unidad i método del lugar de las raíces -...
TRANSCRIPT
UNIDAD IUNIDAD I
Método del lugar de las raícesMétodo del lugar de las raíces
Control Analógico IIM.I. Isidro Ignacio Lázaro Castillo
Antecedentes históricos
En 1948 Walter R Evans introdujo este En 1948 Walter R. Evans introdujo este método que es gráfico y elegante para la solución de ecuaciones algebraicassolución de ecuaciones algebraicas.
11 1( ) 0 n n
n ns a s a s a s K1 1( ) n n
Definición
El método del lugar geométrico de las raíces permiterepresentar gráficamente la posición de los polos de un sistemade lazo cerrado cuando se varía un parámetro, normalmente esla ganancia K.
La dinámica de un sistema de control retroalimentado quedadefinida por medio de su función de transferencia
Y(s)+R(s) E(s)
K G(s)
( ) ( )( ) 1 ( )
Y s KG sR s KG s
-
K G(s)
( )( )( )
P sG sQ s
( )Q s
Siendo su ecuación característica Siendo su ecuación característica
O bien1 ( ) 0KG s
O bien
por lo que puede reescribirse en forma polar
( ) 1KG s
por lo que puede reescribirse en forma polar de la siguiente manera
( ) ( ) 1 0KG s KG s j
Condición de módulo Condición de módulo
Y di ió d á l( ) 1KG s
Y condición de ángulo
( ) 180 360KG s k
Donde ( )
0 1 2 3k 0, 1, 2, 3,...k
Los valores de s que cumplen la condición de Los valores de s que cumplen la condición de módulo y ángulo corresponden a los polos del sistema en lazo cerrado; Mientras que el diagrama de los puntos del plano complejo que únicamente satisfacen la condición de á l tit l l d l í d l ángulo constituyen el lugar de las raíces del sistema.
EJEMPLO ILUSTRATIVO DEL CONCEPTO DE LUGAR DE LAS RAÍCESDE LAS RAÍCES
Ejemplo.- Determinar el diagrama del lugar Ejemplo. Determinar el diagrama del lugar de las raíces para el sistema de segundo orden mostrado en la figura.
C(s)+
-
R(s) E(s)
K1
( 2)s s
Función de transferencia de lazo abiertou c ó de t a s e e c a de a o ab e to
( ) ( )( 2)KG s H s
s s
( 2)s s
Función de transferencia de lazo cerrado Función de transferencia de lazo cerrado
2
( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 2
C s G s KR s G s H s s s K
Ecuación característica( ) 1 ( ) ( ) 2R s G s H s s s K
2 K Resolviendo la ecuación tenemos
2 2 0s s K
2 4 42
Ks
1 1s K1 1s K
De esta última ecuación se observa que De esta última ecuación se observa que la raíces serán reales si y complejas sí
1K
1K sí . 1K
Lugar de las raíces de la ecuación Lugar de las raíces de la ecuaciónj
3jK=4
j
3j
K=0
2 1 0
j
j
K=0
j
3j
K=1
K=4
Además se puede observar que cualquierpunto del lugar de las raíces satisface lacondición de ángulo.
jj j3j
Q
j3j
1 2180 0 y
2 1 012
2 1 0
P12
3j3ja) b)
2 180K s s 11
3tan 60 180 120
12
3tan 601
2 180( 2)
s ss s
1 tan 60 180 1201
2 1
Por otro lado de la ecuación puede Por otro lado, de la ecuación puedededucirse que el factor deamortiguamiento de este sistema estáamortiguamiento de este sistema estádeterminado por
2 1
2 12 n K
Por lo cual el valor de K está íntimamente relacionado con el máximo sobreimpulso del sistema.
Reglas para construir el lugar de las raícesde las raíces
1 - El lugar de las raíces es simétrico con 1. El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real.
Dado que los coeficientes del polinomioP( ) Q( ) l t lP(s) y Q(s) son reales entonces elpolinomio puede tener raíces
l j l j dcomplejas solo en pares conjugados.
2 - Cada rama del lugar de las raíces 2. Cada rama del lugar de las raíces inicia en cada polo de lazo abierto y termina en cada cero de lazo abierto o termina en cada cero de lazo abierto o en infinito. El número de ramas que termina en infinito esta dado portermina en infinito esta dado por
D d Num ramas= n - m
Donde n - número de polos en lazo abierto
ú d l bim – número de ceros en lazo abierto
3 - Cualquier punto en el eje real es 3. Cualquier punto en el eje real es parte del lugar de las raíces sí y solo sí el número de polos y ceros a su derecha el número de polos y ceros a su derecha es impar.
Esta propiedad debe satisfacer la condición de ángulo Esta propiedad debe satisfacer la condición de ángulo en cualquier punto del eje real del plano s. Para que un punto P pertenezca al lugar de la raíces es
i ti f g l iónecesario que satisfaga la ecuación
D d
( ) 180 360KG s k
0 1 2 3k Donde 0, 1, 2, 3,...k
Demostración de la propiedad 3 Demostración de la propiedad 3
j
P
0
P
4.- Si el número de ceros finitos es menor que4. Si el número de ceros finitos es menor queel número polos finitos ( ), entonces n-mramas del lugar de las raíces finalizan en
m < n
ceros en el infinito, las asíntotas de estasramas tiene como punto de intersección , el
l d t iA
cual se determina por:
P l -
Polos cerosA n m
Y tiene una inclinación con respecto A
al eje real dado porA
2 1q
Donde
2 1180A
qn m
Donde5.- Si el lugar de la raíces cruza el eje j
l ú l d K d
0 ,1, 2 , . . . , 1q n m
para algún valor de K, este puedeobtenerse por el criterio de Routh-H iHurwitz.
6.- Los puntos de ruptura de entrada yp p ysalida del lugar de las raíces sedeterminan a partir de las raíces de lapecuacióndK
j j
0dKds
( )Q sd
0 0( )( )
0
QdP sdK
ds ds
0
a) b)
a) Puntos de ruptura de salida b) puntos de ruptura de entrada.
7 - Los ángulos de partida del lugar de las7. Los ángulos de partida del lugar de las raíces de un polo complejo están dados porpor
L á l d ll d
180 suma de ángulos de vectores dibujados a este polo de otros polos
+ suma de ángulos de vectores dibujado a este polo de los ceros d
Los ángulos de llegada a un cerocomplejo se pueden obtener de manerai il dsimilar usando
180 suma de ángulos de vectores dibujados a este cero de otros ceros a
+ suma de ángulos de vectores dibujado a este cero de otros polos
Ejemplo.- Determinar el lugar de lasraíces del sistema de control mostradoen la figura.
+
-
R(s) E(s)
K1
( 3)( 4)s s s
i) Primero se toma la función de transferencia de)trayecto directo
0
mK
0-3polos=
ss
3( 3)( 4)
ns s s
-4s
ii) A continuación se procede a la aplicación deii) A continuación se procede a la aplicación de la propiedad 3 para determinar cual intervalo es lugar de las raíces
iii) Como existen 3 ramas que van hacia3n m iii) Como existen 3 ramas que van haciael infinito y la intersección de sus asíntotas sepueden calcular por medio de
3n m
Y los ángulos de dichas asíntotas vienen dados
0 3 4 7 2.3333 3a
Y los ángulos de dichas asíntotas vienen dados por 2 1 180 0,1, 2
3 para a
q q
Así para q=0
3
2(0) 1 180 603
a
3
Si q=1Si q 1 2(1) 1 180 180
3 a
Finalmente, si q=2
2(2) 1 180 3003
a
iv) Los puntos de ruptura se pueden iv) Los puntos de ruptura se pueden obtener de la propiedad 6, así llegamos a
( )Q s
Por lo que
( ) ( 3)( 4)( )
Q sK s s sP s
3 27 12d s s sdK
Por lo que derivando
7 120
d s s sdKds ds
q23 14 12 0 s s
Resolviendo la ecuación cuadráticaResolviendo la ecuación cuadrática1
2
1.1313.535
ss
Puede observarse que s2 no es lugar de
2 3.535s
las raíces de acuerdo a la tabla 4.2, por lo que el punto de ruptura está ubicado en s1.
v) Para determinar los cruces con el ejev) Para determinar los cruces con el eje , aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz al sistema retroalimentadosistema retroalimentado
2 3 2( 3)( 4). .
( 7 12) 7 12LC
KK Ks s sF T K s s s K s s s K
Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz a
( 7 12) 7 121( 3)( 4)
K s s s K s s s Ks s s
3 27 12s s s s K
Del renglón de s2 si ,84K
27 84 0s 27( 12) 0s 7( 12) 0s
12s j 1
2
3.4643.464
s js j
2 j
Lugar de las raíces del sistema del ejemplodel ejemplo
j
12j
180 60
4 3 02.3360
12j
Ejercicio de SimulaciónjDeterminar el lugar de la raíces usando Matlab® para un
sistema con retroalimentación unitaria cuya función desistema con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia de lazo abierto es
( ) KG s
% Por lo tanto el sistema es inestable tiene dos polos en el semiplano d h
2( )( 4 5)
G ss s s
derecho>> % Uso del comando rlocus(num,den) para generar el lugar de las raíces
de G(s)H(s)>> % Definición del polinomio del numerador y denominador de G(s)H(s):>> % Definición del polinomio del numerador y denominador de G(s)H(s):
F.T. delazo abierto>> num=[1];>> den=[conv([0 1 0] [1 4 5])];>> den [conv([0 1 0],[1 4 5])];>> rlocus(num,den)
Lugar geométrico de la raíces obtenido por Matlabobtenido por Matlab®.
Diseño de parámetros usando el método del lugar de las raíceslugar de las raíces
El método del lugar de las raíces es una herramientagútil en el diseño de sistemas de control, con estemétodo se puede determinar el valor de la gananciaen lazo abierto para que los polos de lazo cerradoen lazo abierto para que los polos de lazo cerradoproduzcan un factor de amortiguamiento , queoriginen un sobreimpulso deseado para el sistema.
En ocasiones es necesario manipular la En ocasiones es necesario manipular laecuación característica del sistemadinámico con objeto de extender ladinámico, con objeto de extender laaplicación del método del lugar de lasraíces a dos o más parámetrosraíces a dos o más parámetros.
Si la ecuación característica de un sistemadinámico dada pordinámico dada por
11 1 0( ) 0n n
n ns a s a s a s a
Así el efecto del coeficiente a1 puede Así, el efecto del coeficiente a1 puedeestudiarse reacomodando la ecuaciónde la siguiente formade la siguiente forma
O bi d t l l
11 2
1 2 0
1 0...n n
n n
a sa s a s a s a
O bien puede presentarse el caso en elcual un parámetro , no aparezca
l t fi i t
solamente como coeficiente,3 2
2 1 0( ) 0s a s a s a 2
1 0s 2 1 0( ) 0s a s a s a 3 2
2 1 0
1 0s a s a s a
Procedimiento para el diseño de parámetros usando el método de lugar de las raícesmétodo de lugar de las raíces
1 Usando la función coseno, obtenemos1. Usando la función coseno, obtenemoscos n
n
1cos
jj
2
Plano s
0
21nj
n
21 nj
n
2 Se traza una línea en la gráfica del2. Se traza una línea en la gráfica dellugar de las raíces del sistemapartiendo del origen con la inclinaciónpartiendo del origen con la inclinaciónresultante.
3 e identifica el punto P en el cual cruza3. e identifica el punto P en el cual cruzael lugar de las raíces dicho segmento yse trazan radios vectores dirigidosse trazan radios vectores dirigidosdesde los polos y ceros del sistemadirigidos a este puntodirigidos a este punto.
4 Para determinar el valor de la ganancia4. Para determinar el valor de la ganancia K se utiliza la expresión:
1 ( )Q
( ) 1KG s
1 ( )( )( )
( )
Q sKP sP s
Q s
Ejemplo.- Para el sistema con retroalimentaciónj punitaria cuya función de transferencia de lazo abiertose define como G(s). Determinar el valor de laganancia en lazo abierto K para que los polosganancia en lazo abierto K para que los polosdominantes de la función de transferencia de unsistema de segundo orden presente un %Mp=40%,
fverifique si el sistema puede considerarse dominantede segundo orden y en caso de que así sea calcule eltp y ts.p y s
2( )( 3)( 4 5)
KG ss s s
Al analizar la función de transferencia de Al analizar la función de transferencia de lazo abierto, tenemos
0K2
03( 3)( 4 5)
mKns s s
1
2
3polos= 2
ss i
3 2s i
ii) Como hay un polo real aplicamos la ii) Como hay un polo real aplicamos la regla 3, de tal manera que el lugar de las raíces sobre el eje real corresponde alraíces sobre el eje real corresponde al intervalo [-3,-∞].
iii) Debido a que hay más polos que iii) Debido a que hay más polos que ceros finitos aplicamos la regla 4.
33 13a
ComoComo2 1 180 0,1,2
3 para a
q q
Con q=0, q=1 y si q=2 llegamos a
2(0) 1 180 603
a
2(1) 1 180 180
3 a
2(2) 1 180 3003
a
3 3
iv) Calculando los cruces con el ejeiv) Calculando los cruces con el eje aplicando el criterio de Routh-Hurwitz,
K
2
3 2
2
3 4 5( )( ) 1 7 17 151
3 4 5
LC
s s sG s KFT KG s s s s Ks s s
Para que se genere un renglón de ceros se debe cumplir que K=104,
27 15 104 0s
P l t t l l j
27 17 0s
Por lo tanto, los cruces con el ejeimaginario están en
v) Debido a la existencia de polos17 4.123s j
) pcomplejos es aplicable la regla 7
1 1 21 8 0 ( )d 1 1 21 8 0 ( )d
Cálculo del ángulo de partida 1d Cálculo del ángulo de partida j
1d
j2
2
03 1 j
2
De la figura tenemosDe la figura tenemos1
12tan 900
Por lo tanto1
21tan 451
Como corresponde al complejo1 180 (90 45 ) 45 d
2dComo corresponde al complejo conjugado de , tenemos
2d1d
2 45 2 45
En este ejemplo de diseño se tiene En este ejemplo de diseño se tienecomo condición un máximosobreimpulso de 40% con este datosobreimpulso de 40%, con este datocalculamos , así tenemos
2
2
1 0.281
1
1ln
0.40
Para factor de amortiguamiento el Para factor de amortiguamiento, el ángulo correspondiente es:
1cos (0 28) 73 73 cos (0.28) 73.73
Tomando las coordenadas del punto P Tomando las coordenadas del punto P, obtenemos los valores de a y b, así
0 806 2 77 jPara determinar K evaluamos
0.806 2.77s j
0.806 2.77
( )( )
s j
Q sKP s
2
0.806 2.77
( 3)( 4 5)1 s j
s s sK
R li d i
2
0.806 2.77( 0.806 2.77 3)( 2.884 106.223 4 0.806 2.77 5)
s jK j j
Realizando operaciones
3 533 51 618 8 442128 382K 3.533 51.618 8.442128.382K
29 825K 29.825K
Para verificar que el sistema es dominante de Para verificar que el sistema es dominante desegundo orden sustituimos el valor de K en lafunción de transferencia de lazo cerrado.
3 229.8257 17 15LC
K
KFTs s s K
3 2
29.8257 17 15 29.825LCFT
s s s
Obteniendo el polinomio característico Obteniendo el polinomio característico 3 2 3 2( ) 7 17 15 29.825 7 17 44.825s s s s s s s
1
2
5.3880.805 2.769
sPolos s j
2
3
0.805 2.7690.805 2.769
Polos s js j
Por lo cual se puede considerar un sistema Por lo cual se puede considerar un sistemadominante de segundo orden. Reordenando laFunción de transferencia en términos de unsistema dominante de segundo orden.
2
29.825( )5.388 1.61 8.314
G ss s s
Si se aplican un escalón unitario al sistema con lapganancia diseñada se produce la respuesta mostradaen la figura, en donde se aprecia que el máximosobreimpulso no rebasa el 40%sobreimpulso no rebasa el 40%.
Referencias
1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.
2.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th, y g g, y ,Edition, 2004.
3 - Ogata K Ingeniería de Control Moderno Pearson Prentice Hall3. Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.
4 Dorf B Sistemas de Control Moderno Pearson Prentice Hall4.- Dorf B., Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.
5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T., Sistemas de Control, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1990.
6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, , , ,Séptima edición, 1996.
7.- Hernández R., Introducción a los Sistemas de Control, Pearson, Primera edición 2010edición, 2010.
8.- Lázaro I., Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, 2da Edi ió Ed U i it iEdición, Ed. Universitaria.
UNIDAD 2UNIDAD 2
Análisis de Respuesta en FrecuenciaAnálisis de Respuesta en Frecuencia
Control Analógico IIM.I. Isidro Ignacio Lázaro Castillo
Antecedentes históricos
Los métodos de respuesta en frecuencia ylugar de las raíces son la base del controlclásico.
Sistemas telefónicos: Un impulso significativo en sistemas de control.
Nyquist en 1932•Método simple para determinar la estabilidad de lazo cerrado porMedio de excitación seniodal permanente.
Nyquist en 1932•Método simple para determinar la estabilidad de lazo cerrado porMedio de excitación seniodal permanente.
Bode en la década de 1940•Método de respuesta en frecuencia más práctico que el de Nyquist.
Black en la década de 1940•Método de respuesta en frecuencia, realimentación de amplificadores.
Hendrik Wade Bode 1905-1982
Natural de Estados Unidos de América,trabajó en filtros eléctricos siendo hoyconsiderada clásica su obra Network Analysisand Feedback Amplifier Design. Trabajóposteriormente durante la 2a guerra mundialen sistemas balísticos de misiles ycomunicaciones en general.
Natural de Estados Unidos de América,trabajó en filtros eléctricos siendo hoyconsiderada clásica su obra Network Analysisand Feedback Amplifier Design. Trabajóposteriormente durante la 2a guerra mundialen sistemas balísticos de misiles ycomunicaciones en general.
Harry Nyquist 1889-1976
Nació en Suecia emigrando para los Estados Unidosde America. Trabajó en la explicación cuantitativa delruido térmico en las comunicaciones, inventó elsistema de transmisión de banda lateral vestigial (TV).Quedó célebre por su famoso diagrama deestabilidad.
Nació en Suecia emigrando para los Estados Unidosde America. Trabajó en la explicación cuantitativa delruido térmico en las comunicaciones, inventó elsistema de transmisión de banda lateral vestigial (TV).Quedó célebre por su famoso diagrama deestabilidad.
Introducción
El concepto respuesta en frecuencia, serefiere a la respuesta que presenta unsistema de control en estado estable ante unaentrada senoidal. En estos métodos, lafrecuencia de la señal de entrada se varía encierto rango, para monitorear la respuestasobre un intervalo de frecuencia que produceel sistema tanto en magnitud como en fase.
El concepto respuesta en frecuencia, serefiere a la respuesta que presenta unsistema de control en estado estable ante unaentrada senoidal. En estos métodos, lafrecuencia de la señal de entrada se varía encierto rango, para monitorear la respuestasobre un intervalo de frecuencia que produceel sistema tanto en magnitud como en fase.
Respuesta en estado estable de un sistemaante una entrada senoidal
Cuando una señal senoidal se aplica como entrada aun sistema lineal invariante en el tiempo, el cual esestable y con función de transferencia de la forma:
la respuesta producida por este tipo de sistemas tiene la mismaforma de la señal de entrada, la diferencia estriba en que lasalida tiene una amplitud y un defasamiento distinto al de laseñal de entrada.
x(t)x(t)
x A
Cuando una señal senoidal se aplica como entrada aun sistema lineal invariante en el tiempo, el cual esestable y con función de transferencia de la forma:
la respuesta producida por este tipo de sistemas tiene la mismaforma de la señal de entrada, la diferencia estriba en que lasalida tiene una amplitud y un defasamiento distinto al de laseñal de entrada.
tSistema linealestable G(s)
x(t) y(t)t
x
T
A
T
)()()(SXSYSG
Demostración
Podemos analizar el sistema descrito por
Así, considerando una entrada senoidal dadapor
Como G(s) puede descomponerse en la forma
)()()(SXSYSG
Podemos analizar el sistema descrito por
Así, considerando una entrada senoidal dadapor
Como G(s) puede descomponerse en la forma
( ) ( )x t xsen t
)())(()(
)()(
)(npspsps
sAsBsAsG
21
Por lo que la salida será
Aplicando transformada de Laplace a laentrada
Así
1 2
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )n
A s A sY s X s X sB s s p s p s p
Por lo que la salida será
Aplicando transformada de Laplace a laentrada
Así
22
s
xsX )(
2 2
( )( )( )
A s xY sB s s
En el caso de los polos reales ydiferentes, tendríamos
Así aplicando a , tenemos
Por lo que, para el estado estable, cuando ,tenemos que , ya que p1, p2,..., pn sonmenores de cero.
n
n
psR
psR
psR
jsa
jsasY
1
2
21
1
11
*
)(
En el caso de los polos reales ydiferentes, tendríamos
Así aplicando a , tenemos
Por lo que, para el estado estable, cuando ,tenemos que , ya que p1, p2,..., pn sonmenores de cero.
n
n
psR
psR
psR
jsa
jsasY
1
2
21
1
11
*
)(
1L ( )Y s
1 2*11 21 1( ) np tp t p tj t j t
ny t ae a e R e R e R e
te pt 0
Así, la salida tiende a
el mismo efecto se tiene si el sistema tienepolos repetidos, ya que en este caso setendrían términos de la forma: , loscuales también tienden a cero si .
Así, en cualquier caso, en estado estacionario,tenemos que
*( ) j t j ty t ae a e
Así, la salida tiende a
el mismo efecto se tiene si el sistema tienepolos repetidos, ya que en este caso setendrían términos de la forma: , loscuales también tienden a cero si .
Así, en cualquier caso, en estado estacionario,tenemos que
t e p t
t
2 2
( ) ( ) ( )2s jw
G s x s j xG jas j
Y su complejo conjugado resulta
Al emplear la notación de Euler,
Donde
jjxG
sjsxsGa
js 222
)()()(*
Y su complejo conjugado resulta
Al emplear la notación de Euler,
Donde
( )( ) ( )( )
jY jG j G j eX j
1 Im ( )( ) tanRe ( )G jG jG j
De manera similar para el complejo conjugado
Por lo tanto en estado estable
Utilizando la identidad de Euler
jj ejGejGjG )()()(
tjjtjj eejjGx
eejjGx
ty 22
)()()(
De manera similar para el complejo conjugado
Por lo tanto en estado estable
Utilizando la identidad de Euler
tjjtjj eejjGx
eejjGx
ty 22
)()()(
( ) ( )
( ) ( )2
j t j te ey t x G jj
( ) ( ) ( )y t x G j sen t
Así
Donde
De esta manera el módulo y ángulo de lafunción de transferencia de la planta son:
)()( tysenty
)( jGxy
Así
Donde
De esta manera el módulo y ángulo de lafunción de transferencia de la planta son:
)()(
)(jxjyjG
( )( )( )y jG jx j
Ejemplo
Ejemplo Para un sistema de primerorden encontrar la salida en estadoestable cuando la entrada es .
La función de transferencia sinusoidal es
( ) ( )xt xsen t
Ejemplo Para un sistema de primerorden encontrar la salida en estadoestable cuando la entrada es .
La función de transferencia sinusoidal es1
sK
sXsY
)()(
( )1
KG jj
Obteniendo el ángulo y módulo
Por lo que en estado estable la respuesta delsistema es
1 1( ) 0 tan tan1
G j t
2 2( )
1KG j
Obteniendo el ángulo y módulo
Por lo que en estado estable la respuesta delsistema es
2 2( )
1KG j
)()()( tsenjGxty
)tan()( TtsenT
xkty
1
221
Diagramas de Bode
Para cualquier sistema lineal la función detransferencia sinusoidal se obtiene sustituyendo s porj en la función de transferencia del sistema. Por logeneral, se utilizan tres representaciones gráficaspara visualizar el comportamiento de de la función detransferencia sinusoidal con respecto a la frecuencia,los cuales son:
1.- Diagramas de BODE. 2.- Diagramas POLARES o de Nyquist. 3.- Diagramas de magnitud logarítmica contra fase o
diagramas de Nichols.
Para cualquier sistema lineal la función detransferencia sinusoidal se obtiene sustituyendo s porj en la función de transferencia del sistema. Por logeneral, se utilizan tres representaciones gráficaspara visualizar el comportamiento de de la función detransferencia sinusoidal con respecto a la frecuencia,los cuales son:
1.- Diagramas de BODE. 2.- Diagramas POLARES o de Nyquist. 3.- Diagramas de magnitud logarítmica contra fase o
diagramas de Nichols.
Los diagramas de Bode están formados pordos gráficas: en la primera se presenta ellogaritmo de la magnitud de una función detransferencia sinusoidal y en la otra el ángulode fase, en ambas se grafican contra lafrecuencia en la escala logarítmica.
G(j) = 20 log | G(j) | en decibeles (dB)
en grados
Los diagramas de Bode están formados pordos gráficas: en la primera se presenta ellogaritmo de la magnitud de una función detransferencia sinusoidal y en la otra el ángulode fase, en ambas se grafican contra lafrecuencia en la escala logarítmica.
G(j) = 20 log | G(j) | en decibeles (dB)
en grados)( jG
Trazas de bode para factoresbásicos
Un sistema puede representarse como variasfunciones de transferencia en cascada
1 2( ) ( ) ( ) ( )nG s G s G s G s
1 2( ) ( ) ( ) ( )nG j G j G j G j
Dado que cada término es una variablecompleja, podemos reescribirlos como
De esta manera el módulo y ángulo son:
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nG j G j G j G j
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nG j G j G j G j
Dado que cada término es una variablecompleja, podemos reescribirlos como
De esta manera el módulo y ángulo son:
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nG j G j G j G j
1 2( ) ( ) ( ) ( )nG j G j G j G j
1 2( ) nG j
Al tomar el logaritmo base 10 a la ecuación demódulo
Por lo cual se concluye que para trazar elBode de magnitud de un sistema, se puedensumar las contribuciones debido a la magnitudde los términos individuales.
10 10 1 10 2 10log ( ) log ( ) log ( ) log ( )nG j G j G j G j
Al tomar el logaritmo base 10 a la ecuación demódulo
Por lo cual se concluye que para trazar elBode de magnitud de un sistema, se puedensumar las contribuciones debido a la magnitudde los términos individuales.
Bode de un factor K
Para obtener la gráfica de magnitudlogarítmica para una ganancia constante Krepresentada por
Obteniendo la F.T. sinusoidal
Obsérvese que el ángulo de fase es de cerogrados para el factor K
( )G s K
Para obtener la gráfica de magnitudlogarítmica para una ganancia constante Krepresentada por
Obteniendo la F.T. sinusoidal
Obsérvese que el ángulo de fase es de cerogrados para el factor K
( )G s K
( )G j K
1020 logG j K
Diagrama de bode del factor K
Bode de un factor integral yun derivativo
Consideremos la función de transferencia deun integrador,
Donde su función de transferencia sinusoidales
Obteniendo su magnitud en dB y ángulo,tenemos
1( )G ss
Consideremos la función de transferencia deun integrador,
Donde su función de transferencia sinusoidales
Obteniendo su magnitud en dB y ángulo,tenemos
1( ) jG jj
10 10120log 20logG j
1 1
1
tan tan ( ) 900
Diagrama de bode del factor integrador1
dBj
20
rad/seg0.1 1 10 100
rad/seg0.1 1 10 100
1j
-90°
-20
Para el caso del factor derivativo
Valuándola en j tenemos que
De esta forma su módulo en decibeles y suángulo son:
( )G s s
Para el caso del factor derivativo
Valuándola en j tenemos que
De esta forma su módulo en decibeles y suángulo son:
G j j
1 02 0 l o gG j 1 1tan tan ( ) 900
Diagrama de Bode de un factor derivativo dBj
20
rad/seg0.1 1 10 100
rad/seg0.1 1 10 100
j
90°
-20
Bode de un factor de primerorden (1+ j)1
Factor de primer orden en el denominador,
Donde su función de transferencia sinusoidal es
Haciendo un análisis:a) Para bajas frecuencias ( << 1) la magnitud se
aproxima a
1( )1
G ss
Factor de primer orden en el denominador,
Donde su función de transferencia sinusoidal es
Haciendo un análisis:a) Para bajas frecuencias ( << 1) la magnitud se
aproxima a
1( )1
G jj
2 210 1020log 1 20log 1 0G j dB
b) Para altas frecuencias ( >> 1) la magnitudse aproxima a
c) En = 1/ la magnitud es de
Al valor de = 1/ se le denomina frecuencia decorte o punto de quiebre, esta representa laintersección de las trazas de bajas y altas frecuenciasde un factor de primer orden.
2 210 1020log 1 20logG j dB
b) Para altas frecuencias ( >> 1) la magnitudse aproxima a
c) En = 1/ la magnitud es de
Al valor de = 1/ se le denomina frecuencia decorte o punto de quiebre, esta representa laintersección de las trazas de bajas y altas frecuenciasde un factor de primer orden.
10 1020 log 1 1 20 log 2 3G j dB
El ángulo de fase para el factor 1/(1+ j)está dado por
Haciendo un análisis en frecuenciaa) Para una frecuencia =0, el ángulo de fase
es cero.b) Para la frecuencia de corte = 1/ , el
ángulo de fase es
1tan
El ángulo de fase para el factor 1/(1+ j)está dado por
Haciendo un análisis en frecuenciaa) Para una frecuencia =0, el ángulo de fase
es cero.b) Para la frecuencia de corte = 1/ , el
ángulo de fase es1 1tan tan 1 45
c) Para el caso en el cual , el ángulo es –90º.( ) dBG j
rad/seg
20
120
15
12
1
2
51020
rad/seg
( )G j
-90°
-20
120
15
12
1
2
51020
120
15
12
1
2
51020-45°
Considerando ahora el caso del factor deprimer orden en el numerador, tenemos
dB
Cabe señalar que una ventaja de losdiagramas de Bode es que para factoresrecíprocos, por ejemplo, (1+j) las curvas demagnitud y ángulo de fase solo cambian designo.
( ) 1G s s
2 210 1020log 20log 11 jG j
Considerando ahora el caso del factor deprimer orden en el numerador, tenemos
dB
Cabe señalar que una ventaja de losdiagramas de Bode es que para factoresrecíprocos, por ejemplo, (1+j) las curvas demagnitud y ángulo de fase solo cambian designo.
2 210 1020log 20log 11 jG j
Curva de magnitud y ángulo de fase para (1+j)( ) dBG j
20
rad/seg
rad/seg
( )G j
90°
120
15
12
1251020
120
15
12
1251020
45°
Bode de un factor cuadrático [1+2(j /n) +(j /n)2]1
Consideremos ahora un sistema de segundoorden de la forma
La cual se puede reescribir como
la función de transferencia sinusoidal es
2
2 2( )2
n
n n
G ss s
Consideremos ahora un sistema de segundoorden de la forma
La cual se puede reescribir como
la función de transferencia sinusoidal es
2
2 2
1( )2 1n
n n
G sss
21( )
1 2n n
G j
j j
En una función de transferencia de segundoorden se presentan varias situaciones.
Si >1, el factor cuadrático se expresa como elproducto de dos factores de primer orden conpolos reales, en cuyo caso el Bode ya seanalizó.
Si 0<<1 el factor cuadrático es el producto dedos factores complejos conjugados.
En una función de transferencia de segundoorden se presentan varias situaciones.
Si >1, el factor cuadrático se expresa como elproducto de dos factores de primer orden conpolos reales, en cuyo caso el Bode ya seanalizó.
Si 0<<1 el factor cuadrático es el producto dedos factores complejos conjugados.
Obteniendo el módulo en dB es
así
10 2120log
1 2n n
G j
j j
Obteniendo el módulo en dB es
así
2 22
10 10 2( ) 20 log (1) 20 log 1 2n n
G j
2 22
10 2( ) 20log 1 2n n
G j
Analizando, observamos que:1. Para frecuencias bajas .
Esto significa que para bajas frecuencias el bode es unarecta de 0 dB.
2. Para frecuencias altas .
Por lo que para altas frecuencias se comporta como una línea rectacon pendiente de -40 dB/década.
1
nn
10( ) 20log (1) 0G j
Analizando, observamos que:1. Para frecuencias bajas .
Esto significa que para bajas frecuencias el bode es unarecta de 0 dB.
2. Para frecuencias altas .
Por lo que para altas frecuencias se comporta como una línea rectacon pendiente de -40 dB/década.
1nn
2
220log 40log dBn n
G j
Se puede observar que la asíntota de bajafrecuencia intercepta a la de alta frecuenciaen = n (frecuencia de corte),
2 22
10 102( ) 20log 1 2 20log 2n n
n n
G j
Se puede observar que la asíntota de bajafrecuencia intercepta a la de alta frecuenciaen = n (frecuencia de corte),
2 22
10 102( ) 20log 1 2 20log 2n n
n n
G j
El ángulo de fase para el factor cuadráticodado por
Para obtener un bosquejo podemos analizarlade la siguiente forma
a) Para frecuencias bajas en = 0 tenemos
12 2
21 tan
1 2 1
n
n n n
j j
El ángulo de fase para el factor cuadráticodado por
Para obtener un bosquejo podemos analizarlade la siguiente forma
a) Para frecuencias bajas en = 0 tenemos
12 2
21 tan
1 2 1
n
n n n
j j
1 0tan 01
b) En cambio, para la frecuencia de resonancia = n, tenemos
c) Para altas frecuencias obtenemos que en =, = -180º.
1 12tan tan 900
b) En cambio, para la frecuencia de resonancia = n, tenemos
c) Para altas frecuencias obtenemos que en =, = -180º.
De manera similar se puede proceder paraobtener los diagramas de bode para el factor[1+2(j /n) + (j /n)2]1, aprovechando quesimplemente hay que hacer un cambio designo en la magnitud y en el ángulo de fase.
De manera similar se puede proceder paraobtener los diagramas de bode para el factor[1+2(j /n) + (j /n)2]1, aprovechando quesimplemente hay que hacer un cambio designo en la magnitud y en el ángulo de fase.
2 2
2
2( ) n n
n
s sG s
2 22
10 2( ) 20log 1 2n n
G j
21
2
21 2 tan
1
n
n n
n
j j
Frecuencia de resonancia r y el valor pico dela resonancia Mr
En el caso de los diagramas de Bode de factorescuadráticos, existe una diferencia entre la curva realde magnitud y su aproximación mediante asíntotas,esta debe tenerse en cuenta cuando < 0.707.
Para calcular r se parte de la ecuación
Puesto que el numerador es constante ocurrirá unvalor pico cuando la ecuación tenga un mínimo.
En el caso de los diagramas de Bode de factorescuadráticos, existe una diferencia entre la curva realde magnitud y su aproximación mediante asíntotas,esta debe tenerse en cuenta cuando < 0.707.
Para calcular r se parte de la ecuación
Puesto que el numerador es constante ocurrirá unvalor pico cuando la ecuación tenga un mínimo.
2 22
2
1( )
1 2n n
G j
Derivando e igualando a cero.
2 22
2( ) 1 2n n
g
2 22
2
( ) 1 2 0
n n
dg dd d
2 22
2
( ) 1 2 0
n n
dg dd d
2
2 2
( ) 22 1 2 4 0
n n n n
dgd
22
2
4 2 1 0
n n
222 1 0
n
Así, el valor mínimo de g() ocurre en
Así, la frecuencia de resonancia se definecomo
Obsérvese que:Conforme tiende a cero .Para > 0.707 no hay pico de resonancia.
21 2n
Así, el valor mínimo de g() ocurre en
Así, la frecuencia de resonancia se definecomo
Obsérvese que:Conforme tiende a cero .Para > 0.707 no hay pico de resonancia.
21 2r n para 0 0.707
nr
La magnitud del pico de resonancia se puededeterminar
para
para
2
12 1
rM
0 0.707
rM
La magnitud del pico de resonancia se puededeterminar
para
para
2
12 1
rM
0 0.707
1rM 0.707
Proceso de graficación dediagramas de Bode
1.- Escribir la función de transferenciasinusoidal como el producto de factoresbásicos en la forma normalizada.
2.- Identificar la frecuencia de corte de cadafactor básico.
3.- Dibujar las curvas asintóticas y de ángulo defase.
4.- Si se requiere mayor precisión realizar lascorrecciones apropiadas.
1.- Escribir la función de transferenciasinusoidal como el producto de factoresbásicos en la forma normalizada.
2.- Identificar la frecuencia de corte de cadafactor básico.
3.- Dibujar las curvas asintóticas y de ángulo defase.
4.- Si se requiere mayor precisión realizar lascorrecciones apropiadas.
Ejemplo
Ejemplo Elaborar el diagrama de bode delsiguiente sistema
1) La función de transferencia normalizada es.
2
5( 4)( )( 2)( 3 3)
sG ss s s s
Ejemplo Elaborar el diagrama de bode delsiguiente sistema
1) La función de transferencia normalizada es.
2 2
205(4) 1 14 6 4( )
1 3 1 32 1 3 1 1 12 3 3 2 3 3
s s
G ss s s ss s s s
Los factores de la función de transferenciasinusoidal son, para el numerador
Y para el denominador
1 220( ) , ( ) 16 4
jG j G j
Los factores de la función de transferenciasinusoidal son, para el numerador
Y para el denominador
3 4 5 21( ) ( ) 1 , ( )
2 3 13 3
,jG j s j G j G j
j j
2) Las frecuencias de corte:para G2(s)y G4(s)para G5(s), dado que =0.5, su frecuencia
de corte es
2 4 rad/segc
4 2 rad/segc
2) Las frecuencias de corte:para G2(s)y G4(s)para G5(s), dado que =0.5, su frecuencia
de corte es2 21 2 3 1 2(0.5) 1.22 rad/segr n
Para G1(s) por ser constante su ángulode fase es cero y su magnitud es
Para G2(s) por ser un factor de primer ordenen el numerador su ángulo de fase varía entre0° y 90° y en c2=45°. Para bajas frecuenciassu magnitud es cero y a partir de c2= 4rad/seg tiene una ganancia de 20 dB/década.
1 1020( ) 20 log 10.456
dBG j
Para G1(s) por ser constante su ángulode fase es cero y su magnitud es
Para G2(s) por ser un factor de primer ordenen el numerador su ángulo de fase varía entre0° y 90° y en c2=45°. Para bajas frecuenciassu magnitud es cero y a partir de c2= 4rad/seg tiene una ganancia de 20 dB/década.
En el caso del integrador G3(s), su fasees una constante de -90° y su magnitudtiene una pendiente de – 20 dB/década.
En G4(s) se tiene un ángulo de fase queva de 0° a -90° y en c4=-45°. Por otrolado, se magnitud es cero a bajasfrecuencias y en c2= 2 rad/seg tieneuna ganancia de -20 dB/década.
En el caso del integrador G3(s), su fasees una constante de -90° y su magnitudtiene una pendiente de – 20 dB/década.
En G4(s) se tiene un ángulo de fase queva de 0° a -90° y en c4=-45°. Por otrolado, se magnitud es cero a bajasfrecuencias y en c2= 2 rad/seg tieneuna ganancia de -20 dB/década.
dB
20
-20
10.45 1( )G s
2 ( )G s
4 ( )G s( )G s
rad/seg10 1001 42
-40
4 ( )G s
-90°
-45°
( )G s
( )G s
3( )G s5 ( )G s
rad/seg10 1001 42
90°
45°
3( )G s
2 ( )G s
1( )G s
4 ( )G s-180° 5 ( )G s
-270°
Por último, para en G5(s) por ser un factor desegundo orden en el denominador su ángulo de faseva de 0° a -180° y en la frecuencia de resonanciatoma el valor -90°. Su magnitud es de cero para bajasfrecuencias y a partir de r=1.5 rad/seg presenta unapendiente de -40 dB/década, mientras que sumagnitud de pico de resonancia esta dado por
Por último, para en G5(s) por ser un factor desegundo orden en el denominador su ángulo de faseva de 0° a -180° y en la frecuencia de resonanciatoma el valor -90°. Su magnitud es de cero para bajasfrecuencias y a partir de r=1.5 rad/seg presenta unapendiente de -40 dB/década, mientras que sumagnitud de pico de resonancia esta dado por
2 2
1 1 1.152 1 2(0.5) 1 0.5
rM
1.21rM dB
Identificación de sistemas usando la respuestaa la frecuencia
La identificación de la planta consiste endeterminar la función de transferencia de estáa partir de mediciones experimentales. Para locual, se emplea un generador senoidal y unanalizador de señales.
La identificación de la planta consiste endeterminar la función de transferencia de estáa partir de mediciones experimentales. Para locual, se emplea un generador senoidal y unanalizador de señales.
Proceso
u(t)
y(t)
x(t)
t
Au
Generador senoidal
Analizador de señales
Ay
Considere el siguiente sistema
Realizando la identificación de factoresbásicos
Diagramas polares o deNyquist
Para poder construir el diagrama de Nyquits,se requiere calcular la magnitud y el ángulode fase para cada frecuencia , la cual debevariar desde cero hasta infinito.
Una ventaja al utilizar un diagrama polar esque se presenta las características derespuesta en frecuencia de un sistema entodo el rango de frecuencias, en un sólodiagrama.
Para poder construir el diagrama de Nyquits,se requiere calcular la magnitud y el ángulode fase para cada frecuencia , la cual debevariar desde cero hasta infinito.
Una ventaja al utilizar un diagrama polar esque se presenta las características derespuesta en frecuencia de un sistema entodo el rango de frecuencias, en un sólodiagrama.
Diagramas polares de factoresbásicos
Factor integral y derivativoConsiderando el caso del factor integral
En su forma polar tenemos
1( )G jj
Factor integral y derivativoConsiderando el caso del factor integral
En su forma polar tenemos
1( )G jj
01 1 1( ) 90G j jj
Para el caso del factor derivativo
0 Real
Imaginario
0
0 Real
Imaginario
Para el caso del factor derivativo
0 a) b)
( )G j j ( ) 90G j
Factores de primer orden
Considerando el factor de primer orden
Su representación en forma polar es
Evaluando para algunos valores de ,tenemos
11 j
11
G jj
Considerando el factor de primer orden
Su representación en forma polar es
Evaluando para algunos valores de ,tenemos
1
2 2
1 1( ) tan1 1
G jj
0 ( 0) 1 0si yG j
11 1 1 tan (1) 452
si yG j
Imaginario
0
Real0
10.5
0.5
( )G j
Incremento de
Para el caso del factor de primer orden en elnumerador
Donde su representación en polar es
En este caso el diagrama polar es fácil deobtener,
1G j j
Para el caso del factor de primer orden en elnumerador
Donde su representación en polar es
En este caso el diagrama polar es fácil deobtener,
2 2 1( ) 1 1 tanG j j
0 ( 0) 1 0si yG j
90s i yG j
Diagrama polar del factor .Imaginario
1 j
00
1Real
Factores cuadráticos
Analizando ahora el factor cuadrático en eldenominador
su magnitud y ángulo de fase son
Si analizamos el comportamiento
121 2 /n nj j
21
1 2n n
G jj j
Analizando ahora el factor cuadrático en eldenominador
su magnitud y ángulo de fase son
Si analizamos el comportamiento
122 22
21 tan
11 2
n
nn n
G j
0 ( 0) 1 0si yG j 0 180si yG j
1( ) 902
si yn G j
a) Diagrama polar del factor cuadrático b) Pico de resonancia yfrecuencia de resonancia r.
Imaginario Imaginario
0
0 1
Real
=n
0.5
0.5
1
0.5
1 Incremento de
0
0 1
=n
0.5
0.5
1
Pico de resonancia
r
a) b)
Trazado de diagramas deNyquist
Para trazar un diagrama polar deben tomarsecuatro puntos clave:
1. El inicio del diagrama, cuando =0,2. El final del diagrama3. Cruce con el eje real, es decir4. Cruce con el eje imaginario, o sea para .
Para trazar un diagrama polar deben tomarsecuatro puntos clave:
1. El inicio del diagrama, cuando =0,2. El final del diagrama3. Cruce con el eje real, es decir4. Cruce con el eje imaginario, o sea para .
0 1 8 0
90
Ejemplo Elaborar el diagrama de Nyquist parael siguiente sistema cuya función detransferencia es
Sustituyendo s = j en la función del sistema setiene
5( 2)( )
10sG ss
Ejemplo Elaborar el diagrama de Nyquist parael siguiente sistema cuya función detransferencia es
Sustituyendo s = j en la función del sistema setiene
5( 2)( )
10sG ss
5( 2)
10jG jj
Calculando la magnitud y el ángulo, tenemos
22
1 1
2 2
10 55( 2) 5tan tan10 10 1010
jG jj
Simulación en Matlab
Ejercicio de Simulación Obtener el diagrama de Nyquist del sistema mostrado en el ejemplo6.7 usando Matlab®.
>> %Elaboración de diagramas polares>> %Definición del sistema>> num=[1];>> den=conv([1 1],[1 1 1]);>> % uso del comando nyquist(num,den)>> % si se aplica directamente se obtiene el grafico polar>> % por omisión este comando usa valores positivos y negativos>> %para el rango de frecuencia>> % si se desean valores positivos de w, entonces usar:>> % Definir rango de w>> w=0.0001:0.001:100;>> [re im w]=nyquist(num,den,w);>> plot(re,im)>> grid
2
1( )( 1)( 1)
G ss s s
Ejercicio de Simulación Obtener el diagrama de Nyquist del sistema mostrado en el ejemplo6.7 usando Matlab®.
>> %Elaboración de diagramas polares>> %Definición del sistema>> num=[1];>> den=conv([1 1],[1 1 1]);>> % uso del comando nyquist(num,den)>> % si se aplica directamente se obtiene el grafico polar>> % por omisión este comando usa valores positivos y negativos>> %para el rango de frecuencia>> % si se desean valores positivos de w, entonces usar:>> % Definir rango de w>> w=0.0001:0.001:100;>> [re im w]=nyquist(num,den,w);>> plot(re,im)>> grid
Especificaciones de diseño en eldominio de la frecuencia
Ancho de banda AB.- Es el rango defrecuencia en donde el sistema operasatisfactoriamente y comprende la banda defrecuencia en la cual la magnitud no cae pordebajo de -3 dB. Si el sistema tiene dos polosimaginarios dominantes, el ancho de banda serelaciona con n y por medio de
Ancho de banda AB.- Es el rango defrecuencia en donde el sistema operasatisfactoriamente y comprende la banda defrecuencia en la cual la magnitud no cae pordebajo de -3 dB. Si el sistema tiene dos polosimaginarios dominantes, el ancho de banda serelaciona con n y por medio de
2 4 21 2 4 4 2nAB
Ganancia de resonancia o pico deresonancia Mr.- Corresponde al valor máximode la ganancia y que se presenta en aquellossistemas en donde la ganancia se veincrementada de manera notoria a unafrecuencia llamada de resonancia.
Frecuencia de resonancia r.- Es lafrecuencia en la cual se presenta el pico deresonancia.
Ganancia de resonancia o pico deresonancia Mr.- Corresponde al valor máximode la ganancia y que se presenta en aquellossistemas en donde la ganancia se veincrementada de manera notoria a unafrecuencia llamada de resonancia.
Frecuencia de resonancia r.- Es lafrecuencia en la cual se presenta el pico deresonancia.
( ) dBG j
rM
rad/segAB
r
Margen de Ganancia GM .- Es la gananciarequerida para hacer que el sistema en lazoabierto llegue a 180° de defasamiento y hagaque el sistema en lazo cerrado sea inestable.
Margen de Ganancia GM .- Es la gananciarequerida para hacer que el sistema en lazoabierto llegue a 180° de defasamiento y hagaque el sistema en lazo cerrado sea inestable.
10 18020logMG G j
Margen de fase .- Este corresponde al cambio endefasamiento del sistema en lazo abierto necesariopara una ganancia unitaria, con lo cual se lograr queel sistema en lazo cerrado sea inestable. Es decir, enun diagrama de Bode este corresponde al valorpositivo existente entre -180° y el valor de fasecuando la frecuencia corresponde a la de corte.
M Margen de fase .- Este corresponde al cambio endefasamiento del sistema en lazo abierto necesariopara una ganancia unitaria, con lo cual se lograr queel sistema en lazo cerrado sea inestable. Es decir, enun diagrama de Bode este corresponde al valorpositivo existente entre -180° y el valor de fasecuando la frecuencia corresponde a la de corte.
180 ( )M cGH j
( ) dBG j
rad/seg0
Margen de Ganancia
MG
Imaginario
Margen de Ganancia
180
G j
rad/seg
-180° Margen de faseM
0 Real
-1
MMargen de fase
1G j
a) b)
Ejemplo El diagrama de bode de la figuracorresponde a la función de transferenciamostrada, determine su margen de ganancia yde fase correspondiente.
Ejemplo El diagrama de bode de la figuracorresponde a la función de transferenciamostrada, determine su margen de ganancia yde fase correspondiente.
20( )4 ( 8)
G ss s s
MG
M
M
Criterio de Nyquist
En el dominio de la frecuencia lainestabilidad de un sistema de controlsometido a una señal senoidal se presentacuando la magnitud del sistema es mayor queuno y su ángulo de fase rebasa los 180°.
En el dominio de la frecuencia lainestabilidad de un sistema de controlsometido a una señal senoidal se presentacuando la magnitud del sistema es mayor queuno y su ángulo de fase rebasa los 180°.
+
-
R(s) E(s)
proceso
Y(s)
En términos de los diagramas de Nyquist paraun sistema de lazo abierto, el criterio deestabilidad establece que un sistema lineal esestable si el diagrama polar no encierra alpunto -1.
En términos de los diagramas de Nyquist paraun sistema de lazo abierto, el criterio deestabilidad establece que un sistema lineal esestable si el diagrama polar no encierra alpunto -1.
0
Imaginario
Real
-1
180°
Estable
Inestable
Ejemplo 6.10 Determinar el valor de K de lasiguiente función de transferencia de lazoabierto que produzca un sistemamarginalmente estable.
Determinando la función de transferenciasinusoidal
Ejemplo 6.10 Determinar el valor de K de lasiguiente función de transferencia de lazoabierto que produzca un sistemamarginalmente estable.
Determinando la función de transferenciasinusoidal
( )( 2)( 3)
KG ss s s
3 2 3 2( )5 65 6
K KG jj jj j j
Por lo que su magnitud y ángulo son
2 22 3 4 35 6 25 6
K KG j
3 21 16 6tan tan
5 5
Para que el sistema sea marginalmente establese requiere que
Y
Para que esto último ocurra se requiere que
De la condición de ángulo
1G j
Para que el sistema sea marginalmente establese requiere que
Y
Para que esto último ocurra se requiere que
De la condición de ángulo
180
1tan 0
26 0 6 2.449 rad/segw
Sustituyendo este resultado en la condiciónde magnitud
24 31 29.988
25 2.449 6 2.449 2.449
K K
1.- Bolton W., Ingeniería de Control, Alfaomega, 2dª Edición, 2001.2.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª
Edición, 2003.4.- Rodríguez A. J., Introducción a la Ingeniería de Control Autómatico,
McGraw-Hill, 1rª Edición, 1998.5.- Rohrs Ch. E., Melsa J. L., Shultz D. G., Sistemas de Control Lineal,
McGraw-Hill, 1ra Edición, 1994.6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima
Edición, 1996.7.- Navarro R., Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw-Hill, 1rª
Edición, 2004.8.- Lázaro I., Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Ed. Universitaria,
Segunda Edición.
1.- Bolton W., Ingeniería de Control, Alfaomega, 2dª Edición, 2001.2.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª
Edición, 2003.4.- Rodríguez A. J., Introducción a la Ingeniería de Control Autómatico,
McGraw-Hill, 1rª Edición, 1998.5.- Rohrs Ch. E., Melsa J. L., Shultz D. G., Sistemas de Control Lineal,
McGraw-Hill, 1ra Edición, 1994.6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima
Edición, 1996.7.- Navarro R., Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw-Hill, 1rª
Edición, 2004.8.- Lázaro I., Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Ed. Universitaria,
Segunda Edición.
Unidad III.Unidad III.-- Diseño y Compensación de Sistemas en elDominio de la Frecuencia
Control Analógico IIM.I. Isidro Ignacio Lázaro Castillo
Compensador de adelanto
El compensador de adelanto de fase es un filtro que presenta un valorgrande de ganancia a altas frecuencias, introduciendo además undefasamiento positivo para todas las frecuencias, el cual es menor de90°, lo cual permite aumentar el margen de fase del sistema de control.
1 ( )( )( )1
c
ss aaG s s s a
a
Donde >1
j
aa
Obteniendo la función de transferenciasinusoidal
Por lo que el ángulo de fase introducido porel compensador es
Por identidades trigonométricas
1( )
1c
jaG jja
Obteniendo la función de transferenciasinusoidal
Por lo que el ángulo de fase introducido porel compensador es
Por identidades trigonométricas
1( )
1c
jaG jja
1 2
1 1( ) tan tana a
1 21 2
1 2
tan tantan tan1 tan tanm
( ) dBG j
rad/seg
m
1020 log
1tan1
ma a
a a
rad/sega m a
1tan1
ma a
a a
1 1tanm aa
Simplificando
Para obtener el máximo derivamos elargumento e igualamos a cero, así
Resolviendo
2
2
11(1 )
0m
d aad aad d a
a
Para obtener el máximo derivamos elargumento e igualamos a cero, así
Resolviendo
2
2
11(1 )
0m
d aad aad d a
a
am
Sustituyendo este valor en tenemos
Simplificando el resultado
1 11 1tan tanm a aa a
Sustituyendo este valor en tenemos
Simplificando el resultado1 1tan
2m
1 1
2
m1 11m sen
m
grados
Relación de m con respecto a .
Diseño de la función de transferencia del compensador en adelantodados y a una frecuencia .
Metodología1. Calcular q en función del ángulo del
compensador
2. Con el margen de ganancia calcular c
c cM c
tan1
c c
cc c
a aq
a a
Metodología1. Calcular q en función del ángulo del
compensador
2. Con el margen de ganancia calcular c
tan1
c c
cc c
a aq
a a
2 22 10
2 2
110
c
c cc G
c está en dB
3. Con estos valores obtenemos losfactores de la ecuación cuadrática dadapor
4. Una vez resuelta la ecuación cuadráticase utiliza para obtener el parámetro ,de la forma
2 2 2 21 2 1 0q c q c q c c c
3. Con estos valores obtenemos losfactores de la ecuación cuadrática dadapor
4. Una vez resuelta la ecuación cuadráticase utiliza para obtener el parámetro ,de la forma
2 2 2 21 2 1 0q c q c q c c c
1
2
c
ca c
a
5. Por cual la función de transferencia delcompensador resulta
( )( )( )
cs aG ss a
5. Por cual la función de transferencia delcompensador resulta
( )( )( )
cs aG ss a
Implementación electrónica
F.T.
C2
R2
C1
R4
Z1
Z2
Implementación electrónica
F.T.
+
-
Vi(s)Vo(s)
+
-
+
-
R1
+
-R3
R4
Vx(s)
+
-
0 4 1 1 1
3 2
2 2
1( )
1( )i
sV s R C RCV s R C s
R C
1 1
1aRC
2 2
1aR C
Ejercicio de Simulación 7.1 Obtener usando Matlab® el diagrama de Bode delcompensador diseñado en el ejemplo 7.1 y determinar la ganancia y ángulo del
compensador cuando rad/seg. >> % Obtención del diagrama de bode y determinación % de la ganancia y ángulo de fase de operación del compensador >> % definición del compensador >> num_comp=conv([4.99],[1 2.192]); >> den_comp=[1 10.938]; >> compensador=tf(num_comp,den_comp)
Transfer function: 4.99 s + 10.94 -------------- s + 10.94
>> bode(num_comp,den_comp)
Ejercicio de Simulación 7.1 Obtener usando Matlab® el diagrama de Bode delcompensador diseñado en el ejemplo 7.1 y determinar la ganancia y ángulo del
compensador cuando rad/seg. >> % Obtención del diagrama de bode y determinación % de la ganancia y ángulo de fase de operación del compensador >> % definición del compensador >> num_comp=conv([4.99],[1 2.192]); >> den_comp=[1 10.938]; >> compensador=tf(num_comp,den_comp)
Transfer function: 4.99 s + 10.94 -------------- s + 10.94
>> bode(num_comp,den_comp)
>> bode(num_comp,den_comp)
El diagrama de bode del compensador se muestra en la figura 7.6, endonde se marca la ganancia y ángulo de fase introducido para unafrecuencia de operación del compensador de 7 rad/seg.
>> bode(num_comp,den_comp)
El diagrama de bode del compensador se muestra en la figura 7.6, endonde se marca la ganancia y ángulo de fase introducido para unafrecuencia de operación del compensador de 7 rad/seg.
Diseño de compensadoresutilizando diagramas de Bode
A continuación se detalla el procedimiento a seguir.
Ajustar la ganancia de lazo de tal manera que se satisfaga laespecificación del error en estado estable.
Para calcular el error en estado estable de un sistema conretroalimentación unitaria se utiliza el teorema del valor final de lasiguiente manera
Si la entrada es un escalón de amplitud A y la planta no tieneintegradores, entonces
A continuación se detalla el procedimiento a seguir.
Ajustar la ganancia de lazo de tal manera que se satisfaga laespecificación del error en estado estable.
Para calcular el error en estado estable de un sistema conretroalimentación unitaria se utiliza el teorema del valor final de lasiguiente manera
Si la entrada es un escalón de amplitud A y la planta no tieneintegradores, entonces
0
( )lim1 ( )ss s
p
sR seG s
0lim
1 ( ) 1 (0)ss sp p
As AseG s G
Definiendo a como la constante de errorde posición (Kp), tenemos
Definiendo a como la constante de errorde posición (Kp), tenemos
De tal forma que el error de seguimientoestará dado por
0lim ( )
p psK G s
Definiendo a como la constante de errorde posición (Kp), tenemos
Definiendo a como la constante de errorde posición (Kp), tenemos
De tal forma que el error de seguimientoestará dado por
0lim ( )
p psK G s
0lim ( )
p psK G s
1ssp
AeK
Por otra parte, si la entrada fuera unarampa de pendiente A y al tener laplanta un integrador se tiene
En este caso el error de estado establepuede obtenerse de
2
0 0 0lim lim lim
1 ( ) ( ) ( )ss s s sp p p
As A AseG s s sG s sG s
Por otra parte, si la entrada fuera unarampa de pendiente A y al tener laplanta un integrador se tiene
En este caso el error de estado establepuede obtenerse de
2
0 0 0lim lim lim
1 ( ) ( ) ( )ss s s sp p p
As A AseG s s sG s sG s
ssv
AeK
Donde Kv definida como la constante deerror de velocidad se calcula como
0lim ( )v ps
K sG s
Donde Kv definida como la constante deerror de velocidad se calcula como
0lim ( )v ps
K sG s
Ejemplo de diseño
Considere la función de transferencia de una planta en lazo abierto ydiseñe un compensador de adelanto de fase que cumpla con lassiguientes especificaciones: Proporcionar al sistema un error en estadoestacionario ante una entrada escalón unitario menor del 1% y proveerde un margen de fase de 45°.
1.- Ajustando la ganancia de la planta para satisfacer el criterio de erroren estado estable, tenemos que dada una entrada escalón unitario
2
2( )( 0.1)( 10 29)p
sG ss s s
Considere la función de transferencia de una planta en lazo abierto ydiseñe un compensador de adelanto de fase que cumpla con lassiguientes especificaciones: Proporcionar al sistema un error en estadoestacionario ante una entrada escalón unitario menor del 1% y proveerde un margen de fase de 45°.
1.- Ajustando la ganancia de la planta para satisfacer el criterio de erroren estado estable, tenemos que dada una entrada escalón unitario
2
2( )( 0.1)( 10 29)p
sG ss s s
10.011 1ss
p p
AeK K
1 1 990.01pK
De tal forma que la ganancia de la plantaserá
Por lo que la función de transferencia dela planta quedará como
20
( 2) 2lim 0.69( 0.1)( 10 29) 2.9p s
K s KK Ks s s
99 143.50.69 0.69
pKK
De tal forma que la ganancia de la plantaserá
Por lo que la función de transferencia dela planta quedará como
99 143.50.69 0.69
pKK
3 2 3 2
2 143.5 143.5 287( )10.1 30 2.9 10.1 30 2.9p
s sG ss s s s s s
2.- Ahora se construye el diagrama delsistema con la ganancia K pero sincompensar.
Diagrama de BodedB
2.- Ahora se construye el diagrama delsistema con la ganancia K pero sincompensar.
Diagrama de Bode
Frecuencia rad/seg
Margen de fase
dB
38.5M
180 45 135
dB
0.001 39.9092 -0.564
0.100 36.9081 -44.113
0.200 32.9289 -61.753
0.847 21.8482 -76.987
1.000 20.6190 -77.378
3.578 12.4318 -93.247
8.490 3.7963 -129.489
Tabla 7.2 Valores del diagrama de Bode del ejemplo 7.4
8.490 3.7963 -129.489
10.000 1.5342 -136.111
11.325 -0.2865 -140.743
15.106 -4.7466 -149.987
20.149 -9.4385 -157.261
63.777 -29.0901 -172.732
100.000 -36.8795 -175.361
201.868 -49.0697 -177.701
1000.000 -76.8631 -179.535
3.- De la tabla 7.2 establecemos que ,como el ángulo del compensador nopuede rebasar los 65°, entonces
Por lo tanto el rango de la frecuenciaserá , seleccionando y tomando elvalor de módulo y ángulo a estafrecuencia, calculamos
135 65 200
3.- De la tabla 7.2 establecemos que ,como el ángulo del compensador nopuede rebasar los 65°, entonces
Por lo tanto el rango de la frecuenciaserá , seleccionando y tomando elvalor de módulo y ángulo a estafrecuencia, calculamos
135 65 200
11 1000
149.98 135 14.98c 4.74 dBc
Con estos datos diseñamos el compensador
Calculando los coeficientes de la ecuacióncuadrática
tan 14.98 0.267q
4.741010 2.978c
Con estos datos diseñamos el compensador
Calculando los coeficientes de la ecuacióncuadrática
2 1 1.906q c 22 0.426q c
2 1 6.525q c c c
De tal forma que
Resolviendo
Por tanto el otro parámetro delcompensador será
21.906 0.246 6.525 0
1
2
1.9151.786
De tal forma que
Resolviendo
Por tanto el otro parámetro delcompensador será
1
2
1.9151.786
21.915 2.97815 4.6331.915 2.978 1
a
Así, la función de transferencia delcompensador es
el diagrama de bloques del sistema conel compensador diseñado.
1.915 4.633( )
( ) 8.872c
s a sG s
s a s
Así, la función de transferencia delcompensador es
el diagrama de bloques del sistema conel compensador diseñado.
+
-
R(s) E(s) U(s) Y(s)
1.915 4.6338.872s
s
3 2
143.5 210.1 30 2.9
ss s s
Compensador Gc(s) Planta Gp(s)
Reduciendo el diagrama de bloquesRespuesta al escalónY(t)
Compensado
t (Seg)
Compensado
Sin compensar
Compensador de Adelanto
CONCLUSIONES El compensador de adelanto mejora la
respuesta transitoria pero incrementa ligeramente el error en estado
estacionario
CONCLUSIONES El compensador de adelanto mejora la
respuesta transitoria pero incrementa ligeramente el error en estado
estacionario
COMPENSADOR DE ATRASO
El comparador de atraso de fase actúa como un filtroque posee una alta ganancia a altas frecuencias y almismo tiempo introduce un defasamiento negativopara todo el rango de frecuencias.
>1
< 1Donde
G ss as ac
1
El comparador de atraso de fase actúa como un filtroque posee una alta ganancia a altas frecuencias y almismo tiempo introduce un defasamiento negativopara todo el rango de frecuencias.
>1
< 1Donde
G ss as ac
1
bs
bssGc
1 b = a.
En ocasiones se puede plantear comoun compensador proporcional-integral dela forma
j
bb
En ocasiones se puede plantear comoun compensador proporcional-integral dela forma
/I pc p
s K KG s K
s
RESPUESTA EN FRECUENCIA
( ) dBG j
rad/seg
1020 log
rad/seg
b m b
m
m b 1 11 1m sen sen
DISEÑO DEL COMPESADOR
Para resolver los parámetros del compensador deatraso cuando se conoce el margen de fase c y deganancia dados a una frecuencia . Así, tenemos
Por lo que habrá una solución real positiva para si
Para tener una raíz positiva para , se tiene
2 2 2 21 2 1 0q c q c q c c c
Para resolver los parámetros del compensador deatraso cuando se conoce el margen de fase c y deganancia dados a una frecuencia . Así, tenemos
Por lo que habrá una solución real positiva para si
Para tener una raíz positiva para , se tiene
2 2 2 21 2 1 0q c q c q c c c
2
1c cb
c
012 ccq
IMPLEMENTACIÓN ELECTRÓNICA
La figura muestra un compensador de atraso implementadousando una red de atraso conectada a la entrada de unamplificador operacional en seguidor de voltaje, para evitarefecto de carga en la entrada se utiliza otro seguidor de voltaje.
La figura muestra un compensador de atraso implementadousando una red de atraso conectada a la entrada de unamplificador operacional en seguidor de voltaje, para evitarefecto de carga en la entrada se utiliza otro seguidor de voltaje.
C
Vi(s) Vo(s)
+
-
+
-
R2
+
-
R1
Z2
+
-
Vx(s)+
-
Vy(s)+
-
Z1
0 2
1 2
( ) 1( ) 1i
V s R CsV s RCs R Cs
220
1 21 2
1( )( ) 1( )
( )i
R sR CV s
V sR R s
C R R
2
1 2
RR R
2
1bR C
1 2
1bC R R
EJEMPLO DE DISEÑO
Ejemplo 7.5 Para la función de transferencia de lazo abierto,diseñe un compensador de atraso de fase que cumpla con lassiguientes especificaciones: Proporcionar al sistema un error enestado estacionario ante una rampa, para tener una constante deerror de velocidad de Kv=20 y proveer de un margen de fase alsistema de 45°.
Ejemplo 7.5 Para la función de transferencia de lazo abierto,diseñe un compensador de atraso de fase que cumpla con lassiguientes especificaciones: Proporcionar al sistema un error enestado estacionario ante una rampa, para tener una constante deerror de velocidad de Kv=20 y proveer de un margen de fase alsistema de 45°.
2( )10
KG ss s
1.- Usando la ecuación calculamos el valor de K
De tal manera que la función de transferencia delsistema sin compensar, es
20
( )10010
vs
sK KK sG ss s
20(100) 2000K
1.- Usando la ecuación calculamos el valor de K
De tal manera que la función de transferencia delsistema sin compensar, es
20(100) 2000K
3 2
2000( )20 100
G ss s s
2.- La figura 7.17 muestra el diagrama de Bode de la planta sincompensar, en donde podemos observar que no satisface elrequisito de margen de ganancia, ya que es 0°.
Diagrama de BodedB
2.- La figura 7.17 muestra el diagrama de Bode de la planta sincompensar, en donde podemos observar que no satisface elrequisito de margen de ganancia, ya que es 0°.
Margen de fase
Frecuencia rad/seg
3.- Para un compensador en atraso de fase, requerimosencontrar el rango de frecuencia en donde la amplitud es mayorde 0 dB, en este caso de la tabla 7.3 encontramos que , como elmargen de fase requerido es 45°, entonces tenemos que elretardo de fase será
Con este valor de la tabla 7.3, establecemos que , además, comola ganancia del compensador no puede rebasar los 65°, entonces
3.- Para un compensador en atraso de fase, requerimosencontrar el rango de frecuencia en donde la amplitud es mayorde 0 dB, en este caso de la tabla 7.3 encontramos que , como elmargen de fase requerido es 45°, entonces tenemos que elretardo de fase será
Con este valor de la tabla 7.3, establecemos que , además, comola ganancia del compensador no puede rebasar los 65°, entonces
180 45 135
(135 65 ) 70
dB °
0.1 46.0197 -91.1459°
1.0 26.3292 -100.9258°
2.1 19.2406 -113.6238°
3.1 15.4211 -124.3684°
3.8 13.3665 -131.2186°
4.6 11.1670 -139.1497°
6.8 6.1475 -158.1365°
6.8 6.1475 -158.1365°
10.0 0 -180.0000°
14.8 -7.4442 -201.8635°
32.3 -25.3542 -235.6316°
70.7 -45.1205 -253.9011°
100.0 -54.0658 -258.5788°
500.0 -95.9211 -267.7085°
1000.0 -113.9803 -268.8541°
Por lo tanto el rango de frecuencias quedará entresi seleccionando y tomando el valor de módulo yángulo a esta frecuencia de la tabla 7.3, calculamos
Con esto procedemos a diseñar el compensador, porlo que podemos seguir el procedimiento ilustrado en elejemplo 7.2, de esta manera
0.1 4.6
2.1
135 113.623 21.377c
Por lo tanto el rango de frecuencias quedará entresi seleccionando y tomando el valor de módulo yángulo a esta frecuencia de la tabla 7.3, calculamos
Con esto procedemos a diseñar el compensador, porlo que podemos seguir el procedimiento ilustrado en elejemplo 7.2, de esta manera
19.24 dBc
tan 21.377 0.391q
Calculando los coeficientes de la ecuación cuadrática
Así tenemos
19.291010 0.0119c
Calculando los coeficientes de la ecuación cuadrática
Así tenemos
2 1 1.1409q c
22 0.00363q c
2 1 0.0117q c c c
21.1409 0.00363 0.0117 0
1
2
0.10280.0996
20.0996 0.01192.1 0.9430.0996 0.0119 1
b
20.0996 0.01192.1 0.9430.0996 0.0119 1
b
0.0996( 0.943) 0.0996 0.094( )0.094 0.094cs sG s
s s
R(s) +
-
E(s) U(s)
Compensador Gc(s) Planta Gp(s)
0.0996( 0.943)0.094s
s
3 2
200020 100s s s
Frecuencia rad/seg
dB
Diagrama de Bode
Margen de fase
Sin compensar
Compensado
Compensado
Sin compensar
Respuesta al escalón
Respuesta al escalónY(t)
t (Seg)
Compensador de adelanto-atraso
Este compensador la red de atraso se utilizaen frecuencias bajas y la de adelanto seaplica para frecuencias altas. La combinaciónde ambas estrategias permite eliminar elerror de estado estacionario deseado yampliar el ancho de banda para tener ungrado aceptable de estabilidad relativa.
Este compensador la red de atraso se utilizaen frecuencias bajas y la de adelanto seaplica para frecuencias altas. La combinaciónde ambas estrategias permite eliminar elerror de estado estacionario deseado yampliar el ancho de banda para tener ungrado aceptable de estabilidad relativa.
( )c
s a s bG s
s a s b
Considerando que , y , laecuación se puede escribir como
1 1 a b
( )c
s a s bG s
bs a s
Considerando que , y , laecuación se puede escribir como
( )c
s a s bG s
bs a s
j
bbaa
rad/seg
a a
( ) dBG j
b b
rad/seg
rad/seg
1020 log
Diseño de la función de transferencia de uncompensador adelanto-atraso a partir de c y c parauna c
Resolver la ecuación
Donde
El ángulo de fase 2 (de 1 a 5)
2 2 2 21 2 1 0q c c c q c q c
Resolver la ecuación
Donde
El ángulo de fase 2 (de 1 a 5)
110 10 c
c
2tan cq
Con el valor de resuelto, obtenemos el otroparámetro del compensador de adelantousando
Así mismo se resuelve
Al resolver esta última ecuación se debe elegir la raízpositiva que tenga el menor valor de b
112
cca
1
Con el valor de resuelto, obtenemos el otroparámetro del compensador de adelantousando
Así mismo se resuelve
Al resolver esta última ecuación se debe elegir la raízpositiva que tenga el menor valor de b
112
cca
01
2
2
cc
btan
b
1
Implementación electrónica de uncompensador de adelanto-atraso
++
+
-
R1+
-
Z1
C1
C2
Vi(s)Vo(s)
+
-
+
-
R2
Z2Vx(s)
+
-
Vy(s)
+
-
1 1 2 20
2
2 2 1 1 2 1 2 2 1 1
1 1( )( ) 1 1 1 1i
s sRC R CV s
V ss s
R C RC R C R C RC
1 1
1aRC
2 2
1bR C
Referencias
1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.2.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª
Edición, 2003.3.- Dorf B., Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª
Edición, 2005.4.- Rodríguez A. J., Introducción a la Ingeniería de Control Autómatico,
McGraw-Hill, 1rª Edición, 1998.5.- Navarro R., Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw-Hill, 1rª
edición, 2004.6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima
Edición, 1996.7.- Lewis P. H., Yang Ch., Sistemas de Control en Ingeniería, Prentice Hall,
1rª Edición, 1999.8.- Ogata K., Solving Control Engineering Problems with Matlab, Prentice
Hall, 1994.
1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.2.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª
Edición, 2003.3.- Dorf B., Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª
Edición, 2005.4.- Rodríguez A. J., Introducción a la Ingeniería de Control Autómatico,
McGraw-Hill, 1rª Edición, 1998.5.- Navarro R., Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw-Hill, 1rª
edición, 2004.6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima
Edición, 1996.7.- Lewis P. H., Yang Ch., Sistemas de Control en Ingeniería, Prentice Hall,
1rª Edición, 1999.8.- Ogata K., Solving Control Engineering Problems with Matlab, Prentice
Hall, 1994.