unidad iii: generacion de numeros aleatorios (simulaciÓn)
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Las variables aleatorias son aquellas que tiene un
comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el
número de clientes que llegan cada hora a un banco depende
del momento del día, del día de la semana y de otros factores.
La generación de variables
aleatorias o estocásticas significa
la obtención de variables que
siguen una distribución de
probabilidad determinada.
Requiere de dos etapas:
Generar números aleatorios
distribuidos uniformemente
(R)
Generar con R y con las
distribuciones de
probabilidad las variables
aleatorias o estocásticas.
La generación de estadísticas simuladas, o sea de los valores de las
variables aleatorias, tienen una naturaleza enteramente numérica y debe
soportarse por números aleatorios, generados por algún método
Una secuencia de números aleatorios R1, R2,... debe tener dosimportantes propiedades estadísticas: uniformidad e independencia.
Cada número aleatorio Ri es una muestra independiente tomada de unadistribución continua uniforme entre cero y uno. Esto es, la función dedensidad de probabilidad es:
Si el intervalo (0, 1) es dividido enn clases, o sub-intervalos delongitudes iguales, el númeroesperado de observaciones encada intervalo es N/n, donde N esel número total de observaciones. La probabilidad de observar un
valor en un intervalo en
particular es independiente de
los valores previamente
observados.
Entidad que puede tomar un valor cualesquiera
durante la duración de un proceso dado.
Discreta
Continua
independiente
Una variable aleatoria discreta puede tomar valores numéricos
específicos, como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de
dólares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias
discretas sólo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les
llama variables aleatorias finitas.
Existen diversos métodos para generar variablesaleatorias discretas:
1. Transformada Inversa
2. De aceptación-rechazo, o método de rechazo.
3. De composición.
4. Métodos mejorados según la distribución.
Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un
conjunto numerable de valores.
Ejemplos: El número de libros en una biblioteca, el número de
habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae
en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de
admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes
automovilísticos en una carretera durante un año, etc.
Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido
entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número
de valores y éstos se pueden medir.
Existen varios métodos paragenerar variables aleatoriassiendo los más importantes:transformada inversa, convolucióny aceptación-rechazo. Medianteestos métodos es posible generarvariables aleatorias discretas(binomial, poisson, etc.) ycontinuas (uniforme, exponencial,normal, etc.).
El método de aceptación y rechazo no es un
método directo y puede ser útil cuando alguno de
los métodos directos no es eficiente debido a que
no sea posible conocer la función de distribución
como es el caso de la distribución normal.
Consiste en generar un valor de la variable
aleatoria e inmediatamente probar que dicho valor
simulado proviene de la distribución de
probabilidad que se está analizando.
Generar dos números uniformes U(0,1)llamados U1 y U2.
Determinar el valor de la variable aleatoria Xde acuerdo a la siguiente relación lineal deU1:
Evaluar la función de probabilidad en X =a+(b-a)U1.
Determinar si la siguiente desigualdad secumple:
Se utiliza a X = a+(b-a)U1 si la respuesta esafirmativa como un valor simulado de lavariable aleatoria. De lo contrario, esnecesario regresar nuevamente al paso 1tantas veces como sea necesario.
El método consiste en:
Definir la función de Densidad f(x) que
representa la variable a modelar.
Calcular la función acumulada f(x).
Despejar la variable aleatoria x y obtener la
función acumulada inversa f(x)-1.
Generar las variables aleatorias x, sustituyendo
valores con números pdeudoaleatorios ri ~U
(0,1) en la función acumulada inversa.
EJEMPLO:
El método de convolución asume que
existen Y1, Y2,…, Ym variables
aleatorias, tal que la suma de todas
ellas tiene la misma distribución que
X, entonces se calcula:
1. Genere Y1, Y2, …, Ym variables
aleatorias IID cada una con función
de distribución G.
2. Aplique X = Y1 + Y2 +… Ym.
La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables
aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones
de las variables originales. El método de convolución es entonces la suma
de dos o más variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con
la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener
variables con distribuciones Erlang y binomiales.
La suma de un gran número de variables de determinadadistribución tiene una distribución normal. Este hecho es usadopara generar variables normales a partir de la suma denúmeros U (0,1) adecuados.
Una variable Pascal es la suma de m geométricas.
La suma de dos uniformes tiene una densidad triangular.
Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.
Una variable Binomial de parámetros n y p es lasuma de n variable Bernoulli con probabilidad deéxito p.
La chi-cuadrado con v grados de libertad es la sumade cuadrados de v normales N (0,1).
Mediante este método la distribución de probabilidad F(x) se expresa
como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad F(x)
seleccionadas adecuadamente.
El procedimiento para la selección de las F(x) se basa en el objetivo se
minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de
valores de la variable aleatoria analizada.
1. Dividir la distribución de
probabilidad original en sub-áreas, tal
como se muestra en la figura
2. Definir la distribución de
probabilidad para cada sub-
área.
3.- Expresar la distribución deprobabilidad original en la formasiguiente:
F(x)=A1F1(x) + A2F2(x) +…AnFn(x) y ∑Ai = 1
4.- Obtener la distribución
acumulada de las áreas:
5. Generar dos números uniformes R1, R2
6. Seleccionar la distribución deprobabilidad F(x) con la cual se vasimular el valor de x. La selección de estadistribución se obtiene al aplicar elmétodo de la transformada inversa, en lacuel el eje Y está representado por ladistribución acumulada de las areas, y eleje X por las distribuciones F(x). Paraesta selección se utiliza el numerouniforme R1.
7. Utilizar el numero uniforme R2 parasimular por el método de la transformadainversa o algún otro procedimiento especial,números al azar que sigan la distribución deprobabilidad F(x) seleccionada en el pasoanterior.
Existen algunas distribuciones como la distribucion
erlang, la distribucion normal, etc., cuya simulacion
a través del metodo de la transformada inversa
sería demasiado compliacado. Para estas y algunas
otras distribuciones, es posible utilizar algunas de
sus propiedades para facilicitar y agilizar el proceso
de generación de numeros al azar.
Muchas variables aleatorias discretas corresponden a conteos de
objetos con una característica, relativamente rara, dentro de un conjunto
grande de objetos: átomos de un isótopo, moléculas de un elemento
químico, bacterias, virus, individuos que poseen un gen especial... Con
frecuencia se emplea una ley de Poisson como modelo para estos
conteos. Una variable aleatorio sigue una ley de Poisson de parámetro
si ella toma sus valores en y si para todo :
Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos
en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con
una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un
experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo
son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una
probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1
- p.
En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, deforma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de undeterminado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, dehecho, en una distribución de Bernoulli.
En la construcción del modelo de simulación es importante
decidir si un conjunto de datos se ajusta apropiadamente a
una distribución específica de probabilidad. Al probar
la bondad del ajuste de un conjunto de datos, se comparan
las frecuencias observadas FO realmente en cada
categoría o intervalo de clase con las frecuencias
esperadas teóricamente FE.
Es una rama de la estadística las pruebas y modelos estadísticos cuya
distribución subyacente no se ajuste a los llamados criterios
paramétricos. Las pruebas paramétricas no asumen ningún parámetro
de distribución de las variables muéstrales. Las pruebas paramétricas
asumen los parámetros de las variable (media y varianza) y un tipo de
distribución normal.
Es la prueba estadística de elección
cuando la prueba de Chi-cuadrada no
puede ser empleada por tamaño
muestral insufiente.
Se basa en la hipótesis nula (Ho) de que no hay diferencias
significativas entre la distribución muestral y la teoría.
Mientras que la hipótesis alternativa (H1), siempre se
enuncia como que los datos no siguen la distribución
supuesta.
Esta definido como la sumatoria delos residuos expresados en términosde las frecuencias esperadas paracada una de las clases.
Interpretación. Cuanto mayor sea elvalor de , menos verosímil es que lahipótesis Ho sea correcto.
Si = 0. La frecuencia teórica yobservada concuerda exactamente.
Si > 0. Mientras mayor es ladiferencia mayor es la discrepancia.
En la practica: si Ho = 0 no existediferencia significativa es ladistribución de la frecuenciaobservada y la distribución teóricaespecíficamente los mismosparámetros.
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