (Figura 2.24b). El segmento tiene una anchura t en la sección y los dos


lados de la sección transversal tienen un área A´ cada uno. Debido a que los momentos

resultantes en cada lado del elemento difieren en dM, como se observa en la Figura 2.24c la

sumatoria de fuerzas en el eje x igual a cero, no se cumplirá a menos que un esfuerzo cortante

longitudinal tao (𝜏), actué sobre la cara inferior del segmento. Entonces se supondrá que este

esfuerzo cortante es constante en toda la anchura t de la cara inferior (actúa sobre el área t*dx).

Al aplicar la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales y la fórmula de la flexión (Ecuación

2.19) se obtiene una única ecuación integral, la misma que la resolver no da la siguiente

ecuación (Hibbeler, 2011, p. 362).

𝜏 =𝑉 ∗ 𝑄

𝐼 ∗ 𝑡 Ecuación 2.20

Donde:

𝜏 = Esfuerzo cortante, en el punto situado a una distancia y’ desde el eje neutro. Se supone que

este esfuerzo es constante y, por lo tanto, se promedia en toda la anchura t del elemento.

V = La fuerza cortante resultante interna, determinada en base al método de las secciones y las

ecuaciones de equilibrio.

I = El momento de inercia de toda la sección transversal calculada respecto al eje neutro.

t = la anchura del área de la sección transversal del elemento, medida en el punto donde se

determinará 𝜏.

Q = Producto de �̅� por A´, donde A´ es la parte superior (o inferior) del área de la sección

transversal del elemento, por encima (o debajo) del plano de sección donde se mide la anchura

t. �̅� es la distancia desde el eje neutro hasta el centroide de A´.

Aunque solo se consideró los esfuerzos cortantes longitudinales (esfuerzos horizontales) de

la viga para la obtención de la fórmula del esfuerzo cortante, la misma también se puede aplicar

para encontrar el esfuerzo cortante transversal (esfuerzos verticales) en la sección transversal,

pues estos esfuerzos son complementarios y numéricamente iguales. También al igual que la


fórmula de la flexión, se requiere que el material tenga un comportamiento elástico lineal y el

mismo módulo de elasticidad tanto en tracción como en compresión (Hibbeler, 2011, p. 363).

Limitaciones

La fórmula para los esfuerzos cortantes está sometida a las mismas restricciones que las

fórmulas de las que se dedujeron, por lo que son válidas sólo para vigas de materiales

linealmente elásticos con deflexiones pequeñas. Para el caso de vigas rectangulares, la

exactitud de la fórmula del cortante depende de la proporción entre altura y ancho de la sección

transversal. La Ecuación 2.20 se puede considerar exacta para vigas muy angostas (h > t). Sin

embargo, es menos precisa conforme t aumenta con respecto a h. (Para un análisis más

completo de las limitaciones de la fórmula del cortante, consultar el texto citado, la referencia

5.9) (Gere & Goodno, 2009, p. 393).

Un error común es aplicar la Ecuación 2.20 a secciones transversales para las cuales no es

aplicable. Como lo son las secciones con forma triangular o semicircular. Por lo cual se puede

tener en cuenta las siguientes suposiciones:

• Los bordes de la sección transversal deben ser paralelos al eje y (de manera que los

esfuerzos cortantes actúen paralelos a dicho eje).

• Los esfuerzos cortantes deben ser uniformes a través del ancho de la sección transversal.

Estas suposiciones se cumplen sólo en ciertos casos y, por último, la fórmula del cortante se

aplica sólo a barras prismáticas (Gere & Goodno, 2009, p. 393).


2.7.4 Deflexiones de vigas

Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión

La mayoría de los procedimientos para determinar las deflexiones se basan en ecuaciones

diferenciales de la curva de deflexión10 y sus relaciones asociadas. Para fines de análisis se

considera como ejemplo la viga en voladizo con una carga concentrada que actúa en el extremo

libre hacia arriba (Figura 2.20a). Debido a la fuerza vertical, el eje de la viga se deforma

siguiendo la forma de una curva (Figura 2.20b).

Para el análisis de la viga en voladizo, se considerará que los ejes de referencia tienen su

origen en el empotramiento de la viga, con el eje x dirigido hacia la derecha y el eje y dirigido

hacia arriba, el eje z está dirigido hacia el observador. La deflexión en cualquier punto se

denotará por la letra griega delta (𝛿) y será el desplazamiento de la viga en dirección del eje y

(Gere & Goodno, 2009, p. 679).

La ecuación de la curva de deflexión de la viga puede expresarse matemáticamente como

𝛿 = 𝑓(𝑥). Para obtener esta ecuación, primero es necesario representar la ecuación de la

curvatura de la viga en términos de 𝛿 y x. Como segundo punto se deduce la relación que existe

entre la curvatura y el momento (referirse al texto citado, p. 571). Una vez realizado estos pasos

y sustituyendo términos, obtenemos la siguiente ecuación (Hibbeler, 2011, p. 573).

𝑑2𝛿/𝑑𝑥2

[1 + (𝑑𝛿/𝑑𝑥)2]3/2=

𝑀

𝐸 ∗ 𝐼 Ecuación 2.21

La Ecuación 2.21 representa una ecuación diferencial no lineal de segundo orden. Su

solución, se denomina elástica, y da la forma exacta de la curva elástica, suponiendo que las

deflexiones de la viga se producen debido a la flexión (Hibbeler, 2011, p. 573).

10 Curva de deflexión: Es la curva del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área de sección transversal

de una viga, también se la conoce como curva elástica.


La Ecuación 2.21 puede modificarse con el fin de generalizar la solución de un gran número

de problemas de deflexión de vigas. La mayoría de deflexiones elásticas para vigas y ejes,

forman curvas poco pronunciadas, en consecuencia, la pendiente de la curva elástica,

determinada a partir de 𝑑𝛿/𝑑𝑥 será muy pequeña y su cuadrado será insignificante comparado

con la unidad. Por tanto, la relación de curvatura definida anteriormente para deducir la

Ecuación 2.21, puede aproximarse mediante 1/𝜌 = 𝑑2𝛿/𝑑𝑥2 (referirse al texto citado). Con

esta simplificación, la Ecuación 2.21 puede escribirse como la Ecuación 2.22 (Hibbeler, 2011,

p. 573).

𝑑2𝛿

𝑑𝑥2=

𝑀

𝐸𝐼

Ecuación 2.22

Por otro parte, también se puede escribir la Ecuación 2.22 otras formas alternativas. Al

diferenciar cada lado con respecto a x y sustituir por la Ecuación 2.13 y Ecuación 2.14. Se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

𝐸𝐼𝑑4𝛿

𝑑𝑥4= 𝑤(𝑥)

Ecuación 2.23

𝐸𝐼𝑑3𝛿

𝑑𝑥3= 𝑉(𝑥)

Ecuación 2.24

𝐸𝐼𝑑2𝛿

𝑑𝑥2= 𝑀(𝑥)

Ecuación 2.25

La solución de cualquiera de estas ecuaciones requiere integraciones sucesivas para obtener

la deflexión 𝛿 de la curva elástica. También es necesario introducir una constante de integración

y luego despejar todas las constantes para obtener una solución única para un problema en

concreto (Hibbeler, 2011, p. 274).


Condiciones

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior, surgen constantes producto de resolver las

integrales generadas. Las constantes de integración se pueden determinar mediante la

evaluación de las funciones para la fuerza cortante, el momento, la pendiente o el

desplazamiento en un punto determinado de la viga donde se conoce el valor de la función.

Estos valores se denominan condiciones de frontera, se presentan varias condiciones de

frontera en la Tabla 2.2, que suelen utilizarse para resolver problemas de deflexión en vigas

(Hibbeler, 2011, p. 576).

Tabla 2.2

Condiciones de frontera y continuidad.


Las condiciones de continuidad se presentan en puntos donde las regiones de integración

confluyen. Por otra parte, las condiciones de simetría también pueden estar presentes, si el

sistema de cargas es simétrico, así como la geometría y la composición del elemento (Gere &

Goodno, 2009, p. 686).


Columnas

Son elementos sometidos a una carga de compresión, estos pueden fallar de diversas formas,

dependiendo de las condiciones de soporte, de los tipos de cargas y de los materiales utilizados.

Estas fallas se pueden evitar diseñando estructuras de tal forma que los esfuerzos máximos y

los desplazamientos máximos permanezcan dentro de límites tolerables. Por tanto, la

resistencia y rigidez11 son factores importantes en el diseño, además de la falla que existe por

pandeo (Gere & Goodno, 2009, p. 819).

2.8.1 Pandeo

Se presenta generalmente en elementos estructurales largos y esbeltos12, cargados

axialmente en compresión (Figura 2.25a). Si un elemento en compresión es relativamente

esbelto, se puede flexionar lateralmente y fallar por flexión (Figura 2.25b) en vez de fallar por

compresión. Cuando se tiene flexión lateral, decimos que la columna se ha pandeado (Gere &

Goodno, 2009, p. 819).

11 Rigidez: Se refiere a la capacidad de la estructura para resistir cambios de forma (por ejemplo, para resistir

alargamiento, flexión o torsión) y estabilidad se refiere a la habilidad de la estructura para resistir pandeo ante

esfuerzos de compresión. 12 Esbeltez de una columna: Se dice que una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son

pequeñas en comparación con su longitud L/r, donde r es el radio de giro más pequeño de la sección transversal

y L es la longitud de la longitud de la columna. El pandeo se producirá alrededor del eje donde esta relación tenga

el valor más grande.


Figura 2.25: Columna cargada axialmente.


2.8.2 Estabilidad

A continuación, se considera el sistema cargado con una fuerza P y con un resorte rotacional

en el punto B, como se muestra en la Figura 2.26. Si la carga axial P es relativamente pequeña,

la acción de un momento restablecedor (producido por el resorte rotacional, Figura 2.26b)

prevalecerá sobre la acción de la fuerza axial y la estructura regresará a su posición inicial

vertical (Figura 2.26a), en estas condiciones se dice que la estructura es estable. Sin embargo,

si la carga axial P es grande con respecto al momento restablecedor, el desplazamiento lateral

del punto B aumentará y las barras girarán a ángulos cada vez mayores hasta que la estructura

se colapsa. Ante estas condiciones, se dice que la estructura es inestable y falla por pandeo

lateral (Gere & Goodno, 2009, p. 820).


Figura 2.26: Columna idealizada.


2.8.3 Carga crítica

Gere & Goodno (2009), asegura que, la transición entre las condiciones estable e inestable

ocurre para un valor especial máximo de la fuerza axial P, cuando está al borde del pandeo,

este valor es conocido como carga crítica (𝑃𝑐𝑟), Figura 2.25. Es decir, la carga crítica de una

barra larga, esbelta y sometida a compresión axial, es el valor de la fuerza suficiente para que

la columna pase de un estado sin flexión a un estado donde adopte una forma flexionada (p.

821).

Columna ideal con extremos articulados

Consideremos una columna cargada por una fuerza P aplicado en el centroide de la sección

transversal, Figura 2.27. La columna es perfectamente recta y está hecha de material

linealmente elástico. Es decir, se supone que la columna no tiene imperfecciones, a esto se le

llama columna ideal y su comportamiento ante una carga axial, se puede resumir de la siguiente

manera:

• Si P < Pcr, la columna está en equilibrio estable en la posición vertical.


• Si P = Pcr, la columna está en equilibrio neutro en posición recta o en una posición

ligeramente flexionada.

• Si P > Pcr, la columna está en equilibrio inestable en la posición recta y se pandeará

ante la más pequeña perturbación.

Por supuesto, una columna real no se comporta de esta manera idealizada debido a que

siempre tiene imperfecciones y la carga no siempre está exactamente en el centroide (Gere &

Goodno, 2009, p. 824).

Figura 2.27: Columna con extremos articulados.

Fuente:(Gere & Goodno, 2009).

2.8.4 Fórmula de Euler

Para la deducción de la fórmula de Euler, se considera la columna ideal articulada de la

Figura 2.27. Se busca hallar el valor Pcr de la carga P para el cual la posición de la Figura

2.27a deja de ser estable. El propósito será determinar las condiciones para que la configuración

de la Figura 2.27b sea posible. Como una columna puede considerarse como una viga en

posición vertical bajo una carga axial (con el eje x vertical, y el eje y horizontal). Se puede

proceder con un análisis similar al realizado para la deducción de las fórmulas de la flexión en

vigas, usando la ecuación diferencial del momento flexionante (Ecuación 2.25) utilizada en la

curva de deflexión (Beer et al., 2014, p. 611).


Resolviendo las ecuaciones diferenciales y utilizando las condiciones de frontera (referirse

al texto citado) se obtiene la siguiente ecuación:

𝑃 =𝑛2 𝜋2 𝐸 𝐼

𝐿2

Ecuación 2.26

Donde:

P = Carga axial.

𝑛2= Factor que representa el número formas modales pandeadas de la columna.

E = Módulo de elasticidad del material

I = Momento de inercia de la sección transversal

L = Longitud de la columna.

Para el factor n, los valores que puede tomar va desde n = 1, 2, 3, …, y depende de la forma

modal que puede tomar la columna al momento del pandeo. El valor de n = 0 no tiene sentido,

ya que la carga P resultaría cero, para los demás valores de n la columna se pandea en las

formas indicadas en la Figura 2.28. La más importante de estas soluciones es la Figura 2.28a.

Las otras soluciones solo son posibles físicamente si la columna tiene sujeciones laterales en

el punto medio o en los tercios de la altura respectivamente, que obliguen a tomar esa forma

respectivamente (Pytel & Singer, 2008, p. 361).


Figura 2.28: Efecto de n en el valor de la carga crítica.

Fuente: Adaptado de (Pytel & Singer, 2008).

Como los valores de P están definidos por la Ecuación 2.26, entonces el menor de los valores

corresponde a n=1. Es decir, reemplazando el valor de n, la carga crítica es igual a:

𝑃𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝜋2 𝐸 𝐼

𝐿2

Ecuación 2.27

Ésta ecuación es la fórmula de Euler, llamada así en honor del matemático suizo Leonhard

Euler (1707-1783) (Beer et al., 2014, p. 611).


2.8.5 Longitud efectiva

La longitud efectiva (Le) para cualquier columna, es la longitud equivalente a una columna

con extremos articulados y con una curva de deflexión que concuerda exactamente con toda o

parte de la curva de deflexión de la columna original. Nos permite relacionar las cargas críticas

para columnas con varias condiciones de soporte con la carga crítica de una columna con

extremos articulados, Figura 2.29 (Gere & Goodno, 2009, p. 838).

Figura 2.29: Curvas de deflexión que muestran la longitud efectiva Le.


A menudo la longitud efectiva se expresa en términos de un factor de longitud (K).

𝐿𝑒 = 𝐾 ∗ 𝐿 Ecuación 2.28

Donde:

L = Longitud de la columna.

K = Factor de longitud efectiva. En la Tabla 2.3 se proporciona valores específicos de K, para

los diferentes tipos de soporte de columnas.


Tabla 2.3

Cargas críticas, longitudinales y factores de longitud efectiva para columnas ideales.


Con base en esta generalización se puede escribir la fórmula de Euler al sustituir la Ecuación

2.28 en la Ecuación 2.26, y obtenemos así la ecuación general de la carga crítica para columnas

con diferentes tipos de soporte (Hibbeler, 2011, p. 667).

𝑃𝑐𝑟 =𝑛2 𝜋2 𝐸 𝐼

(𝐾𝐿)2

Ecuación 2.29

2.8.6 Limitaciones

Gere & Goodno (2009) asegura que, además del requisito de deflexiones pequeñas, la teoría

del pandeo de Euler empleada es válida sólo si la columna es perfectamente recta antes de la

aplicación de la carga, sí la columna y sus soportes no tienen imperfecciones y sí la columna

está hecha de un material linealmente elástico que sigue la ley de Hooke (p. 842).


CAPÍTULO 3

3. GUÍAS METODOLÓGICAS PARA LOS ENSAYOS DE LABORATORIO DE

RESISTENCIA DE MATERIALES

Ensayo de la resistencia a tracción del acero

Los ensayos a tracción proporcionan información sobre la resistencia y ductilidad de los

materiales metálicos bajo cargas axiales. Esta información es de gran utilidad para el desarrollo

de aleaciones, control de calidad y diseño de materiales metálicos (ASTM E8/E8M, 2016).

Para efectuar un ensayo a tracción del acero, se debe ejercer cargas de tracción a probetas

de acero, para ello se utilizará las normativas que permitan efectuar el ensayo de forma

adecuada, específicamente la normativa ASTM E8 (Standard Test Methods for Tension

Testing of Metallic Materials), que nos habla sobre los métodos de prueba a tensión en

materiales metálicos, la forma de evaluarlos y también las consideraciones que se deben tener

antes, durante y después de los ensayos.

3.1.1 Objetivos

Objetivo General

• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a tracción del acero.

Objetivos Específicos

• Apreciar los efectos producidos por una carga a tracción sobre un elemento de acero.

• Obtener la curva esfuerzo – deformación unitaria.

• Identificar los puntos singulares sobre la curva esfuerzo – deformación unitaria.

• Identificar el tipo de falla que se produce en un elemento sometido a tracción.

• Determinar el módulo de elasticidad.


3.1.2 Fundamentos teóricos

Tamaño de las muestras: Para el dimensionamiento adecuado de las probetas de ensayo se

partió de acuerdo a la norma ASTM E8 y ASTM A370, que habla del dimensionamiento de

probetas de acero de sección circular:

La longitud de agarre (B) debe ser el adecuado para las mordazas de sujeción del equipo de

ensayo, la cual se recomienda que sea de 2/3 o más de la longitud de las mordazas, de igual

manera, el diámetro (C) debe ser adecuado de tal modo que las mordazas se ajusten

perfectamente al equipo de ensayo, se recomienda un diámetro aproximado de 2 cm, Figura

3.1 (ASTM A370, 2004).

Para la longitud del área reducida (A) la normativa menciona una longitud mínima de 6cm

y una longitud calibrada (G) de 5cm ± 0.1cm; y la longitud total (L) de la probeta dependerá

de las dimensiones asignadas al resto de segmentos de la misma, Figura 3.1. Se debe procurar

que el diámetro (D) asignado en toda la longitud calibrada (G) sea como mínimo un 30%

menor que el diámetro (C), pues es en esta zona donde se producirá la falla del material (ASTM

A370, 2004).

Figura 3.1: Dimensionamiento de la probeta de ensayo a tracción.

Fuente: Propiedad del autor.


Esfuerzo de tracción y deformación unitaria: El esfuerzo de tracción (𝜎𝑇) se presenta

axialmente en la sección transversal de la muestra cuando se somete a una carga y viene dado

por la Ecuación 2.1. La deformación unitaria correspondiente es el resultado de la variación

del desplazamiento producido por unidad de longitud, en este caso sería el incremento de la

longitud de la probeta de ensayo, viene dado por la Ecuación 2.4.

3.1.3 Materiales y equipos

• Equipo de laboratorio para ensayos a tracción.

• Accesorios para el ensayo a tracción.

• Calibrador o pie de rey.

• Deformímetro.

• Probetas normalizadas según norma ASTM A370 y/o ASTM E8.

3.1.4 Procedimiento básico

1) Tomar las dimensiones de probeta a ensayar.

2) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo a tracción en el equipo de

laboratorio tracción-compresión.

3) Colocar la probeta de ensayo de forma fija.

4) Colocar el deformímetro.

5) Programar el equipo para el tipo de ensayo a realizar.

6) Aplicar carga a una velocidad constante que permita visualizar el fenómeno de falla de

la probeta.

7) Tomar datos de la carga aplicada y la deformación que se producen, ya sea de forma

manual o por medio del computador del equipo de ensayo. Los datos obtenidos deben

ser tomados hasta la rotura de la probeta de ensayo.

8) Detener el equipo de ensayo y evaluar los datos obtenidos.


3.1.5 Evaluación

• Registrar los datos del ensayo a tracción en la ficha técnica correspondiente, Anexo 1.

• Calcular los esfuerzos producidos.

• Determinar las deformaciones unitarias.

• Graficar la curva esfuerzo-deformación unitaria convencional de la probeta ensayada.

• Identificar la región lineal en la curva esfuerzo-deformación (Comportamiento elástico).

• Determinar el límite elástico del material.



Ensayo del contenido de humedad para muestras de madera

El contenido de humedad de la madera se puede expresar como porcentaje de masa secada

al horno (base seca al horno) o como porcentaje de masa inicial (base húmeda). El contenido

de humedad en materiales de madera puede ser engañoso, ya que la madera no tratada con

frecuencia contiene cantidades variables de compuestos volátiles (extractos que son

evaporados), por lo cual, los valores de contenido de humedad pueden exceder el 100%

(ASTM D4442, 2007).

Para la metodología del ensayo se tomó en cuenta las normativas vigentes que regulan los

ensayos a la madera, específicamente la normativa ASTM D4442 (Métodos de prueba estándar

para medición directa del contenido de humedad de madera y materiales a base de madera), la

ASTM D4933 (Guía estándar para acondicionamiento de humedad de madera y materiales a

base de madera) y la Norma Ecuatoriana de la Construcción NEC 2014 (Estructuras de

madera).

3.2.1 Objetivos

Objetivo general

• Describir y realizar el ensayo del contenido de humedad para muestras de madera.

Objetivos específicos

• Obtener el contenido de humedad en la madera.


Cuando se determina el comportamiento mecánico de la madera, es imprescindible conocer

sus propiedades físicas, ya que las mismas influyen directamente en sus propiedades

mecánicas. Se debe tener en cuenta que las características físicas de la madera varían según las

diferentes especies, el desarrollo del árbol y de las secciones donde se obtuvieron las muestras.


Variedad: Se estima que en mundo existen más de 16000 especies de árboles y en el país se

encuentra una gran variedad, los cuales su principal uso es en la construcción y otra parte en la

elaboración de mobiliario.

Heterogeneidad: hace referencia a estructura interna de la madera y depende del punto de

donde se obtiene la muestra, esta puede ser:

• Axial o longitudinal: Obtenido en el corazón de un tronco.

• Radial: La muestra se obtiene del centro del tronco hacia la parte externa.

• Tangencial: Estas muestras son tangenciales a los anillos que conforman el tronco,

usualmente se denominan planchas o tablas.

Anisotropía: Quiere decir que sus propiedades varían según la dirección en que son

examinadas. Para el caso de la madera sus propiedades no son las mismas si se ensaya una

muestra en un plano en dirección de sus fibras o grano, que en un plano perpendicular al plano

de sus fibras. Según el tipo de anisotropía, la madera posee una anisotropía axial, por lo que se

le considera como un material ortotrópico13.

Densidad de la madera: Es la relación que existe entre la masa y el volumen de una pieza

de madera a un determinado contenido de humedad. En el Sistema Internacional se expresa en

gr/cm3 o kg/m3. La Norma Ecuatoriana de la Construcción en su capítulo Estructuras de

Madera menciona que, según las condiciones de humedad de la madera, se conocen algunos

tipos de densidad (NEC, 2014).

• Densidad básica: Es la relación entre el peso de la madera en estado anhidro y su volumen

en estado verde o saturado (CH mínimo del 30 %). Es un indicativo de las propiedades

13 Material ortotrópico: Es aquel material cuyas propiedades mecánicas y térmicas son únicas e independientes

en sus tres dimensiones o ejes perpendiculares.


mecánicas que tiene una madera. Está en función de la edad, a mayor edad del árbol de donde

procede la madera, su densidad aumenta.

• Densidad verde o saturada: Es la relación que existe entre la masa y el volumen de la

madera en estado verde o saturado, con un contenido de humedad mayor al 30 %.

• Densidad seca al aire: Relación que existe entre el peso y el volumen de la madera en

estado seco al aire, con un contenido de humedad de alrededor al 12 %.

• Densidad seca al horno o anhidra: Relación que existe entre el peso y el volumen de la

madera en estado anhidro, es decir con un contenido de humedad del 0 %.

Influencia de factores propios:

a. Contenido de humedad

b. Duración de la carga

c. Tamaño de la pieza

d. Calidad de la madera

Contenido de humedad: Es la cantidad de agua contenida en la madera, generalmente

expresado como un porcentaje de la masa de la madera secada en horno. El siguiente método

de prueba describe el procedimiento primario (Método A: método de secado a horno) para

medir el contenido de humedad. Se debe aclarar que existen otros métodos de obtención del

contenido de humedad, descritos en la ASTM D4442 como Métodos secundarios, los cuales

no nos referiremos, pero que queda a elección del lector su utilización.

Horno: Un horno de convección forzada que se puede mantener a una temperatura de 105

±2°C durante todo el secado por el tiempo requerido. Se debe ventilar los hornos para permitir

la evaporación y el escape de la humedad (ASTM D4442, 2007).


Fórmula del contenido de Humedad

W =𝑃𝑤 − 𝑃𝑠

𝑃𝑠∗ 100

Ecuación 3.1

Donde:

W = Contenido de humedad en porcentaje.

Pw = Peso original o húmedo.

Ps = Peso secado al horno.

Es necesario aclarar que la fórmula descrita es únicamente de uso para muestras de madera

convencional, es decir, no se aplica para madera tratada con productos químicos o materiales

a base de madera. En tal caso, se debe referir a la norma ASTM D4442 y D4933 que especifica

los métodos y fórmulas para la obtención del contenido de humedad.


1) Tomar una o varias muestras de madera que vayan a ser ensayadas. Las dimensiones

de la muestra dependerán del tipo de ensayo mecánico a realizarse en la madera y

que está especificado más adelante para cada tipo de ensayo.

2) Pesar la muestra tomada de madera ensayada.

3) Secar las muestras, para ello se debe colocar las muestras en el horno y procurar

que este tenga una correcta ventilación de la humedad.

4) Según la ASTM la duración del secado está en función de la pérdida de masa de la

muestra y la precisión de la medida. Pero al tratarse de ensayos que complementan

el aprendizaje de los estudiantes, se recomienda que las muestras se sequen al horno

por un tiempo mínimo de 24 horas. Si los ensayos están encaminados a proyectos

de investigación se recomienda referirse a la norma ASTM D4442 y D4933 para el

correcto procedimiento se secado.


5) Pesar la muestra seca una vez haya transcurrido el periodo de secado al horno.

3.2.4 Evaluación

• Registrar los datos requeridos de peso húmedo y peso seco.

• Calcular el contenido de humedad.

• Registrar en cada ficha que requiera el contenido de humedad para ensayos de

muestras de madera.


Ensayo de la resistencia a compresión en la madera

Al diseñar un elemento estructural, la resistencia a la compresión es uno de los factores

relevantes para determinar la capacidad portante de un elemento. Los ensayos a compresión

nos permiten comprender el comportamiento de los materiales sometidos a este tipo de

exigencias. Este ensayo da a conocer los procesos para evaluar las diferentes propiedades

mecánicas y físicas, controlando factores tales como: tamaño de la muestra, contenido de

humedad, y velocidad de carga (ASTM D143, 2014).

Para efectuar el ensayo, se debe ejercer cargas de compresión a probetas de madera

debidamente normalizados, específicamente la normativa ASTM D143, nos habla sobre los

ensayos mecánicos de la madera, forma de evaluarlos y también las consideraciones que se

deben tener antes, durante y después de los ensayos.

3.3.1 Objetivos

Objetivo General

• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a compresión de la madera.


• Obtener la curva fuerza-desplazamiento.

• Identificar el tipo de falla que se produce en un elemento de madera sometido a

compresión.

• Obtener la curva esfuerzo – deformación unitaria

• Identificar los puntos singulares sobre la curva esfuerzo – deformación unitaria.

• Determinación del módulo de elasticidad.



Tamaño de las muestras: Para el ensayo a cortante paralelo y perpendicular a la fibra, se

debe obtener muestras de madera estándar (Figura 3.2), cuya particularidad es que las fibras de

la estructura interna de la misma estén dispuestas en sentido paralelo y perpendicular a la carga

a aplicar al momento del ensayo. Las dimensiones de las muestras sobre su sección transversal

serán de 30x30 mm para un método de ensayo primario y de 50x50 mm para un método

secundario. Su longitud (altura) será de entre 2 a 4 veces a las dimensiones transversales. Las

probetas para el ensayo no deben poseer fisuras previas o imperfecciones tales como nudos

lagrimales o huecos (ASTM D143, 2014).

Figura 3.2: Probetas de madera de pino dimensionadas de acuerdo a la norma ASTM D143-94.


Esfuerzo de compresión: El esfuerzo de compresión (𝜎𝑐) se presenta axialmente en la

sección transversal de la muestra cuando se somete a una carga paralela a la fibra y a una carga

perpendicular a la fibra. El esfuerzo viene dado por la Ecuación 2.1, y la deformación unitaria

correspondiente que es el resultado de la variación del desplazamiento producido por unidad

de longitud, viene dado por la Ecuación 2.4 (ASTM D143, 2014).

Contenido de humedad: Una vez realizado el ensayo hasta producir la rotura de la probeta,

se procede a obtener su contenido de humedad siguiendo los puntos expuestos en numeral 3.2


(Ensayo del contenido de humedad para muestras de madera). El contenido de humedad se

evaluará mediante la Ecuación 3.1 (ASTM D4442, 2007).

Descripciones de fallas a compresión: Las fallas de compresión se clasificarán de acuerdo

con la apariencia de la superficie fracturada, según se puede apreciar en la Tabla 3.1. En el caso

de dos o más tipos de fallas, todo se describirá en el orden de su aparición. Las especificaciones

de la ASTM también recomienda la eliminación de las muestras en caso de la aparición de un

tipo específico de fractura descrita en la Tabla 3.1 (Falla por división y Falla por compresión y

corte paralelo al grano) (ASTM D143, 2014).

Tabla 3.1

Tipos de falla que se producen al realizar ensayos a compresión de la madera.

Fuente: Adaptado y traducido de (ASTM D143, 2014).


• Equipo de laboratorio para ensayos a compresión.

• Accesorios para la sujeción de la probeta de ensayo.


• Deformímetro.


• Horno de secado de muestras.

• Probetas de madera normalizadas según norma ASTM D143-94 (Figura 3.2).


Ensayo a compresión paralela a la fibra de la madera

1) Tomar las dimensiones de las probetas.

2) Colocar la probeta de ensayo con los accesorios correspondientes en el equipo de

compresión, de tal forma que las fibras de la madera queden paralelas al pistón.

3) Colocar el deformímetro.

4) Programar y encerar el equipo de compresión.

5) Aplicar carga a velocidad constante.

6) Tomar datos de la carga aplicada y el desplazamiento producido hasta la falla del

material.

7) Determinar el contenido de humedad de la probeta.

Ensayo a la compresión perpendicular a la fibra de la madera

Para la realización del ensayo a compresión perpendicular a la fibra, se realiza el mismo

procedimiento que el realizado en el ensayo de compresión paralelo a la fibra de la madera,

salvo que en esta ocasión se cambia la posición de las probetas en sentido que la carga aplicada

quede perpendicular a las fibras de madera.

3.3.5 Evaluación

• Registrar los datos del ensayo a tracción en la ficha técnica correspondiente, Anexo 2.

• Esquematizar el tipo de fractura o fracturas que se produjeron en la probeta.

• Calcular los esfuerzos producidos.

• Determinar las deformaciones unitarias.

• Graficar la curva fuerza-desplazamiento.


• Graficar la curva esfuerzo-deformación unitaria.

• Graficar la curva esfuerzo-contenido de humedad.

• Identificar la región lineal en la curva esfuerzo-deformación (Comportamiento elástico).

• Determinar el límite elástico del material.


• Determinar el esfuerzo de fractura de la probeta.


Ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset

3.4.1 Objetivos

Objetivo General

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset.


• Esquematizar el efecto producido por el ensayo realizado.

• Obtener el esfuerzo de contacto con el cual falla la placa Gusset.


Al tener elementos que están sujetos entre sí, ya sea por pernos, remaches o pasadores, se

pueden producir fenómenos en los materiales tales como el aplastamiento del material, el corte

de los elementos de sujeción o también, se puede originar la combinación de ambos efectos.

Tamaño de las muestras: Para asegurar que los elementos a ensayar fallen por

aplastamiento, debemos diseñar las placas de manera que la fuerza aplicada sea mayor a la

resistencia por aplastamiento, y que no sobrepase la resistencia al corte del elemento de

sujeción.

Para obtener las dimensiones idóneas de la placa, se utilizarán las siguientes ecuaciones

usadas para el diseño de conexiones estructurales de acero, Ecuación 3.2 y Ecuación 3.3.

Figura 3.3: Dimensiones de la placa de acero.



Para la resistencia al cortante del perno del ensayo, se utilizara la siguiente expresión,

Ecuación 3.2 (McCormac & Csernak, 2012).

𝐹𝑣, 𝑅𝑑 =𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑢𝑏 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑛

ϒ𝑚2

Ecuación 3.2

Donde:

αv = Coeficiente seguridad del perno = 0.5

fub = Resistencia a tracción del perno.

As= Área transversal del perno.

n= Número de pernos.

ϒm2= Coeficiente de seguridad.

La resistencia al aplastamiento de placas atornilladas se calcula mediante la Ecuación 3.3

(McCormac & Csernak, 2012).

𝐹𝑏, 𝑅𝑑 =𝛼𝑏 ∗ 𝑘1 ∗ 𝑓𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡

ϒ𝑚2

Ecuación 3.3

Donde:

αb = El menor valor de Ecuación 3.4, Ecuación 3.5, Ecuación 3.6 y Ecuación 3.7

(McCormac & Csernak, 2012).

𝛼𝑏 =𝑒1

3 ∗ 𝑑𝑜

Ecuación 3.4

𝛼𝑏 =𝑝1

3 ∗ 𝑑𝑜−

1

4

Ecuación 3.5

𝛼𝑏 =𝑓𝑢𝑏

𝑓𝑢

Ecuación 3.6


𝛼𝑏 = 1 Ecuación 3.7

d= Diámetro del tornillo.

k1=coeficiente =2.5

t= Espesor de la placa.

e1= Distancia al extremo frontal.

d0= Diámetro del agujero.

p1= Separación entre tornillos.

fu= Resistencia última del acero de la placa.


• Equipo de laboratorio para ensayos de tracción.

• Accesorios para el ensayo de aplastamiento de placas.


• Placas de acero previamente dimensionadas.


1) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo de contacto o aplastamiento en

el equipo de laboratorio para ensayos de tracción.

2) Tomar las dimensiones de la placa a ensayar, así como las perforaciones en la misma.

3) Colocar de manera fija la placa de ensayo.

4) Programar el equipo.

5) Aplicar carga a velocidad constante.

6) Tomar datos de la carga máxima aplicada.

7) Retirar la placa de ensayo y observar el efecto producido en la misma.


3.4.5 Evaluación

• Registrar la información en la ficha técnica correspondiente al ensayo, Anexo 3.

• Determinar el esfuerzo al que la placa falló por aplastamiento.

• Determinar y esquematizar la falla producida.


Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero

El propósito de los pernos, remaches y pasadores consiste en sujetar dos o más elementos,

es decir, generar una conexión entre elementos, por lo que su uso está presente en la mayoría

de estructuras y mecanismos. El ensayo a cortante en pernos permite ver el efecto que se genera

en el conector debido a las cargas provenientes de los elementos que conectan y producen una

fuerza perpendicular a la longitud del conector (Ugalde, Magali, & Medina-Mendoza, 2016).

3.5.1 Objetivos

Objetivo General

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en pernos.


• Obtener el esfuerzo de corte con el cual falla el perno.


Para la realización del ensayo se debe utilizar pernos de acero normados ya sea por

especificaciones SAE, ASTM o Clases Métricas. Para poder identificar las especificaciones del

perno a ensayar lo podemos hacer con ayuda de las Tabla 7.1, Tabla 7.2 y Tabla 7.3. En ellas

se puede observar la marca que poseen los pernos (cabeza hexagonal) y verificar sus

características.

Limitaciones: Esta práctica está limitada para pernos únicos de 1 cm de diámetro y una

longitud mínima de la parte no roscada de 4.2 cm, esto debido a los accesorios predispuestos

para este ensayo.

Tamaño de las muestras: Teniendo en cuenta las limitaciones del ensayo y para asegurar

que los pernos a ensayar fallen por cortante, se debe garantizar que la fuerza aplicada sea menor

a la resistencia por aplastamiento de las placas y mayor resistencia al corte del perno.


Para calcular la resistencia al cortante del perno utiliza la Ecuación 3.2, y la resistencia al

aplastamiento de las placas atornilladas mediante las Ecuación 3.3, Ecuación 3.4, Ecuación 3.5,

Ecuación 3.6 y Ecuación 3.7.



• 3 placas de acero de 10 x 10 cm con un espesor de 1.4 cm con un agujero de 1cm de

diámetro cada una.


• Pernos de acero normados, así como tuercas y arandelas para el mismo.


1) Tomar las dimensiones del perno a ensayar.

2) Tomar las medidas de las placas de acero, así como las perforaciones sobre ellas.

3) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo de corte de pernos en el equipo

de laboratorio para ensayos de compresión.

4) Programar el equipo de acuerdo al ensayo.

5) Aplicar la carga a velocidad constante.

6) Tomar el valor de la carga máxima aplicada.

3.5.5 Evaluación

• Registrar los datos e información en la ficha técnica correspondiente al ensayo, Anexo

4.

• Determinar y esquematizar la falla producida por el ensayo.

• Determinar el esfuerzo al cual el perno falla por corte.


Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera

En el caso de ensayos de laboratorio que permitan conocer y clasificar especies de madera,

existen métodos normados por la ASTM, específicamente la D-143 (Métodos de prueba

estándar para muestras pequeñas y claras de madera) sección 14 (Cizallamiento paralelo al

grano), a la cual nos referiremos en el caso de obtener las propiedades mecánicas de la madera.

3.6.1 Objetivos

Objetivo general

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en la madera.


• Determinar la resistencia al corte paralelo a la fibra de la madera.

• Obtener la curva esfuerzo cortante - contenido de humedad.

3.6.2 Fundamento teórico

Cuando se determina el comportamiento de una muestra de madera sometida a una carga

cortante, la densidad de ésta no es un factor de importancia como lo es en la resistencia a la

compresión, tracción y flexión. Al contrario de la densidad, un factor de importancia es la

estructura interna de las fibras de la especie de madera a analizar (Gómez, Cobo, Díez, & López

Zaldívar, 2017).

Tamaño de las muestras: Para el ensayo a cortante paralelo a la fibra, se debe obtener una

muestra de madera estándar, cuya particularidad es que las fibras de la estructura de la madera

estén dispuestas en el sentido paralelo a la carga aplicada al momento de realizar el ensayo. El

tamaño de las muestras serán de 50x50x63 mm, para producir fallas en una superficie de 50x50

mm (Figura 3.4) (ASTM D143, 2014).


Figura 3.4: Espécimen de prueba de corte paralelo a la fibra.

Fuente: Adaptado de (ASTM D143, 2014)

Esfuerzo cortante: El esfuerzo a cortante (𝜏) se presenta tangencialmente en la sección

transversal designada en la muestra cuando se somete a una carga paralela a la fibra o grano,

viene dado por la Ecuación 2.2.

Contenido de humedad: Una vez realizado el ensayo hasta producir la rotura de la probeta,

se procede a obtener su contenido de humedad con la porción de la pieza de prueba que se

desprende. Se puede evaluar el contenido de humedad mediante la Ecuación 3.1 (ASTM

D4442, 2007).

Velocidad de prueba: La carga se aplicará continuamente durante toda la prueba a una

velocidad de movimiento del pistón de 0,6 mm/min (ASTM D143, 2014).

Fallas de prueba: En todos los casos donde la falla en la base de la muestra se extienda

hacia atrás sobre la superficie de soporte, la prueba debe ser eliminada (Figura 3.5) (ASTM

D143, 2014).


Figura 3.5: Falla sobre la superficie de soporte – vista frontal, perfil, lateral e isométrico.




• Accesorios para ensayos de laboratorio para corte en muestras de madera.

• Probetas de madera estándar.


1) Colocar el accesorio para ensayo de corte en la madera dentro del equipo de compresión

del laboratorio.

2) Tomar las dimensiones de la sección de corte de la muestra.

3) Colocar la muestra en el accesorio y ajustarlo para que la carga genere una fuerza

cortante sobre la sección asignada en la muestra de madera.

4) Alinear el pistón del equipo de laboratorio con el brazo del accesorio de corte.

5) Programar el equipo de laboratorio.

6) Evaluar el contenido de humedad.


3.6.5 Evaluación

• Registrar en la ficha correspondiente Anexo 6, los datos pertinentes de las muestras y

los resultados obtenidos.

• Esquematizar la falla producida.

• Determinar el esfuerzo a cortante para cada uno de las probetas ensayadas.

• Evaluar el contenido de humedad de cada muestra ensayada.

• Trazar la curva esfuerzo cortante - contenido de humedad del grupo de muestras

ensayadas de una determinada especie de madera.


Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos)

Las vigas son elementos estructurales utilizados para soportar cargas perpendiculares a su

eje neutro, para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares aplicadas a lo largo

de su longitud y el comportamiento que presenten ante estas cargas. Según el tipo de apoyo

que se aplique a la viga se pueden clasificar en cuatro tipos, como se muestra en la Figura 3.6

(Chang & Pérez, 2017, p. 26).

Figura 3.6: Tipos de vigas.

Fuente: (Chang & Pérez, 2017).

Un ensayo a flexión de una viga se utiliza para determinar los siguientes puntos:

• La flecha elástica bajo una carga dada.

• La carga correspondiente a una determinada flecha.

• La flecha correspondiente a la carga máxima aplicada.

En el caso de ensayos de laboratorio que permitan clasificar especies de madera y determinar

sus propiedades mecánicas, existen métodos normados por la ASTM, específicamente la D-

143 (Métodos de prueba estándar para muestras pequeñas y claras de madera) y D-198

(Métodos de prueba estándar de pruebas estáticas de madera en tamaños estructurales) sección

4 (Flexión). A las cuales el lector debe referirse para el caso de obtener las propiedades físicas

y mecánicas de diferentes especies de madera.


3.7.1 Objetivos

Objetivo general

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas - cuatro puntos.


• Determinar el máximo esfuerzo normal en el rango elástico que puede soportar una viga

cuando está sometida a cargas que le producen flexión.

• Determinar la distribución de esfuerzos normales en el rango elástico sobre la sección

de la viga.

• Evaluar la localización del eje neutro en la sección de la viga.

• Obtener la curva carga – deflexión.


El ensayo del esfuerzo normal en vigas se lo realizará en una viga simplemente apoyada

sometida a flexión por dos cargas puntuales, ubicadas a la misma distancia medida desde el

centro de la viga respectivamente (Figura 3.7), mientras se toma registro de la magnitud de las

cargas aplicadas y la deflexión provocada.

Figura 3.7: Esquema del ensayo a esfuerzo normal - cuatro puntos.



Probetas: Las probetas deben tener las dimensiones adecuadas que permitan la correcta

realización del ensayo usando el equipo de laboratorio existente u optar por un pre -

dimensionamiento de las mismas utilizando las siguientes relaciones para vigas de sección

rectangular Ecuación 3.8 y Ecuación 3.9:

ℎ =𝐿

10

Ecuación 3.8

𝑏 =ℎ

2

Ecuación 3.9

Donde:

ℎ = Altura de la viga.

b = Base de la viga.

L = Distancia entre apoyos.

r = Distancia entre el borde y el punto de apoyo (mínimo 7mm).


Diagrama fuerza cortante y momento flexionante: El diagrama de la fuerza cortante y

momento flexionante producido en la viga se pueden obtener mediante el método expuesto en

la sección 2.7.2 (Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante) por la

Ecuación 2.9 y Ecuación 2.10 aplicadas sobre la longitud de la viga.

Figura 3.8: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a cuatro puntos.


El diagrama de la fuerza cortante se puede apreciar en la Figura 3.8a. La distribución de la

fuerza cortante en la viga se restringe únicamente a los segmentos internos de viga, adyacentes

a los apoyos, esto es debido a que la configuración de las cargas aplicadas genera fuerzas

cortantes en longitud entre la carga y las reacciones en los apoyos, y a su vez la inexistencia de

cortante en la porción media de la longitud entre las cargas aplicadas.


El punto de análisis de la viga se encuentra en el punto medio de la distancia entre apoyos.

El momento flector producido en este punto no es afectado por fuerzas cortantes, por lo cual

en esta porción de viga se producirá únicamente flexión pura.

Esfuerzo normal o de flexión: El esfuerzo normal que se presenta en la sección transversal

se presenta debido al Momento flector producido por la carga inducida en la viga, y viene dada

por la por la Ecuación 2.19.

Flecha: Es la distancia máxima que existe entre el eje neutro en estado de reposo (sin carga)

y el estado solicitado (bajo una carga aplicada). Al realizar la prueba para la condición de carga

dada, se puede comparar los valores de la deflexión 𝛿 dados por el equipo (deformímetro), en

el centro de la luz de la viga con la flecha máxima en el centro de la viga dada por la solución

analítica Ecuación 3.10.

𝑓 =𝑃 ∗ 𝑎

24 ∗ 𝐸𝐼∗ (3𝐿2 − 4𝑎2)

Ecuación 3.10

Donde:

𝑓 = Flecha.

P = Carga aplicada.


E = Módulo de elasticidad.

I = Momento de inercia.

a = Distancia entre el apoyo y la carga.

La Ecuación 3.10 solo se aplica cuando el material llega a su límite elástico, y para un

sistema de dos cargas puntuales simétricas al centro de la luz de la viga.

Velocidad de prueba para vigas de madera: La carga se aplicará continuamente durante

toda la prueba a una velocidad de movimiento del pistón de 2,5 mm/min (ASTM D143, 2014).


Descripción de las fallas por flexión para vigas de madera: Las fallas de flexión estática

se clasificarán de acuerdo con la apariencia de la superficie fracturada y la forma en que se

desarrolla la falla (Tabla 3.2). Las superficies fracturadas pueden dividirse en "impetuosa" y

"fibroso", el término "impetuosa" indica una falla abrupta y "fibroso" indica una fractura que

muestra astillas (ASTM D143, 2014).

Tabla 3.2

Tipos de fallas de madera clara en la flexión con tramo paralelo a la fibra.

Fuente: Adaptada y traducida de (ASTM D143, 2014).

Contenido de humedad para vigas de madera: Después de la prueba se cortará una sección

de la viga de aproximadamente 25 mm de longitud cerca del punto de falla. La muestra se

utilizará para calcular el contenido de humedad existente utilizando la Ecuación 3.1 (ASTM

D143, 2014).


• Equipo de laboratorio para ensayos de flexión en vigas.

• Apoyos para las probetas.

• Deformímetro.


• Probetas (madera, metálicas, concreto u otros).


1) Tomar las dimensiones (luz, base, altura) de la probeta en la sección de aplicación de

las cargas.

2) Señalar en la viga los puntos de apoyo, los puntos de aplicación de las cargas y el eje

longitudinal.

3) Situar el dispositivo de carga o pistón en los puntos de aplicación de las cargas.

4) Ajustar el deformímetro en el centro de la luz.

5) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada hasta que se deforme de forma plástica

o hasta que la probeta presente una falla o rotura.

6) Tomar nota de los datos obtenidos de carga y deflexión.

3.7.5 Evaluación

• Registrar en la ficha de ensayo correspondiente Anexo 7, los datos medidos de acuerdo

con el procedimiento.

• Trazar la curva carga - deflexión para cada probeta.

• Calcular la flecha producida y comparar con la deflexión producida en el ensayo.

• Esquematizar el comportamiento del material si es llevado hasta su falla o rotura.

• Calcular el esfuerzo normal de flexión en la sección transversal ubicado en el punto

medio de la viga.


Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos)

3.8.1 Objetivos

Objetivo general

• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos.


• Determinar la distribución de esfuerzos cortantes en el rango elástico sobre la sección de

la viga.

• Evaluar la localización del eje neutro en la sección de la viga.



Para el ensayo del esfuerzo cortante en vigas, se utilizará una viga simplemente apoyada en

ambos extremos. Sometida a una carga puntual aplicada en el centro de la distancia entre

apoyos (Figura 3.9), mientras se toma registro de la magnitud de la carga aplicada y la deflexión

provocada por la misma. Esta carga debe aplicarse en forma continua, lenta y gradualmente.

Figura 3.9:Esquema del ensayo a esfuerzo cortante - tres puntos.



Probetas: Las dimensiones de las probetas serán iguales a las dimensiones utilizadas en el

ensayo a cuatro puntos para vigas sometidas a flexión, sección 3.7.2 (Probetas).



la sección 2.7.2 (Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante), para la

condición de apoyo y la configuración de carga aplicada. El diagrama del cortante y momento

en la viga se puede apreciar en la siguiente figura (Figura 3.10).

Figura 3.10: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a tres puntos.



Flecha: Para vigas sometidas a flexión producida por una carga puntual ubicada en el centro

de la luz, se puede comparar los valores de la deflexión 𝛿 obtenidos por el ensayo, con los

valores obtenidos con la solución analítica dada por la teoría de elasticidad, Ecuación 3.11.

𝑓 =1

48∗𝑃 ∗ 𝐿3

𝐸𝐼

Ecuación 3.11

Donde:

𝑓 = Flecha.

P = Carga aplicada.


E= Módulo de elasticidad.

I= Momento de inercia.

La Ecuación 3.11 solo se aplica cuando el material se comporta de manera lineal o llega a

su límite elástico.

Esfuerzo cortante longitudinal: El esfuerzo a cortante que se presenta es perpendicular a la

sección transversal de la viga y se expresa mediante la Ecuación 2.20.

Contenido de humedad para vigas de madera: Después de la prueba para vigas de cuyo

material es la madera se procede a obtener el contenido de humedad mediante la Ecuación 3.1,

como se especifica en la sección 3.6.2.



Descripción de las fallas por flexión para vigas de madera: Las fallas de flexión se

clasificarán de acuerdo con la apariencia de la superficie fracturada y la forma en que se

desarrolla la falla, como se muestran en la Tabla 3.2 (ASTM D143, 2014).




• Apoyos para probeta.

• Deformímetro.

• Probetas (madera, metálicas, concreto u otros).


1) Tomar las dimensiones (Luz, base y alto) de la probeta en la sección de aplicación de la

carga.

2) Señalar en la viga los puntos de apoyo, el punto de aplicación de la carga y el eje

longitudinal.

3) Situar el dispositivo de carga o pistón en el punto de aplicación de la carga.


5) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada hasta que la viga se deforme de forma

plástica o presente una falla o rotura.

6) Tomar nota en las tablas de los datos obtenidos de carga y deflexión.

3.8.5 Evaluación

• Registrar en la ficha correspondiente Anexo 8, los datos medidos de acuerdo con el

procedimiento.

• Trazar la curva carga - deflexión para cada probeta.


• Calcular el esfuerzo cortante transversal por flexión en la sección transversal ubicado

en el punto medio de la viga.



Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas

3.9.1 Objetivos

Objetivo general

• Describir y realizar el ensayo de deflexión en vigas de madera semi - empotradas.

Objetivo especifico



El ensayo trata de simular las condiciones típicas de un elemento tipo viga en una estructura,

pues las condiciones de apoyo que presenta una viga generalmente son de empotramiento en

ambos extremos. Para este ensayo se utilizará vigas de madera, sujetos en ambos extremos y

sometidos a una carga puntual en el centro de la longitud entre apoyos. Debido a limitaciones

del equipo de laboratorio, se puede restringir el desplazamiento vertical y la rotación en los

apoyos de la viga, pero por el momento no se puede restringir el desplazamiento horizontal,

por lo que se puede considerar que el elemento está sometido a un semi - empotramiento en los

apoyos, lo que no influye en gran medida al ensayo, pues el elemento no estará sometido a

cargas horizontales (Figura 3.11), todo esto mientras se toma registro de la magnitud de la

carga aplicada y la deflexión provocada por la misma.

Figura 3.11:Esquema del ensayo de flexión en viga semi - empotrada.



Probetas: Se utilizarán probetas de madera prismáticas cuyas dimensiones serán iguales a

las dimensiones utilizadas en el ensayo a cuatro puntos para vigas sometidas a flexión, sección

3.7.2 (Probetas).



la sección 2.7.2 (Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante), para las

condiciones de apoyo y la configuración de carga aplicada en la viga (Figura 3.12).

Figura 3.12: Diagrama de la fuerza cortante y momento flector en una viga semi - empotrada.



Flechas: Para el ensayo de vigas sometidas a flexión por una carga puntual y condición de

apoyo de semi - empotrado, se puede comparar los valores de la deflexión 𝛿 obtenidos por el

ensayo, con los valores obtenidos con la solución analítica, Ecuación 3.11. Esta ecuación solo

se aplica cuando el material llega a su límite elástico.

𝑓 =𝑃 ∗ 𝐿3

192 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼

Ecuación 3.12

Donde:

𝑓 = Flecha.

P = Carga aplicada.


E= Módulo de elasticidad.

I= Momento de inercia.

Contenido de humedad para vigas de madera: Después de la prueba se procede a obtener

el contenido de humedad como se especifica en la sección 3.6.2 y la Ecuación 3.1.



Descripción de las fallas por flexión para vigas de madera: Las fallas de flexión se

clasificarán de acuerdo con la apariencia de la superficie fracturada y la forma en que se

desarrolla la falla, como se muestran en la Tabla 3.2 (ASTM D143, 2014).



• Apoyos para la probeta.

• Deformímetro.


• Probetas de madera.


1) Tomar las dimensiones (Luz, base, alto) de la probeta en la sección de aplicación de la

carga.

2) Situar el dispositivo de carga o pistón en el punto de aplicación de la carga.


4) Ajustar los apoyos de la viga de manera que se impida la rotación y el desplazamiento

vertical de la viga.

5) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada hasta que la probeta se deforme de forma

plástica o se produzca una falla o rotura en el material.

6) Tomar nota en las tablas de los datos obtenidos de carga y deflexión.

3.9.5 Evaluación

• Registre en la ficha correspondiente (Anexo 9), los datos medidos de acuerdo con el

procedimiento.

• Trazar la curva carga – deflexión para cada probeta.




Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas

Las columnas están presentes en toda estructura portante, entender su comportamiento ante

cargas y momentos a las cuales pueden estar sometidas permite diseñar elementos estructurales

capaces de resistir y trabajar ante cualquier solicitación. El ensayo pretende relacionar la carga

aplicada a una columna con el posible pandeo que esta puede presentar, todo esto en función

del tipo de sujeción en sus extremos y de la rigidez que presente el material.

3.10.1 Objetivos

Objetivo General

• Describir y realizar el ensayo de carga crítica y pandeo en columnas.


• Apreciar los efectos producidos por una carga a compresión sobre un elemento

columna.

• Esquematizar el pandeo producido por los diferentes tipos de sujeción en las columnas.

• Obtener la carga crítica en columnas con diferentes tipos de sujeción.


Este ensayo es didáctico, no posee ninguna normativa a seguir, se basa en conocimientos

adquiridos en clase. Se trata de diseñar un ensayo a escala que permita recrear el fenómeno de

pandeo de las columnas que están sometidos a cargas axiales a compresión. En la Tabla 2.3 se

puede observar los casos comunes de pandeo que presenta una columna, las condiciones de

apoyo que presenta y la relación que existe con la longitud efectiva.

Tamaño de las muestras: Las mismas deben poseer una altura (h) no mayor a 54.5cm y un

largo (a) máximo de 2cm, esto para poder realizar correctamente el ensayo.


Figura 3.13:Dimensionamiento de las probetas de ensayo de pandeo de columnas.


Carga crítica y longitud efectiva: La carga crítica puede ser calcula mediante la fórmula

de Euler (Ecuación 2.29), la longitud efectiva varía dependiendo del tipo de sujeción que posee

en los extremos y puede ser calculada mediante las fórmulas mostradas en la Tabla 2.3.


• Equipo de laboratorio para ensayos de pandeo en columnas.

• Probetas.



1) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo de pandeo en columnas.

2) Tomar las dimensiones de las probetas de ensayo.

3) Colocar una probeta en cada uno de los diferentes compartimentos del equipo de ensayo.

4) Aplicar carga con pesas de diferente magnitud hasta que se logre producir el efecto de

pandeo debido al tipo de sujeción.

5) Tomar el valor de la carga máxima aplicada en cada probeta.

6) Tomar el valor de la longitud efectiva de las probetas de ensayo.


3.10.5 Evaluación

• Registre en la ficha correspondiente (Anexo 10), los datos medidos de acuerdo con el

procedimiento.

• Determinar el tipo de pandeo que se produce según los diferentes tipos de sujeción.

• Determinar la carga crítica de cada una de las probetas de ensayo.

• Determinar la longitud efectiva de las probetas de ensayo.

• Comparar los resultados obtenidos por el ensayo con los datos calculados.

• Esquematizar los efectos producidos por los tipos de sujeción sobre las probetas de

ensayo.


CAPÍTULO 4

4. ENSAYOS DE LABORATORIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES

Ensayo de la resistencia a tracción del acero

4.1.1 Procedimiento realizado

1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las

Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de los laboratorios de la

Universidad del Azuay.

2) Se colocaron los accesorios correspondientes para el ensayo a tracción, teniendo en

cuenta que estos deben estar correctamente colocados y fijados, para evitar que se

desprendan al momento de aplicación de la carga. Eso incluye, ajustar con los pernos

necesarios los accesorios al equipo, verificar que los mismos estén correctamente

sujetos y asegurarse que el equipo este colocado y fijado para realizar ensayos a

tracción.

3) Se tomó los datos correspondientes de la probeta a ensayar y se registró en la sección

de la ficha técnica asignada a la Longitud, diámetro y material de la probeta.

4) Para fijar las probetas se debe hacer el uso de mordazas de acero templado, estas deben

estar sujetas a los extremos de la probeta y dispuestas fijamente en los accesorios del

equipo para el ensayo a tracción, Figura 4.3.

5) Se debe agregar que se puede hacer uso de cinta adhesiva o de cintas elásticas para

sujetar las mordazas a los extremos de la probeta, esto puede facilitar la colocación de

la probeta sobre el equipo.

6) Colocar el deformímetro firmemente y que sea visible para la toma de datos, Figura

4.4. El deformímetro debe estar dispuesto de tal manera que pueda medir el

desplazamiento vertical entre dos puntos calibrados, ya sea la longitud calibrada de la

probeta o por lo contrario el desplazamiento del pistón.


7) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo, diámetro de la probeta y

demás datos que requiera el software del equipo Figura 4.5. Si el equipo mide de manera

independiente la carga aplicada y el desplazamiento, se recomienda tomar los datos

coordinadamente mediante un temporizador o uso de video cámaras, también se

recomienda tomar los datos del ensayo en rangos no muy amplios de carga. El nivel de

precisión del ensayo depende de la cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad,

mayor será la precisión de los resultados.

8) Para iniciar el ensayo, se puede aplicar una carga inicial con el fin de que la probeta se

encuentre sujeta al equipo, esta carga inicial no se considera al momento de recolectar

los datos y el ensayo inicia después de que el equipo se encuentre calibrado en cero.

9) Aplicar la carga a tracción de forma continua hasta el momento de falla del material.

Se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que pueda proveer el equipo

de laboratorio existente, para este caso se configuró la perilla del equipo en el “número

3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la mejor configuración del

equipo que permite observar el fenómeno de falla del material y a su vez la toma de

datos requeridos para el análisis del material, Figura 4.6.

10) Se tomaron los datos arrojados tanto del deformímetro como de la fuerza aplicada hasta

el momento de rotura de la probeta Figura 4.8. Este paso se lo ha realizado de forma

manual e independiente, pero se espera que este paso sea eliminado una vez el equipo

sea actualizado para tomar los datos de forma automática y digital, permitiendo al

usuario simplemente exportar la información en un formato de archivo.

11) Los cálculos realizados para el ensayo fueron hechos en hojas de cálculo, además se

utilizó el software de cálculo Matlab R16a, los detalles del procedimiento se encuentran

en el Anexo 11.


4.1.2 Resultados obtenidos

Los datos presentados a continuación pertenecen a un ensayo de laboratorio similar al

mencionado en este documento, debido a que el equipo no está actualizado para obtener los

datos necesarios de Carga y alargamiento, se utilizaron datos de un ensayo similar que da como

resultado el comportamiento del material que se espera obtener en el ensayo de laboratorio

descrito en este texto.

Ficha técnica del Ensayo

Longitud de la

probeta Lt (mm)200

Diámetro mayor

(mm)15 Material

Longitud

calibrada de la

probeta Lc (mm)

70Diámetro menor

(mm)10 Falla

P δ δ A ɛ σ E

(kg) (pulg) (mm) (mm2) (u) (Mpa) (Mpa)

0.0 0.0 0.0 78,54 0,0000 0.0 0,000

443.8 0.1 1.3 78,54 0,0184 55.4 2.828,550

471.0 0.1 1.4 78,54 0,0196 58.8 3.014,597

1069.6 0.1 3.1 78,54 0,0444 133.6 3.011,579

1590.4 0.2 4.6 78,54 0,0660 198.6 3.006,388

1903.2 0.2 5.5 78,54 0,0790 237.7 3.006,406

2100.6 0.2 6.1 78,54 0,0872 262.4 2.979,580

2241.4 0.3 6.5 78,54 0,0931 280.0 3.005,845

2857.4 0.3 8.3 78,54 0,1187 356.9 3.013,769

3342.4 0.4 9.7 78,54 0,1388 417.5 3.005,427

3580.6 0.4 10.4 78,54 0,1487 447.2 3.018,715

3940.7 0.5 11.5 78,54 0,1636 492.2 3.004,828

4513.3 0.5 13.1 78,54 0,1874 563.7 3.001,860

4801.7 0.5 14.0 78,54 0,1994 599.8 3.001,685

5070.8 0.6 14.7 78,54 0,2106 633.4 2.998,338

5164.5 0.6 15.0 78,54 0,2145 645.1 3.092,112

5226.4 0.6 15.2 78,54 0,2170 652.8 1.975,688

5294.4 0.6 15.5 78,54 0,2213 661.3 177,806

5299.0 0.6 15.7 78,54 0,2245 661.9 -900,212

5262.2 0.6 16.1 78,54 0,2296 657.3 2.002,394

5289.4 0.6 16.2 78,54 0,2313 660.7 3.973,050

5295.8 0.6 16.2 78,54 0,2315 661.5 96,735

5334.8 0.8 19.7 78,54 0,2818 666.3 784,800

5643.2 0.9 23.2 78,54 0,3309 704.9 911,244

Dúctil

Acero

PRÁCTICA DE LABORATORIO


PROBETA #1FECHA:

ENSAYO DE LA RESISTENCIA A TRACCIÓN DEL ACERO

NOMBRES: JONNATHAN GUACHUN - DAVID JERVES


5999.3 1.0 26.6 78,54 0,3797 749.3 739,489

6263.3 1.2 29.7 78,54 0,4243 782.3 463,541

6798.1 1.6 39.8 78,54 0,5684 849.1 244,527

6891.1 1.7 43.1 78,54 0,6159 860.7 171,773

6959.6 1.8 46.6 78,54 0,6657 869.3 147,263

7010.8 2.0 49.6 78,54 0,7092 875.7 100,119

7049.9 2.1 53.0 78,54 0,7578 880.6 165,544

7062.6 2.1 53.7 78,54 0,7674 882.1 37,175

7073.9 2.2 56.4 78,54 0,8054 883.6 19,454

7077.5 2.3 58.0 78,54 0,8291 884.0 19,927

7081.6 2.4 59.8 78,54 0,8547 884.5 -4,459

7081.1 2.4 60.8 78,54 0,8679 884.5 -146,333

7067.1 2.4 61.6 78,54 0,8799 882.7 -366,432

7027.2 2.5 62.5 78,54 0,8935 877.7 -264,182

7003.1 2.5 63.3 78,54 0,9049 874.7 -2.822,721

6743.2 2.5 64.1 78,54 0,9164 842.3 -4.898,048

6245.2 2.6 65.0 78,54 0,9291 780.1 -6.065,736

5550.7 2.6 66.0 78,54 0,9434 693.3 734,908

3,015.41

Observaciones: El ensayo no presento problemas, además debido a que el equipo no cuenta con los sensores que midan la carga a tracción

y el alargamiento, se tuvo que utilizar datos de carga a tracción de un ensayo similar y ajustarlos a los datos recolectados de alargamiento

tomados con un deformímetro digital. El material presento el fenómeno de estricción antes de presentar una falla dúctil cerca al centro de la

longitud calibrada. La duración del ensayo desde el momento de aplicación de la carga hasta el momento de la falla fue de 2 min y 23 seg.

Mòdulo de elasticidad promedio E


Gráficas resultantes


4.1.3 Memoria fotográfica

Figura 4.1: Equipo universal de tracción-compresión.


Figura 4.2: Elementos de sujeción para el

ensayo a tracción de acero.


Figura 4.3: Mordazas de acero templado.


Figura 4.4: Deformímetro colocado de

forma lateral. Medición del

desplazamiento del pistón.



Figura 4.5: Panel de configuración del computador del

equipo de tracción-compresión para ensayo a tracción

del acero.


Figura 4.6: Indicador de la velocidad que ejerce el

pistón del equipo universal de compresión.


Figura 4.7: Probeta de acero.


Figura 4.8: Carga aplicada a la cual la probeta de

ensayo falla.


Figura 4.9: Probeta ensayada hasta la rotura.


Figura 4.10: Falla dúctil en el material.



4.1.4 Conclusiones

• Se obtuvieron las gráficas carga vs alargamiento y esfuerzo de tracción vs

deformación unitaria del material.

• Se identificó el Limite elástico del material con una recta paralela a la zona elástica

y cuyo punto inicial se ubica en 0.002 unidades de la deformación unitaria. El límite

elástico del material fue de 654 Mpa.

• El Esfuerzo máximo del material fue de 884 Mpa y su Esfuerzo último, es decir, el

esfuerzo con el cual el material falló fue de 696 Mpa.

• El Módulo de elasticidad del material fue obtenido del promedio de pendientes de

la zona elástica del material y cuyo valor fue de 3008 Mpa.

4.1.5 Recomendaciones

Aunque la Guía Metodológica y su Ficha correspondiente sirven para realizar el ensayo de

tracción en el acero, no está restringido al mismo, pudiendo utilizarse otros materiales

metálicos siempre que se respete las limitaciones del equipo del laboratorio.


Ensayo de la resistencia a compresión de la madera


Compresión paralela a la fibra




2) Se tomó los datos correspondientes de las probetas a ensayar y se registró en la sección

de la ficha técnica asignada a la Longitud, ancho, altura y material de la probeta con

ayuda de un calibrador o vernier, Figura 4.12 y Figura 4.13.

3) Se colocaron los accesorios correspondientes en los extremos de la probeta y esta se

colocó dentro del equipo de compresión. Las probetas deben estar dispuesta de tal forma

que las fibras internas estén paralelas a la carga a ser aplicada. Se procura que la probeta

este centrado dentro del pistón, es decir, que la carga que va a ser aplicad va a estar

centrado a la sección de la probeta (Figura 4.15).

4) Se colocó el deformímetro de forma que se pueda medir el desplazamiento vertical del

pistón.

5) Una vez acoplada la probeta de madera e instalado el deformímetro, se encera el equipo

de ensayo.

6) Programar el equipo: las unidades de medida y demás datos que requiera el software del

equipo. El equipo mide de manera independiente la carga aplicada y el desplazamiento,

se recomienda tomar los datos coordinadamente mediante un temporizador o uso de

video cámaras, también se recomienda tomar los datos del ensayo en rangos no muy

amplios de carga. El nivel de precisión del ensayo depende de la cantidad de datos

recolectados, a mayor cantidad, mayor será la precisión de los resultados.



encuentre fijo al equipo, esta carga inicial no se considera al momento de recolectar los

datos y el ensayo inicia después de que el equipo se encuentre calibrado en cero.

8) Al empezar el ensayo se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que

pueda proveer el equipo de laboratorio existente, para este caso se configuró la perilla

del equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la

mejor configuración del equipo que permite observar el fenómeno de falla del material

y a su vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.

9) Tomar los datos aportados tanto del deformímetro como de la fuerza aplicada a la

probeta de ensayo.

10) Se tomaron los datos arrojados por el equipo y el deformímetro hasta el momento de

falla del material, este paso es manual ya que el equipo del laboratorio no toma los datos

de forma automática, Figura 4.18.

11) Una vez terminado el ensayo, tomar la o las probetas ensayadas y determinar el

contenido de humedad, para ello se tomó los datos correspondientes al peso actual de la

probeta y luego el peso seco de la misma una vez haya sido secado al horno por un

periodo de 24 horas. Los datos son registrados en la sección de la ficha correspondiente

del ensayo.



en el Anexo 11.


Compresión perpendicular a la fibra

Para el ensayo a compresión perpendicular a la fibra de la madera, se realizó el

procedimiento anteriormente mencionado, salvo que en esta ocasión se cambió la posición de

las probetas al momento de ensayarlas, y las colocamos en sentido que la carga aplicada quede

perpendicular a las fibras, es decir, colocamos la probeta horizontalmente en el equipo de

laboratorio, Figura 4.19.





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0.0

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07

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06

22

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0.0

47

1.1

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07

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41

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0.0

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11

209

41

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90

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14

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72

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1.1

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2-1

52

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49

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08

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24

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3.

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4.

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n de

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l 2

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21

seg

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# 3

Pro

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# 4

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Gráfica de un ensayo único - Probeta #1


Gráficas de un conjunto de ensayos - Probeta #1, #2, #3 y #4




Alt

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h (

mm

)150.5

Áre

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n

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al

A(m

m2)

2465.1

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g)

151.9

7A

ltura

h (

mm

)150.5

Áre

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n

transv

ers

al

A(m

m2)

2455.2

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ial P

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g)

167.3

1

Larg

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m)

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Superf

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(m

m)

49.6

Conte

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9.3

3A

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(m

m)

49.5

Conte

nid

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15.0

1

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Mpa)

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0.0

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0.0

00000

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00

210

0.0

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0.1

27

0.0

00844

0.8

357

990.3

37

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0.0

05

0.1

27

0.0

00840

0.8

83027859

1051.2

90

482

0.0

10

0.2

54

0.0

01688

1.9

181

1282.7

22

446

0.0

10

0.2

54

0.0

01680

1.7

82038123

1070.3

18

836

0.0

15

0.3

81

0.0

02532

3.3

269

1669.4

25

631

0.0

15

0.3

81

0.0

02520

2.5

2122434

880.0

39

1218

0.0

20

0.5

08

0.0

03375

4.8

471

1801.4

70

752

0.0

20

0.5

08

0.0

03360

3.0

04692082

575.5

93

1434

0.0

25

0.6

35

0.0

04219

5.7

066

1018.6

32

883

0.0

25

0.6

35

0.0

04200

3.5

28115836

623.1

63

1749

0.0

30

0.7

62

0.0

05063

6.9

602

1485.5

06

995

0.0

30

0.7

62

0.0

05040

3.9

75623167

532.7

80

2051

0.0

35

0.8

89

0.0

05907

8.1

620

1424.1

99

1114

0.0

35

0.8

89

0.0

05880

4.4

51099707

566.0

79

2226

0.0

40

1.0

16

0.0

06751

8.8

584

825.2

81

1210

0.0

40

1.0

16

0.0

06720

4.8

34677419

456.6

69

2401

0.0

45

1.1

43

0.0

07595

9.5

548

825.2

81

1312

0.0

45

1.1

43

0.0

07560

5.2

42228739

485.2

11

2542

0.0

50

1.2

70

0.0

08439

10.1

159

664.9

41

1391

0.0

50

1.2

70

0.0

08399

5.5

57881232

375.8

00

2702

0.0

55

1.3

97

0.0

09282

10.7

527

754.5

42

1475

0.0

55

1.3

97

0.0

09239

5.8

9351173

399.5

85

2831

0.0

60

1.5

24

0.0

10126

11.2

660

608.3

50

1545

0.0

60

1.5

24

0.0

10079

6.1

73203812

332.9

88

2974

0.0

65

1.6

51

0.0

10970

11.8

351

674.3

72

1601

0.0

65

1.6

51

0.0

10919

6.3

96957478

266.3

90

3110

0.0

70

1.7

78

0.0

11814

12.3

763

641.3

61

1655

0.0

70

1.7

78

0.0

11759

6.6

12719941

256.8

76

3226

0.0

75

1.9

05

0.0

12658

12.8

379

547.0

43

1715

0.0

75

1.9

05

0.0

12599

6.8

52456012

285.4

18

3340

0.0

80

2.0

32

0.0

13502

13.2

916

537.6

12

1762

0.0

80

2.0

32

0.0

13439

7.0

40249267

223.5

77

3435

0.0

85

2.1

59

0.0

14346

13.6

697

448.0

10

1806

0.0

85

2.1

59

0.0

14279

7.2

16055718

209.3

07

3539

0.0

90

2.2

86

0.0

15189

14.0

835

490.4

53

1838

0.0

90

2.2

86

0.0

15119

7.3

43914956

152.2

23

3624

0.0

95

2.4

13

0.0

16033

14.4

218

400.8

51

1892

0.0

95

2.4

13

0.0

15959

7.5

59677419

256.8

76

3703

0.1

00

2.5

40

0.0

16877

14.7

362

372.5

55

1928

0.1

00

2.5

40

0.0

16799

7.7

03519062

171.2

51

3760

0.1

05

2.6

67

0.0

17721

14.9

630

268.8

06

1945

0.1

05

2.6

67

0.0

17639

7.7

71444282

80.8

68

3835

0.1

100

2.7

94

0.0

18565

15.2

615

353.6

92

1987

0.1

10

2.7

94

0.0

18479

7.9

39259531

199.7

93

3898

0.1

15

2.9

21

0.0

19409

15.5

122

297.1

01

2022

0.1

15

2.9

21

0.0

19319

8.0

79105572

166.4

94

3955

0.1

23.0

48

0.0

20252

15.7

390

268.8

06

2047

0.1

20

3.0

48

0.0

20159

8.1

78995601

118.9

24

4031

0.1

25

3.1

75

0.0

21096

16.0

415

358.4

08

2076

0.1

25

3.1

75

0.0

20999

8.2

94868035

137.9

52

4080

0.1

33.3

02

0.0

21940

16.2

365

231.0

79

2096

0.1

30

3.3

02

0.0

21839

8.3

74780059

95.1

39

4142

0.1

35

3.4

29

0.0

22784

16.4

832

292.3

85

2134

0.1

35

3.4

29

0.0

22679

8.5

26612903

180.7

65

4200

0.1

43.5

56

0.0

23628

16.7

140

273.5

22

2155

0.1

40

3.5

56

0.0

23519

8.6

10520528

99.8

96

4212

0.1

43

3.6

32

0.0

24134

16.7

617

94.3

18

2180

0.1

45

3.6

83

0.0

24358

8.7

10410557

118.9

24

2204

0.1

50

3.8

10

0.0

25198

8.8

06304985

114.1

67

2227

0.1

55

3.9

37

0.0

26038

8.8

98203812

109.4

10

1291.5

65

693.4

60

Obse

rvacio

nes:

Pro

bet

a #1. D

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# 1

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A

Mòdulo

de e

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icid

ad p

rom

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E

Mòdulo

de e

last

icid

ad p

rom

edio

E


Altura h (mm) 151.2Área de sección

transversal A (mm2)2347.40 Peso Inicial Pw (g) 170.11

Largo a (mm) 48.5Superficie de Corte

de la muestraRADIAL Peso Seco Ps (g) 147.85

Ancho b (mm) 48.4Contenido de

humedad %15.06

P (kg) δ (pulg) δ (mm) Deformación unitaria ɛ σ (Mpa) E (Mpa)

0 0 0.000 0 0.0000 0.0

269 0.005 0.127 0.000840 1.1242 1338.389

506 0.010 0.254 0.001680 2.1146 1179.175

691 0.015 0.381 0.002520 2.8878 920.453

850 0.020 0.508 0.003360 3.5522 791.092

973 0.025 0.635 0.004200 4.0663 611.977

1114 0.030 0.762 0.005040 4.6555 701.535

1210 0.035 0.889 0.005880 5.0567 477.641

1312 0.040 1.016 0.006720 5.4830 507.493

1391 0.045 1.143 0.007560 5.8131 393.058

1475 0.050 1.270 0.008399 6.1642 417.936

1545 0.055 1.397 0.009239 6.4567 348.280

1601 0.060 1.524 0.010079 6.6907 278.624

1655 0.065 1.651 0.010919 6.9164 268.673

1715 0.070 1.778 0.011759 7.1671 298.525

1762 0.075 1.905 0.012599 7.3636 233.845

1806 0.080 2.032 0.013439 7.5474 218.919

1849 0.085 2.159 0.014279 7.7271 213.943

1892 0.090 2.286 0.015119 7.9068 213.943

1941 0.095 2.413 0.015959 8.1116 243.796

1977 0.1000 2.540 0.016799 8.2621 179.115

2006 0.1050 2.667 0.017639 8.3833 144.287

2037 0.1100 2.794 0.018479 8.5128 154.238

2067 0.1150 2.921 0.019319 8.6382 149.263

2097 0.1200 3.048 0.020159 8.7636 149.263

2119 0.1250 3.175 0.020999 8.8555 109.459

2133 0.13 3.302 0.021839 8.9140 69.656

2150 0.135 3.429 0.022679 8.9850 84.582

2174 0.14 3.556 0.023519 9.0853 119.410

2190 0.145 3.683 0.024358 9.1522 79.607

2205 0.15 3.810 0.025198 9.2149 74.631

733.875

FECHA: 16/09/2019 CARGA: PERPENDICULAR A LA FIBRA



ENSAYO DE LA RESISTENCIA A COMPRESIÓN DE LA MADERA

NOMBRES: DAVID JERVES - JONNATHAN GUACHÚN

Probeta # 3

Mòdulo de elasticidad promedio E

Observaciones: Probeta #3. Duración de la prueba desde el inicio de aplicación de la carga

hasta la falla del material 3 min 02 seg. La probeta no presentó una falla o rotura, pero si

grandes deformaciones, disminuyendo la altura y aumentando en gran medida su ancho.

Bosquejo:



Gráficas de un conjunto de ensayos – Probeta #1 #2 y #3




Figura 4.11: Equipo universal de compresión.


Figura 4.12: Medición de la longitud de la probeta de

madera con ayuda del calibrador o vernier.


Figura 4.13: Medición del largo y ancho de la

probeta de madera con ayuda del calibrador o

vernier.


Figura 4.14: Accesorios de sujeción de acero para el

ensayo de compresión paralela a la fibra.



Figura 4.15: Acoplamiento del elemento con el pistón

del equipo.


Figura 4.16: Colocación adecuada del

deformímetro.


Figura 4.17: Falla producida en la probeta.


Figura 4.18: Probeta pesada antes y después del

secado para calcular el Contenido de humedad.




Figura 4.19: Ensayo a compresión

perpendicular a la fibra.


Figura 4.20: Falla producida en el material.


Figura 4.21: Probeta pesada antes y después

del secado para calcular el Contenido de

humedad.


Figura 4.22: Secado al horno de las probetas ensayadas.



4.2.4 Conclusiones

Compresión paralela a la fibra.

Se realizaron cuatro ensayos de laboratorio con probetas de madera de la misma especie y

de dimensiones estandarizadas. De las cuatro probetas ensayadas, la Probeta #3 fue descartada

conociendo la causa, es decir, presentó una falla provocada por el personal que realizó el

ensayo. Esto se lo efectuó para ejemplarizar ensayos que presentan defectos en su realización

y que de acuerdo a la teoría expuesta en la guía metodológica deben ser rechazadas en el

análisis.

• Se obtuvieron las curvas carga vs desplazamiento y esfuerzo de compresión vs

deformación unitaria.

• Se identificó el Limite elástico del material con una recta paralela a la zona elástica y

cuyo punto inicial se ubica en 0.002 unidades de la deformación unitaria. Los limites

para cada probeta y el Contenido de humedad fueron los siguientes:

- Limite elástico de la Probeta #1 es igual a 28.9 Mpa con un Contenido de humedad

de 16.7%.


de 16.8%.


de 13.9%.

• Se obtuvo una Línea de tendencia cuya pendiente es el valor promedio de las pendientes

de los diferentes ensayos, está pendiente es el Módulo de elasticidad del material

ensayado y cuyo valor fue de 4233 Mpa.

• Se identificó y se esquematizo en cada ficha el tipo de falla presentado por la probeta,

siendo la más común la Falla por cizallamiento o corte, según lo especificado en la

teoría y por las normas utilizadas.


Compresión perpendicular a la fibra.

Se realizaron los ensayos a tres probetas de madera de la misma especie, de las tres probetas

una de ellas fue una muestra tomado de una sección Longitudinal del árbol, esta muestra

perteneciente a la probeta #1 de madera obtuvo resultados diferentes a las dos muestras de

madera tomadas de una sección Radia del árbol.

• Se obtuvieron las curvas carga vs desplazamiento y esfuerzo de compresión vs

deformación unitaria.

• Se identificó el Limite elástico del material con una recta paralela a la zona elástica y

cuyo punto inicial se ubica en 0.002 unidades de la deformación unitaria. Los limites

para cada probeta y el Contenido de humedad fueron los siguientes:


de 9.33%.


de 16.8%.


de 15.1%.

• Se obtuvo una Línea de tendencia cuya pendiente es el valor promedio de las pendientes

de los diferentes ensayos, está pendiente es el Módulo de elasticidad del material

ensayado y cuyo valor para la probeta obtenido de una sección longitudinal fue de 1325

Mpa. Para las probetas obtenidas de una sección Radial el valor promedio de su

pendiente o Módulo de elasticidad fue de 779 Mpa.

• Se identificó y se esquematizó en cada ficha el tipo de falla presentado por la probeta,

siendo la más común la Falla por aplastamiento, con la aparición de agrietamientos

horizontales a medida que aumentaba la deformación. Todo esto basado según lo

especificado en la teoría y por las normas utilizadas.



Compresión paralela a la fibra.

Los ensayos que buscan obtener las propiedades mecánicas de la madera están sujetas a

muchas variables como se expuso en la teoría sobre el ensayo a compresión de la madera. Se

recomienda recurrir a las normativas y la ASTM para la caracterización de los diferentes tipos

de madera.

Compresión perpendicular a la fibra.

No hay comentarios adicionales al ensayo debido a que el procedimiento es similar al

presentado en el Ensayo de la resistencia a compresión paralela a la fibra de la madera.


Ensayo de contacto o aplastamiento en placas Gusset





2) Se colocaron los accesorios correspondientes para el ensayo a tracción, teniendo en

cuenta que estos deben estar correctamente colocados y fijados, para evitar que se

desprendan al momento de aplicación de la carga. Eso incluye, ajustar con los pernos

necesarios los accesorios al equipo, verificar que los mismos estén correctamente sujetos

y asegurarse que el equipo este colocado y fijado para realizar ensayos a tracción.

3) Tomar las dimensiones de la placa a ensayar y de los pernos de sujeción con ayuda de

un calibrador o vernier (Figura 4.24, Figura 4.25, Figura 4.26 y Figura 4.27). Se

registraron estos datos en la ficha correspondiente para realizar un cálculo previo para

verificar que la probeta a ensayar efectivamente fallará por contacto en la sección

analizada.

4) Instalar la probeta en el equipo de laboratorio y verificar que esté debidamente fijo y

sujeto al equipo con ayuda de los pernos de sujeción (Figura 4.29).

5) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo, dimensiones de la probeta

y demás datos que requiera el software del equipo Figura 4.30. Si el equipo mide de

manera independiente la carga aplicada y el desplazamiento, se recomienda tomar los

datos coordinadamente mediante un temporizador o uso de video cámaras, también se

recomienda tomar los datos del ensayo en rangos no muy amplios de carga. El nivel de

precisión del ensayo depende de la cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad,

mayor será la precisión de los resultados.



encuentre sujeta al equipo, esta carga inicial no se considera al momento de recolectar

los datos y el ensayo inicia después de que el equipo se encuentre calibrado en cero.

7) Aplicar la carga a tracción de forma continua hasta el momento que se produzca el

fenómeno de aplastamiento o contacto. Se recomienda usar una velocidad de aplicación

de carga que pueda proveer el equipo de laboratorio existente, para este caso se

configuró la perilla del equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered

advance”, esta es la mejor configuración del equipo que permite observar el fenómeno

de falla del material y a su vez la toma de datos requeridos para el análisis del material,

Figura 4.8.

8) El ensayo finaliza hasta conseguir un alargamiento del material que permita apreciar el

segmento donde se produjo el fenómeno del aplastamiento, también se puede realizar el

ensayo hasta que falle el material en la región designada a fallar por aplastamiento o

contacto.




PROBETA # 1

Resistencia a tracción del

perno fub (kg/mm2)84.36

Resistencia última del

acero de la placa fu

(kg/mm2)

45.89

Coeficiente seguridad del

perno αv 0.5

Coeficiente mínimo de

seguridad del perno αb 0.9

Área transversal del perno

As (mm2)314.159

Diámetro agujero do

(mm)20

Número de pernos 2 Coeficiente k1 2.5

Coeficiente de seguridad

ϒm2 1.25

Espesor de la placa t

(mm)2

Resistencia al cortante

Fv,Rb (kg)21201.96


ϒm2 0.25

Resistencia al

aplastamiento Fb,Rb

(kg)

3304.08

Carga de falla aplicada P

(kg)

Resistencia máxima de

aplastamiento (kg)



ENSAYO DEL ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO EN

PLACAS GUSSET


FECHA: 22/10/2019

Dimensiones de la probeta o placa de acero

CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTECÁLCULO DE RESISTENCIA AL

APLASTAMIENTO

Observaciones: El ensayo se realizó aplicando una

velocidad de carga a tracción constante. El tiempo de

duración del ensayo, entre momento de aplicación de la

carga y el momento de la falla fue de 1 min 12 seg. Como

se puede apreciar en el bosquejo, la placa de ensayo falla

por aplastamiento en una de sus perforaciones, y de forma

menos perceptible se produjo una deformación en la otra

perforación. Debido a las limitaciones que posee el equipo

para la realización del ensayo no se pudo obtener la carga

de falla, ni su resistencia máxima aplicada.

Bosquejo:



Figura 4.23: Accesorios para el ensayo de aplastamiento en placas.


Figura 4.24: Medición del espesor de la placa de

ensayo.


Figura 4.25: Medición del diámetro del agujero de

la placa a ensayar.


Figura 4.26: Medición de la longitud de la probeta de

la placa de ensayo.


Figura 4.27: Medición del ancho de la placa de

ensayo.



Figura 4.28: Instalación de accesorios para el ensayo de

placas por aplastamiento.


Figura 4.29: Placa de ensayo fija con los

accesorios correspondientes.


Figura 4.30: Panel de configuración del equipo de tracción para el ensayo de aplastamiento en placas.


Figura 4.31: Esquema de falla de la placa Gusset.



4.3.4 Conclusiones

Debido a que el equipo por el momento no da lectura de la carga a tracción aplicada a la

placa, no fue posible obtener el registro de la carga de falla y la resistencia máxima de

aplastamiento.

• La placa falló por aplastamiento en la sección de agarre de la probeta, como se puede

ver en el esquema anterior (Figura 4.31), produciendo un desgarre del material en la

región adyacente al diámetro ubicado en la zona inferior y produciendo una

deformación mínima en el agujero ubicado en la zona superior de la probeta.

• Resiste al cortante igual a 21201. 96 kg.

• Resistencia al aplastamiento igual a 3304.08 kg.


El ensayo no es exclusivo para esta configuración de carga y placa con sujeción apernada,

puede ser modificado para observar el comportamiento de las conexiones siempre que se tenga

en cuenta las limitaciones del equipo.


Ensayo del esfuerzo cortante en pernos





2) Previo a iniciar el ensayo se tomó las dimensiones tanto del perno a ensayar y de las

placas de anclaje y para registrarlos en la ficha correspondiente al ensayo.

3) Sujetar las tres placas de acero con el tornillo de ensayo de manera que la placa del

medio sobresalga de entre las dos placas exteriores, esto para generar un desplazamiento

al momento de aplicar la carga, Figura 4.32. Se tuvo en cuenta el uso de arandelas al

momento de sujetar las placas con el perno de ensayo.

4) Introducir en el equipo de compresión el elemento armado de ensayo, y colocar una

placa de acero en medio del pistón y el elemento armado, esto para asegurar el elemento

para el ensayo, Figura 4.34.

5) Encerar el equipo de ensayo (Figura 4.17) y empezamos a aplicar carga de forma

continua hasta el momento que el perno falle por corte. Se recomienda aplicar la carga

a una velocidad media, configurando la perilla del equipo en “número 3” y el avance del

pistón en “full advance”, Figura 4.6.

6) El ensayo termina cuando el perno falle por cortante, y el perno se divida en tres partes,

es decir, dos secciones de corte (Figura 4.35). El equipo visualizara la última carga

aplicada al elemento, Figura 4.37.




PROBETA # 1

Resistencia a tracción del perno

fub (kg/mm2)84,63

Resistencia última del acero de la

placa fu (kg/mm2)45,89

Coeficiente seguridad del perno

αv 0,5

Coeficiente mínimo de seguridad

del perno αb 1

Área transversal del perno As

(mm2)78,54 Diámetro del perno d (mm) 10

Número de pernos 1 Coeficiente k1 2,5

Coeficiente de seguridad ϒm2 1,25 Espesor de la placa t (mm) 15

Resistencia al cortante Fv,Rb (kg) 2658,74 Coeficiente de seguridad ϒm2 1,25

Carga de falla aplicada P (kg) 10022Resistencia al aplastamiento

Fb,Rb (kg)13767


cortante (kg/mm2)127,60

CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTECÁLCULO DE RESISTENCIA AL

APLASTAMIENTO

Observaciones: El ensayo se realizó con normalidad

aplicando cargas a compresión a una velocidad constante.

El tiempo de duración del ensayo, entre momento que se

aplicó la carga y el y en el que se produjo la falla fue de

0min 42seg. En el bosquejo se puede apreciar el efecto

producido por el ensayo, el perno falló por cortante doble,

es decir el elemento se dividió en 3 elementos.

Dimensiones de la placa de acero

Bosquejo:



ENSAYO DE ESFUERZO CORTANTE EN PERNOS DE ACERO

NOMBRES: David Jerves, Jonnathan Guachún

FECHA: 22/10/2019



Figura 4.32: Modo de armado de los elementos de

ensayo.


Figura 4.33: Armado final del elemento para el

ensayo a corte.


Figura 4.34: Elemento de ensayo fijo y alineado con el

pistón del equipo universal de compresión.


Figura 4.35: Falla del perno por corte.



Figura 4.36: Carga última registrada al

momento del fallo del perno.


Figura 4.37: Esquematización de la falla en el perno de ensayo.


4.4.4 Conclusiones

Se produjo la falla por cortante en el perno, dividiéndolo el mismo en tres partes como se

puede observar en el esquema anterior (Figura 4.37). La carga cortante con el cual el perno

sufrió la rotura fue de 10022 kg y el último esfuerzo cortante que soporto el mismo fue de

127.6 kg/mm2.


Para la realización de ensayos a cortante que involucren otro tipo de materiales con

diferentes secciones, se recomienda diseñar y modificar los accesorios existentes en el

laboratorio, pues los mismos sirven únicamente para los materiales con las dimensiones ya

mencionados anteriormente en la respectiva Guía metodológica.


Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera





2) Se tomaron las dimensiones de la sección donde se producirá el corte con ayuda de un

calibrador o vernier y se registraron en la ficha correspondiente, Figura 4.38.

3) Colocar la probeta de ensayo en el accesorio de corte y esta a su vez se coloca dentro

del equipo de compresión, procurar que la barra transversal del accesorio esté ajustada

sobre la superficie de contacto de la probeta y que el extremo descanse uniformemente

sobre la base del equipo, Figura 4.40.

4) Se aseguró que el pistón del equipo de compresión ocupe toda el área de contacto del

brazo del accesorio de corte, este debe quedar completamente fijo y centrado, Figura

4.41.

5) Empezar a aplicar carga de forma continua hasta el momento que la probeta falle por

corte. Se recomienda usar la velocidad proporcionada por el equipo de laboratorio,

configurando la perilla en el “número 3”, hasta que el material presente una rotura. Una

vez sucedido esto se tomó nota de la carga con la cual la probeta presentó la falla a

cortante, Figura 4.42.

6) Evaluar el contenido de humedad utilizando la sección cortada de la probeta, para ello

pesamos la muestra cortada de la probeta, colocamos en el horno de secado durante un

periodo de 24 horas y se vuelve a obtener el peso, con estos datos se calcula el contenido

de humedad presente en la muestra de madera, Figura 4.43.




Área de Corte

ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps

Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

1 Radial 2513 1994 7.784 39.4 25.18 56.5

Área de Corte


Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

2 Radial 2500 1952 7.660 42.06 25.03 68.0

Área de Corte


Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

3 Radial 2504 1976 7.741 41.7 26.09 59.8

Área de Corte


Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

4 Radial 2493 1527 6.009 41.83 27.43 52.5

Área de Corte


Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

5 Radial 2498 1974 7.752 41.3 26.05 58.5

Bosquejo

Observaciones: La probeta presentó una menor carga resistente al momento de rotura,

además, el corte se presenta por detrás de la sección se corte, por lo que la muestra debe

ser desechada, según lo indicado en ASTM D143.

Observaciones: La probeta presente nudos en su estructura, que son indicadores de que la

muestra de madera fue tomada en una parte donde existía la presencia de ramificacionese.

Duración del ensayo, entre momento de aplicación de la carga y el momento de rotura fue

de 1 min 46 seg.

Muestra #

Bosquejo

Bosquejo

Observaciones: El ensayo se realizó con normalidad. Velocidad de aplicación de la carga

fue constante. Duración del ensayo, entre momento de aplicación de la carga y el momento

de rotura fue de 2 min 03 seg.




Muestra #

Muestra #

Bosquejo

Muestra #

Muestra #




Bosquejo



ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE PARALELO A LAS FIBRAS DE LA MADERA

FECHA: 22/10/2019

NOMBRES: Jonnathan Guachun - David Jerves

Obtención de la

muestra

Obtención de la

muestra

Obtención de la

muestra

Obtención de la

muestra

Obtención de la

muestra



Figura 4.38: Probetas de madera con sección

reducida.


Figura 4.39: Accesorio de corte para el equipo de

compresión.


Figura 4.40: Accesorio montado y probeta colocada

para el ensayo a cortante.


Figura 4.41: Accesorio instalado en el equipo de

laboratorio.


Figura 4.42: Probeta ensayada, falla en la sección

de corte designada.


Figura 4.43: Pieza menor obtenida de sección cortada

de la probeta, utilizada para el ensayo del Contenido

de humedad.



4.5.4 Conclusiones

Se realizaron cinco ensayos de laboratorio con probetas de madera de la misma especie y

de dimensiones estandarizadas. De las cinco probetas ensayadas, la Probeta #4 fue descartada

conociendo la causa, es decir, presentó una falla provocada por el personal que realizó el

ensayo. Esto se lo hizo para ejemplarizar ensayos que presentan defectos en su realización y

que de acuerdo a la teoría expuesta en la guía metodológica deben ser rechazadas en el análisis.

• Se obtuvo la Curva Esfuerzo cortante vs Contenido de humedad.

• Se obtuvieron los esfuerzos cortantes a los cuales falló cada probeta:

- Probeta #1, muestra radial (R) de madera: Esfuerzo cortante de rotura igual a 7.78

Mpa con un Contenido de humedad de 56.5%.


Mpa con un Contenido de humedad de 68%.





• Se identificó y se esquematizó en cada ficha el tipo de falla presentado por la probeta,

siendo la más común la Falla por cizallamiento o corte, según lo especificado en la

teoría y por las normas utilizadas.



La Guía Metodológica describe el ensayo y la utilización del equipo de laboratorio para

muestras pequeñas de madera, su uso puede también ampliarse para muestras de madera con

sus fibras perpendiculares a la carga aplicada, así también se podría ampliar el ensayo a otro

tipo de materiales. En estos casos se sugiere a la persona que realice el ensayo referirse a la

bibliografía existente, además debe de tenerse en cuenta las limitaciones propias del equipo de

laboratorio.


Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos)



Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de laboratorios de la


2) Se tomó las dimensiones de longitud de la viga, Luz (distancia entre apoyos), base y alto

de la sección transversal de la viga en el punto medio de la Luz donde se va analizar los

resultados del ensayo.

3) Señalar en la viga los puntos de apoyo, los puntos de aplicación de las cargas y el eje

longitudinal. Además, se puede dibujar una malla o grilla en la zona media de la viga

que ayude a visualizar la deformación producida en la viga.

4) Colocar el accesorio de aplicación de las cargas en los puntos previamente marcados en

la viga. Se instaló el deformímetro de forma fija en el centro de la luz de la viga, de

forma que permita el registro de los datos.

5) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo y demás datos que requiera

el software. Si el equipo mide de manera independiente la carga aplicada y el

desplazamiento, se recomienda tomar los datos coordinadamente mediante un

temporizador o uso de video cámaras, también se recomienda tomar los datos del ensayo

en rangos no muy amplios de carga. El nivel de precisión del ensayo depende de la

cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad, mayor será la precisión de los

resultados.

6) Iniciar el ensayo aplicada la carga de manera constante hasta que la viga sufra una

deflexión elástica. Se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que pueda

proveer el equipo de laboratorio existente. Para este caso se configuró la perilla del

equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la mejor


configuración del equipo que permite observar el fenómeno de falla del material y a su

vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.

7) En caso de ensayar hasta la rotura de la viga, se recomienda tener precaución con los

instrumentos de medición, pues estos pueden sufrir daños por los fragmentos producidos

al momento de falla del material. Por este motivo se realizaron los ensayos hasta el punto

que se considera que la viga tuvo una deflexión en el rango elástico, una vez producido

este desplazamiento, se retiró la instrumentación que mide el desplazamiento y se

continuó con el ensayo hasta producir una falla del material.

8) Los ensayos realizados para vigas de material homogéneo y sección simétrica al centro

de gravedad; en este caso vigas de sección rectangular, no requieren la evaluación de su

eje neutro, él mismo puede ser consultado en tablas o formularios.

9) Para ensayos que involucren vigas de madera, se tiene en cuenta que se debe encontrar

el contenido de humedad en el mismo, en este caso al ser vigas de madera se extrajo

pequeñas muestras cubicas adyacentes a la zona de rotura, que luego se utilizaron para

la obtención del contenido de humedad.



en el Anexo 11.




Longitud a (mm) 235 7500

Base b (mm) 50 69.34

Altura h (mm) 150 58.75

Luz L (mm) 1000 18%

Inercia I (mm4) 14062500

P (kg) δ (pulg) δ (mm) Mo (kg*mm) S (mm4/mm) σ (Mpa) Ef (Mpa) Y (mm) σ (Mpa)

0 0.0000 0.00 0 187500 0.00000 0.000 75 41.80

1000 0.0815 2.07 235000 187500 12.29520 936.492 65 36.23

1200 0.0945 2.40 282000 187500 14.75424 969.269 55 30.66

1400 0.1098 2.79 329000 187500 17.21328 972.743 45 25.08

1600 0.1303 3.31 376000 187500 19.67232 937.057 35 19.51

1800 0.1469 3.73 423000 187500 22.13136 935.487 25 13.93

2000 0.1610 4.09 470000 187500 24.59040 947.940 15 8.36

2200 0.1740 4.42 517000 187500 27.04944 964.883 5 2.79

2400 0.1929 4.90 564000 187500 29.50848 949.488 -5 -2.79

2600 0.2126 5.40 611000 187500 31.96752 933.370 -15 -8.36

2800 0.2287 5.81 658000 187500 34.42656 934.235 -25 -13.93

3000 0.2421 6.15 705000 187500 36.88560 945.628 -35 -19.51

3200 0.2646 6.72 752000 187500 39.34464 923.113 -45 -25.08

3400 0.2764 7.02 799000 187500 41.80368 938.893 -55 -30.66

3550 0.2957 7.51 834250 187500 43.64796 916.353 -65 -36.23

3650 0.3122 7.93 857750 187500 44.87748 892.265 -75 -41.80

3700 0.3280 8.33 869500 187500 45.49224 861.055

3750 0.3441 8.74 881250 187500 46.10700 831.752

3800 0.3602 9.15 893000 187500 46.72176 805.076

3850 0.3764 9.56 904750 187500 47.33652 780.687

3900 0.3929 9.98 916500 187500 47.95128 757.545

945.277

FECHA: 22/10/2019 PROBETA #1

Área (mm2)



ENSAYO DEL ESFUERZO NORMAL Y DEFLEXIÓN EN VIGAS - CUATRO PUNTOS


Módulo de flexión promedio Ef

Observaciones: El ensayo se realizó hasta la falla del material, pero se aclara que la medición del desplazamiento se lo realizo hasta el punto en el cual se

consideró que la viga sufrió una deflexión en el rango elástico, luego de esto se retiró el deformímetro para evitar daños del mismo y se continuo el ensayo

hasta la falla del material. Duración del ensayo, desde el inicio de aplicación de la carga hasta el momento que se retiró el deformímetro 2 min 12 seg. La

última carga registrada al momento de falla de la viga fue de aproximadamente 4050 Kgf. Y la viga presento una rotura inclinada, que inicio desde su punto

inferior en el centro de la luz y se extendió en un Angulo aproximado de 45 grados hasta su parte superior. También se debe aclarar que la columna de carga P

es el valor de carga mostrado por el equipo dividido para 2, debido a la división de la carga en dos cargas puntuales, esto se lo realizó para facilitar los cálculos

en la ficha.

Bosquejo:

ESFUERZO NORMAL, MÓDULO DE SECCIÓN Y MÓDULO DE FLEXIÓNESFUERZO NORMAL EN

LA SECCIÓN

TRANSVERSAL

Peso Inicial Pw (g)

Peso Seco Ps (g)

Contenido de humedad %


Graficas resultantes



Figura 4.44: Ensayo de viga de madera a cuatro puntos.


Figura 4.45: Panel de programación del equipo para el ensayo.


Figura 4.46: Colocación del deformímetro en el centro de la luz de la viga.



Figura 4.47: Falla producida en la viga.


4.6.4 Conclusiones

Se realizó el ensayo a flexión para una viga de madera simplemente apoyada de sección

rectangular, sometida a dos cargas puntuales simétricas al centro de la luz. En el ensayo de la

viga se tomó registro de los datos pertinentes a la carga y la deflexión que, a criterio del

personal a cargo del ensayo, se consideraron dentro del rango elástico. Para poder identificar

que el material se comporte dentro del rango elástico, se verificó que los valores de carga y

deflexión tuvieran una variación constante, esto queda a criterio del personal que esté

realizando el ensayo. Una vez se considera que la viga se desplazó de forma elástica, se detuvo

el equipo de compresión y se retiró el deformímetro para luego proseguir con el ensayo hasta

producir la falla del material.

• Se obtuvo la curva carga vs deflexión de la viga de madera.

• Se obtuvo el valor que represente el límite del comportamiento elástico del material,

con una fuerza aplicada igual a 3400 kg y una deflexión igual a 7 mm.

• Se determinó el Momento máximo en el centro de la luz de la viga. este fue de 799000

Kg por mm.


• Se obtuvo la distribución de esfuerzos normales con los valores del límite del

comportamiento elástico y el momento máximo en la sección de la viga ubicada en el

centro de la luz. El esfuerzo normal máximo en esta sección fue de 41.8 Mpa a tracción

en la parte inferior de la viga y de 41.8 Mpa a compresión en la parte superior de la

viga.

• Se determinó el Módulo a flexión del material, despejando el Módulo E de la fórmula

de la flecha dada por la teoría de la elasticidad. El valor del Módulo a flexión para la

viga ensayada fue de 945 Mpa.


Para los casos de vigas prismáticas que son simétricas a sus ejes ortogonales, la ubicación

del eje neutro se encuentra en el centroide de la sección, por lo que no se requiere de la

evaluación del mismos, como es el caso de este ensayo realizado con vigas cuya sección es

rectangular. Esto no aplica para secciones de vigas que no sean simétricas a sus ejes

ortogonales, como algunos perfiles de acero o para vigas de materiales compuestos como vigas

de concreto armado, en estos casos el ensayo debe incluirse la evaluación y localización de sus

ejes ortogonales.

La fórmula del esfuerzo normal no es aplicable cuando el elemento que se ensaya deja de

comportarse de forma elástica, pero se puede utilizar la formulación para obtener la resistencia

última del material cuando este es llevado a la rotura.


Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos)





2) Tomar las dimensiones de longitud de la viga, Luz (distancia entre apoyos), base y alto

de la sección transversal de la viga en el punto medio de la Luz donde se va analizar los

resultados del ensayo.

3) Señalar en la viga los puntos de apoyo, el punto de aplicación de la carga y el eje

longitudinal. Además, se puede dibujar una malla o grilla en la zona media de la viga

que ayude a visualizar la deformación producida en la viga.

4) Colocar el accesorio para aplicación de la carga en el punto previamente marcado en la

viga. Se instaló el deformímetro en el centro de la luz de la viga de forma que permita

la visualización y el registro de los datos.

5) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo y demás datos que requiera

el software. Si el equipo mide de manera independiente la carga aplicada y el

desplazamiento, se recomienda tomar la información coordinadamente mediante un

temporizador o el uso de video cámaras, también se recomienda tomar los datos del

ensayo en rangos no muy amplios de carga. El nivel de precisión del ensayo depende de

la cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad, mayor será la precisión de los

resultados.

6) Iniciar el ensayo aplicada la carga de manera constante hasta que la viga sufra una

deflexión elástica. Se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que pueda

proveer el equipo de laboratorio existente. Para este caso se configuró la perilla del

equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la mejor


configuración del equipo que permite observar el fenómeno de falla del material y a su

vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.





este desplazamiento, se retiró la instrumentación que mide el desplazamiento y se

continuó con el ensayo hasta producir una falla del material.

8) Los ensayos realizados para vigas de material homogéneo y sección simétrica al centro

de gravedad; en este caso vigas de sección rectangular, no requieren la evaluación de su

eje neutro, él mismo puede ser consultado en tablas o formularios.

9) Para este ensayo se usaron vigas compuestas por cuatro láminas de madera unidas con

un adhesivo o cola. El objetivo de esto es el de provocar la falla del material en las

secciones longitudinales donde se encuentre el adhesivo. Es decir, se buscó que la falla

sea longitudinal para evaluar el efecto del esfuerzo cortante en vigas sometidas a flexión.



en el Anexo 11.




Base (mm) 50 Área (mm2) 7500

Altura (mm) 150 Peso humedo (g) 63.1

Luz (mm) 1000 Peso seco (g) 55.4

Inercia (mm4) 14062500Contenido de

humedad (%)14%

P (kg) Vo (kg) Q (mm*mm2) Ef (Mpa)

0 0 0 0 0.00 0.00 0

80 0.05 1.22 40 140625.00 0.08 953.01

120 0.07 1.82 60 140625.00 0.12 958.24

160 0.10 2.47 80 140625.00 0.16 941.43

220 0.13 3.31 110 140625.00 0.22 965.96

260 0.15 3.91 130 140625.00 0.26 966.41

300 0.18 4.62 150 140625.00 0.29 943.72

340 0.21 5.21 170 140625.00 0.33 948.43

380 0.23 5.80 190 140625.00 0.37 952.18

420 0.25 6.33 210 140625.00 0.41 964.30

460 0.27 6.92 230 140625.00 0.45 966.09

500 0.30 7.56 250 140625.00 0.49 961.20

540 0.32 8.10 270 140625.00 0.53 968.89

580 0.34 8.75 290 140625.00 0.57 963.35

620 0.37 9.40 310 140625.00 0.61 958.58

660 0.39 9.90 330 140625.00 0.65 968.89

700 0.42 10.72 350 140625.00 0.69 949.00

720 0.45 11.50 360 140625.00 0.71 909.91

740 0.50 12.78 370 140625.00 0.73 841.52

750 0.54 13.81 375 140625.00 0.74 789.28

770 0.62 15.77 385 140625.00 0.76 709.62

957.99


ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS - TRES PUNTOS


FECHA: 22/10/2019 PROBETA # 1

Bosquejo:



ESFUERZO CORTANTE Y FLECHA

𝛿 ( ) 𝜏 (Mpa)𝛿 ( )


y (mm) a´ (mm²) A´ (mm²) Q (mm*mm2)

75 3750 0 75 -

65 3250 500 70 35,000

55 2750 1000 65 65,000

45 2250 1500 60 90,000

35 1750 2000 55 110,000

25 1250 2500 50 125,000

15 750 3000 45 135,000

5 250 3500 40 140,000

0 0 3750 37.5 140,625

-5 -250 -3500 -40 140,000

-15 -750 -3000 -45 135,000

-25 -1250 -2500 -50 125,000

-35 -1750 -2000 -55 110,000

-45 -2250 -1500 -60 90,000

-55 -2750 -1000 -65 65,000

-65 -3250 -500 -70 35,000

-75 -3750 0 -75 -

0.61

0.66

0.68

0.69

0.68

0.66

Observaciones: Duración del ensayo desde el inicio de aplicación de la carga hasta su falla 2 min 57 seg. El

deformímetro fue retirado en el instante que se consideró que la viga no actuaba en su rango elástico. La falla

producida en la viga fue longitudinal, por la sección longitudinal central, donde presentaba una unión con un

adhesivo común a lo largo de su eje neutro.

0.54

0.44

0.32

0.17

-

ESFUERZO CORTANTE EN LA SECCIÓN

-

0.17

0.32

0.44

0.54

0.61

( ) 𝜏 (Mpa)


Graficas resultantes



Figura 4.48: Viga simplemente apoyada - tres puntos.


Figura 4.49: Punto de aplicación de la carga en el

centro de la luz.


Figura 4.50: Falla por cortante en la sección del Eje

neutro de la viga.



Figura 4.51: Esquema de falla por cortante en la región media de la viga, vista perfil – Desplazamiento

horizontal de la sección superior sobre la sección inferior al eje neutro.


4.7.4 Conclusiones

Se realizó el ensayo a flexión para una viga de madera laminada simplemente apoyada de

sección rectangular, sometida a una carga puntual en el centro de la luz. En el ensayo de la viga

se tomó registro de los datos pertinentes a la carga y la deflexión que, a criterio del personal a

cargo del ensayo, se consideraron dentro del rango elástico. Para poder identificar que el

material se comporte dentro del rango elástico, se verificó que los valores de carga y deflexión

tuvieran una variación constante, esto queda a criterio del personal que esté realizando el

ensayo. Una vez se considera que la viga se desplazó de forma elástica, se detuvo el equipo de

compresión y se retiró el deformímetro para luego proseguir con el ensayo hasta producir la

falla del material.



con una fuerza aplicada igual a 700 kg y una deflexión igual a 10.7 mm.

• Se determinó el Cortante absoluto máximo según el diagrama de cortante a lo largo de

la longitud de la viga, es igual a 350 Kg.


• Se obtuvo la distribución de esfuerzos cortantes con los valores del límite del

comportamiento elástico y el cortante máximo absoluto en la sección de la viga ubicada

en el centro de la luz. El esfuerzo cortante máximo en esta sección fue de 0.69 Mpa.


de la flecha dada por la teoría de la elasticidad. El valor del Módulo a flexión para la

viga ensayada fue de 958 Mpa.


Los valores obtenidos presentan un inconveniente, pues la cantidad de datos registrados al

momento de realizar el ensayo, ocasiona que el análisis no tenga una gran precisión. Como se

puede apreciar en la columna Ef de la ficha técnica correspondiente a este ensayo, los valores

presentan variación entre punto y punto, por lo cual, se dificulta obtener el punto exacto sobre

una curva de tendencia donde el material deja de comportarse de manera elástica.

Al igual que en el Ensayo del Esfuerzo normal, no se requiere de la evaluación del eje neutro,

pues se trata de una viga prismática simétrica a los ejes ortogonales, esto no aplica si se realiza

el ensayo con vigas no prismáticas o de materiales compuestos.


Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas





2) El ensayo es similar a los dos ensayos anteriores de flexión, por lo que su realización es

similar con la única diferencia que debido al equipo de laboratorio actual solo se puede

ensayar con materiales a base de madera.

3) Para realizar el ensayo, se requiere generar una sujeción que simule el empotramiento,

por lo cual es necesario sujetar la viga en los extremos de tal forma que se impida el

desplazamiento vertical, horizontal y el giro. Esto se logra con el uso de los accesorios

del laboratorio tipo mordazas, los cuales constan de ocho varillas enroscadas con las que

sujetaremos los extremos de la viga, procurando que esta quede nivelada en ambos

extremos. De ser necesario se utilizará bases o bloques de acero para levantar el apoyo

como se muestra en la Figura 4.52.

4) Ajustar el pistón de carga sobre la viga, esté debe alinearse al centro de la luz de la viga

de ensayo.

5) Instalar el deformímetro en el centro de la luz de la viga de manera fija que permita el

registro de los datos.

6) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada de manera constante hasta el momento

que viga se deforme de manera elástica. Se recomienda usar una velocidad configurando

la perilla del equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta

es la mejor configuración del equipo que permite observar el fenómeno de deflexión del

material y a su vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.


7) Registrar los datos aportados tanto del deformímetro como de la fuerza aplicada a la

probeta de ensayo.





este desplazamiento, se retiró la instrumentación que mide el desplazamiento.

9) El criterio de semi - empotramiento hace referencia a que en laboratorio por el momento

solo se puede simular condiciones de sujeción que impiden el desplazamiento vertical y

el giro, los accesorios que se posee actualmente no restringen el desplazamiento

horizontal. Esto no afecta en gran medida el desarrollo del ensayo o los resultados

obtenidos, pero debe tener en cuenta al momento de la realización de ensayos para vigas

empotradas.

10) Para este ensayo se quiere comparar la deflexión producida en laboratorio con la

obtenida teóricamente, no es necesario de obtener el contenido de humedad de la probeta

de madera, así que queda a criterio de él o las personas que realicen el ensayo.

11) Los cálculos realizados para el ensayo fueron realizados en hojas de cálculo, además se

utilizó el software de cálculo Matlab R16a para el análisis de los mismos, se detalla el

procedimiento en el Anexo 11.




PROBETA # 1

Base t (mm) 50 Área A (mm2) 7500

Altura h (mm) 150 Peso Inicial Pw (g) 63.1

Luz L (mm) 1000 Peso Seco Ps (g) 53.98

Inercia I (mm4) 140262500 Contenido de humedad % 16.90%

P (kg) δ (pulg) δ (mm) Ef (Mpa)

0 0.000 0.00 0

150 0.003 0.08 683.011

300 0.004 0.10 1092.817

370 0.006 0.16 842.380

580 0.009 0.23 918.600

750 0.010 0.25 1092.817

960 0.014 0.36 971.393

1200 0.017 0.43 1016.574

1400 0.020 0.52 980.733

1650 0.026 0.65 924.691

1900 0.029 0.73 948.106

2200 0.033 0.85 942.823

2400 0.037 0.94 930.057

2700 0.042 1.07 919.192

2850 0.044 1.12 926.943

3000 0.046 1.18 926.116

3400 0.053 1.35 917.427

3700 0.057 1.46 923.156

4000 0.061 1.56 934.032

4200 0.064 1.62 944.410

4600 0.072 1.83 915.657

5000 0.078 1.97 924.549

5200 0.082 2.09 906.324

937.55

Bosquejo:

DESPLAZAMIENTO Y FLECHA GENERADA

Observaciones: La viga para este caso en particular, no fue llevada hasta su falla. El

deformímetro fue retirado en el momento que se consideró que la viga ya no se

comportaba en el rango elástico. Duración del ensayo hasta el momento de retirar el

deformímetro 1 min 47 seg. Este ensayo fue representativo, su objetivo es el de comprar

los valores obtenidos con los obtenidos con los cálculos teóricos.



ENSAYO DE FLEXIÓN EN VIGAS DE MADERA SEMI-EMPOTRADAS



FECHA: 10/12/2019 CARGA: PUNTUAL




Figura 4.52: Mordaza sujeta a uno de los extremos de

la viga.


Figura 4.53: Punto de aplicación de la carga

puntual.



4.8.4 Conclusiones

Se realizó el ensayo a flexión para una viga de madera semi - empotrada y sección

rectangular, sometida una carga puntal en el centro de la viga. En el ensayo de la viga se tomó

registro de los datos pertinentes a la carga y la deflexión que se consideraron dentro del rango

elástico. Una vez se considera que la viga se desplazó de forma elástica, se terminó con el

ensayo y no se continuó con el mismo hasta la falla del material.



con una fuerza aplicada igual a 5200 kg y una deflexión igual a 2.09 mm.


de la flecha dada por la teoría de la elasticidad. El valor del módulo para la viga

ensayada fue de 937 Mpa.


El ensayo busca visualizar los efectos de una viga en condición de empotramiento, debido

a que el laboratorio aún no cuenta con la instrumentación adecuada para simular esta condición,

se optó por variantes que se asemejen las condiciones de empotramiento. Los resultados

obtenidos presentan un ligero error que no es de gran influencia, puesto que los Módulos a

flexión obtenidos en los tres ensayos de vigas, presentan una similitud, y esto es porque todos

los ensayos se realizaron con vigas de madera de la especie.

Como recomendación al momento de realizar el ensayo, se debe tener especial cuidado con

los accesorios del equipo, ya que presentaron algunos defectos que a futuro podrían representar

el desprendimiento del material o de los equipos que podrían producir accidentes o lesiones

para las personas que realicen el ensayo.


Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas


1) Se elaboraron cuatro probetas metálicas de zinc galvanizado e iguales dimensiones, cada

una adecuada para que sea ensayada según el tipo de sujeción.

2) Tomar las dimensiones (longitud, base y espesor) de la probeta de ensayo con ayuda del

calibrador o Venier (Figura 4.54 y Figura 4.55).

3) Tomar el peso que posee cada uno de los elementos de carga o pesas que se utilizan

para el ensayo, así como también las partes superiores que sujetan las probetas, ya que

estas también ejercen una carga inicial, Figura 4.56.

4) Colocar las probetas en cada uno de sus compartimentos, las cuales poseen diferentes

tipos de sujeción, estos deben quedar fijos para que al momento de cargar no presenten

desplazamientos horizontales o verticales que afecten los resultados del ensayo, Figura

4.57. Para el caso de las sujeciones tipo empotramiento, no se debe olvidar que para que

la probeta actúe como si su sujeción fuera empotrada, debe estar sujeta firmemente con

los tornillos pertenecientes al equipo, para facilitar su colocación es recomendable que

las probetas presenten perforaciones o agujeros que faciliten la sujeción al equipo.

5) Poner progresivamente los elementos de carga sobre las probetas hasta que se observe

un desplazamiento o pandeo por parte de los mismos. El valor del peso que produzca

este efecto sobre la probeta se considerara como la carga critica.

6) Cargamos un poco más allá de su carga crítica a cada probeta, esto para provocar un

efecto visible del tipo de pandeo que se produce en cada uno de los tipos de sujeción. Se

esquematiza el pandeo producido y se procede a realizar los cálculos en las fichas

técnicas correspondiente al ensayo.




Bas

e de

la p

robet

a a

(cm

)2

Bas

e de

la p

robet

a a

(cm

)2

Bas

e de

la p

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(cm

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Bas

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la p

robet

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(cm

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Esp

esor

de

la p

robet

a b (

cm)

0.1

4E

spes

or

de

la p

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a b (

cm)

0.1

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spes

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la p

robet

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0.1

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la p

robet

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0.1

4

Tip

o d

e su

jeci

ón

articu

lado -

articu

lado

Tip

o d

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jeci

ón

articu

lado -

empotr

ado

Tip

o d

e su

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ón

empotr

ado -

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ado

Tip

o d

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jeci

ón

libre

-em

potr

ado

Módulo

de

elas

tici

dad

del

mat

eria

l E

(g/c

m2)

8.3

6E

+08

Módulo

de

elas

tici

dad

del

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l E

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8.3

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+08

Módulo

de

elas

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l E

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m2)

8.3

6E

+08

Módulo

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8.3

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Longi

tud d

e la

colu

mna

h (

cm)

43.5

Longi

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e la

colu

mna

h (

cm)

43.5

Longi

tud d

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h (

cm)

43.5

Longi

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cm)

43.5

Mom

ento

de

iner

cia

I (

cm4)

0.0

004573

Mom

ento

de

iner

cia

I (

cm4)

0.0

004573

Mom

ento

de

iner

cia

I (

cm4)

0.0

004573

Mom

ento

de

iner

cia

I (

cm4)

0.0

004573

Fac

tor

de

longi

tud e

fect

iva

k1

Fac

tor

de

longi

tud e

fect

iva

k0.6

99

Fac

tor

de

longi

tud e

fect

iva

k0.5

Fac

tor

de

longi

tud e

fect

iva

k2

Carg

a A

pli

cad

a (

g)

2003.7

2C

arg

a A

pli

cad

a (

g)

4103.7

2C

arg

a A

pli

cad

a (

g)

8003.7

2C

arg

a A

pli

cad

a (

g)

503.7

2

Carg

a c

ríti

ca t

eóri

ca (

g)

1994.5

8C

arg

a c

ríti

ca t

eóri

ca (

g)

4082.2

2C

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a c

ríti

ca t

eóri

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g)

7978.3

1C

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a c

ríti

ca t

eóri

ca (

g)

498.6

4

Pro

bet

a # 1

Pro

bet

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bet

a # 3

Pro

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NO

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tud e

fect

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igual

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Bo

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La

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a te

óri

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la

pro

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na

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fect

iva

apro

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de

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de

la p

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Est

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Le

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esta

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de

la a

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Bo

squ

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osq

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o:



Figura 4.54: Obtención de la dimensión del espesor

de la probeta a ensayar.


Figura 4.55: Obtención de la dimensión de la base de

la probeta a ensayar.


Figura 4.56: Medición de los elementos de carga en

la balanza electrónica.


Figura 4.57: Equipo de ensayo de pandeo de columnas

y sus diferentes tipos de sujeción.



4.9.4 Conclusiones

Se elaboraron cuatro probetas metálicas de zinc galvanizado con módulo de elasticidad de

82 Gpa para la realización de los ensayos, cada uno de ellas presentaban las mismas

dimensione, una altura de 43.5 cm y un área de la sección transversal de 0.28 cm2. Cada ensayo

presentó los siguientes resultados:

• Para la probeta con el tipo de sujeción articulado – articulado se obtuvo una carga

critica en laboratorio igual a 2003 g. y una carga critica teórica calculada de 1994 g.

• Para la probeta con el tipo de sujeción articulado – empotrado se obtuvo una carga


• Para la probeta con el tipo de sujeción empotrado – empotrado se obtuvo una carga


• Para la probeta con el tipo de sujeción libre – empotrado se obtuvo una carga critica

en laboratorio igual a 503 g. y una carga critica teórica calculada de 498 g.


El equipo de laboratorio y el material con el que se elaboren las probetas, no permiten que

el ensayo cuente con la exactitud correcta obtenida en los cálculos realizados. Por tal motivo,

el ensayo cuenta con un error de realización, debido a que las cargas criticas teóricas, no son

valores que puedan ser aplicados exactamente con el equipo de laboratorio. Este error no impide

que se pueda aplicar cargas aproximadas a las probetas y apreciar el fenómeno del pandeo

producido en una columna con diferentes tipos de sujeción.


5. CONCLUSIONES

Mediante este trabajo de titulación, se elaboraron las Guías metodológicas para los ensayos

de laboratorio de la asignatura de Resistencia de Materiales, usando las normativas ASTM,

SAE, CTE, NEC y la bibliografía indicada. Estas fueron adaptadas acorde a las condiciones y

equipos existentes en el laboratorio perteneciente a la escuela de Ingeniería Civil de la

Universidad del Azuay. Las Guías metodológicas obtenidas son:

Guía metodológica Nº 1 - Ensayo de la resistencia a la tracción del acero y su ficha

correspondiente (Anexo 1).

Guía metodológica Nº 2 - Ensayo de la resistencia a la compresión en la madera y su ficha


Guía metodológica Nº 3 - Ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset y

su ficha correspondiente (Anexo 3).

Guía metodológica Nº 4 - Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero y su ficha


Guía metodológica Nº 5 - Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera y su

ficha correspondiente (Anexo 6).

Guía metodológica Nº 6 - Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos) y

su ficha correspondiente (Anexo 7).

Guía metodológica Nº 7 - Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos) y su ficha


Guía metodológica Nº 8 – Ensayo de flexión en vigas de madera semi – empotradas y su ficha



Guía metodológica Nº 9 - Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas y su ficha



6. BIBLIOGRAFÍA

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7. ANEXOS

Anexo 1: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a tracción del acero

Longitud de la

probeta Lt (mm)Longitud total

Diámetro mayor

(mm)

Sección roscada de la

probetaMaterial

Longitud calibrada

de la probeta Lc

(mm)

Longitud donde se

medirá el

alargamiento

Diámetro menor

(mm)

Sección reducida

donde se producira la

falla

Falla

P δ δ A ɛ σ E

(kg) (pulg) (mm) (mm2) (u) (Mpa) (Mpa)

Carga aplicadaDesplazamiento

producido

Desplazamiento

producido

Área de sección

transversal

Esfuerzo de

tracción

Dato medido en

laboratorio

Dato medido en

laboratorio

Dato medido en

laboratorio

A= (Pi*diámetro

menor ^2)/4

σ= 9.81*(P/A)

Deformación

unitaria

ɛ= δ/Lc

Módulo de

elasticidad obtenido

por la ecuación de la

flecha dada por la

teoria de elasticidad.

E=σ/ɛ



ENSAYO DE LA RESISTENCIA A TRACCIÓN DEL ACERO

NOMBRES:

FECHA: PROBETA

Valores que se mantienen significativamente

invariables en la región elasticaMòdulo de elasticidad promedio E

Observaciones:

Tipo de metal

Dúctil - Frágil


Gráfico Fuerza - Desplazamiento

Gráfico Esfuerzo de tracción - Deformación unitaria


Anexo 2: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a la compresión paralelo y

perpendicular a la fibra de la madera

Alt

ura

h (

mm

)A

(mm

2)

Áre

a de

la s

ecci

ón

tran

sver

sal

Peso

Inic

ial P

w (

g)

Pes

o o

bte

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de

la p

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mm

)A

(mm

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ón

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sal

Peso

In

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l P

w (

g)

Pes

o o

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e la

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de

la p

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(m

m)

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ial

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Long

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Peso

Seco P

s (g

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Larg

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(m

m)

Sup

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e

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Zona

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de

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de

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Tan

genc

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Long

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Peso

Seco P

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s

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sec

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Ancho b

(m

m)

Mate

rial

Esp

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hum

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Cál

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m)

Mate

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P

δ

δ

ɛ

σ

E

P

δ

δ

ɛ

σ

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(pul

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m)

(u)

(Mpa)

(M

pa)

(kg)

(pul

g)(m

m)

(u)

(Mp

a) (

Mp

a)

Car

ga a

pli

cada

Des

pla

zam

ient

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pro

duc

ido

Des

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zam

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ido

Esf

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e tr

acci

ón

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o m

edid

o e

n

labora

tori

o

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o e

n

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tori

o

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tori

o

Dat

o m

edid

o e

n

labora

tori

o

σ=

9.8

1*(

P/A

)

PR

ÁC

TIC

A D

E L

AB

OR

AT

OR

IO

RE

SIS

TE

NC

IA D

E M

AT

ER

IAL

ES

EN

SA

YO

DE

LA

RE

SIS

TE

NC

IA A

CO

MP

RE

SIÓ

N D

E L

A M

AD

ER

A

NO

MB

RE

S:

FE

CH

A:

CA

RG

A:

Pro

beta

#P

robeta

#

Val

ore

s que

se

man

tien

en s

igni

fica

tivam

ente

invar

iable

s en

la

regi

ón

elas

tica

Mòdulo

de e

last

icid

ad p

rom

edio

E

Mòdulo

de e

last

icid

ad p

rom

edio

E

Val

ore

s q

ue s

e m

anti

enen

sig

nifi

cati

vam

ente

inv

aria

ble

s en

la

regi

ón

elas

tica

Def

orm

ació

n un

itar

ia

ɛ= δ

/Lc

Def

orm

ació

n un

itar

ia

ɛ= δ

/Lc

Módul

o d

e el

asti

cidad

obte

nido p

or

la e

cuac

ión

de

la f

lech

a dad

a por

la

teori

a de

elas

tici

dad

.

E=

σ/ɛ

Mó

dul

o d

e el

asti

cidad

obte

nido

po

r la

ecu

ació

n

de

la f

lech

a dad

a p

or

la

teori

a de

elas

tici

dad

.

E=

σ/ɛ

Bosq

uejo

:O

bse

rvacio

nes:

Obse

rvacio

nes:

Bo

squejo

:


Gráfico Fuerza – Desplazamiento

Gráfico Esfuerzo de compresión - Deformación unitaria


Anexo 3: Ficha técnica para el Ensayo de contacto o aplastamiento de placas de acero

PROBETA

Resistencia a tracción del

perno fub (kg/mm2)

Dato obtenido de las

especificaciones del perno

Resistencia última del

acero de la placa fu

(kg/mm2)

Dato obtenido de las especificaciones

del acero

Coeficiente seguridad del

perno αv

Dato de diseño obtenido

(McCormac y Csernak, 2012) =

0.5


seguridad del perno αb

Dato de diseño obtenido (McCormac

y Csernak, 2012) = 0.9

Área transversal del perno

As (mm2)Dato medido en laboratorio

Diámetro agujero do

(mm)Dato medido en laboratorio

Número de pernos Coeficiente k1Dato de diseño obtenido (McCormac

y Csernak, 2012) = 2.5


ϒm2



2

Espesor de la placa t

(mm)Dato medido en laboratorio

Resistencia al cortante

Fv,Rb (kg)


ϒm2

Dato de diseño obtenido (McCormac

y Csernak, 2012) = 1.25

Resistencia al

aplastamiento Fb,Rb (kg)

Carga de falla aplicada

P (kg)Resultado del ensayo


aplastamiento (kg)P/As

Observaciones:



ENSAYO DEL ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO EN PLACAS GUSSET

NOMBRES:

Dimensiones de la probeta o placa de acero Gusset

CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTE CÁLCULO DE RESISTENCIA AL APLASTAMIENTO

Bosquejo:

FECHA:

𝐹𝑣 =𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑢𝑏 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑛

𝑚2

𝐹𝑏,𝑅𝑑 =𝛼𝑏 ∗ 𝑘1 ∗ 𝑓𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡

𝑚2


Anexo 4: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero

PROBETA #

Resistencia a tracción del perno fub

(kg/mm2)


especificaciones del perno

Resistencia última del acero de

la placa fu (kg/mm2)


especificaciones del acero

Coeficiente seguridad del perno αv



0.5


seguridad del perno αb



1

Área transversal del perno As

(mm2)Dato medido en laboratorio Diámetro del perno d (mm) Dato medido en laboratorio

Número de pernos 1 Coeficiente k1



2.5

Coeficiente de seguridad ϒm2



1.25

Espesor de la placa t (mm) Dato medido en laboratorio

Resistencia al cortante Fv,Rb (kg) Coeficiente de seguridad ϒm2



1.25

Resistencia al aplastamiento

Fb,Rb (kg)

Carga de falla aplicada P (kg) Resultado del ensayoResistencia máxima de

cortante (kg/mm2)Resultado del ensayo

Dimensiones de la placa de acero



ENSAYO DE ESFUERZO CORTANTE EN PERNOS DE ACERO

NOMBRES:

FECHA:

CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTE CÁLCULO DE RESISTENCIA AL APLASTAMIENTO

Observaciones: Bosquejo:

𝐹𝑣 =𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑢𝑏 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑛

𝑚2

𝐹𝑏,𝑅𝑑 =𝛼𝑏 ∗ 𝑘1 ∗ 𝑓𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡

𝑚2


Anexo 5: Tablas para especificaciones de pernos de acero

Tabla 7.1

Especificaciones SAE para pernos de acero.

Fuente: (Budynas & Nisbett, 2012, p. 415).


Tabla 7.2

Especificaciones ASTM para pernos de acero.



Tabla 7.3

Especificaciones métricas para pernos de acero.



Anexo 6: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la

madera

Área de Corte


Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

Número de

la probeta

Zona de obtencion de

la muestra:

Tangencial, Radial o

Longitudinal (T-R-

LT)

Sección donde se

producira el

corte = b*a

Carga con la

cual la madera

se fractura

τ= 9.81*(P/A)

Peso obtenido de

la muestra de la

probeta

Peso obtenido

despues del

secado

Cálculo del

contenido de

humedad

Área de Corte


Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

Área de Corte


Contenido de

Humedad

(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %

Obtención de la

muestra Muestra #

Observaciones:

Bosquejo: Esquema de fractura de la probeta

Observaciones: Bosquejo:

Muestra #



ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE PARALELO A LAS FIBRAS DE LA MADERA

NOMBRES:

FECHA:

Obtención de la

muestra

Obtención de la

muestra Muestra #

Observaciones:

Bosquejo:


Gráfico del Esfuerzo cortante – Contenido de humedad


Anexo 7: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas – cuatro

puntos

Longitud - a

(mm)

Distancia entre

el apoyo y la

carga

Área de la sección

transversal

Base b (mm)Sección

transversal

Peso obtenido de la

muestra de la probeta

Altura h (mm)Sección

transversal

Peso obtenido despues

del secado

Luz L (mm)Distancia entre

apoyos

Cálculo del contenido

de humedad

Inercia I (mm4)

P δ δ Mo S σ Ef Y σ

(kg) (pulg) (mm) (kg*mm) (mm4/mm) (Mpa) (Mpa) (mm) (Mpa)

Carga aplicadaDeflexión

producidad

Deflexión

producidad

Momento en el

punto centro de

la Luz = P*a

Módulo de sección de

área = I/C Esfuerzo Normal

Módulo de flexión

obtenido por la

ecuación de la flecha

dada por la teoria de

elasticidad

Altura de la

viga

Esfuerzo

normal en la

sección de la

viga

C = h/2

Bosquejo: Esquema de la fractura producida, para el caso de ensayar el

material hasta su fractura

Observaciones:

ESFUERZO NORMAL EN

LA SECCIÓN

TRANSVERSAL

ESFUERZO NORMAL, MÓDULO DE SECCIÓN Y MÓDULO DE FLEXIÓN

Valores que se mantienen significativamente

invariables en la región elasticaMódulo de flexión promedio Ef


Área (mm2)

Peso Seco Ps (g)

Peso Inicial Pw (g)

Contenido de humedad %


PROBETA #:FECHA

NOMBRES:

ENSAYO DEL ESFUERZO NORMAL Y DEFLEXIÓN EN VIGAS - CUATRO PUNTOS

I = 𝑏∗

2

σ= 𝑜

∗ 9,81


Gráfico de la Carga aplicada – Deflexión

Gráfico de la distribución del Esfuerzo normal en la sección transversal

GRÁFICO ESFUERZO-DEFORMACIÓN

Conclusiones:


Conclusiones:


Anexo 8: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos

Base t (mm)Sección

transversalÁrea A (mm2)

Área de la

sección

transversal


transversal

Peso Inicial Pw

(g)

Peso obtenido

de la muestra

de la probeta


apoyosPeso Seco Ps (g)

Peso obtenido

despues del

secado

Inercia I

(mm4)

Contenido de

humedad %

Cálculo del

contenido de

humedad

P δ δ Vo Q τ Ef

(kg) (pulg) (mm) (kg) (mm*mm2) (Mpa) (Mpa)

Carga aplicada

Esfuerzo cortante

máximo producido

en la fibra del eje

neutro.

Deflexión

producida

Módulo de flexión

calculada con la

ecuación de la

flecha dada por la

teoria de

elasticidad.

Deflexión

producida

Bosquejo: Esquema de la fractura producida en caso de

ensayar el material hasta su fractura.

NOMBRES:

PROBETA #:



FECHA:

ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS - TRES PUNTOS

τ * 9.81

Momento Estático

Cortante

producido en el

punto de

analisis de la

viga = P/2

Valores que se mantienen significativamente invariables en

la región elasticaMódulo de flexión promedio Ef

ESFUERZO CORTANTE Y MÓDULO DE FLEXIÓN

𝑄 = ∗ 𝐴

I= 𝑏∗

2



y a´ A´ Q

(mm) (mm²) (mm²) (mm) (mm*mm2)

τ

(Mpa)

Centroide del

A´

ESFUERZO CORTANTE EN LA SECCIÓN DE LA VIGA

Esfuerzo cortante en la sección

transversal.

τ * 9.81

Observaciones:

Eje coordenado

(y), con origen

en el eje neutro

de la sección

transversal.

Área bajo la

fibra de la

sección

analizada

Área sobre la fibra

de la sección

analizada

∗ 𝐴


Conclusiones:


Gráfico de la distribución del Esfuerzo cortante en la sección transversal


Conclusiones:


Anexo 9: Ficha técnica para el Ensayo a flexión en vigas de madera semi - empotradas

Base t (mm)Sección

transversalÁrea A (mm2)

Área de la sección

transversal


transversalPeso Inicial Pw (g)

Peso obtenido de la

muestra de la probeta


apoyosPeso Seco Ps (g)

Peso obtenido despues del

secado

Inercia I (mm4)Contenido de humedad

%

Cálculo del contenido de

humedad

P δ δ Ef

(kg) (pulg) (mm) (Mpa)

Carga aplicada Deflexión producidad Deflexión producidad

DESPLAZAMIENTO Y FLECHA GENERADA

Bosquejo: Esquema de la fractura

producida en caso de ensayar el

material hasta su fractura

Observaciones:

ENSAYO DE FLEXIÓN EN VIGAS DE MADERA SEMI-EMPOTRADAS



NOMBRES:

FECHA: PROBETA #

Módulo de flexión promedio Ef Valores que se mantienen significativamente

invariables en la región elastica

Módulo de

elasticidad

calculada con la

ecuación de la

flecha dada por la

teoria de

elasticidad

I = 𝑏∗

2




Conclusiones:


Anexo 10: Ficha técnica para el Ensayo de la carga crítica y pandeo de columnas

Bas

e d

e la

pro

bet

a a

(cm

)S

ecci

ón

de

la

pro

bet

aB

ase

de

la p

rob

eta

a (c

m)

Sec

ció

n d

e la

pro

bet

aB

ase

de

la p

rob

eta

a (c

m)

Sec

ció

n d

e la

pro

bet

aB

ase

de

la p

rob

eta

a (c

m)

Sec

ció

n d

e la

pro

bet

a

Esp

eso

r d

e la

pro

bet

a b

(cm

)S

ecci

ón

de

la

pro

bet

aE

spes

or

de

la p

rob

eta

b (

cm)

Sec

ció

n d

e la

pro

bet

aE

spes

or

de

la p

rob

eta

b (

cm)

Sec

ció

n d

e la

pro

bet

aE

spes

or

de

la p

rob

eta

b (

cm)

Sec

ció

n d

e la

pro

bet

a

Tip

o d

e su

jeci

ón

Art

icu

lad

o-

Art

icu

lad

oT

ipo

de

suje

ció

nA

rtic

ula

do

-

Em

po

trad

oT

ipo

de

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ció

nE

mp

otr

ado

-

Em

po

trad

oT

ipo

de

suje

ció

nL

ibre

-Em

po

trad

o

Mó

du

lo d

e el

asti

cid

ad d

el

mat

eria

l E

(g

/cm

2)

Dat

o o

bte

nid

o d

el

mat

eria

l u

sad

o p

ara

la p

rob

eta

Mó

du

lo d

e el

asti

cid

ad d

el

mat

eria

l E

(g

/cm

2)

Dat

o o

bte

nid

o d

el

mat

eria

l u

sad

o p

ara

la p

rob

eta

Mó

du

lo d

e el

asti

cid

ad d

el

mat

eria

l E

(g

/cm

2)

Dat

o o

bte

nid

o d

el

mat

eria

l u

sad

o p

ara

la p

rob

eta

Mó

du

lo d

e el

asti

cid

ad d

el

mat

eria

l E

(g

/cm

2)

Dat

o o

bte

nid

o d

el

mat

eria

l u

sad

o p

ara

la p

rob

eta

Lo

ngi

tud

de

la c

olu

mn

a h

(cm

)L

on

gitu

d d

e la

pro

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aL

on

gitu

d d

e la

co

lum

na

h (

cm)

Lo

ngi

tud

de

la

pro

bet

aL

on

gitu

d d

e la

co

lum

na

h (

cm)

Lo

ngi

tud

de

la

pro

bet

aL

on

gitu

d d

e la

co

lum

na

h (

cm)

Lo

ngi

tud

de

la

pro

bet

a

Mom

ento

de

iner

cia

I (

cm4

)S

ecci

ón

tra

nsv

ersa

lM

om

ento

de

iner

cia

I (

cm4

)S

ecci

ón

tra

nsv

ersa

lM

om

ento

de

iner

cia

I (

cm4

)S

ecci

ón

tra

nsv

ersa

lM

om

ento

de

iner

cia

I (

cm4

)S

ecci

ón

tra

nsv

ersa

l

Fac

tor

de

lon

gitu

d e

fect

iva

kD

ato

ob

ten

ido

po

r

tab

las

Fac

tor

de

lon

gitu

d e

fect

iva

kD

ato

ob

ten

ido

po

r

tab

las

Fac

tor

de

lon

gitu

d e

fect

iva

kD

ato

ob

ten

ido

po

r

tab

las

Fac

tor

de

lon

gitu

d e

fect

iva

kD

ato

ob

ten

ido

po

r

tab

las

Ca

rga

Ap

lica

da

(g

)D

ato

ob

ten

ido

del

ensa

yo

Ca

rga

Ap

lica

da

(g

)D

ato

ob

ten

ido

del

ensa

yo

Ca

rga

Ap

lica

da

(g

)D

ato

ob

ten

ido

del

ensa

yo

Ca

rga

Ap

lica

da

(g

)D

ato

ob

ten

ido

del

ensa

yo

Ca

rga

crí

tica

teó

rica

(g

)D

ato

ob

ten

ido

po

r

calc

ulo

Ca

rga

crí

tica

teó

rica

(g

)D

ato

ob

ten

ido

po

r

calc

ulo

Ca

rga

crí

tica

teó

rica

(g

)D

ato

ob

ten

ido

po

r

calc

ulo

Ca

rga

crí

tica

teó

rica

(g

)D

ato

ob

ten

ido

po

r

calc

ulo

PR

ÁC

TIC

A D

E L

AB

OR

AT

OR

IO

EN

SA

YO

DE

LA

CA

RG

A C

RÍT

ICA

Y P

AN

DE

O E

N C

OL

UM

NA

S

RE

SIS

TE

NC

IA D

E M

AT

ER

IAL

ES

Ob

serv

aci

on

es:

Ob

serv

aci

on

es:

Bo

squ

ejo

:B

osq

uej

o:

Ob

serv

aci

on

es:

NO

MB

RE

S :

FE

CH

A:

Bo

squ

ejo

:O

bse

rva

cio

nes

:B

osq

uej

o:

Pro

bet

a #

Pro

bet

a #

Pro

bet

a #

Pro

bet

a #


Anexo 11: Programación en Matlab

Funciones elaboradas para realizar el análisis de los datos obtenidos de los Ensayos de

laboratorio

SmoothCurve function[B]=SmoothCurve(A)

% DEVUELVE UNA MATRIZ DE NX2 EN LA CUAL LOS VALORES DE CADA FILA ESTAN

SEPARADOS POR UNA MAGNITUD CONSTANTE, SE PUEDE USAR PARA TRANSFORMAR

CANTIDADES DISPERSAS, EN CANTIDADES LINEALES

% [B]=smoothcurve(A)

% A= [ MATRIZ DE NX2 INGRESADA ]

% B= [ MATRIZ DE NX2 DEVUELTA ]

D=smooth(A(:,1));

S=smooth(A(:,2));

B=[D S];

figure

plot(B(:,1),B(:,2),'Xb')

grid on

hold on

plot(B(:,1),B(:,2),'b')

end

CurvePoint

function[Du_St]=CurvePoint(D_S)

% DEVUELVE UNA MATRIZ DE NX2 EN LA CUAL SE INTERPOLA LOS VALORES ENTRE FILAS DE

LA MATRIZ INGRESADA PARA OBTENER UNA MATRIZ CON VALORES CONSECUTIVOS

% [Du_St]= curvepoint(D_S)

% D_S= [ MATRIZ DE NX2 INGRESADA ]

% D_S(:,1) COLUMNAS DE DEFORMACIONES UNITARIAS

% D_S(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS

% Du_St= [ MATRIZ DE MX2 DEVUELTA ]

Du=[0:0.0001:D_S(end,1)];

St=interp1(D_S(:,1),D_S(:,2),Du,'spline');

Du_St=[Du' St'];

figure

plot(Du_St(:,1),Du_St(:,2),'b')

hold on

end

ElasticMod

function[Eprome]=ElasticMod(D_S,Rango)

% DEVUELVE EL VALOR PROMEDIO DE UNA MATRIZ DE PENDIENTES O MOD. ELAST

GENERADA A PARTIR DE LA MATRIZ D_S [DEFORMACION ESFUERZO]

EL PROMEDIO OBTENIDO E HACE REFERENCIA A LA ZONA LINEAL DE LA CURVA

DEFORMACION ESFUERZO

% [Eprome]=elasticmod(S_D)

% S_D= [MATRIZ DE NX2 INGRESADA]

% S_D(:,1)=COLUMNA DE ESFUERZOS

% S_D(:,2)=COLUMNA DE DEFORMACIONES UNITARIAS

% Rango= [RANGO VISUAL DONDE SE APRECIA LA ZONA LINEAL DE LA

% CURVA ESF-DEF]

% Rango(1,1)= INICIO

% Rango(1,2)= FIN

% Eprome= MEDIA DE LA PARTE LINEAL DE LA GRAFICA ESFUERZO-DEFORMACION

% NOTA: PARA DEFINIR LA PARTE LINEAL DE LA GRAFICA, SE OBTIENE EL PORCENTAJE ENTRE

100*E(i)/E(i+1) Y LOS VALORES CONSECUTIVOS QUE ESTEN EN UN RANGO DE 101% A 99% SE

CONSIDERAN COMO VALORES QUE SIGUEN UNA TENDENCIA O LINEALIDAD


R=find(D_S(:,1)>=Rango(1,1) & D_S(:,1)<=Rango(1,2));

cnt1=1;

for i=R(2):R(end);% DEVUELVE UNA MATRIZ E DE VALORES DE PENDIENTE O MODULO ELASTICO

OBTENIDOS ENTRE DOS PUNTOS

E(cnt1)=(D_S(i,2)-D_S(i-1,2))/(D_S(i,1)-D_S(i-1,1));

cnt1=cnt1+1;

end

cnt2=1;

for i=1:length(E)-1; % DEVUELVE UNA MATRIZ DE PORCENTAJES OBTENIDOS ENTRE DOS

VALORES DE LA MATRIZ E

PorcE(cnt2)=(E(i))/(E(i+1))*100;

cnt2=cnt2+1;

end

format short g

Eprome=mean(E); % DEVUELVE LA MEDIA DE LA MATRIZ DE VALORES QUE SE CONSIDERAN

COMO LINEALES O ELASTICOS

ElastLine

function[Xe_Ye]=ElastLine(D_S,M)

% CREA UNA RECTA PARALELA A LA CURVA, CON INICIO EN 0.002 Y PENDIENTE E

% [Xe_Ye]= Elastline(D_S,M,DELTA)

% D_S= [ MATRIZ DE NX2 INGRESADA ]

% D_S(:,1) COLUMNAS DE DEFORMACIONES UNITARIAS

% D_S(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS

% M= PENDIENTE PARA FORMAR LA RECTA

% Xe_Ye= [ MATRIZ DE NX2 DEVUELTA ]

Xelas=[0.002:D_S(2,1)-D_S(1,1):D_S(end,1)*1.3];

Yelas=[M*(Xelas-0.002)];

Xe_Ye=[Xelas' Yelas'];

figure

plot(D_S(:,1),D_S(:,2),'b');

hold on

plot(Xelas,Yelas,'r')

axis([0 max(D_S(:,1)) 0 max(D_S(:,2))])

end

ElastLimt

function[Limt]=ElastLimt(Rect,Curve)

% DEVUELVE EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE LA CURVA Y LA RECTA

% Curve= [MATRIZ DE NX2 INGRESADA]

% Curve(:,1) COLUMNA DE DEFORMACIONES UNITARIAS

% Curve(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS

% Rect= [ MATRIZ DE MX2 INGRESADA ]

% Rect(:,1) COLUMNA DE DEFORMACIONES UNITARIAS

% Rect(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS

% Limt= VALOR DEL LIMITE ELASTICO [DEFORMACION ESFUERZO]

for i=1:length(Curve);

for j=1:length(Rect);

if round(Rect(j,1),5)==round(Curve(i,1),5);

if round(Rect(j,2)/Curve(i,2),4)>=0.99 & round(Rect(j,2)/Curve(i,2),4)<=1;

CntDS=i;

CntXY=j;

end

end

end

end

Limt=[Curve(CntDS,1) Curve(CntDS,2)];

figure

plot(Curve(:,1),Curve(:,2),'b')

grid on


hold on

plot(Limt(1,1),Limt(1,2),'hk')

plot(Rect(:,1),Rect(:,2),'r')

plot([Limt(1,1) Limt(1,1)],[0 Limt(1,2)],'g')

plot([0 Limt(1,1)],[Limt(1,2) Limt(1,2)],'g')

axis([0 Curve(CntDS,1)*1.1 0 Curve(CntDS,2)*1.1])

end


Análisis de los resultados obtenidos de los Ensayos de laboratorio

Ensayo a tracción en el acero

% INGRESO DE LA MATRIZ CON LOS DATOS OBTENIDOS DEL ENSAYO

MATRIZ=[DESPLAZAMIENTO(MM) CARGA (KGF)]

A=[0 0

1.2901 443.8301212

1.36906 470.9945475

3.10896 1069.568323

4.6228 1590.371199

… …]

% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA

[B]=smoothcurve(A);

% FUNCION PARA SUAVIZAR LOS VALORES INGRESADOS EN LA MATRIZ A

[C]=curvepoint(B);

% FUNCION DE INTERPOLACION ENTRE VALORES INGRESADOS. DA CONTINUIDAD A LA CURVA

DESCRITA POR LOS VALORES DE LA MATRIZ [C]

-----------------------------------------------------------------

% GRÁFICA CARGA VS DESPLAZAMIENTO

figure

plot(A(:,1),A(:,2),'b')

hold on

grid on

plot(C(:,1),C(:,2),'r')

ylabel('CARGA (Kgf)')

xlabel('DESPLAZAMIENTO O ALARGAMIENTO (mm)')

legend('CARGA VS DESPLAZAMIENTO (ENSAYO)','CARGA VS DESPLAZAMIENTO (SUAVIZADA)')

plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')

-----------------------------------------------------------------

% INGRESO DE LA MATRIZ CON LOS DATOS OBTENIDOS DEL ENSAYO

% MATRIZ=[DEFORMACION (U) ESFUERZO (MPA)]

A1=[0.0000 0.000

0.0184 55.436

0.0196 58.831

0.0444 133.593

… …]

-----------------------------------------------------------------

% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO

[B1]=smoothcurve(A1);

% FUNCION PARA SUAVIZAR LOS VALORES INGRESADOS EN LA MATRIZ A

[C1]=curvepoint(B1);

% FUNCION DE INTERPOLACION ENTRE VALORES INGRESADOS.

% DA CONTINUIDAD A LA CURVA DESCRITA POR LOS VALORES DE LA MATRIZ [C1]

Rng=[0 0.2];

% VISUALMENTE EN LA GRAFICA OBTENIDA CON LA FUNCION CURVEPOINT, SE SELECCIONA

UN RANGO [LIM.INICIAL LIM.FINAL] DE VALORES DONDE SE VISUALICE EL RANGO ELASTICO

DE LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACION

Eprome=elasticmod(C1,Rng);

% OBTIENE LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL RANGO ELASTICO SELECCIONADO

Recta=Elastline(C1,Eprome);

% CREA UNA RECTA PARALELA A LA CURVA, CON INICIO EN 0.002 Y PENDIENTE Eprome

Limt=Elastlimt(Recta,C1);

% DEVUELVE EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE LA CURVA Y LA RECTA DE LA CURVA

ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA

% GRAFICA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA

figure(1)

plot(A1(:,1),A1(:,2),'b')

hold on

grid on


plot(C1(:,1),C1(:,2),'r')

ylabel('ESFUERZO (MPA)')

xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)')

legend('ESFUERZO VS DEFORMACIÓN UNITARIA (ENSAYO)','ESFUERZO VS DEFORMACIÓN

UNITARIA (SUAVIZADA)')

plot(A1(:,1),A1(:,2),'Xb')

figure(2)

plot(C1(:,1),C1(:,2),'b')

axis([0 1 0 max(C1(:,2))*1.1])

ylabel('ESFUERZO (MPA)')

xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)')

hold on

grid on

-----------------------------------------------------------------

% LINEA DE TENCENCIA O RECTA CON PENDIENTE E

plot(Recta(:,1),Recta(:,2),'r')

hold on

-----------------------------------------------------------------

% GRAFICA DE LOS PUNTOS DONDE SE UBICAN LOS ESFUERZOS: LIMITES-MAXIMOS-ULTIMOS

plot([Limt(1,1) Limt(1,1)],[0 Limt(1,2)],'g')

plot([0 Limt(1,1)],[Limt(1,2) Limt(1,2)],'g')

plot(Limt(1,1),Limt(1,2),'hk')

legend('CURVA ESFUERZO VS DEFORMACIÓN UNITARIA','RECTA ESFUERZO VS DEFORMACIÓN

UNITARIA')

annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO')

text(0,0,'(0.22 u, 653.04 MPA)')

k=find(C1(:,2)==max(C1(:,2)))

plot(C1(k,1),max(C1(:,2)),'hk')

annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','ESFUERZO MÁXIMO')

text(0,0,'(0.84 u, 884.04 MPA)')

plot(C1(end,1),C1(end,2),'hk')

annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','ESFUERZO ÚLTIMO')

text(0,0,'(0.94 u, 696.42 MPA)')

text(0,0,'E= 3008 MPA')

Ensayo a compresión de la madera paralelo a la fibra

% INGRESO DE LAS MATRICES CON LOS DATOS OBTENIDOS DE LOS ENSAYOS

% MATRIZ{#ENSAYO} = [DESPLAZAMIENTO(MM) CARGA(KGF) DEFORMACION(U)

ESFUERZO(MPA)]

A{1}=[0.0000 0.0 0.00000 0.0000

0.1245 200.0 0.00083 0.7959

0.2794 600.0 0.00186 2.3877

… … … …];

A{2}=[0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.1626 500.0000 0.0011 2.0895

0.3175 1000.0000 0.0021 4.1791

0.4394 1500.0000 0.0029 6.2686

… … … …];

A{3}=[0.0000 0.0 0.00000 0.0000

0.1270 500.0 0.00085 2.0422

0.2235 1000.0 0.00149 4.0844

0.2921 1500.0 0.00194 6.1266

… … … …];

A{4}=[0.000 0.000 0.0000 0.000


0.076 500.000 0.0005 2.090

0.152 1000.000 0.0010 4.179

… … … …];

-----------------------------------------------------------------

% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #1

B1=smoothcurve(A{1}(:,1:2));

% FUNCION PARA SUAVIZAR LOS VALORES OBTENIDOS

C1=curvepoint(B1);

% FUNCION DE INTERPOLACION ENTRE VALORES INGRESADOS. DA CONTINUIDAD A LA CURVA



C2=curvepoint(B2);



C3=curvepoint(B3);



C4=curvepoint(B4);

% GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO

figure

plot(A{1}(:,1),A{1}(:,2),'Xb')

hold on

plot(A{2}(:,1),A{2}(:,2),'Xg')

hold on

plot(A{3}(:,1),A{3}(:,2),'Xr')

hold on

plot(A{4}(:,1),A{4}(:,2),'Xm')

hold on

plot(C1(:,1),C1(:,2),'b')

plot(C2(:,1),C2(:,2),'g')

plot(C3(:,1),C3(:,2),'r')

plot(C4(:,1),C4(:,2),'m')

grid on

ylabel('CARGA (KGF)')


legend('PROBETA #1 - C.H=16.7% ','PROBETA #2 - C.H=16.8% ','PROBETA #3 - C.H=16.1% ','PROBETA

#4 - C.H=13.9% ')

title({'GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO';'COMPRESIÓN PARALELO A LA FIBRA'})

-----------------------------------------------------------------

% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA

% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #1

b1=smoothcurve(A{1}(:,3:4));

% SUAVIZA LOS VALORES INGRESADOS

c1=curvepoint(b1);

% INTERPOLA ENTRE LOS VALORES PARA DAR CONTINUIDAD A LA CURVA

r1=[0.005 0.009]

% VISUALMENTE EN LA GRAFICA OBTENIDA CON LA FUNCION CURVEPOINT SE SELECCIONA

UN RANGO [LIM.INICIAL LIM.FINAL] DE VALORES DONDE SE VISUALICE EL RANGO ELASTICO

DE LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACION

E1=elasticmod(c1,r1)

% OBTIENE LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL RANGO SELECCIONADO

rect1=Elastline(c1,E1)

% CREA UNA RECTA PARALELA A LA CURVA, CON INICIO EN 0.002 Y PENDIENTE E

Limt1=Elastlimt(rect1,c1)

% DEVUELVE EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE LA CURVA Y LA RECTA DE LA CURVA

ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #2


c2=curvepoint(b2);


r2=[0.0055 0.0085]

E2=elasticmod(c2,r2)

rect2=Elastline(c2,E2)

Limt2=Elastlimt(rect2,c2)

% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA - PROBETA #3 PROBETA DESCARTADA POR

PRESENTAR UNA FALLA DE ESCOBA O RODAMIENTO FINAL, COMO LOS ESPECIFICA EN LA

TABLA 3.1 TIPOS DE FALLA QUE SE PRODUCEN AL REALIZAR ENSAYOS A COMPRESION



c4=curvepoint(b4);

r4=[0.003 0.006]

E4=elasticmod(c4,r4);

rect4=Elastline(c4,E4);

Limt4=Elastlimt(rect4,c4);

-----------------------------------------------------------------

% GRAFICAS ESFUERZO VS DEFORMACION

figure

plot(A{1}(:,3),A{1}(:,4),'Xb');

hold on

plot(A{2}(:,3),A{2}(:,4),'Xg');

hold on

plot(A{4}(:,3),A{4}(:,4),'Xm');

hold on

plot(c1(:,1),c1(:,2),'b');

plot(c2(:,1),c2(:,2),'g');

plot(c4(:,1),c4(:,2),'m');

grid on

title({'GRÁFICAS ESFUERZO VS DEFORMACIÓN';'COMPRESIÓN PARALELO A LA FIBRA'});

ylabel('ESFUERZO (MPA)');

xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)');

legend('PROBETA #1- C.H= 16.7% - E= 4017.3MPA','PROBETA #2- C.H=16.8% -E= 4091.3MPA','PROBETA

#4- C.H=13.9% - E= 4592.6MPA')

hold on

% LINEA DE TENCENCIA O RECTA CON PENDIENTE E PROMEDIO, QUE ES EL PROMEDIO DE LOS

MODULOS DE ELASTICIDAD DE LAS CURVAS OBTENIDAS DE LOS ENSAYO

EX=0.015;

EM=(E1+E2+E4)/3;

EY=[EM*(EX-0.002)];

plot([0.002 EX],[0 EY],'r');

text(0,0,'(LÍNEA DE TENDENCIA)');

text(0,0,'(E= 4233.7MPA)');

hold on


text(0,0,'(0.0092 u, 28.95 MPA)');

text(0,0,'(0.0092 u, 29.57 MPA)');

text(0,0,'(0.0107 u, 40.10 MPA)');

plot(Limt1(1,1),Limt1(1,2),'hk');



annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO');




Ensayo a compresión de la madera perpendicular a la fibra

% INGRESO DE LAS MATRICES CON LOS DATOS OBTENIDOS DE LOS ENSAYOS

% MATRIZ{#ENSAYO}=[DESPLAZAMIENTO(MM) CARGA(KGF) DEFORMACION(U)

ESFUERZO(MPA)]

A{1}=[0.0000 0.0 0.0000 0.0000

0.1270 210.0 0.0008 0.8357

0.2540 482.0 0.0017 1.9181

… … … …];

A{2}=[0.0000 0.0 0.0000 0.0000

0.1270 221.0 0.0008 0.8830

0.2540 446.0 0.0017 1.7820

0.3810 631.0 0.0025 2.5212

… … … …];

A{3}=[0.0000 0.0 0.0000 0.0000

0.1270 269.0 0.0008 1.1242

0.2540 506.0 0.0017 2.1146

0.3810 691.0 0.0025 2.8878

… … … …];

-----------------------------------------------------------------



C1=curvepoint(B1);



C2=curvepoint(B2);



C3=curvepoint(B3);

-----------------------------------------------------------------

% GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO

figure(1)

plot(A{1}(:,1),A{1}(:,2),'Xb')

hold on

plot(A{2}(:,1),A{2}(:,2),'Xg')

hold on

plot(A{3}(:,1),A{3}(:,2),'Xr')

hold on

plot(C1(:,1),C1(:,2),'b')

plot(C2(:,1),C2(:,2),'g')

plot(C3(:,1),C3(:,2),'r')

grid on

ylabel('CARGA (KGF)')


legend('PROBETA #1 - C.H=9.33% ','PROBETA #2 - C.H=15.0% ','PROBETA #3 - C.H=15.1% ')

title({'GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO';'COMPRESIÓN PERPENDICULAR A LA FIBRA'})

-----------------------------------------------------------------

% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA%



c1=curvepoint(b1);

r1=[0.002 0.006];




% DE LA CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #2



c2=curvepoint(b2);

r2=[0.0015 0.0035];






c3=curvepoint(b3);

r3=[0.0015 0.0035];




-----------------------------------------------------------------

% GRAFICAS ESFUERZO VS DEFORMACION

figure(2)

plot(A{1}(:,3),A{1}(:,4),'Xb');

hold on

plot(A{2}(:,3),A{2}(:,4),'Xg');

hold on

plot(A{3}(:,3),A{3}(:,4),'Xc');

hold on

plot(c1(:,1),c1(:,2),'b');

plot(c2(:,1),c2(:,2),'g');

plot(c3(:,1),c3(:,2),'c');

grid on

title({'GRÁFICAS ESFUERZO VS DEFORMACIÓN';'COMPRESIÓN PERPENDICULAR A LA FIBRA'});

ylabel('ESFUERZO (MPA)');

xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)');

legend('PROBETA #1 - C.H=9.33% ','PROBETA #2 - C.H=15.0% ','PROBETA #3 - C.H=15.1% ')

hold on

% LINEA DE TENCENCIA O RECTA CON PENDIENTE E PROMEDIO, QUE ES EL PROMEDIO DE LOS

MODULOS DE ELASTICIDAD DE LAS CURVAS OBTENIDAS DE LOS ENSAYO

EX1=0.015;

EM1=(E2+E3)/2;

EY1=[EM1*(EX1-0.002)];

EX2=0.015;

EM2=E1;

EY2=[EM2*(EX2-0.002)];

plot([0.002 EX1],[0 EY1],'r');

plot([0.002 EX2],[0 EY2],'r');

text(0,0,'(LÍNEA DE TENDENCIA)');

text(0,0,'(E1= 1325 MPA)');

text(0,0,'(E2= 779 MPA)');

hold on


text(0,0,'(0.0108 u, 11.70 MPA)');

text(0,0,'(0.0096 u, 5.96 MPA)');

text(0,0,'(0.0108 u, 6.87 MPA)');








Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas - cuatro puntos

% MATRIZ=[DESPLAZAMIENTO (MM) CARGA (KGF)]

A=[0.00 0

2.07 1000

2.40 1200

… …];

% CURVA CARGA VS DESPLAZAMIENTO

B=smoothcurve(A);

C=curvepoint(B);

% GRÁFICA CARGA VS DESPLAZAMIENTO

figure(1)

plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')

hold on

grid on

plot(C(:,1),C(:,2),'r')


xlabel('DEFLEXIÓN (mm)')

title({'FLEXIÓN - ENSAYO A CUATRO PUNTOS'})

legend('CARGA VS DEFLEXIÓN (ENSAYO)','CARGA VS DEFLEXIÓN (SUAVIZADA)')

plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')

annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','COMPORTAMIENTO ELASTICO')

plot(7,3400,'or')

text(0,0,'Ef= 487 MPA')

text(0,0,'(7.02 mm; 3400 Kgf)')

text(7,3400,'Mom.max (Centro de la Luz)= 799000 kg*mm')

-----------------------------------------------------------------

% MATRIZ= [ESFUERZO NORMAL (MPA) ALTURA DE LA VIGA (MM)]

A1= [41.80368 75

36.22986 65

30.65603 55

… …];

% GRAFICA ESFUERZO NORMAL(MPA) VS ALTURA DE LA VIGA (MM)

figure (2)

plot(A1(:,1),A1(:,2),'b')

hold on

plot([0 max(A1(:,1))],[max(A1(:,2)) max(A1(:,2))],'b')

plot([0 min(A1(:,1))],[min(A1(:,2)) min(A1(:,2))],'b')

hold on

xlabel('ESFUERZO NORMAL (MPA)')

ylabel('ALTURA (mm)')

title({'DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO NORMAL';'SECCIÓN TRANSVERSAL - VIGA

RECTANGULAR'})

hold on

grid on

for i=1:length(A1)

linea=line([0 A1(i,1)],[A1(i,2) A1(i,2)],'color','b') % [xi xf] [yi yf]

end

a=[-100 0 0 -100];

h=[75 75 -75 -75];

plot([-100 100],[0 0],'r')

axis([min(A1(:,1))*1.1 max(A1(:,1))*1.1 min(A1(:,2))*1.1 max(A1(:,2))*1.1])

plot(a,h,'k','LineWidth',2)

legend('ESF.NORMAL VS ALTURA')

text(0,0,'(DEFLEXIÓN: 7mm; CARGA: 3400kg)')

text(-1.8,2.5,'Esf.max a compresiòn= 41.8 Mpa')

text(-1.8,2.5,'Esf.max a tracciòn= 41.8 Mpa')

text(-1.8,2.5,'COMPRESIÒN')

text(-1.8,2.5,'TRACCIÒN')

text(-1.8,2.5,'EJE NEUTRO')


text(-1.8,2.5,'CONTENIDO DE HUMEDAD = 18% ')

Ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos

% MATRIZ_1= [DESPLAZAMIENTO (MM) CARGA (KGF)]

% MATRIZ_2= [ESF. CORTANTE (MPA) ALTURA (MM)]

A1=[0.00 0.00

1.22 80.00

1.82 120.00

2.47 160.00

3.31 220.00

… …];

A2=[0.00 75

402.86 65

748.18 55

… …];

-----------------------------------------------------------------

% CURVA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO

B1=smoothcurve(A1);

C1=curvepoint(B1);

-----------------------------------------------------------------

% GRÁFICA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO

figure(1)

plot(A1(:,1),A1(:,2),'Xb')

hold on

grid on

plot(C1(:,1),C1(:,2),'r')



title({'FLEXIÓN - ENSAYO A TRES PUNTOS'})


plot(A1(:,1),A1(:,2),'Xb')


plot(10.72,700,'or')

text(0,0,'Ef= 958 MPA')

text(0,0,'(10.72 mm; 700 Kgf)')

text(0,0,'Cort.max absoluto= 350 kg')

-----------------------------------------------------------------

% GRÁFICA ESFUERZO CORTANTE VS ALTURA DE LA VIGA(MM)

figure(2)

plot(A2(:,1),A2(:,2),'b')

hold on

xlabel('ESFUERZO CORTANTE (MPA)')

ylabel('ALTURA (mm)')

title({'DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE';'SECCIÓN TRANSVERSAL - VIGA

RECTANGULAR'})

hold on

grid on

for i=1:length(A2)

linea=line([0 A2(i,1)],[A2(i,2) A2(i,2)],'color','b')% [xi xf] [yi yf]

end

a=[-500 0 0 -500];

h=[75 75 -75 -75];

plot([-500 2000],[0 0],'r')

axis([-200 max(A2(:,1))*1.1 min(A2(:,2))*1.1 max(A2(:,2))*1.1])

plot(a,h,'k','LineWidth',2)

legend('ESF.NORMAL VS ALTURA')

text(0,0,'(DEFLEXIÓN: 10.72mm; CARGA: 700kg)')

text(-1.8,2.5,'Esf. Cortante max= 1716 Mpa')


text(-1.8,2.5,'EJE NEUTRO')

text(-1.8,2.5,'CONTENIDO DE HUMEDAD = 14% ')

Ensayo a flexión, viga semi - empotrada

% MATRIZ=[DESPLAZAMIENTO (MM) CARGA (KGF)]

A=[0.00 0.00

0.08 150.00

0.10 300.00

0.16 370.00

… …];

% CURVA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO

B=smoothcurve(A);

C=curvepoint(B);

% GRÁFICA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO

figure(1)

plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')

hold on

grid on

plot(C(:,1),C(:,2),'r')



title({'FLEXIÓN - ENSAYO A TRES PUNTOS';'SEMI-EMPOTRADO'})


plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')


plot(2.09,5200,'or')

text(0,0,'Ef= 937 MPA')

text(0,0,'(2.09 mm; 5200 Kgf)')

universidad del azuay facultad de ciencia y tecnología

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