universidad de sonoramat.uson.mx/~ftapia/documentos de clase/clases del dia... · 2015-09-15 ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/1.jpg)
Materia: Estadística I
Maestro: Dr. Francisco Javier Tapia Moreno
Semestre: 2015-2
Universidad de SonoraDepartamento de Matemáticas
Área Económico Administrativa
Hermosillo, Sonora, a 15 de septiembre de 2015.
![Page 2: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/2.jpg)
En la clase anterior calculamos las medidas de
dispersión para datos a granel o no agrupados. En
esta clase se calculan también las medidas de
dispersión pero para datos resumidos y para datos
agrupados en intervalos de clase.
Usaremos dos ejemplos prácticos, primero uno de
datos resumidos y después uno de datos agrupados en
intervalos, los cálculos en ambos casos son muy
similares. Utilizaremos las técnicas más sencillas para
llevar a cabo los cálculos.
Introducción
![Page 3: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/3.jpg)
Ejemplo 1. Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha
preguntado el número de revistas que leen al mes. Los resultados
son los siguientes:
Número de
revistas
Número de
personas
1 1
2 20
3 12
4 10
5 3
6 2
Total 48
Calcular las medidas de
dispersión siguientes:
a) Rango
b) Rango intercuartílico
c) Varianza
d) Desviación estándar
e) Coeficiente de variación.
Ejemplo con datos resumidos.
![Page 4: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/4.jpg)
a) Para calcular el rango, se resta el dato menor del dato mayor. Esto es,
Rango = Dato mayor – dato menor = 6 – 1 = 5 revistas.
b) Para calcular el rango intercuartílico, se calculan los cuartiles 1 y 3, y se restan. Es decir,
Rango Intercuertílico = Cuartil 3 – cuartil 1
La ubicación del cuartil 1 se encuentra entre el dato 12 y 13. El dato 12 es igual a 2 y el dato 13 también es igual a 2, así que el cuartil 1 es igual a 2.
La ubicación del cuartil 3 se encuentra entre el dato 36 y 37. El dato 36 es igual a 4 y el dato 37 también es igual a 4, así que el cuartil 3 es igual a 4.
Concluimos que el Rango intercuartilítico = 4 – 2 = 2 revistas.
Resolución.
![Page 5: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/5.jpg)
c) La relación para calcular la varianza de una muestra en datos
resumidos o agrupados en intervalos es:
Si se trata de una población la relación es:
Como se trata de una muestra de 64 personas, usamos la primera
relación para elaborar la tabla para calcular la varianza.
n
i
ii
n
XXfS
1
22
1
)(*
n
i
ii
N
Xf
1
22 )(*
![Page 6: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/6.jpg)
c) Para calcular la varianza construimos la tabla siguiente:
La media aritmética es 144
48 = 3 revistas.
La Varianza es 64
48−1 = 1.36170213 revistas al cuadrado.
Número de
Revistas
𝑿𝒊
Número de
Personas.
𝒇𝒊
𝒇𝒊 ∗ 𝑿𝒊
𝒇𝒊*(𝑿𝒊 − 𝑿 )
𝒇𝒊* 𝑿𝒊 − 𝑿 𝟐
1 1 1 1*(1-3)= -2 𝟏 ∗ (𝟏 − 𝟑)𝟐 =4
2 20 40 20*(2-3)= -20 20∗ 𝟐 − 𝟑 𝟐 = 𝟐𝟎
3 12 36 12*(3-3)= 0 𝟏𝟐 ∗ (𝟑 − 𝟑)𝟐= 0
4 10 40 10*(4-3)= 10 𝟏𝟎 ∗ (𝟒 − 𝟑)𝟐=10
5 3 15 3*(5-3)= 6 𝟑 ∗ (𝟓 − 𝟑)𝟐=12
6 2 12 2*(6-3)= 6 𝟐 ∗ (𝟔 − 𝟑)𝟐=18
Totales 48 144 0 64
![Page 7: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/7.jpg)
d) La desviación estándar para una distribución de datos
resumidos o agrupados en intervalos de una muestra se calcula
mediante la relación,
La desviación estándar para una distribución de datos no
agrupados de una población se calcula mediante la relación,
1
)(*1
2
2
n
XXf
SS
n
i
ii
N
Xfn
i
ii
1
2
2
)(*
![Page 8: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/8.jpg)
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Por
lo tanto,
Revistas.
e) El coeficiente de variación se calcula mediante la relación
𝑉𝑚 =𝑆
𝑋 * 100%
Así que 𝑉𝑚 = 1.167
3* 100% =38.897%
Concluimos que los datos recabados en la encuesta son muy
heterogéneos. Es decir, están muy separados unos de otros.
167.116691993.136170213.12
SS
![Page 9: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/9.jpg)
Ejemplo 2. La utilidad anual de 38 empresas hermosillenses es
mostrada en la tabla siguiente:
Utilidad
(millones de pesos)
Número de
empresas
45 − 50 5
50 − 65 7
65 − 80 14
80 − 95 9
95 − 110 3
Total 38
Calcular las medidas de
dispersión siguientes:
a) Rango
b) Rango intercuartílico
c) Varianza
d) Desviación estándar
e) Coeficiente de variación.
Ejemplo con datos agrupados en intervalos.
![Page 10: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/10.jpg)
a) Para calcular el rango, se resta el dato menor del dato mayor. Esto es,
Rango = Dato mayor – dato menor = 110 – 50 = 60 mdp.
b) Para calcular el rango intercuartílico, se calculan los cuartiles 1 y 3, y se restan. Es decir,
Rango Intercuertílico = Cuartil 3 – cuartil 1
El cuartil 1 se ubica en la tercera clase ya que 1∗(38+1)
4 =19.5.
Por lo tanto, 𝑄1 = 65 + 15 ∗19.5−(7+5)
14 = 73.0357 mdp.
El cuartil 3 se ubica en la cuarta clase ya que 3∗(38+1)
4 =29.25 .
Por lo tanto, 𝑄3 = 80 + 15 ∗29.25−(14+7+5)
14 = 82.08333 mdp.
Concluimos que el Rango intercuartilítico = 82.08333 – 73.0357 = 9.04763 mdp.
Resolución.
![Page 11: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/11.jpg)
c) La relación para calcular la varianza de una muestra en datos
resumidos o agrupados en intervalos es:
Si se trata de una población la relación es:
Como se trata de una muestra de 64 personas, usamos la primera
relación para elaborar la tabla para calcular la varianza.
n
i
ii
n
XXfS
1
22
1
)(*
n
i
ii
N
Xf
1
22 )(*
![Page 12: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/12.jpg)
c) Para calcular la varianza construimos la tabla siguiente:
La media aritmética es 2750
38 = 72.3684211 mdp.
La Varianza es 9424.34211
38−1 = 254.711949 mpd al cuadrado.
Marcas de
clase
𝑿𝒊
Número de
empresas.
𝒇𝒊
𝒇𝒊 ∗ 𝑿𝒊
𝒇𝒊*(𝑿𝒊 − 𝑿 )
𝒇𝒊* 𝑿𝒊 − 𝑿 𝟐
47.5 5 273.5 -124.342105 3092.19183
57.5 7 402.5 -104.078947 1547.48961
72.5 14 1015 1.84210526 0.24238227
87.5 9 787.5 136.184211 2060.68213
102.5 3 307.5 90.3947368 2723.73615
Totales 38 2750 0 9424.34211
![Page 13: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/13.jpg)
d) La desviación estándar para una distribución de datos
resumidos o agrupados en intervalos de una muestra se calcula
mediante la relación,
La desviación estándar para una distribución de datos no
agrupados de una población se calcula mediante la relación,
1
)(*1
2
2
n
XXf
SS
n
i
ii
N
Xfn
i
ii
1
2
2
)(*
![Page 14: Universidad de Sonoramat.uson.mx/~ftapia/Documentos de Clase/Clases del dia... · 2015-09-15 · Ejemplo 1.Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha preguntado el número](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022040923/5e9e2af444a5e76ae83d4448/html5/thumbnails/14.jpg)
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Por lo tanto,
mdp.
d) El coeficiente de variación se calcula mediante la relación
𝑉𝑚 =𝑆
𝑋 * 100%
Así que 𝑉𝑚 = 15.711949
72.3684211* 100% =22.053%
Concluimos que los datos recabados en la encuesta son heterogéneos. Es decir, están separados unos montos de otros.
96.159596977.15711949.2542
SS