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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
4º ECONOMÍA
Microeconomía Superior
Tema 4 : Elección bajo incertidumbre
Prof. Juan Gabriel Rodríguez
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
“La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia”
A. Einstein
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Incertidumbre
conceptos axiomas sobre el consumidor restricciones sobre la estructura de las
funciones de utilidad
Aparecen nuevos:
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Conceptos
Estados de la naturaleza
Ejemplo
Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={Rep, Dem}
o quizás como:
={Rep, Dem, Ind}
Ejemplo
Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={Rep, Dem}
o quizás como:
={Rep, Dem, Ind}
probabilidades { | }
consumo contingente { }
Un vector de consumo sobre el espacio
Un vector de consumo sobre el espacio
ex ante antes de la realización
ex post después de la realización
Otro ejemplo
Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={sol, lluvia}
o quizás como:
={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}
Otro ejemplo
Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={sol, lluvia}
o quizás como:
={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}
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Distinción ex ante/ex post
tiempo
Momento en el que se revela el estado de la naturaleza
Momento en el que se revela el estado de la naturaleza
Las decisiones se realizan aquí
Las decisiones se realizan aquí
La visión ex ante
La visión ex post
“Momento de la verdad”
La línea del tiempo
Abanico de estados posibles (
Abanico de estados posibles (
Sólo un estado se realiza
Sólo un estado se realiza
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Un enfoque simplificado
El espacio de los estados es finito
Se simplifica si los planes de consumo son escalares
El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza es x (un número real)
Ejemplo: el caso bidimensional
Tomamos = {ROJO,AZUL}
Representación gráfica...
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Espacio de los estados (=2)
AZUL
ROJOO
Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza
Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados
Y0 r
esu
ltado
si
ocu
rre
AZ
UL
resultado si ocurre ROJO
45°
Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados
Consu
mos
con
certi
dumbre
per
fecta
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Preferencias
El espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces... ...en vez de n bienes tenemos n N bienes
La teoría del consumo se puede aplicar:
Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación
veamosveamos
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Axiomas
’
|
Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos.
Dada una lotería L= (1, L’; 1,2),
donde L’= (1, 2; 1’, 2’). Entonces:
(1, L’; 1, 2) ~ (1, 2; 1+ 2 1’, 2 2’).
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Ejemplo
Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5)
Es indiferente a (100,50;0.75,0.25)
Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…
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Axiomas
CompletitudTransitividadContinuidadMonotoníaDominancia estocásticaConvexidad (estricta)Diferenciabilidad Independencia
Aseguran la existencia de una función de utilidad
Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia
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Preferencias
sus probabilidades
Los consumos contingentes
{| }
Se establecen sobre:
Si entonces se establecen sobre:
(1, 2; 1, 2)
En lo que sigue, es un número real
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Completitud
’
’|
Dados cualesquiera (1, 2; 1, 2) y (1’, 2’;1’, 2’).
Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1’, 2’)
ó (1’, 2’; 1’, 2’) (1, 2; 1, 2)
ó (1, 2; 1, 2) ~ (1’, 2’; 1’, 2’)
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Transitividad
’ ’’
’’’|
Dados (1,2;1, 2), (1’,2’; 1’,2’) y (1’’,2’’;1’’,2’’):
si (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1’, 2’) y
(1’, 2’; 1’, 2’) (1’’, 2’’; 1’’, 2’’)
Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’’, 2’’; 1’’, 2’’)
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Continuidad
AZUL
ROJOO
Preferencias no contínuas
Y0
Imponemos continuidad
huecoshuecosno huecos
no huecos
Un plan de consumo contingente Y0
E
Buscamos el punto E, posible gracias a continuidadLa renta se conoce como el equivalente de certeza de Y0
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Monotonía (débil)
’|
D a d o s c u a le s q u ie ra ( 1 , 2 ; 1 , 2 ) y ( 1 ’, 2 ’; 1 , 2 )c o n 1 > 1 ’ y 2 2 ’ . E n to n c e s :
(1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1, 2)
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Monotonía (débil)
’|
D a d o s c u a le s q u ie ra ( 1 , 2 ; 1 , 2 ) y ( 1 ’, 2 ’; 1 , 2 )c o n 1 > 1 ’ y 2 2 ’ . E n to n c e s :
(1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1, 2)
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Monotonía
AZUL
ROJOO
El plan de consumo contingente Y1 es estrictamente preferido a Y0 tanto por monotonía estricta como débil
Y1
Y0
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Dominancia estocástica
’
|
Dados cualesquiera (1, 2;1, 2) y (1, 2; 1’, 2’)si 1> 2 y si 1’> 1 (y 2’< 2) . Entonces:
(1, 2; 1’, 2’) (1, 2; 1, 2)
Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)
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Convexidad (estricta)
’|
Dados dos arbitrarios (1, 2;1, 2) ~ (1’, 2’; 1, 2)
(1’’, 2’’) =(t 1+(1-t) 1’, t 2+(1-t) 2’)
(1’’, 2’’; 1, 2) (1, 2; 1, 2) ~ (1’, 2’; 1, 2)
t
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Una función de utilidadu
0
U(x1,x2)
x2
x1
Curva de indiferencia
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Otra función de utilidad que representa las mismas preferenciasu
0
U*(x1,x2)
x2
x1
La misma curva de
indiferencia
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Convexidad (estricta)
AZUL
ROJOO
Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 e Y1
Y0
Y1
Puntos en el interior de la línea Y0Y1 representan una combinación de Y0 y Y1
Y2 representa un menor riesgo
Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 e Y1
Y2
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Independencia
Sean L, L’, L’’ tres loterias diferentes y (0,1), entonces:
L L’ L + (1-)L’’ L’ + (1-)L’’
La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes
Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades
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Axiomas
Dados los axiomas anteriores:
Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern:
donde u(es una función creciente, independiente del estado
U( u
U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias
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Paradoja de Allais
Juego 1. Probabilidad 1 de recibir 1 millón.Juego 2. Probabilidad 0,1 de recibir 5 millones, 0,89 de recibir 1
millón y 0,01 de recibir 0.
Juego 3. Probabilidad 0,11 de recibir 1 millón y 0,89 de recibir 0.Juego 4. Probabilidad 0,10 de recibir 5 millones y 0,90 de recibir 0.
Si elijes 1 y 4 o 2 y 3…eres…
¡¡¡IRRACIONAL!!!
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U
U(x)
X (riqueza)
Actitudes frente al riesgo
u( x1 )
x1 x2
u(x2)
E(L)
u(E(L))
U(L )
wc
Cantidad que estamos
dispuestos a sacrificar para
eliminar el riesgo
Cantidad que estamos
dispuestos a sacrificar para
eliminar el riesgo
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Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM
x2
x1O
¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º?
Una típica CI
Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º
)()1()()( 21 wuwuLU
¿RMS?
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Aversión al riesgo
Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo:
)('
)(''
wu
wuRA
Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión relativa al riesgo:
wwu
wuRA )('
)(''
Algunos casos de interés…
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La prima de riesgo
La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado
Una aproximación de PR:
2)('
)('' 2xu
xuPR
El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo
Depende de:
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Modelo de Cartera
2 periodos 2 activos: seguro e incierto Riqueza w X activo incierto y w-X activo seguro (0 ≤ X ≤ w)
Rendimiento activo incierto e (variable aleatoria): e1 y e2
Rendimiento activo seguro r, donde asumimos e1 > r > e2
¿Cuál será la demanda del cada activo?
La riqueza del periodo 2 :
w1 = X(1+e1)+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e1-r)
w2 = X(1+e2)+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e2-r)
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Modelo de Cartera
re
wrwX
1
1 )1(
11
2
1
212 )1( w
re
rew
re
eerw
Problema del inversor: Max u(w1)+(1- )w2
s.a.
11
2
1
212 )1( w
re
rew
re
eerw
Si el individuo invierte una cantidad positiva en cada activo (solución interior) y aversión al riesgo: w1
* y w2* se resuelven utilizando la
expresión para w2 y la RMS.