1

1

UNIDAD I NÚMEROSi

Los primeros números escritos datan del tercer milenio A.C., en Babilonia y Egipto,

matemáticas dominadas por la aritmética y geometría. Pero el más notable de todos los

sistemas numéricos primitivos fue el del pueblo Maya en el siglo I A.c.

Para representar los números, los mayas utilizaban un doble procedimiento: usaban

una combinación de barras y puntos propios de un sistema vigesimal, o figuraban cabezas

humanas, cada una de las cuales representaba las cifras comprendidas del 1 al 13. En

ambos sistemas se utilizaba el cero.

En la actualidad usamos el sistema decimal para trabajar los números, y hemos

dividido este sistema en conjuntos numéricos cada uno con sus propias características, tales

como los Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales; conjuntos que estudiaremos a

continuación.

NÚMEROS NATURALES

Es un conjunto ordenado e infinito que tiene como primer elemento el 1. Se denota por:

= {1, 2, 3, 4,...}

El antecesor de un natural n es n – 1 y el sucesor de un natural n es n + 1. Cada

número natural tiene un sucesor; todo natural, excepto el 1, tiene un antecesor.

Concluyendo:

Para todo número natural mayor que 1 el antecesor es el número menos 1

Para todo número natural el sucesor es el número más 1.

COLEGIO SANTA PATRICIA DE LA FLORIDA “APRENDER A EMPRENDER”

TALLER DE P.S.U / Prueba de Acceso obligatorias Competencias Matemática

Tema : Unidad de Numero

PROFESOR: Luis Alberto Cartes Flores

NIVEL: Enseñanza Media

TIPO DE DOCUMENTO: Guía auto- aprendizaje N° I

Nombre: ………………………………… ……Curso: IV_________ Fecha: MMXX

> ; n 1 y con n n – 1 es el antecesor de n

n , n + 1 es el sucesor de n

2

2

Ejemplo1: Si n + 2 y n + 2 > 1, el antecesor de n + 2 es:

Solución: n + 2 – 1 = n + 1

Ejemplo 2: Si 3n – 1 , el sucesor de 3n – 1 será:

Solución: 3n – 1 + 1 = 3n

Los naturales se dividen en dos subconjuntos: Pares e Impares.

Números naturales pares: son todos aquellos terminados en los dígitos 0, 2, 4, 6 u 8.

Ejemplo: 2, 126, 1534, etc.

Luego: Si n entonces 2·n es par

Números naturales pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . }

Números naturales impares: son todos aquellos terminados en 1, 3, 5, 7, o 9.

Ejemplo: 17, 33, 99, 131, 3405, etc.

Luego: Si n entonces 2n – 1 es impar

Números naturales impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,. . .}

Los números Naturales se operan a través de la Adición y Multiplicación. Recordemos que no

siempre es posible restar y dividir en este conjunto.

La Adición y multiplicación cumplen con ciertas propiedades, tales como la

Conmutatividad, Asociatividad, Neutro, Clausura y Distributividad de la multiplicación con

respecto a la suma. Gracias a estas propiedades es posible trabajar los números naturales

para resolver algunos problemas de la vida cotidiana.

Propiedades de la Adición en

Clausura : (a + b) a,b

Asociatividad : (a + b) + c = a + (b + c) , a,b c

Conmutatividad : a + b = b + a a,b

Cancelación : a + b = a + c b = c , a,b c

Propiedades de la Multiplicación en

Clausura : (a · b) a,b

Asociatividad : (a · b) · c = a · (b · c) a,b, c

Conmutatividad : a · b = b · a a,b

Cancelación : a · b = a · c b = c a,b, c

Elemento neutro : ! / a = a a

3

3

Si a este conjunto le agregamos el cero, entonces lo escribimos como 0 ={0, 1, 2, 3, 4,...}

llamado “conjunto de los números cardinales”.

Este conjunto tiene las mismas características que el conjunto de los naturales.

En 0 se verifica además la propiedad del elemento neutro para la adición

Nota: Cabe mencionar que algunos autores incluyen el 0 en los números naturales, es decir,

llaman números naturales a los que nosotros llamamos números cardinales.

Esto es cuestión de convención y no existe contradicción entre ambas definiciones.

Los números Naturales los encontramos en diversos tipos de información como por

ejemplo las cifras de muerte en un terremoto, en las compras del supermercado, cuando

pagamos las cuentas, al pagar el pasaje en una micro, entre otros casos. Es por esto que

necesitamos saber siempre reconocer con que tipo de información (o números) estamos

trabajando para poder comprender mejor las cosas.

Números Primos: Son aquellos números naturales distinto de 1, que solamente poseen dos

divisores, el 1 y el mismo número.

Ejemplo: El 2, éste se puede dividir por 1 y por 2 solamente.

/ /

: 2 1 2

0

/ /

: 2 2 1

0

El conjunto de los 11 primeros números primos es: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}

Números Compuestos: Son aquellos que tienen 3 o más divisores distintos.

Ejemplo: El 4, sus divisores son 1, 2 y 4.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números naturales, es el menor de sus múltiplos

comunes. El mínimo común múltiplo de varios números, a,b,c, se designa abreviadamente

así: MCM (a,b,c).

Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números basta con buscar los

múltiplos de cada número hasta encontrar uno común a todos, o se puede recurrir a su

descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos que intervengan en las

descomposiciones de los distintos números elevado a la máxima potencia con que aparezca.

Como ejercicio comprobar de ambas formas que el MCM (3, 4,6) es 12.

Ejemplo:

Dos personas deben embaldosar (cada una) una terraza cuadrada de igual área. La

primera usa baldosas de 3 cm. de lado, y la segunda usa baldosas de 4 cm. de lado, si se les

pide que el área sea mínima, ¿Cuál es el área de las terrazas y quien ocupa menos baldosas?

4

4

Solución: Para calcular el área de la superficie debemos calcular el MCM de las áreas de las

baldosas:

El área de la baldosa de 3 cm. de lado es igual a 9 cm2, y el área de la baldosa de 4 cm de

lado es 16 cm2.

Luego debemos buscar m.c.m (9,16) que es 144, entonces la menor área posible es de 144

cm.2. Entonces el área de las terrazas es de 144cm

2.

La situación la podemos graficar del siguiente modo:

Es evidente que la segunda persona usa menos baldosas que la primera, ya que al

ser las baldosas más grandes cubren mayor área.

El Máximo común divisor de dos o más números naturales, es el mayor de sus

divisores comunes. El máximo común divisor de varios números a, b, c, se designa

abreviadamente así: MCD. (a,b,c).

Para obtener el máximo común divisor de dos o más números basta con buscar los

divisores de cada número y buscar los comunes para finalmente elegir el mas grande, o se

puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos

comunes a todas las descomposiciones de los distintos números, elevado a la mínima

potencia con que aparezca. El máximo común divisor de dos números también se puede

obtener mediante el algoritmo de Euclides.

Como ejercicio comprobar que MCD (12, 28, 32) es 4.

Ejemplo:

Dividir una lamina de 24cm∙36cm en cuadrados iguales, tales que esos

cuadrados sean los más grandes posibles.

Solución: En este caso para buscar el lado de los cuadrados es necesario buscar el

MCD (24,36) que es 12. La situación la podríamos graficar de la siguiente forma:

Luego la lamina la podríamos dividir en 6 cuadrados iguales de lado 12cm.

5

5

NÚMEROS ENTEROS

Los números Enteros surgen como una necesidad de llenar algunos vacíos que

existían con los Naturales, como por ejemplo poder expresar la perdida de dinero en un

negocio, la temperatura en la Antártica, entre otras cosas.

El conjunto de los números Enteros se denomina por ; es un conjunto ordenado e infinito,

sin primer elemento, se expresa por:

= {...,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Observe que los enteros se forman por: = - {0}

Además = .

OPERACIONES EN LOS NÚMEROS ENTEROS

ADICIÓN

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: Si tienen el mismo

signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los

sumandos:

3 + 9 = 12

-3 + -9 = -12

Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se

restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

Ejemplo:

8 + (-3) = 8 - 3 = 5

-8 + 3 = - (8 - 3) = -5

14 + (-14) = 0

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN

Clausura : (a + b) a,b

Asociatividad : (a + b) + c = a + (b + c) a,b, c

Conmutatividad : a + b = b + a a,b

Elemento neutro: 1 1 1!ε ε = ε a a a a

El elemento neutro para la adición de los enteros es el 0 ( 1ε = 0)

Elemento inverso: !( ) ( ) = ( ) 0 a a a a a a

6

6

MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el

resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el

signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo

de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se

sintetiza del siguiente modo:

+ · + = + + · – = –

– · – = + – · + = –

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN

Clausura : (a · b) a,b

Asociatividad : (a · b) · c = a · (b · c) a, b, c

Conmutatividad : a · b = b · a a,b

Cancelación : a · b = a · c b = c , a,b c

Elemento neutro : ! a = a a

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Si D : d = c, entonces D = d c + r

r //

Donde:

- D es el dividendo

- d es el divisor

- C es el cuociente

- r es el resto

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

Cuando encuentras un cálculo que implique varias operaciones tú debes seguir el

siguiente orden:

(1) Resolver los paréntesis.

(2) Potencias.

(3) Multiplicaciones y/o divisiones, de izquierda a derecha.

(4) Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones

internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números

enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

7

7

Ejemplo:

Del uso de los números Enteros: Un comerciante compra 10 kg de pan en $5000.

Si el señor vende después cada kilo en $450, ¿Cuánto fue la ganancia del comerciante?

Desarrollo: $450 · 10 = $4500, es lo que el comerciante recaudó con los 10 Kg. de pan.

Para calcular la ganancia debemos restar el precio de venta con el precio de

compra:

$4500 – $5000 = – $500

El signo (–) nos indica que en realidad no hubo ganancia, sino perdida, que fue de $500.

REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible:

POR CUANDO

2 Termina en cifra par

3 La suma de sus cifras es un múltiplo de tres

4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son ceros

5 La última cifra es cero o cinco

6 Es divisible por dos y por tres a la vez

7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las

cifras restantes es múltiplo de siete

8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son ceros

9 La suma de sus cifras es un múltiplo de nueve

10 Termina en cero

RELACIÓN DE ORDEN EN Z

Si a y b son números enteros, entonces diremos que: i) a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.

ii) a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.

iii) a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).

iv) a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

VALOR ABSOLUTO

Llamamos valor absoluto de un número a la distancia de este al cero.

Por ejemplo el valor absoluto de 5 es 5, pues está a 5 unidades del cero, y de la misma

forma el valor absoluto de –12 es 12, porque está a 12 unidades del cero.

Representación gráfica

1 –2 3 2 0 –1 –3

8

8

Lo anterior se generaliza así:

,

| | , si

, si

a si a 0

a 0 a 0

a a 0

Esto quiere decir que el valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.

Observación: Los conceptos, vistos en los , de número par, impar, antecesor y sucesor se

extienden a los de la misma forma.

Ejemplo: 3 – 5 = – 2 = 2

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS En estos ejercicios de acceso obligatorio a competencias matemáticas; podrás ejercitar los

contenidos anteriormente visto; te recuerdo que debe tomar el tiempo para saber cuánto te

demoras en contestar.

1. –3 + (–307) =

Hora de inicio: ____________

A) 310

B) 304

C) 614

D) –304

E) –310

2. (1 + 5) – 32 + 8 : 2 ∙ 2 =

A) 15

B) 5

C) 1

D) –1

E) –5

3. –7 + (–20 : 4) =

A) –2

B) –12

C) 2

D) 12

E) 35

9

9

4. Al calcular: 6 + (–10) · 2 – (–3) + (–5) · (–1) – (–2)2. Se obtiene:

A) 10

B) 3

C) –2

D) –7

E) –10

5. Si al entero (–3) le restamos el entero (–5), resulta

A) –2

B) 2

C) 8

D) –8

E) Ninguno de los valores anteriores.

6. ¿Cuál es el valor de 2 · –2 + 5 · –4 + 3?

A) 4

B) –1

C) –6

D) –21

E) Ninguna de las anteriores.

7. Sabiendo que m y n son números enteros y que m2∙n es un número negativo,

¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre un número positivo?

I) m2 ∙ n

II) m2 – n

III) m2 + n

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

8. Si n es un número natural, entonces el sucesor del sucesor de n está representado

por

A) n + 4

B) 2n + 2

C) n + 2

D) n + 1

E) 2n + 1

10

10

9. La diferencia de dos números es 2n. Si al menor se le suma n, ¿cuánto hay que

restarle al mayor para que ambos números sean iguales?

A) –n

B) 3n

C) 2n

D) n

E) 0

10. La suma de 3 pares consecutivos es 72. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el

menor?

A) 2

B) 4

C) 22

D) 24

E) 26

11. Tres números impares consecutivos suman 117. ¿Cuál es el menor?

A) 13

B) 37

C) 39

D) 41

E) 43

12. Los factores primos de 18 son

A) 3

B) 2, 3

C) 1, 2, 3

D) 1, 9, 18

E) 1, 2, 3, 6, 9, 18

13. ¿Qué número natural cumple con la siguiente relación? m ∙ m = m + m

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

14. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado un número primo?

I) 2 ∙ 5 + 5 + 2

II) 3 ∙ 5 + 5 + 2

III) 4 ∙ 45 + 5 + 2

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

11

11

15. Si b es múltiplo de a, entonces el mínimo común múltiplo entre a y b es: (a# 1)

A) a

B) b

C) a · b

D) b – a

E) a + b

16. En las siguientes igualdades los números n, p , q y r son enteros positivos. ¿Cuál

de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q?

A) p = nq

B) q = np

C) p = nq + r

D) q = np + r

E) p 1

=n+q q

17. Si 64 es un divisor de n, ¿cuál de los siguientes números es necesariamente un

divisor de n?

A) 16

B) 36

C) 40

D) 128

E) 256

18. Si la suma de los divisores de 3 es x, entonces la suma de los divisores de 12 es:

A) 3x

B) 4x

C) 6x

D) 7x

E) 8x

19. A es el conjunto formado por seis números enteros consecutivos negativos cuya suma

es –87. ¿Cuál de los enteros siguientes no es elemento de A?

A) –11

B) –12

C) –13

D) –14

E) –15

20. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por

A) 3

B) 5

C) 6

D) 9

E) 15

12

12

21. La suma de dos múltiplos consecutivos de 6 es 222. Entonces, el sucesor del múltiplo

mayor es

A) 120

B) 117

C) 115

D) 114

E) 109

22. ¿Cuál de los siguientes valores no es un cuadrado perfecto?

A) 0,01

B) 0,04

C) 0,09

D) 0,10

E) 0,16

23. Si x es igual a la suma de los tres primeros números naturales, entonces x es igual a

A) 6

B) 9

C) 10

D) 14

E) 15

24. La suma de dos números impares es:

I) Siempre divisible por 2

II) Siempre divisible por 3

III) Siempre divisible por 4

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

25. Si a es un número par y b uno impar. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es

(son) siempre un número par?

I) 2a + b + 1

II) a + b + 1

III) a + 2b

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

13

13

26. La suma de cinco números pares consecutivos es igual a cero. ¿A cuánto es igual el

cuadrado del número menor?

A) 16

B) 9

C) 4

D) 1

E) 0

27. Si el sucesor de n es n +1 , entonces el sucesor de 3(n – 5) es

A) 3 ( n – 4 )

B) 3 ( n – 6 )

C) 3n – 4

D) 3n – 16

E) 3n – 14

28. Si n – 1 es un número par, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es

(son) número(s) impar (es)?

I) n + 2 II) 3n + 1 III) 2n + 1

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

29. Si a es un número múltiplo de 3 y b es un número múltiplo de 6, entonces ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) a + b es siempre un número impar.

II) a · b es un número par.

III) ( b : a ) es siempre múltiplo de 2

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre el número 215 – 25 es (son)

verdadera(s)?

I) El número es divisible por 3

II) El número es producto de tres números enteros consecutivos

III) El número es divisible por 210

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

14

14

31. El mínimo común múltiplo entre 2a2 ; 3a4 ; 4a3 es :

A) 12a4

B) 12a12

C) 12ª

D) 12a9

E) 24a12

32. Si n es un número primo y m un número natural. De las proposiciones:

I) El mínimo común múltiplo entre n y m es n · m

II) El máximo común divisor entre n y m es n.

III) El producto de n y m no es necesariamente un número primo.

Es (son) siempre verdadera(s)?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

33. Si A = 23 32 y B = 22 33 5, entonces el m.c.m. y M.C.D. son respectivamente

A) 22 32 y 23 33 5

B) 23 33 5 y 22 32

C) 2 3 5 y 23 33 5

D) 23 33 5 y 22 33

E) 22 33 y 23 33 5

34. Si A = 23 · 32 , B = 2 · 32 · 52 , C = 23 · 3 · 5. Entonces el producto entre el

mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre A, B y C es :

A) 24 · 33 · 53

B) 23 · 32 · 52

C) 24 · 33 · 52

D) 22 · 3 · 52

E) 24 · 33 · 5

35. Tres ciclistas parten juntos en una carrera en donde la pista es circular. Si el primero

tarda 120 segundos en dar vuelta a la pista, el segundo tarda 140 y el tercero 180,

¿en cuántos segundos pasarán nuevamente, los tres juntos, por la línea de partida?

A) 2520

B) 1260

C) 630

D) 252

E) 210

15

15

36. Tres personas desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolates,

respectivamente, entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba

un número exacto de libros, de juguetes y de chocolates. ¿Cuál es el mayor número

de niños que pueden beneficiarse de esa forma?

A) 20

B) 45

C) 60

D) 90

E) 120

37. La temperatura mínima de un día en la ciudad de Santiago fue de tres grados Celsius

bajo cero y la máxima de nueve grados Celsius sobre cero. ¿Cuál fue la variación de

la temperatura ese día en Santiago?

A) 13° Celsius.

B) 12° Celsius.

C) 6° Celsius.

D) –6° Celsius.

E) –13° Celsius.

38. Si n es entero positivo cualquiera, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones

representa(n) a tres múltiplos consecutivos del entero k, siendo k ≠ 0 y k ≠ 1?

I) kn, kn + 1, kn + 2

II) kn, kn + k + 1, kn + k + 2

III) kn + k, kn + 2k, kn + 3k

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

39. Si m = –7, entonces m – |m| + |–m| es igual a

A) –21

B) –7

C) 7

D) 21

E) 14

40. Si m < n, entonces |m – n| es equivalente a

A) m + n

B) –m – n

C) n – m

D) m – n

E) 0

16

16

41. Si a = |–5|, b = (–3)2 , c = –|–5| y d = –32 , entonces | a + b | – | c + d | =

A) 0

B) 10

C) 28

D) –10

E) –28

42. Si x < 0. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) | x | = x

II) –x > 0

III) | –x | = –x

IV) | x | = x2

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo II y III

D) Sólo I, II y III

E) Sólo II, III y IV

43. Si a, b , a < b. Entonces la expresión 2| a – b | – 3| b – a | es:

A) 5a + 5b

B) 2a + b

C) b – a

D) a – b

E) No se puede calcular.

44. Si |x| representa el valor absoluto de x, con a y b dos números enteros distintos,

entonces | a – b | – | b – a | =

A) 2a – 2b

B) 2b – 2a

C) –2a

D) –2b

E) 0

45. Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b. ¿Cuál(es) de las siguientes

relaciones es (son) verdadera(s)?

I) b – a = 1

II) a : b = –1

III) a · b = a2 + 1

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

17

17

46. Sean a, b, c, d . Si a < b , d > c y b < 0 < c , entonces la recta numérica que

mejor representa estas relaciones es

47. Si a < 0 y a > –b, entonces se puede afirmar que siempre es(son) verdadera(s)

I) –a > – b

II) b < 0

III) –a < b

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

48. ¿Cuál(es) de las relaciones siguientes es (son) FALSAS?

I) 2 3

3 4 II)

4 3

5 4 III)

4 4

5 5

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

b a 0 c d

A)

a b 0 c d

B)

a b 0 d c

C)

a 0 b c d

D)

b 0 a c d

E)

18

18

49. Sean a y b dos números positivos. Se puede determinar que b es un divisor de 2a si:

(1) b es un múltiplo de a

(2) 2a + 2 es un múltiplo de b

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

50. Se puede determinar si n es un número natural par si:

(1) m y n son naturales consecutivos

(2) m es impar

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

Hora de termino:_____________

En este cuadro indica las respuestas a las interrogantes planteadas:

Obs: Una vez terminada esta guía de ejercicio, envía tus respuestas a este email:

goudad@gmail.com; donde se te enviaran las respuestas de los ejercicios. Con el fin de que

revises tus respuestas y tu puntaje obtenido.

i Libro Preuniversitario Preutech; autores Aguayo / Cartes (2015); se prohíbe

su reproducción parcial o total. Sin permiso de los autores. LEY N° 17.336.

1. .

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. .

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

21. .

22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

31. .

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

41. .

42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.