UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CÁTEDRA DE FUNCIONES VECTORIALES

GUÍA DE ORIENTACIÓN PRÁCTICA ( Tomado de su publicación original de fecha 15 de Marzo de 1995. Trascripción: Prof. Enrique Flores, Septiembre de 2005)

Tema 1: Límites y continuidad 1. En cada caso, determine el dominio de f

(a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 22

22

yx,25y

9xlnln)y,x(f

(b) ( )( )22 yx4,)xyarccos(,x4ln)y,x(f −−−=

(c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

x21yxln)y,x(f

22

(d) ( ) ∧∧−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= jxei

x1y)y,x(f 2

1y2

1

(e) ( ) ( )( )y23arccos,y4x936ln)y,x(f 22 −−−= (f) ( )z,)zyx9ln(,x)z,y,x(f 222 −−−= 2. Dibuje e identifique las gráficas de las siguientes funciones (a) ( )22 yx3)y,x(f += (b) ( ) 2yx5)y,x(f 22 ++−=

(c) 22 yx44)y,x(f −−= (d) en cada uno de los casos anteriores, obtenga, identifique y dibuje la curva de nivel de f que pasa por el punto (1,1).

3. En cada caso dibuje la gráfica de f(x,y), dibuje e identifique las curvas de nivel para c = ½, 1, 3 (a) yx)y,x(f += (b) ( )yx32)y,x(f +−=

(c) 22 yx2)y,x(f +−=

(d) ( )22 yx1)y,x(f +−= 4. (a) Si 9yx 22 <+ obtenga una cota apropiada para i. ( ) 1y1x3 +−

ii. 22

23

yxyx3

+

+

iii. yx

x2 2

+

(b) Demostrar que si

i. ( )41y,x < entonces

( )1

yx

y3x

23

22

44

<+

+

ii. ( ) 50y,x < entonces 50yx

xy722<

+

5. Se dispone de una variedad de triángulos rectángulos. Se requiere construir cuadrados cuyos lados sean la suma de los catetos de cada triángulo respectivamente. Busque una cota superior para la longitud de las hipotenusas de los triángulos para garantizar que el área de cada rectángulo sea a lo sumo 100 cm2.

6. Demostrar que los puntos ( )t2,t,t2 − caen dentro de ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31,2,1,1S para todo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

101,1St . Represente mediante un dibujo.

7. Hallar un tal que los puntos 0>δ ( )2,t,t2 − caigan dentro de ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1001,2,1,1S para

todo ( )δ∈ ,1St . Represente mediante un dibujo. 8. Demuestre que no existen los siguientes límites

(a) ( ) ( ) y2x

xy2lim0,0y,x −→

(b) ( ) ( ) 220,2y,x yx4

xylim−−→

(c) ( ) ( ) 20,0y,x xy

yxlim−−

→

(d) ( ) ( ) x2x3y

x4ylim 28,2y,x +−−

→

(e) ( ) ( ) 2y

x4lim2

2,2y,x +−

−→

9. Para cada una de las siguientes funciones calcule el límite cuando ( ) ( )0,0y,x →

(a) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= 22

3

yxx,

y1sen

x1senyx)y,x(f

(b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

= 24

3

22

22

yxx,

yxyxx)y,x(f

(c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

++= +

yxyx,e,9y2x3)y,x(f

22yx2 22

(d) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+= 10yxln,

yx2yx2)y,x(f 22

24

2

10. Estudie la continuidad de las siguientes funciones. En caso de discontinuidad no esencial redefina la función de una manera continua

(a) ... 2, 1, 0, k contrario caso eny1

kx siysenx

x)y,x(f ±±=

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

π≠+=

(b) ( ) (

( ) (

0,0yx, si0

0,0yx, siyx

yx)y,x(f 22

32

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

)

)

(c) ( ) (( ) (

0,0yx, si0

0,0yx, siyxyxxy)y,x(f 22

22

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+−

= ))

11. Dada la transformación lineal ( )y5x2,y3x4)y,x(T −+= calcular un δ correspondiente a un ε = 0.05 que cumpla la condición de continuidad en todo el plano. Tema 2: El diferencial 1. Calcule la pendiente en el punto (2,1,7) de la curva obtenida al cortar la superficie z = x2 + 3y2 con el plano x = 2. Represente en un dibujo. ¿Cuál es la variación aproximada de la cota del punto cuando la ordenada pasa de 1 a 0.5?

2. (a) Demuestre que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

cxcosez t y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

cxsenez t son soluciones de la ecuación

2

22

xzc

tz

∂∂

=∂∂ ( c constante).

(b) Demuestre que la función 222 zyx

1)z,y,x(V++

= satisface la ecuación de Laplace

0zV

yV

xV

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

3. La temperatura (en grados centígrados) en el pto. (x,y) de una placa de acero viene dada por ( ) 22 y5.1x6.0500y,xT −−=

(a) ¿Con respecto a cuál de las variables es T más sensible? (b) ¿Cuál es el valor aproximado de la temperatura si a partir del pto. (3,1) la variable x cambia de 3 a 3.5? ¿Cuál es la variación de la temperatura cuando la variable y cambia de 1 a 0.99?

4. (a) Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie z = 4 + 3(x2 + y2) en el punto

(1,1,z0). Represente en un dibujo la superficie y el plano tangente.

(b) Considere la función 22 yx)y,x(f += . Calcule, si es posible, la matriz jacobiana de f en el punto (0,0). ¿Es posible obtener una función lineal que aproxime bien los valores de f para valores muy pequeños de x e y? ¿Tiene la superficie z = f(x,y) plano tangente en el pto (0,0,0).

5. Estudie la diferenciabilidad en el origen de cada una de las siguientes funciones

(a) ( ) (

( ) (

0,0yx, si0

0,0yx, siyx

yx5)y,x(f 22

4

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

)

)

(b) ( ) (

( ) (

0,0yx, si0

0,0yx, siyx

yx)y,x(f 22

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

−=

)

)

6. Para cada una de las funciones en el problema 3, tema 1, use la gráfica para determinar el conjunto de puntos en el plano donde la función no es diferenciable. Dé una explicación sencilla. 7. Calcule la diferencial de las siguientes funciones

(a) ( )2

x en 3xsenln)x(f 2 π=+=

(b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0 x si 0

0 x si x1cosx

)x(f 23

(c)

8. Verifique que la función yx si0

yx siyx

xy)y,x(f 22

⎪⎩

⎪⎨⎧

±=

±≠−= tiene matriz jacobiana en (0,0) pero no

es diferenciable en ese punto. ¿Es f continua en el origen? 9. ¿En cuales puntos no son diferenciables las siguientes funciones?

(a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 23

22 y3x2,y1

x1)y,x(f

(b) ( )

0x siyx,0

0x siyx, x1xsen)y,x(f

22

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

10. La expresión matemática que rige un determinado problema físico viene dada por R = v2sen(2w) donde v y w son variables. Si en la medición de v existe un error de 1% y 0.01 radian en la de w, calcule el error que se comete en la determinación de R cuando v = 100 y

4w π= .

11. El periodo de un péndulo simple de longitud l está dado por gl2T π= . Hallar el error

cometido al calcular T con l = 2 pies y g = 2spie32 si los valores verdaderos eran 1.95 pies para l y

2spie2.32 para g.

12. Una compañía va a manufacturar 10000 cajas de madera cerradas, con dimensiones de 3m ×

4m × 5m. El costo de la madera que va a ser usada es de 2mbs5 . Si las máquinas que se usan para

cortar las piezas tiene un error de 0.005 m en cada dimensión, encontrar el máximo error posible en la estimación del costo de la madera. 13. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo y φ el ángulo que forman los lados cuyas longitudes son b y c. Exprese a en términos de b, c y φ y calcule usando la transformación afín aproximante una aproximación de a cuando b = 1.1 , c = 3.95 y φ = 62º. 14. (a) Calcule la transformación afín aproximante a

( ) ( )zcosx,zcosxseny,ysenzcosxz,y,xF = en un entorno del punto (1,π,0)

(b) La altura de una forma cónica circular mide 100 cm y disminuye a razón de s

cm10 ; si el

radio de la base mide 50 cm y aumenta a razón de s

cm5 , demuestre que la rapidez de

cambio del volumen es de s

cm18.263

.

(c) En la fórmula PV = KT encontrar el porcentaje de error máximo que se comete en la determinación de la presión cuando el error en la medida de la temperatura es de ±0.1% y la del volumen ±0.9%. (d) Se tiene un triángulo rectángulo cuyos lados están modificándose pero conservando el carácter de rectangularidad. Si en un instante dado la longitud del cateto mayor es 16 cm,

aumentando s

cm1 y el otro cateto de longitud 12 cm disminuye s

cm2 determine la rapidez

de variación del ángulo opuesto al cateto mayor. 15. Considere la región limitada por las superficies 22 yxz += y z = 2 para todo x e y. Se requiere construir ese recinto cónico, las variables x, y, z dadas en metros. Determine el margen de tolerancia que debe cumplir el fabricante en las dimensiones del radio y la altura para que la variación de su capacidad no exceda 238.76 litros. Para dar su respuesta use el diferencial (total).

16. Demuestre que la función ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0 x si 0

0 x si x1senx

)x(f2

es diferenciable, pero no es de clase

C1. Tema 3: Derivada direccional 1. Calcule la derivada direccional de 22 yx25)y,x(f −−= en el punto (2,2) en la dirección hacia el punto (3,1). ¿En cuál dirección es máxima? ¿Cuál es el valor de ese máximo? 2. (a) La superficie de una montaña está descrita por la ecuación 22 yx1200z −−= . Si el eje

0x apunta hacia el Este y el eje 0y hacia el norte, para un excursionista que está en el pto. (-10,5,1073) y se mueve en dirección Este ¿asciende o desciende? ¿En cuál dirección debería moverse para que se mantenga al mismo nivel? ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada?

(b) Un punto móvil se encuentra sobre una superficie suave (diferenciable) desconocida e inexplorada en las coordenadas (3,4,6) de un sistema de coordenadas orientado con el eje negativo -0x hacia el norte. Se ha determinado que si se desplaza hacia el sur, su cota aumenta instantáneamente en proporción 2:1 y si lo hace en dirección éste disminuye 3:1. ¿Hacia dónde deberá desplazarse para que su cota permanezca constante?

3. (a) Calcule los valores de a, b y c para que la derivada direccional de f(x,y,z)=ax+bxy+cxyz

en la dirección del vector director de la recta determinada por la intersección de los planos x = 3, y = 4, tenga un valor máximo de 12. ¿Qué significa intrínsecamente éste valor dado a la derivada direccional?

(b) Calcule los valores de a, b y c de la función f(x,y,z)=ax2+bxz2+cyz para que tenga en el punto (1,-1,-1) una derivada direccional máxima de 25 en la dirección normal en el origen, a la superficie x2y + 2xy3 + z = 0.

4. Calcule el ángulo con el semieje positivo de las equis, para el cual la derivada direccional de f(x,y) = x2 – y2 en el pto. ( )1,3 es máxima. ¿Cuánto vale la máxima variación de f? Explique el

significado intrínseco y el significado geométrico de ( ) 21,3u

f−=

∂

∂∧ con . Haga un dibujo. ( 1,0u =

∧)

5. Dada f(x,y,z) = x2y2 - yz + z3 – 1, calcule la derivada direccional de f en X0 = (0,2,1) en la dirección normal a la superficie f(x,y,z) = f(X0). 6. La distribución de temperatura en una placa circular caliente está expresada por:

2yx64)y,x(T 22 ++

=

con el origen en el centro de la placa. Para el pto. (1,2) determinar la razón de cambio de la

temperatura en la dirección 3π

=θ . ¿En cuál dirección es máxima la razón de cambio?.

7. Una cucaracha se encuentra en el punto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

233,1 de la pared de una habitación elíptica con

borde 19y

4x 22

=+ , y se de cuenta que ésta ha sido fumigada con un insecticida. Si la

concentración de insecticida en la habitación está dada por la función c(x,y) = 9x2 + 4y2. (a) ¿En que dirección debe comenzar a moverse para tratar de evitar envenenarse?

(b) Si su madriguera está en el origen de coordenadas, ¿cuál debe ser su trayectoria si en cada instante se mueve en la dirección en la cual c(x,y) disminuye con mayor rapidez?

8. Calcule la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas, en los puntos indicados (a) x2 + 2x – y = 2 en el pto (1,1) (b) xy = 2 en el pto. (1,2)

(c) 23 y xy x 22 =++ en el pto. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

21 .

9. Calcule (si es posible) la ecuación del plano tangente a cada superficie en el punto indicado

(a) 14zyx

222 =++ en ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

21,

21

(b) x2 + y2 – z2 = 0 en (0,0,0) (c) x2 - y2 + z = 1 en (0,0,0) 10. Dibuje la superficie de nivel de la función F(x,y,z) = |x| + |y| + |z| para c = 4. Calcule el plano tangente a la superficie en los ptos. (1,1,1) Y (1,1,-1). Identifique los puntos de dicha superficie donde no existe plano tangente. Relacione éste hecho con la diferenciabilidad de F en dichos puntos. Tema 4: Función compuesta, función inversa, función implícita 1. Dadas las funciones f(x,y,z) = (x2 – y2 , x – yz2) = (u , v) y g(u,v) = uv – uv2, estimar el valor de la función compuesta en el punto (1.1 , 2.9 , 4.02). Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la función compuesta en el pto. (1,2,4). 2. La empresa transportista “Big Low trips” opera desde Valencia con dos vehículos de la misma capacidad hacia Pto. La Cruz y Cumaná, transportando siempre simultáneamente el mismo número de adultos, niños y peso de equipaje. Se han establecido los siguientes costos (en bolivares) en función de lo transportado Para Pto. La Cruz:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= z2

30xyy

53x2P 2

Para Cumaná:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= z

23

20xyyx2C 2

donde x,y,z corresponde al número de adultos, niños y equipaje respectivamente. En Oriente, la empresa filial “Guácharo Tours” ofrece excursiones a uno de los tres lugares siguientes: Coche, Cubagua o Araya, con la condición de llevar a todos los pasajeros que fueron llevados a Pto. La Cruz y Cumaná por la empresa “Big Low trips”. Sus costos (en bolívares) han sido estimados en los siguientes Para Coche:

7C

15000PCH

2

+=

Para Cubagua:

( )CP16000

1G 2 +=

Para Araya:

( )CP100901A +=

donde P y C son los costos a Pto. La Cruz y Cumaná respectivamente. Se desea conocer utilizando la función compuesta y la regla de la cadena: cómo afecta el costo de las excursiones un ligero aumento en el número de niños transportados y cuál excursión resulta más económica si se prevee un plan inicial con 30 adultos, 20 niños y 400 kg de cada vehículo que parte desde Valencia. 3. Calcule la derivada direccional de g(x,y,z) = x2 + y2 + z2 en ( )14,0,0 definida en la dirección

del vector , tangente a la curva definida por la intersección de las superficies x + y + z = 3 ;

x

→v

2 – y2 + 2z2 = 2 en el punto (1,1,1). ¿Cuál es el significado de ( ) 414,0,0v

g=

∂

∂∧ ?.

4. Calcule la derivada direccional de f(x,y,z) = x3 + y2 + z en (2,-1,-5) la dirección del vector tangente a la curva dada por la intersección de las superficies 6x-3y+2z–5=0 ; z2–4x2–9y2=0. 5. Dadas las superficies F(x,y,z) = xy + yz – 4xz = 0; G(x,y,z) = 3z2 – 5x + y = 0 (a) Demuestre que se cortan ortogonalmente en el pto (1,2,1)

(b) Calcule las ecuaciones de la recta tangente a la curva determinada por la intersección de las superficies definidas por F y G en el pto. (1,2,1).

6. Las ecuaciones definen implícitamente una curva f(x) = (y(x) , t(x)) que

satisface f(1) = (-1,1). Calcule la recta tangente a la curva definida por f en x = 1. ⎩⎨⎧

=−++

=++

01tyx0tyxyx2 223

7. En un cierto proceso se ha determinado que las variables (x,y,z,u,v) satisfacen las ecuaciones

⎩⎨⎧

=−−+

=−+−+

01zvyzxu03v2zvyvxu

si se sabe además que las variables (u,v) están ligadas a (w,t) por w = eu – v y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=vuarctgt obtenga

las funciones lineales aproximantes que permitan calcular a w y t cuando (x,y,z) = (0.9, 1.1, 0.8). 8. (a) Considere el pto. (x,y,z) que satisface las ecuaciones x2 + 2y2 + z = 4, x2 + y2 + z2 = 3. Si

w = ln(3z2 - 2y2), calcule la razón de cambio de la variable w con respecto a la variable x. ¿Cómo varía la variable w cuando x cambia de 0.9 a 1?

(b) Sean u,v,t las variables de un proceso que satisface las siguientes condiciones uvt = 50; u + v + t = 16. Determine como deben modificarse las variables u y v si t se incrementa de 1 a 1.06.

9. Sea f(x,y,z) = xy + senz. Calcule la derivada direccional de f en el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

4,2,1 en la dirección

del vector normal la superficie S de nivel de f que pasa por (3,0,4).

10. Un cambio de coordenadas viene dado por 22 yx +=ρ , xyarctg=φ . Si x,y están

relacionadas con t mediante las ecuaciones: x cost – y (t + 1) = 0 ; y sent + x (t + y) = 1

(a) Determine si es posible obtener las funciones ρ(t) y φ(t) en un entorno de t = 0 (b) Calcule ρ y φ cuando t = 0.005 11. Sea ( ) )v,u(zx,xy)z,y,x(g 22 =+= y f(u,v) una función que satisface fu(1,2) = 1, fv(1,2) = 2. Determine el plano tangente a la superficie S definida por gfh = en el punto ( )3,1,1 . 12. (a) Encuentre la función afín que aproxima mejor a la inversa de la función

f(x,y) = (x2 + 2xy + y2 , x2 + y) en un entorno del punto f(1,1). (b) Sea f(u,v) = (u2 + u2v + 10v , u + v3) i. Demuestre que f tiene una inversa f-1 en una vecindad del pto. (1,1) ii. Calcule el valor aproximado de f-1(0.8,1.2) 13. Sea T definida por (x,y) = T(r,θ) = (rcosθ , rsenθ) , r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π

(a) Calcule la matriz del diferencial de T y su inversa para los puntos (r,θ) para los cuales existe (b) Obtenga una representación explícita de T-1.

14. Sea z = f(x,y), x = ucosφ , y = usenφ. Calcule ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

φ∂∂

4,2z sabiendo que f es diferenciable y que

ambas derivadas parciales en el punto ( )2,2 vale 2 .

15. Dada F(u,v) = 0; u = zsenx; v = zcosy, donde F es una función diferenciable arbitraria.

Tomando derivadas parciales respecto de x e y , y eliminando de las ecuaciones a uF∂∂ y

vF∂∂

demuéstrese que la ecuación diferencial en derivadas parciales resultante es

0zyFctgy

xFtgx =+

∂∂

−∂∂

16. Dibuje e identifique cada una de las siguientes superficies dadas en forma implícita: (a) x2 + y2 – z2 = 0 (b) x – 2y + 3z = 6 (c) 3x2 + 2y2 + 4z2 – 12 = 0 (d) x2 - 2z = 0 (e) y2 + z2 = 4 (f) Las superficies de nivel de f(x,y,z) = x2 + y2 – z2 para c = -1,0,1,4

(g) 14z

12y

9x 222

=++

(h) 0z9x

4y 22

=−− .

Tema 5: Extremos y extremos condicionados 1. Diagonalice y clasifique las siguientes formas cuadráticas

(a) f(x,y,z) = 2x2 + 3y2 + z2 + 4xy – 2yz (b) f(x,y,z) = -3x2 - 4y2 - 5z2 + 2xy – 2xz + 4yz (c) f(x,y,z) = 4x2 + y2 + z2 - 4xy + 4xz - 2yz.

2. (a) Calcule el desarrollo de Taylor de segundo orden de la función f(x,y) = x cos(xy) en un

entorno del punto (4,0). Calcule el valor numérico de f(3.99,0.01) (b) En cada caso use el desarrollo de Taylor de segundo orden de una función apropiada

para calcular i. (0.95)2.01

ii. 01.0e9.01.3 + iii. 0.9e0.2arctg(1.1). 3. Calcule los extremos de las siguientes funciones y discuta su naturaleza (a) f(x,y) = 3x2 + 2xy + 2x + y2 + y + 4 (b)

22 yx 4e y)f(x, −+=

(c) f(x,y) = cos(x2 + y2) (d) f(x,y) = y + xseny

(e)y1

x1xy y)f(x, ++=

(f) f(x,y) = (x + y)(xy + 1).

4. En cada caso calcule los extremos de la función y discuta su naturaleza (a) f(x,y) = xy en el rectángulo R = { (x,y) / ⎜x ⎜≤ 1 , ⎜y ⎜≤ 1 } (b) f(x,y) = senx + cosy en el rectángulo R = [0,2π] × [0,2π] (c) f(x,y) = x3 – xy + y2 – 6 en la región encerrada por el triángulo de vértices (-2,-1); (1,3)

y (4,-1). 5. (a) Sea n un entero mayor que 2 y sea f(x,y) = axn + byn donde ab ≠ 0. ¿Para que valores de

a, b y n ocurre un máximo o un mínimo o un punto de ensilladura? (b) Dada f(x) = 3a3x2 – 3ab + 2b2x + 2, determine los valores de a y b para que

alcance su valor mínimo en [0,1] ∫

1

0dx)x(f

6. (a) Demostrar que una caja rectangular de volumen dado tiene superficie mínima cuando la

caja es un cubo (b) Demostrar que una paralelepípedo rectangular de superficie fija y volumen máximo es

un cubo (c) Considere la familia de pentágonos con perímetro constante y construidos colocando un

triángulo isósceles encima de un rectángulo. Identifique la forma del pentágono de dicha familia que tiene el área máxima y calcúlela.

7. Demostrar que la menor distancia del pto. (1,2,-3) al plano tangente de la superficie definida

por f(x,y,z) = x2 – y3 + 6z – 17 = 0 en el pto. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

25,1,1 es 6.

8. (a) Demuestre que las distancias máxima y mínima desde el origen a la curva

5x2 + 6xy + 5y2 – 8 = 0 son 1 y 4 respectivamente. (b) Calcule la menor distancia de la superficie x2+2y2–z2–1=0 al origen de coordenadas. (c) ¿Cuál es le pto. del paraboloide z = x2 + y2 más próximo a (3,-6,4)? (d) Busque la distancia mínima entre la rama de la hipérbola xy=4 , x>0 y la recta y=-3x, y

dos puntos que la realicen 9. Use el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas: (a) Una caja rectangular está contenida en el elipsoide 2x2 + 3y2 + z2 = 18 y cada lado es

paralelo a uno de los ejes coordenados. Demuestre que el máximo volumen que puede tener la caja es 48 unidades de volumen.

(b) Se desea construir con 20 m2 de lona una carpa en forma cónica. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del radio y la altura para que el volumen sea máximo?

(c) Se desea construir un tanque, de tal forma que la base sea un triángulo rectángulo y sus paredes verticales para que tenga una capacidad de 2 m3. ¿Cuál es el menor área de metal que puede ser usada en su construcción?

(d) Busque el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en el triángulo formado por

las rectas 14y

3x

=+ ; 13y

4x

=+−

; y = 0, de tal manera que uno de sus lados esté sobre el

eje x. 10. (a) Estudie los extremos de f(x,y,z) = x + y + z sobre la hipérbola x2 – 4y2 = 1; z = 1.

Sugerencia: use la ecuación cosh2t – senh2t = 1 para parametrizar la curva. Recuerde que

2eetcosh

tt −+= ,

2eesenht

tt −−= .

(b) Un servicio de entrega de paquetes requiere que las dimensiones de una caja rectangular sea tal que la longitud, más el ancho, más el doble de la altura no exceda 108 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede enviar la compañía?

(c) Demuestre que el volumen del paralelepípedo rectangular de volumen máximo con lados

paralelos a los ejes coordenados, que se puede inscribir en el elipsoide 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=++ es

33abc8 .

(d) El método de los mínimos cuadrados consiste en lo siguiente: realizamos una serie de experimentos donde es razonable suponer que el resultado y es una función lineal y=mx+b de los datos x, pero existe un error experimental cuando medimos los datos xi y los resultados yi , i = 1,2,…,n. Los coeficientes m y b se obtienen calculando el mínimo de la suma de los cuadrados de los errores

( )∑=

−−=n

1i

2ii bmxy)b,m(E

i. Use el método de mínimos cuadrados para hallar la recta que mejor se ajuste a los puntos (0,1);(1,3);(2,2);(3,4) y (4,5). Dibuje los puntos y la recta obtenida. ii. Una pieza se estira a una longitud de L = 5 , 6 y 7 pies bajo la acción de fuerzas F = 1 , 2 y 4 toneladas respectivamente. Suponiendo la ley de Hooke L = mF + b, encontrar la longitud si la fuerza aplicada es de 6 toneladas.

Tema 6: Integrales múltiples 1. Dibuje la región de integración en invierta el orden de integración en las siguientes integrales iteradas:

(a) ∫∫− 2xax2

0

2

2a dy)y,x(fdx

(b) ∫∫− 2

2

y3

2y

1

0dydx)y,x(f

(c) ∫∫∫∫−−

−+

2222 ya

0

a

2a

ya

y2a2a

0dx)y,x(fdydx)y,x(fdy

2. Calcule las siguientes integrales iteradas. Dibuje la región de integración. Compruebe sus resultados usando el teorema de Fubini

(a) ∫∫ −

x

xx

2

0 2 dydx

(b) ∫∫−

−−

2

2

y1

y1

1

0dydx

(c) ∫∫ − +y1

0yx1

0dxdye

3. Demuestre que ( )38dzdydxy2

B

=−∫∫∫ , donde B es la región del espacio:

B = { (x,y,z) / 0 ≤ x ≤ y ; 0 ≤ z ≤ 2y ; 0 ≤ y ≤ 2 } Plantee las restantes integrales de acuerdo con el teorema de Fubini. 4. Calcule el volumen de las siguientes regiones del espacio:

(a) El tetraedro limitado por el plano 1cz

by

ax

=++ ; a, b, c > 0 y los planos coordenados

(b) La región común a los dos cilindros x2 + y2 ≤ a2 , y2 + z2 ≤ a2 (c) La región debajo del cono 22 yxaz +−= y por encima del plano xy. 5. Calcule la masa de la región B, si la densidad de masa ρ(x,y) es la indicada en cada caso: (a) B = { (x,y) / y ≤ 5 – y2 ; y ≤ x2 – 3 }, ρ(x,y) = x2y (b) B = { (x,y) / 0 ≤ x ≤2 y ; y ≤ 1 } , ρ(x,y) = 3(1 – y)

6. Una placa de oro grabado D tiene una densidad de masa ρ(x,y) = y2sen2(4x) + 2 2cmg . Si el oro

cuesta 2000 Bs por gramo ¿Cuánto cuesta la placa? D = { (x,y) / 0 ≤ x ≤ 2π ; 0 ≤ y ≤ π }

Las unidades de x e y en la placa D están dadas en cm. 7. Calcule la masa de una esfera maciza de radio a cuya densidad varía en cada punto en forma directamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto al centro de la esfera. 8. Calcule los momentos de inercia Ix , Iy y el centro de masa (x,y) para la lámina y densidad especificadas: (a) Lámina: región limitada por y = x , y = x2 , ρ(x,y) = kxy

(b) Lámina: región limitada por 22 xay −= ; y = 0; la densidad es proporcional a la distancia al eje x.

9. Calcule la integral I haciendo uso del cambio de variables dado:

(a) ∫∫ −1

y221

0dxdyyx ;

2yxv;

2yxu −

=+

=

(b) ∫∫− +x1

0yx

y1

0dxdye ;

yxyv;yxu+

=+=

10. Dada la transformación T y la región A, calcule y dibuje la imagen B = T(A). Determine el área de B.

(a) T(u,v) = (2u – 3v , 5u + 7v) = (x,y); A es la región triangular del plano uv cuyos vértices son (0,0); (1,0) y (0,1). (b) T(u,v) = (u2 – v2 , 2uv) = (x,y); A es el cuadrado cuyos vértices son (1,0); (2,0); (2,1) y (1,1).

11. Calcule , donde r es la región limitada por las hipérbolas xy=4, xy=9, x( )∫∫ −

R

44 dxdyyx 2–y2=1,

x2 – y2 = 4. Ayuda: (x2 + y2)2 = (x2 - y2)2 + (2xy)2. 12. Calcule la integral I usando coordenadas polares

(a) I = ∫∫−

+2x5

x23

221

0dydx)yx(

(b) I = ∫∫+B

22dA

yxx ; B = { (x,y) / x2 + y2 ≤ 1 }

(c) I = ; R = { (x,y) / a ≤ x∫∫ +

R

yx dxdye22 2 + y2 ≤ b , x

31 ≤ y ≤ x3 , x > 0 }

13. En cada caso calcule el volumen del sólido limitado por: (a) El cilindro x2 + y2 = 1, el hiperboloide x2 + y2 – z2 = 1 y los planos z = 0 y z = 1. (b) Las superficies: x2 + y2 + z2 = 3 ; x2 + y2 – 1 = z (c) El cilindro x2 + y2 – 2x = 0, el paraboloide x2 + y2 = az y el plano z = 0. (d) Las superficies: x2 + y2 – 2x = 0 ; 4z = x2 + y2; z2 = x2 + y2. 14. En cada caso dibuje la región B y calcule su volumen. (a) B = { (x,y,z) / x2 + y2 – 2y ≤ 0 ; z ≤ 3x2 + 3y2 ; z ≥ 0 } (b) B = { (x,y,z) / x2 + y2 + z2 ≤ 36 ; z ≥ 22 yx + ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 }

(c) B = { (x,y,z) / x2 + y2 + (z – 3)2 ≤ 9 ; x2 + y2 ≥ 4 z ≤ 22 yx + }

Ayuda: ∫∫ −− −

+−= dx)x(senn

1nn

)x(cos)x(sendx)x(sen 2nn1n

n

15. Demuestre que el volumen del elipsoide 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=++ es abc34π (Sugerencia: use el

cambio x = au , y = bv , z = cw). 16. A Ud. Como pasante de una empresa le corresponde calcular la capacidad de un tanque en forma de paraboloide de diámetro 8m y altura 3m. A falta de una tabla que indique la fórmula

correspondiente, deduzca usando integrales múltiples que ésta es hr2

2π . Aplíquela y determine

cuántos litros de agua caben en el tanque. Suponga que el tanque es un cono circular y repita

todos los pasos anteriores (La fórmula respectiva para el volumen de un tanque cónico es hr3

2π ).

17. El recipiente de un líquido formado por un hemisferio de 10 m de radio se va llenando de agua a razón de 30000 litros por minuto. ¿A que velocidad se eleva el nivel de agua en el momento de desbordarse, si el radio crece a una razón de 70 cm por minuto? Usando integrales múltiples

demuestre que el volumen de un casquete esférico de radio R y altura H es )HR3(H3

V 2 −π

= .

18. Una esfera de radio a metros es taladradada en la dirección de su centro con un agujero de radio b metros b < a . Calcule el volumen de la porción de esfera restante. 19. Calcule el centro de masas de un sólido de densidad constante limitado por la semiesfera

ρ = cosφ , 24π

≤φ≤π , y el cono

4π

=φ . Calcule el momento de inercia de éste sólido respecto al

eje z (Iz). 20. (a) Para el cilindro circular recto r = 2asenθ de altura h y densidad constante, calcule el

momento de inercia respecto a su eje. (b) Para el sólido contenido en la concha cilíndrica B = { (x,y,z) / a ≤ x2 + y2 ≤ b } de

densidad constante, calcule el momento de inercia respecto a su eje. (c) Calcule el momento de inercia respecto de su eje, de un cono circular recto de radio r,

altura h y densidad constante. (d) Calcule el momento de inercia respecto a su diámetro, de una esfera de densidad

constante y radio a. Tema 6: Integrales de línea e integrales de superficie 1. Escriba las siguientes curvas en forma paramétrica (a) La curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4a2 con el cilindro x2 + (y – a)2 = 4a2

desde el punto (0,0,2a) al punto (0,2a,0) , x ≥ 0. (b) La intersección del cono 22 yxz += con el plano z + y = 1.

(c) La intersección del cono 22 yx2z +−= con el plano x + y + z = 1. (d) La intersección de los cilindros x2 + y2 = a2 y y2 + z2 = a2. 2. Dibuje e identifique las siguientes curvas (superficies) dadas en forma paramétrica. (a) f(t) = (2cost , 2sent) ; 0 ≤ t ≤ π . (b) g(t) = (3t + 1 , 2t) ; 0 ≤ t ≤ 1 . (c) g(t) = (3cost , 4sent) ; π ≤ t ≤ 2π . (d) g(t) = (3cosht , 2senht) ; t ∈ R . (e) σ(t) = (2t + 3 , t , t + 1) ; 0 ≤ t ≤ 1 . (f) σ(t) = (cos3t , sen3t) ; π ≤ t ≤ 2π .

(g) f(t) = (5cost , 5sent , 2t) ; 0 ≤ t ≤ 2π . (h) γ(t) = (4cost , 5sent , 2π - t) ; 0 ≤ t ≤ 2π . (i) C(r,θ) = (rcosθ , rsenθ , r) ; 0 ≤ r ≤ ∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π. (j) P(r,θ) = (2rcosθ , 3rsenθ , r2) ; 0 ≤ r ≤ ∞ (k) E(θ,φ) = (3cosθcosφ , 3senθcosφ , 3senφ), θ ∈ [0,2π] , φ ∈ [0,π] (i) H(r,θ) = (rcosθ , rsenθ , θ) ; 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π. 3. Calcule el plano tangente a las superficies dadas en forma paramétrica en el punto especificado ¿En cuáles puntos la superficie no posee plano tangente? (a) F(u,v) = (2u , u2 + v , v2) = (x,y,z) en (0,1,1)

(b) G(u,v) = (u2 – v2 , u + v , u2 + 4v) = (x,y,z) en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 2,

21,

41

(c) H(u,v) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ )ecos(u

31 , )usen(e , u vv2 = (x,y,z) en (13,-3,1). ¿Son suaves las superficies

dadas? En cada caso determine un vector unitario normal a la superficie dada. (d) Dada la superficie paramétrica S definida por G(u,v) = ((u – 1)2 , u + v , u - v). Calcule la ecuación general del plano tangente a S que pasa por G(u0 , 1) y es perpendicular a x+y+z+1=0.

4. (a) Calcule la longitud de arco de una onda de la cicloide x = a(t – sent); y = a(1 – cost);

0 ≤ t ≤ 2π . (b) Calcule al longitud de la curva C

i. C: g(t) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − t

31,t,t 32 , 0 ≤ t ≤ 2 .

ii. C: y = x3 entre los puntos (-1,-1) y (1,1). (c) Calcule la longitud de la elipse x = 2senθ , y = 3 senθ, 0 ≤ t ≤ 2π . Ayuda: Use una tabla

de integrales elípticas. En cada caso determine la masa del alambre que sigue la trayectoria C, si la densidad es k

gramos/metro. 5. Calcule la integral de f(x,y) = 2x –y a lo largo de la trayectoria C definida por g(t) = (t2 , t2) ; -1 ≤ t ≤ 1. Interprete geométricamente el valor de la integral. 6. Calcule las siguientes integrales de línea: (a) ∫ −++

)1,1(

)0,2(dy)y7x(dx)yx(

(b) ∫ −++)3,5(

)1,1(dy)yx(dx)yx(

(c) , donde F(x,y) = (x+y , x) y γ es la curva formada por el arco γ∫γ

F 1 : (x-4)2 + y2 = 4

desde (0,0) hasta (2,2) y el segmento de recta que va desde (2,2) hasta (3,0).

(d) ( )∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

π−+2

,23

,0ydycossenxxsenydxcos

(e) ∫ +−)2,32(

)1,1( 22 yxxdyydx

(f) , donde C es el arco g(t) = (t – sent , 1 – cost) desde (0,0) hasta

(2π , 0).

∫ +C

xx ydycosesenydxe

(g) ( ) ( )∫ ++

+C222222

dyyx

y2dxyx

x2 donde C : (x-4)2 + (y-5)2 = 9.

(h) ∫ + dyxedxe yy , donde C es el arco de hipocicloide que va desde (0,-1) hasta (-1,0). Justifique el por qué de la aparente ambigüedad en la notación de los problemas (6a), (6b), (6d) , (6e).

7. (a) Un objeto recorre una trayectoria elíptica sometido al campo vectorial

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2x,

2y)y,x(F . Determine una relación entre el trabajo realizado y el área de la elipse.

(b) Calcule el trabajo realizado al mover una partícula desde el punto A(0,1) hasta el punto B(1,0) a lo largo de la curva g(t) = (cos3t , sen3t) bajo la influencia del campo F(x,y) = (1 + x)yexî + (xey – ey)ĵ .

(c) Una partícula se desplaza de O a P bajo la acción del campo F(x,y) = (xy , x) (el campo medido en Newtons) siguiendo una trayectoria medida en metros en el sentido horario definido por la curva parcialmente suave σ1 ∪ σ2 , donde σ1 : y = x2 desde el origen hasta la intersección con σ2 : x2 + y2 = 3 que termina en su intersección P con el eje x. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas.

(d) Calcule el trabajo efectuado por el campo F(x,y) = (xy2 , x2y) (Newtons) para desplazar una partícula en el sentido antihorario, entre los puntos extremos del trayecto del

astroide x = cos3t ; y = sen3t, 23t

4π

≤≤π medido en metros.

8. Determine h(x) para que 0F =∫

γ

para toda γ si F(x,y) = (yex+eycosx)î + (eysenx+h(x))ĵ, h(0) = 0.

9. Verificar el teorema de Green para la función vectorial F definida en el recinto R. En cada caso dibuje R y la trayectoria. (a) F(x,y) = (x,x) ; R = { (x,y) / 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , -2 ≤ x ≤ 0 }

(b) F(x,y) = (exy , 1-xy) ; R es la región del plano xy limitada por el cuadrado de vértices en (1,1) ; (-1,1) ; (-1,-1) ; (1,-1). (c) F(x,y) = (y2 + y , 2xy – ey) ; R es la región del plano limitada por el arco x2 + y2 = 1, x > 0, y > 0, y la recta y = 1 – x. (d) F(x,y) = (x3 – 3xy2 , 3x2y – y3) ; R es la región del plano constituida por el sector circular de radio unidad, comprendido entre los ángulos 30° y 120°. (e) F(x,y) = (x + 2y , y + x) ; R = { (x,y) / x2 + y2 ≤ 4 , -y ≤ x ≤ y , y > 0 }

10. Calcular el área del helicoide x = rcosθ , y = rsenθ , z = θ; 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 3π.

11. Calcular el área de la superficie definida por x + y + z – 1 = 0 en el interior de x2 + 2y2 ≤ 1. 12. Se perfora un hoyo cilíndrico de radio 1 a través de una esfera de radio 2 para construir un acoplador anular. Calcule el área de superficie exterior del acoplador. 13. Evalúe donde: ∫

S

zdS

(a) S es la concha hemisférica de radio a y con centro en el origen de coordenadas. (b) S es la superficie z = x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1. 14. Calcule , donde S es la frontera del cubo de lado 1 metro cuyo centro está en el origen

de coordenadas, y cuyas caras son paralelas a los planos coordenados.

∫S

2dSz

15. Calcule el área de superficie esférica x2 + y2 + z2 – 2z = 0 que está dentro de la superficie cónica 22 yxz += . ¿Cuál es el área de la parte de la superficie cónica que está dentro de la superficie esférica? 16.Sea S la superficie cerrada formada por la concha hemisférica x2 + y2 + z2 = 1 , z ≥ 0 y su base

x2 + y2 ≤ 1, z = 0. Sea E el campo eléctrico definido por E(x,y,z) = 2x î + 2y ĵ + 2z . Calcule el flujo eléctrico a través de S.

∧

k

17. Sea F el campo de velocidad de un fluido descrito por smjy)z,y,x(F

∧= . Calcule cuántos

metros cúbicos de fluido están cruzando por la superficie x2 + z2 = y , 0 ≤ y ≤ 1 en la dirección en que y crece.

18. Calcule el flujo de F(x,y,z) = î + ĵ + z(x2+y2)2 a través de la superficie del cilindro x∧

k 2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1. 19. (a) Un fluido uniforme (lluvia fuerte) cae verticalmente, y se describe por el campo

vectorial F(x,y,z) = - . Calcule el flujo total a través de la superficie cónica ∧

k 22 yxz += , x2 + y2 ≤ 1.

(b) Debido a un fuerte viento, la lluvia cae de lado, de modo que forma un ángulo de 45°

con el plano, y se describe por ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

22,0,

22)z,y,x(F . ¿Cuál es ahora el flujo a través

de la superficie S? 20. Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z) de una región R está dada por una función T ∈ C1. El campo vectorial ∇T(x,y,z) se llama gradiente de temperatura y bajo ciertas hipótesis físicas ∇T(x,y,z) es proporcional a la dirección de flujo de calor por unidad de área en (x,y,z). Si

T(x,y,z) = x2 + y2 para x2 + y2 ≤ 4, calcule el flujo total de calor a través de la superficie cilíndrica x2 + y2 = 1 , 0 ≤ z ≤ 1.

21. Sea F el campo gradiente del potencial Newtoniano 222 zyx

1)z,y,x(f++

= . Demuestre que

la circulación de F es cero en la vecindad de todo punto de dominio de F. 22. Sea F(x,y,z) = x2î + (2xy + x)ĵ . Sea C la circunferencia x2 + y2 = 1 y S el disco x2 + y2 ≤ 1 en el plano z = 0. (a) Calcule el flujo de F hacia afuera de S. (b) Determine la circulación de F alrededor de C. (c) Halle el flujo de ∇×F. Verifique el teorema de Stokes en éste caso.

23. Sea un fluido con un campo de velocidad F(x,y,z) = xyî + yzĵ + xz . ¿Cuál es la circulación alrededor del círculo unitario en el plano xy? De una interpretación al valor calculado.

∧

k

24. Sea F(x,y,z) = -yî + xĵ (a) Demuestre que F es irrotacional.

(b) Suponga que F representa en el campo de velocidad de un fluido. Demuestre que si colocamos un corcho en este fluido, girara en un plano paralelo al plano xy en una trayectoria circular alrededor del eje z. (c) ¿En cuál dirección girará el corcho?

25. Sea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−= 2222 yxx,

yxy)y,x(F

(a) Demuestre que F es un campo gradiente. (b) Calcule la circulación de F en torno a un círculo C: x2 + y2 = a2 en sentido antihorario. (c) ¿Es F irrotacional en el interior del círculo C? (d) ¿Es F incompresible en el interior del círculo C? 26. Evalúe la integral donde S es la parte de la superficie de la esfera definida por

x

∫ •×∇S

dSF

2 + y2 + z2 = 1 , x + y + z ≥ 1 y F = × ( î + ĵ + ) , donde →

es el vector de posición. →r

∧

k r

27. ∧

θ= ur2B [Teslas] representa una densidad de flujo magnético en coordenadas cilíndricas.

Calcule el flujo magnético [Webers] que cruza la superficie plana definida por ∫ •=φS

dSB

25r

21

≤≤ [metros] , 0 ≤ z ≤ 2 [metros].

28. Dada la densidad de corriente ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡φ=

∧

θ 22

3

mAucos

r10J en coordenadas esféricas. Calcule la

corriente que atraviesa la franja cónica ∫ •=S

dSJI4π

=φ , 0.001 ≤ r ≤ 0.008 m.

29. En cada uno de los siguientes casos siguientes obtenga el valor de la integral de superficie evaluando una integral triple (Use el teorema de Gauss).

(a) Demuestre que = 0 donde F(x,y,z) = î + ĵ + y ∂Ω∫Ω∂

• dSF∧

k es la superficie del cubo:

Ω = { (x,y,z) / 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1}.

(b) Calcule que , donde F(x,y,z) = î + ĵ + z(x∫Ω∂

→• dAnF 2 + y2)2 y ∂Ω es la superficie del

cilindro: Ω = { (x,y,z) / x

∧

k

2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1}.

30. La intensidad de campo magnético H, medida en mA , producido por un filamento de corriente

a lo largo del eje z es: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

π=

∧∧

220

yxjxiy

2IH . Demuestre que la densidad de corriente J = ∇ × H es

nula en todo punto.

31. Dada la densidad de corriente J = 103 senφ 2mA en coordenadas esféricas. Calcule la corriente

que atraviesa la concha esférica de radio r = 0.02 m. ∫ •=S

dSJI

32. Un conductor cilíndrico de radio r0 = 1 cm tiene un campo interno

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∧

θ mAuarcos

arsenar

a1

r10H 2

4

, 0r2

a π= . Calcule la corriente total I.

Ayuda: Use la ley de Ampere ( )∫∫ •×∇=•=S

dSHdlHI .

33. Dado el campo vectorial F y S la frontera de la región Ω, verifique el teorema de la divergencia de Gauss en cada uno de los siguientes casos siguientes:

(a) F(x,y,z) = (x+z)î + (y+z)ĵ + (x + y) ; Ω = { (x,y,z) / 0 ≤ y∧

k 2 + z2 ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ 2}.

(b) →→

= rr)z,y,x(F donde = xî + yĵ + z y S la superficie x→r

∧

k 2 + y2 + z2 = a2.

34. Suponga que S y Ω satisfacen las condiciones del teorema de la divergencia de Gauss, demuestre que:

(a) Si es el vector posición, entonces el volumen de Ω puede ser calculado mediante la fórmula:

→r

∫→→

•=S

dSnr31V

(b) Si es un vector constante, entonces . →

0r 0dSnrS

0 =•∫→→

35. Verifique el teorema de Stokes en cada uno de los casos siguientes:

(a) F(x,y,z) = 2yî - zĵ + 3 ; S es la superficie del paraboloide z = 4 – x∧

k 2 – y2 que se encuentra dentro de la superficie cilíndrica x2 + y2 = 1.

(b) F(x,y,z) = x2î + y2ĵ + z2 ∧

k ; S es la superficie del cono 22 yxz += acotada por el plano z = 1.

(b) F(x,y,z) = xy2î + yz2ĵ + zx2 ∧

k ; S es la superficie del triángulo con vértices (1,0,0) , (0,2,0) y (0,0,3).

evfc/09-05.