MATEMATICAa)Presentacin y contextualizacinLa matemtica como lenguaje se puede estructurar a partir de la Teora de Conjuntos. Lossmbolosprimitivosparaarmarexpresiones matemticasyconsecuentemente unaredmatemtica,sonlosdel modelo o Teora de Conjuntos cuyos entes, conectivos y puntuacin se pueden presentar como elementos y conjuntos. Por ello, aqu el alumno refuerza sus nociones bsicas sobre agrupacin y operaciones entre conjuntos as como sus apreciaciones crticas sobre los diversos conceptos desarrollados.b)CompetenciaIdentifica y determina conjuntos reconociendo suselementos, as mismo realiza operaciones para resolver situaciones problemticas y representa resultados en diagramas.c)Capacidades1.Identifica claramente la idea o nocin de conjunto y determinaconjuntos por comprensin y extensin.2.Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados segn sean los casos de unin, interseccin, diferencia o complemento3.Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa grficamente sus resultados.4.Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le da adems de identificar el dominio y rango de las relacionesd)ActitudesMuestra perseverancia para el logro de su aprendizaje.Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formacin profesional y que adems son de utilidad para resolver situaciones cotidianas.Acta con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.e)Presentacin de ideas bsicas y contenido esenciales de la Unidad:La Unidad de Aprendizaje 01:Teora De Conjuntos, comprende el desarrollo de los siguientes temas:TEMA 01:Idea y Determinacin de ConjuntosTEMA 02:Operaciones con ConjuntosTEMA 03:Producto CartesianoTEMA 04:RelacionesTema 01: Idea y Determinacin de ConjuntosLa Teora de Conjuntos es una divisin de las matemticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemtico alemn Georg Cantor, GottlobFrege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y ms tarde reformulada por Zermelo.

1) IDEA Y DETERMINACIN DE CONJUNTO:En matemtica utilizaremos la idea de conjunto con el mismo significado que se le da en la vida diaria, es decir, un conjunto es una coleccin, agrupacin o reunin de objetos llamadosELEMENTOSy que pueden ser determinados ya seaPOR EXTENSINo porCOMPRENSIN.Generalmente designaremos los conjuntos con letras maysculas de imprenta y anotaremos sus elementos entre llaves.Diremos que un conjunto estdefinido por extensinsi enumeramos todos los elementos que lo forman.Un conjunto estdefinido por comprensinsi establecemos una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y slo a ellos.

Ejemplo:

El conjunto de las notas musicales se escribe:Por extensin: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.Por comprensin: A = {x / x es nota musical}.

Observacin:x / x se lee x tal que x.Por otra parte, un conjunto se puede representar grficamente mediante diagramas deVenn; stos son curvas o polgonos cerrados, dentro de los cuales se indican mediante puntos los elementos que pertenecen al conjunto.En el ejemplo:

Un conjunto estbien definidosi se puede establecer sin dudar si un elemento pertenece o no al conjunto.

Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es mes del ao} M est bien definido? Si es as, cules son sus elementos?Solucin:M s est bien definidoporque es fcil identificar sus elementos.M= {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, setiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Si consideramos el siguiente conjunto:M= {x / x es alto} M est bien definido? Por qu?Solucin:M no est bien definidoporque no es fcil identificar sus elementos.

Si consideramos el siguiente conjunto:S= {a, e, i, o, u} podemos decir, por ejemplo:que aperteneceal conjuntoS. En smbolos:aS.queb no pertenece a S. En smbolos:bS.

Observacin:Cardinal De Un Conjunto:es el nmero natural que indica la cantidad de elementos que tiene un conjunto.As: A={ x/x Z, -2 < xA=cualquiera sea el conjunto A.>AA=Acualquiera sea el conjunto A.

Unin de Conjuntos:Dados dos conjuntos A y B, denominamos A unin B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. En smbolos:AB = { x / xAxB }Ejemplo:Si consideramos el ejemplo anterior: AB = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20}Grficamente:

Completar los siguientes casos particulares:A=Acualquiera sea el conjunto A.AA =Acualquiera sea el conjunto A.PROPIEDADES PARA LAS OPERACIONES DE UNIN E INTERSECCIN:La Unin e Interseccin tambin se conocen como operaciones Booleanas.

Diferencia De Conjuntos:

Sean a y b dos conjuntos. la diferencia de conjuntos A - B es:

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos a - b son aquellos elementos que pertenecen a a y no pertenecen a b.

Ejemplos

Si dados los conjuntos:A= { a,b,c,d }B= { b,d }La diferencia de conjuntos A - B es:A-B ={ a,c }

Si:W = { x : xXimpar0 < X < 13 }Z= { 7,8,9,10,11,12,13 }Entonces:W-Z = { 1,3,5 }yZ-W= { 8,10,12,13 }

Complemento de conjuntos:

Cuando estudiamos algo en matemtica, trabajamos todo el tiempo con los elementos de un conjunto U al que llamamos universal o referencial. Si tomamos un conjunto AU, denominamos complemento de A, y notamos A, al conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

En smbolos:A = { x / xUxA }Ejemplo:Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {3, 6, 9}.Luego A = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.Grficamente:

APLICACIONES PRCTICAS:

1)Dados los conjuntos:U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {1, 2, 4, 5} y R = {3, 4, 5}Hallar:a)(QR)b)(PQ)c)(Q)d)(P - Q)

a)(QR)Solucin:(QR) = {x/xQ o xR}= {l, 2, 4, 5}{3, 4, 5}= {l, 2, 3, 4, 5}= P

b)(PQ)Solucin:(PQ) = {x/xPo xQ}

= { l, 2, 3, 4, 5}{ l, 2, 4, 5}= {1, 2, 4, 5}= Qc)(Q)Solucin:El conjunto Q consiste en los elementos que estn en U pero no en Q.Q = {x/xUxQ}U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {1, 2, 4, 5}Q = {3, 6}d)(P - Q)Solucin:P - Q = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4, 5}P - Q = {3}(P-Q)= {1, 2, 4, 5, 6}

2)Una compaa tiene 350 empleados de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario.a)Cuntos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos?b)Cuntos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un aumento?c)Cuntos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron promovidos?

Solucin:De los datos que nos dan realizamos el diagrama de Venn, consideremos que el conectivo y hace referencia a la interseccin.

Respuestas:a)100 empleadosb)40 empleadosc)150 empleados

3)En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente informacin:431 empleados utilizan metropolitano.396 empleados utilizan taxi.101 empleados utilizan metropolitano y combi pero no taxi.176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.341 utilizan combi.634 utilizan metropolitano o combi.201 utilizan slo metropolitano.a)Cuntos empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi?b)Cuntos empleados utilizan slo uno de los tres medios de transporte mencionados?c)Cuntos empleados utilizan slo combi?d)Cuntos empleados utilizan metropolitano, combi y taxi?

Solucin:Debemos tener en cuenta que el conectivo o hace referencia a la Unin.

634 utilizan metropolitano o combi: 201 + (101 + a + b + e) + d = 634201 + 341 + d = 634d = 92431 empleados utilizan metropolitano: 201 + 101 + d + e = 431201 + 101 + 92 + e = 431e = 37341 utilizan combi: 101 + e + a + b = 341101 + 37 + a + b = 341a + b = 203396 empleados utilizan taxi: (d + e) + b + c = 396129 + b + c = 396b + c = 267Los que utilizan transporte son: 1000 176 = 824Entonces: 201 + 101 + ( a + b ) + c + (d + e) = 824201 + 101 + ( 203 ) + c + (129 ) = 824C = 190Ahora hallamos b : b + c = 267b + 190 = 267b = 77Ahora hallamos a: a + b = 203a + 77 = 203a = 126

En el grfico:

Respuesta:a)(201 + 101 + 126) = 428 empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi.b)(201 + 190 + 126) = 517 empleados utilizan slo uno de los tres medios de transporte mencionados.c)126 empleados utilizan slo combi.d)37 empleados utilizan metropolitano, combi y taxi.

Tema 03:Producto CartesianoPAR ORDENADO:Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenacin que establece cul es primer elemento y cul el segundo.Un par ordenado de componentes a, b se denota (a, b). En general en el par ordenado: (a, b) a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama segunda componente u ordenada.Ejemplo:Son pares ordenados: (3; 5) , (-2; 7), etc.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS:

Los pares ordenados (a, b) y (c, d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es:(a, b) = (c, d)a = cb = d.Ejemplo:Determinar los valores x e y, si los siguientes pares ordenados son iguales:(4, 2x-10) = (x-1, y+2)Solucin: teniendo en cuenta el concepto de igualdad de pares ordenados, se tiene:4 = x 1; 2x 10 = y + 25 = x2(5) 10 = y + 2 -2 = y

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS:

Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B.

As tenemos:A X B = {(a, b) / aAbB}Ejemplo 1:Sean: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4} . Hallar AXB e indicar su cardinal. Representarlo grficamente.Solucin:A X B = {(1; 2), (1; 4), (3;2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}Adems el cardinal de AXB ser:Card. (AXB) = n(AXB) = n(A) X n(B) = 3 X 2 = 6Representacin Grfica:

El Plano Cartesiano:Ejemplo 2:Sean los conjuntos A y B. A={a, b, c} y B={m, n, o}El producto cartesiano A x B estar definido como:

AxB={(a, m), (a, n), (a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)}

El producto cartesiano BxA estar definido como: BxA={(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}

Ejemplo: Representar en el plano cartesiano AxB:Sean A = {x / xR1x3 }, B = {x / xR2x2 }.Solucin:

Se debe tener en cuenta que los elementos de A y B son reales, por lo tanto en el grfico se tomarn en cuenta todos los puntos que corresponden a los intervalos de valores para A y B.La representacin geomtrica de A X B es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectngulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.Propiedades Del Producto Cartesiano:1)A X BB X A (est sujeto a los elementos de los conjuntos)2)A x = x A = 3)A X (BC) = A X BA X C4)A X (BC) = A X BA X C5)A X (B - C) = A X B - A X CEjemplo:Se tiene los productos: A={1,2},B={1,b,c},C={0}, D=A x B={(1,1),(1,b),(2,1),(2,b),(2,c)}A x C={(1,0),(2,0)}Cx A={(0,1),(0,2)}A x D=

Tema 04:RelacionesDEFINICIN:

SeanA y Bconjuntos no vacos. Una relacin binaria de A en B o relacin entre los elementos de A y B es todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es:

Tal que:R ={(x;y)A x B / p(x,y)}Donde:p(x,y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relacin.Si R es una relacin y (a,b)R, decimos queest relacionada con b.Ejemplo:

Dados los conjuntos: B={1; 3; 5} y C={2; 4; 6} Hallar los elementos de las relaciones:R1={(x;y)B X C / x + y = 7}R2 ={(x;y)B X C / y = 6 }

Solucin:BXC ={(1;2), (1;4), (1;6), (3;2), (3;4), (3;6), (5;2), (5;4), (5;6)}Y las Relaciones R1y R2son:R1={(1;6), (3;4), (5;2)}R2={(1;6), (3;6), (5;6)}

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN:Dominio:

Sea R una relacin.Definimos el dominio de R como el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos D ( R ) o dom ( R ). Dicho conjunto lo representamos por comprensin as:

Rango:

Sea R una relacin.Definimos el rango de R como el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos r ( R ) o ran ( R ). Dicho conjunto lo representamos por comprensin as:

Ejemplo:1) Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A > B la relacin tal que "x + y