UNIDAD III DESCRIPTORES NUMÉRICOS

Hasta ahora, para describir un conjunto de datos, se han empleado tablas y gráficos. Estos son útiles para dar rápidamente una visión general del comportamiento de los valores que asume una variable; así, en el caso de variables categóricas, los diagramas son suficientes para dar una descripción completa de las mismas.

Sin embargo, para describir el comportamiento de variables cuantitativas se requiere de una mayor precisión que la que puede proporcionar un gráfico.

• Medidas de tendencia central• Medidas de posición y• Medidas de dispersión

Cuando describimos conjuntos de datos numéricos nos refiere a dos aspectos, cada uno de los cuales se puede traducir en una pregunta:

• ¿Existe algún valor de la variable que represente a la mayoría de los valores del conjunto de datos?

• ¿Qué tan separados están entre sí los diferentes valores que asume la variable respecto al valor de la variable que representa a los datos?

Media aritmética para serie simple Definición: Si x1,...., xn son los valores observados de una variable X , la media aritmética o simplemente media o promedio de estos datos se define como el cociente de la suma de todos los valores observados entre el número de datos o tamaño de la muestra. Su expresión matemática es:

• Ejemplo 1: Los siguientes datos corresponden a las notas de 5 estudiantes en el curso de Estadística: 12, 15, 11, 09, 13. Encontraremos el valor de la media aritmética.

• Solución: • La nota promedio del curso es

• Ejemplo 2: Como parte de una tarea de laboratorio de nutrición, 15 estudiantes de tercer año de la Escuela Académico profesional de Nutrición de la UES matriculados el año académico 2004, encontraron el número de calorías (X ) de una porción de lasagña y obtuvieron los siguientes valores:

29 35 47 18 22 30 51 62 15 42 46 53 16 27 33• Solución:

Media aritmética ponderada Nos permite calcular un promedio tomando en

cuenta la importancia o peso de cada valor observado de la variable con respecto al total. Su expresión matemática es:

donde i w , es la importancia o peso que se asigna a cada valor de la variable.

Ejemplo 2: Supongamos que un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener los promedios finales de cada uno de los estudiantes que asisten al curso de Estadística. El promedio de trabajos tendrá un valor de 20% de la calificación del estudiante; el examen parcial, 25%; el examen final, 35%; y el promedio de prácticas, 20%.

• Un estudiante obtuvo las siguientes notas: 17,10,14 y17 respectivamente.

• A partir de los datos calcularemos el promedio final del estudiante

Por lo tanto el promedio ponderado es 14.9 puntos

Media aritmética para datos agrupados Cuando la cantidad de datos es igual o mayor

a 30 es necesario agruparlos en tablas de distribuciones de frecuencias y para calcular la media aritmética se utiliza la siguiente expresión:

Donde xi es el punto medio o la marca de clase y fi la frecuencia absoluta

Ejemplo: Los alumnos del Doctorado en Educación en el marco del curso de Estadística Aplicada a la Investigación, realizaron una investigación con el objetivo de establecer el perfil de los estudiantes de maestría de la UES matriculados en el semestre académico I-2000 y que ingresaron a la universidad entre los años 1997 y 1999. Como el número total de estudiantes que cursaban las diversas maestrías era alrededor de 2,500, los alumnos del doctorado en Educación decidieron seleccionar una muestra de 30 estudiantes de la maestría en Gestión Educativa.

A continuación se presentan los datos para la variable número de hijos de los 30 maestristas. Encontraremos el número promedio de hijos.

X(Numero de hijos) Fa( frecuencia absoluta)0 21 112 113 04 35 3

Total 30

Ejemplo: Los datos de los pesos de 50 personas se presenta en la tabla de frecuencias a continuación calcular el peso promedio

PESOS Frec. Abs. Xi

80<89 2 84.5

90<99 3 94.5

100<109 9 104.5

110<119 13 114.5

120<129 13 124.5

130<139 7 134.5

140<149 3 144.5

TOTAL 50

Ejemplo: En la siguiente tabla se presentan 42 muestras de azúcar en sangre realizada en 42 pacientes, calcular el promedio del nivel de azúcar.

NIVEL DE AZUCAR Frec. Abs. Xi

4.00<4.87 2

4.88<5.75 7

5.76<6.63 12

6.64<7.51 5

7.52<8.39 13

8.40<9.27 3

TOTAL 42

Propiedades de la media aritmética

• Propiedad 1. La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a la media aritmética es igual a cero. Expresado matemáticamente, tendremos:

• Propiedad 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de todos los valores con respecto a la media es mínima. Cuya expresión matemática es:

• Propiedad 3. Dados k conjuntos de datos con sus medias X1, X2, . . . , X k y con n1 ,n2 , . . ., nk observaciones, respectivamente, la media global de todos los datos se obtiene mediante la media ponderada, cuya expresión matemática es:

• Propiedad 4. La media aritmética de una constante por una variable, es igual al producto de la constante por la media aritmética de la variable. Esto es, si yi = Cxi i = 1,...,n, entonces Y = C X

• Ejemplo:

• Propiedad 5. Si a cada elemento de la muestra se le suma una constate , la nueva media es igual a la media de la variable más la constante. Esto es, si yi = xi + C i = 1,...,n entonces Y = X +C

• Ejemplo:

• Ejemplo: Como parte de una tarea de laboratorio de nutrición, 15 estudiantes de tercer año de la Escuela Académico Profesional de Nutrición de la UES matriculados el año académico 2004, encontraron el número de calorías (X ) de una porción de lasagña y obtuvieron los siguientes valores:

29 35 47 18 22 30 51 62 15 42 46 53 16 27 33 • a) Encontraremos la media aritmética del número de

calorías.• b) Al acabar el trabajo, los estudiantes se informaron que el instrumento de medición que usaron estaba mal calibrado y marcó en cada caso 300 calorías por debajo de su valor.

• Encontraremos la media aritmética de los nuevos valores de calorías.

• b) Sumamos a todas las observaciones de la variable X la constante C = 300 calorías, y los nuevos valores de calorías (Y ) es como sigue:

• 335 347 318 322 330 351 362 315 342 346 353 316 327 333

• El cálculo de la media aritmética de los nuevos valores de calorías se podrá simplificar aplicando la propiedad 5, esto es:

Mediana• Definición Dado x1,....,xn observaciones de la variable X,

una vez ordenadas las observaciones en forma creciente, la mediana es el valor o punto medio que supera al 50 por ciento de los valores observados de la variable y es superado por el restante 50 por ciento. La forma de obtener el valor de la mediana depende del número de observaciones.

• Pasos para determinar la mediana:1. Ordenar los datos de menor a mayor2. Si n es impar la mediana es el valor de la

variable que ocupa la posición i=(n+1)/2 de las observaciones ordenadas.

3. Si n es par la mediana es el promedio entre los valores de la variable que ocupa la posición i=(n+1)/2 de las observaciones ordenadas.

• Ejemplos:• Si la muestra es de tamaño impar, como por

ejemplo: 13 11 19 20 18 21 23

• Si el tamaño de la muestra es par, como por ejemplo: 10 16 4 9 13 17 la mediana es el promedio entre

• Datos agrupados en intervalos de clase y presentados en tabla de frecuencias Si los datos están en una distribución de frecuencias, para calcular la mediana se seguirán los siguientes pasos:

• 1) Encontrar las frecuencias absolutas acumuladas• 2) Encontrar n/2• 3) En la columna de las frecuencias absolutas

acumuladas, ubicar n/2 • 4) Determinar la clase mediana y encontrar el

valor de la mediana de acuerdo con la fórmula siguiente:

• Donde Li: es el limite inferior de la clase mediana

• Faa es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana

• Fi es la frecuencia absoluta de la clase mediana

• C es el ancho de clases

Paso 4. Los datos de los pesos de 50 personas se presenta en la tabla de frecuencias a continuación calcular el peso promedio

PESOS Frec. Abs. Faa

80<89 2 2

90<99 3 5

100<109 9 14

110<119 13 27

120<129 13 40

130<139 7 47

140<149 3 50

TOTAL 50

Moda• Definición: La moda es el valor de la variable

que se repite con mayor frecuencia.• Se expresa como: Mo• Ejemplo: Obtengamos la moda para los

siguientes conjuntos de datos:• a) 10 11 11 12 13 09 15• b) 10 11 12 13 09 15• c) 11 11 11 12 12 12 05 04

• Cuando todas las puntuaciones de un conjunto de datos tienen la misma frecuencia, éste no tiene moda. También existen situaciones donde se tiene más de una moda, en tal caso diremos que la distribución de frecuencias es bimodal, trimodal, o multimodal.

Moda para datos agrupados• Para identificar el valor de la moda debe observarse la

columna de las frecuencias absolutas y seleccionar la mayor de ellas.

Luego utilizamos la fórmula siguiente:Mo=Li+ [a/(a+b)]C

Donde a=fi-fi-1, b=fi-fi+1

fi: frecuencia absoluta de la clase modal fi-1: frecuencia absoluta anterior a la clase modal fi+1: frecuencia absoluta posterior a la clase modal

Ejemplo: Las cifras de sobrepeso, en kilogramos, de 42 ejecutivos que han ingresado a un programa de dieta, se dan en el cuadro a continuación: calcule la media, la mediana y la moda

Clases (kg) fa ó fi Fi Xi0<6 4

6<12 1012<18 1818<24 724<30 3Total 42

GRACIAS POR SU ATENCIÓN