universidad de ciencias de la informática escuela de ... · escuela de ingeniería aurora jerez...

Universidad de Ciencias

de la Informática

Escuela de Ingeniería

2001

Profesores:

José Daniel Munar Andrade

Aurora Jerez Alvial

UCINF Universidad de Ciencias de la Informática Profesores: Daniel Munar Andrade

Escuela de Ingeniería Aurora Jerez Alvial

Carrera de Ing de Ejecución en Informática ALGEBRA LINEAL

2

Introducción.

Campos o Cuerpos Conmutativos

Definición :

(k, +, ·) es un campo si y sólo si , φ≠k es decir, k es un conjunto no

vacío y (+) y ( · ) , son operaciones binarias internas en k tales que:

A) (k, +) es GRUPO ABELIANO

M) { }( )·,0 - k es GRUPO ABELIANO, donde o es el neutro de +.

D) ( ) k. c b, a, c, . a b . a cb . ∈∀+=+a (DISTRIBUIDAD de · respecto a +).

Tengase presente que (+) se llamará adición o primer operación de

( ). , , +k y ( · ) se llamará multiplicación o segunda operación de ( ). , , +k ,

además :

a) El neutro aditivo, es decir, el neutro de + se designará por O.

b) El neutro multiplicativo se designará por 1.

c) El inverso multiplicativo de 0, a , ≠a se denotará por a

1por ,1−a

d) La adición ( )ba −+ se derrotará por ba −

1.- ( ). , +lR es el campo de los números reales y satisface:

IR b a, a, b b a :1 ∈∀+=+A (conmutatividad)

( ) ( ) IR c b, a, ,ba : 2 ∈∀++=++ cbacA (asociatividad)

IR a a,0 a que talIR o ! : 3 ∈∀=+∈∃A (elemento neutro)

( ) ( ) 0a-a que talIR a- !, IR a :4 =+∈∃∈∀A (elemento inverso)

IR b a, a,bba :1 ∈∀⋅=⋅M (conmutativadad)

( ) ( ) IRcbacbcM ∈∀⋅=⋅⋅ ,,,ba :2 (asociatividad)

IR a a,1a que talo 0 1 ! :3 ∈∀=⋅≠∃M (elemento neutro)

1aa que talIR a ! 0,a IR, a : -1-1

4 =⋅∈∃≠∈∀M (elemento inverso)

( ) acbaD +⋅=+⋅ cba : (distributividad)

2.- ( ). , , +Q es el campo de los números racionales, donde:

{ }

Ζ∈= 0 - a / b

aQ con:

Qd

c

bd

cbda

d

c

b

a∈∀

⋅+⋅=+ ,

b

a ,




3

Qd

c

b

a

db

ca

d

c

b

a∈∀

⋅⋅

=⋅ ,,,

Si d

c

b

a= entonces bcad = y recíprocamente, pero

d

c

b

a= no

significa dby == ca

En ⋅+ , ,Q tenemos que:

i) { }0- ,0

0 Ζ∈∀= aa

es el neutro aditivo

ii) { }0,1 −Ζ∈∀= aa

a, es el neutro multiplicativo

iii) El inverso aditivo de Qb

a

b

a∈∀,

b

a- es

iv) El inverso multiplicativo de { }0, −∈∀ Qa

b

a

bes

b

a

3.- ( ),.,+C es el campo de los números complejos donde: ( ){ }IRyxyxC ∈= ,/,, con las operaciones binarias internas definidas por:

( ) ( ) ( )dbcadcA ++=+ , ,ba, :) IRdcba ∈∀ ,,,

( ) ( ) ( )bcadbdacdcM +−=⋅ ,,ba, :) IRdcba ∈∀ ,,,

a) El neutro aditivo en C es (0,0)

b) El neutro multiplicativo en ( )1,0 es C

c) El inverso aditivo de ( ) ( ){ }0,0- Cen ,ba es

++ 2222 a

b-

bba

a

Ejercicio:

Calcule explícitamente lo dicho anteriormente, en ( )⋅+,,C

4.- Si R es la relación definida en Z por:

b - a b R ⇔a es divisible por p, p número primo, entonces R es una

RELACION DE EQUIVALENCIA en Z. Luego induce una partición de Z en clases

de equivalencia, que forma el conjunto cuociente que se denota por ,pZ y

cada clase de equivalencia de denota por a por [ ]a , por aC

Así, es fácil ver que:

[ ] { }ppor divisible es /00 xIRx∈==

[ ] { }ppor divisible es 1/11 −∈== xIRx

[ ] { }ppor divisible es 2/22 −∈== xIRx

.

.

.

[ ] ( ){ }ppor divisible es 1/11 −−∈=−=− pxIRxpp




4

Además: ,....33p ,22p ,11,0 =+=+=+= pp por lo tanto: { }1-p ,,.........2,1,0=Zp

Si definimos en Z la “adición” y “multiplicación”, como sigue:

baba p +=+ primo p ,, Zba ∈∀ y baba ⋅=⋅p primo p ,, Zba ∈∀ , entonces

( )pppZ ,., + es un campo

Analicemos el caso particular en que 3=p .Tenemos { }2,1,03 =Z

3+ 0 1 2 3+ 0 1 2

0 0 1 2 0 0 0 0

1 1 2 0 1 0 1 2

2 2 0 1 2 0 2 1

De las tablas de doble entrada se deduce que:

A) ( )33 +Z es GRUPO ABELIANO, donde:

0 es el neutro aditivo

1 es el inverso aditivo de 2

2 es el inverso aditivo de 1

0 es el inverso aditivo de 0 Además por simetría respecto a la diagonal de la tabla se observa que

3+ es conmutativa

Ejercicio:

Verifique la asociatividad

M) { }( )33 . ,0−Z es GRUPO ABELIANO, pues:

1 es el neutro multiplicativo

2 es el inverso multiplicativo de 2

1 es el inverso multiplicativo de 1

1 aconmutativ es .21 . 22 . 333 ⇒==

( )

( ) 1111 12. 2. 1

12. 22.2 . 13

333

333 =⋅⇒

=⋅=

==

D) La distributividad de 3⋅ respecto a 3+ se deja de ejercicio

Tarea:

Verificar que ,........, Z, 752 ZZ son campos con las operaciones respectivas y

que ,......,, 864 ZZZ no lo son.

NOMENCLATURA:




5

Los elementos pertenecientes a un campo los llamaremos ESCALARES.

Nótese que en ( )⋅+ , ,IR los campos escalares son los números usuales, pero

en ( )p, . ,ppZ + los escalares son “clases de equivalencia”

CAPITULO I

Matrices y Sistemas Lineales

Comenzaremos analizando un problema familiar que servirá como

motivación de mucho de lo que seguirá: Todos estamos familiarizados con

el problema de encontrar solución (o solucionar) de un sistema de

ecuaciones lineales por ejemplo, el sistema

0=−+ zyx

( )1.132 =+− zyx

14523 =+− zyx

tiene como única solución 3,z 2,y ,1 ===x como se puede comprobar. La

mayoría de las técnicas casi inmanejables si el número de incógnitas es

grande y los coeficientes no son enteros. Es usual hoy día para los

científicos encontrar sistemas como (1.1) que contienen cientos de

ecuaciones con cientos de incógnitas. Aún empleando las más eficientes

técnicas conocidas, debe usarse una gran cantidad de aritmética para

resolver dicho sistema. El desarrollo de computadoras de alta velocidad

en los últimos 20 años ha hecho posible la solución de tales problemas.

Usando geometría analítica tridimensional se puede dar una

fructífera interpretación geométrica al sistema (1.1). como cada una de

las tres ecuaciones representa un plano, normalmente se podría espera r

que los tres planos se intersectarán en un punto, en nuestro caso en el

punto (1, 2, 3). Nuestro punto de vista geométrico sugiere que este no

será siempre el caso para tales sistemas, ya que pueden darse los dos

casos siguientes:

1.- Dos de los planos podrían ser paralelos, en cuyo caso podrían no

haber puntos comunes a los tres planos y por lo tanto el sistema no

tendría solución.

2) Los planos podrían intersectarse en una recta y por lo tanto, el

sistema tendría infinitas soluciones.

El primer caso especial puede ilustrarse en el sistema obtenido de

(1.1) reemplazando la tercera ecuación por la ecuación 52 =+− zyx

El segundo caso especial se pude ilustrar reemplazando la tercera

ecuación de (1.1) por la ecuación 1=+− zy

Generalizando el sistema (1.1) podemos considerar:

1n1212111 x........... x x baaa n =+++

2n2222121 x........... x x baaa n =+++

. (1.2)

.




6

nmnmm baaa =+++ n2211 x.......... x x

donde las 1a y los 1b son constantes conocidas y los 1x son las

incógnitas, de modo que tenemos m ecuaciones son n incógnitas.

Las preguntas que nos interesan respecto al sistema (1 . 2) son:

1. Existen soluciones?

2. Si existen solución ¿es única?

3. Cómo se encuentran las soluciones?

Con el propósito de responder estas interrogantes procederemos a

definir MATRICES y a continuación veremos como se relacinan con los

sistemas de ecuaciones lineales.

MATRICES

Definición:

Un matriz sobre un cuerpo K es un arreglo rectangular de elementos de K. Así, ( )KMmxn

denotará el conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con elementos en K, y

( )10a denotará una matriz de ( )KMmxn si n. 2,... 1,jy m ,........,2 ,1 ==i

Luego ( ) ( )KMa mxn∈10 indica que

( )nj

mi

aaa

aaa

aaa

a

mnmm

n

n

...,2,1

...,2,1,

......

.

.

.......

.......

21

22221

11211

10 =

=

=

es una matriz de m fijas y n columnas. 10a indica un elemento de K, ubicado

en la fila i, columna j

También es usual denotar las matrices por las letras A, B, C,

....., X, Y, Z.

Ejemplo:

( ) ( ) ( )IRMaaa

aaaIRMa xx 32

232221

131211

3210 ∈

⇔∈

( )

=⇔∈

232221

131211

32aaa

aaaAIRMA x




7

Definición:

( )KMA mxn∈ se llamará matriz de orden mxn sobre k.

Definición

Igualdad de Matrices: Sean ( ) ( ) ( )KMa mxn∈1010 b , . Diremos que estas

matrices son iguales si:

n2,......, ,1

,.......,2 ,11010

=∀

=∀==

j

i mba

o bien:

⇔

=

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

...

.

.

...

....

......

.

.

......

......

21

22221

11211

21

22221

11211

,...2111

22222121

,.....1212,1111

,

.

,..,

mmmm baba

baba

baba

==

==

==

Convención:

1.- Si ( )KA mxnM ∈ diremos que A es una “matriz cuadrada” y el conjunto

de dichas matrices se denotará sólo por ( )KM n así:

( ) IRaaa

aaAIRMA ∈

=⇔∈ 10

2221

1211

2 ,

2.- Si ( )KMA mx1∈ entonces:

,.

1

21

11

=

ma

a

a

A se denotará simplemente por

=

ma

a

a

A.

2

1

esto es, usaremos un

solo índice para designar los elementos de ( )KM mx1

3.- Si ( ) ( )AFKMA mxn 1:∈ denotará la i-ésima de la matriz A, así

( ) ( )naaaAF 112111 ,......,,= Además, ( )AC j denotará la j-ésima columna de la

matriz A.




8

Así:

( )

=

mj

j

j

j

a

a

a

AC.

2

1

Las matrices surgen naturalmente en el estudio de sistemas lineales

con (1.2) con 3 2 == nym

2323222121

1313212111

x

bxaxaxa

bxaxaa

=++

=++ (1.3)

Con el sistema (1.3) asociaremos la matriz de coeficientes de 2x3:

=

232221

131211

aaa

aaaA

así como la matriz de las incógnitas de 3 x 1

=

3

2

1

x

x

x

x

y la matriz de constantes de 2 x 1:

=

2

1

b

bB

Luego podemos convenir en abreviar el sistema (1.3) como:

BAX = (1.4)

Ahora en (1.3) hagamos la sustitución determinada por:

2321313

2221212

2121111

y

ydydx

dydx

ydydx

+=

+=

+=

(1.5)

que se puede escribir en forma abreviada como:

,DYX =

donde:

=

3231

2221

1211

dd

dd

dd

D y

=

2

1

y

yY (1.5)

Un cálculo directo, fácil d verificar, nos da el sistema:




9

2222121

1212111

bycyc

bycyc

=+

=+ o CY = B (1.6)

donde

=

2221

1211

cc

ccC , con

32232222122122

31232122122121

32132212121112

31131212111111

dadadac

dadadac

dadadac

dadadac

++=

++=

++=

++=

En términos de las abreviaciones (1.4) y (1.5’), tenemos:

( ) ,, BCYDYADYXBAX ====

de modo que tenemos fuertes motivaciones para definir la matriz C como el

producto de las matrices A y D. Nótese que para hacer nuestra

sustitución que motivó este definición de producto de matrices es

esencial que el número de filas de D sea igual al número de columna de A.

Más aún, observamos que 11c está calculada con los elementos de

( )AF1 y ( )DC1 y 22c con los elementos de ( ) ( )DCyAF 22

Formalizaremos lo anterior como sigue:

Definición:

Sea ( )KMA mxn∈ y ( )KMB nxp∈ . El producto AB está definido como

( ) ( )KMcC mxp∈= 10

Donde:

( ) ( ) ( )naaaBAc 112110110 ,....., ,C F ==

0

20

10

.

nb

b

b

(1.6)

o bien 01201210110

1

110 .... nnk

n

k

k babababac +++== ∑=

Ejemplo: Sean

−=

−=

01

10

23

,154

01 2BA . Calcular AB y BA

De la definición tenemos:




10

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−

−

=

=

0

1-

2

1 5 4

1

0

3

1 5 4

0

1-

2

0 1 2

1

0

3

0 1 2

C ?

2212

2111

BCAFBCAF

BAFBCAFAB

+−+++

+−−++−+=

0.11.5 2.41.10.5 3.4

0.01.12.21.00.13.2

=

313

56

Análogamente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

A BA BA BF

A C

C C

332313

322212

312111

CFCFC

CBFACBFABF

ABFACBFABF

BA

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

1

0 0 1

5

1- 0 1

4

2 0 1

1

0 1- 0

5

1- 1- 0

4

2 1- 0

1

0 2 3

5

1- 2 3

4

2 2 3

++−+

−+−+−−+

++−+

=

1.0 0.15.0 1.14.02.1

1.10.05.11.04.12.0

1.2 0.35.2 1.34.22.3

=

0 22

-104-

0 714

Hay varias cosas acerca de la multiplicación de matrices que debemos

enfatizar Si ( ) ( ),K y pxqmxn MBKMA ∈∈ entonces :

1º AB está definida ssi n = (# columnas de A) = (# filas de B) = p, y en

este caso ( )K mxqMAB∈ .

2º Si AB está definida, B puede o no estar definida. BA está definida

ssi (# columnas de B) =q=m= (# filas de A) y en este caso

( )KMBA qxn ∈

3º Aún si AB y BA están definidas, es posible que no sean iguales (ver

ejemplo anterior).

4º Es posible que BAAB = están definidas, es posible que no sean

iguales (ver ejemplo anterior).




11

5º Aún siendo A y B cuadradas y del mismo orden no necesariamente se

tiene que AB=BA, ya que si

=

=

86

75

42

31ByA se tiene:

=

=

5022

4319

4634

3123BAyAB

Más aún:

=

−−

00

00

41

4 2

63

21

mientras que

−−=

−− 147

28 14

63

21

21

4 2

Es importante observar que AB y BA no son siempre diferentes. Por

ejemplo, si:

i)

−

−

=

2 -11

-12 1

1 12

A y

−

−−

−

=

6 55

56 5

5 56

B , entonces

−

−−

−

=

22 2121

2122 21

21 2122

AB y ABBA =

−

−−

−

=

22 2121

2122 21

21 2122

ii)

−

−=

=

6 3

36

12

21ByA entonces BAAB =

=

09

90

Un serio problema en teoría de matrices es encontrar todas las matrices B

que conmuta con un matriz dada A.(A y B CONMUTA ssi AB=BA)

6º Si ( ),KMA n∈ se definen las potencias de A como:

. ......, , , . 1232 AAAAAAAA n−==

Teoremas 1.1: Sean ( )10aA = , ( )10bB = , ( )1kcC = tres matrices

arbitrarías. Entonces:

( ) ( )BCACAB = .Es decir, la multiplicación de matrices es asociativa.

Demostración:




12

Supongamos que ( ) ( )KMBKMA nxpmxn ∈∈ , y que ( )KMC pxq∈ , de modo que

todos los productos estén definidos y ( ) ( ) ( ) ( )KMBCAKMCAB mxqmxq ∈∈ , .

Será suficiente probar la igualdad del ( )[ ] ( )[ ]BCAelemCABelem 1010 y , los

elementos de la posición ( ) ( )BCACABji y de , , respectivamente.

Usando la definición ( )'6.1 , tenemos:

( )[ ] ( ) ( )∑=

=P

K

K CelemABelemCABelem1

01010

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

=

n

k

k

p

k

rkr celemBelemAelem1

0

1

1

( ) ( ) ( )( )∑ ∑= =

=n

r

krkr CelemBelemAelem1

p

1k

01

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

=

n

r

krkr CelemBelemAelem1

p

1k

01

( ) ( )∑=

=n

r

rr BCelemAelem1

01

( )[ ]BCAelem10=

Se ha usado la asociatividad de los escalares y el hecho de que por

ser todas sumas finitas se puede intercambiar el orden de dichas sumas.

Sabemos, ahora, que la multiplicación de matrices no es conmutativa,

pero es asociativa y es natural preguntarse qué otras propiedades

multiplicativas de un campo satisface la multiplicación de matrices.

Responderemos parcialmente a esta pregunta, mostrando que existe

neutro multiplicativo: LA MATRIZ IDENTIDAD.

( )AelemA 1010 =

Esta notación es conveniente para matrices de nomenclatura complicada

tales como ( )CBA 32 + . En esta caso, ( )[ ]CBAlem 3210 + designará 10m donde

( )CBAM 32 +=

Adición De Matrices

Multiplicación Escalar

Definición:

Si ( )10aA = y ( )10bB = son matrices de mxn sobre el campo K, entonces

A + B se define como la matriz de ( )10 sSmxn = , donde 101010 bas +=

(1.7)




13

Equivalentemente ( ) ( ) ( )BelemAelemBAelem 101010 +=+ (1 . 7)

Ejemplos:

1) Si

−−

−

=

05 9 10

7130

64 23

A y

−−

=

4297

5 3 10

8 6 42

B

entonces:

−

−=

−+−+++

++−+−+

+++−+

=+

43 1817

122 20

14102 5

40 25 99 710

5 7 3 11300

8 6 6 4 4223

BA

2) Si

−

=

00 7

64 0

523

A y

−

−−

−−

=

0 0 7

640

52 3

B , entonces

=+

000

000

000

BA , la matriz nula de 3x3

Nótese que:

1º La adición de matrices está definida sólo entre matrices del mismo

orden y la suma tiene el mismo orden que cada uno de sus sumandos.

2º Como la suma de dos matrices de mxn es otra matriz de mxn, se dice

que el conjunto de todas las matrices de mxn es cerrado respecto a

la adición, o que la adición de matrices es una operación binaria

interna en ( )KM mxn

Teorema 1.4 ( )( )+ ,KM mxn es un GRUPO ABELIANO

Demostración:

1.- Conmutatividad . Sean ( ) ( ) ( )KMbBaA mxn , 1010 ∈==

( ) ( ) ( )101010 sbaBA =+=+ , donde ,101010101010 absbas +=⇒+= pues Kba ∈1010 ,

.

El Anillo

De Las Matrices Cuadradas

Teorema 1.6




14

( )( ),.,K +nM es un anillo no conmutativo con unidad.

Demostración: Consecuencia de las propiedades de matrices antes vistas.

Multiplicación De Matrices

Por Un Escalar

Definición:

Si KK ∈ y ( )KMA mxn∈ , donde K es un campo, entonces la

multiplicación por un escalar KA es la matriz de mxn definida por

( ) ( )AelemKKAelem 1010 = (1 . 8)

Ejemplo: Si

=

321

642A y

=

123

753B

entonces

( )

−

−−−+

=−+=−

3- 6- 9

21159

6 42

12843232 BABA

Teorema 1.7 Sean ( )KMBA mxn , , ∈ y . , K∈βα Entonces:

i) ( ) AAA βαβα +=+

ii) ( ) βααα +=+ ABA

iii) ( ) ( )AA βαβα =

iv) AA =1

v) 00 =A

vi) ( ) ( )ACCA αα = si ( )KMC nxp∈

Demostración: (Ejercicio)

Definición:

Si ( ) n

n xaxaxaaxp ++++= ......2

210 y A es cualquier matriz cuadrada,

entonces se define ( )Ap por: ( ) n

n AaAaAaaAp ++++= ....1 2

210

Ejercicio 2

1.- a) Para la matrices




15

−

−=

−=

−=

2 342

2535

7 101

y ,-102

6 52,

435

02 1CBA

Verifique la distributividad por la derecha, esto es pruebe directamente

que ( ) BCACCBA +=+

b) ¿Es cierta la distributividad por la izquierda?

2.- a) Calcule IJJ 43 23 +− para

=

200

021

002

J

b) Utilizando la parte a), encuentre 1−J

3.- Si A y B son singulares ¿Es A+B no singular?

Si así lo es ¿será cierta que ( ) 111 −−− +=+ BABA

II.- Asociatividad

( ) ( ) ( ) ( )[ ]CBelemAelemCBAelem ++++ 101010 1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]CelemBelemAelem 1010101 ++

( ) ( ) ( )[ ] ( )CelemBelemAelem 1010102 ++

( ) ( ) ( )CelemBAelem 10101 ++

( ) ( )[ ]CBAelem ++101

(1) : definición de adición

(2) : asociatividad en K

III.- Existe elemento neutro para la adición.

En efecto: 00 ssiAA =+ es la matriz nula

IV.- Cada matriz posee inverso aditivo

En efecto: ( ) ( ), , KMAKMA mxnmxn ∈−∃∈∀ donde ( ) ( ),1010 AelemAelem −=− tal

que ( ) 0=−+ AA

Luego ( )( )+,KM mxn es grupo abeliano.

Teorema 1.5

Si ( ) ( ) ( )101010 , , cCbBaA === son matrices. Entonces:

( ) BCACCBA +=+

y ( ) ,CBCABAC +=+




16

aceptando que las adiciones y multiplicaciones están bien definidas.

Demostración:

Supongamos que ( ) ( ),y y KMCKMBA nxpmxn ∈∈ entonces AC + BC y

( ) ( )KMCBA mxp∈+ y para demostrar que son iguales basta probar que

( )[ ] [ ]BCACelemCBAelem +=+ 1010

De la definición de adición y multiplicación de matrices:

( )[ ] ( ) ( )∑=

+=+n

k

k CelemBAelemCBAelem1

10110

= ( ) ( ) ( )[ ]∑=

+n

k

kkk CelemBelemAelem1

011

= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

+n

k

kkkk CelemBelemCelemAelem1

0101

= ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

+n

k

n

k

kkkk CelemBelemCelemAelem1 1

0101

= ( ) ( )BCelemACelem 1010 +

= [ ]BCACelem +10

4.- Pruebe que

∈

−= IRba

ab

baK ,/

es un campo compare este campo

con el campo de lo números complejos.

5.- Demuestre el teorema 1.7

6.- Para ( ) ( )SmxxxmS evalue 45y

2 11

12 1

1 12 2 +−=

−

−−

−

=

7.- Para ( ) 576y

30 0

410

62 123 −+−=

−= xxxxpT

evalúe ( ).Tp Verifique que los elementos de la diagonal de ( )Tp son ( )1−p

y ( )3p

Matriz traspuesta

Definición:




17

Sea ( ),KMA mxn∈ entonces la matriz de nxm obtenida de A intercambiando

sus filas y columnas se llama la TRASPUESTA de A y se denota por tA . Es

decir tA es la traspuesta de ( ) ( )AelemAelemA t

0110 ssi = (1.9)

Ejemplo: Si

−=

=

2

3

5

654

321ByA entonces

( )2 ,3,5

63

52

41

−=

= tt ByA

Teorema 1.8

i) ( ) AAtt =

ii) ( ) ( ) ttt

mxn BABAKMBA +=+⇒∈ ,

iii) Si AB está definida entonces ( ) tttABAB =

iv) ( ) KB tt ∈∀= ααβα ,

v) Si A es no-singular, entonces lo es tA y además ( ) ( )tt AA 11 −−

=

Demostración:

i) Por definición de traspuesta: ( ) ( ) ( ),101010 AelemAelemAelemttt == así

que ( ) AAtt =

ii) Por definición de adición de matrices y traspuesta:

( )[ ] ( )BAelemBAelemt +=+ 1010

= ( ) ( )BelemAelem 1010 +

= ( ) ( )tt BelemAelem 1010 +

= ( )[ ]tt BAelem +10

Luego: ( ) tttBABA +=+

iii) Supongamos que ( ) ( )KMBKMA nxpmxn ∈∈ , . Entonces ( )KMAB mxp∈ y

( ) ( )KMABAB pxm

ttt , ∈ . Ahora por definición de traspuesta y por la

de multiplicación de matrices ( )[ ] ( )ABelemABelemt

1010 =

= ( ) ( )BelemAelem k

n

k

k 1

1

0 ∑=




18

= ( ) ( )∑=

n

k

t

k

t

k BelemAelem1

10

( ) ( )∑=

=n

k

t

k

t

k AelemBelem1

01

[ ]tt ABelem 10=

Luego: ( ) tttABAB =

Ejercicio 3

1.- Para las matrices

−=

−

=01 2

211

11

02

21

ByA

Calcule ( ) tttttttBBAABAABAB , , , ,

2.- A y B son matrices no-singulares tales que

( ) ( ) ( ) IABABBAtttt =+− −−−− 1111

Despeje A en términos de B

3.- Demuestre que: A y B conmuta tt ByAssi conmutan.

4.- Si ( )KMBA n , ∈ ¿En que caso se cumple ( ) ( )? 22 BABABA −+=−

5.- Para

−−

−

−

=

111

2 2 1

6 5 3

A verifique que

−

−=−

121

03 1

21 0 1A

Encuentre ( ) ( ) 11y

−−AAA tt

Partición De Matrices

Introduciremos ahora algunas técnicas útiles que frecuentemente

serán útiles en el trabajo con matrices. Los resultados que

estableceremos son intuitivamente obvios, pero los detalles formales son

a veces tediosos.

Definición:

Una SUBMATRIZ de un matriz A es una matriz obtenida de A eliminando

ciertas filas y/o columnas de A.

Las filas de ( ), , 1 AFA y las columnas de ( ), , 0 ACA son casos

especialmente importantes.




19

Pensemos en la partición de una matriz A en submatrices por medio

de ciertas rectas horizontales y verticales. Por ejemplo.

( )KM

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A 4

44434241

34333231

24232221

14131211

|

|

|

|

∈

−−−−−−−−−−−−−−−−

=

ha siso particionada en cuatro submatrices que denotamos, en forma

abreviada, como .,,, 22211211 AAAA Usando esta notación, escribimos:

=

2221

1211

AA

AAA

Lo que se desea estudiar es cómo poder multiplicar matrices

particionadas, tratando las submatrices como los elementos de la matriz.

Ahora supongamos que B es otra matriz tal que AB está definida y que

además B está particionada como sigue:

=

232221

131211

BBB

BBBB

Nos preguntamos bajo que condiciones el producto AB se puede

calcular, tratando las submatrices como si ellas fuesen escalares; esto

es ¿Cuándo podemos escribir?

( )1.10 ? 23223212222122121221121

231213112212121121121111

+++

+++=

BABABABABABA

BABABABABABAAB

Por cierto que (1.10) no siempre es válida ya que debemos estar

seguros que todas las sumas y productos en (1.10) estén bien definidas.

Específicamente, para que 1111BA esté bien definido es necesario que el

número de columnas de 11A sea igual al número de filas de .11B En general

10A debe tener el mismo número de columnas que el número de filas de KB0 .

Si ( ), 54 KMB x∈ una posible partición es:

)11.1(

| |

------ | --- |

| |

| |

232221

131211

3534333231

2524232221

1514131211

=

−−−−=

BBB

BBB

bbbbb

bbbbb

bbbbb

B

Si calculamos el primer elemento en (1.10) tendremos:




20

+

=+4241

3231

3433

2423

1413

2221

1211

3231

2221

1211

21121111bb

bb

aa

aa

aa

bb

bb

aa

aa

aa

BABA

=

++

++

++

+

++

++

++

4234323341343133

4224322341243123

4214321341143113

2232123121321131

2222122121221121

2212121121121111

babababa

babababa

babababa

babababa

babababa

babababa

++++++

++++++

++++++

=

42343233223212314134313321321131

42243223222212214124312321221121

42143213221212114114311321121111

babababababababa

babababababababa

babababababababa

la cual es una submatriz de AB obtenida al eliminar la última fila y las

tres últimas columnas. Cálculos análogos prueban que (1.10) es cierto

para B dada por (1.11).

Teorema1.9:

Sean ( ) ( ),y KMBKMA nxpmxn ∈∈ donde

vst ppppynnnnmmmm +++=++=++= ........ ........ ,..... 212121 y

supongamos que:

=

=

sVss

v

V

tstt

s

s

BBB

BBB

BBB

By

AAA

AAA

AAA

A

21

22221

11211

21

22221

11211

...

...

...

...

.......

son particiones de A y B que ( ) ( )KMBKMA xpimixnimi 10 10 y ∈∈ . Entonces

la matriz particionada ( ),10CC = donde

∑=

=s

k

KK ABesBAC1

0110 ,

Demostración:

Debemos probar que las dos matrices son iguales elemento por elemento.

Para la posición 1,1 tenemos:

( ) ( ) ( )∑=

==n

i

BCAFbaABelem1

11111111




21

= ( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

( )

−−−−

11

212

111

11121111

.

.|||

s

s

BC

BC

BC

AFAFAF

Descomponiendo esta suma en s partes, con la primera consiste en 1n

términos, la segunda en 2n términos, etc., tenemos:

∑=

n

i

ba1

1111 = ∑ ∑ ∑=

+

+=

=++

++++= −

+++1 21

1

21

1211 1

...

1...

111111111111 .....n

i

nn

ni

nnnn

nnni

s

s

bababa

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111211121111111 ..... ss BCAFBCAFBCAF +++

= ( ) ( ) ( ) ( )11111211211111111 ..... ss BCAelemBAelemBAelem +++

= ( )112112111111 ....... ssBABABAelem +++

= ( )Celem11

En forma análoga para las otras posiciones se obtiene que AB=C.

Hay algunos casos especiales del teorema 1.10 que son importantes

por separado.

Si B se particiona en sus filas y A se deja sin particiones

entonces el cálculo de ( ).1 AF Centrado nuestra atención en esos elementos

escribimos:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ].........

.

. ..,,......... , 0

0

20

10

21 ABC

b

b

b

ACACACAB

n

n =

=

Luego por el teorema 1.9 tenemos el:

Teorema 1.11

• ( ) ( ) ( ) ( ) 02021010 ...... nn bACbACbACABC +++=

o ( ) ( )BCAABC 00 =

Es decir, la j-ésima columna de AB es una combinación lineal de las

columnas de A con coeficientes de la j-ésima columna de B.

Teorema 1.12

Si

=

22

1211

0 A

AAA y si existen




22

,1

22

1

11

−− AyA entonces A es no-singular y además

−

−−−

=−

22

221211111

0

1-

1 11

A

AAAAA

Demostración: Calculando directamente se tiene:

−

+−

−−−−

=

−

−−−

2222

2212221211111111

22121111

22

1211

0

1

1 1 1 1

1 1 1

0

AA

AAAAAAAAAAAA

A

AA

=

I

I

0

0

= I

Análogamente:

10

0

1-

1 11

22

1211

22

22121111 =

−

−−−

A

AA

A

AAAA

Un caso especial del teorema 1.12, digno de destacarse, es cuando 012 =A .

En este caso

( )

( )2211

2211

, y

1- 1- -1

diagonal bloqueun es

AAdiagA

AADiagA

=

=

Ejercicio 4

1.- Calcular directamente AB y luego con la participación indicada:

=

=

1- | 2 1

3 | 0 1

---------

2- | 5 4-

2 | 1 3

,

2 1 | 5- 2

1 2 | 0 4

-------------

0 1- |2 1

BA

Solución:




23

i)

−−

=

−−

−

−

=

15-1731

137 16

511 6

-132

3 01

254

2 13

21 52

12 0 4

012 1

AB

ii)

++

++=

=

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

BABABABA

BABABABA

BB

BB

AA

AAAB

Donde [ ] [ ]

−=

−=−==

2

2 ,

54

13 ,01 ,21 12111211 BBAA

−

=

=

−=1

3 ,

32

01 ,

21

12 ,

52

0 422212221 BBAA

Luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 60 111 532

010 1

54

13 2 121121111 −=−+−=

−+

−=+ BABA

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5321-

3 0 1

2-

2 2 122121211 −=−+−=

−+

=+ BABA

−=

+

−

−=+

1731

7 16

32

01

21

12

54

13

52

0 421221121 BABA

=

+

−=+

15

13

1-

3

21

12

2-

2

52

0 422221221 BABA

Por lo tanto:

−−

=

1517- 31

137 16

5116

AB

2.- Calcular CD usando una partición adecuada, si

=

=

10000

01000

00100

00000

00000

,

21400

20500

13200

00010

00011

DC




24

Solución: Consideremos , por ejemplo, la partición:

=

21400

20500

13200

00010

00011

C

=

10000

01000

00100

00000

00000

D

donde: 1213221211 00

0 ,0

00

00,

10

11xx CCC =

==

=

=

=

==

=

2

2

1

,

14

05

32

,0

00

00

00

23222321 CCC x

121322122211 00

0 0

00

00 ,0

00

00XXx DDD =

==

==

=

1223222221 00

0 ,

10

01 ,0

00

00XX DIDD =

==

==

=

( ) ( ) ( )1 , 000 ,000 3321322131 ===== DDD XX

Luego:

,

21400

20500

13200

00000

00000

0

000

3323222223

122222

=

=

DCDCCD

x

xxx

pues ( ) 2323222222222 1 CCyCICDC =•==

3.- Dada

−=

1300

2100

0043

0021

A

i) Calcular IAA 363 23 +−

ii) Usando el problema 10 del ejercicio 1 y el teorema 1.12 calcular 1−A

Solución:




25

i)

=

−

−=

22

22

22

112

20

02

1300

2100

0043

0021

1300

2100

0043

0021

A

AA

x

x

,

donde:

=

=

2215

107

43

21

43

21

)( 2

11A

=

−

−=

70

07

13

21

13

21

)( 2

22A

Luego:

=

=2222

22112

0

0

7000

0700

002215

00107

B

BA

x

x

Por lo tanto:

=

==

222222

221111

2222

2211

2222

221123

0

0

0

0

0

0

AB

AB

A

A

B

BAAA

x

x

x

x

x

x

Como

=

=

11881

5437

43

21

2215

1071111AB

Y

=

−

=

721

147-

13

21

70

072222 AB

Se tiene que:

−=

72100

14700

0011881

005437

3A

con esto se obtiene:

−

−=+−

186300

426000

00225153

0010272

363 23 IAA




26

iii) Como ( ), , Diag

1300

2100

0043

0021

2211 AAA =

−= usando el teorema

1.12, se tiene que:

−−=−

2211

11

, 1

DiagAA

A

En nuestro caso ;13

21

43

212211

−=

= AyA por lo tanto

usando el problema 10 del ejercicio 1, se calculan:

−

−=

−−−

−−

−=−

2123

12

2

1

2

32

2

2

41

11A

−=

−−

−−

−−

−=−

7173

7271

7

2

7

37

2

7

11

22A

por lo tanto:

−

−

−

=−

717300

727100

002123

0012

1A

4.- Usando el teorema 1.12 y problema 10 del ejercicio 1 calcular las

inversas de:

i)

−

1300

2100

2043

1221

ii)

−

−

50000

03400

12300

44121

13701

iii)

− 4342

2173

0034

0023

iv) Diag ( )

− 10

71 ,

01

10 2 ,

12

01




27

5.- Si

=

2221

1211

AA

AAA i) ¿Cuál es

tA ?

iii) Usando el teorema 1.12 encuentre

1

2221

11 0−

AA

A

6.- Pruebe que encontrando 1−A se puede resolver el sistema AX = B.

(Ayuda: observe que IAA =−1, columna por columna)

7.- Usando las matrices A y B del problema 1 utilice el teorema 1.10

para expresar ( )ABF3 como una combinación lineal de las filas de B. Use

el teorema 1.11 para expresar ( )ABC2 como una combinación lineal de las

columnas de A.

8.- Pruebe que AX = Y es equivalente a:

[ ] 0 : 01

Y : =

−

=

− Y

XIAao

xA

9.- Sea ( )KMA n ∈ y sea

=

AIO

IAI

OIA

B

Calcular 32 ByB

Matrices Especiales

Hemos mencionado, anteriormente, algunos tipos especiales de

matrices: MATRIZ CUADRADA, MATRIZ IDENTIDAD, MATRIZ DIAGONAL, MATRIZ

NULA. Ahora mencionaremos brevemente otros casos especiales de matrices

cuadradas.

Definición:

i) Una matriz ( )n

n

I

KM

γ=Ε

∈Ε se llama ESCALAR ssi

Donde γ es un escalar.

Ejemplo: ,

100

010

001

2

200

020

002

=

=Ε es una matriz escalar




28

ii) Una matriz ( ) ( )KMtT n 10 ∈= se llama TRIANGULAR SUPERIOR ssi

010 =t , j i <∀

(Es decir, todos los elementos de T que están arriba de la diagonal

son nulos). Mas aún, diremos que T es: TRIANGULAR SUPERIOR

ESTRICTA ssi j i ,010 ≥∀=t , TRIANGULAR INFERIOR ESTRICTA ssi

j i , 010 ≤∀=t

Un ejemplo de una matriz triangular inferior es:

L=

− 401

003

002

. Mientras que

−=

000

100

970

M

es un ejemplo de una matriz triangular superior estricta

iii) Una matriz ( )KMA n ∈ es simétrica ssi AAAt y = es

antisimétrica ssi AAt −=

En términos de los elementos de A tenemos:

A es SIMETRICA jiaa , , 0110 ∀=<==>

A es ANTISEMETRICA jiaa , , 0110 ∀=<==>

Un ejemplo de una matriz de orden 4 que es simétrica está dado por:

−

−−

−=

0 97 4

98 63

7 65 2

4 3 2 1

A ,mientras que:

−−−

−

−−=

0653

60 4 2

540 1

32 1 0

B

es una matriz antisimetrica.

Observación

( ) . ,0 entnces icaantisimétr es 1110 iaaASi ∀==

En efecto : A es antisimetrica iaa ∀===> , 1111

ia ∀===> , 02 11

ia ∀===> ,011

Una aplicación importante de las matrices simétricas es el estudio de las

formas cuadrática; esto es polinomios de grado dos en varias variables.

Sea ( ) ∑∑==

=n

j

n

i

n xxaxxxQ1

0110

1

211 ,.......,

= nxaxxaxxaxxaxa nnnnnn

2

1111211212

11 ............ +++++++




29

uno de tales polinomios en las n variables nn xxx ,.......,21 . Sin pérdida de

generalidad se puede suponer que los coeficientes 0110 y aa de

,y 1001 xxxx respectivamente, son iguales. (En caso contrario se pueden

promediar; por ejemplo )4453 12211221 xxxxxxxx +=+ .

Usando la suposición y rearreglando los términos de Q se obtiene:

[ ]∑ ∑= =

=

=

=

n

i

t

n

n

n

j

AXx

x

x

x

AxxxxaxQ1

2

1

21

1

0101 ,

.

. ....

donde [ ] AxxxX n

t y ... 21= es una matriz simétrica determinada en forma

única. En conclusión, establecemos el.

TEOREMA 1.13 Todo polinomio cuadrático ∑∑==

=n

j

n

i

xxaQ1

0110

1

puede ser escrito en forma única como: AXXQ t= ,donde [ ] .... 21 n

t xxxx =

y A es simétrica

Definición:

( )CMA n∈ es HERMITIANA 0110 aa =<==>

(La barra indica conjugación compleja)

( )CMA n∈ es ANTIHERMITANIA 0110 aa −=<==>

+

−

−

=

0432

435

3252

i

i

ii

A ( )CM 3∈ es Hermitiana, mientras que

+−

+−=

iii

i

ii

B

3325

3203

53

es Antihermitiana

Es claro de la definición que una matriz Hermitiana debe siempre

elementos reales en la disgonal, mientras que una matriz Antihermitiana

siempre tendrá elementos imaginarios puros en la diagonal.

Hay muchos tipos más de matrices especiales, pero las

introduciremos cuando naturalmente surjan en nuestra discusión.

Ejercicio 5:

1.- Pruebe que el conjunto de las matrices triangulares superiores de

nxn es CERRADO respecto a la adición y multiplicación de matrices. Si




30

21 y TT son Triangulares superiores ¿Cuáles son los elementos de la

diagonal de ? de 2121 TTyTT + .

Además si T es triangular superor de nxn y si ( )xp es un

polinomio, pruebe que ( )Tp es triangular superior con elementos de la

diagonal dados por ( ) ( ) ( )tnnptptp ,......., , 2211

2. Si ( )IRMA mxn∈ , entonces AAt es llamada la MATRIZ DE GRAM de A.

Pruebe que la matriz de Gram e A es siempre simetrica con elementos en

la diagonal no negativos.

3. Pruebe que lo elementos de la diagonal de una matriz Hermitiana son

reales, mientras que de una matriz Antihermitiana son imaginarios

puros.

4. Pruebe que si A es simetrica, entonces lo es APP t para toda elección

compatible de P.

5. ¿Qué puede concluir si una matriz es triangular y simetrica?

6. Si ( )KMA n∈ es triangular estricta pruebe que es NILPOTENTE, esto es

que INk ∈∃ tal que 0=kA

7. Pruebe que para cada ( )KMA n∈ se tiene que: mTDTA ++= 1 , en forma

única, donde 1T es triangular inferior estricta, D es diagonal, y mT

es triangular superior estricta.

8. Pruebe que toda matriz real de nxn puede escribirse en forma única

como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

9. Exprese 32

3222

312112 6812783 xxxxxxxxxQ +−+−+= en la forma AXXQ t=

donde A es simétrica.

10. Sea ( )KMA n∈ . Pruebe que ( )XAAXAXX ttt +=2

1




31

Equivalencia Por Filas

Regresemos al estudio de un sistema lineal general BAX = (1.12)

donde ( ) ( ) [ ] [ ]tm

t

nmxn bbbBxxKMaA ... y ,.... xX , 212110 ==∈=

Las preguntas que consideraremos serán:

1. ¿Existe solución?

2. ¿Si existe solución, es única?

3. ¿Cómo se encuentra (n) la (s) solución (es)?

Si A es una matriz cuadrara y no-singular, entonces las respuestas a

las dos primeras preguntas son claras, ya que podemos multiplicar (1.12)

por la exquierda por 1−A para obtener BAX 1−= como solución única de

(1.12). como no tenemos, aún, una forma general para calcular 1−A , no

podemos respodner a la pregunta 3.

Si A no es cuadrada si A es cuadrada y songualr entonces la naturaleza

de la solución o soluciones de (1.12) no es clara. Comenzaremos la

investigación probando que la naturaleza de las fundamentalmente de la

naturaleza de las soluciones del sistema hemogéneo asociado AX = 0.

Teorema 1.14

Sea pX una solución particular conocida del sistema AX=B. Cualquier

otra solución de AX=B puede escribirse como pn XX + donde nX es una

solución del sistema homogéneo 0=AX .

Demostración

Primero observese que, como , 0 BAXAX pn == si tiene

( ) .0 BBAXAXXXA pnpn =+=+=+ Por lo tanto pn XX + es una solución.

Si Y es una solución cualquiera ponemos ( ) pp XXYY +−=

Entonces:

( ) ,0=−=−=− BBAXAYXYA pp así que pXY − es una solución de AX=0 y

se concluye que Y tiene la forma pedida.

El método básico para resolver el sistema BAX = consiste en

encontrar un sistema equivalente '9 BXA = para el cual las soluciones

sean abvias o rápidas de obtener.




32

efinición:

Dos sistemas tales como (1.12) son equivalentes si y solo si tienen

exactamente las mismas soluciones.

Afirmación:

Un sistema equivalente a (1.12) se obtiene realizado un número finito de las operaciones elementales

siguientes a (1.12):

intercambiar dos ecuaciones

multiplicar una ecuacion por un escalar no nulo

adicionar a una ecuacion un multiplo escalar de otra ecuacion.

Podemos pensar también que las operaciones anteriores se realizan sobre

las filas de las matrices A y B, o equivalentemente sobra las filas de

la matriz particonada (A|B), la cual se llama MATRIZ AUMENTADA O

AMPLIADA de (1.12).

Definieremos formalmente lo que entenderemos por operaciones

elementales por filas sobre una matriz.

Definición:

Una OPERACION ELEMENTAL POR FILAS sobre una matriz A es una operación de

uno de los tres tipos siguiente:

I) Intercambiar la fila i por la fila j (denotado : 01 FF >−−< )

II) La fila i se multiplica por el escalar no nulo γ

(denotado: 1 Fγ )

III) A la fila i se le adiciona la fila j multiplicada por

) : (denotado 10 FF +γγ

La matriz obtenida de A por medio de una operación elemental por

fila (O.E.F) será designada por ( )FEOA .. , así:

( )42 FFA >−< es A con la segunda y cuarta filas intercambiadas

( )23FA es A con la segunda fila multiplicada por 3, y

( )423 FFA + es A con su fila cuatro reemplazada por ( ) ( )AFAF 423 +




33

Cada una de estas operaciones elementales es REVERSIBLE en el sentido de

que se puede usar una operación similar para recosntruir la matriz

original. Especialemnte:

I) ( )01 FF >−−< aplicada a ( )01 FFA >−−< nos de A.

II)

1

1F

γ aplicada a ( )1 FA γ nos da A.

III) ( )10 FF +− γ aplicada a ( )10 FFA +γ nos da A.

Para facilitar la discusión formal, haremos lo siguiente :

Definición: Dos matrices A y B se llamaran EQUIVALENTES POR FILAS

B

FA ~ si B se obtiene de A mediante un número finito de

operaciones elementales por filas.

Resumiremos la discusión anterior con el siguiente:

Teorema 1.15 : Los sistemas AX=B y CX=D son EQUIVALENTES si

( ) ( )DCF

BA |~|

El reciproco de este teorema no es cierto pues dos sistemas

podrían se equivalentes sin que necesariamente tangan el mismo número de

ecuaciones. En este caso, las matrices aumentadas podrían tener

diferentes número de filas y por lo tanto podrían no ser equivalentes por

filas.

La equivalencia por filas es una relación, entre matrices, menos

estricta que la igualdad , pero satisface las propiedades esenciales de

la igualdad, como veremos en el:

Teorema 1.16:

La equivalencia por filas en las matrices de mxn sobre el campo K es una

relación de equivalencia. Esto es:

I) ( )KMAAF

A mxn∈∀ , ~ (Refleja)

II) AF

BBF

A ~ ~ ==> (Simétrica)

III) CF

ACF

BBF

A ~~~ ==> (Transitiva)

Demostración: Ejercicio




34

Como las operaciones elementales por filas sobre la matriz

aumentada ( )BA | de (1.12) reduciendo ( )BA | a una forma “Más simple”.

Comenzaremos considerando un ejemplo específico de (1.12) donde

( )IRMA 4∈ y ( ) ( )IRMBA x54| ∈ .

Consideremos el sistema:

4

142

723

332

4321

432

4321

4321

=+++

=++

=+++

=+++

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

(1.13)

La matriz aumentada de (1.13) es

( )

=

4|1111

1|1420

7|1123

3|1321

| BA (1.14)

Si realizamos las operaciones por filas ( ) ( )4121 3 FFyFF +−+− , tenemos:

−−

−−−−

1 |0 210

1 |1 4 2 0

2|2840

3 |1 3 2 1

la cual, después de la operaciones por filas ( ) ( )242 F-y FF >−−< , se

convierte en:

−−−−

−

2|2840

1 |1 4 2 0

1|0 2 1 0

3 |1 3 2 1

Ahora, después de realizar ( ) ( ) ( )423212 4y 2 ,2 FFFFFF ++−+− es:

−

−

0 |00 00

3 |10 00

1|02 10

2 |0101

= ( )'|' BA (1.15)




35

La matriz ( )'|' BA es equivalente por fila a la matriz ( )BA | de (1.14), y

por lo tanto los sistemas '' BXAyBAX == son equivalentes. Escrito en

detalle, el sistema '' BXA = es:

3

12

2

4

32

31

=

−=+

=−

x

xx

xx

(1.16)

de donde es obvio que todas las soluciones son:

y

3

21

2

4

3

2

1

=

=

−−=

+=

x

cx

cx

Cx

donde c es una constante arbitraria, esto es, la solución puede ser

escrita como:

pn XXcc

c

c

X +=

−+

−=

−−

+

=

3

0

1

2

0

1

2

1

3

21

2

donde [ ]tpX 3012 −= es una solución particular (c=0) y

[ ]tn cX 0121 −= es una solución del sistema homogéneo AX=0, cualquiera

que sea el escalar c.

Nótase que la sucesión de operaciones por filas usadas anteriormente

reducirían A a A’ y también podrían reducir ( )0|A a ( )0|'A , así que

la solución de AX = 0 se obtiene del cálculo anterior.

Una matriz tal como (1.15) se llama MATRIZ ESCALON REDUCIDA POR FILAS, la

cual definiremos en forma precisa.

Definición: Una matriz E está en la forma ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS

si:

1. El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y la columna en la cual

este aparece es una columna de la matriz identidad.

2. Las filas nulas de E, están debajo de todas las filas que tienen

elementos no nulos.

3. Si el primer elemento de una fila no nula está en las posiciones

( ) ( ) ( ),, ,.....,C2, , ,1 21 rCrC entonces rCCC <<< ...21

Un ejemplo de una matriz en la forma escalonada es la matriz (1.15)

obtenida en el ejemplo anterior. Otra de tales matrices es:




36

−

=

0000000

3100000

4010000

2002100

7004021

R

Para esta matriz, los primeros elementos de una fila no nula está en las

posiciones (1,1), (2,3), (3,5), (4,6); esto es .6 ,5 ,3 ,1 4321 ==== CCCC

Nótese que )()(4

),()(3

),()(2

)()( 43211 ICRCICRCICRCICRC cccc ====

En el siguiente teorema, demostraremos que toda matriz A es equivalente

por filas a una matriz en la forma escalonada reducida por filas. Pero

antes de proceder a la demostración formal haremos las sencillas, pero

importantes, observaciones siguientes:

1. Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz escalonada reducida por

filas E es triangular superior

2. Si a es cuadrada, entonces E=1 salvo que E tenga al menos una fila

nula.

3. La naturaleza de las soluciones de un sistema lineal 'BEX = ,

equivalente al sistema lineal AX = B, es evidente:

i) NO EXISTE solución si ( )'| BE tiene más filas no nulas que E.

ii) Si E = 1, entonces X = B’ es la única solución de AX = B.

iii) Si ( ) ( )BEEKME mxn |y ambasy ∈ tienen r < n filas no nulas,

entonces el sistema AX = B tiene infinitas soluciones ya que

r de la incógnitas pueden ser expresadas en términos de las

restantes n-r incógnitas.

Teorema 1.17

Toda matriz ( )KM mxn es equivalente por filas a una matriz escalón

reducida por filas.

Aunque es posible dar una demostración estrictamente constructiva de este teorema usando el

procedimiento mostrando en el ejemplo, lo haremos por inducción.

Procederemos por inducción sobre m, el número de filas de A.

Por demostrar:

a) Que el teorema es cierto para m = 1, y

b) Que si el teorema es cierto para m = r, entonces debe también ser

cierto para m = r+1.




37

Demostración: (Inducción sobre m)

i) Si m = 1, entonces A podría estar ya en la forma reducida por filas

o podría ser reducida a esta forma cambiando el primer elemento no

nulo en 1 por una O. E. F. Del tipo II

ii) Sea ( ) ( )KMA xnr 1+∈ y supongamos, como hipótesis de inducción, que

toda matriz con r filas puede reducirse a una matriz en la forma

escalonada.

Si ( ) ,01 =AC entonces

=

22

12

0

0

A

AA

donde ( ) ( )KMA nrx 122 −∈ . Si ( ) ,0con 0 111 ≠≠ aAC entonces A se puede

reducir a una matriz de la forma;

=

22

12

0

1

A

AA

usando las operaciones elementales 111

11

, 1

FFFa

>−−<

1,.......,3 ,2 , 0101 +=+− rjFFa

La hipótesis de inducción nos permite suponer, en cualquier caso, que 22A

puede se reducida a una matriz escalonada 22E y por lo tanto

=

=

22

12

22

12

0

1~

0

0~

E

AE

FAo

E

AE

FA

La matriz reducida E no estaría en la forma escalonada solo si su primera

fila es nula o si tiene elementos no nulos antes de los primeros 1 en 22E

. En el primer caso, la operación 11 +>−−< rFF cambia E a la forma

escalonada y en el segundo caso una sucesión de operaciones del tipo III

reduce E a la forma deseada. Esto completa el paso ii) en el argumento

inductivo y también la demostración.

El procedimiento inductivo para reducir por fila a una matriz A se puede

programar fácilmente en un computador digital. El alumno tenga alguna

experiencia en computación encontrará instructivo hacer un diagrama de

flujo para este proceso. Si ese trabaja a mano, a veces es posible

alterar ligeramente el proceso de modo que, para conveniencia de cálculo,

se eviten las fracciones tanto como sea posible.

Es un hecho que la matriz reducida por filas del teorema 1.17 es única.

La demostración de esta unicidad no la daremos.




38

Ahora veremos un teorema acerca de las soluciones de un sistema homogéneo

AX = 0. Este sistema siempre tiene la solución trivial X = 0; lo que uno

desea saber es si hay soluciones no triviales y cuándo ocurren.

Teorema 1.18

Sea ( )KMA mxn∈ y sea B una matriz escalonada reducida por filas,

equivalente con A. Entonces AX=0 tiene solución no trivial (no nula) si

y solo si el número de filas no nulas de B es menor que n. En

particular, si ( )KMA n∈ , entonces AX=0 tiene solamente la solución

trivial si y solo si .~ IF

A

Demostración:

Como B es una matriz escalonada reducida por filas, B no puede tener r >

n filas no nulas. Si B tiene n filas no nulas, entonces.

=

0

nIB

y BX=0 solo si X=0

Si B tiene r<n filas no nulas, entonces las r ecuaciones no nulas de BX=0

definen r de las incógnitas en términos de las (n – r) restantes cuyos

valores se pueden asignar arbitrariamente (variables libres). Por lo

tanto existe solución no trivial para BX=0 y por ende para AX=0.

En el caso especial en que m=n, AX=0 tiene solamente la solución trivial

precisamente cuando B=I, esto es, si y sólo si .~ IF

A

Si m < n (menos ecuaciones que incógnitas), entonces del teorema (1.18)

se tiene que AX=0 tiene siempre solución no trivial . Esto se establece

en el

COROLARIO: Si el sistema homogéneo AX = 0 tiene menos ecuaciones que

incógnitas, entonces existe una solución no nula.

El método de reducción por filas descrito anteriormente para resolver un

sistema AX=0, esto es reducir la matriz aumentada (A | B) a la forma

escalonada es llamado el METODO DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN. Por cierto

que no siempre es necesario reducir (A |B) a la forma escalonada para

simplificar los cálculos en la solución del sistema. En efecto, a veces

se gana en eficiencia si la reducción por filas llega solamente hasta una

matriz triangular y el sistema resultante se resuelve por simple

sustitución se resuelve por simple sustitución. (Este método se llama

simplemente REDUCCION DE GAUSS).

Ejercicio 6

1. Demuestre el teorema 1.16

2. Encuentre la matriz escalonada reducida por filas para:




39

−

−

=

−

−=

100031

01011 2

001213

121

03 1

21 0

ByA

3. Resuelve los sistemas siguientes reduciendo la matriz aumentada a la

forma escalonada reducida por filas. Si el sistema es no homogéneo,

exprese la solución en la forma :pn XX +

a)

037

08102

051623

4321

432

4321

=+++

=++

=+++

xxxx

xxx

xxxx

b)

23

12

223

=+

−=++

=+−

yx

zyx

yx z

c)

2 3222

8 263

143

5 52

4321

4321

4321

4321

=−++

=+−+

−=−−+

=+++

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

d)

2 3

12

423

21

321

321

=+

−=++

−=+−

xx

xxx

xxx

e)

72

13

2

21

32

31

=+

=+

=−

xx

xx

xx

f)

3 322

1 23

232

5

431

421

4321

4321

=++

=++

−=+++

=−−−

xxx

xxx

xxxx

xxxx

g)

037

68102

051623

4321

432

4321

=+++

=++

=+++

xxxx

xxx

xxxx

h)

3321

2321

1321

13115

18169

887

xxxx

xxxx

xxxx

−=++−

−=−−

−=++




40

i)

3321

232

131

3344

345

34

xxxx

xxx

xxx

=++−

=+

=−

4. Defina en ( )KM n la siguiente relación: ( )KMPBA n∈∃<==>≈ tal que

APPB 1−= Prueba que la relación ≈ es refleja, simétrica y transitiva

5. Demuestre que si BF

A ~ entonces AX =0 y BX = 0 son sistemas

equivalentes, pero el recíproco no es cierto.

6. Resuelve los tres sistemas siguientes, simultáneamente, reduciendo por

filas la matriz ( ) :||| 321 BBBA

a)

==

1

1

1

1BAX b)

−==

2

3

1

2BAX c)

−

==

2

2

1

3BAX

donde

=

653

542

321

A

7. Pruebe que una operación del tipo I puede realizarse usando solamente

operaciones del tipo II y III

8. Sea

=

341

431

331

A Resuelva simultáneamente los res sistemas:

=

=

=

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

,1

AZAYAX , usando la técnica

sugerida en el problema 6. Si [ ]ZYXB = calcule AB y BA

9. Sea ( )KME mxn∈ una matriz escalonada con r < m filas no nulas.

Demuestre que:




41

( ) ( ) ( ) 0.......0...... 212211 ====<=>=+++ rrr aaaEFaEFaEFa

10. Demuestre que una operación del tipo III sobre AX=B conduce a un

sistema equivalente.

11. Calcule los siguientes productos matriciales:

a)

•

ihg

fed

cba

010

100

001

b)

•

ihg

fed

cba

k

100

00

001

c)

•

ihg

fed

cba

k 10

010

001

d)

•

010

100

001

ihg

fed

cba

e)

•

100

00

001

k

ihg

fed

cba

f)

•

10

010

001

kihg

fed

cba

Matrices elementales

y matrices inversas

Si A es equivalente por filas a la matriz identidad 1, entonces el

sistema AX = B tiene solución para todo B. En particular, el sistema

tiene solución para

[ ] ( ) [ ] ( ),.....,0,...,0,1,0 ,0..,,.........0,0,1 2

1 ICBICBtt ==== [ ] ( )ICB n

t == 0..,,.........0,0,0

Estos n sistemas pueden resolverse simultáneamente reduciendo por filas

la matriz

( ) ( ) ( )( ) ( )IAICICICA n ||......||| 21 =

Como ,~ IF

A esta reducción por filas nos lleva a la matriz ( )PI |

donde las columnas de P son las soluciones de los n sistemas anteriores;

esto es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ICPACICPACICPAC nn === ,....,, 2211




42

Estas n ecuaciones son equivalentes a la ecuación AP = I y la

matriz P es un buen candidato a ser 1−A es necesario probar que PA es

igual a I. Obtenemos este resultado como consecuencia del próximo

teorema que estable una conexión importante y útil entre las operaciones

elementales por filas y la multiplicación de matrices.

Teorema 1.19

Una operación elemental por filas sobre una matriz A puede ser

reemplazada por una multiplicación identidad sobre la cual la operación

ha sido efectuada, esto es

( ) ( ) ...... AIA FEOFEO =

Demostración:

Usaremos un caso especial del teorema 1.10, esto es,

( ) ( ) AEFEAF .11 = con ,IE = es decir

( ) ( ) AIFAF .11 =

Haremos la demostración considerando cada uno de los tres tipos de

operaciones, es decir, debemos probar que:

I. ( ) ( )( )AIA FFFF 0101 >−<>−< =

II. ( ) ( )( ) 0,11 ≠= KAIA KFKF

III. ( ) ( )( )AIA FKFFKF 0101 ++ =

I. Probaremos que las dos matrices tienen las mismas filas y por lo

tanto son iguales. Para la i-ésima fila, tenemos:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )01100011011 FFFFFF AFAFAIFAIFAIF >−<>−<>−< ====

Análogamente, para la j-ésima fila, tenemos:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )01000010010 FFFFFF AFAFAIFAIFAIF >−<>−<>−< ====

Para la h-ésima fila, donde , , jhih ≠≠ tenemos:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )010101 FFhhhFFhFFh AFAFAIFAIFAIF >−<>−<>−< ====

Luego ( ) 0101 y FFFF AAI >−<>−< tienen la mismas filas y son iguales.

I. procedimiento como en le caso de las operaciones del tipo I,

consideremos la j-ésima fila, para todo ij ≠ :

( ) ( )

===

=

1

000

1

0

1

0F

AFAFAIFAF

IFAF

IF KkK




43

También:

( )[ ] ( )

===

=

1

111

1

1

1

1F

AFAKFAIKFAF

IFAF

IF KKK

Por lo tanto

1FAK y A

FIK

1

tienen las mismas filas y son iguales.

II. Se deja de ejercicio

Las matrices FjKFKFFF III +>−< 1101 , , son muy importantes en el

desarrollo de teoría de matrices.

Definición:

Una matriz que se obtiene de la matriz identidad por medio de una

sola operación elemental por filas se llama MATRIZ ELEMENTAL. Una matriz

de la forma ( )01 FFI ><−< es una matriz elemental del tipo I, además ( )1KFI es

una matriz elemental del tipo II, y ( )01 FKFI + es una matriz elemental del

tipo III.

En términos de esta definición, el teorema (1.19) dice que las

operaciones elementales por filas sobre A pueden ser operaciones

elementales por filas sobre A pueden ser reemplazadas por pre-

multiplicaciones por matrices elementales.

Teorema 1.20

Una matriz elemental es no-singular y su inversa es una matriz

elemental del mismo tipo.

Demostración:

I. ( )[ ] ( )01

1

01 FFFF II >−<−

>−< =

II. ( )[ ]

− =1

1

1

1F

K

KF II , siempre que 0≠k

III. [ ] ( )01

1

01 FKFFKF II +−−

+ =

Teorema 1.21




44

,~ PssiBF

A ∃ un producto de matrices elementales, tal que PA =

B

Demostración:

� Supongamos que tEEEBF

A ,........,,sean y ~ 21 las matrices elementales

correspondientes a las operaciones elementales por filas que reducen A a

B. Por teorema (1.19)

( )( )( ) ( ) BAEEEEAEEE ttt == − 12112 .............. y 121..... EEEEP tt −= satisface

PA = B

Supongamos que 1....EEP t= es un producto de matrices elementales tales

que PA = B, entonces del teorema (1.19) se tiene que BF

A ~

Como ( ) ( ) ( )( )( )( )IEEEIEEEEEEP ttt 121212 .............. === se puede

interpretar la ecuación PA = B de la siguiente manera:

Corolario:

Si A se reduce a B por medio de una sucesión de operacione

elementales por filas, entonces la misma sucesión reduce I a una matriz P

tal que PA = B. Equivalentemente, si una sucesión de operaciones

elementales por filas reduce (A|B) a (B | P), entonces PA = B.

En el caso especial en que ,~ IF

A el corolario anterior nos dice

que si ( ) ( )PIF

IA |~| , entonces PA = I. Este resultado, en combinación con

lo discutido hace poco, nos indica que 1−= AP

Teorema 1.22

Si A se reduce a I mediante una sucesión de operaciones

elementales por filas, entonces la misma sucesión reduce (A | I) a ( )1| −AI

Este último teorema nos entrega una buena forma para calcular la

inversa de una matriz dada de orden n.

Ejemplo:




45

Encontrar

−−

−

−

=−

833 2 1

1111 4

2 0 12

3 2 11

si 1 AA

Solución:

( )

−

−−−

−−−

−

+−

+−

+−

−−

−

−

=

1035 80 1 3 0

0156 13195 0

001 2441 0

000 1 3 2 11

4

2

1000833 2 1

01001111 4

00102 0 12

00013 2 11

|

41

31

21

FF

FF

FF

IA

−

−−−

−−−

+−

+−

+

1035921300

01567100

00124410

00111201

3

5

42

32

12

FF

FF

FF

43

23

13

13

4

2

FF

FF

FF

+−

+

+

−−

−

−

−

11362731 000

01 56 7 100

04 1922 24010

02 911 13001

( )1

14

24

34

|

1 1362 731000

7 92 439 5170100

24316150717740010

13171815 9600001

13

24

7−=

−−

−−

−−

−−

+−

+−

+−

AI

FF

FF

FF

Luego, por teorema (1.22)

−−

−−

−−

−−

=−

1 1362 73

7 92 439517

2431615071774

13171815960

1A




46

Ejemplo: Encontrar

−

−

=−

031

11 2

213

si 1 BB

Trateremos de evitar lo más posible el trabajar con fracciones.

Indicaremos la conveniencia de ciertos pasos, mercándolos en círculos.

( )

−

−

>−<

−

−

=

001213

01011 2

100031

100031

010112

001213

| 31 FFIB

−

−−

−

−

+−

−

−

+−

+−

30 128 0

11011 0

1 0 0031

3 00280

210070

1 00031

3

2

2

23

31

21

F

FF

FF

FF

−−

−−

−−−

−−

−−

−−

+−

+

5 8 7600

6 6 6660

1218181806

6

6

5 8 7600

111 1 10

233 3 01

8

3

2

1

3

32

12

F

F

F

FF

FF

−−

−−

−

−−

−−

−

+−

+−

656867100

616261010

636663001

6

16

15

1

587 600

12 1060

3 6 3606

3

3

2

1

12

23

F

F

F

FF

FF

Luego:

−−

−−

−

=−

587

12 1

3 6 3

6

11B

Teorema 1.23

Sea ( ),KMA n∈ entonces las cuatro condiciones siguientes son

equivalentes:

1. A tiene inversa por la izquierda

2. AX = 0 tiene sólo la solución trivial

3. A es un producto de matrices elementales

4. A es no-singular




47

Demostración:

Basta probar que (1) => (2) => (3) => (4) => (1)

(1) => (2) : Si A tiene inversa por la izquierda, entonces existe B

tal que BA = I. Luego AX = 0 implica BAX = IX = X =B0 = 0

(2) => (3): como AX = 0 tiene sólo la solución trivial, tenemos,

del teorema (1.18), que .~ IF

A Por teorema (1.21) tenemos PA = I,

donde tEEEP ...21= es un producto de matrices elementales. Luego:

( ) 1

1

1

2

11

21

1 .......... −−−−− === EEEEEEPA tt es un producto de matrices

elementales.

(3) => (4): Si A es un producto de matrices elementales, entonces de los

teoremas (1.20) y (1.3) se tiene que A es no singular.

(4) => (1): Es obvio.

El teorema (1.23) nos permite replantear el toerema (1.21) de la

siguiente manera:

Teorema 1.24 PF

BA∃<==>~ no-singular tal que PA = B.

Ejercicio 7:

1. Encuentre las inversas de :

−=

−

−−

−

−

=

=

141454

32 52

2 5 63

2 3 42

4 1 32

11 2 1

32 3 1

2 11 2

,

541

431

331

CyBA

2. Demuestre que si A es cuadranda y B es ta lque AB = I, entonces 1AB =

. (Ayuda: Use traspuestas)

3. Resuelva el sistema:

3

2

1

653

542

32

bzyx

bzyx

bzyx

=++

=++

=++

donde a) 1321 === bbb

b) 5 ,3 ,1 321 =−== bbb

c) 2 ,2 ,0 321 −=== bbb




48

4. Demuestre que si A es no-singular y simétrica, entonces 1−A también es

simétrica.

5. Encuentre una matriz P no-singular tal que PA = B, donde:

−

−

−

=

=

1 12

2 1 1

12 1

421

134

432

ByA

6. Demuestre que la traspuesta de una matriz elemental es otra matriz

elemental.

7. Considere

∈

−

= Cwzz

w

w

zQ ,/ . Demuestre que Q satisface

las propiedades de un campo excepto una. ¿Qué tipo de estructura

algebraica es Q?

8. Discuta la unicidad de la matriz P del teorema (1.21)

9. Encuentre la inversa de:

=

4121

0312

0021

0001

T

10. Demuestre que si T es triangular inferior y no-singular, entonces 1−T

es también triangular inferior.

11. Demuestre que si ( ) ( )CIF

BA || , entonces BAC 1−= . Esta es una forma

muy eficiente de calcular PA 1−; úsela para calcular:

−

−

−

−−

−

3100

0410

0031

0003

01128

01 44

0112

11 01

)

302

010

414

101

013

001

)23

5 2

43

21 )

1

1

1

cba

Si

−−=

0126 0

1210

14 2 1

62 1 4

A , encuentre P no singular tal que PA esté en la

forma escalonada ¿Es Punica?

12. Exprese las matrices siguientes como productos de matrices

elementales:




49

−=

=

=

4532

0314

0023

0001

,

001

013

101

,21

12CBA

13. Si A, B, C son matrices cuadradas tales que A, es no-singular y A =

BC, demuestre que B y C también son no-singulares.

Equivalencia por columnas

Todos los resultados obtenidos respecto a operaciones por filas

pueden reformularse en términos de las columnas de una matriz A.

Enunciaremos algunas definiciones y teoremas pero no los demostraremos ya

que son análogos a los anteriores.

Definición:

Una operación elemental por columnas sobre una matriz A es una operación

de uno de los tres tipos siguientes:

I. Intercambio de las columnas i y j (denotado 31 CC ↔ .

II. Multiplicación de la columna i por el escalar 0 ≠k (denotado por

1 Ck ).

III. Reemplazo de la columna i por si misma mas k veces la columna j

(denotado por 10 CCk + )

Definición:

A y B son equivalentes por columnas ( )BA <~ si B se obtiene de A

mediante una sucesión finita de operaciones elementales por columnas.

Teorema 1.25

Una operación elemental por columnas sobre una matriz A puede

reemplazarse, al multiplicar A a la derecha, por una matriz identidad

sobre la cual se ha realizado dicha operación, esto es ( ) ( )CECE AA ..0..0 = , o

más explícitamente:

I. ( ) ( )0101 cccc IAA ↔↔ =

II. ( ) ( )11 kckc IAA =

III. ( ) ( )0101 ckcckc IAA ++ =

Obsérvese que podemos hacer la siguiente identificación:




50

( ) ( )0101 FFcc II >−<>−< =

( ) ( )11 kFkc II =

( ) ( )1001 FkFckc II ++ =

Teorema 1.26

PBC

A ~ ∃<==> no-singular tal que AP = B.

Teorema 1.27

Si A se reduce a I mediante una sucesión de operaciones

elementales por columnas, entonces la misma sucesión de operaciones sobre

−1

da nos A

I

I

A

Observación:Como las columnas A son las traspuestas de las filas tA , se

podrían realizar operaciones por filas sobre tA y luego trasponer de

nuevo. Por ejemplo, para la parte III del teorema (1.25)

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tFkF

tt

FkF

t

FkFt

ckc IAAIAA 01010101 ++++ ===

( )[ ] ( )[ ]0110 ckcFkF IAIA ++ ==

Es importante observar que las operaciones por columnas no deben

ser usadas, como las operaciones por filas, para resolver sistemas

lineales AX = B. Esto es, ( ) ( )DCBA |~|<

no implica que AX = B y CX = D

sean sistemas equivalentes.

Ejercicio 8

1. Demuestre que la equivalencia por columnas es una relación de

equivalencia

2. Defina “MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR COLUMNAS”




51

3. Use el teorema 1.27 para calcular

1

331

213

11 2−

−

−

4. Demuestre que tt B

FAB

cA ~~

<==>

5. Encuentre matrices no-singulares 21 y QQ tales que 21 y BQAQ sean de

la forma escalonada reducción por columnas, donde:

−

−

−

=

=

4 22

2 11

121

268

134

432

ByA

Ahora encuentre una matriz no-singular Q tal que AQ = B.

6. Usando sólo operaciones por columnas, exprese

−

−

−−

=

4 2 2

2 3 1

121

K

Como producto de matrices elementales.

7. Demuestre que existe IC

AA ~ 1 <==>−

8. Demuestre que si

Q

B

CI

A~ entonces AQ = B.

Equivalencia.

Usaremos las operaciones elementales por filas y por columnas para

definir una relación mas general entre matrices. Por una operación

elemental entenderemos una operación elemental por filas o una operación

elemental por columnas.

Definición:

A es EQUIVALENTE a ( )BAB si B se obtiene de A mediante una

sucesión finita de operaciones elementales.




52

Nótase que tanto equivalente por filas como equivalencia por columnas son

casos especiales de equivalencia, esto es:

BABF

A ==>~

DCDC

C ==>~

Pero : BF

ABA ~=≠>

Teorema 1.28

QPBA , ∃<==> no-singulares tal que PAQ = B.

La matriz P en el teorema (1.28) representa las operaciones por

filas usadas, mientras que Q representa las operaciones por columnas.

Nótese que P y Q no son necesariamente únicas.

Teorema 1.29

Si una sucesión de operaciones elementales sobre A aplicadas a

0I

IA conduce a

0Q

PB entonces PAQ = B.

(Este teorema nos da un algoritmo para encontrar las matrices P y

Q del teorema (1.28))

Ejemplo:

Para

−−

−

=

101 0 1

0 3 52

2 12 1

A

Encuentre P y Q de modo que PAQ sea lo más simple posible.

Comenzamos con:




53

32

2

41

31

21

31

21

2

1000

0010

2121

1018220

1018220

0124110

0010001

2

2

2

100

0100

0010

0001

10010101

0100352

0012121

FF

F

CC

CC

CC

FF

FF

+

−

−−

−−

−−

−

+−

+

+−

+−

+

−−

−

−−

−−

−−−−

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

21 21

1250 0 0 0

012411 0

00 1 0 0 0 1

Luego, para:

−−−

=

−−

−−=

1 0 0 0

0 1 0 0

4 1 1 0

10121

125

012

00 1

QyP

tenemos:

=

=00

0

0000

0010

0001

2IPAQ

El resultado general sugerido por el ejemplo anterior es nuestro

siguiente teorema:

Teorema 1.30

Toda matriz ( )KMA mxn∈ es equivalente a una única matriz de la forma:

Demostración:




54

Por teoremas (1.17) y (1.24) podemos encontrar una matriz A no-

singular tal que PA está en la forma escalonada reducida por filas. Con

operaciones por columnas del tipo I, PA puede reducirse a

00

SI r, donde

r es el número de filas no nulas en PA, y una sucesión de operaciones por

columnas del tipo III nos conduce por lo tanto a la matriz deseada.

La unidad de la matriz

00

0rIdel teorema (1.30) puede obtenerse

de la unidad de la matriz escalonada reducida por filas PA, pero como

esta última no la dimos, haremos una demostración directa de la unidad

requerida.

Si A fuese equivalente a

00

0rI y a

00

0sI con r < s entonces se

tendría que éstas serían equivalente. Esto es, deberían existir matrices

P y Q no-singulares tales que:

,00

0

00

0o

IQ

IP

sr

=

equivalentemente

1

00

0

00

0 −

=

Q

IIP

sr

Si particionamos a P como:

=

2221

1211

PP

PPP , donde ( )KMP r∈11 , y particionamos a

1−Q como:

=−

333231

232221

131211

1

QQQ

QQQ

QQQ

Q , donde ( ) ( )KMQKMQ rsr −∈∈ 2211 y

y luego calculamos 1

00

0

00

0 −

Q

Iy

IP

sr, tenemos:

=

=

0

0

00

0

00

0

21

11

2221

1211

P

PI

PP

PPIP

rr




55

=

= −−

000000

00

00

00

0232221

131211

333231

232221

131211

1 QQQ

QQQ

QQQ

QQQ

QQQ

I

I

QI

y rs

r

s

Igualando estas matrices, se obtiene que:

0 0 , 0 231312 === QyQQ

Luego debemos tener:

=−

333231

21

11

1 00

00

QQQ

Q

Q

Q

Este bloque triangular inferior de 2x2 es singular porque el bloque

inferior tiene una fila nula y por lo tanto es singular. Esto es una

contradicción (Q se supuso no-singular), así que debe ser r = s.

Teorema 1.31

Si ( )KMA n∈ es no-singular y PAQ = I entonces QPA =−1

Demostración:

Las matrices 1−P ,

11 y −− QA existen, así que PAQ= I implica

111 luego −−− == QPAPAQ o bien ( ) 1111 −−−− = QPA por lo tanto QPA =−1

Ejercicio 9:

1. Siguiendo el proceso sugerido en el ejemplo, encuentre matrices P y Q

no-singulares de modo que PAQ=I, y luego encuentre 1−A usando el

teorema (1.31). Encuentre 1−B de la misma forma:

−−

−−

−

−

=

=

4 132

11 2 1

32 3 1

2 11 2

3333

3322

3211

3210

ByA

2. Reduzca a la forma canónica del teorema (1.30)

−

−

−−

−−

=

−

=

2 11 2

32 3 1

11 2 1

4 132

y

2 3110

2 9320

0 6210

23100

BA




56

3. Si

=

2221

1211

AA

AAA es no-singular y se particiona de modo que 11A sea

cuadrada y no-singular, entonces verifique, multiplicando

directamente, que:

−

−+

−

=−−

−−−

11

11

11

1

1

QYQ

XQYXQAA

donde:

1

112112

1

11 ,−− == AAYAAX

y 12

1

11212221221222 AAAAXAAYAAQ−−=−=−=

Use esta fórmula para encontrar

1

22

1211

1

2221

11

0

0−−

A

AAy

AA

A

Compare con el teorema (1.12)

4. Usando la técnica del ejercicio anterior encuentre 1−A , si

−−

−

=

422

14 3

214

A , donde 11A es de 2x2. Use está técnica para

encontrar 1−B , donde

−−

−−

−

−

=

4 132

11 2 1

32 3 1

2 11 2

B y 11B es de 2x2.

5. Dada la matriz

=

3333

3222

3211

3210

A , considere el efecto de la siguiente

sucesión de operaciones elementales sobre ella:

2

1,

2

1; ,

;3,3;2,2

111212

43433232

CFCCFF

CCFFCCFF

++

+−+−+−+−

Use el procedimiento sugerido por el cálculo anterior para

demostrar el teorema siguiente:




57

Sea A una matriz real simétrica. Pruebe que existe una matriz P

no-singular tal que:

−==

000

00

00

n

s

t I

I

APP

6. Encuentre dos matrices específicas A y B que sean equivalentes, pero

no equivalentes por filas.

7. Cuando se define ( )10FI de la manera obvia, pruebe que toda ( )KMA n∈

es un producto de matrices elementales y matrices del tipo ( )10FI .

8. Pruebe que la equivalencia es una relación de equivalencia en ( )KM mxn




58

CAPITULO II

Espacios Vectoriales

Definición:

Sea V un conjunto no vacío, diremos que este es un ESPACIO

VECTORIAL sobre un campo (K, +, .) y llamaremos VECTORES a sus elementos

si se verifica que:

A) : V está provisto de una ley de composición interna (l. c. i.):

VVV ---- x : >⊗ tal que

(v , w) ----- > , wv ⊗

que llamaremos ADICION, de modo que:

( ) ( ) VcbacbacbaA ∈∀⊗⊗=⊗⊗⊗ ,,, :asociativa es :1

VbaabbaA ∈∀⊗=⊗⊗ ,, :aconmutativ es :2

VV

VA

∈∀=⊗∈∃

⊗

a a, 0 a que talO !

: para en neutro elemento Existe :3

( ) ( ) 0a-a que tala- ! ,a

:inverso o opuesto elemento posee en vector Cada :4

=⊗∈∃∈∀ VV

VA

En otras palabras, ( )⊗,V es un GRUPO ABELIANO

P) : V está provisto de una ley de composición externa:

:que tal ----- x : VVK >•

( ) v, ----- , •>αα v

que llamaremos ponderación o multiplicación por escalar, de modo

que:

( ) ( ) ( ) VvuKvuvuP ∈∀∈∀•⊗•=⊗• ,,,:1 αααα

( ) ( ) ( ) VvKvvvP ∈∀∈∀•⊗•=•+ ,,,:2 βαβαβα

( ) ( ) VvKvvP ∈∀∈∀•⋅=•• ,, , :3 βαβαβα

( )( ).,., delcampo tivomultiplica neutro el es 1Vv , 1:4 +∈∀=• KvvP

Notación:

i) ( ) ( )•⊗,,, o o KVKVVK o simplemente V denotara un espacio vectorial

sobre un campo K.

ii) Los elementos del campo o ESCALARES los denotaremos con las letras

griegas ,.......,, fβα

iii) La adición ( )vu −⊗ se escribirá : u – v




59

En primera instancia el alumno puede sentir que la definición 2.1

es abstracta y que no relaciona con su experiencia previa con los

vectores. Un vistazo a los teoremas 1.4 y 1.6 lo convencerán que ya

hemos mostrado que ( )KM mxn es un espacio vectorial sobre el campo K.

(los vectores son las matrices de mxn, la adición vectorial es la adición

de matrices y la ponderación vectorial es el producto de un escalar por

una matriz).

Daremos ahora una lista de sistemas familiares que nos entregaran

ejemplo concreto de espacios vectoriales.

Ejemplo 1:

( )KM mxn es un espacio vectorial sobre el campo K, como lo dicho

anteriormente. Casos especiales y de mucha importancia son:

( ) ( ) ( )KMKMKM nxnmx y , 11 .

Ejemplo 2:

( ){ }IRyxyxIR ∈= ,/, 2el conjunto de los pares ordenados con

componentes reales es un espacio vectorial sobre el campo ( ).,.,+IR

A) : 22: IRIR >−−−−⊗ tal que

( ) ( ) ( )dbcadcba ++=⊗ , ,,

P) : 22 IR x IRIR >−−−−• tal que

( ) ( )b , , ••=• ααα aba

Usualmente a ( )IRIR 2se le llama el plano real.

Geométricamente, el vector (a , b) se puede representar por medio

de una flecha trazada, a partir del origen del sistema de un flecha

trazada a partir del origen del sistema de coordenadas, al “punto” (a,

b), como se ilustra en la figura 2-1. La interpretación gráfica de la

adición es la muy conocida “Ley del paralelogramo”, la cual establece que

el vector u + v es la diagonal del

paralelogramo formado por u y v, con u, 2IRv∈ . (ver figura 2-2).

La ponderación se puede interpretar geométricamente como la

“amplificación” de α ,v veces, como se ilustra en la figura 2-3.

Ejemplo 3:

v + u

FIGURA 2-2

v = (a , b)

FIGURA 2-1

2v = (2a , 2b)

v

u

v = (a , b)

FIGURA 2-3 -1v=(-a, -b)




60

Sea INn∈ un natural determinado, y designado por

( ){ }niIRxxxxIR n

n ,.....,2 ,1,/,...,, 121 =∈= . Si ( )nuuuu ,........, , 21= y

( )nvvvv ,.....,, 21= pertenecen a nIR , y ,IR∈α tómese

( )nn vuvuvuvu +++=+ ,.....,, 2211

( )nvvvv ..,,......... , 21 αααα =

Entonces nIR constituye un espacio vectorial sobre el campo IR .

Ejemplo 4:

Sea [ ] { }00,,/...... 1

2

2101 <∈++++=+ nINKaxaxaxaaxIK n

nn el conjunto de

los polinomios de grado a lo mas n, y definiendo las leyes de

composición:

A) INTERNA : +

( ) ( ) ( ) ( )( ) n

nn

n

n

n

n

xba

xbabaxbxbxbbxaxaxaa

+

+++++=+++++++++ ............ 1100

2

210

2

210

donde .,....2,1,, 111 nKba =∀∈

P) EXTERNA: .

( ) ( ) ( ) ( ) KaKxaxaaxaxaa n

n

n

n ∈∈∀+++=+++ 11010 ,,............ ααααα

Entonces [ ]( ),.,,1 ++ KxIK n es un espacio vectorial sobre el campo K.

Obsérvese que:

I) ( ) [ ] ( ) n

nn xaxaaxpxIKxp +++=<==>∈ + ....101

II) ( ) ( ) n

n

n

n xbxbbxqxaxaaxpSi +++=+++= ....y ... 1010

entonces ( ) ( )xqxp = si y solo si nn bababa === ,....,, 1100

III) ( ) nxxx 0...000 ++= es el neutro aditivo

IV) ( ) ( ) ( ) ( ) n

n xaxaaxp −++−+−=− ......10 es el inverso de p(x).

Ejemplo 5:

Sea { },función es /: fKxfK x >−−−−= donde 0≠x . Es decir xK es

el conjunto de todas las funciones con dominio X y con dominio K.

Si se definen las leyes de composición:




61

a) INTERNA : + : xxx KKK >−−− x tal que

f +g se define por:

( )( ) ( ) ( ) xxxgxfxgf ∈∀+=+ ,

P) EXTERNA : . : xx KKK >−−− x tal que

f•α se define por:

( )( ) ( ) XxKxf ∈∈∀=• ,,xf ααα

Entonces ( )•+,,,KK x es un espacio vectorial sobre K.

En efecto:

A) :

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )( )[ ] ( )

( )[ ]( ) ( )+∈∀++=

+∈∀++=

+∈∀++=

+∈∀++=

+∈∀++=++

de Def.,hgf

de .,xf

K,en .,

de Def.,

de Def., : 1

Xxx

DefXxxhg

AsocXxXhxgxf

Xxxhxgxf

XxxhxgfxhgfA

Por lo tanto (f + g) + h = f + (g + h); es decir, la adición de

funciones es asociativa. (Nótese que esto se conoce de Algebra).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )+∈∀+=

+∈∀+=

+∈∀+=+

de Def. ,

,K en Conmut. ,

de Def. , :2

Xxxfg

Xxxfxg

XxxgxfxgfA

Luego f + g = g + f , es decir la adición de funciones es conmutativa .

x

3 K0~ nulafunción la Existe : ∈A , definida por

( ) xKfffXxx ∈∀=+∈∀= ,0~ : que tal,00

~

( ) ( ) 0~

que tal1, : 4 =−+−=•−∃∈∀ ffffKfA x

En efecto:

( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )0

~ de Def. ,0

~Ken 0 del absorventeLey 0

Ken adit. Inv. ,0

Ken Distrib. ,11

f- de Def. ,11

de Def, ,

Xxx

Xxxf

Xxxf

Xxxfxf

Xxxfxfxff

∈∀=

=

∈∀•=

∈∀−+=

∈∀−+−=

+∈∀−+=−+




62

Por lo tanto +,xK es un grupo abeliano.

P)

( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )+∈∀•+•=

∈∀•+•=

∈∀+=

+∈∀+=

∈∀+=+•

de Def. ,

. de Def. ,

. ,

de Def. ,

. de Def. , : 1

Xxxgf

Xxxgxf

enKDistribXxxgxf

Xxxgxf

XxxgfxgfP

αααα

ααα

αα

Luego ( ) xKgfKgfgf ∈∈∀•+•=+• ,,, αααα

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )+∈∈∀•+•=

∈∈∀•+•=

∈∈+=

•∈∈∀+=•+

Def. ,,,

. Def. ,,,

. ,, ,

Dif. ,,, : 2

KXxxf

KXxxfxf

KenDictribKXVxxfxf

KXxxfxfP

βαββαβαβα

βαβα

βαβαβα

En consecuencia ( ) xKfKff ∈∈∀•+•=•+ ,,, βαβαβα

( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )( )[ ]( ) ( ). de Def. ,

K,..en Asoc. ,

. de Def. ,

. de Def. ,f : 3

Xxxf

Xxxf

Xxxf

XxxfxP

∈∀•=

∈∀=

∈∀=

∈∀•=••

αβαββα

βαβα

Luego ( ) ( ) xKfKff ∈∈∀•=•• ,,, βααββα

( )( ) ( ) ( )( ) ( ). de Def. ,,

. de Def. ,1f1 : 4

XxKfxf

XxKfxfxP

x

x

∈∀∈∀=

∈∀∈∀=•

Por lo tanto xKfff ∈∀=• ,1

En consecuencia •+,,, KK x es un espacio vectorial sobre K.

Nota: En adelante, por simplificación, las operaciones interna y externa

•⊗ y , respectivamente, las designaremos por + y . . es decir,

identificaremos las operaciones del campo K con las del espacio V.

Al escribir los escalares con letras griegas no habrá lugar a confusión

con los vectores.




63

Propiedades elementales

en un espacio vectorial

Sea ( )•+ , K, ,V un espacio vectorial sobre K. Entonces.

VvvV vk ∈∀=•= ,001

KV vv ∈∀=•= αα ,002

( ) ( ) ( ) VvKvvvV ∈∀∈∀−=−=•−= ,,3 αααα

vKv vvvV 0 004 ====>=•= αα

( ) ( ) VvKvvV ∈∀∈∀•=−•−= , 5 ααα

vuvuV ===>≠•=•= 0y K6 ααα

Demostración:

( )( ) ( )( )( ) )0 de (00 0

1 0

01 0

01 0 :

v4

3

2

41

UnidadvvPvv

vAvv

vPvv

vVPvvV

vkk

k

kk

kk

===>+∴

•+∴

•++∴

•+••+

( )( ) ( ) ( )*00 0

00 00 0 : 13v2

vvv

vvvv PAV

•+•=•∴

•+•+••

ααα

αααα

Adicionado ( )v0•− α a ambos lados de (*) se tiene:

( ) vvv 000 •=•−• ααα

Por lo tanto, por 4A

vv 00 •=α

( ) ( ) ( )[ ][ ]

( ) vVvv

vO

vPvvV

k

0

A

:

1

4

13

αα

αααα

+•−

•

•+−•+•−

Luego, por unicidad del inverso aditivo de v•α , se tiene que:

( ) ( ) vv •−=•− αα




64

( )( )

v

v

v

vv

v

v

v

vviV

0

01

0

0 0 0 Si ):

1-

11

4

===>

=⋅==>

=⋅==>

⋅=•==>=•∧≠ −−

αα

ααααα

)ii Si k0=α no hay nada que probar.

:y 65 VV Se dejan de ejercicio.

Ejercicio 1.

1. Probar en detalle que el sistema descrito en el ejemplo 2 es un

espacio vectorial.

2. Mostrar que IR (IR) es un espacio vectorial real con la adición y

multiplicación usuales y también que IR (Q) es un espacio vectorial

sobre Q., pero Q (IR) no es un espacio vectorial ¿Lo es Q (Q)?.

3. Probar que todo campo K es un espacio vectorial sobre si mismo.

4. Probar en detalle que los sistemas descritos en los ejemplos 3 y 4.

5. Probar que { }Qba, / 2 ∈+= baV es un espacio vectorial sobre Q.

6. Sea [ ]baIR ,

= [ ]{ }función es /,: fIRbaf >−−

Sea [ ] [ ]{ }continua es /, , fIRfbaT ba∈= . Determinar cuál de los siguientes

conjuntos de funciones es un espacio vectorial real, con las

operaciones de [ ]baIR ,

. (ver ejemplo 5):

i) [ ] ( ) ( ){ }bfafbaCfV =∈= /,

ii) [ ] ( ) ( ){ }xbfxafbaCfV −=+∈= /,

iii) [ ] ( ) [ ]{ }ba, de losubintervaun en x cada pra ,0/, =∈= xfbaCfV

iv) [ ] ( ) ( ){ }xfxfbaCfV −=∈= /, (funciones pares)

v) [ ] ( ) ( ){ }xfxfbaCfV −−=∈= /, (funciones impares)

7. Sea { }0/ >∈=+ xIRxIR . Probar que +IR es espacio vectorial real con

las leyes de composición:

A) INTERNA : +++ >−−−⊗ IRxIRIR: tal que:

xyyx =⊗

P) EXTERNA: ++ >−−−• IRxIRIR : tal que:

αα xx =•




65

8. Sea ( ){ }IRyxyxV ∈= ,/, . Se definen:

( ) ( ) ( )0,,, cadcba +=⊗

( ) ( )baba ααα ,, =•

¿Es V un espacio vectorial real? ¿Por qué?.

9. Si en el ejercicio 8 se cambia la ponderación como sigue:

( ) ( )0,, aba αα =•

¿Es ( )•⊗,,, IRV un espacio vectorial?

10. Sea ( ){ }IRyxyxV ∈= ,/, . Si se consideran:

( ) ( ) ( )dbcadcba ++=⊗ ,,,

( ) ( )baba ,, αα =•

¿Es ( )•⊗,,, IRV un espacio vectorial?

11. En nIR se definen las leyes de composición:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) IRxxxxxx

yxyxyxyyyxxx

nn

nnnn

∈∀−−−=•

−−−=⊗

ααααα ,,.....,,,......,,

,.....,,,....,,,......,,

2121

22112121

¿Qué axiomas de espacio vectorial se cumplen para ( )•⊗,, IRIR n?

12. Sea 2IR con las leyes de composición definidas por:

( ) ( )

++=⊗

2,

2,,

dbcadcba

( ) ( ) IRbaba ∈∀=• αααα ,,,

13. Probar que en un espacio vectorial V(K) se tiene:

i) KVvovvv ∈∀∈∀==<==>⋅=⋅ βαβαβα ,,,0

ii) 00 ===>=+∧−===>=+ vuvuuvvu

14. Determinar α sabiendo que 0≠v , en V(K), y que:

( ) ( ) ( ) KyKVvuvuvuu ∈∈∀−=−+− ααα ,,1

15. Sea 00IR el conjunto que consiste de todas las sucesiones infinitas:

( ),......, 21 xxx =

de números reales, Si ( ),......, 21 yyy = es otra de tales sucesiones, se

definen:

( );,......., 2211 yxyxyx ++=+




66

y ( ) IRxxx ∈∀=⋅ αααα ,......, 21

Demostrar que 00IR es un espacio vectorial real.

universidad de ciencias de la informática escuela de ... · escuela de ingeniería aurora jerez...

Documents