universid ad de sevilla - hercules.us.eshercules.us.es/~mbilbao/pdffiles/tesisan.pdf · te, al grup...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Departamento de Matemática Aplicada II
VALORES
PARA JUEGOS SOBRE
ESTRUCTURAS COMBINATORIAS
Andrés Jiménez Losada
Tesis Doctoral
Memoria presentada por Andrés Jiménez Losada
para optar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas por la
Universidad de Sevilla.
Vo Bo de los Directores:
Fdo: J. Mario Bilbao Arrese Fdo: Esperanza Lebrón Rueda
Sevilla, Noviembre de 1998
Quiero hacer constar mi más sincero agradecimiento a todos los profesores
del Departamento de Matemática Aplicada II por el ánimo y apoyo recibidos
y, especialmente, al Grupo de Investigación de Teoría de Juegos. Así mismo,
y sobre todo, destacar la labor de los directores de esta memoria, J.Mario
Bilbao Arrese y Esperanza Lebrón Rueda.
A mi mujer e hija
Índice
Introducción 3
1 Juegos sobre Estructuras Combinatorias 17
1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Matroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides 43
2.1 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 El Valor de Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 El Índice de Banzhaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 El Valor de Tijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Un Modelo para Juegos sobre Matroides 75
3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango . . . . . . . . . 81
4 Valores sobre Matroides 93
4.1 Valores �-Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 Valores de Grupo Estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos . . . . . . . 119
1
2 ÍNDICE
5 Valores de Shapley para Matroides 145
5.1 Valores Estáticos de Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Valores Dinámicos de Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Referencias 181
Introducción
Los fundamentos de la teoría de juegos se deben a John von Neumann [56],
quien en 1928 demostró el teorema del minimax. Esta teoría matemática
quedó establecida con el tratado de von Neumann y Oskar Morgenstern,
Theory of Games and Economic Behaviour [57], publicado en 1944. En este
libro, se introdujo el concepto de juego cooperativo como una situación en
la que varios agentes (llamados jugadores) persiguen alcanzar un objetivo
común y los bene�cios (o costes) de la cooperación tienen que ser divididos,
diferenciándose de los denominados juegos no cooperativos, basados en el
hecho de analizar las estrategias posibles que puede realizar cada jugador.
Inicialmente, en la noción de juego cooperativo, se presuponía que los
jugadores tienen una medida común de la utilidad (dinero), que puede ser
libremente transferida entre ellos. Esta idea, que conduce a la noción de juego
cooperativo de utilidad transferible, fue más tarde extendida por Aumann al
considerar juegos donde no necesariamente se cumple esta premisa (juegos de
utilidad no transferible). En la actualidad la teoría de juegos cooperativos se
aplica en distintas áreas de conocimiento como pueden ser la Investigación
Operativa, Teoría de Decisión, Ciencias Políticas y Económicas, Derecho y
Localización.
El trabajo de investigación que se presenta se enmarca en la primera
clase de juegos cooperativos. En esta introducción se expondrán aquellos
conceptos y resultados de esta teoría que han de ser utilizados a lo largo de
la misma. Por otra parte, se realizará un breve recorrido histórico por el
3
4 Introducción
discurrir de las investigaciones en el campo de la cooperación parcial, con el
objetivo de señalar el punto de partida de esta tesis. Además, se incluye un
sumario de los contenidos de los diferentes capítulos.
Un juego cooperativo de utilidad transferible, o juego en forma de función
característica, es un par (N; v) donde N = f1; : : : ; ng es un conjunto �nito
cuyos elementos se denominan jugadores y, v : 2N �! R una aplicación sobre
el conjunto de los subconjuntos de N tal que v (;) = 0: Cada subconjunto
S de N es una coalición y v (S) el valor de la coalición S en el juego. Es
habitual identi�car, siempre que no haya lugar a confusión, cada juego (N; v)
con la función v, denominada función característica del juego. La clase de
juegos cooperativos con conjunto de jugadores N se denotará � (N).
Las diferentes propiedades que puede tener la función característica v
de un juego cooperativo (N; v) dan lugar a distintos tipos de juegos. Un
juego v es monótono si para cualesquiera coaliciones S; T 2 2N ; S � T;
se veri�ca v (S) � v (T ). Si, además, v sólo toma valores en el conjunto
f0; 1g ; entonces el juego es simple. En un juego simple, una coalición S es
ganadora si v (S) = 1; en otro caso, es perdedora. Una clase importante de
juegos simples, por su utilización en el estudio de sistemas de representación
electoral, son los juegos de votación ponderada. En ellos, se supone que cada
jugador i tiene un número de votos !i; por lo que cada coalición S dispone
en total de ! (S) =P
i2S !i votos: Así, se de�ne la función característica de
un juego de votación ponderada en la forma
v : 2N �! R; v (S) =
(1; si ! (S) � q
0; en otro caso,
donde q > ! (N) =2; representa la cuota que ha de alcanzar una coalición
para ser ganadora.
Se dice que v es un juego superaditivo si v (S [ T ) � v (S) + v (T ) ; para
toda S; T � N con S \T = ;: Una clase especial de juegos superaditivos son
la llamados juegos convexos, introducidos por Shapley. Un juego v se dice
Introducción 5
que es convexo cuando la función v es supermodular, esto es,
v (S [ T ) + v (S \ T ) � v (S) + v (T ) ; para todo S; T � N:
Las nociones de juego subaditivo y submodular se obtienen de las anteriores
al invertir en ellas el sentido de las desigualdades.
El conjunto de juegos � (N) es un espacio vectorial de dimensión 2n � 1;
respecto de las operaciones habituales de suma y producto por un escalar.
Dos de sus bases más simples son las formadas por los juegos de unanimidad
y por los juegos de identidad. Dada una coalición no vacía S, el juego de
unanimidad �S y el juego de identidad �S están de�nidos por:
�S (T ) =
(1; si T � S
0; en otro caso; �S (T ) =
(1; si T = S
0; en otro caso.
Uno de los principales tópicos tratados en la teoría de juegos cooperativos
es, dado un juego v; estudiar cómo se puede repartir el bene�cio de la coo-
peración v (N) entre los jugadores si la gran coalición N se forma. Por ello,
en el sentido más amplio, se llama solución o concepto de solución sobre una
colección no vacía G de juegos, G � � (N) ; a toda aplicación que asocia
a cada juego v de dicha colección un conjunto (v) de vectores x 2 RN :
Cada vector x 2 RN se denomina distribución o vector de pagos ya que la
coordenada xi representa el pago al jugador i, y una propiedad exigible a
todo concepto de solución es que éste asocie a cada juego v un conjunto de
vectores con la propiedad de e�ciencia:P
i2N xi = v (N) : En particular, se
denomina valor a toda solución que asocia a cada juego un único vector de
pagos. Por otra parte, los valores de�nidos sobre la clase de juegos simples
se denominan índices, siendo éstos de gran utilidad en la teoría de decisiones
y en sistemas de votación.
El valor más conocido es el valor de Shapley, introducido por Lloyd Sha-
pley [47] en 1953. El valor de Shapley � (v) 2 RN de un juego v 2 � (N)
es una media ponderada de las contribuciones marginales de los jugadores a
6 Introducción
las distintas coaliciones. En concreto, el valor de Shapley de v está de�nido
mediante la siguiente expresión
�i (v) =X
S�Nnfig
(n� s� 1)!s!
n![v (S [ fig)� v (S)] ; para todo i 2 N;
donde s = jSj.
Otra manera de introducir el valor de Shapley se basa en el siguiente
modelo. Se supone que los jugadores entran en una habitación de uno en
uno siguiendo un orden aleatorio �: Entonces, se admite que cada jugador i
obtiene como ganancia la diferencia entre el valor de la coalición Si (�) que
ya estaba formada y el de la nueva Si (�) [ fig que se forma con su incorpo-
ración. Finalmente, se ofrece a cada jugador la media de sus contribuciones
marginales correspondientes a todos los posibles órdenes del conjunto N de
jugadores. Esto es,
�i (v) =1
n!
X�2
[v (Si (�) [ fig)� v (Si (�))] ; para todo i 2 N
donde es el conjunto de todas las ordenaciones posibles de N:
Shapley justi�có su elección indicando requisitos que debería cumplir una
solución razonable y demostrando que, el valor de Shapley, es el único valor
sobre � (N) que veri�ca los siguientes axiomas:
Axioma de linealidad. Si v,w 2 � (N) ; entonces
� (�v + �w) = �� (v) + �� (w) ; para todo �; � 2 R.
Axioma del jugador dummy. Si i 2 N es un jugador dummy en un juego
v 2 � (N) ; es decir, v (S [ fig) � v (S) = v (fig) para todo S � N n fig ;
entonces
�i (v) = v (fig) :
Axioma de e�ciencia. Para todo v 2 � (N) ;Xi2N
�i (v) = v (N)
Introducción 7
Axioma de simetría. Para cada permutación � del conjunto N;
��i (�v) = �i (v) ; para todo i 2 N;
donde �v es el juego de�nido por �v (�S) = v (S) ; para todo S � N .
Una recopilación de los numerosos estudios que sobre el valor de Shapley
se han hecho desde su invención, se encuentra en el libro en honor de Shapley,
The Shapley Value, editado por Alvin E. Roth en 1988, y con la participación
de numerosos autores. Varios capítulos de dicho libro se utilizan como refe-
rencia en este trabajo.
En 1954, Shapley y Martin Shubik [49], proponen aplicar el valor de
Shapley a la clase de juegos simples. El resultado, conocido como índice
de Shapley-Shubik, tiene como �nalidad medir la in�uencia de los votantes
en los sistemas de votación. Dicho índice está caracterizado por veri�car
los axiomas de e�ciencia, jugador dummy, simetría y transferencia. Este
último indica que las componentes del índice de Shapley-Shubik son funciones
modulares sobre el retículo de juegos simples.
Otra forma de analizar cómo el voto de un jugador afecta al resultado
�nal de una votación, fue introducida por el abogado John F. Banzahf III [4]
en 1965. El índice de Banzhaf de un jugador i cuenta el número de veces en
que dicho jugador es un votante swing (convierte a una coalición perdedora S
en otra S [ fig ganadora). La versión más utilizada es el índice normalizado
que, en términos de contribuciones marginales, se expresa en la forma
�i (v) =X
S�Nnfig
1
� (v)[v (S [ fig)� v (S)] ; para todo i 2 N;
donde � (v) es el número total de swings que se producen en el juego v.
Posteriormente Dubey y Shapley [17], en 1979, ofrecen una versión pro-
babilística del índice de Banzhaf tomando, en este caso, la probabilidad de
producción de un swing. Este nuevo concepto es capaz de diferenciar juegos
con distintas capacidades de construcción de swings pero con los mismos
8 Introducción
índices normalizados. La formulación del índice de Banzhaf probabilístico es
�i (v) =X
S�Nnfig
1
2n�1[v (S [ fig)� v (S)] ; para todo i 2 N:
Los axiomas que caracterizan al índice probabilístico son los mismos que
se toman para el índice de Shapley-Shubik pero, sustituyendo la e�ciencia
tradicional por un reparto del número total de probabilidades de swing en el
juego, llamado axioma de totalidad.
Stra�n [52] ofrece un análisis de las diferencias y similitudes entre los
índices de Shapley-Shubik y Banzhaf. Sus observaciones sugieren cómo adap-
tar estos métodos para construir nuevos índices para situaciones particulares.
Weber [59], en 1988, agrupa los valores que veri�can los axiomas más
habituales desde el punto de vista individual en los denominados valores
probabilísticos: El valor de Shapley y la versión probabilística del valor de
Banzhaf, considerados como valores individuales, pertenecen a la clase de
valores probabilísticos. En dicho trabajo, se examina paso a paso cómo in-
tervienen los axiomas lógicos individuales en la formulación de dichos valores.
También se introducen axiomas que persiguen la construcción de valores de
grupo, teniendo como referencia la formación natural del valor de Shapley.
Otro grupo de valores de más reciente creación son los valores de compro-
miso, donde no se desea dar a los jugadores una esperanza de pago sino
conseguir un compromiso entre ellos para el reparto real de la cantidad
disponible. Destaca el valor de Tijs creado por Tijs [53] en 1981 y desa-
rrollado por Driessen y Tijs [16], Tijs y Otten [54], entre otros. Dado un
juego v 2 � (N) ; se construyen los vectores M (v) y m (v) como aquéllos de
coordenadas
Mi (v) = v (N)� v (N n fig) ;
mi (v) = maxfS�N :i2Sg
24v (S)� Xj2Snfig
Mj (v)
35 ;
Introducción 9
para todo i 2 N: Entonces, trabajando en la clase de juegos quasiequili-
brados�tales que m (v) �M (v) y
Pi2N mi (v) � v (N) �
Pi2N Mi (v)
�, el
valor de Tijs para un juego v, denotado por � (v) ; es el único vector del
segmento de extremos m (v) y M (v) que veri�ca la propiedad de e�ciencia.
Aunque las soluciones de conjunto (aquéllas que ofrecen más de un vec-
tor de pago para cada juego) no son objeto de estudio en este trabajo, se
introduce seguidamente el concepto de core, por utilizarse en el desarrollo
del capítulo tercero. El core de un juego v, cuando éste es submodular, es el
conjunto
Core (v) =
(x 2 R
N :Xi2N
xi = v (N) ;Xi2S
xi � v (S) ; 8S � N
):
Un estudio bastante completo de esta noción, introducida por Gillies en 1953,
y su relación con otras soluciones puede verse en Driessen [15].
Del modelo inicial de juego cooperativo anteriormente expuesto, donde se
supone que cada subgrupo de jugadores puede unirse formando una coalición,
se ha ido evolucionando a modelos más generales que puedan contemplar
di�cultades en la cooperación. En opinión de Harsanyi y Selten [24], existen
importantes clases de juegos intermedios entre la cooperación total y la no
cooperación.
Una de las primeras aproximaciones al problema de la cooperación par-
cial es el modelo de Aumann y Maschler [2] sobre juegos con estructura de
coalición. Se entiende por estructura de coalición toda partición en coali-
ciones, B = fB1; : : : ; Bkg ; del conjunto N de jugadores; y, en dichos juegos,
se supone que sólo los jugadores de una misma coalición de la estructura
pueden coaligarse. Posteriormente Aumann y Dréze [1] introducen axiomáti-
camente el concepto de valor de un juego restringido por una estructura de
coalición.
El estudio de valores para estructuras de coalición se ha desarrollado
en numerosos trabajos como los de Owen [45], Hart y Kurtz [26], Levy y
10 Introducción
Mc Lean [33], Winter [63], [64] y Mc Lean [35]. Todos ellos consideran la
estructura de coalición dada de forma exógena, mientras que los trabajos de
Shenoy [50], Hart y Kurtz [25], Kurtz [32] se plantean la formación endógena
de coaliciones.
Puesto que las estructuras de coalición sólo explican modelos transitivos
y disjuntos en la relación entre jugadores, Myerson [37] en 1977 propone un
nuevo punto de vista para modelar la cooperación parcial. Dado un juego
(N; v) ; se considera asociado a él un grafo G cuyo conjunto de vértices es N y
cuyo conjunto de aristas no ordenadas E determina las relaciones bilaterales
entre los jugadores. Entonces, se dice que una coalición es factible si dados
dos elementos cualesquiera de la misma, existe un camino en el grafo que
los relaciona y que está completamente incluido en dicha coalición. Pasa
así a representarse un juego mediante una terna (N; v;G) donde G es el
grafo de cooperación. La existencia de coaliciones factibles y de otras que no
lo son obliga a que la función característica del juego (N; v) tenga que ser
modi�cada. La función característica del juego restringido por el grafo de
cooperación se de�ne mediante
vG (S) =X
T2�(S)
v (T ) ;
siendo � (S) la partición de S en componentes conexas del subgrafo inducido
por la coalición S. A la terna (N; v;G) se le llama situación de comunicación.
El valor de Myerson de la situación de comunicación (N; v;G) ; denotado
por � (N; v;G) ; es el valor de Shapley para el juego�N; vG
�restringido por
el grafo, es decir, � (N; v;G) = ��N; vG
�:
Numerosos trabajos han continuado esta línea de investigación planteada
por Myerson. Entre ellos cabe citar los de Owen [46], van den Nouweland
y Borm [40], Carreras [13] y van den Nouweland [39]. Por otra parte, la
formación endógena de coaliciones en situaciones de comunicación ha sido
estudiada por Aumann y Myerson [3]. Recientemente, otros modelos que
guardan una estrecha relación con el planteado inicialmente por Myerson, en
Introducción 11
tanto que las relaciones entre los jugadores se modela mediante un grafo no
dirigido, son analizados por Bergantiños, Carreras y García Jurado [5], Calvo
y Lasaga [12].
En 1980, el propio Myerson [38] plantea la necesidad de extender su mo-
delo a hipergrafos de comunicación. La idea que apunta, y que recogen van
den Nouweland, Borm y Tijs [41], es que se debería tender a considerar un
marco más amplio aún de cooperación. Conectando con esta idea, Bilbao [7]
y López [34], en 1996, comienzan a desarrollar modelos de cooperación parcial
basados en los denominados sistemas de coaliciones factibles y sistemas de
partición, que pretenden generalizar las situaciones de comunicación. Los
sistemas de coaliciones factibles son colecciones F de subconjuntos de N que
contienen al vacío y a las coaliciones unitarias. Los sistemas de partición son
casos particulares de los anteriores, donde es necesario que cualquier coalición
pueda expresarse mediante unión disjunta de coaliciones factibles maximales
contenidas en ella.
Al considerar una terna (N; v;F) en la que (N; v) es un juego de utilidad
transferible y (N;F) es un sistema de coaliciones factibles o un sistema de
partición, los correspondientes juegos restringidos por el sistema F están
de�nidos, para toda S � N; de la siguiente forma:
evF (S) = maxnX
v (Si) : fSig 2 PF (S)o;
vF (S) =XSi2�S
v (Si) ;
donde PF (S) es el conjunto de las posibles particiones de S en coaliciones
factibles, y �S constituye la partición de S en coaliciones factibles maximales
contenidas en S:
Éste y otros trabajos, como los de Faigle [21], Faigle y Kern [22] y Kuipers
[31], abren una nueva línea de investigación en la que se pone de mani�esto
el interés de de�nir la función característica de un juego sólo sobre las coa-
liciones que se consideren factibles. En esta dirección se encuentran los tra-
bajos de Bilbao [8] y Bilbao y Edelman [9], los cuales introducen una nueva
12 Introducción
estructura combinatoria en la teoría de juegos, las denominadas geometrías
convexas, y estudian el valor de Shapley para juegos de�nidos sobre éstas.
Una geometría convexa se de�ne como un operador clausura que veri�ca una
propiedad de anticambio equivalente a la propiedad �nita de Minkowski-
Krein-Milman. En esta misma línea, Jiménez [28] analiza juegos sobre espa-
cios de clausura, entre los que se encuentran las geometrías convexas como
un caso particular, estudiando diferentes conceptos de solución para estos
juegos y, en especial, la clase de los juegos simples. Un espacio de clausura
es un sistema de coaliciones donde la intersección es una operación cerrada.
También, dentro de este contexto de cooperación parcial, Bilbao, Lebrón y
Jiménez [11] obtienen una caracterización axiomática del valor de Shapley
para juegos sobre geometrías convexas como conclusión de un análisis de los
valores probabilísticos.
El trabajo que se presenta continúa esta última línea de investigación,
y tiene por objetivo el estudio de valores en determinadas estructuras com-
binatorias. Se pueden apreciar dos grandes bloques en cuanto al desarrollo
de los tópicos que se tratan. Por un lado, se prosigue la línea iniciada por
Bilbao [8] sobre juegos de�nidos en geometrías convexas, extendiendo a dicha
estructura los valores de Banzhaf y Tijs. Además, se abarca el estudio de los
juegos de�nidos sobre antimatroides, considerando la estrecha relación entre
ambas nociones. En el otro bloque, constituido por los tres últimos capítulos
de esta memoria, se introduce otro modelo de cooperación parcial en el que
las relaciones entre los jugadores vienen determinadas por un matroide. Esto
lleva a considerar dos versiones de un mismo modelo de juegos, para cada
uno de los cuales se proponen diferentes soluciones.
A continuación se detalla el contenido de los cinco capítulos de que consta
esta memoria.
En el capítulo primero, se modela la cooperación parcial de�niendo la
función característica del juego sólo sobre las coaliciones factibles. Una fa-
milia de coaliciones factibles o sistema de coaliciones no tendrá, en este caso,
Introducción 13
ninguna restricción salvo la propiedad técnica de contener al vacío. Cualquier
sistema de coaliciones se puede considerar como un conjunto parcialmente or-
denado y, de ahí, que la primera sección del capítulo se dedique a recordar
aquellas nociones de interés sobre los conjuntos parcialmente ordenados. En
la segunda sección, tras introducir formalmente el concepto de juego de uti-
lidad transferible sobre un sistema de coaliciones, se estudia la estructura
de espacio vectorial del conjunto de estos juegos y, en particular, se analiza
la clase de juegos simples. Se consideran, en las dos últimas secciones, tres
tipos concretos de sistemas de coaliciones. Aquéllos que tienen estructura
de geometría convexa o de antimatroide son introducidos en la sección ter-
cera. En ella se exponen las propiedades fundamentales de estos sistemas
de coaliciones, comentadas en términos de juegos, y se observa la estrecha
relación entre ellos. Otra visión diferente de cómo puede venir determinada
la cooperación entre los jugadores, la ofrece la estructura de matroide, cuyos
conceptos más relevantes se tratan en la última sección del capítulo.
El capítulo segundo, titulado Valores Clásicos sobre Geometrías y Anti-
matroides, está dedicado al estudio de los valores de Shapley, Banzhaf y Tijs
en dichos sistemas de coaliciones. En el desarrollo de este capítulo se utiliza
como herramienta fundamental, el isomor�smo existente entre los conjuntos
de juegos sobre geometrías y antimatroides, que se considera en la sección
primera. La posibilidad de asociar a cada juego de�nido sobre una geometría
convexa otro de�nido sobre su antimatroide dual, permite relacionar los di-
ferentes valores en ambas estructuras. En la segunda sección, teniendo como
referencia la caracterización axiomática del valor de Shapley dada por Bil-
bao [8] para geometrías convexas, se introduce el correspondiente valor en
antimatroides. La sección tercera se dedica a de�nir el índice de Banzhaf
en ambas estructuras, observando, nuevamente, la importancia del operador
dual. Por último, en la cuarta sección se comienza extendiendo el valor de
Tijs a la estructura de antimatroide, considerando antimatroides coatómicos.
Este tipo de antimatroides ofrecen la posibilidad de trasladar de forma au-
tomática la construcción original de dicho valor y, en ellos, se consigue una
14 Introducción
de las habituales caracterizaciones sobre la clase de juegos quasiequilibrados.
Por otro lado, la dualidad entre los antimatroides coatómicos y geometrías
convexas atómicas, da pie a proponer un valor de Tijs para este último tipo
de estructura.
Comienza en el capítulo tercero la parte dedicada a juegos sobre ma-
troides. Este capítulo establece, en la primera sección, un modelo según
el cual se pueden desarrollar juegos de�nidos sobre un sistema donde no es
factible la gran coalición y además, a diferencia de las estructuras de coalición,
las coaliciones maximales no son disjuntas. Se contempla que en el discurrir
de un juego se dan dos posibilidades: o bien los jugadores se unen determi-
nando una única coalición factible maximal, o bien se van organizando en
coaliciones factibles que ocasionan una partición del conjunto de jugadores.
En la segunda y última sección se introduce el concepto de in�uencia. La
noción de in�uencia de una coalición pretende re�ejar la capacidad que tiene
cada coalición de in�uir en la dinámica del juego. Se comprueba que su
de�nición avala esta idea cuando se estudia su relación con el core de un
juego vinculado a la estructura y generado por un elemento clásico del ma-
troide, su función rango.
En el capítulo cuarto, siguiendo el trabajo de Weber [59], se profundiza
sobre los axiomas exigibles a un valor para juegos sobre matroides pensa-
dos bajo el modelo del capítulo anterior. La primera sección examina los
axiomas desde el punto de vista individual, investigando su aportación a la
formulación del valor. Este estudio individual puede servir para los dos tipos
de juegos que se tratan, tanto para juegos estáticos como dinámicos, y desem-
boca en una familia de valores denominados valores �-ponderados. Cuando
se exigen axiomas de grupo hay que tener en cuenta la diferencia entre ambos
tipos de juegos. En la segunda sección se estudian la denominada propiedad
del rango y los conceptos de valor e�ciente, básico y de orden aleatorio como
axiomas de grupo válidos para un juego estático. Se determinan, para �-
nalizar la sección, qué características tienen aquellos valores que satisfacen
todas las propiedades enunciadas anteriormente, de�niendo una familia de
Introducción 15
valores de grupo. La última sección del capítulo hace lo propio con un juego
dinámico, exigiendo la propiedad de ponderación unitaria y los conceptos
de valor e�ciente, básico y de orden aleatorio en el sentido dinámico. Tam-
bién se construyen valores de grupo que veri�can estas condiciones. En el
transcurso del estudio de los valores dinámicos surgen determinados valores
cuya aplicación es sobre juegos estáticos, a pesar de veri�car la propiedad de
ponderación unitaria. Estos últimos valores se denominarán valores relativos.
El capítulo quinto se dedica al valor de Shapley para juegos sobre ma-
troides. Se tiene como referencia el concepto de poder jerárquico introducido
por Faigle y Kern [22], que utilizan para determinar el valor de Shapley en
las estructuras de precedencia. En la primera sección se de�nen valores de
Shapley desde el punto de vista estático y se obtiene una caracterización de
éstos. Se destaca el caso particular donde todas las coaliciones maximales son
equiprobables. Por último, los valores dinámicos de Shapley son examinados
en la segunda sección de forma paralela a lo realizado con los estáticos.
16 Introducción
Capítulo 1
Juegos sobre Estructuras
Combinatorias
En la introducción de esta memoria se ha planteado la necesidad de seguir
estudiando juegos cooperativos de utilidad transferible en situaciones en las
que la cooperación pueda estar sujeta a ciertas restricciones, ya que en al-
gunas aplicaciones se presentan casos intermedios entre la cooperación total
y la no cooperación. Por esta razón, se proponen aquí unos modelos en los
que las relaciones entre los jugadores están determinadas por una estructura
combinatoria (de geometría convexa, antimatroide o matroide) que expresa
reglas lógicas de comunicación entre los jugadores.
En el caso más general, la cooperación estaría modelada mediante una
familia cualquiera F de subconjuntos del conjunto �nito de jugadores N:
Así, un juego de utilidad transferible se de�nirá como una aplicación sobre
el conjunto F mediante la cual se determinan los valores que las distintas
coaliciones pueden obtener en dicho juego. En el estudio de estos juegos, son
determinantes las características de la familia F ; y, por ello, en el sentido
más amplio, serán necesarias las notaciones y propiedades de dicha familia
como conjunto parcialmente ordenado respecto de la inclusión.
En consecuencia, la primera sección de este capítulo está dedicada a pre-
sentar los conceptos, de�niciones y resultados relativos a conjuntos parcial-
17
18 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
mente ordenados que se utilizarán en esta memoria. Se seguirá para ello el
texto de Stanley [51].
En la segunda sección se de�ne formalmente el concepto de juego de utili-
dad transferible sobre una familia de subconjuntos del conjunto de jugadores,
y se estudian sus principales propiedades estructurales. Finalmente, en las
dos últimas secciones, se introducen las estructuras combinatorias objeto de
este trabajo, y se interpretan las nociones de interés en términos de juegos.
1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados
Un conjunto parcialmente ordenado es un par (P;�) donde P es un con-
junto y � una relación binaria en P que satisface las propiedades re�exiva,
antisimétrica y transitiva.
Siendo P un conjunto parcialmente ordenado mediante una relación de
orden �, pueden considerarse las siguientes nociones. Se dice que b1 2 P es
último elemento de P si x � b1 para todo x 2 P . Análogamente, se dice queb0 2 P es primer elemento de P si b0 � x para todo x 2 P .
Dados x; y 2 P; con x � y; se denomina intervalo [x; y] al conjunto
[x; y] = fz 2 P : x � z � yg :
Un conjunto parcialmente ordenado (P;�) es localmente �nito si cualquiera
de sus intervalos es un conjunto �nito.
Dos elementos x; y 2 P son comparables si x � y o bien y � x; en otro
caso, x e y son incomparables. Una cadena C de P es un subconjunto no
vacío de P en el que dos elementos cualesquiera son siempre comparables.
Se dice que una cadena C de P es una cadena maximal de P cuando no
existe otra cadena de P que la contenga. La longitud l (C) de una cadena
�nita C es l (C) = jCj � 1: Se denotará por c ([x; y]) al número de cadenas
maximales que hay en el intervalo [x; y] cuando éste se considera ordenado
1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados 19
por el orden inducido por (P;�). En particular, si P tiene primer elementob0; y x 2 P; entonces c (x) representará el número de cadenas maximales del
intervalohb0; xi.
Se dice que un subconjunto I de P es un ideal del orden de P cuando,
para todo x 2 I; se veri�ca que si y � x entonces y 2 I. En particular,
cuando x 2 P; el conjunto
hxi = fy 2 P : y � xg ;
se denomina ideal principal del orden generado por x:
Dados dos elementos distintos x; y 2 P; se dice que y cubre a x cuando
el intervalo [x; y] = fx; yg. Cuando P tiene primer y último elemento, los
átomos de P son los x 2 P que cubren a b0; los coátomos de P son los y 2 P
tales que b1 cubre a y:
Se conoce como diagrama de Hasse, de un conjunto parcialmente orde-
nado y �nito P , a un grafo cuyos vértices son los elementos de P y las aristas
vienen determinadas por la relación de cubrir.
Una cota superior de un subconjunto X; de un conjunto parcialmente
ordenado P; es un elemento a 2 P tal que x � a para todo x 2 X: Si a es
una cota superior de X para la cual el resto de cotas superiores y de X sa-
tisfacen a � y; entonces a se llama supremo de X. Análogamente se de�nen
los conceptos de cota inferior e ín�mo de X. Si en un conjunto parcial-
mente ordenado (P;�) existen el supremo y el ín�mo de cualquier pareja de
elementos de P , entonces se dice que (P;�) es un retículo. Usualmente, se
denota
a ^ b = inf fa; bg ; a _ b = sup fa; bg :
Un retículo P es completo si cualquier subconjunto suyo no vacío tiene
supremo e ín�mo en P . Se dice que un retículo P es distributivo si veri-
�ca
x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ (x _ z) ;
20 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
x ^ (y _ z) = (x ^ y) _ (x ^ z) ;
para cualesquiera x; y; z 2 P: Por otro lado, un retículo (P;�), con elementosb0 y b1, es complementado si para todo x 2 P existe y 2 P tal que x ^ y = b0y x _ y = b1. Un retículo distributivo �nito complementado se denomina
álgebra de Boole (en este caso se utilizará esta de�nición, aunque el concepto
de álgebra de Boole implica una estructura más amplia que la de retículo).
Sea P un conjunto parcialmente ordenado localmente �nito y K un cuerpo
de característica nula (normalmente R ó C ). Se dice que
f : P � P �! K
es una función de incidencia de P sobre K si f (x; y) = 0 cuando x 6� y.
Esta de�nición implica que una función de incidencia es nula sobre pares
que no constituyen intervalos de P: El conjunto de funciones de incidencia
de P sobre K se denotará por I (P; K ). Este conjunto tiene estructura de
espacio vectorial con las operaciones de suma de funciones y producto por un
escalar. Además, puede de�nirse una segunda operación interna denominada
producto o convolución de la siguiente forma
(f � g) (x; y) =X
fz:x�z�yg
f (x; z) g (z; y)
para (x; y) 2 P �P . El elemento neutro de la convolución es la función delta
de Kronecker
� (x; y) =
(1; si x = y
0; si x 6= y:
El conjunto I (P; K ) junto con las operaciones suma, producto por escalar
y convolución constituye un álgebra sobre el cuerpo K llamado álgebra de
incidencias.
Una función particular de I (P; K ) es la función zeta �, de�nida por
� (x; y) =
(1; si x � y
0; en otro caso.
1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados 21
Dado un conjunto �nitoN; y considerando el conjunto parcialmente ordenado�2N ;�
�; la función zeta � de 2N sobre R permite de�nir, �jado cualquier
subconjunto no vacío S 2 2N ; una nueva función
�S : 2N �! R, �S (T ) = � (S; T ) =
(1; si S � T
0; en otro caso.
Obsérvese que la función �S es un juego de unanimidad. Esta forma de
interpretar los juegos de unanimidad es utilizada por Faigle y Kern [22].
Una función de incidencia f 2 I (P; K ) tiene inversa para la convolución
si y sólo si f (x; x) 6= 0; para todo x 2 P . Por ello, la función zeta � posee
inversa a la que se denomina función de Möbius de P y se simboliza por �.
El cálculo de � se puede realizar mediante la siguiente fórmula recurrente
� (x; y) =
8<: 1; si x = y
�P
fz2P :x�z<yg
� (x; z) ; si x < y:
Usando la función de Möbius se obtiene el resultado fundamental de la
fórmula de inversión de Möbius. Dicho resultado establece que si P es un
conjunto parcialmente ordenado en donde cualquier ideal principal del orden
es �nito y si f; g : P �! C , entonces para todo x 2 P :
g (x) =Xy�x
f (y)() f(x) =Xy�x
� (y; x) g (y) :
En el caso particular de un álgebra de Boole P = 2N , con N un conjunto
�nito; la función de Möbius se escribe como � (S; T ) = (�1)jT j�jSj, para
S � T � N . Así, la fórmula de inversión de Möbius implica
g (T ) =XS�T
f (S)() f(T ) =XS�T
(�1)jT j�jSj g (S) :
22 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones
Se denominará sistema de coaliciones a todo par (N;F) ; donde N es un
conjunto �nito y F es una familia de subconjuntos de N tal que ; 2 F : Dado
un sistema de coaliciones (N;F) ; los elementos de F se llamarán coaliciones
factibles.
De�nición 1.1 Un juego de utilidad transferible es una terna (N;F ; v) ;
donde (N;F) es un sistema de coaliciones y v : F �! R es una aplicación
tal que v (;) = 0. La aplicación v se denomina función característica del
juego.
A lo largo de todo este trabajo se supondrá, salvo indicación expresa, que
al hablar de juegos de utilidad transferible (N;F ; v) ; el sistema de coaliciones
(N;F) es tal que N = f1; : : : ; ng y además se veri�ca la propiedad adicional
N = [S2FS, por lo que el conjunto N queda determinado por F . Por
ello, con frecuencia se entenderá el sistema (N;F) como la familia F . Los
elementos de N se denominarán jugadores. Se identi�cará el juego (N;F ; v)
con la función v y se dirá que v es un juego de�nido sobre el sistema F .
Se denotará por � (F) el conjunto de todos los juegos de�nidos sobre el
sistema F . Se pueden de�nir sobre el conjunto � (F) las operaciones suma y
producto por un escalar de la forma habitual: para todo S 2 F , v; w 2 � (F)
y � 2 R
(v + w) (S) = v (S) + w (S) ;
(�v) (S) = �v (S) :
Estas operaciones dotan al conjunto � (F) de estructura de espacio vecto-
rial y, al igual que en la teoría de juegos cooperativos, los juegos de unani-
midad y los juegos de identidad, que se introducen a continuación, determi-
nan dos bases de dicho espacio.
1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones 23
Para cualquier coalición no vacía T 2 F , el correspondiente juego de
unanimidad, que se representa por �T ; está de�nido como �T : F ! R
�T (S) =
(1; si T � S
0; en otro caso,
para cada coalición S 2 F .
El juego de identidad �T : F ! R está de�nido por
�T (S) =
(1; si T = S
0; en otro caso,
para cada coalición S 2 F .
Proposición 1.2 La dimensión del espacio vectorial � (F) es jFj � 1; y las
familias de juegos f�T : T 2 F ; T 6= ;g y f�T : T 2 F ; T 6= ;g son dos bases
de dicho espacio.
Demostración: Es sencillo comprobar que los juegos de identidad son li-
nealmente independientes y que
v =X
fT2F :T 6=;g
v (T ) �T ; 8v 2 � (F) : (1.1)
Para probar que los juegos de unanimidad también forman una base del
mismo espacio, basta ahora comprobar que son linealmente independientes o
bien que constituyen un sistema generador de � (F) : Aunque la primera de
esas comprobaciones es más sencilla, se realizará la segunda debido a que el
resultado obtenido será utilizado posteriormente.
Cada juego de unanimidad �T se puede expresar en la forma
�T =X
fS2F :S�Tg
�S; (1.2)
y utilizando la función y fórmula de inversión de Möbius (ver sección ante-
rior), en el conjunto parcialmente ordenado (F ;�) se tiene
�T =X
fS2F :S�Tg
� (T; S) �S: (1.3)
24 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
Así, sin más que usar (1.1) e intercambiar los sumatorios
v =X
fS2F :S 6=;g
�v (S) �S; 8v 2 � (F) ; (1.4)
donde los coe�cientes son
�v (S) =X
fT2F :T 6=;;T�Sg
� (T; S) v (T ) : (1.5)
2
Las coordenadas de un juego v de�nido sobre el sistema F en la base
formada por los juegos de unanimidad, esto es, los escalares �v (S) para
S 2 F , se denominan coe�cientes de Harsanyi.
A continuación se introducen algunos tipos particulares de juegos, cuyas
de�niciones son extensiones naturales de las ya existentes en juegos coopera-
tivos clásicos.
Un juego v 2 � (F) es monótono si para cualesquiera coaliciones S; T 2 F
T � S; se veri�ca v (T ) � v (S). Se designará por �m (F) el subconjunto de
� (F) formado por los juegos monótonos. Dicho conjunto no constituye un
subespacio vectorial de � (F) : Se dice que �m (F) tiene estructura de cono,
en el sentido de que la operación suma es interna y el producto por escalares
no negativos es una ley de composición externa.
Un juego v 2 � (F) es simple si es monótono y v(S) 2 f0; 1g para toda
coalición S 2 F : En un juego simple, las coaliciones S tales que v (S) = 1
se denominan coaliciones ganadoras, y las restantes son llamadas coaliciones
perdedoras. Se denotará por �s (F) el conjunto de los juegos simples.
Un juego v 2 � (F) es débilmente superaditivo si para cualesquiera coali-
ciones S; T 2 F con S [ T 2 F y S \ T = ;, se veri�ca
v (S [ T ) � v (S) + v (T ) :
1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones 25
A continuación se probará que el conjunto de juegos simples �s (F) es un
retículo. En efecto, si en dicho conjunto se considera la relación binaria �
tal que, para cualesquiera v,w 2 �s (F) ; se tiene
v � w () v (S) � w (S) para todo S 2 F ,
entonces (�s (F) ;�) es un conjunto parcialmente ordenado. Por otro lado,
para cualesquiera v,w 2 �s (F) ; el ín�mo y el supremo de dichos juegos son,
respectivamente, los juegos v ^ w, v _ w tales que
(v ^ w) (S) = min fv (S) ; w (S)g ;
(v _ w) (S) = max fv (S) ; w (S)g ;
para toda coalición S 2 F . Además, en el retículo �s (F) ; los juegos^1 y
^0
son aquéllos donde^1 (S) = 1 y
^0 (S) = 0, para toda coalición factible no
vacía.
Proposición 1.3 El conjunto de juegos simples �s (F) es un retículo dis-
tributivo. Además, �s (F) es un álgebra de Boole si, y sólo si, las coaliciones
no vacías de F son maximales en el conjunto parcialmente ordenado (F ;�).
Demostración: Sean v; w; z juegos simples. Nótese que las siguientes tablas
Tabla 1 v _ (w ^ z)
v(S) < w(S) < z(S) w
w(S) < v(S) < z(S) v
w(S) < z(S) < v(S) v
Tabla 2 v _ w v _ z (v _ w) ^ (v _ z)
v(S) < w(S) < z(S) w z w
w(S) < v(S) < z(S) v z v
w(S) < z(S) < v(S) v v v
26 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
implican la igualdad
v _ (w ^ z) = (v _ w) ^ (v _ z) :
La ecuación dual se obtiene de forma similar. Por tanto, el retículo es dis-
tributivo.
Obsérvese ahora que si v; w 2 � (F) son juegos tales que sólo toman
valores en el conjunto f0; 1g ; entonces si además veri�can
v _ w = b1; v ^ w = b0;debe suceder que las coaliciones factibles ganadoras de v son perdedoras para
w y las perdedoras, no vacías, para v son ganadoras para w.
Supóngase que existe una coalición no vacía R 2 F , tal que R no es
maximal en (F ;�) ; esto es, existe T 2 F tal que R � T: En esta situación,
se puede considerar un juego v 2 �s (F) tal que v (R) = 0 y v (T ) = 1; y,
según lo dicho anteriormente, todo juego w 2 � (F) que veri�que v_w = b1 yv ^ w = b0; no es monótono (ya que w (R) = 1 y w (T ) = 0): Por tanto, para
que �s (F) sea un álgebra de Boole es condición necesaria que toda coalición
no vacía de F sea maximal (F ;�) : Además, es inmediato que dicha condición
es su�ciente. 2
Para �nalizar esta sección, se introducen los conceptos que permitirán
construir soluciones para juegos sobre sistemas de coaliciones.
Sea (N;F) un sistema de coaliciones. Un valor para el jugador i; i 2 N;
sobre � (F) es una función
i : � (F) �! R
que asigna a cada juego v de�nido sobre F un número real. El número i (v)
asociado a un juego v se interpreta como el valor que dicho juego tiene para
el jugador i (por ejemplo, la ganancia que el jugador espera obtener por
participar en dicho juego).
Un valor para el conjunto de jugadores o valor de grupo sobre � (F) es
una función
: � (F) �! RN
1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides 27
que asocia a cada juego v un vector (v) = (1 (v) ; : : : ;n (v)). Este vector
representa el valor que tiene el juego dado para cada uno de los jugadores.
1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides
Los antimatroides fueron introducidos por Diworth [14] en 1940 como ejem-
plos particulares de retículos semimodulares. Desde entonces, varios autores
han llegado al concepto de antimatroide como abstracciones de diversas situa-
ciones combinatorias. Un estudio sistemático de dichas estructuras, basado
en la abstracción de la convexidad, fue realizado por Edelman y Jamison, de-
sembocando en 1970 con el establecimiento por Jamison [27] de una estrecha
relación entre la convexidad y la existencia de un operador clausura con una
determinada propiedad de anticambio. En 1980, Edelman [18] prueba que
esta relación era inducida por los denominados retículos meet-distributivos
o geometrías convexas. En la teoría de juegos, Bilbao [7] introduce, en 1998,
las geometrías convexas.
Los resultados sobre geometrías convexas y antimatroides que se exponen
en esta sección se han extraído de los trabajos de Edelman y Jamison [20], y
el capítulo dedicado a ambas estructuras de Korte, Lovász y Schrader [30].
De�nición 1.4 Una geometría convexa es un sistema de coaliciones (N;L)
que satisface las siguientes propiedades:
(G1) Si S; T 2 L; entonces S \ T 2 L,
(G2) Si S 2 L y S 6= N , existe j 2 N n S tal que S [ fjg 2 L.
Considérense el conjunto de juegos � (L) sobre una geometría convexa.
La propiedad (G1) implica que la intersección de coaliciones factibles es tam-
bién factible, pues los jugadores se ponen de acuerdo sobre un per�l de coo-
peración. En el modelo de estructuras de conferencias de Myerson [38], dos
28 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
jugadores están conectados si ellos pueden coordinarse mediante conferencias
separadas con algunos miembros comunes que sirven de intermediarios. En
una geometría convexa, las coaliciones de intermediarios están en la estruc-
tura de cooperación. La propiedad (G2) indica un método de formación de
coaliciones mediante la anexión individual de jugadores.
Las coaliciones factibles de una geometría convexa (N;L) ; que se identi-
�cará con la familia L, se denominarán convexos siguiendo la nomenclatura
de Bilbao [7].
A continuación, se muestran algunos ejemplos de geometrías convexas
que aparecen en la literatura de juegos. El primero ha sido utilizado por
Edelman [19] para el estudio de índices de poder en juegos de votación.
Ejemplo 1.5 Si en el conjunto N = f1; 2; : : : ; ng se considera el orden na-
tural de sus elementos, la familia Ln formada por el conjunto vacío y los
intervalos
[i; j] = fi; i+ 1; : : : ; j � 1; jg ; para 1 � i � j � n;
de (N;�) ; es una geometría convexa.
Ejemplo 1.6 Una situación de comunicación es una terna (N; v;G) ; donde
(N; v) es un juego cooperativo y G = (N;A) es un grafo. Considérese el par
(N;L), donde
L = fS � N : (S;A(S)) es un subgrafo conexo de Gg :
En estas condiciones, Edelman y Jaminson [20], establecen que G = (N;A)
es un grafo bloque conexo (véase Harary [23]) si y sólo si (N;L) es una
geometría convexa. Nótese que los grafos bloques son denominados grafos
ciclos completos por van den Nouweland y Borm [40].
1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides 29
Las cadenas maximales de una geometría convexa tienen un papel re-
levante en el estudio de valores en dichas estructuras, como se verá en el
siguiente capítulo. Edelman y Jamison [20] prueban que toda cadena maxi-
mal de una geometría convexa (N;L) contiene n+ 1 conjuntos convexos
; = S0 � S1 � � � � � Sn�1 � Sn = N ,
donde el cardinal jSkj = k, para todo k = 0; 1; : : : ; n. En consecuencia,
las situaciones de jerarquía de Moulin y Shenker [36], donde se usan pagos
que incrementan los costos de acuerdo con una ordenación de N , pueden ser
modeladas por geometrías convexas.
El operador clausura de una geometría convexa (N;L) es la aplicación
� : 2N ! 2N , de�nida por
A =\
fS2L : S�Ag
S, para todo A � N:
Dicho operador veri�ca las propiedades propias de un operador clausura: (1)
A � A; (2) A = A;(3) si A � B; entonces A � B, y la propiedad adicional
; = ;: Además, satisface la denominada propiedad anticambio de Steinitz-
MacLane: Dados dos elementos i; j 2 N; i 6= j; y siendo A � N;
si i; j =2 A y j 2 A [ fig, entonces i =2 A [ fjg;
que caracteriza a los operadores clausura propios de geometrías convexas.
Obsérvese que, según la de�nición de dicha función, la clausura de cualquier
subconjunto de N es un elemento de la familia L.
Para un subconjunto A � N cualquiera, un elemento i 2 A es un punto
extremal de A si i =2 An fig. En particular, un jugador i de S 2 L es un
punto extremo de S si S n fig 2 L. El conjunto de puntos extremales de
una coalición convexa S es denotado por ex(S). Utilizando este concepto,
la segunda propiedad de la de�nición de una geometría convexa puede ser
sustituida por:
(G2') Para todo convexo A � N se veri�ca que A = ex (A).
30 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
Por ello, se puede a�rmar que toda coalición factible no vacía de una
geometría convexa tiene al menos un punto extremal. Este hecho permite
utilizar un procedimiento de eliminación (conocido como proceso shelling)
que es posible interpretar en términos de juegos. Empezando con la gran
coalición N; se puede eliminar de ella uno de sus puntos extremales, y seguir
eliminando sucesivamente un punto extremal de cada una de las coaliciones
factibles que se obtienen hasta que se llega �nalmente al conjunto vacío.
Naturalmente, en general, habrá más de una forma de hacer esto, pero todas
ellas permiten determinar a los jugadores lo que ocurriría si ellos abandonaran
la gran coalición.
La idea anterior permite también relacionar la estructura de antimatroide
con los juegos. Basta considerar que los jugadores eliminados, en cada uno
de los procesos anteriores, se agrupen formando sucesivas coaliciones. En
concreto, supóngase que si en un proceso de eliminación los jugadores se van
eliminando según el orden i1; i2; :::; in; entonces éstos se organicen formando
las coaliciones fi1g ; fi1; i2g ; ..., fi1; i2; :::; ing : La conclusión es que la nueva
estructura de coaliciones determina un antimatroide.
De�nición 1.7 Un antimatroide es un sistema de coaliciones (N;A) que
veri�ca:
(A1) Si S; T 2 A; entonces S [ T 2 A,
(A2) Si S 2 A y S 6= N , existe j 2 N n S tal que S [ fjg 2 A.
Los siguientes ejemplos de antimatroides se pueden encontrar en Korte,
Lóvasz y Schrader [30].
Ejemplo 1.8 Sea G = (V;A) un grafo conexo no dirigido y r 2 V uno de
sus vértices. Los conjuntos de aristas de subgrafos conexos que contienen a
r; junto con el vacío, constituyen el denominado antimatroide de búsqueda
por aristas del grafo.
1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides 31
Ejemplo 1.9 Sea G = (V;A) un grafo conexo no dirigido y r 2 V uno de sus
vértices. Se de�ne el antimatroide de búsqueda por vértices de dicho grafo,
(V n frg ;A) ; como aquél cuyos conjuntos factibles son los S � V n frg tales
que, en el subgrafo inducido por S [ frg ; todo vértice x 2 S [ frg puede ser
conectado con r mediante un camino.
Dado un antimatroide (N;A) ; la función de�nida sobre 2N y que asocia,
a cada subconjunto A de N; el conjunto
int (A) =[
fS2A : S�Ag
S,
se denomina operador interior. Las propiedades que de�nen este operador
interior son: (1) int (A) � A, (2) int (int (A)) = int (A), (3) Si A � B;
entonces int (A) � int (B) ; y la propiedad adicional int (N) = N: Además,
satisface la denominada propiedad anticambio de Steinitz-MacLane: Dados
dos elementos i; j 2 N; i 6= j; y siendo A � N;
Si i; j =2 int (A) y j 2 int (A n fig) , entonces i =2 int (A n fjg) :
Obsérvese que, según la de�nición de dicha función, el interior de cualquier
subconjunto de N es un elemento de la familia A.
Sea S una coalición factible de un antimatroide (N;A) : Un elemento
i 2 N n S es un aumentador de la coalición S cuando S [ fig 2 A: El
conjunto de jugadores aumentadores de una coalición factible S se denotará
por au (S) :
El siguiente resultado pone de mani�esto la dualidad existente entre an-
timatroides y geometrías convexas. Sea (N;A) un antimatroide, si se denota
por eA el conjunto de�nido por
eA = fS � N : N n S 2 Ag ;
entonces, se veri�ca el siguiente resultado.
32 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
Teorema 1.10 (N;A) es un antimatroide si, y sólo si,�N; eA� es una
geometría convexa.
Obsérvese que las situaciones de precedencia planteadas por Faigle y Kern
[22], constituidas por los ideales principales de un conjunto parcialmente
ordenado N; son un caso de geometría convexa y antimatroide a la vez.
Dado un antimatroide (N;A) y su geometría convexa dual (N;L), de las
de�niciones de jugador aumentador en A y jugador extremal en L, se obtiene
de forma inmediata la siguiente propiedad. Siendo S 2 A, un jugador deNnS
es aumentador de S si, y sólo si, es extremal de N n S: Es decir, si S 2 A,
entonces
au (S) = ex (N n S) : (1.6)
Las funciones de Möbius �L y �A asociadas, repectivamente, a una geome-
tría convexa (N;L) y a un antimatroide (N;A) ; están dadas por las siguientes
expresiones. Para cualesquiera coaliciones factibles S; T , tales que S � T y
jT j = t; jSj = s;
�L (S; T ) =
((�1)t�s ; si T n S � ex (T )
0; en otro caso,
�A (S; T ) =
((�1)t�s ; si T n S � au (S)
0; en otro caso.
La expresión correspondiente a �L se debe a Edelman y Jamison [20], y de
ésta se obtiene la correspondiente a �A teniendo en cuenta la relación (1.6)
existente entre puntos extremales y aumentadores.
Las fórmulas anteriores y la expresión (1.5), permiten obtener los coe�-
cientes de Harsanyi asociados a una coalición factible T;
�Lv (T ) =
XfS2L:S2[Tnex(T );T ]g
(�1)t�s v (S) , (1.7)
1.4 Matroides 33
�Av (T ) =
XfS2A:T2[S;S[au(S)]g
(�1)t�s v (S) ,
para cada juego v de�nido sobre una geometría convexa L o un antimatroide
A.
1.4 Matroides
Los sistemas denominados matroides fueron introducidos por Whitney [61]
en 1935 de�nidos como una abstracción del concepto de independencia li-
neal y de la estructura cíclica de grafos, e independientemente, por van der
Waerden [58] en 1937 como combinación de la independencia lineal y alge-
braica. La teoría de matroides actual tiene su origen en el trabajo de Tutte
[55] de 1959 y cuenta con numerosas aplicaciones como objeto combinatorio
y de optimización. Sus estructuras y algoritmos han proporcionado un buen
soporte para extensiones.
De�nición 1.11 Un matroide es un sistema de coaliciones (N;M) que ve-
ri�ca las siguientes propiedades:
(M1) Si S 2 M y T � S; entonces T 2 M,
(M2) Si S; T 2 M y jSj = jT j + 1; entonces existe i 2 S n T de forma que
T [ fig 2 M.
En la de�nición de juego sobre un matroide se consideran como coali-
ciones factibles los elementos del matroide, lo cual presupone la existencia de
ciertas normas preestablecidas en la cooperación entre los jugadores. Así, si
se piensa que las coaliciones entre jugadores se realizan porque éstos tienen
ciertos intereses comunes, entonces la propiedad (M1) de la de�nición de
matroide establece que es factible también toda posible subcoalición entre
jugadores de cada coalición, ya que cualquier subgrupo tendrá al menos los
34 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
mismos intereses comunes que los del grupo. Por otro lado, la propiedad
(M2) re�eja que las diferentes coaliciones se forman regidas por un cierto
proceso secuencial de incorporación individual de jugadores.
A continuación se relacionan los resultados de los que se hará uso en la
memoria concernientes a matroides, los cuales se comentarán en el lenguaje
propio de la teoría de juegos. Las demostraciones se omiten por poderse
consultar en libros como Welsh [60] y Korte, Lovász y Schrader [30]. A partir
de ahora se supondrá que (N;M) es un matroide, y éste se identi�cará con
la familiaM.
Una coalición básica de un matroideM es una coalición B 2 M maximal
respecto a la inclusión: La familia de coaliciones básicas de M se denotará
por B (M), y mediante b (M) el cardinal de este conjunto. La propiedad
(M1) aplicada a una coalición básica B 2 B (M) garantiza que todas sus
subcoaliciones son factibles y, por tanto, son coaliciones factibles las del ál-
gebra de Boole 2B. En particular si N 2 M; entonces el matroide es 2N y se
conoce por matroide libre. Un jugador que pertenezca a todas las coaliciones
básicas de un matroide se dirá que es un jugador istmo.
Las bases de un subconjunto X de N en un matroideM son sus subcon-
juntos maximales en el conjunto parcialmente ordenado (M;�) .
La función rango de un matroideM es la aplicación r : 2N ! Z+ de�nida
por
r (X) = max fjSj : S � X;S 2 Mg ; para todo X 2 2N :
El rango del matroide M, denotado por r (M) ; es el rango del conjunto de
jugadores N: De esta forma, r (M) indica el máximo grado de cooperación
que tienen los jugadores del matroide.
El operador clausura de un matroide M es la función � : 2N ! 2N
de�nida por
� (X) = fi 2 N : r (X [ fig) = r (X)g ; para todo X 2 2N :
1.4 Matroides 35
Dicha función, además de veri�car las propiedades propias de un operador
clausura, satisface la propiedad de intercambio de Steinitz-MacLane: Para
todo X; Y � N; y cualesquiera i; j 2 N se cumple
si j =2 � (X) y j 2 � (X [ fig) entonces i 2 � (X [ fjg) :
Dicha propiedad es la que caracteriza los operadores clausura de los ma-
troides. Obsérvese que, a diferencia con lo que ocurre en geometrías convexas,
la clausura de una coalición cualquiera no necesariamente es una coalición
del matroide.
El último concepto de los matroides que se usará son los circuitos. Los
circuitos de un matroideM son los subconjuntosX deN ,X =2 M, minimales
respecto de la inclusión, es decir, para todo i 2 X se veri�ca queXnfig 2 M.
Se dirá que dos jugadores i; j 2 N son jugadores paralelos en el matroideM, y
se utilizará la notación ikj, si el par fi; jg es un circuito. Por ello, cuando dos
jugadores son paralelos, juntos no pueden formar parte de ninguna coalición
factible.
Los conceptos anteriores permiten obtener diversas caracterizaciones de
los matroides, de entre las que se destacan, por ser útiles en esta memoria,
las siguientes.
Teorema 1.12 Una colección no vacía B de subconjuntos de 2N son las coa-
liciones básicas de un matroide si, y sólo si, satisface la siguiente propiedad
de sustitución: Si B1; B2 2 B y j 2 B1 n B2; entonces existe i 2 B2 n B1 tal
que B1 [ fig n fjg 2 B.
En las condiciones de este teorema, el matroide determinado por la colec-
ción B es
M = fS � N : S � B; para algún B 2 Bg :
36 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
Teorema 1.13 Un sistema de coaliciones (N;M) es un matroide si, y sólo
si, satisface la condición (M1) y tiene la siguiente propiedad:
(M2') Para todo X � N , las bases de X tienen el mismo cardinal.
Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que todas las coali-
ciones básicas de un matroide tienen el mismo cardinal, y éste coincide con
el rango del matroide.
Teorema 1.14 Una aplicación r : 2N ! Z es la función rango de un ma-
troide si, y sólo si, para toda X; Y � N; veri�ca:
(R1) 0 � r (X) � jXj ;
(R2) Si X � Y; entonces r (X) � r (Y ) ;
(R3) r (X [ Y ) + r (X \ Y ) � r (X) + r (Y ).
Obsérvese que la condición (R1) garantiza que la función rango de un
matroide es un juego cooperativo (N; r), y las condiciones (R2) y (R3) que
el juego es monótono y submodular, respectivamente.
Teorema 1.15 Una función r : 2N ! Z+ es la función rango de un matroide
si, y sólo si, para todo X; Y � N y cualesquiera i; j 2 N; veri�ca:
(R1') r (;) = 0;
(R2') r(X) � r (X [ fig) � r (X) + 1;
(R3') Si r (X [ fig) = r (X [ fjg) = r (X) ; entonces r (X [ fi; jg) = r (X).
1.4 Matroides 37
Bajo las hipótesis de cualquiera de los dos teoremas anteriores, la función
r determina de forma única el matroide
M = fS � N : r (S) = jSjg :
La condición (R3') se suele denominar submodularidad local de la función
rango. De ella se puede deducir que r (� (X)) = r (X) para todo X � N .
Por tanto, la clausura de X es el máximo subconjunto de N que contiene
a X y mantiene su rango. Obsérvese que, si S es una coalición factible; los
jugadores que no están en � (S) son los que pueden unirse a S para dar lugar
a nuevas coaliciones factibles.
Se muestran a continuación algunos ejemplos de matroides de interés para
el desarrollo de la teoría de juegos sobre matroides.
Ejemplo 1.16 El matroide uniforme Ukn está formado por todos los subcon-
juntos de N cuyo cardinal es menor o igual que k;
Ukn =
�S 2 2N : jSj � k
:
La función rango y el operador clausura de este matroide se de�nen, para
cada X � N; por
r (X) = min fk; jXjg ; � (X) =
(X; si jXj < k
N; si jXj � k:
Cuando k 6= n, no hay jugadores istmo. Los circuitos son las coaliciones de
cardinal k+1, y no hay jugadores paralelos salvo que k = 1. En la siguiente
�gura se muestra el matroide uniforme U23 .
38 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
Ejemplo 1.17 Dado un grafo no dirigido G = (V;A), donde V es el con-
junto de vértices y A el conjunto de aristas, se de�ne el matroide grá�co
generado por G como el formado por los subconjuntos del conjunto de aristas
A que generan subgrafos acíclicos. El matroide grá�co generado por G se
denotará M (G) : La función rango, para cada X � A; viene dada por
r (X) = jV (X)j � k (X) ;
donde k (X) es el número de componentes conexas que tiene el subgrafo ge-
nerado por las aristas de X. Se sabe que un jugador a 2 A está en la clausura
de una coalición X si es posible formar un circuito que contenga a la arista
a y que esté contenido en X [ fag.
Considerando el grafo de la Figura 1.2, el matroide M (G) es el de la
Figura 1.3.
1.4 Matroides 39
Ejemplo 1.18 Dados dos jugadores i; j 2 N; se de�ne el matroide de oposi-
ción Mn (i k j) como el formado por todos los subconjuntos de N que no
contienen a fi; jg. Esto es, el mayor matroide contenido en 2N ; con i; j
paralelos,
Mn (i k j) = fS � N : fi; jg 6� Sg :
En este matroide los únicos jugadores paralelos son i; j, y los restantes son
itsmos. Su función rango y el operador clausura están dados, para cada
X � N; por
r (X) =
(jXj ; si i ó j =2 X
jXj � 1; si i; j 2 X;� (X) =
8><>:X [ fjg ; si i 2 X; j =2 X
X [ fig ; si j 2 X; i =2 X
X; en otro caso.
Tomando N = f1; 2; 3; 4g ; la siguiente �gura muestra el matroide M4 (1k4).
A continuación se de�nen algunas operaciones sobre matroides, que serán
muy útiles en los capítulos posteriores.
La k-truncación de un matroide M es el matroide dado por la colección
M(k) = fS 2 M : jSj � kg :
40 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
La restricción del matroide M a una coalición X � N es el matroide
dado por
MX = fS 2 M : S � Xg :
La eliminación de X en M se de�ne como la restricción del matroide a
la coalición N nX, esto es,
MnX = fS 2 M : S � N nXg :
Por último, la contracción sobre X de M es el matroide de�nido por la
colección
M=X = fS � N nX : S [ T 2 M, para alguna base T de Xg :
Todas estas operaciones sobre matroides originan nuevos matroides. Por
de�nición, se tiene que M=X � MnX. Obsérvese, además, que la elimi-
nación de un jugador en el matroide sobre el que está de�nido un juego, se
puede interpretar como que el jugador se separa del juego dado. Por otro
lado, la contracción sobre un jugador del matroide determina las posibles coa-
liciones a las que el jugador se puede integrar para conjuntamente participar
en el juego.
Cualquier matroide que pueda ser obtenido a partir de otro matroide
M mediante una sucesión de contracciones y eliminaciones se denomina un
menor de M.
Proposición 1.19 Sea (N;M) un matroide, y r su función rango. En-
tonces:
(1) La función rango r0 del matroide k-truncación M(k) está de�nida por
r0 (X) = min fr (X) ; kg ; para todo X 2 2N :
(2) La función rango r0 del matroide restricción sobre Y;MY , está de�nida
por r0 (X) = r (X) ; para todo X 2 2Y :
1.4 Matroides 41
(3) La función rango r0 del matroide contracción sobre Y; M=Y , se de�ne
r0 (X) = r (X [ Y )� r (Y ) ; para todo X 2 2NnY :
Conviene también introducir el concepto de isomor�smo entre matroides.
Dos matroides (N1;M1), (N2;M2) son isomorfos si existe una biyección
� : N1 ! N2 tal que para todo S 2 M1, se veri�ca que f� (i) : i 2 Sg 2 M2:
La función de Möbius � : M�M �! R de un matroide M tiene la
siguiente expresión
� (S; T ) = (�1)t�s ;
para cualesquiera S; T 2 M; S � T; donde jSj = s y jT j = t; pues cualquier
intervalo es un álgebra de Boole. Por tanto, utilizando (1.5), se tiene que
los coe�cientes de Harsanyi de un juego v : M �! R de�nido sobre un
matroide, se pueden expresar en la forma
�Mv (T ) =
XfS2M:S�Tg
(�1)t�s v (S) : (1.8)
42 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias
Capítulo 2
Valores Clásicos sobre
Geometrías y Antimatroides
En este capítulo se extienden los valores de Shapley, Banzhaf y Tijs a los
sistemas de coaliciones que posean estructura de geometría convexa y an-
timatroide. La dualidad entre dichas estructuras se estudia, en la primera
sección, en el terreno de los juegos, y se generan a partir de las bases de
los juegos de unanimidad y de identidad sobre una geometría convexa, dos
nuevas bases del conjunto de juegos sobre el antimatroide dual. Se dedica
luego una sección a cada uno de los valores mencionados.
En la segunda sección se trata el valor de Shapley. Dicho valor ha sido
estudiado en geometrías convexas por Bilbao [8], y Bilbao, Lebrón y Jiménez
[11]. Bilbao [8] sigue la técnica de Faigle y Kern [22] y, de esa forma, ob-
tiene una caracterización de dicho valor sustituyendo el axioma del poder
jerárquico dado por los anteriores. Por otra parte, Bilbao, Lebrón y Jiménez
consiguen el valor de Shapley en geometrías convexas utilizando los denomi-
nados valores de orden compatible. Aquí se sigue la idea de Bilbao [8] para
extender la noción a antimatroides.
En la tercera sección se introducen los índices de Banzhaf para ambas
estructuras, y se dan caracterizaciones de estos índices siguiendo a Dubey
43
44 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
y Shapley [17]. Los resultados de esta sección están recogidos en Bilbao,
Jiménez y López [10].
Por último, en la línea de los trabajos de Tijs [53], Driessen y Tijs [16]
y Tijs y Otten [54], se extiende el valor de Tijs a juegos de�nidos sobre
antimatroides coatómicos. Dicha extensión permite de�nir también este valor
para geometrías convexas atómicas, utilizando la dualidad.
Tal como se ha indicado, a lo largo de todo este capítulo se trabajará
con una geometría convexa (N;L) o bien con un antimatroide (N;A), por
lo que se considera que el conjunto de jugadores es N aunque no se diga
explícitamente en lo sucesivo.
2.1 Dualidad
En la sección 1.3 del capítulo anterior se puso de mani�esto el carácter dual
de las estructuras geometría convexa y antimatroide. Esta relación va a
permitir construir una dualidad entre los espacios vectoriales de sus juegos.
Sean L una geometría convexa y A su antimatroide dual. Se considera el
siguiente operador entre los espacios vectoriales de juegos de ambas estruc-
turas
F : � (L) �! � (A) ; F (v) = v�; para todo v 2 � (L)
donde v�; que se denominará juego dual de v; es el juego de�nido, para cada
S 2 A, por la expresión
v� (S) = v (N)� v (N n S) :
Puesto que las familias L y A tienen el mismo cardinal , se puede a�rmar
(Proposición 1.2) que los espacios vectoriales � (L) y � (A) son de la misma
dimensión. Es fácil comprobar entonces que F es un isomor�smo para el
que (v�)� = v, cualquiera sea v 2 � (L). Por tanto, utilizando dicho iso-
mor�smo y cualquiera de las bases conocidas del espacio vectorial � (L) es
posible obtener nuevas bases del espacio � (A) :
2.1 Dualidad 45
En la siguiente proposición se obtendrán las bases duales de aquéllas
formadas por los juegos de unanimidad y los juegos de identidad del espacio
vectorial � (L) :
Proposición 2.1 Sea A un antimatroide y L su geometría convexa dual.
Siendo S 2 A una coalición factible distinta de la gran coalición, S 6= N , se
veri�ca:
(1) El dual del juego de unanimidad �NnS 2 � (L) es el juego �S 2 � (A)
tal que, para cada T 2 A,
�S (T ) =
(0; si T � S
1; en otro caso.
(2) Si S 6= ;, el dual del juego de identidad �NnS 2 � (L) es el juego
�S 2 � (A) de�nido, para cada T 2 A, como
�S (T ) =
(�1; si T = S
0; si T 6= S.
Además, el dual del juego �N 2 � (L) es el juego �; 2 � (A) tal que
�; (T ) = 1 para toda coalición T 2 A no vacía.
Demostración: Sea T 2 A. El dual del juego �NnS se de�ne de la siguiente
forma
��NnS (T ) = �NnS (N)� �NnS (N n T ) = 1�
(1; si N n T � N n S
0; en otro caso,
= �S (T ) :
Análogamente, para el juego de indentidad �NnS ; cuando S 6= ;; se tiene
��NnS (T ) = �NnS (N)� �NnS (N n T ) = 0�
(1; si N n T = N n S
0; si N n T 6= N n S;
= �S (T ) :
46 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Por último, si S = ; el dual de �N es el juego
��N (T ) = �N (N)� �N (N n T ) = 1�
(1; si N n T = N
0; si N n T 6= N;
= �; (T ) :
2
Se verá seguidamente que algunas propiedades de los juegos se transmiten
por el operador dual. Con esta �nalidad se extiende, en primer lugar, la
noción de juego cooperativo supermodular al caso de juegos de�nidos sobre
geometrías convexas y antimatroides.
De�nición 2.2 Un juego v 2 � (L) sobre una geometría convexa, se dice
supermodular o convexo si, para cualesquiera S; T 2 L, se veri�ca
v�S [ T
�+ v (S \ T ) � v(S) + v(T ):
Un juego v 2 � (A) sobre un antimatroide, se dice supermodular si, para
cualesquiera S; T 2 L, se veri�ca
v (S [ T ) + v (int (S \ T )) � v(S) + v(T ):
Análogamente se de�nen los juegos submodulares intercambiando la desigual-
dad � por � en los dos casos anteriores.
Proposición 2.3 Sea L una geometría convexa y A su antimatroide dual.
Entonces:
(1) v 2 �m (L) si, y sólo si, v� 2 �m (A).
(2) v 2 �s (L) si, y sólo si, v� 2 �s (A).
(3) v 2 � (L) es un juego supermodular si, y sólo si, v� 2 � (A) es submo-
dular.
2.2 El Valor de Shapley 47
Demostración: Sea v 2 � (L) :
(1) Supóngase que v es monótono. Sean S; T 2 A, S � T: Entonces,
N n T � N n S y se veri�ca que v (N n T ) � v (N n S) : Luego,
v� (S) = v (N)� v (N n S) � v (N)� v (N n T ) = v� (T ) :
(2) Sea v un juego simple. Utilizando el apartado anterior se sabe que el
juego v� es monótono, por lo que sólo falta por probar que dicho juego toma
valores en el conjunto f0; 1g : Ahora bien, esto último se veri�ca puesto que,
por de�nición, se tiene v� (S) = v (N)� v (N n S) ; para todo S 2 A.
(3) Supóngase que v es un juego supermodular. Obsérvese que para todo
X � N se veri�ca N n int (X) = N nX: Entonces, si S; T 2 A, se tiene
v� (S [ T ) + v� (int (S \ T ))
= v(N)� v (N n (S [ T )) + v (N)� v (N n int (S \ T ))
= 2v (N)� v ((N n S) \ (N n T ))� v�(N n S) [ (N n T )
�� 2v (N)� v (N n S)� v (N n T ) = v� (S) + v� (T ) :
2
2.2 El Valor de Shapley
Se expone a continuación la caracterización axiomática del denominado valor
de Shapley para juegos sobre geometrías convexas debida a Bilbao [8] que
se utilizará, en esta sección, para extender la noción de valor de Shapley a
juegos de�nidos sobre antimatroides.
Siendo L una geometría convexa y = (i)i2N un valor de grupo sobre
� (L) ; se consideran los siguientes axiomas.
Axioma de linealidad. Si v1; v2 2 � (L) y �1; �2 2 RN ; entonces
(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :
48 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Se denomina contribución marginal de un jugador i 2 N a una coalición
S 2 L; tal que i 2 ex (S) ; al valor v (S) � v (Sn fig). Un jugador i se dice
dummy en un juego v 2 � (L) si, para cada S 2 L tal que i 2 ex (S), se
veri�ca que
v (S)� v (Sn fig) =
(v (fig) ; si fig 2 L
0; en otro caso.
Axioma del jugador dummy. Si i 2 N es un jugador dummy en un juego
v 2 � (L) ; entonces
i (v) =
(v (fig) ; si fig 2 L
0; en otro caso.:
Axioma de e�ciencia. Para todo juego v 2 � (L) ; se veri�caXi2N
i (v) = v (N) :
Axioma de L-cadenas. Para cada coalición no vacía S 2 L y cualesquiera
i; j 2 ex (S) ;
c (S n fig)j (�S) = c (S n fjg)i (�S) :
En el contexto anterior, y utilizando entre otros resultados el lema que
se expone a continuación, Bilbao [8] obtiene la caracterización siguiente del
valor de Shapley para juegos sobre geometrías convexas.
Lema 2.4 Sean L una geometría convexa y S 2 L un convexo no vacío.
Siendo i 2 N; se veri�ca: a) Si i =2 ex (S) ; entonces i es un jugador dummy
en el juego de unanimidad �S. b) Si i 2 S n ex (S) ; entonces i es un jugador
dummy en el juego de identidad �S:
2.2 El Valor de Shapley 49
Teorema 2.5 Sea L una geometría convexa. Existe un único valor de grupo
�L sobre � (L) que satisface los axiomas de linealidad, jugador dummy, e�-
ciencia y L-cadenas. Además, para todo i 2 N; y cada juego v 2 � (L) ; se
tiene
�Li (v) =
XfS2L:i2ex(S)g
c (S n fig) c ([S;N ])
c (L)[v (S)� v (S n fig)] ;
donde se considera c ([N;N ]) = 1; y c (L) representa el número total de
cadenas maximales de (L;�). Dicho valor se denomina valor de Shapley
para juegos sobre geometrías convexas.
Considérese ahora un antimatroide A, y el conjunto de juegos � (A)
de�nidos sobre él. En este caso, se de�ne la contribución marginal de un ju-
gador i 2 N a una coalición S 2 A; tal que i 2 au (S) ; como el pago exigido
por el jugador para unirse a la coalición S; es decir, v (S [ fig)� v (S). Un
jugador i se dice dummy en un juego v 2 � (A) si, para cada S 2 A tal que
i 2 au (S), se veri�ca que
v (S [ fig)� v (S) =
(v (fig) ; si fig 2 A
0; en otro caso.
Entonces, para un valor de grupo = (i)i2N sobre � (A) ; se introducen
los siguientes axiomas.
Axioma de linealidad. Si v1; v2 2 � (A) y �1; �2 2 RN ; entonces
(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :
Axioma del jugador dummy. Si i 2 N es un jugador dummy en un juego
v 2 � (A) ; entonces
i (v) =
(v (fig) ; si fig 2 A
0; en otro caso.:
50 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Axioma de e�ciencia. Para todo juego v 2 � (A) ; se veri�caXi2N
i (v) = v (N) :
Axioma de A-cadenas. Para cada coalición S 2 A, S 6= N; y cualesquiera
i; j 2 au (S) ;
c ([S [ fig ; N ])j (�S) = c ([S [ fjg ; N ]) i (�S) :
Obsérvese que en el último axioma se pone de mani�esto, al igual que
en el caso de geometrías convexas, que los jugadores que obtienen contribu-
ciones marginales positivas en un juego �S son aquéllos que se anexionan a
la coalición S inmediatamente después de su formación, por lo que el valor
que se les debe asociar debe ser proporcional al número de órdenes donde eso
ocurre para dicho jugador.
Lema 2.6 Sean A un antimatroide y S 2 A. Siendo i 2 N; se veri�ca:
(a) Si i =2 au (S) ; entonces i es un jugador dummy en el juego �S 2 � (A).
(b) Si i =2 S [ au (S) ; entonces se tiene que el jugador i es un dummy en
el juego �S 2 � (A).
Demostración: Supóngase en lo que sigue que T es una coalición factible
de A tal que i 2 au (T ).
(a) Sea S 6= ;; i =2 au (S) : En estas condiciones, se pueden dar dos casos:
i 2 S; o bien i =2 S [ au (S) :
Si i 2 S; obsérvese que �S (fig) = 0 cuando fig 2 A. Por otro lado,
�S (T [ fig)��S (T ) = 0 porque T � S si, y sólo si, T [fig � S: Por tanto,
i es jugador dummy en el juego �S:
En el caso de que i =2 S [ au (S) (esto es; i =2 S y S [ fig =2 A), es fácil
comprobar que fig =2 A y que T 6� S; razonando por reducción al absurdo.
2.2 El Valor de Shapley 51
Entonces se tendría �S (T [ fig) � �S (T ) = 1 � 1 = 0; e igualmente se
comprueba el enunciado.
Nótese �nalmente que el resultado es válido también si S = ;. En efecto,
en este caso, decir que i =2 au (S) signi�ca que fig =2 A. Por tanto también
se tiene que �S (T [ fig) � �S (T ) = 1� 1 = 0; ya que en ese caso debe ser
T 6= ;:
(b) Sea i =2 S [ au (S) : Entonces, como ya se indicó , se veri�ca fig =2 A
y T 6� S: Por tanto, �S (T [ fig) � �S (T ) = 1 � 1 = 0 cuando S = ;; pero
esto también sucede cuando S no es vacía ya que �S (T [ fig) = �S (T ) = 0:
Luego, el jugador i es un jugador dummy en el juego �S: 2
Teorema 2.7 Sea A un antimatroide. Existe un único valor de grupo �A
sobre � (A) que veri�ca los axiomas de linealidad, jugador dummy, e�ciencia
y A-cadenas. Además, para todo i 2 N; y cada juego v 2 � (A) ; se tiene
�Ai (v) =
XfS2A:i2au(S)g
c (S) c ([S [ fig ; N ])
c (A)[v (S [ fig)� v (S)] ;
donde c (A) representa el número de cadenas maximales de (A;�).
Demostración: Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (A) que veri�ca
los axiomas de linealidad, dummy, e�ciencia y A-cadenas. Se de�ne, para
cada i 2 N; v 2 � (A)
�Ai (v) =
XfS2A:i2au(S)g
i (�S) [v (S [ fig)� v (S)] :
Se probará que, cualquiera que sea i 2 N; se veri�ca i (�T ) = �Ai (�T )
para todo juego �T , con T 2 A; T 6= N . Se distinguirán dos casos.
Sea T 2 A tal que i =2 au (T ) : Por el lema previo y el axioma del jugador
dummy se tiene i (�T ) = 0. Además, como las contribuciones marginales
de i en �T son todas nulas, se obtiene también que �Ai (�T ) = 0.
En el caso contrario, cuando i 2 au (T ) ; se tendría que las contribuciones
marginales de dicho jugador en el juego �T ; para una coalición S 2 A tal
52 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
que i 2 au (S) ; valen 1 si S � T; puesto que S [ fig no está contenida en
T; y valen cero en otro caso. Con ello se consigue, teniendo en cuenta la
segunda parte del lema anterior, el axioma del jugador dummy y el axioma
de linealidad,
�Ai (�T ) =
XfS2A:i2au(S);S�Tg
i (�S) =X
fS2A:S�Tg
i (�S)
= i
0@ XfS2A:S�Tg
�S
1A = i (�T ) :
La última igualdad sigue de que, por la Proposición 2.1, �T = ��NnT y que,
con la expresión (1.2), se tiene
�NnT =X
fNnS2L:NnS�NnTg
�NnS ;
lo que implica, por ser F un isomor�smo, que
�T =X
fNnS2L:NnS�NnTg
��NnS =X
fS2A:S�Tg
�S:
Queda así probado que los operadores �A y coinciden sobre un con-
junto de juegos que constituye una base del espacio vectorial � (A) ; y de
ahí que �A = : Para �nalizar la demostración se calculará la familia
fi (�S) : S 2 A; i 2 au (S)g.
Aplicando el axioma de e�ciencia a un juego v 2 � (A) se obtieneXi2N
i (v) =Xi2N
XfS2A:i2au(S)g
i (�S) [v (S [ fig)� v (S)]
=XS2A
24 Xfj2S:Snfjg2Ag
j
��Snfjg
��X
i2au(S)
i (�S)
35 v (S) = v (N) :
Para el juego �; la fórmula implica que
XfS2A:S 6=;g
24 Xfj2S:Snfjg2Ag
j
��Snfjg
��X
i2au(S)
i (�S)
35 = 1;
2.2 El Valor de Shapley 53
y ordenando por cardinal las diferencias, comenzando desde N; resulta
Xfj12N :Nnfj1g2Ag
j1
��Nnfj1g
�
+X
fj12N :Nnfj1g2Ag
24 Xfj22Nnfj1g:Nnfj1;j2g2Ag
j2
��Nnfj1;j2g
�� j1
��Nnfj1g
�35+ � � �+
Xi2au(;)
24i (�;)�X
jn�12au(fig)
jn�1
��fig�35 = 1;
donde se observa que los términos se van anulando con el posterior de signo
opuesto, quedando simplemente,Xi2au(;)
i (�;) = 1: (2.1)
Por otro lado, para un juego cualquiera �T con T 2 A, T 6= ;; N se tieneXfj2T :Tnfjg2Ag
j
��Tnj
�=
Xi2au(T )
i (�T ) : (2.2)
Por último, se aplicará el axioma de A-cadenas en las identidades (2.1) y
(2.2).
Para el juego �; y jugadores i; j 2 au (;) ; el axioma de A-cadenas implica
que
c ([fig ; N ]) j (�;) = c ([fjg ; N ]) i (�;) ,
con lo que se obtiene de la ecuación (2.1), eligiendo un jugador i 2 au (;),
i (�;)
c ([fig ; N ])
Xj2au(;)
c ([fjg ; N ]) = 1:
De ahí se llega a
i (�;) =c ([fig ; N ]) c (;)
c (A);
54 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
porqueP
j2au(;) c ([fjg ; N ]) = c (A) y c (;) = 1. Se probará ahora que, para
toda coalición factible S del matroide de cardinal s; s < n; se veri�ca
i (�S) =c (S) c ([S [ fig ; N ])
c (A);
suponiendo que la expresión anterior es válida para toda coalición factible de
cardinal menor que s.
En efecto, el axioma de A-cadenas garantiza que, �jado i 2 au (S) ; se
tiene que para todo k 2 au (S)
k (�S) = i (�S)c ([S [ fkg ; N ])
c ([S [ fig ; N ]):
Así, la ecuación (2.2) se escribirá como
i (�S)
c ([S [ fig ; N ])
Xk2au(S)
c ([S [ fkg ; N ]) =c ([S;N ])
c (A)
Xfj2S:Snfjg2Ag
c (S n fjg) ;
y comoX
k2au(S)
c ([S [ fkg ; N ]) = c ([S;N ]),X
fj2S:Snfjg2Ag
c (S n fjg) = c (S) ;
se obtiene la igualdad buscada.
Sustituyendo los coe�cientes fi (�S) : S 2 A; i 2 au (S)g en la expresión
obtenida de i se sigue la formulación del enunciado. 2
De�nición 2.8 Sea A un antimatroide. Se denomina valor de Shapley para
juegos sobre el antimatroide A al único valor de grupo �A : � (A) �! RN
que veri�ca los axiomas de linealidad, dummy, e�ciencia y A-cadenas.
Corolario 2.9 Sea L una geometría convexa y A su antimatroide dual. El
operador dual F : � (L) �! � (A) y los valores de Shapley �L y �A veri�can
que �L = �A � F:
2.2 El Valor de Shapley 55
Demostración: Al ser los tres operadores implicados lineales, basta con
demostrar que, para todo juego de unanimidad �S 2 � (L) ; se tiene
�L (�S) = �A (F (�S)) :
Por la Proposición 2.1, el dual de �S es el juego �NnS 2 � (A). El Teorema
2.5 implica
�Li (�S) =
XfT2L:i2ex(T )g
c (T n fig) c ([T;N ])
c (L)[�S (T )� �S (T n fig)]
=X
fT2L:i2ex(T );S�Tg
c (T n fig) c ([T;N ])
c (L);
si i 2 ex (S) ; además, por el Lema 2.4 y el axioma del jugador dummy se
tiene �Li (�S) = 0 en otro caso. Mediante el Teorema 2.7 y el Lema 2.6 el
valor de Shapley sobre �NnS es
�Ai
��NnS
�=
XfR2A:i2au(R)g
c (R) c ([R [ fig ; N ])
c (A)
��NnS (R [ fig)� �NnS (R)
�=
XfR2A:i2au(R);R�NnSg
c (R) c ([R [ fig ; N ])
c (A);
si i 2 au (N n S) ; y 0 en otro caso.
Teniendo en cuenta ahora la relación (1.6) existente entre los puntos ex-
tremales de una coalición factible T 2 L y los puntos aumentadores de la
coalición N n T 2 A, es fácil comprobar que existe una aplicación biyec-
tiva que asocia a cada elemento del conjunto fT 2 L : i 2 ex (T ) ; S � Tg
un único elemento de fR 2 A : i 2 au (R) ; R � N n Sg. Además, también
existe una biyección entre las cadenas maximales de (L;�) y las de (A;�) :
En concreto, a una cadena maximal de L descrita mediante un orden aleato-
rio (i1; i2; : : : ; in), le corresponde en el antimatroide dual A la cadena re-
presentada por el orden de jugadores (in; : : : ; i2; i1). Luego c (A) = c (L).
De igual forma se comprueba que el número de cadenas maximales del in-
tervalo [;; T n fig] en L coincide con el de cadenas maximales del intervalo
56 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
[(N n T ) [ fig ; N ] en el antimatroide A; lo cual sucede también para las
cadenas maximales del intervalo [T;N ] en L y las de [;; N n T ] en A.
Se obtiene entonces queXfT2L:i2ex(T );S�Tg
c (T n fig) c ([T;N ])
c (L)=
XfR2A:i2au(R);R�NnSg
c (R) c ([R [ fig ; N ])
c (A),
y, en consecuencia, el resultado es cierto. 2
2.3 El Índice de Banzhaf
Sean L una geometría convexa y A un antimatroide. Considérense los con-
juntos de juegos simples �s (L) y �s (A).
El índice de Banzhaf para un juego simple se va a de�nir teniendo en
cuenta las veces que un jugador es vital en dicho juego, en el sentido de que
su participación sea la que provoca una coalición ganadora. A diferencia con
lo que sucedía con el valor de Shapley, en su de�nición no se considera el
orden de participación de los jugadores.
De�nición 2.10 Un swing factible (o convexo) de un jugador i en un juego
simple v 2 �s (L) es un par (S; S n fig) tal que S 2 L; i 2 ex(S) y se veri�ca
v(S) = 1; v(S n fig) = 0.
Un swing factible de un jugador i en un juego simple v 2 �s (A) es un
par (T; T [ fig) tal que T 2 A, i 2 au (T ) y se veri�ca v (T [ fig) = 1;
v (T ) = 0.
El número de swings convexos de un jugador i en un juego v 2 �s (L) se
denotará por csi(v), y el número total de swings en v es
cs(v) =Xi2N
csi(v):
Análogamente, el número de swings factibles de i en v 2 �s (A) se represen-
tará por asi (v), y el número total de swings en v es as(v) =P
i2N asi(v).
2.3 El Índice de Banzhaf 57
Es inmediato que el número de swings factibles de un jugador se puede ex-
presar mediante sus contribuciones marginales, como se indica en el siguiente
resultado.
Proposición 2.11 Sean L una geometría convexa y A un antimatroide.
Para todo i 2 N; se veri�ca
(1) Si v 2 �s (L), entonces csi (v) =X
fS2L:i2ex(S)g
[v (S)� v (S n fig)] :
(2) Si v 2 �s (A), entonces asi (v) =X
fT2A:i2au(T )g
[v (T [ fig)� v (T )] :
A continuación se probará que el número de swings convexos de un ju-
gador en un juego simple sobre una geometría convexa, coincide con el de
swings factibles de dicho jugador en el juego dual de�nido sobre el antima-
troide dual.
Proposición 2.12 Sean v un juego simple sobre la geometría convexa L, y
v� su juego dual sobre el antimatroide dual A. Entonces, para todo i 2 N; se
tiene asi(v�) = csi(v):
Demostración: Basta probar que, para todo i 2 N; (S; S [ fig) es un
swing factible de i para el juego v� en el antimatroide A si, y sólo si,
(N n S; (N n S) n fig) es un swing convexo del mismo jugador para el juego
v en L. En efecto,
v� (S [ fig)� v� (S) = v (N)� v (N n (S [ fig))� v (N) + v (N n S)
= v (N n S)� v ((N n S) n fig) .
2
Sea L una geometría convexa. Se de�ne el poder extremal Ei de un jugador
i 2 N; como el cardinal del siguiente conjunto
Ei = jfT 2 L : i 2 ex(T )gj :
58 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Además, se denominará poder extremal de i sobre S 2 L al siguiente número
Ei(S) = jfT 2 L : i 2 ex(T ); S � Tgj .
El cociente Ei(S)=Ei se llamará poder relativo extremal de i sobre S:
Análogamente, en un antimatroide A, se pueden de�nir los correspon-
dientes poderes aumentadores de un jugador i 2 N; como
Xi = jfR 2 A : i 2 au(R)gj ;
Xi(S) = jfR 2 A : i 2 au(R); R � Sgj ,
y su cociente.
Obsérvese que cuando L y A son duales, entonces la aplicación biyectiva
comentada en la demostración del corolario de la sección anterior entre los
conjuntos fT 2 L : i 2 ex (T ) ; S � Tg y fR 2 A : i 2 au (R) ; R � N n Sg per-
mite a�rmar que para una coalición S 2 L;
Xi(N n S) = Ei(S).
En particular, para S = ;; se consigue
Xi = Ei:
Considerando la relación entre los swings convexos de un jugador y el
conjunto de todas las coaliciones convexas donde el jugador es extremal,
es decir, el cociente entre casos favorables de swings convexos sobre casos
posibles, se de�ne el siguente concepto.
De�nición 2.13 Sea L una geometría convexa. Para todo jugador i 2 N;
el número cs0i (v) dado por
cs0i (v) =csi (v)
Ei;
2.3 El Índice de Banzhaf 59
se denomina probabilidad de swing convexo del jugador i 2 N en el juego
v 2 �s (L).
Análogamente, dado un antimatroide A, la probabilidad de swing factible
de un jugador i en el juego v 2 �s (A) es as0i (v) = asi (v) =Xi.
Las sumasXi2N
cs0i (v) yXi2N
as0i (v) ; se denotarán en lo sucesivo por cs0 (v)
y as0 (v), respectivamente.
Obsérvese que la de�nición anterior es una extensión de la análoga dada
por Dubey y Shapley [17] para juegos simples sobre 2N : Evidentemente, por
la Proposición 2.12 y la igualdad Xi = Ei, se tiene que si v 2 �s (L) y v� es
su dual en el antimatroide dual A, entonces as0i (v�) = cs0i (v).
A continuación se va a calcular el número de swings de un jugador para
los juegos de unanimidad sobre una geometría convexa y sus duales.
Proposición 2.14 Sean L una geometría convexa y A su antimatroide dual.
El número de swings convexos del jugador i 2 N en el juego de unanimidad
�S 2 �s (L) es
csi (�S) =
(0; si i =2 ex(S)
Ei(S); si i 2 ex(S):
Además, el número de swings factibles de i 2 N en el juego �S 2 �s (A) es
asi (�S) =
(0; si i =2 au(S)
Xi(S); si i 2 au(S):
Demostración: Por la Proposición 2.11 se tiene que
csi (�S) =X
fT2L:i2ex(T )g
[�S (T )� �S (T n fig)] :
Cuando i =2 ex(S); entonces csi (�S) = 0 ya que el Lema 2.4 asegura
que el jugador i es dummy en �S. En el caso de que i 2 ex(S) se tiene que
�S(T )��S(T nfig) = 1 si y sólo si T 2 L y T � S; por lo que csi (�S) = Ei(S):
60 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Para obtener la expresión del enunciado para asi (�S) basta ahora aplicar
la Proposición 2.12 y las igualdades Xi(S) = Ei(N nS) y au (S) = ex(N nS):
2
De�nición 2.15 Se denomina índice convexo de Banzhaf de un juego simple
v de�nido sobre una geometría convexa L, al vector cuyas componentes son
el número de swings convexos de los diferentes jugadores en el juego dado,
es decir, el vector (csi (v))i2N :
A partir de la de�nición anterior, cabe introducir el concepto de el índice
convexo normalizado de Banzhaf como la aplicación �L : �s(L) �! RN ;
�L(v) =��Li (v)
�i2N
; donde
�Li (v) =csi(v)
cs(v):
Y también, el índice convexo probabilístico de Banzhaf como la aplicación
� 0L : �s(L) �! RN ; � 0L(v) =�� 0L(v)
�i2N
; donde
� 0L(v) =csi(v)
Ei= cs0i(v):
Utilizando la Proposición 2.11, estos índices se pueden expresar de la
siguiente manera:
�Li (v) =X
fS2L:i2ex(S)g
1
cs(v)[v (S)� v (S n fig)] ;
� 0Li (v) =X
fS2L:i2ex(S)g
1
Ei[v (S)� v (S n fig)] :
Nótese que el nombre de índice probabilísitco dado a � 0L(v) se debe a queXfS2L:i2ex(S)g
1
Ei= 1:
2.3 El Índice de Banzhaf 61
Análogamente se de�nen los índices normalizado y probabilístico de Banzhaf
para juegos simples sobre un antimatroide A.
Se utilizará seguidamente que el dual de un juego simple sobre una geome-
tría convexa es también un juego simple sobre el antimatroide dual, para
probar un resultado en el que se pone de mani�esto la relación existente
entre los conceptos anteriores.
Teorema 2.16 Sean L una geometría convexa y A su antimatroide dual. El
operador dual F : � (L) �! � (A) y los índices normalizados y probabilísticos
de Banzhaf veri�can las siguientes relaciones:
�L = �A � F;
� 0L = � 0A � F:
Demostración: Puesto que
�Ai (v) =asi(v)
as(v); � 0Ai (v) = as0i(v);
basta utilizar la Proposición 2.12 y la igualdad as0i (v�) = cs0i (v) para obtener
el resultado. 2
Se estudian ahora axiomas que permitan caracterizar los índices de Banzhaf
en geometrías convexas. En primer lugar, se verá que el índice convexo de
Banzhaf veri�ca la propiedad de transferencia, lo que signi�ca que sus compo-
nentes de�nen aplicaciones modulares sobre el retículo de los juegos simples.
Proposición 2.17 Sea L una geometría convexa. Para todo i 2 N; se veri-
�ca que
csi (v _ w) + csi (v ^ w) = csi (v) + csi (w) ; para todo v; w 2 �s(L):
Demostración: De la tabla siguiente
62 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
v w v _ w v ^ w v + w (v _ w) + (v ^ w)
1 1 1 1 2 2
1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0
se puede concluir que
(v _ w) + (v ^ w) = v + w:
Ahora bien, utilizando la Proposición 2.11, es inmediato comprobar que
el número de swings convexos de la suma de dos juegos es la suma de los
swings convexos de dichos juegos. 2
Nótese que el índice normalizado de Banzhaf no satisface la propiedad
anterior, debido a que su expresión está dada por un cociente en el que el
denominador depende del juego considerado. Sin embargo, el índice proba-
bilístico no tiene este problema.
Dada una geometría convexa L, y un valor de grupo ' : �(L) �! RN ;
' = ('i)i2N , se consideran los siguientes axiomas.
Un jugador i 2 N se dice que es un jugador nulo en un juego v 2 �s (L)
si, para cada S 2 L tal que i 2 ex (S), se veri�ca que
v (S)� v (Sn fig) = 0:
Axioma del jugador nulo. Si i 2 N es un jugador nulo en v 2 �s (L) ;
entonces 'i (v) = 0:
Axioma de totalidad de swings. Para todo juego v 2 �s (L), se veri�caXi2N
'i(v) = cs(v):
Axioma de poder extremal. Para toda coalición S 2 L; y cualesquiera
i; j 2 ex (S), se tiene
Ei (S)'j (�S) = Ej (S)'i (�S) :
2.3 El Índice de Banzhaf 63
Axioma de transferencia. Si v; w 2 �s(L); entonces
' (v) + ' (w) = ' (v _ w) + ' (v ^ w) :
Ahora se probará que los axiomas anteriores caracterizan al índice convexo
normalizado de Banzhaf.
Teorema 2.18 Sea L una geometría convexa. Existe un único valor de
grupo ' sobre �s(L) que satisface los axiomas del jugador nulo, totalidad
de swings, poder extremal y transferencia. Además, el índice convexo nor-
malizado de Banzhaf �L, veri�ca
�L(v) =1
cs(v)'(v); para todo v 2 �s (L) :
Demostración: Sea S una coalición convexa de L. Si j =2 ex(S); se sabe
que j es un jugador nulo para �S (Lema 2.4); por tanto, como ' veri�ca el
axioma del jugador nulo, se tieneXi2N
'i(�S) =X
j2ex(S)
'j(�S):
Si i 2 ex(S); se tiene S 2 fT 2 L : i 2 ex (T )g y S � S; por tanto
Ei(S) 6= 0: De ahí que tomando también j 2 ex(S); y utilizando el axioma
de poder extremal, se veri�que
'j(�S) =Ej(S)
Ei(S)'i(�S):
Así, mediante el axioma de totalidad de swings, se llega a
cs (�S) =X
j2ex(S)
'j(�S)
=X
j2ex(S)
Ej(S)
Ei(S)'i(�S)
='i(�S)
Ei(S)
Xj2ex(S)
Ej(S):
64 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Por otro lado, como la Proposición 2.14 asegura queXj2ex(S)
Ej(S) = cs(�S) y Ei(S) = csi(�S);
se sigue que 'i(�S) = csi (�S).
Se verá ahora, aplicando el axioma de transferencia, que los valores obteni-
dos de 'i sobre los juegos de unanimidad de�nen de forma única el valor
sobre los demás juegos del conjunto �s (L) : En efecto, si S1; : : : ; Sp son las
coaliciones convexas ganadoras minimales para un juego v 2 �s (L) ; v 6= b0;usando la monotonía de v; se obtiene que
v = �S1 _ �S2 _ : : : _ �Sp:
Luego, por el axioma de transferencia,
' (v) = ' (�S1) + '��S2 _ : : : _ �Sp
�� '
��S1 ^ (�S2 _ : : : _ �Sp)
�:
Nótese que cada juego que aparece en el segundo miembro de esta expresión es
un juego con menos coaliciones convexas ganadoras que v. En particular para
el último juego del segundo miembro se tiene que las coaliciones ganadoras
minimales son S1 [ Sm donde m = 2; : : : ; p. Así, se demuestra por inducción
sobre el número de coaliciones convexas ganadoras minimales que ' (v) está
completamente deteminado por los valores 'i(�S) obtenidos anteriormente,
obteniéndose ' (v) = csi (v). Si v = b0; entonces todos los jugadores son nulos
en v y, por tanto, 'i�b0� = 0.
Finalmente, es inmediato que �L(v) =1
cs(v)'(v). 2
Para llegar a una caracterización del índice convexo probabilístico de
Banzhaf sobre una geometría convexa, es necesario sustituir los axiomas de
totalidad de swings y poder extremal por los siguientes:
Axioma de totalidad de probabilidades de swings. Para todo v 2 �s (L),
se veri�ca Xi2N
'i(v) = cs0(v):
2.3 El Índice de Banzhaf 65
Axioma de poder extremal relativo. Para toda coalición S 2 L; y cua-
lesquiera i; j 2 ex (S), se tiene
Ei (S)
Ei'j (�S) =
Ej (S)
Ej'i (�S) :
El resultado siguiente se obtiene con una demostración similar a la del
Teorema 2.18.
Teorema 2.19 Sea L una geometría convexa. Existe un único valor de
grupo '0 sobre �s(L) que satisface los axiomas del jugador nulo, totalidad de
probabilidades de swings, poder extremal relativo y transferencia. Además, el
índice convexo probabilístico de Banzhaf � 0L, veri�ca
� 0L(v) = '0(v); para todo v 2 �s (L) :
Cuando se trabaja con un antimatroideA se puede igualmente demostrar
resultados similares a los expuestos en la Proposición 2.17 y los Teoremas 2.18
y 2.19, aunque utilizando en este caso el axioma de totalidad sobre el numero
de swings factibles y el axioma de poder aumentador. Este último axioma se
enuncia así: Para toda coalición S 2 A; y cualesquiera i; j 2 au (S), se tiene
Xi (S)'j (�S) = Xj (S)'i (�S) :
En el último resultado de esta sección, se considera la geometría convexa
(N;L2k+1) ; donde N = f1; 2; : : : ; 2k + 1g y L2k+1 es la familia formada por
los subconjuntos de la forma
[i; j] = fi; i + 1; : : : ; j � 1; jg con 1 � i � j � 2k + 1;
y se muestran los índices de Banzhaf para el juego de mayoría simple de�nido
por v : L2k+1 �! R tal que
v (S) =
(1; si jSj � k + 1
0; si jSj � k:
66 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Proposición 2.20 Sea v el juego de mayoría simple sobre la geometría con-
vexa L2k+1: Los índices de Banzhaf, normalizado y probabilístico, (�i (v))i2Ny (� 0i (v))i2N ; son tales que
�i (v) =
(1
2k+2; si i 6= k + 1
1k+1
; si i = k + 1:
� 0i (v) =
(1
2k+1; si i 6= k + 1
22k+1
; si i = k + 1:
para todo i 2 N:
Demostración: La fórmula correspondiente al índice normalizado es debida
a Edelman [19]. Por tanto, se trata aquí de deducir la correspondiente al
índice probabilístico.
Se calculará primero el poder extremal Ei de cada jugador i 2 N . Para
todo j � i; el intervalo [i; j] es una coalición convexa donde i es un jugador
extremal. Así, hay 2k+1� (i� 1) = 2k+2� i posibles coaliciones convexas
de la forma anterior en las que i es extremal. Por otro lado, los intervalos
de la forma [j; i] ; con j < i, de los que hay en total i� 1; también tienen al
jugador i como extremal. Entonces, para todo jugador i; se tiene Ei = 2k+1:
Por otro lado, como el número de swings convexos está dado por
csi (v) =
(1; if i 6= k + 1
2; if i = k + 1;
se llega al resultado del enunciado. 2
2.4 El Valor de Tijs
En esta sección se extiende la noción conocida como valor de Tijs [53] a
juegos de�nidos sobre un antimatroide, para lo que es necesario considerar
en lo sucesivo que A es un antimatroide con la propiedad de ser coatómico;
2.4 El Valor de Tijs 67
esto es, se supondrá que todos los subconjuntos de N de cardinal n� 1 son
coaliciones factibles. Nótese que esto plantea la posiblidad de que todos los
jugadores pueden abandonar individualmente la gran coalición. Dicha exten-
sión permitirá, posteriormente, considerar para juegos sobre una geometría
convexa atómica, el correspondiente valor.
Se denomina vector superior del juego v 2 � (A) al vector Mv 2 RN
cuyas componentes son
Mvi = v (N)� v (N n fig) ; para todo i 2 N:
Nótese que la componente i�ésima de dicho vector es la contribución mar-
ginal del jugador i a la gran coalición, y se puede considerar como la expec-
tativa de pago que tiene dicho jugador. Por tanto, si todos los jugadores de
una coalición no vacía S 2 A recibiesen dicho pago, entonces lo que podría
esperar recibir un jugador i 2 au (S) por su contribución a la coalición S[fig
sería el resto
Rv (S; i) = v (S [ fig)�Mv (S) ;
donde Mv (S) =P
i2SMvi .
Se puede entonces pensar que la menor cantidad esperada por un jugador
que participa en el juego es el mayor de los restos que puede conseguir. Así
se denomina vector inferior del juego v al vector mv 2 RN que tiene por
componentes
mvi = max
fS2A:i2au(S)gfRv (S; i)g para todo i 2 N:
Siguiendo el modelo de Driessen y Tijs [16], se de�ne ahora la función de
desfase, gv : A ! RN , del juego v mediante la expresión
gv (S) =Mv (S)� v (S) ; para todo S 2 A.
Se observa que gv es un juego sobre el antimatroide A, al ser Mv (;) = 0:
La máxima concesión que un jugador i puede hacer en el juego v es
�vi = minfS2A:i2au(S)g
gv (S [ fig) ;
68 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
de forma que el vector �v = (�i)i2N se denomina vector de concesiones.
Es fácil comprobar que el vector inferior no es más que la diferencia entre
el vector superior y el de concesiones,
mv =Mv � �v:
La siguiente proposición señala algunas de las propiedades de la función
de desfase y de los vectores que se han de�nido. Se omite la demostración por
no ofrecer variaciones signi�cativas con respecto a la del resultado original
correspondiente. En lo sucesivo se debe entender que todo vector d 2 RN
de�ne un juego d 2 � (A), tal que d (S) =Xi2S
di:
Proposición 2.21 Sea A un antimatroide coatómico. Para todo v 2 � (A),
d 2 RN y � 2 R, se veri�ca:
(1) M�v+d = �Mv + d:
(2) Si S 2 A, i 2 au (S) ; entonces R�v+d (S; i) = �Rv (S; i) +di.
(3) g�v+d (S) = �gv (S) ; para todo S 2 A.
(4) ��v+d = ��v, si � � 0.
(5) m�v+d = �mv + d; si � � 0:
De�nición 2.22 Un juego v 2 � (A) es quasiequilibrado sobre el antima-
troide A, si veri�ca
(a) mv �Mv:
(b) mv (N) � v (N) � Mv (N) :
La clase de juegos quasiequilibrados se denotará por QB (A) :
2.4 El Valor de Tijs 69
Mediante la función de desfase o el vector de concesiones se puede también
expresar el conjunto de juegos QB (A).
QB (A) = fv 2 � (A) : �v � 0; mv (N) � v (N) � Mv (N)g
QB (A) = fv 2 � (A) : gv (S) � 0 8S 2 A; gv (N) � �v (N)g (2.3)
La utilización de este tipo de juegos asegura la existencia de un valor en los
siguientes términos.
De�nición 2.23 Sea v 2 QB (A). El � -valor o valor de Tijs de v, es el
vector � (v) 2 RN , tal que, construido en la forma
� (v) = mv + � (Mv �mv) ;
veri�caXi2N
�i (v) = v (N). Es decir,
� (v) =
8<: Mv si gv (N) = 0
Mv �gv (N)
�v (N)�v si gv (N) > 0:
Una caracterización del valor de Tijs para juegos en un antimatroide cuya
demostración es análoga a la realizada para 2N en Driessen [15] se da en el
siguiente resultado.
Teorema 2.24 El � -valor, � : QB (A) �! RN ; es el único valor de grupo
sobre QB (A) que veri�ca las siguientes propiedades:
(1)Xi2N
i (v) = v (N) ; para todo v 2 QB (A) :
(2) i (�v + d) = �i (v) + di; para todo v 2 QB (A) ; d 2 RN ; � > 0:
(3) Para todo v 2 QB (A) tal que �v = 0; (v) es proporcional al vector
superior Mv.
70 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Para poder seguir el proceso anterior de construcción del valor de Tijs
en una geometría convexa L, sería necesario exigir que ésta fuera coatómica.
Pero, en ese caso, L coincidiría con el álgebra de Boole 2N . Este hecho
hace que aquí se utilice otra vía para tal �n. Se considerará que L es una
geometría convexa atómica, y se utilizará el valor de Tijs de�nido para los
juegos quasiequilibrados sobre su antimatroide dual A (que es coatómico).
Una geometría convexa es atómica si contiene todas las coaliciones individ-
uales.
De�nición 2.25 Sea L geometría convexa atómica y A su antimatroide
dual. Se denomina � -valor o valor de Tijs de un juego v 2 � (L) al vec-
tor �L (v) 2 RN dado por
�L (v) = �A (v�) ;
donde �A (v�) es el valor de Tijs del dual del juego v:
El concepto anterior de � -valor en una geometría convexa atómica no
siempre tiene sentido a menos que el juego dual sea quasiequilibrado en el
antimatroide dual. Por ello, en el siguiente resultado, se obtiene una condi-
ción su�ciente, en términos del juego v; bajo la cual se puede asegurar que
su dual v� es quasiequilibrado.
Proposición 2.26 Sea L una geometría convexa atómica y A su antima-
troide dual. Si un juego v 2 � (L) veri�ca las propiedades siguientes:
(1) Para toda T 2 L, T 6= N; se tiene que
v (N)� v(T ) �Xi2NnT
v (fig) ;
(2) El vector x = (xi)i2N cuyas componentes son las mayores contribu-
ciones de cada jugador, xi = maxfS2L:i2ex(S)g [v (S)� v (S n fig)], sa-
tisface Xi2N
xi � v (N) ;
2.4 El Valor de Tijs 71
entonces su juego dual v� es quasiequilibrado.
Demostración: Sea v 2 � (L) un juego que veri�ca las propiedades (1) y
(2). Se probará que su juego dual v� es quasiequilibrado usando la expresión
(2.3), es decir, comprobando que gv (S) � 0 8S 2 A; gv (N) � �v (N).
Para todo i 2 N; se tiene
Mv�
i = v� (N)� v� (N n i) = v (N)� [v (N)� v (N n fig)] = v (fig) .
Por tanto, la función de desfase del juego v�; para cada coalición no vacía
S 2 A, está dada por
gv�
(S) =Mv� (S)� v� (S) =Xi2S
v (fig)� v (N) + v (N n S) ;
y veri�ca que gv�(S) � 0; por cumplirse (1).
En particular,
gv�
(N) =Xi2N
v (fig)� v (N) :
Por otra parte,
�v�
(N) =Xi2N
minfS2A:i2au(S)g
[X
j2S[fig
v (fjg)� v (N) + v ((N n S) n fig)
�v (N n S)]
�Xi2N
minfS2A:i2au(S)g
[�v (N n S) + v (fig) + v ((N n S) n fig)]
=Xi2N
�v (fig)� max
fS2A:i2au(S)g[v (N n S)� v ((N n S) n fig)]
�=
Xi2N
�v (fig)� max
fT2L:i2ex(T )g[v (T )� v (T n fig)]
�=
Xi2N
v (fig)� x (N) � gv�
(N) ;
donde en la primera desigualdad se ha usado (1) para T = N n S 2 L, y en
la última se utiliza (2). 2
72 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
El siguiente ejemplo pone de mani�esto que la condición dada en la
proposición anterior no es una condición necesaria para que el juego v� sea
quasiequilibrado.
Ejemplo 2.27 Se considera el sistema de coaliciones (N;L), donde el con-
junto de jugadores es N = f1; 2; 3g y
L = f;; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f2; 3g ; f1; 2; 3gg :
En la Figura 2.1 se representa el diagrama de Hasse de dicha geometría
convexa y en la Figura 2.2 el de su antimatroide dual A. Obsérvese que L
es atómica y que A es coatómico.
Se considera el juego v 2 � (L), dado por
v (f1g) = 4; v (f2g) = 5; v (f3g) = 3;
v (f1; 2g) = 3; v (f2; 3g) = 2; v (N) = 5:
Se comprueba que dicho juego veri�ca la condición (1) de la proposición
anterior, pero no la condición (2) ya que el vector x, en este caso, es x =
(4; 5; 2) : Sin embargo, su juego dual v� es
v� (f1g) = 3; v� (f3g) = 2; v� (f1; 3g) = 0;
2.4 El Valor de Tijs 73
v� (f1; 2g) = 2; v� (f2; 3g) = 1; v� (N) = 5;
y puede comprobarse que se trata de un juego quasiequilibrado sobre el an-
timatroide A, puesto que Mv� = (4; 5; 3) y mv� = (3;�2; 2). Entonces, el
valor de Tijs del juego v es �L (v) = (29=9;�4=9; 20=9).
74 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides
Capítulo 3
Un Modelo para Juegos sobre
Matroides
En este capítulo se plantea un modelo de cooperación por el que se pueden
desarrollar juegos de�nidos sobre un sistema de coaliciones con estructura de
matroide, que no considera las posibles estrategias de los jugadores. Como
ya se indicó en la sección 1.4, en esta estructura la gran coalición puede no
ser factible, y, en ese caso, las coaliciones maximales no son disjuntas. En
la primera sección, se presenta el modelo construido en esta memoria y sus
distintas formas de enfocarse. En la segunda sección, se estudia un valor
asociado a cada coalición y determinado exclusivamente por la estructura.
3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación
Al igual que en los juegos cooperativos clásicos, donde se supone que toda
coalición entre los jugadores es posible y que interesa a todos ellos la forma-
ción de la gran coalición, en un juego sobre un matroide M se partirá de la
idea de que a los jugadores les interesa cooperar al máximo de sus posibi-
lidades. En este caso, la estructura de cooperación de�nida por el matroide
establece que, en general, no existe cooperación total entre los jugadores, y
75
76 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
por ello, se formará una coalición básica del matroide que no es conocida de
antemano por los jugadores. Puede suceder que la única cuestión a diluci-
dar sea qué coalición básica se formará, y que una vez se haya resuelto esta
cuestión, sólo se trate de repartir el bene�cio obtenido por la cooperación
entre los jugadores que la integran. Otra posibilidad, en el desarrollo del
juego (si hay más de un jugador yM no es el matroide libre), es que una vez
que se forme una coalición básica A1, el juego continúe entre los restantes
jugadores. Entonces, si se piensa que las coaliciones factibles vienen aún
determinadas por las del matroide original, se deberá considerar el matroide
MnA1. Nuevamente, los jugadores de N nA1 intentarán cooperar al máximo
de sus posibilidades, y se formará de nuevo una coalición básica del ma-
troide MnA1. Este proceso puede continuar hasta que participen todos los
jugadores iniciales, o bien acabar sin haber participado todos ellos.
El modelo de cooperación en un matroide anteriormente expuesto, se de-
nominarámodelo secuencial, ya que, en cualquier caso, el desarrollo del juego
supone la formación de una secuencia de coaliciones básicas determinadas por
el matroide dado.
Se distinguirán en esta memoria, además, dos tipos de modelo secuencial.
Se llamará modelo estático a aquél que consiste en determinar sólo una coali-
ción básica del matroide dado; y se denominará modelo dinámico aquel en el
que los jugadores se van organizando en varias coaliciones determinadas por
el matroide, de manera que todos los jugadores participan.
Ejemplo 3.1 Tres compañías aéreas que realizan trayectos según la �gura
3.1 intentan establecer una alianza para ampliar su oferta. Las coaliciones
entre compañías que no ofrecen nuevos servicios a sus usuarios no se con-
sideran factibles, dando como resultado el matroide M de la �gura 3.2. El
valor de una coalición es el bene�cio neto que se puede obtener en un cierto
tiempo. El juego se desarrolla según el modelo dinámico, pues una compañía
puede quedarse sola en el mercado, aunque sea su peor posibilidad.
3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación 77
En un primer paso se decidirá qué alianza se formaliza, f1; 2g ó f2; 3g.
Supóngase que ocurre A1 = f1; 2g, entonces ambos jugadores se reparten
los bene�cios mediante alguna técnica de juegos cooperativos aplicada al ál-
gebra de Boole 2A1. Por otro lado, la compañía 3 no tiene porqué abandonar
el juego y puede permanecer en el mercado sola. Por tanto continuaría el
juego con el matroide MnA1; formado por la coalición individual f3g y el
vacío, escogiéndose ahora la coalición básica f3g de este nuevo matroide, y
obteniendo 3 en este caso sus bene�cios individuales. Pero el juego también
podría haber discurrido mediante la formación de f2; 3g y la posterior de f1g.
Ejemplo 3.2 Un municipio quiere explotar de forma industrial el terreno
lindante con un lago. Ha recibido 5 solicitudes de empresas en las que se
mani�estan las necesidades mínimas de agua de cada solicitante. Los estu-
dios medioambientales aconsejan que, para evitar la desecación del lago, no
se gaste más de cierta cantidad de agua como media anual. El terreno está
lejano de la población y la empresa solicitante 1 es una empresa de servicios.
Esta circunstancias hacen que el municipio busque los grupos de empresas que
podrían instalarse juntas en el terreno, y escoja una de estas posibilidades.
El siguiente diagrama muestra los posibles bloques de empresas.
78 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
El juego se plantea entre las empresas solicitantes para determinar una
coalición factible. El valor de cada coalición es el coste del terreno utilizado y
los impuestos de impacto medioambiental proporcionales al agua gastada por
la coalición. El desarrollo de este juego se enmarca en el modelo estático, en
cuanto que se formará una única coalición, que será la que obtenga el terreno
y explote el agua. Si, por ejemplo, se forma el bloque f1; 2; 5g entonces, las
empresas 3 y 4 deben abandonar el juego, puesto que su instalación en el
terreno podría desecar el lago.
En el modelo secuencial, cada vez que se forme una coalición básica B se
efectúa el reparto de bene�cios que reporta la formación de la coalición en
el juego. Juego, cuya función característica se supondrá que no varía, sino
que sólo se evalúa sobre el álgebra de Boole 2B. Así, en cada paso de la
secuencia, el reparto se puede hacer considerando los conceptos clásicos de
solución para juegos cooperativos. El estudio que se realizará en lo que sigue
tiene como �nalidad responder a las siguientes cuestiones: ¾Cómo puede cada
jugador evaluar si le interesa o no jugar, si no conoce cómo se desarrollará
el juego? Si los jugadores tienen una visión común del discurrir del juego,
¾pueden estimar, a priori, sus bene�cios? ¾Cuál es, a priori, el poder de los
jugadores, para poder establecer sus estrategias?.
3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación 79
Estas ideas se formalizarán usando las siguientes nociones y de�niciones.
Se supondrá que el matroide M es tal que M 6= f;g y queS
S2M S = N
donde N = f1; : : : ; ng.
De�nición 3.3 Una secuencia básica de un matroide M es una sucesión
ordenada de coaliciones no vacías (A1; : : : ; Ak) tal que:
(a) La primera coalición A1 2 B (M) ;
(b) Si k � 2; entonces Am 2 B (MnA1n � � � nAm�1) para todo m = 2; :::; k,
(c) El matroide MnA1n � � � nAk = f;g :
El conjunto formado por las secuencias básicas de un matroide M se
denotará por � (M). Por otro lado, se llamará semisecuencia básica del ma-
troide a toda sucesión ordenada (A1; : : : ; Ak) de coaliciones que veri�que las
condiciones (a) y (b) de la de�nición anterior. Así, toda secuencia básica del
matroide M es una semisecuencia básica. La longitud, l (�) ; de una semise-
cuencia � es el número de coaliciones que la forman. Siendo S una coalición
del matroide M, se denotará por �S (M) el conjunto de secuencias bási-
cas � = (A1; : : : ; Ak) tales que S está contenida en alguna coalición Am,
1 � m � k, de �.
Directamente de la de�nición anterior se pueden obtener las siguientes
propiedades. Si � = (A1; : : : ; Ak) es una semisecuencia básica del matroide
M, entonces:
(1) MnA1n � � � nAk es un menor de M.
(2) Am 2 M, para todo m 2 f1; : : : ; kg :
(3) Aq \ Am = ;, para m; q 2 f1; : : : kg ; m 6= q.
80 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
(4) Si � es una secuencia básica entonces
k[m=1
Am = N:
En este caso � determina una partición de N en coaliciones factibles
maximales.
De�nición 3.4 SeaM un matroide. Se denominan menores de eliminación
de M a todo menor de M de la forma MnA1n � � � nAk, donde (A1; : : : ; Ak)
es una semisecuencia básica de M. Se entenderá que dos menores de elimi-
nación de M son distintos cuando se obtienen a partir de distintas semise-
cuencias básicas. Además, por conveniencia, se supondrá en lo que resta de
memoria que todo matroide es un menor de eliminación de sí mismo.
En los siguientes ejemplos se muestra, para ciertos matroides, sus secuen-
cias básicas.
Ejemplo 3.5 (a) Sea N = f1; 2; 3; 4; 5g y considérese el matroide U35 . En
este caso hay 10 secuencias básicas, todas ellas de la forma � = (B;NnB),
donde B es cualquier coalición básica. Es decir, todas las secuencias básicas
se pueden expresar como � = (fi1; i2; i3g ; fi4; i5g).
(b) Si N = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, el matroide uniforme U36 tiene 20 secuencias
básicas, todas ellas de la forma � = (fi1; i2; i3g ; fi4; i5; i6g). Obsérvese que
las secuencias básicas de este matroide contienen dos coaliciones básicas del
matroide.
(c) Sea N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g: El matroide uniforme U38 tiene 560 se-
cuencias básicas de la forma � = (fi1; i2; i3g ; fi4; i5; i6g ; fi7; i8g).
Ejemplo 3.6 Para un matroide de oposición Mn (ikj), sólo existen dos se-
cuencias básicas posibles:
�1 = (Nn fig ; fig) y �2 = (Nn fjg ; fjg) :
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango 81
Ejemplo 3.7 Sea el matroide M de la �gura 3.3 y denótese las coaliciones
básicas como
B1 = f1; 2; 3g ; B2 = f1; 2; 4g ; B3 = f1; 2; 5g ;
B4 = f1; 3; 4g ; B5 = f1; 4; 5g :
Las secuencias básicas son:
�1 = (B1; f4; 5g) �2 = (B2; f3g ; f5g) �3 = (B2; f5g ; f3g)
�4 = (B3; f3; 4g) �5 = (B4; f2; 5g) �6 = (B5; f2; 3g) :
Obsérvese que no todas las secuencias básicas de un matroide han de tener
la misma longitud.
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego
Rango
En un juego sobre un matroide, se puede apreciar que entre los jugadores
de las coaliciones básicas hay cooperación total, esto es, si B es una coali-
ción básica del matroide M, entonces 2B � M. Así, cuando el matroide
tiene al menos dos coaliciones básicas, la cooperación, que no es total entre
los jugadores, se puede contemplar estructurada en áreas de cooperación,
determinadas por las coaliciones básicas. La diferencia fundamental entre
esta con�guración de coaliciones y la que en la literatura se conoce como
estructura de coaliciones, es que en el caso de los matroides las áreas de
cooperación no pueden ser disjuntas, debido al axioma (M2). Así, cada ju-
gador puede pertenecer a una o varias áreas de cooperación, y unos jugadores
están presentes en más áreas de cooperación que otros. En otras palabras,
los jugadores tienen distintas capacidades de cooperación en un matroide
M 6= 2N :
82 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
Si se denominan áreas de cooperación de un matroideM a sus coaliciones
básicas, se prueba que el número de áreas de cooperación de un matroide
M, b (M), es un invariante Tutte-Grothendieck, (ver [30]), del matroide por
veri�car las siguientes propiedades.
Proposición 3.8 Para cualesquiera (N;M), (N1;M1) y (N2;M2) matroides,
se veri�can las siguientes propiedades:
(1) b (M) = b (M=i) ; si i es istmo en M,
(2) b (M) = b (M=i) + b (Mni) ; si i no es istmo en M,
(3) b (M1) = b (M2) si (N1;M1) y (N2;M2) son isomorfos,
(4) b (M1 �M2) = b (M1) b (M2), donde el matroide suma directa está
formado por todas las uniones de una coalición de M1 y otra de M2.
Teniendo en cuenta que un jugador puede pertenecer a varias áreas de
cooperación del matroide, tiene sentido introducir el concepto de área de in-
�uencia de un jugador, y, en general, la siguiente noción de área de in�uencia
de una coalición factible.
De�nición 3.9 Sea S una coalición factible del matroide M. El conjunto
de áreas de in�uencia de S en el matroide M es el conjunto de coaliciones
básicas que contienen a S, es decir,
BS (M) = fB 2 B (M) : S � Bg :
Se denotará por bS (M) el cardinal de dicho conjunto.
En el caso particular de ser S = fig, se hablará de áreas de in�uencia
del jugador i y, para abreviar, se utilizará la notación Bi (M) en lugar de
Bfig (M) : Es inmediato comprobar el siguiente resultado, referente a las áreas
de in�uencia de un jugador.
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango 83
Proposición 3.10 Sean i; j 2 N , y M un matroide. Entonces:
(1) Bi (M) = fB [ i : B 2 B (M=i)g y bi (M) = b (M=i),
(2) Bi (M) = B (M), si i es un jugador istmo en M,
(3) Bi (M) \ Bj (M) = ;, si i; j son jugadores paralelos en M.
Denotando por P (M) el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre
las áreas de cooperación del matroide M, cada distribución de probabilidad
P 2 P (M) ; P = fP (B) : B 2 B (M)g ; asigna a cada área de cooperación
una probabilidad que se puede interpretar como la posibilidad de que dicha
coalición básica se forme. Considerando que estas distribuciones de proba-
bilidad P 2 P (M) tienen una estrecha relación con el modelo estático de
juegos sobre un matroide, se utilizan a continuación para de�nir la in�uencia
de una coalición.
De�nición 3.11 SeaM un matroide y P 2 P (M) : Se denomina in�uencia
en el sentido estático de la coalición factible S 2 M, según la distribución
de probabilidad P , al número real no negativo, wP (S), dado por la siguiente
expresión
wP (S) =X
B2BS(M)
P (B) :
Además, se llama vector de in�uencias del matroide M, según la dis-
tribución de probabilidad P, al vector wP 2 RN , tal que sus componentes
son
wPi = wP (fig) =
XB2Bi(M)
P (B) ; para todo i 2 N:
En particular, cuando se considera la distribución de probabilidad equi-
tativa; P e 2 P (M) ; tal que P e (B) = 1=b (M) para toda B 2 B (M),
84 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
se obtiene el vector de in�uencias equitativo del matroide M, que tiene la
expresión
we =
�bi (M)
b (M)
�i2N
:
La in�uencia equitativa de una coalición S 2 M es
we (S) =bS (M)
b (M):
A continuación se verá, al estudiar la función rango del matroide, que los
vectores de in�uencia son repartos justos del máximo grado de cooperación
que existe en el matroide, determinado por el valor del rango del matroide
r (M).
Como ya se indicó, la función rango de un matroide M es un juego
cooperativo r : 2N �! Z+, monótono y submodular. Esta última propiedad
asegura (ver Driessen [15]) que su core,
Core (r) =
(x 2 R
N :Xi2N
xi = r(N);Xi2S
xi � r(S); para todo S � N
);
es no vacío y, más precisamente, que coincide con la envoltura convexa de los
vectores de contribución marginal.
Dado el juego (N; r), para cada orden � del conjunto de jugadores N ,
se de�ne el vector de contribución marginal z� (r) 2 RN como aquél de
componentes
z�i (v) = v (Xi (�) [ i)� v (Xi (�)) ; para todo i 2 N;
donde Xi (�) es el conjunto de los predecesores del jugador i en el orden �:
Así,
Core (r) = conv�z�(r) : � es un orden de N
:
El siguiente teorema identi�ca los vectores de contribución marginal, y,
por tanto, el core del juego rango. Para su formulación, se de�ne, dado
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango 85
X � N , el vector eX 2 RN , como aquél cuyas componentes son para todo
i 2 N ,
eXi =
(1; si i 2 X
0; si i =2 X:
Teorema 3.12 Sea r la función rango de un matroide M. Entonces:
Core (r) = conv�eB : B 2 B (M)
:
Demostración: El juego rango r : 2N �! Z+ es submodular, por lo que
Core (r) = conv�z�(r) : � es un orden de N
:
En primer lugar se probará que�z�(r) : � es un orden de N
��eB : B 2 B (M)
:
Para un orden � de N; el vector de contribución marginal z� (r) es e�-
ciente, esto es Xi2N
z�i (r) = r (N) ;
y además, para cada i 2 N , se tiene que z�i (r) 2 f0; 1g, por la propiedad (R3')
del juego rango. Por ello, dicho vector tiene nulas todas sus componentes
salvo r(N) de ellas. Entonces, z� (r) = eX , siendo X =�j 2 N : z�j (r) = 1
:
Se va a probar que X es una coalición básica del matroide. Como eX es un
vector del core, se tieneXi2X
eXi = jXj = r(N) � r(X) y jXj � r (X) :
Entonces, la monotonía del juego rango asegura que r(N) = r(X), y así
se tiene que jXj = r(X): Por tanto, X es una coalición básica.
Para probar ahora la inclusión contraria, sea B una coalición básica del
matroide. Si se considera cualquier orden de los jugadores de B, y a éste se le
86 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
añaden los restantes jugadores en cualquier orden, se obtiene un orden �o de
los jugadores de N, tal que z�0 (r) = eB ya que las contribuciones marginales,
en ese orden, de los jugadores de B son iguales a la unidad, mientras que las
de los demás jugadores son cero. 2
Los vectores de Core (r) tienen una estrecha relación con las distribu-
ciones de probabilidad que se pueden construir sobre las áreas de cooperación.
En efecto, a cada distribución de probabilidad P = fP (B) : B 2 B (M)g se
le puede hacer corresponder un vector del core, dado por
wP =X
B2B(M)
P (B)eB;
esto es, el vector de in�uencias asociado a P .
Por otro lado, es evidente que cada expresión de un vector w del core,
w =P
B2B(M) �BeB; determina la distribución f�B : B 2 B (M)g de P (M).
Sin embargo, aunque cada distribución de probabilidad P tiene asociado así
un único vector del core, cada vector w del core tiene asociado, en general,
una familia de distribuciones de probabilidad.
Por tanto, se han denominado vectores de in�uencia de un matroide M
a cada uno de los vectores del core del juego rango del matroide, de ahí
que se diga que dichos vectores determinan un reparto justo de la máxima
capacidad de cooperación entre los jugadores. Obsérvese, además, que dis-
tintas distribuciones pueden de�nir el mismo vector de in�uencia, y, por otro
lado, asignan distintas in�uencias por lo menos a dos coaliciones básicas del
matroide.
Conviene también tener presentes los siguientes casos particulares:
� En el caso clásico de cooperación total entre los jugadores, M = 2N , el
juego rango es la función cardinal y su core es el conjunto formado por el
vector (1; : : : ; 1) 2 RN . Por tanto, éste es el único vector de in�uencias
posible relacionado con la única distribución de probabilidad posible,
P = fP (N) = 1g, sobre las áreas de cooperación.
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango 87
� Tomar el vector de in�uencias eB0, para B0 2 B (M), es equivalente a
tomar la distribución de probabilidad P 2 P (M) con P (B0) = 1 y
P (B) = 0 para toda B 6= B0. Por tanto, considerar este vector para
un juego sobre el matroide M se interpretará como que el juego se
restringe al área de cooperación B0, por lo que su función característica
sólo se evaluará sobre las coaliciones de 2B0.
El concepto de in�uencia de una coalición, cuando se estudia un juego
sobre un matroide que se desarrolla según el modelo dinámico, no puede ser
el anterior. En el modelo dinámico una coalición puede in�uir en el resultado
sin estar incluida en la coalición básica A1 que origina la secuencia básica
�nal � = (A1; : : : ; Ak) ; porque puede estar incluida en alguna otra de las
coaliciones de dicha secuencia básica. Esto sugiere introducir una nueva
de�nición.
Si se denota por D (M) el conjunto de distribuciones de probabilidad
sobre las secuencias básicas del matroide M, la noción de in�uencia de una
coalición S en el caso del modelo dinámico se de�nirá como la suma de
las probabilidades de las secuencias básicas � = (A1; : : : ; Ak) tales que la
coalición S está contenida en alguna coalición Am de dicha secuencia.
De�nición 3.13 Sea M un matroide y D 2 D (M) una distribución de
probabilidad sobre las secuencias básicas de M: Se denomina in�uencia en
el sentido dinámico de la coalición factible S 2 M, según la distribución de
probabilidad D, al número real no negativo, wD (S), dado por la siguiente
expresión
wD (S) =X
�2�S(M)
D (�) :
Nótese que la in�uencia de las coaliciones unitarias según esta de�nición
es igual a uno, lo cual es lógico puesto que cada uno de los jugadores participa
�nalmente en un juego que se desarrolla según el modelo dinámico.
88 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
Sea M un matroide. Para cada menor de eliminación M0 de M que
no esté formado únicamente por el vacío, sea PM0 2 P (M0). En estas
condiciones, a cada secuencia básica � = (A1; A2; : : : ; Ak) del matroide M,
se le puede asociar un número real no negativo D� (�), dado por la siguiente
expresión:
D� (�) = PM (A1)kY
m=2
PMnA1n���nAm�1(Am) :
A continuación, se demostrará que la aplicación D� es una distribución
de probabilidad sobre el conjunto de secuencias básicas del matroide M, y
que toda distribución de probabilidad sobre el conjunto de secuencias básicas
se puede expresar en dicha forma.
Teorema 3.14 Sea M un matroide. Una aplicación D : � (M) �! R
es una distribución de probabilidad sobre � (M) si, y sólo si, existe una
probabilidad PM0 2 P (M0) para cada M0 menor de eliminación de M que
no contenga sólo al vacío, tal que D se puede expresar en la forma
D (�) = PM (A1)kY
m=2
PMnA1n���nAm�1 (Am) ; (3.1)
para toda secuencia básica � = (A1; A2; : : : ; Ak) de M.
Demostración: Si D es una distribución de probabilidad sobre las secuen-
cias básicas de M, se construirá, para M y para cualquier otro menor de
eliminación no vacío M0 de M, una distribución de probabilidad sobre sus
áreas de cooperación. Se de�ne
PM (B) =X
f�2�(M):�=(B;:::)g
D (�) ;
para cada B 2 B (M). Se tiene que PM (B) � 0 y además,XB2B(M)
PM (B) =X
B2B(M)
Xf�2�(M):�=(B;:::)g
D (�) =X
�2�(M)
D (�) = 1:
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango 89
Si M0 = MnA01n � � � nA
0m es cualquier otro menor de eliminación de M,
se considera la semisecuencia asociada �0 = (A01; : : : ; A
0m) y se de�ne el coe-
�ciente
K (M0) =X
f�2�(M):�=(�0;:::)g
D (�) ;
donde la suma se extiende a todas las secuencias básicas que comienzan con
las coaliciones de la semisecuencia �0: Entonces, para cada coalición básica
B 2 B (M0) se considera
PM0 (B) =1
K (M0)
Xf�2�(M):�=(�0;B;:::)g
D (�) ;
caso de ser K (M0) 6= 0. Si K (M0) = 0 entonces se puede tomar como PM0
cualquier distribución de probabilidad sobre B (M0). Así, es inmediato que
PM0 es una distribución de probabilidad sobre B (M0).
Se prueba ahora que estas distribuciones permiten construir la distribu-
ción D con la fórmula (3.1) del enunciado. Si e� = (A1; : : : ; Ak) es una
secuencia básica entonces se tiene
PM (A1)PMnA1(A2)PMnA1nA2
(A3) � � �PMnA1n���nAk�1(Ak)
=
0@ Xf�2�(M):�=(A1;:::)g
D (�)
1A0@ 1
K (MnA1)
Xf�2�(M):�=(A1;A2;:::)g
D (�)
1A0@ 1
K (MnA1nA2)
Xf�2�(M):�=(A1;A2;A3;:::)g
D (�)
1A � � �
� � �
�1
K (MnA1n � � � nAk�1)D (e�)�
= D (e�) ;donde la última igualdad se sigue de considerar que en el producto anterior
cada factor es el denominador del siguiente por lo que, simpli�cando, se ob-
tiene D (e�). Además, se ha tenido en cuenta que el menor MnA1n � � � nAk�1
es el álgebra de Boole determinada por Ak, de ahí que el sumatorio del último
90 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
factor se reduzca al sumando correspondiente a e�: Por otra parte, se ha de
observar que si existiera algún denominador nulo, aunque la primera igualdad
de la fórmula anterior no tendría validez, se obtendría que D (e�) = 0.
Se probará ahora el recíproco, por inducción sobre el número de jugadores
del matroide.
El resultado es trivialmente cierto cuando el matroide sólo tiene un ju-
gador ya que, en ese caso, existe una única secuencia básica y el único menor
de eliminación que no contenga sólo al vacío es el propio matroide. Suponién-
dolo cierto para todo matroide con menos de n jugadores, se demostrará para
los matroides de n jugadores.
Sea M un matroide con n jugadores, y se considerará la aplicación D
sobre � (M) dada por
D (�) = PM (A1)kY
m=2
PMnA1n:::nAm�1(Am) ;
para cada secuencia básica � = (A1; A2; : : : ; Ak) 2 � (M). Se debe observar
que para cada � = (A1; A2; : : : ; Ak) secuencia básica de M, se tiene que
�0 = (A2; : : : ; Ak) es una secuencia básica de MnA1, y viceversa. Además,
por hipótesis de inducción, la función DMnA1: � (MnA1) �! R. tal que
DMnA1(�0) =
kYm=2
PMnA1n���nAm�1 (Am) (3.2)
para toda �0 = (A2; : : : ; Ak) secuencia básica de MnA1, es una distribución
de probabilidad sobre � (MnA1). Por ello, se tiene queX�2�(M)
D (�)
=X
f�2�(M):�=(A1;A2;:::;Ak)g
PM (A1)kY
m=2
PMnA1n���nAm�1(Am)
=X
f�2�(M):�=(A1;�0)g
PM (A1)DMnA1(�0)
3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango 91
=X
A12B(M)
PM (A1)X
�02�(MnA1)
DMnA1(�0) (3.3)
=X
A12B(M)
PM (A1) = 1:
y, por tanto, D es una distribución de probabilidad sobre � (M). En la
expresión anterior, � = (A1; �0) representa a � = (A1; A2; : : : ; Ak) si se tiene
que �0 = (A2; : : : ; Ak) : 2
Se deduce del teorema anterior, que toda distribución de probabilidad
D 2 D (M) origina, para cada coalición básica A1 2 B (M), una distribución
de probabilidad DMnA12 D (MnA1). En efecto, escribiendo D en la forma
(3.1), entonces la expresión (3.2) de�ne la distribución de probabilidad que
se ha denotado DMnA1. Además, se veri�ca que si � = (A1; A2; : : : ; Ak) está
en � (M) ; entonces
D (�) = PM (A1)DMnA1(�0) ; (3.4)
donde �0 = (A2; : : : ; Ak) 2 � (MnA1) :
Obsérvese por último que, como consecuencia de (3.3), se tiene que para
A1 2 B (M) ; Xf�2�(M):�=(A1;:::)g
D (�) = PM (A1) : (3.5)
92 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides
Capítulo 4
Valores sobre Matroides
En este capítulo y el siguiente se estudiarán los conceptos de solución de-
nominados valores, de�nidos ahora sobre el conjunto de juegos � (M) de un
matroide M. Estos valores se deberán ajustar a la situación de cooperación
determinada por el matroide dado y, por ello, serán introducidos adaptando
los axiomas clásicos utilizados en juegos cooperativos donde no existen res-
tricciones en la cooperación entre los jugadores. La construcción de valores
se hará teniendo en cuenta también el tipo de juegos sobre el que se vayan a
utilizar. Por ello, se tratará de valores estáticos y de valores dinámicos, aten-
diendo a que los juegos considerados se desarrollen según el modelo secuencial
estático o dinámico.
En la primera sección se introducen y caracterizan axiomáticamante los
que se denominarán valores ��ponderados. Estos son valores individuales
que generalizan el concepto de valor probabilístico introducido por Weber,
y que son válidos para juegos que se desarrollen según cualquier modelo se-
cuencial. Las dos últimas secciones del capítulo se dedican, respectivamente,
al estudio de valores de grupo estáticos y valores de grupo dinámicos.
En lo sucesivo se supondrá que N es el conjunto de jugadores determinado
por el matroideM y que, por tanto,M no contiene únicamente el vacío: Por
otra parte, si no hay lugar a confusión, se simpli�carán algunas notaciones.
93
94 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
En concreto, siempre que se trabaje con el matroide M, se entenderá que
B = B(M) y BS= BS(M). Los cardinales de dichos conjuntos de coaliciones
se denotarán por b y bS: Además, se escribirá S [ i y S n i en lugar de S [fig
y S n fig, respectivamente.
4.1 Valores �-Ponderados
Los valores probabilísticos fueron de�nidos por Weber [59] como valores in-
dividuales que permiten estimar a cada jugador, por sí solo, las expectativas
que tiene, a priori, al jugar diferentes juegos. Para obtener dicha estimación,
el jugador establece una distribución de probabilidad sobre el conjunto de
coaliciones a las que él se puede unir (mediante la que de�ne las posibili-
dades de hacerlo) y considera sus contribuciones marginales a cada una de
ellas. Entonces, de�ne el valor probabilístico como la media resultante o
valor que espera conseguir en cada juego. Un valor probabilístico i para el
jugador i sobre el conjunto de juegos ��2N�es una función i : �
�2N�! R,
de�nida mediante
i(v) =XS�Nni
piS [v(S [ i)� v(S)] ;
para todo juego v 2 ��2N�, donde fpiS : S � N n ig es una distribución de
probabilidad sobre el conjunto de coaliciones S � N n i:
En el espacio vectorial de los juegos de�nidos sobre un matroide, � (M) ;
las estimaciones que realice cada jugador, dependerán de las posibilidades
que éste estime inicialmente que tiene de formar parte de las coaliciones
que se formarán con en el transcurso del juego. Mientras que en un juego
cooperativo clásico, (N; v) ; se presupone la formación de la gran coalición
N , y , por tanto, la participación de todos los jugadores en el reparto �nal,
en un juego de�nido sobre un matroide no siempre se puede garantizar que
el jugador no quede eliminado. Estas consideraciones se introducen con la
4.1 Valores �-Ponderados 95
de�nición siguiente de valores �-ponderados.
De�nición 4.1 Un valor i; para el jugador i; sobre � (M) es un valor �-
ponderado, con � 2 [0; 1] ; si existe una colección fpiS : S 2 M=ig de números
reales no negativos, veri�candoP
S2M=i
piS = �; de modo que
i(v) =X
S2M=i
piS [v(S [ i)� v(S)] ;
para todo juego v 2 � (M) :
Los valores �-ponderados para � = 1 se denominarán valores probabilísti-
cos. En cualquier caso, la constante � se puede considerar como la probabi-
lidad que el jugador estima que tiene de estar en una de las coaliciones que
se formen al �nalizar las etapas del juego.
A continuación, se obtendrá una caracterización axiomática de los valores
�-ponderados. Se partirá de un valor i para el jugador i, al que se le irán
imponiendo propiedades razonables. En primer lugar, se considerará que el
jugador estima que el valor que obtendrá al participar en el juego v + w es
la suma de los valores que obtendría en los juegos v y w. Igualmente se
supondrá que si un juego es modi�cado por un cambio de escala, el jugador
considera sus valoraciones afectadas en la misma proporción.
Axioma de linealidad. Si v; w 2 � (M) y �; � 2 R, se veri�ca
i (�v + �w) = �i (v) + �i (w) :
Tomando la base de los juegos de identidad en � (M), se obtiene una for-
mulación de los valores individuales que son lineales en el siguiente resultado.
96 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Teorema 4.2 Sea i un valor sobre � (M) que satisface el axioma de linea-
lidad. Entonces, existen unos únicos coe�cientes faiS : S 2 M; S 6= ;g tales
que
i (v) =XS2M
aiSv (S) ;
para todo juego v 2 � (M) :
Demostración: Puesto que el conjunto de juegos f�S : S 2 M; S 6= ;g es
una base del espacio vectorial � (M), y cada juego v 2 � (M) se puede
expresar como combinación lineal de los juegos de unanimidad (1.1), tenemos
que
v =X
fS2M:S 6=;g
v (S) �S:
Entonces
i (v) =X
fS2M:S 6=;g
i (�S) v (S) ;
por la linealidad de i. Por último, es su�ciente tomar aiS = i (�S) ; para
S 2 M, S 6= ;; y ai; un valor cualquiera. 2
En un juego pueden aparecer jugadores que contribuyen siempre con la
misma cantidad en todas las coaliciones, éstos reciben el nombre de jugadores
dummy.
De�nición 4.3 Un jugador i 2 N es dummy en un juego v 2 � (M) si,
para cada T 2 M=i; se veri�ca
v (T [ i)� v (T ) = v (fig) :
Un jugador i 2 N es nulo en un juego v 2 � (M) si, para cada T 2 M=i; se
satisface que v (T [ i)� v (T ) = 0:
El valor que debe esperar un jugador dummy en un juego debe ser el
valor con el que repercute en cualquier coalición, afectado por la posibilidad
4.1 Valores �-Ponderados 97
de formar parte de las coaliciones �nales. Esta consideración justi�ca el
siguiente axioma.
Axioma del jugador dummy �-modi�cado. Sea � 2 [0; 1] : Si i 2 N es
jugador dummy en un juego v 2 � (M), entonces
i (v) = �v (fig) :
En el caso particular de jugadores nulos, para los que v (fig) = 0; cabe
considerar lógicamente este otro axioma.
Axioma del jugador nulo. Si i es jugador nulo en un juego v 2 � (M),
entonces
i (v) = 0:
Se trata ahora de ver la repercusión de estos axiomas en la expresión de
un valor que veri�ca el axioma de linealidad. Para ello, conviene observar que
hay jugadores dummy y también jugadores nulos en los juegos de unanimidad.
Lema 4.4 Sea M un matroide y, además, i 2 N: Entonces:
(1) Si S 2 Mni es una coalición no vacía, entonces i es jugador nulo en
el juego �S de�nido sobre M.
(2) El jugador i es dummy en el juego de unanimidad �fig de�nido sobre
M.
Demostración: Considérese T 2 M=i.
(1) Sea S 2 Mni una coalición no vacía. En el caso de que T contenga
a S; se tiene �S (T ) = �S (T [ i) = 1: Por otra parte, si T no contiene a S;
se veri�ca �S (T [ i) = �S (T ) = 0: Así, �S (T [ i) � �S (T ) = 0 para todo
T 2 M=i:
(2) Al ser �fig (T [ i) = 1 y �fig (T ) = 0, se obtiene la siguiente igualdad
�fig (T [ i)� �fig (T ) = 1 = �fig (fig) : 2
98 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Teorema 4.5 Sea i un valor individual sobre � (M) que veri�ca el axioma
de linealidad. Entonces:
(1) Si i cumple el axioma del jugador nulo, entonces existe una colección
de constantes fpiS : S 2 M=ig de modo que
i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] ; para todo v 2 � (M) :
(2) Si i satisface el axioma del jugador dummy �-modi�cado, entonces la
expresión anterior es cierta, y los coe�cientes veri�canXS2M=i
piS = �:
Demostración: Se tomará i veri�cando el axioma de linealidad.
(1) Sea �i un valor sobre � (M) de�nido, para cada v 2 � (M) ; por
�i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] ; con piS = i (�S[i) .
Dado que i y �i son lineales y los juegos de unanimidad son una base
de � (M) ; bastará demostrar que �i (�T ) = i (�T ) ; para cada coalición no
vacía T 2 M: Sea T 2 M, no vacía, se considerarán dos casos.
(a) Si i =2 T , por el lema anterior, es un jugador nulo en el juego �T :
Entonces, i (�T ) = 0; al veri�car i el axioma del jugador nulo. Por otro
lado, como las contribuciones marginales del jugador i en dicho juego �T son
cero, se tiene también que �i (�T ) = 0.
(b) Si i 2 T;
�i (�T ) =X
S2M=i
piS [�T (S [ i)� �T (S)] =X
fS2M:S�Tg
piSni;
pues �T (S) = 0 al ser S 2 M=i. Por otro lado, como i (�S) = piSni; se
obtiene
4.1 Valores �-Ponderados 99
�i (�T ) =X
fS2M:S�Tg
i (�S) = i
0@ XfS2M:S�Tg
�S
1A = i (�T ) :
(2) Si el valor i satisface el axioma del jugador dummy �-modi�cado, se
puede repetir el mismo razonamiento hecho en el apartado anterior. Además,
en este caso, al ser i un jugador dummy en el juego �fig por el lema ante-
rior, y veri�carse �fig (fig) = 1; se tiene i
��fig�= � , por el axioma del
jugador dummy �-modi�cado. Finalmente, como la contribución marginal
�fig (S [ i)� �fig (S) es 1 sólo para los S 2 M=i; se obtiene
i
��fig�=X
S2M=i
piS = �:
2
Si se considera que en los juegos monótonos la cooperación siempre es
ventajosa, ya que v(S) � v(T ) siempre que las coaliciones factibles veri�quen
S � T , es lógico exigir que el pago que reciba cada jugador al �nal sea no
negativo. Por esta razón, se introduce el siguiente axioma.
Axioma de monotonía. Si v 2 �m (M), entonces i (v) � 0:
En el siguiente teorema se verá cómo repercute el axioma de monotonía
en la expresión de un valor de grupo que veri�ca los axiomas de linealidad y
de jugador nulo.
Teorema 4.6 Sea i es un valor sobre � (M) tal que, para todo v 2 � (M) ;
está dado por
i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] :
Entonces, si i veri�ca el axioma de monotonía, todos los coe�cientes piS son
no negativos.
100 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Demostración: Para cada T 2 M=i; se considera el juego monótono
b�T (S) =(
1; si T � S
0; en otro caso.
Entonces, por el axioma de monotonía, i
� b�T� � 0: Además,
i
� b�T� =X
S2M=i
piS
h b�T (S [ i)� b�T (S)i = piT :
Por tanto, todos los coe�cientes de la expresión de i son no negativos.
2
Estos axiomas que se han ido describiendo caracterizan a los valores �-
ponderados. Mediante una simple comprobación y la aplicación de los teo-
remas anteriores se puede enunciar el siguiente resultado.
Teorema 4.7 Un valor i para un jugador i 2 N sobre � (M) es un valor
�-ponderado si, y sólo si, veri�ca los axiomas de linealidad, jugador dummy
��modi�cado y monotonía.
4.2 Valores de Grupo Estáticos
Se han considerado en la sección anterior axiomas para la construcción de
valores individuales. Ahora, se van a estudiar axiomas desde el punto de
vista de grupo, para juegos que se desarrollen según el modelo estático.
Se tendrá en cuenta que, en el modelo estático, se formará �nalmente
una única coalición básica, y que en los valores que se han denominado �-
ponderados la interpretación de � es la probabilidad de participar en el juego
que tiene un jugador. Entonces, al considerar valores de grupo con com-
ponentes �i-ponderadas para cada jugador i es natural tener que exigir que
4.2 Valores de Grupo Estáticos 101
estos valores sean conjuntamente realistas. Por ello, es lógico que ahora cada
jugador considere que su probabilidad �i de participar en el juego sea su
in�uencia en el matroide.
En esta sección, teniendo en cuenta la idea anterior, serán de interés los
valores de grupo = (i)i2N sobre juegos en un matroideM tales que cada
componente i, i 2 N , es un valor �i-ponderado, de modo que (�i)i2N es un
vector de in�uencias (vector del core del juego rango del matroide).
De�nición 4.8 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) veri�ca la
propiedad del rango, cuando existe un vector � = (�i)i2N , de modo que
� 2 Core (r) ; tal que cada componente i de es un valor �i-ponderado
sobre � (M) :
En los resultados que siguen, se hará uso de las notaciones que se intro-
ducen a continuación.
SeaM un matroide y v 2 � (M) : Para cualquier matroideM0,M0 �M,
se denotará por vM0 la restricción del juego v sobre M0. Es decir,
vM0 :M0 ! R; vM0 (S) = v (S) ; para cada S 2 M0:
En el caso particular en que M0 coincida con el matroide 2B determinado
por una coalición básica B de M, se escribirá vB en lugar de vM0.
En el lema siguiente se enuncia una propiedad que se utilizará en las
demostraciones de resultados posteriores.
Lema 4.9 Sea M una matroide y sea i 2 N un jugador �jo. Entonces, se
veri�ca la siguiente igualdad de conjuntos
f(S;B) : B 2 Bi; S � B; i =2 Sg = f(S;B) : S 2 M=i; B 2 BS[ig :
Demostración: Es inmediata teniendo en cuenta que para toda coalición
básica B de M, se veri�ca que el álgebra de Boole 2B está contenida en el
matroide M. 2
102 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
A continuación, se observará cómo repercute en la expresión de un valor
de grupo la propiedad del rango. Se comprobará que cada valor de grupo con
dicha propiedad es tal que sus componentes son medias ponderadas de valores
probabilísticos sobre las áreas de in�uencia del jugador correspondiente.
Teorema 4.10 SeaM un matroide, con función rango r; y sea = (i)i2Nun valor de grupo sobre � (M). Entonces, son equivalentes las siguientes
a�rmaciones:
(1) veri�ca la propiedad del rango.
(2) Para cada jugador i 2 N; la componente i de se puede expresar en
la forma
i (v) =XB2Bi
Pi (B)Bi (vB); para todo v 2 � (M) ;
donde
(a) Bi es un valor probabilístico sobre �
�2B�, para cada B 2 Bi;
(b) Pi es una distribución de probabilidad sobre el conjunto B de áreas
de cooperación del matroide, de modo que el vector�wPii
�i2N
está
en Core (r). (Nótese que wPii es la componente i-ésima del vector
de in�uencias de�nido por Pi)
Demostración: Sea un valor de grupo sobre � (M) con la propiedad del
rango. Entonces existe � = (�i)i2N un vector de in�uencias del matroide
M, tal que cada componente i de es un valor �i-ponderado. Por ello, i
puede escribirse en la forma
i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] ;
con piS � 0 yP
S2M=i piS = �i.
4.2 Valores de Grupo Estáticos 103
Se de�ne, por cada jugador i 2 N , una distribución de probabilidad Pisobre el conjunto B de las áreas de cooperación del matroide. Sea
Pi (B) =
8><>:P
fS�B:i=2Sg
piSbS[i
; si B 2 Bi
1� �ib� bi
; si B =2 Bi:
Evidentemente Pi (B) � 0, para cada B 2 B, y ademásXB2B
Pi (B) =XB=2Bi
Pi (B) +XB2Bi
Pi (B)
=XB=2Bi
1� �ib� bi
+XB2Bi
XfS�B:i=2Sg
piSbS[i
= 1� �i +X
S2M=i
XB2BS[i
piSbS[i
= 1� �i +X
S2M=i
piS = 1� �i + �i = 1;
donde la tercera igualdad se obtiene de aplicar el lema anterior.
Obsérvese, en primer lugar, que como wPii =
PB2Bi
Pi (B) ; entonces los
últimos cálculos permiten a�rmar que
wPii =
XS2M=i
piS = �i; para todo i 2 N;
y por tanto se veri�ca (b), ya que � 2 Core (r).
Se prueba ahora (a). Sea, para cada i 2 N y cada B 2 Bi; el valor
Bi : �
�2B��! R
N ;
de�nido para todo ev 2 ��2B�por
Bi (ev) = X
fS�B:i=2Sg
piS;B [ev (S [ i)� ev (S)] ;donde los coe�cientes piS;B; cuando Pi (B) 6= 0; son
piS;B =piS
bS[iPi (B):
104 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Si Pi (B) fuera cero, se llamará Bi a cualquier valor probabilístico sobre
��2B�.
Es fácil comprobar que el valor Bi construido, cuando Pi (B) 6= 0, es
probabilístico, ya que
XfS�B:i=2Sg
piS;B =X
fS�B:i=2Sg
piSbS[iPi (B)
=1
Pi (B)
XfS�B:i=2Sg
piSbS[i
= 1:
Para comprobar que i se puede expresar como en el enunciado, se razona
como sigue. Para todo v 2 � (M),
i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)]
=X
S2M=i
XB2BS[i
piSbS[i
[v (S [ i)� v (S)]
=XB2Bi
XfS�B:i=2Sg
piSbS[i
[v (S [ i)� v (S)]
=XB2Bi
Pi (B)X
fS�B:i=2Sg
piS;B [v (S [ i)� v (S)]
=XB2Bi
Pi (B)Bi (vB) :
Nótese que, en la tercera igualdad, se utiliza el lema anterior y, en la cuarta,
se tiene en cuenta la de�nición de los coe�cientes piS;B. Además, obsérvese que
en caso de que Pi (B) = 0; para algún B 2 Bi; entonces por de�nición de Pise tiene que piS = 0 para toda S � B tal que i =2 S: En este caso, el sumando
correspondiente a dicho B es cero en la tercera igualdad, y puede tomarse
como piS;B cualquier distribución de probabilidad sobre fS � B : i =2 Sg para
que la siguiente igualdad sea cierta.
Para probar la implicación recíproca, suponiendo que se veri�ca (2) se
construye el valor de grupo = (i)i2N : Se probará que veri�ca la
propiedad del rango.
Puesto que para cada i 2 N y cada B 2 Bi; Bi es un valor probabilístico
4.2 Valores de Grupo Estáticos 105
sobre ��2B�; se tiene, para todo ev 2 �
�2B�; que
Bi (ev) = X
fS�B:i=2Sg
piB;S [ev(S [ i)� ev(S)] ;con piB;S � 0 y
PfS�B:i=2Sg p
iB;S = 1:
Luego,
i (v) =XB2Bi
Pi (B)Bi (vB)
=XB2Bi
Pi (B)X
fS�B:i=2Sg
piB;S [v(S [ i)� v(S)]
=X
S2M=i
XB2BS[i
Pi (B) piB;S
![v(S [ i)� v(S)] ;
donde la tercera igualdad sigue del lema anterior. Si se denota, para cada
i 2 N; S 2 M=i, por qiS el número real no negativo
qiS =X
B2BS[i
Pi (B) piB;S;
se tendrá queXS2M=i
XB2BS[i
Pi (B) piB;S =
XB2Bi
Pi (B)X
fS�B:i=2Sg
piB;S =XB2Bi
Pi (B) = wPii :
Por tanto se ha probado que el valor de�nido anteriormente veri�ca la
propiedad del rango para � =�wPii
�i2N
; teniendo en cuenta (b). 2
Una consecuencia inmediata del teorema anterior es la siguiente. Si, para
todo i 2 N; se construyen valores individuales i sobre � (M), tales que
i (v) =X
B2Bi(M)
P (B)Bi (vB) ; para todo v 2 � (M) ;
siendo Bi un valor probabilístico sobre �
�2B�, para cada B 2 Bi; y P una
distribución de probabilidad sobre B; entonces, el valor de grupo = (i)i2N
106 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
veri�ca la propiedad del rango. (Nótese que al tomar la misma distribución
de probabilidad para todos los jugadores se veri�ca trivialmente que el vector�wPii
�i2N
=�wPi
�i2N
está en Core(r))
El razonamiento anterior da pie a introducir un nuevo tipo de valor.
De�nición 4.11 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) ; se denomina
valor básico estático si todas sus componentes se puedan expresar en la forma
i (v) =X
B2Bi(M)
P (B)Bi (vB) ; para todo v 2 � (M) ;
siendo Bi un valor probabilístico para el jugador i sobre �
�2B�, para cada
B 2 Bi; y P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el conjunto
de áreas de cooperación del matroide M. Un valor en estas condiciones se
denota por�;P;
�B�
.
Cuando los valores de grupo B =�Bi
�i2B
sobre ��2B�de la de�nición
anterior se extiende tomando Bi = 0 si i =2 B; entonces los valores básicos
se pueden escribir de una forma sencilla:
=XB2B
P (B)B. (4.1)
De la de�nición anterior y el Teorema 4.10 se obtiene inmediatamente el
siguiente resultado.
Corolario 4.12 Sea M un matroide. Si un valor de grupo sobre � (M)
es básico estático, entonces satisface la propiedad del rango.
En el siguiente ejemplo se muestra que hay valores de grupo que veri�can
la propiedad del rango y que no son valores básicos.
4.2 Valores de Grupo Estáticos 107
Ejemplo 4.13 Considérese el matroide de oposición M3 (1 k 3) : Se puede
comprobar que
Core(r) = conv f(1; 1; 0) ; (0; 1; 1)g :
Se de�ne el valor de grupo = (1;2;3) ; para cada v 2 � (M) ; como
1 (v) =1
2[v(f1; 2g)� v(f2g)] ;
2 (v) = v(f1; 2g)� v(f1g);
3 (v) =1
2[v(f2; 3g)� v(f2g)]
:
Así, veri�ca la propiedad del rango para el vector de in�uencias equitativo
� = (1=2; 1; 1=2) :
Se verá que no es un valor básico. Si lo fuera, entonces sus componentes
se tendrían que poder expresar en la forma:
1 (v) = P (f1; 2g)�a12 [v (f1; 2g)� v (f2g)] + a1;v (f1g)
�2 (v) = P (f1; 2g)
�a21 [v (f1; 2g)� v (f1g)] + a2;v (f2g)
�+P (f2; 3g)
�b23 [v (f2; 3g)� v (f3g)] + b2;v (f2g)
�3 (v) = P (f2; 3g)
�b32 [v (f2; 3g)� v (f2g)] + b3;v (f3g)
�donde P 2 P (M), y los coe�cientes veri�can las siguientes relaciones
a12 + a1; = 1;
a21 + a2; = 1;
b23 + b2; = 1;
b32 + b3; = 1;
siendo todos no negativos.
Para que ambas expresiones de sean válidas para todo juego v, es nece-
sario que P (f1; 2g) = P (f2; 3g) = 1=2, a12 = b32 = 1, a1; = b3; = 0, lo
108 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
que se deduce de las componentes primera y tercera. Por ello, la segunda
componente se debe escribir
2 (v) =1
2
�a21 [v (f1; 2g)� v (f1g)] + a2;v (f2g)
�+1
2
�b23 [v (f2; 3g)� v (f3g)] + b2;v (f2g)
�;
y, entonces, es necesario que (1=2) a21 = 1, lo cual es imposible.
La principal propiedad exigible a un valor de grupo es la e�ciencia. En el
caso clásico, cuando el matroide es el matroide libre 2N ; dicha propiedad es-
tablece que un valor de grupo repartirá el bene�cio v(N) de la única coalición
básica existente. Pero, esta idea necesita ser modi�cada cuando se piensa en
un juego cooperativo sobre un matroide cualquiera, ya que en este caso no
se conoce a priori qué coalición básica se formará. Aquí se seguirá la idea de
e�ciencia introducida por Nowak y Radzik [43], y Bergantiños y Sánchez [6]
en sus trabajos sobre juegos en forma generalizada.
A continuación se introduce el concepto de e�ciencia para valores de grupo
: � (M) �! RN , = (i)i2N , en el caso del modelo estático de juegos.
Axioma de e�ciencia estático. Existe una distribución de probabilidad
P 2 P (M) tal que, para todo juego v 2 � (M) ; se veri�caXi2N
i (v) =XB2B
P (B) v (B) :
Proposición 4.14 Sea un valor de grupo sobre � (M) que satisface el
axioma de e�ciencia estático para la distribución de probabilidad P 2 P (M).
Entonces, se veri�ca:
(1) La distribución P que lo hace e�ciente es única.
(2) Si veri�ca la propiedad del rango para � 2 Core (r), entonces se
tiene que wP = �.
4.2 Valores de Grupo Estáticos 109
Demostración: (1) Supóngase que es e�ciente para P; P 0 2 P (M). Si
fuera P 6= P 0; entonces existe bB 2 B tal que P� bB� 6= P 0
� bB�. En ese caso,
para el juego de identidad �bB se tendríaX
B2B
P (B) �bB (B) =
XB2B
P 0 (B) �bB (B) ;
lo que implica P� bB� = P 0
� bB� ; en contradicción con lo supuesto.
(2) Si cumple la propiedad del rango para � = (�i)i2N , sus componentes
i veri�can
i(v) =X
S2M=i
piS [v(S [ i)� v(S)] ; para todo v 2 � (M) ,
siendo piS � 0 yP
S2M=i
piS = �i.
Considérese el juego de unanimidad �fjg para un jugador j �jo. Entonces,Xi2N
i(�fjg) =Xi2N
XS2M=i
piS��fjg(S [ i)� �fjg(S)
�=
XS2M=j
pjS = �j;
porque los jugadores distintos de j son nulos y el jugador j es dummy en el
juego �fjg; por el Lema 4.4. Por otro lado,XB2B
P (B) �fjg (B) =XB2Bj
P (B) = wPj :
Por tanto, al ser e�ciente, se tiene wPj = �j, para todo j 2 N: Lo que
signi�ca que wP = �. 2
A continuación, se probará que la propiedad de e�ciencia se transmite de
las áreas de cooperación a todo el matroide, cuando el valor es básico.
Proposición 4.15 Sea�;P;
�B�
un valor de grupo básico estático sobre
� (M), de�nido mediante valores B sobre ��2B�que veri�can el axioma de
e�ciencia (no necesariamente con componentes probabilísticas). Entonces,
veri�ca el axioma de e�ciencia estático con la probabilidad P .
110 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Demostración: Teniendo en cuenta que cada B es e�ciente, se tieneXi2B
Bi (vB) = v (B) ; para todo v 2 � (M) :
Entonces, usando la expresión de como valor básico estático y sumando
en i 2 N; se obtiene fácilmente el resultado:Xi2N
i (v) =Xi2N
XB2Bi
P (B)Bi (vB)
=XB2B
P (B)Xi2B
Bi (vB) =
XB2B
P (B) v (B) :
2
El siguiente resultado da una condición necesaria y su�ciente para que
un valor de grupo, cuyas componentes veri�can los axiomas de linealidad y
jugador nulo, sea e�ciente estático.
Teorema 4.16 Sea M un matroide con operador clausura �. Sea un valor
de grupo = (i)i2N sobre � (M) ; de componentes tales que
i(v) =X
S2M=i
piS [v(S [ i)� v(S)] ; para todo v 2 � (M) :
Entonces, veri�ca el axioma de e�ciencia estático si, y sólo si, existe una
distribución de probabilidad P 2 P (M) para la cual los coe�cientes dados
piS; i 2 N; S 2 M=i, satisfacen las siguientes ecuaciones recurrentesXi2T
piTni =X
j =2�(T )
pjT ; 8T =2 B, T 2 M,
Xi2B
piBni = P (B) ; 8B 2 B.
Demostración: Si veri�ca el axioma de e�ciencia estático, entoncesXi2N
i(v) =Xi2N
XS2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] =XB2B
P (B) v (B) ;
4.2 Valores de Grupo Estáticos 111
para todo v 2 � (M).
Como todos los jugadores i 2 N participan en alguna coalición, de lo
anterior se obtiene
Xi2N
i(v) =XT2M
24Xi2T
piTni �X
j =2�(T )
pjT
35 v (T ) =XB2B
P (B) v (B) ; (4.2)
donde se ha considerado que dada una coalición T 2 M, un jugador j =2 T
es tal que T [ j 2 M si, y sólo si, j =2 � (T ).
Tomando el juego �B; con B 2 B, la fórmula anterior queda asíXi2B
piBni = P (B) ;
ya que a la coalición B no se puede unir ningún jugador por ser una coalición
básica. Repitiendo el razonamiento anterior con el juego de identidad �T ; con
T 2 M; T =2 B; se obtieneXi2T
piTni �X
j =2�(T )
pjT = 0:
La otra implicación es trivial utilizando la expresión (4.2): 2
Siguiendo la línea de Weber [59], a continuación se de�ne una nueva
familia de valores de grupo, fuertemente relacionada con el concepto de e�-
ciencia, cuyos valores se llamarán valores de orden aleatorio estáticos. Se
plantean valores que tomen un punto de vista común para todos los ju-
gadores atendiendo al orden de incorporación al matroide. Evidentemente,
al seguir tratando juegos estáticos, se considerarán sólo los ordenes posibles
de las coaliciones básicas; es decir, las cadenas maximales del matroide. En
primer lugar, se introducen las notaciones necesarias.
Sea M un matroide. Si B es una coalición básica de M, sea B (M)
el conjunto de cadenas maximales del área de cooperación 2B: Entonces,
el conjunto de cadenas maximales del matroide M es (M) =S
B2B B:
112 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Nótese que cada jugador i 2 N interviene sólo en las cadenas del conjunto
dado por i (M) =S
B2BiB (M); además, para cada cadena maximal � 2
(M) ; existe una única coalición básica B� tal que � 2 B (M). Dada
� 2 i (M) ; se denotará por Si (�) la coalición factible de predecesores de i
en �. Así, se tiene que Si (�) 2 M=i.
Debido a la complejidad de las notaciones, éstas se simpli�carán en esta
sección suprimiendo M en las expresiones de las cadenas maximales.
De�nición 4.17 Se dice que un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) es
un valor de orden aleatorio estático si existe una distribución de probabilidad
q sobre el conjunto de cadenas del matroide, de forma que, para todo juego
v 2 � (M) ; se tiene
i (v) =X�2i
q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] ; para todo i 2 N:
Los siguientes resultados establecen la relación entre este concepto y los
valores de grupo e�cientes estáticos.
Teorema 4.18 Sea un valor de orden aleatorio estático sobre � (M). En-
tonces, es un valor básico estático de�nido mediante valores de grupo B
sobre ��2B�e�cientes para cada B coalición básica de M.
Demostración: Como es un valor de orden aleatorio estático, existe una
distribución de probabilidad q sobre el conjunto de cadenas del matroide,
tal que, para todo i 2 N , se tiene
i (v) =X�2i
q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] ; para todo v 2 � (M) :
Luego, el valor satisface
i (v) =XB2Bi
X�2B
q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]
=XB2Bi
XfS�B;i=2Sg
0@ Xf�2B :Si(�)=Sg
q (�)
1A [v (S [ i)� v (S)] ;
4.2 Valores de Grupo Estáticos 113
porque cada coalición contenida en Bni pertenece al matroide y es una coali-
ción que precede al jugador i para alguna cadena.
Se considera la distribución de probabilidad P 2 P (M) de�nida como
P (B) =X�2B
q (�) ; para toda B 2 B. (4.3)
Nótese que, XB2B
P (B) =XB2B
X�2B
q (�) =X�2
q (�) = 1;
porque cada cadena pertenece sólo a un conjunto B.
Para cada B 2 B, tal que P (B) 6= 0, se construye el valor de grupo
B =�Bi
�i2B
sobre ��2B�, de componentes
Bi (v) =
XfS�B:i=2Sg
piS;B [v (S [ i)� v (S)] ; para cada i 2 B;
tomando
piS;B =1
P (B)
Xf�2B :Si(�)=Sg
q (�) :
Los valores Bi así de�nidos son probabilísticos porque cada piS;B � 0 yX
fS�B:i=2Sg
piS;B =1
P (B)
XfS�B:i=2Sg
Xf�2B :Si(�)=Sg
q (�)
=1
P (B)
X�2B
q (�) = 1;
debido a que i 2 B.
Bastará probar que se satisfacen las igualdadesXi2B
piBni;B = 1 yXi2S
piSni;B =Xj2BnS
pjS;B; para toda S � B;
para, aplicando el Teorema 4.16 al matroide 2B, concluir que B es e�ciente.
En efecto,Xi2B
piBni;B =1
P (B)
Xi2B
Xf�2B :Si(�)=Bnig
q (�) =1
P (B)
X�2B
q (�) = 1:
114 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Además, si S � B, se tieneXi2S
piSni;B =1
P (B)
Xi2S
Xf�2B :Si(�)=Snig
q (�)
=1
P (B)
Xj2BnS
Xf�2B :Sj(�)=Sg
q (�) =Xj2BnS
pjS;B;
ya que si i 2 S y � es una cadena de B tal que Si (�) = Sni; entonces dicha
cadena es la formada por los conjuntos
; � � � � � Sni � S � S [ j � � � � � B.
Si existe B 2 B con P (B) = 0; se tomará como valor de grupo B sobre
��2B�cualquier valor e�ciente cuyas componentes sean probabilísticas.
Por último, se verá que es un valor básico estático que se puede ex-
presar en la forma (4.1), con la distribución P y los valores B construidos
anteriormente.
i (v) =XB2Bi
XfS�B;i=2Sg
0@ Xf�2B:Si(�)=Sg
q (�)
1A [v (S [ i)� v (S)]
=XB2Bi
P (B)X
fS�B;i=2Sg
1
P (B)
0@ Xf�2B :Si(�)=Sg
q (�)
1A [v (S [ i)� v (S)]
=XB2Bi
P (B)Bi (v) :
Obsérvese que la conclusión anterior es válida incluso cuando P (B) = 0;
ya que en dicho caso se tendría que todos los coe�cientes q (�) ; con � 2 B,
son nulos. 2
Utilizando el Corolario 4.12 y la Proposición 4.15, se pueden extraer unas
consecuencias importantes del teorema anterior. Si es un valor de orden
aleatorio estático sobre � (M), entonces:
a) veri�ca la propiedad del rango,
4.2 Valores de Grupo Estáticos 115
b) veri�ca el axioma de e�ciencia estático.
Además, de la propia de�nición de valor que satisface la propiedad del
rango, se tiene
c) Todas las componentes de veri�can los axiomas de linealidad y de
jugador nulo.
Nótese que la expresión (4.3), obtenida en la prueba anterior, proporciona
el vector de in�uencias � = (�i)i2N respecto del cual veri�ca la propiedad
del rango
�i =X�2i
q (�) , para todo i 2 N:
Además, las componentes de se pueden escriben como valores �i-
ponderados, de la siguiente forma
i (v) =X�2i
q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]
=X
S2M=i
24 Xf�2i:Si(�)=Sg
q (�)
35 [v (S [ i)� v (S)] ;
y, por tanto, para cada S 2 M=i; se tomará
piS =X
f�2i:Si(�)=Sg
q (�) : (4.4)
Teorema 4.19 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) que satisface
el axioma de e�ciencia estático, y cuyas componentes i veri�can los axiomas
de linealidad y jugador nulo. Entonces, es un valor de orden aleatorio
estático.
Demostración: Si cada i veri�ca los axiomas de linealidad y jugador nulo,
el Teorema 4.5 asegura que
i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] ;
116 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
para cada i 2 N y v 2 � (M) : Por otro lado, como satisface el axioma de
e�ciencia estático, existe P 2 P (M) tal queXi2N
i (v) =XB2B
P (B) v (B) :
Considérese para S 2 M, el número
K (S) =Xj =2�(S)
pjS;
y, además, para cada i 2 N y S 2 M=i, tómese
K (i; S) =
(1
K(S)piS; si K (S) 6= 0
0; si K (S) = 0:
Se de�ne una distribución de probabilidad, q; sobre las cadenas maximales
del matroide M de forma que, para � = (i1; i2; : : : ; ir) 2 ; con r = r (M)
el rango del matroide, se tiene
q (�) = pi1; K (i2; fi1g) � � �K (ir; fi1; i2; : : : ; ir�1g) :
Evidentemente q (�) � 0 y tambiénX�2
q (�) =Xi12N
Xi2 =2�(fi1g)
� � �X
ir =2�(fi1;i2;:::;ir�1g)
q (i1; i2; : : : ; ir)
=Xi12N
pi1;
Xi2 =2�(fi1g)
K (i2; fi1g) � � �X
ir =2�(fi1;i2;:::;ir�1g)
K (ir; fi1; i2; : : : ; ir�1g)
donde la suma de la derecha, por de�nición de los coe�cientes K (i; S) ; es 1 y
lo mismo le ocurre a cada una de las sucesivas sumas de derecha a izquierda,
salvo la primera. Luego X�2
q (�) =Xi2N
pi;:
Para el juego unidad u 2 � (M), dado por u (S) = 1 si S 6= ;; se veri�ca
i (u) =X
S2M=i
piS [u (S [ i)� u (S)] = pi;;
4.2 Valores de Grupo Estáticos 117
y, por tanto, X�2
q (�) =Xi2N
i (u) :
Entonces, por el axioma de e�cienciaX�2
q (�) =XB2B
P (B)u (B) =XB2B
P (B) = 1:
Con ello queda comprobado que q es una distribución de probabilidad sobre
:
Se probará que la distribución q de�ne a como valor de orden aleatorio
estático. Para un jugador i 2 N y una coalición S 2 M=i, con cardinal
jSj = s, se tiene que la expresiónXf�2i:Si(�)=Sg
q (�) ;
se puede desarrollar de la siguiente forma
piSK (S)
Xis2S
pisSnisK (Snis)
Xis�12Snis
pisSnfis;is�1gK (Sn fis; is�1g)
� � �X
i12Snfi2;:::;isg
pi1;
Xis+2 =2�(SUi)
pis+2S[i
K (S [ i)� � �
Xir =2�(S[fi;is+2;:::;ir�1g)
pirS[fi;is+2;:::;ir�1gK (S [ fi; is+2; : : : ; ir�1g)
:
Pero, por el Teorema 4.16, al ser e�ciente, se tiene
K (S) =Xj =2�(S)
pjS =Xis2S
pisSnis;
y esto mismo ocurre con cada uno de los s + 1 primeros coe�cientes K del
sumatorio anterior. Se puede ir simpli�cando entonces cada denominador
con el numerador que viene a continuación. Los últimos r� s� 2 sumandos
(la parte de abajo de la expresión) son iguales a 1 por de�nición de los
coe�cientes K: Y así se obtieneXf�2i:Si(�)=Sg
q (�) = piS:
118 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Con esto queda probado lo enunciado sin más que considerar la expresión
(4.4). 2
El siguiente teorema, consecuencia inmediata de los resultados anteriores,
proporciona una caracterización de los valores de orden aleatorio estáticos.
Teorema 4.20 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) : Entonces,
es un valor de orden aleatorio estático si, y sólo si, satisface el axioma de
e�ciencia estático, y sus componentes i veri�can los axiomas de linealidad
y jugador nulo.
En el próximo resultado se obtiene un método para construir valores de
orden aleatorio estáticos.
Teorema 4.21 Un valor de grupo sobre � (M) es de orden aleatorio es-
tático si, y sólo si, es un valor básico estático de�nido mediante valores
B sobre ��2B�de orden aleatorio.
Demostración: Sea un valor de orden aleatorio estático. Entonces, el
Teorema 4.18, permite asegurar que es un valor básico de�nido por valores
e�cientes B, para cada B 2 B, cuyas componentes son probabilísticas. De
este modo, el Teorema 13 de Weber [59] asegura que los B son valores de
orden aleatorio.
Se demostrará ahora la implicación recíproca. Dada P 2 P (M) ; supón-
gase que, para cada i 2 N y cada v 2 � (M),
i (v) =XB2Bi
P (B)X�2B
qB (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] ;
conP
�2BqB (�) = 1; qB (�) � 0. Como los conjuntos de cadenas maximales
son disjuntos en las áreas de in�uencia, entonces
i (v) =X�2i
(P (B�) qB�(�)) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] :
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 119
Por tanto, considerando para cada � 2 ; el número real positivo
q (�) = P (B�) qB�(�) ;
como se veri�caX�2
q (�) =X�2
P (B�) qB�(�) =
XB2B
"P (B)
X�2B
qB (�)
#= 1;
queda probado que es un valor de orden aleatorio estático. 2
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos
Relativos
En el caso dinámico las estimaciones individuales realistas deberán suponer
que es un suceso seguro el hecho de pertenecer el jugador a una de las coali-
ciones que se formarán al �nal. Por tanto, interesan en esta sección valores
de grupo = (i)i2N sobre � (M) tales que cada componente i sea un
valor probabilístico. Se dirá en lo sucesivo que estos son los valores de grupo
que veri�can la propiedad de ponderación unitaria.
De�nición 4.22 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) se dice que
veri�ca la propiedad de ponderación unitaria, cuando cada una de sus com-
ponentes i sea un valor probabilístico sobre � (M).
En lo sucesivo, un valor que veri�que la de�nición anterior se dirá que
veri�ca la propiedad PU.
A continuación se verá cómo construir valores de grupo con la propiedad
PU, a partir de valores de grupo con la propiedad del rango.
Dado un vector x = (xi)i2N 2 RN y un valor de grupo = (i)i2Nsobre � (M), se de�ne el valor producto x : � (M) �! RN , como aquél de
componentes tales que
(x)i (v) = xii (v) ,
120 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
para cada i 2 N y v 2 � (M). Se entiende esta operación como un cambio de
escala individual. Además, si todas las componentes de un vector x = (xi)i2Nson no nulas, se denotará por 1=x al vector (1=xi)i2N .
Proposición 4.23 Sea M un matroide y r su juego rango. Para un valor
de grupo sobre � (M) se veri�can las siguientes propiedades:
(1) Si � 2 Core (r) y satisface la propiedad de ponderación unitaria,
entonces � cumple la propiedad del rango para el vector �.
(2) Si veri�ca la propiedad del rango para � = (�i)i2N ; siendo �i 6= 0
para todo i 2 N; entonces 1� cumple la propiedad de ponderación
unitaria.
Demostración: (1) Si veri�ca la propiedad PU y � = (�i)i2N ; cada
componente de � es tal que, para cada v 2 � (M), se tiene
(�)i (v) =X
S2M=i
�ipiS [v (S [ i)� v (S)] ;
con piS � 0 yP
S2M=i piS = 1. Tomando qiS = �ip
iS; se tiene que qiS � 0
yP
S2M=i qiS = �i: Luego para cada i 2 N , (�)i es �i�ponderado y, por
tanto, � veri�ca la propiedad del rango para �.
De forma similar se comprueba el apartado (2). 2
La proposición anterior junto con el Teorema 4.10 permite obtener una
expresión de los valores que veri�can la propiedad PU, sin más que utilizar
el siguiente razonamiento. Dado un valor con la propiedad PU, y tomando
cualquier vector � 2 Core (r) de componentes no nulas, al ser � un valor
con la propiedad del rango, se tendrá que � se puede expresar como indica
el Teorema 4.10. Haciendo 1�(�) se llega �nalmente a una expresión para
. Obsérvese que la exigencia de que todas las coordenadas sean no nulas
implica la necesidad de que los jugadores no se consideren autoexcluidos de
las coaliciones �nales.
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 121
Para de�nir el concepto de e�ciencia para juegos dinámicos sobre un
matroide M, se considerará el conjunto de secuencias básicas � (M) y el
de distribuciones de probabilidad sobre éstas, D (M). Dada una secuencia
básica � 2 � (M) ; � = (A1; : : : ; Ak), para cada juego v 2 � (M) se denotará
por v (�) el número dado por
v (�) = v (A1) + � � �+ v (Ak) :
Axioma de e�ciencia dinámico. Existe D 2 D (M) tal que, para todo
juego v 2 � (M), el valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) veri�caXi2N
i (v) =X
�2�(M)
D (�) v (�) :
Se plantea ahora la cuestión de construir valores de grupo que veri�quen
el axioma de e�ciencia dinámico.
Teorema 4.24 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) cuyas com-
ponentes se expresan, para todo juego v 2 � (M) ; de la forma
i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] :
Entonces, veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico si, y sólo si, existe
una distribución de probabilidad D sobre el conjunto D (M) de secuencias
básicas, tal que satisfaga las siguientes ecuaciones recurrentesXi2S
piSni �Xj =2�(S)
pjS =X
f�2�(M):�=(A1;:::;S;:::;Ak)g
D (�) ; 8S 2 MnB.
Xi2B
piBni = wD (B) ; 8B 2 B
122 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Demostración: Para el valor de grupo dado, se veri�caXi2N
i (v) =Xi2N
XS2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)]
=XS2M
24Xi2S
piSni �Xj =2�(S)
pjS
35 v (S) :Por tanto, veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico si, y sólo si, existe
D 2 D (M) tal que
XS2M
24Xi2S
piSni �Xj =2�(S)
pjS
35 v (S) = X�2�(M)
D (�) v (�) ;
para todo v 2 � (M). Así, se puede asegurar que veri�ca el axioma de
e�ciencia dinámico si, y sólo si, existe D 2 D (M) tal que la igualdad anterior
se satisface para todo juego de identidad �S, con S 2 M.
Esto es, es condición necesaria y su�ciente que se veri�que:Xi2S
piSni �Xj =2�(S)
pjS =X
f�2�(M):�=(A1;:::;S;:::;AK)g
D (�) ;
para todo S 2 MnB; yXi2B
piBni =X
f�2�(M):�=(A1;:::;B;:::;AK)g
D (�) = wD (B) ;
para todo B 2 B. 2
En el siguiente ejemplo se construirá un valor de grupo = (i)i2N sobre
� (M) ; cuyas componentes se expresan en la forma
i (v) =1
wPi
XB2Bi(M)
P (B)Bi (vB); para todo v 2 � (M) ; (4.5)
donde P 2 P (M) es una distribución de probabilidad tal que el vector de
in�uencias wP tiene todas sus componentes no nulas, y siendo cada valor
B =�Bi
�i2B
un valor e�ciente sobre ��2B�: Se trata de observar que este
tipo de valores no cumplen, en general, el axioma de e�ciencia dinámico.
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 123
Ejemplo 4.25 Sea el matroide M3 (1k3) y sobre él considérese la distribu-
ción equitativa P (f1; 2g) = P (f2; 3g) = 1=2, cuyo vector de in�uencias
asociado es wP = (1=2; 1; 1=2) : Sean �f1;2g y �f2;3g los valores de Shapley
clásicos sobre cada área de cooperación del matroide dado; esto es,
�f1;2g1 (v) =
1
2v (f1g) +
1
2[v (f1; 2g)� v (f2g)] ;
�f1;2g2 (v) =
1
2v (f2g) +
1
2[v (f1; 2g)� v (f1g)] ;
�f2;3g2 (v) =
1
2v (f2g) +
1
2[v (f2; 3g)� v (f3g)] ;
�f2;3g3 (v) =
1
2v (f3g) +
1
2[v (f2; 3g)� v (f2g)] ;
y tómese �f1;2g3 = �
f2;3g1 = 0: Entonces, el valor de grupo 0; de�nido sobre
el conjunto de juegos del matroide de oposición, dado por
0 =1
2
��f1;2g + �f2;3g
�;
utilizando las extensiones de los valores de Shapley, veri�ca el axioma de e�-
ciencia estático (Proposición 4.15). Además satisface la propiedad del rango
(Teorema 4.10). Así, el valor = (1;2;3) tal que
1 =1
wP1
01 = 20
1; 2 =1
wP2
02 = 0
2; 3 =1
wP3
03 = 20
3;
es un valor de grupo que veri�ca la propiedad de ponderación unitaria por la
Proposición 4.23.
Se verá que dicho valor no veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico. Sea
el juego de identidad �f2g; entonces
�f1;2g1
��f2g�= �
1
2;�
f1;2g2
��f2g�=
1
2;
�f2;3g3
��f2g�= �
1
2;�
f2;3g2
��f2g�=
1
2;
con lo que
01
��f2g�= 0
3
��f2g�= �
1
4;0
2
��f2g�=
1
2,
124 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
y así,
1
��f2g�= 3
��f2g�= �
1
2;2
��f2g�=
1
2,
lo que implica
1
��f2g�+2
��f2g�+3
��f2g�= �
1
2:
Por otro lado, como las secuencias básicas del matroide son �1 = (f1; 2g ; f3g)
y �2 = (f2; 3g ; f1g) ; para toda distribución de probabilidad D sobre � (M),
se tiene
D (�1) �f2g (�1) +D (�2) �f2g (�2) = 0;
pues
�f2g (�1) = �f2g (f1; 2g) + �f2g (f3g) = 0;
�f2g (�2) = �f2g (f2; 3g) + �f2g (f1g) = 0:
Luego no veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico porque
1
��f2g�+2
��f2g�+3
��f2g�6= D (�1) �f2g (�1) +D (�2) �f2g (�2) :
Aunque los valores de grupo construidos mediante la expresión (4.5) no
interesan desde el punto de vista dinámico, sí tienen aplicación sobre juegos
estáticos. En realidad, la expresión (4.5) representa un cambio de escala de
un valor tal que, si los valores B tomados sobre las áreas de cooperación son
e�cientes y con componentes probabilísticas, es un valor de orden aleatorio
estático. Al ser el cambio de escala dividir entre la in�uencia, se entiende
como un valor aplicado a juegos estáticos donde los jugadores miden sus
posibilidades respecto de sus áreas de in�uencia y no respecto de todas las
áreas de cooperación.
De�nición 4.26 Un valor de grupo sobre � (M) de�nido por la expresión
(4.5), mediante una distribución de probabilidad P 2 P (M) tal que el vector
de in�uencias wP tiene todas sus componentes no nulas, y siendo cada valor
B sobre ��2B�con componentes probabilísticas, se denomina valor básico
relativo.
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 125
Evidentemente, un valor básico relativo veri�ca la propiedad PU. Además,
es fácil comprobar que si en la de�nición de un valor de grupo básico
relativo, se toma los valores B e�cientes, entonces se veri�ca el siguiente
axioma.
Axioma de e�ciencia relativo. Existe una distribución de probabilidad
P 2 P (M), con wPi 6= 0, tal que, para todo juego v 2 � (M), el valor
= (i)i2N sobre � (M) veri�caXi2N
wPi i (v) =
XB2B(M)
P (B) v (B) :
Proposición 4.27 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) básico rela-
tivo con componentes i e�cientes veri�ca el axioma de e�ciencia relativa.
Nótese que el axioma de e�ciencia relativa recuerda a la e�ciencia planteada
para los valores de pesos de�nidos inicialmente por Shapley [48] en juegos sim-
ples y planteados como sistemas ponderados por Kalai y Samet [29], Nowak
y Radzik [42] y [43] entre otros. En este caso, los pesos son los de in�uencias
de los distintos jugadores y el valor a repartir la media ponderada. También,
para un valor que veri�ca el axioma de e�ciencia relativa se consiguen ecua-
ciones similares a las obtenidas por Novak y Radzik en [42], como se muestra
en el siguiente resultado. Se omite la demostración al ser inmediata a partir
del Teorema 4.16.
Corolario 4.28 Sea M un matroide y � su operador clausura: Sea un valor
de grupo = (i)i2N sobre � (M) ; cuyas componentes se pueden expresar
en la forma
i (v) =X
S2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] ;
para v 2 � (M). Entonces, veri�ca el axioma de e�ciencia relativo si, y
sólo si, existe un vector � = (�i)i2N de Core (r), de componentes no nulas,
126 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
tal que se satisfacen las siguientes ecuaciones recurrentesXi2S
�ipiSni =
Xj =2�(S)
�jpjS; 8S =2 B, S 2 M,
Xi2B
�ipiBni = 1; 8B 2 B.
En la siguiente proposición se da otra formulación alternativa del axioma
de e�ciencia relativo.
Proposición 4.29 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) : En-
tonces, veri�ca el axioma de e�ciencia relativo si, y sólo si, existe una
distribución de probabilidad P 2 P (M) tal que, para todo v 2 � (M) ; se
tiene XB2B(M)
P (B)Xi2B
i (v) =X
B2B(M)
P (B) v (B) :
Demostración: Basta tener en cuenta que dado wP 2 Core (r), se veri�ca
Xi2N
wPi i (v) =
Xi2N
0@ XB2Bi(M)
P (B)
1Ai (v)
=X
B2B(M)
P (B)Xi2B
i (v) ;
dado que wPi =
PB2Bi(M) P (B), para todo i 2 N; por de�nición. 2
A continuación se introduce un tipo de valor de grupo que, en deter-
minadas condiciones, se verá que cumple la propiedad PU y el axioma de
e�ciencia dinámico. En la siguiente de�nición, para simpli�car notaciones,
el conjunto de menores de eliminación que no contengan sólo el vacío de un
matroide M se denotará por M E (M) :
De�nición 4.30 Se denomina valor básico dinámico, a todo valor de grupo
M
=�M
i
�i2N
sobre � (M) tal que, utilizando
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 127
(a) Una colección�M0
: M0de�nido sobre � (M0)
M02M E (M)
de valores
de grupo estáticos,
(b) Una colección fPM0 : PM0 2 P (M0)gM02M E (M) de distribuciones de pro-
babilidad,
el valor M
i (v), para cada i 2 N y cada v 2 � (M), se construye mediante
la fórmula recurrente
M
i (v) =
8><>:Mi (v), si i es istmo en M
Mi (v) +
XB2B(Mni)
PM(B)MnB
i (vMnB); en otro caso,
(4.6)
aplicada a cada M0
i (v), donde M0 2 M E (M) : En tales condiciones, se
utilizará la notación�M;�M0
, fPM0g�:
En el siguiente ejemplo se muestra cómo se aplica la de�nición de valor
básico dinámico sobre un matroide concreto, y se justi�ca dicha de�nición.
Ejemplo 4.31 Sea el matroide M sobre N = f1; 2; 3; 4; 5g de�nido por el
siguiente grá�co,
128 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Se suponen dados valores de grupo M0sobre � (M0) y distribuciones de
probabilidad PM0 2 P (M0) para cada M0 menor de eliminación de M, con-
siderando, en este ejemplo, los mismos valores y probabilidades para todos los
menores de eliminación que tienen las mismas coaliciones. Se describirá el
cálculo de la componente correspondiente al jugador 1 del valor básico sobre
� (M), M
=�M
1 ; : : : ;M
5
�; de�nido por los anteriores valores y proba-
bilidades. Para un juego v 2 � (M), el cálculo de M
1 (v) se realiza mediante
la recurrencia a los matroides del siguiente esquema, usando en cada uno de
ellos el valor M0correspondiente.
Para los matroidesM0 de la última eliminación, descritos en la Figura 4.3, el
jugador 1 es istmo, y por tanto M0
1 (vM0) = M0
1 (vM0). Los valores para el
juego restringido sobre los matroides de la primera eliminación, Figura 4.4,
se calcularán a raíz de los anteriores. Por último, estos valores se utilizan
para hallar M
1 (v).
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 129
Así se obtiene que
1 (v) = M1 (vM)
+PM (f2; 3g)�M3
1 (vM3) + PM3
(f4; 5g)M1
1 (vM1)�
+PM (f2; 4g)�M4
1 (vM4) + PM4
(f3; 5g)M1
1 (vM1)�
+PM (f3; 4g)M2
1 (vM2)
+PM (f3; 5g)�M5
1 (vM5) + PM5
(f2; 4g)M1
1 (vM1)�
+PM (f4; 5g)�M6
1 (vM6) + PM6
(f2; 3g)M1
1 (vM1)�;
donde
M1 = Mnf2; 3g n f4; 5g =Mnf2; 4gn f3; 5g
130 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
= Mnf3; 5g n f2; 4g =Mnf4; 5g n f2; 3g ;
M2 = Mnf3; 4g ;M3 =Mnf2; 3g ;M4 =Mnf2; 4g ;
M5 = Mnf3; 5g ;M6 =Mnf4; 5g :
Se estudiará ahora el buen comportamiento de los valores de grupo básicos
dinámicos. Recuérdese que la función rango de un menor de eliminación de
M es la de M restringida al álgebra de Boole de�nida por los jugadores
que participan en dicho menor, como indica la Proposición 1.19. Por ello se
denotará siempre de la misma forma tanto la función rango de M como la
de cualquiera de sus menores de eliminación.
Teorema 4.32 Sea M un matroide y r su juego rango. Sea un valor básico
dinámico�M;�M0
; fPM0g�sobre � (M) : Si se veri�ca que, para cada
M0 2 M E (M), existe un vector �M02 Core (r;M0) tal que:
(1) El valor de grupo M0sobre � (M0) satisface la propiedad del rango
para �M0;
(2) La distribución de probabilidad PM0 cumple que wPM0 = �M0,
entonces, M
veri�ca la propiedad PU.
Demostración: Suponiendo que se veri�can las condiciones (1) y (2), se verá
que las componentes M
i de M
son valores probabilísticos sobre � (M) :
Para ello, debido a la construcción recurrente de los valores M
i ; se realizarán
las dos pruebas siguientes.
a) Cuando i es un jugador istmo de M, se veri�ca que M
i es un valor
probabilístico sobre � (M) : En efecto, en este caso se de�ne M
i = Mi :
Entonces, siendo �M =��Mi�i2N
, se veri�ca, por (1), que M
i es un valor
�Mi -ponderado. Pero además, el hecho de ser i istmo asegura que todo vector
de Core(r;M) tiene su componente i-ésima igual a uno.
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 131
b) Cuando i no es un jugador istmo en M ocurre que si los valores
MnB
i , para cada B 2 B (Mni) ; son probabilísticos sobre � (MnB), entonces
también lo es M
i :
En estas hipótesis, para cada v 2 � (M) ; se veri�ca
MnB
i
�vMnB
�=
XS2MnB=i
piS;B [v (S [ i)� v (S)] ;
con piS;B � 0 yP
S2MnB=i piS;B = 1: Además, como la componente M
i es
�Mi -ponderada por veri�carse (1), se tiene
Mi (v) =
XS2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)] ;
con piS � 0 yP
S2M=i piS = �Mi : Luego,
i (v) = Mi (v) +
XB2B(Mni)
PM (B)MnB
i
�vMnB
�=
XS2M=i
piS [v (S [ i)� v (S)]
+X
B2B(Mni)
XS2MnB=i
PM (B) piS;B [v (S [ i)� v (S)]
=X
S2M=i
0@piS + XfB2B(Mni):S2MnB=ig
PM (B) piS;B
1A [v (S [ i)� v (S)] :
Ahora, de�niendo
qiS = piS +X
fB2Mni:S2MnB=ig
PM (B) piS;B;
para toda S 2 M=i, se terminará comprobando que dichos números no
negativos suman uno.
XS2M=i
qiS =X
S2M=i
0@piS + XfB2B(Mni):S2MnB=ig
PM (B) piS;B
1A
132 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
=X
S2M=i
piS +X
S2M=i
XfB2B(Mni):S2MnB=ig
PM (B) piS;B
= �Mi +X
B2B(Mni)
PM (B)
0@ XS2MnB=i
piS;B
1A= �Mi +
XB2B(Mni)
PM (B) = 1;
donde la última igualdad sigue de (2), ya que wPMi = �Mi y entoncesX
B2Mni
PM (B) = 1�X
B2M=i
PM (B) = 1� �Mi :
Finalmente observar que, debido a que todo el razonamiento anterior se
puede aplicar a cada menor de eliminaciónM0 2 M E (M) y que en el último
paso de la recurrencia sólo se da el caso a), se concluye que las componentes
M
i de M
son valores probabilísticos sobre � (M) : 2
Considérese, un valor básico dinámico�M;�M0
; fPM0g�, donde los
valores M' sobre � (M0) son básicos estáticos; expresados cada uno de la
forma (4.3) mediante valoresB =�Bi
�i2B
sobre ��2B�, para toda coalición
B 2 B (M0), y las mismas probabilidades PM0: Entonces, para un jugador i
istmo se obtiene, para todo v 2 � (M)
M
i (v) =X
B2B(M)
PM (B)Bi (vB) ;
y en otro caso,
M
i (v) =X
B2B(M=i)
PM (B [ i)B[ii (vB[i) +
XB2B(Mni)
PM (B)MnB
i
�vMnB
�:
La fórmula del cálculo de se interpreta en dos partes, la contracción y la
eliminación de cada jugador.
El siguiente resultado estudia la transmisión del axioma de e�ciencia para
los valores básicos en el sentido dinámico.
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 133
Teorema 4.33 Sea M un matroide. Sea�M;�M0
; fPM0g�
un valor
básico dinámico sobre � (M) veri�cando que, para cada M0 2 M E (M),
el valor M0sobre � (M0) satisface el axioma de e�ciencia estático para la
distribución de probabilidad PM0. Entonces, M
cumple el axioma de e�cien-
cia dinámico para la distribución D 2 D (M) de�nida, para cada secuencia
básica � 2 � (M), � = (A1; : : : ; Ak) ; por
D (�) = PM (A1)kY
m=2
PMnA1n:::nAm�1 (Am)
Demostración: Se demostrará por inducción en el número de jugadores del
matroide.
Si sólo hubiese un jugador en el matroide M, éste sería istmo y M
coincidiría con M. En este caso, el resultado es trivialmente cierto.
Supóngase que el teorema es cierto para matroides con menos de n ju-
gadores. Considérese ahora un matroide M con n jugadores. Usando (4.6),
y denotando por N� el subconjunto de jugadores de N que no son istmos en
M, se obtiene, para cada v 2 � (M),Xi2N
M
i (v) =Xi2N
Mi (v) +
Xi2N�
XB2B(Mni)
PM (B)MnB
i
�vMnB
�=
Xi2N
Mi (v) +
XB2B(M)
Xi2NnB
PM (B)MnB
i
�vMnB
�=
Xi2N
Mi (v) +
XB2B(M)
PM (B)X
i2NnB
MnB
i
�vMnB
�:
Ahora bien, como el valor M veri�ca el axioma de e�ciencia estático para
PM y, por hipótesis de inducción, los MnB
son e�cientes dinámicos para
DMnB, entonces Xi2N
M
i (v) =X
B2B(M)
PM (B) v (B)
+X
B2B(M)
PM (B)X
f�2�(M):�=(B;A2;:::;Ak)g
DMnB (A2; : : : ; Ak) [v (�)� v (B)]
=X
B2B(M)
PM (B) v (B) +X
f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g
D (�) [v (�)� v (A1)] ;
134 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
donde para la última igualdad se ha utilizado la expresión (3.4). Además,
por (3.5), se cumple
XB2B(M)
PM (B) v (B) =X
B2B(M)
0@ Xf�2�(M):�=(B;A2;:::;Ak)g
D (�)
1A v (B)
=X
f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g
D (�) v (A1) ;
ya que la suma en B (M) de todas las secuencias que parten de cada coalición
básica es el conjunto de todas las secuencias básicas. Por tanto,Xi2N
i (v;M) =X
f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g
D (�) v (A1)
+X
f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g
D (�) [v (�)� v (A1)]
=X
f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g
D (�) v (�) :
Así se ha probado que es e�ciente dinámico para la probabilidad D. 2
Se pueden de�nir valores de orden aleatorio también en el contexto de
juegos dinámicos.
Sea � = (A1; : : : ; Ak) una secuencia básica del matroide M. Se de-
nomina enlace de cadenas asociado a la secuencia básica �; a toda sucesión
" = (�1; : : : ; �k) tal que �m, m = 1; : : : ; k, es una cadena maximal de Am.
La familia de todos los enlaces de cadenas de un matroide se denotará por
E (M) : Se debe observar que, para cada " = (�1; : : : ; �k) 2 E (M) en-
lace de cadenas, existe entonces una única secuencia básica � = (A1; : : : ; Ak)
veri�cando que �1 2 A1(M) y
�m 2 Am (MnA1n:::nAm�1) para m = 2; : : : ; k :
Dicha secuencia básica � se llamará secuencia asociada a ".
Puesto que las secuencias básicas de un matroide, en general, no tienen
todas la misma longitud, entonces los enlaces de cadenas tampoco están
compuestos del mismo número de cadenas.
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 135
Ejemplo 4.34 Dado el matroide M de la Figura 3.3 del Ejemplo 3.2, cuyas
secuencias básicas están construidas en el Ejemplo 3.7, los enlaces de cadena
asociados a las secuencias �1 y �2 son los siguientes.
Para �1 = (f1; 2; 3g ; f4; 5g) ;
"11 = (1; 2; 3; 4; 5) ; "12 = (1; 3; 2; 4; 5) ; "13 = (2; 1; 3; 4; 5) ;
"14 = (2; 3; 1; 4; 5) ; "15 = (3; 1; 2; 4; 5) ; "16 = (3; 2; 1; 4; 5) ;
"17 = (1; 2; 3; 5; 4) ; "18 = (1; 3; 2; 5; 4) ; "19 = (2; 1; 3; 5; 4) ;
"110 = (2; 3; 1; 5; 4) ; "111 = (3; 1; 2; 5; 4) ; "112 = (3; 2; 1; 5; 4) :
Para �2 = (f1; 2; 4g ; f3g ; f5g),
"21 = (1; 2; 4; 3; 5) ; "22 = (1; 4; 2; 3; 5) ; "23 = (2; 1; 4; 3; 5) ;
"24 = (2; 4; 1; 3; 5) ; "25 = (4; 1; 2; 3; 5) ; "26 = (4; 2; 1; 3; 5) :
Con esto se pone de mani�esto que son necesarias 2 cadenas para formar los
enlaces asociados a �1; mientras que para los de �2 se utilizan 3.
Sea i 2 N y " 2 E (M) ; se escribirá como �i h"i la única cadena de "
donde interviene i. La coalición Si (") 2 M es la formada por los predecesores
de i en la cadena �i h"i.
De�nición 4.35 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) se dice que es
un valor de orden aleatorio dinámico, si existe una distribución de probabili-
dad Q sobre E (M) de forma que, para todo i 2 N y para todo v 2 � (M) ;
i (v) =X
"2E(M)
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] :
Teorema 4.36 Sea M
un valor de orden aleatorio dinámico sobre � (M).
Entonces M
es un valor básico dinámico,�M;�M0
; fPM0g�, veri�-
cando que, para cada M0 2 M E (M) :
136 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
(1) El valor M0es de orden aleatorio estático.
(2) El valor M0satisface el axioma de e�ciencia estático para la distribu-
ción de probabilidad PM0.
Demostración: Sea M
=�M
i
�i2N
un valor de orden aleatorio dinámico
sobre � (M).
Se trata de encontrar, para cada M0 2 M B (M) de M, una distribución
de probabilidad PM0 2 P (M0) y un valor M0=�M0
i
�i2M0 sobre � (M0)
que veri�que (1) y (2), para los cuales M
se puede construir utilizando (4.6).
Al ser M
un valor de orden aleatorio en el sentido dinámico, existe una
distribución de probabilidad Q sobre E (M) tal que, para todo i 2 N y
v 2 � (M) ;
M
i (v) =X
"2E(M)
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] : (4.7)
Se de�ne el valor de grupo M =�Mi
�i2N
; para cada v 2 � (M) ; como
Mi (v) =
X�2i(M)
qM (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]
donde qM (�) son los números no negativos,
qM (�) =X
f"2E(M):�1=�g
Q (") .
Mediante la siguiente comprobación se demuestra que qM es una distribu-
ción de probabilidad sobre (M):X�2(M)
qM (�) =X
�2(M)
Xf"2E(M):�1=�g
Q (") =X
"2E(M)
Q (") = 1:
Por tanto, M es un valor de orden aleatorio estático.
Por otro lado, sea la función no negativa PM sobre B (M) de�nida, para
cada B 2 B (M) ; en la forma
PM (B) =X
f"2E(M):�12B(M)g
Q (") :
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 137
Se satisface queXB2B(M)
PM (B) =X
B2B(M)
Xf"2E(M):�12B(M)g
Q (") =X
"2E(M)
Q (") = 1;
por lo cual PM 2 P (M).
Como M es un valor de orden aleatorio estático, el Teorema 4.18 asegura
que veri�ca el axioma de e�ciencia estático. Por la expresión (4.3) obtenida
en ese mismo teorema y la Proposición 4.16, se garantiza que M es e�ciente
para la probabilidad PM; observando que, para B 2 B (M), la de�nición de
qM implica
PM (B) =X�2B
qM (�) :
Considérense ahora dos casos.
(a) Sea j istmo en M. En este caso, para todo " 2 E (M) ; la cadena
de participación del jugador j en " es siempre �1, �j h"i = �1. Además, como
cualquier cadena � de (M) contiene a j; dicha cadena � puede ser utilizada
como primer elemento de un enlace de cadenas. Se sigue de (4.7) que
M
j (v) =X
�2(M)
0@ Xf"2E(M):�1=�g
Q (")
1A [v (Sj (�) [ j)� v (Sj (�))]
= Mj (v) :
(b) Sea j no istmo en M. Al separar E (M) en dos subconjuntos
disjuntos, los enlaces donde j participa en la primera cadena y aquéllos donde
no ocurre esto, se obtiene de (4.7) que
M
j (v) =X
�2j(M)
0@ Xf"2E(M):�1=�g
Q (")
1A [v (Sj (�) [ j)�v (Sj (�))]
+X
f"2E(M):�1 =2j(M)g
Q (") [v (Sj (") [ j)� v (Sj ("))]
= Mj (v)
+X
B2B(Mnj)
Xf"2E(M):�12B(M)g
Q (") [v (Sj (") [ j)� v (Sj ("))] :
138 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Para todo B 2 B (Mnj) con PM (B) 6= 0 se denota, para cada "0 2
E (MnB) ;
QMnB ("0) =X
f"2E(M):"=(�1;"0);�12B(M)g
Q (")
PM (B)
donde si "0 = (�2; :::; �k) entonces " = (�1; "0) = (�1; �2; :::; �k). La aplicación
QMnB es una distribución de probabilidad sobre E (MnB) puesto queX"02E(MnB)
QMnB ("0) =X
"02E(MnB)
Xf"2E(M):"=(�1;"0);�12B(M)g
Q (")
PM (B);
=1
PM (B)
Xf"2E(M):�12B(M)g
Q (") = 1;
sin más que observar la de�nición de PM (B). En caso de que PM (B) = 0
se entenderá que QMnB representa una distribución de probabilidad sobre
E (MnB) cualquiera.
Sin más que multiplicar y dividir por PM (B) ; cuando sea posible; la
expresión (4.8) se escribe así
M
j (v) = Mj (v)
+X
B2B(Mnj)
PM (B)X
"02E(MnB)
QMnB ("0) [v (Sj ("0) [ j)� v (Sj ("
0))] ;
donde se ha usado que todo " 2 E (M) se puede pensar como " = (�1; "0)
con "0 2 E (MnB) ; y que, al tenerse j 2 MnB, se veri�ca la igualdad
Sj (") = Sj ("0) :
Dado B 2 B (M) se construye el valor de orden aleatorio dinámico
MnB
=�MnB
i
�i2MnB
sobre cada ev 2 � (MnB) como
MnB
i (ev) = X"02E(MnB)
QMnB ("0) [ev (Si ("0) [ i)� ev (Si ("0))] :Al valor
MnB, por ser de orden aleatorio, se le puede aplicar el método usado
en esta prueba, obteniéndose un valor MnB y una probabilidad PMnB; para
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 139
el menor MnB; con las condiciones requeridas. Así, con este método, se
pueden construir los valores M0y las probabilidades PM0 veri�cando las
propiedades (1) y (2), para todo M0 menor de eliminación de M.
Finalmente, por construcción, el valor M
es un valor básico dinámico
correspondiente a la colección de valores�M0
y las probabilidades fPM0g.
2
El siguiente resultado prueba que el recíproco del anterior teorema tam-
bién es cierto.
Teorema 4.37 Sea�M;�M0
; fPM0g�un valor de grupo básico dinámico
sobre � (M), veri�cando que, para cada M0 2 M E (M):
(1) El valor M0es de orden aleatorio estático.
(2) El valor M0satisface el axioma de e�ciencia estático para la distribu-
ción de probabilidad PM0.
Entonces, M
es un valor de orden aleatorio dinámico sobre � (M).
Demostración: Hay que construir, para cada " 2 E (M) ; un número no
negativo Q (") tal que, para todo v 2 � (M)y para i 2 N; se veri�que
i (v) =X
"2E(M)
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] ;
yP
"2E(M)Q (") = 1:
Se denota por qM0la distribución de probabilidad sobre (M0) que
de�ne a M0como valor de orden aleatorio en el sentido estático, para
M0 2 M B (M) de M. Sea " = (�1; : : : ; �k) un elemento de E (M), se
de�ne
Q (") = qM (�1)kY
m=2
qMnB�1n���nB�m�1 (�m) � 0;
140 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
que satisfaceX"2E(M)
Q (") =X
f"2E(M):"=(�1;:::;�k)g
qM (�1)kY
m=2
qMnB�1n���nB�m�1 (�m)
=X
�12(M)
qM (�1)X
�22(MnB�1)
qMnB�1 (�2) � � �
� � �X
�k2(MnB�1n���nB�k�1)
qMnB�1n���nB�k�1 (�k)
= 1; (4.8)
puesto que para una elección de �1; :::; �k�1 el último sumando es 1; ya que
qMnB�1n���nB�k�1 es una probabilidad sobre
�MnB�1n � � � nB�k�1
�. Además,
observando que el último sumando es 1, se comprueba que el anterior también
vale 1, y así sucesivamente se llega a que la suma total es 1. Luego Q es un
distribución de probabilidad sobre E (M).
Para probar que es un de orden aleatorio se utilizará el mismo razo-
namiento seguido en el Teorema 4.32, comenzando por el segundo caso.
Sea i no istmo en M. Se supone que, para todo B 2 B (Mni) ; el valor
MnB
i (ev) se puede escribir como
MnB
i (ev) = X"02E(MnB)
QMnB ("0) [ev (Si ("0) [ i)� ev (Si ("0))] ;con QMnB ("0) = qMnB (�2)
kQm=3
qMnBnB�2n���nB�m�1 (�m) si "0 = (�2; :::; �k) ; yev 2 � (MnB) :
Entonces ocurre que, para todo v 2 � (M) ;
X"2E(M)
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]
=X
f"2E(M):�12i(M)g
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]
+X
f"2E(M):�1 =2i(M)g
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 141
= (a1) + (a2) :
En el sumando (a1) se veri�ca que Si (") = Si (�1) y por tanto
(a1) =X
�2i(M)
0@ Xf"2E(M):�1=�g
Q (")
1A [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]
=X
�2i(M)
qM (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]
= Mi (v) ;
donde la igualdadP
f"2E(M):�1=�gQ (") = qM (�) se obtiene realizando la
operación (4.8) para �1 �jo:
El segundo sumando, (a2) ; puede escribirse como
(a2) =X
B2B(Mni)
Xf"2E(M):�12B(M)g
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] :
Usando que cualquier enlace " = (�1; �2; :::; �k) 2 E (M) con �1 2 B (M) ;
para un B 2 B (Mni), puede describirse como " = (�1; "0) donde "0 =
(�2; :::; �k) 2 E (MnB) ; se sigue que
(a2) =X
B2B(Mni)
X�12B(M)
Xf"=(�1;"0):"02E(MnB)g
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] :
Sean B 2 B (Mni) y �1 2 B (M). Dado " = (�1; "0) ; como i =2 B; entonces
Si (") = Si ("0) y por de�nición, al ser B�1 = B; se tiene que
Q (") = qM (�1)QMnB ("0) .
Se obtiene entonces que
(a2) =X
B2B(Mni)
0@ X�12B(M)
qM (�1)
1AMnB
i
�vMnB
�:
Al veri�carse (2), la expresión (4.3) del Teorema 4.18 asegura queX�12B(M)
qM (�1) = PM (B) :
142 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Sumando (a1) y (a2) y teniendo en cuenta la expresión (4.6)X"2E(M)
Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]
= Mi (v) +
XB2B(Mni)
PM (B)MnB
i
�vMnB
�= i (v) :
Se �nalizará la demostración suponiendo que el jugador i es istmo en M
y probando que M
i (v) se escribe en la forma deseada. En este caso,
M
i (v) = Mi (v) ; para v 2 � (M) :
Se llegará a la expresión
M
i (v) =X
"2E(M)
QM (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] ;
con QM (") = qM (�1)kQ
m=2
qMnB�1n���nB�m�1 (�m) si " = (�1; :::; �k), partiendo
del segundo término y operando al igual que en (a1), teniendo en cuenta
que, en este caso, para todos los enlaces el jugador i participa en la primera
cadena. 2
A raíz de los resultados ya obtenidos se pueden enunciar las siguientes
conclusiones.
Corolario 4.38 Sea M
un valor de grupo sobre � (M) : Son equivalentes
las siguientes condiciones:
(1) El valor M
es básico dinámico,�M;�M0
; fPM0g�; satisfaciendo
que, para cadaM0 2 M B (M) deM, el valor M0veri�ca el axioma de
e�ciencia estático para PM0; y sus componentes satisfacen los axiomas
de linealidad y jugador nulo.
4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 143
(2) El valor M
es de orden aleatorio dinámico.
Demostración: La prueba es inmediata sin más que combinar los Teoremas
4.20, 4.36 y 4.37. 2
Nota 4.39 Si se tiene un juego dinámico con un número �jo de pasos de
eliminación, entonces no necesariamente participan todos los jugadores. En
este caso, el método que se ha estudiado en este capítulo se puede modi�car en
el siguiente sentido. Se construyen, para k pasos, valores mediante fórmulas
similares a las expresiones (4.6), pero �nalizando la recurrencia cuando se
han hecho k eliminaciones o bien anteriormente el jugador es istmo en el
matroide correspondiente. El estudio se debería hacer en ese caso teniendo en
cuenta las distribuciones de probabilidad sobre el conjunto de semisecuencias
de longitud k.
144 Capítulo 4. Valores sobre Matroides
Capítulo 5
Valores de Shapley para
Matroides
En este capítulo se proponen unos axiomas para introducir el valor de Sha-
pley en juegos de�nidos sobre un matroide. Se tratan las dos versiones del
modelo secuencial de cooperación: el modelo estático y el modelo dinámico.
En ambas, el desarrollo es similar. Por un lado, se tiene en cuenta que el
valor de Shapley sobre juegos cooperativos clásicos es el único valor de grupo
que satisface los axiomas de linealidad, dummy, simetría y e�ciencia. Por
otra parte, se recoge la idea introducida por Faigle y Kern [22] de sustituir
el axioma de simetría por otro que ellos, en su trabajo, denominan axioma
de poder jerárquico, en el que se establece la relación que debe existir en-
tre los valores individuales de los jugadores que intervienen en un juego de
unanimidad.
5.1 Valores Estáticos de Shapley
Se consideran en esta sección juegos sobre un matroideM que se desarrollan
según el modelo secuencial estático. Se extiende a este caso la noción de
145
146 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
poder jerárquico de un jugador en una coalición, introducida por Faigle y
Kern al tratar estructuras de precedencia. Esto se hace, en primer lugar,
partiendo de dos premisas:
1. Las coaliciones básicas del matroide M se forman siguiendo procesos
secuenciales de incorporación de jugadores. Comenzando con las coaliciones
individuales, los jugadores se van incorporando, uno a uno, hasta formar una
coalición básica. Además, en cada paso, las coaliciones que se formen son
coaliciones factibles en el matroide.
2. Todas las coaliciones básicas del matroide tienen la misma probabilidad
de formación.
Sea M un matroide. Entonces, dada una coalición S 2 M; se de�ne el
poder jerárquico estático heS (i) de un jugador i 2 N en la coalición S como
heS (i) =c (M; S; i)
c (M);
siendo c (M; S; i) el número de cadenas maximales del matroideM que con-
tienen a S; tales que el jugador i es el último en incorporarse a S; y c (M) el
número total de cadenas maximales deM. En particular, se tiene heS (i) = 0
cuando i =2 S:
Proposición 5.1 Sean M un matroide y S 2 M. Entonces, el poder
jerárquico estático de un jugador i 2 S en la coalición S es
heS (i) =we (S)
jSj;
siendo we (S) la in�uencia de la coalición S para la distribución de probabi-
lidad equitativa P e 2 P (M).
Demostración: Sea r el rango del matroideM. Para cada coalición básica
B deM, el número de cadenas maximales del intervalo [;; B] = 2B es r!. Por
tanto, el número c (M) de cadenas maximales del matroide es c (M) = b ( r!) :
5.1 Valores Estáticos de Shapley 147
Análogamente, el número de cadenas maximales que contienen a S es bS (r!) :
Así,
c (M; S; i) =bS (r!)
jSj;
puesto que todos los jugadores de S tienen las mismas posibilidades de in-
corporarse en último lugar a S en dichas cadenas. Por ello,
heS (i) =c (M; S; i)
c (M)=
bSb jSj
=we (S)
jSj;
ya que we (S) = bS=b, como se vió en la sección 3.2. 2
En la proposición anterior, se llega a la conclusión de que el poder jerárqui-
co de un jugador en una coalición es la parte proporcional de la in�uencia
equitativa de la coalición en el matroide. Por ello, como en un matroide no
hay que presuponer que todas las coaliciones básicas tienen la misma proba-
bilidad de formarse, es posible considerar de forma más general el concepto
de poder jerárquico.
De�nición 5.2 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de coaliciones básicas del matroide M. El poder jerárquico estático
hPS (i) de un jugador i 2 S en una coalición S 2 M, respecto de la distribu-
ción de probabilidad P , es el número dado por
hPS (i) =wP (S)
jSj:
Además, para un jugador j 2 N n S; hPS (j) = 0:
Según la de�nición anterior, dada una coalición S 2 M, el poder jerárquico
estático cumple las siguientes propiedades:
� El poder jerárquico hPS (i) = 0 para todo i 2 N que sea jugador nulo
en el juego de unanimidad �S, ya que, según el Lema 4.4, los jugadores
nulos de este juego son los que no pertenecen a la coalición S.
148 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
� La suma de los poderes jerárquicos de todos los jugadores esXi2N
hPS (i) =Xi2S
wP (S)
jSj= wP (S) =
XB2B
P (B) �S (B) :
� Todos los miembros de la coalición S tienen el mismo poder jerárquico
en S; siendo éste la parte proporcional de la in�uencia de dicha coali-
ción.
Entonces, es lógico introducir los siguientes axiomas para extender el con-
cepto de valor de Shapley a los juegos estáticos de�nidos sobre un matroide.
Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) y sea P 2 P (M)
una distribución de probabilidad sobre el conjunto de coaliciones básicas del
matroide M:
Axioma 1 (Linealidad). Si v1; v2 2 � (M) y �1; �2 2 R, entonces,
(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :
Axioma 2E (Jugador dummy). Para todo juego v 2 � (M) y para todo
i 2 N ; si el jugador i es dummy en v; se tiene
i (v) = wPi v (fig) :
Axioma 3E (E�ciencia). Si v 2 � (M) ; entoncesXi2N
i (v) =XB2B
P (B) v (B) :
Axioma 4E (Poder jerárquico). Para cada coalición no vacía S 2 M y
cualesquiera i; j 2 S;
i (�S) = j (�S) :
Previo al teorema que determina un único valor de grupo para estos a-
xiomas, se necesita introducir el siguiente lema.
5.1 Valores Estáticos de Shapley 149
Lema 5.3 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el con-
junto de coaliciones básicas del matroide M, y r el rango de M: La in�uen-
cia wP (S) de una coalición S 2 M se relaciona con las in�uencias de las
coaliciones factibles de cardinal �jo que la contienen de la siguiente formaXfT2M:T�S;jT j=tg
wP (T ) = wP (S)
�r � s
t� s
�;
con s = jSj. Además,
wP (S) =1
2r�s
XfT2M:T�Sg
wP (T ) :
Demostración: Considérese el conjunto BS de coaliciones básicas que con-
tienen a la coalición S 2 M. Sea B 2 BS y s = jSj : Como el intervalo
[S;B] es un álgebra de Boole, para cada t 2 fs; s+ 1; : : : ; r � 1; rg hay�r�st�s
�coaliciones de cardinal t contenidas en B y que contienen a S.
Dada una coalición T 2 M, tal que S � T , toda área de in�uencia suya
lo es de S; y por tanto, el número de coaliciones básicas de T coincide con el
número de áreas de in�uencia de S que contienen a T . EntoncesXfT2M:T�S;jT j=tg
wP (T ) =X
fT2M:T�S;jT j=tg
XB2BT
P (B)
=XB2BS
P (B)X
fT�B:T�S;jT j=tg
1
=XB2BS
P (B)
�r � s
t� s
�= wP (S)
�r � s
t� s
�:
Por otro lado, obsérvese queXfT2M:T�Sg
wP (T ) =rXt=s
XfT2M:T�S;jT j=tg
wP (T )
=rXt=s
wP (S)
�r � s
t� s
�= wP (S) 2r�s;
puesto quePr
t=s
�r�st�s
�= (1 + 1)r�s : 2
150 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
Teorema 5.4 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el con-
junto de coaliciones básicas del matroide M. Existe un único valor de grupo
�P =��Pi
�i2N
sobre � (M) satisfaciendo Axioma 1, Axioma 2E, Axioma 3E
y Axioma 4E. Además, para todo v 2 � (M) y para todo i 2 N ,
�Pi (v) =
XS2M=i
wP (S [ i)(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)] ;
donde s indica jSj y r es el rango del matroide M.
Demostración: Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) que veri�ca
los axiomas del enunciado. Para cada S 2 M, se considera el juego de
unanimidad �S. Los jugadores i =2 S son jugadores nulos para dicho juego
(Lema 4.4) y, entonces, por el Axioma 2E, se tiene i (�S) = 0 para todo
i 2 N n S. Por otro lado, i (�S) = j (�S) cuando i; j 2 S, por el Axioma
4E. Así, aplicando el Axioma 3E al juego �S se obtieneXi2N
i (�S) =Xi2S
i (�S) = i (�S) jSj = wP (S) :
Luego, para todo i 2 S
i (�S) =wP (S)
jSj= hPS (i) .
Por tanto, al ser el conjunto de juegos de unanimidad una base del espacio
vectorial � (M) ; el Axioma 1 permite asegurar que existe un único valor de
grupo sobre � (M) que satisface los axiomas del enunciado. Sea �P dicho
valor.
Sea v 2 � (M) : Expresando v como combinación lineal de los juegos de
unanimidad, y teniendo en cuenta que �P veri�ca el Axioma 1, para cada
i 2 N , se tiene
�Pi (v) =
XfT2M:T 6=;g
�v (T )�Pi (�T ) =
XfT2M:i2Tg
�v (T )wP (T )
t(5.1)
5.1 Valores Estáticos de Shapley 151
=X
fT2M:i2Tg
"XS�T
(�1)t�s v (S)
#wP (T )
t
=X
fS2M:S[i2Mg
24 XfT2M:T�S[ig
(�1)t�swP (T )
t
35 v (S) ; (5.2)
donde la tercera igualdad sigue de la expresión (1.8) para los dividendos de
Harsanyi.
Se trata ahora de determinar el coe�ciente de v (S) en la expresión (5.2).
Para ello se distinguen dos casos.
(1) Sea S 2 M, tal que i 2 S: Entonces, para el coe�ciente de v(S) en la
expresión (5.2) se tiene
XfT2M:T�Sg
(�1)t�swP (T )
t=
rXt=s
(�1)t�s1
t
XfT2M:T�S;jT j=tg
wP (T )
= wP (S)rXt=s
�r � s
t� s
�(�1)t�s
1
t
= wP (S)r�sXk=0
(�1)k�r � s
k
�Z 1
0
xk+s�1dx
= wP (S)
Z 1
0
xs�1 (1� x)r�s dx
= wP (S)(r � s)!(s� 1)!
r!;
donde en la segunda igualdad se ha utilizado el Lema 5.3, y en la última se
evalúa la función beta.
(2) Sea S 2 M=i: Ahora, siguiendo un razonamiento análogo al anterior,
el coe�ciente de v(S) en la expresión (5.2) es
XfT2M:T�S[ig
(�1)t�swP (T )
t=
rXt=s+1
(�1)t�s1
t
XfT2M:T�S[i;jT j=tg
wP (T )
= wP (S [ i)rX
t=s+1
�r � s� 1
t� s� 1
�(�1)t�s
1
t
152 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
= �wP (S [ i)
Z 1
0
xs (1� x)r�s�1 dx
= �wP (S [ i)(r � s� 1)!s!
r!:
Para terminar la prueba, basta sustituir los coe�cientes calculados en la
expresión (5.2) y utilizar la biyección existente entre las coaliciones factibles
S 2 M=i y aquéllas que contienen al jugador i: Con ello,
�Pi (v) =
XS2M=i
wP (S [ i)(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)] :
2
De�nición 5.5 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de coaliciones básicas del matroide M. Se denomina P -valor es-
tático de Shapley al único valor de grupo �P sobre � (M) que veri�ca Axioma
1, Axioma 2E, Axioma 3E y Axioma 4E.
Obsérvese en la demostración del último teorema, que cada componente
�Pi del P -valor estático de Shapley aplicada al juego �S coincide con el poder
jerárquico estático del jugador i en la coalición S; respecto de la distribución
de probabilidad P .
A continuación se probará que el Axioma 4E, incluido en la caracteri-
zación del valor de Shapley, puede ser sustituido por un axioma similar para
los juegos de identidad. Para un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) se
considera el siguiente axioma.
Axioma 4'E (Poder jerárquico). Para toda coalición no vacía S 2 M y
cualesquiera i; j 2 S;
i (�S) = j (�S) :
5.1 Valores Estáticos de Shapley 153
Probar que este nuevo axioma puede sustituir al Axioma 4E en la deter-
minación del P -valor estático de Shapley es fácil usando la relación que existe
entre los juegos de identidad y los de unanimidad. Sin embargo, se realizará
a continuación una demostración alternativa haciendo uso de los resultados
obtenidos en el capítulo anterior.
Teorema 5.6 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el con-
junto de coaliciones básicas del matroide M. El P -valor estático de Shapley
es el único valor de grupo sobre � (M) que veri�ca Axioma 1, Axioma 2E,
Axioma 3E y Axioma 4'E.
Demostración: Sea r el rango del matroide M. Sea = (i)i2N un valor
de grupo sobre � (M) que veri�ca los axiomas del enunciado. Entonces,
debido a que satisface el Axioma 1 y el Axioma 2E; el Teorema 4.5 asegura
que, para cada v 2 � (M) y para cada i 2 N; se tiene
i(v) =X
S2M=i
piS [v(S [ i)� v(S)] ;
donde piS = i (�S[i) :
En ese caso, el Axioma 3E y el Teorema 4.15 implican las siguientes
relaciones Xi2S
piSni =Xj =2�(S)
pjS; 8S =2 B, S 2 M, (5.3)
Xi2B
piBni = P (B) ; 8B 2 B. (5.4)
Usando la igualdad piS = i (�S[i) y el Axioma 4'E, se veri�ca que
piSni = pjSnj
cuando S 2 M y además i; j 2 S: Por tanto la ecuación (5.4) se puede
escribir en la forma rpiBni = P (B), y así
154 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
piBni =P (B)
r= wP (B)
1! (r � 1)!
r!:
Esto prueba que, para cada B 2 B, el coe�ciente piBni coincide con el
coe�ciente de la contribución marginal v (B)� v (B n i) en la fórmula del P -
valor estático de Shapley. Supóngase ahora que esto mismo ocurre para cada
coalición factible S de cardinal s. Entonces, la demostración acaba cuando
se pruebe que lo anterior también se cumple para las coaliciones de cardinal
s� 1.
En efecto, la ecuación (5.3) para una coalición S 2 M de cardinal s
implica queXi2S
piSni =Xj =2�(S)
pjS =(r � s� 1)!s!
r!
Xfj2N :S2M=jg
wP (S [ j)
=(r � s� 1)!s!
r!wP (S)
�r � s
1
�= wP (S)
(r � s)!s!
r!;
donde la segunda igualdad es debida a la hipótesis de inducción y, en la
tercera, se aplica el Lema 5.3 sobre las coaliciones que contienen a S con
cardinal s+ 1. Además, por el Axioma 4'E, se obtiene �nalmente
spiSni = wP (S)(r � s)!s!
r!:
En de�nitiva,
piSni = wP (S)(r � s)! (s� 1)!
r!:
2
El Teorema 4.20 garantiza que el P -valor estático de Shapley es un valor
de orden aleatorio. Por otro lado, el Teorema 4.21 asegura que entonces es un
valor básico estático. Se verá a continuación que los valores que lo expresan
en la forma (4.1) resultan ser los valores de Shapley correspondientes a las
coaliciones básicas del matroide.
5.1 Valores Estáticos de Shapley 155
Teorema 5.7 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el con-
junto de las coaliciones básicas deM: El P -valor estático de Shapley se puede
expresar en la forma
�P =XB2B
P (B) �B;
donde cada �B es el valor de Shapley sobre ��2B�.
Demostración: Sean i 2 N y B 2 Bi una coalición básica que contiene a i.
Se considera el valor de Shapley �B sobre ��2B�. Entonces, para cualquier
juego v 2 � (M) ; se tiene que
�Bi (vB) =
XfS�B:i=2Sg
(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)] .
Se debe probar que para todo v 2 � (M) y para todo i 2 N , se veri�ca
�Pi (v) =
XB2Bi
P (B) �Bi (vB) :
En efecto,XB2Bi
P (B)�Bi (vB) =
XB2Bi
P (B)X
fS�B:i=2Sg
(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)]
=X
S2M=i
(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)]
XB2BS[i
P (B)
=X
S2M=i
wP (S [ i)(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)] ;
donde, para intercambiar los sumatorios en la segunda igualdad, se ha usado
el Lema 4.9. 2
Obsérvese que el P -valor estático de Shapley veri�ca la propiedad del
rango para el vector de in�uencias wP . En consecuencia, sus componentes
�Pi ; para cada i 2 N; son valores wP
i -ponderados y, entonces, se satisface
también el axioma de monotonía. Otras propiedades destacables sobre su
comportamiento sobre determinadas clases de juegos, son las siguientes.
156 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
Proposición 5.8 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de coaliciones básicas del matroide M, y sea r el rango de dicho
matroide. Las siguientes a�rmaciones son ciertas para el P -valor estático de
Shapley:
(1) Si v 2 � (M) es un juego débilmente superaditivo, entonces
�Pi (v) � wP
i v (fig) ; para todo i 2 N .
(2) Si v 2 � (M) es un juego simétrico (esto es, que existe una función
f : f0; 1; : : : ; rg�! R , tal que, para toda coalición S 2 M con cardinal
s; se veri�ca v (S) = f (s)); entonces
�Pi (v) = wP
i
f (r)
r; para todo i 2 N:
Demostración: (1) Sea v 2 � (M) un juego débilmente superaditivo. En-
tonces, si i 2 N y S 2 M=i; se tiene v (S [ i) � v (fig) + v (S). Por tanto
�Pi (v) =
XS2M=i
wP (S [ i)(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)]
� v (fig)X
S2M=i
wP (S [ i)(r � s� 1)!s!
r!
= v (fig)r�1Xs=0
(r � s� 1)!s!
r!
XfS2M=i:jSj=sg
wP (S [ i)
= wP (fig) v (fig)r�1Xs=0
(r � s� 1)!s!
r!
�r � 1
s
�
= wPi v (fig)
r�1Xs=0
1
r= wP
i v (fig) ;
donde en el segundo paso se utiliza que las coaliciones deM=i tienen cardinal
menor o igual que r�1; además, la tercera igualdad es consecuencia del Lema
5.3 aplicado a la coalición fig :
5.1 Valores Estáticos de Shapley 157
(2) Sea v 2 � (M) un juego de simétrico. Entonces, como v (S) = f (s)
para todo S 2 M,
�Pi (v) =
XS2M=i
wP (S [ i)(r � s� 1)!s!
r![f (s+ 1)� f (s)]
=r�1Xs=0
(r � s� 1)!s!
r![f (s+ 1)� f (s)]
XfS2M=i:jSj=sg
wP (S [ i)
= wPi
1
r
r�1Xs=0
[f (s+ 1)� f (s)] = wPi
f (r)
r;
razonando de forma análoga al apartado anterior, y teniendo en cuenta que
f (0) = v (;) = 0. 2
El P -valor estático de Shapley, correspondiente a la distribución de pro-
babilidad equitativa P e, y que se denotará por �e, es objeto del estudio que
sigue a continuación. En primer lugar, obsérvese que usando el Teorema 5.4
y el Teorema 5.7, las componentes �ei de dicho valor se pueden expresar, para
cada juego v 2 � (M), en la forma
�ei (v) =
XS2M=i
bS[i (r � s� 1)!s!
b (r!)[v (S [ i)� v (S)] ; (5.5)
siendo s = jSj :
Proposición 5.9 El valor estático de Shapley �e sobre ��Ukn
�; es tal que
�ei (v) =
XfS�N :i2S;s<kg
(n� s� 1)!s!
n![v (S [ i)� v (S)] ;
para cada i 2 N y para cada v 2 ��Ukn
�:
Demostración: El rango del matroide Ukn es r = k. La in�uencia de una
coalición S 2 Ukn es el número
we (S) =bSb
=
�n�sk�s
��nk
� =(n� s)!k!
(k � s)!n!;
158 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
puesto que todas las coaliciones de tamaño k son factibles. Por tanto,
bS[ib
(k � s� 1)!s!
k!=
(n� s� 1)!k!
(k � s� 1)!n!
(k � s� 1)!s!
k!
=(n� s� 1)!s!
n!,
y basta sustituir en (5.5) para obtener la fórmula del enunciado. 2
La fórmula del valor �e obtenida para el matroide uniforme Ukn , no es más
que la k-truncación de la fórmula clásica, y recoge la idea de la de�nición
de dicho matroide. Nótese además que, cuando k = n; esta fórmula es la
conocida para el valor de Shapley en juegos cooperativos sobre 2N :
Sea G = (V;A) un grafo no dirigido con k componentes conexas. Sea T el
conjunto de bosques maximales de G. Para A0 � A; se denotará por GA0 el
subgrafo generado por A0; y por TA0 los elementos de T que continen a GA0:
Proposición 5.10 Sea G = (V;A) un grafo no dirigido con k componentes
conexas. Si v 2 � (M (G)) es un juego sobre el matroide grá�co M (G),
entonces el valor estático de Shapley �e; para cada arista a 2 A, viene dado
por
�ea (v) =
XA02AC(a)
jTA0 j
jTj
(jV j � k � jA0j � 1)! jA0j!
(jV j � k)![v (A0 [ a)� v (A0)]
donde AC (a) = fA0 � A : a =2 A0; GA0[a acíclicog :
Demostración: Basta con tener en cuenta que las coaliciones básicas del
matroide grá�co M (G) de�nido por G son los bosques maximales. Así, la
fórmula sigue de considerar que el rango del matroide es el número de vértices
menos el de componentes conexas (ver ejemplo 1.18). 2
5.1 Valores Estáticos de Shapley 159
Proposición 5.11 Si v 2 � (Mn (i k j)) es un juego sobre el matroide de
oposición Mn (i k j), entonces el valor estático de Shapley �e es tal que
�ei (v) =
1
2
XfS�N;fi;jg=2Sg
(n� s� 2)!s!
n![v (S [ i)� v (S)] ;
�ej (v) =
1
2
XfS�N;fi;jg=2Sg
(n� s� 2)!s!
n![v (S [ j)� v (S)] ;
y para k 2 N n fi; jg ;
�ek (v) =
1
2
XfS�N;fi;kg=2Sg
(n� s� 2)!s!
n![v (S [ k)� v (S)]
+1
2
XfS�N;fk;jg=2Sg
(n� s� 2)!s!
n![v (S [ k)� v (S)] :
Demostración: El matroide Mn (i k j) tiene rango n� 1 y dos coaliciones
básicas, N n i y N n j. El número de áreas de in�uencia de una coalición
factible S viene dado por
bS =
(2; si i; j =2 S
1; si i 2 S ó j 2 S.
Entonces, basta sustituir los datos anteriores en la expresión (5.5), y tener
en cuenta que en la fórmula de �ek (v) del enunciado aparecen los términos
asociados a coaliciones que no contienen a fi; jg en ambos sumatorios. 2
Para terminar la sección, se introducirá el concepto de P -valor relativo
de Shapley. Recuérdese que se podían encontrar valores para juegos estáticos
bajo una óptica relativa. El signi�cado de este tipo de valores es suponer que
un jugador mide sus posibilidades bajo una escala que sólo tiene en cuenta
sus áreas de in�uencia y no todas las áreas de cooperación.
Sea M un matroide. Si c (M; i) representa el número de cadenas ma-
ximales del matroide M que contienen a un jugador i; entonces el poder
jerárquico relativo del jugador i en una coalición S 2 M es
bheS (i) = c (M; S; i)
c (M; i):
160 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
En particular, bheS (i) = 0 cuando i 2 N n S.
Razonando de forma análoga a como se hizo en la Proposición 5.1, se
llega al siguiente resultado.
Proposición 5.12 Sean M un matroide y S 2 M. Entonces, el poder
jerárquico relativo de un jugador i 2 S en la coalición S es
bheS (i) = we (S)
jSjwei
:
siendo we (S) la in�uencia de la coalición S para la distribución de probabi-
lidad equitativa P e 2 P (M), y wei la correspondiente in�uencia del jugador
i.
Generalizando la idea para una distribución de probabilidad cualquiera,
se obtiene el concepto general de poder jerárquico relativo.
De�nición 5.13 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de coaliciones básicas del matroide M, tal que wPj 6= 0 para todo
j 2 N . El poder jerárquico relativo de un jugador i 2 S en una coalición
S 2 M, respecto de la distribución de probabilidad P , es el número dado por
bhPS (i) = wP (S)
jSjwPi
:
Además, para un jugador j 2 N n S; bhPS (j) = 0:
Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre las áreas de coo-
peración del matroide M, tal que wPj 6= 0 para todo j 2 N: Los poderes
jerárquicos relativos veri�can las siguientes propiedades:
� El poder jerárquico relativo bhPS (i) = 0 para todo i 2 N que sea jugador
nulo en el juego de unanimidad �S, ya que, según el Lema 4.4, los
jugadores nulos de este juego son los que no pertenecen a la coalición
S.
5.1 Valores Estáticos de Shapley 161
� La suma de los poderes jerárquicos relativos de todos los jugadores esXi2N
wPibhPS (i) =X
i2N
hS (i) =1
b
XB2B
�S (B) :
� El poder jerárquico relativo de un jugador en una coalición factible es
inversamente proporcional a su in�uencia.
Se proponen los siguientes axiomas para introducir el P -valor relativo de
Shapley.
Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) y sea P 2 P (M)
una distribución de probabilidad sobre el conjunto de coaliciones básicas del
matroide M:
Axioma 1 (Linealidad). Si v1; v2 2 � (M) y �1; �2 2 R, entonces,
(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :
Axioma 2R (Jugador dummy). Para todo juego v 2 � (M) y para todo
i 2 N ; si el jugador i es dummy en v; se tiene
i (v) = v (fig) :
Axioma 3R (E�ciencia). Si v 2 � (M) ; entoncesXi2N
wPi i (v) =
XB2B
P (B) v (B) :
Axioma 4R (Poder jerárquico). Para toda coalición no vacía S 2 M y
cualesquiera i; j 2 S;
wPi i (�S) = wP
j j (�S) :
162 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
Teorema 5.14 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el,
conjunto de coaliciones básicas del matroide M, tal que wPj 6= 0 para todo
j 2 N . Existe un único valor de grupo b�P =�b�P
i
�i2N
sobre � (M) ; que
veri�ca Axioma 1, Axioma 2R, Axioma 3R y Axioma 4R. Además, para todo
v 2 � (M) y para todo i 2 N ,
b�Pi (v) =
XS2M=i
wP (S [ i)
wPi
(r � s� 1)!s!
r![v (S [ i)� v (S)] ;
donde s indica jSj y r es el rango del matroide M.
Demostración: Se trata de probar que el único valor de grupo en las condi-
ciones del enunciado es b�P =1
wP�P :
Pero esto es inmediato. Basta tener en cuenta que si es un valor de
grupo sobre � (M) que satisface los axiomas del enunciado, entonces el valor
wP veri�ca los axiomas del Teorema 5.4. 2
De�nición 5.15 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de coaliciones básicas del matroideM, con wPj 6= 0 para todo j 2 N .
Se denomina P -valor relativo de Shapley al único valor de grupo b�P sobre
� (M) que veri�ca Axioma 1, Axioma 2R, Axioma 3R y Axioma 4R.
Es fácil comprobar el siguiente resultado, análogo al Teorema 5.7.
Teorema 5.16 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de las coaliciones básicas de M, con wPj 6= 0 para todo j 2 N: El
P -valor relativo de Shapley b�P =�b�P
i
�i2N
es tal que
b�Pi =
1
wPi
XB2Bi
P (B) �Bi ; para todo i 2 N;
donde cada �B es el valor de Shapley sobre ��2B�.
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 163
Denotando por b�e al valor relativo de Shapley correspondiente a la pro-
babilidad equitativa P e 2 P (M), la siguiente proposición proporciona la ex-
presión de dicho valor sobre algunos matroides particulares. Su demostración
se omite por ser inmediata utilizando el teorema anterior.
Proposición 5.17 (1) Si v 2 ��Ukn
�; entonces ;
b�ei (v) =
k
n�ei (v) ; para cada i 2 N:
(2) Si G = (V;A) es un grafo no dirigido y v 2 � (M (G)) ; entonces
b�ea (v) =
jTj
jTaj�ea (v) ; para cada arista a 2 A;
donde T es el conjunto de bosques maximales de G; y Ta los elementos
de T que contienen la arista a:
(3) Si v 2 � (Mn (i k j)) ; entonces
b�ei (v) = �e
i (v) ; b�ej (v) = �e
j (v) ; b�ek (v) =
1
2�ek (v) para k =2 fi; jg :
5.2 Valores Dinámicos de Shapley
En esta sección se siguen los mismos pasos que en la sección anterior. Las
variantes surgen del hecho de trabajar ahora con juegos sobre un matroide
que se rigen por el modelo dinámico. En este caso, se considera que cada
etapa de un juego dinámico puede concebirse como un juego estático.
Sea un matroide M. Se dirá que S 2 M es una coalición istmo en M si
para toda coalición básica B 2 B (M) se veri�ca que S \B 6= ;. Según esta
de�nición, para que una coalición istmo S de M esté contenida en alguna de
las coaliciones de una secuencia básica de dicho matroide, es necesario que
164 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
S esté incluida en la primera coalición de la secuencia. Así, al considerar
juegos sobre un matroide que se desarrollen según el modelo dinámico, se
puede a�rmar que las coaliciones istmo sólo se pueden formar en la primera
etapa del juego. La conclusión que sigue de este razonamiento es que, en el
caso dinámico, el poder de los jugadores de una coalición istmo debe coincidir
con el poder estático. Por tanto, se dirá que el poder jerárquico dinámico
he
S (i;M) de un jugador i 2 S en una coalición istmo S de M; es
he
S (i;M) = heS (i;M) ,
donde se utiliza la notación heS (i;M) en lugar de heS (i) para el poder jerárquico
estático del jugador i en S.
Supóngase ahora que S no es una coalición istmo del matroide M. En-
tonces, dada una secuencia básica de dicho matroide, se pueden presentar
tres casos: (a) que S esté contenida en la primera coalición de la secuen-
cia, (b) que alguno, pero no todos, de los jugadores de S pertenezca a la
primera coalición de la secuencia, (c) que ningún jugador de S forme parte
de la primera coalición. Por tanto, al hablar del poder de los jugadores de
la coalición S; se debe considerar lo siguiente. En las coaliciones tipo (a) el
jugador concibe su poder de igual forma que en el caso estático. En las del
tipo (b) considera nulo su poder, puesto que no se forma en ningún momento
la coalición S. Por último, en el caso (c) su poder lo evaluaría en relación al
matroide resultante de la eliminación de la primera coalición básica de la se-
cuencia. En de�nitiva, el poder jerárquico dinámico he
S (i;M) de un jugador
i 2 S en la coalición S vendrá dado por la siguiente fórmula recurrente:
he
S (i;M) = heS (i;M) +1
b (M)
XfB2B(M):B\S=;g
he
S (i;MnB) ;
donde he
S (i;MnB) representa el poder de dicho jugador en la coalición S
para el matroide MnB.
Sea De 2 D (M) la distribución de probabilidad sobre � (M) que a cada
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 165
secuencia básica � = (A1; : : : ; Ak) le hace corresponder el número
De (�) =1
b (M)
kYm=2
1
b (MnA1n � � � nAm�1):
Nótese que De se de�ne a partir de las distribuciones equitativas de proba-
bilidad P eM0 2 P (M0) de los menores de eliminación M0 de M, usando la
expresión (3.1).
Proposición 5.18 Sean M un matroide y S 2 M. Entonces, el poder
jerárquico dinámico de un jugador i 2 S en la coalición S es
he
S (i;M) =wDe
(S)
jSj;
donde wDe
(S) es la in�uencia de S en M según la distribución de probabi-
lidad De 2 D (M) :
Demostración: Nótese en primer lugar que, para cada coalición básica
B 2 B (M), se puede construir a partir de la distribución de probabilidad
De otra DeMnB 2 D (MnB) ; usando (3.2).
Sean S 2 M, i 2 S.
(a) Supóngase que la coalición S es istmo en M. En ese caso,
he
S (i;M) = heS (i;M) =wP e
M (S)
jSj;
donde la última igualdad sigue de la Proposición 5.1. Por otro lado, como
wP eM (S) =
XB2BS(M)
P eM (B) ;
y, aplicando (3.5), se tiene
P eM (B) =
Xf�2�(M):�=(B;:::)g
DeM (�) ;
166 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
entonces
wP eM (S) = wDe
M (S) .
Téngase en cuenta que, al ser S istmo en M, el conjunto �S (M) coincide
con
f� 2 � (M) : � = (B; : : :) ; B 2 BS (M)g :
Luego queda probada en este caso la fórmula del enunciado.
(b) En el caso en que S no sea una coalición istmo en M; supóngase que
se veri�ca
he
S (i;MnB) =wDe
MnB (S)
jSj;
para cada coalición básica B 2 B (M) tal que B \ S = ;: Entonces,
he
S (i;M) = heS (i;M) +1
b (M)
XfB2B(M):B\S=;g
he
S (i;MnB)
=wP e
M (S)
jSj+
1
b (M)
XfB2B(M):B\S=;g
wDeMnB (S)
jSj
=1
jSj
0@ XB2BS(M)
P eM (B)+
+1
b (M)
XfB2B(M):B\S=;g
X�02�S(MnB)
DeMnB (�0)
1A=
1
jSj
0@ XB2BS(M)
Xf�2�S(M):�=(B;:::)g
De (�)+
+X
fB2B(M):B\S=;g
Xf�2�S(M):�=(B;:::)g
De (�)
1A=
1
jSj
X�2�S(M)
De (�) =wDe
(S)
jSj:
Nótese que para obtener el primer sumando de la cuarta igualdad se ha
utilizado la expresión (3.5). El segundo sumando de la misma igualdad sigue
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 167
del hecho de que toda secuencia básica � 2 �S (M) ; donde S no aparezca
en la primera coalición de la secuencia, es de la forma � = (B; �0), con
B 2 B (M) tal que B \ S = ; y �0 2 �S (MnB). Además, en ese paso se ha
usado la expresión (3.4).
Finalmente observar que, debido a la construcción recurrente de he
S (i;M)
y a que todo el razonamiento anterior se puede aplicar a cada menor de
eliminación del matroide dado, se puede concluir que el resultado es cierto.2
A continuación, se va a de�nir el poder jerárquico dinámico para cualquier
distribución de probabilidad D 2 D (M) :
De�nición 5.19 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de secuencias básicas del matroideM. El poder jerárquico dinámico
hD
S (i;M) de un jugador i 2 S en una coalición S 2 M, respecto de la
distribución de probabilidad D, es el número dado por
hD
S (i;M) =wD (S)
jSj:
Además, para un jugador j 2 N n S; hD
S (j;M) = 0.
Según la de�nición anterior, dada una coalición S 2 M, el poder jerárquico
dinámico cumple las siguientes propiedades:
� El poder jerárquico hD
S (i;M) = 0 para todo i 2 N que sea jugador nulo
en el juego de unanimidad �S, ya que según el Lema 4.4 los jugadores
nulos de este juego son los que no pertenecen a la coalición S.
� La suma de los poderes jerárquicos de todos los jugadores esXi2N
hD
S (i;M) =Xi2S
wD (S)
jSj= wD (S) =
X�2�S(M)
D (�)
=X
f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g
D (�) [�S (A1) + � � �+ �S (Ak)] :
168 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
� Todos los miembros de la coalición S tienen el mismo poder jerárquico
en S; siendo éste la parte proporcional de la in�uencia de dicha coali-
ción.
Entonces, es lógico introducir los siguientes axiomas para extender el con-
cepto de valor de Shapley a los juegos dinámicos de�nidos sobre un matroide.
Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) y sea D 2 D (M)
una distribución de probabilidad sobre el conjunto de coaliciones básicas del
matroide M:
Axioma 1 (Linealidad). Si v1; v2 2 � (M) y �1; �2 2 R, entonces,
(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :
Axioma 2D (Jugador dummy). Para todo juego v 2 � (M) y para todo
i 2 N ; si el jugador i es dummy en v; se tiene
i (v) = v (fig) :
Axioma 3D (E�ciencia). Si v 2 � (M) ; entoncesXi2N
i (v) =X
�2�(M)
D (�) v (�) :
Axioma 4D (Poder jerárquico). Para toda coalición no vacía S 2 M y
cualesquiera i; j 2 S;
i (�S) = j (�S) :
Lema 5.20 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el con-
junto de secuencias básicas del matroide M, tal que
D (�) = PM (A1)kY
m=2
PMnA1n:::nAm�1 (Am) ;
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 169
para cada � 2 � (M). Entonces, la in�uencia en el sentido dinámico de
una coalición S 2 M, según la distribución de probabilidad D; se expresa
mediante la recurrencia
wD (S) =
8>><>>:wPM (S) ; si S es istmo
wPM (S) +P
B2B(MnS)
PM (B)wDMnB (S) ; en otro caso,
donde cada DMnB representa la distribución de probabilidad sobre � (MnB)
generada por D según (3.2).
Demostración: Sea S 2 M. En el caso de que S sea istmo en el matroide
M, se tiene que
wD (S) =X
�2�S(M)
D (�)
=X
B2BS(M)
Xf�2�(M):�=(B;:::)g
D (�)
=X
B2BS(M)
PM (B) = wPM (S) ;
sin más que usar (3.5):
Por otro lado, si S no es istmo en M,
wPM (S) +X
B2B(MnS)
PM (B)wDMnB (S)
=X
B2BS(M)
PM (B)
+X
B2B(MnS)
PM (B)X
�02�S(MnB)
DMnB (�0)
=X
f�2�(M):�=(B;:::);B2BS(M)g
D (�)
+X
B2B(MnS)
Xf�=(B;�0):�02�S(MnB)g
PM (B)DMnB (�0)
170 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
=X
f�2�(M):�=(B;:::);B2BS(M)g
D (�)
+X
f�2�S(M):�=(B;:::);B2B(MnS)g
D (�)
=X
�2�S(M)
D (�) = wD (S) ;
donde, en el primer sumando de la segunda igualdad se ha utilizado (3.5).
Además, el segundo sumando de la tercera igualdad se obtiene de aplicar
(3.4).
2
Teorema 5.21 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de secuencias básicas del matroide M. Existe un único valor de
grupo sobre � (M) satisfaciendo los siguientes axiomas: Axioma 1, Axioma
2D, Axioma 3D y Axioma 4D.
Demostración: Sea = (i)i2N un valor de grupo que satisface los a-
xiomas del enunciado.
Para cada S 2 M; coalición no vacía, considérese el juego de unanimidad
�S. Por el Lema 4.4, los jugadores que no están en S son nulos para el juego
�S, con lo que el Axioma 2D implica que j (�S) = 0 para j 2 N n S. Así,
junto con el Axioma 4D, se puede a�rmar queXj2N
j (�S) =Xj2S
j (�S) = i (�S) jSj ;
donde i es cualquier jugador de S:
Por otro lado, usando el Axioma 3D, se obtieneXj2N
j (�S) =X
�2�(M)
D (�) �S (�)
=X
�2�S(M)
D (�) = wD (S) ;
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 171
donde en la segunda igualdad se tiene en cuenta que cada secuencia básica
� determina una partición del conjunto de jugadores.
Por tanto, para cada jugador i 2 S; se tiene que
i (�S) =wD (S)
jSj:
Con ello, al ser los juegos de unanimidad una base del espacio vectorial
� (M) y veri�car el Axioma 1 (linealidad), se puede a�rmar que es único
el valor de grupo que satisface los axiomas del enunciado. 2
De�nición 5.22 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre
el conjunto de secuencias básicas del matroide M. Se denomina D-valor
dinámico de Shapley al único valor de grupo �D sobre � (M) que veri�ca
Axioma 1, Axioma 2D, Axioma 3D y Axioma 4D.
Teorema 5.23 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de secuencias básicas del matroide M, tal que
D (�) = PM (A1)kY
m=2
PMnA1n:::nAm�1 (Am) ;
para cada � 2 � (M). Entonces, el D-valor dinámico de Shapley sobre
� (M), �D =��Di
�i2N
viene dado,para todo v 2 � (M) ; por
�Di (v) =
8>><>>:�PMi (v) ; i istmo en M
�PMi (v) +
PB2B(Mni)
PM (B)�DMnB
i
�vMnB
�; en otro caso,
donde �PMi el P -valor estático de Shapley sobre � (M) ; para cada B 2
B (Mni), DMnB es la distribución de probabilidad generada por D sobre
� (MnB) según (3.2) y �DMnB
i es el DMnB-valor dinámico de Shapley sobre
� (MnB) :
172 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
Demostración: Sea v 2 � (M) : Utilizando la expresión (1.4), mediante la
cual el juego v se expresa como combinación lineal de los juegos de unani-
midad, y el hecho de que el valor de Shapley �D veri�ca el Axioma 1 y es
tal que �Di (�S) =
wD(S)jSj ; para todo i 2 N , se obtiene
�Di (v) =
XT2M
�v (T )�Di (�T ) =
XfT2M:i2Tg
�v (T )wD (T )
jT j.
Supóngase que i es un jugador istmo de M. Entonces, como las coa-
liciones del conjunto fT 2 M : i 2 Tg son istmos de M, aplicando el lema
anterior, se sabe que wD (T ) = wPM (T ). Por tanto,
�Di (v) =
XfT2M:i2Tg
�v (T )wPM (T )
jT j= �PM
i (v) ;
sin más que usar la ecuación (5.1) de la prueba del Teorema 5.4, para la
distribución de probabilidad PM.
En el caso de que i no sea un jugador istmo de M, supóngase que la
fórmula del enunciado es cierta para todo menor de eliminaciónMnB, donde
B 2 B (M). En este caso, usando el lema anterior,
�Di (v) =
XfT2M:i2Tg
�v (T )1
jT jwD (T )
=X
fT2M:i2TgT istmo en M
�v (T )1
jT jwPM (T )
+X
fT2M:i2TgT no istmo en M
�v (T )1
jT j
24wPM (T ) +X
B2B(MnT )
PM (B)wDMnB (T )
35=
XfT2M:i2Tg
�v (T )1
jT jwPM (T )
+X
fT2M:i2TgT no istmo en M
XB2B(MnT )
�v (T )1
jT jPM (B)wDMnB (T )
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 173
= �PMi (v) +
XB2B(Mni)
PM (B)X
fT2MnB:i2Tg
�v (T )1
jT jwDMnB (T )
= �PMi (v) +
XB2B(Mni)
PM (B)�DMnB
i
�vMnB
�;
donde la cuarta igualdad sigue del intercambio de los sumatorios. En la
última igualdad se ha usado que para los matroides MnB la fórmula es
cierta, así como el hecho de que, para cada B 2 B (Mni) ;
�v (T ) =XS�T
(�1)jT j�jSj v (S) = �vMnB(T ) ; para toda T 2 MnB:
2
Evidentemente, el D-valor dinámico de Shapley veri�ca la propiedad de
ponderación unitaria (PU) y, por tanto, el axioma de monotonía. Otra de
sus propiedades es la siguiente.
Proposición 5.24 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de secuencias básicas del matroide M. Si v es un juego débilmente
superaditivo, entonces el D-valor dinámico de Shapley �D veri�ca
�Di (v) � v (fig) ; para todo i 2 N:
Demostración: La distribución de probabilidad D; según el Teorema 3.14,
se puede expresar en la forma
D (�) = PM (A1)kY
m=2
PMnA1n:::nAm�1 (Am) ;
para cada secuencia básica � 2 � (M) :
Para un jugador i 2 N; que sea istmo en el matroide M, se tiene que
�Di (v) = �PM
i (v). Ahora bien, por la Proposición 5.8, el valor de Shapley
�PM veri�ca que �PMi (v) � wPM
i v (fig) : Así, como wPMi = 1 por ser i istmo
en M, se comprueba que el resultado es cierto en este caso.
174 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
Cuando i 2 N , no es un jugador istmo en M, supóngase la propiedad
cierta para todo menor de eliminación de M. En este caso, se tiene
�Di (v) = �PM
i (v) +X
B2B(Mni)
PM (B) �DMnB
i
�vMnB
�� wPM
i v (fig) +X
B2B(Mni)
PM (B) v (fig)
= v (fig) ;
donde la desigualdad sigue de aplicar el apartado (1) de la proposición 5.8 y
de hipótesis de recurrencia. La última igualdad es cierta debido a queXB2B(Mni)
PM (B) = 1� wPMi
por de�nición.
Teniendo en cuenta �nalmente la forma recurrente de construir el valor
dinámico de Shapley, dada en el teorema anterior, y que el razonamiento
seguido se puede aplicar a cada menor de eliminación del matroide dado, se
concluye la veracidad de esta proposición. 2
El D-valor dinámico de Shapley correspondiente a la distribución de
probabilidad De 2 D (M) ; se denotará por �De
: Su expresión, para cada
v 2 � (M) ; viene dada por
�De
i (v) =
8>>><>>>:�ei (v) ; si i es istmo de M
�ei (v) +
1b
PB2B(Mni)
�DeMnB
i
�vMnB
�; en otro caso.
A la vista de esta expresión, es fácil comprobar el resultado de la siguiente
proposición. Sólo se considera en ella el matroide de oposición, puesto que
las fórmulas correspondientes al matroide uniforme y al matroide grá�co no
ofrecen ninguna simpli�cación con respecto a la anterior.
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 175
Proposición 5.25 Si v 2 � (Mn (i k j)) es un juego sobre el matroide de
oposiciónMn (i k j), entonces las componentes del valor dinámico de Shapley
�De
son
�De
i (v) = �ei (v) +
1
2v (fig) ;
�De
j (v) = �ej (v) +
1
2v (fjg) ;
�De
k (v) = �ek (v) ; si k =2 fi; jg :
Ejemplo 5.26 Se considera la situación del Parlamento Autonómico de An-
dalucía tras las elecciones de 1996. Cuatro partidos políticos obtuvieron re-
presentación parlamentaria, IU-CA(1), PSOE-A(2), PA(3) y PP-A(4). El
número de escaños obtenidos es q1 = 13; q2 = 52; q3 = 4 y q4 = 40, respec-
tivamente. Siendo N = f1; 2; 3; 4g se considera el juego simple v 2 �s (N)
dado por
v (S) =
(1; si
Pi2S qi � 55
0; en otro caso.
Se trata de obtener el valor de Shapley en varios sistemas de coaliciones.
(a) El juego�N; 2N ; v
�representa el juego de mayoría simple desarro-
llado mediante cooperación total, ver Figura 5.1. En este caso las coaliciones
ganadoras son:
W�2N�
= ff1; 2g ; f2; 3g ; f2; 4g ; f1; 2; 3g ; f1; 2; 4g ;
f2; 3; 4g ; f1; 3; 4g ; f1; 2; 3; 4gg:
En las siguientes �guras las coaliciones ganadoras están recuadradas.
176 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
Usando la fórmula clásica del valor de Shapley (ver introducción) se ob-
tiene que
�N1 (v) =
2!1!
4!+
1!2!
4!=
4
24;
�N2 (v) = 3
2!1!
4!+ 3
1!2!
4!=
12
24;
�N3 (v) =
2!1!
4!+
1!2!
4!=
4
24;
�N4 (v) =
2!1!
4!+
1!2!
4!=
4
24:
Por lo que �N (v) = (1=6; 1=2:1=6; 1=6) :
(b) Si se tiene en cuenta el orden político unidimensional representado
en la Figura 5.2, entonces el sistema de coaliciones sobre el que se aplica v
es la geometría convexa L = L4 (ver Ejemplo 1.5 y Figura 5.3). En L las
coaliciones ganadoras son
W (L) = ff1; 2g ; f2; 3g ; f1; 2; 3g ; f2; 3; 4g ; f1; 2; 3; 4gg :
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 177
Aplicando la fórmula del valor de Shapley enunciada en el Teorema 2.5
se consigue
�L1 (v) =
c (f2g) c (f1; 2g ; N)
c (L)=
1
8;
�L2 (v) =
c (f1g) c (f1; 2g ; N)
c (L)+c (f3g) c (f2; 3g ; N)
c (L)+c (f3; 4g) c (f2; 3; 4g ; N)
c (L)
=1
8+
2
8+
2
8=
5
8;
�L3 (v) =
c (f2g) c (f2; 3g ; N)
c (L)=
2
8;
�L4 (v) = 0:
Con ello �L (v) = (1=8; 5=8; 1=4; 0).
178 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
(c) En la anterior legislatura los pactos entre los partidos 1, 3 y 4 fueron
muy habituales, aunque en ningún momento hubo un acuerdo de gobierno.
Por ello, ante una votación en el actual Parlamento, la situación podría mo-
delarse mediante un matroide de oposición entre los partidos más votados, 2
y 4, que tratarían de imponer sus ideas (salvo en casos muy particulares). La
Figura 5.4 describe el sistema de coalicionesM =M4 (2k4). Son coaliciones
ganadoras en este caso
W (M) = ff1; 2g ; f2; 3g ; f1; 2; 3g ; f1; 3; 4gg :
Los valores de Shapley clásicos en cada área de cooperación son:
�f1;2;3g1 (v) =
1!1!
3!=
1
6; �
f1;3;4g1 (v) =
0!2!
3!=
2
6;
�f1;2;3g2 (v) =
1!1!
3!+
1!1!
3!+
0!2!
3!=
4
6;
�f1;2;3g3 (v) =
1!1!
3!=
1
6; �
f1;3;4g3 (v) =
0!2!
3!=
2
6;
�f1;2;3g4 (v) =
0!2!
3!=
2
6:
Si se considera las dos áreas de cooperación equiprobables entonces, por el
Teorema 5.7, el valor equitativo de Shapley es
�e (v) =1
2
�1
6;4
6;1
6; 0
�+
1
2
�2
6; 0;
2
6;2
6
�=
�1
4;1
3;1
4;1
6
�:
5.2 Valores Dinámicos de Shapley 179
Sabiendo los partidos 2 y 4 que sólo juegan en un área de cooperación, en-
tonces el valor equitativo relativo de Shapley es b�e (v) = (1=4; 2=3; 1=4; 1=3) :
Pero, el hecho de que los pactos de 1 con 4 en el anterior Parlamento
hayan fortalecido a 2 mediante votos de 1, así como que 2 y 3 puedan go-
bernar en solitario, puede implicar que sea más posible que las negociaciones
se muevan en el primer área de cooperación. Se concluye que, en este caso no
debieran de ser ambas áreas de cooperación equiprobables, y puede tomarse
la distribución de probabilidad P (f1; 2; 3g) = 3=4 y P (f1; 3; 4g) = 1=4. En-
tonces el P -valor de Shapley es
�P (v) =3
4
�1
6;4
6;1
6; 0
�+
1
4
�2
6; 0;
2
6;2
6
�=
�5
24;1
2;5
24;1
24
�:
El P -valor relativo será en en este caso b�P (v) = (5=24; 2=3; 5=24; 1=3) :
Ejemplo 5.27 Siendo N = f1; 2; 3; 4; 5g se considera el matroide M de la
Figura 3.3. Se toma el juego v 2 � (M) ; planteado bajo el modelo dinámico,
cuyos valores son:
v (fig) = 0; para todo i 2 N;
v (f1; 2g) = v (f1; 3g) = 50;
v (f1; 4g) = v (f1; 5g) = 30;
v (f2; 3g) = 40;
v (f2; 4g) = v (f2; 5g) = 20;
v (f3; 4g) = 30;
v (f4; 5g) = 10;
v (f1; 2; 3g) = 100; v (f1; 2; 4g) = v (f1; 2; 5g) = 80;
v (f1; 3; 4g) = 90; v (f1; 4; 5g) = 70.
Las secuencias básicas del matroide M están estudiadas en el Ejemplo
3.7. El valor de Shapley calculado para la distribución de probabilidad De es
�De
1 (v) =1
5[�
f1;2;3g1 (v) + �
f1;2;4g1 (v) + �
f1;2;5g1 (v)
180 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides
+�f1;3;4g1 (v) + �
f1;4;5g1 (v)]
=1
5[36:667 + 33:333 + 33:333 + 43:333 + 33:333]
= 36
�De
2 (v) =1
5[�f1;2;3g
2 (v) + �f1;2;4g2 (v) + �f1;2;5g
2 (v)
+�f2;5g1 (v) + �
f2;3g1 (v)]
=1
5[31:667 + 28:333 + 28:333 + 10 + 20]
= 23:667
�De
3 (v) =1
5[�
f1;2;3g3 (v) + �
f1;3;4g3 (v) + �
f3g3 (v)
+�f3;4g3 (v) + �
f2;3g3 (v)]
=1
5[31:667 + 33:333 + 0 + 15 + 20]
= 20
�De
4 (v) =1
5[�
f1;2;4g4 (v) + �
f1;3;4g4 (v) + �
f1;4;5g4 (v)
+�f4;5g4 (v) + �
f3;4g4 (v)]
=1
5[18:333 + 23:333 + 20 + 5 + 15]
= 16:333
�De
5 (v) =1
5[�
f1;2;5g5 (v) + �
f1;4;5g5 (v) + �
f4;5g5 (v)
+�f5g5 (v) + �
f2;5g3 (v)]
=1
5[18:333 + 20 + 5 + 0 + 10]
= 10:667:
Por tanto, las espectativas de pago de los jugadores son:
�De
(v) = (36; 23:667; 20; 16:333; 10:667) :
Referencias
[1] AUMANN, R., DREZÉ, J.H. (1974) Cooperative Games with Coalition
Structures, International Journal of Game Theory 3, 217-237.
[2] AUMANN, R., MASHLER, M. (1964) The Bargaining Set for Coop-
erative Games, en Advances in Game Theory, M. Dresher, L. Shapley,
A. Tucker (eds.), Princeton University Press, Princeton, New Jersey,
443-471.
[3] AUMANN, R., MYERSON, R. B. (1988) Endogenous Formation of
Links between Players and Coalitions: an Application of the Shap-
ley Value, en The Shapley Value, A. Roth (ed.), Cambridge University
Press, Cambridge, Reino Unido, 175-191.
[4] BANZHAF, J.F. III (1965) Weighted Voting doesn't work Mathematical
Analysis, Rutgers Law Review 19, 317-343.
[5] BERGANTIÑOS, G., CARRERAS, F., GARCÍA-JURADO, I. (1993)
Cooperation when Some Players are Incompatible, ZOR-Methods and
Models of Operations Research. 38, 187-201.
[6] BERGANTIÑOS, G., SANCHEZ, E. (1995) Un Nuevo Valor para Jue-
gos en Forma Característica Generalizada, preprint.
[7] BILBAO, J.M. (1998) Values and Potential of Games with Cooperation
Structure, International Journal of Game Theory 27, 131-145.
181
182 REFERENCIAS
[8] BILBAO, J.M. (1998) Axioms for the Shapley Value, European Journal
of Operations Research 110, 368-376.
[9] BILBAO, J.M., EDELMAN, P.H. (1998) The Shapley Value on Convex
Geometries, preprint.
[10] BILBAO, J.M., JIMÉNEZ, A., LÓPEZ, J. (1998) The Banzhaf Power
Index on Convex Geometries, Mathematical Social Sciences 36, 157-173.
[11] BILBAO, J.M., LEBRÓN, E., JIMÉNEZ, N. (1998) Probabilistic Values
on Convex Geometries, aceptado en Annals of Operations Research.
[12] CALVO, E., LASAGA, J. (1997) Probabilistic Graphs and Power In-
deces: An Application to the Spanish Parliament, Journal of Theorical
Politics 9(4), 477-501.
[13] CARRERAS, F. (1991) Restriction of Simple Games, Mathematical So-
cial Sciences 21, 245-260.
[14] DILWORTH, R.P. (1940) Lattices with unique Irreducible Descomposi-
tions. Ann. Math. 41, 771-777.
[15] DRIESSEN, T.S.H. (1988) Cooperative Games, Solutions and Applica-
tions, Kluwer, Dordrecht, Paises Bajos.
[16] DRIESSEN, T.S.H., TIJS, S.H. (1983) The � -Value, the Nucleolus and
the Core for a subclass of games, Methods of Operations Research 46,
395-406.
[17] DUBEY, P., SHAPLEY, L. S. (1979). Mathematical properties of the
Banzhaf power index, Mathematics of Operations Research 4(2) 99�131.
[18] EDELMAN, P.H. (1980) Meet-Distributive Lattices and the Anti-
Exchange Closure. Algebra Universalis 10, 290-299.
[19] EDELMAN, P.H. (1997) A Note of Voting.Mathematical Social Sciences
34, 37-50.
REFERENCIAS 183
[20] EDELMAN, P.H., JAMISON, R.E. (1985) The Theory of Convex
Geometries, Geometriae Dedicata 19, 247-270.
[21] FAIGLE, U. (1989) Cores of Games with Restricted Cooperation. ZOR-
Methods and Models of Operations Research 33, 405-412.
[22] FAIGLE, U., KERN, W. (1992) The Shapley Value for Cooperative
Games under Precedence Constraints, International Journal of Game
Theory 21, 249-266.
[23] HARARY, F. (1969) Graph Theory, Addison-Wesley, Massachusetts.
[24] HARSANYI, J.C., SELTEN, R. (1988) A General Theory of Equilibrium
Selection in Games, The MIT Press, Cambridge, Massachustts.
[25] HART, S., KURZ, M. (1983) Endogeneus Formation of Coalitions,
Econometrica 51, 1047-1064.
[26] HART, S., KURZ, M. (1984) Stable Coalition Structures, en Coalitions
and Collective Action, M. Holler (ed.), Physica-Verlag, Wuerzburg, Ale-
mania, 235-258.
[27] JAMISON, R.E. (1970) A Development of Axiomatic Convexity. Tech-
nical Report 48, Clemson University Math., 15-20.
[28] JIMÉNEZ, N. (1998) Conceptos de Solución para Juegos sobre Espacios
de Clausura. Tesis Doctoral, Universidad de Sevilla, España.
[29] KALAI, E., SAMET, D. (1987) On Weighted Shapley Values. Interna-
tional Journal of Game Theory 16, 205-222.
[30] KORTE, B., LÓVASZ, L., SCHRADER, R. (1991) Greedoids, Springer-
Verlag Berlín Heidelberg New York.
[31] KUIPERS, J. (1994) Combinatorial Methods in Cooperative Game The-
ory, Ph. D. Thesis, Universidad de Maastricht, Paises Bajos.
184 REFERENCIAS
[32] KURZ, M. (1988) Coalitional Value, en The Shapley Value, A. Roth
(ed.), Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 155-173.
[33] LEVY, A., McLEAN, R. (1989) Weighted Coalition Structure Values,
Games and Economic Behavior 1, 234-249.
[34] LÓPEZ, J. (1996) Cooperación Parcial en Juegos de n-Personas. Tésis
Doctoral, Universidad de Sevilla, España.
[35] McLEAN, R. (1991) Random Order Coalition Structure Values, Inter-
national Journal of Game Theory 20, 109-127.
[36] MOULIN, H., SHENKER, S. (1996) Strategyproof Sharing of Submod-
ular Access Costs: Budget Balance versus E�ciency, International Con-
ference on Game Theory, Stony Brook, Nueva York.
[37] MYERSON, R.B. (1977) Graphs and Cooperation in Games, Mathe-
matics of Operations Research 2, 225-229.
[38] MYERSON, R.B. (1980) Conference Structure and Fair Allocation
Rules. International Journal of Game Theory 9, 169-182.
[39] NOUWELAND, A. VAN DEN (1993) Games and Graphs in Economics
Situations, Ph. D. Tesis, Universidad de Tilbourg, Paises Bajos.
[40] NOUWELAND, A. VAN DEN, BORM, P. (1991) On the Convexity
of Communication Games, International Journal of Game Theory 19,
421-430.
[41] NOUWELAND, A. VAN DEN, BORM, P., TIJS, S. (1992) Allocation
Rules for Hypergraph Communication Situations, International Journal
of Game Theory 20, 255-268.
[42] NOWAK, A.S., RADZIK, T. (1991) On Axiomatizations of the
Weighted Shapley Values. Games and Economic Behavior 8, 389-405.
REFERENCIAS 185
[43] NOWAK, A.S., RADZIK, T. (1994) The Shapley Value for n-Person
Games in Generalized Characteristic Function Form. Games and Eco-
nomic Behaviour 6, 150-161.
[44] NOWAK, A.S., RADZIK, T. (1997) Weighted Banzhaf Values. Mathe-
matical Methods of Operations Research 45, 109-118.
[45] OWEN, G. (1977) Values of Games with a Priori Unions, en Essays
in Mathematical Economics and Game Theory, R. Henn, O.Moeschlin
(eds.), Springer-Verlag, Berlín, 76-88.
[46] OWEN, G. (1986) Values of Graph-Restricted Games, SIAM Journal of
Algebraic and Discrete Methods 7, 210-220.
[47] SHAPLEY, L.S. (1953) A Value for n-Person Games, Contributions to
the Theory Games, vol. II, H.W. Khun, A.W. Tucker (eds.), Princeton,
New Jersey, 307-317.
[48] SHAPLEY, L.S. (1953) Additive and Non-additive Set Functions. Ph.
D. Thesis. Department of Mathematics, Princeton University.
[49] SHAPLEY, L.S., SHUBIK, M. (1954) A Method for Evaluating the Dis-
tribution of Power in a Committee System. American Political Science
Review 48, 787-792.
[50] SHENOY, P. (1979) On Coalition Formation: A Game Theoretic Ap-
proach, International Journal of Game Theory 8, 133-164.
[51] STANLEY, R.P. (1986) Enumerative Combinatorics, vol. I, Wadsworth.
[52] STRAFFIN, P. (1988) The Shapley-Shubik and Banzhaf Power Indices
as Probabilities, en The Shapley Value, A. Roth (ed.), Cambridge Uni-
versity Press, Cambridge, Reino Unido, 71-82.
[53] TIJS, S.H. (1981) Bounds for the Core and the � -Value. en Game Theory
and Mathematical Economics (Eds. O.Moeshlin y D.Pallaschke), 123-
132, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Paises Bajos.
186 REFERENCIAS
[54] TIJS, S.H., OTTEN, G. (1993) Compromise Values in Cooperative
Game Theory, TOP 1(1), 1-51.
[55] TUTTE, W.T. (1959) Matroids and Graphs. Trans. Amer. Math. Soc.
90, 527-552.
[56] VON NEUMANN, J. (1928) Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math-
ematische Annalen 100, 295-320.
[57] VON NEUMANN, J., MORGENSTERN, O. (1944) Theory of Games
and Economic Behavior, Princeton University Press, Princeton, New
Jersey.
[58] WAERDEN, B.L. VAN DER (1937) Moderne Algebra, 2nd edn.
Springer, Berlín.
[59] WEBER, R.J. (1988) Probabilistic Values for Games, en The Shapley
Value, A. Roth (ed.), Cambridge University Press, Cambridge, Reino
Unido, 101-119.
[60] WELSH, D.J.A. (1976) Matroid Theory. Academic Press, London New
York San Francisco.
[61] WHITNEY, H. (1935) On the Abstract Properties of Linear Depen-
dence. Amer. J. Math. 57, 509-533.
[62] WINTER, E. (1988) A Value for Cooperative Games with Levels Struc-
ture of Cooperation, International Journal of Game Theory 18, 227-240.
[63] WINTER, E. (1991) On Non-Tranferable Utility Games with Coalition
Structure, International Journal of Games Theory 20, 53-63.
[64] WINTER, E. (1992) The Consistency and Potencial for Games with
Coalition Structure, Games and Economic Behavior 4, 132-144.