unidad: números enteros...conjunto de los números imaginarios (que no pertenecen a r) por medio de...

UNIDAD: Números

Complejos

Docente: Camilo Castillo

Objetivos

• Comprender los Complejos (C) como un nuevo conjunto numérico, que permiten resolver problemas que no tienen solución en el conjunto de los Reales (R).

• Aprender a operar en el conjunto de los Complejos: Suma, resta, multiplicación y división.

• Comprender propiedades del conjugado y módulo de un complejo.

• Conocer la forma polar de un complejo.

¿Por qué existen los

Números Complejos?

¿Por qué existen los Imaginarios?

• Recordemos que los Números Reales

son todos los números donde se

incluyen Racionales e Irracionales:

• R : { … -1; -0,5; 0; ½; 1; π; … }

¿Por qué existen los Complejos?

• Y que además se ha definido el

conjunto de los números Imaginarios

(que no pertenecen a R) por medio de

la unidad imaginaria:

Unidad Imaginaria

−1 = 𝑖


• Finalmente, los números Complejos,

tienen la forma:

z = a + bia = Re(z) b = Im(z)

Parte real Parte imaginaria

de z de z


• El conjunto C es la unión del conjunto

R y el conjunto I.

• Pueden, en un solo número, reunir

información de dos fuentes, por lo que

tienen aplicación en electricidad,

geometría fractal, mecánica cuántica,

etc.

Relación de orden en los

Números Complejos

Orden en los Complejos

• Como se verá más adelante, los

complejos se representan en un plano

llamado “Plano de Argand”, no en una

recta numérica. Por tanto, no existe

relación de orden entre los complejos,

es decir no existen complejos mayores

que otros.

Operatoria en los Números

Complejos

Operatoria en C: Suma y Resta

• Dos números complejos se suman

algebraicamente. Re(z)+Re(w),

Im(z)+Im(w). Ejemplos:

(4+2i) + (7-3i) = 11-i

(-8+6i) – (-2+4i) = -6-2i

Operatoria en C: Multiplicación

• Algebraica. Término a término como

dos binomios. Ejemplo:

(2+3i)x(4-5i)=

8 - 10i + 12i - 15i2

• Términos semejantes, i2 = -1

8 + 2i + 15

23 + 2i

Conjugado de un Complejo

• El conjugado de un complejo, se define como:

Cambia el signo de la parte imaginaria

• Ejemplo: el conjugado de -4–8i es -4+8i

𝒛 = 𝒂+ 𝒃𝒊

𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊

Operatoria en C: División

• Una división de complejos se escribe

como fracción y luego se amplifica por

el conjugado del denominador.

Operatoria en C: División

• Ejemplo:𝟒+ 𝟖𝒊

𝟐 − 𝟐𝒊=

𝟒+ 𝟖𝒊

𝟐 − 𝟐𝒊∙𝟐+ 𝟐𝒊

𝟐+ 𝟐𝒊=

𝟖+ 𝟖𝒊+ 𝟏𝟔𝒊 + 𝟏𝟔𝒊𝟐

𝟐𝟐 − (𝟐𝒊)𝟐=

𝟖+ 𝟐𝟒𝒊 − 𝟏𝟔

𝟒 − 𝟒𝒊𝟐=

−𝟖+ 𝟐𝟒𝒊

𝟒 + 𝟒=

−𝟖+ 𝟐𝟒𝒊

𝟖=

−𝟏+ 𝟑𝒊

Representación gráfica de

Números Complejos


Números Complejos

• La notación:z = a + bi

• También es llamada Forma Binomial del complejo.

• Pero también puede escribirse de la forma:

z = (a,b)

• Llamada Forma Cartesiana del complejo, donde “a” es su parte real y “b” su parte imaginaria.


Números Complejos

• De esta forma, un complejo puede

graficarse como vector en un plano,

similar al cartesiano, llamado Plano de

Argand.

• El plano de Argand se caracteriza por

tener un eje Real (horizontal) y un eje

Imaginario (vertical).


Números Complejos

• Ejemplo: Graficar el complejo z: (4,3)

Módulo de un Complejo

• Considerando al complejo como un

vector, podemos calcular su módulo o

magnitud, es decir su tamaño. Esto se

realiza mediante el Teorema de

Pitágoras:

Módulo de z:

𝒛 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐


• Así: 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑧 = 42 + 32

𝑧 = 16 + 9

𝑧 = 25

𝑧 = 5

Forma Polar de los Números

Complejos

Forma Polar de z

• En su forma cartesiana, los vectores y

complejos, se caracterizan por dos

variables que corresponden a sus

componentes en un eje horizontal y un

eje vertical.

Forma Polar de z

• Sin embargo, éstos también pueden

caracterizarse por su magnitud “r” y el

ángulo “α” que forman con el eje

horizontal.

Forma Polar de z

Forma Polar de z

• De esta forma:

– r = |z|

– α = tan-1(Im(z))

(Re(z))

– Re(z) = |z|cos(α)

– Im(z) = |z|sen(α)

Esto viene de las ecuaciones de razones

trigonométricas

Forma Polar de z

• Por lo tanto, cualquier complejo puede

escribirse de la forma:

z = |z|cos(α) + |z|sen(α)i

• La cual puede abreviarse a simplemente:

z = |z|cis(α)

• Donde la expresión “cis” resume al cos y

sen i

Forma Polar de z

• Ejemplo:

Convertir z = 4+3i a su forma polar

Sabemos que |z| = 5

α = tan-1(3/4) = 37° (aprox)

ojo: en la calculadora se debe presionar shift + tan (o equivalente).

Por lo tanto: z = 5cis(37°)

Operatoria en la Forma Polar

de los Números Complejos

Operatoria: Suma y resta

• Aunque es posible sumar y restar en

forma polar, el método resulta

inconveniente frente a la posibilidad de

convertirlos a su forma cartesiana y

operarlos de esta manera.


• Ejemplo:

sea z1=5cis(30°)

y z2=2cis(60°),

calcular z1 + z2 =

z : Re(z)=|z|cos(α)

Im(z)=|z|sen(α)


𝒛𝟏 = 𝑹𝒆 𝒛𝟏 = 𝟓𝐜𝐨𝐬(𝟑𝟎°)

𝒛𝟏 = 𝑹𝒆 𝒛𝟏 = 𝟓 𝟑

𝟐

𝒛𝟏 = 𝑰𝒎 𝒛𝟏 = 𝟓𝐬𝐞𝐧(𝟑𝟎°)

𝒛𝟏 = 𝑰𝒎 𝒛𝟏 = 𝟓𝟏

𝟐=

𝟓

𝟐

∴ 𝒛𝟏 = (𝟓 𝟑

𝟐,𝟓

𝟐)


𝑧2 = 𝑅𝑒 𝑧2 = 2cos(60°)

𝑧2 = 𝑅𝑒 𝑧2 = 21

2= 1

𝑧2 = 𝐼𝑚 𝑧2 = 2sen(60°)

𝑧2 = 𝑅𝑒 𝑧2 = 2 3

2= 3

∴ 𝑧2 = (1, 3)

Operatoria: Multiplicación y

División

• La multiplicación y la división en forma

polar pueden resultar convenientes

frente a la cartesiana.

• Sean:

z1 = r1cis(α) y z2= r2cis(β)

z1.z2 = (r1.r2) cis(α+β)

z1:z2 = (r1:r2) cis(α-β)


División

• Ejemplo:

sea z1=5cis(30°)

y z2=2cis(60°)

calcular z1 . z2 =

z1.z2 = (5.2) cis(30+60)

z1.z2 = 10 cis(90)


División

• Ejemplo:

sea z1=5cis(30°)

y z2=2cis(60°)

calcular z1 : z2 =

z1:z2 = (5:2) cis(30-60)

z1:z2 = (5/2) cis(-30) ó

z1:z2 = (2,5) cis(330)

Recuerda: -30°=330°

Operatoria: Potencia y Raíz

• Donde más se explota las coordenadas polares, es en la potencia, donde resultan mucho más sencillas que en la forma cartesiana.

• Sean:

z1 = r1cis(α)

(z1)n = (r1)

n cis(n.α)

𝒛𝒏

= 𝟖𝒏

𝒄𝒊𝒔(𝜶

𝒏)


• Ejemplo:

sea z1=5cis(30°)

calcular (z1)3 =

(z1)3 = (5)3 cis(3.30)

(z1)3 = (125) cis(90)


• Ejemplo:

sea z = 8cis(60°)

calcular 𝒛𝟑

=

𝒛𝟑

= 𝟖𝟑

𝒄𝒊𝒔(𝟔𝟎

𝟑)

𝒛𝟑

= 𝟐𝒄𝒊𝒔(𝟐𝟎)

unidad: números enteros...conjunto de los números imaginarios (que no pertenecen a r) por medio de...

Documents