UNIDAD DE APRENDIZAJE 1INTRODUCCINa) Presentacin y contextualizacinLa teora de lneas de espera es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Estudiaremos los tipos de sistemas de lneas de espera (sistemas que involucran colas de algn tipo) que surgen en la prctica. Las formulas para cada modelo indican cual debe ser el desempeo del sistema del sistema correspondiente y sealan la cantidad promedio de espera que ocurrir en diversas circunstancias.b) CompetenciaConoce los diferentes tipos de lnea de espera y su correcta aplicacin para lograr un eficiente desarrollo.c) Capacidades1. Identifica y comprende el modelo de lnea de espera de un solo canal.2. Analiza las caractersticas del modelo de mltiples canales.3. Reconoce las caractersticas de lneas de espera con tiempos de servicio arbitrarios.4. Relaciona y compara los resultados obtenidos con otro tipo de modelos.d) ActitudesValora la utilidad del modelo de lnea de espera para dar solucin a problemas de casos reales. Tiene una actitud positiva sobre las lneas de espera para realizar el anlisis econmico e interpretar los resultados. Toma una actitud positiva al momento de investigar ms temas sobre los modelos de lneas de espera.e) Presentacin de ideas bsicas y contenidos esenciales de la Unidad:La Unidad de Aprendizaje 01: Lneas de espera ,comprende el desarrollo de los siguientes temas:TEMA 01:Lneas de espera de un solo canal .TEMA 02:Lneas de espera con mltiples canales .TEMA 03:Lneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios .TEMA 04:Otros modelos de lneas de espera .Tema 01: Lneas de Espera de un solo Canal

Para determinar lascaractersticas de operacin de estado estable para una lnea de espera de un solo canal. Las formulas debern utilizarse slo si las hiptesis siguientes son razonables.1)La lnea de espera tiene un solo canal.2)Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad Poisson.3)Los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad exponencial.4)La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio.

Caractersticas de operacin

Se pueden usar las siguientes formulas para desarrollar las caractersticas de operacin en estado estable de una lnea de espera de un solo canal,con llegadas tipo Poisson y tiempos de servicio exponencial, donde:Promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegadas).Promedio de servicios en el periodo (tasa media de servicio).

1.Probabilidad de que no exista unidades en el sistema:(1.4)2.Nmero promedio de unidades en la lnea de espera:(1.5)3.Nmero promedio de unidades en el sistema:(1.6)

4.Tiempo promedio que utiliza la unidad en la lnea de espera:(1.7)5.Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema:(1.8)6.probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar servicio:(1.9)7.probabilidad de n unidades en el sistema:(1.10)

Los valores de latasa media de llegaday latasa media de serviciosclaramente son componentes de importancia en la determinacin de las caractersticas de operacin. La ecuacin (1.9) muestra la que la relacin de la tasa media de llegadas a la tasa media de servicios,, nos da la probabilidad de que una unidad tenga que esperar al llegar, debido a que la instalacinde servicio est ocupada, por lo quea menudo se conoce como el factor de utilizacin de la instalacin de servicio.

Las caractersticas de operacin que se presentan en las ecuaciones (1.4) a (1.10) son slo aplicables cuando la tasamedia de servicioes superior a la tasa media de llegada, en otras palabras, cuando. De no ser as, la lnea de espera continuara creciendo sin lmite, porque la instalacin de servicio no tiene capacidad suficiente para atender las unidades que llegan, por lo que para utilizar las ecuaciones (1.4) a (1.10) debemos tenerEjemplo:Para ilustrar las caractersticas bsicas de un modelo de lnea de espera, veamos la lnea de espera en un restaurante Burger Dome. Burger Dome vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, as como un limitado nmero de productos especiales y postres.

Aunque Burger Dome deseara poder servir a cada uno de los clientes de manera inmediata, hay veces que llegan ms clientes de los que puede manejar el personal de servicio de alimentos de Burger Dome, por lo que los clientes esperan en fila, para colocar y recibir su pedido. Burger Dome est preocupado pues los mtodos que utiliza para atender a los clientes estn dando como resultadotiempos de espera excesivos. La administracin ha pedido que se haga un estudio de lneas de espera para ayudar a determinar cul es el mejor procedimiento para reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.

Suponga que Burger Dome ha analizado los datos referentesa la llegada de clientes y ha concluido que la tasa media de llegadas es de45 clientes por hora. Para un lapso de un minuto, el nmero medio de llegadas serallegadas por minuto, por lo que podemos utilizar la siguiente funcin de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas durante un periodo de un minuto. Suponga que Burger Dome ha estudiado el proceso de toma y surtido de pedidos y que ha llegado a la conclusin de que el nico empleado de alimentos puede procesar un promedio de 60 pedidos de clientes por hora. Con base en un minuto, la tasa promedio de servicio, es decir la media, seriacliente por minuto. Por ejemplo , con, podemos utilizar la ecuacin (1.3) para calcular probabilidades , como la probabilidad de que procese un pedido en medio minuto o menos, en minuto o menos o en dos minutos o menos.

Solucin.Recuerde que para el problema de Burger Dome tenemos una tasa media de llegadaclientes por minuto y una tasa de servicio decliente por minuto, por lo cual, ya que, se pueden utilizar las ecuaciones(1.4) a (1.10) para obtener las caractersticas de operacin de la lnea de espera de un solo canal de Burger Dome:

La ecuacin (1.10) se puede usar para determinar la probabilidad de cualquier nmero de clientes dentro del sistema.Su aplicacin nos lainformacin de probabilidades que se resume en la tabla siguiente:

Los resultados de la lnea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varios elementos importantes sobre su operacin.

En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de empezar a colocar su pedido, lo que parecera algo largo para un negocio basado en servicio rpido. Adems, el hecho de que el nmero promedio de clientes esperando en la cola sea de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tengan que esperar para que les d servicio, son indicadores de que algo debera hacerse para mejorar la operacin de la lnea de espera. la tabla anterior muestra una probabilidad de 0.1335 de que siete o ms clientes estn en el sistema de Burger Dome a la vez. Esta situacin indica una probabilidad razonable elevada de que si continua utilizando la operacin de un solo canal, Burger Dome experimentara algunas lneas de esperas largas.

MEJORA EN LA OPERACIN DE LA LINEA DE ESPERA

Despus de revisar las caractersticas de operacin obtenidas con el modelo de la lnea de espera, la administracin de Burger Dome concluyo que era deseable hacer mejoras diseadas para reducir los tiempos de espera. Muy a menudo, las mejoras en la operacin de la lnea de espera se enfocan a maneras de mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen mediante lo siguiente:1)Incrementar la tasa media de serviciomediante algn cambio creativo en el diseo o utilizando nueva tecnologa2)Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir ms unidades de manera simultnea.

Tema 02:Lneas de espera con Mltiples CanalesMODELO DE LINEAS DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.Una lnea de espera de canal mltiple est formada de dos o ms canales o localizaciones de servicio, que se suponen idnticos en funcin de su capacidad de servicio. En el sistema de canales mltiples, las unidades de llegada esperan en una sola lnea de espera y a continuacin pasan al primer canal disponible para ser atendidas.

Lasformulas que se pueden utilizar para determinar las caractersticas de operacin en estado estable para una lnea de espera de canal mltiple. Estas formulas sern aplicables siempre que:1. La lnea de espera tenga dos o ms canales.2. Las llegadas sigan la distribucin de probabilidad de Poisson3. El tiempo de servicio de cada canal siga una distribucin de probabilidad exponencial.4.La tasa media de servicioes la misma para cada uno de los canales,.5. Las llegadas esperan en una sola lnea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para su servicio.6. La disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros servicios.

Las caractersticas de operacinPara calcular las caractersticas de operacin en estado estable de las lneas de espera de canal mltiple, se pueden utilizar las siguientes formulas, dondeTasa media de llegadas del sistemaTasa media de servicio de cada canalNmero de canales

1.Probabilidad de ninguna unidad en el sistema:(1.11)2.Nmero promedio de unidades en la lnea de espera:(1.12)3.Nmero promedio de unidades en el sistema:(1.13)4.Tiempo promedio que ocupa una unidad en la lnea de espera:(1.14)5.Tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema:(1.15)6.Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por servicio:(1.16)7.Probabilidad de que existan n unidades en el sistema:(1.17)(1.18)

Dado quees la tasa media de servicio de cadacanal,es la tasa media de servicio para el sistema de canales mltiples. Como en el caso de un modelo de lnea de espera de un solo canal, las formulas para las caractersticas de operacin de las lneas de espera de canal mltipleslo pueden aplicarse en situaciones en las que la tasa media de servicio para el sistema sea superior a la tasa media de llegadas del sistema; en otras palabras, las formulasslo son aplicables sies mayor que.

SOCIEDADES ANNIMAS CERRADASEjemplo.Para ilustrar el modelo de lneas de espera de canal mltiple, regresamos al problema de la lnea de espera del restaurante de comidas rpida Burger Dome. Suponga que la administracin desea evaluar la conveniencia de abrir una segunda estacinde procesamiento de pedidos, de manera que se pueda atender simultneamente a dos clientes. Suponga que solo habr una lnea de espera y el siguiente cliente en la cola pasando al primer servidor disponible, con lo que tenemos una lnea de espera de dos canales para Burger Dome. Evaluemos las caractersticas de operacin de este sistema de dos canales.

Utilizando las ecuaciones (1.12) a (1.18) para el sistema de k= 2 canales. Para una tasa media de llegadasclientes por minuto y una tasa media de serviciocliente por minuto para cada uno de los canales, obtenemos las caractersticas de operacin:

Utilizando las ecuaciones (1.17) y (1.18) , podemos calcular las probabilidades de n clientes en el sistema. Los resultados de estos clculos se resumen en la siguiente tabla:

Ahora podemos comparar las caractersticas de operacinen estado estable del sistema de dos canales con las caractersticas de operacindel sistema original de un solo canal, que se analizo anteriormente.1.El tiempo promedio que utiliza un cliente en el sistema (tiempo de servicio + tiempo de espera) se reduce de W = 4 minutos a W = 1.16 minutos.2.El nmero promedio de clientes en la lnea de espera se reduce declientes.3.El tiempo promedio que utiliza un cliente en la lnea de espera se reduce deminutos.4.La probabilidad de que un cliente tenga que esperar su servicio se reduce de

ANLISIS ECONMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA.En las secciones anteriores presentamos formulas para calcularlas caractersticas de operacin de lneas de espera de un solo canal y de canal mltiple, con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Las caractersticas operativas de inters incluanNmero promedio de unidades en la lnea de esperaL =Nmero promedio de unidades en el sistemaWq= Tiempo promedio que utiliza una unidad en la lnea de esperaW = tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema.

John D. C. Little demostr que entre estas cuatro caractersticas existen varias relaciones y que pueden aplicarse a toda la diversidad de los sistemas de lneas de espera. Dos de estas relaciones, conocidas como las ecuaciones de flujo de Little, son(1.19) (1.20)

ANALISIS ECONOMICO DE LAS LINEAS DE ESPERAPara desarrollar un modelo de costo total de una lnea de espera, empezaremos por definir las notaciones que se emplearan:cw=Costo de espera por periodo de cada unidadL =Nmero promedio de unidades en el sistemacs=Costo de servicio por periodo de cada canalk =Nmero de canalesTC =Costo total por periodoEl costo totales la suma del costo tanto de espera como de servicio; esto es,CT = cw.L + cs.k(1.21)

Ejemplo:Para demostrar el uso de la ecuacin (1.21), suponemos que Burger Dome est dispuesto a asignar un costo de 10 dlares por hora al tiempo de espera del cliente. Para obtener el costo total por hora para el sistema de un solo canal y de dos canales utilizaremos el nmero promedio de unidades en el sistema L, segn se calculo en las secciones anteriores:Sistema de un solo canal (L = 3 clientes)El sistema de dos canales (L = 0.8727)Por lo que, con base en los datos de costo proporcionados por Burger Dome, el sistema de dos canales ofrece la solucin ms econmica.

Tema 03:Lneas de Espera con Tiempo de Servicios ArbitrariosEL MODELO DE LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS TIPO POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIOARBITRARIOSVolvamos al modelo de lnea de espera de un solo canal, en el que las llegadas se describen medianteuna distribucin de probabilidad Poisson. Sin embargo, ahora supondremos que la distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio no es exponencial, por lo que, utilizando la notacin de Kendall, el modelo de lnea de espera apropiado es M/G/1, donde G indica una distribucin de probabilidad general o no especificada.

Caractersticas de operacin para el modelo m/g/1

La notacin utilizada para describir las caractersticas de operacin del modelo M/G/1 es:Tasa media de llegadaTasa media de serviciosTiempo promedio o medio de servicioDesviacin estndar del tiempo de servicio

A continuacin aparecen algunas de las caractersticas de operacin en estado estable del modelo de lnea de espera M/G/11. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:(1.22)

2.Nmero promedio de unidades en la lnea de espera:(1.23)3.Nmero promedio de unidades en el sistema:(1.24)4.Tiempo promedio que utiliza una unidad en la lnea de espera: (1.25)5.Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema:(1.26)6.Probabilidad de que una unidad de llegada tenga que esperar servicio: (1.27)

Note que las relaciones para L,Wqy W son las mismas que las que se utilizaron para los modelos de lneas de espera de las secciones anteriores. Tambin estn basadas en las ecuaciones de flujo de Little.

EjemploUn empleado maneja las ventas al menudeo en Hartlage. Las llegadas de los clientes son aleatorias y latasa promedio de llegadas es de 21 clientes por hora, es decirclientes por minuto. Un estudio del proceso de servicio muestra que el tiempo promedio o medio del servicio es de dos minutos por cliente, con una desviacin estndarminutos.

El tiempo medio de dos minutos por cliente muestra que el empleado tiene una tasa de servicio media declientes por minuto. Las caractersticas de operacin de este sistema de lnea de espera M/G/1, son:

El administrador de Hantlage puede estudiar estas caractersticas de operacin para determinar si merece la pena programar un segundo empleado.

Tema 04:Otros Modelos de Lneas de EsperaLNEAS DE ESPERA CON TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTESDeseamos comentar brevemente a un modelo de lnea de espera de un solo canal que suponellegadas aleatorias, pero con tiempos de servicio constante. Esta lnea de espera puede ocurrir en entornos de produccin y manufactura, en los que los tiempos de servicio controlados por las maquinas son constantes. Esta lnea de espera se describe como un modelo M/D/1, refirindose la D a tiempos de servicio deterministicos.

En el caso del modelo M/D/1, puede determinarse el nmero promedio de unidades en la lnea de espera,Lq, utilizando la ecuacin (1.23) , con la condicin de que la desviacin estndar del tiempo constante de servicio sea, por lo que la expresin para el numero promedio de unidades de la lnea de espera M/D/1 se convierta en:(1.28)

MODELO DE CANAL MULTIPLE CON LLEGADA POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LINEAS DE ESPERA.El sistema especfico considerado en esta seccin se basa en las siguientes hiptesis.1.El sistema tiene k canales.2.Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson , con una tasa media de llegada

3.Los tiempos de servicio de cada canal pueden tener cualquier distribucin de probabilidad.4.La tasa media de servicioes la misma para cada canal.5.Las llegadas entran al sistema nicamente si por lo menos uno de los k canales est disponible, Las llegadas que ocurran cuanto todos los canales estn ocupados quedaran bloqueadas, esto es, se les negara el servicio y no se les permitir la entrada al sistema.

Cuando G indica una distribucin de probabilidad general o no especificada parea los tiempos de servicio, el modelo apropiado para esta situacin se conoce como modelo M/G/k con clientes bloqueados y eliminados, la pregunta que se hace en este tipo de situacin es Cuntos canales o servidores debe utilizarse?

Caractersticas de operacin para un modelo m/g/k, con clientes bloqueados y eliminados.Nos enfrentaremos al problema de seleccionar el nmero ms apropiado de canales para calcular las probabilidades de estado estable de que j de los canales estn ocupadas. Estas probabilidades son:(1.29)Donde:: Tasa media de llegada: Tasa media de servicio de cada canalk: Nmero de canales Pj: Probabilidad de que j de los k canales estn ocupados para j = 0,1,2,3,k

El valor ms importante de la probabilidad esPk, que es la probabilidad de que todos los k canales estn ocupados. En una base porcentual,Pkes el porcentaje de llegadas que se bloquearan y a las que se les negara acceso al sistema.Otras caractersticas de operacin de inters es el nmero promedio de unidades en el sistema; note que esto equivale al nmero promedio de canales en uso. Haciendo que L represente el nmero promedio de unidades en el sistema, tenemos:(1.30)

MODELO DE LINEA DE ESPERA CON POBLACIONES DE SOLICITANTES FINITAS.El modelo de poblacin de solicitantes finito que se analizara en esta seccin se basa en las siguientes hiptesis.1.La lnea de espera tiene un solo canal2.La poblacin de unidades que pudieran solicitar servicio es finita.3.Las llegadas de cada unidad siguen una distribucin de probabilidad Poisson, con una tasa media de llegada.4.Los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio.5.La disciplina de la lnea es primeras llegadas, primeros servicios.El modelo de lnea de espera apropiado en estos casos se conoce como modelo M/M/1, con una poblacin de solicitantes finita.

Las caractersticas de operacin para el modelo m/m/1, con una poblacin de solitantes finitaLas formulas siguientes se utilizan para determinar las caractersticas de operacin en estado estable para el modelo M/M/1 con una poblacin de solicitantes finita, donde:: Tasa media de llegada de cada unidad: Tasa media de servicio N : Tamao de la poblacin.

1.Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:(1.31)2.Nmero promedio de unidades en la lnea de espera: (1.32)3.Nmero promedio de unidades en el sistema:(1.33)

4.Tiempo promedio que ocupa una unidad en la lnea de espera:(1.34)5.Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema: (1.35)6.Probabilidad de n unidades en el sistema: (1.36)