unidad n°3: perímetros, áreas y volúmenes
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Unidad 3
Geometría
NIVELACIÓNNIVELACIÓNMATEMÁTICAMATEMÁTICA20142014
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DEFINICIÓN• POLIGONOS:
Es una figura plana (bidimensional) con lados rectos.
(Nota: un círculo no es un polígono puesto que tiene su lado curvo).
• EJEMPLOS:
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TRIÁNGULO CUADRADO RECTÁNGULO
ROMBO TRAPECIOCIRCUNFERENCIA
CÍRCULO
ÁREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS ELEMENTALES
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áreaárea perímetroperímetro
Base por altura partido por dos
Suma de lostres lados
TRIÁNGULO
2
alturabase ⋅cba ++
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basebaseb b
Área = 2
hb ⋅3 cm
4 cm
3 cm
2 cm
E J E MP L OS
262
34cm=⋅ 23
2
32cm=⋅
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b
ac
Perímetro = a + b + c
E J E M P L O
5 cm
3 cm4 cm
3 + 5 + 4 = 12 cm
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áreaárea perímetroperímetro
Lado por lado = lado al cuadrado Suma de los
lados
CUADRADO
2lll =⋅ lllll 4=+++
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Área = 2lll =⋅
22 25555 cm==⋅
l
l
Debe ser muy parecida a la
del rectángulo
Área = a·ba
b
5 cm
5 cm
E J E MP L O
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Perímetro = l + l + l + l = 4·l
l
l
3 cm
3 cm
4·3 = 12 cm
E J E M P L O
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áreaárea perímetroperímetro
Lado mayor por lado menor
Suma de los lados
RECTÁNGULO
ba ⋅ ba 22 +
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Área = a · b
21535 cm=⋅
b
a
Si los lados fuesen iguales valdría para
el cuadrado
Área = a·ba
b
3 cm
5 cm
E J E MP L O
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Perímetro = a + b + a + b = 2·a + 2·b = 2·(a+b)
b
a
3 cm
5 cm
2·(5+3) = 16 cm
E J E M P L O
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áreaárea perímetroperímetro
Diagonal mayor por diagonal menor partido por dos
Suma de los lados
ROMBO
2
dD ⋅ lllll 4=+++
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E J E M P L O
Área = 2
dD ⋅
2202
58cm=⋅
D
d
8 cm
5 cm
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E J E M P L O
Perímetro = l + l + l + l = 4·l
4·3 = 12 cm
l
l
3 cm
3 cm
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áreaárea perímetroperímetro
Semisuma de las bases por la altura
Suma de los lados
TRAPECIO
hbb ⋅+
221
dcba +++
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E J E MP L O
Si las bases fuesen iguales tendríamos
un rectángulo
Área = a·ba
b
h
alturaaltura
b1
b2
basesbases
5 cm
3 cm
2 cm
Área =( )
hbb ⋅+
221
( ) 2822
35cm=⋅+
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E J E M P L O
Perímetro = b1 + c + b2 + a
7+3+5+4 = 19 cm
a
b2
b1
c4 cm
5 cm
7 cm
3 cm
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círculocírculo circunferenciacircunferencia
π (pi) por el radio al
cuadrado
Un balón de playa
Será un circulo o será una circunferencia
Ni una cosa ni otra
Y entonces ¿qué es?
Como es posible que no sepa lo que es una esfera
Diámetro por π π≅3,14159...
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
2r⋅π r⋅⋅π2
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E J E M P L O
Área = 2r⋅π
r
10 cm
22 159,31410 cm≅⋅π
Siempre es un valor aproximado
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E J E M P L O
longitud = r⋅⋅π2
r
5 cm
cm4159,3152 ≅⋅⋅π
Siempre es un valor aproximado
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DEFINICIÓN• POLIEDROS:
Es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por cuatro o más regiones poligonales. Las regiones poligonales que limitan al poliedro se laman caras del poliedro, los lados de estos reciben el nombre de aristas y concurren a un punto llamado vértice.
• EJEMPLOS:
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¿Existe relación entre el número de caras, vértices y aristas de cada uno?
En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación:
n°caras+n°vértices=n°aristas+2
Esta relación es llamada el
TEOREMA DE EULER
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CONVEXO Y CÓNCAVO
CONVEXO CÓNCAVO
Todas sus caras se pueden “apoyar” en el
plano
No todas sus caras se pueden “apoyar” en el
plano
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ACTIVIDAD 1
1) Sabiendo que el número de vértices de un prisma es 20 y el número de aristas es 30, ¿cuántas caras tiene?
2) El número de vértices de una pirámide es 11 y el número de aristas 20, ¿cuántas caras tiene?
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3) Determina la veracidad de las siguientes proposiciones. Justifica tus respuestas.
a.- Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de aristas.
b.- Un poliedro puede tener el mismo número de caras y de aristas.
c.- Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de caras
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ÁREA PRISMALa figura área plana con la que podemos construir el prisma (red) es lo que corresponde a el área de ese prima
En el caso particular de los prismas el área total está formada por rectángulos (corresponden a las caras laterales) y por los polígonos que forman las bases.
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VOLÚMEN PRISMATodos estos cuerpos tienen la misma altura y sus bases tienen igual área, sin embargo, sus inclinaciones son distintas. Según el principio de Cavalieri: como las áreas transversales son iguales, los volúmenes también lo son, por lo tanto, resulta fácil calcular el volumen, ya que basta con determinar solo el del paralelepípedo correspondiente.
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ÁREA TOTAL PRISMA• Es igual a la suma de las áreas de cada una de sus caras
laterales y basales, es decir:
VOLÚMEN PRISMA
basaláreaAlateraláreaAtotaláreaA
donde
AAA
BLT
BLT
:; :; :
2+=
alturahybasaláreaA
donde
hAV
B
B
: :
⋅=
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ACTIVIDAD 21) Calcula el área de los siguientes prismas:
2) Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm.
3) Calcula el volumen de un prisma triangular regular de arista 10 cm y altura 6 cm
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ÁREA PIRÁMIDE
Al igual que el área de un prisma, éste corresponde a la suma de todas las áreas de los polígonos que la componen.
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VOLÚMEN PIRÁMIDEObserva la figura:
El prisma triangular fue descompuesto en tres pirámides regulares.Las tres pirámides tienen el mismo volumen, por lo tanto, el volumen de una pirámide corresponde a un tercio del prima que le corresponde.
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• Una pirámide regular tiene todas sus aristas de igual medida
• Si la base de una pirámide tiene n lados, entonces el número de caras es n+1
alturahybasaláreaA
donde
hAVV
B
Bprisma
: :
3
1
3
1 ⋅==
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ACTIVIDAD 31) Calcula en cada caso el volumen del prisma y el de la pirámide. Comprueba la relación existente entre dichos volúmenes.
2) Determina el área total de las siguientes pirámides:
a)Calcula el área lateral y el área total de una pirámide hexagonal de 30 cm de arista lateral y 12 cm de arista de la base. b)Calcula el área lateral y el área total de una pirámide pentagonal de 15 cm de arista lateral y 24 cm de arista de la base. La apotema de la base mide 16,52 cm.
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CUERPOS REDONDOS O SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
• CILINDRO: Las secciones definidas por el plano transversal tienen igual área, por lo tanto, tenemos que el área de las bases es equivalente, además:
Área: Volumen:
( ) 222 2 rHrAA LB ππ +=+⋅
cilindro altura : donde HrπHA 2B H⋅⋅=⋅
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• CONO
Área: Volumen: Al igual que entre los prismas y las pirámides,
existe la misma relación entre el cilindro y el cono.
( ) generatriz:g donde rgr +⋅⋅π
cono altura : donde Hrπ3
1HA
3
1 2B H⋅⋅⋅=⋅⋅
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• ESFERA: Se puede obtener a partir de la rotación de una semicircunferencia sobre un eje.
Área: Volumen:
3
3
4r⋅⋅π
24 r⋅⋅π
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ACTIVIDAD 41) ¿Cuál es el área total de un tubo de
acero con forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y su largo 2 mt?
2) ¿Cuántos de pintura se necesitan para pintar 100 de estos tubos? (1 lt de pintura rinda aproximadamente 3 ).
3) ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro para que su área lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales?
4) Se construyó un pozo como el de la figura. Si la altura es de 120 cm, el grosor es de 40 cm y el hueco mide 1 mt, ¿cuál es el volumen del pozo?
3cm
2m
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5) Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm
6) Calcula el volumen y el área de una esfera de 6 cm de radio
7) Una esfera está inscrita en un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son tangentes a la esfera. Calcula el volumen de la esfera y el área de la superficie esférica.