unidad ii calculo diferencial -...
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II. DIFERENCIAL
II.1. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
II.1.1. NOCION INTUITIVA DE LIMITE
II.1.2. DEFINICION DE LIMITE
II.1.3. ALGEBRA DE LIMITES
II.1.4. LIMITES LATERALES
II.1.5. LIMITES AL INFINITO E INDETERMINADOS
II.1.6. CONTINUIDAD
II.1.7. TIPOS DE DISCONTINUIDAD
II.2. DERIVADAS
II.2.1. CURVAS SUAVES
II.2.2. DEFINICION DE DERIVADA
II.2.3. ALGEBRA DE DERIVADAS POLINOMICAS
II.2.4. DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS
II.2.5. OTRAS REGLAS DE DERIVADA
II.2.6. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
II.2.7. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO
II.2.8. DERIVADAS DE OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
II.3. APLICACIONES
II.3.1. MAXIMOS Y MINIMOS
II.3.2. GRAFICA DE FUNCIONES
II.3.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
II.3.4. APROXIMACION AFIN
132
II CALCULO DIFERENCIAL
En esta unidad revisaremos sistemáticamente los conceptos fundamentales del cálculo
diferencial de funciones reales y su aplicabilidad, especialmente en lo relacionado a la
gráfica de curvas.
El cálculo diferencial es una herramienta matemática que se formalizó con los estudios de
Newton y Leibniz alrededor de 1700. Sus orígenes se encuentran muy ligados a
aplicaciones físicas, especialmente de la mecánica y cinemática, en especial al movimiento
de partículas, descripción de la trayectoria de cuerpos en caída libre, mecánica celeste, etc.
Posteriormente, los conceptos introducidos desde la física a la matemática, fueron
generalizados y se les encontró un sinnúmero de aplicaciones en áreas tan diversas como la
economía, biología, química, etc.
La esencia del cálculo diferencial descansa en encontrar las propiedades gráficas de curvas
asociadas a funciones con aspecto "suave", esto que no presentan cambios bruscos.
Procesos como la degradación de material radioactivo, difusión de soluciones,
desplazamiento de cuerpos, comportamiento de la producción, crecimiento de una
población, entre otras, normalmente se pueden describir por medio del uso de funciones
con una característica de este tipo.
Para encontrar estas propiedades de las curvas, en el cálculo diferencial se postula estudiar
lo que sucede en la cercanía de cada punto. Nace así el importante concepto de límites de
funciones reales, que lo estudiaremos con detención en el primer capítulo (LIMITES Y
CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES).
Establecida la noción de cercanía, es posible estudiar la suavidad de las curvas, lo que se
realiza con el concepto de DERIVADAS y es estudiado en el capítulo segundo.
Finalmente, los conceptos teóricos de esta unidad encuentran sus aplicaciones en la
búsqueda de máximos y mínimos de una función, la construcción de una gráfica sin
necesidad de construir laboriosas tablas de valores, la solución de problemas de
optimización y la aproximación lineal de curvas, todo lo cual será analizado en el tercer y
último capítulo de la unidad: APLICACIONES.
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II.1. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
En este capítulo se entregaran las bases conceptuales del cálculo diferencial. Es esencial por
parte del lector conocer la definición y terminología asociada a las funciones reales, el
sistema cartesiano y la evaluación de funciones.
Al finalizar el capítulo, se debe ser capaz de:
• Comprender los conceptos de límite y continuidad.
• Conocer las definiciones formales de límite y continuidad
• Determinar si un límite existe o no.
• Calcular límites de funciones reales, tanto polinómicas como especiales.
• Estimar comportamientos asintóticos de funciones.
• Determinar si una función es continua o no en un punto.
• Diferenciar tipos de discontinuidades.
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II.1.1. NOCION INTUITIVA DE LIMITE
Aún cuando el concepto de límite es básico en el cálculo diferencial de Newton y Leibniz,
su nacimiento se encuentra ligado al cálculo integral, objeto de estudio de la próxima
unidad. Los orígenes se remontan a tiempos de Eudoxo (400 a. C.) y Arquímedes (350 a.
C.) en el método de exhaución para medir áreas y volúmenes de figuras geométricas y que
dio la primera aproximación del número pi, π.
Como muchas de las siguientes ideas de las matemáticas que nos preocuparemos, el
concepto de límite, surge de la necesidad de realizar explicaciones de fenómenos físicos.
Para ilustrar de lo que estamos hablando, consideremos la diferencia entre velocidad media
y velocidad instantánea. Específicamente consideremos las especificaciones técnicas del
Tren Bólido de los franceses, el TGV 325. Este tren une París con Toulouse a una
velocidad media de 200 km / h, pero alcanza velocidades instantáneas superiores a los 450
km / h en algunos puntos del trayecto. De hecho, el 5 de diciembre de 1988, alcanzó la
velocidad histórica de 482,4 km/h en el kilómetro 166 de la vía. La mayor velocidad
alcanzada por un tren en el mundo. En estas afirmaciones, ¿hay alguna contradicción?.
La respuesta es que ninguna, en efecto, la velocidad media, se refiere a dividir la longitud
total de la vía por la cantidad de horas que se demora el tren en realizar el trayecto. Sin
embargo, esté parte del reposo, acelera, disminuye la velocidad, vuelve a acelerar, se
detiene, reanuda su camino, etc. Es decir, experimenta distintos cambios de velocidad a lo
largo de su trayecto. Si nos interesa conocer la velocidad que tiene el tren en un instante de
tiempo determinado tenemos que considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños,
por ejemplo no todo el trayecto sino un minuto, medir el trayecto recorrido en este intervalo
de tiempo y dividir distancia / por 1 minuto; posteriormente podemos considerar un
segundo, etc. Al considerar un intervalo de tiempo cada vez menor, pero que no puede
llegar a ser nada (cero), estamos midiendo la velocidad instantánea. Aquí surge el concepto
de límite.
Se entiende por límite a una cantidad constante a la que se aproxima otra variable sin llegar
nunca a alcanzarla, pero cuya diferencia con ella puede llegar a ser, en valor absoluto, tan
pequeña como se quiera.
EJEMPLO II.1.1.1.
A modo de ejemplo, para ilustrar el concepto de límite, consideremos la siguiente secuencia
de números reales:
135
1.
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
0.00000001
M
claramente esta secuencia de números se acerca más y más al número cero, aún cuando
jamás alcance esa cifra. En efecto, no es difícil percatarse que el término general de esta
secuencia de números reales es 1/10n, así tenemos la siguiente correspondencia:
Valor de n Número real asociado
0 1
1 0.1
2 0.01
3 0.001
4 0.0001
5 0.00001
6 0.000001
7 0.0000001
M M
Claramente entre más grande sea el valor de n, el número real asociado será más cercano a
cero, por ejemplo, para n = 20, el número asociado es 0.00000000000000000001 y para n =
30 es 0.000000000000000000000000000001 y para n = 100 es 0.0…(99 ceros)1. Sin
embargo, por muy grande que sea el valor de n y por lo tanto, por muy pequeño que sea el
valor del número real asociado, éste no será jamás el valor cero, sólo se acercará, o en
términos más matemáticos, el límite será cero.
Al lector interesado en seguir explotando estas ideas se lo remite a los excelentes textos de
Spivak, Thomas / Fineey o Apostol, citados en la bibliografía.
Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo diferencial, el de límite es el más
importante pues a partir de él se construyen los demás conceptos. Sin embargo, también es
el concepto más difícil de definir. La idea de aproximarse a un punto o a un valor tan
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cercano como se quiera y aún así nunca alcanzarlo no es aparentemente atractiva desde el
punto de vista intuitivo. Sin embargo, de hecho, conceptos del tipo de límite se utilizan
frecuentemente en razonamientos y conversaciones ajenas a la matemática.
Una función f tiende hacia el límite L cerca de xo, si se puede hacer que f(x) esté tan cerca
como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de xo, pero siendo distinto
de xo. Se dice que f tiene a L cuando x se acerca o tiende a xo.
EJEMPLO II.1.1.2.
Las tres gráficas siguientes son ejemplos de funciones que tienen como límite a L, cuando
x tiende a xo.
En la primera gráfica se tiene que el límite coincide con la imagen de la función en xo, en
cambio en la segunda, la función no tiene imagen en xo, por último, en la tercera gráfica,
el límite es distinto al valor de la imagen en xo.
En cualquiera de estos tres casos, el límite existe en xo y es igual al valor L. Sin embargo, el
primer caso es tan especial e importante que se dice que la función es continua (su gráfica
no tiene ni cortes, ni saltos en xo). Estas funciones son tan importantes que las estudiaremos
en una sección especialmente dedicadas a ellas.
Una analogía muy útil para ilustrar el concepto de límite consiste en imaginarse la situación
del tiro al blanco. El valor del límite L, lo consideramos como el blanco, xo, aquel ángulo
que permite al tirador acertar en el blanco, f(x) la trayectoria del tiro. Evidentemente, entre
más se acerque el tirador a xo en el dominio de la función f, más certero será su tiro.
137
A continuación vamos a revisar un ejemplo que nos ilustre sobre funciones que no cumplen
con tener un valor límite asociado a un punto determinado.
EJEMPLO II.1.1.3.
Las tres gráficas siguientes son ejemplos de funciones que no tienen como límite a L,
cuando x tiende a xo.
En el caso de la primera función presentada, el límite no existe, pues la función aún
cuando tiende a valores finitos por la derecha y la izquierda, estos son distintos entre sí. En
el segundo caso, acontece algo parecido, pues la función tiene un conportamiento asitótico
distinto a derecha e izquierda. Se dice que la primera función tiene una discontinuidad de
salto finito, en cambio la segunda función tiene una discontinuidad de salto infinito en xo.
Por último, la tercera función no tiende a L, cuando x tiene a xo, sino al valor f(xo).
Las notaciones universalmente utilizadas para representar que f tiene a L cuando x se
acerca a xo, son las siguientes:
LxfxxsiLxf
Lxflim
o
o
xx
o
xx
→
→
→→→
=
)(,)(
)(
EJEMPLO II.1.1.4.
Exprese en símbolos las siguientes proposiciones:
• 4x tiende a 8 cuando x tiende a 2: 842
=→
xlimx
• El límite de la función f(x) es 5 cuando x tiende a cero: 5)(0
=→
xflimx
• Cuando x se acerca a –1, f(x) tiende a 100: 100)(1
=−→
xflimx
EJEMPLO II.1.1.5.
Considere la función real f: ℝ → ℝ, f(x) = x2⋅ sen(1/x), esta función tiene como límite
cuando x tiende a cero, el valor L = 0. Al observar el gráfico de esta función en el intervalo
138
[-1, 1], se aprecia que en términos generales efectivamente la curva de f se acerca a al valor
cero del codominio.
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 -0.5 0 0.5 1
Si realizamos un primer acercamiento de la gráfica en el intervalo [-0.5, 0.5], se observa
que las oscilaciones que presenta gráfica en torno al cero, efectivamente disminuyen.
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Un nuevo acercamiento, esta vez en el intervalo [-0.1: 0.1] no muestra mayor claridad en la
evolución de las oscilaciones de la grafica en torno a cero.
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
Por último, si se gráfica la función en el intervalo [-0.01, 0.01], se observa la siguiente
situación que termina por confirmar que el límite de la función f(x) = x2⋅ sen(1/x) es cero,
cuando x tiende a cero.
-0.0001
-8e-005
-6e-005
-4e-005
-2e-005
0
2e-005
4e-005
6e-005
8e-005
0.0001
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01
139
EJEMPLO II.1.1.6.
En este ejemplo ilustraremos la apariencia correspondiente a una función que no tiene
límite en un punto determinado. Consideramos la función f: ℝ → ℝ, f(x) = sen(1/x). La
apariencia general de esta función en el intervalo [-1, 1] es la siguiente:
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
Al realizar un acercamiento al intervalo [-0.5, 0.5] se observa que en torno al cero existe un
comportamiento anomalo, efectivamente la frecuencia de las oscilaciones aumentan
produciendose la sensación de aglomeramiento observada en la grafica anterior, pero la
curva se acerca de distinta manera al cero por la izquierda de la curva con respecto a la
derecha e la curva.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Un último acercamiento, mostrando la gráfica en el intervalo [-0.1, 0.1] nos ilustra esta
situación con mayor claridad.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 De esta manera, se confirma que no existe el límite de f(x) = sen(1/x) cuando x se acerca al
cero.
140
ACTIVIDAD II.1.1.7.
1. Indique cual de las siguientes gráficas corresponden a una función que tenga a L como
límite cuando x tiende a xo.
Solución:
Sólo la función mostrada en b), representa una que tiene a L como límite cuando x se
acerca a xo.
2. Interprete en palabras los siguientes símbolos.
a) 00
=→
xlimx
b) 1010
=→
xlimx
c) 11
−=−→
xlimx
d) 5)(1
=−→
xflimx
Solución:
a) Límite cuando x tiende a cero de x es cero.
b) Límite de x, cuando x tiende a 10 es 10.
c) Límite de x, cuando x tiende a –1, es igual a –1
d) Límite de la función f(x), cuando x tiende a –1 es cinco.
3. Exprese en símbolos las siguientes proposiciones
a) El límite de la función g(x) es 10 cuando x ce acerca a 0.
b) F(x) tiende a 5, cuando x se acerca a cero.
c) Si x tiende a 10, entonces f(x) tiende a cero.
Solución:
a) 10)(0
=→
xglimx
b) 5)(0
=→
xFlimx
c) 0)(10
=→
xflimx
141
RESUMEN
En la presente sección se revisa el concepto intuitivo de límite, como idea de cercanía.
Comprender esta importante idea es paso previo para poder definir formalmente el
concepto de límite de una función en un punto particular. El concepto de límite será la
piedra angular utilizada para construir el concepto de derivada de una función, a partir del
cual gira todo el cálculo diferencial.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Todas las funciones reales tienen un valor límite para cada uno de los elementos de su
dominio.
2. Si una función tiene límite en un punto xo, entonces es invertible.
3. La función f(x) = 1 / x no tiene límite cuando x se acerca a cero.
4. La función f(x) = x, tiene límite para cada valor de x.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
3. Verdadero.
4. Verdadero.
GLOSARIO
Codominio: Conjunto de llegada de una función.
Constante: Número real que no modifica su valor en función de cambios de parámetros.
Discontinuidad: Propiedad de una curva, que establece el corte de ella.
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada preimagen a lo sumo una única imagen.
Función Real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Gráfica: Representación en el plano de una función.
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Imagen: Elemento del codominio de una función que se encuentra asociado a un elemento
particular del dominio.
Proposición: Expresión de la cual se puede determinar sin ambigüedad si es verdadera o
falsa.
Valor absoluto: distancia de un número real al cero. El número sin signo.
Variable: Número real que modifica su valor de acuerdo a cambios de parámetros.
Límite: Valor del codominio de una función que representa la tendencia de las imágenes
vecinas de la función.
Número Real: Número natural, entero, racional o irracoional.
SIMBOLOS
f(x) : función f con variable x.
π : Número irracional pi, 3.141596…
= : Igual que.
Lxflimoxx
=→
)( : Límite de F cuando x tiende a xo es L
ℝ : Conjunto de los números reales.
⊆ : Subconjunto.
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II.1.2. DEFINICION DE LIMITE
En la presente sección, vamos a definir formalmente el concepto de límite. Como el límite
de una función real involucra el concepto de cercanía, implícitamente la definición debe
contemplar distancias de números, la que se mide en términos del valor absoluto de
números reales.
DEFINICION: La función f tiende hacia al límite L en xo significa que para todo ε > 0
existe algún δ > 0 tal que, para todo x, si 0 < |x – xo| < δ, entonces |f(x) – L| < ε. Lo que se
denota por
Lxflimoxx
=→
)(
Lo que escrito en la simbología aprendida en el curso anterior se expresa por medio de:
(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε))
Tal como lo señala Spivak en su libro, esta definición es tan importante que no es posible
continuar sin que se la aprenda de memoria y la comprenda. Su uso para realizar
demostraciones es casi mecánico y sólo se reduce a un trabajo algebraico después de
formularla.
EJEMPLO II.1.2.1.
Aplicando la definición de límite muestre que efectivamente se cumple que el límite de la
función f(x) = (2x2 – x – 3) / (x + 1) es –5 cuando x tiende a –1. Esto es, que
51
32 2
1−=
+−−
−→ xxxlim
x
En efecto, dado ε > 0, consideremos δ = ε / 2, se tiene entonces: |x + 1| < δ ⇒ |x + 1| < ε
/ 2. Lo que queremos es construir a partir de esta relación, la definición de límite para esta
función f(x), el punto xo = - 1 y el valor de límite L = - 5, esto es
(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – (-1)| < δ ⇒ |f(x) – (-5)| < ε))
Esto se logra sólo en base a un arreglo algebraico, que aunque parece artificioso, es en
realidad muy simple:
|x + 1| < δ ⇒ |x + 1| < ε / 2
⇒ 2|x + 1| < ε
⇒ 2)1(
)1( 2
++
xx < ε
⇒ 21
122
+++
xxx < ε
144
⇒ 1
242 2
+++
xxx < ε
⇒ 1
5532 2
+++−−
xxxx < ε
⇒ 51
32 2
++
−−x
xx < ε
Así, (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – (-1)| < δ ⇒ |f(x) – (-5)| < ε)) lo que demuestra que
efectivamente se tiene
51
32 2
1−=
+−−
−→ xxxlim
x
El lector debe advertir que todo el truco consiste en expresar la relación a la cual se desea
llegar utilizando la definición de límite y después retroceder por medio de identidades
algebraicas hasta llegar a las expresiones iniciales.
Si lo que se quiere es afirmar que la función f no tiende hacia L en xo, se debe negar
correctamente la definición anterior:
Si no es verdad que para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que, para todo x, si 0 < |x – xo| <
δ, entonces |f(x) – L| < ε; entonces e cumple que: Existe un ε > 0 tal que para todo δ > 0
existe algún x, para el cual se cumple que 0 < |x – xo| < δ, pero no |f(x) – L| < ε.
EJEMPLO II.1.2.2.
Consideremos la función f: ℝ → ℝ, f(x) = 1 / x. El límite de f(x) no existe cuando x tiende
a 0. En efecto, consideremos el caso de ε = 0.1, entonces para todo δ >0, se tiene que si 0 <
|x| < δ, entonces |1 / x | > 1 / δ ∧ |1 / x | > 0.1, siempre y cuando x < 10.
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
Prácticamente todas las evaluaciones de límites que realizaremos a continuación
descansaran al final en la evaluación del límite de la función identidad: f(x) = x; esto es,
nos interesa calcular el límite
145
xlimoxx→
Es tan importante la evaluación de este límite, que lo estableceremos como un teorema, aún
cuando es trivial percatarse de que el límite es el punto al cual tiende x, esto es (xo), por
tratarse de la función identidad.
TEOREMA
oxxxxlim
o
=→
Demostración:
Resulta claro que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – xo| < ε)).
EJEMPLO II.1.2.3.
Evalúe los siguientes límites:
00
=→
xlimx
1010
=→
xlimx
11
−=−→
xlimx
TEOREMA. Una función real f: ℝ → ℝ, no puede tender hacia dos límites diferentes en
xo. En otras palabras, si f tiende a L en xo y f tiende a M en xo, entonces L = M.
Demostración: Por hipótesis, se sabe que L y M son números reales tales que son límites
de f en xo, lo que aplicando la definición de límite significa que:
(∀ ε > 0)((∃ δL > 0)(0 < |x – xo| < δL ⇒ |f(x) – L| < ε))
y
(∀ ε > 0)((∃ δM > 0)(0 < |x – xo| < δM ⇒ |f(x) – M| < ε))
Si consideramos δ = min{δL, δM}, se tiene que
(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε ∧ |f(x) – M| < ε))
Supongamos, por reducción al absurdo, que L ≠ M, entonces 0 < |L – M| =|L – f(x) + f(x)
– M| ≤ |L – f(x)| + |f(x) – M| = |f(x) – L| + |f(x) – M| < ε + ε = 2ε, cada vez que 0 < |x – xo| <
δ. Como lo anterior es válido para todo ε > 0, en particular lo es para ε = |L – M| / 2, se
tiene así que
|L – M| < 2ε = |L – M|,
lo cual es una contradicción. Esta contradicción provino de suponer que L ≠ M, por lo
tanto, necesariamente la negación debe ser cierta, esto significa que L = M tal como se
146
quería demostrar. Tenemos así que el límite de una función real, cuando existe, debe ser
único.
ACTIVIDAD II.1.2.4.
1. Utilizando la definición de límite, demuestre que:
a) ( ) 9152
=−→
xlimx
b) ( ) 342
1−=−
→xlim
x
c) ( ) 033
=−→
xlimx
d) ( ) 615 2
1=+
→xlim
x
e) 2112
1=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
→ xxlim
x
Solución:
a) Queremos demostrar que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 2| < δ ⇒ |5x – 1 – 9| < ε)), o lo
que es equivalente: (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 2| < δ ⇒ 5|x – 2| < ε)).Ahora, si
consideramos δ = ε / 5, se tiene:
(∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε / 5)(0 < |x – 2| < δ ⇒ |5x – 1 – 9| = 5|x – 2|< 5 ⋅ ε/ 5 = ε))
b) Se quiere demostrar que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |x2 – 4 – 3| < ε)), o
equivalentemente, (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |x2 – 1| < ε)).
Se debe observar que se desea acotar |x2 – 1| = |x – 1| ⋅ |x + 1|. El primer factor |x – 1|, se
puede acotar por la hipótesis |x – 1| < δ, en cambio el segundo factor requiere de algú
trabajo extra, en este caso como |x – 1| < δ, se tiene que -δ < x – 1 < δ ⇒ 2 - δ < x + 1 <
δ + 2. Así |x + 1| < δ + 2, si |x – 1| < δ. Luego, basta escoger δ tal que δ(δ + 2) = ε,
entonces se tiene:
(∀ ε > 0)((∃ δ > 0), δ solución de la ecuación δ(δ +2) =ε)(0 < |x – 1| < δ ⇒
|x2 – 4 + 3| = |x – 1|⋅|x + 1| < δ(δ + 2) =ε)
c) (∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε)(0 < |x – 3| < δ ⇒ |x – 3| < ε))
d) Se quiere demostrar que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |5x2 + 1 – 6| = 5|x2 – 1| =
5|x – 1| ⋅ |x + 1| < ε)). Se tiene que si |x – 1| < δ, entonces -δ < x – 1 < δ ⇒ x + 1 < δ +
2, de donde; al considerar δ como solución de la ecuación 5δ(δ + 2) = ε, se tiene que:
(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |5x2 + 1 – 6| = 5|x2 – 1| = 5|x – 1| ⋅ |x + 1| < 5 δ(δ + 2)
= ε))
e) (∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |(x2 – 1) / (x – 1) - 2| = |x + 1 – 2| = |x – 1| =
δ < ε))
147
2. Determinar un número δ > 0, tal que se satisfaga la definición de límite, esto es que
|f(x) – L| < ε, para x tal que |x – xo| < δ, considerandos los valores ε, L y xo dados para
cada función f(x)
a) f(x) = 1 – 2x, xo = -1, L = 3, ε = 0.01
b) f(x) = 1 / x, xo = 2, L = ½, ε = 0.002
c) f(x) = (x – 1) / (x + 1), xo = 1, L = 1, ε = 0.01
Solución:
a) |1 – 2x – 3| = 2 ⋅ |x + 1 | < 2 δ = 0.01 ⇒ δ = 0.005
b) |1/x – ½| = |2 – x | / 2|x| = |x – 2| / 2|x| < δ / 2|x| = 0.002. Pero 0 < |x – 2| < δ ⇒ - δ < x –
2 < δ ⇒ 2 - δ < x. Así δ / 2 |x| < δ / 2(2 - δ) = 0.002 y δ es la solución de la ecuación
planteada.
c) | (x – 1) / (x + 1) – 1| = 2 / |x + 1| < 2 / (2 - δ ) = 0.005 ⇒ δ debe ser la solución de la
ecuación formulada.
EJERCICIOS II.1.2.8.
1. Verifique los siguientes límites, aplicando la definición.
a) 441
=→x
lim
b) 44
=→
xlimx
c) 83
2−=
−→xlim
x
d) ( ) 3323
=−→
xlimx
e) ( ) 5654 2
1=+−
→xxlim
x
2. Determinar un número δ > 0, tal que se satisfaga la definición de límite, esto es que
|f(x) – L| < ε, para x tal que |x – xo| < δ, considerandos los valores ε, L y xo dados para
cada función f(x)
a) f(x) = 2x + 3, xo = 1, L = 5, ε = 0.001
b) f(x) = (x2 – 9) / (x + 3), xo = -3, L = -6, ε = 0.01
c) f(x) = x2, xo = 1, L = 1, ε = 0.01
RESPUESTAS
1.
a) δ puede ser cualquier número real mayor que cero
b) δ = ε
c) δ satisface la ecuación δ((δ + 2)2 + 2δ) = ε
d) δ = ε / 2
e) δ satisface la ecuación δ(4(1+ δ) –1) = ε
148
2.
a) δ = 0.0006
b) δ = 0.398
c) δ = ( 101 -10) / 10
RESUMEN
En esta sección se establece la definición formal del límite de una función real, evaluándose
algunos límites básicos como es el caso del límite de la función identidad. Se establece un
criterio para determinar cuando un valor L no es el límite de una función f(x) y se termina
la sección presentando el importante teorema de unicidad del límite, esto es que una
función real puede tener a lo más un único límite en un punto xo (si el límite existe,
entonces debe ser único).
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. El límite de una función puede no ser único.
2. La definición de límite postula encontrar valores de la imagen de la función cercanos a
L, en la medida que las preimagenes respectivas se acercan al punto xo.
3. La función f(x) = 1/ x no tiene límite en 0.
4. La función f(x) = x, tiene como límite cuando x tiende a x0, el valor xo.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
4. Verdadero.
GLOSARIO
Identidad Algebraica: Igualdad entre expresiones algebraicas, que corresponde a una
tautología.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función identidad: Función que relaciona un elemento consigo mismo.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los reales.
149
Hipótesis: Proposición que se asume como verdadera. Estipula las condiciones en que es
válido un teorema o afirmación.
Límite: Elemento del codominio de una función al cual se acercan los valores de la imagen
de una función, cuyas preimagenes se acercan al mismo tiempo a un valor en el dominio.
Número Real: Número natural, entero, racional o irracional.
Reducción al absurdo: Proceso de racionamiento que consiste en suponer que es cierto la
negación de lo que se quiere demostrar, hasta forzar un absurdo. Esto implica que la
afirmación de lo que se quiere demostrar es cierta.
Teorema: Proposición que debe ser demostrada.
Valor absoluto: Distancia de un número al cero. El número sin signo.
SIMBOLOS
f(x) : función f con variable x.
< : Menor que.
≤ : Menor o igual que.
= : Igual que.
Lxflimoxx
=→
)( : Límite de F cuando x tiende a xo es L
ℝ : Conjunto de los números reales.
⇒ : Implica.
ε : Epsilón.
δ : Delta.
150
|x| : Valor absoluto de x.
∀ : Para todo.
∃ : Existe.
≠ : Distinto que.
∧ : Y.
151
II.1.3. ALGEBRA DE LIMITES
Debido a lo complejo de la definición, no es posible estar utilizando la definición de límite
cada vez que queremos calcular uno. Afortunadamente existen varios teoremas nos
facilitaran la evaluación y que se conocen como el álgebra de límites. Estos teoremas
establecen que el límite es invariante ante la suma, diferencia, producto y cuociente de
funciones, siempre y cuando los límites individuales existan. De esta manera,
estableceremos que para calcular el límite de la mayoría de las funciones reales, sólo se
debe reemplazar en la función como preimagén el valor xo al cual tienden los valores de x
en el dominio.
El primer teorema que estudiaremos tiene relación con las funciones constantes, es decir
aquellas que asocian a todo número real una misma imagen.
TEOREMA. Sea f: ℝ → ℝ una función constante, esto es f(x) = c, para alguna constante c
en ℝ. Entonces
cclimxflimoo xxxx
==→→
)(
Es decir, el límite de una función real constante, tendiendo a cualquier valor del dominio,
es igual a la constante.
Demostración: Es claro que ε > 0, así se puede afirmar que: (∀ε > 0)(|f(x) – c| = |c – c| = 0
< ε), de donde se cumple la definición de límite:
(∀ε > 0)((∃ δ >0)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – c| < ε))
donde δ puede ser cualquier valor real positivo.
EJEMPLO II.1.3.1.
Evaluemos el límite cuando x tiende a 0 de la función constante f : ℝ → ℝ, que a cada
número real le asocia el valor constante f(x) = 10.
10100
=→x
lim
Se debe observar que este límite es válido para cualquier otro valor de tendencia, así se
tiene también que
101010
=−→x
lim
10102
=→x
lim
Recordamos en este punto, que en la sección anterior ya habíamos demostrado que el límite
de la función identidad es: oxxxxlim
o
=→
.
152
TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo, entonces
el límite de la suma de estas dos funciones existe y es igual a la suma de los límites de cada
función. Esto es:
)()())()(( xglimxflimxgxflimooo xxxxxx →→→
+=+
Demostración: Como existen los límites de f y g en xo, se tiene entonces que para todo ε >
0, existen δf >0 y δg > 0 tales que:
(∀ε > 0)((∃δf > 0)(0<|x – xo|< δf ⇒ |f(x) – L| < ε / 2) y
(∀ε > 0)((∃δg > 0)(0<|x – xo|< δg ⇒ |g(x) – M| < ε / 2).
Aquí, se supone que: Lxflimoxx
=→
)( ∧ Mxglimoxx
=→
)( , de esto se tiene para todo ε > 0, existe
δ > 0, δ = min{δf, δg}, tal que:
0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) + g(x) – L – M| ≤ |f(x) – L| + |g(x) – M| < ε / 2 + ε / 2 = ε
Así: (∀ε > 0)((∃δ > 0, δ = min{δf, δg})(0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) + g(x) – (L + M) | < ε) de
donde
)()())()(( xglimxflimMLxgxflimooo xxxxxx →→→
+=+=+
lo que termina por demostrar el teorema.
De una forma completamente análoga, se puede demostrar que:
TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo, entonces
el límite de la diferencia de estas dos funciones existe y es igual a la diferencia de los
límites de cada función. Esto es:
)()())()(( xglimxflimxgxflimooo xxxxxx →→→
−=−
EJEMPLO II.1.3.2.
Evaluemos los siguientes límites:
4222)2(222
=+=+=+→→→ xxx
limxlimxlim
0222)2(222
=−=−=−→→→ xxx
limxlimxlim
TEOREMA Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo, entonces el
límite del producto entre estas dos funciones existe y es igual al producto de los límites de
cada función. Esto es:
)()())()(( xglimxflimxgxflimooo xxxxxx →→→
⋅=⋅
Demostración: Como es tradicional en este tipo de demostraciones, partimos usando la
hipótesis de que existen los límites de f y g en xo, esto es que para todo ε > 0, existen δf > 0
y δg > 0 tales que:
153
(∀ε > 0)((∃δf > 0)(0<|x – xo|< δf ⇒ |f(x) – L| < ε ) y
(∀ε > 0)((∃δg > 0)(0<|x – xo|< δg ⇒ |g(x) – M| < ε ).
Aquí, se supone que: Lxflimoxx
=→
)( ∧ Mxglimoxx
=→
)( , de lo anterior se tiene para todo ε > 0,
existe δ > 0, δ = min{δf, δg}, tal que:
0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) ⋅ g(x) – L ⋅ M| = | (f(x) – L)(g(x) – M) + L(g(x) – M) + M(f(x) – L)|
≤ |(f(x) – L)(g(x) – M)| + |L(g(x) – M)| + |(f(x) – l)M|
= |f(x) – L| ⋅ |g(x) – M| + |L| ⋅ |g(x) – M| + |f(x) – l| ⋅ |M|
≤ εε +|L|ε + ε |M|
Así: (∀ε > 0)((∃δ > 0, δ = min{δf, δg})(0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) ⋅ g(x) – (L ⋅ M) | < ε)
de donde
)()())()(( xglimxflimMLxgxflimooo xxxxxx →→→
⋅=⋅=⋅
lo que demuestra el teorema.
Se debe observar que en esta demostración, no debería ser difícil para el lector verificar la
afirmación de que f(x) ⋅ g(x) – L ⋅ M = (f(x) – L)(g(x) – M) + L(g(x) – M) + M(f(x) – L),
pues es en ella donde descansa toda la demostración.
TEOREMA. Sea f : ℝ → ℝ una función real, tal que existe su límite en xo, entonces el
límite del producto entre esta función y una constante existe y es igual al producto del
límite de la función por la constante. Esto es:
)())(( xflimcxfclimoo xxxx →→
⋅=⋅
Demostración: Como el límite de f en xo existe, se tiene que para todo ε > 0, existen δ > 0
tal que:
(∀ε > 0)((∃δ > 0)(0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) – L| < ε / |c|)
Aquí, se supone que: Lxflimoxx
=→
)( , de lo anterior se tiene para todo ε > 0, existe δ > 0, tal
que:
0<|x – xo|< δ ⇒ |c ⋅ f(x) – c ⋅ L| = | c (f(x) – L)|
= |c| ⋅ |f(x) – L|
≤ |c| ⋅ ε / |c|
= ε
Así: (∀ε > 0)((∃δ > 0)(0<|x – xo|< δ ⇒ |c ⋅ f(x) ⋅ – (c ⋅ L) | < ε)
de donde
)())(( xflimcLcxfclimoo xxxx →→
⋅=⋅=⋅
154
lo que termina por demostrar el teorema.
EJEMPLO II.1.3.3.
Evalúe los siguientes límites:
22222
2
2⋅=⋅=⋅=
→→→→xlimxlimxxlimxlim
xxxx
10255522
=⋅==→→
xlimxlimxx
2121023253535)35( 22
22
2
22
2
2−=−=⋅−⋅=−=−=−
→→→→→xlimxlimxlimxlimxxlim
xxxxx
TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo y el limite
de g en xo es distinto de cero, entonces el límite del cuociente entre estas dos funciones
existe y es igual al cuociente de los límites de cada función. Esto es:
)(
)(
)()(
xglim
xflim
xgxflim
o
o
oxx
xx
xx→
→
→=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
siempre y cuando, 0)( ≠→
xglimoxx
.
Demostración: Para probar este teorema, vamos a demostrar que )(
1)(
1xglimxg
limo
oxx
xx→
→=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛,
siempre que 0)( ≠→
xglimoxx
. Utilizando el teorema anterior, quedaría demostrada la
afirmación del cuociente de límites.
En efecto, supongamos que límite de la función g existe cuando x tiende a xo y es igual a M
≠ 0, esto es, Mxglimoxx
=→
)( , aplicando la definición de límite se tiene entonces:
(∀ε > 0)((∃δg > 0)(0<|x – xo|< δg ⇒ |g(x) – M| < ε ).
Dado ε > 0, consideremos δ > 0, tal que δ = min{M / 2, ε ⋅ M2 / 2}. Se tiene entonces que si
|x – xo| < δ, entonces: |M| - |g(x)| < |M – g(x)| < |M| / 2, de donde |g(x)| > |M| / 2 y así 1 /
|g(x)| < 2 / |M|. En consecuencia, se tiene que:
εε
=⋅⋅<⋅
−=
−=−
212
)()(
)()(1
)(1
2MMMMxg
xgMMxg
xgMMxg
EJEMPLO II.1.3.4.
Evalúe el siguiente límite: )1()1( 2
1 −−
→ xxlim
xComo el límite de x – 1 cuando x tiende a 1 es cero,
no se puede aplicar directamente el teorema del cuociente de límites, por esta razón, se
busca factorizar para poder eliminar la parte que genera la división por cero: x – 1.
155
2111)1()1(
)1)(1()1()1(
1111
2
1=+=+=+=
−+−
=−−
→→→→→ xxxxxlimxlimxlim
xxxlim
xxlim
EJEMPLO II.1.3.5.
Calcule el límite
41
82
19299
)1(
)23(
)1()23(
2
3
2
32
2
3==
−+−
=−
+−=
−+−
→
→
→ xlim
xxlim
xxxlim
x
x
x
TEOREMA. El límite de la suma algebraica de dos, tres y, en general, de un número finito
de funciones es igual a la suma de los límites de cada función. Esto es:
)()()())()()(( 2121 xflimxflimxflimxfxfxflim nxxxxxxnxx oooo →→→→+++=+++ KK
De la misma manera, el límite del producto algebraico de dos, tres y, en general, de un
número finito de funciones es igual al producto de los límites de cada función. Esto es:
)()()())()()(( 2121 xflimxflimxflimxfxfxflim nxxxxxxnxx oooo →→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ KK
EJEMPLO II.1.3.6.
Determinar el límite: 1→x
lim (2x – x +x2) = 21→x
lim x - 1→x
lim x + (1→x
lim x)2 = 2 ⋅ 1 – 1 + 1 = 2
El siguiente teorema, conocido como teorema de la función compuesta nos ofrece una
ayuda para calcular límites de funciones compuestas. Frente a este tipo de casos, basta con
ir introduciendo el límite dentro de la composición de funciones.
TEOREMA. Sean f: ℝ → ℝ y g: ℝ → ℝ dos funciones reales tales que oxx
lim→
f(x) = M y
Mxlim→
g(x) = L. Entonces oxx
lim→
g o f(x) = oxx
lim→
g(f(x)) = g(oxx
lim→
f(x)) = L.
EJEMPLO II.1.3.7.
Calcule el límite 121
−→
xlimx
. Aplicamos el teorema de la función compuesta de la
siguiente manera: 121
−→
xlimx
= 12)12(1
−=−→
xlimx
=1.
EJEMPLO II.1.3.8.
Determine el límite 1→x
lim |1-2x|. Para ello, utilizamos el teorema de la función compuesta e
introducimos el límite dentro del valor absoluto.
1→xlim |1-2x| = |
1→xlim (1 – 2x)| = |1 - 2
1→xlim x| = |1 – 2 ⋅ 1| = |1 – 2| = |-1| = 1
156
ACTIVIDAD II.1.3.9.
1. Calcule los siguientes límites:
a) )34( 2
2−+
→xxlim
x
b) 43
1221 ++
+−→ xx
xlimx
c) )472( 23
3+−+
→xxxlim
x
d) 7256
3
2
1 ++−+
→ xxxxlim
x
e) 283
2 −−
→ xxlim
x
f) 283
2 ++
−→ xxlim
x
g) 4
22
2
2 −−+
−→ xxxlim
x
h) 84
3
2
2 +−
−→ xxlim
x
i) 2325
2 −−
→ xxlim
x
j) 37296
3 +−
→ xxlim
x
k) 37296
0 +−
→ xxlim
x
Solución:
a) ( ) ( ) 9384324234)34( 2
2
2
2
2
2=−+=−⋅+=−+=−+
→→→xlimxlimxxlim
xxx
b) ( )
( ) ( ) 21
43112
4)1(3)1(1)1(2
43
12
4312
2
1
2
1
121
−=
+−+−
=+−+−
+−⋅=
++
+=
+++
−→−→
−→
−→ xlimxlim
xlim
xxxlim
xx
x
x
c) ( ) ( ) ( ) 2421182737323472)472( 23
3
2
3
3
3
23
3=−+=⋅−⋅+=+−+=+−+
→→→→xlimxlimxlimxxxlim
xxxx
d) ( ) ( )( ) ( ) 5
1102
721561
72
56
7256
1
3
1
1
2
13
2
1==
++−+
=++
−+=
++−+
→→
→→
→ xlimxlim
xlimxlim
xxxxlim
xx
xx
x
e) ( )( )( ) ( ) 12444422242
2422
28 22
2
2
2
3
2=++=+⋅+=++=
−++−
=−−
→→→xxlim
xxxxlim
xxlim
xxx
f) ( )42)2(
)42)(2(28 2
2
2
2
3
2+−=
++−+
=++
−→−→−→xxlim
xxxxlim
xxlim
xxx = 4 + 4 + 4 = 12
157
g) ( )( )( )( ) 4
343
21
2212
42
222
2
2=
−−
=−−
=−+−+
=−−+
−→−→−→ xxlim
xxxxlim
xxxlim
xxx
h) ( )( )( )( ) 3
112
442
2422
2284
22223
2
2−=
−=
+−−
=+−+
+−=
+−
−→−→−→ xxxlim
xxxxxlim
xxlim
xxx
i) )16842()2(
)16842)(2(232 234
2
234
2
5
2++++=
−++++−
=−−
→→→xxxxlim
xxxxxxlim
xxlim
xxx = 16
+ 16 + 16 + 16 +16 = 80
j) ( )( )9327)3(
)93)(3)(27()3(
)27)(27(3729 23
3
23
3
33
3
6
3+++=
−++−+
=+
−+=
+−
→→→→xxxlim
xxxxxlim
xxxlim
xxlim
xxxx
=
k) ( )( ) 243
3729
3
729
3729
0
6
06
0−=
−=
+
−=
+−
→
→
→ xlim
xlim
xxlim
x
x
x
2. Encuentre los valores de los siguientes límites:
a) 2352
2 −+
→ ttlim
t
b) 1
1322
2
1 +−+
→ rrrlim
r
c) 23
42
2
2 +−−
→ yyylim
y
d) 32
3
3 3227−−
−→ xx
xlimx
e) 48
2
3
2 −−
→ hhlim
h
f) hhlim
h
110
−+→
g) 0,0
>−+
→x
hxhxlim
h
h) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+→1
111
0 hhlimh
i) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+→ xhxhlimh
1110
j) h
hlimh
1)1( 2/3
0
−+→
Solución:
a) 2/349
223522
23)(
52)(
2352
2352
2
2
22==
−⋅+⋅
=−
+=
−+
=−+
→
→
→→ tlim
tlim
ttlim
ttlim
t
t
tt
158
b) 22/411
132)1(
)132(
1132
1132
2
1
2
12
2
12
2
1==
+−+
=+
−+=
+−+
=+
−+
→
→
→→ rlim
rrlim
rrrlim
rrrlim
r
r
rr
c) 412
)1)(2()2)(2(
234
222
2
2=
−+
=−−+−
=+−
−→→→ y
ylimyyyylim
yyylim
yyy = 2
d) 3332
33
2
33
2
3
34/34/27
193
)1)(3()93)(3(
3227
==+
++=
+−++−
=−−
−→→→ x
xxlimxx
xxxlimxx
xlimxxx
e) 34
122
42)2)(2(
)42)(2(48 2
2
2
22
3
2==
+++
=+−
++−=
−−
→→→ hhhlim
hhhhhlim
hhlim
hhh
f) 11
1)11(11
1111110000 ++
=++
=++++
⋅−+
=−+
→→→→ hlim
hhhlim
hh
hhlim
hhlim
hhhh = ½
g) xxxhx
limxhxxhx
hxhxlim
hxhxlim
hhh +=
++=
++++
⋅−+
=−+
→→→
11000
h) )11(11
111111
111
000 hhhhlim
hh
hhhlim
hhlim
hhh +++−
=++++
⋅++−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+ →→→= -1/2
i) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ →→→ )(1
)(1111
000 hxxlim
hxxh
hlim
xhxhlim
hhh = - 1 / x2
j) 1)1(
33)1)1((
1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(
2/3
2
02/3
3
02/3
2/32/3
0
2/3
0 ++++
=++
−+=
++++
⋅−+
=−+
→→→→ hhhlim
hhhlim
hh
hhlim
hhlim
hhhh
= 3/2
3. Evalúe los siguientes límites:
a) 11
−→
xlimx
b) 21
−→
xxlimx
c) )cos(
)sen(10 x
xlimx
+→
d) )cos(xlimx π→
e) )2/sen(xlimx π→
f) )(0
xtanlimx→
g) )sen(0 x
xlimx→
h) xxlim
x 2)sen(
0→
i) x
xtanlimx 2
)3(0→
j) x
xxlimx
)sen()cos(20→
159
k) )3sen()5sen(
0 xxlim
x→
l) xx
xlimx +→ 20 2
)2sen(
Solución:
a) 0|11|1111
=−=−=−→→
xlimxlimxx
b) 1|1||21|122111
=−=−⋅=−⋅=−→→→
xlimxlimxxlimxxx
c) 11
01)cos(
))sen(1(
)cos()sen(1
0
0
0=
+=
+=
+
→
→
→ xlim
xlim
xxlim
x
x
x
d) 1)cos( −=→
xlimx π
e) 1)2/sen()2/sen( ==→
ππ
xlimx
f) 0)0()(0
==→
tanxtanlimx
g) 111
)sen(1
)sen(0
0===
→
→
xxlimx
xlim
x
x
h) 2/1121)sen(
21
2)sen(
00=⋅==
→→ xxlim
xxlim
xx
i) 2/31123
)3cos(1
3)3sen(
23
)3cos()3sen(
21)3(
21
2)3(
00000=⋅⋅====
→→→→→ xlim
xxlim
xxxlim
xxtanlim
xxtanlim
xxxxx
j) 2112)sen())(cos(2)sen()cos(2000
=⋅⋅==→→→ x
xlimxlimx
xxlimxxx
k) 3/5
3)3sen(3
5)5sen(5
)3sen(
)5sen(
)3sen()5sen(
0
0
0
0
0===
→
→
→
→
→
xxlim
xxlim
xxlim
xxlim
xxlim
x
x
x
x
x
l) 212
)2sen(212
1)2sen()12()2sen(
2)2sen(
000020=⋅=
+=
+=
+ →→→→→ xxlim
xlim
xxlim
xxxlim
xxxlim
xxxxx
4. Calcule los siguientes límites:
a) )12(1
−→
xxlimx
b) )1)(12(32
+−→
xxlimx
c) 2
2)1)(12(3 +−
→xxlim
x
d) 2
1)3( +
−→xlim
x
e) 100
2)3( +
−→xlim
x
f) 23
2 ++
→ xxlim
x
160
g) 5252
5 +−
→ xxlim
x
h) 5252
5 −−
→ xxlim
x
i) 255
25 −−
→ xxlim
x
j) 1
22
2
1 −−+
→ xxxlim
x
Solución:
a) 1)12(1
=−→
xxlimx
b) 27)1)(12(32
=+−→
xxlimx
c) 81)1)(12(3 2
2=+−
→xxlim
x
d) 4)3( 2
1=+
−→xlim
x
e) 1)3( 100
2=+
−→xlim
x
f) 23
2 ++
→ xxlim
x = 5 / 4
g) 5252
5 +−
→ xxlim
x = 0 / 10 = 0
h) 10)5()5(
)5)(5(525
55
2
5=+=
−+−
=−−
→→→xlim
xxxlim
xxlim
xxx
i) 101
51
)5)(5(5
255
5525=
+=
+−−
=−−
→→→ xlim
xxxlim
xxlim
xxx
j) 23
12
)1)(1()1)(2(
12
112
2
1=
++
=+−−+
=−−+
→→→ xxlim
xxxxlim
xxxlim
xxx
EJERCICIOS II.1.3.10.
1. Calcule los siguientes límites:
a) xlimx
22→
b) 44→x
lim
c) )13(1
−→
xlimx
d) 2
5xlim
x→
e) )13(3/1
−→
xlimx
f) )2(22
xxlimx
−→
g) 101
4)3( +
−→xlim
x
161
h) )96( 2
1++
−→xxlim
x
i) )1723( 23
1−−+
→xxxlim
x
j) )12(32
−→
xxlimx
k) )12(3 2
2−
→xxlim
x
2. Calcule los siguientes límites:
a) 1
522
2
1 +++
→ xxxlim
x
b) x
xlimx +
−→ 2
22
c) xx
xxxlimx 23
242
23
0 ++−
→
d) 242
2 −−
→ xxlim
x
e) 113
1 −−
→ xxlim
x
f) 201265
2
2
2 +−+−
→ xxxxlim
x
g) 253
1032
2
2 −−−+
→ xxxxlim
x
h) )3)(2(
44 23
2 −+++
−→ uuuuulim
u
i) 623
2
23
2 −−++
−→ yyyyylim
y
j) h
xhxlimh
33
0
)( −+→
k) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−→ 31 13
11
xxlimx
3. Calcule los siguientes limites
a) 0,11
1>
−−
→n
xxlim
n
x
b) xxlim
x
110
−+→
c) 22312
4 −−−+
→ xxlim
x
d) qqx
ppxlimx −+
−+→ 22
22
0
162
e) 113
1 −−
→ xxlim
x
f) ax
axlimmm
ax −−
→
g) x
xxlimx
11 2
0
−++→
4. Calcule los siguientes límites
a) ( ))tg()cos()sen(22
xcsxlimx
+−→π
b) )()sen(
0 xtanxlim
x→
c) 2
2
0
)3/(senx
xlimx→
d) )cos(10 x
xlimx −→
e) )(cot0
xanxlimx→
f) )3sen()cos(21
3 ππ −−
→ xxlim
x
g) )2()1(1
ztanxlimx
π−→
h) x
xaxalimx
)sen()sen(0
−−+→
i) 30
)sen()(x
xxtanlimx
−→
RESPUETAS
1.
a) 4
b) 4
c) 2
d) 25
e) 0
f) 0
g) –1
h) 4
i) –15
j) 18
k) 36
163
2.
a) 4
b) 0
c) ½
d) 4
e) 3
f) 1/8
g) 1
h) 0
i) –2/5
j) 3x2
k) -1
3.
a) n
b) ½
c) 2 2 /3
d) q/p
e) 2/3
f) maa /
h) ½
4.
a) 2
b) 1
c) 1/9
d) 2/ 2
e) 1
f) 3
g) 2 / π
h) 2cos(a)
i) ½
RESUMEN
En la presente sección se revisan los principales teoremas del álgebra de límites, esto es,
que el límite de una función constante es la constante, el límite de la suma de dos funciones
es la suma de los límites, el límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de
límites, el límite del producto de dos funciones es el producto de los límites, en particular el
164
límite del producto de una función por una constante es el límite de la función producto la
constante y que el límite del cuociente de dos funciones es el cuociente de los límites
siempre y cuando ambos límites existan y no exista división por cero.
Se generalizan los resultados a sumas y productos de más de dos funciones y a la potencia
no entera de funciones, por ejemplo a raíces, con el cálculo de límites de funciones
compuestas.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. El limite sobre un valor absoluto entre dentro del valor absoluto.
2. El límite de la suma de dos funciones corresponde a la suma de las dos funciones.
3. El límite del producto de dos funciones es igual al límite de la primera función por la
segunda más el limite de la segunda función por la primera.
4. El límite de la suma de más de dos funciones no se encuentra definido.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Falso.
4. Falso.
GLOSARIO
Álgebra de límites: Conjunto de propiedades que regulan la suma, diferencia producto, y
cuociente de límites.
Cuociente de funciones: Función formada por la división de las imágenes de dos funciones.
Diferencia de funciones: Función formada por la diferencia de las imágenes de dos
funciones.
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función constante: Función cuyo recorrido es un único valor.
165
Función Identidad: Función que asocia a cada elemento del dominio consigo mismo.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjunto de los reales.
Hipótesis: proposición que se asume verdadera.
Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento particular del
dominio.
Límite: Valor del codominio al cual se acercan las imágenes de una función, cuando las
preimagenes se acercan a un elemento determinado del dominio.
Número real: Número natural, entero, racional o irracional.
Preimagen: Elemento del dominio de una función asociado con un elemento particular del
recorrido.
Producto de funciones: Función formada por el producto de las imágenes de dos funciones.
Suma de funciones: Función formada por la suma de las imágenes de dos funciones.
Teorema: Proposición cuyo valor de verdad debe probarse.
SIMBOLOS
f(x) : función f con variable x.
< : Menor que.
≤ : Menor o igual que.
= : Igual que.
> : Mayor que.
Lxflimoxx
=→
)( : Límite de F cuando x tiende a xo es L
166
ℝ : Conjunto de los números reales.
⇒ : Implica.
ε : Epsilón.
δ : Delta.
|x| : Valor absoluto de x.
∀ : Para todo.
∃ : Existe.
+ : Suma.
- : Resta.
⋅ : Producto.
/ : División.
∧ : Y.
min : mínimo.
167
II.1.4. LIMITES LATERALES
Cuando en la definición de límite de una función se establece que f(x) tiende a L cuando x
tiende a xo, debemos considerar valores de x que sean mayores que xo y valores que sean
menores que xo. Sin embargo, en muchas ocasiones debemos considerar sólo valores de x
que son mayores que xo (que están a la derecha de xo) o bien que sólo son menores de xo
(que están a la izquierda de xo). Esto nos lleva a las siguientes definiciones de límites
laterales:
DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real definida en un intervalo abierto ]c, xo[. Un
número es el límite de f(x) cuando c tiende a xo por la izquierda, si (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(-δ <
x – xo < 0 ⇒ |f(x) – L| < ε)). En tal caso se escribe
Lxflimoxx
=−→
)(
EJEMPLO II.1.4.1.
Encuentre el límite por la izquierda de la función real:
f(x) = ⎩⎨⎧
≥<
1,51,3 2
xxx
cuando x tiende a 1. Esto es: )(1
xflimx −→
. Para ello, debemos observar que la función f(x)
asume la expresión 3x2 cuando x se encuentra a la izquierda de 1 (x < 1). Por lo tanto, se
tiene:
)(1
xflimx −→
= 2
13xlim
x −→=3
Se debe observar la sutileza de la notación. El signo menos se encuentra después del
número 1 (uno). Si estuviera antes, estaríamos frente al límite cuando x tiene a – 1 (menos
uno): )(1
xflimx −→
≠ )(1
xflimx −→
.
De manera análoga se define el límite de una función real cuando x tiende a xo por la
derecha.
DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real definida en un intervalo abierto ]xo, c[. Un
número es el límite de f(x) cuando c tiende a xo por la derecha, si (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < x
– xo < δ ⇒ |f(x) – L| < ε)). En tal caso se escribe
Lxflimoxx
=+→
)(
168
EJEMPLO II.1.4.2.
Encuentre el límite por la derecha de la función real:
f(x) = ⎩⎨⎧
≥<
1,51,3 2
xxx
cuando x tiende a 1. Esto es: )(1
xflimx +→
. Para ello, debemos observar que la función f(x)
asume la expresión 5 cuando x se encuentra a la derecha de 1 (x > 1). Por lo tanto, se tiene:
)(1
xflimx +→
= 51+→x
lim = 5
Cada vez que nos encontramos frente a funciones definidas por tramos, debemos ocupar
los límites laterales para conocer la tendencia de una función. El siguiente teorema nos
entrega un criterio para conocer si una función de este tipo tiene o no definido el límite
tradicional, conociendo los límites laterales.
TEOREMA. Sea f: ℝ → ℝ una función real. Supongamos que existen los límites laterales
de f cuando x tiende a xo, esto es, existen: )(xflimoxx −→
y )(xflimoxx +→
. Si los límites laterales
son iguales, entonces el límite de f cuando x tiende a xo, existe y es igual al valor de los
límites laterales. Si los límites laterales son distintos, entonces el límite de f cuando x
tiende a xo no existe.
EJEMPLO II.1.4.3.
Considere la función real f: ℝ → ℝ, definida por
⎩⎨⎧
>+≤−
=3,23,12
)(xxxx
xf
Entonces el limite de f cuando x tiende a 3 existe pues, ambos límites laterales en 3 existen
y son iguales:
)(5)(33
xflimxflimxx +− →→==
EJEMPLO II.1.4.4.
Considere la función real f: ℝ → ℝ, definida por
⎩⎨⎧
>≤−
=3,23,12
)(xxxx
xf
Entonces el limite de f cuando x tiende a 3 no existe pues, los límites laterales en el punto x
= 3 existen pero son distintos:
)(65)(33
xflimxflimxx +− →→=≠=
169
ACTIVIDAD II.1.4.5.
1. Calcule los siguientes límites laterales
a) 1
121 −
−+→ x
xlimx
b) )1( 2
1−+
+→xxlim
x
c) 4
232
2
2 −
+−+→ x
xxlimx
d) 2
2
2 24
xxxlim
x −+
−−→
e) 20
11x
xlimx
++→
f) 20
11x
xlimx
+−→
g) 2
2
2 564
xxxlim
x +−
−−→
h) )16( 2
4xxlim
x−−
−→
Solución:
a) 1
121 −
−+→ x
xlimx
= 11
1 +−
+→ xxlim
x = 0 / 2 = 0
b) )1( 2
1−+
+→xxlim
x = 1
c) 4
232
2
2 −
+−+→ x
xxlimx
= 4
)1)(2(22 −
−−+→ x
xxlimx
= 2
)1()2(2 +
−−+→ x
xxlimx
= 0
d) 2
2
2 24
xxxlim
x −+
−−→
= )1)(2(
)2)(2(2 +−−
+−−→ xx
xxlimx
= 0
e) 20
11x
xlimx
++→
= 20
11x
xlimx
++→
= 1
f) 20
11x
xlimx
+−→
= 20
11x
xlimx
++→
= 1
g) 2
2
2 564
xxxlim
x +−
−−→
=
h) )16( 2
4xxlim
x−−
−→ = 4
2. Considere la función con la gráfica mostrada. Indique cuál de las siguientes
afirmaciones es cierta
170
a) 1)(
1=
+−→xflim
x
b) )(2
xflimx→
no existe
c) )(2
xflimx→
= 2
d) )(0
xflimx +→
= )(0
xflimx −→
e) 1)(1
=+→
xflimx
f) )(1
xflimx→
no existe
g) )(xflimoxx→
existe para todo xo comprendido entre –1 y +1.
h) )(xflimoxx→
existe para todo xo comprendido entre 1 y 3.
Solución.
a) Verdadero.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadero.
e) Verdadero.
f) Verdadero.
g) Falso.
h) Verdadero.
EJERCICIOS II.1.4.6.
1. Determine el valor de los siguientes límites laterales.
a) ||0 x
xlimx +→
b) ||0 x
xlimx −→
c) ||1 x
xlimx +−→
d) ||1 x
xlimx −−→
171
e) |3|
92
3 −−
+→ xxlim
x
f) |3|
92
3 −−
−→ xxlim
x
g) |2|
|84|2
2 −−
−→ xxxlim
x
2. Evaluando los límites laterales, determine si existen los límites de las funciones
siguientes en los puntos que se indican.
a) Estudiar el límite en x = 1.
⎩⎨⎧
≥<
=1,
1,3)( 2 xx
xxxf
b) Estudiar el límite en x = 2.
⎩⎨⎧
≥<
=1,
1,3)( 2 xx
xxxf
c) Estudiar el límite en x = 1.
⎩⎨⎧
≥<−
=1,
1,23)( 2 xx
xxxf
RESPUESTAS
1.
a) 1
b) –1
c) -1
d) -1
e) 6
f) –6
g) 16
2.
a) No
b) Si
c) Si.
RESUMEN
En la presente sección se revisan las definiciones de límites laterales, utilizadas para
evaluar límites en funciones definidas por tramos. Se postula y demuestra el teorema que
establece que si los dos límites laterales existen y son iguales, entonces el límite de la
función existe y es igual al valor común de los límites laterales. Recíprocamente, si los dos
172
límites laterales existen, pero son distintos, entonces no existe el límite de la función en el
punto considerado.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Si los limites laterales existen, entonces el límite existe.
2. Si el límite no existe, entonces los límites laterales no existen.
3. )(1
xflimx −→
corresponde al límite lateral por la izquierda.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
3. Falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada preimagen una único elemento del codominio.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Intervalo abierto: Subconjunto de los números reales que contiene a todos los números que
se encuentran entre otros dos sin incluirlos.
Límite : Elemento del codominio de una función al que se acercan las imágenes en la
medida que las preimagenes tienden a un elemento del dominio.
Límite lateral : Límite donde la tendencia se restringe sólo a un lado del punto (el izquierdo
o el derecho).
SIMBOLOS
f(x) : función f con variable x.
< : Menor que.
≤ : Menor o igual que.
= : Igual que.
173
> : Mayor que.
Lxflimoxx
=→
)( : Límite de F cuando x tiende a xo es L
Lxflimoxx
=+→
)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la derecha es L.
Lxflimoxx
=−→
)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la izquierda es L.
ℝ : Conjunto de los números reales.
⇒ : Implica.
ε : Epsilón.
δ : Delta.
|x| : Valor absoluto de x.
∀ : Para todo.
∃ : Existe.
174
II.1.5. LIMITES AL INFINITO E INDETERMINADOS
Existe una clase de límites cuyo resultado no son números reales, como es el caso del
límite cuando x tiende a cero de la función 1 / x. En este caso, la división por cero nos lleva
a un número muy grande, por eso decimos que este límite tiende a ∞ (infinito). Si tomamos
el límite por la derecha, tiende a + ∞, en cambio, si tomamos el límite por la izquierda,
tiende a - ∞. Esta clase de límites se conoce como indeterminados.
Notemos que un límite indeterminado no significa que el límite no exista, sino que tiende a
∞, +∞ o -∞. Por ejemplo, el límite cuando x tiende a cero de la función definida por
tramos:
⎩⎨⎧
≥<
=0,20,1
)(xx
xf ,
No existe, pues el límite por la derecha es distinto al límite por la izquierda de la función
en cero.
A continuación definiremos formalmente los conceptos de límite indeterminado, infinito o
tendencia al infinito.
DEFINICION: Decimos que f(x) tiende a infinito cuando x → a, y escribimos f(x) → ∞
cuando x → a ( ∞=→
)(xflimax
), si para todo número M > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)| > M,
para todos los números reales x tales que 0 < |x – a| < δ.
En esta definición no se establece si la función f(x) tiende a infinito positivo o negativo. En
otras palabras, podemos tener que f(x) → + ∞ o que f(x) → - ∞ como casos especiales de
f(x) → ∞. En efecto, si f(x) → + ∞ cuando x → a, decimos que f tiende a infinito positivo
cuando x tiende al punto a. La única modificación requerida en la definición anterior es el
reemplazo de |f(x)| > M por f(x) > M.
EJEMPLO II.1.5.1.
Se tiene que: +∞=→ 20
1x
limx
. Para probar esto, consideremos que f(x) > M, o
equivalentemente, 1 / x2 > M. Claramente 1 / M < x2, por lo que se tiene δ = 1 / M , para
que se satisfaga la definición.
El lector debe observar las diferencias notables que existen entre las formas 0 / c y c / 0. La
primera es cero, mientras que la segunda es ∞.
175
En efecto, cuando x tiende a cero, se tiene:
• Forma 0 / c = 0: 00
=→ c
xlimx
• Forma c / o = ∞: ∞=→ x
climx 0
Además de los límites indeterminados o infinitos, se tiene los límites al infinito. Esto es
cuando una función tiende a un número L, pero cuando x se acerca a +∞ o -∞. A
continuación presentamos la definición formal de esto.
DEFINICION: Decimos que f(x) → c cuando x → ∞, si para todo ε > 0 existe un número
M > 0, tal que |f(x) – c| < ε para todos los x que cumplen la condición |x| > M.
Cuando el límite al infinito es a + ∞ o a - ∞, se tiene la siguiente definición:
DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real. Si (∀ ε > 0)((∃ A > 0)(x > A ⇒ |f(x) – L| <
ε)), entonces se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a +∞. En tal caso se escribe
Lxflimx
=+∞→
)(
Si (∀ ε > 0)((∃ A > 0)(- x < A ⇒ |f(x) – L| < ε)), entonces se dice que L es el límite de f(x)
cuando x tiende a -∞. En tal caso se escribe
Lxflimx
=−∞→
)(
EJEMPLO II.1.5.2.
Se tiene, en virtud de la unicidad del límite:
01=
∞→ xlimx
, 01=
+∞→ xlimx
y 01=
−∞→ xlimx
.
Cuando x tiende a ∞, se tiene las típicas formas siguientes.
• Forma ∞ / c = ∞: ∞=∞→ c
xlimx
• Forma c / ∞ = 0: 0=∞→ x
climx
• Forma c + ∞ = ∞: ∞=+∞→
)( xclimx
• Forma c ⋅ ∞ = ∞: ∞=∞⋅∞→
)(climx
176
Si el límite no cae en una de estas, puede corresponder a una formas indeterminada, como
es el caso de ∞ / ∞, donde puede ocurrir cualquier cosa.
Para evaluar límites al infinito de formas indeterminadas consistentes en cuocientes de
polinomios, se emplea un artificio que consiste en dividir por la mayor potencia de x a cada
uno de los términos del numerador y denominador de la función.
EJEMPLO II.1.5.3.
Evaluar: 4523
+−
+∞→ xxlim
x. Para ello dividimos por la mayor potencia que en este caso es x y se
tiene: 4523
+−
+∞→ xxlim
x=
xxlim
x /45/23
+−
+∞→ =3 /5
EJEMPLO II.1.5.4.
Evaluar: 4523 2
+−
+∞→ xxlim
x. Para ello dividimos por la mayor potencia que en este caso es x2 y
se tiene: 4523 2
+−
+∞→ xxlim
x= 2
2
/4/5/23
xxxlim
x +−
+∞→ =3 / 0 = ∞.
Una aplicación a la gráfica de curvas de funciones de los límites al infinito y los límites
infinitos, lo encontramos en el concepto de asintotas.
DEFINICION: Si ±∞=−→
)(xflimoxx
o ±∞=+→
)(xflimoxx
, entonces la recta x = xo se llama
asintota vertical del gráfico de f.
EJEMPLO II.1.5.5.
La función f(x) = 1 / (x – 1) tiene una asintota vertical en x = 1.
-40
-20
0
20
40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
177
La función f(x) = (x + 3) / (x2 – 9) tiene una asintota vertical en x = 3.
-40
-20
0
20
40
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
La función f(x) = 1 / (x2 – 4) tiene asintotas verticales en x = 2 y x = -2.
-40
-20
0
20
40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
La función f(x) = 1/ x2 tiene una asintota vertical en x = 0
0
20
40
60
80
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Si f es una función tal que ∞=
∞→)(xflim
x y 0)( =−−
∞→bmxxflim
x, entonces la recta y = mx
+ b se llama asintota oblicua del gráfico f.
EJEMPLO II.1.5.6.
El gráfico de la función f(x) = 1 / (1 + x2) tiene al eje x como asintota horizontal.
178
-1
0
1
2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 El gráfico de la función f(x) = (2x2 + 1) / x tiene a la recta y = 2x como asintota.
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Por último, si el límite es a + ∞ o a - ∞, estamos en presencia de una asintota horizontal.
El próximo teorema establece uno de los límites al infinito más importantes, debido a la
gran cantidad de aplicaciones con que cuenta.
TEOREMA. La función f(x) = (1 + 1 / x)x tiende al límite e (el número de Euler), cuando x
tiende a infinito, es decir: exlim x
x=+
∞→)/11( .
La gráfica siguiente ilustra la función (1 + 1 / x)x, notar que además se tiene que esta
función posee una asintota en cero,
0
1
2
3
4
5
-100 -50 0 50 100
179
EJEMPLO II.1.5.7.
Evalúe los siguientes límites: 555 1111111111 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→∞→∞→
+
∞→ xlim
xlim
xxlim
xlim
x
x
x
x
x
x
x= e ⋅ 1 = e
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→∞→
33 1111x
x
x
x xlim
xlim e3
22/2/2
2/11
2/1121 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x xlim
xlim
xlim = e2
3
13 +
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ x
x xxlim =
3
141 +
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+− x
x xxlim =
4)1(
141
+−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
x
x xlim =
)1(
141
−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
x
x xlim ⋅
4
141 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
∞→ xlimx
= e4 ⋅ 1 = e4
ACTIVIDAD II.1.5.8.
1. Evalúe los siguientes límites.
a) 1342
++
∞→ xxlim
x
b) 1342 2
++
∞→ xxlim
x
Solución:
a) 2/3
b) ∞
2. Calcule los siguientes límites:
a) 2
21n
nlimn
+++∞→
K
b) 3
222 21n
nlimn
+++∞→
K
Solución:
a) 1
b) 2
3. Determine asintotas para las siguientes funciones
a) f(x) = 1 / (x – 1)
b) f(x) = 1 / (x2 – 1)
c) f(x) = 1 / x(x - 2)(x + 5)
d) f(x) = 1 / (x – 2) + x2
e) f(x) = 1 + 2/(x2 + 1)
f) f(x) = 1 + (x – 3) / (x + 1)
180
Solución
a) x =1, y = 0
b) x =1, x = -1, y = 0
c) x =0, x = 2, x = -5
d) x =2
e) y = 1
f) x = 1, y =1
4. Calcule los siguientes límites
a) 511
+
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
x
x xlim
b) x
x xlim ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→
11
c) x
x xxlim ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+∞→ 1
Solución:
a) e
b) –e
c) 1/e
EJERCICIO II.1.5.9.
1. Evalúe los límites siguientes
a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
∞→ 2
412xx
limx
b) 53
1243
23
−+−
∞→ xxxlim
x
c) x
xlimx
1+∞→
d) 52
12
+−+
∞→ xxxlim
x
e) 4
1233
2
+−−
∞→ xxxlim
x
f) 3 3
2
13
+
−+∞→ x
xlimx
g) 1
12
++
+∞→ xxlim
x
h) 1
12
++
−∞→ xxlim
x
181
i) ( )11 22 −−+∞→
xxlimx
j) ( )xxxlimx
−++∞→
12
k) ( )xxxlimx
−+−∞→
12
2. Determine asintotas para las siguientes funciones
a) f(x) = x + 1/x
b) f(x) = 8 / (4 – x2)
c) f(x) = (x2 – 3) / (2x – 4)
RESPUESTAS
1.
a) 2
b) 4/3
c) 1
d) ∞
e) 0
f) 1
g) 1
h) –1
i) 0
j) ½
k) -∞
2.
a) x = 0, y = x
b) y = 0, x =2, x = -2
c) x = 2, y =x /2 +1
RESUMEN
En la presente sección se definen y estudian los límites infinitos y los límites al infinito. En
particular se analiza el concepto de asintota de una función y el límite que da origen al
número de Euler.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Toda función tiene una asintota.
2. Las asintotas verticales no pertenecen al dominio de una función real.
182
3. Un límite que no existe es un límite infinito.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función Real: Función donde el dominio y codominio son subconjuntos de los números
reales.
Límite: Elemento del codominio de una función al cual tienden sus imágenes en la medida
que las preimagenes se acercan a un elemento del dominio.
Número de Euler: Número irracional, igual a 2.71..
Número real: número natural, entero, racional o irracioanl.
SIMBOLOS
∞ : infinito.
+∞ : infinito positivo.
-∞ : infinito negativo.
f(x) : función f con variable x.
< : Menor que.
≤ : Menor o igual que.
= : Igual que.
> : Mayor que.
183
Lxflimoxx
=→
)( : Límite de F cuando x tiende a xo es L
Lxflimoxx
=+→
)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la derecha es L.
Lxflimoxx
=−→
)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la izquierda es L.
Lxflimx
=+∞→
)( : Límite de f cuando x tiende a +∞
Lxflimx
=−∞→
)( : Límite de f cuando x tiende a -∞
ℝ : Conjunto de los números reales.
⇒ : Implica.
ε : Epsilón.
δ : Delta.
|x| : Valor absoluto de x.
∀ : Para todo.
∃ : Existe.
184
II.1.6. CONTINUIDAD
En el lenguaje cotidiano, decimos que un cierto fenómeno o proceso es “continuo” para
expresar que no se interrumpe o que no tiene cambios bruscos. En matemática, la palabra
“continuo” tiene un sentido análogo. El concepto de continuidad es muy importante en el
cálculo y como se verá más adelante se encuentra presente en innumerables aplicaciones.
Si f: ℝ → ℝ es una función real cualquiera, no tiene por que cumplirse necesariamente que
el límite de f cuando x tiende a xo sea igual a f evaluado en xo, f(xo), esto es
)()( oxxxfxflim
o
=→
Esto puede dejar de ser cierto de muchas maneras, por ejemplo f puede no estar definido en
xo, o bien el límite de f en xo puede no existir, o bien f esta definido y el límite existe en xo,
pero ambos valores son distintos.
Como resulta natural considerar que las funciones que tienen uno de los tres
comportamientos anteriores son anormales, se decidió calificar con un nombre especial a
aquellas funciones que no presentan uno de estos problemas. El calificativo adoptado ha
sido de funciones continuas.
DEFINICION. La función f : ℝ → ℝ es continua en xo si )()( oxxxfxflim
o
=→
. La función f
es continua si es continua para cada xo que pertenezca a su dominio. Si f no es continua en
xo, se dice que f es discontinua en xo o que xo es un punto de discontinuidad de f.
De la definición anterior se deduce en forma inmediata que si f es una función y xo ∈ ℝ,
entonces f es continua en xo si y sólo si:
• f está definida en xo.
• )(xflimoxx→
existe
• )()( oxxxfxflim
o
=→
Gráficamente una función es continua, cuando la curva que describe no contiene
interrupciones, ni saltos, ni oscilaciones indefinidas. Se debe observar sin embargo que el
concepto de continuidad es puntual, esto es, es válido sólo para un punto específico de la
curva. Si queremos que toda la curva no presente este tipo de problemas, se debe estudiar la
continuidad en cada uno de los puntos del dominio de la función.
185
Como la definición de continuidad se encuentra dada en términos de límites, mediante los
teoremas del álgebra de límites se puede establecer la continuidad de un gran número de
funciones.
EJEMPLO II.1.6.1.
f(x) = 1 / (1 + x2)
-1
0
1
2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
EJEMPLO II.1.6.2.
f(x) = 3x2 +5x -3
-20-10
0102030405060708090
100
-6 -4 -2 0 2 4
EJEMPLO II.1.6.3.
f(x) = sen(1/x) no es continua en 0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
186
EJEMPLO II.1.6.4.
F(x) = 1 cuando x es racional 0 cuando x no es racional es continua sólo en cero
0
-4 -2 0 2 4 Muchas de las funciones ya conocidas son continuas. Entre estas podemos citar a las
funciones polinomiales, las funciones racionales (cuocientes de polinomios), la función
valor absoluto |x|, la función raíz cuadrada en cada número positivo, etc.
TEOREMA
Si f y g son dos funciones reales continuas en xo, entonces f + g, f – g, f ⋅ g y f / g , g(xo) ≠0
son también continuas en xo.
La demostración de este teorema descansa en las propiedades de los límites.
EJEMPLO II.1.6.5.
F(x) = x4 – 2x3 – 4x2 + 2x + 3 es continua.
-20-10
0102030405060708090
100
-2 0 2 4
El próximo teorema establece el importante resultado de que si una función f es continua,
entonces al evaluar un límite sobre esta función, el límite puede entrar al argumento de la
función. Esto es: TEOREMA
Si g es continua en xo, y f es continua en g(xo), entonces f o g es continua en xo.
187
EJEMPLO II.1.6.6.
F(x) = 12 +x es una función continua en todo punto x ∈ ℝ.
El último teorema que veremos en esta sección trata sobre una de las propiedades más
importantes de las funciones continuas.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Si f es continua en el intervalo [a, b] y p es un número
que está entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ [a, b] tal que f(c) = p.
EJEMPLO II.1.6.7.
Consideremos f(x) = x2. Como f es continua en el intervalo [1, 2] y además se tiene que
f(1) = 1 y f(2) = 4, entonces existe c ∈ [1, 2] tal que f(c) = 2.
ACTIVIDAD II.1.6.7.8.
1. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en ℝ:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−<=
=33332320
)(xxxxx
xf
b) f(x) = x ⋅ sen(1/x)
c) f(x) = cox(x) / x
d) f(x) = (x + 1) / |x – 1|
e) f(x) = (x – 9)2 ⋅ sen3(1 / (x – 9))
f)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥<<−≤<
≤−
=
2021210
0
)(
xxxxx
xx
xf
g)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>++=
<−
=0103700
0)4cos()6cos(
)(2
2
xxxx
xx
xx
xf
Solución:
a) No es continua en 3.
b) Continua en todo ℝ
c) No es continua en cero.
d) No es continua en 1
e) Continua en todo ℝ.
188
f) Continua en todo ℝ
g) No es continua en cero.
2. Determine los valores de a y b de modo que f sea continua en ℝ.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤<++
≤=
5521
2)( 2
xbxbxax
xaxxf
Solución:
a = 1 /21, b = - 23 / 42.
RESUMEN
En la presente sección se define el concepto de funciones continuas, aquellas funciones
cuya gráfica no experimenta cortes, ni saltos; estableciéndose un conjunto de resultados
sobre este tipo de funciones. Lo más relevante es que el límite de una función continua
puede introducirse como argumento de la función para su evaluación.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Todas las funciones reales son continuas.
2. Sumas de funciones continuas no tiene por que ser una función continua.
3. Composición de funciones continuas es también continua.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
3. Verdadero.
GLOSARIO
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función real: función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de números reales.
Límite: Elemento del codominio de una función al cual tienden las imágenes cuando las
preimagenes se acercan a un punto determinado.
189
SIMBOLOS
f(x) : función f con variable x.
< : Menor que.
≤ : Menor o igual que.
= : Igual que.
> : Mayor que.
Lxflimoxx
=→
)( : Límite de F cuando x tiende a xo es L
Lxflimoxx
=+→
)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la derecha es L.
Lxflimoxx
=−→
)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la izquierda es L.
Lxflimx
=+∞→
)( : Límite de f cuando x tiende a +∞
Lxflimx
=−∞→
)( : Límite de f cuando x tiende a -∞
ℝ : Conjunto de los números reales.
|x| : Valor absoluto de x.
Sen(x) : Función seno.
Cos(x) : Función coseno.
Tan(x) : Función tangente.
190
II.1.7. TIPOS DE DISCONTINUIDAD
Una función f: ℝ → ℝ, que no es continua en un punto xo, verifica uno de las siguientes
situaciones:
• )(xflimoxx→
no existe y en tal caso se dice que la discontinuidad en xo es esencial, o bien
• )(xflimoxx→
≠ f(xo), en este caso se dice que la discontinuidad en xo es removible o
evitable.
La razón de estos nombres es porque en el caso de presentarse una discontinuidad
removible, basta con redefinir la función, asignando el valor del límite como imagen de xo,
para convertirla en una función continua en xo. En cambio, si la función f presenta una
discontinuidad esencial en xo, no hay ninguna redefinición posible que la transforme en una
función continua en xo.
EJEMPLO II.1.7.1.
La discontinuidad de la función real
⎩⎨⎧
=≠⋅
=0,10,)/sen(
)(xxxx
xfπ
es removible, pues basta con redefinir la imagen en x = 0 como cero, para que la función
sea continua, como se aprecia en la grafica:
⎩⎨⎧
=≠⋅
=0,00,)/sen(
)(xxxx
xfπ
0
0 EJEMPLO II.1.7.2.
La función
⎩⎨⎧
=≠−
=3,53,2
)(2
xxxx
xf
también tiene una discontinuidad removible, pues basta con redefinir f(3) = 9 – 6 = 3, para
que la función sea continua.
191
-10
0
10
20
30
40
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 EJEMPLO II.1.7.3.
La función
⎩⎨⎧
∉∈
=racionalesxracionalesx
xf,0,1
)(
tiene una discontinuidad esencial en todos sus puntos. No es posible redefinir la función
para que sea continua.
-1
0
1
2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
EJERCICIO II.1.7.4.
La función:
⎩⎨⎧
=≠−−
=3,03,)3/()2(
)(2
xxxxx
xf
también tiene una discontinuidad esencial en x =3, pues ni siquiera existe el límite en ese
punto.
-10
0
10
20
30
40
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
192
ACTIVIDAD II.1.7.5.
1. Clasifique la discontinuidad de la siguiente función. En caso de ser removible, redefina
la función para que sea continua.
⎩⎨⎧
=≠−
=3,13,)3(
)(2
xxxx
xf
Solución:
La función es continua para todos los números reales distintos de 3, por tratarse de un
polinomio. En x = 3, nos encontramos frente a un punto de discordinación de la definición
que debe ser estudiado con detención. El límite de la función existe en x = 3 y es igual a 0,
que es distinto de f(3) = 1, por lo que la función presenta una discontinuidad removible.
La redefinición de la función de manera de lograr una función continua es:
⎩⎨⎧
=≠−
=3,03,)3(
)(2
xxxx
xf
2. Clasifique la discontinuidad de la siguiente función. En caso de ser removible, redefina
la función para que sea continua.
⎩⎨⎧
=≠−
=3,13,)3/(1
)(2
xxxx
xf
Solución:
La función presenta una discontinuidad esencial en x = 3, pues el límite de la función en
ese punto es infinito.
3. Clasifique la discontinuidad de la siguiente función. En caso de ser removible, redefina
la función para que sea continua.
⎩⎨⎧
≤>−
=3,13,)3(
)(2
xxxx
xf
Solución:
La función presenta una discontinuidad esencial en x = 3, pues el límite no existe en ese
punto.
RESUMEN
En esta sección se definen los dos tipos de discontinuidades que puede presentar una
función: la removible y la esencial, dependiendo si es posible modificar o no la función
para que se transforme en continua.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Toda función discontinua puede redefinirse para que sea continua.
193
2. Si la discontinuidad es esencial, entonces no existe el límite de la función de dicho
punto.
3. Si la discontinuidad es removible, entonces existe el límite de la función.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de números reales.
Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento del dominio.
Límite: valor del codominio de la función al cual se acercan las imágenes en la medida que
las preimagenes tienden a un valor.
SIMBOLOS
)(xflimoxx→
: Límite de f cuando x tiende a xo.
= : Igual que.
≠ : Distinto que.
ℝ : Conjunto de números reales.
194
II.2. DERIVADAS
En este capítulo abordaremos el estudio de las derivadas de funciones reales, lo que nos
permitirá "medir" el grado de suavidad que presenta una curva en un punto determinado. Al
finalizar el capítulo, ud. deberá ser capaz de:
• Comprender e interpretar el concepto de pendiente de una curva en un punto.
• Conocer la definición formal de derivada.
• Derivar funciones polinomicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
• Aplicar el álgebra de derivadas pare calcular derivadas de funciones.
• Derivar funciones compuestas.
• Derivar más de un grado una fucnión.
195
II.2.1. CURVAS SUAVES
La apariencia de la curva producto de gráfica de una función continua, puede tener un
aspecto que varia desde cambios abruptos a suaves. En efecto, en un punto determinado,
una curva puede presentar una variación tan brusca como la correspondiente al valor
absoluto, o tan suave como la asociada a una función trigonométrica. En los ejemplos
siguientes ilustramos sobre la curva asociada a estas funciones.
EJEMPLO II.2.1.1.
Consideremos la función valor absoluto: | ⋅ | : ℝ → ℝ, x a |x|, esta función no es suave
en x = 0, donde se presenta una arista.
0
2
4
6
8
10
-10 -5 0 5 10
EJEMPLO II.2.1.2.
La función cos : ℝ → ℝ, que asocia a cada número real x, el valor de cos(x), es suave en
cada uno de sus puntos.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-4 -2 0 2 4
En general, una función tipo serrucho no será suave en los puntos correspondientes a los
vértices de cada diente, mientras que una función ondulatoria será suave en cada uno de los
puntos de su dominio.
Incluso, existe un fenómeno tan extraño como la función de Riemann, que no es suave en
ningún punto, pese a ser continua en todos.
196
EJEMPLO II.2.1.3.
La función de Riemann se define como un serrucho en el cual, cada uno de sus dientes
tiene también una forma de serrucho, y los dientes de estos, también tienen más dientes,
etc. El la figura adjunta se muestra un esbozo de esta curva.
Observemos que estamos restringiendo nuestra discusión a funciones continuas, por lo que
no se admiten saltos, ni la no existencia de límites en un punto.
Que una curva sea suave, significa que pequeños cambios en el dominio de la función,
provoca un pequeño cambio en la imagen de ella. Así una perturbación en la preimagen,
no traerá grandes diferencias en la imagen final de la función.
Cuando una curva no es suave, pequeñas perturbaciones en la preimagen, pueden provocar
grandes cambios en los valores de la imagen de una función.
Esta interpretación de curvas suaves, ha llevado a clasificar los fenómenos presentes en la
naturaleza entre los continuos y diferenciables (curvas suaves) de aquellos caóticos (curvas
continuas, pero no suaves).
Cuando la curva es suave, se presentan varias propiedades muy deseables: es fácil
aproximar la función en el entorno de un punto por una recta que es la curva más sencilla
que puede existir, se puede predecir el comportamiento futuro de la curva, se puede estimar
la rango de variación de la curva en un intervalo determinado, etc. Es tan importante el
concepto de suavidad de una curva, que su estudio reclama un capítulo completo de la
matemática. Se habla de la derivada de una función, que corresponde a la pendiente de la
recta que es tangente a una curva en un punto determinado. Para medir la suavidad de una
curva, nos preocupamos de la existencia de esta derivada y de que a su vez no tenga
cambios bruscos (la segunda derivada), después de la tercera, etc.
197
Cuando una función continua no es derivable, entonces su curva no es suave en el punto
considerado. Conviene insistir en que el concepto de suavidad de una curva es puntual, esto
es, siempre se encuentra asociado a un punto específico de la curva. Sólo si se ha
determinado que la curva es suave en todos y cada uno de los puntos de su dominio,
hablamos de que la curva es suave.
RESUMEN
En la presente sección revisamos el concepto de suavidad de una curva en un punto, su
interpretación como cambios proporcionales entre lo que ocurre en las imágenes con las
preimagenes, y su relación con el concepto de derivada.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Si una función no es continua, entonces no puede ser suave.
2. Toda función continua es suave.
3. La suavidad es un concepto puntual.
4. Si una curva es suave, pequeños cambios en el dominio provocan pequeños cambios en
la imagen de la función.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Falso.
3. Verdadero.
4. Verdadero.
GLOSARIO
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función continua: función cuya gráfica no presenta saltos ni vacíos.
Función real: función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Función trigonométrica: función cuya relación es una expresión trigonométrica.
198
Función valor absoluto: función cuya relación es un valor absoluto.
Imagen: elemento del codominio de una función, asociado con un elemento particular del
dominio.
Límite: Valor del codominio de una función, al cual se acercan las imágenes de esta en la
medida que sus preimagenes se acercan a un punto determinado.
Números reales: números naturales, enteros, racionales o irracionales.
Preimagen: valor del dominio de una función asociado con un elemento particular del
codominio.
Valor absoluto: distancia de un número real al cero, el número sin signo.
199
II.2.2. DEFINICION DE DERIVADA
En geometría se define una recta tangente a una circunferencia como aquella recta que toca
a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular al radio en ese punto. En la presente
sección vamos a extender la noción de recta tangente a cualquier clase de curva.
Para definir en forma precisa la noción de recta tangente debemos recurrir al concepto de
límite. Consideremos la función mostrada en la figura.
Deseamos determinar la recta tangente a la curva en el punto (xo, f(xo)). Para ello
consideremos sobre la curva una secuencia de puntos que se acerca cada vez más a (xo,
f(xo)), digamos: (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)), etc, y definamos las rectas L1, L2, L3, que
unen a (xo, f(xo)) con (x1, f(x1)), (xo, f(xo)) con (x2, f(x2)), (xo, f(xo)) con (x3, f(x3)), etc.
La pendiente de la recta Ln, que une los puntos (xo, f(xo)) con (xn, f(xn)) se encuentra
determinada por la expresión
on
on
xxxfxf
−− )()(
Las rectas Ln tenderán a la recta tangente de la curva en (xo, f(xo)), en la medida que (xn,
f(xn)) se acerque a al punto (xo, f(xo)). De esta manera, la pendiente de la recta tangente a
la curva en el punto (xo, f(xo)) debe ser el valor límite.
200
on
on
xx xxxfxf
limon −
−→
)()(
Antes de entregar la definición de derivada de f en un punto, que nos entregará la pendiente
de la recta tangente a la curva en el punto considerado, notemos que el límite anterior
puede ser expresado en la forma equivalente
hxfhxf
limxx
xfxflim oo
hon
on
xx on
)()()()(0
−+=
−−
→→
Que expresa que xn = xo + h es una perturbación del punto xo y por lo tanto, buscamos las
perturbaciones que en el límite sean cero.
DEFINICION
La función f: ℝ → ℝ es derivable en xo si h
xfhxflim oo
h
)()(0
−+→
existe. En este caso, el
límite se designa por f’(xo) o dxxdf o )(
y recibe el nombre de derivada de f en xo. Se dice
también que f es derivable si f es derivable en todos los puntos xo del dominio de f.
Si el límite h
xfhxflim oo
h
)()(0
−+→
no existe, entonces diremos que f(x) no es derivable en
xo. En este caso no hay recta tangente a la curva en el punto considerado.
EJEMPLO II.2.2.1.
La función real f(x) = x es derivable en xo = 2. En efecto
f’(x)= 1122)2()2(0000===
−+=
−+→→→→ hhhh
limhhlim
hhlim
hfhflim
Así la derivada de f(x) en x = 2 es 1. Observe que f(x) = x, la función identidad en realidad
es derivable en todo ℝ.
EJEMPLO II.2.2.2.
La función real f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x2 – 5x + 1 es derivable en xo = 5. En efecto, aplicando
la definición de derivada, se tiene que:
F’(x) = h
fhflimh
)5()5(0
−+→
=h
hhlimh
155521)5(5)5(2 22
0
−⋅+⋅−++−+→
=h
hhhlimh
1555215555452 222
0
−⋅+⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅+⋅→
201
= h
hhlimh
2
0
15 +⋅→
= h
hhlimh
)15(0
+→
= )15(0
hlimh
+→
= 15
Así f’(5) = 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 5 10 15
EJEMPLO II.2.2.3.
La función f(x) = |x| no es derivable en xo = 0. En efecto, la función valor absoluto se
define por tramos de la siguientes manera:
⎩⎨⎧
≥<−
=0,0,
)(xxxx
xf
Por lo tanto, se tiene que los límites laterales de f(x) en cero son los siguientes:
)1(||)0()0(−=
−==
−+−→−→−→−→ ohohohoh
limhhlim
hhlim
hfhflim = - 1
)1(||)0()0(+→+→+→+→
===−+
ohohohohlim
hhlim
hhlim
hfhflim = + 1
como ambos límites laterales son distintos entre si, se tiene queh
fhflimoh
)0()0( −+→
no
existe y por lo tanto la función valor absoluto no es derivable en cero.
0
2
4
6
8
10
-10 -5 0 5 10
202
TEOREMA. La derivada de una función constante en xo es cero. Esto es 0)(=
dxcd
Demostración. Sea f: ℝ → ℝ, f(x) = c, se tiene entonces que
000)()(0000
===−
=−+
→→→→ hhh
oo
hlim
hlim
hcclim
hxfhxf
lim
así f’(xo) = 0.
TEOREMA. La derivada de una función lineal coincide con la pendiente de la línea recta.
Esto es abaxdxd
=+ )(
Demostración. Sea f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, entonces
f´(x)= aalimhahlim
hbaxbhxa
limh
xfhxflim
hh
oo
h
oo
h===
−−++=
−+→→→→ 0000
)()()(
TEOREMA. La derivada de la función cuadrática f: ℝ → ℝ, f(x) = x2, en xo es 2xo. Esto
es xxdxd 2)( 2 =
Demostración:
hxfhxf
lim oo
h
)()(0
−+→
= h
xhxlim oo
h
22
0
)( −+→
= h
xhhxxlim ooo
h
222
0
2 −++→
= h
hhxlim o
h
2
0
2 +→
= )2(0
hxlim oh+
→
= 2xo
TEOREMA. La derivada de la función cúbica f: ℝ → ℝ, f(x) = x3, en xo es 3 2ox . Esto es
23 3)( xxdxd
=
Demostración:
hxfhxf
lim oo
h
)()(0
−+→
= h
xhxlim oo
h
33
0
)( −+→
= h
xhhxhxxlim ooo
h
33223
0
33 −+++→
= h
hhxhxlim oo
h
322
0
33 ++→
= )33( 22
0hhxxlim ooh
++→
= 23 ox
203
II.2.2.5. ACTIVIDAD
1. Determine la derivada de las siguientes funciones.
a) f(x) = x
b) f(x) = 10
c) f(x) = 3x – 5
d) f(x) = 5x + 10
e) f(x) = 100 – x
f) f(x) = x2
g) f(x) = x3
Solución:
a) f’(x) = 1
b) f’(x) = 0
c) f’(x) = 3
d) f’(x) = 5
e) f’(x) = -1
f) f’(x) = 2x
g) f’(x) = 3x2
2. Utilizando la definición de derivada, calcule la derivada en el punto indicado
a) f(x) = - 4x, en xo = 1
b) f(x) = - x, en xo = -1
c) f(x) = 3 – 5x, en xo = 0
d) f(x) = 3 – x2, en xo = -1
e) f(x) = 3 – x2, en xo = 1
f) f(x) = 3 – x2, en xo = 2
g) f(x) = x2 – 3x + 1, en xo = 0
Solución:
a) f'(1) = - 4
b) f'(-1) = -1
c) f'(0) = - 5
d) f'(-1) = 2
e) f'(1) = - 2
f) f'(2) = - 4
g) f'(0) = - 3
3. Define la recta tangente a la curva en el punto indicado
a) f(x) = x3, en xo = 8
b) f(x) = 2x2 + 4x – 3, en xo = 1
c) f(x) = x3 – 6x2 + 5x, en el origen.
204
d) f(x) = x3 – 3x + 1 en xo = 0
Solución:
a) y = 192x – 1024
b) y = 8x – 5
c) y = 5x
d) y = -3x + 1
4. Calcule la derivada en el punto indicado y bosqueje la gráfica de la curva y de la recta
tangente al punto considerado.
a) f(x) = 2x, xo = 3
b) f(x) = 3x2 + 4, xo = 1
c) f(x) = 3x2 + 4, xo = 2
d) f(x) = 3x2 + 4, xo = -1
Solución:
a) f'(3) = 2, y = 2x
-10
-5
0
5
10
-4 -2 0 2 4 b) f´(1) = 6, y = 6x +1
-40
-20
0
20
40
60
80
-4 -2 0 2 4 c) f'(2) = 12, y = 12x – 8
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-4 -2 0 2 4 d) f'(-1) = - 6, y = - 6x + 1
205
-40
-20
0
20
40
60
80
-4 -2 0 2 4
II.2.2.6. EJERCICIOS
1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones
a) f(x) = 100
b) f(x) = -5
c) f(x) = 0
d) f(x) = 10 – x
e) f(x) = 10 – 2x
f) f(x) = 100x + 100
g) f(x) = x3
Solución
a) f’(x) = 0
b) f’(x) = 0
c) f’(x) = 0
d) f’(x) = -1
e) f’(x) = -2
f) f’(x) = 100
g) f’(x) = 3x2
2. Utilizando la definición de derivada, determine la derivada de las siguientes funciones.
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 5x / 3
c) f(x) = 3 – 5x
d) f(x) = x – 5
e) f(x) = 4/3 – 5x
f) f(x) = 3 – x2
g) f(x) = 4 / (x2 + 2)
h) f(x) = 5x2 – x + 2
3. Defina la recta tangente a la curva en el punto indicado
a) f(x) = x2 + x –1, xo = 1
b) f(x) = x2 + 3x, xo = -1
c) f(x) = -x3 + 3x + 1, xo = 3
d) f(x) = (x + 1) / ( x – 2), xo = 3
206
e) f(x) = x−3 , xo = -1
f) f(x) = x4 – 2x + 5, xo = -1
RESPUESTAS
1.
a) f’(x) = 3
b) f’(x) = 5/3
c) f’(x) = – 5
d) f’(x) = 1
e) f’(x) = – 5
f) f’(x) = -2x
g) f’(x) = -8x / (x2 + 2)2
h) f’(x) = 10x – 1
2.
a) f'(x) = 3
b) f'(x) = 5 / 3
c) f'(x) = - 5
d) f'(x) = 1
e) f'(x) = - 5
f) f'(x) = - 2x
g) f'(x) = -8x / (x2 + 2)
h) f'(x) = 10x - 1
3.
a) y = 3x – 2
b) y = x –1
c) y = -24x + 55
d) y = - 3x + 13
e) y = - x / 4 + 7 / 4
f) y = - 6x + 2
RESUMEN
En esta sección se analiza la definición de derivada, que establece que el valor de la
derivada en un punto en particular de la curva, corresponde a la pendiente de la recta
tangente a la curva en dicho punto. Se concluye la sección revisando algunos teoremas
básicos que establecen la derivada para la función constante, la función identidad, la
función lineal, la función cuadrática y la función cúbica.
207
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La derivada de una función constante es cero.
2. La derivada de la función identidad es la misma función identidad.
3. La derivada es la recta tangente a una curva.
4. La pendiente de la recta tangente de una curva es la misma para todos los puntos de una
curva.
RESPUESTAS
1. Verdadero
2. Falso.
3. Falso.
4. Falso.
GLOSARIO
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función constante: Función cuya imagen es un único elemento.
Función cuadrática: Función cuya relación es un polinomio de grado dos.
Función cúbica: Función cuya relación es un polinomio de grado tres.
Función identidad: Función que asocia a cada preimagen consigo misma.
Función lineal: Función cuya relación es un polinomio de grado uno.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Función valor absoluto: Función cuya relación es una expresión en valor absoluto.
Límite: Valor del codominio al cual se acercan las imágenes de una fucnión en la medida
que sus preimagenes tienden a un valor fijo.
Perpendicular: Recta que cruza a una curva formando un ángulo recto.
208
Recta tangente: Recta que toca a una curva en un solo punto.
SIMBOLOS
f(x) : función f evaluada en x.
)(xfdxd : Derivada de f en x.
f'(x) : derivada de f en x.
)(xflimoxx→
: Límite de f cuando x tiende a xo.
ℝ : Conjunto de los números reales
= : igual que
209
II.2.3. ALGEBRA DE DERIVADAS POLINOMICAS
En la presente sección demostraremos tres teoremas básicos que nos ayudaran en el cálculo
de las derivadas de funciones reales. Estos teoremas establecen la forma de calcular la
derivada de la suma de dos funciones, del producto de una función por una constante y la
derivada de una función polinomica. A continuación veremos el primero de estos
teoremas, el cual establece que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las
derivadas.
TEOREMA Si f y g son dos funciones reales derivables en xo, entonces f + g es derivable
en xo y se tiene (f + g)’(xo)=f’(xo) + g’(xo). Esto es, la derivada de la suma de dos funciones
es igual a la suma de las derivadas.
Demostración: La demostración se basa en aplicar la definición de la derivada y
propiedades conocidas de los límites.
(f + g)’(xo) = h
xgfhxgflim oo
h
))(())((0
+−++→
= h
xgxfhxghxflim oooo
h
)()()()(0
−−+++→
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++
−+→ h
xghxgh
xfhxflim oooo
h
)()()()(0
=h
xghxglim
hxfhxf
lim oo
h
oo
h
)()()()(00
−++
−+→→
= f’(xo) + g’(xo)
Lo que demuestra el teorema.
EJEMPLO II.2.3.1.
Determine la derivada de las siguientes funciones reales.
dxd (x + 100) =
dxd (x) +
dxd (100) = 1 + 0 = 1
dxd (x3 + x2) =
dxd (x3) +
dxd (x2) = 3x2 + 2x
EJEMPLO II.2.3.2.
Suponga que se conoce que las derivadas de las siguientes funciones reales son las que se
indican:
dxd (4x3) = 12x2
210
dxd (2x - 5) = 2
dxd (x2) = 2x
Entonces la derivada de la suma de estas tres funciones, esta dada por la aplicación
sucesiva del teorema anterior y la asociatividad de la suma de funciones:
dxd (4x3 + 2x – 5 + x2) =
dxd (4x3) +
dxd (2x – 5) +
dxd (x2) = 12x2 + 2 + 2x
El segundo teorema que veremos, establece que la derivada del producto de una función
real por una constante se calcula multiplicando la derivada de la función por la constante, o
bien sacando la constante fuera de la derivada.
TEOREMA. Si g(x) = c ⋅ f(x) y f es derivable en xo, entonces g también es derivable en xo
y g’(xo) = c ⋅ f’(xo)
Demostración: Nuevamente la demostración se realiza aplicando la definición de derivada,
junto con usar las propiedades de los límites.
g’(xo) = h
xghxglim oo
h
)()(0
−+→
= h
xfchxfclim oo
h
))(())((0
⋅−+⋅→
= h
xfchxfclim oo
h
)()(0
⋅−+⋅→
= h
xfchfcxfclim oo
h
)()()(0
⋅−⋅+⋅→
= h
hfclimh
)(0
⋅→
= hhflimc
h
)(0→
⋅
= f’(xo)
Los ejemplos siguientes nos ilustran sobre el uso de los teoremas anteriores para encontrar
la derivada de polinomios.
EJEMPLO II.2.3.3.
Determine la derivada de las siguientes funciones reales.
dxd (f(x) – g(x)) =
dxd f(x) +
dxd (-g(x)) =
dxd f(x) –
dxd g(x)
211
dxd (4x3) = 4
dxd (x3) = 4 ⋅ 3x2 = 12x2
dxd (10x) = 10
dxd (x) = 10 ⋅ 1 = 10
dxd (10x2) = 10
dxd (x2) = 10 ⋅ 2x = 20x
EJEMPLO II.2.3.4.
Determine la derivada de las siguientes funciones reales.
dxd (10x + 5) =
dxd (10x) +
dxd (5) = 10
dxd (x) + 0 = 10 ⋅ 1 = 10
dxd (4x3 – 3x2) =
dxd (4x3) -
dxd (3x2) = 4
dxd (x3) – 3
dxd (x2) = 4 ⋅ 3x2 – 3 ⋅ 2x = 12x2 – 6x
TEOREMA Sea f(x) = xn para algún número natural n, entonces f’(xo) = nxon-1, para todo
xo.
Demostración: Se efectúa aplicando inducción matemática. Para ello, suponemos que el
conjunto S = {n ∈ N: si f(x) = xn ⇒ f'(x) = nxn-1}. Claramente S esta contenido en N. Se
tiene además que se cumplen las dos condiciones del principio de inducción matemática:
• 1 ∈ S
• n ∈ S ⇒ dxd xn = nxn-1
⇒ dxd xn+1 =
dxd xn ⋅ x + xn
dxd x
⇒ dxd xn+1 = nxn-1 ⋅ x + xn ⋅ 1
⇒ dxd xn+1 = nxn + xn
⇒ dxd xn+1 = (n + 1)xn
⇒ n + 1 ∈ S
De esta manera N = S y se ha demostrado el teorema.
EJEMPLO II.2.3.5.
Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
f(x) = x100 ⇒ f’(x) = 100x99
f(x) = 10x10 ⇒ f’(x) = 10 dxd (x10) = 10 ⋅ 10x9 = 100x9
212
f(x) = x5 + 2x4 ⇒ f’(x) = dxd (x5) +
dxd (2x4) = 5x4 + 2
dxd (x4) = 5x4 + 2 ⋅ 4 x3 = 5x4 + 8x3
El teorema anterior, como demostraremos más adelante, se puede generalizar a potencias de
cualquier número real.
EJEMPLO II.2.3.6.
Evalúe las derivadas de las funciones reales siguientes:
f(x) = x-2 ⇒ f’(x) = -2x-3
f(x) = x3/2 ⇒ f’(x) = 3/2 ⋅ x1/2
f(x) = x = x½ ⇒ f’(x) = ½ x-½ = x2
1
f(x) = xπ ⇒ f’(x) = πxπ-1
Para finalizar con esta sección introducimos el concepto de derivadas de orden superior.
Así como se define la deriva de una función, conocida como derivada de primer orden,
podemos encontrar la derivada de segundo orden o segunda derivada de f, que consiste en
derivar la primera derivada. De la misma manera, derivando la segunda derivada, se
encuentra la tercera derivada de una función, o derivada de tercer orden, etc.
La segunda derivada de una función se denota por f''(x) o 2
2
dxd f(x), la tercera deriva de una
función se denota por f'''(x) o 3
3
dxd f(x). En general la n – ésima derivada se denota por f(n)x
o n
n
dxd f(x).
EJEMPLO II.2.3.7.
Encuentre la primera, segunda y tercera derivada de las funciones reales siguientes:
• f(x) = 5x3 – x2 + 1
f'(x) = 15x2 – 2x
f''(x) = 30x – 2
f'''(x) = 30
• f(x) = 2x2 + 1000
f'(x) = 4x
f''(x) = 4
f'''(x) = 0
• f(x) = x100
213
f'(x) = 100x99
f''(x) = 9900x98
f''' (x) = 970200x97
• f(x) = 1
f'(x) = 0
f''(x) = 0
f'''(x) = 0
Es interesante observar que para anular un polinomio de grado n, basta con derivar n + 1
veces.
EJEMPLO II.2.3.8.
Derive hasta encontrar la función nula: f(x) = x4 – 10x3 + 5x – 3.
f'(x) = 4x3 – 30x2 + 5
f''(x) = 12x2 – 60x
f'''(x) = 24x – 60
f(iv)(x) = 24
f(v)(x) = 0
ACTIVIDAD II.2.3.9.
1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = 9x3 – 3x2 + 10x + 9
b) f(x) = 10x5 – x4 + 3x3 – 6x2
c) f(x) = 6x2 + 6x + 3
d) f(x) = x3 + 9x2 – 8x + 5
e) xxxf −= 3)(
f) f(x) = 4x5/4 + 6x3 + 2x1/2
g) 23)( xxf =
h) 62)( xxxf =
i) f(x) = x100 – 1
Solución:
a) f’(x) = 27x2 – 6x + 10
b) f’(x) = 50x4 – 4x3 + 9x2 – 12x
c) f’(x) = 12x + 6
d) f’(x) = 3x2 + 18x – 8
e) xxxf −= 3)(
f) f’(x) = 5x1/4 + 18x2 + x -1/2
214
g) 23)( xxf =
h) 62)( xxxf =
i) f’(x) = 100x99
2. Determine la derivada de las siguientes funciones reales:
a) f(x) = x5/3 + 2x4/3 – 3x-1/3
b) f(x) = x-2/3 + x–4/3 – 2x4/7
c) f(x) = x3/2 + 2x3/5 – 4x4/7
d) 12/13/4 2243)( −−+= xxxxf
e) 5
42)(2/12/12/3 −+−
=xxxxf
f) 2/54/13/2
5252)( xxxxf −+= −
g) 4/11213/8
83 4)( xxxxf −+= −
h) 2
2/12/32/5 23)(x
xxxxf +−=
i) 5 23 2 532)( xxxxxxf −+=
j) 33323
101
71
41)( xxxxxxxf +−=
Solución:
a) f(x) = x5/3 + 2x4/3 – 3x-1/3
b) f(x) = x-2/3 + x–4/3 – 2x4/7
c) f(x) = x3/2 + 2x3/5 – 4x4/7
d) 12/13/4 2243)( −−+= xxxxf
e) 5
42)(2/12/12/3 −+−
=xxxxf
f) 2/54/13/2
5252)( xxxxf −+= −
g) 4/11213/8
83 4)( xxxxf −+= −
h) 2
2/12/32/5 23)(x
xxxxf +−=
i) 5 23 2 532)( xxxxxxf −+=
j) 33323
101
71
41)( xxxxxxxf +−=
3. Encuentre la primera, segunda y tercera derivada de las funciones siguientes:
a) f(x) = 10x2 – 5x + 1
b) f(x) = 10x10 + 5
215
Solución:
a) f´(x) = 20x – 5, f''(x) = 20, f'''(x) = 0
b) f'(x) = 100x9, f''(x) = 900x8, f'''(x) = 7200x7.
EJERCICIOS II.2.3.10.
1. Derive las siguientes funciones:
a) f(x) = x2 + 3x – 4
b) f(x) = x14 + 10x2 + 7x – 4
c) f(x) = x-2 - 4x-5 + 3x-8
d) f(x) = x3 + 2x2 – 3x + 5 – 2x-1 + 4x-2
e) f(x) = x2 + 2x – 1/x2
f) f(x) = 2x3 + 5x2 – 3x + 7
g) f(x) = x8 + 2x6 – 4x3 + 6x + 9
h) f(x) = 2x-1 – 3x-5 + 2x2 – 7
i) f(x) = x5 + 12x – 1 + 3x-4 – 5x-7
j) 43 23)(
xxxxf −−=
k) 34
8532)(x
xxxf +−=
l) 743)(x
xf =
2. Derive las siguientes funciones reales:
a) y = x4 + 3x2 – 6
b) y = 6x3 – x2
c) y = x5 / (a + b) – x2 / (a – b) – x
d) y = (x3 – x2 + 1) /5
e) y = 2ax3 – x2 / b + c
f) y = 6x7/2 + 4x5/2 + 2x
RESPUESTAS
1.
a) f’(x) = x + 3
b) f’(x) = 14x13 + 20x + 7
c) f’(x) = 2x- - 20x-4 + 24x-7
d) f’(x) = 3x2 + 4x – 3 +2x-2 - 8x-3
e) f’(x) = 2x + 2 + 2/x3
f) f’(x) = 6x2 + 10x – 3
g) f’(x) = 8x7 + 12x5 – 12x2 + 6
h) f’(x) = -2x-2 – 15x-4 + 4x
216
i) f’(x) = 5x4 + 12 - 12x-5 + 35x-8
j) 43 23)(
xxxxf −−=
k) 34
8532)(x
xxxf +−=
l) 743)(x
xf =
2.
a) y’ = 4x3 + 6x
b) y’ = 18x2 – 2x
c) y’ = 5x4 / (a + b) – 2x / (a – b) – 1
d) y’ = (3x2 – 2x) / 5
e) y’ = 6ax2 – 2x / b
f) y’ = 21x5/2 + 10x3/2 + 2
RESUMEN
En la presente sección se revisan los teoremas que establecen el calculo de derivadas en
polinomios, como la derivada de la suma, la derivada del producto por escalar y la derivada
d ela potencia n – ésima de x. Además se define el concepto de derivada de derivada o
segunda derivada y la derivada de la segunda derivada o tercera derivada de f.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La derivada de la suma de dos funciones corresponde a la suma de las derivadas.
2. La derivada de la función nula corresponde a la misma función nula.
3. La segunda derivada de una función es la derivada de la derivada de la función.
4. Se debe derivar n veces para anular un polinomio de grado n.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
4. Falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función polinómica: Función cuya relación es un polinomio.
217
Función real: Función cuyo conjunto de partida y de llegada son subconjuntos de números
reales.
Límite: Elemento del codominio de una función al cual se acercan las imágenes de esta en
la medida que las preimagenes tienden a un valor fijo.
Número natural: El tipo de número que se utiliza para contar: 1, 2, 3, etc.
Número real: Números naturales, enteros, racionales o irracionales.
SIMBOLOS
f(x) : función f evaluada en x.
)(xfdxd : Derivada de f en x.
f'(x) : derivada de f en x.
)(xflimoxx→
: Límite de f cuando x tiende a xo.
ℝ : Conjunto de los números reales
N : Conjunto de los números naturales.
= : igual que
f''(x) : segunda derivada de f.
2
2
dxd f(x): segunda derivada de f.
f'''(x) : tercera derivada de f.
3
3
dxd f(x) : tercera derivada de f.
218
f(n)(x) : derivada de orden n de f.
n
n
dxd f(x) : derivada de orden n de f.
219
II.2.4. DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS
Para derivar funciones compuestas existe un teorema especial, llamado regla de la cadena,
el cual establece que para derivar f o g, debemos derivar f y evaluarlo en g y esto
multiplicarlo por la derivada de g.
TEOREMA
Sean f y g dos funciones reales tales que la función compuesta f o g se encuentra bien
definida, entonces:
dxd (f o g)(x) =
dxd f(g(x)) = f’(g(x)) ⋅
dxd g(x) = f’(g(x)) ⋅ g’(x)
La regla de la cadena, tiene múltiples aplicaciones, la primera de ellas es que nos permite
derivar polinomios elevados a potencias sin necesidad de desarrollar los polinomios.
EJEMPLO II.2.4.1.
Determine la derivada de f(x) = (x2 + 5x)4
f'(x) = 4(x2 + 5x)3 (2x + 5)
El teorema se conoce como regla de la cadena porque literalmente se construye una cadena
de derivadas al actuar sobre varias funciones compuestas.
EJEMPLO II.2.4.2.
Derivar f(x) = ((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)4
f'(x) = 4((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)3 ⋅ ((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)
= 4((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)3 (4(x2 + 5x)3 (x2 + 5x) + 2x + 5)
= 4((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)3 ⋅(4(x2 + 5x)3(2x + 5) + 2x + 5).
ACTIVIDAD II.2.4.3.
1. Determine las derivadas de las siguientes funciones reales:
a) f(x) = (x2 + 8)12
b) f(x) = (2x – 1)15
c) f(x) = (2x2 – 5x)11
d) f(x) = (x3 – x2 + 3x + 6)5
e) f(x) = (x + 3)1/4
f) f(x) = (x2 + 3)1/3
g) f(x) = (3x2 + 9x + 2)-1/3
h) 45)( 2 ++= xxxf
220
i) ( )32 45)( ++= xxxf
Solución
a) f’(x) = 24(x2 + 8)11x
b) f’(x) = 30(2x – 1)14
c) f’(x) = 11(2x2 – 5x)(4x – 5)
d) f’(x) = 5(x3 – x2 + 3x + 6)4(3x2 – 2x + 3)
e) f’(x) = ¼(x + 3)-3/4
f) f’(x) = 2/3(x2 + 3)-4/3x
g) f’(x) = –(3x2 + 9x + 2)-4/3(2x + 3)
h) f’(x) = ½(x2 + 5x + 4)-½ (2x + 5)
i) f’(x) = 3/2(x2 + 5x + 4)½ (2x + 5)
2. Determine las derivadas de las siguientes funciones:
a) ( ) 5/1)( xxxf +=
b) ( )6121)( ++= xxf
c) 23 312)( xxxxf −+++=
d) f(x) = ((2x + 1)5 + (x2 – 3)5)2/5
e) 11)( 2 +++= xxxf
Solución:
a) f’(x) = 1/5(x + x )-4/5(1 + ½x–½)
b) f’(x) = 3(1 + 12 +x )5(2x + 1)-½
c) f’(x) = ½ (x3 + 2x + 1)-½(3x2 + 2) – (3 – x2)-½x
d) 2/5((2x + 1)5 + (x2 – 3)5)-3/5 (5(2x + 1)4 + 5(x2 – 3)42x)
e) ½(1 + (x +(x2 + 1)½)½ )–½ ⋅ ½(x + (x2 + 1)½)-½ (1 + (x2 + 1)-½ )
EJERCICIOS II.2.5.4.
1. Determine las derivadas de las siguientes funciones reales:
a) f(x) = (x2 + 2x – 1)2
b) f(x) = (x3 + 7x2 – 8x – 6)2
c) f(x) = (x7 – 2x + 3x-2)2
d) f(x) = (x2 + x + 1)3
2. Derive las siguientes funciones:
a) f(x) = (2x + 3)9
b) f(x) = (x3 + 4x2 – 3x + 7)5
c) f(x) = (x3 + 2x – 3 + x-2)4
d) f(x) = (x2 + 4x – 3)6
e) f(x) = (2x + 1)-4
221
f) f(x) = (x4 + 5x – 6x-1)3
g) f(x) = (2 – 5x)4
h) f(x) = (x2 – 3x + 2)-5
i) f(x) = (x2 + 2 –x-2)-1
j) f(x) = (3x3 + 2x2 – 6x-4)-4
k) f(x) = (((x2 + x)3 + x)4 + x)5
RESPUESTAS
1.
a) f’(x) = 2(x2 + 2x – 1)(2x + 2)
b) f’(x) = 2(x3 + 7x2 – 8x – 6)(3x2 + 14x - 8)
c) f’(x) = 2(x7 – 2x + 3x-2)(7x6 – 2 + 6x)
d) f’(x) = 3(x2 + x + 1)3(2x + 1)
2.
a) f’(x) = 9(2x + 3)82
b) f’(x) = 5(x3 + 4x2 – 3x + 7)4(3x2 + 8x –3)
c) f’(x) = 4(x3 + 2x – 3 + x-2)3(3x2 + 2 +2x)
d) f’(x) = 6(x2 + 4x – 3)5(2x + 4)
e) f’(x) = -4(2x + 1)-52
f) f’(x) = 3(x4 + 5x – 6x-1)2(4x3 + 5 +6x-2)
g) f’(x) = 4(2 – 5x)3(-5)
h) f’(x) = -5(x2 – 3x + 2)-6(2x – 3)
i) f’(x) = -(x2 + 2 –x-2)-2(2x +2x-3)
j) f’(x) = -4(3x3 + 2x2 – 6x-4)-5(9x2 + 4x + 2x-5)
k) f’(x) = 5(((x2 + x)3 + x)4 + x)4(4((x2 + x)3 + x)3(3(x2 + x)2(2x + 1) + 1) + 1)
RESUMEN
En la presente sección se estudia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La derivada de f o g es f' o g'.
2. La regla de la cadena se utiliza para calcular derivada de funciones compuestas.
3. La regla de la cadena sólo se puede aplicar a la composición de dos funciones.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
222
3. Falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función compuesta: función construida por la evaluación de una función sobre otra.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
SIMBOLOS
f(x) : función f evaluada en x.
)(xfdxd : Derivada de f en x.
f'(x) : derivada de f en x.
f o g : f compuesto con g.
223
II.2.5. OTRAS REGLAS DE DERIVADA
Además de calcular la derivada de suma de funciones, producto por escalar y funciones
compuestas, debemos conocer formulas para poder calcular la derivada del producto de dos
funciones reales y el cuociente de dos funciones. A continuación veremos los teoremas
respectivos.
Lamentablemente, las derivadas del producto y cuociente de dos funciones, no tienen el
comportamiento esperado. En efecto, la intuición nos haría esperar que la derivada del
producto de dos funciones fuese el producto de las derivadas, mientras que la derivada del
cuociente fuese el cuociente de las derivadas. En realidad, las formulas son mucho más
complejas que esto, como veremos a continuación.
TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, entonces la derivada del producto de f con g
se encuentra dada por la formula:
(f ⋅ g)’(x) = f’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)
Esto es, la derivada de la primera función por la segunda sin derivar mas la primera
función sin derivar, multiplicada por la derivada de la segunda.
Demostración. Aplicando la definición de la derivada y las propiedades de los límites de
funciones reales, se tiene:
(f ⋅ g)’(x) = h
xgfhxgflimh
)()(0
⋅−+⋅→
= h
xgxfhxghxflimh
)()()()(0
⋅−+⋅+→
=h
xgxfhxgxfhxgxfhxghxflimh
)()()()()()()()(0
⋅−+⋅++⋅−+⋅+→
= h
xgxfhxgxflimh
hxgxfhxghxflimhh
)()()()()()()()(00
⋅−+⋅+
+⋅−+⋅+→→
= h
xghxgxflimh
hxgxfhxflimhh
))()()(()())()((00
−++
+−+→→
= h
xghxglimxfhxglimh
xfhxflimhhh
)()()()()()(000
−+⋅++⋅
−+→→→
=f’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)
Lo que concluye la demostración del teorema.
224
EJEMPLO II.2.5.1.
Determine las derivadas de las siguientes funciones:
• f(x) = (x2 – 4)(3x + 1) ⇒ f’(x) = dxd (x2 – 4) ⋅ (3x + 1) + (x2 – 4) ⋅
dxd (3x + 1)
= 2x ⋅ (3x + 1) + (x2 – 4) ⋅ 3
• f(x) = (4x + 4)3(x2 – 1)8 ⇒ f´(x) = dxd (4x + 4)3 ⋅ (x2 – 1)8 + (4x + 4)3 ⋅
dxd (x2 – 1)8
= 3(4x + 4)2
dxd (4x + 4) ⋅ (x2 – 1)8 + (4x + 4)3 ⋅ 8(x2 – 1)7
dxd (x2 – 1)
= 3(4x + 4)2 ⋅ 4 ⋅ (x2 – 1)8 + (4x + 4)3 ⋅ 8(x2 – 1)7 ⋅ 2x
= (12(x2 – 1) + 16x(4x + 4))(4x + 4)2(x2 – 1)7
= (12x2 – 12 + 64x2 + 64x)(4x + 4)2(x2 – 1)7
= (76x2 + 64x2 – 12)(4x + 4)2(x2 – 1)7
• f(x) = (x2 + x + 1)7(8 – x3)4 ⇒
f'(x) = dxd (x2 + x + 1)7 ⋅ (8 – x3)4 + (x2 + x + 1)7 ⋅
dxd (8 – x3)4
= 7(x2 + x + 1)6
dxd (x2 + x + 1) ⋅ (8 – x3)4 + (x2 + x + 1)7 ⋅ 4(8 – x3)3
dxd (8 – x3)
= 7(x2 + x + 1)6(2x + 1) ⋅ (8 – x3)4 + (x2 + x + 1)7 ⋅ 4(8 – x3)3(-3x2)
= (7(2x + 1)(8 – x3) – 12x2(x2 + x + 1)) (x2 + x + 1)6(8 – x3)3
= ((14x + 7)(8 – x3) – 12x4 – 12x3 – 12x2)(x2 + x + 1)6(8 – x3)3
= (112x + 56 – 14x4 – 7x3 – 12x4 – 12x3 – 12x2)(x2 + x + 1)6(8 – x3)3
= (56 + 112x – 12x2 – 19x3 – 26x4)(x2 + x + 1)6(8 – x3)3
TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, entonces la derivada del cuociente f / g, se
encuentra dada por
(f / g)’(x) = 2))(()(')()()('
xgxgxfxgxf ⋅−⋅
Esto es, la derivada de la primera función (el numerador) por la segunda función (el
denominador) sin derivar menos la primera función multiplicada por la derivada de la
segunda función. Todo partido por el cuadrado de la función denominador del cuociente.
Demostración.
(f / g)’(x) = h
xgfhxgflimh
))(/())(/(0
−+→
= h
xgxf
hxghxf
limh
)()(
)()(
0
−++
→
225
=)()(
)()()()(0 xghxgh
hxgxfxghxflimh ⋅+⋅
+−+→
= )()(
)()()()()()()()(0 xghxgh
hxgxfxfxgxfxgxghxflimh ⋅+⋅
+−+−+→
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
+−+
⋅⋅+→ h
xgxfhxgxfh
xgxfxghxfxghxg
limh
)()()()()()()()()()(
10
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
+−+
⋅⋅+ →→→ h
xgxfhxgxflimh
xgxfxghxflimxghxg
limhhh
)()()()()()()()()()(
1000
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
+−+
⋅→→ h
xghxgxflimh
xgxfhxflimxg hh
))()()(()())()(())((
1002
= h
xghxglimxfxgh
xfhxflimxg hh
))()(()()())()(())((
1002
−+−⋅
−+⋅
→→
= ( ))(')()()('))((
12 xgxfxgxf
xg−⋅
= 2))(()(')()()´(
xgxgxfxgxf −
Lo que termina por demostrar el teorema.
Es muy importante observar, que la formula de la derivada del cuociente de funciones no
es conmutativa, esto es, importa el orden de las funciones para aplicar la formula.
EJEMPLO II.2.5.2.
Determine la derivada de la siguiente función:
f(x) = (x2 – 5x) / (x3 – 3x + 1)
f'(x) = (dxd (x2 – 5x) ⋅ (x3 – 3x + 1) – (x2 – 5x)
dxd (x3 – 3x + 1)) / (x3 – 3x + 1)2
= ((2x – 5)(x3 – 3x + 1) – (x2 – 5x)(3x2 – 3)) / (x3 – 3x + 1)2
Cuando se quiere encontrar la derivada de una función con combinaciones de productos y
cuocientes de otras funciones, es vital ser ordenados para aplicar correctamente las
formulas anteriores.
EJEMPLO II.2.5.3.
Encuentre la derivada de la función real:
f(x) = (3x – 5)(x2 + 1) / (x2 – 1)
f'(x) = (dxd ((3x – 5)(x2 + 1)) ⋅ (x2 – 1) – (3x – 5)(x2 + 1)
dxd (x2 – 1) ) / (x2 – 1)2
= ((dxd (3x – 5)⋅(x2 + 1) + (3x – 5)
dxd (x2 + 1))(x2– 1) – (3x – 5)(x2 + 1)2x) / (x2 – 1)2
226
= ((3(x2 + 1) +(3x – 5)2x)(x2 – 1) – (3x – 5)(x2 + 1)2x) / (x2 – 1)2
ACTIVIDAD II.2.5.4.
1. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) xx
xxf++
= 3
2 2)(
b) 1
1)( 2 +=
xxf
c) 2
)( 3 −=
xxxf
d) xx
xxf++
= 4
1)(
e) 1
352)( 2
23
++++
=x
xxxxf
Solución:
a) f’(x) = dxd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
xxx
3
2 2 = (dxd (x2 + 2) ⋅ (x3 + x) – (x2 + 2)
dxd (x3 + x)) / (x3 + x)2
= 23
223
)()13)(2()(2
xxxxxxx
+++−+ = 23
22424
)(26322
xxxxxxx
+−−−−+ = 23
24
)(25
xxxx
+−−− =
23
24
)(25
xxxx+
++−
b) f’(x) = dxd (1/(x2 + 1)) = - 2x / (x2 + 1)2
c) f’(x) = dxd (x / (x3 – 2)) = 23
23
)2(32
−⋅−−
xxxx = 23
33
)2(32
−−−
xxx = 23
3
)2(22
−−−
xx = 23
3
)2()1(2
−+
−x
x
d) f’(x) = dxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
xxx4
1 = 24
34
)()14)(1()(
xxxxxx
+++−+ = 24
344
)(144
xxxxxxx
+−−−−+ =
24
34
)(143
xxxx
+−−− = 24
34
)(143
xxxx
+++
−
e) f’(x) = dxd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+++1
3522
23
xxxx = 22
2322
)1(2)352()1)(543(
++++−+++
xxxxxxxx =
22
24
)1(522
++−−
xxxx
2. Determine la derivada de las siguientes funciones reales:
a) f(x) = (2x + 1)(3x – 2)5
b) f(x) = (x – 1)10(x2 – 3x)6
c) f(x) = (x2 – 2x + 7)(x4 – x2 + x)6
d) 1)( 2 += xxxf
227
e) 3 43 2)2()( xxxxf ++=
f) 4)1()( 31 ++= − xxxf
g) f(x) = (x + 3)(x – 3)4(x + 2)8
h) f(x) = (2x – 3)(x2 + 1)5(4x + 5)10
i) 3 23)3()( +−+= xxxxf
j) f(x) = (2x + 1)8(x2 + x)4(x4 – 3x)1/3
Solución:
a) f’(x) = dxd (2x + 1)(3x – 2)5 = 2(3x – 2)5 + (2x + 1) ⋅ 5 ⋅ (3x – 2)4 = (2(3x – 2) + 5(2x +
1))(3x – 2)4 = (6x – 4 + 10x + 5)(3x – 2)4 = (16x + 1)(3x – 2)4
b) f’(x) = dxd ((x – 1)10(x2 – 3x)6) = 10(x – 1)9(x2 – 3x)6 + (x – 1)106(x2 – 3x)5(2x – 3) =
(10(x2 – 3x) + 6(x – 1)(2x – 5))(x – 1)5(x2 – 3x)5 = (10x2 – 30x +12x2 – 12x – 30x +
30)(x – 1)5(x2 – 3x)5 = (22x2 – 72x + 30)(x – 1)5(x2 – 3x)5
c) f’(x) = dxd ((x2 – 2x + 7)(x4 – x2 + x)6) = (2x – 2)(x4 – x2 + x)6 + (x2 – 2x + 7)6(x4 – x2 +
x)5(4x3 – 2x + 1) = ((2x – 2)(x4 – x2 + x) + 6(x2 – 2x + 7)(4x3 – 2x +1))(x4 – x2 + x)5 =
(2x5 – 2x3 + 2x2 – 2x4 + 2x2 – 2x + 24x5 – 48x4 + 168x3)(x4 – x2 + x)5 = (26x5 – 50x4 +
154x3 + 34x2 – 98x + 42)(x4 – x2 + x)5
d) f’(x) = dxd (x2 1+x ) = 2x ⋅ 1+x +x2 ⋅ 1 / 2 1+x = (2x ⋅ (x + 1) + x2) / 2 1+x =
(2x2 + 2x + x2) / 2 1+x = (3x2 + 2x) / 2 1+x
e) f’(x) = dxd ((x3 + 2) 3 4 2xx + ) = 3x2 ⋅ 3 4 2xx + + (x3 + 2) ⋅ 1 / 3 ⋅ (x4 + 2x)-2/3(4x3 + 2)
f) f’(x) = dxd
g) f’(x) = dxd ((x + 3)(x – 3)4(x + 2)8) = (x – 3)4(x + 2)8 + (x + 3)(4(x – 3)3(x + 2)8 + 8(x –
3)4(x + 2)7) = (x – 3)4(x + 2)8 + 4(x + 3)(x – 3)3(x + 2)8 + 8(x + 3)(x – 3)4(x + 2)7 = ((x
– 3)(x + 2) + 4(x + 3)(x + 2) + 8(x + 3)(x – 3))(x – 3)3(x + 2)7 = (x2 – x – 6 + 4x2 + 20x
+ 24 + 8x2 – 72)(x – 3)3(x + 2)7 = (13x2 + 19x + 54)(x – 3)3(x + 2)7
h) f’(x) = dxd ((2x – 3)(x2 + 1)5(4x + 5)10) = 2(x2 + 1)5(4x + 5)10 + (2x – 3)(5(x2 + 1)42x(4x
+ 5)10 + (x2 + 1)510(4x + 5)94) = ((2(x2 + 1)(4x + 5) + 2x(2x – 3)(4x + 5) + (2x –
3)40(x2 + 1))(x2 + 1)4(4x + 5)9 = ((2x2 + 2)(4x + 5) + (4x2 – 6x)(4x + 5) + (80x –
120)(x2 + 1))(x2 + 1)4(4x + 5)9 = (8x3 + 8x + 10x2 + 10 + 16x3 – 24x2 + 20x2 – 30x +
80x3 – 120x2 + 80x – 120)(x2 + 1)4(4x + 5)9 = (104x3 – 114x2 + 58x – 110)(x2 + 1)4(4x
+ 5)9
228
i) f’(x) = dxd ((x + 3) 3−x 3 2+x ) = 3−x 3 2+x + (x + 3)( 3 2+x / 2 3−x +
3−x / 3( 3 2+x )2
j) f’(x) = dxd ((2x + 1)8(x2 + x)4(x4 – 3x)1/3) = 8(2x + 1)72(x2 + x)4(x4 – 3x)1/3 + (2x +
1)8(4(x2 + x)3(2x + 1)(x4 – 3x)1/3 + (x2 + x)4 ⋅ 1/3 ⋅ (x4 – 3x)-2/3 ⋅ (4x3 – 3)) = (16(x2 + x)
+ (2x + 1)(8x + 4) + (x2 + x)(x4 – 3x)(4x3 – 3)/ 3))(2x + 1)7(x2 + x)3(x4 – 3x)-2/3
3. Determine las derivadas de las siguientes funciones
a) 1
4)(3
++
=xxxf
b) 1
)(2
+=
xxxf
c) 11)(
2
3 3
+
+=
xxxf
d) xxxxxf
−−+
= 2
12)1()(
Solución:
a) f’(x) = (½ (x3 + 4)-½ 3x2(x + 1) – (x3 + 4)½) / (x + 1)2 = (3x3 – 3x2 – 2x3 – 8) / 2(x3 + 4)½
(x + 1)2 = x3 + 3x2 – 8 / 2(x3 + 4)½ (x + 1)2
b) f’(x) = (2x(x + 1)½ - x2/2(x + 1)–½ ) / (x + 1) = (4x(x + 1) – x2) / 2(x + 1)3/2 = (3x2 + 4x)
/ 2(x + 1)3/2
c) f’(x) = (1/3(x3 + 1)-2/3(3x2)(x2 + 1)½ - (x3 + 1)1/3 ⋅ ½ (x2 + 1)-½ ⋅ 2x) / (x2 + 1) = (x2(x2 +
1) – (x3 + 1)x) / (x2 + 1)(x3 + 1)2/3(x2 + 1)½ = (x4 + x2 – x4 – x) / (x2 + 1)(x3 + 1)2/3(x2 +
1)½ = (x2 – x) / (x2 + 1)3/2(x3 + 1)2/3
d) f’(x) = (((2x – 1)½ + (x + 1) ⋅ ½ ⋅ (2x – 1)–½ ⋅ 2)(x2 – x) – (x + 1)(2x – 1)½ (2x – 1)) /
(x2 – x)2 = (((2x – 1) + (x + 1))(x2 – x) – 8x + 1)(3x – 1)2) / (x2 – x)2 (2x – 1)½ = (3x3 –
3x2 – 4x3 + 4x2 – x – 4x2 + 4x – 1) / (x2 – x)2(2x – 1) ½ = (-x3 – 3x2 + 3x – 1) / (x2 –
x)2(2x – 1)½
EJERCICIOS II.2.5.5.
1. Determine las derivadas de las siguientes funciones reales:
a) f(x) = (x2 + 2x)(3x + 1)
b) f(x) = (2x3 + 6x)(7x – 5)
c) f(x) = (x3 + 6x2 – 2x + 1)(x2 + 3x – 5)
d) f(x) = (x4 + 2x – 3)(x6 – 7x5 + 8x3 + 9x2 + 1)
e) f(x) = (x2 + 2x – 6)(3x – 2)(x2 + 5)
f) f(x) = (2x2 + x-2)(x2 – 3)(4x + 1)
2. Derive las siguientes funciones:
229
a) f(x) = (2x + 3)2(x2 + 1)
b) f(x) = (x2 + 1)2(x3 – 2x)2
c) f(x) = (x3 + 2x – 6)3(x2 – 4x + 5)7
d) f(x) = (x2 – x-1 + 1)(x3 + 2x –6)7
e) f(x) = (x + 5)2(3x – 6)3(7x2 + 1)4
f) f(x) = (2x2 + 6x – 1)3(x2 + 5)5(x2 – 7)6
3. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) x
xxxf 432)(2 +−
=
b) 4
23 234)(x
xxxxf −+−=
c) 3223)(
+−
=xxxf
d) 11)( 2
2
−+
=xxxf
e) 11)(
+−
=xxxf
f) 2
3 53)(x
xxxf +−=
g) 3425)(
+−
=xxxf
h) 22
1)( 2 +++
=xx
xxf
i) 3
23 2432)(x
xxxxf −+−=
j) 2332)(
−+
=xxxf
k) 1
)( 2 +=
xxxf
l) 32432)( 2
2
+−+−
=xxxxxf
4. Determine la derivada de las siguientes funciones reales:
a) )52(32
1)( −++
= xxxxf
b) )1(1
6)( 22
2
++++−
= xxx
xxxf
c) )6(132)( −++
= xx
xxf
d) )5(621)( 2
2
++−
= xx
xxf
230
e) 2
2
)62()23()(
−−
=xxxf
f) 2
232
)62()43)(12()(
+−+−+
=x
xxxxxf
g) 312
22
)()2()(−+
+=
xxxxf
h) 22
32
)2()1()(
++
=xxxf
i) 22
1
)3()62()(−
−
+−
=x
xxf
j) 7
4
)1()62()(
+−
=xxxf
k) 223
121
)2()()(
−−
−−
−+
=xxxxxf
RESPUESTAS
1.
a) f’(x) = 9x2 + 14x + 2
b) f’(x) = 56x3 – 30x2 + 84x – 30
c) f’(x) = 5x4 + 36x3 + 33x2 – 70x + 13
d) f’(x) = (4x3 + 2)(x6 – 7x5 + 8x3 + 9x2 + 1) + (x4 + 2x – 3)(6x5 – 35x4 + 24x2 + 18x)
e) f’(x) = (2x + 2)(3x – 2)(x2 + 5) + (x2 + 2x – 6)(9x2 – 4x + 15)
f) f’(x) = 40x4 + 8x3 – 72x2 – 12x + 4 + 12x-2 + 6x-3
2.
a) f´(x) = (8x2 + 6x + 4)(2x + 3)
b) f’(x) = (x2 + 1)(x3 – 2x)(10x4 – 6x2 – 4)
c) f’(x) = (23x4 – 64x3 + 79x2 – 164x + 198)(x3 + 2x – 6)2(x2 – 4x + 5)6
d) f’(x) = (23x4 + 33x2 – 33x – 12x-1+ 14)(x3 + 2x – 6)6
e) f’(x) = (273x3 + 735x2 – 1665x + 33)(x + 5)(3x - 6)2(7x2 + 1)3
f) f’(x) = (57x5 + 150x4 – 66x3 – 96x2 – 410x – 630)(2x2 + 6x – 1)2(x2 + 5)4(x2 – 7)5
3.
a) f’(x) = (2x2 – 4) / x2
b) f’(x) = (-x3 + 8x2 – 9x + 8) / x5
c) f’(x) = 13 / (2x + 3)2
d) f’(x) = - 4x / (x2 – 1)2
e) f’(x) = 2 / (x + 1)2
f) f’(x) = (x3 + 3x – 10) / x3
g) f’(x) = 23 / (4x + 3)2
231
h) f’(x) = - (x2 + 2x) / (x2 + 2x + 2)2
i) f’(x) = (3x2 – 8x + 6) / x4
j) f’(x) = - 13 / (3x – 2)2
k) f’(x) = (1 – x2) / (x2 + 1)2
l) f’(x) = - (x2 – 4x + 1) / (x2 – 2x + 3)2
4.
a) f’(x) = (4x2 + 12x + 1) / (2x + 3)2
b) f’(x) = (x2 – 10x – 1)(x2 + x + 1) / (x2 + 1)2 + (x2 – x + 6)(2x + 1) / (x2 + 1)
c) f’(x) = (3x2 + 2x + 32) / (3x + 1)2
d) f’(x) = (6x4 + 24x3 + 8x2 + 48x + 10) / (2x + 6)2
e) f’(x) = (-84x + 56) / (2x – 6)3
f) f’(x) = (12x5 + 68x4 + 88x3 + 48x2 + 76x – 100) / (2x + 6)3
g) f’(x) = (-2x3 – 12x + 7 + 6x-2)(x2 + 2) / (x2 + x-1)4
h) f’(x) = (x2 + 1)2(2x3 + 8x) / (x2 + 2)3
i) f’(x) = (6x2 – 24x – 6)(x2 + 3) / (2x – 6)2
j) f’(x) = (2x – 6)3(50 – 6x) / (x + 1)8
k) f’(x) = (x3 – 2x-2)(4x4 + 7x + 12x-1 + 6x-4) / (x-1 + x2)2
RESUMEN
En esta sección se estudian los teoremas que permiten calcular la derivada del producto y
cuociente de funciones.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La derivada de f ⋅ g es el producto de las derivadas.
2. La derivada de f / g es f' / g'
3. La derivada de f ⋅ g / h = f' ⋅ g' / h'
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
3. falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
232
Límite: Elemento del codominio de una función al cual se acercan las imágenes de esta en
la medida que las preimagenes tienden a un valor fijo.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
SIMBOLOS
f(x) : función f evaluada en x.
)(xfdxd : Derivada de f en x.
f'(x) : derivada de f en x.
⇒ : Implica.
= : Igual que.
233
II.2.6. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
La derivada más sencilla de recordar es la correspondiente a la función exponencial, en
efecto, consideremos la función:
f: ℝ → ℝ
x a ex
Entonces, la derivada de f se encuentra dada por
f´(x) = ex
Es decir, la derivada de una función exponencial corresponde a la misma función
exponencial.
La notación aplicada para las funciones exponenciales, puede ser ex o exp(x), por lo que es
posible escribir esta regla de derivación de varias maneras:
dxd ex = ex
dxd exp(x) = exp(x)
Por supuesto, para evaluar derivadas que involucren funciones exponenciales, pero que
tengan argumentos más complejos, es necesario aplicar la regla de la cadena.
EJEMPLO II.2.6.1.
Determinar la derivada de la función real:
f(x) = exp(3x2+5x+1)
f'(x) =exp(3x2+5x+1)(6x+6)
Se debe observar además, que en algunos casos es posible aplicar los teoremas del álgebra
de derivadas y las propiedades de la función exponencial como una alternativa a la regla
de la cadena.
EJEMPLO II.2.6.2.
Encontrar la derivada de la función exponencial:
f(x) = exp(x2+5)
Por la regla de la cadena, sabemos que: f'(x) = exp(x2+5)2x. Aplicando el álgebra de
derivadas y las propiedades de la función exponencial, se tiene
f'(x) = dxd exp(x2+5) =
dxd (exp(x2) ⋅ e5) = e5
dxd exp(x2) = e5exp(x2)2x =exp(x2+5)2x
Que corresponde al mismo resultado encontrado por la aplicación de la regla de la cadena.
234
Cuando la base no corresponde al número de Euler, es posible utilizar la función
logaritmo, como función inversa de la exponencial, para escribir:
Ax = exp(ln(Ax)) = exp(x ⋅ ln(A))
Lo que nos lleva a la siguiente formula de derivada:
dxd Ax =
dxd exp(x ⋅ ln(A)) = exp(x ⋅ ln(A)) ⋅ ln(A) = exp(ln(Ax)) ⋅ ln(A) = Ax ⋅ ln(A)
EJEMPLO II.2.6.3.
Encontrar la derivada de la función:
f(x) = 10x
f'(x) = 10x ⋅ ln(10)
La misma técnica puede utilizarse para calcular funciones más complejas, donde aparece la
variable x tanto en la base como en la potencia.
EJEMPLO II.2.6.4.
Derivar la función real:
f(x) = xx
f'(x) = dxd xx
= dxd exp(ln(xx))
= dxd exp(x ⋅ ln(x))
= exp(x ⋅ ln(x)) dxd (x ⋅ ln(x))
= exp(x ⋅ ln(x)) (1 ⋅ ln(x) + x ⋅ dxd ln(x))
= exp(ln(xx) (ln(x) + x ⋅ dxd ln(x))
= xx(ln(x) + x ⋅ dxd ln(x))
Ahora, para terminar este ejemplo, nos falta conocer la derivada de la función logaritmo
natural.
La formula de la derivada de la función logaritmo natural es un poco más compleja que la
de la función exponencial. En efecto, si f es una función real tal que:
235
f(x) : ℝ → ℝ
x a ln(x)
Entonces, su derivada se encuentra dada por la relación:
f'(x) = 1 / x
Para encontrar la derivada de funciones logaritmo natural con argumentos más complejos,
aplicamos la regla de la cadena.
EJEMPLO II.2.6.5.
Determine la derivada de la función real:
f(x) = ln(x3 + 3x2 + 5x + 1)
f'(x) = 1 / (x3 + 3x2 + 5x + 1) ⋅ (3x2 + 6x + 5) = (3x2 + 6x + 5) / (x3 + 3x2 + 5x + 1)
En el caso de querer encontrar la derivada de funciones logarítmicas en bases que no sean
la natural, aplicamos la propiedad de los logaritmos de cambio de base:
logb(x) = ln(x) / ln(b)
EJEMPLO II.2.6.6.
Determine la derivada de la función logaritmo:
f(x) = log(3x2 + 1)
f´(x) = dxd ln(3x2 + 1) / ln(10)
= 1 / ln(10) ⋅ dxd ln(3x2 + 1)
= 1 / ln(10) ⋅ 1 / (3x2 + 1) ⋅ dxd (3x2 + 1)
= 1/ ln(10) ⋅ 1 / (3x2 + 1) ⋅ 6x
= 6x / ln(10)(3x2 + 1)
Antes de comenzar con las actividades, se insta al lector a verificar que el resultado del
ejemplo II.2.6.4. es f'(x) = xx(ln(x) + 1)
ACTIVIDAD II.2.6.7.
1. Derive las siguientes funciones:
a) f(x) = ln(3x + b)2
b) f(x) = ln(ax + 2)
c) f(x) = ln(3x2 + b)
236
d) f(x) = ln (2xn)
e) f(x) = ln(2x3 – 3x2 + 5)
f) f(x) = ln( x2 / (3 + x2))
g) f(x) = ln 222 x−
h) f(x) = 2x ⋅ ln(x)
i) f(x) = ln(x3 + 1)
j) f(x) = ln(x – 1)
k) f(x) = ln(2x3)
l) f(x) = ln 21 x−
m) f(x) = x ⋅ ln(x) – 2x
n) f(x) = ln(x4)
o) f(x) = x ⋅ ln(x)
Solución:
a) a) f’(x) = 6 / (3x + b)
b) f’(x) = a / (ax + 2)
c) f’(x) = 6x / (3x2 + b)
d) f’(x) = n / x
e) f’(x) = 6x(x – 1) / (2x3 – 3x2 + 5)
f) f’(x) = 6 / x(3 + x2)
g) f’(x) = - 2x / (3 – 2x2)
h) f’(x) = 2 + 2ln(x)
i) f’(x) = 3x2 / (x3 + 1)
j) f’(x) = 1 / (x – 1)
k) f’(x) = 3 / x
l) f’(x) = x / (x2 – 1)
m) f’(x) = ln(x) – 1
n) f’(x) = 4 / x
o) f’(x) = 1 + ln(x)
2. Derive las siguientes funciones reales:
a) f(x) = log(3 / x)
b) f(x) = log(2x + 1)
Solución:
a) f´(x) = - log(e) / x
b) f’(x) = 2log(e) / (2x + 1)
3. Derive las siguientes funciones reales:
a) f(x) = e2x
b) f(x) = 7nx
237
c) f(x) = 3 / ex
d) f(x) = 2xe
Solución:
a) f’(x) =2e2x
b) f’(x) = n7nx ⋅ ln(7)
c) f’(x) = - 3ex / e2x
d) f’(x) = 2x ⋅2xe
RESUMEN
TABLA RESUMEN DERIVADAS
FUNCIONES EXPONENCIAL Y
LOGARITMICA
f(x) f’(x)
ex ex
Ln(x) 1 / x
ax ax ln(A)
logb(x) 1 / x ⋅ ln(b)
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La derivada de una función exponencial de cualquier base es ella misma.
2. La derivada de una función logarítmica no se encuentra definida en cero.
3. La derivada de xx es xxx-1= xx.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Falso.
GLOSARIO
Algebra de Derivadas: Conjunto de teoremas que establecen la manera de calcular la
derivada de suma, producto y cuociente de funciones.
238
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función Exponencial: Función cuya relación es una expresión exponencial.
Función Inversa: Relación que asocia a cada imagen de una función su respectiva
preimagen.
Función Logaritmo: Función cuya relación es una expresión logarítmica.
Función Logaritmo Natural: Función cuya relación es una expresión logaritmo natural.
Función Real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Número de Euler: Número irracional correspondiente a 2.71…
Regla de la Cadena: Teorema que establece la manera calcular la derivada de una
composición de funciones.
SIMBOLOS
ℝ : Conjunto de números reales.
f(x) : Función real.
f'(x) : Primera derivada de una función real.
dxd : Derivada de una función.
ln(x) : Función logaritmo natural.
logb(x) : Función logaritmo en base b.
exp(x) : Función exponencial.
ex : Función exponencial.
= : Igual que.
239
II.2.7. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO
Las derivadas de las funciones trigonométricas seno y coseno se encuentran muy
relacionadas entre si. En efecto, veremos a continuación que la derivada de la función seno
es la función coseno, mientras que la derivada de la función coseno es el inverso aditivo de
la función seno.
La deducción de estas derivadas se basa en propiedades de las funciones trigonométricas
estudiadas en el capítulo I, y propiedades de los límites de funciones reales.
Teorema : Derivada de función seno es la función coseno.
dxd (sen(x)) = cos(x)
Demostración:
dxd (sen(x)) =
hxhxlim
h
)sen()sen(0
−+→
= h
xhxhxlimh
)sen()sen()cos()cos()sen(0
−⋅+⋅→
= h
hxlimh
xhxlimhh
)sen()cos()sen()cos()sen(00 →→
+−⋅
= h
hxlimh
hxlimhh
)sen()cos()1)(cos()sen(00 →→
+−⋅
= h
hlimxhhlimx
hh
)sen()cos()1)(cos()sen(00 →→
+−
= 1)cos(1)cos(1)cos()1)(cos()sen(
0⋅+
++
⋅−
→x
hh
hhlimx
h
= )cos()1)(cos()1)(cos()sen(
2
0x
hhhlimx
h+
+−
→
= )cos()1)(cos(
)sen()sen(2
0x
hhhlimx
h+
+→
= )cos(1)cos(
)sen()sen()sen(0
xh
hh
hlimxh
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅→
= )cos(1)cos(
)sen()sen()sen(00
xh
hlimh
hlimxhh
++
⋅→→
= )cos(201)sen( xx +⋅⋅
= 0 + cos(x)
= cos(x)
Lo que demuestra el teorema.
240
EJEMPLO II.2.7.1.
Determine las derivadas de las siguientes funciones:
• f(x) = a sen(bx + c) ⇒ f’(x) = a cos(bx + c) ⋅ b
• f(x) = sen(x2 + 5x + 1) ⇒ f´(x) = cos(x2 + 5x + 1) ⋅ (2x + 5)
• f(x) = 10sen2(x) + 5sen(x2) ⇒ f’(x) = 20sen(x) ⋅ cos(x) + 5sen(x2) ⋅ 2x
= 20sen(x) ⋅ cos(x) + 10sen(x2) ⋅ x
El razonamiento para encontrar la derivada de la función coseno es bastante parecido y lo
revisamos a continuación.
Teorema. Derivada función coseno es el inverso aditivo de la función seno.
dxd (cos(x)) = - sen(x)
Demostración:
dxd (cos(x)) =
hxhxlim
h
)cos()cos(0
−+→
= h
xhxhxlimh
)cos()sen()sen()cos()cos(0
−⋅−⋅→
= h
hxlimh
xhxlimhh
)sen()sen()cos()cos()cos(00 →→
−−⋅
= h
hxlimh
hxlimhh
)sen()sen()1)(cos()cos(00 →→
−−⋅
= h
hlimxhhlimx
hh
)sen()sen()1)(cos()cos(00 →→
−−
= 1)sen(1)cos(1)cos()1)(cos()cos(
0⋅−
++
⋅−
→x
hh
hhlimx
h
= )sen()1)(cos()1)(cos()cos(
2
0x
hhhlimx
h−
+−
→
= )sen()1)(cos(
)sen()cos(2
0x
hhhlimx
h−
+→
= )sen(1)cos(
)sen()sen()cos(0
xh
hh
hlimxh
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅→
= )sen(1)cos(
)sen()sen()cos(00
xh
hlimh
hlimxhh
−+
⋅→→
= )sen(201)cos( xx −⋅⋅
= 0 – sen(x)
= - sen(x)
241
EJEMPLO II.2.7.2.
Determine la derivada de la siguientes funciones:
• f(x) = cos(3x – 5) ⇒ f'(x) = - sen (3x – 5) ⋅ 3
• f(x) = cos(x2 + x + 1) ⇒ f'(x) = - sen(x2 + x + 1) ⋅ (2x + 1)
• f(x) = cos2(x) ⇒ f'(x) = dxd cos2(x)
= dxd ½ (1 + cos(2x))
= - 1/2 sen(2x)⋅ 2
= - sen(2x)
Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen la importante propiedad de que sus
cuartas derivadas, recuperan la función original. En efecto, si f(x) = sen(x), entonces:
f´(x) = cos(x)
f´´(x) = - sen(x)
f'''(x) = - cos(x)
fiv(x) = sen(x)
De la misma forma, si f(x) = cos(x), se tiene:
f'(x) = - sen(x)
f´´(x) = - cos(x)
f´´´(x) = sen(x)
fiv(x) = cos(x)
EJEMPLO II.2.7.3.
Encuentre la primera, segunda, tercera y cuarta derivada de la función siguiente:
• f(x) = sen(x2 + x + 1) ⇒ f'(x) = cos(x2 + x + 1)(2x + 1)
f''(x) = - sen(x2 + x + 1) ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x + 1) + cos(x2 + x + 1)2
= - sen(x2 + x + 1) (2x + 1)2 + 2cos(x2 + x + 1)
f'''(x) = - cos(x2 + x + 1)(2x + 1)3 – sen(x2 + x + 1)2(2x + 1)2 – 2sen(x2 + x +1)(2x + 1)
= - cos(x2 + x + 1)(2x + 1)3 – 6sen(x2 + x + 1)(2x + 1)
fiv(x) = sen(x2 + x + 1)(2x + 1)4 – cos(x2 + x + 1)3(2x + 1)22 – 6cos(x2 + x + 1)(2x + 1)2 –
6sen(x2 + x + 1)2
= sen(x2 + x + 1)(2x + 1)4 – 12cos(x2 + x + 1)(2x + 1)2 – 12sen(x2 + x + 1)
Para encontrar la derivada de combinaciones de funciones seno y coseno, se aplican todas
las reglas conocidas del álgebra de derivadas.
242
EJEMPLO II.2.7.4.
Encuentre la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:
• f(x) = sen(2x) ⋅ cos(3x) ⇒ f'(x) = dxd sen(2x) ⋅ cos(3x) + sen(2x)
dxd cos(3x)
= 2 cos(2x) ⋅ cos(3x) – sen(2x) sen(3x) 3
= 2 cos(2x)cos(3x) – 3 sen(2x)sen(3x)
• f(x) = sen(3x) + cos(2x) ⇒ f'(x) = 3cos(3x) – 3sen(2x)
• f(x) = tan(x) ⇒ f'(x) = dxd (sen(x) / cos(x))
= (dxd sen(x) ⋅ cos(x) – sen(x)
dxd cos(x) ) / cos2(x)
= (cos(x) ⋅ cos(x) + sen(x) ⋅ sen(x) ) / cos2(x)
= (cos2(x) + sen2(x)) / cos2(x)
= 1 / cos2(x)
= sec2(x)
La regla de la cadena, también es aplicable en el caso de encontrarnos con la composición
de funciones trigonométricas, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO II.2.7.5.
Determine la derivada de la función compuesta:
f(x) = sen(sen(x)) ⇒ f'(x) = cos(sen(x)) ⋅ cos(x)
ACTIVIDAD II.2.7.6.
1. Encontrar la derivada de las funciones presentadas a continuación. Este problema y los
dos siguientes, fueron sugeridos por Michael Spivak en su libro CALCULUS; en donde
este autor, con delicado sentido de humor, invitaba a sus lectores a imitarlo en la
velocidad de resolución (según él no más de 20 minutos).
a) f(x) = sen(x + x2)
b) f(x) = sen(x) + sen(x2)
c) f(x) = sen(cos(x))
d) f(x) = sen(sen(x))
e) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xxxf )cos(sen)(
f) x
xxf ))sen(cos()( =
g) f(x) = sen(x + sen(x))
h) f(x) = sen( cos (sen(x)))
243
Solución:
a) f’(x) = cos(x + x2) ⋅ dxd (x + x2) = cos(x +x2) ⋅ (1 + 2x)
b) f’(x) = cos(x) + cos(x2) ⋅ 2x
c) f’(x) = dxd (sen(cos(x)) = cos(cos(x)) ⋅
dxd (cos(x)) = - cos(cos(x)) ⋅ sen(x)
d) f’(x) = dxd (sen(sen(x)) = cos(sen(x)) ⋅
dxd (sen(x)) = cos(sen(x)) ⋅ cos(x)
e) f’(x) = dxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xx)cos(sen = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xx)cos(cos
dxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xx)cos( = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xx)cos(cos ⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−
2
)cos()sen(x
xxx = - ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xx)cos(cos ⋅ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
2
)cos()sen(x
xxx
f) f’(x) = (-cos(cos(x)) ⋅ sen(x) ⋅ x – sen(cos(x)) / x2 = - cos(cos(x)) ⋅ sen(x) / x –
sen(cos(x)) / x2
g) f’(x) = cos(x + sen(x)) ⋅ (1 + cos(x))
h) f’(x) = cos(cos(sen(x))) ⋅ dxd cos(sen(x)) = - cos(cos(sen(x))) ⋅ sen(sen(x)) ⋅
dxd sen(x) =
- cos(cos(sen(x))) ⋅ sen(sen(x)) ⋅ cos (x)
2. Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas:
a) f(x) = sen((x + 1)2(x + 2))
b) f(x) = sen3(x2 + sen(x))
c) f(x) = sen2((x + sen(x))2)
d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
)cos(sen)( 3
3
xxxf
e) f(x) = sen(x⋅sen(x)) + sen(sen(x2))
f) 231))(cos()( xxf =
g) f(x) = sen2(x)sen(x2)sen2(x2)
h) f(x) = (x +sen5(x))6
i) f(x) = sen(sen(sen(sen(sen(x)))))
j) f(x) = sen((sen7(x7)+1)7)
k) f(x) = sen(x2 + sen(x2 + sen(x2)))
l) f(x) = sen(6cos(6sen(6cos(6x))))
Solución:
a) f’(x) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅ dxd ((x + 1)2(x + 2)) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅ (2(x + 1)(x + 2)
+ (x + 1)2) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅ (2x2 + 6x + 4 + x2 + 2x + 1) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅
(3x2 + 8x +5)
b) f’(x) = 3sen2(x2 + sen(x)) ⋅ cos(x2 + sen(x)) ⋅ (2x + cos(x))
244
c) f’(x) = 2sen((x + sen(x))2) ⋅ cos((x + sen(x))2) ⋅ dxd ((x + sen(x))2) = 2sen((x + sen(x))2) ⋅
cos((x + sen(x))2) ⋅ 2(x + sen(x)) ⋅ dxd (x + sen(x)) = 2sen((x + sen(x))2) ⋅ cos((x +
sen(x))2) ⋅ 2(x + sen(x)) ⋅ (1 + cos(x))
d) f’(x) = cos(x3 / cos(x3)) ⋅ dxd (x3 / cos(x3)) = cos(x3 / cos(x3)) ⋅ (3x2cos(x3) –
x3sen(x3)3x2) / cos2(x3)
e) f’(x) = cos(x ⋅ sen(x)) ⋅ (sen(x) + x ⋅ cos(x)) + cos(sen(x2)) ⋅ cos(x2) ⋅ 2x
f) f´(x) = -312 1312
))(cos( −x sen(x)
g) f’(x) = dxd (sen2(x) ⋅ sen3(x2)) =
dxd sen2(x) ⋅ sen3(x2) + sen2(x) ⋅
dxd sen3(x2) =
2sen(x)cos(x)sen3(x2) + sen2(x)3sen2(x2)cos(x2)2x = 2sen(x)cos(x)sen3(x2) + 6sen2(x)
sen2(x2)cos(x2)x
h) f’(x) = 6(x + sen5(x))5 ⋅ dxd (x + sen5(x)) = 6(x + sen5(x))5 ⋅ (1 + 5sen4(x)cos(x))
i) f´(x) = dxd sen(sen(sen(sen(sen(x))))) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅
dxd sen(sen(sen(sen(x)))) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅ cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅
dxd sen(sen(sen(x))) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅ cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅
cos(sen(sen(x))) ⋅ dxd sen(sen(x)) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅ cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅
cos(sen(sen(x))) ⋅ cos(sen(x)) ⋅ dxd sen(x) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅
cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅ cos(sen(sen(x))) ⋅ cos(sen(x)) ⋅cos(x)
j) f’(x) = dxd sen((sen7(x7) + 1)7) = cos((sen7(x7) + 1)7) ⋅
dxd ((sen7(x7) + 1)7) = cos(sen7(x7)
+ 1)7) ⋅ 7(sen7(x7) + 1)6 ⋅ dxd (sen7(x7) + 1) = cos(sen7(x7) + 1)7) ⋅ 7(sen7(x7) + 1)6 ⋅
(7sen6(x7)cos(x7)7x6) = 73 ⋅ cos(sen7(x7) + 1)7) ⋅ (sen7(x7) + 1)6 ⋅ sen6(x7) ⋅ cos(x7) ⋅ x6
k) f’(x) = dxd sen(x2 + sen(x2 + sen(x2))) = cos(x2 + sen(x2 + sen(x2))) ⋅
dxd (x2 + sen(x2 +
sen(x2))) = cos(x2 + sen(x2 + sen(x2))) ⋅ (2x + cos(x2 + sen(x2)) ⋅ dxd (x2 + sen(x2)) =
cos(x2 + sen(x2 + sen(x2))) ⋅ (2x + cos(x2 + sen(x2)) ⋅ (2x + cos(x2) ⋅ 2x)
245
l) f’(x) = dxd sen(6cos(6sen(6cos(6x)))) = cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅
dxd (6cos(6sen(6cos(6x)))) = - 6cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅
dxd (6sen(6cos(6x))) = - 62 ⋅ cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅
cos(6cos(6x)) ⋅ dxd (6cos(6x)) = - 62 ⋅ cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅
cos(6cos(6x)) ⋅ (-6 ⋅sen(6x) ⋅ 6) = 64 ⋅ cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅
cos(6cos(6x)) ⋅ sen(6x)
3. Determine la derivada de las siguientes funciones reales:
a) )sen(1
)(sen)sen()(22
xxxxf
+=
b)
)sen(2
1)(
xxx
xf
+−
=
c)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
)sen(sen
sen)(3
3
xx
xxf
d)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
)sen(sen
sen)(
xxxx
xxf
Solución:
a) f’(x) = ((2xcos(x2)sen2(x) + 2sen(x2)sen(x)cos(x))(1 + sen(x)) – sen(x2)sen2(x)cos(x)) /
(1 + sen(x))2 = (2xcos(x2)sen2(x) + 2sen(x2)sen(x)cos(x)) / (1 + sen(x)) –
sen(x2)sen2(x)cos(x)) / (1 + sen(x))2
b) f’(x) = - (1 + 2(1 + cos(x)) / (x + sen(x))2) / (x – 2 / (x + sen(x))2
c) f'(x) = cos(x3 / sen(x3 / sen(x))) ⋅ (3x2 sen(x3 / sen(x)) – x3cos(x3 / sen(x)) (3x2sen(x) –
x3cos(x)) / sen2(x)) / sen2(x3 / sen(x))
d) Sea A = x –sen(x / (x – sen(x))). Entonces f'(x) = cos(x / A)(A + x(1 – cos(x/(x –
sen(x)))(sen(x) + cos(x)) / A2
EJERCICIOS II.2.7.7.
1. Determine las derivadas de las siguientes funciones reales
a) f(x) = 4 ⋅ sen(2x)
b) f(x) = 3 ⋅ cos(x / 2)
c) f(x) = 3 ⋅ sen2(x / 2)
246
d) f(x) = 4 ⋅ cos(x / 3)
e) f(x) = )sen(x
f) f(x) = cos(3 / x)
g) f(x) = sen(3 / x)
h) f(x) = sen(1 – x2)
i) f(x) = sen2(x – 2)
2. Derive las siguientes funciones trigonométricas.
a) f(x) = cos(x) / x
b) f(x) = cos(2x) ⋅ sen(x)
c) f(x) = 2sen(2x)cos2(x)
d) f(x) = cos(x) + x ⋅ sen(x)
e) f(x) = 3sen(x) – x ⋅ cos(x)
f) f(x) = 6sen(x)cos(x)
g) f(x) = 4sen(x)cos(x)
h) f(x) = 2cos(x) / (x + 1)
3. Encuentre las primeras y segundas derivadas de las siguientes funciones reales
a) f(x) = sen(3x)
b) f(x) = cos2(2 + x)
c) f(x) = x ⋅ sen(x)
4. Determine las derivadas de las siguientes funciones.
a) f(x) = esen(3x)
b) f(x) = e-x ⋅ cos(x)
c) f(x) = esen(2x)
d) f(x) = ln(sen(2x))
RESPUESTAS
1.
a) f’(x) = 8 cos(2x)
b) f’(x) = -3/2 ⋅ sen(x / 2)
c) f’(x) = 3sen(x/2) ⋅ cos(x/2)
d) f’(x) = -4/3 ⋅ sen(x/3)
e) f’(x) = cos(x) / 2 )sen(x
f) f’(x) = 3sen(3/x) / x2
g) f’(x) = -3cos(3/x) / x2
h) f’(x) = -2(1 – x)cos(1 – x)2
i) f’(x) = 2sen(x – 2)cos(x – 2)
247
2.
a) f’(x) = - (x ⋅ sen(x) + cos(x)) / x2
b) f’(x) = cos(x)cos(2x) – 2sen(2x)sen(x)
c) f’(x) = -4sen(2x)cos(x)sen(x) + 4cos2(x)cos(2x)
d) f’(x) = x ⋅ cos(x)
e) f’(x) = 2cos(x) + x sen(x)
f) f’(x) = -6sen2(x) + 6cos2(x)
g) f’(x) = -4sen2(x) + 4cos2(x)
h) f’(x) = (2(x + 1)sen(x) – 2cos(x)) / (x + 1)2
3.
a) f’(x) = 3cos(3x), f’’(x) = - 9sen(3x)
b) f’(x) = - 2cos(2 + x)sen(2 + x), f’’(x) = -2cos2(2 + x) + 2sen2(2 + x)
c) f’(x) = x ⋅ cos(x) + sen(x), f’’(x) = - x ⋅ sen(x) + 2cos(x)
4.
a) f’(x) = 3esen(3x) ⋅ cos(3x)
b) f’(x) = - (cos(x) + sen(x)) / ex
c) f’(x) = 2esen(2x) ⋅ cos(2x)
d) f´(x) = 2cot(2x)
RESUMEN
En esta sección se deducen las formulas para las derivadas de funciones seno y coseno.
Estas establecen que la derivada de la función seno es coseno, mientras que la derivada de
la función coseno es el inverso aditivo de la función seno.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La derivada de cos(x) es sen(x)
2. La derivada de sen(x) es cos(x)
3. La segunda derivada de una función seno o coseno, devuelve la función original.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Falso.
248
GLOSARIO
Algebra de derivadas: Conjuntos de teoremas que permiten calcular derivadas sobre sumas,
productos o cuocientes de funciones.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función Compuesta: Función definida como la evaluación de una función en otra.
Función Real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Función Trigonométrica: Función cuya relación es una expresión trigonométrica.
Inverso Aditivo: Número real que sumado al número con que se encuentra asociado
produce el neutro aditivo, cero.
Regla de la Cadena: Teorema que permite calcular la derivada de funciones compuestas.
SIMBOLOS
dxd : Primera derivada
f(x) : Función real.
f'(x) : Primera deriva.
f''(x) : Segunda derivada.
f'''(x) : Tercera derivada
fiv(x) : Cuarta derivada
sen(x) : Función seno.
cos(x) : Función coseno.
249
tan(x) : Función tangente.
⇒ : Implica
= : Igual que.
ℝ : Conjunto de números reales.
250
II.2.8. DERIVADAS DE OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
A continuación nos valdremos del álgebra de las derivadas para encontrar expresiones que
nos permitan calcular la derivada de las restantes funciones trigonométricas: tangente,
secante, cosecante y cotangente.
TEOREMA. La derivada de la función tangente es secante cuadrado. Esto es,
dxd tan(x) = sec2(x)
Demostración
dxd tan(x) =
dxd sen(x) / cos(x)
= (cos(x) ⋅ cos(x) – sen(x) ⋅ (- sen(x)) / cos2(x)
= (cos2(x) + sen2(x)) / cos2(x)
= 1 / cos2(x)
= sec2(x)
EJEMPLO II.2.8.1.
Encuentre la derivada de la función real:
f(x) = 5 ⋅ tan(x2 + x )
f'(x) = 5 ⋅ sec2(x2 + x) ⋅ (2x + 1)
TEOREMA. La derivada de la función secante es secante por tangente. Esto es,
dxd sec(x) = sec(x) ⋅ tan(x)
Demostración:
dxd sec(x) =
dxd 1 / cos(x)
= - (- sen(x)) / cos2(x)
= sen(x) / cos2(x)
= 1 / cos(x) ⋅ sen(x) / cos(x)
= sec(x) ⋅ tan(x)
EJEMPLO II.2.8.2.
Encuentre la derivada de la función real:
f(x) = sec(x2)
251
f'(x) = sec(x2) ⋅ tan(x2) ⋅ 2x
TEOREMA. La derivada de la función cotangente es menos cosecante al cuadrado. Esto
es,
dxd cotan(x) = - cosec2(x)
Demostración:
dxd cotan(x) =
dxd cos(x) / sen(x)
= (- sen(x) ⋅ sen(x) – cos(x) ⋅ cos(x)) / sen2(x)
= - (sen2(x) + cos2(x)) / sen2(x)
= - 1 / sen2(x)
= - cosec2(x)
EJEMPLO II.2.8.3.
Encuentre la derivada de la función real:
f(x) = cotan(x2 + 2x )
f'(x) = - cosec2(x2 + 2x) ⋅ (2x + 2)
TEOREMA. La derivada de la función cosecante es menos cosecante por cotangente. Esto
es,
dxd cosec(x) = cosec(x) cotan(x)
Demostración:
dxd cosec(x) =
dxd (1 / sen(x))
= - cos(x) / sen2(x)
= - 1 / sen(x) ⋅ cos(x) / sen(x)
= - cosec(x) ⋅ cotan(x)
EJEMPLO II.2.8.4.
Encuentre la derivada de la función real:
f(x) = cosec(sen(x) + 1)
f'(x) = - cosec(sen(x) + 1) ⋅ cotan(sen(x) + 1) ⋅ cos(x)
252
ACTIVIDAD II.2.8.5.
1. Determine la derivada de las siguientes funciones reales.
a) f(x) = tan(3x + 5)
b) f(x) = sec(x2)
c) f(x) = cosec3(x/3)
d) f(x) = 2x + cotan(2x)
e) f(x) = tan(x) + cotan(x)
Solución:
a) f'(x) = 3sec2(3x + 5)
b) f'(x) = sec(x2)tan(x2) ⋅ 2x
c) f'(x) = - cosec3(x / 3) cotan(x /3)
d) f'(x) = 2 – 2cosec2(2x)
e) f'(x) = sec2(x) – cosec2(x)
2. Evalúe las siguientes derivadas de funciones trigonométricas.
a) f(x) = tan(3x2 + 5x – 1)cotan(2x + 4)
b) f(x) = tan3(x – 5)
c) f(x) = cosec(2x3 – x2)cotan(x - 1)
d) f(x) = sec2(2x – 1)
e) f(x) = cosec3(2x – 1)
f) f(x) = sec(x)tan(x)
g) f(x) = cosec(x2 + 1) / tan(3x – 1) + cos(x – 1) / tan(2x – 1)
h) f(x) = cosec2(x) – sec2(x)
Solución:
a) f'(x) = sec2(3x2 + 5x – 1)(6x + 5)cotan(2x + 4) – tan(3x2 + 5x – 1)cosec2(2x + 4)2
b) f'(x) = 3tan2(x – 5) sec2(x – 5)
c) f'(x) = - cosec(2x3 – x2)cotan(2x3 – x2)(6x2 – 2x)cotan(x – 1) – cosec(2x3 – x2)cosec2(x
– 1)
d) f'(x) = - 4sec2(2x – 1)tan(2x – 1)
e) f'(x) = -6cosec3(2x – 1)cotan(2x – 1)
f) f'(x) = sec(x) tan2(x) + sec3(x)
g) f'(x) =
h) f'(x) = -2cosec2(x)cotan(x) – 2sec2(x)tan(x)
3. Determine la segunda derivada de las siguientes funciones.
a) f(x) = sec(x)
b) f(x) = sec2(x)
Solución:
a) f'(x) = sec(x)tan(x) ⇒ f''(x) = sec(x) tan2(x) + sec3(x)
b) f'(x) = 2sec2(x)tan(x) ⇒ f''(x) = - 4sec2(x )tan(x )
253
EJERCICIO II.2.8.8.
1. Evalúe las siguientes derivadas de funciones trigonométricas.
a) f(x) = tan(2x)
b) f(x) = sec(x2)
c) f(x) = tan(1 - x)2
d) f(x) = tan((2 – x) / (2 + x))
e) f(x) = cotan( x / 3)
f) f(x) = tan(x) – 2x
g) f(x) = 2 / )sec(x
h) f(x) = x ⋅ cotan(x)
i) f(x) = x2 tan(ax3)
2. Calcule las siguientes derivadas
a) f(x) = ln(ln(tan(x)))
b) f(x) = etan(x)
c) f(x) = ln(sec(2x))
RESPUESTAS
1.
a) f’(x) = 2sec2(2x)
b) f’(x) = 2x ⋅ sec(x2)tan(x2)
c) f’(x) = -2(1 – x)sec2(1- x)2
d) f’(x) = - 4 /(2 + x)2 ⋅ sec2((2 – x) / (2 + x))
e) f’(x) = - cosec2( x / 3) / 6 x
f) f’(x) = sec2(x) – 2
g) f’(x) = tan(x) / )sec(x
h) f’(x) = -x ⋅ cosec2(x) + cotan(x)
i) f’(x) = 3ax4 ⋅ sec2(ax3) + 2x ⋅ tan(ax3)
2.
a) f’(x) = sec2(x) / tan(x)ln(tan(x))
b) f’(x) = etan(x) ⋅ sec2(x)
c) f’(x) = 2cotan(2x)
254
RESUMEN
TABLA RESUMEN DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
Funciones trigonométricas con
nombres que no empiezan con “co”
Funciones trigonométricas cuyos
nombres comienzan con “co”
f(x) f’(x) f(x) f’(x)
sen(x) cos(x) cos(x) - sen(x)
sec(x) sec(x)tan(x) cosec(x) - cosec(x)cotan(x)
tan(x) sec2(x) cotan(x) - cosec2(x)
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Derivada de tangente es cotangente.
2. Derivada de cotangente es menos cosecante al cuadrado.
3. Derivada de secante es tangente al cuadrado.
4. Derivada de cosecante es menos cosecante por cotangente.
RESPUESTAS
1. Falso
2. Verdadero.
3. Falso
4. Verdadero.
GLOSARIO
Algebra de Derivadas: Conjunto de teoremas que establecen procedimientos de cálculo de
derivadas para suma, producto o cuociente de funciones reales.
Función : Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función Real : Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Función trigonométrica : Función cuya relación es una expresión trigonométrica.
SIMBOLOS
255
dxd : Primera derivada.
f(x) : función real.
f'(x) : Primera derivada.
f''(x) : Segunda derivada.
tan(x) : Tangente.
sec(x) : Secante.
cotan(x) : cotangente.
cosec(x) : cosecante.
sen(x) : seno
cos(x) : coseno.
256
II.3. APLICACIONES
En este capítulo vamos a ilustrar la forma de aplicar el concepto de derivada para resolver
problemas prácticos de la matemática. Al finalizar el capítulo, el lector deberá ser capaz de:
• Encontrar los máximos y mínimos de una función real.
• Determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente.
• Encontrar los puntos de inflexión de una curva.
• Determinar los intervalos de concavidad.
• Esbozar la gráfica de una curva.
• Resolver problemas sencillos de optimización.
• Aproximar una curva con la recta tangente a la curva en un punto.
257
II.3.1. MAXIMOS Y MINIMOS
Históricamente, esta aplicación de la derivada fue la causa determinante de su
descubrimiento. Fue por el siglo XVII, después de los aportes de Descartes, que los
problemas de las tangentes cobraron importancia. La idea central descansaba en el
razonamiento de que en el curso regular de cualquier acontecimiento o la conexión entre
relaciones cuantitativas puede expresarse por medio de una función y, por lo tanto, por
medio de una curva. Pero puede resultar de importancia la investigación de en qué puntos
de esta curva se alcanzan los valores más alto y más bajo. Estos valores extremos se
designan con el nombre de máximos y mínimos.
En la figura se observa inmediatamente que el trozo de curva comprendido entre x1 y x2
posee un máximo y un mínimo. Además se observa que tanto en el punto más alto como en
el más bajo de la curva, las tangentes son horizontales, es decir, paralelas al eje de las x.
Leibniz se percató en 1684 que para encontrar los máximos y mínimos de una función,
había que localizar aquellos puntos que tenían derivada igual a cero, pues así se obtiene una
tangente a la curva paralela al eje de las x. Este resultado, junto con el algoritmo para
calcular derivadas, fue publicado en la revista “Acta Eruditorum” en enero de 1684, bajo el
nombre de “Über Maxima und Minima usw”. De esta manera, para encontrar un máximo o
un mínimo, debemos plantear la ecuación:
f’(x) = 0
para luego despejar el valor (o los valores) de x. Para determinar si el punto encontrado
corresponde a un máximo, o bien a un mínimo, Leibniz adjunto otras reglas que permiten
reconocer cuál de los valores extremos se presenta, distinción que muchas veces puede
conseguirse mediante un simple bosquejo de la curva o resultar evidente por cualquier otra
circunstancia.
Antes de revisar con detención la técnica para localizar los máximos y mínimos de una
función real, conviene que formalicemos la terminología más común de este tópico.
258
DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real, y xo un elemento del domino de f, entonces
diremos que xo es un punto:
• Máximo global estricto, si f(xo) > f(x) ∀ x ∈ dom(f). De esta manera no hay ninguna
otra imagen mayor que f(xo).
• Máximo global, si f(xo) ≥ f(x), ∀x ∈ dom(f). De esta manera pueden haber otras
imágenes que alcancen el mismo valor que f(xo).
• Máximo relativo estricto, si f(xo) > f(x) ∀x ∈ ]a, b[ ⊆ dom(f). Esto significa que un
intervalo del dominio f(xo) es la imagen mayor.
• Máximo relativo, si f(xo) ≥ f(x) ∀ x ∈ ]a, b[ ⊆ dom(f). Lo que significa que en un
intervalo del dominio de f, pueden haber otras imágenes que alcancen el valor f(xo).
De manera análoga, se definen los conceptos de mínimo global estricto, mínimo global,
mínimo relativo estricto y mínimo relativo.
EJEMPLO II.3.1.1.
La función f : ℝ → ℝ, alcanza un máximo global estricto en xo.
EJEMPLO II.3.1.2.
La función f : ℝ → ℝ, alcanza un mínimo global en xo.
EJEMPLO II.3.1.3.
La función f : ℝ → ℝ, alcanza un mínimo relativo estricto en xo.
259
Se dice que f alcanza un punto de máximo (global / relativo, estricto) en xo o que xo es un
punto de máximo (global / relativo, estricto) para f, según lo que se desee recalcar más (la
función o el punto). Por supuesto, lo anterior es válido también para el caso de mínimo.
Sin una función alcanza un valor de máximo o mínimo (global / relativo, estricto) en un
punto xo, se dice que xo es un valor extremo de f.
Aquellos puntos del dominio de una función, tales que la primera derivada se anula sobre
ellos, se conocen como puntos críticos. Esto es, xo es punto crítico de f, si y sólo f'(xo) = 0.
TEOREMA: Si xo es punto de valor extremo de f, entonces xo es punto critico.
De esta manera si, xo es un punto critico, entonces xo es un candidato a ser punto extremo
de la función. Por lo tanto, para encontrar los posibles puntos críticos de una función,
debemos localizar aquellos puntos que anulan la primera derivada.
EJEMPLO II.3.1.4.
Los candidatos a puntos extremos de la función real f: ℝ → ℝ, definida por la relación f(x)
= x3/3 – 3x2 / 2 + 2x + 5, se determinan planteando la ecuación f'(x) = 0 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0
⇒ (x – 1)(x – 2) = 0 ⇒ x = 1 ∨ x = 2, son los puntos críticos de la función.
Una vez localizado el conjunto de posibles puntos críticos, debemos contar con un
mecanismo adicional que nos permita decidir si el punto critico xo es de máximo, o de
mínimo. Para ello, existen dos caminos:
• Criterio determinación intervalos de crecimiento o decrecimiento (primera derivada)
• Criterio concavidad de la función (segunda derivada).
260
El criterio de determinación de los intervalos de crecimiento y / o decrecimiento, se basa en
el hecho conocido de que si un punto xo es de máximo, entonces a la izquierda del punto, la
función debe ser creciente, mientras que a la derecha debe ser decreciente. De la misma
manera, si un punto xo es de mínimo, entonces a la izquierda del punto la función debe ser
decreciente, mientras que a la derecha debe ser creciente. Traducido a primeras derivadas
esto significa que:
• Un punto xo es punto de máximo, si (∀x < xo)(f´(x) >0) ∧ (∀x > xo)(f'(x) < 0).
• Un punto xo es punto de mínimo, si (∀x < xo)(f´(x) <0) ∧ (∀x > xo)(f'(x) > 0).
Aquí xo es un punto crítico (f'(xo) = 0).
EJEMPLO II.3.1.5.
Determine los puntos de máximo y mínimo de la siguiente función real: f(x) = x3/3 – 3x2 /
2 + 2x + 5.
f'(x) = x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
Puntos críticos: x = 1 y x = 2.
f'(x) = (x – 1)(x – 2) > 0 ⇒ (x – 1 > 0 ∧ x – 2> 0) ∨ (x – 1< 0 ∧ x – 2 < 2)
⇒ (x > 1 ∧ x > 2) ∨ (x < 1 ∧ x < 2)
⇒ x > 2 ∨ x < 1
Mientras que f'(x) < 0 ⇒ 1 < x < 2.
Como f'(x) > 0 cuando x < 1 ∧ f'(x) < 0 cuando x > 1, x = 1 es un punto de máximo. De la
misma forma, como f'(x) < 0 cuando x < 2 ∧ f'(x) > 0 cuando x > 2, se tiene que x = 2 es un
punto de mínimo.
El criterio de concavidad de una función, se basa en el hecho de que una función que es
cóncava hacia abajo sobre un punto extremo xo, debe tener un máximo en xo, mientras que
si es cóncava hacia arriba, debe tener un punto de mínimo. En la figura adjunta se ilustra
sobre ambas situaciones.
En términos de la segunda derivada, se puede demostrar que si f''(x) = 0, entonces x es
punto de inflexión (donde cambia la concavidad de la función), mientras que si f''(x) > 0,
261
entonces la función es cóncava hacia arriba en x, por último, si f''(x) < 0, entonces la
función f es cóncava hacia abajo en x.
De esta manera, el criterio es el siguiente:
• Un punto xo es punto de máximo, si f''(xo) < 0.
• Un punto xo es punto de mínimo, si f''(xo) > 0.
• Un punto xo es punto de inflexión, si f''(xo) = 0.
Aquí xo es un punto crítico (f'(xo) = 0).
EJEMPLO II.3.1.6.
Determine los puntos de máximo y mínimo de la siguiente función real.
f(x) = x3/3 – 3x2 / 2 + 2x + 5.
f'(x) = x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
Puntos críticos: x = 1 y x = 2.
Como f''(x) = 2x – 3, se tiene que f''(1) = 2 – 3 = - 1 < 0 ⇒ x = 1 punto de máximo,
mientras que f''(2) = 4 – 3 = 1 > 0 ⇒ x = 2 es punto de mínimo.
En la discusión anterior, hemos supuesto implícitamente que la función es bastante suave
como para que existan la primera y segunda derivada. En esta situación podemos aplicar los
criterios vistos para determinar primero los puntos críticos (candidatos a extremos) y
después clasificarlos. Sin embargo, este método sólo nos permite encontrar extremos
relativos y no absolutos.
EJEMPLO II.3.1.7.
La figura representa la gráfica de una función con valores extremos relativos y no
absolutos.
Cuando el dominio de la función no es todo ℝ o un intervalo infinito, sino que el dominio
se encuentra bien acotado, entonces es posible determinar los extremos absolutos. Para ello,
buscamos los extremos relativos por el método visto y a esto le agregamos los extremos del
262
intervalo como candidatos a extremos absolutos. Entre los puntos críticos y la frontera del
dominio, se encuentran los extremos globales que se determinan por comparación.
EJEMPLO II.3.1.8.
Determine los máximos y mínimos globales de la siguiente función:
f : [0,4] → ℝ
f(x) = x3/3 – 3x2 / 2 + 2x + 5.
f'(x) = x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
Puntos críticos: x = 1 y x = 2.
Puntos frontera del intervalo: 0 y 4.
f(0) = 5 ⇒ Mínimo Global.
f(1) = 35 / 6
f(2) = 17 / 3
f(4) = 31 / 3 ⇒ Máximo global.
La misma técnica de simple comparación se puede aplicar en el caso de que en un punto no
exista la primera y / o segunda derivada.
ACTIVIDAD II.3.1.9.
1. Para cada una de las siguientes funciones, determine el máximo y mínimo global en los
intervalos indicados, encontrando los puntos críticos de las funciones y comparando con
los valores en los extremos.
a) f(x) = x3 – x2 –8x + 1, x ∈ [-2, 2]
b) f(x) = x5 + x + 1, x ∈ [-1, 1]
c) f(x) = 3x4 – 8x3 + 6x2, x ∈ [-1/2, 1/2]
d) f(x) = 1 / (x5 + x + 1), x ∈ [-1/2, 1]
e) f(x) = (x + 1) / (x2 + 1), x ∈ [-1, 1/2]
f) f(x) = x / (x2 – 1), x ∈ [0, 5]
Solución:
a)
Buscamos primero los puntos críticos de la función, para ello igualamos la primera
derivada a cero: f’(x) = 3x2 – 2x – 8 = 0.
La ecuación 3x2 – 2x – 8 = 0 es una ecuación cuadrática con a = 3, b = -2 y c = - 8, y tiene
como solución a x = 2 y x = - 4 / 3, que corresponden a los puntos críticos de la función en
el intervalo [-2, 2]. Evaluamos ahora los puntos críticos y el valor extremo que falta del
intervalo (x = - 2).
263
f(2) = 23 –22 – 8 ⋅ 2 + 1 = 8 – 4 – 16 + 1 = 9 – 20 = - 11
f(-4 / 3) = -64 / 27 – 16 / 9 + 32 / 3 + 1 = (-64 – 48 + 288 + 27) / 27 = (-112 + 315) / 27 =
203 / 27
f(-2) = - 8 – 4 + 8 + 1 = - 3
Con los resultados de estas evaluaciones, queda claro que la función tiene un máximo
global en x = - 4 /3 y un mínimo global en x = 2, tan como se aprecia en el gráfico de la
función.
-10
-5
0
5
10
-2 -1 0 1 2
b)
Esta función no tiene puntos criticos, pues f’(x) = 5x4 + 1 = 0 no tiene soluciones reales.
Procedemos a evaluar la función en los extremos del intervalo, esto es en x = 1 y x = 1:
f(-1) = -1 – 1 + 1 = -1
f(1) = 3
Así la función tiene un mínimo global en x = 1 y un máximo en x = 1 tal como se aprecia
en el gráfico.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 0 1
c)
Como f’(x) = 12x3 – 24x2 + 12x, se tiene que:
f’(x) = 0 ⇒ 12x3 – 24x2 + 12x = 0
⇒ 12x(x2 – 2x + 1) = 0
⇒ 12x(x – 1)2 = 0
⇒ x = 0 ∨ x = 1
264
Son los puntos criticos de la función, pero como sólo consideramos el intervalo [-½ , ½], el
único punto crítico considerado es x = 0. Procedemos a evaluar a la función en x = 0 y los
extremos del intervalo x = - ½ y x = ½:
f(-1/2) = 3/16 + 8 /8 + 6 /4 = 43 /16
f(0) = 0
f(1/2) = 3 / 16 – 8 / 8 + 6 / 4 = 11 / 16
De las evaluaciones anteriores, se concluye que la función tiene su máximo global en x = -
½ y su mínimo en x = 0, como se aprecia en la figura.
-1
0
1
2
3
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5
d)
La función no tiene puntos críticos. En efecto, f’(x) = - (5x4 + 1) / (x5 + x + 1)2 = 0 ⇒ x ∉
ℝ. Luego, sólo resta evaluar en los extremos del intervalo, exto es en los puntos x = - ½ y x
= 1. Se tiene:
f(-1/2) = 1 / (-1/32 – ½ + 1) = 1 / (-1/32 + ½) = 1 / (-1 + 16)/32 = 32 / 15
f(1) = 1 / (1 + 1 + 1) = 1/3
La gráfica corrobora que en x = -1/2 nos encontramos en la presencia de un máximo global,
mientras que en x = 1, de un mínimo global.
-1
0
1
2
3
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
e)
Localisemos primero los puntos críticos de f, para ello igualemos la primera derivada a cero
y encontremos las raices de la ecuación que pertenecen al intervalo [-1, ½]
f’(x) = 0 ⇒ ((x2 + 1) – (x + 1)2x) / (x2 + 1)2 = 0
⇒ x2 + 1 – 2x2 – 2x = 0
⇒ -x2 – 2x + 1 = 0
265
⇒ x = - (2 ± 2 2 ) / 2
⇒ x = - 1 + 2 ∨ x = - 1 - 2
pero x = - 1 - 2 ∉ [-1, ½], mientras que x = - 1 + 2 ∈ [-1, ½] es el único punto crítico
de la función en el intervalo. Evaluamos en este punto y los puntos extremos del intervalo:
f(-1) = 0
f(½) = 3/2 / 5/5 = 3/2 ⋅ 4/5 = 6/5
f(-1 + 2 ) = 2 / (1 -2 2 + 2 + 1) = 2 / (4 - 2 2 ) ⋅ (4 + 2 2 ) / (4 + 2 2 ) = (4 2 +
4) (16 – 8) = ( 2 + 1) / 2.
Luego, x = -1 es un punto de mínimo global y x = - 1 + 2 es de máximo global, como se
aprecia en la gráfica.
-1
0
1
2
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5
f)
f’(x) = 0 ⇒ (x2 – 1 – x ⋅ 2x) / (x2 – 1)2
⇒ - (x2 + 1) / (x2 – 1)2 = 0
⇒ no hay puntos criticos.
Al evaluar en los extremosdel intervalo, se tiene que f(0) = 0, que como muestra la gráfica
corresponde a un máximo local, y f(5) = 5/24, que es un mínimo local.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5
2. Encuentre y clasifique los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones
reales:
a) f(x) = x3
b) f(x) = 1 – x2/3, x ∈ [-8, 8]
266
c) f(x) = - (x – 1)2 + 2
d) f(x) = x3 + 3x2 – 9x, x ∈ [-4, 4]
e) f(x) = x3 – 3x2 + 2
f) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈[-3, 2]
g) f(x) = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 12x, x ∈]-2, 2[
h) f(x) = 3x4 – 4x3 – 48x2 + 144x, x ∈ ]-4, 3]
i) f(x) = x6 – 3x2, x ∈ [-1, 2]
j) 4/3)10()( −= xxxf
k) f(x) = x2/3 + 16x1/3, x ∈ [-8, 8]
Solución
a)
La función f(x) = x3 tiene sólo un punto de inflexión en x = 0, no tiene ni máximos, ni
mínimos. Como se aprecia en la gráfica, siempre es creciente.
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
b)
Esta función tiene un máximo global en x = 0, como se aprecia en su gráfica. En x = 8 y x =
- 1, los extremos del intervalo, tiene mínimo global.
-3
-2
-1
0
1
2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
c)
El único punto crítico se encuentra en x = 1, que corresponde a un máximo global.
267
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 d)
f’(x) = 3x2 + 6x – 9 = 0 ⇒ x = - 3 ∨ x = 1
f’’(x) = 6x + 6
f’’(-3) = - 12 < 0
f’’(1) = 12 > 0
Puntos críticos x = - 3 (máximo global) y x = 1 (mínimo global).
-8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
e)
f’(x) = 3x2 – 6x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2 son los puntos críticos de la función. Como f’’(x) = 6x
– 6, se tiene que f’’(0) = - 6 < 0 (máximo local) y f’’(2) = 6 > 0 (mínimo local).
-24
-16
-8
0
8
16
24
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f)
Localizamos primero los puntos críticos:
f´(x) = 0 ⇒ 4x3 – 4x = 0
⇒ 4x(x2 – 1) = 0
268
⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1
Ahora, como f’’(x) = 12x2 – 4 = 4(3x2 – 1), se tiene que f(0) = - 4 < 0 (punto de máximo),
f(1) = f(-1) = 8 > 0 (punto de mínimo). El máximo global se encuentra en x = -3.
-8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
-3 -2 -1 0 1 2 g) Localizamos los puntos críticos de la función:
f’(x) = 0 ⇒ 12x3 – 12x2 – 12x + 12 = 0
⇒ 12(x3 – x2 – x + 1) = 0
⇒ 12(x2(x – 1) – (x – 1)) = 0
⇒ 12(x2 – 1)(x – 1) = 0
⇒ 12(x – 1)2(x + 1) = 0
⇒ x = 1 ∨ x = - 1
Ahora, clasificamos los puntos críticos, evaluando en la segunda derivada de la función:
f’’(x) = 36x2 – 24x – 12
f’’(1) = 36 – 24 – 12 = 0 punto de inflexión.
f’’(-1) = 36 + 24 – 12 ) 48 > 0 punto de mínimo local.
Se observa que en este caso los extremos del intervalo no pertenecen al dominio de la
función, por lo que no se pueden considerar para encontrar valores extremos globales de la
función.
-16
-8
0
8
16
24
32
-2 -1 0 1 2 h)
f’(x) = 0 ⇒ 12x3 – 12x2 – 96x + 144 = 0
⇒ 12(x3 – x2 – 8x + 12) = 0
⇒ 12(x – 2)(x + 3)(x – 2) = 0
⇒ x = 2 ∨ x = - 3 son los puntos críticos de esta función.
Clasificación de puntos críticos, utilizando la segunda derivada:
269
f´´(x) = 36x2 – 24x – 96
f’’(2) = 0, punto de inflexión.
f’’(-3) = 324 + 72 – 96 > 0 punto de mínimo (global)
Se tiene además que x = 3 es el máximo global.
-550-500-450-400-350-300-250-200-150-100-50
050
100150
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
i) Puntos críticos: f’(x) = 0 ⇒ 6x5 – 6x = 0
⇒ 6x(x4 – 1) = 6x(x2 – 1)(x2 + 1) = 6x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0
⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1
f´´(x) = 30x4 – 6. Luego f’’(0) = - 6 < 0, punto de máximo local, f’’(1) = f’’(-1) = 24 > 0,
punto de mínimo. Se tiene que en x = 2 esta el máximo global.
-505
10152025303540455055
-1 0 1 2 j)
-5
0
5
10
15
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f'(x) = (x – 10)3/4/2x½ + 3x½ / 4(x – 10)1/4 = (5x – 20) / 4x½(x – 10)1/4 = 0 ⇒ x = 4 punto
crítico, pero este no pertenece al domino de la función.
Punto de mínimo global: x = 10.
k)
270
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x = 0 punto de mínimo absoluto.
x = 8 ∧ = - 8 puntos de máximo absoluto.
3. Encuentre los valores extremos relativos y absolutos de la función definida por tramos
siguiente:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∈+−∈=−∈−−∈−−∈+−
=
]4,1[2/32/[1,0]
02/1[0,1]]1,2[2/1[2,4[2
)(
2
2
xxxxx
xxxxx
xf
Solución:
Como esta función no es derivable en el intervalo [-4, 4], debemos encontrar los máximos y
mínimos por simple evaluación y graficando. Se concluye que la función tiene su máximo
absoluto en x = - 4, el mínimo absoluto en x = 4, máximos relativos en x = - 1 y x = 1,
mínimo relativo en x = - 2.
EJERCICIOS II.3.1.10.
1. Encuentre el máximo y mínimo absoluto de las siguientes funciones reales en el
intervalo indicado:
271
a) f(x) = x2 + 2x – 4, x ∈[-4, 3]
b) f(x) = -2x2 + x –3, x ∈ [-1, 6]
c) f(x) = 2x3 – x2 + 2, x ∈ [-2, 1]
d) f(x) = x3 + 2x2 + 18x, x ∈ [-1, 2]
e) f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 4, x ∈ [-5, 6]
f) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈ [-2, 1]
g) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈ [0, 5]
h) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈[-5, 5]
i) f(x) = x / (x + 1), x ∈ [-1/2, 1]
j) f(x) = (x + 3) / (x – 2), x ∈ [-3, 1]
RESPUESTAS
1.
a) Máximo absoluto en x = 3, mínimo en x = -1
b) Máximo absoluto en x = 6, mínimo en x = -1
c) Máximo absoluto en x = 1, mínimo en x = -2
d) Máximo absoluto en x = 2, mínimo en x = -2
e) Máximo absoluto en x = 6, mínimo en x = - 3
f) Máximo absoluto en x = -2, mínimo en x = 1 y x = -1
g) Máximo absoluto en x = 5, mínimo en x = 1.
h) Máximo absoluto en x = 5 y x = - 5, mínimo en x = 1 y x = -1.
i) Máximo absoluto en x = 1, mínimo en x = -½
j) Máximo absoluto en x = -3, mínimo en x = 1.
RESUMEN
En esta sección se revisan criterios basados en la primera y segunda derivada para encontrar
los puntos extremos de una función y posteriormente clasificar si se tratan de máximos o
mínimos.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
1. Una función creciente a la derecha de un punto xo y decreciente a la izquierda de este,
tiene un máximo en xo.
2. Si una función es cóncava hacia arriba en un punto critico xo, entonces xo es un punto
de mínimo.
3. Si xo es punto de inflexión, entonces es punto de máximo o de mínimo.
4. Si f(xo) = 0 ∧ f'(xo) = 0, entonces xo es punto de mínimo.
272
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Falso.
4. Falso.
GLOSARIO
Dominio : Conjunto de partida de una función.
Función : Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función Real: Función cuyo domino y codominio son subconjuntos de los números reales.
Imagen: Valor del codominio de una función asociado con un elemento particular del
dominio.
SIMBOLOS
ℝ : Conjunto de números reales.
∀ : Para todo.
≥ : mayor o igual que.
> : mayor que.
< : menor que.
= : Igual que.
⊆ : subconjunto de.
∨ : O.
273
∧ : Y.
⇒ : Implica.
f(x) : Función real.
f'(x) : Primera derivada.
f''(x) : Segunda derivada.
274
II.3.2. GRAFICA DE FUNCIONES
Para graficar una función sin construir la laboriosa tabla de valores, podemos exprimir la
información proporcionada por los criterios de la primera y segunda derivada.
Con la información de la primera derivada, tenemos información sobre los puntos críticos,
los puntos donde la función es creciente y donde es decreciente. En efecto, si f'(x) = 0,
entonces sabemos que x es un punto critico (posible punto de valor extremo para la
función), si f'(x) > 0, entonces f es creciente en x, mientras que si f'(x) < 0, entonces al ser
la pendiente negativa de la recta tangente a la curva se tiene que la función es decreciente.
EJEMPLO II.3.2.1.
Determine los puntos críticos, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
siguiente función real:
f : ℝ → ℝ
f(x) = 3x5 – 5x3
Para ello, calculamos primero la primera derivada de la función,
f´(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2 – 1).
Ahora, se tiene:
• f'(x) = 0 ⇒ 15x2(x2 – 1) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = - 1, son los puntos críticos de la
función.
• f'(x) > 0 ⇒ 15x2(x2 – 1) > 0 ⇒ x2 – 1 > 0 ⇒ x2 > 1 ⇒ x > 1 ∨ x < -1, son los intervalos
de decrecimiento (observe que hay un detalle para x = 0).
• f'(x) < 0 ⇒ x ∈ ]-1, 1[, por ser el intervalo complemento de lo anterior (analice lo que
ocurre en x = 0 con más detención, pues lo intervalos en realidad son dos: ]-1, 0[ y ]0,
1[).
El procedimiento anterior puede ser bastante engorroso en la practica, todos recordamos lo
laborioso que puede llegar a ser resolver inecuaciones. Para simplificar el procedimiento
de calculo, podemos utilizar la continuidad de la función derivada, f'. En efecto, partimos
encontrando aquellos puntos que anulan la primera derivada, f'(x) = 0, lo que nos permite
separar el dominio de la función en varios intervalos. En cada uno de estos intervalos, la
función se encuentra o sobre el eje x, o bajo el eje x, lo que se puede determinar evaluando
en un punto conveniente y representativo. En el ejemplo siguiente, ilustramos esta técnica y
la manera de presentar un resumen de toda la información conseguida utilizando una tabla.
275
EJEMPLO II.3.2.2.
Estudiamos la misma función real del ejemplo anterior:
f : ℝ → ℝ
f(x) = 3x5 – 5x3
Con la primera derivada:
f´(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2 – 1).
Los puntos que anulan esta derivada, sabemos que son –1, 0 y 1, los cuales nos particionan
el dominio de la función en los siguientes cuatro intervalos intervalos: ]-∞, -1[, ]-1, 0[, ]0,
1[ y ]1, +∞[. La pregunta es en cuáles de ellos la primera derivada es positiva y en cuales es
negativa.
Para responder a la pregunta, escogemos puntos emblemáticos en cada intervalo, como por
ejemplo x = -2, para el primero; x = -1/2, para el segundo; x = ½ para el tercero y x = 2
para el cuarto. Se tienen los siguientes resultados de las evaluaciones:
• f'(-2) = 15 ⋅ 4 ⋅ 3 > 0, función creciente en este intervalo.
• f( -1/2) = 15 ⋅ ¼ ⋅ -3/4 < 0, decreciente.
• f(1/2 ) = 15 ⋅ ¼ ⋅ -3/4 < 0, decreciente.
• f(2) = 15 ⋅ 4 ⋅ 3 > 0, función creciente.
Toda esta información, la podemos resumir en la siguiente tabla:
x -1 0 1
f' +++++++++ 0 --------------- 0 --------------- 0 +++++++++
Creciente máx Decreciente ? Decreciente mín Creciente
En esta tabla, se ha rellenado con signos +++ aquellos intervalos donde se sabe que la
derivada es positiva, y con signos --- donde la derivada es negativa. Loa puntos donde se
anula la derivada se ha recalcado y además se ha reservado una fila completa para escribir
la interpretación de la primera derivada en palabras. Se han clasificado los puntos críticos
en base a la información del comportamiento de la función a la izquierda y derecha del
punto.
276
El bosquejo anterior muestra una primera aproximación a la función, en términos de la
información conseguida hasta ahora.
La siguiente información que puede ser de interés, es la relativa a la concavidad de la
función. En este punto entramos a la interpretación de la segunda derivada. Se sabe que si:
• f''(x) = 0 ⇒ x es punto de inflexión (cambio de concavidad).
• f''(x) > 0 ⇒ x es punto de concavidad hacia arriba.
• f''(x) < 0 ⇒ x es punto de concavidad hacia abajo.
Con la misma técnica para descomponer el dominio de la función utilizado en la primera
derivada, se completa una tabla para la segunda derivada.
EJEMPLO II.3.2.3.
Proseguimos con la misma función real:
f : ℝ → ℝ
f(x) = 3x5 – 5x3
Con la primera derivada:
f´(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2 – 1).
Y segunda derivada:
f''(x) = 60x3 – 30x = 30x(2x2 – 1).
Se tiene que f''(x) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1/ 2 ∨ x = -1/ 2 , son los puntos de inflexión de la
curva. Pasamos a evaluar en puntos emblemáticos de cada uno de los intervalos definidos
por estos puntos: ]-∞, -1/ 2 [, ]- 1/ 2 , 0 [. ]0, 1/ 2 [, y ] 1/ 2 , +∞[, lo que nos da:
• f''(-2) = -60 ⋅ 7 < 0, cóncava hacia abajo.
• f''(-1/2) = - 15 ⋅ -1/2 > 0, cóncava hacia arriba.
• f''(1/2) = 15 ⋅ -1/2 < 0, cóncava hacia abajo.
• f''(2) = 60 ⋅ 7 > 0, cóncava hacia arriba.
Con esta información, completamos la siguiente tabla:
x -1/ 2 0 1/ 2
f'' ----------- 0 +++++++ 0 ---------- 0 ++++++++
∩ ∪ ∩ ∪
Lo que nos permite mejorar nuestro bosquejo de la curva de la siguiente manera:
277
Con toda la información acumulada hasta ahora, podemos confeccionar una tabla donde
integremos todo nuestro conocimiento de la función. Además podemos agregar
información nueva, como las imágenes de la función de los puntos críticos y de inflexión,
además de los puntos donde la función se anula (si es que es posible encontrarlos).
EJEMPLO II:3.2.4.
Proseguimos con la misma función real estudiada en los ejemplos anteriores:
f : ℝ → ℝ
f(x) = 3x5 – 5x3
f(x) = 3x5 – 5x3 = 0 ⇒ x3(3x2 – 5) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = - 3/5 ∨ x = 3/5 , son los puntos
de la imagen que cruzan al eje x.
Las evaluaciones de la función en los puntos críticos y de inflexiones:
• f(-1) = -3 + 5 = 2
• f(-1/ 2 ) = -3/4 2 +5/2 2 = 7/4 2
• f(0) = 0
• f(1/ 2 ) = 3/4 2 - 5/2 2 = -7/4 2
• f(1) = 3 – 5 = -2
La tabla que podemos construir adquiere la siguiente forma:
x -√5/3
-1 -1/√2
0 1/√2
1 √5/3
f 0 2 7/4√2
0 -7/4√2
-2 0
f' +++++++++++ 0 ------------------ 0 ------------------ 0 +++++++++++
f'' -------------------------------- 0 +++ 0 ---- 0 ++++++++++++++++++
Creciente max Decreciente Decreciente min Creciente
Cóncava hacia abajo Infl Arriba infl Abajo Infl Cóncava arriba
278
El bosquejo de la gráfica asociada con esta función lo presentamos a continuación:
Por último, mostramos la verdadera gráfica de la función, el lector debe observar el
parecido del bosquejo con la gráfica.
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5 0 5
ACTIVIDAD II.3.2.5.
1. Grafique en forma aproximada las siguientes funciones reales.
a) f(x) = 2x3 – 3x2 – 72x
b) f(x) = x3 – 3x + 2
c) f(x) = x3 + 12x2 + 45x + 1
d) f(x) = x4 – 2x2 + 1
e) f(x) = 3x4 + 4x3 – 6x2 – 12x
f) f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 1
g) f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 3
Solución
a) f(x) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = ¾ (1 + 65 ) ∨ x = ¾ (1 - 65 )
f’(x) = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = - 3
f’’(x) = 0 ⇒ x = ½
279
x ¾ -3 0 ½ 4 ¾
f +++ 0 +++++++++++ 0 --------------------------------- 0 +++
f’ +++++++++++ 0 --------------------------------- 0 +++++++++++
f’’ ----------------------------------------------- 0 +++++++++++++++++++
Creciente max Decreciente Min Creciente
Cóncava hacia abajo infl Cóncava hacia arriba
-1000
-750
-500
-250
0
250
500
750
1000
-10 -5 0 5 10
b)
f'(x) = 3x2 – 3 = 0 ⇒ = 1 ∨ x = -1, puntos críticos.
f''(x) = 6x ⇒ x = 0 Punto de inflexión.
x -2 -1 0 1
f 0 0
f' +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++
f'' --------------------------------- 0 +++++++++++
Creciente Decreciente Cre
Cóncava hacia abajo Cóncava arriba
0
250
-5 0 5
c)
f'(x) = 3x2 + 24x + 45 = 0 ⇒ x = - 5 ∨ x = -3, puntos críticos.
f''(x) = 6x + 24 ⇒ x = - 4, punto de inflexión.
280
x -5 -4 -3
f
f' +++ 0 ------------------- 0 +++
f'' ------------------- 0 +++++++++++
Cre Decreciente Cre
Cóncava abajo Cóncava arriba
-2500
250500750
10001250150017502000225025002750
-10 -5 0 5 10
d)
f'(x) = 4x3 – 4x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = - 1, puntos críticos.
f''(x) = 12x2 – 4 ⇒ x = 1 / 3 ∨ x = - 1 / 3 , puntos de inflexión.
x -1 -1/ 3 0 1 / 3 1
f 1 1 1
f' ----- 0 +++++++++++++ 0 ---------------------- 0 +++
f'' +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++++++++++
Dec Creciente Decreciente Cre
Cóncava arriba Cóncava abajo Cóncava arriba
0
2500
5000
7500
10000
-10 -5 0 5 10
e)
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5 0 5
281
f)
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5 0 5 g)
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 5
2. Trace la gráfica aproximada de las siguientes funciones.
a) 1
)( 2
2
+=
xxxf
b) 3
)( 2 +=
xxxf
c) 1
)( 2 −=
xxxf
d) )1(
2)(+−
=xx
xxf
e) 2
12)(xx
xf +=
f) xx
xf 11)( 3 −=
Solución:
a)
-1
0
1
2
-10 -5 0 5 10 b)
282
-1
0
1
2
-10 -5 0 5 10 c)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10 d)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10 e)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10 f)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10 3. Trace la gráfica de la función dada y determine los máximos y mínimos relativos y los
puntos de inflexión.
a) f(x) = x2 – 10x + 30
b) f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 10
c) f(x) = x4 – 6x3 + 54x – 81
283
d) f(x) = 1 – x2 – x6
e) f(x) = 1 – 4 / x + 4 / x2
f) f(x) = x2 + 16 / x
g) f(x) = x + 4 / x2
h) f(x) = x3(x + 1)3
i) f(x) = x4(x – 2)3
j) xxxf −+= 82)( 2
Solución:
a) f'(x) = 2x – 10 = 0 ⇒ x = 5, f''(x) = 2 ⇒ f''(5) > 0 ⇒ x = 5 punto de mínimo. No hay
puntos de inflexión.
-5
0
5
10
15
20
25
-5 0 5 10 b) f'(x) = 3x2 – 18x + 24 = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = 2 puntos críticos. f''(x) = 6x – 18 ⇒ f''(4) = 24
– 18 = 6 > 0 ⇒ x = 4 punto de mínimo, f''(2) = 12 – 18 = - 6 < 0 ⇒ x =2 punto de
máximo, f''(x) = 0 ⇒ x = 3 punto de inflexión.
-10
-5
0
5
10
15
20
-10 -5 0 5 10 c) f'(x) = 4x3 – 18x2 + 108x = 0 ⇒ x = 0, f''(x) = 12x2 – 36x + 108 = 0 no tiene solución
por lo que no hay puntos de inflexión, además f''(0) = 108 > 0 ⇒ x = 0 punto de
mínimo.
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
-5 0 5 d) f'(x) = -2x – 6x5 = 0 ⇒ x = 0, f''(0) = - 2 < 0 ⇒ x = 0 punto de máximo. No hay puntos
de inflexión.
284
-10
-5
0
5
-5 0 5 e) f'(x) = 4 / x2 – 12/x3 = 0 ⇒ x = 3, f''(x) = - 8 / x3 + 36 / x4 ⇒ f''(3) = 1 / 9 > 0 ⇒ x = 3
punto de mínimo, f''(x) = 0 ⇒ x = 9 / 2 punto de inflexión.
-5
0
5
10
15
-5 0 5 f) x = 2 punto de mínimo, no hay puntos de inflexión.
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5 0 5 g) x = 2 punto de mínimo, no hay puntos de inflexión.
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5 0 5 h) x = 0 punto de inflexión, x = - 1 y x = - ½ puntos de mínimo.
0
5
0 i) x = 0 punto de inflexión, x = 2 y x = 8/7 puntos de mínimo.
285
-10
-5
0
5
-5 0 5 j) x = 2 ∨ x = -2 puntos de mínimo, no hay puntos de inflexión.
-5
0
5
10
15
20
25
-10 -5 0 5 10
4. Trace la gráfica de una función derivable que posea las siguientes propiedades:
a)
f(0) = f(5) = f’(3) = f’(-2) = 0
f´´(x) > 0, cuando x < 0
f’’(x) > 0, cuando x > 5
f’’(x) < 0, cuando x ∈ ]0, 5[
b)
f(0) = 10, f(6) = 15
f(10) = f’(6) = f’(10) = 0
f’’(x) < 0, cuando x < 9
f’’(9) = 0
f’’(x) > 0, cuando x > 9
c)
f(0) = f’’(0) = 0, f’(0) = 1
f’ decreciente en ]0, +∞[
f’ creciente en ]-∞, 0[
2)( =+∞→
xflimx
, 1)( −=−∞→
xflimx
d)
f(0) = f(10) = f’’(2) = 0, f(6) = 6
f’(x) = 1 cuando x ≤ 0
f(6) es un máximo absoluto
f’’(x) < 0, cuando x > 10
f’ es creciente en ]0, 2[
Solución
286
a)
x -2 0 3 5
f ------------------- 0 +++++++++++ 0 -----
f’ ----- 0 +++++++++++ 0 -------------------
f’’ +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++
Dec Creciente Decreciente
Cóncava arriba Cóncava abajo arr
b)
x 0 6 9 10
f +++ 10 +++ 15 +++++++++++ 0 +++
f’ +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++
f’’ --------------------------------- 0 +++++++++++
Creciente Decreciente Cre
Cóncava hacia abajo Con arriba
c)
x -∞ 0 +∞
f -1 ----- 0 +++ 2
f’ +++++++ 1 ------------
f’’ +++++++ 0 ------------
Creciente Decrecie
Arriba Con.abajo
287
d)
x 0 2 6 10
f 0 6 0 -----
f’ +++++++++++ 0 +++ 0 -------------------
f’’ +++++++++++ 0 +++++++++++ 0 ----
Cre Creciente Decreciente
Cóncava arriba Aba
RESUMEN
En esta sección se analiza una técnica para bosquejar la gráfica de una función real, en base
a la información proveniente de la primera y segunda derivada.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Para graficar una función real sólo se cuenta con el método de las tablas de valores.
2. La segunda derivada se utiliza para encontrar la concavidad de la función.
3. A partir de las derivadas no es posible estimar si la curva es creciente o decreciente
4. La primera derivada sólo se utiliza para conocer los puntos críticos de una función.
288
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Falso.
4. Falso.
GLOSARIO
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento particular del
dominio.
Inecuación: Relación matemática entre dos expresiones con una incógnita, por medio de
una desigualdad.
Tabla de Valores: Conjunto de pares de valores (preimagen, imagen) de una función que
permiten graficar un esbozo de la curva.
SIMBOLOS
ℝ : Conjunto de números reales.
f(x) : función real.
f'(x) : Primera derivada.
f''(x) : Segunda derivada.
∨ : o.
⇒ : Implica.
289
> : mayor que.
< : menor que.
= : igual que.
290
II.3.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
Una aplicación directa de las derivadas a problemas de ingeniería lo encontramos en la
optimización, esto es, encontrar la manera de maximizar o minimizar una variable para
conveniencia de un cierto objetivo.
En todo problema de optimización, se debe identificar la función objetivo que se busca
maximizar o minimizar, para posteriormente buscar los puntos críticos de ella y determinar
si corresponden a la respuesta buscada o no.
Ilustraremos la solución de un problema de optimización por medio del siguiente ejemplo.
EJEMPLO II.3.3.1.
Suponga que las ventas, S(x) de cierta compañía pueden aproximarse por la fórmula S(x) =
3600(x / (x + 1)), donde x es el gasto diario de promoción en pesos. Suponiendo que la
función de costo está dada por C(x) = x + K, donde K es una constante que representa los
costos diarios fijos, encuentre el valor de x que maximiza las utilidades de la compañía.
Solución:
Las utilidades de la compañía se encuentran dadas por
Utilidades = Ventas – Costos ⇒ U(x) = S(x) – C(x)
⇒ U(x) = 3600(x / (x + 1)) – x – K
Aquí, se observa que U(x) es la función objetivo que debemos maximizar, para ello
buscamos los puntos críticos de la función, igualando la primera derivada a cero.
⇒ U'(x) = 3600((x + 1) – x) / (x + 1)2 – 1 = 0
⇒ 3600 / (x + 1)2 – 1 = 0
⇒ 3600 = (x + 1)2
⇒ x + 1 = ±60
⇒ x = ±60 – 1
⇒ x = 59 ∨ x = - 61
Por descarte, tenemos que la respuesta es x = 59.
El lector, debe percatarse que para resolver este tipo de problemas, se requiere poder
interpretar correctamente los enunciados, el paso posterior consiste en aplicar las técnicas
de derivación a la función objetivo, f(x), y resolver la ecuación f'(x) = 0.
Se dejan varios problemas, para ensayar la interpretación de este tipo de enunciados, pues
los problemas de cálculo en sí, no son significativos.
291
ACTIVIDAD II.3.3.2.
1. Suponga que la función de demanda d, de una mercancía está dada por d(x) = 20000 –
4x y la función de costo está dada por c(x) = 2x + 106. Suponga además que el gobierno
grava las ventas con un impuesto de t por ciento por cada unidad. Determine, en
términos de t, la cantidad de producción que maximizará las utilidades. Determine
también el valor de t que maximiza la renta del gobierno por concepto de impuestos, es
decir tx.
Solución:
U(x) = (200000 – 4x) (1 – t) – 2x – 100000
2. Suponga que se quiere cercar un jardín rectangular que tiene en un costado una pared de
piedra de 100 m de largo. ¿Qué dimensiones tiene el jardín si se emplea una cerca de
200 m de longitud y el área del jardín ha de ser máxima?. ¿Cuáles son las dimensiones
si se usa una cerca de 250 m de longitud?.
Solución:
f(x) = x(300 – 2x), 100 ≥ 300 – 2x ≥ 0.
EJERCICIOS II.3.3.3.
1. Exprese el número 8 como la suma de dos números positivos tales que la suma del
cuadrado del primero y el cubo del segundo sea lo más pequeña posible.
2. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máximo perímetro que puede inscribirse
en un círculo de radio 4.
3. Halle la distancia mínima entre el punto (1, -2) y un punto sobre la recta dada pos 3x +
y + 5 = 0
4. Encuentre la velocidad y aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una
línea recta tal que s(t) = t3 – 9t2 + 15t + 12. Determine también los extremos de la
velocidad y aceleración en el intervalo de tiempo [0, 6].
5. Se desea construir una caja rectangular de un pedazo de cartón de 24 cm de largo y 9
cm de ancho, cortando un cuadrado en cada esquina y doblando hacia arriba los lados.
Encuentre las dimensiones que maximizan el volumen.
6. Encuentre las dimensiones más económicas de una caja abierta (sin tapa) con fondo
cuadrado, si el volumen debe ser 4m3 y el centímetro cuadrado del fondo cuesta el
doble que el centímetro cuadrado de los lados.
7. Al negociar el precio p de un artículo, la satisfacción del vendedor aumenta con un
incremento del precio, mientras que la satisfacción del cliente disminuye con un
aumento del precio. Una forma posible de expresar la satisfacción del vendedor es por p
– V y la del comprador es por C – p, donde V y C son constantes tales que C > V. Bajo
ciertas condiciones económicas parece razonable suponer que el precio final convenido
292
pf debe maximizar la cantidad (p – V)(C – p). ¿Cuál es el valor de pf en términos de C
y V?.
8. Las funciones de renta y costo de una empresa están dadas por R(x) = -11/54x2
+235/108x – 28/27, x ∈ [2, 5] y C(x) = 3/4x + 1, x ∈ [2, 5], donde x es el producto en
miles de unidades. Encuentre la cantidad de producto que minimiza el costo, la cantidad
que maximiza la renta y la cantidad que maximiza las utilidades. ¿Hay alguna relación
entre esos valores?
9. Encuentre la cantidad (como número entero) de producto que maximiza la renta total
cuando el precio por n mil unidades está dado por 400 / (900 + n2).
10. Un cable ha de unir un punto A en una de las riberas de un río sin curvas de 2 km de
ancho a un punto B, que se encuentra a 5 km de A río arriba pero en el otro lado. El
cable debe ir primero bajo el agua (en línea recta) desde A hasta un punto C al otro lado
del río y luego bajo tierra desde C a B. ¿Dónde debe estar C para minimizar el precio si
cuesta $5.000.- por metro llevar el cable bajo agua y $3.000.- por metro llevarlo bajo
tierra?
11. El costo de operar cierto camión es de 6 + v/10 pesos por kilómetro cuando el camión
viaja a la velocidad constante de v km/h. Suponga que el conductor gana $400.- por
hora. ¿Cuál es la velocidad más económica en un viaje de 700 km?
RESPUESTAS
1. x = 6, y = 2
2. x = y = 2 2
3. x = -4/5, y = - 13/5
4. velocidad máxima – 15 ⋅ 35, aceleración máxima en x = 6
5. x = 3
6. x = 3 4
7. pf = (c – v)2 / 4
8. Máximiza utilidades x = 2 / 7, máximiza renta x = 44 / 235. Minimiza costo x = 5.
9. n = 10
10. x = 1.5
11. v = 20 10
RESUMEN
En la presente sección se revisan algunos problemas de optimización, que consiste en la
aplicación natural del concepto de derivadas, máximos y mínimos a problemas de
ingeniería.
293
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única variable.
Variable: Número que se expresa como función de otros por medio de una relación.
SIMBOLOS
f(x) : función real.
f'(x) : primera derivada.
= : igual que.
± : positivo o negativo.
∨ : o.
⇒ : implica.
294
II.3.4. APROXIMACION AFIN
Debido a que la derivada de una función en xo, se define en términos del límite del
cuociente de las imágenes de la función por las preimagenes, esto es:
o
o
xx
oo
ho xxxfxf
limh
xfhxflimxf
o −−
=−+
=→→
)()()()()('
0.
Debido a esta definición, podemos decir que cuando x se encuentra cerca de xo, entonces
(f(x) – f(xo)) / (x – xo) esta cerca de f'(xo), o equivalentemente:
o
o
xxxfxf
−− )()(
≈ f'(xo) ⇒ f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x – xo)
Esta aproximación se conoce como aproximación afín de una función y es mejor en la
medida de que x se encuentre lo más cerca de xo posible.
La fórmula de aproximación es especialmente útil cuando f(x) es difícil de calcular en
comparación con f(xo) y f'(xo), como se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO II.3.4.1.
Suponga que f(x) = x ,xo 0 100 y x = 101. Entonces, como f'(xo) = ox1 , la fórmula de
aproximación afín toma la forma:
x ≈ ox +ox2
1 (x –xo)
Reemplazando por los valores de x y xo, se tiene:
101 ≈ 100 + 10021 (101 - 100)
101 ≈ 10 + 1 / 20 ⋅ 1
101 ≈10.05
El verdadero valor de 101 es 10.04988…..
Este método no sólo se puede utilizar para aproximar raíces, sino que también, funciones
logarítmicas, trigonométricas, o incluso expresiones polinomicas de cierta complejidad.
ACTIVIDAD II.3.4.2.
1. Utilice el método de aproximación afín para encontrar una aproximación a 84 .
Solución:
84 ≈ 81 + 812
1 (84 - 81)
84 ≈ 9 + 1 / 18 ⋅ 3
295
84 ≈ 9.1667
El verdadero valor de 84 es 9.1651..
2. Utilice el método de aproximación afín para encontrar una aproximación a 5.81 .
Compare su resultado con el obtenido en el problema anterior.
Solución:
5.81 ≈ 81 + 812
1 (81.5 - 81)
5.81 ≈ 9 + 1 / 18 ⋅ 0.5
5.81 ≈ 9 + 1 /36
5.81 ≈ 9.027778
El verdadero valor de 5.81 es 9.027735….
3. Utilice el método de aproximación afín para encontrar una aproximación a 5 33 .
Solución:
Sea f(x) = 5 x
f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x – xo)
5 x ≈ 5ox +
45 )(51
ox(x –xo)
5 33 ≈ 5 32 + 45 )32(5
1 (33 - 32)
5 33 ≈ 2 + 1 / 80 ⋅ 1
5 33 ≈ 1.0125
El verdadero valor de 5 33 es 2.012346…..
4. Encuentre una formula para aproximar una función logaritmo natural.
Solución:
f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x – xo)
ln(x) ≈ ln(xo) + 1/xo ⋅ (x – xo)
RESUMEN
En la presente sección se revisa un procedimiento para encontrar la aproximación de
funciones en base a la definición de derivada, conocido como aproximación afín.
296
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
1. La aproximación afín sólo se puede aplicar cuando la función tiene primera derivada.
2. Se necesita conocer la función en varios puntos para poder aplicar la aproximación afín.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Falso.
GLOSARIO
Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento del dominio.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Límite: Valor del codominio al cual se acercan las imágenes de una función cuando las
preimagenes tienden a un valor fijo.
Preimagen: Elemento del dominio de una función asociado con un elemento del codominio.
SIMBOLOS
≈ : aproximadamente
= : igual que.
⇒ : implica.
f(x) : función real.
f'(x) : primera derivada.
oxxlim→
: limite cuando x tiende a xo.