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El objetivo es que puedas interpretar el concepto de Límite de una función en diferentes contextos, a determinar si existe o no su límite y a calcular límites de funciones algebraicas

Dra. MARTHA ANGÉLICA ELIZONDO SÁMANO 1

Bienvenidos a la clase de Calculo Integral

UNIDAD I PRELIMINARES

TEMA 6

¿Que es un Límite ?


Analiza el siguiente caso

Si un péndulo se mueve desde su posición de equilibrio y se suelta, oscilará de un lado a otro. Debido a la fuerza de fricción, cada oscilación será más corta que la anterior. Supón que la longitud de la primera

oscilación es de 1

2 de una unidad y

cada oscilación mide la mitad de la anterior.


La longitud de la n-ésima oscilación

será. 𝑙𝑛 =1

2𝑛

1

2,

1

22 ,1

22 ,1

24 ,1

25 ∙∙∙,1

2𝑛

1

2,1

4,1

8,

1

16,

1

32,∙∙∙,

1

2𝑛

Calculando las longitudes de las primeras 5 oscilaciones


Si algunos términos se grafican en una recta numérica tendremos:

ENTONCES

Cuando n se incrementa sin límite, los puntos que representan la longitud de la oscilación se acercan más y más a 0(cero), pero siempre permanecen mayores que

cero. Entonces el límite de 1

2𝑛 ,

cuando n se incrementa sin límite es cero.

Dra. MARTHA ANGÉLICA ELIZONDO SÁMANO

5

Pero ¿Qué es un Límite?

Para darnos una idea Decimos que el número L es el

límite de F(x) cuando x tiende a a

siempre que podamos hacer que

F(x) se acerque a L tanto como

queramos, escogiendo simplemente

x suficientemente cerca, aunque no

igual al número a.

( ) ( ) a -0.5 a a +0.6


Siempre que hablamos del límite de una

función, existe una palabra clave en dicha

frase, y me refiero a la palabra función, lo

que implica es que tenemos que tener claro

los conceptos básicos de una función:

Sabemos que en la notación matemática de

la función, donde están involucradas cuando

menos dos variables, que normalmente son

la variable “x” y la variable “y”

Entonces


7

Y también a parte de su expresión algebraica, también se pueden

expresar de manera numérica, representadas en la tabla de datos, en

donde una columna corresponde el valor de «x» y la otra columna

corresponde al valor de la variable «y»

Y como se llenan los datos Si tenemos la siguiente función: 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥2 + 1

Le damos un valor a “x” y para conocer el valor de “y” sustituimos el valor de x en la función y obtenemos su valor Así formamos la tabla

X y Punt

o

1 1 (1, 1)

2 4 (2, 4)

3 9 (3, 9)

Así podemos seguirla dando valores a x Obteniendo los valores de y seguir llenando la tabla

Cuando x = 1, y = 1 Cuando x = 2, y = 4


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Con estos valores que se encuentran en pares ordenados, los podemos trasladar a un plano cartesiano, donde tenemos el eje x y el eje y , localizando estos puntos, podemos tener la gráfica de la función.


9

Para explicar el concepto del límite nos vamos a enfocar solo en el eje x

Y un acercamiento


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Si proporcionamos el número más cercano a uno, sin que sea el uno


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podríamos tener que alguien dijera que es cero, es el más cercano a uno, si hablamos de números enteros, pero si hablamos de decimales podría ser el 0.9 y podríamos tener una cantidad indeterminadas de 9 y estos valores menores que uno serían los más cercanos a uno

Así tendríamos también los números mayores que uno más cercanos, diríamos que el 2 es el más cercano número entero, 1.1, 1.01 y podemos tener una cantidad en esta posición indeterminada de ceros

0 2 0.9 1.01 0.99 1.001 0.999 1.0001 0.9999 1.0001 0.9 1.0

Son valores de x que tienden a 1 sin llegar a uno


? ?


Ahora Involucrando al eje y. Retomando la función

anterior que graficamos. Viendo solamente los

valores de 0 a 2.

Son valores de x que tienden a 1 sin llegar a uno Y que sobre la línea de la grafica valores que tienden al punto (1, 1)


Si nos fijamos en lo dicho anteriormente Se dice generalizando que: Si 𝑥 → 𝑎 con valores siempre superiores a a, tiende a a por la derecha. Si 𝑥 → 𝑎 con valores siempre menores a a, tiende a a por la izquierda.

La tendencia por la derecha se escribe; 𝑥 → 𝑎+ .

La tendencia por la izquierda se escribe; 𝑥 → 𝑎−.


Mediante el uso de los límites

conocemos el comportamiento de

una función en las cercanías de un

valor, resuelven muchos de los

problemas de ciencias, negocios o

economía, etc.


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¿Pero para que nos sirven, los límites,

Usaré esto alguna vez?

Cundo hablamos del límite de una función existe una nomenclatura específica que es

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿 Usando la función anterior

𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑥2 = 1 Evaluar un límite de manera algebraica analítica, que es tan sencillo como sustituir hacia donde tiende x en la función y lo hacemos de la siguiente manera

𝑙𝑖𝑚𝑥→1 12 = 1


Si se tiene una función f y los números a y L se dice que:

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿

Si para todo ∈>0 existe un número δ>0 Si para todo 𝑓 𝑥 − 𝐿 <∈ siempre que 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 Es decir que el límite de f(x) cuando 𝑥 → 𝑎 es igual a L Si para todo ∈>0 existe una δ>0, tal que 0< 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 >∈

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE


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¿Cómo se hace el calculo de un límite?

Para calcular un límite es necesario conocer algunas reglas básicas


QUE A CONTINUACIÓN SE MUESTRAN

Límite de la función constante

Para cualquier constante c y cualquier número real a

lim𝑥→𝑎

𝑐 = 𝑐

Nota La constante c no depende de x Por lo tanto permanece invariable cuando 𝑥 → 𝑎

Ejemplo

lim𝑥∗→𝑎

8 = 8


Límite de la función f(x)=x

Para cualquier número real a

lim𝑥→𝑎

𝑥 = 𝑎

Ejemplo

lim𝑥→5

𝑥 = 5 Nota: Cuando 𝑥 → 𝑎

x se acerca a a


Propiedades de los Límite

Teorema Límites de operaciones con funciones


Ejemplos

Calcular

lim𝑥→3

(𝑥 + 1) Tenemos: f(x)=x+1 f(3)=4

lim𝑥→3

𝑓 𝑥 = 4

lim𝑥→3

𝑥 + 1 = 4

Calcular

lim𝑥→2

(𝑥2 + 4𝑥)

Tenemos:

𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 4𝑥)

𝑓 2 = 22 + 4 2 = 12

lim𝑥→2

𝑓 𝑥 = 12

lim𝑥→2

𝑥2 + 4𝑥 = 12


Ejemplos

Calcular

lim𝑥→5

𝑥 + 3 = lim𝑥→5

𝑥 + lim𝑥→5

3 = 5 + 3 = 8

Calcular

lim𝑥→2

5𝑥3 = lim𝑥→2

5 × lim𝑥→2

𝑥 × lim𝑥→2

𝑥 × lim𝑥→2

𝑥 = 5 × 2 × 2 × 2 = 40


Ejemplos

Calcular

lim𝑥→2

4𝑥 + 7

2𝑥 + 1=

lim𝑥→2

(4𝑥 + 7)

lim𝑥→2

(2𝑥 + 1)=

lim𝑥→2

4𝑥 + lim𝑥→2

7

lim𝑥→2

2𝑥 + lim𝑥→2

1=

4 × 2 + 7

2 × 2 + 1=

15

5= 3

Calcula

lim𝑥→3

2𝑥 + 5

𝑥2 + 2𝑥 + 4=

lim𝑥→3

(2𝑥 + 5)

lim𝑥→3

(𝑥2 + 2𝑥 + 4)=

2 3 + 5

32 + 2 3 + 4=

6 + 5

9 + 6 + 4=

11

19


Sean 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑔 𝑥 =2𝑥2−7𝑥

7𝑥−5

Calcular

lim𝑥→−1

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = lim𝑥→−1

3𝑥2 + 2𝑥 + 1 −2𝑥2 − 7𝑥

7𝑥 − 5


Ejemplo

Ejercicios

Calcula los siguientes límites

lim𝑥→4

8.

lim𝑥→1

𝜋 .

lim𝑥→2

5𝑥.

lim𝑥→−3

7𝑥 .

lim𝑥→−1

4𝑥2 .

lim𝑥→3

𝑥2 + 3

4.

lim𝑥→3

𝑥 − 4 .

lim𝑥→4

2𝑥 + 7

𝑥 + 1.

lim𝑥→2

4𝑥3 − 2

2𝑥 + 1.

lim𝑥→0

5𝑥4 − 6

𝑥2 + 2.


Ejercicios

Calcula los siguientes límites

lim𝑥→1

5𝑥2 − 4𝑥 + 6 .

lim𝑥→−1

6𝑥3 − 4𝑥2 + 1 .

lim𝑥→3

7𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 9 .

lim𝑥→𝑎

𝑥2 − 𝑎𝑥 .

lim𝑥→𝑎

𝑥2 − 7𝑥𝑎 + 4 .



Entrega de las practicas Y de los ejercicios De 7:00 a 12:00 AM el día 13 de octubre del 2017

Para hacerlo necesitas hacerlos en tu cuaderno Luego escanearlo para ponerlos en un archivo y enviarlo por el correo


En el correo el día 14 de octubre del 2017 Se les enviará, la solución de los ejercicio y de las practicas.


BIBLIOGRAFÍA

Vargas A. P. 2013. Propuesta para la enseñanza y aprendizaje de las

inecuaciones lineales. Sede de Occidente, Universidad de Costa Rica. San

Ramón, Alajuela, Costa Rica. Revista Educación 37(2), 1-16, ISSN:

22152644.

Smith R.T:, Minton R.B.2005. Calculo Diferencial e Integral. Editorial:

Mc Graw- Hill Interamericana Editores S.A. de C. V. ISNB; 958-41-0128-

5. México D. F.

Flores M. M. A., Fautsch T.E. L. 1999. Calculo Básico. Editorial Progreso

S.A. de C.V. ISNB:968-436-201-3 México D. F.

Araya J.C., Lardner R. W..2002. Editorial: Pearson Educación. ISNB: 968-

444-437-0 México D. F.

Vazquez S. P., Flores B.G., Sánchez G. S: 2000. Matemáticas IV. Editorial;

Compañía Editorial Nueva Imagen, S. A. de C.V. ISNB: 970-638-083-

3.México D.F.

LO LOGRAMOS

AHORA A PRACTICAR


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