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VALORACIÓN Y DETERMINACIÓN DEL MOMENTO ÓPTIMO DE CORTE DE UNA EXPLOTACIÓN FORESTAL. APLICACIÓN DEL MODELO DE OPCIONES REALES*

Susana Alonso Bonis

Eleuterio Vallelado González$

Universidad de Valladolid

Dpto. Economía y Administración de Empresas

Avenida Valle de Esgueva, 6

47011 Valladolid, España

Tel: +34 983 423335

Fax: +34 983 423899

[email protected]

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Y

José Manuel Henriques Xavier

Universidad de Salamanca

Departamento de Administración y Economía de la Empresa

Rua Roberto Ivens, 1309 5º Dt

4450 Mathosinhos, Portugal

Tel: 35 1229381172

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* Los autores agradecen la ayuda y los comentarios recibidos de Rosa Mayoral. $ Autor al que se deben remitir los comentarios y sugerencias sobre el trabajo: Eleuterio Vallelado González, Universidad de Valladolid, Dpto. Economía y Administración de Empresas, Avenida Valle de Esgueva, 6, 47011 Valladolid, España, Tel: +34 983 423335, Fax: +34 983 423899, [email protected]

mailto:[email protected]




VALORACIÓN Y DETERMINACIÓN DEL MOMENTO ÓPTIMO DE CORTE DE UNA EXPLOTACIÓN FORESTAL. APLICACIÓN DEL MODELO DE OPCIONES REALES

ABSTRACT

El objetivo del trabajo es determinar la regla óptima para invertir en una explotación forestal a fin de que el inversor consiga alcanzar una rentabilidad acorde con el riesgo que asume. Para ello utilizamos dos tipos de modelos, el modelo determinista y el modelo estocástico. En el primer caso se considera que los precios futuros de la madera son conocidos a priori, mientras que en el segundo se supone que los precios futuros son inciertos pero siguen un proceso aleatorio conocido: geométrico browniano o reversión a la media. La principal diferencia entre ambos modelos es que la consideración estocástica del precio de la madera nos permite valorar la opción que el inversor tiene para aplazar la tala de los árboles. Los resultados que se obtienen vienen a confirmar que en el caso de las explotaciones forestales la consideración de que el stock de madera crece con el tiempo es crítica para determinar el valor de la inversión y el momento óptimo de tala de los árboles. Así, tanto en el modelo determinista como en el modelo estocástico observamos que nuestro propietario inversor no debería realizar la inversión, de acuerdo con los parámetros utilizados, si el stock de madera no crece a partir del momento en que la madera tiene valor comercial. Sin embargo, cuando el stock de madera aumenta a una tasa constante, nuestros resultados indican la viabilidad del proyecto de inversión tanto con el modelo determinista como con el modelo estocástico. La principal diferencia entre ambos modelos es que el segundo permite valorar la opción de aplazamiento, la cual resulta de gran valor ya que supone, aproximadamente, un 30% del valor neto del proyecto en el momento inicial.

Palabras clave: Valoración, explotación forestal, modelo determinista, modelo estocástico

JEL clasificación: G12, G13, Q23.

1

Valoración y determinación del momento óptimo de corte de una explotación forestal. Aplicación del modelo de opciones reales

1.-Introducción

El análisis de las oportunidades de inversión a partir de la teoría de opciones ha dado lugar a una

nueva forma de entender la evaluación y selección de las inversiones empresariales. El

reconocimiento de la flexibilidad y el carácter estratégico de las inversiones que caracteriza al

enfoque de opciones reales permite superar en gran medida las limitaciones del criterio del

Valor Actual Neto (VAN), habitualmente utilizado, todavía hoy, en la práctica empresarial.

Y es que una de las hipótesis que subyace a la aplicación del VAN consiste en que la aceptación

de un proyecto de inversión es una decisión del tipo “ahora o nunca”. Sin embargo, esto no

parece muy acorde con la realidad a la que se enfrentan las empresas. Más bien lo contrario,

todos somos conscientes de que la ejecución de un proyecto en un momento u otro resulta

determinante para cuantificar su valor. Desde la perspectiva de opciones, no obstante, es posible

analizar cuál es el momento óptimo para llevar a cabo una inversión. El enfoque de opciones

reales modifica la regla básica de inversión consistente en invertir en un proyecto cuando el

valor esperado de sus flujos sea al menos tan grande como los costes, por otra que considera

además el coste de oportunidad en que se incurre al emprender hoy la inversión y no en un

momento posterior en el que se dispondría de nueva información.

Este trabajo se dirige precisamente al análisis del momento óptimo de inversión en una

explotación forestal que permite al inversor alcanzar una rentabilidad acorde con el riesgo que

asume. La correcta valoración de una inversión en recursos de esta naturaleza, madera, requiere

considerar explícitamente que la cantidad del bien que subyace a la inversión aumenta conforme

pasa el tiempo, lo cual no ocurre con otros recursos naturales, ampliamente estudiados por la

literatura, como las reservas mineras o petrolíferas. Además, en nuestro caso se pretende valorar

un recurso que es renovable tantas veces como se desee.

En este sentido, podemos distinguir dos grandes grupos de modelos que se han venido aplicando

en la literatura al problema de valoración de una explotación forestal: los modelos deterministas

y los modelos estocásticos. Los modelos deterministas se remontan al año 1849, cuando

Faustman valora una explotación forestal mediante el cálculo financiero de los rendimientos, y

se basan en los criterios clásicos de selección de inversiones, Valor Actual Neto (VAN) y Tasa

Interna de Rentabilidad (TIR)1. No obstante, la aplicación de estos criterios al caso de las

explotaciones forestales no está exenta de deficiencias que ponen en duda la fiabilidad de los

resultados alcanzados. Así, cuando se utiliza el criterio de la TIR se supone implícitamente que

1 Estos modelos siguen siendo utilizados en la actualidad. Así, Duerr (1979), Nyysonen (1997) McConnel, (1983) o Tahvonen y Salo (1999), entre otros, proponen soluciones para el problema de la rotación óptima de una explotación forestal a partir de modelos deterministas basados en el criterio del valor actual neto.

2


la superficie del suelo disponible para la explotación forestal es infinita (Samuelson, 1976). Por

su parte, la correcta aplicación del criterio del VAN supone la asunción de una serie de hipótesis

difíciles de verificar en las explotaciones forestales2 (Lofgren, 1990).

Los modelos estocásticos, por su parte, se apoyan en la teoría de opciones para determinar la

fecha de tala óptima de la explotación. En este caso, se considera que el ejercicio de la opción

supone la ejecución de la inversión necesaria para explotar el recurso, es decir, la inversión

necesaria para proceder a la corta de los árboles. Esta opción es equivalente a una opción

americana que se puede valorar utilizando la propuesta que hacen Dixit y Pindyck (1993) para

analizar el momento de inversión en recursos naturales. Esta propuesta se desarrolló a partir de

los planteamientos de McDonald y Siegel (1986) sobre las opciones de aplazamiento3. Existen,

en este sentido, dos precedentes en la literatura: los trabajos de Morck, Schwartz y Stangeland

(1989) y Rocha, Moreira, Carvalho y Reis (2001). En el primer caso, se valora una concesión

maderera en Alberta, Canadá, mientras que en el segundo se valora una concesión forestal en el

Amazonas, Brasil. En ambos casos se utilizan dos variables estado: el precio de la madera y el

stock de madera. Las concesiones madereras suelen ocupar grandes extensiones de terreno y

tienen un periodo determinado de vigencia. Durante este periodo el inversor tiene que decidir la

cantidad de árboles a talar cada año, ante la imposibilidad de talarlos todos a la vez, ya que

suelen existir cláusulas en el contrato de concesión que regulan el ratio de corte. Por esta razón,

en este tipo de proyectos se considera el stock de madera como variable de estado. Tanto

Morck, Schwartz y Stangeland (1989) como Rocha, Moreira, Carvalho y Reis (2001) llegan a la

conclusión de que la metodología de opciones reales permite cuantificar de forma más realista

las posibles ganancias a obtener en una explotación forestal teniendo en cuenta el

comportamiento de las variables críticas del modelo: precio y cantidad.

No obstante, la valoración de los recursos forestales en un contexto contingente presenta una

serie de problemas entre los que cabe citar: i) el stock de madera crece con el transcurso del

tiempo, situación que no se da al valorar otros recursos naturales como el petróleo o los

minerales, ii) hay escasez de activos negociables que puedan servir como subyacente en el

modelo de valoración y cuyo precio evolucione de forma aleatoria ya sea siguiendo un proceso

geométrico browniano o cualquiera de los procesos descritos en la teoría, iii) existen pocos

datos estadísticos disponibles sobre explotaciones forestales, y iv) la escasez de datos lleva a

2 Estas condiciones son: i) mercado de capitales perfecto; ii) el precio futuro de la madera es conocido; iii) la tierra donde se plantan los árboles puede ser comprada y vendida en un mundo perfecto; y, iv) las características técnicas de la madera en el futuro son conocidas 3 Otros autores que han adaptado los modelos de valoración de opciones a la valoración de recursos naturales son Merton (1979) y Brennan y Schwartz (1985)

3


utilizar la “convenience yield”4 de un activo que se negocia en un estado de transformación

diferente al activo que se extrae de la explotación y que es objeto de valoración.

La evaluación del proyecto de inversión que se plantea en este trabajo se va a realizar tanto

desde la perspectiva del descuento de flujos –modelo determinista–, como desde el enfoque de

opciones reales –modelo estocástico–, asumiendo en éste último caso diferentes modelos de

evolución estocástica del activo subyacente. El objetivo es analizar el momento óptimo de corte

de una explotación forestal de Eucaliptos situada en el centro de Portugal de forma que se pueda

obtener la rentabilidad esperada para esa explotación por parte del propietario–inversor. La

metodología de opciones reales nos permite complementar el criterio clásico de selección de

inversiones –valor actual neto– con la consideración y valoración de las posibles opciones

(opción de aplazamiento) que van unidas a la explotación forestal –fecha de tala de la

explotación–. En nuestro caso se plantea determinar la conveniencia o no de iniciar por parte del

propietario la transformación de un terreno de reducidas dimensiones –entre 6 y 10 hectáreas–

en una explotación forestal. Se considera que una vez realizada la primera plantación habrá que

esperar un mínimo de 8 años para que la madera tenga valor comercial. Una vez los árboles han

alcanzado la edad de 8 años se pueden cortar inmediatamente o aplazar la decisión en función

de los intereses del propietario-inversor, alcanzar una determinada rentabilidad ajustada por el

riesgo. Dadas las reducidas dimensiones de la explotación se talarán todos los árboles a la vez lo

que conllevará obligatoriamente la reforestación de la finca, culminando de este modo un ciclo

que es nuestro objeto de análisis. En definitiva, nuestro trabajo presenta una serie de novedades

con respecto a los precedentes como son: la tala de todos los árboles de la explotación de forma

simultanea, la necesidad de esperar un mínimo de 8 años para poder talar los árboles y la

necesidad de reforestar la superficie talada.

Los resultados que se obtienen vienen a confirmar que en el caso de las explotaciones forestales

la consideración de que el stock de madera crece con el tiempo es crítica para determinar el

valor de la inversión y el momento óptimo de tala de los árboles. Así, en el caso determinista

observamos que cuando el stock de madera no crece nuestro propietario inversor no debería

realizar la inversión, de acuerdo con los parámetros utilizados, mientras que tal inversión es

aceptable si el stock de madera crece. En este caso debería esperar 16,34 años antes de talar los

árboles para obtener la rentabilidad estimada, dado su nivel de riesgo, del 11,38% anual. Por su

parte, los modelos estocásticos reflejan una situación similar, en ninguno de los casos donde el

4 Podemos definir la “conveniencie yield” como el retorno que se obtendría si se mantiene durante un periodo de tiempo una determinada materia prima, retorno que no se percibiría en caso de tener una posición larga en un contrato a plazo sobre esa materia prima. En definitiva, y de acuerdo con Morck, Schwartz y Stangeland (1989) serían las ganancias que se podría obtener si se es propietario de una

4


stock de madera se mantiene constante a partir del octavo año debería aceptarse el proyecto de

inversión analizado. En todos estos casos la opción de aplazamiento se encuentra muy fuera del

dinero por lo que su reducido valor no nos permite observar diferencias apreciables con el valor

de la inversión en el caso determinista. Sin embargo, la opción de aplazamiento resulta de gran

valor cuando se considera que la madera es un recurso que crece con el paso del tiempo y nos

lleva tanto a aceptar el proyecto de inversión como a confirmar que el valor del proyecto es

mayor cuando se considera adecuadamente la opción de aplazamiento. En definitiva, la

consideración de la incertidumbre que rodea a los precios futuros de la madera –volatilidad–

hace que la opción de aplazamiento únicamente pueda ser valorada por los modelos estocásticos

lo que nos lleva a obtener que, de acuerdo con el modelo estocástico, aproximadamente un 30%

del valor neto del proyecto en el momento inicial correspondería a la opción de aplazamiento.

Tras esta introducción del problema que planteamos analizar, el resto del trabajo esta

organizado como sigue. En el segundo apartado se definen las características de la explotación

forestal objeto de análisis y los datos utilizados para alimentar el modelo de valoración. En el

tercer apartado se describe el método empleado para valorar la explotación forestal y

determinar la fecha óptima de corte de los árboles, así como los resultados obtenidos.

Finalmente, el cuarto apartado recoge las principales conclusiones del trabajo.

2.- El caso de una explotación forestal privada en la región Central de Portugal

Nuestro trabajo tiene objetivos similares a los de Morck, Schwartz y Stangeland (1989) y

Rocha, Moreira, Carvalho y Reis (2001) en tanto en cuanto se pretende valorar una explotación

forestal con un modelo estocástico, pero presenta singularidades que lo hacen diferente a los

anteriores. En primer lugar la explotación forestal que se pretende valorar no es una concesión

temporal como en los estudios que nos han precedido sino un terreno de propiedad privada que

explota su propietario quien se convierte a la vez en el inversor que debe decidir cuando

proceder a talar los árboles. En segundo lugar, el tamaño de la explotación forestal que se va a

valorar es sensiblemente inferior al de las concesiones analizadas en los trabajos precedentes5.

Esta diferencia de tamaño hace que la finca objeto de análisis no pueda ser explotada de forma

extensiva como era el caso de las concesiones en Alberta y en el Amazonas sino que requiere

una explotación intensiva. Cuando se decide talar los árboles se cortan todos en vez de realizar

cortas periódicas a lo largo de la vida de la concesión. Por ello, consideramos que el valor de la

explotación es nulo para edades inferiores a 8 años. En tercer lugar, en nuestro caso no existe

materia prima y se aprovechan las posibles fluctuaciones en su precio, como consecuencia de situaciones de escasez temporal, para graduar la explotación del recurso natural.

5


regulación sobre el porcentaje máximo de árboles que se pueden talar en cada corte, ni sobre el

volumen de madera que debe permanecer en pie después de cada corta como en el caso de los

estudios que nos han precedido pero a cambio cuando se produce la tala de todos los árboles el

propietario inversor viene obligado bien a reforestar la superficie talada bien a devolver el

terreno a su estado original.

En consecuencia, la inversión objeto de estudio tiene tres momentos que es preciso considerar:

i) el momento inicial, en el que se toma la decisión de transformar un terreno agrícola en una

explotación forestal lo cual supone realizar el desembolso necesario para plantar los Eucaliptos;

ii) el momento en que la explotación cumple ocho años, a partir del cual los árboles han

alcanzado un tamaño mínimo que permite su venta a las empresas de pasta de papel, este

momento determina el inicio de la opción de aplazamiento en la corta de los árboles; y iii) el

momento en que se decide la tala de los árboles, en el cual se ejerce la opción que tiene el

propietario inversor y que determina la obtención de los ingresos correspondientes a la venta de

la madera, ingresos que se ven disminuidos por la obligación de reforestar o reacondicionar el

terreno. Adicionalmente, hemos considerado tanto la posibilidad de que una vez transcurridos 8

años el volumen de madera no aumente como que la madera siga creciendo de forma indefinida

en el tiempo, mientras no se corte, a una tasa constante.

Para poder utilizar tanto el modelo determinista como el modelo de opciones reales se hace

preciso realizar una serie de supuestos previos que nos permitan obtener el valor de la

explotación forestal. Inicialmente, consideramos que una vez alcanzados los 8 años los árboles

crecen a una tasa que podemos despreciar por lo que el volumen de madera existente al final de

los 8 años es el que se mantiene constante hasta la fecha de corte de los árboles. Este supuesto

se relaja con posterioridad, al considerar que los Eucaliptos crecen a partir del octavo año a una

tasa constante en el tiempo, supuesto similar al que se plantean Morck, Schwartz y Stangeland

(1989) y Rocha, Moreira, Carvalho y Reis (2001). Además, nuestra variable estocástica va a ser

el precio de la madera. En este caso no se considera como variable estocástica el stock de

madera ya que cuando se decide talar los árboles se cortan todos por lo que el stock se reduce a

cero. Con el fin de analizar la sensibilidad de nuestros resultados ante cambios en el proceso

estocástico que sigue la variable aleatoria se consideran dos posibles procesos para el precio de

la madera: el proceso geométrico browniano y el proceso de reversión a la media. Estos son los

procesos habitualmente considerados por los trabajos que nos han precedido para el precio de la

madera y en general de los recursos naturales.

5 La superficie de las explotaciones forestales para uso intensivo en Portugal se sitúa entre 6 y 10 hectáreas mientras que, por ejemplo, en el caso de las concesiones madereras en el Amazonas se trata de una extensión de 500 millones de hectáreas.

6


La plantación objeto de estudio se sitúa en la región Centro de Portugal con una superficie de

entre 6 y 10 hectáreas. Esta zona esta considerada como zona ecológica AM con unas

características topográficas de clase II pendiente del 10 al 20%6. El momento temporal en el que

se realiza el análisis es cuando el propietario del terreno se plantea modificar el uso de su finca y

transformarla en una explotación forestal. Esta decisión conlleva asumir que una que vez que se

talen los árboles se reforestará el terreno o se reacondicionará el mismo para devolverlo a su

estado original. La madera se vende en la finca y los compradores son los encargados de talar

los árboles y transportarlos hasta el consumidor de este tipo de madera, fundamentalmente las

empresas productoras de pasta de papel. La explotación es gestionada directamente por el

propietario del suelo y su objetivo es obtener una rentabilidad acorde con el riesgo que asume.

Además, el propietario no tiene restricciones financieras por lo que puede retrasar la venta de la

madera, y por lo tanto el corte de los árboles, hasta el momento en que alcanza la rentabilidad

deseada. El desembolso exigido al inicio del ciclo es de 1355,83 euros por hectárea, cantidad

que consideramos es una estimación adecuada de los costes de reforestación (precio de ejercicio

de la opción de explotación). Esta cantidad se ha obtenido de los cálculos realizados por la

Direcção Geral das Florestas (DGF) para las labores de reforestarión de una hectarea de terreno

de las caracteristicas especificadas. Se atiende de este modo a la obligación que tiene el

propietario del terreno de reforestar tras la tala de los árboles (ejercicio de la opción).

Los parámetros del proceso estocástico, tanto del geométrico browniano como del de reversión

a la media, que sigue el precio de la madera se han obtenido a partir del precio de los futuros

sobre madera (LBH3) que se negocian en el mercado Chicago Mercantile Exchange (CME) de

Estados Unidos. Dado que en Portugal no existen series de datos que pudieran ser utilizadas en

este análisis buscamos de entre las series de datos disponibles aquellas que pudieran tener una

mayor correlación con la evolución de los precios de la madera para pasta de papel, que es el

uso habitual del eucalipto. Nos decantamos por la serie de precios del futuro sobre madera

(LBH3) ya que nos permitía disponer de una serie suficientemente larga, desde 1972, y que

mostraba una importante correlación con el precio de la madera para pasta de papel7. Si

suponemos que el precio de la madera sigue un proceso geométrico browniano, la tasa de

6 Las zonas ecológicas de Portugal recogen las capacidades agrícolas y forestales de cada zona. Estas zonas ecológicas fueron definidas por Albuqerque en 1982, quien dividió el territorio continental portugués en 6 zonas ecológicas teniendo en cuenta su diversidad climática, localización y topografía. La zona AM es una zona ecológica de influencia atlántica. Por su parte, la Direcção Geral das Florestas (DGF) clasificó en 1993 los terrenos en los que se sitúan las explotaciones forestales portuguesas en 4 categorías atendiendo a que el coste de replantación dependía de la pendiente de la finca y de la dificultad del terreno para ser labrado con medios mecánicos. Estas categorías son: I, pendiente entre 0 y 10%; II, pendiente entre 10 y 20 %; III pendiente entre 20 y 33%; y IV pendiente superior al 33%. 7 Realizadas las oportunas pruebas para comprobar la correlación entre ambas series de precios obtuvimos un coeficiente de correlación de Pearson del 0,404 entre la serie de precios de la madera para pasta de

7


crecimiento esperada que resulta es del 2,07% anual con una desviación estándar del 31,93%8.

Mientras que, cuando se considera un proceso de reversión a la media los valores de los

parámetros que determinan la tendencia del proceso de reversión son: velocidad de reversión de

0,1109, precio medio de la madera de 25 €/m3 y una desviación estándar de 22,80%. Así

mismo, cuando suponemos que el volumen de la madera aumenta conforme pasa el tiempo,

calculamos la tasa de incremento del volumen de madera de la explotación por cada año

adicional que se mantienen los árboles sin cortar a partir del octavo año. La tasa que se utiliza es

del 7,03% al año. Este valor se calcula a partir de los datos obtenidos del “Inventário Florestal

Nacional 3ª revisão–2001” elaborado por la “Direcção Geral das Florestas” (DGF) de Portugal

y del trabajo de Tomé (1992). Por su parte, la tasa de rentabilidad de la explotación ajustada por

el riesgo que debería obtener el propietario-inversor se obtiene del análisis de las rentabilidades

medias obtenidas por las acciones de empresas americanas cuya actividad principal es la

explotación forestal a nivel internacional. Una vez más, la falta de datos en Portugal y su

entorno nos ha llevado a buscar los datos necesarios para nuestro análisis en otros mercados. En

este caso las empresas estadounidenses que se dedican a la explotación forestal suelen tener

ámbitos de actuación universales, acuden allí donde existen recursos madereros por explotar,

por lo que se consideró que podían proporcionar una buena aproximación de las rentabilidades

que deberían obtener los propietarios–inversores en Portugal.

Para calcular la rentabilidad ajustada por el riesgo de la explotación forestal ( ), que

constituye, así mismo, la tasa de descuento en el modelo de descuento de flujos, se ha utilizado

el modelo Capital Asset Pricing Model (CAPM). El modelo CAPM requiere calcular el tipo de

interés del activo libre de riesgo y la prima por riesgo de mercado, y estimar la beta de la

explotación forestal. Ante la ausencia de empresas en Portugal y su entorno, cuya actividad

principal es la explotación de los recursos madereros y que coticen en el mercado bursátil, se

optó por calcular la rentabilidad ajustada por el riesgo para una muestra de empresas de USA

con intereses madereros internacionales. Dado que el mercado de la pasta de papel es un

mercado globalizado esta estimación es la mejor aproximación de que se dispone para calcular

la rentabilidad ajustada por el riesgo de una explotación forestal en Portugal. En consecuencia,

la prima por riesgo del mercado se ha obtenido del trabajo de Ibbotson y Chen (2002) para una

muestra de empresas de Estados Unidos:

µ

( )fe rr − = 5,24%. Como tipo de interés del activo libre

de riesgo se ha utilizado la rentabilidad de los Bonos emitidos por el Tesoro de USA y que para

el periodo de análisis es del 5,06%. Se utiliza como referencia los bonos del Tesoro de USA

para ser consistentes con el resto de fuentes de datos utilizados para calcular la rentabilidad

papel y la serie de precios de los futuros sobre madera (LBH3). Tal correlación es estadísticamente significativa al 99%.

8


esperada por el propietario de la explotación forestal. Por su parte, para calcular el tipo de

interés libre de riesgo para Portugal en el año 2002 se parte del valor para USA y se transforma

tal valor utilizando la paridad del tipo de interés. El resultado es que el tipo de interés libre de

riesgo que se utiliza para Portugal es del 6,29%9. Por último, las betas de las empresas de

Estados Unidos que cotizan en bolsa y su principal actividad es la explotación maderera

internacionalmente se han obtenido de la base de datos de Ibbotson & Associates, Cost of

Capital Center. Estas empresas son las siguientes: Louisiana–Pacific Corp (LPX), Crown

Pacific Partners–LP (CRO), US Timberlands Co– LP (3TIMBZ) y Deltic Timber Corp( DEL).

Para cada una de estas empresas se cálculo su rentabilidad ajustada por el riesgo a partir de los

datos suministrados por Ibbotson & Associates10.

µLPX = 0,0629 +1,29*0,0524= 0,1305

µCRO =0,0629 + 0,64*0,0524 = 0, 0964

µTIMBZ = 0,0629 + 1,44*0,0524 = 0,1384

µDEL = 0,0629 + 0,52*0,0524 = 0,0901

El valor que se utiliza como rentabilidad ajustada por el riesgo para la explotación forestal

objeto de análisis es la media aritmética de estos cuatro valores:

%38,111138,04

0901,01384,00964,01305,0exp ==

+++=lotaciónµ

En resumen, las variables que se utilizan para valorar la explotación y los valores que toman

cada una de ellas son los siguientes:

8 El análisis estadístico de la serie de precios utilizada puede ser solicitada a los autores. 9 Este tipo de interés lo obtenemos utilizando la paridad de tipos de interés de tal forma que el tipo de interés de Portugal es igual a la tasa inflación de Portugal en el 2002 dividida por la tasa de inflación de USA en el 2002 y todo ello multiplicado por el tipo de interés de los bonos de USA en el 2002:

%29,60629,010506,1024,1036,1

==−

×

10 Se recurrió a los servicios de una empresa especializada en el cálculo de betas como es “Ibbotson and Associates” para evitar sesgos en la estimación de tales betas por los procedimientos econométricos habituales.

9


Variable Notación Valor estimado

Coste de plantación11, precio de ejercicio de la opción C 1385,83 €/ha

Precio de la madera de eucalipto en la explotación12 en t=0 P 21,71 €/m3

Volumen de madera en la plantación13 en t=8 años Q 123,61m3/ha

Índice o ratio de crecimiento del volumen de madera a partir del octavo año s 7,03% anual

PROCESO GEOMÉTRICO BROWNIANO

Tasa media de incremento del precio de la madera (M.G.B.)

Desviación típica del precio de la madera (M.G.B.)

“Convenience yield” sin crecimiento del volumen de madera

“Convenience yield” con crecimiento del volumen de madera

α

σ

δ = µ-α

δ = µ-α-s

2,07 % anual

31,93 % anual

9,31 % anual

2,30 % anual

PROCESO DE REVERSIÓN A LA MEDIA

Precio medio de la madera

Velocidad de Reversión

Desviación del precio de la madera (Reversión a la media)

P

η σ

25

0,11806

0,2280

Tipo de interés libre de riesgo r 6,29% anual

Rentabilidad esperada ajustada al riesgo o tipo de descuento µ 11,38 % anual

3- Valoración de la explotación forestal y determinación de la regla óptima para el corte

de los árboles.

Para valorar la explotación forestal de eucaliptos partimos del modelo de opciones propuesto

por Dixit y Pindyck (1993) para valorar una concesión de reservas de petróleo no explotadas y

determinar la fecha óptima de su explotación. Este modelo, sin embargo, requiere ser adaptado a

nuestro problema, valorar una explotación de Eucaliptos. En particular, hemos introducido

correcciones en el modelo para considerar que hasta que no transcurren ocho años no se puede

plantear la opción de aplazamiento para la decisión de talar los árboles. Además hemos

considerado tanto la hipótesis de que el volumen de madera alcanzado al cumplir ocho años

permanece constante hasta el momento en que se cortan los árboles –hipótesis similar a la

considerada por Dixit y Pindyck de que las reservas no aumentan con el paso del tiempo– como

la hipótesis alternativa de que el volumen de madera crece de forma constante a partir del

11 Coste que según la DGF es el que incurren las explotaciones forestales con características topográficas del tipo II, explotaciones con pendientes entre el 10 y el 20% El precio ha sido ajustado utilizando el índice de precios medios de producción para la agricultura. Se considera que el coste inicial de transformar un terreno agrícola en explotación forestal coincide con el coste de reforestar o devolver a su situación original el terreno una vez talados los árboles. 12 Precio por m3 de la madera de eucalipto en la explotación en diciembre del 2002. Precio publicado por SICOP servicio que depende de la DGF de Portugal 13 Este valor se refiere al volumen de madera por hectárea en la explotación a los 8 años. Para calcular este valor hemos partido del dato que aparece en el trabajo de Tomé (1992). Este autor calcula el volumen de madera por hectárea de una explotación de similares características a la nuestra al cabo de 10 años. Por tanto hemos pasado del volumen a los 10 años al volumen a los 8 años utilizando como tasa constante de crecimiento de la madera del 7,03% al año.

10


octavo año hasta el momento de ejercer la opción de talar los árboles. Se trata, por tanto, de

valorar una opción de aplazamiento de duración infinita. En particular derivamos la solución

analítica correspondiente a esta opción. Esta solución analítica nos conduce a una ecuación

diferencial que es homogénea y que por tanto puede ser resuelta bien porque tenga una única

solución bien a través de un proceso iterativo mediante soluciones numéricas.

La valoración mediante el modelo Dixit y Pindyck, adaptado a nuestro caso, se compara con la

obtenida aplicando un modelo determinista en el que se considera que el precio de la madera es

constante en el tiempo (volatilidad nula). El problema se reduce, en este caso, a calcular los

flujos netos de tesorería que produciría la explotación y descontarlos a un tipo adecuado, tipo

que va a coincidir con la rentabilidad ajustada por el riesgo esperada por el propietario–inversor.

Sin embargo, como ya se ha comentado, la valoración de la explotación forestal mediante el

modelo de opciones reales permite considerar la naturaleza estocástica del precio de la madera

de forma que cuanto mayor sea la variabilidad del precio de la madera14 mayor será el valor de

la opción que tiene el propietario para talar los árboles y por tanto mayores serán las diferencias

entre ambos métodos de valoración.

En el modelo determinista, dado que el precio de la madera es constante en el tiempo, se puede

calcular el momento óptimo de corte de la explotación, T*, para una vez obtenido tal fecha

proceder a calcular el valor de la explotación en esa fecha. Por su parte, el modelo estocástico

nos permite calcular el valor de la opción de corte y el valor actual neto ampliado de la

explotación.

3.1 Modelo determinista

En este apartado se deriva el modelo determinista propuesto para valorar la explotación forestal

objeto de análisis en este trabajo. Dentro del modelo determinista distinguimos entre la situación

en la cual los recursos permanecen constantes durante el periodo de explotación (s = 0) y la

situación en la que consideramos que los recursos naturales aumentan con el transcurso del

tiempo (s > 0)

Determinación de la regla óptima de corte de los árboles de la explotación mediante el

modelo determinista si el volumen de madera no crece a partir del octavo año.

El valor de la explotación forestal en un momento t para el caso determinista (σ ) vendrá dado por: dtVdV tα=⇒= 0

11

14 Dada la serie de precios de la madera de que disponemos, su desviación típica es superior al 30% anual.


ttt QPV =

≥

<8,,

8,,0tsiQP

tsi

t

donde, V es el valor de la madera en t, es el precio de la madera de eucalipto en €/ha, y Q

la cantidad de madera en m3/ha a partir del octavo año.

t tP

Para maximizar el valor de la explotación forestal en el momento t procedemos a derivar con

respecto a t:

ttt QdPdV =

dividimos numerador y denominador por , tP tQ

t

t

tt

tP

dPQP

dV=

como el precio aumenta a una tasa media anual, α , resulta

dtP

dP

t

t α=

de donde

dtVdV

t

t α=

En consecuencia, el valor de la oportunidad de invertir en el momento en que la madera tiene

valor comercial sería:

( ) ( ) TT eCVeVF µα −= −

)

(1)

siendo el valor de la oportunidad de inversión, µ el tipo de descuento o rentabilidad

esperada por el propietario de la explotación, y T el tiempo que transcurre desde que la madera

tiene valor comercial hasta que se produce la tala de los árboles.

( tVF

Para 0 µα <<

( ) [ ] TTT eCVeVF µα −−= maxmax

Entonces, derivando e igualando a cero para la condición de 1er orden

( ) ( ) ( ) 0=+−−= −−− TT CeVe

dTVdF µαµ µαµ

( ) ( ) TT CeVe µρµ µµα −− −=− (2)

12


Para despejar el valor V tomamos logaritmos en (2):

( ) ( )[ ] [ ]TT CeVe µµα µµα −− −=− lnln

( )[ ] ( ) [ ] ( )TCT µµµαµα −+−=−+− lnln

( ) [ ] ( )[ ]VCTT µαµµµα −−−=+− lnln

( )

−−

=V

CTµαµ

α ln

Como por definición , despejamos y obtenemos: αµ >

( )

−

∗=∗ 0,ln1maxV

CTαµ

µα

(3)

Si T*= 0 entonces la plantación se corta justo cuando la madera tiene valor comercial, t = 8

años. En este caso se puede obtener el valor crítico el subyacente a partir del cual se ejerce la

opción, V*, sustituyendo T = 0 en la ecuación (2) y despejando:

( ) CV ∗−

=∗

αµµ

y F ( ) CVV −=

Si por el contrario T*> 0, la decisión óptima con el modelo determinista será proceder al corte

de los árboles en un momento posterior a cuando la madera alcanza valor comercial. En este

caso, ( ) ( )

−

∗=∗

VCTαµ

µα

ln1y en consecuencia, sustituyendo (3) en (1) se obtiene la

solución para la expresión que nos indica el valor de la oportunidad de inversión: F(V)

( ) ( )( ) α

µ

µαµ

αµα

−∗

−

=C

VCVF

Una vez determinada teóricamente la fecha de corte que maximiza el valor de la explotación

introducimos los valores que hemos estimado para valorar nuestra explotación forestal y se

obtienen los siguientes resultados:

( ) ( ) 00,61,12371,210207,01138,0

83,13551138,0ln0207,01max 80207,0 =

×××−

××= ×

∗

eT

En consecuencia, el momento óptimo para talar los árboles es justo cuando la madera tiene valor

comercial: t = 8 años. La regla óptima de corte nos viene dada por V*, que en este caso toma el

siguiente valor:

13


Como ( ) 287,16570207,01138,0

83,13551138,0=

−×

=⇒ ∗V0=∗T €/ha

El valor de la oportunidad de inversión de la regla óptima de corte F(V*), en el momento en

que la madera tiene valor comercial:

( ) 457,30183,1355287,1657 =−=∗VF €/ha

Para este valor de la oportunidad de inversión podemos calcular el valor actual neto que se

obtiene actualizando el valor de la oportunidad de inversión al momento cero y restando el

coste de la primera plantación:

haeVVAN /€53,123483,1355457,301*)( 81138,0 −=−×= ×−

Sin embargo, en este caso conocemos con certeza el valor de la madera en el año 8, cuando

empieza a tener valor comercial, valor que es superior a la regla óptima de corte, por tanto:

haeVVAN

haVFhaeV

/€12,62783,135506,1811)(

/€06,181183,135589,3166)(/€89,316661,12371,21

81138,08

80207,08

−=−=

=−==××=

×−

×

En consecuencia, la decisión que debería adoptar el propietario–inversor en el momento actual

es no llevar a cabo la transformación del terreno en una explotación forestal dado que no

permite alcanzar la rentabilidad deseada.

Determinación de la regla óptima de corte de los árboles de la explotación mediante el

modelo determinista si el volumen de madera crece a partir del octavo año a una tasa

constante “s”.

En este caso, el valor de la madera cuando se talan los árboles, momento t, lo podemos expresar

como:

ttt QPV =

≥<

8,,8,,0tsidtsQ

tsidQ

tt

Igual que antes, para maximizar el valor de la explotación forestal en el momento t derivamos

respecto a t:

ttttt PdQQdPdV +=

dtPsQQdPdV ttttt +=

14


sdtP

dPQP

dV

t

t

tt

t += dtP

dP

t

t α=

( )dtsVdV

t

t += α

donde s es la tasa de crecimiento de la madera a partir del octavo año.

En consecuencia, el valor de la oportunidad de inversión en el momento en que la madera tiene

valor comercial sería:

( ) ( )( ) TTs eCVeVF µα+ −= − (4)

Para α<0 µ<+ s

( ) ( )[ ] TTsT eCVeVF µα −+ −= maxmax

Derivando e igualando a cero para la condición de 1er orden

( ) ( ) ( ) 0=+−−−= −−−− TTs CeVes

dTVdF µαµ µαµ

(5) ( ) ( ) TTs CeVes µµα µµα −−+ −=−+

Para despejar el valor de V se toma logaritmos en la ecuación (5):

( ) ( )[ ] [ ]TTs CeVes µµα µµα −−+ −=−+ lnln

( )[ ] ( ) [ ] ( )TCTss µµµαµα −+−=−++−+ lnln

( ) [ ] ( )[ ]VsCTTs µαµµµα −+−−=+−+ lnln

( ) ( )

−+

−=+

VsCTsµα

µα ln

Como por definición , despejamos y obtenemos: ( s+> αµ )

( ) ( )

−−

∗+

=∗ 0,ln1maxVs

Cs

Tαµµ

α (6)

Si T*=0 entonces la plantación se corta justo cuando la madera tiene valor comercial, t=8 años.

En este caso se puede obtener el valor crítico, V*, sustituyendo T=0 en la ecuación (5) y

despejando:

15


( ) Cs

V ∗−−

=∗

αµµ

y ( ) CVVF −=

Si por el contrario T*>0, la decisión óptima con el modelo determinista será proceder al corte de

los árboles en un momento posterior a cuando la madera alcanza valor comercial. En este caso,

( ) ( )

−−

∗+

=∗

VsC

sT

αµµ

αln1

y en consecuencia, sustituyendo (6) en (4) se obtiene la

solución para la expresión que nos indica el valor de la oportunidad de inversión: F(V)

( ) ( )( )

( ) ( )s

CVs

sCsVF

+

−−∗

−−

+=

αµ

µαµ

αµα

(véase anexo 1)

A partir de estas expresiones y utilizando las estimaciones realizadas para los distintos

parámetros de nuestra explotación forestal se puede calcular tanto el valor crítico como el

momento óptimo para talar los árboles según el modelo determinista:

( ) ( )

( ) ( )

ha

VF

haeV

añosT

T

T

/€43,541183.13551138.0

26,67670703.00207.01138.00703.00207.01138.0

83,13550703.00207.0)(

/€26,676789.3166

34.80,89,31660703,00207,01138,0

83,13551138,0ln0703,00207,0

1max

0703.00207.01138.0

*

34,8)0703.00207.0(*

=

=

××−−

×−−×+

=

=×=

=

×−−

××

+=

+

×+

∗

Por tanto, el momento óptimo para talar los árboles es 8,34 años después de que la madera tenga

valor comercial, es decir dentro de 16,34 años (8+8,34=16,34). En el momento que se talan los

árboles el inversor propietario recibirá 6767,26 y se cumple la regla óptima para el corte V =V*.

Además, el valor de la oportunidad de inversión en el momento t = 8 años es de 5411,43 €/ha. A

partir de estos datos se calcula el valor actual neto una vez que descontamos el coste que se

asumió en el momento 0 para transformar el terreno:

haeVAN /€53,82183,135543,5411 81138,0 =−×= ×−

Por tanto, cuando se considera que la madera crece a una tasa constante a partir del octavo año

obtenemos un valor actual neto positivo con el modelo determinista, situación que no se daba

cuando la hipótesis era que la madera no crecía a partir del octavo año.

A modo de resumen de los resultados obtenidos para el modelo determinista podemos observar

(cuadro 1) que la consideración del crecimiento o no de la madera a partir del octavo año se

convierte en un aspecto crítico a la hora de analizar el problema de inversión. En este sentido,

16


al considerar el crecimiento de la madera la decisión de talar los árboles se retrasa en 8,34 años

con respecto a la situación en que no se considera el crecimiento de la madera. Así, cuando los

árboles no crecen la decisión es talar en el primer momento que sea posible, momento que dadas

las restricciones impuestas se demora hasta el año 8 pero que de no haber impuesto tal

condición se pudiera haber producido con anterioridad. Por esta razón observamos diferencias

entre los valores frontera calculados y los valores observados cuando se talan los árboles justo

en el momento que la madera adquiere valor comercial. Sin embargo, en el caso de que el

volumen de madera aumenta siempre que no se talen los árboles, los valores frontera coinciden

con los valores observados ya que es precisamente el momento en el que se cumple la regla de

decisión. Finalmente, indicar que el aspecto crítico de la consideración o no del crecimiento del

volumen de madera se refleja en los diferentes valores actuales netos que toma la inversión en

uno y otro caso supuesto el resto de parámetros constantes. El valor actual neto de la inversión

es negativa cuando la madera no crece y positiva cuando crece.

Cuadro 1. Resumen de los resultados obtenidos en el modelo determinista (vol. nula)

Cuando s = 0 Cuando s = 2,07% anual

Valores frontera Valores observados Valores frontera Valores observados T 8 años 16,34 años 16,34 años

V 1657,29 €/ha 3166,89 €/ha 6767,26 €/ha 6767,26 €/ha

F(V) 301,46 €/ha 1811,06 €/ha 5411,43 €/ha 5411,43 €/ha

VAN -1234,53 €/ha -627,12 €/ha 821,53 €/ha 821,53 €/ha 3.2.-Modelos estocásticos

Con los modelos estocásticos se pretende valorar la opción de aplazamiento que tiene el

propietario inversor, opción que surge al considerar que el precio de la madera sigue un proceso

estocástico que hace relevante plantearse demorar la decisión de talar los árboles en función de

la evolución de los precios. Al igual que en el caso determinista se considera que la

consideración o no del crecimiento en el volumen de madera de la explotación con el transcurso

del tiempo es un elemento crítico en el análisis del problema. Además, y sólo para el caso en

que la madera no crece, hemos realizado el análisis tanto cuando el precio sigue un proceso

geométrico browniano como cuando sigue un proceso de reversión a la media. Cuando

suponemos que la madera crece a una tasa constante, s, únicamente hemos considerado el

proceso geométrico browniano.

Determinación del valor contingente de la explotación forestal cuando el activo subyacente

sigue un proceso geométrico browniano y el volumen de madera no crece a partir del

octavo año.

17


En este supuesto el valor de la explotación forestal varía de forma estocástica como

consecuencia de que el precio de la madera sigue un proceso geométrico browniano. Nuestro

objetivo es determinar la regla óptima de corte de los árboles que permite al propietario–

inversor alcanzar la rentabilidad deseada. Así, se calculará el valor contingente de la plantación

F(V) –valor de la oportunidad de inversión– y el valor critico V* a partir del cual es óptimo

ejercer la opción de aplazamiento. En definitiva, se procederá a talar los árboles cuando se

cumpla que V ≥ V*, siendo V

ttt QPV =

≥

<8,,

8,,0tsiQP

tsi

t

El incremento de Vt por instante de tiempo lo podemos expresar como:

ttt QdPdV =

como el precio de la madera es la única variable estocástica considerada, resulta

t

t

tt

t

PdP

QPdV

= o lo que es lo mismo t

t

tt

t

VdV

QPdV

=

y considerando que t

t

PdP

sigue un proceso browniano con parámetro de tendencia, α, y de

volatilidad, σ, obtenemos que el valor del subyacente evoluciona del modo siguiente

dzdtVdV

dzdtP

dP

t

t

t

t

σα

σα

+=

+=

(7) dzVdtVdV ttt σα +=

Para determinar el momento de corte óptimo hemos formado una cartera Φ compuesta de una

unidad de F(V) y una posición corta de n unidades de V de forma que el riesgo de la cartera sea

nulo y el valor de la cartera sea tal que no sea posible el arbitraje:

nVF −=φ

VFFVFn

''−=

=φ

Al realizar una venta a crédito no se tiene el activo que se vende por lo que se pide prestado a un

tercero. Por su parte, el que presta el activo va a exigir al prestatario que satisfaga los

18


rendimientos que genere el activo durante el periodo de préstamo que en nuestro caso se

corresponde con la convenience yield, δ. En consecuencia, la rentabilidad de esta cartera será:

VdtndVFdF δ−− '

Sustituyendo n por su valor

dtVFdVFdF '' δ−− (8)

Aplicando en (8) el lema de Itô y sabiendo que ( ) , se obtiene la expresión de la

rentabilidad de la cartera

dtVdV 222 σ=

VdtFdtFV '''21 22 δσ −

El retorno de esta cartera es sin riesgo, por tanto para que no sea posible el arbitraje

( )dtVFFrdtr '−=φ

dtVFFrdtVFdtFV )'('''21 22 −=−δσ

eliminando dt y simplificando, obtenemos la ecuación diferencial que F(V) debe satisfacer:

( ) 0'''21 22 =−−+ rFVFrFV δσ (9)

Con las condiciones límite:

( ) 0,0 =tF (10)

( ) [ 0,max, CVTVF T −= ] (11)

( ) CVtVF −= ∗∗ , (12)

( ) 1,' =∗ tVF (13)

Es posible encontrar una solución analítica para (9) que va a ser de la forma

( ) 1, ωAVtVF = ω (14) 11 >

Cuando el valor de la explotación una vez cortados los árboles alcanza el valor crítico V=V* en

ese momento sustituyendo en (14) V por su valor tenemos:

( ) 1ω∗∗ = AVVF y ( ) 11

1' −∗∗ = ωωVAVF (15)

Sustituyendo (15) en (13) obtenemos:

19


11

1

1−∗= ωωV

A (16)

De (12) tenemos ( ) CVF =− ∗∗V usando (14) y el valor de A se obtiene:

( ) C⋅−

=∗

11

1

ωωV (17)

Usando (17) en (16) ( )

11

11

11

11−

−−= ωω

ω

ωω

CA (18)

( ) ( ) 211

11'' −−= ωωω AVVF (19)

De (14), (15) y (19) sustituyendo en (9) y extrayendo como factor común obtenemos 1ωAV

( ) ( ) 0121

11121 =

−−+− rrAV ωδωωσω (20)

La expresión entre paréntesis tiene dos raíces, ω1>1 y ω2<0 . La condición limite (10) implica

que el coeficiente de ω2 sea 0, por lo tanto solo la raíz ω1 verifica (20) y es igual a

( ) ( )2

2

2212

21

21

σσδ

σδ

ωrrr

+

−

−+

−−= (21)

A partir de estas expresiones y utilizando los datos que hemos ido estimando para la explotación

forestal objeto de estudio se puede calcular tanto la regla óptima de corte como el valor actual

de la explotación considerando la opción de aplazamiento. En este sentido, la rentabilidad del

propietario–inversor se puede descomponer en dos: la rentabilidad por ganancias de capital, α, y

la “convenience yield”, δ. Por tanto, . Para calcular α hemos utilizado el mercado de

futuros sobre la madera del Chicago Board of Trade (CBT). El activo de referencia en este

mercado no coincide con la madera de Eucalipto que constituye el objeto de nuestro problema

de valoración pero constituye el activo mas correlacionado con el activo que pretendemos

valorar. Por su parte, µ se calculó utilizando el modelo CAPM. Por otro lado, la tasa de

convenience yield es un coste de oportunidad, por lo que δ= µ – α.

δαµ +=

( ) ( ) 162916,23192,0

0629,0221

3193,00931,00629,0

3193,00931,00629,0

21

2

2

221 =×

+

−

−+

−−=ω

Donde utilizando la expresión (17) se obtiene:

( ) 718,252183,13551162916,2

162916,2=×

−=∗V €/ha.

20


Este es el valor de la madera a partir del cual es óptimo cortar por lo que constituye la regla que

debe utilizar para tomar su decisión el propietario–inversor sobre si aplazar o no la tala de los

árboles. Debe tenerse en cuenta que cuando consideramos que el precio de la madera sigue un

proceso estocástico no es posible determinar, a priori, la fecha óptima de corte. En este caso se

conoce el valor crítico con respecto al cual se debe o no ejercer la opción de aplazamiento.

Para V=V* se obtiene ( ) 888,116583,1355718,2521 =−=−= ∗∗ CVVF €/ha

Dado que el momento en el que se analiza la inversión es el momento inicial (t=0) hay que

calcular el valor actual neto de la inversión para el valor crítico:

haeVnetovalor /€72,88683,135589,1165*)(. 81138,00 −=−= ×−

En definitiva, el valor actual neto de la inversión cuando se considera que el precio de la madera

sigue un proceso estocástico geométrico browniano es negativo lo que debería llevar al

propietario–inversor a rechazar esta oportunidad de inversión. La opción de aplazamiento en

este escenario no es suficiente para alcanzar un valor actual neto positivo.


sigue un proceso de reversión a la media y el volumen de madera no crece a partir del

octavo año.

Los precios de los recursos naturales suelen estar ligados al coste marginal de su producción a

largo plazo, lo que suele derivar en procesos de reversión a la media para tales precios. En

concreto, Casassus y Collin–Dufresne (2001) indican que los precios de una materia prima

suelen seguir procesos de reversión a la media cuando tal materia prima se utiliza como input

en la producción de un bien intermedio. Así, una parte de la literatura relativa a la valoración de

las explotaciones forestales ha considerado que el precio de la madera evoluciona de forma más

parecida a un proceso de reversión a la media que a un proceso geométrico browniano. Si este

fuera el caso, se podría estar cometiendo un error importante al utilizar un proceso geométrico

browniano cuando el valor de la tendencia, V , fuera muy superior al coste de producción del

activo (Dixit y Pindyck, 1993). Por esta razón se ha repetido el análisis considerando que el

precio de nuestra variable de estado sigue un proceso de reversión a la media del siguiente

modo15 :

15 En la literatura económico–financiera aparecen varias formas diferentes de formular el proceso de reversión a la media. La forma del proceso de reversión a la media que hemos utilizado ha sido estudiada por Dixit y Pindyck (1994) y también es conocida como Modelo Geométrico de Orntein–Uhlenbeck o Modelo de Dixit y Pindyck.

21


( ) PdzPdtPPdP ση +−=

donde P es el nivel de equilibrio a largo plazo (o el precio medio a largo plazo al cual los

precios tienden a revertir); y η es la velocidad de reversión. Los otros términos tienen el mismo

significado que en el caso del movimiento geométrico browniano.

Supuesto este proceso para el precio de la madera, la evolución en el tiempo del valor de la

explotación, V¸ puede expresarse como

( ) VdzVdtVVdV ση +−=

La diferencia entre el proceso de reversión a la media y el geométrico browniano está en el

parámetro de tendencia. En el proceso de reversión a la media la tasa de crecimiento no es

constante, sino que es función de V, de manera que la tendencia será positiva si el nivel actual

del valor V es más bajo que el nivel de equilibrio V , y negativa en caso contrario.

La ecuación diferencial que resulta para el valor de la oportunidad de inversión, F(V), es:

( ) ( )[ ] ( ) 0'''21 22 =−−+−+ rFVVFVVrVFV ηµσ (22)

y las condiciones de contorno que debe satisfacer la ecuación (22) son las mismas que en el

supuesto anterior, ecuaciones (10) a (13). Esta ecuación diferencial tiene solución analítica de la

forma (véase anexo 2):

= bVHAVVF ,;2)( 2 θσηθ (23)

debiendo resolverse H(x;θ,b) por métodos numéricos.

Para la estimación de los parámetros realizamos una transformación logarítmica en el proceso

de los precios de la madera, dando lugar al siguiente proceso aritmético de reversión

dx = h (m - x) dt + s dz (24)

donde, m = ( P - s2 /(2 h)) ln P/P, y h = η P/(ln P).

Ambos dependen en cada momento del nivel de precios de la madera, P. No obstante, para la

determinación de los parámetros del proceso de reversión, los valores de P y η pueden

estimarse como un promedio dentro de un intervalo de valores razonable, sin que produzcan

alteraciones en los parámetros.

22


La ecuación (24) es una versión en tiempo continuo del proceso autorregresivo de primer orden,

AR(1), en tiempo discreto (Dixit & Pindyck, p.76; Schwartz, 1997). En el límite, cuando dt

tiende a cero, el proceso AR(1) puede escribirse como

xt - xt - 1 = m (1 - e- h dt) + (e- h dt - 1) xt - 1 + et

donde et se distribuye siguiendo una normal con media cero y desviación σe,

σe2 = [1 - exp(- 2 h)] σ 2/2h

Para estimar los parámetros de la reversión a la media se obtiene la siguiente regresión,

xt - xt - 1 = a + c xt - 1 + et

y se calculan los parámetros como

m = -a/c

h = - ln(1 + c)

1)1()1ln(

2 −++

=c

ceσσ

Los valores de los parámetros del proceso de reversión a la media obtenidos para el precio de la

madera a partir de la serie sobre los futuros LBH3 desde 1972 a 2002 son: η = 0,11806 y σ =

0,2280. A partir de estos valores y de las expresiones anteriores, se obtiene el valor crítico de la

explotación a partir del cual se ejercita la opción, V*=3163,83 €/ha, y el valor de la oportunidad

de inversión, F(V*) que es de 1807 €/ha. Estos valores no obstante, se refieren al momento a

partir del cual se plantea la oportunidad de talar los árboles, es decir se refieren al año octavo,

siendo necesario por tanto actualizar el valor de la oportunidad al momento actual y determinar

el valor de la explotación detrayendo el coste de iniciar la inversión. En consecuencia el valor

actual neto es -628,76 €/ha.

haeVnetovalorhaVF

/€76,62883,13551807*)(./€180783,135583,3163*)(

1138,080 −=−×=

=−=×−

Por tanto, cuando el volumen de madera de la explotación no aumenta a partir del octavo año no

debe realizarse la inversión en la explotación forestal ya que en todos los casos analizados –

modelo determinista y modelos estocásticos– el valor actual neto es negativo.


sigue un proceso geométrico browniano y el volumen de madera crece a partir del octavo

año a una tasa constante.

23


Veamos ahora el caso en el que el valor de la explotación forestal varía de forma estocástica

como consecuencia de que el precio de la madera sigue un proceso geométrico browniano y el

volumen de madera aumenta a una tasa constante, s, a partir del octavo año.

El incremento de Vt por instante de tiempo lo podemos expresar como:

sdtP

dPQP

dVdtPsQQdPdV

dtsQdQPdQQdPdV

t

t

tt

t

ttttt

tt

ttttt

+=

+==

+=

como t

t

PdP

sigue un proceso browniano de forma, dzdtP

dP

t

t σα += , resulta que

sdtdzdtVdV

t

t ++= σα

(25) ( ) dzVdtVsdV ttt σα ++=

Supuesto este proceso para el valor del subyacente, resulta que el coste de oportunidad en que se

incurre al diferir la tala de los árboles, δ, debe contemplar también el incremento del stock de

madera que se produce cuando se difiere la decisión de talar los árboles, de manera que en este

caso la “convenience yield” se ha ajustado por la tasa de crecimiento de la madera, s, por lo que

δ= µ–α–s, siendo µ la rentabilidad esperada por el propietario de la explotación forestal ajustada

por el riesgo.

Igual que en el supuesto de crecimiento nulo de la madera, para determinar el momento de corte

óptimo hemos formado una cartera Φ compuesta de una unidad de F(V) y una posición corta de

n unidades de V de forma que el riesgo de la cartera sea nulo y el valor de la cartera sea tal que

no sea posible el arbitraje:

nVF −=φ

VFFVFn

''−=

=φ

La rentabilidad de la cartera se puede expresar como:

VdtFdtFV '''21 22 δσ −

Como se ha propuesto en el caso de que s=0 la ecuación diferencial que F(V) debe satisfacer es:

24


( ) 0'''21 22 =−−+ rFVFrFV δσ (26)

Con las condiciones de contorno ya apuntadas (ecuaciones 10 a 13).

Tal y como se demostró es posible encontrar una solución analítica para la ecuación (26) que va

a ser de la forma:

( ) 1, ωAVtVF = con 1>ω . 1

Con:

( ) 1ω∗∗ = AVVF , ( ) CV ⋅−

=∗

11

1

ωω

, ( )

11

11

11

11−

−−= ωω

ω

ωω

CA

( ) ( )2

2

2212

21

21

σσδ

σδ

ωrrr

+

−

−+

−−=

A partir de estas expresiones y utilizando los datos que hemos ido estimando para la explotación

que deseamos valorar obtenemos los siguientes resultados:

( ) ( ) 222605,13192,0

0629,0221

3193,00228,00629,0

3193,00228,00629,0

21

2

2

221 =×

+

−

−+

−−=ω

( ) 78,744683,1355122605,1

222605,1=×

−=∗V €/ha

Cuando la madera alcanza un valor igual o superior al valor crítico de 7446,78€/ha es óptimo

cortar los árboles. En este sentido, conviene resaltar que cuando se supone que el precio de la

madera sigue un proceso estocástico no se puede calcular a priori el momento óptimo de corte,

T*, sino que lo que el modelo nos proporciona es un valor de referencia, V*, con el cual

comparar en cada momento el valor de la madera, valor que fluctuará en función de las

variaciones en el precio de la misma y por el incremento del volumen de madera disponibles a

medida que se aplaza la tala de los árboles.

( )

( ) haAVVF

A

/€78,609078,7446112408,0

112408,083,1355222,1

1222,1

222605,1

1222,1222,1

1222,1

1 =×==

=×−

=

∗∗

−

−

ω

Se recuerda que el propietario de la plantación se plantea la decisión de invertir en el momento

0 por lo que debemos calcular el valor actual neto en ese momento actualizando

25


convenientemente F(V) y restando el coste inicial de transformar el terreno en una explotación

forestal:

haenetovalor /€88,109483,135578,6090. 81138,00 =−×= ×

El valor actual neto de la inversión es positivo y mayor que el obtenido en el caso determinista

(1094,88 €/ha frente a 821,53 €/ha). Se observa, pues, que la opción de aplazamiento permite

incrementar el valor de la explotación forestal al considerar de forma expresa la posibilidad que

tiene el propietario–inversor de elegir el momento para talar los árboles más conveniente para

sus intereses. En particular, debe elegir aquel momento en el cual los precios de la madera le

permitan obtener al menos una rentabilidad anual del 11,38%.

En el cuadro 2 se pueden observar, a modo de resumen, los principales resultados para cada uno

de los modelos estocásticos ensayados. De estos resultados se pueden extraer las siguientes

consideraciones:

1. La opción de aplazamiento en los modelos estocásticos que no consideran el

crecimiento de la madera tiene escaso valor como consecuencia de tratarse de una

opción muy fuera del dinero con remotas posibilidades de ser ejercida. En todos los

casos la decisión óptima es no esperar y talar tan pronto como se pueda, cuando la

madera alcanza valor comercial. Así mismo, desde el punto de vista del valor actual

neto de la inversión en todos los casos es negativa. No es una buena inversión para el

propietario del terreno transformar el mismo en una explotación forestal.

2. Al igual que sucedió con el modelo determinista la consideración de forma expresa de

que la madera crece mientas no sea cortada modifica de forma sustancial nuestros

resultados. Así la opción de aplazamiento permite incrementar el valor actual neto de la

inversión al pasar tal valor de 821,53 €/ha en el caso determinista a 1094,88 €/ha en el

caso estocástico, es decir la opción supone más del 30% del valor actual neto calculado,

poniendo de manifiesto la utilidad del enfoque de opciones reales para valorar

realidades complejas sometidas a situaciones de elevada incertidumbre.

Cuadro 2. Resumen de los resultados obtenidos para cada uno de los modelos estocásticos. Sin crecimiento (s=0) Con crecimiento (s=7,03% anual)

Proceso geométrico browniano

Proceso de reversión a la media

Proceso geométrico browniano

V 2521,72 €/ha 3163,83 €/ha 7446,78 €/ha

F(V) 1165,89 €/ha 1807 €/ha 6090,78 €/ha

valor neto0 -886,72 €/ha -628,76 €/ha 1094,88 €/ha

26


4.- Conclusiones

Este trabajo pretende analizar la decisión de inversión en una explotación forestal de Eucaliptos

a la que se enfrenta un propietario de un terreno de labor en el centro de Portugal. A diferencia

de los estudios sobre explotaciones forestales que nos han precedido se trata de una situación en

la que coinciden en una misma persona el propietario y el inversor. Además, el tamaño de la

explotación es tan reducido que todos los árboles se talan a la vez por lo que hay que esperar un

mínimo de ocho años antes de poder obtener ingresos de la explotación. Así mismo, dada la

duración del proyecto, nunca inferior a ocho años, la incertidumbre sobre la evolución de la

principal variable, el precio de la madera, induce a pensar que la utilización de modelos de

valoración que no tengan en cuenta tal incertidumbre pudieran conducir a errores. Finalmente,

la madera, a diferencia de otros recursos naturales, suele ver incrementado su volumen con el

paso del tiempo lo que significa que el stock de este recurso natural no sólo no experimenta

mermas sino que es previsible que aumente de forma significativa. En consecuencia, la

inversión objeto de estudio tiene tres momentos que es preciso identificar: el momento inicial

que requiere realizar el desembolso necesario para transformar el terreno de labor en una

explotación de Eucaliptos, el momento en que la madera alcanza valor comercial, al llegar al

año ocho, y el momento en que es óptimo para el propietario–inversor talar los árboles, recibir

los correspondientes ingresos y asumir los costes de reforestación, momento que debe decidir el

inversor y que dependerá de que el precio de la madera en ese momento y el stock de la misma

sean suficientes para alcanzar la rentabilidad subjetiva deseada, la cual vendrá condiciona por el

riesgo asumido. Por todo ello, se plantea un análisis comparado de la decisión de inversión

utilizando, por un lado modelos deterministas en los cuales el precio de la madera crece de

forma constante a lo largo del tiempo (volatilidad nula), y por otro, modelos estocásticos en los

que se trata al precio de la madera como una variable estocástica cuyo precio futuro se

desconoce aunque se sabe que evoluciona de acuerdo con un proceso geométrico browniano o

de reversión a la media. Los modelos estocásticos permiten considerar de forma explicita el

valor de la opción de aplazamiento que tiene el inversor, situación que no se da en los modelos

deterministas. En nuestro caso consideramos que esa opción de aplazamiento es una opción

americana de duración indefinida que hemos valorado mediante una variante del modelo de

Dixit y Pindyck (1993). Este modelo nos permite obtener una ecuación diferencial con solución

analítica o con solución numérica mediante un proceso iterativo Adicionalmente, dada la

particular característica de la madera en comparación con otros recursos naturales, se compara

el valor de la inversión si el stock de madera permanece constante con el valor que se obtiene

cuando se considera que el stock de madera crece a una tasa constante e indefinida en el tiempo.

27


En definitiva se derivan y calculan dos soluciones deterministas: una cuando el stock de madera

permanece constante y otra cuando el stock de madera crece con el tiempo hasta el momento de

la tala de los árboles, y tres soluciones estocásticas: en dos de ellas se considera que el stock de

madera permanece constante pero se analizan las diferencias cuando se considera que el precio

de la madera sigue un proceso geométrico browniano con los resultados que se obtienen cuando

el precio de la madera sigue un proceso de reversión a la media, y en la tercera solución se

considera que el stock de madera aumenta con el tiempo y el precio de la madera sigue un

proceso geométrico browniano. Los resultados avalan la hipótesis de que en el caso de las

explotaciones forestales la consideración de que el stock de madera crece con el tiempo es

crítica para determinar el valor de la inversión y el momento óptimo de tala de los árboles. Así,

en el caso determinista observamos que si el stock de madera no crece nuestro propietario–

inversor no debería realizar la inversión, de acuerdo con los parámetros utilizados, mientras que

tal inversión es aceptable si el stock de madera crece. En este caso debería esperar 16,34 años

antes de talar los árboles para obtener la rentabilidad estimada, dado su nivel de riesgo, del

11,38% anual. Por su parte, los modelos estocásticos reflejan una situación similar, en ninguno

de los casos donde el stock de madera es constante debería aceptarse el proyecto de inversión

analizado. En todos estos casos la opción de aplazamiento se encuentra muy fuera del dinero por

lo que su valor es ínfimo y no nos permite observar diferencias apreciables con el valor de la

inversión en el caso determinista. Sin embargo, al considerar que el stock de madera crece

mientras no se corten los árboles, la opción de aplazamiento resulta de gran valor y nos lleva

tanto a aceptar el proyecto de inversión como a confirmar que el valor del proyecto es mayor

cuando se incluye la opción de aplazamiento. Observamos, en definitiva que el proyecto sólo es

capaz de generar la rentabilidad demandada por el inversor si tiene sentido aplazar la decisión

de corte de los árboles mas allá del momento en que la madera tiene valor comercial, situación

que se da sólo cuando suponemos que la madera sigue creciendo a una tasa constante. En este

escenario la consideración de la incertidumbre que rodea a los precios futuros de la madera

(volatilidad) hace que la opción de aplazamiento únicamente pueda ser valorada por los

modelos estocásticas. Así, observamos que aproximadamente un 30% del valor neto del

proyecto en el momento inicial corresponde a la opción de aplazamiento –modelo estocástico–.

Este resultado se obtiene al observar las diferencias de valoración entre el modelo determinista,

738,89 €/ha, y el modelo estocástico, 1094,88 €/ha. Por tanto, se pone de manifiesto la utilidad

del enfoque de opciones reales para valorar proyectos de inversión en situaciones de elevada

incertidumbre ya que permite considerar de forma expresa los efectos de tal incertidumbre a

diferencia de los modelos deterministas en los que se considera que los precios futuros son

conocidos a priori.

28


Para concluir esta sección comentar que nuestros resultados se hallan condicionados por las

dificultades encontradas para estimar los parámetros con los datos disponibles. En el futuro nos

proponemos desarrollar el modelo estocástico que considera que el precio de la madera sigue un

proceso de reversión a la media cuando el stock de madera se incrementa a lo largo del tiempo.

Además, podría ser de interés un análisis de sensibilidad de las principales variables del modelo:

rentabilidad, “convenience yield”, tasa de crecimiento de la madera o volatilidad del precio de la

madera.

29

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31

ANEXO 1

Determinación del valor de la oportunidad de inversión en el caso determinístico cuando se considera que el volumen de madera crece a partir del octavo año de forma constante en el tiempo.

Substituyendo el valor óptimo de T dado por la expresión

( ) ( )

−−

×+

=∗ 0;ln1Vs

Cs

MaxTαµµ

α en el valor actual de la oportunidad,

( ) ( )[ ] TTs eCVeVF µα+ −= − se obtiene:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )ss

s

VsC

VsC

VsC

sVsC

ss

CeVeVF

CeVeVF

+−

+−+

−−

−−

−−

×+−

−−+

×−+

−=

−=

αµ

αµα

αµµ

αµµ

αµµ

αµ

αµµ

αµα

lnln

lnln1

( ) ( )

( )( )

( )( )ss

s

VsCC

VsCVVF

+−

+−+

−−

−

−−

=αµ

αµα

αµµ

αµµ

( )

( )( )s

s

ss

sCV

+−+

+−+

−

−−

×=α

µα

αµα

αµµ1

( ) ( )( )

( )

( )

−−

++−×

−−=

=

−

−−×

−−

=

++

+

ssCCCC

CVs

Cs

CVs

CVF

s

s

αµαµµ

µαµ

αµµ

αµµ

µµα

αµ

( ) ( )( )

( ) ( )s

CVs

sCsVF

+

−−×

−−

+=

αµ

µαµ

αµα

32

ANEXO 2

La ecuación diferencial ( ) ( )[ ] ( ) 0'''21 22 =−−+−+ rFVVFVVrVFV ηµσ tiene que

resolverse por métodos numéricos. Así, utilizando el método propuesto por Dixit y Pindyck (1993), definimos una nueva función

( ) (VhAVVF θ= ) (A1)

Sustituyendo esta expresión de F(V) en la ecuación diferencial:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 021

121

221

2

=

−′−+−++′′+

−+−+−

+ VhVhVVrVhVV

rVrVhV

ηθηηµθσσ

θηµθθσ

θ

θ

(A2)

La ecuación (A2) tiene que ser verificada para todos los valores de V por lo tanto los términos entre paréntesis rectos deben ser iguales a cero. Tomando los términos del primer paréntesis recto se pueden obtener los valores para θ. Dado que la condición de contorno (10) impone que F(0)=0 se utiliza la solución positiva de θ:

( ) ( )2

2

222

21

21

σσηµ

σηµθ

rVrVr+

−+−+−−+= (A3)

En el segundo paréntesis recto de la ecuación (A2) tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) 021 22 =−′−+−++′′ VhVhVVrVhV ηθηηµθσσ (A4)

Sustituyendo 2

2σηVx = se puede transformar la ecuación (A4) en una forma estándar. Sea

de forma que ( ) ( )xgVh = ( ) ( )xgV ′

=′

2

2σηh y ( ) ( )xgVh ′′

=′′

2

2

2ση

entonces (A4) se

vuelve

(A5) ( ) ( ) ( ) ( )xgxgxbxgx θ−′−+′′

donde ( )

2

22σ

ηµθ

Vr +−+=b

De acuerdo con Dixit y Pindyck (1993) la ecuación (A5) es conocida como la ecuación de Kummer y tiene por solución la función hipergeometrica convergente H(x;θ,b(θ)):

( ) ( )( )

( )( )( )( ) ⋅⋅⋅+

++++

+++

++=!321

21!21

11,;32 x

bbbx

bbx

bbxH θθθθθθ

θ (A6)

33

34

Entonces la solución de la ecuación diferencial es:

( )

= bVHAVVF ,;2

2 θσηθ (A7)

El valor de los parámetros y V (valor critico de la plantación) tiene que ser determinados numéricamente , es una serie infinita convergente, partiendo de las condiciones limite

A *H

( ) CVVF −= ∗∗ y . ( )V 1=′F

Utilizamos el método numérico de la secante para resolver la ecuación (A7)

( )( ) ( )HVAVF

HAVVFθ

θ

=

=

De la condición limite ( ) ( )HVAVCVFVCCVVF θ−=⇒−=⇒−=)( (A8)

De la condición limite ( )( )′

=⇒=′θVH

AVF 11 (A9)

Sustituyendo A por su valor en la expresión (A8)

( )( )HV

VHVC θ

θ ′−=1

( )0=−′− C

V

VVθ

θ (A10)

Usando la aproximación por la tangente ( ) ( ) ( )kkk

kkkk Xf

XfXfXXXX

1

11

−

−+ −

−−=

se hallan numéricamente los valores para ( )VyFVA ∗,

universidad de valladolid · (opción de aplazamiento) que van unidas a la explotación forestal...

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