universidad de sonoralic.mat.uson.mx/tesis/035_gabriel_oc.pdf · introducci on la teor a de grupos...

El saber de mis hijoshará mi grandeza”

UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Licenciado en Matematicas

Algebras de Lie 3-dimensionales y Grupos de Lieexponenciales

T E S I S

Que para obtener el tıtulo de:

Licenciado en Matematicas

Presenta:

Gabriel Alejandro Orozco Casillas

Director de Tesis: Dr. Guillermo Davila Rascon

Hermosillo, Sonora, Mexico, 15 de Diciembre, 2011.

SINODALES

Dr. Ruben Flores EspinozaUniversidad de Sonora.

Dr. Yury VorobevUniversidad de Sonora.

Dr. Guillermo Davila RasconUniversidad de Sonora.

M. C. Misael Avendano CamachoUniversidad de Sonora.

Dedicatoria

Esta tesis la dedico a mis padres.

Su apoyo incondicional me ha permitido lograr una meta mas enmi vida.

Gracias.

Agradecimientos

Agradezco a todos mis maestros del Departamento de Matematicas por susvaliosas ensenanzas durante mi estancia en la licenciatura en Matematicas, sin dudacada uno de sus ensenanzas me han ayudado a seguir adelante en mi formacion.Agradezco a mi asesor el Dr. Guillermo Davila Rascon por su gran apoyo y susensenanzas como mi profesor en la licenciatura en matematicas y durante el perıodode elaboracion de este proyecto de tesis.

A mis maestros sinodales, Dr. Ruben Flores Espinoza, Dr. Yuri M. Vorobiev, Dr.Guillermo Davila Rascon y M. C. Misael Avendano Camacho, por sus importantescrıticas y observaciones las cuales me fueron de gran ayuda para mejorar este trabajo.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa por apoyarme para la realizacionde esta tesis como becario del proyecto “Mecanismos de Promedios en Sistemas deEvolucion Clasicos y Cuanticos”.

A mi familia y amigos que siempre me han apoyado a lo largo de mi vida.

Indice

Introduccion 1

1 Algebras de Lie 5

1.1 Definicion general de algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Constantes de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Algebras de Lie clasicas asociadas a formas bilineales . . . . . . . . . 10

1.4 Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Grupos de Lie 19

2.1 Definicion general de Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Los grupos de Lie clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 El algebra de Lie de un grupos de Lie y la funcion exponencial 29

3.1 El algebra de Lie de un grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 La funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 La representacon Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Las algebras de Lie de dimension 3 49

4.1 El esquema de clasificacion de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Representaciones de las algebras de Lie 3-dimensionales . . . . . . . 50

4.3 Los grupos exponenciales de las algebras de Lie 3-dimensionales . . . 56

ix

x INDICE

Introduccion

La Teorıa de Grupos y de Algebras de Lie ha sido un area de constante investigaciondesde que fue introducida por el matematico noruego Marius Sophus Lie (1842-1899), a finales de 1873, cuya intencion era construir una teorıa para las ecuacionesdiferenciales, analoga a la Teorıa de Galois para ecuaciones algebraicas.

Recordemos que en esta ultima, con cada ecuacion algebraica polinomial se asociaun grupo, el llamado grupo de Galois de la ecuacion y las condiciones de solubilidadde la ecuacion se reflejan en las propiedades del grupo, de tal manera que unaecuacion algebraica polinomial (en una variable) es soluble si y solo si su grupo deGalois es soluble.

En el caso de las ecuaciones diferenciales es posible asociar con cada ecuaciondiferencial o sistema de ecuaciones diferenciales (digamos en Rn) un grupo que esel grupo de simetrıas de la ecuacion que es el grupo formado por todas las trans-formaciones que dejan invariante la ecuacion. El conocimiento de las simetrıas deuna ecuacion diferencial nos permite, la mayorıa de las veces, reducir el orden de laecuacion por lo que, en teorıa, serıa mas facil de integrar. De esta manera, en suestudio de los grupos de transformaciones, Lie se vio en la necesidad de clasificardichos grupos. De hecho, el problema de la clasificacion era un problema central desa Teorıa de Grupos de Transformaciones [11, 12].

Si tratamos de elaborar, solo para fines ilustrativos, un “diccionario” para mostrarla correspondencia entre las dos teorıas, podrıamos comparar los logros de Galois yde Lie a traves de la tabla siguiente [3]:

Teorıa de Galois Simetrıas infinitesimalesGrupos finitos Grupos continuosEcuaciones polinomiales Ecuaciones diferencialesSolubilidad por radicales Solubilidad por cuadraturas.

Por otra parte, el problema de determinar, salvo isomorfismo, todos los gruposde transformaciones en n variables, para cualquier n, resulta ser muy complejo yLie se dio cuenta de ello. Sin embargo tuvo exito en clasificarlas agebras de Liede dimension menor o igual a 6, sobre C, por lo que el problema de clasificacionera muy importante en el ambiente matematico de la epoca. Ası, poco despues delexito de Lie, Luigi Bianchi publica en 1898 un trabajo bastante extenso en el queclasifica las algebras de Lie reales de dimension tres [2]. Tal artıculo no llamo muchola atencion sino hasta que alrededor de los 1950’s, Kurt Godel utilizo el esquema deBianchi para proponer modelos cosmologicos relativistas de un universo en rotacion[14].

Esta lınea de ideas se continuaron en la decada de los 1960’s y llevaron a D.Farnsworth y R. Kerr a la introduccion de la descripcion moderna de los espacios

1

2 Introduccion

homogeneos utilizando los grupos de Lie, por una lado, mientras que C. G. Behrintrodujo la version moderna de la clasificacion de Bianchi de las algebras de Lie3-dimensionales [14].

En otro orden de ideas, dado un grupo de Lie G con g su algebra de Lie, veremosen el Capıtulo 2 que automaticamente queda definida una funcion exp : g → G,llamada la funcion exponencial y un problema que ha sido abordado por variosmatematicos desde los tiempos de Lie, pero que no ha sido resuelto, es el problema dedeterminar todos los grupos de Lie para los cuales la funcion exp es sobreyectiva. Losgrupos para los cuales esto se cumple son los llamados grupos de Lie exponenciales.

En los ultimos anos se han tenido avances en este problema. Ası por ejemplo, D.T. Djokovic y T. Q. Nguyen clasificaron todos los grupos de Lie lineales simples queson exponenciales [7] y M. Wustner ha clasificado todos los grupos de Lie simples,exponenciales [20]. Si bien se han tenido exitos parciales, varias cuestiones sobre losgrupos de Lie exponenciales permanecen aun como problemas abiertos en la Teorıade Lie [7].

Nuestro objetivo en esta tesis es presentar una introduccion al estudio de los gru-pos y algebras de Lie, ası como presentar algunos de los grupos de Lie exponencialesmas conocidos. La manera en que se organiza este trabajo es la siguiente:

En el primer capıtulo estudiaremos la definicion general de algebra de Lie comoun espacio vectorial en el cual esta definido el corchete de Lie e introduciremos ejem-plos generales de algebras de Lie. Posteriormente estudiaremos resultados basicossobre algebras de Lie y presentaremos algunos ejemplos importantes de algebrasde Lie: las algebras de Lie clasicas, que son algebras de matrices. Cerramos estecapıtulo con el estudio de las representaciones de algebras de Lie y la forma deKilling. Ademas, presentamos varios ejemplos sencillos en los cuales se calculan lasmatrices de la representacion y la correspondiente forma de Killing.

En el segundo capıtulo estudiaremos la definicion general de grupo de Lie yaque nuestro interes es mostrar la relacion que existe entre las algebras de Lie y susgrupos de Lie. Proporcionaremos, ademas, varios ejemplos para ilustrar esta relaciony posteriormente introduciremos los grupos de Lie clasicos, que son grupos de Liede matrices y nos serviran para enfatizar su relacion con las algebras de Lie clasicas.

En el tercer capıtulo es donde se estudia, de manera mas general, la relacionentre algebras de Lie y grupos de Lie: Dado un grupo de Lie, este tiene una algebrade Lie asociada y se probara que esta algebra de Lie es el algebra de los camposvectoriales invariantes por la izquierda, la cual es isomorfa al espacio tangente ala identidad del grupo de Lie. Se vera que esto define, de manera natural, unafuncion del algebra de Lie en su correspondiente grupo de Lie: la llamada funcionexponencial. Es precisamente a traves de esta funcion como se introduce el conceptode grupo de Lie exponencial, el cual es uno de los conceptos que dan sustento a estetrabajo. Ademas, veremos que en el caso de las algebras y grupos de Lie clasicos, lafuncion exponencial coincide con la exponencial de matrices por lo que tambien seprueban varias propiedades de esta funcion matricial, que de cierta manera, se puedeestudiar de forma independiente al formalismo de la teorıa de grupos y algebras deLie.

Introduccion 3

En el capıtulo final se introducen las nueve algebras de Lie de la clasificacion deBianchi, definiendolas por el valor de su corchete en los elementos de una base paraposteriormente calcular la representacion adjunta y la forma de Killing para cadaalgebra de Lie en la clasificacion de Bianchi. Por ultimo, se calculara la exponencialpara los elementos de la base de cada una de estas algebras.

4 Introduccion

Capıtulo 1

Algebras de Lie

En el algebra lineal se estudian diferentes estructuras en espacios vectoriales talescomo son las metricas que induce un producto interior positivo definido o la estruc-tura simplectica inducida por una forma bilineal antisimetrica, no-degenerada. Enel caso de las algebras de Lie, la estructura algebraica en el espacio vectorial vienedada por el llamado corchete de Lie [ , ].

En este capıtulo se estudiara la teorıa basica de las algebras de Lie y presentare-mos las llamadas algebras de Lie clasicas ası como varios conceptos importantes dela teorıde algebras de Lie, tales como representaciones, la representacion adjunta yla forma de Killing. Para abundar mas en esta teorıa, se pueden consultar [4], [5],[9], [13] .

1.1 Definicion general de algebra de Lie

Primeramente daremos la definicion de algebra de Lie.

Definicion 1.1 Una algebra de Lie es un espacio vectorial g sobre un campo F,junto con una operacion binaria

[ , ] : g× g→ g

(x, y) 7→ [x, y],

llamada corchete de Lie, tal que para cualesquiera x, y, z ∈ g y α, β ∈ F se cumplenlas siguientes propiedades:

(AL1) Linealidad:[αx+ βy, z] = α[x, z] + β[y, z].

(AL2) Antisimetrıa:[x, y] = −[y, x].

(AL3) Identidad de Jacobi:

[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.

La propiedad (AL1) nos dice que [αx+βy, z] = α[x, z]+β[y, z], de esto y usando(AL2) obtenemos

−[z, αx+ βy] = −α[z, x]− β[z, y],

5

6 Algebras de Lie

lo cual es equivalente a

[z, αx+ βy] = α[z, x] + β[z, y].

Por lo tanto el corchete de Lie no solo es lineal sino que tambien es bilineal. Ademas,cuando el campo F no es de caracteristica 2, aplicando la propiedad (AL2) a x ∈ gtenemos que [x, x] = −[x, x] y de aquı se obtiene

[x, x] = 0

para todo x ∈ g.

Presentamos a continuacion algunos ejemplos de algebras de Lie.

Ejemplo 1.2 Consideremos cualquier espacio vectorial V sobre un campo F, sidotamos al espacio vectorial con el corchete de Lie trivial, este se convierte en unaalgebra de Lie, y el corchete de Lie trivial esta dado como sigue:

[x, y] = 0

para cualesquiera x, y ∈ V . Es bastante obvio que este corchete satisface las condi-ciones (AL1), (AL2) y (AL3) y esta algebra de Lie es llamada una algebra de Lieabeliana.

Ejemplo 1.3 Sea R3 el espacio euclidiano y sea {e1, e2, e3} su base canonica. Paracualesquiera dos vectores x, y ∈ R3, definimos su producto vectorial por:

x× y = (Λ ◦ x)y

donde

Λ ◦ x =

0 −x3 x2

x3 0 −x1

−x2 x1 0

La matriz Λ ◦ x se llama la matriz del producto vectorial en R3 para el vectorx = (x1, x2, x3). Vamos a mostrar que R3 con la operacion 1.3 es una algebrade Lie.De las propiedades del producto vectorial en R3 tenemos ya la linealidad y la anti-simetrıa ası que solo nos faltarıa ver que se cumple la identidad de Jacobi. Paraver esto vamos a utilizar una propiedad muy importante del producto cruz llamadael producto cruz triple la cual nos dice lo siguiente:

(x× y)× z = 〈x, z〉y − 〈y, z〉x

Calculemos ahora la identidad de Jacobi.

(x× y)× z + (y × z)× x+ (z × x)× y = 〈x, z〉 y − 〈y, z〉x+ 〈y, x〉 z− 〈z, x〉 y + 〈z, y〉x− 〈x, y〉z= 0

1.1 Definicion general de algebra de Lie 7

El Ejemplo 1.2 es muy importante ya que nos dice que todo espacio vectorialse puede convertir en una algebra de Lie si usamos el corchete de Lie trivial. Cabemencionar que los ejemplos anteriores son solamente para ilustrar la definicion dealgebra de Lie, mas adelante en la Seccion 1.3 abordaremos algunos ejemplos dealgebras de Lie mucho mas interesantes y que son conocidas como las algebras deLie clasicas.

Sea (g, [, ]) una algebra de Lie. Un subespacio h ⊆ g es llamado una subalgebrade Lie de g si

[h, h] ⊆ h.

En este caso, [h, h] denota al subespacio generado por todos los corchetes [x, y],donde x e y son elementos de h, es decir,

[h, h] = 〈{[x, y]|x, y ∈ h}〉

Si g1 y g2 son dos subalgebras de g, es facil ver que g1 ∩ g2 es tambien unasubalgebra de Lie de g y la union de dos algebras de Lie no necesariamente es unasubalgebra de Lie.

Definimos el normalizador de h como el conjunto

N(h) = {v ∈ g|[v, h] ⊂ h}.

Es claro que N(h) es una subalgebra de Lie de g ya que si v, w ∈ N(h), entoncespara todo u ∈ h se tiene [v, u], [w, u] ∈ h y por la identidad de Jacobi

[[v, w], u] = −[[w, u], v]− [[u, v], w] ∈ h,

con lo que [v, w] ∈ N(h). Diremos que h es auto-normalizada si N(h) = h.

El centralizador de h es el conjunto

C(h) = {v ∈ g|[v, h] = 0}.

Utilizando la identidad de Jacobi es claro que C(h) es una subalgebra de g.

Definicion 1.4 Una subalgebra h de una algebra de Lie g se dice un ideal si

[g, h] ⊂ h.

Definicion 1.5 Sea g una algebra de Lie. El centro de g es el ideal

Z(g) = {w ∈ g|[w, v] = 0,∀v ∈ g}.

Es claro que Z(g) = C(g) y que g es abeliana si y solo si Z(g) = g.

8 Algebras de Lie

1.2 Constantes de estructura

Definicion 1.6 Sea (g, [ , ]) una algebra de Lie, definimos la dimension del algebrade Lie como la dimension del espacio vectorial g sobre el campo F y la denotaremospor dimF(g).

Consideremos una algebra de Lie de dimension finita, digamos dimF(g) = n yfijemos una base β = {e1, e2, . . . , en} para g. Podemos calcular el corchete de Liepara cualesquiera dos elementos de esta base y ya que [ei, ej ] ∈ g. Del algebralineal sabemos que cada vector [ei, ej ] se puede expresar de manera unica como unacombinacion lineal de elementos de la base β, esto es:

[ei, ej ] =n∑s=1

λsijes

para i, j = 1, . . . , n. A las constantes λsij les llamaremos constantes de estructura.Usando la propiedad de antisimetrıa y la identidad de Jacobi, se obtienen las si-guientes identidades:

λsij = −λsji (1.1)

n∑s=1

(λsijλlsk + λsjkλ

lsi + λskiλ

lsj) = 0, (1.2)

para cada l = 1, 2, . . . , n.

Analizando la primera identidad nos damos cuenta que al momento de calcularlas constantes de estructura para una algebra de Lie no es necesario hacer todos loscalculos ya que las constantes en las cuales i ≥ j las podemos obtener de las quesatisfacen i < j.Para ilustrar mejor este concepto vamos a calcular las contantes de estructura parauna algebra de Lie.

Ejemplo 1.7 Sea (R3,×) el algebra de Lie del Ejemplo 1.3. Por la propiedad deantisimetrıa vemos rapidamente que

[e1, e1] = [e2, e2] = [e3, e3] = 0

despues de hacer calculos directos obtenemos los corchetes para la base

[e1, e2] = e3, [e2, e1] = −e3, [e1, e3] = −e2,

[e3, e1] = e2, [e2, e3] = e1, [e3, e2] = −e1.

A partir de estos corchetes vemos que las constantes de estructura distintas de ceropara el algebra de Lie (R3,×) son

λ312 = 1, λ3

21 = −1, λ213 = −1, λ2

31 = 1, λ123 = 1, λ1

32 = −1.

Mediante las constantes de estructura tambien podemos definir algebras de Liesimplemente mencionando el valor de cada una de las constantes λsij y verificandoque se cumplen las condiciones en (1.1), (1.2). Veamos ejemplos de algebras de Lieque podemos construir de esta manera.

1.2 Constantes de estructura 9

Ejemplo 1.8 Sea g un espacio vectorial de dimension 2 y consideremos una base{e1, e2}, definimos las constantes de estructura como λe1e1e2 = 1 = −λe1e2e1 y las demasconstantes de estructura iguales a cero, despues de hacer algunos calculos sencillospodemos verificar que g es una algebra de Lie.

Otro ejemplo importante es el siguiente.

Ejemplo 1.9 Sea g un espacio vectorial de dimension 3 y consideremos la base{e1, e2, e3}. Definimos las constantes de estructura por λe3e1e2 = λe2e1e3 = 1 = −λe3e2e1 =−λe2e3e1 y todas las demas constantes de estructura iguales a cero, facilmente verifi-camos que g es una algebra de Lie.

Al igual que como en la teorıa de grupos se estudian funciones entre dos gruposque preservan las operaciones de los grupo,s en la teorıa de las algebras de Lie seestudian funciones entre algebras de Lie que preservan el corchete de Lie de cadauna de las algebras.

Definicion 1.10 Sean (g, [, ]g) y (h, [, ]h) dos algebras de Lie, un homomorfismoentre las algebras de Lie g y h es una transformacion lineal φ : g → h tal que paracualesquiera x, y ∈ g se tiene

φ([x, y]g) = [φ(x), φ(y)]h.

Cuando un homomorfismo φ : g→ h es uno a uno y ademas sobreyectivo entoncesse dice que φ es un isomorfismo; en este caso decimos que las algebras de Lie g y hson isomorfas, lo cual denotamos por g ∼= h.

Probar que dos algebras de Lie son isomorfas puede resultar un proceso largo ytedioso el tener que realizar todos los calculos directamente. Sin embargo, por mediode las constantes de estructura podemos caracterizar cualesquiera dos algebras deLie isomorfas, lo cual se establece en el resultado siguiente.

Teorema 1.11 Sean g y g dos algebras de Lie de dimension n sobre el campo F.Entonces g y g son isomorfas si y solo si existe una base {ei}ni=1 para g y una base{ei}ni=1 para g tales que las correspondientes constantes de estructura coinciden, estoes,

λsij = λsij ,

con i, j, s = 1, . . . , n.

Demostracion. Si L : g → g es un isomorfismo y {ei}ni=1 una base para g, entoncesse define

ei = Lei,

por lo que el conjunto {e1, . . . , en} es una base para g y las correspondientes con-stantes de estructura coinciden. Recıprocamente, si las correspondientes constantesde estructura coinciden para las bases {ei}ni=1 y {ei}ni=1 de g y g respectivamente,entonces la funcion L : g→ g definida por

Lei = ei,

para i = 1, . . . , n, es un isomorfismo.

10 Algebras de Lie

1.3 Algebras de Lie clasicas asociadas a formas bilin-eales

En esta seccion abordaremos ejemplos muy importantes de algebras de Lie; estosejemplos son las algebras de Lie de matrices, las cuales son llamadas las algebras deLie clasicas.

Una algebra asociativa es un espacio vectorial (V,+, ∗) en el cual, ademas, estadefinida una multiplicacion de vectores (x, y) 7→ x∗y la cual es asociativa. Ejemplosde algebras de Lie aparecen de una manera natural de las algebras asociativas.

Sea (g, ∗) una algebra asociativa y sean x, y ∈ g. Definimos el conmutador de xe y por

[x, y] = x ∗ y − y ∗ x.

Es claro que el conmutador es una operacion bilineal y antisimetrica en g, solo nosfaltarıa probar la identidad de Jacobi para asegurar que cada algebra asociativa sepuede convertir en una algebra de Lie con el corchete de Lie dado por el conmutador.Usando la asociatividad y realizando los calculos necesarios obtenemos lo siguiente:

[[x, y], z] = (x ∗ y − y ∗ x) ∗ z − z ∗ (x ∗ y − y ∗ x)

= x ∗ y ∗ z − y ∗ x ∗ z − z ∗ x ∗ y + z ∗ y ∗ x.

De manera analoga obtenemos:

[[y, z], x] = y ∗ z ∗ x− z ∗ y ∗ x− x ∗ y ∗ z + x ∗ z ∗ y,[[z, x], y] = z ∗ x ∗ y − x ∗ z ∗ y − y ∗ z ∗ x+ y ∗ x ∗ z.

Por tanto[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.

Por otra parte, un algebra de Lie no puede ser un algebra asociativa ya que de serası tendrıamos la siguiente igualdad

[[x, y], z] = [x, [y, z]]

para x, y, z ∈ g.Por la propiedad de antisimetrıa, la igualdad anterior implica la siguiente

[[x, y], z] + [[y, z], x] = 0

lo cual no todo el tiempo puede ser cierto ya que el corchete de Lie debe cumplir laidentidad de Jacobi

[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.

El algebra de Lie general linealEl algebra de Lie general linealEl algebra de Lie general linealSea V un espacio vectorial sobre un campo F, de ahora en adelante escribiremosgl(V ) en lugar de End(V ) considerado como una algebra de Lie con el corchete[X,Y ] = XY − Y X, y escribiremos gl(n,F) para denotar Mn(F) como una algebra

1.3 Algebras de Lie clasicas asociadas a formas bilineales 11

de Lie bajo el conmutador de matrices. Si dimV = n podemos fijar una base paraV y entonces la correspondencia entre las tranformaciones lineales y sus respectivasmatrices nos da un isomorfismo de algebras de Lie gl(V ) ∼= gl(n,F). A esta algebrade Lie se le llama el algebra de Lie general lineal.

El algebra de Lie especial linealEl algebra de Lie especial linealEl algebra de Lie especial linealSea A = (aij) ∈ gl(n,F), entonces su traza viene dada por tr(A) =

∑i aii. Ademas,

notemos que la traza cumple que tr(AB) = tr(BA). De esto se sigue que si A es lamatriz de T ∈ gl(V ) con respecto a alguna base entonces la tr(A) es independientede la eleccion de la base. Definimos

sl(V ) = {T ∈ gl(V ) : tr(T ) = 0}.

Ya que tr([S, T ]) = 0 para todo S, T ∈ gl(V ), concluimos que sl(V ) es una subalgebrade Lie de gl(V ). Fijando una base para V , podemos identificar esta algebra de Liecon

sl(n,F) = {A ∈ gl(n,F) : tr(A) = 0}.

Esta algebra de Lie se le conoce como el algebra de Lie especial lineal.

El algebra de Lie especial ortogonalEl algebra de Lie especial ortogonalEl algebra de Lie especial ortogonalEn esta parte nos guiaremos por [10].

Definicion 1.12 Una forma bilineal es una funcion B : V × V → F tal que

B(αv1 + βv2, u) = αB(v1, u) + βB(v2, u)

B(u, αv1 + βv2) = αB(u, v1) + βB(u, v2)

para α, β ∈ F y v1, v2, u ∈ V .

Sea V un espacio vectorial sobre el campo F y sea B : V × V → F una formabilineal. Definimos

so(V,B) = {X ∈ gl(V ) : B(Xv,w) = −B(v,Xw)}.

Ası so(V,B) consiste de todas las tranformaciones lineales que son antisimetricascon respecto a la forma bilineal B. Si X,Y ∈ so(V,B), entonces

B(XY v,w) = −B(Y v,Xw) = B(v, Y Xw).

De esto se sigue queB([X,Y ]v, w) = −B(v, [X,Y ]w).

Por lo tanto, so(V,B) es una subalgebra de Lie de gl(V ).Supongamos que V es de dimension finita y fijemos una base {v1, . . . , vn} para Vy sea Γ la matriz de n × n con entradas Γij = B(vi, vj). Entonces vemos queT ∈ so(V,B) si y solo si su matrix A relativa a esta base satisface

AtΓ + ΓA = 0.

12 Algebras de Lie

Cuando B es no degenerada entonces Γ es invertible y la ecuacion anterior puedeser escrita como

At = −ΓAΓ−1.

En particular, esto implica que tr(T ) = 0 para todo T ∈ so(V,B).

Tomemos V = Fn y la forma bilineal B con matriz Γ = In relativa a la baseestandar de Fn. Definamos

so(n,F) = {X ∈ gl(n,F) : Xt = −X}.

Como B es no degenerada entonces so(n,F) es una subalgebra de Lie de sl(n,F).

Cuando F = R entonces tomamos enteros p, q ≥ 0 tal que p + q = n y sea B laforma bilineal en Rn cuya matriz relativa a la base estandar es Ip,q. Definimos

so(p, q) = {X ∈ gl(n,R) : XtIp,q = −Ip,qX}.

Como B es no degenerada, so(p, q) es una subalgebra de Lie de sl(n,R).

Para obtener una base para esta familia de algebras de Lie, sea B una forma bi-lineal simetrica no degenerada en un espacio vectorial de dimension n sobre el campoF. Sea {v1, . . . , vn} la cual es orthonormal (F = C) o pseudo-orthonormal (F = R)relativa a B. Sea µ(T ) la matriz de T ∈ gl(V ) relativa a esta base. Cuando F = C,entonces µ define un isomorfismo de algebras de Lie de so(V,B) en so(n,C). CuandoF = R y B tiene signatura (p, q), entonces µ define un isomorfismo de algebras deLie de so(V,B) a so(p, q).

El algebra de Lie simplecticaEl algebra de Lie simplecticaEl algebra de Lie simplecticaSea J la matriz antisimetrica de 2n× 2n de la forma

J =

(0 I−I 0

)donde I es la matriz identidad de n× n. Definimos

sp(n,F) = {X ∈ gl(2n,F) : XtJ = −JX}.

Sean A,B ∈ sp(n,F) entonces:

J[A,B] + [A,B]T J = J(AB −BA) + (AB −BA)T J= JAB − JBA+BTAT J−ATBT J= JAB +BT JA+BTAT J +AT JBT

= (JA+AT J)B +BT (JA+AT J)

= 0B +BT 0 = 0,

Por tanto sp(n,F) es una subalgebra de Lie de gl(n,F) la cual llamaremos el algebrade Lie simplectica.

Para obtener una base para esta familia de algebras de Lie, sea B una forma bi-lineal antisimetrica no degenerada en un espacio vectorial V de dimension 2n sobre

1.3 Algebras de Lie clasicas asociadas a formas bilineales 13

el campo F. Sea {v1, . . . , v2n} una base B-simplectica para V . La funcion µ queasigna a un endomorfismo de V su matriz relativa a esta base define un isomorfismode so(V,B) en sp(n,F).

El algebra de Lie unitariaEl algebra de Lie unitariaEl algebra de Lie unitariaSea p, q ≥ 0 enteros tales que p+ q = n y sea Ip,q la matriz de n× n de la forma

Ip,q =

(Ip 00 −Iq

)Definimos

u(p, q) = {X ∈ gl(n,C) : X∗Ip,q = −Ip,qX}Este espacio es un subespacio real de gl(n,C) y ademas uno puede verificar directa-mente que u(p, q) es una subalgebra de Lie de gl(n,C) considerada como algebra deLie sobre R. Definimos

su(p, q) = u(p, q) ∩ sl(n,C).

Para obtener una base para esta familia de algebras de Lie, sea V un espaciovectorial de dimension n sobre el campo C, y sea B una forma Hermitiana nodegenerada en V . Definimos

u(V,B) = {T ∈ EndC(V ) : B(Tv,w) = −B(v, Tw), ∀v, w ∈ V }.

Consideremos su(V,B) = u(V,B)∩sl(V ). Si B tiene signatura (p, q) y si {v1, . . . , vn}es una base pseudo-ortogonal de V relativa a B, entonces la asignacion T 7→ µ(T )de T a su matriz relativa a esta base define un isomorfismo de algebras de Lie deu(V,B) con u(p, q) y de su(V,B) a su(p, q).

A continuacion presentaremos las algebras de Lie cuaternionicas.

Algebras de Lie general cuaternionica y especial linealAlgebras de Lie general cuaternionica y especial linealAlgebras de Lie general cuaternionica y especial linealConsideremos el conjunto de las matrices de n × n sobre los cuaterniones con elconmutador usual de matrices. Denotaremos esta algebra de Lie por gl(n,H), con-siderada como una algebra de Lie sobre R. Podemos identificar a Hn con C2n usandouna de las copias isomorfas de C (R1 + Ri,R1 + Rj,R1 + Rk) en H. Definimos

sl(n,H) = {X ∈ gl(n,H) : tr(X) = 0}.

Entonces sl(n,H) es una algebra de Lie real la cual es usualmente denotada porsu∗(2n).

Algebra de Lie cuaternionica unitariaAlgebra de Lie cuaternionica unitariaAlgebra de Lie cuaternionica unitariaPara n = p+ q con p, q enteros no negativos, definimos

sp(p, q) = {X ∈ gl(n,H) : X∗Ip,q = −Ip,qX}.

Entonces sp(p, q) es una subalgebra de Lie real de gl(n,H). Sea B(x, y) una formaHermitiana cuaternionica, entonces sp(p, q) consiste de todas las matrices X ∈Mn(H) que satisfacen

B(Xx, y) = −B(x,X∗y)

14 Algebras de Lie

para todo x, y ∈ Hn.

El algebra de Lie so∗(2n)El algebra de Lie so∗(2n)El algebra de Lie so∗(2n)Sea θ el automorfismo de M2n(C) definido por

θ(A) = −JAJ.

Definimosso∗(2n) = {X ∈ so(2n,C) : θ(X) = X}.

Este subespacio vectorial real de so(2n,C) es una subalgebra de Lie real de so(2n,C)(considerada como una algebra de Lie sobre R). Identificamos C2n con Hn y seaC(x, y) una forma anti-Hermitiana quaternionica. Entonces so∗(2n) corresponde alas matrices X ∈Mn(H) que satisfacen

C(Xx, y) = −C(x,X∗y)

para todo x, y ∈ Hn.

1.4 Representaciones

Existen herramientas muy importantes en la teorıa de las algebras de Lie; a conti-nuacion presentaremos una herramienta muy util ya que nos relaciona una algebrade Lie con un espacio vectorial mediante un operador lineal.

Definicion 1.13 Sea g una algebra de Lie sobre el campo F y sea V un espaciovectorial sobre el mismo campo. Una representacion del algebra de Lie g en elespacio vectorial V es un operador lineal

ϕ : g→ gl(V )

x 7→ ϕ(x),

el cual es un homomorfismo del algebra de Lie g en el algebra general lineal gl(V ).

La representacion ϕ se dice fiel si Kerϕ = 0, es decir la representacion es fiel sies un monomorfismo; y si Kerϕ = g entonces la representacion se dice ser trivial.

Diremos que un subespacio W ⊂ V es invariante con respecto a ϕ si se tiene que

ϕ(W ) ⊆W.

En tal caso, existe una representacion inducida en el espacio cociente V/W .

Consideremos una algebra de Lie g sobre un campo F. Para cada x ∈ g definimosla funcion adx : g→ g dada por

adx(y) = [x, y].

Sean x, y, z ∈ g. Como g es una algebra de Lie podemos realizar los siguientescalculos:

adx+y(z) = [x+ y, z] = [x, z] + [y, z]

1.4 Representaciones 15

adαx(y) = [αx, y] = α[x, y].

Por lo tanto, adx es un operador lineal en g. En el estudio de las algebras de Lieeste operador resulta ser muy importante y le llamaremos el operador adjunto.

El resultado siguiente nos sera de utilidad para definir una nueva representacionmuy importante.

Proposicion 1.14 Para cualesquiera x, y ∈ g se tiene que

[adx, ady] = ad[x,y],

donde [adx, ady] = adxady − adyadx.

Demostracion. Sean x, y, z ∈ g, haciendo uso de la identidad de Jacobi podemosrealizar los siguientes calculos

ad[x,y](z) = [[x, y], z]

= −[[y, z], x]− [[z, x], y]

= [x, [y, z]]− [y, [x, z]]

= adx(ady(z))− ady(adx(z))

= (adxady − adyadx)(z)

= [adx, ady](z).

y esto prueba nuestra proposicion.

Con esta proposicion concluimos que la correspondencia g→ gl(g) dada por

x 7→ adx,

define una representacion de g en g, y a la que llamaremos representacion adjunta.

Ahora podemos definir una nueva algebra de Lie la cual vendra dada por laimagen de g bajo la adjunta. A esta algebra de Lie se le conoce como el algebraadjunta la cual denotaremos por

ad(g) = {adx|x ∈ g}.

El centro del algebra de Lie ad(g) viene dado por

Z(ad(g)) = {w ∈ ad(g) : [w, v] = 0,∀v ∈ ad(g)}.

Consideremos la funcion φ : g→ ad(g), ademas notemos que Ker(φ) = Z(ad(g)). Deesta manera, vemos que la funcion φ es un isomorfismo de algebras de Lie cuandoKer(φ) = 0, esto es, un algebra de Lie es isomorfa a su algebra adjunta cuandoZ(ad(g)) = 0.

Un operador que es de suma importancia ya que satisface una regla muy conocidadel calculo diferencial es el que presentaremos en la siguiente definicion.

16 Algebras de Lie

Definicion 1.15 Una derivacion de una algebra de Lie g es un operador linealD : g→ g que satisface la siguiente ecuacion:

D([x, y]) = [Dx, y] + [x,Dy].

Al conjunto de todas las derivaciones de g lo denotamos por Der(g).

Ahora probaremos que la adx es una derivacion de g, usando la definicion de adxy la identidad de Jacobi podemos realizar los siguientes calculos:

adx[y, z] = [x, [y, z]]

= −[y, [z, x]]− [z, [x, y]]

= [[x, y], z] + [y, [x, z]]

= [adx(y), z] + [y, adx(z)]

A este tipo de derivacion le llamaremos derivacion interior.

Consideremos una algebra de Lie g de dimension finita, a partir de la adjuntapodemos definir una nueva funcion

κ : g× g→ R,

la cual se define comoκ(x, y) = tr(adx ◦ ady),

a la cual llamaremos la forma de Killing de g.

Notemos que usando la bilinealidad de la adjunta y mediante sencillos calculosvemos que la forma de Killing es una forma bilineal y simetrica pero no necesaria-mente es no-degenerada.

Fijemos una base {e1, . . . en} para g y denotemos por Ax y Ay las matrices derepresentaciones para adx y ady relativas a esta base, entonces la forma de Killingvendra dada por

κ(x, y) = tr ((Ax)(Ay)) .

A continuacion presentaremos un ejemplo para ilustar los conceptos presentados enesta seccion.

Ejemplo 1.16 Consideremos el algebra especial lineal sl(2,F) y sea β la base paraesta algebra dada por

β =

{x =

(0 10 0

), h =

(1 00 −1

), y =

(0 01 0

)}Ya que el corchete de Lie que esta definido para el algebra sl(2,F) es el conmutador,entonces calculamos directamente el corchete en cada par de elementos de la base,un calculo directo nos permite obtener las matrices de la representacion adjunta, lascuales son:

adx =

0 −2 00 0 10 0 0

, adh =

2 0 00 0 00 0 −2

, ady =

0 0 0−1 0 00 2 0

1.4 Representaciones 17

Ahora sea z ∈ sl(2,F). Entonces podemos escribir z = ax+bh+cy donde a, b, c ∈ F,similarmente a como se obtienen las matrices anteriores podemos realizar los calculospara encontrar la matriz de la transformacion para cualquier z arbitrario. Nuestramatriz queda ası:

adz =

2b −2a 0−c 0 a0 2c −2b

Ahora encontraremos la matriz de la forma de Killing, esto simplemente lo hacemoscalculando cada κ(ei, ej) y este valor sera la entrada aij de la matriz de la formade Killing. Haciendo los calculos directos y aplicando la simetrıa de la forma deKilling llegamos a que la matriz es:

κ =

0 0 40 8 04 0 0

Luego para encontrar κ(u, v) para u, v ∈ sl(2,F) arbitrarios hacemos calculos simi-lares para obtener, en este caso, la siguiente expresion para la forma de Killing ensl(2,F):

κ(u, v) = 8u2v2 + 4u1v3 + 4u3v1.

18 Algebras de Lie

Capıtulo 2

Grupos de Lie

En este capıtulo se introduce la definicion general de grupo de Lie y estudiaremos larepresentacion Adjunta para posteriormente introducir y estudiar algunos aspectosde los llamados grupos de Lie clasicos.

Para profundizar mas en la Teorıa de Grupos de Lie se recomiendan los siguientestextos: [4], [9].

2.1 Definicion general de Grupo de Lie

En un grupo de Lie G se tienen dos estructuras: una algebraica, determinada poruna multiplicacion asociativa en el grupo G y otra diferenciable, definida por laestructura de la variedad diferenciable G. Ambas estructuras deben ser compatibles,por lo que es necesario que las funciones que definen la multiplicacion en el grupo yla asignacion de inverso para cada elemento del grupo deben ser diferenciables, estoes,

µ : G×G→ G ι : G→ G

µ(g, h) = gh ι(g) = g−1, (2.1)

son dos funciones diferenciables en el sentido de diferenciabilidad de funciones entrevariedades.

Otra manera de decir lo anterior es mediante las funciones µ y ι, en los terminossiguientes:

(1) Existe e ∈ G, tal que

µ(g, e) = µ(e, g) = g, ∀ g ∈ G.

(2) Para cada g ∈ G, y ι(g) ∈ G se tiene que

µ(g, ι(g)) = µ(ι(g), g) = e.

(3) Para cualesquiera g1, g2, g3 ∈ G

µ(g1, µ(g2, g3)) = µ(µ(g1, g2), g3).

19

20 Grupos de Lie

Al elemento e ∈ G de (1) se le llama la identidad (o neutro) del grupo G y alelemento ι(g) ∈ G en (2) se le llama el inverso de g ∈ G. Dado que el inverso decada elemento es unico, lo denotaremos por g−1. Asimismo, el neutro e del grupoes unico. Notemos ademas que (3) es simplemente la asociatividad de la operaciondel grupo.

Podemos resumir las condiciones anteriores en la siguiente definicion:

Definicion 2.1 Un grupo de Lie es un par (G,µ) donde G es una variedad dife-renciable y µ : G × G → G es la operacion que define el producto del grupo, de talmanera que la funcion

G×G→ G

(g, h) 7→ µ(g, h−1) = gh−1, (2.2)

es diferenciable. La dimension del grupo es la dimension de la variedad diferenciableG.

Es claro que esta definicion es equivalente a las condiciones de diferenciabilidad delas funciones definidas en (2.1).

Algunos grupos de Lie muy conocidos son los numeros reales R con la suma

usual; el cırculo unitario S1 def= {z ∈ C||z| = 1} con la multiplicacion usual de

complejos. Por otra parte, cualquier grupo discreto es un grupo de Lie, por ejemplo,Z con la suma de enteros. Mas adelante se veran varios ejemplos de grupos de Lie.

En adelante, usaremos la notacion µ(g, h) = gh para referirnos al producto enun grupo de Lie (G,µ) y simplemente diremos que G es un grupo de Lie, tomandoen cuenta que se tiene una operacion binaria en G que define el producto del grupo.Solo en ejemplos concretos sera necesario dar la multiplcacion del grupo de maneraexplıcita.

2.2 Los grupos de Lie clasicos

El grupo general linealEl grupo general linealEl grupo general lineal.Los grupos de Lie clasicos son los grupos de tranformaciones lineales invertibles deespacios vectoriales de dimension finita sobre el campo de los reales, los complejoso los cuaternios, junto con los subgrupos que preservan una forma bilineal o unaforma sesquilineal.

Sea F el campo de los numeros reales R o el campo de los numeros complejosC, y sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre F. El conjunto de lastransformaciones lineales invertibles de V en V lo denotaremos por GL(V ). Esteconjunto tiene estructura de grupo bajo la composicion de transformaciones, conelemento identidad la transformacion identidad I(x) = x para todo x ∈ V . El grupoGL(V ) es el primero de los grupos clasicos.

Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre el campo F con base {v1, . . . , vn}.Si T : V → V es una funcion lineal escribimos µ(T ) para la matriz de T con respecto

2.2 Los grupos de Lie clasicos 21

a esta base. Si T, S ∈ GL(V ) entonces µ(S◦T ) = µ(S)µ(T ). Ademas, si T ∈ GL(V ),entonces µ(T ◦ T−1) = µ(T−1 ◦ T ) = µ(Id) = I.

Recordemos que una matriz A ∈Mn(F) es invertibles si y solo si su determinantees distinto de cero.

Usaremos la notacion GL(n,F) para el conjunto de las matrices invertibles den×n con coeficientes en F. Bajo la multiplicacion de matrices GL(n,F) es un grupocon la matriz identidad como elemento identidad. Notemos que si V es un espaciovectorial de dimension n sobre el campo F con base {v1, . . . , vn}, entonces la funcionµ : GL(V )→ GL(n,F) correspondiente a esta base es un isomorfismo de grupos. Elgrupo GL(n,F) es llamado el grupo general lineal de rango n.

Si {w1, . . . , wn} es otra base de V , entonces existe una matriz g ∈ GL(n,F) talque

wj =n∑i=1

gijvi

y

vj =

n∑i=1

hijwi

para j = 1, . . . , n, con [hij ] la matriz inversa de [gij ]. Supongamos que T es unatranformacion lineal de V en sı mismo y que A = [aij ] es la matriz de T respecto ala base {v1, . . . , vn} y B = [bij ] es la matriz de T respecto a la base {w1, . . . , wn}.Entonces

Twj = T (∑i

gijvi) =∑i

gijTvi =∑i

gij(∑k

akivk) =∑l

(∑k

∑i

hlkakigij)wl

para j = 1, . . . , n. Ası, B = g−1Ag es similar a la matriz A.

El grupo especial linealEl grupo especial linealEl grupo especial lineal.El grupo especial lineal SL(n,F) es el conjunto de todos los elementos A ∈ Mn(F)tal que det(A) = 1. Como det(AB) = det(A) det(B) y det(I) = 1, vemos que elgrupo especial lineal es un subgrupo de GL(n,F).

Notamos que si V es un espacio vectorial de dimension n sobre el campo F conbase {v1, . . . , vn} y si µ : GL(V ) → GL(n,F) es la funcion previamente definida,entonces el grupo

µ−1(SL(n,F)) = {T ∈ GL(V ) : det(µ(T )) = 1}

es independiente de la eleccion de la base. Denotaremos este grupo por SL(V ).

Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre el campo F, y sea B : V ×V →F una forma bilineal. Denotamos por O(V,B) (o simplemente O(B) cuando sesobreentiende el espacio V ), al conjunto de todos los g ∈ GL(V ) tal que B(gv, gw) =B(v, w) para todo v, w ∈ V . Notemos que O(V,B) es un subgrupo de GL(V ), elcual es llamado el grupo isometrico de la forma B.

22 Grupos de Lie

Sea {v1, . . . , vn} una base de V y sea Γ ∈ Mn(F) la matriz con Γij = B(vi, vj).Si g ∈ GL(V ) tiene matriz A = [aij ] relativa a esta base, entonces

B(gvi, gvj) =∑k,l

akialjB(vk, vl) =∑k,l

akiΓklalj .

Ası, si At denota la matriz transpuesta [cij ] con cij = aji, entonces la condicion deque g ∈ O(B) es:

Γ = AtΓA.

Recordemos que una forma bilineal B es no degenerada si B(v, w) = 0 para todo wimplica que v = 0, y si B(v, w) = 0 para todo v implica que w = 0.

En este caso tenemos que det Γ 6= 0. Supongamos que B es no degenerada. SiT : V → V es lineal y satisface que B(Tv, Tw) = B(v, w) para todo v, w ∈ V ,entonces det(T ) 6= 0, por tanto, T ∈ O(B).

A continuacion discutiremos algunos de los casos especiales mas importantes deeste tipo de grupos.

Grupos ortogonalesGrupos ortogonalesGrupos ortogonales.Empezaremos introduciendo los grupos de matrices, despues identificaremos estosgrupos con grupos isometricos de ciertas clases de formas bilineales.

Denotemos por O(n,F) el conjunto de todos los g ∈ GL(n,F) tal que ggt = I,esto es, gt = g−1. Notemos que (AB)t = BtAt y que si A,B ∈ GL(n,F) entonces(AB)−1 = B−1A−1, por lo que O(n,F) es un subgrupo de GL(n,F. Este grupoes llamado el grupo ortogonal de matrices de n × n sobre el campo F. Si F = Rintroducimos el grupo ortogonal O(p, q), con p+ q = n y p, q ∈ N. Sea

Ip,q =

(Ip 00 −Iq

)y definamos

O(p, q) = {g ∈Mn(R) : gtIp,qg = Ip,q}.

Notemos que O(n, 0) = O(0, n) = O(n,R). Tambien, si

s =

0 0 . . . 1...

.... . .

...0 1 . . . 01 0 . . . 0

es la matriz con entrada 1 en la antidiagonal (j = n+1−i) y todas las otras entradascero, entonces s = s−1 = st y sIp,qs

−1 = sIp,qs = sIp,qs = −Iq,p. Ası la funcion

φ : O(p, q)→ GL(n,R)

dado por φ(g) = sgs define un isomorfismo de O(p, q) en O(q, p).

Ahora describiremos estos grupos de terminos de formas bilineales.


Definicion 2.2 Sea V un espacio vectorial sobre R y sea M una forma bilinealsimetrica en V . La forma M es positiva definida si M(v, v) > 0 para todo v ∈ Vcon v 6= 0.

Lema 2.3 Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre el campo F y sea B unaforma bilineal simetrica no degenerada sobre F.1. Si F = C, entonces existe una base {v1, . . . , vn} de V tal que B(vi, vj) = δij.2. Si F = R entonces existen enteros p, q ≥ 0 con p+ q = n y una base {v1, . . . , vn}de V tal que B(vi, vj) = εiδij con εi = 1 para i ≤ p y εi = −1 para i > p. Ademas,si tenemos otra base entonces los correspondientes enteros (p, q) son los mismos.

Proposicion 2.4 Sea B una forma bilineal simetrica no degenerada sobre un espa-cio vectorial V de dimension n sobre el campo F.

1. Sea F = C. Si {v1, . . . , vn} es una base ortonormal para V con respecto a B,entonces µ : O(V,B)→ O(n,F) define un isomorfismo de grupos.

2. Sea F = R. Si B tiene signatura (p, n− p) y {v1, . . . , vn} es una base pseudo-ortonormal de V , entonces µ : O(V,B) → O(p, n − p) es un isomorfismo degrupos.

Aquı µ(g), para g ∈ GL(V ), es la matriz de g respecto a una base dada.

El grupo especial ortogonal sobre F es el subgrupo

SO(n,F) = O(n,F) ∩ SL(n,F)

de O(n,F). Los grupos especiales ortogonales indefinidos son los grupos

SO(p, q) = O(p, q) ∩ SL(p+ q,R).

El grupo simplecticoEl grupo simplecticoEl grupo simplectico.Consideremos la matriz

J =

(0 I−I 0

)con I la matriz identidad de n×n. El grupo simplectico de rango n sobre F se definecomo

Sp(n,F) = {g ∈M2nF : gtJg = J}.

Como en el caso de los grupos ortogonales tambien se tiene que Sp(n,F) es unsubgrupo de GL(2n,F).

Una forma bilineal B es llamada antisimetrica si B(v, w) = B(w, v). Si B esantisimetrica y no degenerada, entonces m = dim(V ) debe ser par, ya que la matrizB relativa a cualquier base de V es antisimetrica y tiene determinante distinto decero.

24 Grupos de Lie

Lema 2.5 Sea V un espacio vectorial de dimension 2n sobre F y sea B una forma bi-lineal antisimetrica no degenerada en V . Entonces existe una base {v1, . . . , v2n} paraV tal que la matriz [B(vi, vj)] es igual a J (esta base se llama base B-simplectica).

Proposicion 2.6 Sea V un espacio vectorial de dimension 2n sobre F y sea B unaforma bilineal antisimetrica no degenerada en V . Fijamos una base B−simplecticade V y sea µ(g), para g ∈ GL(V ), la matriz de g respecto a esta base. Entoncesµ : O(V,B)→ Sp(n,F) es un isomorfismo de grupos.

Grupos unitariosGrupos unitariosGrupos unitarios.Otra familia de subgrupos clasicos de GL(n,C) consiste de los grupos unitarios ylos grupos especiales unitarios para formas Hermitianas definidas e indefinidas. SiA ∈Mn(C) usaremos la notacion A∗ = A

tpara su matriz adjunta. El grupo unitario

de rango n es el grupo

U(n) = {g ∈Mn(C) : g∗g = I}.

El grupo especial unitario es

SU(n) = U(n) ∩ SL(n,C).

Consideremos la matriz Ip,q, definimos el grupo unitario indefinido de signatura (p, q)como

U(p, q) = {g ∈Mn(C) : g∗Ip,qg = Ip,q}.

El grupo especial indefinido de signatura (p, q) es SU(p, q) = U(p, q)∩SL(n,C). SeaV un espacio vectorial de dimension n sobre C. Una funcion R bilinealB : V×V → C(donde V es visto como espacio vectorial sobre R), se dice una forma Hermitiana sisatisface1. B(av,w) = aB(v, w) para todo a ∈ C y para todo v, w ∈ V .2. B(w, v) = B(v, w) para todo v, w ∈ V .

Definimos U(V,B) como el grupo de todos los elementos g ∈ GL(V ) tal queB(gv, gw) = B(v, w) para todo v, w ∈ V . Llamamos a U(V,B) el grupo unitario deB.

Lema 2.7 Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre C y sea B una formaHermitiana no degenerada en V . Entonces existe un entero p con n ≥ p ≥ 0, y unabase {v1, . . . , vn} de V tal que B(vi, vj) = εiδij, con εi = 1 para i ≤ p y εi = −1 parai > p. El numero p solamente depende de B y no de la eleccion de la base.

Proposicion 2.8 Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre C y sea B unaforma Hermitiana no degenerada en V de signatura (p, q). Fijamos una base pseudo-ortonormal de V relativa a B y sea µ(g), para g ∈ GL(V ) la matriz de g respecto aesta base. Entonces µ : U(V,B)→ U(p, q) es un isomorfismo de grupos.

Grupos cuaternionicosGrupos cuaternionicosGrupos cuaternionicosAntes de introducir los siguientes tipos de grupos recordaremos algunas propiedades


basicas de los cuaternios. Consideremos el espacio vectorial real H de dimension 4que esta formado por las matrices complejas de 2× 2

w =

(x −yy x

)con x, y ∈ C.Uno puede verificar directamente que H es cerrado bajo multiplicacion en M2(C).Si w ∈ H entonces w∗ ∈ H y

w∗w = ww∗ = (|x|2 + |y|2)I.

Por lo tanto todo elemento distinto de cero en H es invertible. Ası, H es un algebrade division sobre R. Esta algebra de division es una realizacion de los cuaternios.

La forma mas usual de introducir los cuaternios es considerar el espacio vectorialH sobre R con base {1, i, j, k}. Definimos una multiplicacion tal que 1 es la identidady

i2 = j2 = k2 = −1

ij = −ji = k

ki = −ik = j

jk = −kj = i

entonces extendemos la multiplicacion a H por linealidad relativa a los escalaresreales. Para obtener un isomorfismo entre esta version de H y la version de matricescomplejas de 2× 2, tomamos

1 = I, i =

(i 00 −i

), j =

(0 1−1 0

), k =

(0 ii 0

),

donde i es igual a√−1. La conjugacion w 7→ w∗ satisface (uv)∗ = v∗u∗. En terminos

de componentes reales, (a + bi + cj + dk)∗ = a − bi − cj − dk para a, b, c, d ∈ R.Es usual escribir los cuaternios en la forma compleja como x+ jy con x, y ∈ C; sinembargo, note que entonces la conjugacion viene dada como

(x+ jy)∗ = x+ yj = x− jy

En el espacio vectorial real Hn de dimension 4n definimos la multiplicacion por a ∈ Hpor la derecha por

(u1, . . . , un) · a = (u1a, . . . , una).

Notemos que u · 1 = u y que u · (ab) = (u · a) · b. Entonces podemos pensar aHn como un espacio vectorial sobre H. Viendo los elementos de Hn como vectorescolumna de n × 1, definimos Au para u ∈ Hn y A ∈ Mn(H) por multiplicacion dematrices. Entonces A(u · a) = (Au) · a para a ∈ H; por tanto A define una funcionlineal cuaternionica.

Podemos pensar a Hn como un espacio vectorial de dimension 2n sobre el campoC en varias maneras, por ejemplo, podemos meter C en H en cualquiera de lossubcampos

R1 + Ri,R1 + Rj,R1 + Rk.

26 Grupos de Lie

Usando el primero de estos encrustamientos, escribimos z = x+ jy ∈ Hn con x, y ∈Cn, y igualmente C = A+ jB ∈Mn(H) con A,B ∈Mn(C). Las funciones

z 7→(xy

)yC 7→

(A −(B)

B (A)

)identifican Hn con C2n y Mn(H) con la subaalgebra real de M2n(C) consistiendo delas matrices T tales que

JT = TJ

donde

J =

(0 I−I 0

).

Definimos GL(n,H) como el grupo de todas las matrices invertibles de n× n sobreH. Si usamos el encrustamiento de Mn(H) en M2n(C) recien descrito, vemos que

GL(n,H) = {g ∈ GL(2n,C) : Jg = gJ}.

El grupo especial lineal cuaternionicoEl grupo especial lineal cuaternionicoEl grupo especial lineal cuaternionicoPodemos definir SL(n,H) como el conjunto de todas las matrices de determinanteuno en GL(n,H) con respecto a cualquiera de las estructuras complejas anteriores.Este grupo es usualmente denotado por SU∗(2n).

Los grupos unitarios cuaternionicosLos grupos unitarios cuaternionicosLos grupos unitarios cuaternionicosPara X = (xij) ∈ Mn(H) definimos X∗ = (x∗ji) ∈ Mn(H). Consideremos la matrizdiagonal Ip,q con p+q = n. Definimos los grupos unitarios cuaternionicos indefinidoscomo

Sp(p, q) = {g ∈ GL(p+ q,H) : g∗Ip,qg = Ip,q}

Este conjunto es un subgrupo de GL(p + q,H). El grupo Sp(p, q) es un grupoisometrico de la forma Hermitiana cuaternionica no degenerada

B(w, z) = w∗Ip,qz

donde w, z ∈ Hn. Si escribimos w = u + jv y z = x + jy con u, v, x, y ∈ Cn y seaKp,q = diag[Ip,qIp,q] ∈M2nR, entonces

B(w, z) = [u∗v∗]Kp,q

(xy

)+ j[utvt]Kp,q

(−yx

).

Ası los elementos de Sp(p, q), vistos como tranformaciones lineales de C2n, preservanuna forma Hermitiana de signatura (2p, 2q) y una forma antisimetrica no degenerada.

El grupo SO∗(2n)El grupo SO∗(2n)El grupo SO∗(2n)Sea J la matriz antisimetrica de 2n× 2n como se ha definido anteriormente. ComoJ2 = −I2n, la funcion de GL(2n,C) en si misma dada por θ(g) = −JgJ defineun automorfismo cuyo cuadrado es la identidad. Nuestra ultima familia de gruposclasicos es

SO∗(2n) = {g ∈ SO(2n,C) : θ(g) = g}


Identificamos C2n con Hn como un espacio vectorial sobre C por la funcion(ab

)7→ a+ jb,

donde a, b ∈ Cn. Entonces el grupo SO∗(2n) se convierte en el grupo isometrico dela forma anti-Hermitiana cuaternionica no degenerada

C(x, y) = x∗jy

para x, y ∈ Hn.Esta forma satisface C(x, y) = −C(y, x)∗ y C(xα, yβ) = α∗C(x, y)β para α, β ∈ H.

Los ejemplos que hemos abordado anteriormente todos son de grupos de Lie dematrices, aunque en este trabajo no requeriremos otro tipo de grupos. Sin embargo,no todos los grupos de Lie son grupos de matrices, como se ilustra en el ejemplosiguiente:

Sea H el grupo real de Heisenberg

H =

1 a b

0 1 c0 0 1

|a, b, c ∈ R

.

y sea Γ el grupo discreto

Γ =

1 0 n

0 1 00 0 1

|n ∈ Z

.

El subgrupo Γ es central, y el grupo de Lie H/Γ no tiene representaciones fielesfinitas sobre R ni C.

28 Grupos de Lie

Capıtulo 3

El algebra de Lie de un grupos de Lie y la

funcion exponencial

3.1 El algebra de Lie de un grupo de Lie

En esta seccion definiremos el algebra de Lie de un grupo de Lie G. Esta algebrade Lie resulta ser espacio tangente a la identidad del grupo G, TeG, por lo quees necesario coocer la escructura de espacio vectorial para este espacio. Tambiennecesitamos definir un corchete de Lie para TeG y vamos a probar que en el grupode Lie G existe una algebra de Lie muy importante que consiste de los camposvectoriales invariantes por la izquierda en G, XL(G). Para probar que TeG es elalgebra de Lie del grupo de Lie G, precisamente tenemos que probar que el algebrade los campos invariantes por la izquierda es isomorfa a el espacio tangente en laidentidad del grupo G.

Sea G un grupo de Lie y g ∈ G un elemento fijo. Definimos la traslacion por laizquierda en el grupo G como

Lg : G→ G

h 7→ Lg(h) = gh.

Asimismo, definimos la traslacion por la derecha en el grupo G como

Rg : G→ G

h 7→ Rg(h) = hg.

Por medio de un calculo directo es facil probar las siguientes propiedades para estasfunciones:

Lg1 ◦Rg2 = Rg2 ◦ Lg1para cada g1, g2 ∈ G. Ademas, Lg y Rg son difeomorfismos y

(Lg)−1 = L−1

g

Ahora probaremos que efectivamente la funcion traslacion por la izquierda Lg esbiyectiva y que ademas la inversa es como se ha dicho.

Inyectividad :Supongamos que

Lg(h1) = Lg(h2)

29

30 El algebra de Lie de un grupos de Lie y la funcion exponencial

y de aquı tenemosgh1 = gh2

g−1(gh1) = g−1(gh2)

por lo tanto, h1 = h2.

Sobreyectividad :Sea y ∈ G entonces existe g−1y ∈ G tal que

Lg(g−1y) = g(g−1y) = y.

Esto prueba que Lg es biyectiva por lo que existe su inversa, y por unicidad de lainversa, tenemos que

(Lg)−1 = L−1

g

De la misma manera, para la funcion Rg probamos que es una funcion biyectivacuya inversa viene dada por

(Rg)−1 = R−1

g

Como el producto del grupo G y la signacion de inversos son funciones suaves,entonces Lg y Rg son tambien suaves, esto es, Lg y Rg son difeomorfismos.

A continuacion probaremos un lema muy importante el cual es necesario paranuestro desarrollo.

Lema 3.1 Sean g, h ∈ G y sea Lg la funcion de traslacion por la izquierda entoncesse cumple la siguiente igualdad

(dhLg)−1 = dghLg−1 .

Demostracion. Tenemos que

Lg ◦ Lg−1 = id = Lg−1 ◦ Lg

derivando en ambos lados obtenemos

dh(Lg−1 ◦ Lg) = dh(id)

por la regla de la cadena obtenemos

dLg−1(Lg(h)) ◦ dLg(h) = I

de lo anterior obtenemosdghLg−1 ◦ dhLg = I

y multiplicando ambos lados de la igualdad anterior por (dhLg)−1 llegamos al resul-

tado deseado.

Consideremos ahora dos campos vectoriales X,Y ∈ X(M). Definimos la sumaX + Y : C∞(M)→ C∞(M) de la manera usual:

(X + Y )(f) : M → R,

3.1 El algebra de Lie de un grupo de Lie 31

(X + Y )(f)(p) = Xp(f) + Yp(f).

Si X ∈ X(M) y f ∈ C∞(M) entonces definimos el campo vectorial fX : C∞(M)→C∞(M) por

(fX)(g) : M → R,

(fX)(g)(p) = f(p)Xp(g).

Sean X,Y dos campos vectoriales diferenciables sobre la variedad M entonces existeun unico campo Z ∈ X(M) tal que

Z(f) = X(Y (f))− Y (X(f))

para toda funcion f ∈ C∞(M). A este campo Z se le llama el corchete de Lie de Xe Y denotado como [X,Y ].

Un campo vectorial X ∈ X(G) se dice ser invariante por la izquierda si

(dhLg)(X(h)) = X(gh) ∀ g, h ∈ G. (3.1)

Notemos que X(h) ∈ ThG por lo que dhLg : ThG→ TghG.

Denotaremos por XL(G) al conjunto de campos vectoriales invariantes por laizquierda en G. Es claro que la suma de dos campos invariantes por la izquierda esde nuevo un campo invariante por la izquierda. Ademas, si λ ∈ R y X ∈ XL(G),entonces λX ∈ XL(G). Por lo tanto, XL(G) es un espacio vectorial real.

Otra manera de escribir la ecuacion (3.1) es por medio del pull-back del campoX ∈ X(G) bajo el difeomorfismo Lg. Ası, X ∈ X(G) es invariante por la izquierdasi y solo si

L∗gX = X,

donde

(L∗gX)(h)def= (dghL

−1g )(X(Lg(h))) = (dghLg−1)(X(gh)) =

(dhLg

)−1(X(gh)).

Una propiedad importante de los campos vectoriales invariantes por la izquierdaes que su corchete es tambien un campo vectorial invariante por la izquierda. Enefecto, si X,Y ∈ XL(G), entonces

L∗g[X,Y ] = [L∗gX,L∗gY ] = [X,Y ].

Definimos el conjunto de todos los campos vectoriales invariantes por la izquierdacomo

XL(G) = {X ∈ X(G)|X(gh) = dhLg(X(h))}

Este conjunto es una algebra de Lie ya que si X,Y ∈ XL(G), entonces [X,Y ] estambien un campo vectorial invariante por la izquierda en G

L∗g[X,Y ] = [L∗gX,L∗gY ] = [X,Y ]

es decir, [X,Y ] es invariante por la izquierda.


Esto hace de (XL(G), [ , ]) una algebra de Lie. De hecho, esta algebra de Lie esel algebra de Lie asociada al grupo de Lie G. Sin embargo, podemos identificar alespacio de los campos vectoriales invariantes por la izquierda con el espacio tangenteal grupo G en e ∈ G, TeG, de la siguiente manera: Si v ∈ TeG, definimos el campovectorial Xv ∈ X(G) por

Xv(g)def= (deLg)(v) ∈ TgG. (3.2)

Notemos que para cualquier y ∈ G en una vecindad de g ∈ G,

(dgLy)(Xv(g)) = (dgLy) ◦ (deLg)(v) = (deLyg)(v) = Xv(yg),

lo cual establece que el campo vectorial Xv definido en (3.2) es invariante por laizquierda. Mas aun, si X ∈ XL(G), se tiene que X(e) ∈ TeG por lo que la corres-pondencia

TeG→ XL(G)

v 7→ Xv,

donde Xv esta definido por (3.2) es una biyeccion. Luego, XL(G) es un espacio finitodimensional y se tiene ası la siguiente

Definicion 3.2 Sea G un grupo de Lie de dimension finita. El algebra de Lie deG, que denotaremos por g, se define como el espacio tangente a G en la identidade ∈ G.

Se tiene ası que el agebra de Lie g del grupo de Lie G es un espacio vectorial realen el cual esta definida un operacion

[ , ] : g× g→ g

definida para cualesquiera u, v ∈ g = TeG por

[u, v]def= [Xu, Xv](e)

Se tiene que esta operacion satisface las siguientes propiedades:

1. Bilinealidad

[λu+ µv, ξw + ζz] = λξ[u,w] + λζ[u, z] + µξ[v, w] + µζ[v, z],

para cualesquiera u, v, w, z ∈ g, λ, µ, ξ, ζ ∈ R.

2. Antisimetrıa.[u, v] = −[v, u].

3. Identidad de Jacobi

[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0.

3.2 La funcion exponencial 33

Ahora ya estamos en condiciones de probar que existe un isomorfismo entreXL(G) y TeG, para probar esto definimos la siguiente funcion

Φ : TeG→ XL(G)

v 7→ Φ(v)

donde Φ(v) = Xv con Xv(g) = (deLg)(v) . Primero probaremos que Φ es lineal,Sean v, w ∈ TeG

Φ(v + w) = Xv+w

Xv+w(g) = (deLg)(v + w)

= deLg(v) + deLg(w)

= Xv(g) +Xw(g)

y por tanto Φ(v + w) = Φ(v) + Φ(w). Luego,

Φ(λv) = Xλv

Xλv(g) = (deLg)(λv)

= λ(deLg)(v)

por lo tanto Φ(λv) = λΦ(v). Ahora solo falta probar que esta funcion es uno a unoy sobre para probar que la funcion es un isomorfismo.

Calculemos ahora el nucleo ker Φ

ker Φ = {v ∈ TeG|Φ(v) = 0},

luego, se sigue que

ker Φ = {v ∈ TeG|Xv = 0}.

Esto significa que Xv(g) = 0 para toda g ∈ G, de aquı ker(deLg) = {0} y esto pruebaque Φ es uno a uno.

Sea X ∈ XL(G), entonces existe u ∈ TeG tal que Φ(u) = Xu. Como X ∈ XL(G),tenemos que (dhLg)(X(h)) = X(gh) para cada g, h ∈ G, en particular, si h = eentonces (deLg)(X(e)) = X(g). Esto prueba que la funcion Φ es un isomorfismo.

3.2 La funcion exponencial

Definicion 3.3 Un subgrupo 1-parametrico de un grupo de Lie G es un homomor-fismo de grupos de Lie

ϕ : R→ G

Definicion 3.4 Sea G un grupo de Lie, y sea g su algebra de Lie. Sea X ∈ g.Entonces

λd

dr7→ λX


es un homomorfismo del algebra de Lie R en g. Debido a que la recta real es sim-plemente conexa, entonces existe un unico subgrupo 1-parametrico

expX : R→ G

tal que

d expX

(λd

dr

)= λX.

En otras palabras, t 7→ expX(t) es el unico subgrupo 1-parametrico de G cuyo vectortangente en 0 es X(e). Ahora definimos la funcion exponencial

exp : g→ G

porexp(X) = expX(1).

A continuacion estudiaremos algunos resultados generales muy interesantes sobre lafuncion exponencial.

Teorema 3.5 Sea X en el algebra de Lie g de el grupo de Lie G. Entoncesa) exp(tX) = expX(t) para cada t ∈ R.b) exp(t1 + t2)X = (exp t1X)(exp t2X) para todo t1, t2 ∈ R.c) exp(−tX) = (exp tX)−1 para cada t ∈ R.d) exp : g→ G es C∞ y d exp : g0 → Ge es la funcion identidad. Ası, exp envıa undifeomorfismo de una vecindad de 0 en g en una vecindad de e en G.e) Lσ ◦ expX es la unica curva integral de X la cual toma el valor σ en 0. Comoconsecuencia, los campos vectoriales invariantes por la izquierda en grupos de Liecompactos son siempre completos.f) El grupo 1-parametrico de difeomorfismos Xt asociado con los campos vectorialesinvariantes por la izquierda X esta dado por

Xt = rexpX(t).

Demostracion. ddr y d expX

ddr estan expX -relacionados. Ası expX es una curva

integral de X y es la unica para la cual expX(0) = e. Como X es invariante porla izquierda, Lσ ◦ expX es tambien una curva integral de X y es la unica que tomael valor σ en 0, esto prueba la parte e) y de aquı la parte f) es inmediata. Ahoradefinimos las funciones ϕ y ψ de R a G por

ψ(t) = expsX(t)

yϕ(t) = expX(st)

donde s ∈ R. Hemos observado que ψ es la unica curva integral de sX tal queψ(0) = e. Luego,

dϕ

(d

dr|t)

= d expX

(sd

dr|st)

= sX|expX(st).

3.2 La funcion exponencial 35

Entonces ϕ tambien es una curva integral de sX tal que ϕ(0) = e. Por la unicidadde las curvas integrales, ϕ = ψ. Entonces

expsX(t) = expX(st)s, t ∈ R;X ∈ g.

Tomando t = 1 y cambiando s a t obtenemos la parte a) y como expX es unhomomorfismo de R en G de a) obtenemos rapidamente b) y c). Por ultimo paraprobar la parte d), definamos un campo vectorial V en G× g por

V (σ,X) = (X(σ), 0)

Entonces V es un campo vectorial suave y acordando a la parte e), la curva integralde V a traves de (σ,X) es

t 7→ (σ exp tX,X),

o en otras palabras, el grupo 1-parametrico local de transformaciones asociadas conel campo vectorial V esta dado por

Vt(σ,X) = (σ exp tX,X).

En particular, V es completo; por tanto V1 esta definido y es suave en todo G× g.Ahora sea π : G× g la proyeccion sobre G. Entonces

expX = π ◦ V1(e,X).

Hemos exhibido a la exponencial como una composicion de funciones C∞, entoncesla exponencial es C∞. Es claro que d exp : g0 → Ge es la funcion identidad, tX esuna curva en G cuyo vector tangente en t = 0 es X y por la parte a), exp tX es unacurva en G cuyo vector tangente en t = 0 es X(e).

Teorema 3.6 Sea ϕ : H → G un homomorfismo. Entonces el siguiente diagramaes conmutativo:

Hϕ−−−−→ G

expx exp

xh

dϕ−−−−→ g

Demostracion. Sea X ∈ h. Entonces t 7→ ϕ(exp tX) es una curva suave en Gcuya tangente en 0 es dϕ(X(e)). Es decir tambien es un subgrupo 1-parametricode G ya que ϕ es un homomorfismo. Pero t 7→ exp t(dϕ(X)) es el unico subgrupo1-paametrico de G cuya tangente en 0 es (dϕ(X))(e). Entonces

ϕ(exp tX) = exp t(dϕ(X)),

luegoϕ(expX) = exp(dϕ(X)).


Proposicion 3.7 Sea (H,ϕ) un subgrupo de Lie de G, y sea X ∈ g. Si X ∈ dϕ(h),entonces exp tX ∈ ϕ(H) para todo t. Reciprocamente, si exp tX ∈ ϕ(H) para t enalgun intervalo abierto, entonces X ∈ dϕ((h)).

Demostracion. Si X ∈ dϕ((h)), entonces exp tX ∈ ϕ(H) para todo t, de acuerdo alteorema anterior. Por otro lado, si exp tX ∈ ϕ(H) para t en algun intervalo I, en-tonces para t ∈ I, la funcion t 7→ exp tX puede ser expresada como una composicionϕ ◦ α donde α es una funcion suave de I en H. Sea t0 ∈ I, y sea X el campo vecto-rial invariante por la izquierda en H determinado por α(t0). Entonces dϕ(X) = X.

Hasta aquı hemos estudiado resultados generales para la funcion exponencialde un algebra de Lie en un grupo de Lie, en ocasiones en la practica se puedeestar trabajando con algebras de Lie de matrices y resulta importante estudiar laexponencial de matrices. En la siguiente seccion veremos que la exponencial que vadel algebra general lineal a el grupo general lineal viene dada por la exponencial dematrices.

Si V es un espacio vectorial real o complejo de dimension finita y x ∈ L(V, V ),entonces la serie de potencias:

ex =∞∑k=0

1

k!xk

converge en L(V, V ). Se probara en la siguiente seccion que cuando V es un espaciovectorial de matrices entonces la serie anterior converge.

Se verifica facilmente que A(t) = etx satisface:

dA

dt(t) = xA(t) = (TIR(A(t)))(x) = xR(A(t)), A(0) = I;

por tanto t 7→ etx es el homomorfismo: (R,+) → (GL(V ), ◦). Ası, x 7→ ex es iguala la funcion exponencial del algebra de Lie L(V, V ) de GL(V ) a GL(V ).

3.3 Exponencial de una matriz

Dado un grupo de matrices G hemos definido un espacio vectorial TIG – el espaciotangente a G en la matriz identidad I ∈ G. En esta seccion presentaremos la funcionexponencial la cual es una funcion del espacio TIG en el grupo G y estudiaremos suspropiedades. Aquı trabajaremos con matrices cuyas entradas estan en F, primerodaremos la definicion de exponencial de una matriz.

Definicion 3.8 Sea A ∈Mn(F), definimos la exponencial de la matriz A por

eA = I +A+A2

2!+A3

3!+ . . .

Decimos que esta sucesion converge si cada una de las n2 suseciones de numeros∈ F

(I)ij + (A)ij +

(A2

2!

)ij

+

(A3

3!

)ij

+ . . .

converge.

3.3 Exponencial de una matriz 37

Ya que eA esta definida solo por operaciones elementales de matrices en Mn(F) esclaro que eA es nuevamente una matriz en Mn(F), lo que no es tan obvio es asegurarque esta susecion converja, en la siguiente proposicion probaremos que efectivamentela serie converge.

Proposicion 3.9 Sea A ∈Mn(F ) y sea

m = max{|aij |, 1 ≤ i, j ≤ n}.

Si Ap = (a(p)ij ), entonces

|a(p)ij | ≤ (nm)p

para cualesquiera i, j, con 1 ≤ i, j,≤ n. En consecuencia la serie definida anterior-mente converge y la matriz eA esta bien definida.

Demostracion. La demostracion es por induccion en p. Sea A = (aij). Entonces

A2 = (a(2)ij ), donde (a

(2)ij ) =

∑nk=1 aikakj . Luego

|(a(2)ij )| =

∣∣∣∣∣n∑k=1

aikakj

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

|aik||akj | ≤n∑k=1

m2 = nm2 ≤ n2m2.

Ahora, A3 = (a(3)ij ) donde (a

(3)ij ) =

∑nk=1 a

(2)ik akj y de esta manera

|(a(3)ij )| =

∣∣∣∣∣n∑k=1

a(2)ik akj

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

|a(2)ik ||akj | ≤

n∑k=1

nm2m = n2m3 ≤ n3m3.

Supongamos que

|a(p)ij | ≤ (nm)p

para todo i, j, donde 1 ≤ i, j,≤ n. Luego

|a(p+1)ij | =

∣∣∣∣∣n∑k=1

a(p)ik akj

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

|a(p)ik ||akj | ≤ nm

n∑k=1

|a(p)ik | ≤ nm(nm)p = (nm)p+1,

para cualesquiera i, j con 1 ≤ i, j,≤ n. Ahora, como

|a(p)ij | ≤ (nm)p,

tenemos que∞∑p=0

|a(p)ij |p!≤∞∑p=0

(nm)p

p!= enm

y por lo tanto cada una de las n2 series∑∞

p=0

|a(p)ij |p! converge absolutamente. Con

esto mostramos que

eA =∞∑k=0

Ak

k!


esta bien definida.

La exponencial eA se comporta de manera muy similar a la exponencial ex dondex ∈ R, e0 = 1 para 0 ∈ R, y naturalmente para la matriz 0 se cumple que

e0 = I

Recordemos que si a, b ∈ R entonces ea+b = eaeb, desafortunadamente esta igualdadno siempre se cumple para cualesquiera matrices A y B, en la siguiente proposicionveremos bajo que condiciones la ultima igualdad se cumple para matrices.

Proposicion 3.10 Si las matrices A y B conmutan, entonces se cumple que

eA+B = eAeB.

Si las matrices A y B conmutan entonces podemos utilizar el teorema del binomiopara desarrollar eA+B de la siguiente manera

eA+B = I +A+B +A2

2+AB +

B2

2+A3

6+A2B

2+AB2

2+B3

6+ . . .

Ahora desarrollamos eAeB

eAeB = (I +A+A2

2+ . . . )(I +B +

B2

2+ . . .)

= I +A+B +A2

2+AB +

B2

2+A3

6+A2B

2+AB2

2+B3

6+ . . .

Y con esta probamos nuestra proposicion.

Corolario 3.11 Para cualquier matriz A ∈Mn(F), eA es no singular.

Demostracion. Notemos que las matrices A y −A conmutan, entonces

I = e0 = eA−A = eAe−A

Calculamos el determinante a ambos lados de la igualdad y usando las propiedadesdel determinante nos queda

1 = (det eA)(det e−A)

y por tanto det eA 6= 0.

De este corolario observamos que la funcion exp : Mn(F)→Mn(F), exp(A) = eA

de hecho envıa a Mn(F) a el grupo GL(n,F)

Proposicion 3.12 Si A es una matriz antisimetrica en Mn(F), entonces eA esortogonal.


Demostracion. Tenemos que I = e0 = eA+AT= eAeA

T= (eA)(eA)T , por tanto eA

es ortogonal.Si a ∈ R entonces la igualdad ea = 1 implica que forzosamente a tiene que ser 0.Pero en el caso de que tengamos la igualdad eA = I donde A es una matriz en Mn(F)entonces A no necesariamente tiene que ser la matriz 0, por ejemplo si

A =

(0 2π−2π 0

)cumple que eA = I. La siguiente proposicion es muy util a la hora de realizarcalculos.

Proposicion 3.13 Si A,B son matrices que estan en Mn(F) y B es no singular,entonces

eBAB−1

= BeAB−1

Demostracion. (BAB−1)n = (BAB−1)(BAB−1) . . . (BAB−1) = BAnB−1 y ademasB(C +D)B−1 = BCB−1 +BDB−1 de estos calculos y de la definicion de exponen-cial de una matriz se cumple la proposicion.

Ahora que ya conocemos los resultados basicos para la exponencial de un algebrade matrices a un grupo de matrices serıa util conocer una formula general paracalcular eA donde A es una matriz de 2 × 2, veremos como calcular esto en lossiguientes resultados.

Lema 3.14 Sea A =

(a b0 d

)∈ gl(2,C).

i)Si a = d entonces

eA = ea(

1 b0 1

)ii)Si a 6= d entonces

eA =

(ea b(ea−ed)

(a−d)

0 ad

)

El siguiente resultado es muy util cuando se quiere calcular eA usando los valorespropios de la matriz A [1].

Teorema 3.15 Sean λ y µ los valores propios de A ∈ gl(2,C).i) Si µ = λ entonces

eA = eλ[(1− λ)I +A].

ii) Si µ 6= λ entonces

eA =µeλ − λeµ

µ− λI +

eµ − eλ

µ− λA.


Demostracion. i) Ya que µ = λ, entonces existe una matriz invertible X tal que

A = X

(λ x0 λ

)X−1

para algun x. Por tanto

eA = eλX

(1 x0 1

)X−1 = eλ[(1− λ)I +A].

ii) Ya que µ 6= λ, entonces existe una matriz invertible X tal que

A = X

(λ 00 µ

)X−1.

Por tanto

eA = X

(eλ 00 eµ

)X−1.

Entonces notando que(eλ 00 eµ

)=µeλ − λeµ

µ− λI +

eµ − eλ

µ− λ

(λ 00 µ

)de aquı se cumple la expresion en ii).

Ahora vamos a caracterizar eA, unicamente, en terminos de las entradas de A.

Corolario 3.16 Sea A =

(a bc d

)∈ gl(2,C).

i) Si (a− d)2 + 4bc = 0 entonces

eA = e(a+d)/2

(1 + a−d

2 b

c 1− a−d2

)ii) Si (a− d)2 + 4bc 6= 0 entonces

eA = e(a+d)/2

(cosh(∆) + a−d

2sinh(∆)

∆ b sinh(∆)∆

c sinh(∆)∆ cosh(∆)− a−d

2sinh(∆)

∆

)donde ∆ = 1

2

√(a− d)2 + 4bc.

Demostracion. Los eigenvalores de A son

λ = (a+ d)−√

(a− d)2 + 4bc

2

y

µ = (a+ d) +

√(a− d)2 + 4bc

2.


Por tanto λ = µ si y solo si (a − d)2 + 4bc = 0. Entonces el resultado se siguesustituyendo λ y µ en las formulas del teorema anterior.

El siguiente corolario nos da una formula para obtener eA cuando A es una matrizreal.

Corolario 3.17 Sea A =

(a bc d

)∈ gl(2,R).

i) Si (a− d)2 + 4bc = 0 entonces

eA = e(a+d)/2

(1 + a−d

2 b

c 1− a−d2

)ii) Si (a− d)2 + 4bc > 0 entonces

eA = e(a+d)/2

(cosh(δ) + a−d

2sinh(δ)δ b sinh(δ)

δ

c sinh(δ)δ cosh(δ)− a−d

2sinh(δ)δ

)iii) Si (a− d)2 + 4bc < 0 entonces

eA = e(a+d)/2

(cosh(δ) + a−d

2sinh(δ)δ b sinh(δ)

δ

c sinh(δ)δ cosh(δ)− a−d

2sinh(δ)δ

)donde

Ilustraremos estas formulas con dos ejemplos.

Ejemplo 3.18 Si A es una matriz real(σ ω−ω σ

)entonces

eAt = eσt(

cosωt sinωt− sinωt cosωt

)Ejemplo 3.19 Si A es una matriz real(

σ ωω −σ

)entonces

eA =

(cosh(δ) + σ

δ sinh(δ) ωδ sinh(δ)

ωδ sinh(δ) cosh(δ)− σ

δ sinh(δ)

)donde δ =

√ω2 + σ2.

Ahora presentaremos algunas formulas para calcular la exponencial de una matrizA de n × n cuando esta matriz satisface un polinomio cuadratico. Los resultadossiguientes tambien funcionan para matrices de 2× 2 pero estan restringidos a casosespeciales. En particular, estos resultados se aplican a matrices de n× n las cualesson involutivas, de rango 1, y matrices idempotentes.


Lema 3.20 Sea A ∈ gl(n,C) y supongamos que A2 = ρI, donde ρ ∈ C.i) Si ρ = 0 entonces eA = I +A.

ii) Si ρ 6= 0 entonces eA = cosh(√ρ)I +

sinh(√ρ)√

ρ A.

Demostracion. i) Esta parte es trivial ya que A2 = 0.ii) Como A2 = ρI, A2k = ρkI y A2k+1 = ρkA para k ≥ 0. Por tanto,

eA =

∞∑k=0

Ak

k!

=

[I +

A2

2!+A4

4!+ . . .

]+

[A+

A3

3!+A5

5!+ . . .

]=

(1 +

ρ

2!+ρ2

4!+ . . .

)I +

(I +

ρ

3!+ρ2

5!+ . . .

)A

= cosh(√ρ)I +

sinh(√ρ)

√ρ

A.

y esto prueba la parte ii).El lema anterior aplica a matrices nilpotentes e involutivas.

Corolario 3.21 Sea A ∈ gl(n,C).i) Si A2 = 0 entonces eA = I +A.ii) Si A2 = I entonces eA = cosh(1)I + sinh(1)A.

Teorema 3.22 Sea A ∈ gl(n,C) y supongamos que A2 + 2λA + µI = 0, dondeλ, µ ∈ C.i) Si λ2 = µ entonces

eA = e−λ[(1 + λ)I +A].

ii) Si λ2 6= µ entonces

eA = e−λ

{[cosh(

√λ2 − µ) +

λ√λ2 − µ

sinh(√λ2 − µ)

]I +

1√λ2 − µ

sinh(√λ2 − µ)A

}.

Demostracion. Notemos que B2 = (λ2 − µ)I donde B = A + λI. Por el lema,tenemos i)

eA = e−λeB

= e−λ[I +B]

= e−λ[(1 + λ)I +A].


ii)

eA = e−λeB

= e−λ

[cosh(

√λ2 − µ) +

sinh(√λ2 − µ)√

λ2 − µB

]

= e−λ

{[cosh(

√λ2 − µ) +

λ√λ2 − µ

sinh(√λ2 − µ)

]I +

1√λ2 − µ


}.

A partir de este teorema obtenemos el siguiente corolario para matrices reales.

Corolario 3.23 Sea A ∈ gl(n,R) y supongamos que A2 + 2λA + µI = 0, dondeλ, µ ∈ R.i) Si λ2 = µ entonces

eA = e−λ[(1 + λ)I +A].

ii) Si λ2 > µ entonces

eA = e−λ

{[cosh(

√λ2 − µ) +

λ√λ2 − µ

sinh(√λ2 − µ)

]I +

1√λ2 − µ


}.

iii) Si λ2 < µ entonces

eA = e−λ

{[cos(

√µ− λ2) +

λ√µ− λ2

sin(√µ− λ2)

]I +

1√µ− λ2

sin(√µ− λ2)A

}.

Corolario 3.24 Sea A ∈ gl(n,C) y supongamos que el rango de A es 1.i) Si trA = 0 entonces eA = I +A.ii) Si trA 6= 0 entonces eA = I + ((etrA−1)/trA)A.

Demostracion. Ya que el rango de A es 1, A2 = (trA)A. Por tanto, podemos aplicarel teorema 2.22 con λ = (trA)/2 y µ = 0 para obtener el resultado.Ahora consideremos el caso en que A es una matriz idempotente.

Corolario 3.25 Sea A ∈ gl(n,C) y supongamos que A2 = A. Entonces eA =I + (e− 1)A.

Demostracion. Se aplica el teorema 2.22 con λ = −(1/2) y µ = 0.De aquı en adelante los resultados que probaremos seran para calcular la exponencialde matrices de n× n las cuales satisfacen un polinomio cubico.

Teorema 3.26 Sea A ∈ gl(n,C) y supongamos que A3 = ρA, donde ρ ∈ C.

i) Si ρ = 0 entonces eA = I +A+ A2

2 .

ii) Si ρ 6= 0 entonces eA = I +sinh(

√ρ)√

ρ A+cosh(

√ρ−1)

ρ A2.


Demostracion. El primer caso es facil. Para el segundo caso, como A3 = ρA,A2k+2 = ρkA2 y A2k+1 = ρkA para k ≥ 0. Por tanto,

eA =

∞∑k=0

Ak

k!

= I +

[A+

A3

3!+A5

5!+ . . .

]+

[A2

2!+A4

4!+ . . .

]= I +

(1 +

ρ

3!+ρ2

5!+ . . .

)A+

(1

2!+ρ

4!+ . . .

)A2

= I +sinh(

√ρ)

√ρ

A+cosh(

√ρ− 1)

ρA2.

Corolario 3.27 Sea A ∈ gl(n,C) y supongamos que A3 = A, entonces

eA = I + sinh(1)A+ (cosh(1)− 1)A2.

Cuando el teorema se aplica a matrices reales obtenemos el siguiente resultado.

Corolario 3.28 Sea A ∈ gl(n,R) y supongamos que A3 = ρA, donde ρ ∈ R. En-toncesi) Si ρ = 0 entonces eA = I +A+ A2

2 .ii) Si ρ > 0 entonces

eA = I +sinh(

√ρ)

√ρ

A+cosh(

√ρ− 1)

ρA2.

iii) Si ρ < 0 entonces

I +sin(√−ρ)√−ρ

A+cos(√−ρ− 1)

ρA2.

Enseguida aplicamos este resultado para matrices reales antisimetricas de 3× 3.

Corolario 3.29 Sea A=

0 a b−a 0 c−b −c 0

∈ gl(3,R). Entonces A3 +γ2A = 0, donde

γ =√a2 + b2 + c2. Si γ 6= 0 entonces

eA = I +sin(γ)

γA+

1− cos(γ)

γ2A2.

3.4 La representacon Adjunta 45

3.4 La representacon Adjunta

Consideremos un grupo de Lie G y ademas consideremos un elemento g ∈ G fijo.Definimos la funcion conjugacion por

Cg : G→ G

Cg(h) = ghg−1

Notemos que si queremos reescribir Cg en terminos de las funciones de traslacionpor la izquierda Lg y traslacion por la derecha Rg entonces la funcion Cg nos queda

Cg(h) = Lg ◦Rg−1(h)

o tambienCg(h) = R−1

g ◦ Lg(h)

Definicion 3.30 Sea g el algebra de Lie de G entonces definimos la adjunta de gcomo

Adg : g→ g

Adg = deCg

Lema 3.31 La funcion Adg es un homomorfismo, es decir

Adgh = Adg ◦Adhpara todo g, h ∈ G.

Demostracion.

Adgh = deCgh

= de(Cg ◦ Ch)

= dCh(e)Cg ◦ deCh

= deCg ◦ deChy esto demuestra la afirmacion.

A continuacion probaremos que Adg ademas de ser una funcion lineal tambienes invertible cuya inversa estara dada por

Adg−1 = (Adg)−1

Primeramente calcularemos (Adg)−1, usando la regla de la cadena y las igualdades

(dhLg)−1 = dghLg−1 y (dhRg)

−1 = dhgRg−1 tenemos

(Adg)−1 = [(dg−1Lg) ◦ (deRg−1)]−1

= (deRg−1)−1 ◦ (dg−1Lg)−1

= (deRg−1)−1 ◦ (dgg−1Lg−1)

= (deRg−1)−1 ◦ (deLg−1)

= (dg−1Rg)−1 ◦ (deLg−1)


Por otro lado calculamos Adg−1 de la siguiente manera

Adg−1 = deCg−1

= dee(Rg ◦ Lg−1)

= dLg−1(e)Rg(deLg−1)

= (dg−1Rg)−1(deLg−1)

Por lo tanto concluimos que Adg es una tranformacion lineal, es decir Adg ∈ End(g),ademas hemos probado que la Adg es invertible por lo tanto Adg ∈ GL(n,R) entoncespodemos definir una nueva funcion del grupo de Lie G en el grupo general linealGL(n,R).

Definicion 3.32 Sea G un grupo de Lie, entonces definimos la representacion ad-junta de G por

Ad : G→ GL(n,R)

g 7→ Ad(g) = Adg

Denotemos la diferencial de la representacion adjunta por ad, es decir,

d(Ad) = ad,

entonces por el diagrama de la exponencial tenemos el siguiente diagrama conmu-tativo

GAd−−−−→ Aut((g))

expx exp

xg

ad−−−−→ End(g)

tambien aplicando el mismo teorema a los automorfismos Cg de G, obtenemos elsiguiente diagrama conmutativo

GCg−−−−→ G

expx exp

xg

Adg−−−−→ g

En otras palabras,

exp tAdg(X) = g(exp tX)g−1

En el caso especial en el que G = Aut(V ), el anterior diagrama se convierte en

Aut(V )Ad−−−−→ Aut(End(V ))

expx exp

xEnd(V )

ad−−−−→ End(End(V ))

3.4 La representacon Adjunta 47

luego

Aut(V )Cy−−−−→ Aut(V )

expx exp

xEnd(V )

Ady−−−−→ End(V )

donde y ∈ Aut(V ). Ademas si x ∈ End(V ), entonces

Ady(x) = y ◦ x ◦ y−1.

De los resultados de la exponencial obtenemos

Ady(x) =d

dt|t=0(Cy(exp tx))

=d

dt|t=0(y ◦ etx ◦ y−1)

=d

dt|t=0e

y◦x◦y−1

= y ◦ x ◦ y−1.

Similarmente, en el caso en que G = GL(n,R) o G = GL(n,C) y y ∈ GL(n,R) yx ∈ GL(n,R), entonces

Ady(x) = y ◦ x ◦ y−1.

Proposicion 3.33 Sea G un grupo de Lie con algebra de Lie g, y sea X,Y ∈ g.Entonces

adX(Y ) = [X,Y ].

Demostracion.

adX(Y ) = (d

dt|t=0Ad(exp tX))Y

=d

dt|t=0Adexp tX(Y )

=d

dt|t=0d(Cexp tX)(Y ).

De aquı si Xt denota el grupo 1-parametrico de difeomorfismos asociados con X,entonces

adXY (e) =d

dt|t=0d(rexp(−tX))(d(lexp tX)(Y (e)))

=d

dt|t=0d(rexp(−tX))(Y |exp tX)

=d

dt|t=0d(X−t)(YXt(e))

= (LXY )(e)

= [X,Y ](e).

Esto termina la demostracion ya que adXY y [X,Y ] son ambos invariantes por laizquierda.

Capıtulo 4

Las algebras de Lie de dimension 3

En este capıtulo se abordaran las algebras de Lie de dimension 3 segun la clasi-ficacion de Bianchi. En la primera seccion se expondra sobre la clasificacion deBianchi de las algebras de Lie de dimension 3, en la segunda seccion se estudiaranlas representaciones de las 9 algebras de Lie clasificadas por Bianchi y se calcularanlas matrices de representacion adjunta y la forma de Killing para estas algebras. Porultimo, en la tercera seccion se considerara la funcion exponencial de las algebrasde Lie en el esquema de Bianchi en respectivos grupos de Lie para entender masprofundamente la funcion exponencial en estas algebras.

4.1 El esquema de clasificacion de Bianchi

En esta seccion vamos a introducir las algebras de Lie de dimension tres segun laclasificacion de Bianchi, estas algebras de Lie son llamadas desde Bianchi I a BianchiIX y las definiremos segun el valor del corchete de Lie en cada par de elementos de labase. A continuacion presentamos las algebras de Lie en la clasificacion de Bianchiy una prueba de esta clasificacion se puede consultar en [2].

Teorema 4.1 Cada algebra de Lie de dimension tres es isomorfa a alguna de lassiguientes nueve algebras de Lie.

Bianchi I . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = 0

[x3, x1] = 0

Bianchi II . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x1

[x3, x1] = 0

Bianchi III . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = x1

[x2, x3] = 0

[x3, x1] = 0

49

50 Las algebras de Lie de dimension 3

Bianchi IV . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x1 + x2

[x3, x1] = −x1

Bianchi V . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x2

[x3, x1] = −x1

Bianchi VI . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = λx2

[x3, x1] = −x1

Bianchi VII . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x1 + λx2

[x3, x1] = −λx1 + x2

Bianchi VIII . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = x1

[x2, x3] = x3

[x3, x1] = −2x2

Bianchi IX . Definimos esta algebra de Lie mediante los corchetes siguientes:

[x1, x2] = x3

[x2, x3] = x1

[x3, x1] = x2

4.2 Representaciones de las algebras de Lie 3-dimensionales

A continuacion calcularemos las matrices de representacion adjunta y la forma deKilling para cada una de las algebras de Lie de dimension 3, estas algebras estandefinidas unicamente por el valor de los corchetes en los elementos de la base.

Bianchi IBianchi IBianchi I.Ya que esta algebra de Lie consiste de puros ceros en el corchete en los elementos

4.2 Representaciones de las algebras de Lie 3-dimensionales 51

de la base, entonces las matrices de representacion adjunta son todas iguales a cero,de igual manera la forma de Killing es igual a cero.

Bianchi IIIBianchi IIIBianchi III.Consideremos el algebra de Lie cuya base es {x1, x2, x3} y cuyos corchetes estandefinidos de la siguiente manera

[x1, x2] = x1

[x2, x3] = 0

[x3, x1] = 0

Ahora calculamos la adjunta para cada par de elementos de la base.

adx1(x1) = [x1, x1] = 0

adx1(x2) = [x1, x2] = x1

adx1(x3) = [x1, x3] = 0

adx2(x1) = [x2, x1] = −x1

adx2(x2) = [x2, x2] = 0

adx2(x3) = [x2, x3] = 0

adx3(x1) = [x3, x1] = 0

adx3(x2) = [x3, x2] = 0

adx3(x3) = [x3, x3] = 0

Ası, con los datos anteriores formamos nuestras matrices de representacion ad-junta adx1, adx2, adx3 las cuales son:

adx1 =

0 1 00 0 00 0 0

, adx2 =

−1 0 00 0 00 0 0

, adx3 =

0 0 00 0 00 0 0

.

Ahora tomemos z en el algebra de Lie, entonces podemos escribir a z comoz = ax1 + bx2 + cx3 donde a, b, c ∈ F, y realizamos los siguientes calculos:

adz(x1) = [ax1 + bx2 + cx3, x1]

= a[x1, x1] + b[x2, x1] + c[x3, x1]

= −bx1

adz(x2) = [ax1 + bx2 + cx3, x2]

= a[x1, x2] + b[x2, x2] + c[x3, x2]

= ax1

adz(x3) = [ax1 + bx2 + cx3, x3]

= a[x1, x3] + b[x2, x3] + c[x3, x3]

= 0


Ya con estos calculos tenemos nuestra matriz de representacion adjunta

adz =

−b a 00 0 00 0 0

Ahora realizando los calculos directamente obtenemos

κ(x1, x2) = 0 = κ(x2, x1)

κ(x1, x3) = 0 = κ(x3, x1)

κ(x2, x3) = 0 = κ(x3, x2)

κ(x1, x1) = 0

κ(x2, x2) = 1

κ(x3, x3) = 0

Y de estos datos formamos nuestra matriz de la forma de killing

κ =

0 0 00 1 00 0 0

Por ultimo para encontrar κ(u, v) para u, v elementos en el algebra de Lie arbitrariosse hacen los calculos directamente y al final obtenemos:

κ(u, v) = u2v2.

Las algebras de Bianchi restantes se resuelven de manera analoga, por eso mismopresentaremos solo los resultados.

Bianchi IIBianchi IIBianchi II.Consideremos el algebra de Lie cuya base es {x1, x2, x3} y cuyos corchetes estandefinidos de la siguiente manera

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x1

[x3, x1] = 0

Al realizar los calculos nuestras matrices de representacion adjunta nos quedan:

adx1 =

0 0 00 0 00 0 0

, adx2 =

0 0 10 0 00 0 0

, adx3 =

0 −1 00 0 00 0 0

De igual manera para z = ax1 + bx2 + cx3 donde a, b, c ∈ F, nuestra matriz nosqueda:

adz =

0 −c b0 0 00 0 0


Por ultimo, despues de algunos calculos rutinarios obtenemos

κ =

0 0 00 0 00 0 0

κ(u, v) = 0.

Bianchi VBianchi VBianchi V.Consideremos el algebra de Lie cuya base es {x1, x2, x3} y cuyos corchetes estandefinidos de la siguiente manera

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x2

[x3, x1] = −x1


adx1 =

0 0 10 0 00 0 0

, adx2 =

0 0 00 0 10 0 0

, adx3 =

−1 0 00 −1 00 0 0


adz =

−c 0 a0 −c b0 0 0

Y por ultimo despues de muchos calculos rutinarios obtenemos

κ =

0 0 00 0 00 0 2

κ(u, v) = 2u3v3.

Bianchi IVBianchi IVBianchi IV.Consideremos el algebra de Lie cuya base es {x1, x2, x3} y cuyos corchetes estandefinidos de la siguiente manera

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x1 + x2

[x3, x1] = −x1


adx1 =

0 0 10 0 00 0 0

, adx2 =

0 0 10 0 10 0 0

, adx3 =

−1 −1 00 −1 00 0 0

.



adz =

−c −c a+ b0 −c b0 0 0

Y por ultimo, despues de algunos calculos de rutina obtenemos

κ =

0 0 00 0 00 0 2

κ(u, v) = 2u3v3

Bianchi VIBianchi VIBianchi VI.Consideremos el algebra de Lie cuya base es {x1, x2, x3} y cuyos corchetes estandefinidos de la siguiente manera:

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = λx2

[x3, x1] = −x1


adx1 =

0 0 10 0 00 0 0

, adx2 =

0 0 00 0 λ0 0 0

, adx3 =

−1 0 00 −λ 00 0 0

.


adz =

−c 0 a0 −λc λb0 0 0

Por ultimo despues de los calculos necesarios obtenemos

κ =

0 0 00 0 00 0 1 + λ2

κ(u, v) = (1 + λ2)u3v3.

Bianchi VIIBianchi VIIBianchi VII.Consideremos el algebra de Lie cuya base es {x1, x2, x3} y cuyos corchetes estandefinidos de la siguiente manera

[x1, x2] = 0

[x2, x3] = x1 + λx2

[x3, x1] = −λx1 + x2



adx1 =

0 0 λ0 0 −10 0 0

, adx2 =

0 0 10 0 λ0 0 0

, adx3 =

−λ −1 01 −λ 00 0 0


adz =

−λc −c λa+ bc −λc −a+ λb0 0 0

Por ultimo, despues de algunos calculos rutinarios obtenemos

κ =

0 0 00 0 00 0 2λ2 − 2

κ(u, v) = (2λ2 − 2)u3v3

Bianchi IXBianchi IXBianchi IX.Consideremos el algebra de Lie cuya base es {x1, x2, x3} y cuyos corchetes estandefinidos de la siguiente manera

[x1, x2] = x3

[x2, x3] = x1

[x3, x1] = x2


adx1 =

0 0 00 0 −10 1 0

, adx2 =

0 0 10 0 0−1 0 0

, adx3 =

0 −1 01 0 00 0 0


adz =

0 −c bc 0 −a−b a 0

Finalmente, despues de hacer los calculos necesarios obtenemos

κ =

−2 0 00 −2 00 0 −2

κ(u, v) = −2u1v1 − 2u2v2 − 2u3v3.


Bianchi VIIIBianchi VIIIBianchi VIII.Consideremos el algebra de Lie sl(2) = sp(1) cuya base es {x1, x2, x3} y cuyoscorchetes estan definidos de la siguiente manera

[x1, x2] = x1

[x2, x3] = x3

[x3, x1] = −2x2


adx1 =

0 1 00 0 20 0 0

, adx2 =

−1 0 00 0 00 0 1

, adx3 =

0 0 0−2 0 00 −1 0


adz =

−b a 0−2c 0 2a

0 −c b

.

Por ultimo, despues de realizar los calculos requeridos se obtiene:

κ =

0 0 −40 2 0−4 0 0

κ(u, v) = −4u3v1 + 2u2v2 − 4u1v3

Cada algebra de Bianchi la hemos definido de manera abstracta, es decir, los ele-mentos x1, x2, x3 son elementos que no necesariamente son matrices, mas adelantefijaremos una base de matrices para cada algebra de Bianchi lo cual nos sera de granayuda al momento de hacer calculos.

4.3 Los grupos exponenciales de las algebras de Lie 3-dimensionales

Mediante la funcion exponencial podemos relacionar una algebra de Lie con un grupode Lie y estudiar las propiedades de esta funcion para conocer mas la relacion que seguardan, probaremos que la funcion exponencial que va de la algebra de Lie sl(2,R)a el grupo de Lie SL(2,R) no es sobreyectiva.

Consideremos:

exp : sl(2,R)→ SL(2,R)

A 7→ expA

Para probar que esta funcion no es sobreyectiva basta con encontrar un g ∈ SL(2,R)tal que eA 6= g para todo A ∈ sl(2,R). Supongamos que la exp es sobreyectiva, yconsideremos la siguiente matriz:

g =

(−1 10 −1

)

4.3 Los grupos exponenciales de las algebras de Lie 3-dimensionales 57

Ya que el determinante de esta matriz es 1 entonces g ∈ SL(2,R) y entonces porhipotesis existe una matriz A ∈ sl(2,R) tal que eA = g.Sabemos que det(eA) = etrA y de aquı

1 = det g = det eA = etrA

de esto concluimos que la trA = 0, entonces A ∈ sl(2,R).

Sean λ1 y λ2 los eigenvalores de A, ya que A ∈ sl(2,R), λ1 = −λ2 y asi podemossuponer que los eigenvalores de A son λ y −λ. Es claro que los eigenvalores de g soneλ y e−λ, y para nuestra matriz particular eλ = −1 para λ 6= 0, estos nos muestraque los eigenvalores de A son diferentes, de esto A es similar a una matriz diagonalcon los eigenvalores en la diagonal, es decir, podemos entonces B ∈M2(C) invertibletal que

BAB−1 =

(λ 00 −λ

).

Luego,

BgB−1 = BeAB−1 = eBAB−1

=

(−1 00 −1

).

Ahora,

(BAB−1)2 = Bg2B−1 =

(1 00 1

)de aquı se sigue que g2 = I, lo cual es una contradiccion ya que

g2 =

(1 −20 1

).

La contradiccion vino de suponer que la funcion era sobreyectiva, por lo tanto, lafuncion no puede se sobreyectiva.

En la siguiente proposicion probaremos que la exponencial del algebra de Lieso(n) a el grupo de Lie SO(n) es una funcion sobreyectiva.

Proposicion 4.2 La funcion exponencial

exp : so(n)→ SO(n)

esta bien definida y es sobreyectiva.

Demostracion. Ya sabemos que si A ∈Mn(R) es una matriz antisimetrica entonceseA es una matriz diagonal, ademas tambien sabemos la siguiente igualdad

det(eA) = etrA,

y como A es una matriz antisimetrica sus elementos de la diagonal son todos igualesa 0, es decir trA = 0 y por tanto det(eA) = 1. Ası, eA ∈ SO(n).


Recordemos del algebra lineal que para cada matriz antisimetrica A existe unamatriz ortogonal P tal que A = PDP T donde D es una matriz diagonal por bloquesde la forma

D =

D1 . . . . . . . . .... D2

. . ....

.... . .

. . ....

... . . . . . . Dp

tal que cada bloque Di es cero o una matriz de 2× 2 de la forma

Di =

(0 −θiθi 0

),

donde θi ∈ R, y θi > 0. Otro resultado que usaremos nos dice que para toda matrizortogonal R existe una matriz ortogonal P tal que

R = PEP T ,

donde E es una matriz diagonal por bloques de la forma

E =

E1 . . . . . . . . .... E2

. . ....

.... . .

. . ....

... . . . . . . Ep

tal que el bloque Ei es 1,−1 o una matriz de 2× 2 de la forma

Ei =

(cos θi − sin θisin θi cos θi

).

Si R es una matriz ortogonal, hay un numero par de −1 en la matriz E y estosse pueden agrupar en bloques de 2 × 2 asociados con θ = π. Sea D la matriz porbloques asociada con E donde una entrada es igual a 1 en E esta asociado con uncero en la matriz D. Entonces tenemos

eA = ePDP−1

= PeDP−1,

y ya que D es una matriz diagonal por bloques, obtenemos eD calculando la expo-nencial de cada bloque. Si Di = 0 tenemos que Ei = e0 = 1,y si

Di =

(0 −θiθi 0

),

entonces obtenemos

eD =

(cos θi − sin θisin θi cos θi

)exactamente el bloque Ei. Ası, E = eD y por tanto

eA = ePDP−1

= PeDP−1 = PEP−1 = PEP T = R,

4.3 Los grupos exponenciales de las algebras de Lie 3-dimensionales 59

y con esto hemos probado que la funcion exponencial es una funcion sobreyectica.

En la seccion anterior hemos estudiado las algebras de Lie de la clasificacionde Bianchi de una menera abstracta. Ahora presentaremos una base para cadauna de las algebras de Lie de Bianchi en forma matricial ya que es mas practicotrabajar con matrices. Las bases que presentaremos a continuacion son derivada delas matrices de representacion adjunta que ya se han calculado en la seccion anterior.

Bianchi IIIBianchi IIIBianchi III.

x1 =

(0 10 0

), x2 =

(−1 00 0

), x3 =

(1 00 1

)En el capitulo anterior hemos estudiado formulas para obtener la exponencial deuna matriz de 2x2 en general y formulas para calcular la exponencial de una matrizde n × n que cumplen ciertas condiciones. Vemos que los elementos de la base sonfaciles de calcular con estas formulas obteniendo ası los siguientes resultados:

ex1 =

(1 10 1

), ex2 = e−

12

(cosh(1

2)− sinh(12) 0

0 cosh(12) + sinh(1

2)

), ex3 =

(e 00 e

)

Bianchi IIBianchi IIBianchi II.

x1 =

0 0 10 0 00 0 0

, x2 =

0 −1 00 0 00 0 0

, x3 =

0 0 00 0 −10 0 0

ex1 =

1 0 10 1 00 0 1

, ex2 =

1 −1 00 1 00 0 1

, ex3 =

1 0 00 1 −10 0 1

Bianchi VBianchi VBianchi V.

x1 =

0 0 10 0 00 0 0

, x2 =

0 0 00 0 10 0 0

, x3 =

−1 0 00 −1 00 0 0

ex1 =

1 0 10 1 00 0 1

, ex2 =

1 0 00 1 10 0 1

, ex3 =

cosh(1)− sinh(1) 0 00 cosh(1)− sinh(1) 00 0 1

.

Bianchi IVBianchi IVBianchi IV.

x1 =

0 0 10 0 00 0 0

, x2 =

0 0 10 0 10 0 0

, x3 =

−1 −1 00 −1 00 0 0


ex1 =

1 0 10 1 00 0 1

, ex2 =

1 0 10 1 10 0 1

, ex3 =


.

Bianchi VIBianchi VIBianchi VI.

x1 =

0 0 10 0 00 0 0

, x2 =

0 0 00 0 λ0 0 0

, x3 =

−1 0 00 λ 00 0 0

ex1 =

1 0 10 1 00 0 1

, ex2 =

1 0 00 1 λ0 0 1

, ex3 =


Bianchi VIIBianchi VIIBianchi VII.

x1 =

0 0 λ0 0 −10 0 0

, x2 =

0 0 10 0 λ0 0 0

, x3 =

−λ −1 01 −λ 00 0 0

ex1 =

1 0 λ0 1 −10 0 1

, ex2 =

1 0 10 1 λ0 0 1

, ex3 =


Bianchi VIIIBianchi VIIIBianchi VIII.

x1 =

0 1 00 0 20 0 0

, x2 =

−1 0 00 0 00 0 1

, x3 =

0 0 0−2 0 00 −1 0

ex1 =

1 1 10 1 20 0 0

, ex2 =

1 0 00 1 10 0 1

, ex3 =

1 0 0−2 1 01 −1 1

Bianchi IXBianchi IXBianchi IX.

x1 =

0 0 00 0 −10 1 0

, x2 =

0 0 10 0 0−1 0 0

, x3 =

0 −1 01 0 00 0 0

ex1 =

1 0 00 cos(1) − sin(1)0 sin(1) cos(1)

, ex2 =

cos(1) 0 sin(1)0 1 0

− sin(1) 0 cos(1)

, ex3 =

cos(1) − sin(1) 0sin(1) cos(1) 0

0 0 1

Bibliografıa

[1] D. S. Bernstein, W. So, Some Explicit Formulas for the Matrix Exponential,IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 38, No. 8 (August 1993), pp.1228–1232.

[2] L. Bianchi, On the Three-dimensional Spaces Which Admit a Continuos Groupof Motions, General Relativity and Gravitation, Vol. 33, No. 12, December2001 (Traducido del original: Sugli spazi a tre dimensioni che ammettonoun gruppo continuo di movimenti, Memorie di Matematica e di Fisica dellaSocieta Italiana delle Scienze, Serie Terza, Tomo XI, pp. 267352 (1898).

[3] R. L. Bryant, An Introducction to Lie Groups and Symplectic Geometry, Uni-versity of Duke, Septiembre 1993, www.math.duke.edu/ bryant. Consultadoel 14 de Octubre de 2011.

[4] T. Brocker, T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, Springer,1985.

[5] M. L. Curtis, Matrix groups (2nd ed.), Springer, New York, 1987.

[6] G. Davila Rascon, R. Flores Espinoza, Yu. M. Vorobiev, Algebra Lineal Teorıay problemas, Editorial Unison, 2006.

[7] D. Z. Djokovic, T. Q. Nguyen, The exponential group of almost simple alge-braic groups, Journal of Lie Theory Vol. 5 (1996), pp. 275–291.

[8] D. Z. Djokovic, K. H. Hofmann The surjectivity question for the exponentialfunction of real Lie groups: A status report, Journal of Lie Theory, Vol. 7(1997), pp. 171-199.

[9] J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie groups, Springer, 1999.

[10] R. Goodman, N. R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants,Springer, New York, 2009.

[11] T. Hawkins, Emergence of the Theory of Lie Groups. An Essay in the Historyof Mathematics, (1869–1926), Springer, New York, 2000.

[12] G. G. Hinojosa Palafox, Clasificacion de las Algebras de Lie Simples sobre loscomplejos, Tesis de Licenciatura, Departamento de Matematicas , Universidadde Sonora, 1993.

[13] James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,Springer, New York, 1987.

61

62 BIBLIOGRAFIA

[14] R. Jantzen, Editor’s Note: On the three-dimensional spaces which admit acontinuous group of motions by Luigi Bianchi, General Relativity and Gravi-tation, Vol. 33, No. 12, December, 2001. pp.

[15] A. Krasinski, C. G. Behr, E. Schucking, et al., The Bianchi Classification inthe Schucking-Behr Approach, General Relativity and Gravitation, Vol. 35, No.3, (2003), pp. 475-489.

[16] R. O. Popovich, V. M. Boyko, M. O. Nesterenko, Realizations of Real Low di-mensional Lie Algebras, (2005), www.arXiv:math-ph/0301029v7, Consultadoen Agosto de 2011.

[17] M. Rainer, H. J. Schmidt The natural calssification of real Lie algebras, Differ-ential Geometry and Applications, Proc. Conf. Aug. 28 – Sept. 1, 1995, Brno,Czech Republic, Masaryk University, Brno 1996, pp. 73–79.

[18] E. Rodrıguez Castillo, Sistemas de Raıces abstractas y algebras de Lie, Tesisde Licenciatura,Departamento de Matematicas, Universidad de Sonora, 2007.

[19] M. Wustner, Exponential Lie Groups with Disconnected Near Cartan Sub-groups, Journal of Lie Theory, Vol. 8 (1998), pp. 399–400.

[20] M. Wustner, The classification of all simple Lie groups with surjective expo-nential map, Journal of Lie Theory, Vol. 15 (2005), pp. 269–278.

universidad de sonoralic.mat.uson.mx/tesis/035_gabriel_oc.pdf · introducci on la teor a de grupos...

Documents