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Julio Rito Vargas Pág. 1
UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel
Investigación de Operaciones II Encuentro #1
Tema: Optimización de Redes (El problema de la ruta más corta)
Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. Grupo: Ingenierías /2018
Objetivos:
Conocer los conceptos de redes y sus propiedades.
Aplicar el algoritmo de Dijkstra en redes para obtener la ruta más corta desde un nodo de inicio a un nodo destino.
Desarrollo:
EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA:
El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde sólo un nodo es
considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo destino. El objetivo es
determinar un camino de conexiones que minimizan la distancia total del origen al destino. El
problema se resuelve por el “algoritmo de etiquetado”.
Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo, entre el punto de partida o nodo inicial y
el destino o nodo terminal.
En general la formulación del modelo matemático lineal del problema de la ruta más corta
desde un origen s a un destino t es:
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El problema de la ruta más corta se puede resolver por el Algoritmo de Dijkstra:
Que consisten en los siguientes pasos:
1. Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales o aristas que salen de él. 2. Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más cercano a él. 3. Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano elegido. 4. Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo más cercano a él, por intermedio
del nodo ya elegido y volver al tercer paso hasta llegar al destino.
Ejemplo 1:
Encuentre la ruta más corta de la siguiente red. Los números representan las distancias correspondientes reales entre los nodos.
Solución: Para resolver problemas de ruta más corta se debe proceder con el criterio del Algortimo
de Dijktra. Esto es, vamos a partir del origen (O) y debemos llegar al Destino (T) y lo debemos hacer
por el camino o ruta más corta. Es decir tenemos que optimizar, minimizando costos de envío del
nodo Origen al Nodo destino.
Vea que en la red tenemos tiene 11 nodos:
Al salir del Nodo O se puede llegar a los Nodos A, B y C. pero fíjese que se puede hacer a
distintas distancias 4,3 y 6. Respectivamente. Lo cual mostramos con cuadrados rojos sobre
los nodos alcanzados o conocidos. OA=4, OB=3,OC=6
4
6
3
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Ahora vamos a llegar al Nodo D; puede ver que los nodos conocidos más cercanos son A y
C. por lo tanto se puede llegar a D desde A con 4+3=7; pero se puede llegar a D dese C con
6+2=8, como nos interesa el camino más corto elegimos AD para un costo de 7.
Ahora vamos a llegar a E; puede ver que los nodos conocidos más cercanos son B y C. por
tanto se puede llegar a E desde B con 3+6= 9; pero se puede llegar a E desde C con 6+5=11
como nos interesa el camino más corto elegimos BE con un costo de 9.
Ahora vamos a llegar a F; puede verse que los nodos conocidos más cercanos son C,D y E,
por tanto se puede llegar a F desde C con 6 + 2= 8; pero se puede llegar a F desde D con
7+2=9; pero también se puede llegar a F desde E con 9+1=10; puede verse que el más corto
de los tres es 8 por lo que elegimos CF.
Ahora podemos alcanzar G desde los nodos conocidos más cercanos D y F. por tanto se
puede llegar a G desde D con 7+4=11; pero se puede llegar a G desde F con 8+2=10;
puede verse que es menos costoso llegar desde F por lo que elegimos FD.
Ahora podemos alcanzar H desde los nodos conocidos más cercanos E,F y G. Por tanto se
puede llegar H desde E con 9+2= 11; pero se puede llegar a H desde F con 8+5=13; pero se
puede llegar a H desde G 10+2=12; puede verse que el menos costoso es de EH con 11.
Ahora podemos alcanzar I desde los nodos conocidos más cercanos E y H. Por lo tanto se
puede llegar a I desde E con 9 + 5=14; pero puedo llegar I desde H con 11+3=14; vemos
que los costos son iguales desde E o desde H, por lo que hay dos opciones posibles. HI y EI
7
9
8
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Ahora podemos alcanzar el nodo destino T desde los nodos conocidos más cercanos G,H e
I. Por tanto puedo alcanzar T desde G con 10+7=17; pero puedo alcanzar T desde H con
11+8=29 o puede alcanzar T desde I con 14+4=18, puede verse que de los tres el menos
costoso es 17 desde GT
Resultando la ruta más corta (óptima) : OC-CF-FG-GT=17 o lo que es lo mismo O-C-F-G-T = 17
N Nodos resueltos, conectados
directamente a nodos no resueltos
Nodos no resueltos
más cercanos
conectados
Distancia total
involucrada
N-ésimo nodo más cercano
Distancia mínima
Última conexión
1 O A 4 A 4 OA
2 O B 3 B 3 OB
3 O A B
C C C
6 4+5 3+6
C C C
6 OC
4 A C
D D
4+3 6+2
D D
7 8
AD
5 B C
E E
3+6 6+5
E 9 BE
6 C F 6+2 F 8 CF
10
11
14
17
10
8
6
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D E
F F
7+2 9+1
7 D F
G G
7+4 8+2
G
10
FG
8 E F G
H H H
9+2 8+5
10+2
H 11 EH
9 E H
I I
9+5 11+3
I I
14 EI HI
10 G H I
T T T
10+7 11+8 14+4
17 T GT
Ejemplo 2:
Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en cientos de metros. Resuelva mediante cualquier paquete de herramientas de investigación operativa que permita establecer la ruta más corta para poder así auxiliar al minero.
Solución:
N Nodos resueltos, conectados
directamente a nodos no resueltos
Nodos no resueltos
más cercanos
conectados
Distancia total
involucrada
N-ésimo nodo más cercano
Distancia mínima
Última conexión
1 1 2 4 2 4 12
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2 1 3 2 3 2 13
3 2 2 3 3
4 3 4 5
4+7 4+2 2+9 2+6
4 3 4 5
11
11 8
24
34 35
4 5 4 8+2 4 10 54
5 4 4
6 7
10+1 10+5
6
11
46
6 5 5 5
6 7 8
8+4 8+3 8+2
6 7 8
11 10
57 58
7 6 6
7 9
11+1 11+5
9
16
69
8 7 7
8 9
11+3 11+5
9
16
79
9 8 8
7 9
10+2 10+7
Puede observar que hay dos rutas con la distancia mínima de 16:
1→ 3 → 5 → 4 → 6 → 9 y 1→ 3 → 5 → 7 → 9
ACTIVIDAD DE REAFIRMACIÓN:
1. ¿En la figura 3, cuál es la ruta más corta del nodo 1 al nodo 12? Los valores sobre
las aristas representan distancias
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ACTIVIDAD EXTRACLASE.
2. En la red de la figura 2, encuentre la ruta más corta del nodo S al nodo T.
Destino
Origen
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3. La siguiente tabla representa una red con los arcos identificados por sus nodos inicial y final. Dibuje la red no dirigida y encontrar la distancia mínima requerida para conectar el nodo 1 con el nodo 10.
Arista o Arco Distancia Arista o Arco Distancia
1-2 12 5-7 7
1-3 7 6-7 6
2-3 8 7-8 5
2-4 10 7-9 6
3-4 9 8-9 8
3-5 8 9-10 7
4-5 8 8-10 5
4-6 11
5-6 9
UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel
Investigación de Operaciones II Encuentro #2
Tema: Optimización de Redes: El problema del flujo máximo
Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. Grupo: Ingeniería /2018
Objetivos:
Determinar el flujo máximo entre un nodo fuente y un nodo destino, los que están enlazados a través de una red, con arcos con capacidad finita.
Reconocer las propiedades del problema de flujo de costo mínimo.
Desarrollo:
EL PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO:
El problema del flujo máximo implica determinar la cantidad máxima de material que en una red puede fluir de un punto (el origen) a otro (el destino final). Los ejemplos de este tipo de problema incluyen determinar el número máximo de autos que circulan por un sistema de carreteras, la cantidad máxima de líquido que fluye por una red de tuberías y la cantidad máxima de productos que pueden fluir por una red de distribución a consumidores. Para encontrar el flujo máximo desde el origen o el inicio de una red hasta el sumidero o final de la red, se utilizan dos métodos comunes: El algoritmo de la trayectoria de aumento del problema de flujo máximo y la programación lineal. Presentaremos un ejemplo y aplicamos el primero de los dos métodos.
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Algoritmo de la trayectoria de aumento del problema de flujo máximo 1. Se identifica una trayectoria de aumento cuando se encuentra alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre ella tenga capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón de flujo óptimo.) 2. Cuando se encuentra el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria. 3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1. Cuando se lleva a cabo el paso 1, con frecuencia habrá varias alternativas de trayectorias de
aumento entre las cuales se podrá escoger. Aunque la estrategia algorítmica para elegir es
importante para elevar la eficiencia de las aplicaciones a gran escala.
Ecuaciones:
𝐶𝑖𝑗,𝑗𝑖 = (𝐶𝑖 − 𝐾, 𝐶𝑗 + 𝐾), donde:
C: capacidad
ij: índices de los nodos
K: es el mínimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como K= min{capacidades de los arcos de
la trayectoria seleccionada}.
Ejemplo:
En este momento la administración del SEERVADA PARK se enfrenta a un problema: durante la
temporada pico, hay más personas que quieren tomar un tranvía a la estación T que aquellas a las
que se les puede dar servicio. Para evitar la perturbación indebida de la ecología y de la vida silvestre
de la región, se ha impuesto un racionamiento estricto al número de viajes al día que pueden hacer
los tranvías en cada camino. De esta forma, durante la temporada pico, se pueden seguir varias rutas,
sin tomar en cuenta la distancia, para aumentar el número de viajes de tranvía diarios. La pregunta
es cómo planear las rutas de los distintos viajes, de manera que se maximice el número total de
viajes que se pueden hacer al día, sin violar los límites impuestos sobre cada camino.
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Aplicaremos el algoritmo de la trayectoria de aumento al problema de Seervada Park. A partir de la red residual inicial, que se muestra procederemos con las iteraciones. Iteración 1: en la gráfica siguiente, una de las trayectorias de aumento es O → B → E → T que tiene capacidad residual igual al min {7, 5, 6} = 5. Si se asigna un flujo de 5 a esta trayectoria, la red residual que resulta es:
Iteración 2: se asigna un flujo de 3 a la trayectoria de aumento: OAD T que tiene capacidad residual igual al min {5, 3, 9} = 3. Si se asigna un flujo de 5 a esta trayectoria, a red residual que resulta es
Iteración 3: se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O → A → B → D → T que tiene capacidad residual igual al min {2, 1, 4, 6} = 1. Iteración 4: se asigna un flujo de 2 a la trayectoria de aumento O → B → D → T que tiene capacidad residual igual al min {2, 3, 5} = 2. La red residual que resulta es
Inicio
Final
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Iteración 5: se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O → C → E → D → T que tiene capacidad residual igual al min {4, 4, 1, 3} = 1. Iteración 6: se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O → C → E → T que tiene capacidad residual igual al min {3, 3, 1} = 1. La red residual resultante es
Iteración 7: se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O → C → E → B → D → T que tiene capacidad residual igual al min {3, 3, 1} = 1. La red residual que resulta es
Puede observar la red resultante después de la séptima iteración y yaa no existen trayectorias de aumento, por lo que el patrón de flujo actual es óptimo. Esto es, el número total (máximos) de viajes que se pueden hacer al día es 14.
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ACTIVIDAD DE REAFIRMACIÓN: Determina el flujo máximo entre el nodo 1 y el nodo 8, los que están enlazados a través de una red, con arcos con capacidad finita, tal como se presenta en la siguiente gráfica. Notar que los números asignados a cada uno de los arcos representan los flujos máximos o capacidades correspondientes a cada arco.
ACTIVIDAD EXTRACLASE:
1. Determine el flujo máximo en la red siguiente, siendo el nodo de inicio 1 y el nodo de destino 5.
La Texago Corporation tiene cuatro campos de petróleo, cuatro refinerías y cuatro centros de distribución. Una fuerte huelga en la industria del transporte ha reducido de manera considerable la capacidad de Texago para enviar petróleo de sus campos a las refinerías y los productos derivados a los centros de distribución. Use unidades en miles de barriles de petróleo crudo (y su equivalente en productos refinados); las tablas siguientes muestran el número máximo de unidades que puede enviar al día de cada campo a cada refinería y de éstas a cada centro de distribución.
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La administración de Texago desea elaborar un plan para determinar cuántas unidades debe enviar de cada campo petrolero a cada refinería y de cada refinería a cada centro de distribución de manera que se maximice el número total de unidades que llegan a los centros de distribución. a. Bosqueje un plano que muestre la ubicación de los campos, refinerías y centros de distribución de Texago. Agregue el fl ujo del petróleo crudo y de los productos del petróleo a través de la red de distribución.
b. Dibuje de nuevo la red alineando en una columna los nodos de los campos, en otra los de refinerías y en una tercera los de centros de distribución. Después agregue arcos para mostrar el flujo posible.
c. Modifique la red del inciso b) para formular este problema como uno de flujo máximo con sólo una fuente, un destino y una capacidad de cada arco.
2. Determine el flujo máximo de A a G en la red indicada.
3. El siguiente diagrama describe un sistema de acueductos que se origina en tres ríos
(R1, R2, R3) y termina en una ciudad importante (nodo T), donde los otros nodos son puntos de unión del sistema.
Utilice unidades de miles de acres –pie; las siguientes tablas muestran la cantidad máxima de agua que puede bombearse, a través de cada acueducto cada día.
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La comisión de agua desea determinar el plan que maximice el flujo de agua hacia la ciudad T.