Trigonometra Resolucin de tringulos. Razones trigonomtricas de un ngulo agudo. Consideraremos el tringulo rectngulo

ABC tal que 90A =

Recordemos que en tringulo rectngulo cualquiera se cumpla el teorema de Pitgoras:

222 cba += Definimos seno del ngulo y lo representamos por sen

hipotenusaopuestocateto

CBABsen ==

Definimos coseno del ngulo y lo representamos por cos

hipotenusacontiguocateto

CBCAcos ==

Definimos tangente del ngulo y lo representamos por tg

contiguoocatetopuestocateto

CAABtg ==

Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera. Sea el punto Q(x,y) Consideramos la circunferencia de centro O que pasa por el punto Q y tiene radio r. Consideramos el ngulo POQ= Definimos:

rysen =

rxcos =

xytg =

Relaciones fundamentales entre las razones trigonomtricas. Dado un ngulo se cumplen las siguientes relaciones:

1cossen 22 =+

=

cossentg

Estas dos identidades se llaman relaciones fundamentales de la trigonometra. Uso de la calculadora: Modos angulares de la calculadora: MODE DEG medidas sexagesimales MODE GRA medidas centesimales MODE RAD medidas en radianes Conociendo el ngulo se pueden calcular las razones trigonomtricas con las teclas sin cos tan Ejemplo: Calcula "50'2543tg , sen5030, Con calculadoras antiguas: 43 25 50 tan = 0.9467

50 30 sin = 0.7716 Con calculadoras nuevas tan 43 25 50 = 0.9467

sen 50 30 = 0.7716 Conociendo las razones trigonomtricas del ngulo podemos calcular el ngulo con las teclas

111 tancossin Ejemplo: Calcula el ngulo tal que 34.0sen = . )34.0arcsin(= Con calculadoras antiguas: 0.34 1sin SHIFT 195237 Con calculadoras nuevas:

1sin 0.34 = SHIFT 195237

Resolucin de tringulos rectngulos. Resolver un tringulo es determinar los tres lados y los tres ngulos. Con la ayuda del teorema de Pitgoras, de las razones trigonomtricas, y de la calculadora se puede resolver cualquier tringulo rectngulo. Veamos los siguientes ejercicios: Problema 1:

Del tringulo rectngulo

ABC tal que 90A = conocemos cm4b,cm5a ==

Determina todos los lados, los ngulos y el rea del tringulo. Aplicando el teorema de Pitgoras:

222 cba += 222 c45 += , 2c1625 += , 9c 2 =

Entonces 3c = . Aplicando cualquier razn trigonomtrica podemos calcular el ngulo C.

abCcos = , 8'0

54Ccos ==

Con la ayuda de la calculadora "12'52368.0arccosC == Sabiendo que los tres ngulos de un tringulo suman 180 ( 180CBA =++ ) Tenemos que 90CB =+ , entonces "48'753"12'523690C90B === Por ser el tringulo rectngulo, el rea es 2cm6

234

2cbS ===

Problema 2: Para subir al Miquelet de Valencia utilizamos una escalera exterior de 55m, que forma con la horizontal un ngulo de 6736. Con estos datos calcula la altura del Miquelet. Notemos que la horizontal, y el Miquelet forman un ngulo recto. Sea x la altura del Miquelet, Utilizando la razn trigonomtrica seno,

55x'3667sen =

Entonces, m85'50'3667sen55x == Problema 3: El ngulo de elevacin de la cima de una torre medido desde un punto C de La horizontal es de 22. Avanzando 12 metros hacia a la torre, volvemos a medir El ngulo de elevacin que es de 45. Calcula la altura de la torre. Solucin: Dibujamos el grfico siguiente: Sea ADx = , sea ABh =

Sea el tringulo rectngulo

ABC x12

h22tg +=

Sea el tringulo rectngulo

ABD xh45tg =

Con la ayuda de la calculadora 145tg,4040'022tg == Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones:

=+=

45tgxh22tg)x12(h substituyendo

=+=

xh4040'0)x12(h

+==

4040'0)x12(xxh

+==

x4040'08480.4xxh

==

m1342'8xm1342'8h

Entonces la altura de la torre es 81342m Problema 4: Calcula el lado y la apotema de un pentgono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm. Solucin: Sea 5OAr == el radio de la circunferencia circunscrita al pentgono regular. Sea el lado del pentgono ABx = Sea la apotema del pentgono OCy =

El ngulo 725

360AOB ==

Consideramos el tringulo issceles

ABO

La altura del tringulo divide al tringulo

ABO en dos tringulos rectngulos iguales.

Consideramos el tringulo rectngulo

CBO

El ngulo 362

72COB ==

Sean, 2x

2ABCB == yOC =

Aplicando las razones trigonomtricas:

52x

OBCB36sen ==

10x36sen =

Haciendo uso de la calculadora:

10x5878'0 = , entonces el lado del pentgono mide cm878'5x =

5y

OBOC36cos ==

Usando la calculadora:

5y8090'0 = , entonces la apotema del pentgono mide cm045'4y =

Teorema de los senos Los lados de un tringulo

ABC son

proporcionales a los senos de los ngulos opuestos:

Csenc

Bsenb

Asena ==

Teorema del coseno. Sea el tringulo

ABC . Se cumplen las siguientes igualdades.

Ccosab2bac

Bcosac2cab

Acosbc2cba

222

222

222

+=+=+=

Clculo del rea de un tringulo.

2AsencbS =

2CsenbaS

2BsencaS ==

Para resolver los tringulos, es de gran ayuda tener nociones de dibujo. Casi todos los problemas se pueden dibujar con regla, escuadra, comps y transportador de ngulos. Problema 5:

Resuelve el tringulo

ABC , conocidos 105C,45B,12a ===

Solucin: Las incgnitas son A,c,b

180CBA =++ ( ) 30)1054(180CB180A =+=+= A partir del teorema de los senos:

Csenc

Bsenb

Asena ==

75'2125sen50sen12b

50senb

25sen12 ==

43'2725sen105sen12c

105senc

25sen12 ==

Problema 6:

Resuelve el tringulo

ABC , conocidos 35C,9b,12a === Solucin: Las incgnitas son B,A,c A partir del teorema del coseno:

Ccosab2bac 222 +=

35cos9122912c 222 += 93'606'48c06'48c94'176225c 22 ===

Para calcular los ngulos B,A aplicaremos el teorema del coseno.

bc2)cb(aAcosAcosbc2cba

222222

+=+=

( ) 1198'093'692

06'48912Acos22

=+=

Usando de la calculadora: '5396)1198'0arccos(A =

180CBA =++ , por tanto, '748)'539635(180)CA(180B +=+=

Problema 7:

Resuelve el tringulo

ABC , conocidos 12c,8b,16a === Solucin: Las incgnitas son C,B,A Podemos observar que el problema tiene solucin, porque,

acbbcacba

>+>+>+

Aplicando el teorema del coseno:

bc2)cb(aAcosAcosbc2cba

222222

+=+=

41Acos

1282)128(16Acos

222 =+=

Con la ayuda de la calculadora '2910441arccosA

=

ac2)ca(bBcosBcosac2cab

222222

+=+=

87Bcos = Con la ayuda de la calculadora '5728

87arccosB

=

180CBA =++ , por tanto, '3446)'5728'29104(180)BA(180C +=+=

Problema 8:

Resuelve el tringulo

ABC , conocidos 25B,30b,60a ===

Solucin: Las incgnitas son C,A,c Aplicando el teorema de los senos,

25sen30

Asen60

Bsenb

Asena ==

84524'030

25sen60Asen == Con la ayuda de la calculadora:

=

'18122'4257

)84524.0(arcsenA

El problema tiene dos soluciones: Primera solucin: Si '4257A

180CBA =++ , por tanto, '1897)BA(180C +=

Por el teorema de los senos:

41'70'4257sen

'1897sen60AsenCsenac ==

Segunda solucin: Si '18122A

'4232)BA(180C += Por el teorema de los senos:

35'38'4257sen

'4232sen60aAsenCsenac ==

Problema 9:

Calcula el rea del tringulo

ABC conocidos 35A,cm60c,cm80b === Solucin: El rea del tringulo es

2AsencbS = , por tanto,

2cm58'13752

35sen60802

AsenbcS == Problemas propuestos de triangulos

1 Resuelve los tringulos rectngulos

ABC , 90A = conocidos: a) cm7b,cm100a == b) m35c,m25b == c) '3540B,cm10a == d) 55B,m75b == e) '3032C,cm10b == f)

51senC,cm10c ==

g) 5Ctg,m10b == 2 Calcula la altura de la torre. 3 Calcula el rea y la apotema de un decgono regular de lado 20cm. 4 Calcula el permetro y el rea de un decgono regular de apotema 10cm.

5 Calcula el lado y el rea de un decgono regular inscrito en una circunferencia de radio 10cm 6 Calcula el rea y la apotema de un pentgono regular de permetro 100cm. 7 Calcula los ngulos y el lado de un rombo de diagonales 60cm, 80cm. 8 Calcula el rea y el permetro de un dodecgono regular inscrito en una circunferencia de 10cm de radio. 9 El rea de un tringulo rectngulo es 2m6 y la hipotenusa mesura 5m. Calcula los ngulos y los catetos del tringulo rectngulo. 10 Calcula la altura de una torre, sabiendo que el ngulo de elevacin desde un punto A y la horizontal es de 45, que desde un punto B a 25m del punto A y ms cerca de la torre el ngulo de elevacin es de 60. 11 Resuelve: a) Datos conocidos:

45ADC,60ABC,cm10BD === Incgnitas:

BCD,BC,AC b) Datos conocidos:

25ADC,cm4AB,cm10CD === Incgnitas:

BCD,BD,BC c) Datos conocidos:

25BCD,30ACB,cm20BC === Incgnitas:

BDC,CD,AC 12 Determina el rea del paralelogramo siguiente:

13 Determina los ngulos del paralelogramo siguiente: 14 Calcula la altura h de la siguiente figura: 15 Resuelve los siguientes tringulos conocidos: a) 55A,cm35c,cm20b === b) cm35c,cm25b,cm15a === c) 75B,35A,cm20a === d) '3065B,25A,cm15c === e) 80B,cm55b,cm30a === f) cm8c,cm10b,cm10a === g) '4530C,cm45b,cm10a === h) 25A,60c,cm20a === 16 Calcula el rea de los tringulos conocidos: a) 55B,cm35c,cm25a === b) cm30c,cm25b,cm10a === c) 75B,35A,cm25c === d) 80B,cm60b,cm30a === 17 En el siguiente paralelogramo calcula las diagonales. 18 Calcula la longitud de los lados de un tringulo issceles sabiendo que la altura sobre el lado desigual mide 15cm y el ngulo desigual 80. 19 Resuelve un tringulo issceles sabiendo que los lados iguales miden 10cm y el rea mide

2cm40 .