unidad xii: ondas en una cuerda. sonido

Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I Unidad XII: Ondas en una cuerda. Sonido

UNIDAD XIIONDAS EN UNA CUERDA: SONIDO

Trataremos en este capítulo la transmisión o propagación de la ENERGÍA MECÁNICA mediante ondas en el movimiento ondulatorio.La energía mecánica puede transmitirse de dos formas:

a) Mediante el movimiento de cuerpos materiales portadores de energía (energía cinética, por ej.).b) Mediante ondas : es decir que la energía se puede transmitir sin que el cuerpo que la posea, se desplace;

basta con que el cuerpo “irradie”(irradiar es difundir, esparcir) su energía: esta radiación de energía se llama “onda”.

Existen ondas luminosas, sonoras, caloríficas, etc. En todas los casos es energía que se propaga.Entonces, el movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energía y de cantidad de movimiento desde un punto del espacio a otro, sin transporte de materia. Las ondas pueden clasificarse en:

En las ondas mecánicas (ondas en el agua, en una cuerda , las ondas sonoras, etc) la energía y la cantidad de movimiento se transporta mediante una perturbación del medio, que se propaga debido a las propiedades elásticas del mismo: una cuerda del violín se pulsa o se roza con el arco y la perturbación provocada en la forma de la cuerda se propaga a lo largo de la misma y, al mismo tiempo, la cuerda vibrante, produce una ligera variación en la presión del aire adyacente y este intercambio de presión se propaga en forma de onda sonora. Para explicar el fenómeno de propagación pensemos en una sucesión de esferas ubicadas una a continuación y contacto con otra.

Si a la esfera 1 le pegamos, ésta va transmitiendo el impacto sucesivamente hasta que la última esfera sale impulsada hacia delante

Las ondas luminosas y las electromagnéticas están producidas por cargas eléctricas oscilantes en átomos o moléculas o quizás por una antena transmisora de radio. Son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico en relación con un campo magnético asociado, por lo tanto se desplazan en el vacío sin necesidad de un medio.A pesar de la diversidad de las ondas, hay muchas características que son comunes a toda clase de ondas, mientras que otras afectan a un amplio margen de fenómenos ondulatorios.

ONDAS EN CUERDAS: Forman parte de nuestra experiencia común y pueden visualizarse fácilmente:

Pulso de onda moviéndose hacia la derecha sobre una cuerda tensa. Cuando el pulso llega al soporte rígido, se refleja e invierte.

Cuando a una cuerda tensa se le da una sacudida, su forma varía con el tiempo en forma regular: la pequeña comba que se produce en el origen debido a la sacudida, se mueve a lo largo de la cuerda en forma de PULSO DE ONDA (en este caso, la perturbación del medio es la variación de forma de la cuerda respecto a lo que tiene en equilibrio). El PULSO DE ONDA recorre la cuerda a una velocidad definida que depende de la tensión de la cuerda y de su densidad de masa(en este caso, masa por unidad de longitud).El pulso al moverse puede cambiar de forma (por ejemplo, ensancharse), efecto que se denomina DISPERSIÓN.

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El destino del pulso en el otro extremo de la cuerda depende como este sujeta allí; si está atada a un poste rígido, el pulso se reflejará y regresará invertido; cuando el pulso llega a un soporte rígido ejerce una fuerza hacia arriba sobre el mismo, por lo tanto el soporte rígido ejerce sobre la cuerda una fuerza hacia abajo igual y opuesta, haciendo que el pulso se invierta en la reflexión.

Si, por el contrario, la cuerda está unida a un anillo sin masa y su rozamiento (masa y rozamiento despreciable) que pueda moverse verticalmente sobre un poste, esta unión representa lo más cercana posible a su extremo libre de la cuerda.Cuando llega el pulso, ejerce una fuerza hacia arriba sobre el anillo, que acelera hacia arriba. El anillo sobrepasa la altura del pulso, originando un pulso reflejado que no está

invertido.Si la cuerda está sujeta a otra de densidad de masa diferente, parte del pulso se transmitirá y parte se reflejará.

Si la 2da cuerda es más pesada, la parte reflejada del pulso regresará invertida; si es más ligera la 2da cuerda, no se invertirá; en cualquiera de los dos casos, y el pulso transmitido no se invierte.

No son los elementos de masa de la cuerda los que se transportan, sino la perturbación en la forma producida por la sacudida en un extremo. Los elementos de masa de la cuerda de hecho se mueven en dirección “perpendicular” a la cuerda y por lo tanto, perpendiculares a la dirección del movimiento.

Una onda en que la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina ONDA TRANSVERSAL.

El elemento de la cuerda se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple; (cuando el

movimiento se repite y hay más de una onda se denomina TREN DE ONDAS).Cuando la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denomina ONDA LONGITUDINAL también llamada ONDA DE PRESIÓN (una onda longitudinal está formada por una sucesión de contracciones y dilataciones del medio), pulso de onda longitudinal (cuando las espiras se mueven en la dirección de propagación).

Ante el impacto de F sobre la barra rígida (B) se transmite el movimiento al péndulo que se separa.Onda transversal: el péndulo no se separa.

El sonido se compone de ondas longitudinales u ondas de presión.

Las olas en el agua son una combinación de ondas longitudinales y transversales, teniendo el movimiento de una partícula de agua su componente longitudinal y otra transversal, ya que se mueve en una trayectoria casi circular.

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Se visualiza observando un corcho que flota en el agua sometido a la acción de las olas. A medida que aumenta la profundidad la trayectoria se convierte en una elipse cada vez más achatada hasta llegar a una recta.

Ecuación o función de ondaSi tenemos una cuerda y un pulso de ondas:

Se muestra en la figura un pulso en una cuerda en el instante ; la forma de la cuerda en ese instante puede representarse por una función:

Un cierto tiempo después el pulso se ha alejado por la cuerda, de modo que la forma en dicho instante es otra función de x.Admitamos que el pulso no varía de forma ( no se dispersa) e introducimos un sistema coordenado nuevo con origen en O´ que se mueve con la velocidad del pulso (v); en este sistema de referencia (x’ o’ y’) el pulso es estacionario y la forma de la cuerda es en todo instante.Las coordenadas de los dos sistemas de referencia están relacionados entre sí por:

Así pues, el desplazamiento de la cuerda en el sistema x o y puede escribirse:

FUNCION DE ONDA

de igual manera se llega a:( es negativa)

En todos los casos v es la velocidad de propagación de la onda y la función se denomina FUNCIÓN DE ONDA y representa el desplazamiento vertical y de la cuerda en el punto x y en el tiempo t.

Considerando dos pulsos sobre una cuerda moviéndose en sentidos opuestos.: en este caso puede hallarse el desplazamiento de la cuerda sumando los desplazamientos producidos por cada pulso por separado. La propiedad del movimiento ondulatorio según la cual la onda resultante es la suma de dos o más ondas individuales se conoce como PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN; en ese caso la función onda es la suma algebraica de las funciones ondas individuales.

Si las ondas son iguales el resultado es una onda de igual largo pero de ordenadas sumadas.3


Este principio se mantiene solamente para pulsos de onda pequeños para los cuales la altura del pulso es pequeña comparada con la longitud.

Si se cruzan dos pulsos idénticos y de sentido contrario, su suma en ese instante es cero y la cuerda esta horizontal, pero no está en reposo; un instante después surgen ambos pulsos continuando cada uno en su dirección original.La superposición es una propiedad característica del movimiento ondulatorio, no existe ningún caso análogo en el movimiento de partículas, es decir, dos partículas nunca se solapan ni se suman juntas de esta forma.

VELOCIDAD DE ONDAS

Una propiedad general de las ondas es que su velocidad depende de las propiedades del medio en que se propagan y que es independiente al movimiento de la fuente relativo al medio (la velocidad de una onda en una cuerda depende de las propiedades de la cuerda y de su tensión; la velocidad de la onda sonora producida por el silbato de un tren, depende solo de las propiedades del aire y no del movimiento del tren en el aire).Si enviamos pulsos de onda a lo largo de una cuerda tensa, se puede observar que la velocidad de propagación de los pulsos de onda aumenta al crecer la tensión en la cuerda y también podemos observar que, si tenemos dos cuerdas una más pesada que la otra la velocidad de propagación del pulso es menor en la más pesada que en la ligera.Así pues, la velocidad de propagación v de las ondas sobre una cuerda o hilo esta relacionada con la tensión F y con la masa por unidad de superficie.

En este pulso que se mueve hacia la derecha con velocidad v, si el pulso es de pequeña altura en comparación con la longitud del mismo, se puede considerar que la tensión es constante en la cuerda y tiene el mismo valor esa tensión que en ausencia o presencia del pulso.Es conveniente considerar el pulso en un sistema de referencia que se

mueve a su misma velocidad v hacia la derecha; en este sistema el pulso permanece estacionario, mientras que la cuerda se mueve hacia la izquierda con velocidad v.

En la figura se muestra un pequeño segmento de la cuerda, de longitud s; si este segmento es lo suficientemente pequeño, podemos considerarlo como parte de un arco circular de radio R. Por lo tanto, el segmento se está moviendo en una circunferencia de radio R con una velocidad v y tiene una aceleración

centrípeta .

El ángulo suspendido por el segmento s es

.por lo tanto

Las fuerzas que actúan sobre el segmento son las tensiones en cada extremo; las componentes horizontales de esas fuerzas son iguales y opuestas y por tanto se equilibran.

Las componentes verticales (recordar que s es pequeño) señalan hacia el centro del arco circular (son radiales) y la suma de esas fuerzas radiales proporcionan la aceleración centrípeta; la suma da la fuerza radial neta que es:

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Si es la masa por unidad de longitud de la cuerda, la masa del segmento s será:

= 2v Velocidad de la

cuerda

Coma esta expresión de v es independiente de R y de, este resultado es válido para todos los segmentos de la cuerda, pero sólo es válida si el ángulo es pequeño lo cual será cierto sólo si la altura del pulso es pequeña comparada con la longitud (si la pendiente de la cuerda en un punto cualquiera es pequeña).En el sistema de referencia original, la cuerda está fija y el pulso se mueve con velocidad:

velocidad de las ondas en una cuerda

Tratándose de un sólido:

para ondas transversales:

para ondas longitudinales:

donde: módulo de corte E módulo de elasticidad densidad del medio

La temperatura influye en la velocidad a través de la densidad del medio.

ONDAS ARMÓNICAS

Si al extremo de una cuerda la desplazamos Hacia arriba y hacia abajo siguiendo movimientos armónico simple (como si estuviera atada a un diapasón que se hace vibrar), se produce un tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. Este tipo de onda recibe el nombre de ONDA ARMÓNICA.

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La forma de la cuerda en un instante es la de una función sinusoidal (o también una función coseno ya que solo existe una diferencia de fase).La distancia entre dos crestas sucesivas recibe el nombre de LONGITUD DE ONDA (); la longitud de onda es la distancia recorrida en el espacio hasta que la

función de onda se repita así misma.

Cuando la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma se mueve hacia arriba y hacia abajo, registrando un movimiento armónico simple, cuya frecuencia (f) es la del diapasón o agente que mueve el extremo de la cuerda. La máxima elongación se llama AMPLITUD DE ONDA ( A )

Existe una relación entre (f); () y (v): durante un periodo , la onda se mueve una distancia igual a una

longitud de onda ( , de modo que la velocidad es:

La frecuencia (f) se mide en Hercios (Hz) y el oído humano percibe sonidos entre 16 y 20 mil hercios.

Como la velocidad v queda determinada por las propiedades del medio ( ) , la longitud de onda

queda determinada por la frecuencia del foco emisor, ya que:

Si siendo v = constante para un medio dado

También para el estudio de las ondas armónicas se utiliza una constante llamada Número de ondas K1 que

representa el número de longitudes de onda ( contenidas en la longitud unitaria (1)

También se puede emplear la expresión

En este caso K1 representa la cantidad de ondas completas contenidas en una longitud de 2 metros .

Veamos como se propaga una onda en una cuerda:

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ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA UNIDIMENSIONAL

La ecuación de una onda se puede definir como “la expresión matemática que permite obtener el estado de vibración de una partícula cualquiera del medio, en cualquier instante”.

La ecuación de una onda relaciona el estado de vibración de dos puntos.Si suponemos una cuerda larga y tensa según el eje x, por la que se propaga una onda transversal (dibujo).Si el instante t = 0 llega el impulso a la partícula situada en x = 0; ésta comienza a vibrar hasta alcanzar la máxima elongación, o sea la amplitud A = rAl cabo de un tiempo t = t’ el impulso ( en el caso del dibujo el impulso considerado es el máximo) llega a la partícula que está en x, que comienza a vibrar con un retraso de t’ segundo con respecto a la partícula situada en x = 0 (máxima perturbación para la partícula situada en x = x’).

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Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I Unidad XII: Ondas en una cuerda. SonidoEl estado de vibración de la partícula en x = 0 viene dada por la expresión: Expresión general

De la expresión general se ve que: - la partícula en la posición x = 0, al cabo de un cierto tiempo ( ) descendió de hasta ; no avanza en el sentido de las x: solo sube o baja verticalmente

El estado de vibración de la partícula en x será: (es (-t’) porque vibra con un retraso de t’ (recordar función de onda) se propaga hacia la derecha) ya que

es

donde

ECUACION DE LA ONDA o bien

Si la onda se propaga en sentido negativo del eje x, la velocidad es negativa y la ecuación queda:

También se puede expresar esta ecuación en función del seno:

Y quedaría

En la ecuación de la onda no hay que confundir la velocidad de propagación de la onda (v) con la velocidad transversal de las partículas en el M.A.S.

la velocidad transversal que corresponde al M.A.S.

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como es : velocidad transversal del MAS

La ecuación de la onda armónica unidimensional es doblemente periódica; es

periódica en el tiempo (con un período T) y es periódica en el espacio (se repite en puntos cuyas distancias al origen sean múltiplos de la longitud de onda . En los gases y para ondas longitudinales el E (módulo de elasticidad) está representado por siendo p presión del gas y una constante característica de

cada gas por lo que la velocidad queda: ; para el aire a 0ºC y a presión normal

Hay un método directo para medir la velocidad del sonido tanto en el aire como en el agua se mide cuanto tarda en recorrer el sonido una distancia conocida, para eso se cuenta de un punto dado, una señal acústica y otra luminosa que sea perceptible por el observador ubicado en el otro extremo quien mide el tiempo en que llega la señal sonora (la que tarda).Para este experimento en el aire hay que tener en cuenta factores como el viento, la presión atmosférica, la humedad y la temperatura.El valor más probable de la velocidad de propagación del sonido en el aire seco a 0ºC de temperatura, es de:

.

En el agua, a una temperatura de 8ºC, del experimento resulto una velocidad de: .

FRENTE DE ONDA

Dado que la ecuación de la onda armónica es periódica en el espacio, el estado de vibración (y) de las partículas ubicadas en x, x+, x+2, x+n, etc, es el mismo : De aquí se deduce que:

1. Todos lo puntos que distan entre sí n en la dirección de propagación están en fase ya que

para =

= pues cada el ángulo es el mismo y

2. Todos los puntos que equidistan del centro emisor están en fase con él y están en fase entre sí.(siempre que están a una distancia de del centro. (Fase: cada uno de los estados sucesivos de una cosa)

Esta segunda conclusión nos permite definir el FRENTE DE ONDA: es el lugar geométrico de todos los puntos que, en un instante dado, están en FASE.

Si las ondas son unidimensionales (ondas planas), los frentes de ondas son superficies planas.

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En las ondas bidimensionales (ondas circulares), los frentes de ondas son circunferencias concéntricas (ondas en la superficie del agua, por ejemplo).

Cuando el radio es muy grande, entonces los frentes de onda pueden considerarse planas.

En las ondas tridimensionales (ondas esféricas), los frentes de onda son superficies esféricas concéntricas (ondas sonoras, por ejemplo).

Si el medio es homogéneo e isótopo, la dirección de propagación siempre es perpendicular al frente de onda (en todo tipo de ondas), en el caso de las ondas radiales, por ejemplo: Los frentes son esferas concéntricas (superficies esféricas concéntricas).

ENERGÍA TRANSMITIDA POR UNA ONDA

Cuando una onda se traslada a lo largo de una cuerda, se transmite energía. Eso se demuestra si colgamos un peso de un punto de una cuerda sometida a tensión y sacudimos la cuerda por el otro extremo: cuando el pulso llega al peso, éste se levanta momentáneamente. Por lo tanto, la energía introducida en el extremo libre de la cuerda por la sacudida se ha transmitida por ella

y ha sido recibida por el peso.

También una esfera de masa m situada en el origen de coordenadas que se dilata y se contrae armoniosamente, transmite energía. La esfera tiene una Energía Mecánica que, como vimos en el oscilador armónico simple, es:

donde K es la constante de deformación dentro del período

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elástico

Esta energía total se erradia en todas direcciones en forma de ondas, con una velocidad de propagación v propia del medio y si éste es homogéneo e isótropo.Si la que irradia energía es una esfera, la energía se irá repartiendo sobre superficies esféricas concéntricas, cuyo centro es el foco emisor y si suponemos que no existe ningún tipo de rozamiento, la energía mecánica total permanecerá constante. es la Energía Mecánica del foco emisor y es la Energía Mecánica de las partículas en cada frente de onda .Se demuestra que la amplitud de la onda (A) es inversamente proporcional a la distancia de la onda del centro

emisor resulta , por lo que a medida que la onda se aleja se va amortiguando. Sin embargo, la

frecuencia (f) del movimiento no cambia.La amplitud A disminuye y por lo tanto las partículas vibran con menor energía; esto se debe a que la misma cantidad de energía (EMT) se reparte en cada frente de onda entre un mayor número de partículas (se agranda el frente de ondas a mayor distancia). A este fenómeno lo llamamos ATENUACIÓN.Otro fenómeno, la ABSORCIÓN; también contribuye al amortiguamiento de la onda, pero esta vez es debido al rozamiento, la viscosidad, el grado de elasticidad del medio, etc. Cuanto más rígido y elástico mejor se propaga la onda.

INTENSIDAD DE UNA ONDA

Se llama intensidad del movimiento ondulatorio en un punto “a la cantidad de energía que atraviesa perpendicularmente la unidad de superficie colocada en dicho punto, en la unidad de tiempo” (es una definición similar a la de caudal de un fluido).

es la unidad de tiempoEn el caso de superficie esférica lo que atraviesa la energía es una superficie esférica unitaria; la intensidad en el frente 1 de onda será:

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la intensidad en el frente 2 será:

Dividiendo miembro a miembro:

de donde tenemos:

a) La intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de onda (A).b) La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al frente emisor.

A medida que se aleja la onda del foco emisor, su intensidad disminuye; esta disminución es debida tanto a la atenuación como a la absorción de la onda por el medio.

SENSACIÓN SONORA Y NIVEL DE INTENSIDAD

El oído humano puede acomodarse a un intervalo de intensidad de ondas sonoras bastantes grandes, desde 10-12 W/m2 aproximadamente hasta 1 W/m2 (que produce una sensación dolorosa en la mayoría de las personas). Las variaciones de presión que corresponden a estas intensidades extremas varían dentro del orden desde 3x10-5 Pa para el umbral de audición hasta 30 Pa para el umbral del dolor. (Recuérdese que el Pascal (Pa) es un Newton por metro cuadrado). Estas pequeñas variaciones de presión se superponen a la presión atmosférica normal de 101 kPa aproximadamente.

Debido al intervalo tan grande de intensidades a las que resulta sensible el oído, y debido a que la sensación fisiológica de fuerzas sonoras no varían directamente con la intensidad, sino que su dependencia es más bien del tipo logarítmico, se utiliza una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora. El nivel de intensidad se mide en decibelios (dB) que se define mediante la expresión

en donde I es la intensidad del sonido e Io es un nivel de referencia, que escogemos como el umbral de audición:

En esta escala, el umbral de audición vale

y el umbral del dolor es

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Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I Unidad XII: Ondas en una cuerda. SonidoAsí pues, el margen de intensidades sonoras de 10-12 W/m2 a 1 W/m2 corresponde a un intervalo de niveles de intensidad sonora de 0 dB a 120 dB. En la tabla que se adjunta se relacionan los niveles de intensidad sonora de algunas sonidos comunes.

Intensidad y nivel de intensidad sonora de algunos sonidos comunes (Io=10-12 W/m2)Fuente I/Io dB Descripción

100 0 Umbral de audiciónRespiración normal 101 10 Escasamente audibleRumor de hojas 102 20Conversación en voz muy baja (a 5m) 103 30 Apenas audibleBiblioteca 104 40Oficina tranquila 105 50 Poco ruidosoConversación normal (a 1m) 106 60Tráfico denso 107 70Oficina ruidosa con máquinas; fábrica del tipo medio 108 80

Camión pesado (a 15 m); Cataratas del Niágara 109 90 La exposición constante daña

al oídoTren del metro antiguo 1010 100Ruido de construcción (a 3m) 1011 110Concierto de rock con amplificadores (a 2 m);despegue de un reactor (a 60 m) 1012 120 Umbral del dolor

Remachadora neumática; ametralladora 1013 130Despegue de un reactor (cercano) 1015 150Motor de cohete grande (cercano) 1018 180

Amortiguamiento del Sonido: se mide en decibelios y varía sensiblemente con la frecuencia.

Problema 1.¿Cual es el cociente entre las intensidades de un sonido de 90 dB y otro de 60 dB? Rta: 1000.Problema 2.El ladrido de un perro supone alrededor de 1 m/W de potencia.a) Si esta potencia se distribuye uniformemente en todas direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidad del

sonido a una distancia de 5 m?b) ¿Cuál sería el nivel de intensidad de dos perro0s ladrando al mismo tiempo si cada uno de ellos

desarrolla una potencia de 1 m/W.Problema 3.Un sistema absorbente del sonido atenúa el nivel del sonido en 30 dB. ¿En qué factor ha disminuido la intensidad? Problema 4Aplicando la ley de reflexión del sonido, demuestre cual es la mejor de las formas para un local de auditorio.

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Problema 5.Obtener del gráfico el aislamiento contra el sonido propagado por el aire, de una pared revocada por ambos paramentos, que pesa 288 kg/m2 y otra que pesa 10 kg/m2 .

INTERFERENCIA DE ONDAS ARMÓNICAS

Se llama interferencia al encuentro de dos ondas armónicas producidas por dos centros emisores diferentes y que se propagan en el mismo medio.El punto de encuentro estará sometido a dos movimientos armónicos (vibratorios) distintos con elongaciones paralelas y, si las ondas concurrentes tiene la misma longitud de onda (y la misma frecuencia); el movimiento resultante se obtiene aplicando el principio de superposición: “cuando dos o más ondas concurren a un mismo puente, la perturbación resultante es igual a la suma algebraica de las perturbaciones que producen cada una de ella”

Dado que para que deberá ser ya que

constante que depende del medioPara tener una idea, imaginamos una mesa, que se mueve con movimiento armónico con respecto al suelo; y un objeto cualquiera (una goma de borrar, por ejemplo) que está sobre la mesa, se mueve con movimiento armónico con respecto a ésta. La composición de ambos movimientos armónicos dará el movimiento de la goma con respecto al suelo, la trayectoria podría resultar una elipse.

Otro ejemplo: una varilla se desplaza con movimiento armónico con respecto a la hoja de papel, adoptando las posiciones 1; 2; 3; 4; etc y un aro se desplaza sobre la varilla con M.A.S. con respecto a ella, adoptando las posiciones a, b, c, d, etc sobre la misma.

La composición de ambos movimientos dará el movimiento del aro con respecto a la hoja de papel y la trayectoria podría ser una elipse.

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Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I Unidad XII: Ondas en una cuerda. SonidoSi tengo una onda armónica que se mueve hacia la derecha con una amplitud A y números de ondas K con frecuencia angular , la ecuación de esa onda sería, por ejemplo:

;

para esta función de onda hemos escogido t= 0 cuando el desplazamiento es nulo en x = 0

Si tenemos también en movimiento una segunda onda armónica hacia la derecha con la misma amplitud, frecuencia y números de ondas para el instante t=0, la ecuación general para esa 2da onda será: donde es la constante de fase que se traduce en un corrimiento o

desplazamiento sobre el eje de las x.

Las dos ondas entonces difieren en fase en ; sería así, gráficamente:

La onda resultante es la suma:

Ecuación General

Si la diferencia de fase en nula (es decir =0), si ambas están en fase la resultante tiene una amplitud doble de la correspondiente a cualquiera de las ondas.

Por otra parte, si la diferencia de fase es = rad=180º ( o cualquier múltiplo impar de 180º):

Entonces:ya que a los 180º el seno

es de distinto signo

A este tipo de interferencia se lo denomina interferencia destructiva y gráficamente sería así:

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Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I Unidad XII: Ondas en una cuerda. SonidoCuando dos ondas tienen diferencia de fase de , la amplitud de la onda resultante es la diferencia de las amplitudes de cada onda y si ésta tiene amplitudes iguales, la onda resultante tiene una amplitud nula.Esto se verifica para ondas que difieren en fase en 180º ( rad) o en cualquier múltiplo impar de 180º.

Para el caso general: para una diferencia de fase cualquiera y si recordamos que:

Entonces la ecuación de la onda resultante queda:

Donde vemos que la superposición de dos ondas armónicas da como resultado otra onda armónica con el mismo número de ondas (K) y la misma frecuencia angular (). Difiere en fase de ambas ondas originales, la

onda resultante tiene una fase de y su amplitud es .

Vemos que si las dos ondas están en fase: =0; cos =1 y la amplitud resultante y si están

desfasadas

ONDAS ESTACIONARIASCuando las ondas están confinadas en el espacio, como las ondas en una cuerda de piano, se produce reflexiones en ambos extremos y por consiguiente, existen ondas moviéndose en los dos sentidos que se combinan de acuerdo con el principio de superposición.Para una cuerda determinada, existen ciertas frecuencias para las cuales la superposición da un esquema vibratorio estacionario denominado ONDA ESTACIONARIA.

Si fijamos los dos extremos de una cuerda larga y movemos una parte de la misma arriba y abajo con un M.A.S. de pequeña amplitud, resulta que, a ciertas frecuencias se obtiene esquemas de ondas estacionarias semejantes a los del dibujo. Las frecuencias que producen estos esquemas se llaman FRECUENCIA DE RESONANCIA del sistema de cuerdas.

La frecuencia de resonancia más baja se denomina Frecuencia Fundamental (f1) y produce el esquema de ondas estacionarias indicadas en la parte (a), este esquema recibe el nombre de nodo fundamental de vibración o primer armónico.

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La segunda frecuencia más baja (f2) produce el esquema indicado en la figura (b), éste esquema o nodo de vibración tiene una frecuencia que es el doble de la frecuencia fundamental y se denomina segundo armónico. La tercera frecuencia más baja (f3), es tres veces la fundamental y produce el esquema del tercer armónico (c).Obsérvese que para cada armónico a partir de (b), hay ciertos puntos sobre la cuerda que no se mueven (no se desplazan arriba o abajo); estos puntos se denominan nodos (N); en el punto intermedio entre cada nodo y el siguiente; existen un punto de vibración máximo denominado VIENTRE o ANTINODO. Como es natural, los dos extremos de la cuerda son NODOS.Se observa que el primer armónico tiene un antinodo; el segundo armónico tiene dos antinodos y, en general, podemos decir que el enésimo armónico tendrá n antinodos.Podemos relacionar las frecuencias de resonancia con la velocidad de la onda en la cuerda y la longitud de la misma. Se puede ver en la figura que para el caso (a) la longitud L de la cuerda es igual a la mitad de longitud de onda del primer armónico; y a 2 semilongitudes de onda del 2do armónico:

Y para el tercer armónico ; en general entonces, para el armónico enésimo, se tiene que:

y la longitud de onda para esta condición será para cualquier valor de n

Este resultado se conoce como condición de onda estacionaria y podemos hallar la frecuencia del armónico a partir del hecho de que la velocidad v de la onda es igual a la frecuencia por la longitud de onda.

Frecuencia de resonancia: frecuencia de resonancia del enésimo armónico

para n = 1 frecuencia fundamental o del primer armónico

para n = n

Ambos, fn y f1 para la cuerda con ambos extremos fijos.

Como la velocidad de onda tenemos que la frecuencia es: la

frecuencia más baja para entrar en resonancia con una onda estacionaria.

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Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I Unidad XII: Ondas en una cuerda. SonidoPodemos entender la producción de ondas estacionarias en función de la resonancia. Si tenemos una cuerda de longitud L que está sujeta por su extremo a un diapasón en vibración (u otro objeto vibrante cualquiera) mientras que tiene fija el otro extremo.

La primera onda producida por el diapasón recorre la cuerda hasta que a una distancia L, se encuentra con el extremo fijo, donde se refleja e invierte. Entonces regresa al diapasón donde a su vez se vuelve a reflejar y a invertir para recorrer de nuevo la cuerda.Si el tiempo que la onda emplea en recorrer la distancia 2L completa es exactamente igual al período del diapasón, la onda reflejada dos veces se solapará exactamente con la segunda onda producida por él. Entonces las ondas interferirán constructivamente, se sumarán y producirán una onda que tenga una amplitud doble a la de una de ellas. La onda combinada recorrerá la cuerda hasta el extremo fijo y retornará añadiéndose a la tercera onda generada por el diapasón y así sucesivamente.La amplitud de la onda seguirá creciendo en tanto que la cuerda absorba energía del diapasón; diversos efectos (perdida de energía durante la reflexión, cuerda perfectamente elástica) ponen en límite a la máxima amplitud que puede alcanzar la onda combinada la sucesión obtenida es mucho mayor que la del diapasón.Así pues, el diapasón está en resonancia con la cuerda.También se produce resonancia si el tiempo que emplea la onda en recorrer la distancia 2L es el doble del período del diapasón o cualquier número entero n veces el período.

Como el tiempo t que necesita una onda para recorrer la distancia 2L a una velocidad v es podemos

escribir (como condición de resonancia t =T; t =2T; t = n.t).

Este resultado es el mismo que encontramos ajustando un número entero de semilongitudes de

onda en la distancia L.

Cuando la frecuencia del diapasón no coincide con ninguna de las frecuencias de resonancia (también llamadas frecuencias naturales) de la cuerda vibrante, no se producen ondas estacionarias ya que la onda reflejada dos veces y la nueva onda del diapasón tienen fases diferentes y aunque se combina entre sí, la

onda resultante puede tener una amplitud mayor o menor que la onda original lo cual depende de la diferencia de fase.Vamos a graficar el caso de dos ondas que van en la misma dirección, con igual amplitud y distinta frecuencia; para mayor claridad: que en un primer instante ambos movimientos son coincidentes en el centro; la relación es

.

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La amplitud del movimiento resultante varía con el tiempo, se dice que la resultante presenta ONDULACIONES o bien que el movimiento armónico presenta LATIDO (ó BATIDO o PULSACIÓN).Se dice que presenta latido porque si se tratara del sonido, los sonidos componentes originales son uniformes y continuos y así percibimos la sensación sonora, pero el movimiento resultante representa al sonido resultante y lo percibiremos en forma intermitente (lo oiremos en las zonas de mayor amplitud), es claro que los sonidos componentes se oirán cuando suenen separados; cuando suenen juntos lo que se oye es el latido resultante. Se denomina frecuencia de batido a la frecuencia con que se presentan estas variaciones de intensidad.Si los diagramas son de la misma frecuencia igual , no se produce latido y si coinciden las fases, el sonido es más fuerte ya que la intensidad del sonido depende de la vibración..

VELOCIDAD DE LAS ONDAS SONORAS

Vimos que la velocidad en una cuerda es:

F = tensión en la cuerda;

u = masa por unidad de longitud o densidad del medio (cuerda); (se mide en kg/m)

La velocidad de una onda longitudinal sonora en un sólido es:

La velocidad de las ondas del sonido en cualquier fluido (agua, aire, etc) viene dada por la expresión:

el módulo de compresibilidad B está representado por el producto del coeficiente de compresibilidad (X) por la presión p a lo que está sometido el gas:

: psi : letra griega

Si estoy buscando al velocidad del sonido en el aire, X es una constante característica para cada gas, depende de la temperatura y de la presión, que para el aire es X=1,41.Si la temperatura es de 0º y la presión atmosférica p =760 mm. Hg.=1033gr/cm2 y la densidad del aire es

Velocidad del sonido en el agua: donde y

entonces

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Velocidad del sonido en un sólido (hierro): donde y

entonces

REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y DIFRACCIÓN DE ONDAS LUMINOSAS

Onda incidiendo sobre una superficie lineal entre dos medios en los que difieren las velocidades de la onda, parte de la onda se refleja y parte se refracta o transmite.La primer ley de la reflexión establece que el ángulo de incidencia del frente de onda es igual al ángulo de reflexión tomado con respecto a una recta normal a la superficie del medio. Se denomina refracción al cambio de dirección del rayo transmitido.En el caso de las partículas transmitidas a través de una abertura estrecha (caso a), las mismas se encuentran confinadas en un ángulo estrecho.En el caso de ondas (caso b) la abertura actúa como un foco puntual de ondas

circulares que son radiadas hacia la derecha en un ángulo mucho más amplio que el correspondiente a las partículas del (caso a).Este hecho real se debe a que las longitudes de onda de la luz son tan pequeñas que la flexión de

las ondas luminosas, aunque leve, existe y se conoce como fenómeno de difracción (observando por Grimalde, en 1665).

DIFRACCIÓN:”cuando la luz pasa a través de una pequeña rendija o abertura, se dispersa, dando una imagen mayor que el tamaño real de la abertura”.

EFECTO DOPPLER

Según el cual a mayor frecuencia el sonido es más agudo.Cuando escuchamos música que procede de otra habitación rodeando una esquina, existe una reducción de las frecuencias altas (sonidos agudos) en comparación con el resto del sonido. La razón es la siguiente: ”Cuando un foco producto de ondas y un receptor se están moviendo uno respecto del otro, la frecuencia observada por el receptor no es la misma que la emitida por el foco: cuando se acercan, la frecuencia observada es mayor que la del foco; mientras que si se alejan, la frecuencia resulta menor. Esto se denomina EFECTO DOPLER Otro ejemplo conocido es el cambio de tono de la bocina de un auto cuando éste se acerca o se aleja de nosotros. La variación de la frecuencia de una onda sonora resulta ligeramente diferente según sea el foco o el receptor el que se esté moviendo en relación al medio; cuando se mueve el foco, varía la longitud de onda y la nueva frecuencia f’ se obtiene calculando primero la nueva longitud de onda y

luego obteniendo . Por otra lado, cuando el foco está quieto y es el receptor el que se mueve, la

frecuencia es diferente simplemente porque el receptor en su movimiento se encuentra con un número mayor o menor de ondas en un tiempo determinado.

Consideremos en primer lugar el caso del foco móvil:

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Cuando el foco se mueve hacia la derecha, a una velocidad menor que la de las ondas, se observa que las ondas situadas delante del foco se comprimen de modo que los frentes de onda están más próximas entre sí de lo que estarían si procediesen de una fuente estacionaría, mientras que detrás de la fuente, los frentes de onda están más separados. Podemos calcular la longitud de onda delante del foco f y la que aparece detrás del foco b del modo siguiente: sea fo la frecuencia del foco, en un cierto intervalo t, el foco emite un cierto número de ondas igual a . El primer frente de ondas emitido al comienzo desde recorre una distancia mientras que ese mismo tiempo el foco recorre una distancia siendo la velocidad del foco con respecto al medio. Como esas N ondas están contenidas en una distancia , la longitud de ondas delante del foco se obtiene dividiendo:

Detrás del foco las ondas están contenidas en una distancia de ; de modo que la longitud de onda allí será:

La velocidad v de las ondas depende exclusivamente de las propiedades del medio y no del movimiento de la fuente. En el caso de una fuente que se aproxime al receptor la frecuencia f’ con la que las ondas pasan por un punto situado en reposo con respecto al medio es:

Si la fuente se aleja del receptor, la frecuencia será:

Cuando el foco está en reposo y el receptor se mueve con respecto al medio:

No hay variación de la longitud de onda, pero la frecuencia con que las ondas pasan por el receptor aumenta cuando éste se acerca a la fuente y disminuye cuando se aleja.El números de ondas que pasan por el receptor estacionario, en el tiempo t, es el número contenido en la

distancia v.t y ese número de ondas vale . Cuando el receptor se mueve hacia el foco pasan por

él un número adicional de ondas tal que, si su velocidad con respecto al foco es uR, la distancia será uR.t y

el número de ondas adicional -

El número total de ondas que pasan por el receptor en el tiempo t será entonces:

La frecuencia observada es este número N de ondas será:

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Si el receptor se aleja de la fuente con velocidad uR , un razonamiento semejante lleva a:

Cuando tanto el receptor como foco están moviéndose respecto al medio pueden combinarse los resultados de las ecuaciones:

receptor móvil

foco móvil

Para seleccionar correctamente el signo positivo o el negativo debemos recordar que la frecuencia aumenta cuando la fuente y el receptor se mueven el uno hacia el otro, mientras que disminuye si se alejan uno del otro, así por ejemplo, si se acercan el uno al otro, se utiliza el signo más (+) en el numerador y el signo menos (-) en el denominador de manera que se obtiene una f’ mayor.

En general la frecuencia observada f’ puede escribirse siempre como:

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unidad xii: ondas en una cuerda. sonido

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